7解直角三角形(3)

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解直角三角形讲义

解直角三角形初三下册第一章：知识点总结：1. 解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求位置元素的过程，就是解直角三角形。

（1）三边关系：222c b a （2）锐角关系：∠A+∠B=90°； ( 3 ) 边角关系：正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记sinA ,即sinA =c a余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记cosA ,即cosA=c b；正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记tanA ，即tanA=ba；特殊锐角的三角函数值① 同角三角函数的关系：平方关系：1cos sin 22 A A ; 商数关系：tanA=AAcos sin ②互余两角的三角函数关系：sinA=cosB; sinA=cos(90°-A) ; cosA=sin (90°-A ); tanA=cot(90°-A )2.实际问题仰角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时叫做仰角。

俯角：进行高度测量时，在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线下方时叫做俯角。

坡度（坡比）：坡面的铅垂高度和水平宽度的比叫做坡面的坡度，记作i=h:l。

坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,即i=h:l=tana.方位角：从某点的正北方向沿顺时针方向旋转到目标方向所形成的角叫做方位角。

方向角：从正北方向或正南方向到目标方向形成的小雨90°的角叫做方向角。

典型例题：题型一：特殊三角函数值1、计算2sin30°-sin245°+cot60°的结果是（）A、B、C、D、2、已知a=3，且（4tan 45°-b）2+=0，以a，b，c为边组成的三角形面积等于（）A、6B、7C、8D、93、已知a为锐角，且sin（a-10°）=，则a等于（）A、50°B、60°C、70°D、80°4、在△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，则cosA等于（）A、B、C、D、5、如图，如果∠A是等边三角形的一个内角，那么cosA的值等于（）A、B、C、D、16、△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（）A、直角三角形B、钝角三角形C、锐角三角形D、不能确定7、计算：sin213°+cos213°+sin60°-tan30°．8、求下列各式的值：（1）a、b、c是△ABC的三边，且满足a2=（c+b）（c-b）和4c-5b=0，求cosA+cosB的值；（2）已知A为锐角，且tanA=，求sin2A+2sinAcosA+cos2A的值．题型二：解直角三角形1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（）A、2B、C、2D、42、等腰三角形的顶角为120°，腰长为2cm，则它的底边长为（）A、cmB、cmC、2cmD、cm3、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=45°，∠D=120°，AB=8cm，则DC的长为（）A、cmB、cmC、cmD、8cm4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB为90°，CD⊥AB，cos∠BCD=，BD=1，则边AB的长是（）A、B、C、2 D、5、如图，将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′，若AC=1，则图中阴影部分的面积为（）A、B、C、D、6、在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是（）A、B、C、D、7、如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点0，∠AOB=60°，AB=5，则AD的长是（）A、5B、5C、5D、108、如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，，BE=2，则tan∠DBE的值（）A、B、2 C、D、9、如图，四边形ABCD和四边形BEFD都是矩形，且点C恰好在EF上．若AB=1，AD=2，则S△BCE为（）A、1B、C、D、10、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=8，点E为AC的中点，点F在底边BC上，且FE⊥BE，则△CEF的面积是（）A、16B、18C、6D、711、如图，在梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=，点E在AB上，∠AED=45°，DE=6，CE=7．求：AE的长及sin∠BCE的值．12、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=AD=6，DE⊥DC交AB于E，DF平分∠EDC交BC 于F，连接EF．（1）证明：EF=CF；（2）当tan∠ADE=时，求EF的长．题型三：解直角三角形的应用1、如图，某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要（）A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元2、如图，AB是斜靠在墙上的长梯，D是梯上一点，梯脚B与墙脚的距离为1.6m（即BC的长），点D与墙的距离为1.4m（即DE的长），BD长为0.55m，则梯子的长为（）A、4.50mB、4.40mC、4.00mD、3.85m3、如图，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树AB与地面成30°角，这时测得大树在地面的影长BC为10m，则大树的长为（）m．A、5B、10C、15D、204、如图，小明同学在东西走向的文一路A处，测得一处公共自行车租用服务点P在北偏东60°方向上，在A 处往东90米的B处，又测得该服务点P在北偏东30°方向上，则该服务点P到文一路的距离PC为（）A、60米B、45米C、30米D、45米5、如图是某货站传送货物的平面示意图．为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由45°改为30°．已知原传送带AB长为4米．（1）求新传送带AC的长度；（2）如果需要在货物着地点C的左侧留出2米的通道，试判断距离B点4米的货物MNQP是否需要挪走，并说明理由．（说明：（1）（2）的计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.24，≈2.45）6、如图，河流的两岸PQ、MN互相平行，河岸PQ上有一排小树，已知相邻两树之间的距离CD=50米，某人在河岸MN的A处测得∠DAN=35°，然后沿河岸走了120米到达B处，测得∠CBN=70°．求河流的宽度CE（结果保留两个有效数字）．（参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70，sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）7、某市为缓解城市交通压力，决定修建人行天桥，原设计天桥的楼梯长AB=6m，∠ABC=45°，后考虑到安全因素，将楼梯脚B移到CB延长线上点D处，使∠ADC=30°（如图所示）．（1）求调整后楼梯AD的长；（2）求BD的长．（结果保留根号）8、某河道上有一个半圆形的拱桥，河两岸筑有拦水堤坝．其半圆形桥洞的横截面如图所示．已知上、下桥的坡面线ME、NF与半圆相切，上、下桥斜面的坡度i=1：3.7，桥下水深=5米．水面宽度CD=24米．设半圆的圆心为O，直径AB在坡角顶点M、N的连线上．求从M点上坡、过桥、下坡到N点的最短路径长．（参考数据：π≈3，≈1.7，tan15°=）题型四：坡度坡角问题及仰角俯角问题1、如图，是一水库大坝横断面的一部分，坝高h=6m，迎水斜坡AB=10m，斜坡的坡角为α，则tanα的值为（）A、B、C、D、2、如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两树间的水平距离）为4m．如果在坡度为0.75的山坡上种树，也要求株距为4m，那么相邻两树间的坡面距离为（）A、5mB、6mC、7mD、8m3、周末，身高都为1.6米的小芳、小丽来到溪江公园，准备用她们所学的知识测算南塔的高度．如图，小芳站在A处测得她看塔顶的仰角α为45°，小丽站在B处（A、B与塔的轴心共线）测得她看塔顶的仰角β为30°．她们又测出A、B两点的距离为30米．假设她们的眼睛离头顶都为10cm，则可计算出塔高约为（结果精确到0.01，参考数据：≈1.414，≈1.732）（）A、36.21米B、37.71米C、40.98米D、42.48米4、一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B处测量时，测角器中的∠AOP=60°（量角器零度线AC和铅垂线OP的夹角，如图）；然后她向小山走50米到达点F处（点B，F，D在同一直线上），这时测角器中的∠EO′P′=45°，那么小山的高度CD约为（）（注：数据≈1.732，≈1.414供计算时选用）A、68米B、70米C、121米D、123米5、如图，已知楼高AB为50m，铁塔基与楼房房基间的水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中，正确的是（）A、由楼顶望塔顶仰角为60°；B、由楼顶望塔基俯角为60°；C、由楼顶望塔顶仰角为30°；D、由楼顶望塔基俯角为30°6、已知小芳站在层高为2.5米的六层楼的屋顶上来估计旁边一支烟囱的高度，当小芳以俯角∠COB=45°向下看时，刚好可以看到烟囱的底部，当小芳以仰角∠AOB=30°向上看时，刚好可以看到烟囱的顶部，若小芳的身高为1.5米，请你估计烟囱的高度（=1.414，=1.732结果保留三个有效数字）（）A、22.1米B、26.0米C、27.9米D、32.8米7、如图，小明在大楼30米高（即PH=30米）的窗口P处进行观测，测得山坡上A处的俯角为15°，山脚B 处的俯角为60°，巳知该山坡的坡度i（即tan∠ABC）为1：，点P，H，B，C，A在同一个平面上，点H、B、C在同一条直线上，且PH丄HC．（1）山坡坡角（即∠ABC）的度数等于多少度；（2）求A、B两点间的距离（结果精确到0.1米，参考数据：≈1.732）．8、如图，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度．他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为（即AB：BC=），且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度（测倾器的高度忽略不计）．题型五：方向角问题1、如图，已知一渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东方向航行，半小时后到达B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是（）A、7海里B、14海里C、7海里D、14海里2、在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A、北偏东20°方向上B、北偏西20°方向上C、北偏西30°方向上D、北偏西40°方向上3、如图，小亮家到学校有两条路，一条沿北偏东45°方向可直达学校前门，另一条从小明家一直往东，到商店处向正北走100米，到学校后门；若两条路程相等，学校南北走向，学校后门在小明家北偏东67.5°处，学校前门到后门的距离是（）A、100米B、米C、米D、米4、综合实践课上，小明所在小组要测量护城河的宽度．如图所示是护城河的一段，两岸ABCD，河岸AB上有一排大树，相邻两棵大树之间的距离均为10米．小明先用测角仪在河岸CD的M处测得∠α=36°，然后沿河岸走50米到达N点，测得∠β=72°．请你根据这些数据帮小明他们算出河宽FR（结果保留两位有效数字）（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73，sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08）5、如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一知输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏东49°方向，B位于南偏西41°方向．（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由；（2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°=0.75）．6、如图所示，一艘轮船以30海里/小时的速度向正北方向航行，在A处得灯塔C在北偏西30°方向，轮船航行2小时后到达B处，在B处时测得灯塔C在北偏西45°方向．当轮船到达灯塔C的正东方向的D处时，求此时轮船与灯塔C的距离．（结果精确到0.1海里，参考数据≈1.41，≈1.73）．7如图，港口B在港口A的西北方向，上午8时，一艘轮船从港口A出发，以15海里∕时的速度向正北方向航行，同时一艘快艇从港口B出发也向正北方向航行，上午10时轮船到达D处，同时快艇到达C处，测得C 处在D处得北偏西30°的方向上，且C、D两地相距100海里，求快艇每小时航行多少海里？（结果精确到0.1海里∕时，参考数据≈1.41，≈1.73）8、（2010•陕西）在一次测量活动中，同学们要测量某公园的码头A与他正东方向的亭子B之间的距离，如图他们选择了与码头A、亭子B在同一水平面上的点P在点P处测得码头A位于点P北偏西方向30°方向，亭子B位于点P北偏东43°方向；又测得P与码头A之间的距离为200米，请你运用以上数据求出A与B的距离．练习作业：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，AB=7，则BC的长为（）A、7sin35°B、C、7cos35°D、7tan35°2、Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边．那么c等于（）A、acos A+bsin BB、asin A+bsin BC、D、3、如图AD⊥CD，AB=13，BC=12，CD=3，AD=4，则sinB=（）A、B、C、D、4、如图，已知一坡面的坡度i=1：，则坡角α为（）A、15°B、20°C、30°D、45°5、如图所示，CD是平面镜，光线从A点出发经CD上的E点反射后到达B点，若入射角为α，AC⊥CD，BD⊥CD，垂足分别为C，D，且AC=3，BD=6，CD=11，则tanα的值是（）A、B、C、D、6、如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55度．要使A，C，E成一直线．那么开挖点E离点D的距离是（）A、500sin55°米B、500cos55°米C、500tan55°米D、500cot55°米7、如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，且cosα=，AB=4，则AD的长为（）A、3 B、C、D、8、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，BD⊥CD．（1）求sin∠DBC的值；（2）若BC长度为4cm，求梯形ABCD的面积．9、路边路灯的灯柱BC垂直于地面，灯杆BA的长为2米，灯杆与灯柱BC成120°角，锥形灯罩的轴线AD 与灯杆AB垂直，且灯罩轴线AD正好通过道路路面的中心线（D在中心线上）．已知点C与点D之间的距离为12米，求灯柱BC的高．（结果保留根号）10、如图，为了测量某建筑物CD的高度，先在地面上用测角仪自A处测得建筑物顶部的仰角是30°，然后在水平地面上向建筑物前进了100m，此时自B处测得建筑物顶部的仰角是45°．已知测角仪的高度是1.5m，请你计算出该建筑物的高度．（取=1.732，结果精确到1m）．11、如图，某船由西向东航行，在点A测得小岛O在北偏东60°，船航行了10海里后到达点B，这时测得小岛O在北偏东45°，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．。

