高中数学北师大版必修五达标练习第2章§3解三角形的实际应用举例含解析
2019北师大版数学必修5跟踪训练：第二章 3 解三角形的实际应用举例含解析
第二章解三角形§3解三角形的实际应用举例[A组学业达标]1．(2019·潮州高一检测)海洋中有A，B，C三座灯塔．其中A，B之间距离为a，在A处观察B，其方向是南偏东40°，观察C，其方向是南偏东70°，在B处观察C，其方向是北偏东65°，则B，C之间的距离是()A．a B.2aC.12a D.22a解析：如图所示，由题意可知AB＝a，∠BAC＝70°－40°＝30°，∠ABC＝40°＋65°＝105°，∴∠C＝45°，在△ABC中，由正弦定理得ABsin C ＝BCsin∠BAC，即BC＝12a22＝22a.故选D.答案：D2．(2019·遂宁高一检测)如图，设A，B两点在涪江的两岸，一测量者在A的同侧所在的江岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°.则A，B两点间的距离为()A．50 2 m B．50 mC．50 3 m D．50 6 m解析：在△ABC中，∠B＝180°－45°－105°＝30°，由正弦定理得ACsin B＝ABsin C，即5012＝AB22，解得AB ＝50 2.故选A.答案：A3．(2019·永州高一检测)如图，在热气球C 正前方有一高为a 的建筑物AB ，在建筑物底部A 测得C 的仰角为60°，同时在C 处测得建筑物顶部B 的俯角为30°，则此时热气球的高度CD 为( ) A.2a B.3a C.332aD.32a解析：由题意，∠BCA ＝∠BAC ＝30°， ∴AB ＝BC ＝a ，AC ＝ 3 a ，△ADC 中，CD ＝AC sin 60°＝32 a ，故选D. 答案：D4．如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 相对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 相对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡的坡角为θ，则cos θ＝( ) A.32 B.3－1 C ．2－ 3D.22解析：在△ABC 中，由正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝100sin 15°sin （45°－15°）＝50(6－2)(m)．在△BCD 中，由正弦定理，得sin ∠BDC ＝BC sin ∠CBD CD ＝50（6－2）sin 45°50＝3－1.由题图知cos θ＝sin ∠ADE ＝sin ∠BDC ＝3－1，故选B.答案：B5．如图所示，位于A处的信息中心获悉，在其正东方向相距40 n mile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20 n mile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB前往B处救援，则cos θ等于()A.217 B.2114C.32114 D.2128解析：在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°. 由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos 120°＝2 800，所以BC＝207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝217.由∠BAC＝120°，得∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝277.故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin ∠ACB sin 30°＝2114.故选B.答案：B6．有一段长为10 m的斜坡，它的倾斜角为75°，在不改变坡高的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延伸________m.解析：如图，在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC，所以BC ＝AC sin ∠BAC sin ∠ABC＝10sin 45°sin 30°＝102(m)．答案：10 27．台风中心从A 地以每小时20 km 的速度向东北方向移动，离台风中心30 km 内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40 km 处，B 城市处于危险区内的持续时间为________小时．解析：设t 小时时，B 城市恰好处于危险区，则由余弦定理，得(20t )2＋402－2×20t ×40cos 45°＝302，即4t 2－82t ＋7＝0，∴t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝74.故|t 1－t 2|＝（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝（22）2－4×74＝1.答案：18．在点O 观测到远处有一物体在做匀速直线运动，开始时刻物体位于点P ，一分钟后，该物体位于点Q ，且∠POQ ＝90°，再过一分钟，该物体位于点R ，且∠QOR ＝30°，则tan ∠OPQ ＝________．解析：由物体做匀速直线运动，得PQ ＝QR ，不妨设其长度为1.如图，在Rt △POQ 中，OQ ＝sin ∠OPQ ，OP ＝cos ∠OPQ .在△OPR 中，由正弦定理，得2sin （90°＋30°）＝OPsin ∠ORP ＝cos ∠OPQ sin ∠ORP.同理在△ORQ中，由正弦定理，得1sin 30°＝OQsin ∠ORQ ＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ，所以1sin 30°·sin 120°2＝sin ∠OPQ sin ∠ORQ ·sin ∠ORPcos ∠OPQ ＝tan ∠OPQ ，所以tan ∠OPQ ＝sin 120°2sin 30°＝32.答案：3 29．在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为32a的军事基地C和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解析：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，又∠DCA＝60°，∴∠DAC＝60°，∴AD＝CD＝AC＝32a，∵BCsin 30°＝CDsin 45°，∴BC＝64a.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 45°＝34a2＋38a2－2×32a×64a×22＝38a2，∴AB＝64a.∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a.10．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12 n mile，渔船乙以10 nmile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解析：(1)在△ABC中，∠BAC＝180°－60°＝120°，AB＝12 (n mile)，AC＝10×2＝20 (n mile)，∠BCA＝α.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784，解得BC ＝28 (n mile)．所以渔船甲的速度为12BC ＝14(n mile/h)． (2)在△ABC 中，AB ＝12 n mile ，∠BAC ＝120°， BC ＝28 (n mile)，∠BCA ＝α， 由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°，所以sin α＝AB sin 120°BC＝12×3228＝3314.[B 组 能力提升]11．(2019·桂林高一检测)甲船在湖中B 岛的正南A 处，AB ＝3 km ，甲船以8 km/h 的速度向正北方向航行，同时乙船自B 岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15分钟时，两船的距离是( ) A.7 km B.13 km C.19 kmD.10－3 3 km解析：如图所示，15 min ＝14 h.设甲、乙两船行驶14 h 分别到D 、C 点． ∴AD ＝14×8＝2 km. BC ＝14×12＝3 km.∵∠EBC ＝60°，∴∠ABC ＝120°. ∵AB ＝BC ＝3， ∴∠A ＝∠ACB ＝30°.在△ABC 中，由余弦定理可得：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC ＝32＋32－2×3×3cos 120°＝27.∴AC＝3 3.在△ACD中，由余弦定理可得：DC2＝AD2＋AC2－2AD·AC cos∠DAC＝4＋27－2×2×33cos 30°＝13.∴DC＝13.所以B选项是正确的．答案：B12．(2019·承德高一检测)飞机的航线和山顶在同一个铅垂直平面内，已知飞机的高度为海拔1 5000 m，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为18°，经过108 s后又看到山顶的俯角为78°，则山顶的海拔高度为()A．(15－183sin 18°cos 78°)kmB．(15－183sin 18°sin 78°)kmC．(15－203sin 18°cos78°)kmD．(15－203sin 18°sin 78°)km解析：如图，∠A＝18°，∠ACB＝60°，AB＝1 000×108×13 600＝30(km)∴在△ABC中，BC＝30sin 18°sin 60°＝203sin 18°，∵CD⊥AD，∴CD＝BC sin∠CBD＝BC×sin 78°＝203sin 18°sin 78°.山顶的海拔高度＝15－203sin 18°sin 78° (km)．故选D.答案：D13．(2019·丰台高一检测)如图，为了测量河对岸A，B两点之间的距离．观察者找到了一个点C，从C可以观察到点A，B；找到了一个点D，从D可以观察到点A，C；找到一个点E，从E可以观察到点B，C.并测量得到图中一些数据，其中CD＝23，CE＝4，∠ACB＝60°，∠ACD＝∠BCE＝90°，∠ADC＝60°，∠BEC＝45°，则AB＝________．解析：在Rt△BCE中，BC＝CE＝4，在Rt△ACD中，AC＝3CD＝6，在△ABC中，由余弦定理得AB＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos 60°＝16＋36－2·4·6·1＝27.2答案：2714．某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/小时的速度沿着直线方向追去，则巡逻艇应该沿________方向去追，需要________小时才追赶上该走私船．解析：如题干图，设该巡逻艇沿AB方向经过x小时后在B处追上走私船，则CB＝10x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，在△ABC中，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10x)2－2×9×10x cos 120°化简得32x 2－30x －27＝0， 解得x ＝32或x ＝－916(舍去)， 所以BC ＝10x ＝15，AB ＝14x ＝21， 由正弦定理， 得sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314，所以∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)． 38°13′＋45°＝83°13′. 答案：北偏东83°13′ 3215．某人在塔的正东，沿着南偏西60°的方向前进60米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为60°，求塔高．解析：如图，设AE 为塔，某人在塔正东的B 点，他在B 点沿南偏西60°前进60米后到达C 点，则BC ＝60，∠BAC ＝90°＋45°＝135°， ∠ABC ＝90°－60°＝30°， 在△ABC 中， 根据正弦定理有BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，即60sin 135°＝AC sin 30°， 解得AC ＝30 2.过点A 作AG ⊥BC 于点G ，连接EG ，则∠AGE 为直线EG 与平面ABC 所成的线面角， 即为沿途测得塔顶的最大仰角， 故∠AGE ＝60°，在△ABC 中， S △ABC ＝12AG ·BC ＝12AC ·BC ·sin ∠ACB ， 即AG ＝AC ·BC ·sin ∠ACBBC＝302×sin(180°－135°－30°)＝15(3－1)．又因为AE ⊥平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以AE ⊥AG ， 在直角△AEG 中，塔高AE ＝AG ·tan ∠AGE ＝15(3－1)×tan 60°＝15(3－3)． 答：塔高为15(3－3)米．16．某海上养殖基地A ，接到气象部门预报，位于基地南偏东60°方向相距20(3＋1)n mile 的海面上有一台风中心，影响半径为20 n mile ，正以10 2 n mile/h 的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)h 后开始影响基地持续2 h ．求台风移动的方向． 解析：如图，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，基地刚好不受影响时台风中心为D ，则B ，C ，D 在一条直线上，且AD ＝20 n mile ，AC ＝20 n mile.由题意，得AB ＝20(3＋1)n mile ，DC ＝20 2 n mile ，BC ＝102(3＋1)n mile.在△ADC中，∵DC2＝AD2＋AC2，∴∠DAC＝90°，∠ADC＝45°，在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝AC2＋AB2－BC22AC·AB＝32.∴∠BAC＝30°.∵B位于A的南偏东60°方向，且60°＋30°＋90°＝180°，∴D位于A的正北方向．又∠ADC＝45°，∴台风移动的方向为向量CD→的方向，即北偏西45°方向．- 11 -。
【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：2.3解三角形的实际应用举例(二)(含答案解析)
