平面向量的模与夹角

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利用向量的模和夹角求解平面几何问题

利用向量的模和夹角求解平面几何问题平面几何作为数学的一个重要分支，研究平面内的点、线、面以及它们之间的关系和性质。

在解决平面几何问题时，向量的模和夹角是非常有用的工具。

本文将通过几个具体例子，介绍如何利用向量的模和夹角来解决平面几何问题。

一、利用向量模解决平面几何问题1. 平行线段判定在平面几何中，有时需要判定两条线段是否平行。

若给定线段的两个端点的坐标，可以利用向量的模来解决此问题。

假设有线段AB和线段CD，其坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)、D(x4, y4)。

可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量CD = (x4-x3, y4-y3)，然后比较两个向量的模是否相等，若相等，则可以判定两条线段平行。

2. 判断三角形形状对于给定的三个点A、B、C，用向量的模可以判断出三角形的形状。

假设三个点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。

可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)，然后比较两个向量的模，若模相等，则可以判定三角形为等边三角形；若模不相等，还需比较两个向量的夹角，若夹角等于90度，则可以判定三角形为直角三角形；否则为一般三角形。

二、利用向量夹角解决平面几何问题1. 判断点是否在直线上在平面几何中，判断一个点是否在直线上是一个常见的问题。

给定直线上两点的坐标A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及待判断的点C(x3, y3)，可以利用向量的夹角来解决此问题。

求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)的夹角，若夹角等于0度或180度，则可判定点C在直线AB上。

2. 判断两条直线的夹角给定两条直线的方程，可以利用向量的夹角来判断两条直线的夹角。

以直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，根据向量的性质，可以求得直线L1的方向向量为(1, k1)，直线L2的方向向量为(1, k2)。

平面向量的模长与向量的夹角

平面向量的模长与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，在几何学和物理学等领域都有广泛的应用。

本文将讨论平面向量的模长与向量的夹角之间的关系。

一、平面向量的定义及表示方法平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段来表示。

平面向量常用字母加箭头（如→AB）表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

平面向量还可以使用坐标表示法，其中(x, y)表示向量在坐标轴上的投影长度。

当两个平面向量相等的时候，它们具有相同的大小和方向。

二、平面向量的模长平面向量的模长表示向量的大小。

对于一个平面向量→AB，它的模长表示为|→AB|或者AB。

对于一个平面向量→AB(x, y)，它的模长可以通过勾股定理计算得到：|→AB| = √(x² + y²)。

三、平面向量的夹角平面中的两个非零向量→AB和→CD，它们之间的夹角用符号θ表示。

夹角θ可以通过两向量的点积公式计算得到：cosθ = (→AB·→CD) / (|→AB| * |→CD|)。

在平面中，夹角θ的取值范围为0到π（弧度）之间。

四、模长和夹角的关系在平面向量中，模长和夹角之间有以下关系：1. 如果两个向量的模长相等，即|→AB| = |→CD|，则它们之间的夹角θ可能是0度、180度或其他角度。

当且仅当两个向量的方向相同时，夹角为0度；当且仅当两个向量的方向相反时，夹角为180度。

2. 如果两个向量的夹角为90度，即θ = π/2，那么它们之间的模长可能相等，也可能不相等。

3. 如果两个向量的夹角为0度，即θ = 0，那么它们之间的模长必然相等。

综上所述，平面向量的模长与向量的夹角之间的关系是复杂而多样的，取决于具体的向量和夹角大小。

五、案例分析为了更好地理解平面向量的模长与向量的夹角之间的关系，我们举例进行分析。

假设有两个平面向量→AB(3, 4)和→CD(-1, 2)：1. 计算模长：|→AB| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5|→CD| = √((-1)² + 2²) = √(1 + 4) = √52. 计算夹角：cosθ = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * √5) = (3 * (-1) + 4 * 2) / (5 * 5) = (6 - 3) / 25 = 3 / 25由于夹角θ的取值范围为0到π之间，无法通过此结果得到夹角的具体值。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1 / 1 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量a →，b →如果以O 为起点，作OA →=a →，OB →=b →，那么射线OA ，OB 的夹角θ叫做向量a →与向量b →
的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量a →，b →的夹角为θ，那么我们把|a →||b →|cos θ叫做a →与b →的数量积，记做a →⋅b → 即：a →⋅b →=|a →||b →|cos θ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即：0→•a →=0．
注意：
①a →⋅b → 表示数量而不表示向量，符号由cos θ决定；
②符号“•”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：b →在a →上的投影是一个数量|b →|cos θ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若a →=（x 1，y 1），b →=（x 2，y 2），则a →⋅b →=x 1x 2+y 1y 2， 3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：a →与b →的数量积a →⋅b →等于a →的长度|a →|与b →在a →的方向上的投影|b →|cos θ的积．。

平面向量的坐标表示、模、夹角

（1）平面向量数量积 a b
（2） cos 2 a a = a
a b ab
a b a b=0 （a， b是非零向量）
cos =
我们学过两向量的和与差可以转化为它们相应的坐标来运算,那么怎样用 a和b的坐标表示a b呢？
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考1：已知 i 是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单位向量，那么 a， b 用 i， j怎么表示？
a x1i y1 j ，b x2i y2 j
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考2：已知 i 是x轴上的单位向量， j 是y轴上的单位向量，那么
AB ( x2 x1 ) 2 ( y2 y1 ) 2 ,
4. cos
x1 x2 y1 y2 x1 y1
2 2
x2 y2
2
2
5. a / / b x 1 y2 =x2 y1
6. a b x1 x2 y1 y2 0
练习（1）已知 a=（4，3），向量
探究（四）两向量夹角公式的坐标运算
设a （x1 , y1 ), b=( x2 , y2 ), 且a与b夹角为， (0 180 )则 cos ？

思考：
向量夹角公式的坐标式：
cos
x1 x2 y1 y2 x y x y
2 1 2 1 2 2 2 2
2 i 1
2 j 1
i j j i
0
探究（一）平面两向量数量积的坐标表示
思考3：若向量
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
那么 a b 如何表示？ a b x1 x2 y1 y2 .