第二十八章第7课解直角三角形的应用(3)

(1)
答案图 (2)PB＝ 2PO＝80 2≈113(海里) 北偏西 45°方向，距离 B 处 113 海里处
4．如图，在东西方向的海岸线 MN 上有 A、B 两艘船，均收到已触礁搁浅的船 P 的求救信号，已知船 P 在船 A 的北偏东 60°方向，船 P 在船 B 的北偏西 35°方向，AP 的距离为 30 海里．求 PB 的长．(精确到 0.1 海里，参考数据：sin35°≈0.57， cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)
约 36 海里/小时提示：过 P 作 PC⊥AB 于 C PC＝PA·sin∠PAC ＝40×2×sin40°＝51.2(海里) PB＝siPn4C5°＝512.2≈71.68(海里)
2 ∴712.68＝35.84≈36
1．如图，某海监船向正西方向航行，在A处望见一艘正在作业渔船D在南偏西45°方向，海监船航行到B处时望见渔船D在南偏东45°方向，又航行了半小时到达C处，望见渔船D在南偏东 60°方向，若海监船的速度为50海里/小时，则A，B之间的距离为多少海里？ (取 3≈1.7，结果精确到0.1海里)．
解：(1)作CE⊥BA，交BA延长线交于点E. 答案图
∴由题意可知∠EAC＝53.2°. 在Rt△ AEC中，sin∠EAC＝EACC，∴EC＝800(m) ∴S△ ABC＝21AB·EC＝12×1400×800＝560 000(m2) ∴△ABC的面积为560 000平方米．
(2)作DF⊥AB，垂足为F，则DF∥CE. ∵D为BC中点，∴DF＝12EC＝400(m)，且F为BE中点 ∵AE＝AC·cos53.2°≈600(m)，∴BE＝BA＋AE＝2000(m) ∴AF＝EF－AE＝21BE－AE＝400(m) 由勾股定理得AD＝ AF2＋DF2 ＝ 4002＋4002 ＝400 2 ≈565.6(m) ∴A、D间的距离为565.6米．

2020年中考数学考点梳理：相似三角形和解直角三角形

知识点：一、比例线段1、比：选用同一长度单位量得两条线段。

a 、b 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比是a ：b ＝m ：n （或nm b a =） 2、比的前项，比的后项：两条线段的比a ：b 中。

a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。

说明：求两条线段的比时，对这两条线段要用同一单位长度。

3、比例：两个比相等的式子叫做比例，如dc b a = 4、比例外项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中a 、d 叫做比例外项。

5、比例内项：在比例d cb a =（或a ：b ＝c ：d ）中b 、c 叫做比例内项。

6、第四比例项：在比例dcb a =（或a ：b ＝c ：d ）中，d 叫a 、b 、c 的第四比例项。

7、比例中项：如果比例中两个比例内项相等，即比例为abb a =（或a:b=b:c 时，我们把b 叫做a 和d 的比例中项。

8、比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。

9、比例的基本性质：如果a ：b ＝c ：d 那么ad ＝bc 逆命题也成立，即如果ad ＝bc ，那么a ：b ＝c ：d10、比例的基本性质推论：如果a ：b=b ：d 那么b 2=ad ，逆定理是如果b 2=ad 那么a ：b=b ：c 。

说明：两个论是比积相等的式子叫做等积式。

比例的基本性质及推例式与等积式互化的理论依据。

11、合比性质：如果d c b a =，那么d dc b b a +=+ 12．等比性质：如果n m d c b a ===K ，（0≠+++m d b Λ），那么ban d b m c a =++++++ΛΛ说明：应用等比性质解题时常采用设已知条件为k ，这种方法思路单一，方法简单不易出错。

13、黄金分割把一条线段分成两条线段，使较长的线段是原线段与较小的线段的比例中项，叫做把这条线段黄金分割。

浙教版七年级下册数学第1章解直角三角形用解直角三角形解方位角问题

(2) 渔船到达距离小岛 B 最近点后，按原航向继续航行 20 6n mile 到点 C 处时突然发生事故，渔船马上向小岛 B 上的救援队求救，问救援队从 B 处出发沿着哪个方向航行到达事故地点航行路程最短？最短航行路程是多少？(结果保留根号)
解：在 Rt△BDC 中，tan∠C＝BDDC＝2200
解：如图，作点B关于MN的对称点G，则点B， D，E，G在一条直线上，连结AG交MN于点P，连结PB，点P即为体育馆．此时PA＋PB＝PA＋PG＝AG，即A，B两所学校到体育馆的距离之和最短为 AG的长．
在 Rt△ADG 中，AD＝3 km， DG＝DE＋EG＝DE＋BE＝4＋6＝10(km)， ∠ADG＝90°， ∴AG＝ AD2＋DG2＝ 32＋102＝ 109(km)．答：最短距离为 109km.
(2)小船从点P处沿射线AP的方向以3千米/时的速度进行沿途考察，航行一段时间后到达点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°方向，求小船沿途考察的时间．
解：如图，过点 B 作 BF⊥AC 于点 F.
根据题意得∠ABC＝90°＋15°＝105°，
在 Rt△ABF 中，∠AFB＝90°，∠BAF＝30°，
10 如图，在一笔直的海岸线上有 A，B 两个观测站，A 观测站在 B 观测站的正东方向，有一艘小船在点 P 处，从 A 处测得小船在北偏西 60°方向，从 B 处测得小船在北偏东 45°方向，点 P 到点 B 的距离是 3 2千米．(注：结果有根号的保留根号)
(1)求 A，B 两观测站之间的距离；
高限速 60 千米/时，此车__没__有__超__速____．(填“超速”或“没有超速”)(参考数据： 3≈1.732)
3 【中考·绵阳】一艘在南北航线上的测量船，于 A 点处测得海岛 B 在点 A 的南偏东 30°方向，继续向南航行