§ 3解三角形的实质应用举例( 二).2.利用正、余弦定课时目标 1.利用正、余弦定理解决生产实践中的相关高度的问题理及三角形面积公式解决三角形中的几何胸怀问题．1．仰角和俯角：与目标视野在同一铅垂平面内的水平视野和目标视野的夹角，目标视线在水平线 ____方时叫仰角，目标视野在水平线____方时叫俯角．(如下图 )2．已知△ ABC 的两边 a、 b 及其夹角C，则△ ABC 的面积为 ____________ ．一、选择题1．从 A 处望 B 处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α与β的关系为() A．α >β B ．α＝βC．α <β D ．α＋β＝90°2．设甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙两楼的高分别是 ()40A． 20 3 m，33mB． 10 3 m,20 3 mC． 10(3－ 2) m,203 m1520D. 2 3 m，3 3 m3．如图，为测一树的高度，在地面上选用 A 、B 两点，从 A 、 B 两点分别测得树尖的仰角为 30°， 45°，且 A 、B 两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A． 30＋ 30 3 m B． 30＋153mC． 15＋ 30 3m D．15＋33m4．从超出海平面 h 米的小岛看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向一只船俯角为 45°，则此时两船间的距离为 ()A． 2h 米 B. 2h 米C. 3h 米 D ． 22h 米5．在某个地点测得某山岳仰角为来的 2 倍，持续在平行地面上行进θ，对着山岳在平行地面上行进 600 m200 3 m 后，测得山岳的仰角为本来的后测仰角为原4 倍，则该山岳的高度是()A． 200 m B． 300 mC． 400 m D． 100 3 m6．如下图， D、C、B 三点在地面同向来线上，DC ＝a，从 C、D 两点测得 A 点的仰角分别是β、α( β<．α)则 A 点离地面的高AB 等于 ()asin α sinβA.sin(α－β)asin α sinβB.cos(α－β)asin α cosβC.sin( α－β)acosα cosβD.cos(α－β)二、填空题7.如下图，丈量河对岸的塔高AB 时，能够选与塔底 B 在同一水平面内的两个测点C 与 D，现测得∠ BCD ＝α，∠ BDC ＝β，CD ＝s，并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为θ，则塔高 AB 为 ________．8．甲船在A 处察看乙船，乙船在它的北偏东60°的方向，两船相距a 海里，乙船正向北行驶，若甲船是乙船速度的 3倍，则甲船应取方向 __________ 才能追上乙船；追上时甲船行驶了________海里．9. 如图，为认识某海疆海底结构，在海平面内一条直线上的 A 、B、C三点进行丈量．已知 AB ＝ 50 m，BC ＝ 120 m，于 A 处测得水深 AD ＝ 80 m，于 B 处测得水深 BE＝ 200 m，于C 处测得水深 CF＝ 110 m，则∠ DEF 的余弦值是 ________．10．某舰艇在 A 处测得遇险渔船在北偏东45°，距离为10 n mile 的 C 处，此时得悉，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时 9 n mile 的速度向一小岛凑近，舰艇时速21 n mile ，则舰艇抵达渔船的最短时间是______小时．三、解答题11．如下图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角为α，在塔底 C 处测得 A 处的俯角为β已.知铁塔 BC 部分的高为 h，求山高 CD.12．在海岸 A 处，发现北偏东45°的方向，距离 A ( 3－ 1) n mile 的 B 处有一艘走私船，在 A 处北偏西75°的方向，距离 A 2 n mile 的度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h 问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？C 处的缉私船受命以10 3 n mile/h 的速的速度从 B 处向北偏东30°的方向逃跑，能力提高13．江岸边有一炮台高 30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为 45°和 30°，并且两条船与炮台底部连成 30°角，求两条船之间的距离．14．如图， A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观察点，现位于 A 点北偏东45°， B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60°且与 B 点相距 203海里的C 点的营救船立刻前去营救，其航行速度为30 海里 /时，该救援船抵达D 点需要多长时间？1．丈量底部不行抵达的建筑物的高度问题．因为底部不行抵达，这种问题不可以直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达的点之间的距离，而后转变为解直角三角形的问题．2．丈量角度就是在三角形内利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再依据需要求出所求的角．【创新设计】高中数学(北师大版必修五)配套练习：2.3解三角形的实质应用举例(二)(含答案分析)§ 3解三角形的实质应用举例 (二 )答案知识梳理11．上下2.2absin C作业设计1． B2．A[h 甲＝ 20tan 60 40 ＝°20 3(m)． h 乙 ＝ 20tan 60 －°20tan 30 ＝°3(m)． ]33．A[ 在 △PAB 中，由正弦定理可得1＝ PB60×＝ 3060 ， PB ＝ 2 ， h ＝ PBsin 45 °＝(30 ＋ 30 3)m.]sin(45 －°30°) sin 30 ° sin 15 °sin 15 °4. A [如下图，BC ＝ 3h ， AC ＝h ，∴ AB ＝ 3h 2＋ h 2＝2h.]5． B [ 如下图， 600 · sin 2＝ 200θ 3· sin 4，θ∴ cos 2 θ＝ 3，∴ θ＝ 15°，2∴ h ＝200 3·sin 4＝θ300 (m)． ]h6．A[ 设 AB＝h ，则 AD ＝，∵∠ CAD ＝α－β，CDAD∴sin(α－ β)＝sin .β∴ a＝ h，∴ h ＝ asin α sin βsin(α－ β) sin α sin β sin(α－ β).]s · tan θ sin β7.sin( α＋ β)分析在 △ BCD 中，∠ CBD ＝ π－ α－β.BCCD由正弦定理，得 sin ∠ BDC ＝sin ∠ CBD.CDsin ∠ BDC s · sin β∴BC ＝＝.sin ∠ CBDsin( α＋ β)s · tan θ sin β在 Rt △ABC 中， AB ＝ BCtan ∠ ACB ＝ sin(α＋ β) .8．北偏东 30°3a分析如下图，设到C 点甲船追上乙船，乙到 C 地用的时间为 t ，乙船速度为 v ，则 BC ＝ tv ，AC ＝ 3tv ， B ＝ 120°，BC AC由正弦定理知 sin ∠ CAB ＝sin B ，∴1 ＝ 3 ，sin ∠ CAB sin 120°∴ sin ∠ CAB ＝12，∴∠ CAB ＝ 30°，∴∠ ACB ＝ 30°，∴ BC ＝AB ＝ a ，22 2 2 2 212∴ AC ＝ AB ＋BC － 2AB ·BCcos 120°＝ a ＋ a － 2a ·－ 2 ＝ 3a ，∴ AC ＝ 3a.16 9.65分析作 DM ∥AC 交 BE 于点 N ，交 CF 于点 M.DF ＝ MF 2＋DM 2＝ 302＋ 1702＝ 10 298(m)， DE ＝ DN 2＋ EN 2＝ 502＋ 1202＝ 130(m)EF ＝ (BE － FC)2＋ BC 2＝ 902＋ 1202＝ 150(m)在 △DEF 中，由余弦定理的变形公式，得DE 2＋ EF 2－ DF 2＝1302 ＋1502－ 102×298 ＝ 16cos ∠ DEF ＝2DE ·EF2×130 ×15065.2 10.3分析 设舰艇和渔船在 B 处相遇，则在 △ ABC 中，由已知可得：∠ ACB ＝120°，设舰艇抵达渔船的最短时间为t ，则 AB ＝ 21t ， BC ＝9t ，AC ＝ 10，则 (21t) 2＝ (9t) 2＋ 100－2或 t ＝－52×10×9tcos 120 ，°解得 t ＝ 312(舍 )．11．解 在△ ABC 中，∠ BCA ＝ 90°＋ β，∠ABC ＝ 90°－ α，∠BAC ＝ α－β，∠ CAD ＝ β.ACBCACBC依据正弦定理得： sin ∠ ABC ＝sin ∠ BAC，即sin(90 －°α)＝sin( α－ β)，∴AC ＝ BCcos α hcos α＝ sin(α－ β).sin( α－ β)在 Rt △ACD 中， CD ＝ACsin ∠ CAD ＝ ACsin β＝ hcos α sin βhcos α sin βsin(α－β) .即山高 CD 为 sin( α－ β) .12．解如下图，设缉私船用t h在 D 处追上走私船，则有CD ＝ 10 3t ， BD ＝ 10t ，在 △ ABC中，∵AB ＝3－1， AC ＝ 2，∠ BAC ＝ 120°，∴由余弦定理，得BC 2＝ AB 2＋ AC 2－ 2AB ·AC ·cos ∠ BAC ＝ (3－ 1)2＋22－ 2×(3－1) ×2×cos 120＝°6，∴ BC ＝6，且 sin ∠ ABC ＝ AC ·sin ∠ BACBC＝2×3＝6 22 2.∴∠ ABC ＝ 45°，∴ BC 与正北方向垂直．∴∠ CBD ＝ 90°＋30°＝ 120°，在 △BCD 中，由正弦定理得sin ∠ BCD ＝ BD ·sin ∠CBD ＝ 10tsin 120＝°1，CD10 3t2∴∠ BCD ＝ 30°.即缉私船沿北偏东 60°方向能最快追上走私船． 13．解 如下图：∠CBD ＝ 30°，∠ADB ＝ 30°，∠ACB ＝ 45°∵ AB ＝30，∴ BC＝30，30BD ＝＝30 3.tan 30°在△BCD 中，CD2＝ BC2＋ BD 2－ 2BC·BD·cos 30 °＝ 900，∴CD＝30，即两船相距 30 m.14．解由题意知 AB ＝ 5(3＋ 3)海里，∠ DBA ＝ 90°－ 60°＝ 30°，∠ DAB ＝ 90°－45°＝45°，∴∠ ADB ＝ 180 °－ (45 °＋ 30°)＝ 105 °.在△DAB 中，由正弦定理，得DB＝AB，sin∠ DAB sin∠ ADB∴DB＝AB·sin∠ DAB＝5(3＋ 3) ·sin 45°5(3＋ 3) ·sin 45 °＝5 3( 3＋1)sin∠ ADB sin 105 °＝sin 45 cos° 60 ＋°cos 45 sin° 60°3＋12＝10 3(海里 )．又∠ DBC ＝∠ DBA ＋∠ ABC ＝ 30°＋ (90 °－ 60°)＝ 60°，BC＝ 203(海里 )，在△DBC 中，由余弦定理，2221，得 CD ＝BD＋BC －2BD·BC·cos ∠DBC ＝ 300＋ 1 200－ 2×103×20 3×＝9002∴CD＝30(海里 )，30∴需要的时间t＝＝1(小时)．故营救船抵达 D 点需要 1 小时．。
北师大版高中数学必修五3 解三角形的实际应用举例
高中数学学习材料 （灿若寒星 精心整理制作）3 解三角形的实际应用举例（北师大版必修5）建议用时 实际用时满分 实际得分45分钟100分一、选择题（每小题5分，共25分）1．如图，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮 的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）A. 20（ + ）海里/时B. 20（ ﹣ ）海里/时C. 20（ + ）海里/时D. 20（-）海里/时2．在山脚A 处测得该山峰仰角为θ，对着山峰在平行地面上前进600 m 后测得仰角为原来的2倍，继续在平行地面上前进200 m 后，测得山峰的仰角为原来的4倍，则该山峰的高度 为（ ） A. 200 m B. 300 mC. 400 mD. 100m3．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的俯角分别为30°和60°，则塔高为（ ）A. mB. mC.mD.m4．甲船在岛B 的正南方A 处，AB =10千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自B 出发以每小时6千米的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ）A.分钟B.分钟C.21.5分钟D.2.15分钟5．海中有一小岛B ，周围3.8海里有暗礁，军舰由西向东航行到A ，望见岛在北偏东75°，航行8海里到C ，望见岛B 在北偏东60°，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险（ ） A. 有触礁危险 B. 不会触礁C. 前两种情况都有可能发生D. 不能判断6．一树干被台风吹断，折断部分与残存树干成30°角，树干底部与树尖着地处相距5米，则树干原来的高度为米．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°,AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°.若PB =，则P A的长为.8.台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为 .9.如图，在倾斜度一定的山坡上的一点A测得山顶上一建筑物顶端C对于山坡的倾斜度为15︒，向山顶前进100 m后，又从点B测得倾斜度为45︒，假设建筑物高50 m，设山坡对于地平面的倾斜度为θ，则cosθ= .三、解答题（共55分）10．（10分）用同样高度的两个测角仪AB和CD同时望见气球E在它们的正西方向的上空，分别测得气球的仰角是α，β,已知B，D间的距离为a，测角仪的高度是b，求气球的高度. 11．（10分）如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于1A处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的1B处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达2A处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的2B处，此时两船相距102海里，问乙船每小时航行多少海里？12.（12分）如图，某住宅小区的平面图呈扇形AO C.小区的两个出入口设置在点A及点C处，小区里有两条笔直的小路AD DC，，且拐弯处的转角为120．已知某人从C沿CD走到D用了10分钟，从D沿DA走到A用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径OA的长（精确到1米）．13.（13分）在奥运会垒球比赛前，C国教练布置战术时，要求击球手以与连接本垒及游击手的直线成15°的方向把球击出，根据经验及测速仪的显示，通常情况下球速为游击手最大跑速的4倍，问按这样的布置，游击手能不能所示）14. (10分)如图，为了计算北江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD CD⊥，10km,AD=kmAB=14 60BDA︒∠=，135BCD︒∠=，求两景点B与C的距离（假设,,,A B C D在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2 1.414,3 1.732,5 2.236===）3 解三角形的实际应用举例答题纸得分：一、选择题题号 1 2 3 4 5答案二、填空题6． 7． 8． 9．三、解答题10.11.12.13.14.3 解三角形的实际应用举例参考答案1．B 解析：由题意知SM =20，∠SNM =105°，∠NMS =45°，∴ ∠MSN =30°. △MNS 中利用正弦定理可得，20.sin 30sin105MN =︒︒()12021062,264MN ⨯==-+∴ 货轮航行的速度v =()()1062206212-=- （海里/时）.点评：本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．2.B 解析：依题意可知AB =BP =600，BC =CP =200，∴ cos 2θ=2223.22BC BP PC BC BP +-=⋅ ∴ 2θ=30°，θ=15°， ∴ PD = PC •sin 60°=2003×32=300 m ，故选B. 点评：本题主要考查了解三角形中的实际应用，考查了学生分析问题和解 决问题的能力．3．A 解析：依题意可得图象如图所示， 从塔顶向山体引一条垂线CM ，则AB =BD ⋅tan 60°，AM =CM ⋅tan 30°，BD = CM ， ∴ AM =tan 30tan 60AB⨯︒︒=， ∴ 塔高 CD =200﹣=m ，故选A.点评：本题主要考查构造三角形求解实际问题，属基础题．4．A 解析：假设经过x 小时两船相距最近，甲、乙分别行至C ，D ， 可知BC =10﹣4x ，BD =6x ，∠CBD =120°，CD 2=BC 2+BD 2﹣2BC BD cos ∠CBD =（10﹣4x ）2+36x 2-2（10﹣4x ）6x 1⎛⎫-=28x 2﹣20x +100， 当x =514小时，即1507分钟时距离最小，故选A. 点评：本题主要考查余弦定理的应用，关键在于画出图象．属基础题．5．B 解析：由B 向AC 的延长线作垂线，垂足为D ，依题意可知∠BAC =15°，∠BCD =30°， ∴ ∠ABC =30°﹣15°=15°∴ BC =AC =8，∴ BD =BC sin 30°=4＞3.8，故可知无触礁危险，故 选B.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题．6．