利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角

利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角向量是数学中非常重要的概念，它在物理学、几何学和工程学等领域发挥着重要的作用。

利用向量的数量积和向量积，我们可以求解向量的模和夹角，下面将详细介绍这两个概念及其应用。

一、向量的数量积向量的数量积也被称为点积或内积，用符号"·"表示。

给定两个向量a和b，它们的数量积可以通过以下公式计算：a·b = |a| |b| cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角。

从公式中可以看出，向量的数量积可以帮助我们求解向量的模和夹角。

二、向量的模向量的模表示向量的长度或大小，并且始终为非负数。

根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算向量模的公式：|a| = √(a·a)这个公式表示，向量a的模等于向量a与自身的数量积的平方根。

通过这个公式，我们可以求解任意向量的模。

三、向量的夹角向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。

根据向量的数量积公式，我们可以得到以下计算夹角的公式：cosθ = (a·b) / (|a| |b|)根据这个公式，我们可以通过求解向量的数量积来计算向量之间的夹角。

进一步地，通过取反余弦函数，我们可以得到夹角的具体数值。

四、向量的向量积另一方面，向量的向量积也被称为叉积或外积，用符号"×"表示。

给定两个向量a和b，它们的向量积可以通过以下公式计算：a×b = |a| |b| sinθ n其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模的大小，θ表示向量a和b之间的夹角，n表示一个垂直于a和b所在平面的单位向量。

从公式中可以看出，向量的向量积可以帮助我们求解向量所在平面的法向量。

五、应用举例下面通过一个例子来演示如何利用向量的数量积和向量积求解向量的模和夹角。

假设有两个向量a = (3, 4)和b = (2, 6)，我们要求解它们的模和夹角。

平面向量的模与夹角

平面向量的模与夹角平面向量是学习高中数学中的一个重要内容，它的模和夹角是基本概念之一。

在这篇文章中，我们将详细讨论平面向量的模与夹角。

一、平面向量的模平面向量的模表示向量的大小，也可以看作是从原点到向量终点的距离。

对于平面上的向量v = (a, b)，其模记作|v|，可以通过勾股定理计算得到：|v| = √(a² + b²)例如，对于向量v = (3, 4)，可以计算得到|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5。

在计算向量模的过程中，我们需要注意向量的方向，并且模是非负的。

二、平面向量的夹角平面向量的夹角表示两个向量之间的夹角大小。

夹角可以使用点积或坐标法来进行计算。

1. 点积法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。

根据点积的公式，可以得到两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = (x₁*x₂ + y₁*y₂) / (|u| * |v|)2. 坐标法设有两个非零向量u = (x₁, y₁)和v = (x₂, y₂)。

可以使用向量的内积公式，计算两个向量的夹角θ的余弦值为：cosθ = ((x₁, y₁)·(x₂, y₂)) / (|u| * |v|)这两种方法在计算时都需要注意向量的方向，并且返回的结果是夹角的余弦值，如果需要获得夹角的度数，可以使用反余弦函数进行进一步计算。

三、平面向量的相关性质除了模和夹角，平面向量还具有一些相关性质，如平移、伸缩和旋转等。

1. 平移对于平面上的向量u = (x, y)，如果将其起点平移至新的位置(α, β)，则得到的新向量v的坐标为v = (x-α, y-β)。

平移后向量的模和夹角不变。

2. 伸缩对于平面上的向量u = (x, y)和实数k，将向量u的长度伸缩k倍，则得到的新向量v的坐标为v = (kx, ky)。

伸缩后向量的模变为原来的k 倍，夹角不变。

数学计算平面向量的模长和夹角

数学计算平面向量的模长和夹角教案：数学计算平面向量的模长和夹角1. 概述数学中，平面向量是一个有大小和方向的量。

为了计算平面向量的性质和应用，我们需要掌握计算平面向量的模长和夹角的方法。

2. 模长的计算2.1 定义平面向量的模长，也称为矢量的长度，表示该向量的大小。

2.2 计算方法对于平面向量【AB】，其模长计算公式为：|【AB】| = √(x2 - x1)² + (y2 - y1)²2.3 示例例：计算向量【AB】的模长，其中A(3, 4)和B(7, 9)。

解：|【AB】| = √(7 - 3)² + (9 - 4)²= √16 + 25= √413. 夹角的计算3.1 定义平面向量的夹角，表示两个向量之间的角度。

3.2 计算方法对于平面向量【AB】和【CD】，其夹角计算公式为：cosθ = (【AB】·【CD】) / (|【AB】| × |【CD】|)3.3 弧度和角度转换夹角的计算结果一般以弧度表示，我们可以使用弧度和角度之间的转换公式进行转换。

3.4 示例例：计算向量【AB】和【CD】的夹角，其中A(3, 4)、B(7, 9)、C(-1, 2)和D(5, -3)。

解：|【AB】| = √41|【CD】| = √65【AB】·【CD】 = (7 - 3)(5 + 3) + (9 - 4)(-3 - 2) = 16 - 25 = -9cosθ = -9 / (√41 × √65)θ ≈ acos(cosθ)4. 总结本教案介绍了平面向量的模长和夹角的计算方法。

通过掌握这些方法，我们能够更准确地计算平面向量的性质和应用。

在实际应用中，我们可以将这些方法应用于各种数学问题和实际生活中的应用场景。

5. 扩展任务5.1 提供更多向量的计算示例，帮助学生进一步巩固。

5.2 引导学生应用向量的模长和夹角的概念解决一些实际问题，提高学生的实践能力。

平面向量的模长与夹角

平面向量的模长与夹角一、引言平面向量是数学中的一个重要概念，它可以描述平面上的位移、力的作用方向等。

在平面向量的运算中，模长和夹角是两个基本概念。

本文将讨论平面向量的模长和夹角的性质及其计算方法。

二、平面向量的模长在平面直角坐标系中，给定一个平面向量\[ \vec{a}=(a_x, a_y) \]，其中\( a_x \)和\( a_y \)分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

则该向量的模长可以通过勾股定理计算得到：\[ |\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2} \]三、平面向量的夹角平面向量的夹角指的是两个向量之间的夹角。

对于两个非零向量\[ \vec{a} \]和\[ \vec{b} \]，它们的夹角可以通过如下公式计算：\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} \]其中，\( \theta \)表示向量的夹角，\( \vec{a} \cdot \vec{b} \)表示两个向量的数量积，也称为点积。

四、平面向量模长的性质1. 非负性：向量的模长永远大于等于0，即\( |\vec{a}| \geq 0 \)，且只有当向量为零向量时，模长为0。

2. 线性：向量的模长与其放缩成一个倍数后的模长成正比，即对于任意实数\( k \)，有\( |k\vec{a}| = |k| \cdot |\vec{a}| \)。

3. 三角不等式：对于任意两个向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)，有\( |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}| \)。