中考数学专题训练(七) 解直角三角形应用中的四类基本图形

专题训练(七) 解直角三角形应用中的四类基本图形在解直角三角形和利用直角三角形的边角关系解决实际问题时，往往利用方程思想将几何问题转化为代数问题来求解，其中有几个基本图形经常出现，现在做一个总结．在利用基本几何图形解题时，要注意几何图形的位置和形状可能有所变化，要细心区别．►基本图形一“梯形加高”型如图ZT－7－1所示，用解直角三角形解决实际问题时，经常遇到已知的图形是梯形且需要作高的情况，我们称之为“梯形加高”型．图ZT－7－11．为抵御百年不遇的洪水，某市政府决定将1200 m长的大堤的迎水坡面铺石加固，堤高DF＝4 m，堤面加宽2 m，则完成这一工程需要的石方数为________m3.图ZT－7－22．2017·丽水如图ZT－7－3是某小区的一个健身器材的平面示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到地面CD的距离．(精确到0.1 m) (参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图ZT－7－3►基本图形二“大套小”型如图ZT－7－4，A，B，C三点在一条直线上，DC⊥AC，已知其中的锐角α和β，AB＝m，设CD的长为x，在Rt△BCD和Rt△ACD中，AC＝CDtanα＝xtanα，BC＝CDtanβ＝xtanβ.又∵AC－BC＝m，∴xtanα－xtanβ＝m，整理得(tanβ－tanα)x＝m tanβ·tanα，∴CD＝x＝m tanβ·tanαtanβ－tanα.图中的Rt△BDC是Rt△ADC的一部分，且有公共的直角和一条直角边，我们称这种图形为“大套小”型．上面的公式是测量底部不能到达的物体高度的常见计算公式．图ZT－7－43．2017·邵阳如图ZT－7－5所示，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达点B，此时在R处测得仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度是__________km.图ZT－7－54．2017·河南如图ZT －7－6所示，我国两艘海监船A ，B 在南海海域巡航，某一时刻，两船同时收到指令，立即前往救援遇险抛锚的渔船C ，此时，B 船在A 船的正南方向5海里处，A 船测得渔船C 在其南偏东45°方向上，B 船测得渔船C 在其南偏东53°方向上，已知A 船的航速为30海里/时，B 船的航速为25海里/时，则C 船至少要等待多长时间才能得到救援？(参考数据：sin 53°≈45，cos 53°≈35，tan 53°≈43，2≈1.41)图ZT －7－6►基本图形三“背靠背”型如图ZT－7－7，Rt△ABC和Rt△ABD有公共的直角边AB，且C，B，D三点在一条直线上，我们把这种图形叫做“背靠背”型．如果已知锐角α和β，CD＝m，设AB＝x，则CB＝ABtanα＝xtanα，DB＝ABtanβ＝xtanβ.又∵CB＋DB＝m，∴xtanα＋xtanβ＝m，∴AB＝x＝m tanβ·tanαtanβ＋tanα.图ZT－7－75．2017·大庆如图ZT－7－8，已知一条东西走向的河流，在河流对岸有一点A，小明在岸边点B处测得点A在点B的北偏东30°方向上，小明沿河岸向东走80 m后到达点C，测得点A在点C的北偏西60°方向上，则点A到河岸BC的距离为________．图ZT－7－86．2017·德州如图ZT－7－9所示，某公路检测中心在一事故多发地段安装了一个测速仪器，检测点设在距离公路BC 10 m的A处，测得一辆汽车从B处行驶到C处所用时间为0.9 s，已知∠B＝30°，∠C＝45°.(1)求B，C之间的距离(结果保留根号)；(2)如果此地限速为80 km/h，那么这辆汽车是否超速？请说明理由(参考数据：3≈1.7，2≈1.4)．图ZT－7－9►基本图形四复合型所谓复合型，指的是上面几种基本图形的组合．7．2017·烟台如图ZT－7－10(示意图)，数学实践活动小组要测量学校附近楼房CD的高度，在水平地面A处安置测倾器测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，向前走20米到达A′处，测得点D的仰角为67.5°，已知测倾器AB的高度为1.6米，则楼房CD的高度约为(结果精确到0.1米，2≈1.414，tan67.5°≈2.414)()图ZT－7－10A．34.14米B．34.1米C．35.7米D．35.74米8．2017·黄冈在黄冈长江大桥的东端一处空地上，有一块矩形的标语牌ABCD(如图ZT －7－11所示)，已知标语牌的高AB＝5米，在地面的点E处测得标语牌点A的仰角为30°，在地面的点F处测得标语牌点A的仰角为75°，且点E，F，B，C在同一直线上，求点E 与点F之间的距离．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图ZT－7－11教师详解详析1．[答案] 14400[解析] ∵Rt△BFD中，tan∠DBF＝1∶2，∴BF＝2DF＝8，∴S△BDF＝12BF·DF＝16.∵Rt△ACE中，tan A＝1∶2.5，∴CE∶AE＝1∶2.5.∵CE＝DF＝4，∴AE＝10，∴S梯形AFDC＝(AE ＋EF＋CD)×DF÷2＝28，∴S四边形ABDC＝S梯形AFDC－S△BDF＝12，∴所需的石方数为12×1200＝14400(m3)．2．解：过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥AE于点F，则四边形EFBC是矩形．∵OD⊥CD，∠BOD＝70°，∴AE∥OD，∴∠A＝∠BOD＝70°.在Rt△AFB中，∵AB＝2.70，∴AF＝2.70×cos70°≈2.70×0.34＝0.918，∴AE＝AF＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m)．答：端点A到地面CD的距离约是1.1 m.3．[答案] (20 3－20)[解析] 在Rt△ARL中，LR＝AR·cos30°＝40×32＝20 3(km)，AL＝AR·sin30°＝40×12＝20(km)．在Rt△BLR中，∵∠BRL＝45°，∴LR＝LB＝20 3 km，∴AB＝LB－AL＝(20 3－20)km.4．解：如图，过点C作CE⊥AB的延长线于点E.在Rt △ACE 中，∵∠CAE ＝45°，∴AE ＝EC . 设AE ＝EC ＝x 海里，则BE ＝(x －5)海里．在Rt △BCE 中， ∵tan53°＝ECBE ，∴43≈x x －5，解得x ≈20，∴AE ＝EC ≈20海里，∴AC ≈20 2≈28.2海里，BC ＝ECsin53°≈25海里， ∴A 船到C 船所用的时间≈28.230＝0.94(时)，B 船到C 船所用的时间≈2525＝1(时)，∴C 船至少要等待约0.94小时才能得到救援． 5．[答案] 20 3 m[解析] 方法1：过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，得∠ABC ＝90°－30°＝60°，∠ACD ＝90°－60°＝30°.设AD ＝x m ，在Rt △ACD 中，tan ∠ACD ＝ADCD，∴CD ＝AD tan ∠ACD ＝xtan30°＝3x m.在Rt △ABD 中，tan ∠ABC ＝AD BD， ∴BD ＝AD tan ∠ABC ＝x tan60°＝33x m ，∴BC ＝CD ＋BD ＝3x ＋33x ＝80， ∴x ＝20 3，即点A 到河岸BC 的距离为20 3 m.方法2：过点A 作AD ⊥BC 于点D .根据题意，得∠ABC ＝90°－30°＝60°， ∠ACD ＝90°－60°＝30°，∴∠BAC ＝180°－∠ABC －∠ACB ＝90°. 在Rt △ABC 中，BC ＝80 m ，∠ACB ＝30°， ∴AB ＝40 m ，AC ＝40 3m ，∴S △ABC ＝12AB ·AC ＝12×40×40 3＝800 3(m 2)．又∵S △ABC ＝12BC ·AD ＝12×80×AD ＝40AD ，∴AD ＝20 3(m)，即点A 到河岸BC 的距离为20 3 m.6．解：(1)如图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD ＝10 m.在Rt △ACD 中， ∵∠C ＝45°， ∴AD ＝CD ＝10 m. 在Rt △ABD 中， ∵∠B ＝30°， ∴tan30°＝ADBD ，∴BD ＝ADtan30°＝3AD ＝10 3 m ， ∴BC ＝BD ＋CD ＝(10＋10 3)m. (2)这辆汽车超速．理由：∵BC ＝10＋10 3≈27 m ， ∴这辆汽车的速度≈270.9＝30 m/s ＝108 km/h.∵108＞80，∴这辆汽车超速． 7．C8．解：如图，过点F 作FH ⊥AE 于点H .由题意可知∠HAF ＝∠HF A ＝45°， ∴AH ＝HF .设AH ＝HF ＝x 米，则EF ＝2x 米，EH ＝3x 米．在Rt △AEB 中， ∵∠E ＝30°，AB ＝5米，中考数学专题训练∴AE＝2AB＝10米，∴x＋3x＝10，解得x＝5 3－5，∴EF＝2x＝10 3－10≈7.3(米)．答：点E与点F之间的距离约为7.3米．。

7 课题坡度、坡角与解直角三角形的应用

课题坡度、坡角与解直角三角形的应用【学习目标】1．理解坡角、坡度的概念，并能解直角三角形；2．通过综合运用直角三角形的相关知识解直角三角形，逐步培养学生分析问题的能力； 3．在数学中逐步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透数形结合的数学思想和方法．【学习重点】理解坡角、坡度的概念，并运用解直角三角形．【学习难点】把实际问题转化为直角三角形求解．一、情景导入生成问题在修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上要注明倾斜程度．如图，坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比)，记作i ，即i ＝hl .坡度通常写成1∶m 的形式，如i ＝1∶6.坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，有i ＝hl ＝tan α.显然，坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡．二、自学互研生成能力知识模块坡比、坡角与解直角三角形阅读教材P 115～116的内容．范例：如图，一段路基的横断面是梯形，高为 4.2米，上底宽为12.51米，其坡面的坡角分别是32°和28°，求路基下底的宽．(精确到0.1米)解：作DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，垂足分别为点E 、F.由题意可知：DE ＝CF ＝4.2，EF ＝CD ＝12.51，在Rt △ADE 中，∵DE AE ＝4.2AE ＝tan 32°，∴AE ＝ 4.2tan 32°≈6.72，在Rt △BCF 中，同理可得BF＝4.2tan28°≈7.90，∴AB＝AE＋EF＋BF≈6.72＋12.51＋7.90≈27.1(米)．答：路基下底的宽约为27.1米．归纳：利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题，也就是建立适当的数学模型)；(2)根据条件的特点，适当选用锐角三角函数，运用直角三角形的有关性质，解直角三角形；(3)得到数学问题的答案；(4)得到实际问题的答案．变例：如图，斜坡AC的坡度为1∶3，AC＝10米，坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米，试求旗杆BC的高度．解：延长BC交AD于E点．由题意知BE⊥AD，在Rt△AEC中，tan∠EAC＝1∶3＝3 3，∴∠EAC＝30°，∴CE＝12AC＝12×10＝5，∴AE＝AC2－CE2＝53，在Rt△ABE中，AE2＋BE2＝AB2，∴(53)2＋(BC＋5)2＝142，∴BC＝6.答：旗杆BC的高度是6米．三、交流展示生成新知1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．知识模块坡比、坡角与解直角三角形四、检测反馈达成目标见《名师测控》学生用书．五、课后反思查漏补缺1．收获：___________________________________________________2．存在困惑：_______________________________________________。

解直角三角形公式

解直角三角形公式直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度是90度（也称为直角）。

由于直角三角形具有特殊的性质和结构，我们可以使用一些公式来解决与它们相关的问题。

解直角三角形的公式主要涉及三个重要的量：斜边（hypotenuse）、对边（opposite）、和邻边（adjacent）。

斜边是连接直角三角形两个直角边的边，对边是与待求角度相对的边，邻边是与待求角度相邻的边。

边长关系直角三角形中，边长之间有一些特殊的关系，这些关系是解直角三角形的基础。

我们可以使用勾股定理来计算直角三角形的边长关系，根据该定理，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。

在直角三角形中，假设斜边的长度为c，对边的长度为a，邻边的长度为b，则有以下关系：（1）勾股定理：c² = a² + b²这个公式是我们计算直角三角形边长关系的基础。

通过已知的边长，我们可以使用这个公式来计算其他未知边长。

角度关系除了边长关系，直角三角形中角度之间也有一些特殊的关系。

这些关系可以帮助我们解决与直角三角形相关的角度问题。

在直角三角形中，假设某个角度为θ，则有以下关系：（1）正弦定理：sin(θ) = 对边 / 斜边（2）余弦定理：cos(θ) = 邻边 / 斜边（3）正切定理：tan(θ) = 对边 / 邻边当我们知道一个角度和一个边长时，我们可以使用这些公式来计算其他未知边长或角度。