解：依题意设树干底部为C ，树尖着地处为B ，折断部分为A ， 可知∠A =30°，∠C =90°，BC =5， 故AC =553,tan 33BC A ==∠510,1sin 2BC AB A ===∠∴ 树干原来的高度为 AC +AB =10+5.点评：本题主要考查了解三角形的实际应用．属基础题． 7．解析：由已知得∠PBC =60°，所以∠PBA =30°. 在△PBA 中，由余弦定理得P A 2=3+-2××cos 30°=,故P A =.8. 1 h 解析:设A 地东北方向上点P 到B 的距离为30千米，AP ＝x ，在△ABP 中,PB 2＝AP 2＋AB 2－2AP ·AB ·cos A ，即302＝x 2＋402－2x ·40 cos 45︒,化简得24027000x x -+=，｜x 1－x 2｜2＝（x 1＋x 2）2-4x 1x 2=400,|x 1－x 2｜＝20，即CD ＝20， 故 20120CD t v ===. 9. 13- 解析：在△ABC 中，AB = 100 m , ∠CAB = 15︒, ∠ACB = 45︒- 15︒ = 30︒, 由正弦定理得15sin 30sin 100BC=，∴ BC = 200sin 15︒. 在△DBC 中，CD = 50 m , ∠CBD = 45︒, ∠CDB = 90︒ + θ由正弦定理得)90sin(15sin 20045sin 50θ+=⇒cos θ =13-. 10.分析：在Rt △EGA 中求解EG ，只有角α一个条件，需要再有一边长被确定，而△EAC 中有较多已知条件，故可在△EAC 中考虑EA 边长的求解，而在△EAC 中有角β，∠EAC ＝180°－α两角与AC =BD ＝a 一边，故可以利用正弦定理求解EA .解：在△ACE 中，AC ＝BD ＝a ，∠ACE ＝β，∠AEC ＝α－β，根据正弦定理，得AE ＝a sin βsin （α－β）,在Rt △AEG 中，EG ＝AE sin α＝a sin αsin βsin （α－β） ,∴ EF ＝EG ＋b ＝a sin αsin βsin （α－β） ＋b .答：气球的高度是a sin αsin βsin （α－β）＋b .11．分析：解决测量问题的过程先要正确作出图形，把实际问题中的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角.本题应先利用s vt =求出边长,再进行进一步分析.解：如图，连接11A B ，由已知22102A B =，122030210260A A =⨯=， 1222,A A A B ∴=又12218012060A A B =-=∠，122A A B ∴△是等边三角形，1212102A B A A ∴==.由已知，1120A B =，1121056045B A B =-=∠，在121A B B △中，由余弦定理得，22212111212122cos 45B B A B A B A B A B =+-22220(102)2201022=+-⨯⨯⨯200=，12102B B ∴=． 因此，乙船的速度的大小为1026030220⨯=（海里/时）． 答：乙船每小时航行302海里．12．解法一：设该扇形的半径为r 米. 由题意，得 CD =500（米），DA =300（米），∠CDO =60︒，在CDO ∆中，2222cos 60,CD OD CD OD OC +-︒=，即()()22215003002500300,2r r r +--⨯⨯-⨯= 解得490044511r =≈（米）. 解法二：连接AC ，作OH ⊥AC ，交AC 于H ，由题意，得CD =500（米），AD =300（米），120,CDA ∠=︒∴AC =700（米），22211cos .214AC AD CD CAD AC AD +-∠==⋅⋅∴ 4900445cos 11AH OA HAO ==≈∠（米）.点评：解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图;（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型;（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解; （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.13. 解：设游击手能接着球，接球点为B ，而游击手从点A 跑出，本垒为O 点（如图所示）.设从击出球到接着球的时间为t ，球速为v ，则∠AOB ＝15°，OB ＝vt ，4v AB t ≤⋅. 在△AOB 中，由正弦定理，得sin sin15OB ABOAB =∠， ∴ 62sin sin1562/44OB vt OAB AB vt -∠=≥⋅=- 而2(62)84384 1.741-=->-⨯>，即sin ∠OAB1,∴ 这样的∠OAB 不存在，因此，游击手不能接着球.14. 解：在△ABD 中，设BD =x ，则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222，即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x ，整理得：096102=--x x ， 解得161=x ，62-=x （舍去）， 在△BCD 中，由正弦定理，得BCDBDCDB BC ∠=∠sin sin , ∴2830sin 135sin 16=⋅=BC ≈11(km ). 答：两景点B 与C 的距离约为11 km.。
北师大版高中数学必修五§3 解三角形的实际应用举例
§3 解三角形的实际应用举例双基达标(限时20分钟)1．已知A，B两地间的距离为10km，B，C两地间的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )．A．10kmB．103kmC．105kmD．107km解析由余弦定理可知：AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC cos∠ABC.又∵AB＝10，BC＝20，∠ABC＝120°，∴AC2＝102＋202－2×10×20×cos120°＝700.∴AC＝107(km)．答案 D2．D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC ＝a ，从D 、C 两点测得A 点仰角分别是α、β(α<β)，则A 点离地面的高度AB 等于( )． A.a sin αsin βsin (β－α) B.a sin α·sin βcos (α－β) C.a sin αcos βsin (β－α) D.a cos αsin βcos (α－β)解析 由已知得∠DAC ＝β－α，由正弦定理AC sin α＝DC sin (β－α)，∴AC ＝a sin αsin (β－α).在Rt △ABC中，AB ＝AC ·sin β＝a sin αsin βsin (β－α). 答案 A 3．如右图所示，D ，C ，B 在同一地平面的同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高度AB 等于( )．A ．10mB ．53mC ．5(3－1)mD ．5(3＋1)m解析 在△ADC 中，AD ＝10·sin 135°sin 15°＝10(3＋1)(m)． 在Rt △ABD 中，AB ＝AD ·sin30°＝5(3＋1)(m)．答案 D4．测定河的宽度，在一岸边选定两点A 、B ，使AB ＝120m ，从A ，B 望对岸标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，则河宽为________m.解析 ∵∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，∴∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA＝180°－30°－75°＝75°，∴AC ＝AB ＝120m.∴河宽CD ＝12AC ＝60m. 答案 605．海岸边有一炮台高30m ，海中有两小船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两小船与炮台底部连线成30°角，则两小船相距________．解析 如图，设CD 为炮台，A ，B 为两小船，由题意CD ＝30m ，∠CBD ＝45°，∠CAD ＝30°，∠ACB ＝30°，在Rt △ACD 中，AC ＝30tan60°＝303(m)，同理BC ＝30tan45°＝30(m)，在△ABC 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝(303)2＋302－2×30 3×30cos30°＝900，∴AB ＝30(m)．答案 30m6．如图所示，客轮以速度2v 由A 至B 再到C 匀速航行；货轮从AC的中点D 出发，以速度v 沿直线匀速航行，将货物送达客轮．已知AB ⊥BC ，且AB ＝BC ＝50海里．若两船同时起航，则两船相遇之处距C 点多少海里？解 设两船相遇之处距C 点x 海里，由题意可知，CD ＝12AC ＝12AB 2＋BC 2＝252(海里)， 则100－x 2v ＝(252)2＋x 2－2×252x cos 45°v， 解得x 2＝5 0003，∴x ≈40.8(海里)． 所以，两船相遇之处距C 点40.8海里．综合提高（限时25分钟）7．有一长为10m 的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表( )．A ．5mB ．10mC ．102mD ．103m解析 如下图所示，设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB ′B ＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10m.在△ABB ′中，根据正弦定理得，BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)， 即当坡底伸长102m 时，斜坡的倾斜角将变为30°.答案 C8．已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )．A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析 如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°，∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝a 2＋a 2－2a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝3a (km)．答案 B9．海上有A ，B ，C 三个小岛，测得A ，B 两岛相距10nmile ，∠BAC ＝60°，∠ABC ＝75°，则B ，C 间的距离是_____nmile.解析 在△ABC 中，由正弦定理可得BCsin A ＝ABsin C ，即BC ＝AB sin A sin C＝10sin 60°sin (180°－60°－75°) ＝5 6.答案 5 610．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2m 的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角为________．解析 如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x m ，依据正弦定理可得2sin 60°＝x sin (120°－α)， 所以x ＝43·sin(120°－α)．因为0°<120°－α<120°，所以要使x最大，只需120°－α＝90°，即α＝30°时，影子最长．答案 30°11．如图所示，在高出地面30m 的小山顶上建造一座电视塔CD ，今在距离B 点60m 的地面上取一点A ，若测得∠CAD ＝45°，求此电视塔的高度．解 设CD ＝x m ，∠BAC ＝α，则tan α＝3060＝12， 又∠DAB ＝45°＋α，tan ∠DAB ＝BD AB ＝x ＋3060， 又tan(α＋45°)＝tan 45°＋tan α1－tan α＝3 ∴x ＋3060＝3，∴x ＝150m ，即电视塔的高度为150m.12．(创新拓展)在南海伏季渔期中，我渔政船在A 处观测到一外国偷渔船在我船北偏东60°的方向，相距a 海里，偷渔船正在向北行驶，若我船速度是渔船速度的3倍，问我船应沿什么方向前进才能追上渔船？此时渔船已行驶多少海里？解 如图所示，设渔船沿B 点向北行驶的速度大小为v ，则我船行驶的速度大小为3v ，两船相遇的时间为t ，则BC ＝vt ，AC ＝3vt ，在△ABC 中，∠ABC ＝120°，AB ＝a ，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，即3v 2t 2＝a 2＋v 2t 2＋vat ，∴2v 2t 2－vat －a 2＝0.解得t 1＝a v ，t 2＝－a2v(舍去)．∴BC ＝a ，∴∠CAB ＝30°. 即我船应沿北偏东30°的方向去追赶渔船，在渔船行驶a 海里处相遇．。
北师大版高中数学必修5第二章《解三角形》之解三角形应用举例(三)
第八课时§解三角形应用举例（三）一、教课目的1、知识与技术：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实质问题。
2、过程与方法：本节课是在学习了有关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解，这节课应经过综合训练加强学生的相应能力。
除了安排课本上的例1，还针对性地选择了既具典型性有具启迪性的 2 道例题，重申知识的教授更重能力的浸透。
讲堂中要充足表现学生的主体地位，重过程，重议论，教师经过导疑、导思让学生有效、踊跃、主动地参加到研究问题的过程中来，逐渐让学生自主发现规律，贯通融会。
3、感情态度与价值观：培育学生提出问题、正确剖析问题、独立解决问题的能力，并在教学过程中激发学生的研究精神。
二、教课要点：能依据正弦定理、余弦定理的特色找到已知条件和所求角的关系。
教课难点：灵巧运用正弦定理和余弦定理解对于角度的问题。
三、教课方法：探析概括，讲练联合四、教课过程Ⅰ. 课题导入[ 创建情境 ]发问：前方我们学习了如何丈量距离和高度，这些实质上都可转变已知三角形的一些边和角求其他边的问题。
但是在实质的航海生活中 , 人们又会碰到新的问题，在浩大无垠的海面上如何保证轮船不迷失方向，保持必定的航速和航向呢？今日我们接着商讨这方面的丈量问题。
Ⅱ . 探析新课[ 典范解说 ]例 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东75的方向航行67.5 n mile后抵达海岛B, 然后从 B 出发 , 沿北偏东 32的方向航行54.0 n mile 后达到海岛 C.假如下次航行直接从 A 出发抵达C, 此船应当沿如何的方向航行, 需要航行多少距离?( 角度精准到0.1, 距离精准到0.01n mile)学生看图思虑并叙述解题思路教师依据学生的回答概括剖析：第一依据三角形的内角和定理求出 AC 边所对的角 ABC，即可用余弦定理算出 AC边，再依据正弦定理算出 AC边和 AB 边的夹角 CAB。
解：在ABC中，ABC=180 - 75 + 32 =137，依据余弦定理，AC=AB 2BC 22AB BC cos ABC=67.5254.02267.554.0cos137≈ 113.15依据正弦定理 ,BC=ACsin CAB sin ABCsinCAB = BCsinABC =54 .0 sin 137 ≈0.3255,因此CAB =19.0,75-CAB AC113 .15=56.0答 : 此船应当沿北偏东 56.1的方向航行 , 需要航行 113.15n mile例 2、在某点 B 处测得建筑物AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE方向行进 30m，至点 C 处测得顶端 A 的仰角为 2，再持续行进10 3 m至 D点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和建筑物 AE的高。
最新3解三角形的实际应用举例(北师大必修五)
【例1】在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方 向前进30 m至点C处，测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进 m至1D0 点3，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.