五、平面向量夹角的性质1. 夹角的范围：向量的夹角的范围在0到180度之间。

2. 平行向量：如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们是平行向量。

当且仅当两个向量的数量积等于零时，它们是互相垂直的。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标表示进行向量数量积的运算.2.能根据向量的坐标计算向量的模，并推导平面内两点间的距离公式.3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直．知识点一平面向量数量积的坐标表示设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.知识点二平面向量模的坐标形式及两点间的距离公式知识点三平面向量夹角的坐标表示cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.思考若两个非零向量的夹角满足cos θ<0，则两向量的夹角θ一定是钝角吗？答案不一定，当cos θ<0时，两向量的夹角θ可能是钝角，也可能是180°.1．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1y2－x2y1＝0.(×)2．若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0，则两向量的夹角θ一定是锐角．(×)提示当两向量同向共线时，cos θ＝1>0，但夹角θ＝0，不是锐角．3．两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，满足x1y2－x2y1＝0，则向量a与b的夹角为0°.(×)题型一数量积的坐标运算例1(1)已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于()A．10 B．－10C．3 D．－3考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 B解析 a ＋2b ＝(4，－3)，a －3b ＝(－1,2)，所以(a ＋2b )·(a －3b )＝4×(－1)＋(－3)×2＝－10. (2)如图所示，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，则AE →·BE →的值是________．考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案329解析以A 为原点，AB 所在直线为x 轴、AD 所在直线为y 轴建立如图所示平面直角坐标系．∵AB ＝2，BC ＝2，∴A (0,0)，B (2，0)，C (2，2)，D (0,2)， ∵点E 在边CD 上，且DE →＝2EC →，∴E ⎝⎛⎭⎫223，2.∴AE →＝⎝⎛⎭⎫223，2，BE →＝⎝⎛⎭⎫－23，2， ∴AE →·BE →＝－49＋4＝329.反思感悟数量积坐标运算的技巧(1)进行数量积运算时，要正确使用公式a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系： ①|a |2＝a ·a .②(a ＋b )·(a －b )＝|a |2－|b |2. ③(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.(2)在平面几何图形中求数量积，若几何图形规则易建系，可先建立坐标系，写出相关向量的坐标，再求数量积．跟踪训练1 向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 C解析因为a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，所以2a ＋b ＝2(1，－1)＋(－1,2)＝(1,0)，则(2a ＋b )·a ＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C. 题型二平面向量的模例2 已知平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)． (1)求a －2b 及其模的大小； (2)若c ＝a －(a ·b )b ，求|c |.考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模解 (1)∵a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，∴a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(3＋4,5－2)＝(7,3)， ∴|a －2b |＝72＋32＝58.(2)∵a ·b ＝－6＋5＝－1， ∴c ＝a ＋b ＝(1,6)， ∴|c |＝12＋62＝37.反思感悟求向量a ＝(x ，y )的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应用公式a 2＝|a|2＝x 2＋y 2，求模时，勿忘记开方． (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2＝x 2＋y 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．跟踪训练2 已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( ) A. 5 B.10 C ．5 D ．25 考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵a ＝(2,1)，∴a 2＝5，又|a ＋b |＝52，∴(a ＋b )2＝50，即a 2＋2a ·b ＋b 2＝50，∴5＋2×10＋b 2＝50，∴b 2＝25，∴|b |＝5.题型三平面向量的夹角与垂直问题命题角度1 向量的夹角例3 已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，O (0,0)，若|OA →＋OC →|＝13，α∈(0，π)，则OB →，OC →的夹角为( ) A.π2 B.π4 C.π3 D.π6考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案 D解析因为|OA →＋OC →|2＝(OA →＋OC →)2＝OA →2＋2OA →·OC →＋OC →2＝9＋6cos α＋1＝13，所以cos α＝12，因为α∈(0，π)，所以α＝π3，所以C ⎝⎛⎭⎫12，32，所以cos 〈OB →，OC →〉＝OB →·OC →|OB →||OC →|＝3×323×1＝32，因为0≤〈OB →，OC →〉≤π，所以〈OB →，OC →〉＝π6，所以OB →，OC →的夹角为π6，故选D.反思感悟利用向量的数量积求两向量夹角的一般步骤 (1)利用向量的坐标求出这两个向量的数量积． (2)利用|a |＝x 2＋y 2求两向量的模．(3)代入夹角公式求cos θ，并根据θ的范围确定θ的值．跟踪训练3 已知a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，求λ的取值范围．考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数解 ∵a ＝(1，－1)，b ＝(λ，1)， ∴|a |＝2，|b |＝1＋λ2，a ·b ＝λ－1.又∵a ，b 的夹角α为钝角，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ－1<0，2·1＋λ2≠1－λ，即⎩⎪⎨⎪⎧λ<1，λ2＋2λ＋1≠0.∴λ<1且λ≠－1.∴λ的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,1)．命题角度2 向量的垂直例4 在△ABC 中，AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )，若△ABC 是直角三角形，求k 的值．考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数解 ∵AB →＝(2,3)，AC →＝(1，k )， ∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，k －3)．若∠A ＝90°，则AB →·AC →＝2×1＋3×k ＝0，∴k ＝－23；若∠B ＝90°，则AB →·BC →＝2×(－1)＋3(k －3)＝0，∴k ＝113；若∠C ＝90°，则AC →·BC →＝1×(－1)＋k (k －3)＝0， ∴k ＝3±132.故所求k 的值为－23或113或3±132.反思感悟利用向量数量积的坐标表示解决垂直问题的实质是把垂直条件代数化，若在关于三角形的问题中，未明确哪个角是直角时，要分类讨论．跟踪训练4 已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，若向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A.17 B ．－17 C.16 D ．－16考点向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案 B解析由向量λa ＋b 与a －2b 垂直，得 (λa ＋b )·(a －2b )＝0.因为a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，所以(－3λ－1,2λ)·(－1,2)＝0，即3λ＋1＋4λ＝0，解得λ＝－17.向量的坐标在解三角形中的应用典例如图，已知△ABC 的面积为32，AB ＝2，AB →·BC →＝1，求边AC 的长．解以点A 为坐标原点，AB →为x 轴正方向建立平面直角坐标系，设点C 的坐标为(x ，y )(y >0)， ∵AB ＝2，∴点B 的坐标是(2,0)， ∴AB →＝(2,0)，BC →＝(x －2，y )． ∵AB →·BC →＝1，∴2(x －2)＝1，解得x ＝52.又S △ABC ＝32，∴12·|AB |·y ＝32，∴y ＝32，∴C 点坐标为⎝⎛⎭⎫52，32，则AC →＝⎝⎛⎭⎫52，32， ∴|AC →|＝⎝⎛⎭⎫522＋⎝⎛⎭⎫322＝342，故边AC 的长为342. [素养评析] 本题通过建立直角坐标系，从而建立形与数的联系．利用平面向量的坐标解决线段的长度问题，提升了学生数形结合的能力，培养了学生数学运算及直观想象的数学核心素养．1．已知a ＝(3,4)，b ＝(5,12)，则a 与b 夹角的余弦值为( ) A.6365 B.65 C.135D.13 考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案 A 解析 |a |＝32＋42＝5，|b |＝52＋122＝13.a·b ＝3×5＋4×12＝63.设a ，b 夹角为θ，所以cos θ＝635×13＝6365.2．若向量a ＝(x ,2)，b ＝(－1,3)，a·b ＝3，则x 等于( ) A ．3 B ．－3 C.53 D ．－53考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求参数答案 A解析 a·b ＝－x ＋6＝3，故x ＝3.3．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ等于( )A ．－4B ．－3C ．－2D ．－1考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数答案 B解析因为m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，由(m ＋n )⊥(m －n )，可得(m ＋n )·(m －n )＝(2λ＋3,3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.4．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝35，则b 等于( )A ．(－3,6)B ．(3，－6)C ．(6，－3)D ．(－6,3)考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点平面向量模与夹角的坐标表示的综合应用答案 A解析由题意设b ＝λa ＝(λ，－2λ)(λ<0)，则|b |＝λ2＋(－2λ)2＝5|λ|＝35，又λ<0，∴λ＝－3，故b ＝(－3,6)．