实例演示下面通过一个实例演示如何使用解直角三角形的公式。

假设有一个直角三角形，已知对边长为5，邻边长为12，我们要求解斜边长和其他角度。

首先，我们可以使用勾股定理来计算斜边长。

根据勾股定理，斜边的平方等于对边的平方加上邻边的平方。

c² = a² + b² c² = 5² + 12² c² = 25 + 144 c² = 169 c = √169 c = 13所以，斜边的长度为13。

解直角三角形练习题

解直角三角形练习题解直角三角形练习题直角三角形是初中数学中的一个重要概念，也是几何学中的基础知识之一。

解直角三角形的练习题可以帮助我们巩固和应用所学的知识，提高解题能力和思维逻辑。

在本文中，我将为大家介绍一些常见的直角三角形练习题，并给出详细的解答过程。

1. 已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，求另一条直角边的长。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两条直角边的平方和。

设另一条直角边的长为x，则有3² + x² = 5²。

化简得x² = 25 - 9，即x² = 16。

两边开平方根得x = 4。

所以另一条直角边的长为4。

2. 已知直角三角形的斜边长为10，一条直角边长为6，求另一条直角边的长。

解答：同样根据勾股定理，设另一条直角边的长为x，则有6² + x² = 10²。

化简得x² = 100 - 36，即x² = 64。

两边开平方根得x = 8。

所以另一条直角边的长为8。

3. 已知直角三角形的斜边长为13，一条直角边长为5，求另一条直角边的长。

解答：同样应用勾股定理，设另一条直角边的长为x，则有5² + x² = 13²。

化简得x² = 169 - 25，即x² = 144。

两边开平方根得x = 12。

所以另一条直角边的长为12。

通过以上的例题，我们可以看到解直角三角形的关键在于应用勾股定理。

勾股定理是直角三角形的基本定理，它揭示了直角三角形三条边之间的关系。

利用这个定理，我们可以在已知两条边的情况下求解第三条边的长度。

除了应用勾股定理，我们还可以利用正弦定理和余弦定理来解直角三角形的问题。

正弦定理和余弦定理是三角形中的重要定理，它们可以用来求解任意三角形的边长和角度。

正弦定理可以用于解决已知一个角和两条边的情况下求解第三条边的长度。

解直角三角形(复习课)

解
C B
法二
∴∠B=60° ∵ ∠ACB=90° ∴∠A=30 °∴sinA= cosA= tanA= ，．
tanB=
∵∠ACB=90°，CD⊥AB ∴ ∠A+ ∠B=90° ∠BCD+ ∠B=90 ° ∴ ∠BCD= ∠A ∵ Rt△BCD中BC=6，BD=3 ∴CD=3 ∴ sin ∠ BCD= ，cos ∠ BCD= ， tan ∠ BCD= tan B= ∴ sinA= ，cosA= ，tanA= tanB=
（复习课）
口埠初中王雯雯
通过本节复习能够串联起与解直角三角形有关的所有知识，并把相关的概念、定义等再记忆、再理解；并能恰当应用
直角三角形的边角关系正确解直角三角形，这是重点也是难点。
知识框图
在Rt△ABC中，∠C是直角，如图： 1、三边之间的关系： a2+b2= （勾股定理） 2、锐角之间的关系：、锐角之间的关系： ∠A+∠B= ° 3、边角之间的关系：、边角之间的关系：（1）正弦：∠A的与的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= ；（2）余弦：∠A的与的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA= ；（3）正切：∠A的与的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= ；锐角三角函数：锐角A的正弦、余弦、正切都叫做∠A的锐角三角函数． 4、特殊角的三角函数值 5、解直角三角形、、
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程叫做解直角三角形。已知一边一角
至少有一边两种
已知两边
（复习锐角三角比）在△ABC中，∠C=90°．若sinA=，则tanA= ．
1、在△ABC中，已知AC=3，BC=4，AB=5，那么下列结论成立的是（ A 、 sinA= B、cosA= C 、tanA = 则cosA= D sinA=

解直角三角形应用(三)

变式一
北
东 A
25 55 10海里
B
C
如图，海中有一个小岛A，该岛四周10海里有暗礁，今有货轮自西向东航行，开始在A岛南偏西55度的 B处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25度的C处。之后，货轮继续向东航行。
D
分析：根据题意，该岛四周 10海里有暗礁，货轮继续向东航行的方向如果到A的最短距离大于10海里，则无触礁的危险。如果小于10海里，则有触礁的危险。
A
N1
N
45˚
60˚
D
C
D
B
变式四
如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮由东向西航行，在B处见岛A在北偏西60˚，航行24海里到C，见岛A在北偏西15˚，货轮继续向西航行，有无触礁的危险？
N1
E
A 15˚
N
60˚ D
C B
D
如图:一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西400的方向行驶40海里到达B地,再由 B地向北偏西200的方向行驶40海里到达C 地,则A,C两地的距离为 ____
h l
l
即i＝ =tan a，显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6.
学习过程
（一）自主学习
1、课本P24---想一想，学生独立思考后小组交流 2、课本P25---做一做学生自己作图，独立思考后，小组交流我的疑惑 -------请将学习中未能解决的问题、有疑惑的问题、发现的新问题写下来，准备与小组同学或老师交流解决（二）合作探究 1、坝高问题中，AD的坡角指的是什么？如何求AD的坡角？采用哪个三角函数关系式？如何求AB的长？直接求可以吗？斜坡AD的长呢？采用哪个三角函数关系式？ 2、在触礁问题中，（1）怎样作图才是最近距离。（2）如何求AD？RTΔABD中能解吗？RTΔACD能解吗？（3）当两个直角三角形都不能直接解时，怎样去解决这个问题？我的疑惑（三）训练巩固必做1、课本P25---随课训练1 2、课本P25---随课训练2 注意（65°改成75°，20°改成30°）选做（四）总结梳理

专题训练(八)解直角三角形常见的七种方法

专题训练(八) 解直角三角形常见的七种方法►方法一已知两边解直角三角形1．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下面的条件解直角三角形．(1)b＝6，c＝2 2；(2)a＝4，b＝4 3.2．如图8－ZT－1，已知AD为△BAC的角平分线，且AD＝2，AC＝3，∠C＝90°，求BC的长及AB的长．图8－ZT－1►方法二已知一边和一个锐角解直角三角形3．在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形．(1)∠A＝60°，a＝6；(2)∠A＝30°，b＝10 3.4．已知：如图8－ZT －2，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，D 为BC 边上一点，且BD ＝2AD ，∠ADC ＝60°，求△ABC 的周长．(结果保留根号)图8－ZT －2► 方法三已知一边和一锐角的三角函数值解直角三角形5．2018·自贡改编如图8－ZT －3，在△ABC 中，CH ⊥AB 于点H ，BC ＝12，tan A ＝34，∠B ＝30°；求AC 和AB 的长．图8－ZT －36．如图8－ZT －4，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 的中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E .(1)求线段CD 的长； (2)求cos ∠DBE 的值．图8－ZT －4►方法四“化斜为直法”解三角形7．如图8－ZT－5，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3.求AB的长．图8－ZT－58．如图8－ZT－6，在△ABC中，CD是边AB上的中线，∠B是锐角，且sin B＝22，tan A＝12，AC＝3 5.(1)求∠B的度数及AB的长；(2)求tan∠CDB的值．图8－ZT －6► 方法五 “参数法”解直角三角形9．2018·马鞍山一模如图8－ZT －7，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，E 是AB的中点，tan D ＝2，CE ＝1，求sin ∠ECB 的值和AD 的长．图8－ZT －7► 方法六 “等角代换法”解直角三角形10．2018·当涂县六校联考如图8－ZT －8，在四边形ABCD 中，AC ，BD 是它的对角线，相交于点O ，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∠BCD 是锐角，BD ＝BC .求证：sin ∠BCD ＝BD AC.图8－ZT －8► 方法七 “等比代换法”解直角三角形11．如图8－ZT －9所示，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE ⊥x 轴于点E ，tan ∠ABO ＝12，OB ＝4，OE ＝2.(1)求该反比例函数的表达式；(2)求直线AB对应的函数表达式．图8－ZT－9教师详解详析1．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理，得a ＝c 2－b 2＝8－6＝ 2. ∵tan B ＝b a ＝62＝3，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝90°－∠B ＝30°.(2)∵在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝4，b ＝4 3， ∴c ＝a 2＋b 2＝8.∵sin A ＝a c ＝48＝12，∴∠A ＝30°，∴∠B ＝90°－∠A ＝60°.2．解：∵AD ＝2，AC ＝3，∠C ＝90°， ∴cos ∠CAD ＝AC AD ＝32，∴∠CAD ＝30°.∵AD 为△BAC 的角平分线， ∴∠BAC ＝2∠CAD ＝60°，∴BC ＝AC ·tan ∠BAC ＝3×tan60°＝3×3＝3. ∵△ABC 是直角三角形，∴AB ＝BC 2＋AC 2＝9＋3＝2 3.3．解：(1)∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝6sin60°＝632＝4 3.∵sin B ＝bc，∴b ＝4 3×sin30°＝4 3×12＝2 3.(2)∠B ＝90°－∠A ＝90°－30°＝60°. ∵tan A ＝ab，∴a ＝10 3×tan30°＝10 3×33＝10. ∵sin A ＝a c ，∴c ＝10sin30°＝1012＝20.4．解：在Rt △ADC 中，∵sin ∠ADC ＝ACAD ，∴AD ＝AC sin ∠ADC ＝3sin60°＝2，∴BD ＝2AD ＝4. ∵tan ∠ADC ＝ACDC ，∴DC ＝AC tan ∠ADC ＝3tan60°＝1，∴BC ＝BD ＋DC ＝5.在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝2 7，∴△ABC 的周长＝AB ＋BC ＋AC ＝2 7＋5＋ 3. 5．解：在Rt △BCH 中，∵BC ＝12，∠B ＝30°， ∴CH ＝12BC ＝6，BH ＝BC 2－CH 2＝6 3.在Rt △ACH 中，tan A ＝34＝CHAH ，∴AH ＝8，∴AC ＝AH 2＋CH 2＝10，6．解：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°， ∴sin A ＝BC AB ＝45.又∵BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8， ∴AC ＝AB 2－BC 2＝6.∵D 是AB 的中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6×82×5＝245.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD ＝2455＝2425.7．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，∴∠ADC ＝∠BDC ＝90°. ∵∠B ＝45°， ∴∠BCD ＝∠B ＝45°， ∴CD ＝BD .∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3， ∴BD ＝CD ＝ 3.由勾股定理，得AD ＝AC 2－CD 2＝3，答：AB 的长是3＋ 3.8．解：(1)如图，过点C 作CE ⊥AB 于点E .设CE ＝x .在Rt △ACE 中，∵tan A ＝CE AE ＝12，∴AE ＝2x ，∴AC ＝x 2＋（2x ）2＝5x ， ∴5x ＝3 5，解得x ＝3，∴CE ＝3，AE ＝6.在Rt △BCE 中，∵sin B ＝22，∴∠B ＝45°， ∴△BCE 为等腰直角三角形， ∴BE ＝CE ＝3，∴AB ＝AE ＋BE ＝9. (2)∵CD 是边AB 上的中线， ∴BD ＝12AB ＝4.5，∴DE ＝BD －BE ＝4.5－3＝1.5， ∴tan ∠CDE ＝CE DE ＝31.5＝2，即tan ∠CDB 的值为2. 9．解：∵AC ⊥BD ， ∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°. ∵E 是AB 的中点，CE ＝1， ∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2，∴∠B ＝∠ECB . ∵BC CD ＝32， ∴设BC ＝3x ，则CD ＝2x . 在Rt △ACD 中，tan D ＝2， ∴ACCD＝2， ∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，由勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ， ∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝2 5x ＝2 5×25＝4 55.10．证明：如图，过点B 作AD 的垂线BE 交DA 的延长线于点E ，延长CB 与DA 交于点F .∵∠ABC ＝∠ADC ＝90°，∴∠ADC ＋∠ABC ＝180°，∠FBA ＝∠FDC ， ∴∠BCD ＋∠BAD ＝180°， ∠EAB ＝∠BCD .∵∠F ＝∠F ，∠FBA ＝∠FDC ， ∴△FBA ∽△FDC ，∴FB FD ＝F AFC ，∴FB F A ＝FD FC. ∵∠F ＝∠F ，∴△FBD ∽△F AC ，∴∠FDB ＝∠BCA . ∵∠BED ＝∠ABC ＝90°， ∴△BED ∽△ABC ，∴BD AC ＝BEAB＝sin ∠EAB ＝sin ∠BCD ，即sin ∠BCD ＝BDAC.11．解：(1)∵OB ＝4，OE ＝2， ∴EB ＝OB ＋OE ＝6. ∵tan ∠ABO ＝AO OB ＝12＝CEEB ，∴CE ＝3，AO ＝2，∴A (0，2)，B (4，0)，C (－2，3)．设反比例函数的表达式为y ＝kx .∵点C 在反比例函数的图象上， ∴将点C (－2，3)代入，得k ＝－6，即反比例函数的表达式为y ＝－6x.(2)设直线AB 对应的函数表达式为y ＝k 1x ＋b .将A (0，2)，B (4，0)代入y ＝k 1x ＋b ，可得b ＝2，k 1＝－12，∴直线AB 对应的函数表达式为y ＝－12x ＋2.。