【审题指导】本题可利用三角形的外角与其两不相邻内角的关 系定理,寻找BC、AC及CD、AD之间的关系，再利用正弦定理 和直角三角形的知识求解;也可利用方程思想求解.
【审题指导】问题研究的是两个不可到达的点之间的距离测量 问题.首先需要构造三角形，所以需要确定C、D两点.根据正弦 定理中已知三角形的任意两个内角与一边即可求出另两边的方 法分别求出AC和BC，再利用余弦定理计算出AB的长度.
【规范解答】测量者可以在河岸边选定两点C、D，测得CD=
a，并且在C、D两点分别测得∠BCA=α，∠ACD=β，∠CDB=
【审题指导】求解的目标是CD的长度，在△DBC中， BD可以
求出，又已知BC和∠CBD，根据余弦定理即可求出CD.
【规范解答】由题意知AB=5（3+ 3）,∠DBA=90°-60°
=30°,∠DAB=45°,∴∠ADB=105°.
又sin105°=sin45°·cos60°+sin60°·cos45°
γ，∠BDA =δ，在△ADC和△BDC中，应用正弦定理得
AC=s i n ［ 1 8 a 0 s i n （ ( ) ） ］ s i a n s ( i n ( ) ) ，
BC=
a s i n
a s i n
s i n ［ 1 8 0 （ ） ］ s i n ( )
【规范解答】方法一：（用正弦定理求解）由已知可得，
在△ABC中，AC=BC=30，
在△ACD中，AD=DC1=0 3 ，
北师大版高中数学必修5《二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例 解三角形的实际应用举例》赛课导学案_13
解三角形的应用举例一、教材分析《解三角形应用举例》是高中数学必修五第一章《解三角形》第2节的内容，是学完了正弦定理和余弦定理后对定理的应用，共两课时，本节课为第一课时。
本节课重点是创设问题情境，通过对不可到达桥头的桥长、不可到达底部的塔高的测量方法的探究，运用正余弦定理来解决解三角形相关的问题，让学生亲身经历和体验运用三角函数来解决实际问题的过程，培养学生抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，使学生感受到“生活处处有数学”，提高应用数学的意识二、学情分析本节课的学习者特征分析主要是根据教师平时对学生的了解而做出的：⑴学生高一年级学生；⑵学生已经熟练掌握利用正、余弦定理解三角形的解法；⑶学生对生活中的数学问题兴趣浓厚，有多次小组合作解决实习作业的体验；⑷学生数学建模的能力还不强三、教学目标1、知识与技能①能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解测量的方法和意义②会在各种应用问题中，抽象或构造出三角形，标出已知量、未知量，确定解三角形的方法，搞清利用解斜三角形可解决的各类应用问题和基本图形和基本等量关系，理解各种应用问题中的有关名词、术语（如：坡度、俯角、仰角、方向角、方位角等）③将实际问题转化为解三角形问题。
掌握正弦定理、余弦定理，并能运用它们解斜三角形,能够运用正弦定理、余弦定理进行三角形边与角的互化。
2、过程与方法①采用启发与尝试的方法，让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架②通过解三角形的应用的学习，提高解决实际问题的能力；通过解三角形在实际中的应用，要求学生体会具体问题可以转化为抽象的数学问题，以及数学知识在生产、生活实际中所发挥的重要作用3、情感态度价值观①激发学生学习数学的兴趣，并体会数学的应用价值②培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力③进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力四、教学重点1、分析测量问题的实际情景，从而找到测量距离的方法；2结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题；3、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系；五、教学难点1、实际问题向数学问题转化思路的确定，即根据题意建立数学模型，画出示意图；2、能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件；3、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题；六、学法与教学用具让学生回忆正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形，让学生尝试绘制知识纲目图。
高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例学案 北师大版必修5
3 解三角形的实际应用举例学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量不可到达点间的距离例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1 m)．反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1 要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为______km.类型二测量高度例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)．反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m.类型三航海中的测量问题例3 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．10 2 n mile B．10 3 n mileC．20 2 n mile D．20 3 n mile2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 (1)90 (2)上方 下方 知识点二思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离． 题型探究例1 解 根据正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，AB ＝AC sin C sin B＝AC sin C－A －C ＝55sin 75°－51°－＝55sin 75°sin 54°≈65.7(m)．答 A 、B 两点间的距离为65.7 m. 跟踪训练1 5解析如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.例2 解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α. 根据正弦定理，BCα－β＝AB＋β，所以AB ＝BC ＋βα－β＝BC cos βα－β.解Rt△ABD ，得BD ＝AB sin∠BAD ＝BC cos βsin αα－β.将测量数据代入上式，得BD ＝27.3cos 50°1′sin 54°40′－＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin 4°39′≈177.4(m)．CD ＝BD －BC ≈177.4－27.3≈150(m)．答 山的高度约为150 m. 跟踪训练2 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．例3 解 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15(n mile)．根据正弦定理，BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB ＝BC sin∠ABC AC ＝54.0sin 137°113.15≈0.325 5， 所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile. 跟踪训练3 解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at (海里)， AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin∠CAB ＝ACsin B得：sin∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 当堂训练1．A 2.203米、4033米3．解 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，故AB ＝AC ·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)． 4．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°， ∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 根据正弦定理，15sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．。
2019-2020学年北师大版数学必修五讲义：第2章 §3 解三角形的实际应用举例 Word版含答
姓名，年级：时间：§3解三角形的实际应用举例学习目标核心素养1。
掌握测量距离、高度、角度等问题中正、余弦定理的应用．(重点)2．了解测量的方法和意义．(难点）3．提高应用数学知识解决实际问题的能力．(难点)1.通过实际问题应用举例提升数学建模素养．2．通过解三角形的实际应用培养数学运算素养。
实际问题中的有关术语阅读教材P58～P61“练习2”以上部分完成下列问题．名称定义图示仰角与俯角在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图方位角从指北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图，B点的方位角为α方向角从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°。
如图，∠ABC为北偏东60°或东偏北30°思考：（1)方位角的范围是什么？[提示］[0°,360°)（2)若点B在点A的北偏东60°，那么点A在点B的哪个方向？[提示] 南偏西60°。
1．在某测量中，设A在B的南偏东34°27′，则B在A的( )A．北偏西34°27′B．北偏东55°33′C．北偏西55°33′D．南偏西34°27′［答案］A2．如图所示,已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的（）A．北偏东5°B．北偏西10°C．南偏东5°D．南偏西10°［答案］B3．如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A，B 两点的距离为（)A．50错误!m B．50错误!mC．25错误!m D．错误!mA［由正弦定理得错误!＝错误!,又∵B＝30°,∴AB＝错误!＝错误!＝50错误!(m）．］4．在A点观察一塔吊顶的仰角为45°，又A点距塔吊底部距离为45米,则塔吊的高是______米．45 [如图所示,设塔吊为BC,由题意可知△ABC为等腰直角三角形，所以BC＝AB ＝45(米)．]测距离问题【例1】B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，则B，C间的距离是________．5错误!海里［如图，在△ABC中，C＝180°－(B＋A)＝45°，由正弦定理，可得错误!＝错误!，所以BC＝错误!×10＝5错误!（海里）．]求距离问题时应注意的三点（1）选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题,然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边．1．（1）为了测量水田两侧A，B两点间的距离(如图所示），某观测者在A的同侧选定一点C，测得AC＝8 m，∠BAC＝30°，∠BCA＝45°，则A,B两点间的距离为________m。
2018版高中数学北师大版必修五学案：第二章 解三角形
[学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．知识点一基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高．知识点二有关的几个术语1.方位角：指以观测者为中心，从正北方向线顺时针旋转到目标方向线所形成的水平角．如图所示的θ1、θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是[0°，360°)．2．方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，左图中表示北偏东30°，右图中表示南偏西60°.思考上两图中的两个方向，用方位角应表示为30°(左图)，240°(右图)．3．仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图所示．4．视角：观测者的两条视线之间的夹角称作视角．5．坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，坡面的铅直高度与水平宽度之比叫坡度(tanα＝h l)，如图．知识点三解三角形应用题解三角形应用题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解三角形，得到实际问题的解，求解的关键是将实际问题转化为解三角形问题．(1)解题思路(2)基本步骤运用正弦定理、余弦定理解决实际问题的基本步骤如下：①分析：理解题意，弄清已知与未知，画出示意图(一个或几个三角形)；②建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与待求量尽可能地集中在有关三角形中，建立一个解三角形的数学模型；③求解：利用正弦定理、余弦定理解三角形，求得数学模型的解；④检验：检验所求的解是否符合实际问题，从而得出实际问题的解．(3)主要类型题型一测量距离问题例1 (1)海上A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B ，C 间的距离是( ) A ．103海里 B.1063海里C ．52海里D ．56海里答案 D解析 根据题意，可得右图．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，AB ＝10， ∴C ＝45°.由正弦定理可得AB sin C ＝BC sin A ，即1022＝BC32，∴BC ＝56(海里)．(2)在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为3a2的军事基地C 和D 测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队之间的距离．解 ∵∠ADC ＝∠ADB ＋∠CDB ＝60°， 又∠DCA ＝60°，∴∠DAC ＝60°. ∴AD ＝CD ＝AC ＝32a . 在△BCD 中，∠DBC ＝45°， ∵BC sin30°＝CD sin45°，∴BC ＝64a . 在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos45°＝34a 2＋38a 2－2×32a ×64a ×22＝38a 2. ∴AB ＝64a . ∴蓝方这两支精锐部队之间的距离为64a . 反思与感悟 求距离问题时应注意的三点(1)选定或确定所求量所在的三角形．若其他量已知，则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解．(2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．(3)测量两个不可到达的点之间的距离问题．首先把求不可到达的两点A ，B 之间的距离转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后在相关三角形中利用正弦定理计算其他边． 跟踪训练1 如下图，A 、B 两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20米的C 、D 两点，测得∠BCA ＝60°，∠ACD ＝30°，∠CDB ＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A 、B 两点间的距离是多少？解 由正弦定理得AC ＝20sin (45°＋60°)sin[180°－(30°＋45°＋60°)]＝20sin105°sin45°＝20sin75sin45°＝10(1＋3)(米)，BC ＝20sin45°sin[180°－(60°＋30°＋45°)]＝20sin45°sin45°＝20(米)．在△ABC 中，由余弦定理得AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC cos ∠BCA ＝106(米)． ∴A 、B 两点间的距离为106米． 