5．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．求证：AB ⊥AD .证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．又∵AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)．(1)求a 与b 的夹角的余弦值；(2)若(a －λb )⊥(2a ＋b )，求实数λ的值．考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点已知向量垂直求参数解 (1)∵a ·b ＝4×(－1)＋3×2＝2，|a |＝42＋32＝5，|b |＝(－1)2＋22＝5，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝255＝2525. (2)∵a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，2a ＋b ＝(7,8)，(a －λb )⊥(2a ＋b )，∴(a －λb )·(2a ＋b )＝7(4＋λ)＋8(3－2λ)＝0，∴λ＝529.1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径，根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆，可以对比学习、记忆．若两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0，a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时，向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”而忽视“两向量夹角”的范围，稍不注意就会带来失误与错误.一、选择题1．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1，－2)，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点求坐标形式下的向量的夹角答案 B解析 ∵|a |＝10，|b |＝5，a ·b ＝5.∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝510×5＝22.又∵a ，b 的夹角范围为[0，π]．∴a 与b 的夹角为π4.2．设向量a ＝(2,0)，b ＝(1,1)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a·b ＝0C ．a ∥bD ．(a －b )⊥b考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点向量垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析 a －b ＝(1，－1)，所以(a －b )·b ＝1－1＝0，所以(a －b )⊥b .3．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为() A. 3 B ．3 C ．－ 3 D ．－3考点平面向量投影的坐标表示与应用题点平面向量投影的坐标表示与应用答案 D解析向量a 在b 方向上的投影为a·b |b|＝－62＝－3.故选D. 4．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于( )A ．1 B. 2 C ．2 D ．4考点平面向量模与夹角的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析 ∵(2a －b )·b ＝2a ·b －|b |2＝2(－1＋n 2)－(1＋n 2)＝n 2－3＝0，∴n 2＝3，∴|a |＝12＋n 2＝2.5．若a ＝(2，－3)，则与向量a 垂直的单位向量的坐标为() A ．(3,2)B.⎝⎛⎭⎫31313，21313C.⎝⎛⎭⎫31313，21313或⎝⎛⎭⎫－31313，－21313D ．以上都不对考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点向量垂直的坐标表示的综合应用答案 C解析设与a 垂直单位向量的坐标为(x ，y )，∵(x ，y )是单位向量的坐标形式，∴x 2＋y 2＝1，即x 2＋y 2＝1，①又∵(x ，y )表示的向量垂直于a ，∴2x －3y ＝0，②由①②得⎩⎨⎧ x ＝31313，y ＝21313或⎩⎨⎧ x ＝－31313，y ＝－21313.6．已知a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)，且k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，则k 等于( )A ．－1＋ 3B ．－2C ．－1±3D ．1考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析 ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝12＋(－1)2＝2，∴(k a －b )·(a ＋b )＝(k ，k ＋2)·(1，－1)＝k －k －2＝－2，又k a －b 与a ＋b 的夹角为120°，∴cos 120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b ||a ＋b |，即－12＝－22×k 2＋(k ＋2)2，化简并整理，得k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.7．已知OA →＝(－2,1)，OB →＝(0,2)且AC →∥OB →，BC →⊥AB →，则点C 的坐标是( )A ．(2,6)B ．(－2，－6)C ．(2，－6)D ．(－2,6)考点向量平行与垂直的坐标表示与应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用答案 D解析设C (x ，y )，则AC →＝(x ＋2，y －1)，BC →＝(x ，y －2)，AB →＝(2,1)，∵AC →∥OB →，∴2(x ＋2)＝0，①∵BC →⊥AB →，∴2x ＋y －2＝0，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝6，∴C (－2,6)． 8．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，m )，其中m 为实数，则当a 与b 的夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12内变动时，实数m 的取值范围是( )A ．(0,1)B.⎝⎛⎭⎫33，3C.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3) D ．(1，3)考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点已知坐标形式下的向量夹角求参数答案 C解析如图，作OA →＝a ，则A (1,1)．作OB 1→，OB 2→，使∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，则∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6， ∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)．又a 与b 的夹角不为0，故m ≠1.由图可知实数m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)．二、填空题9．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝________.考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案 1解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.10．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.考点平面向量模的坐标表示与应用题点利用坐标求向量的模答案 8 2解析由题意可得a·b ＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c ＝a －(a ·b )b ＝a ＋6b ＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋(－8)2＝8 2.11．设m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定两向量m ，n 之间的一个运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，ad ＋bc )，若已知p ＝(1,2)，p ⊗q ＝(－4，－3)，则q 的坐标为________．考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点已知数量积求向量的坐标答案 (－2,1)解析设q ＝(x ，y )，则p ⊗q ＝(x －2y ，y ＋2x )＝(－4，－3)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＝－4，y ＋2x ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴q ＝(－2,1)． 12．已知向量OA →＝(1,7)，OB →＝(5,1)(O 为坐标原点)，设M 为直线y ＝12x 上的一点，那么MA →·MB →的最小值是________．考点平面向量数量积的坐标表示与应用题点坐标形式下的数量积运算答案－8解析设M ⎝⎛⎭⎫x ，12x ，则MA →＝⎝⎛⎭⎫1－x ，7－12x ，MB →＝⎝⎛⎭⎫5－x ，1－12x ， MA →·MB →＝(1－x )(5－x )＋⎝⎛⎭⎫7－12x ⎝⎛⎭⎫1－12x ＝54(x －4)2－8. 所以当x ＝4时，MA →·MB →取得最小值－8.三、解答题13．(2018·安徽芜湖质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)．(1)设c ＝4a ＋b ，求(b ·c )a ；(2)若a ＋λb 与a 垂直，求λ的值．考点平面向量平行与垂直的坐标表示与应用题点向量平行与垂直的坐标表示的综合应用解 (1)∵c ＝4(1,2)＋(2，－2)＝(6,6)，∴b ·c ＝(2，－2)·(6,6)＝2×6－2×6＝0，∴(b ·c )a ＝0·a ＝0.(2)∵a ＋λb ＝(1,2)＋λ(2，－2)＝(1＋2λ，2－2λ)，(a ＋λb )⊥a ，∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝52.14．已知OA →＝(4,0)，OB →＝(2,23)，OC →＝(1－λ)OA →＋λOB →(λ2≠λ)． (1)求OA →·OB →及OA →在OB →上的投影；(2)证明A ，B ，C 三点共线，且当AB →＝BC →时，求λ的值；(3)求|OC →|的最小值．考点平面向量夹角的坐标表示与应用题点平面向量模的坐标表示的综合应用解 (1)OA →·OB →＝8，设OA →与OB →的夹角为θ，则cos θ＝OA →·OB →|OA →||OB →|＝84×4＝12， ∴OA →在OB →上的投影为|OA →|cos θ＝4×12＝2. (2)AB →＝OB →－OA →＝(－2,23)，BC →＝OC →－OB →＝(1－λ)OA →－(1－λ)OB →＝(λ－1)AB →，又因为BC →与AB →有公共点B ，所以A ，B ，C 三点共线．当AB →＝BC →时，λ－1＝1，所以λ＝2.(3)|OC →|2＝(1－λ)2OA →2＋2λ(1－λ)OA →·OB →＋λ2OB →2＝16λ2－16λ＋16＝16⎝⎛⎭⎫λ－122＋12， ∴当λ＝12时，|OC →|取最小值2 3.。