中考数学第四章三角形第七节锐角三角函数与解直角三角形

CF=BC·cos∠BCF=6cos 53°≈6×0.60=3.6,
所以EF=BE+BF=6+4.8=10.8,
1
1
1
1
所以S四边形ABCD=AE×EF- AE×BE- BF×FC=8×10.8- ×8×6- ×4.8×
2
2
2
2
3.6=53.76.
故零件的截面面积约为53.76 cm2.
前往
考点
ห้องสมุดไป่ตู้方法
a2+⑨
两锐角间
的关系
∠A+∠B=⑩
b2 =c2(勾股定理)
sin A=cos
边角
关系

B= ;

cos A=sin B=⑪
tan A=⑫

tan B=⑬
面积关系
90°
S△ABC=⑭

;
;

ab

1
= ch
2
前往
考点
方法
真题
考点
考点4 解直角三角形的实际应用
1.仰角、俯角:如图,在同一铅垂面内视线和水平线的夹角中,视线在
∠ABC,∴AC=BC=12 n mile,∴AF=ACsin 60°=
12×
3
=6
2
3≈10.4(n mile).
答图
前往
考点
方法
真题
方法
考法2
解直角三角形的实际应用
提分特训
3.[2021安徽中考]学生到工厂劳动实践,学习制作机械零件.零件的截面
如图所示(阴影部分).已知四边形AEFD为矩形,点B,C分别在EF,DF上,
【解析】由题易得,AC=AB= 22 + 42 =2 5,BC= 22 + 22 =2 2.如

007解直角三角形的应用1-7

解直角三角形的应用（2）一、学习目标1、使学生掌握仰角、俯角问题并能利用其解决实际问题。

2、能够将实际问题转化成解直角三角形问题，选用恰当的锐角三角函数关系式解决，提高他们分析和解决实际问题的能力。

二、学习过程：（一）知识链接：上节课我们学习了解直角三角形的应用的第一课时，关健是将实际问题转化为解直角三角形问题进行解决。

请你利用上节课的知识解决下题。

一个孩子荡秋千，秋千链子的长度为4米，当秋千前后摆动时，摆角为120°，且前后摆动的角度相同。

当秋千摆至最低时离地面0.5米，求它摆至最高位置时离地面的高度。

（自己先画出图形）（二）自学探究：1、仰角的定义：当从观测时，称为仰角。

2、俯角的定义：当从观测时，称为俯角。

问题1：在水平线以上；在水平线以下。

问题2：如图AB,CD 为两建筑物，在C,D 两点观察建筑物AB ，从D 观察A 的俯角是27°，从C 观察B 的仰角是50°，在图中标记这两个角度。

3、解答课本P 22想一想（3≈1.732）小结：在上题中求塔的高度应注意什么问题？。

4、巩固练习：物华大厦离小伟家60米，小伟从自家的窗中眺望大厦，并测得大厦顶部的仰角是45°，而大厦底部的俯角是30°，求该大厦的高度（图在右边）（三）拓展提升：某商场准备改善原有楼梯的安全性能把楼梯的倾斜角由45°减少至30°。

已知原楼梯长为4米，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？回答以下问题：1、将楼梯长作为斜边，楼梯高作为一直角边，将本题转化为几何图形，画在上面。

2、调整后的楼梯与原楼梯的相等（填高度或长度）3、调整后楼梯长为多少？调整前楼梯占多长一段地面？4、调整后的楼梯比原楼梯加长多少？楼梯多占多长一段地面？针对训练如图，为改善楼梯的安全性能，把楼梯倾斜角由60°改为45°，已知原来设计的楼梯长为4.5米，在楼梯高度不变的情况下，调整后的楼梯多占地面（画出图形并写出步骤）AC（四）学习小结：1、通过本节课的学习，你有哪些收获和疑惑2、请写出本节课的知识网络及典型类型题，并进行巩固。

2020届中考数学专题：解直角三角形及其应用知识点及典型例题(含答案)