题型二 测量高度问题例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD .解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由AB sin15°＝ADsin45°， 得AD ＝AB ·sin45°sin15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．即山的高度为800(3＋1) m.反思与感悟 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪训练2 (1)甲、乙两楼相距a ，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________．答案3a ，233a解析 甲楼的高为a tan60°＝3a ， 乙楼的高为3a －a tan30°＝3a －33a ＝233a .(2)如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB ＝20m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .(结果保留两个有效数字)解 在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h . ∴OA ＝OP ·1tan30°＝3h .在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1tan45°＝h .在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA ×OB ·cos60°， 即202＝(3h )2＋h 2－2·3h ·h ·12，解得h 2＝4004－3≈176.4，∴h ≈13m.题型三 测量角度问题例3 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t ，BD ＝10t ，在△ABC 中，由余弦定理，有 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos120°＝6. ∴BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin120°6＝22，又∠ABC ∈(0°，60°)，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°， 在△BCD 中，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin120°103t ＝12.又∵∠BCD ∈(0°，90°)，∴∠BCD ＝30°， ∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．反思与感悟 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪训练3 甲船在A 处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B 处，两船相距a nmile ，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的3倍，问甲船应沿什么方向前进才能最快追上乙船？相遇时乙船行驶了多少nmile?解 如图所示，设两船在C 处相遇，并设∠CAB ＝θ， 乙船行驶距离BC 为x nmile ， 则AC ＝3x ， 由正弦定理得 sin θ＝BC ·sin120°AC ＝12， 而θ<60°，∴θ＝30°， ∴∠ACB ＝30°，BC ＝AB ＝a . ∴AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2(－12)＝3a 2，∴AC ＝3a ，BC ＝a ，∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a nmile.1．在某测量中，设A 在B 的南偏东34°27′，则B 在A 的( ) A ．北偏西34°27′ B ．北偏东55°33′ C ．北偏西55°33′D ．南偏西34°27′答案 A解析 由方向角的概念，B 在A 的北偏西34°27′.2．一艘船上午9∶30在A 处，测得灯塔S 在它的北偏东30°的方向，且与它相距82海里，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10∶00到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°的方向，此船的航速是________海里/小时．( ) A ．8(6＋2) B ．8(6－2) C ．16(6＋2) D ．16(6－2)答案 D解析 由题意得在三角形SAB 中，∠BAS ＝30°， ∠SBA ＝180°－75°＝105°，∠BSA ＝45°. 由正弦定理得SA sin105°＝AB sin45°，即82sin105°＝ABsin45°，得AB ＝8(6－2)，因此此船的航速为8(6－2)12＝16(6－2)(海里/小时)．3.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( ) A ．北偏东5° B ．北偏西10° C ．南偏东5° D ．南偏西10° 答案 B解析 由题意可知∠ACB ＝180°－40°－60°＝80°.∵AC ＝BC ，∴∠CAB ＝∠CBA ＝50°，从而可知灯塔A 在灯塔B 的北偏西10°.4．我舰在岛A 南偏西50°相距12海里的B 处发现敌舰正从岛A 沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度为________海里/小时． 答案 14解析 由题可得右图．不妨设我舰追上敌舰时在C 点． 则AC ＝20，∠BAC ＝120°，AB ＝12，∴BC 2＝122＋202－2·12·20·cos120°＝282，∴BC ＝28，∴速度v ＝282＝14(海里/小时)．5.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( ) A.32B.3C.3－1D.2－1 答案 C解析 在△ABC 中，由正弦定理AB sin30°＝ACsin135°，∴AC ＝100 2.在△ADC 中，AC sin (θ＋90°)＝CDsin15°，∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝AC ·sin15°CD＝3－1. 6.2012年10月29日，飓风“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救犬从A 处沿正北方向行进x m 到达B 处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10m 到达C 处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x ＝________m. 答案1063解析 由题意∠CBA ＝75°，∠BCA ＝45°， ∴∠BAC ＝180°－75°－45°＝60°， ∵x sin45°＝10sin60°，∴x ＝1063(m)．1．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤： (1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解； (4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解． 2．解三角形应用题常见的两种情况(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个(或两个以上)三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．3．测量距离问题包括两种情况(1)测量一个可到达点到另一个不可到达点之间的距离．(2)测量两个不可到达点之间的距离．第一种情况实际上是已知三角形两个角和一边解三角形的问题，用正弦定理即可解决(如图1)；对于第二种情况，首先把求不可到达的两点A，B之间的距离转化为应用正弦定理求三角形边长的问题，然后把BC，AC转化为测量可到达的点与不可到达的点之间的距离问题(如图2)．4．测量底部不可到达的建筑物的高度问题．由于底部不可到达，这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理和余弦定理，计算出建筑物顶部到一个可到达点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．5．测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．。
高中数学北师大版必修五达标练习：第2章 §3 解三角形的实际应用举例 含解析
[A基础达标]1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出AC 的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点间的距离为()A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D．2522m解析：选A.由正弦定理得ABsin ∠ACB＝ACsin ∠CBA.又∠CBA＝180°－45°－105°＝30°，故AB＝AC·sin∠ACBsin∠CBA＝50×2212＝50 2 (m)．2.如图，测量河对岸的塔的高度AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30米，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔AB的高度为()A．152米B．153米C．15(3＋1)米D．156米解析：选D.在△BCD中，由正弦定理得BC＝CD sin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt△ABC中，AB＝BC tan 60°＝156(米)．故选D.3．某舰艇在A处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为()A．20分钟B．40分钟C．60分钟D．80分钟解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝102＋（9t）2－（21t）22×10×9t，解得t＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．4．渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)()A．14.5 km/h B．15.6 km/hC．13.5 km/h D．11.3 km/h解析：选C.由物理学知识，画出示意图，AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理得AC＝AD2＋CD2－2AD·CD cos D＝16＋225－4×15＝181≈13.5.5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东40°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：选B.如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，因为AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝180°－80°2＝50°，所以∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.6．如图所示为一角槽，已知AB⊥AD，AB⊥BE，并测量得AC＝3 mm，BC＝2 2 mm，AB ＝29 mm，则∠ACB＝________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ACB ＝32＋（22）2－（29）22×3×22＝－22.因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.答案：3π47．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m.解析：设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ 3 h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：508．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200， AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120° ＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理， 得AB sin α＝BCsin 120°，即 sin α＝AB sin 120°BC ＝200×32280＝5314.10.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离． 解：依题意得，CD ＝30 km ，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°， ∠DAC ＝45°.在△BDC 中， 由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.[B 能力提升]11．如图，某山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°，从B 处攀登400米后到达D 处，再看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°，从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为______米．解析：在△ABD 中，BD ＝400，∠ABD ＝120°，因为∠ADB ＝180°－∠ADC ＝30°，所以∠DAB ＝30°，所以AB ＝BD ＝400，AD ＝ AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos 120°＝400 3.在△ADC 中，DC ＝800，∠ADC ＝150°，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，所以AC ＝40013，故索道AC 的长为40013米． 答案：4001312.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______m. 解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°， 所以∠ABS ＝30°.AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°.所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500， 从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 00013.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得该仪器在最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC ＝x m ， 则BC ＝x －217×340＝x －40 (m)．在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC ，所以CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.14．(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB .(结果保留根号，不求近似值)．解：(1)依题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°，CD ＝6 000×160＝100 (m)，∠BDC ＝45°－30°＝15°，由正弦定理得 CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠BDC，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠DBC ＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422＝50（6－2）2＝50(3－1)(m)，在Rt △ABE 中，tan α＝ABBE，因为AB 为定长，所以当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE ⊥CD ，当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)·32＝25(3－3)(m)，设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则t ＝EC6 000×60＝25（3－3）6 000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ， 在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCD ， 所以AB ＝BE ·tan 60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan 60° ＝50(3－1)·12·3＝25(3－3)(m)，即所求塔高为25(3－3) m.。
