4-3函数单调性和凹凸性 23页PPT文档

定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，
则该区间称为函数的单调区间.
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例如：函数 y x2及 y x 在,0内单调减少， 在 0,内单调增加。如下图所示。
y
y x2
y
y x
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0x
0
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x
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问题:如上例，函数在定义区间上不是单调 的，但在各个部分区间上单调．
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y
y
几 何 直 观
0
x
(1)
f (x) 0
0
x
(2)
f (x) 0
如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看
出，当 f(x)0时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；
当 f(x)0时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。
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x
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例2 确定函 f(x数 )3 x2的单调. 区间
解 D:(, ) .
f(x) 2, (x0) 33x
当x0时,导数不存. 在
y3 x2
当 x0时f， (x)0, 在(,0]上单调减少；
当 0x 时f， (x)0, 在[0,)上单调增加； 单调区间为 (,0]，[0,).
（1）f (x) 0，则 f ( x ) 在[a,b]上的图形是凹的；
（2）f (x) 0，则 f ( x ) 在[a,b]上的图形是凸的；
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例3、判断曲线 y x 3 的凹凸性。
解 y 3x2 y6x. 当 x0时，y 0,
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4.3.2 曲线的凹凸性
观察抛物线 y 与x2
y
y x，它们在区间0,1内 都
是单调增加的，但弯曲的方
1
向不一样。
这说明在研究函数的图形
时，只知道它们的单调性是不
够的，曲线的弯曲方向和弯曲
方向的转变点对我们研究函数 0
的性态也是十分重要的. 这就
是下面讨论的凹凸性与拐点。
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y x2
y x
1
x
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函数图象的凹凸分析：
凸弧的切线总 是在曲线的上方
图象的上升与
下降可用一阶导数 的符号来判定。
从P点改变 弯曲方向
同是上升(或下 降)曲线还有凹凸 之分.
凹弧的切线总是 在曲线的下方
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1、曲线凹凸性的定义
问题:如何研究曲线的弯曲方向?
定义 设曲 yf(x 线 )在区 a,b 间
内各点都有切线，在点 切附近如果
曲线弧总位于切线的方 上，则称曲
线 yf(x)在 a,b上是凹的或 凹弧 a ,b ， 为也 y 曲 fx的 称 线
凹区间。
如果曲线弧总位切线下 的方，则称
0
,
2 3

.
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例5、求曲线 y 3 x 的拐点。
y
解： 当 x 0 时
2
y