平面向量数量积的坐标表示、模和夹角

目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向，易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。

高中数学公式大全平面向量的模长与夹角

高中数学公式大全平面向量的模长与夹角高中数学公式大全：平面向量的模长与夹角一、平面向量的模长平面向量的模长是指一个向量的长度或者大小，通常用符号 ||AB||来表示。

1. 对于一个平面向量 AB = (x, y)，其模长可以通过勾股定理来计算：||AB|| = √(x² + y²)2. 对于两点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂) 之间的向量 AB，可以使用坐标差的形式计算其模长：||AB|| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)3. 若已知平面向量 AB 的终点坐标为 B(x, y)，则可以使用坐标点的形式计算其模长：||AB|| = √(x² + y²)二、平面向量的夹角平面向量间的夹角是指两个向量之间的夹角大小，通常用符号∠α来表示。

在计算平面向量的夹角时，我们可以使用向量的点积或者向量的叉积来求解。

1. 向量的点积对于两个非零向量 A 和 B，它们的夹角θ 可以通过以下公式计算：cosθ = (A·B) / (||A|| * ||B||)其中，A·B 表示向量 A 和向量 B 的点积（数量积），||A|| 和 ||B||表示向量 A 和向量 B 的模长。

通过余弦值可以计算出夹角θ：θ = cos⁻¹[(A·B) / (||A|| * ||B||)]2. 向量的叉积对于两个非零向量 A 和 B，它们的夹角θ 可以通过以下公式计算：sinθ = (A×B) / (||A|| * ||B||)其中，A×B 表示向量 A 和向量 B 的叉积（矢量积），||A|| 和 ||B||表示向量 A 和向量 B 的模长。

通过正弦值可以计算出夹角θ：θ = sin⁻¹[(A×B) / (||A|| * ||B||)]以上是关于高中数学中平面向量的模长和夹角的公式展示，这些公式可以帮助你在解题过程中进行计算和推导。

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

平面向量数量积的坐标表示、模、夹角、教学分析平面向量的数量积，教材将其分为两部分.在第一部分向量的数量积中,首先研究平面向量所成的角，其次，介绍了向量数量积的定义，最后研究了向量数量积的基本运算法则和基本结论；在第二部分平面向量数量积的坐标表示中，在平面向量数量积的坐标表示的基础上，利用数量积的坐标表示研讨了平面向量所成角的计算方式，得到了两向量垂直的判定方法,本节是平面向量数量积的第二部分.前面我们学习了平面向量的数量积以及平面向量的坐标表示•那么在有了平面向量的坐标表示以及坐标运算的经验和引进平面向量的数量积后，就顺其自然地要考虑到平面向量的数量积是否也能用坐标表示的问题.另一方面，由于平面向量数量积涉及了向量的模、夹角，因此在实现向量数量积的坐标表示后，向量的模、夹角也都可以与向量的坐标联系起来.利用平面向量的坐标表示和坐标运算，结合平面向量与平面向量数量积的关系来推导出平面向量数量积以及向量的模、夹角的坐标表示教师应在坐标基底向量的数量积的基础上,推导向量数量积的坐标表示.通过例题分析、课堂训练，让学生总结归纳出对于向量的坐标、数量积、向量所成角及模等几个因素，知道其中一些因素，求出其他因素基本题型的求解方法.平面向量数量积的坐标表示是在学生学习了平面向量的坐标表示和平面向量数量积的基础上进一步学习的，这都为数量积的坐标表示奠定了知识和方法基二、教学目标1知识与技能:掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算;能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