年高中数学第二章解三角形3解三角形的实际应用举例课时素养评价含解析北师大版必修5
第二章 3 解三角形的实际应用举例课时素养评价(20分钟35分)1.某建筑物上有一根长为20 m的旗杆,由地面上一点测得建筑物顶点的仰角为45°,旗杆顶端的仰角为60°,则此建筑物的高度最接近于( )A.25 mB.27 mC.29 mD.31 m【解析】选B.设建筑物高度为h米,根据题意画出如下图形:由图可得AB=h,则tan 60°=,解得h==10(+1)≈27.【补偿训练】(2020·开封高一检测)当太阳光与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2 m的竹竿如图所示放置,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角为( )A.30°B.60°C.45°D.90°【解析】选A.设竹竿与地面所成的角为α,影子长为x m.由正弦定理,得=,所以x=sin(120°-α),因为30°<120°-α<120°,所以当120°-α=90°,即α=30°时,x有最大值.故竹竿与地面所成的角为30°时,影子最长.2.(2020·南昌高一检测)如图,已知A,B,C是一条直路上的三点,AB与BC各等于1 km,从三点分别遥望塔M,在A处看见塔在北偏东30°方向,在B处看见塔在正东方向,在C处看见塔在南偏东60°方向,则塔到直路ABC的最短距离为( )A. B. C.1 D.【解析】选 B.由已知得AB=BC=1,∠AMB=60°,∠CMB=30°,所以∠CMA=90°,所以AB=BC=1=MB,∠AMB=60°=∠A,所以AM=1,CM=,设AC边上的高为h,则塔到直路ABC的最短距离就为h,所以·AM·CM=·AC·h,解得h=.3.海中有一小岛B,周围3.8海里有暗礁,军舰由西向东航行到A,望见岛在北偏东75°方向,航行8海里到C,望见岛B在北偏东60°方向,若此舰不改变航向继续向前,有无触礁危险?( )A.有触礁危险B.无触礁危险C.前两种情况都有可能发生D.不能判断【解析】选B.由B向AC的延长线作垂线,垂足为D,依题意可知∠BAC=15°,∠BCD=30°,所以∠ABC=30°-15°=15°,所以BC=AC=8,所以BD=BCsin 30°=4>3.8,故可知无触礁危险.4.如图所示为起重机装置示意图.支杆BC=10 m,吊杆AC=15 m,吊索AB=5 m,起吊的货物与岸的距离AD为 ( )A.30 mB. mC.15 mD.45 m【解析】选B.在△ABC中,cos∠ABC==,∠ABC∈(0,π),所以sin∠ABC= =,所以在Rt△ABD中,AD=AB·sin∠ABC=5×=(m).5.如图所示为一角槽,已知AB⊥AD,AB⊥BE,并测量得AC=3 mm,BC=2 mm,AB= mm,则∠ACB= .【解析】在△ABC中,由余弦定理得cos∠ACB==-.因为∠ACB∈(0,π),所以∠ACB=.答案:6.如图,地平面上有一旗杆OP,为了测得它的高度h,在地面上选一基线AB,AB=20 m,在A点处测得P点仰角∠OAP=30°,在B点处测得P点的仰角∠OBP=45°,又测得∠AOB=60°,求旗杆的高度h.(结果保留整数)【解析】在Rt△AOP中,∠OAP=30°,OP=h.所以OA=OP·=h.在Rt△BOP中,∠OBP=45°,所以OB=OP·=h.在△AOB中,AB=20,∠AOB=60°,由余弦定理得AB2=OA2+OB2-2·OA·OB·cos 60°,即202=(h)2+h2-2·h·h·,解得h2=≈176.4,所以h≈13 m.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·武邑高一检测)两灯塔A,B与海洋观察站C的距离都等于2 km,灯塔A在C北偏东45°方向,B在C南偏东15°方向,则A,B之间的距离为( )A.2 kmB.3 kmC.4 kmD.5 km【解析】选A.根据图形可知,∠ACB=180°-15°-45°=120°,在△ABC中,|AC|=|BC|=2 km,根据余弦定理可得|AB|2=22+22-2×2×2×cos 120°=12,所以|AB|=2,即A,B之间的距离为2km.2.从高出海平面h m的小岛看正东方向有一只船俯角为30°,看正南方向有一只船俯角为45°,则此时两船间的距离为( )A.2h mB.h mC.h mD.2h m【解析】选A.如图所示,BC=h,AC=h,所以AB==2h(m).3.(2020·济南高一检测)泉城广场上矗立着的“泉标”,成为泉城济南的标志和象征.为了测量“泉标”高度,某同学在“泉标”的正西方向的点A处测得“泉标”顶端的仰角为45°,沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B,在点B处测得“泉标”顶端的仰角为30°,则“泉标”的高度为( )A.50 mB.100 mC.120 mD.150 m【解析】选A.如图,CD为“泉标”高度,设高为h m,由题意,CD⊥平面ABD,AB=100 m,∠BAD=60°,∠CAD=45°,∠CBD=30°.在△CBD中,BD=h,在△CAD中,AD=h m,在△ABD中,BD=h m,AD=h m,AB=100 m,∠BAD=60°,由余弦定理可得3h2=10 000+h2-2×100hcos 60°,所以(h-50)(h+100)=0,解得h=50或h=-100(舍去).故“泉标”的高度为50 m.4.在△ABC中,已知b2-bc-2c2=0,且a=,cos A=,则△ABC的面积等于 ( )A. B. C.2 D.3【解析】选A.因为b2-bc-2c2=0,所以(b-2c)(b+c)=0,所以b=2c.由a2=b2+c2-2bccos A,解得c=2,b=4,因为cos A=,所以sin A=,所以S△ABC=bcsin A=×4×2×=.5.(2020·南宁高一检测)如图,飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内,已知飞机的高度为海拔20 000 m,速度为900 km/h,飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过80 s后又看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为( )A.5 000(+1)mB.5 000(-1)mC.5 000(3-)mD.5 000(5-)m【解析】选C.如图,∠A=30°,∠ACB=45°,AB=900×80×=20(km),所以在△ABC中,BC=10km.因为CD⊥AD,所以CD=BCsin∠CBD=BC×sin 75°=10sin 75°=10sin(45°+30°)=(5+5)(km).所以山顶的海拔高度为[20-(5+5)]km=5 000(3-)m.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2020·重庆高一检测)如图,要计算西湖岸边两景点B与C的距离,由于地形的限制,需要在岸上选取A和D两点,现测得AD⊥CD,AD=10 km,AB=14 km,∠BAD=60°,∠BCD=135°,则两景点B与C的距离为km.【解题指南】先在△ADB中求出BD,然后求出∠ADB的余弦值,进而求出∠BDC的正弦值;在△BDC中利用正弦定理即可求出B与C的距离.【解析】在△ADB中,AD=10 km,AB=14 km,∠BAD=60°,根据余弦定理得:BD2=102+142-2×10×14cos 60°=156,所以BD=2km,cos∠ADB==,又因为AD⊥DC,所以sin∠BDC=cos∠ADB=.在△BDC中,根据正弦定理得=,整理得BC==3(km).答案:3【补偿训练】要测量河对岸A,B两点之间的距离,选取相距 km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,则A,B之间的距离为km.【解析】如图,在△ACD中,∠ACD=120°,∠CAD=∠ADC=30°,所以AC=CD=km.在△BCD中,∠BCD=45°,∠BDC=75°,∠CBD=60°,所以BC==(km).在△ABC中,由余弦定理得AB2=()2+-2×××cos 75°=3+2+-=5,所以AB=km.所以A,B之间的距离为km.答案:7.如图所示,在地面上共线的三点A,B,C处测得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且AB=BC=60 m,则建筑物的高度为m.【解析】设建筑物的高度为h,由题图知,PA=2h,PB=h,PC=h,所以在△PBA和△PBC中,分别由余弦定理得cos∠PBA=,①cos∠PBC=.②因为∠PBA+∠PBC=180°,所以cos∠PBA+cos∠PBC=0.③由①②③,解得h=30或h=-30(舍去),即建筑物的高度为30m.答案:308.如图所示,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°,相距20海里的C处的乙船,让乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援,则cos θ= .【解析】在△ABC中,AB=40海里,AC=20海里,∠BAC=120°,由余弦定理可得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°=2 800,所以BC=20海里,由正弦定理可得sin∠ACB=·sin∠BAC=,因为∠BAC=120°,可知∠ACB为锐角,cos∠ACB=,所以cos θ=cos(∠ACB+30°)=cos∠ACBcos 30°-sin∠ACBsin 30°=.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·沈阳高一检测)某观测站在城A南偏西20°方向的C处,由城A出发的一条公路,走向是南偏东40°,在C处测得公路上距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去,走了20千米后到达D处,此时CD间的距离为21千米,问这人还要走多少千米才可到达城A?【解析】设∠ACD=α,∠CDB=β,在△CBD中,由余弦定理得cos β==-,所以sin β=.又sin α=sin(β-60°)=sin βcos 60°-sin 60°cos β=×+×=.在△ACD 中,=,所以AD==15(千米).所以这人还要走15千米才可到达城A.10.(2020·滨州高一检测)如图,甲船以每小时30海里的速度向正北方航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于A1处时,乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处,此时两船相距20海里,当甲船航行20分钟到达A2处时,乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处,此时两船相距10海里,问乙船每小时航行多少海里?【解析】如图连接A1B2由题意知A2B2=10海里,A1A2=30×=10海里,所以A1A2=A2B2.又∠A1A2B2=180°-120°=60°,所以△A1A2B2是等边三角形.所以A1B2=A1A2=10海里.由题意知,A1B1=20海里,∠B1A1B2=105°-60°=45°,在△A1B2B1中,由余弦定理,得B1=A1+A1-2A1B1·A1B2·cos 45°=202+(10)2-2×20×10×=200,所以B1B2=10海里.因此,乙船速度的大小为×60=30(海里/小时).答:乙船每小时航行30海里.(2020·广州高一检测)在数学建模课上,老师给大家带来了一则新闻:“2019年8月16日上午,423米的东莞第一高楼民盈国贸中心2号楼(以下简称“国贸中心”)正式封顶,随着最后一方混凝土浇筑到位,标志着东莞最高楼纪录诞生,由东莞本地航母级企业民盈集团刷新了东莞天际线,比之前的东莞第一高楼台商大厦高出134米.”在同学们的惊叹中,老师提出了问题:国贸中心真有这么高吗?我们能否运用所学知识测量验证一下?一周后,两个兴趣小组分享了他们各自的测量方案.第一小组采用的是“两次测角法”:他们在国贸中心隔壁的会展中心广场上的A点测得国贸中心顶部的仰角为α,正对国贸中心前进了s米后,到达B点,在B点测得国贸中心顶部的仰角为β,然后计算出国贸中心的高度(如图1).第二小组采用的是“镜面反射法”:在国贸中心后面的新世纪豪园一幢11层楼(与国贸中心处于同一水平面,每层约3米)楼顶天台上,进行两个操作步骤:①将平面镜置于天台地面上,人后退至从镜中能看到国贸大厦的顶部位置,测量出人与镜子的距离为a1米;②正对国贸中心,将镜子前移a米,重复①中的操作,测量出人与镜子的距离为a2米.然后计算出国贸中心的高度(如图2).实际操作中,第一小组测得s=90米,α=42°,β=48°,最终算得国贸中心高度为H1;第二小组测得a1=1.45米,a=12米,a2=1.4米,最终算得国贸中心高度为H2;假设他们测量者的“眼高h”都为1.6米.请你用所学知识帮两个小组完成计算(参考数据:tan 42°≈0.9,tan 48°=,答案保留整数结果).【解析】第一小组:在Rt△BCD中得,BC=;在Rt△ACD中得,AC=,因为AC-BC=s,即-=s,得CD=≈≈426.3(米),H1=426.3+1.6≈428(米).第二小组:由△MKE∽△PQE得EQ==,同理由△NTF∽△PQF得FQ==.因为EQ-FQ=a,所以=a,所以PQ===384(米),所以H2=PQ+3×11=417(米).【补偿训练】为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1千米处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西千米有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12千米的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格?【解析】如图所示,考点为A,检查开始处为B,设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到信号,即公路上C,D两点到考点的距离均为1千米.在△ABC中,AB=千米,AC=1 千米,∠ABC=30°,由正弦定理得sin∠ACB=×AB=,所以∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意),所以∠BAC=30°,所以BC=AC=1 千米.在△ACD中,AC=AD=1 千米,∠ACD=60°,所以△ACD为等边三角形,所以CD=1 千米.因为×60=5,所以在BC上需5分钟,CD上需5分钟.所以最长需要5分钟检查员开始收不到信号,并持续至少5分钟才算合格.。
北师大版2019高中数学必修5第二章 解三角形23解三角形的实际应用举例习题精选 含答案