1
2
x 3,
y


4
5
x3
,
1
3
9
-
1
x
x 0 是不可导点，y , y 均不存在，1 -
1
但在 (, 0)内，y 0 ,曲线在 (, 0-2] 上是凹的；
在(0, ) 内，y 0 ,曲线在[0, ) 上是凸的；
点 (0,0)是曲线 y 3 x 的拐点。
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下课啦
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案例 [国防预算]
1985年美国的一家报刊报道了 国防部长抱怨国会和参议院削减了 国防预算．但是他的对手却反驳 道，国会只是削减了国防预算增长 的变化率．换句话说，若用f(x)表 示预算关于时间的函数，那么预算 的导数f '(x)>0,预算仍然在增加，
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§4.3 函数的单调性和 曲线的凹凸性
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4.3.1 函数的单调性（monotonicity of function）
现实生活中，常遇到这样的情形：一个量不断增加时，
另一个量也随着不断增加；或者一个量不断增加时，另一个量 反而随着不断减少。其实这就是单调性的概念。另外，如果用 描点法作出函数的图象，我们会发现当我们的视线从左往右看 时，函数图象的一些部分是“上升”的，一些部分是“下降” 的， 好像山峦的起伏一样，为了区别：“上升”和“下降”，我们 引入 了函通数过“研单究调某性些”特的定概函念数。（事实上是那些基本初等函数） 的单调性，我们可以知道任何函数（实际上是一切初等函 数）的单调性，从而能画出它们的图形和研究它们的性质。 下面我们利用导数来研究函数的单调性。
则称 y 曲 f(x)在 线 a,b上是凸的
为凸 a,b为 弧曲 ， yf(线 x)的凸区
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y
y
几 何 直 观
0
x
(1)
f (x) 0
0
x
(2)
f (x) 0
如上图所示，根据导数的几何意义可以直观地看
出，当 f(x)0时，切线倾斜角为锐角，曲线是上升的；
4
定理（单调性的充分条件）
设函 yf(数 x)在 [a,b]内连(a 续 ,b)内 ， 可 . 在
（ 1 ） 如果 (a,b)内 在 f(x)0，那y 么 f(x函 ) 数 在 (a, b) 上单调增加；
(2)如果 (a,b)内 在 f(x)0 ，那y么 f(x)函数
在(a,b)上单调减少.
（2）x 0 两近旁 f ( x ) 不变号，点 (x0, f (x0)) 不是拐点；
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例4 求曲线 y3x4的4拐x3点1及凹凸区间。
解:
D:(,) y12x312x2, y 36x(x 2y).
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令 y 0, 得： x1 列表讨论如下：
当 f(x)0时，切线倾斜角为钝角，曲线是下降的。
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2、曲线凹凸的判定
y
yf(x) B
yf(x)
y
B
A
oa
bx
f(x)递增y 0
A
oa
bx
f(x)递减y 0
定理1 如果 f ( x ) 在[a,b]上连续，在（a,b）内具有一阶和二 阶导数，若在（a,b）内
②、拐点的求法
定理2 如果 f ( x ) 在 (x0,x0)内存在二阶导数，
则点 x0, f (x0)是拐点的必要条件是 f "(x0) 0
方法:设函数 f 在( x ) 的x邻0 域内二阶可导，且
f (x0) 0
（1）x 0 两近旁 f ( x ) 变号，点 (x0, f (x0)) 即为拐点；
列表讨论：
x (,1) 1 (1, 2) 2 (2,)
f (x) 0 0
f (x)
2
1
故 f (x)的单调增区间为 (,1), (2, );
f (x)的单调减区间为 (1, 2).
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y
f(x)2x39x21x2 3
2
1
0
1
2

0,
yx23x234.14x31
x (,0)
f ( x )
f ( x ) 凹的
0 -1 0 拐点 ( 0 , 1 )
(0, 2 ) 3
2 31
0
凸的 拐点 ( 2 , 1 1 )
3 27
(2 , ) x3

凹的
∴凹区间为
,0,32,，凸区间为

导数等于零的点和不可导点，可能是单调区 间的分界点．
定义: 使导数(即 为方 零 f(x程 的 )0的 点实 )叫根 做函数 f (x)的Hale Waihona Puke Baidu.点
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求单调区间的步骤:
(1)求出函f数 (x)的定义域；
(2)求 f(x)，求 f(x)出 0的根 f(x及 )不存在的
∴曲线在 ,0为凸的；
当 x0时， y 0,
∴曲线在 0,为凹的。
y
y x3
1
1 0 1 x
1
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注意：点（0,0）是曲线 由凸变凹的分界点。
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3、曲线的拐点及其求法
①、定义：连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的拐点。
注意:拐点处的切线必在拐点处穿过曲线.
只是f"(x)<0即预算的增长变缓了．
B-2幽灵战略轰炸机单价：24亿美元
注：今年美国国防预算总额达7250 亿美元,中国防费预算为6011亿元。
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布什号（尼米兹级第十艘） 造价62亿美元
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(3)用 (2)中的点划 f(x)的 分定 函义 数 ,然区 后间
区间内导数的符号 . ( 4 ) 根据定理写出结论。
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例1、确定函数 f(x ) 2 x 3 9 x2 1x2 3 的单调区间. 解: x( , ).
f(x)6x21x812 6 (x 1 )x ( 2 ) 令 f(x)0,得 x1,x2.