解直角三角形及其应用【学习目标】1．了解解直角三角形的含义，会综合运用平面几何中有关直角三角形的知识和锐角三角函数的定义解直角三角形；2．会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．【要点梳理】要点一、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素(直角除外)求未知元素的过程，叫做解直角三角形.在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即三条边和两个锐角.设在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则有：①三边之间的关系：a2+b2=c2(勾股定理).②锐角之间的关系：∠A+∠B=90°.③边角之间的关系：，，，，，.④，h为斜边上的高.要点诠释：(1)直角三角形中有一个元素为定值(直角为90°)，是已知值.(2)这里讲的直角三角形的边角关系指的是等式，没有包括其他关系(如不等关系).(3)对这些式子的理解和记忆要结合图形，可以更加清楚、直观地理解.要点二、解直角三角形的常见类型及解法已知条件解法步骤Rt△ABC 两边两直角边(a，b)由求∠A，∠B=90°－∠A，斜边，一直角边(如c，a)由求∠A，∠B=90°－∠A，一边一一直角边和一锐角锐角、邻边(如∠A，b)∠B=90°－∠A，，角锐角、对边(如∠A，a)∠B=90°－∠A，，斜边、锐角(如c，∠A)∠B=90°－∠A，，要点诠释：1．在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2．若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有一个条件为边.要点三、解直角三角形的应用解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.要点诠释：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，根据下列条件，解这个直角三角形．(1)∠B=60°，a＝4； (2)a＝1，3b=．【答案】(1)∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°．由tanbBa=知，tan4tan6043b a B==⨯=g°．由cosaBc=知，48cos cos60acB===°．(2)由tan 3bB a==得∠B ＝60°，∴ ∠A ＝90°-60°＝30°． ∵ 222a b c +=，∴ 2242c a b =+==．2．如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，b ＝20，解这个直角三角形．【答案】由∠C ＝90°知，∠A+∠B ＝90°，而∠B ＝30°， ∴ ∠A ＝90°-30°＝60°．又 sin 30b c=°，∴ 1202c =．∴ c ＝40．由勾股定理知222a cb =-．∴ 2224020a =-，203a =．举一反三：（1）已知a=23，b=2 ，求∠A 、∠B 和c ；（2）已知sinA=23, c=6 ，求a 和b ；【答案】（1）c=4；∠A=60°、∠B=30°；（2）a=4；b=25 类型二、解直角三角形在解决几何图形计算问题中的应用3．如图所示，BC 是半圆⊙O 的直径，D 是»AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E ，(1)求证：△ABE ∽△DBC ； (2)已知BC ＝52，CD ＝52，求sin ∠AEB 的值；(3)在(2)的条件下，求弦AB 的长．【答案】(1)∵ »»AD CD =，∴ ∠1＝∠2，又BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠BDC＝90°．∴△ABE∽△DBC．(2)由△ABE∽△DBC，∴∠AEB＝∠DCB．在Rt△BDC中，BC＝52，CD＝52，∴ BD＝225BC CD-=，∴ sin∠AEB＝sin∠DCB＝525552BDBC==．(3)在Rt△BDC中，BD＝5，又∠1＝∠2＝∠3，∠ADE＝∠BDA，∴△AED∽△BAD．∴AD DEDB AD=，∴2AD DE DB=g．又∵52CD AD==，∴ CD2＝(BD－BE)·BD，即25(5)52BE⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭g，∴354BE=．在Rt△ABE中，AB＝BE．sin∠AEB＝32355452⨯=．举一反三：如图，在△ABC中，AC=12cm，AB=16cm，sinA=13．（1）求AB边上的高CD；（2）求△ABC的面积S；（3）求tanB．【答案】（1）CD=4cm；（2）S=32 cm2；（3）tanB=+224.类型三、解直角三角形在解决实际生活、生产问题中的应用4．某过街天桥的截面图为梯形，如图所示，其中天桥斜面CD的坡度为1:3i=（i＝1:3是指铅直高度DE 与水平宽度CE 的比)，CD 的长为10 m ，天桥另一斜面AB 的坡角∠ABC ＝45°．(1)写出过街天桥斜面AB 的坡度； (2)求DE 的长；(3)若决定对该过街天桥进行改建，使AB 斜面的坡度变缓，将其45°坡角改为30°，方便过路群众，改建后斜面为AF ，试计算此改建需占路面的宽度FB 的长(结果精确到.0.01 m)．【答案】(1)作AG ⊥BC 于G ，DE ⊥BC 于E ，在Rt △AGB 中，∠ABG ＝45°，AG ＝BG ． ∴ AB 的坡度1AGi BG'==． (2)在Rt △DEC 中，∵ 3tan 3DE C EC ∠==，∴ ∠C ＝30°．又∵ CD ＝10 m ．∴ 15m 2DE CD ==． (3)由(1)知AG ＝BG ＝5 m ，在Rt △AFG 中，∠AFG ＝30°，tan AGAFG FG∠=，即3535FB =+，解得535 3.66(m)FB =-=．答：改建后需占路面的宽度FB 的长约为3.66 m ．5．腾飞中学在教学楼前新建了一座“腾飞”雕塑．为了测量雕塑的高度，小明在二楼找到一点C ，利用三角板测得雕塑顶端A 点的仰角为30°，底部B 点的俯角为45°，小华在五楼找到一点D ，利用三角板测得A 点的俯角为60°(如图所示)．若已知CD 为10米，请求出雕塑AB 的高度．(结果精确到0.1米，参考数据3＝1.73)．【答案】过点C 作CE ⊥AB 于E ．∵ ∠D ＝90°－60°＝30°，∠ACD ＝90°－30°＝60°， ∴ ∠CAD ＝180°－30°－60°＝90°．∵ CD ＝10，∴ AC ＝12CD ＝5．在Rt △ACE 中，AE ＝AC ·sin ∠ACE ＝5×sin 30°＝52， CE ＝AC ·cos ∠ACE ＝5×cos 30°＝532，在Rt △BCE 中，∵ ∠BCE ＝45°， ∴ 5553(31)222AB AE BE =+=+=+≈6.8(米)． ∴ 雕塑AB 的高度约为6.8米．【巩固练习】一、选择题1.在△ABC 中，∠C ＝90°，4sin 5A =，则tan B ＝( )． A ．43 B ．34 C ．35 D ．452．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝35°，AB ＝7，则BC 的长为( )．A ．7sin 35°B ．7cos35°C ．7cos 35°D ．7tan 35°3．河堤、横断面如图所示，堤高BC ＝5米，迎水坡AB 的坡比是1:3(坡比是坡面的铅直高度BC 与水平宽度AC 之比)，则AC 的长是( )．A ．53米B ．10米C ．15米D ．103米4．如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，点M 、N 分别为OB 、OC 的中点，则cos ∠OMN 的值为( )．A ．12B ．22C ．32D ．1第3题第4题第5题5．如图所示，某游乐场一山顶滑梯的高为h ，滑梯的坡角为α，那么滑梯长l 为 ( )A ．sin h α B ．tan h α C ．cos h αD ．sin h αg6．如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝16 cm ，AB 的垂直平分线MN 交AC 于D ，连接BD ，若3cos5BDC∠=，则BD的长是( )．A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm7．如图所示，一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地，再由B地向北偏西20°的方向行驶40海里到达C地，则A、C两地相距( )．A．30海里 B．40海里 C．50海里 D．60海里第6题第7题第8题8．如图所示，为了测量河的宽度，王芳同学在河岸边相距200 m的M和N两点分别测定对岸一棵树P 的位置，P在M的正北方向，在N的北偏西30°的方向，则河的宽度是( )．A．2003m B．20033m C．1003m D．100m二、填空题9．如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AM是BC边上的中线，sin∠CAM＝35，则tan∠B的值为______．10．如图所示，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD＝BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AGAF的值为________．第9题第10题第11题11．如图所示，一艘海轮位于灯塔P的东北方向，距离灯塔402海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则海轮行驶的路程AB为________海里(结果保留根号)．12．如图所示，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，BC＞AD，AD＝2，AB＝4，点E在AB上，将△CBE 沿CE翻折，使B点与D点重合，则∠BCE的正切值是________．13．如图所示．线段AB、DC分别表示甲、乙两座建筑物的高．AB⊥BC，DC⊥BC，两建筑物间距离BC＝30米，若甲建筑物高AB＝28米，在A点测得D点的仰角α＝45°，则乙建筑物高DC＝__ __米．第12题第13题第14题14.在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C(如图所示)，那么，由此可知，B、C两地相距________m．三、解答题15．如图所示，某校综合实践活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度，他们在这棵树正前方一座楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°，朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处，测得树顶端D的仰角为60°．已知A点的高度AB为2米，台阶AC的坡度为1:3(即AB:BC＝1:3)，且B、C、E三点在同一条直线上．请根据以上条件求出树DE的高度(测倾器的高度忽略不计)．16. 如图所示，某校数学兴趣小组的同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方向后退20m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°．求该古塔BD的高度(3≈1.732，结果保留一位小数)．17．如图所示是某品牌太阳能热水器的实物图和横断面示意图，已知真空集热管AB与支架CD所在直线相交于水箱横断面⊙O的圆心，支架CD与水平面AE垂直，AB＝150厘米，∠BAC＝30°，另一根辅助支架DE＝76厘米，∠CED＝60°．(1)求垂直支架CD的长度．(结果保留根号)(2)求水箱半径OD的长度．(结果保留三个有效数字，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)【答案与解析】一、选择题 1.【答案】B ；【解析】如图，sin A ＝45BC AB =，设BC ＝4x ．则AB ＝5x ．根据勾股定理可得AC ＝223AC AB BC x =-=，∴ 33tan 44AC x B BC x ===． 2.【答案】C ；【解析】在Rt △ABC 中，cos BCB AB=．∴ BC ＝ABcosB ＝7cos 35°． 3.【答案】A ；【解析】由tan BCi A BC===1:3知，353AC BC ==g (米)． 4.【答案】B ；【解析】由题意知MN ∥BC ，∠OMN ＝∠OBC ＝45°，∴ 2cos 2OMN ∠=． 5.【答案】A ；【解析】由定义sin h l α=，∴ sin h l α=. 6.【答案】D ；【解析】∵ MN 是AB 的中垂线, ∴ BD ＝AD ．又3cos 5DC BDC BD ∠==，设DC ＝3k ，则BD ＝5k ，∴ AD ＝5k ，AC ＝8k ．∴ 8k ＝16，k ＝2，BD ＝5×2＝10．7.【答案】B ；【解析】连接AC ，∵ AB ＝BC ＝40海里，∠ABC ＝40°+20°＝60°， ∴ △ABC 为等边三角形，∴ AC ＝AB ＝40海里． 8.【答案】A【解析】依题意PM ⊥MN ，∠MPN ＝∠N ＝30°，tan30°200PM=，2003PM =．二、填空题9．【答案】23；【解析】在Rt△ACM中，sin∠CAM＝35，设CM＝3k，则AM＝5k，AC＝4k．又∵ AM是BC边上的中线，∴ BM＝3k，∴ tan∠B＝4263 AC kBC k==．10．【答案】32；【解析】由已知条件可证△ACE≌△CBD．从而得出∠CAE＝∠BCD．∴∠AFG＝∠CAE+∠ACD＝∠BCD+∠ACD＝60°，在Rt△AFG中，3sin602 AGAF==°．11．【答案】40403+；【解析】在Rt△APC中，PC＝AC＝AP·sin∠APC＝2 402402⨯=．在Rt△BPC中，∠BPC＝90°-30°＝60°，BC＝PC·tan∠BPC＝403，所以AB＝AC+BC＝40403+．12．【答案】12；【解析】如图，连接BD，作DF⊥BC于点F，则CE⊥BD，∠BCE＝∠BDF，BF＝AD＝2，DF＝AB＝4，所以21 tan tan42BFBCE BDFDF∠=∠===．13．【答案】58；【解析】α＝45°，∴ DE＝AE＝BC＝30，EC＝AB＝28，DE＝DE+EC＝58 14．【答案】200；【解析】由已知∠BAC＝∠C＝30°，∴ BC＝AB＝200.三、解答题15.【答案与解析】过点A作AF⊥DE于F，则四边形ABEF为矩形，∴ AF＝BE，EF＝AB＝2．设DE＝x，在Rt△CDE中，3tan tan603DE DECE xDCE===∠°．在Rt △ABC 中，∵ 13AB BC =，AB ＝2，∴ 23BC =．在Rt △AFD 中，DF ＝DE-EF ＝x-2．∴ 23(2)tan tan 30DF x AF x DAF -===-∠°∵ AF ＝BE ＝BC+CE ． ∴ 33(2)233x x -=+，解得6x =．答：树DE 的高度为6米．16.【答案与解析】根据题意可知：∠BAD ＝45°，∠BCD ＝30°，AC ＝20m ．在Rt △ABD 中，由∠BAD ＝∠BDA ＝45°，得AB ＝BD ．在Rt △BDC 中，由tan ∠BCD ＝BD BC ，得3tan 30BD BC BD ==°．又∵ BC-AB ＝AC ．∴ 320BD BD -=，∴ BD ＝2031-≈27.3(m)．答：该古塔的高度约为27.3m ．17.【答案与解析】(1)在Rt △DCE 中，∠CED ＝60°，DE ＝76，∵ sin ∠CED ＝DC DE，∴ DC ＝DE ×sin ∠CED ＝383(厘米) 答：垂直支架CD 的长度为383厘米．(2)设水箱半径OD ＝x 厘米，则OC ＝(383)x +厘米，AO ＝(150)x +厘米，∵ Rt △OAC 中，∠BAC ＝30°∴ AO ＝2×OC ，即：150+x ＝2(383)x +厘米，AO ＝(150+x)厘米，解得：150763x =-≈18.52≈18.5(厘米)答：水箱半径OD 的长度约为18.5厘米．。

28.2.3解直角三角形(3)