§3 解三角形的实际应用举例课后篇巩固探究. 1ABABC,不共线的一点,,为了测量某湖泊两侧然后,某同学首先选定了与间的距离,如图所示ABCABCabc)的角所对的边分别记为,,,,给出了四种测量方案:(△①ACb ②abC ③ABa ④abB测量,,,,,,,测量测量测量,AB )间距离的所有方案的序号为则一定能确定(,①②③②③④①③④①②③④ D.B. A.C.①③正确;已知两边及夹角,故,可以确定三可以确定三角形解析:已知三角形的两角及一边,②④.错误故已知两边与其中一边的对角,满足条件的三角形可能有一个或两个角形,故,正确;.故选A答案:A.已知某路边一树干被台风吹断后,树尖与地面成45°角,树干也倾斜为与地面成275°角,树 . ()m干底部与树尖着地处相距20 m,则折断点与树干底部的距离是B.10 A.D.20 C.OBAABO=AOB=75°,45°,∠,折断点为 ,如图解析:,设树干底部为,树尖着地处为则∠OAB=. 60°所以∠,,由正弦定理知AO=. (m)所以A答案:.则经2 km/h,已知河水流速为,120°的方向航行的速度与水流方向成4 km/h已知一艘船以3．) (过 h,该船实际航程为..6 km 2A km B..8 kmkmC2D||=AOB=||=120°,∠ ,因为2 km/h,4 km/h,解析:如图||=OAC=60°, 所以∠.= (km/h)2=. 26(km) h,该船的实际航程为经过B:答案.BB岛出同时乙船自的速度向正北方向航行,4 km/h岛的正南方10 km处4,甲船在且甲船以发以6 km/h的速度向北偏东60°的方向行驶,当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是)(..15 hD.25 min B. hC.21A. minxPQsBPQ则在△,处设经过, h后甲船处于点两船的距离为处,乙船处于点如图解析:,2222BQBPsxPBQ==PQ=BP+BQ-xBP=-BQ=·cos∠ km,∠120°,由余弦定理可知,(1024) km,·6中=x=-s. 2222-x+.xx=sPBQx=-x+x-- ,即)·6100(10·cos 120°4)4(628)202(10min h此时,当最小,时A答案:SM.S随后货轮20测得灯塔5已知一货轮航行到处,在货轮的北偏东15°,与灯塔相距海里,)(则货轮的速度为,又测得灯塔在货轮的东北方向,分后3030°的方向航行按北偏西//时 )海里时海里B.20(A.20()//时时 )C.20()海里D.20(海里N处,30分后到达解析:设货轮航行NMS=MNS=105°,45°,∠由题意可知∠MSN=--=.105°30°则∠45°180°MS=MNS中在△, 20海里而,由正弦定理得,MN=即=.== )10()(海里/.÷= )时20(故货轮的速度为)10()(海里B:答案.AC的俯角为30°,向前飞行10 处测得正前下方地面目标000 6m飞机沿水平方向飞行,在到BC ) 的俯角为75°,这时飞机与地面目标的水平距离为达处,此时测得正前下方目标( -B.5 000 m1) mA.2 500( mC.4 000 mD.4 000BAC=DBC=AB=10 000 m,30°,∠75°,,解析:如图∠ACB=. 45°所以∠得,由正弦定理,=,cos 75°又．-.BD==·cos 75°2 500(所以1)(m)A答案:.A地以20 km/h的速度向东北方向移动,离台风中心30 km7内的地区为危险区台风中心从,BAB ) 处,城市(在城市处于危险区内的持续时间为的正东40 km.5 h B.1 h A.0.D.2 h C.15 h×t×. (202)40cos 45°≤3040解析:设20 h后,,市处于危险区内则由余弦定理得222tBt+-|==|t-t. 1从而21B 答案:.8 2=.ttt+t+t=t- 82,4化简得7≤0,所以·2211ABBA.海上停泊位于灯塔,灯塔n 如图,已知海岸线上有相距5 mile的两座灯塔的正南方向, DABA乙船位于灯塔处3 n mile的北偏西75°方向,与的相距;甲位于灯塔着两艘轮船,BC. 处,5 n mile的则两艘船之间的距离为的北偏西60°方向,与n mile相距ACBC=AB=ABC=60°, 5 n mile,解析:连接∠,ABCAC=5 n mile, 所以为等边三角形所以△,DAC=--=. 180°60°75°且∠45°222CD=×=.××-+CDACD= (33所以mile545°cos n 13,)52,在△中由余弦定理得. n mile故两艘船之间的距离为:答案.9BA=C处测得点60°,在塔底α的俯角处测得地面上一点在塔顶,山顶上有一座电视塔,如图A=.. β的俯角60 m,45°则山高为已知塔高ABCBC=BAC=ABC=30°, ,15°,∠60 m,解析:在△∠中.AC==30(得)(m)由正弦定理,+=.CD=AC1)(m)·sin 45°所以30(+1)m30(答案:.10MNAC.AM的仰角∠为测量观测点,为测量山高,选择测得点和另一座山的山顶从点如图MAN=CCAB=MAC=CMCA=.BC=50 m,的仰角∠测得∠45°及∠已知山高75°,从点60°60°,点MN=. 则山高 m.AC=ABCCAB=BC= m45°,5050 m,所以解析:在Rt△∠中,AMCMAC=MCA=AMC=45°, ∠中,60°,从而∠75°,∠在△.AM= m,,因此50由正弦定理得=MN=AM=MAN=.=MNA m,50∠75(m)sin 60°,得60°,由50在Rt△,中75 答案:.11CMCNMCN=.120°∠为某公园景观湖畔的两条木栈道导学号33194045如图,,,ABBC=aAC=bAB=c. )单位,:,现拟在两条木栈道的百米,(两处设置观景台,记abcb的值;4,求成等差数列,(1)若且公差为,,AB=ABC=A-C-BA-C-B长的最大,表示观景路线并求观景路线已知的长12,记∠θ,试用θ(2).值abc成等差数列,因为(1)且公差为,4,,解a=b-c=b+4, 4,所以MCN=120°,因为∠222.b-b-+bb-=b+b= 104)cos 120°,解得(24)(4),(所以由余弦定理得．得,,(2)由题意-BC=AC=θsin(60°所以), 88sin θ,AC+BC=A-C-B8所以sin的长路线观景+<=+<.-θ8sin(60°860°)sin(60°θθθ))(0°A-C-B=.8,观景路线所以当θ长的最大值为百米30°时.12M的方位角为α,前进,一艘船由西向东航行,测得某岛5导学号33194046如图..现该船继续东行内有暗礁β,已知该岛周围3 kmkm后测得此岛的方位角为==60°,问该船有无触礁危险β若α?2(1)(2)当α与β满足什么条件时,该船没有触礁的危险?MABMCd km,则的距离解(1)设岛到直线为AC=dBC=d. kmtan βtan α km,AC-BC=AB,由d=.d-d= tan αtan β得5,d=>==3,2β,当α60°时.所以此时没有触礁的危险d>3, ,只要使方法一:要使船没有触礁危险(2) >.即3<-<><0,tan tan ,所以因为0βααβ<-,tan βtan 所以α<.-该船没有触礁的危险,时βtan αtan 满足β,α所以当．CM=x由 km,:设,方法二x=,解得即,>.时没有触礁危险所以当3.某海军护航舰艇在某海域执行护航任务时,收到某渔船在航行中发出的求救信号,海军舰13AAC处,10 n mile的处获悉后,立即测出该渔船在方位角为45°、距离并测得渔船艇在为正沿方位角为105°的方向,以9 n mile/h的速度航行,海军舰艇立即以21 n mile/h的速度.1°,0(角度精确到前去营救,试问舰艇应按照怎样的航向前进?并求出靠近渔船所用的时间. 1 min)时间精确到Ax h,设舰艇从处靠近渔船所用的时间为解如图,AB=x n mile,则21BC=x n mile, 9AC=10 n mile,ACB=+=+-=120°,45°∠105°)∠1(180°∠2x×x+-×x= (9)9(212)10cos 120°,10 222BC+BC-ACAB=AC根据余弦定理可得·2·cos 120°,222即2=-x-x0, 91036亦即=-xx=),(,舍去解得21.AB=BC= 14 n mile,所以6 n mile BAC= cos ∠由余弦定理可得=.BAC.8°,≈21≈0928 6,所以∠=.=..+8°的方66 h40 min,所以舰艇应以北偏东所以方位角为45°218°668°,又因为.靠近渔船需要向航行,40 min。
北师大版高中数学必修五第二章 第2-3节 三角形中的几何计算;解三角形的实际应用举例同步练习.doc
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例同步练习（答题时间：70分钟）一、选择题：1. 在△ABC 中，已知a=1，b=3，∠A=30°，B 为锐角，则角A ，B ，C 的大小关系是（ ）A. A>B>CB. B>A>CC. C>B>AD. C>A>B *2. 在△ABC 中，角A ，B 满足：sin32A =sin 32B ，则三边a ，b ，c 必满足（ ） A. a=bB. a=b=cC. a+b=2cD. 0)c ab b a )(b a (222=--+-3. 如图，D ，C ，B 三点在一条直线上，DC=a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角是,βα，（βα<）则A 点离地面的高度AB 等于（ ）sin sin sin sin sin cos cos cos ,,,,,sin()cos()sin()cos()a a a a A B C D αβαβαβαβαβαβαβαβ---- 4. 在三角形ABC 中，下列等式总能成立的是（ ）A. a cosC=c cosAB. bsinC=csinAC. absinc=bcsinBD. asinC=csinA *5. 某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，则x=（ ）,3,23,323D,3A B C 或 *6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60°，塔底的俯角是︒45，则这座塔高是（ ）3,20(1),20(13)m ,10(62),20(62)m3A m B C m D ++++*7. 已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都是a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离是（ ） A,a kmB,32km ,2k a km C a D a m ，8. 在三角形ABC 中，若（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc ，且sinA=2sinBcosC ，则三角形ABC 是（ ）A. 等腰三角形，B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形二、填空题：*9. 在三角形ABC 中，a －b=4，a+c=2b ，且最大角为120°，则此三角形的周长是**10. 在三角形ABC 中，若C=3B ，则c b的取值范围是 *11. 在三角形ABC 中，已知B=45°，C=60°，2(31),a =+则三角形的面积S=________ 12. 海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望，C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°视角，则B 岛和C 岛的距离是 海里*13. 在三角形ABC 中，若acosA+bcosB=c cosC ，则三角形ABC 的形状是 **14. 若等腰三角形的顶角是20°，底边和一腰长分别是b ，a ，则下列结论不成立的是（1）3323323,(2)3a b a b a b ab +=+=，（3）333a b ab +=（4）33223a b a b +=三、计算题：*15. 已知地面上有一旗杆OP ，为了测得其高度h ，地面上取一基线AB ，AB=20米，在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45°，又知∠AOB=60°，求旗杆的高度h.16. 已知小岛A 的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？**17. 在圆心角为60°的扇形铁板OAB 中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。
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第二章 第2-3节 三角形中的几何计算；解三角形的实际应用举例同步练习（答题时间：70分钟）一、选择题：1. 在△ABC 中，已知a=1，b=3，∠A=30°，B 为锐角，则角A ，B ，C 的大小关系是（ ）A. A>B>CB. B>A>CC. C>B>AD. C>A>B*2. 在△ABC 中，角A ，B 满足：sin32A =sin 32B ，则三边a ，b ，c 必满足（ ） A. a=bB. a=b=cC. a+b=2cD. 0)c ab b a )(b a (222=--+-3. 如图，D ，C ，B 三点在一条直线上，DC=a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角是,βα，（βα<）则A 点离地面的高度AB 等于（ ）sin sin sin sin sin cos cos cos ,,,,,sin()cos()sin()cos()a a a a A B C D αβαβαβαβαβαβαβαβ---- 4. 在三角形ABC 中，下列等式总能成立的是（ ）A. a cosC=c cosAB. bsinC=csinAC. absinc=bcsinBD. asinC=csinA*5. 某人向正东方向走x 千米后，他向右转150°，然后朝新的方向走3千米，结果他离出发点恰好为3千米，则x=（ ）,3,23,323D,3A B C 或*6. 有一座20米高的观测台，测得对面一水塔塔顶的仰角是60°，塔底的俯角是︒45，则这座塔高是（ ）3,20(1),20(13)m ,10(62),20(62)m3A m B C m D ++++*7. 已知两灯塔A 和B 与海洋观测站C 的距离都是a km ，灯塔A 在观测站C 的北偏东20°，灯塔B 在观测站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离是（ ）A,a km B,32km ,2k a km C a D a m ，8. 在三角形ABC 中，若（a+b+c ）（b+c －a ）=3bc ，且sinA=2sinBcosC ，则三角形ABC 是（ ）A. 等腰三角形，B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形二、填空题：*9. 在三角形ABC 中，a －b=4，a+c=2b ，且最大角为120°，则此三角形的周长是**10. 在三角形ABC 中，若C=3B ，则c b的取值范围是 *11. 在三角形ABC 中，已知B=45°，C=60°，2(31),a =+则三角形的面积S=________ 12. 海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望，C 岛和B 岛成60°视角，从B 岛望A 岛和C 岛成75°视角，则B 岛和C 岛的距离是 海里*13. 在三角形ABC 中，若acosA+bcosB=c cosC ，则三角形ABC 的形状是**14. 若等腰三角形的顶角是20°，底边和一腰长分别是b ，a ，则下列结论不成立的是（1）3323323,(2)3a b a b a b ab +=+=，（3）333a b ab +=（4）33223a b a b +=三、计算题：*15. 已知地面上有一旗杆OP ，为了测得其高度h ，地面上取一基线AB ，AB=20米，在A 处测得P 点的仰角∠OAP=30°，在B 处测得P 点的仰角∠OBP=45°，又知∠AOB=60°，求旗杆的高度h.16. 已知小岛A 的周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30°，航行30海里后在C 处测得小岛A 在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，问有无触礁的危险？**17. 在圆心角为60°的扇形铁板OAB 中，工人师傅要裁出一个面积最大的内接矩形，求此内接矩形的最大面积。
高中数学 第二章 解三角形 3 解三角形的实际应用举例学案 北师大版必修5