2、过程与方法:通过用坐标表示平面向量数量积的有关运算，揭示几何图形与代数运算之间的内在联系，明确数学是研究数与形有机结合的学科。

3、情感态度与价值观:能用所学知识解决有关综合问题。

三、重点难点教学重点:平面向量数量积的坐标表示.教学难点:向量数量积的坐标表示的应用四、教学设想（一）导入新课思路1.平面向量的表示方法有几何法和坐标法，向量的表示形式不同，对其运算的表示方式也会改变.向量的坐标表示，为我们解决有关向量的加、减、数乘运算带来了极大的方便.上一节，我们最新高一数学优质学案(附经典解析)学习了平面向量的数量积,那么向量的坐标表示，对平面向量的数量积的表示方式又会带来哪些变化呢？由此直接进入主题两个平面向量共线的条件也可以用坐标运算的形式刻画出来么学习了平面向量的数量积之后，它能否用坐标来表示？若能，如何通过坐标来实现呢？平面向量的数量积还会是一个有序实数对吗？同时，平面向量的模、夹角又该如何用坐标来表示呢？通过回顾两个向量的数量积的定义和向量的坐标表示，在此基础上引导学生推导、探索平面向量数量积的坐标表示 (二) 推进新课、新知探究、提出问题① 平面向量的数量积能否用坐标表示② 已知两个非零向量 a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),怎样用a 与b 的坐标表示a b 呢？③ 怎样用向量的坐标表示两个平面向量垂直的条件?④ 你能否根据所学知识推导出向量的长度、距离和夹角公式？活动:教师引导学生利用前面所学知识对问题进行推导和探究 .前面学习了向量的坐标可以用平面直角坐标系中的有序实数对来表示,而且我们也知道了向量的加、减以及实数与向量积的线性运算都可以用坐标来表示.两个向量共线时它们对应的坐标也具备某种关系，那么我们就自然而然地想到既然向量具有数量积的思路2•在平面直角坐标系中，平面向量可以用有序实数对来表示，那最新高一数学优质学案（附经典解析）运算关系，这种运算关系能否用向量的坐标来表示呢？教师提示学生在向量坐标表示的基础上结合向量的坐标运算进行推导数量积的坐标表示.教师可以组织学生到黑板上板书推导过程，教师给予必要的提示和补充•推导过程如下:a=x i i +y i j,b=x2 i +y2j,••• a b=(x i i +y i j) (x2 i +y2j)=X i X2 i 2+X i y2 i j・+X2y i i j+y i yf.又Ti i =1,j j-=1, i j=j i =0,a b=X i X2+y i y2.教师给出结论性的总结，由此可归纳如下:1°平面向量数量积的坐标表示两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和即a=(X i,y i),b=(X2,y2),贝y a b=X i X2+y i y2.2°向量模的坐标表示若a=(X,y),则| a| 2=X2+y2,或| a|= J x2 y2如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为（x i,y i）、（X2,y2）,那么I 2 2a=(X2-x i,y2-y i),| a|= U(X2 x」皿 y i)-3°两向量垂直的坐标表示设a=(X i,y i),b=(X2,y2),则a 丄b X i X2+y i y2=0.4 °两向量夹角的坐标表示设a 、b 都是非零向量，a=(X i ,y i ),b=(X 2,y 2),是a 与b 的夹角，根据向量数量积的定义及坐标表示，可得cos 0=a ?b --------------------------- L|a||b| J x ； y ； ? J X i讨论结果:略.(三) 应用示例例1已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5)试判断△ABC 的形状,并给出证明.活动:教师引导学生利用向量数量积的坐标运算来解决平面图形的形状问题•判断平面图形的形状，特别是三角形的形状时主要看边长是否相等，角是否为直角.可先作出草图，进行直观判定，再去证明•在证明中若平面图形中有两个边所在的向量共线或者模相等，则此平面图形与平行四边形有关；若三角形的两条边所在的向量模相等或者由两边所在向量的数量积为零，则此三角形为等腰三角形或者为直角三角形.教师可以让学生多总结几种判断平面图形形状的方法.解:在平面直角坐标系中标出A(1,2),B(2,3),C(-2,5三点，我们发现AABC 是直角三角形.下面给出证明.V AB =(2-1,3-2)=(1,1),AC =(-2-1,5-2)=(-3,3), 二 AB -A C =1 X (-3)+1 X 3=0.x i X 2 y y 2y 2AB丄AC.•••△ ABC是直角三角形.点评:本题考查的是向量数量积的应用，利用向量垂直的条件和模长公式来判断三角形的形状.当给出要判定的三角形的顶点坐标时，首先要作出草图，得到直观判定，然后对你的结论给出充分的证明.变式训练在△ABC中,A B =(2,3),AC =(1,k),且△ABC的一个内角为直角，求k的解:由于题设中未指明哪一个角为直角，故需分别讨论.若/ A=90°,则AB 丄AC,所以AB AC=0. 于是2X 1+3k=0故k=；.3同理可求若/ B=90°时,k的值为口；3 若/ C=90°时,k的值为Md.I故所求k的值为I或号或弓13例2 (1)已知三点A(2,-2),B(5,1),C(1,4)求/ BAC的余弦值；⑵a=(3,0),b=(-5,5),求 a 与 b 的夹角.活动:教师让学生利用向量的坐标运算求出两向量a=(x i,y i)与b=(X2,y2)的数量积 a b=x i X2+y i y2 和模I a l= J x：y：,| b|= J x；y；的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值，即cos 9詁菽r y hJ x F y.当求出两向量夹角的余弦值后再求两向量的夹角大小时，需注意两向量夹角的范围是0W9諾n生在解这方面的题目时需要把向量的坐标表示清楚，以免出现不必要的错误.解：(1)AB =(5,1)-(2,-2)=(3,3), XC =(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AB -A C =3X (-1)+3 X 6=15.又T | A B|=J32 32=3逅,| AC |= J( 1)2 62=后,.看BAC號缶7警(2)a b=3X (-5)+0 X 5=01|§3，| b|=52.设a与b的夹角为9则cos 9昴出T又；0"9"n9 =点评:本题考查的是利用向量的坐标表示来求两向量的夹角.利用基本公式进行运算与求解主要是对基础知识的巩固与提高变式训练设a=(5,-7),b=(-6,-4),求a b及a、b间的夹角9精确到1°解:a b=5X (-6)+(-7) X (-4)=-30+28=-2.| a|=』52 ( 7)2莎,| b|= 6)2( 4)2V52由计算器得cos 9=r^ F.03.利用计算器中得9-92°.例3已知| a|=3, b=(2,3),试分别解答下面两个问题:(1)若 a 丄 b,求 a;(2)若 a // b,求 a.活动:对平面中的两向量a=(x i ,y i )与b=(x 2,y 2),要让学生在应用中深刻领悟其本质属性，向量垂直的坐标表示 X i X 2+y i y 2=0与向量共线的坐标表示X i y 2-X 2y i =0很容易混淆, 应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，两向量垂直是ab=0,而共线是方向相同或相反.教师可多加强反例练习，多给出这两种类型的同式变形训练解:(1)设 a=(x,y),由I a|=3 且 a 丄b,2 2 [ [2 c得 X y |a| 9,2X 3X 0,X —殒解得 13y — v Ts 13 二a=( 2、唸2届)或a=2屁，色后.13 13 13 13 ⑵设 a=(x,y),由 | a|=3 且 a / b,得X 2 y 2 |a|2 9,3X 2y 0.X 5 解得13 或 y 2品13 --a=(—^13, ■— ^13 )或a=( ~6胡3, "9^/13).13 13 13 13点评:本题主要考查学生对公式的掌握情况，学生能熟练运用两向量的坐标运算来判断垂直或者共线，也能熟练地进行公式的逆用 513 13 5 1313最新高一数学优质学案（附经典解析）利用已知关系来求向量的坐标.变式训练求证一次函数y=2x-3的图象（直线l i）与一次函数y= ^x的图象（直线12）互相垂直.解:在l i：y=2x-3中，令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在1i上取两点A(1,-1),B(2,1).同理,在直线l2上取两点C（-2,1）,D（-4,2）于是:AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1, 2),CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).由向量的数量积的坐标表示，可得A B CD =1X（-2）+1 X 2=0,A B丄CD ,即h 丄l2.（四）课堂小结1.在知识层面上，先引导学生归纳平面向量数量积的坐标表示，向量的模，两向量的夹角，向量垂直的条件.其次引导学生总结数量积的坐标运算规律，夹角和距离公式、两向量垂直的坐标表2.在思想方法上，教师与学生一起回顾探索过程中用到的思维方法和数学思想方法，定义法,待定系数法等.（五）作业最新高一数学优质学案（附经典解析）。