的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系，所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。
解:
250 2 t 20 (小时） 25
答：受台风影响的时间为20小时。
2r t= v
r表示台风形成区域圆的半径 V表示风速
去年“卡努” 台风中心从我市的正东方向 300km处向北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时，我市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多长？
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
28.2 .3解直角三角形(3)
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边) 求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
(1)三边之间的关系: a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
Ｂ
； (2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º (3)边角之间的关系: a sinA＝ c b cosA＝ c a tanA＝ b
国外船只，除特许外，不得进入我国海洋100海里以内的区域，如图，设A、B是我们的观察站，A和B 之间的距离为157.73海里，海岸线是过A、B的一条直线，一外国船只在P点，在A点测得∠BAP=450，同时在B点测得∠ABP=600，问此时是否要向外国船只发出警告，令其退出我国海域.
P
A
B
A
30°
60°
B
12
D
F

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形

2024中考数学一轮复习核心知识点精讲—直角三角形1.了解直角三角形的概念；2.证明并掌握直角三角形的性质定理：直角三角形的两个锐角互余(无需证明)；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；3.掌握直角三角形的判定定理：有两个角互余的三角形是直角三角形；4.掌握勾股定理；会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形；5.掌握直角三角形全等的判定定理：斜边和一组直角边对应相等的两个直角三角形全等；考点1：直角三角形的性质与判定直角三角形性质1.两锐角之和等于90°2.斜边上的中线等于斜边的一半3.30°角所对的直角边等于斜边的一半1.若有一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角等于30°（应用时需先证明）2.勾股定理：若直角三角形的两直角边分别为a，b,斜边为c,则cba222=+判定1.有一个角为90°的三角形时直角三角形2.有两个角的和时90°的三角形是直角三角形1.一边上的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形考点2：勾股定理及逆定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC 的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.（2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长a b c ，，，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形.（3）勾股数：像15，8，17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。

勾股数满足两个条件：①满足勾股定理②三个正整数【题型1：直角三角形的性质与判定】【典例1】（2022•绍兴）如图，把一块三角板ABC 的直角顶点B 放在直线EF 上，∠C ＝30°，AC ∥EF ，则∠1＝（） 2.勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a,b,c 若满足，那么这个三角形为直角三角形。