3 解三角形的实际应用举例学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)知识点二测量方案思考如何不登月测量地月距离？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如解决不能到达的实际测量问题．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量不可到达点间的距离例1 如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55 m，∠BAC＝51°，∠ACB＝75°.求A、B两点间的距离(精确到0.1 m)．反思与感悟解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确作出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．跟踪训练1 要测量对岸两点A、B之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，则A、B之间的距离为______km.类型二测量高度例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A 处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3 m，求出山高CD(精确到1 m)．反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2 江岸边有一炮台高30 m，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m.类型三航海中的测量问题例3 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C.如果下次航行直接从A 出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离？(角度精确到0.1°，距离精确到0.01 n mile)反思与感悟解决航海问题一要搞清方位角(方向角)，二要弄清不动点(三角形顶点)，然后根据条件，画出示意图，转化为解三角形问题．跟踪训练3 甲船在A点发现乙船在北偏东60°的B处，乙船以每小时a海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？1．一艘海轮从A处出发，以40 n mile/h的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是( )A．10 2 n mile B．10 3 n mileC．20 2 n mile D．20 3 n mile2．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．3．如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，求A、B两点的距离．4．为测量某塔的高度，在A，B两点进行测量的数据如图所示，求塔的高度．1．在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．2．解三角形的应用题时，通常会遇到两种情况：(1)已知量与未知量全部集中在一个三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之．(2)已知量与未知量涉及两个或几个三角形，这时需要选择条件足够的三角形优先研究，再逐步在其余的三角形中求出问题的解．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 (1)90 (2)上方 下方 知识点二思考 可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点看月亮的视角，通过解三角形求得地月距离． 题型探究例1 解 根据正弦定理得AB sin C ＝ACsin B，AB ＝AC sin C sin B＝AC sin C－A －C ＝55sin 75°－51°－＝55sin 75°sin 54°≈65.7(m)．答 A 、B 两点间的距离为65.7 m. 跟踪训练1 5解析如图，在△ACD 中，∠ACD ＝120°，∠CAD ＝∠ADC ＝30°， ∴AC ＝CD ＝ 3 (km)．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°. ∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22(km)．△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－23×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5， ∴AB ＝ 5 (km)．∴A 、B 之间的距离为 5 km.例2 解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β，∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β，∠BAD ＝α. 根据正弦定理，BCα－β＝AB＋β，所以AB ＝BC ＋βα－β＝BC cos βα－β.解Rt△ABD ，得BD ＝AB sin∠BAD ＝BC cos βsin αα－β.将测量数据代入上式，得BD ＝27.3cos 50°1′sin 54°40′－＝27.3cos 50°1′sin 54°40′sin 4°39′≈177.4(m)．CD ＝BD －BC ≈177.4－27.3≈150(m)．答 山的高度约为150 m. 跟踪训练2 30解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点， 在△ABC 中，由题意可知AC ＝30tan 30°＝303(m)，BC ＝30tan 45°＝30(m)，C ＝30°，AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900，所以AB ＝30(m)．例3 解 在△ABC 中，∠ABC ＝180°－75°＋32°＝137°， 根据余弦定理，AC ＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos∠ABC＝67.52＋54.02－2×67.5×54.0×cos 137° ≈113.15(n mile)．根据正弦定理，BC sin∠CAB ＝ACsin∠ABC，sin∠CAB ＝BC sin∠ABC AC ＝54.0sin 137°113.15≈0.325 5， 所以∠CAB ＝19.0°，75°－∠CAB ＝56.0°.答 此船应该沿北偏东56.0°的方向航行，需要航行113.15 n mile. 跟踪训练3 解如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇， 则在△ABC 中，BC ＝at (海里)， AC ＝3at (海里)， B ＝90°＋30°＝120°，由BC sin∠CAB ＝ACsin B得：sin∠CAB ＝BC sin B AC ＝at ·sin 120°3at ＝323＝12，∵0°<∠CAB <90°， ∴∠CAB ＝30°.∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 当堂训练1．A 2.203米、4033米3．解 由题意知∠ABC ＝30°， 由正弦定理AC sin∠ABC ＝ABsin∠ACB，故AB ＝AC ·sin∠ACBsin∠ABC＝50×2212＝502(m)． 4．解 在△ABT 中，∠ATB ＝21.4°－18.6°＝2.8°， ∠ABT ＝90°＋18.6°，AB ＝15(m)． 根据正弦定理，15sin 2.8°＝ATcos 18.6°，AT ＝15×cos 18.6°sin 2.8°.塔的高度为AT ×sin 21.4°＝15×cos 18.6°sin 2.8°×sin 21.4°≈106.19(m)．。
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[A 基础达标]1．如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点间的距离为( )A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD ．2522m解析：选A.由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝ACsin ∠CBA .又∠CBA ＝180°－45°－105°＝30°，故AB ＝AC ·sin ∠ACB sin ∠CBA＝50×2212＝50 2 (m)．2.如图，测量河对岸的塔的高度AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30米，并在C 测得塔顶A 的仰角为60°，则塔AB 的高度为( ) A ．152米 B ．153米 C ．15(3＋1)米D ．156米解析：选D.在△BCD 中，由正弦定理得BC ＝CD sin 30°sin 135°＝152(米)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan 60°＝156(米)．故选D.3．某舰艇在A 处测得遇险渔船在北偏东45°方向且距离为10海里的C 处，此时得知，该渔船沿北偏东105°方向，以每小时9海里的速度向一小岛靠近，舰艇时速为21海里，则舰艇与渔船相遇的最短时间为( ) A ．20分钟 B ．40分钟 C ．60分钟D ．80分钟解析：选B.如图，设它们在D处相遇，用时为t小时，则AD＝21t，CD＝9t，∠ACD＝120°，由余弦定理，得cos 120°＝102＋（9t）2－（21t）22×10×9t，解得t＝23(负值舍去)，23小时＝40分种，即舰艇与渔船相遇的最短时间为40分钟．4．渡轮以15 km/h的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h，则渡轮实际航行的速度约为(精确到0.1 km/h)()A．14.5 km/h B．15.6 km/hC．13.5 km/h D．11.3 km/h解析：选C.由物理学知识，画出示意图，AB＝15，AD＝4，∠BAD＝120°.在▱ABCD中，D＝60°，在△ADC中，由余弦定理得AC＝AD2＋CD2－2AD·CD cos D＝16＋225－4×15＝181≈13.5.5．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东40°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°解析：选B.如图所示，∠ECA＝40°，∠FCB＝60°，∠ACB＝180°－40°－60°＝80°，因为AC＝BC，所以∠A＝∠ABC＝180°－80°2＝50°，所以∠ABG＝180°－∠CBH－∠CBA＝180°－120°－50°＝10°.故选B.6．如图所示为一角槽，已知AB ⊥AD ，AB ⊥BE ，并测量得AC ＝3 mm ，BC ＝2 2 mm ，AB ＝29 mm ，则∠ACB ＝________．解析：在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠ACB ＝32＋（22）2－（29）22×3×22＝－22.因为∠ACB ∈(0，π)，所以∠ACB ＝3π4.答案：3π47．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是__________ m.解析：设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ 3 h ，根据余弦定理，得(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50，故水柱的高度是50 m. 答案：508．一蜘蛛沿东北方向爬行x cm 捕捉到一只小虫，然后向右转105°，爬行10 cm 捕捉到另一只小虫，这时它向右转135°爬行回它的出发点，那么x ＝________．解析：如图所示，设蜘蛛原来在O 点，先爬行到A 点，再爬行到B 点，易知在△AOB 中，AB ＝10 cm ，∠OAB ＝75°，∠ABO ＝45°，则∠AOB ＝60°，由正弦定理知： x ＝AB ·sin ∠ABO sin ∠AOB ＝10×sin 45°sin 60°＝1063.答案：10639．如图，某军舰艇位于岛屿A 的正西方C 处，且与岛屿A 相距120海里．经过侦察发现，国际海盗船以100海里/小时的速度从岛屿A 出发沿北偏东30°方向逃窜，同时，该军舰艇从C 处出发沿北偏东90°－α的方向匀速追赶国际海盗船，恰好用2小时追上．(1)求该军舰艇的速度． (2)求sin α的值．解：(1)依题意知，∠CAB ＝120°，AB ＝100×2＝200， AC ＝120，∠ACB ＝α， 在△ABC 中， 由余弦定理，得 BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠CAB ＝2002＋1202－2×200×120cos 120° ＝78 400，解得BC ＝280.所以该军舰艇的速度为BC2＝140海里/小时．(2)在△ABC 中，由正弦定理， 得AB sin α＝BCsin 120°，即 sin α＝AB sin 120°BC ＝200×32280＝5314.10.如图，一人在C 地看到建筑物A 在正北方向，另一建筑物B 在北偏西45°方向，此人向北偏西75°方向前进30 km 到达D 处，看到A 在他的北偏东45°方向，B 在北偏东75°方向，试求这两座建筑物之间的距离． 解：依题意得，CD ＝30 km ，∠ADB ＝∠BCD ＝30°＝∠BDC ，∠DBC ＝120°，∠ADC ＝60°， ∠DAC ＝45°.在△BDC 中， 由正弦定理得BC ＝DC sin ∠BDC sin ∠DBC ＝30sin 30°sin 120°＝10(km)．在△ADC 中，由正弦定理得 AC ＝DC sin ∠ADC sin ∠DAC ＝30sin 60°sin 45°＝35(km)．在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB＝(35)2＋(10)2－2×35×10cos 45°＝25. 所以AB ＝5(km)，即这两座建筑物之间的距离为5 km.[B 能力提升]11．如图，某山上原有一条笔直的山路BC ，现在又新架设了一条索道AC ，小李在山脚B 处看索道AC ，发现张角∠ABC ＝120°，从B 处攀登400米后到达D 处，再看索道AC ，发现张角∠ADC ＝150°，从D 处再攀登800米方到达C 处，则索道AC 的长为______米．解析：在△ABD 中，BD ＝400，∠ABD ＝120°，因为∠ADB ＝180°－∠ADC ＝30°，所以∠DAB ＝30°，所以AB ＝BD ＝400，AD ＝ AB 2＋BD 2－2AB ·BD cos 120°＝400 3.在△ADC 中，DC ＝800，∠ADC ＝150°，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠ADC ＝(4003)2＋8002－2×4003×800×cos 150°＝4002×13，所以AC ＝40013，故索道AC 的长为40013米． 答案：4001312.如图，在山底测得山顶仰角∠CAB ＝45°，沿倾斜角为30°的斜坡走1 000 m 至S 点，又测得山顶仰角∠DSB ＝75°，则山高BC 为______m. 解析：如图，∠SAB ＝45°－30°＝15°，又∠SBD ＝15°， 所以∠ABS ＝30°.AS ＝1 000，由正弦定理知BS sin 15°＝ 1 000sin 30°，所以BS ＝2 000sin 15°.所以BD ＝BS ·sin 75°＝2 000sin 15°·cos 15°＝1 000sin 30°＝500， 且DC ＝ST ＝1 000sin 30°＝500， 从而BC ＝DC ＋DB ＝1 000 m. 答案：1 00013.某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度，如图，在C 处进行该仪器的垂直弹射，观测点A ，B 两地相距100 m ，∠BAC ＝60°，在A 地听到弹射声音的时间比B 地晚217s ．A 地测得该仪器在C 处时的俯角为15°，A 地测得该仪器在最高点H 时的仰角为30°，求该仪器的垂直弹射高度CH .(声音在空气中的传播速度为340 m/s) 解：由题意，设AC ＝x m ， 则BC ＝x －217×340＝x －40 (m)．在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝BA 2＋CA 2－2BA ·CA ·cos ∠BAC ， 即(x －40)2＝10 000＋x 2－100x ，解得x ＝420.在△ACH 中，AC ＝420 m ，∠CAH ＝30°＋15°＝45°，∠CHA ＝90°－30°＝60°. 由正弦定理得CH sin ∠CAH ＝AC sin ∠AHC ，所以CH ＝AC ·sin ∠CAHsin ∠AHC ＝1406(m)．故该仪器的垂直弹射高度CH 为140 6 m.14．(选做题)如图，某人在塔的正东方向上的C 处在与塔垂直的水平面内沿南偏西60°的方向以每小时6千米的速度步行了1分钟以后，在点D 处望见塔的底端B 在东北方向上，已知沿途塔的仰角∠AEB ＝α，α的最大值为60°.(1)求该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了几分钟； (2)求塔的高AB .(结果保留根号，不求近似值)．解：(1)依题意知，在△DBC 中，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝180°－45°＝135°，CD ＝6 000×160＝100 (m)，∠BDC ＝45°－30°＝15°，由正弦定理得 CD sin ∠DBC ＝BCsin ∠BDC，所以BC ＝CD ·sin ∠BDC sin ∠DBC ＝100×sin 15°sin 135°＝100×6－2422＝50（6－2）2＝50(3－1)(m)，在Rt △ABE 中，tan α＝ABBE，因为AB 为定长，所以当BE 的长最小时，α取最大值60°，这时BE ⊥CD ，当BE ⊥CD 时，在Rt △BEC 中，EC ＝BC ·cos ∠BCE ＝50(3－1)·32＝25(3－3)(m)，设该人沿南偏西60°的方向走到仰角α最大时，走了t 分钟，则t ＝EC6 000×60＝25（3－3）6 000×60＝3－34(分钟)．(2)由(1)知当α取得最大值60°时，BE ⊥CD ， 在Rt △BEC 中，BE ＝BC ·sin ∠BCD ，所以AB ＝BE ·tan 60°＝BC ·sin ∠BCD ·tan 60° ＝50(3－1)·12·3＝25(3－3)(m)，即所求塔高为25(3－3) m.。