平面向量的模与夹角

龙文教育一对一个性化辅导教案

高中的教案

平面向量的模与夹角

学习要点：

1、向量的坐标运算：设1122(,),(,)a x y b x y ==，则： （1）向量的加减法运算：12(a b x x ±=±，12)y y ±。 （2）实数与向量的积：()()1111,,a x y x y λλλλ==。

（3）若1122(,),(,)A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。

（4）平面向量数量积：1212a b x x y y •=+ （5）向量的模：2

22222||,||a x y a a x y =

+==+

2、平面向量的数量积：

（1）两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作,OA a OB b ==，AOB θ∠=()0θπ≤≤称为向量a ，

b 的夹角，当θ＝0时，a ，b 同向，当θ＝π时，a ，b 反向，当θ＝

2

π

时，a ，b 垂直。 （2）平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与

b 的数量积（或内积或点积），记作：a •b ，即a •b ＝cos a b θ。规定：零向量与任一向量的数量积

是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量。

（3）向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则：

①0a b a b ⊥⇔•=；

②当a ，b 同向时，a •b ＝a b ，特别地，2

2

2

,a a a a a a =•==

；当a 与b 反向时，a •b

＝－a b ；当θ为锐角时，a •b ＞0，且 a b 、不同向，0a b ⋅>可得θ为锐角；当θ为钝角时，a •b ＜0，且 a b 、

不反向，0a b ⋅<不可得θ为钝角；

③非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos a b a b

θ•=；

④||||||a b a b •≤。

（4）乘法公式：()()

2

2

22

a b a b a b a b +⋅-=-=-；()

2

22

2a b a a b b ±=±⋅+2

2

2a a b b =±⋅+

例题选讲：

题型1：向量的坐标运算法则

例1：已知MA =(-2，4)，MB =(2，6)，则

2

1

AB = ( ) A ．(0，5) B ．(0，1) C ．(2，5) D ．(2，1)

例2：若向量a = (1，1)， b = (1，－1)， c =(－1，2)，则c 等于（ ） A ．－21a +23b B ．21a － 23b C ．23a － 2

1

b D ．－

23a + 2

1

b

例3：已知点()5,1--A 和向量()3,2=a ，若a AB 3=，则点B 的坐标是 ．

练习：

1、已知：()4,2M 、()3,2-N ，那么=MN ；=NM ．

2、已知向量a =(3，-2)，b =(-2，1)，c =(7，-4)，且c =λa +μb ， 则λ= ，μ= ．

3、设点A(-1，2)、B(2，3)、C(3，-1)，且AD =2AB -3BC ，则点D 的坐标为 ．

4、已知AB =(5，-3)，C(-1，3)，CD =2AB ，则点D 坐标是 ．

例4：若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为（ ） A ． －3 B ． －1 C ． 1 D ． 3

练习：

1、若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．

2、若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．

例5：已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 ．

练习：

已知平行四边形ABCD 的顶点()2,1--A 、()1,3-B 、()6,5C ，求顶点D 的坐标．

例6：已知向量a =（1，x ），b =（y ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e =22e ，求x 、y 的值．

练习：

已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e ∥2e ，求x ．

例7：已知A 、B 、C 三点坐标分别为(－1，0)，(3，－1)，(1，2)， AE =31AC ，BF =3

1

BC （1）求点E 、F 及向量EF 的坐标； （2）求证：EF ∥AB ．

题型2：向量的模与夹角

例1．判断下列各命题正确与否：

（1）00a ⋅=；（2）00a ⋅=；（3）若0,a a b a c ≠⋅=⋅，则b c =； （4）若a b a c ⋅=⋅，则b c ≠当且仅当0a =时成立； （5）()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅对任意,,a b c 向量都成立； （6）对任意向量a ，有2

2

a a =。

例2：如果)4,1()3,22(++=--=x x b x a 与互相垂直，则实数x 等于（ ）

A ．

2

1

B ．

2

7

C ．

21或2

7 D ．

2

7

或－2 练习：

已知平面向量a =（1，－3），b =（4，－2），a b λ+与a 垂直，则λ是（ ）

A. －1

B. 1

C. －2

D. 2

例3：已知=+⋅-=-=)(),3,2()4,3(b a a b a 则（ ） A ．－13

B ．7

C ．6

D ．26

练习：

1、已知的夹角为则b a b a ,),3,3(),3,1(-==（ ）