2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

7a 2b 垂直，求 a 与 b 的夹角。
例4：已知 a 、b 是非零向量，且
a b a b ，求 a 与 a b 的夹
角。
例5：已知△ ABC 中，
2
AB AB AC BA BC CACB 判断△ ABC 的形状。
例6：求证：
ac bd 2 a2 b2 c2 d 2
设 a a1,a2 b b1,b2 则
① a b a1 b1 a2 b2 ② a b a b a1 b1 a2 b2 0
③ a a12 a22
cos a, b a b a1 b1 a2 b2
ab
a12 a22 b12 b22
② aa a2或 a aa
③
ab cos a, b
量数量积的运算律：
① ab ba ② (a b) c a c b c ③ (a b) (a) b a (b)
4、向量数量积的坐标运算及度量公式：
④ 设 Ax1, y1 B x2, y2 则 AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
例1：已知 a 4 b 5
当 ① a∥b ② a b ③ a 与 b 的夹角为 300 时，分别求 a 与 b 的数量积。
主讲：南平高级中学胡敬衡
复习:
1、定义：已知两个向量 a 和 b ，
它们的夹角为，我们把 a b cos
叫作 a 与 b 的数量积（或内积）记
作 a b 即 a b a b cos
（其中 00 1800 ）。
2、向量数量积的性质：

几何练习计算向量的模长和夹角

几何练习计算向量的模长和夹角几何练习：计算向量的模长和夹角在几何学中，向量是一种具有大小和方向的数学对象。

计算向量的模长和夹角是研究向量性质的重要内容。

在本文中，我们将介绍如何计算向量的模长和夹角，并提供相关的几何练习。

一、计算向量的模长向量的模长即向量的长度，表示向量的大小。

对于二维平面上的向量a(a₁, a₂)，其模长记作│a│，可以通过以下公式进行计算：│a│ = √(a₁² + a₂²)在三维空间中，向量a(a₁, a₂, a₃)的模长记作│a│，可以通过以下公式计算：│a│ = √(a₁² + a₂² + a₃²)请用上述公式计算以下向量的模长：1. 向量a(3, 4)2. 向量a(-2, 5, 7)3. 向量a(-1, -2, -3, -4)二、计算向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。

对于二维平面上的两个向量a和a，它们夹角的余弦值可以通过以下公式计算：cos(a) = (a₁a₁ + a₂a₂) / (│a││a│)其中a表示a和a之间的夹角。

通过求反余弦即可得到夹角的大小。

在三维空间中，两个向量a和a之间的夹角的余弦值可以通过以下公式计算：cos(a) = (a₁a₁ + a₂a₂ + a₃a₃) / (│a││a│)请用上述公式计算以下向量之间的夹角并写出其大小（结果保留两位小数）：1. 向量a(3, 4)和向量a(5, 2)2. 向量a(-1, 2, 4)和向量a(2, 3, -1)3. 向量a(√3, √3, √3)和向量a(-2, -2, -2)三、几何练习1. 已知向量a(2, 1)和向量a(-1, 3)，求向量a和向量a的模长之和。

2. 已知向量a(4, -3, 1)和向量a(-2, 5, -2)，求向量a和向量a的夹角的余弦值。

3. 某平面上有三个点a(1, 2)，a(3, 4)和a(5, 6)，求向量aa和向量aa的夹角的大小。

平面向量概念的要素

平面向量概念的要素平面向量是数学中的一个重要概念，它是指在平面上有大小和方向的箭头，通常用有向线段来表示。

平面向量具有以下几个要素。

1. 大小（模）：平面向量的大小也称为模，表示向量的长度。

通常用AB 或AB 表示，其中A、B 分别为向量的起点和终点。

大小可以是非负实数，即向量的长度不会为负数，只能为零或者正数。

2. 方向：平面向量的方向是指向量所在的直线方向。

通常可以用与向量平行的直线来表示其方向，这些直线上任意一点都可以作为向量的起点。

同一方向的向量可以得到相同的方向直线。

3. 坐标：平面向量可以用坐标来表示。

在直角坐标系中，平面向量的坐标是指向量终点的坐标减去向量起点的坐标所得到的差值。

一般用有序实数对表示，如(x, y)。

4. 平移：平面向量可以进行平移操作，即向量沿着某个方向平移一段距离。

平移不会改变向量的大小和方向，只会改变向量的起点和终点的位置。

5. 加减运算：平面向量之间可以进行加减运算，既可以对同一方向的向量进行运算，也可以对不同方向的向量进行运算。

向量的加法满足交换律和结合律，即A+B=B+A 和(A+B)+C=A+(B+C)。

6. 数乘：平面向量可以与实数进行数乘运算，即将向量的模与实数相乘，得到新的向量。

数乘可以改变向量的大小和方向，当实数为正时，数乘会使向量增长；当实数为负时，数乘会使向量反向。

7. 内积：平面向量之间可以进行内积运算，也称为点乘或数量积。

内积的结果是一个实数，表示两个向量之间的夹角的余弦值乘以两个向量的模的积。

内积还可以用向量的坐标表示成x1*x2 + y1*y2，其中(x1, y1) 和(x2, y2) 分别是两个向量的坐标。

8. 夹角：平面向量之间可以有夹角的概念。

夹角是指两个向量之间的角度，可以通过内积的计算得到。

夹角的度数范围是[0, 180]，其中0 表示两个向量重合，180 表示两个向量方向相反。

平面向量在数学中有着广泛的应用，例如在几何中用于描述线段、直线、三角形等的性质，还用于描述力、速度、加速度等物理量，以及在向量代数、线性代数中的运算等。

第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题

解题技巧如何巧妙解决平面向量的模长与夹角问题在数学学科中，平面向量的模长与夹角是一个经常出现的问题。

解决这类问题，需要掌握一些巧妙的技巧和方法。

本文将介绍一些解题技巧，以帮助读者更好地解决平面向量的模长与夹角问题。

一、平面向量的模长计算技巧在计算平面向量的模长时，一些特殊的技巧可以大大简化计算过程。

首先，对于平面上的向量A(x1, y1)和B(x2, y2)，其模长可以通过勾股定理来进行计算。

即模长|AB| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

通过这个公式，我们可以将平面上两点的坐标代入，得到向量的模长。

其次，如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们之间的距离，可以将两个向量相减，得到新的向量C(x2-x1, y2-y1)，然后计算向量C的模长。

即|AB| = |C| = √((x2-x1)² + (y2-y1)²)。

另外，如果两个向量的坐标给定为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们的模长平方和，可以使用平方差公式进行计算。

即|AB|² = (x2-x1)² + (y2-y1)²。

通过掌握这些计算技巧，我们可以更快速、准确地计算平面向量的模长。

二、平面向量的夹角计算技巧在计算平面向量的夹角时，可以运用一些几何和代数的技巧来解决。

首先，对于两个非零向量A和B，它们的夹角θ可以通过内积公式来计算。

即cosθ = (A·B) / (|A| |B|)，其中(A·B)表示向量A和B的内积，|A|和|B|分别表示向量A和B的模长。

通过这个公式，我们可以得到夹角θ的值。

其次，如果两个向量A和B的坐标分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)，我们要计算它们之间的夹角θ，可以通过求解方程来进行计算。

具体来说，在平面上建立两个以A和B为起点，长度分别为|A|和|B|的向量。

平面向量中夹角问题

平面向量中夹角问题本文将讨论平面向量中的夹角问题。

平面向量是在平面上具有大小和方向的量，可以用箭头表示。

两个平面向量的夹角可以通过向量的坐标形式或向量的数量积来计算。

坐标形式计算夹角设平面上有两个向量A和B，其坐标形式分别为A(x1, y1)和B(x2, y2)。

则通过求解向量A和B的数量积，可以计算出它们的夹角θ。

具体步骤如下：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = x1·x2 + y1·y2。

2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和 |B| = √(x2² + y2²)。

3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。

4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。

数量积计算夹角除了坐标形式，还可以使用向量的数量积来计算平面向量的夹角。

数量积的性质之一是：若两个向量的夹角为θ，则它们的数量积等于两个向量的模的乘积与夹角的余弦值的乘积，即A·B =|A|·|B|·cosθ。

根据这个性质可以得到以下计算夹角的公式：1. 计算向量A和B的数量积，公式为A·B = |A|·|B|·cosθ。

2. 计算向量A和B的模，公式为|A| = √(x1² + y1²) 和|B| = √(x2² + y2²)。

3. 计算夹角θ，公式为θ = arccos((A·B) / (|A|·|B|))。

4. 最后得到的夹角θ的单位是弧度，若需要转换成角度，则可以使用角度制和弧度制的换算公式进行转换。

以上就是平面向量中夹角问题的相关计算方法。

在应用中，根据实际情况选择合适的计算方法，可以更方便地求解平面向量的夹角。

平面向量的单位向量与夹角计算

平面向量的单位向量与夹角计算向量是数学中非常重要的概念，在平面几何和解析几何中都有广泛应用。

在平面向量的研究中，单位向量和夹角计算是两个基本的概念。

本文将针对这两个概念进行详细阐述和说明。

一、单位向量的定义和计算方法单位向量是向量的一种特殊形式，具有长度为1的性质。

任意非零向量a，若其长度为r，则单位向量可以表示为a/r。

即单位向量u=a/r。

下面介绍几种常见单位向量的计算方法。

1.1 直角坐标系下的单位向量在直角坐标系中，向量可以表示为坐标分量的形式。

若向量a的坐标分量为(a1, a2)，则单位向量u的计算公式为u=(a1/|a|, a2/|a|)，其中|a|表示向量a的长度。

1.2 极坐标系下的单位向量在极坐标系中，向量可以表示为极坐标形式的向量。

若向量a的极坐标形式为(a, θ)，则单位向量u的计算公式为u=(cosθ, sinθ)。

1.3 组合向量的单位向量在某些情况下，需要计算由两个或多个向量组合而成的向量的单位向量。

若向量a、向量b分别为要组合的向量，则组合向量的单位向量u的计算公式为u=(a+b)/|a+b|。

二、夹角的定义和计算方法夹角是指平面上两条射线之间的角度。

在向量的研究中，夹角的计算是一个重要的问题。

下面将介绍几种常见的夹角计算方法。

2.1 使用向量的点积计算夹角向量的点积运算可以得到两个向量的数量积，通过数量积的计算可以得到两个向量之间的夹角。

设向量a和向量b的夹角为θ，则夹角的计算公式为cosθ=a·b/|a||b|，其中·表示向量的点积运算。

2.2 使用向量的坐标分量计算夹角在直角坐标系下，向量可以表示为坐标分量的形式。

若向量a的坐标分量为(a1, a2)，向量b的坐标分量为(b1, b2)，则夹角的计算公式为cosθ=(a1b1+a2b2)/(|a||b|)。

2.3 使用向量的模长计算夹角如果只知道两个向量的模长，而不知道其坐标分量，则可以使用向量的模长计算夹角。

平面向量的坐标与向量的夹角

平面向量的坐标与向量的夹角平面向量是数学中的重要概念，用来表示有大小和方向的量。

在二维平面内，我们可以使用坐标系来表示平面向量的坐标，同时还可以通过计算得出向量之间的夹角。

本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及向量之间的夹角计算公式。

一、平面向量的坐标表示方法平面向量可以用一个有序数对来表示。

在二维直角坐标系中，我们通常使用两个实数表示一个平面向量的坐标。

假设有一个平面向量v，它的x轴坐标为x，y轴坐标为y，则可以表示为v=(x, y)。

对于平面向量的坐标表示，我们可以通过底边和高边的坐标差来计算。

假设有两个点A(x1, y1)和B(x2, y2)，则向量AB的坐标表示为v=(x2-x1, y2-y1)。

二、向量的夹角向量的夹角是描述向量之间夹角大小的概念。

对于平面中的两个向量v1=(x1, y1)和v2=(x2, y2)，它们的夹角可以通过以下公式计算得出：cosθ = (x1*x2 + y1*y2) / (|v1| * |v2|)其中θ表示向量v1和向量v2之间的夹角，|v1|和|v2|表示向量v1和v2的模（长度）。

通过夹角的计算公式，我们可以得知向量之间的夹角大小。

若夹角大于90度，则表示两个向量之间为钝角；若夹角等于90度，则表示两个向量之间为直角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间为锐角。

三、示例问题为了更好地理解平面向量的坐标和向量的夹角，我们来看一个示例问题。

问题：已知向量u=(3, 4)和向量v=(2, -1)，求两个向量之间的夹角。

解析：首先计算向量u和向量v的模（长度）：|u| = √(3^2 + 4^2) = √(9 + 16) = √25 = 5|v| = √(2^2 + (-1)^2) = √(4 + 1) = √5然后计算向量u和向量v的点积：u*v = (3*2 + 4*(-1)) = 6 - 4 = 2将计算结果代入夹角的计算公式：cosθ = (2) / (5 * √5)通过计算可得cosθ的值为2 / (5 * √5)。