c b a 222=+面积公式，其中a 是底边常，hs 是底边上的高ch S 21ab 21==A．30°B．45°C．60°D．75°【答案】C【解答】解：∵AC∥EF，∠C＝30°，∴∠C＝∠CBF＝30°，∵∠ABC＝90°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠CBF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，故选：C．1．（2022•岳阳）如图，已知l∥AB，CD⊥l于点D，若∠C＝40°，则∠1的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：在Rt△CDE中，∠CDE＝90°，∠DCE＝40°，则∠CED＝90°﹣40°＝50°，∵l∥AB，∴∠1＝∠CED＝50°，故选：C．2．（2023•贵州）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为120°，腰长为12m，则底边上的高是（）A．4m B．6m C．10m D．12m【答案】B【解答】解：如图，作AD⊥BC于点D，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，又∵AD⊥BC，∴AD＝AB＝12＝6（m），故选：B【题型2：勾股定理及逆定理】【典例2】（2023•恩施州）《九章算术》被称为人类科学史上应用数学的“算经之首”．书中记载：“今有户不知高、广，竿不知长短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？”译文：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短，横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽和对角线的长各是多少（如图）？答：门高、宽和对角线的长分别是8，6，10尺．【答案】8，6，10．【解答】解：设门对角线的长为x尺，则门高为（x﹣2）尺，门宽为（x﹣4）尺，根据勾股定理可得：x2＝（x﹣4）2+（x﹣2）2，即x2＝x2﹣8x+16+x2﹣4x+4，解得：x1＝2（不合题意舍去），x2＝10，10﹣2＝8（尺），10﹣4＝6（尺）．答：门高8尺，门宽6尺，对角线长10尺．故答案为：8，6，10．1．（2023•天津）如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边BC，AC相交于点D，E，连接AD．若BD＝DC，AE＝4，AD＝5，则AB的长为（）A．9B．8C．7D．6【答案】D【解答】解：由题意得：MN是AC的垂直平分线，∴AC＝2AE＝8，DA＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵BD＝CD，∴BD＝AD，∴∠B＝∠BAD，∵∠B+∠BAD+∠C+∠DAC＝180°，∴2∠BAD+2∠DAC＝180°，∴∠BAD+∠DAC＝90°，∴∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，BC＝BD+CD＝2AD＝10，∴AB＝＝＝6，故选：D．2．（2023•东营）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为50km．【答案】50．【解答】解：如图：由题意得：∠DAB＝60°，∠FBC＝30°，AD∥EF，∴∠DAB＝∠ABE＝60°，∴∠ABC＝180°﹣∠ABE﹣∠FBC＝90°，在Rt△ABC中，AB＝30km，BC＝40km，AC＝＝＝50（km），∴A，C两港之间的距离为50km，故答案为：503．（2023•安徽）清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出了一个结论：如图，AD是锐角△ABC的高，则BD＝（BC+）．当AB＝7，BC＝6，AC＝5时，CD＝1．【答案】1．【解答】解：∵BD＝（BC+），AB＝7，BC＝6，AC＝5，∴BD＝（6+）＝5，∴CD＝BC﹣BD＝6﹣5＝1，故答案为：1．4．（2023•广安）如图，圆柱形玻璃杯的杯高为9cm，底面周长为16cm，在杯内壁离杯底4cm的点A处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿1cm，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁B处到内壁A处所走的最短路程为10cm．（杯壁厚度不计）【答案】10．【解答】解：如图：将杯子侧面展开，作B关于EF的对称点B′，连接B′A，则B′A即为最短距离，B′A＝＝＝10（cm）．故答案为：10．【题型3：勾股定理与弦图、拼图】【典例3】（2020•随州）勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图1），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今．（1）①请叙述勾股定理；②勾股定理的证明，人们已经找到了400多种方法，请从下列几种常见的证明方法中任选一种来证明该定理；（以下图形均满足证明勾股定理所需的条件）（2）①如图4、5、6，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外部作正方形、半圆、等边三角形，这三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；②如图7所示，分别以直角三角形三边为直径作半圆，设图中两个月形图案（图中阴影部分）的面积分别为S1，S2，直角三角形面积为S3，请判断S1，S2，S3的关系并证明；（3）如果以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程就可以得到如图8所示的“勾股树”．在如图9所示的“勾股树”的某部分图形中，设大正方形M的边长为定值m，四个小正方形A，B，C，D的边长分别为a，b，c，d，已知∠1＝∠2＝∠3＝∠α，则当∠α变化时，回答下列问题：（结果可用含m的式子表示）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）①如果直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2+b2＝c2．（或者：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方．）②证明：在图1中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即c2＝ab×4+（b﹣a）2，化简得：a2+b2＝c2．在图2中，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形的面积与中间小正方形面积的和．即（a+b）2＝c2+ab×4，化简得：a2+b2＝c2．在图3中，梯形的面积等于三个直角三角形的面积的和．即（a+b）（a+b）＝ab×2+c2，化简得：a2+b2＝c2．（2）①三个图形中面积关系满足S1+S2＝S3的有3个；故答案为3；②结论：S1+S2＝S3．∵S1+S2＝（）2+（）2+S3﹣（）2，∴S1+S2＝π（a2+b2﹣c2）+S3，∴a2+b2＝c2．∴S1+S2＝S3．（3）①a2+b2+c2+d2＝m2；②b与c的关系为b＝c，a与d的关系为a+d＝m．故答案为：m2；b＝c，a+d＝m．1．（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tanα＝（）A．2B．C．D．【答案】A【解答】解：由已知可得，大正方形的面积为1×4+1＝5，设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝5，a﹣b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合题意，舍去），∴tanα＝＝＝2，故选：A．2．（2022•永州）我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明．如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则AE＝3．【答案】3．【解答】解：∵大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，∴AB＝BC＝CD＝DA＝5，EF＝FG＝GH＝HE＝1，根据题意，设AF＝DE＝CH＝BG＝x，则AE＝x﹣1，在Rt△AED中，AE2+ED2＝AD2，∴（x﹣1）2+x2＝52，解得：x1＝4，x2＝﹣3（舍去），∴x﹣1＝3，故答案为：3．一．选择题（共7小题）1．在Rt△ABC中，若一个锐角等于40°，则另一个锐角的度数为（）A．40°B．45°C．50°D．60°【答案】C【解答】解：∵直角三角形中，一个锐角等于40°，∴另一个锐角的度数＝90°﹣40°＝50°．故选：C．2．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，沿CD折叠，使A点落在BC边上的E点，若∠B＝2 6°，则∠CDE的度数为（）A．52°B．71°C．72°D．81°【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝26°，∴∠A＝90°﹣26°＝64°，根据折叠，∠CDE＝∠ADC，∠ACD＝∠BCD＝45°，∴∠ADC＝180°﹣45°﹣64°＝71°，∴∠CDE＝∠ADC＝71°，故选：B．3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝2，则A D长是（）A．4B．5C．6D．8【答案】A【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，∴∠BDC＝90°﹣∠DBC＝30°，∴BD＝2BC＝4，∵∠A＝15°，∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝15°，∴∠A＝∠ABD＝15°，∴AD＝BD＝4，故选：A．4．以2，3为直角边的直角三角形斜边长为（）A．B．C．4D．5【答案】B【解答】解：以2，3为直角边的直角三角形斜边长＝＝，故选：B．5．下列各组数据是勾股数的是（）A．，，B．4，5，6C．0.3，0.4，0.5D．9，40，41【答案】D【解答】解：A、（）2+（）2≠（）2，不能构成直角三角形，故不符合题意；B、42+52≠62，不能构成直角三角形，故不符合题意；C、0.32+0.42＝0.52，能构成直角三角形，但不是整数，故不符合题意；D、92+402＝412，能构成直角三角形，且9，40，41是正整数，故符合题意．故选：D．6．如图，已知AB⊥BD，CD⊥BD，若用“HL”判定Rt△ABD和Rt△CDB全等，则需要添加的条件是（）A．AD＝CB B．∠A＝∠C C．BD＝DB D．AB＝CD【答案】A【解答】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABD＝∠CDB＝90°，A．AD＝CB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理HL，能推出Rt△ABD和Rt△CDB全等，故本选项符合题意；B．∠A＝∠C，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理AAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；C．∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，不符合两直角三角形全等的判定定理，不能推出Rt△ABD和Rt△CDB 全等，故本选项不符合题意；D．AB＝CD，∠ABD＝∠CDB，BD＝DB，符合两直角三角形全等的判定定理SAS，不是两直角三角形全等的判定定理HL，故本选项不符合题意；故选：A．7．如图所示，已知在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，若∠B＝28°，则∠AEC＝（）A．28°B．59°C．60°D．62°【答案】B【解答】解：在△ABC中，∠C＝90°，AD＝AC，DE⊥AB交BC于点E，且AE＝AE，∴△CAE≌△DAE（HL），∴∠CAE＝∠DAE＝∠CAB，∵∠B+∠CAB＝90°，∠B＝28°，∴∠CAB＝90°﹣28°＝62°，∴∠AEC＝90°﹣∠CAB＝90°﹣31°＝59°．故选：B．二．填空题（共6小题）8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，D为线段AB的中点，则∠BCD＝50°．【答案】50．【解答】解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°．∵D为线段AB的中点，∴CD＝BD，∴∠BCD＝∠B＝50°．故答案为：50．9．我国古代数学著作《九章算术》记载了这样一个有趣的问题：“有一个水池，水面是边长为10尺的正方形，在水池中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果将这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端刚好达到岸边的水面”，则水池的深度为12尺．【答案】见试题解答内容【解答】解：设水池的深度为x尺，由题意得：x2+（10÷2）2＝（x+1）2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺．故答案为：12．10．如图△ABC中，∠A：∠B＝1：2，DE⊥AB于E，且∠FCD＝75°，则∠D＝40°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠FCD＝75°，∴∠A+∠B＝75°，∵∠A：∠B＝1：2，∴∠A＝×75°＝25°，∵DE⊥AB于E，∴∠AFE＝90°﹣∠A＝90°﹣25°＝65°，∴∠CFD＝∠AFE＝65°，∵∠FCD＝75°，∴∠D＝180°﹣∠CFD﹣∠FCD＝180°﹣65°﹣75°＝40°．故答案为：40°11．如图，在一个三角形的纸片（△ABC）中，∠C＝90°，则图中∠1+∠2的度数为270°．【答案】270．【解答】解：∵∠C＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°，故答案为：270．12．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，以AC为边向外作正方形ADEC，若图中阴影部分的面积为9cm2，BC＝4cm，则AB＝5cm．【答案】5．【解答】解：∵正方形ADEC的面积为9，∴AC2＝9，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB＝＝＝5（cm），故答案为：5．13．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为5．【答案】5．【解答】解：延长BD与AC交于点E，∵∠A＝∠ABD，∴BE＝AE，∵BD⊥CD，∴BE⊥CD，∵CD平分∠ACB，∴∠BCD＝∠ECD，∴∠EBC＝∠BEC，∴BC＝CE，∵BE⊥CD，∴2BD＝BE，∵BD＝1，BC＝3，∴CE＝3，∴AE＝BE＝2，∴AC＝AE+EC＝2+3＝5．故答案为：5．三．解答题（共4小题）14．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，且DE＝DF．求证：Rt △BDE≌Rt△CDF．【答案】见解析．【解答】证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90°，∵D是BC的中点，∴BD＝CD，在Rt△BDE与Rt△CDF中，，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL）．15．如图，已知∠ADC＝90°，AD＝8，CD＝6，AB＝26，BC＝24．（1）证明：△ABC 是直角三角形．（2）请求图中阴影部分的面积．【答案】见试题解答内容【解答】（1）证明：∵在Rt △ADC 中，∠ADC ＝90°，AD ＝8，CD ＝6，∴AC 2＝AD 2+CD 2＝82+62＝100，∴AC ＝10（取正值）．在△ABC 中，∵AC 2+BC 2＝102+242＝676，AB 2＝262＝676，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴△ABC 为直角三角形；（2）解：S 阴影＝S Rt △ABC ﹣S Rt △ACD ＝×10×24﹣×8×6＝96．16．如图1，荡秋千是中国古代北方少数民族创造的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE ＝1m ，将它往前推送6m （水平距离BC ＝6m ）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF ＝CE ＝3m ，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD 的长度？【答案】10m ．【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，设绳索AD的长度为x m，则AC＝（x﹣2）m，∴x2＝62+（x﹣2）2，解得：x＝10，答：绳索AD的长度是10m．17．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据勾股定理：梯子距离地面的高度为：＝24（米）；（2）梯子下滑了4米，即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20（米），根据勾股定理得：25＝，解得CC′＝8．即梯子的底端在水平方向滑动了8米．一．选择题（共5小题）1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点D是AC上一点，将△ABD沿线段BD翻折，使得点A落在A'处，若∠A'BC＝20°，则∠CBD＝（）A．5°B．10°C．15°D．20°【答案】D【解答】解：由折叠得∠ABD＝∠A'BD，∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∵∠A'BC＝20°，∴∠ABA'＝80°，∴∠ABD＝∠A'BD＝40°，∴∠CBD＝∠A'BD﹣∠A'BC＝20°，故选：D．2．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，以顶点B为圆心、适当长为半径作弧，在边BC、BA上截取BE、BD；然后分别以点D、E为圆心、以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠CBA内交于点F；作射线BF交AC于点G．若AC＝6，P为边AB上一动点，则GP的最小值为（）A．3B．2C．1D．无法确定【答案】B【解答】解：由尺规作图步骤可得，BG平分∠ABC，∵∠C＝90°，∠ABC＝60°，∴∠CBG＝∠ABG＝30°，∠A＝30°，∴AB＝2BC，而AC＝6，∴（2BC）2﹣BC2＝62，解得：BC2＝12，同理可得：BG＝2GC，∴（2GC）2﹣GC2＝BC2＝12，∴GC＝2，当GP⊥AB时，GP最短，此时根据角平分线的性质可得GP＝GC＝2，故选：B．3．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，动点P在斜边AB所在的直线m上运动，连接PC，那点P在直线m上运动时，能使图中出现等腰三角形的点P的位置有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解答】解：如图所示：以B为圆心，BC长为半径画弧，交直线m于点P4，P2，以A为圆心，AC长为半径画弧，交直线m于点P1，P3，边AC和BC的垂直平分线都交于点P3位置，因此出现等腰三角形的点P的位置有4个，故选：C．4．如图，线段OP＝1，过点P作PP1⊥OP且PP1＝1，连结OP1；过点P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，连结OP2；过点P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，连结OP3，则OP3的长为（）A．1B．C．D．2【答案】D【解答】解：由勾股定理得：＝OP2+＝2，＝+＝3，OP3＝＝2．故选：D．5．如图，以Rt△ABC的三条边作三个正三角形，则S1、S2、S3、S4的关系为（）A．S1+S2+S3＝S4B．S1+S2＝S3+S4C．S1+S3＝S2+S4D．不能确定【答案】C【解答】解：如图，设Rt△ABC的三条边AB＝c，AC＝b，BC＝a，∵△ACG，△BCH，△ABF是等边三角形，∴S1＝S△ACG﹣S5＝b2﹣S5，S3＝S△BCH﹣S6＝a2﹣S6，∴S1+S3＝（a2+b2）﹣S5﹣S6，∵S2+S4＝S△ABF﹣S5﹣S6＝c2﹣S5﹣S6，∵c2＝a2+b2，∴S1+S3＝S2+S4，故选：C．二．填空题（共3小题）6．如图，在△ABC，∠ACB＝90°，分别以三边为直径向上作三个半圆．若AB＝5，AC＝4，则阴影部分图形的面积为6．【答案】6．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC2+AC2＝AB2，BC＝＝＝3，＝BC•AC＝×3×4＝6，∴S△ABC设以BC为直径的半圆的面积为S1，以AB为直径的半圆的面积为S3，以AC为直径的半圆的面积为S2，∵S1＝π•（BC）2＝BC2，S2＝π•（AC）2＝AC2，S3＝π•（AB）2＝AB2，＝S2+S1+S△ABC﹣S3＝（BC2+AC2﹣AB2）+S△ABC＝S△ABC＝6，∴S阴影故答案为：6．7．如图，在一个长方形草坪ABCD上，放着一根长方体的木块．已知AD＝12米，AB＝8米，该木块的较长边与AD平行，横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木块到达C处需要走的最短路程是2米．【答案】见试题解答内容【解答】解：把立体图形展开为平面图形得：展开后AB方向上线段长度变长，长度为AB+1+1＝8+2＝1 0米，BC＝AD＝12米，AB⊥BC，∴AC＝＝2（米），故答案为：2．8．如图①，四个全等的直角三角形与一个小正方形，恰好拼成一个大正方形，这个图形是由我国汉代数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．如果图①中的直角三角形的长直角边为7cm，短直角边为3cm，连结图②中四条线段得到如图③的新图案，则图③中阴影部分的周长为32cm．【答案】32．【解答】解：由题意得：BD＝7cm，AB＝CD＝3cm，∴BC＝7﹣3＝4（cm），由勾股定理得：AC＝＝5（cm），∴阴影的周长＝4（AB+AC）＝4×（3+5）＝32（cm）．故答案为：32．三．解答题（共4小题）9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别在AB、BC边上匀速移动，它们的速度分别为V P＝2cm/s，V Q＝1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t s．（1）当t为何值时，△PBQ为等边三角形？（2）当t为何值时，△PBQ为直角三角形？【答案】（1）；（2）或t＝1．【解答】解：在△ABC中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°．∵4÷2＝2，∴0≤t≤2，BP＝4﹣2t，BQ＝t.（1）当BP＝BQ时，△PBQ为等边三角形．即4﹣2t＝t．∴．当时，△PBQ为等边三角形；（2）若△PBQ为直角三角形，①当∠BQP＝90°时，BP＝2BQ，即4﹣2t＝2t，∴t＝1．②当∠BPQ＝90°时，BQ＝2BP，即t＝2（4﹣2t），∴．即当或t＝1时，△PBQ为直角三角形．10．如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点B在直线CD上，分别过点A、E作AC⊥直线CD于点C，ED⊥直线CD于点D．（1）求证：CD＝AC+ED．（2）若设△ABC三边长分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解答】证明：（1）∵∠ABC+∠EBD＝90°，∠ABC+∠BAC＝90°，∴∠BAC＝∠EBD，∵△ABE是等腰直角三角形，∴AB＝BE，在△ABC与△BED中，，∴△ABC≌△BED（AAS），∴BC＝DE，BD＝AC，∴CD＝BC+BD＝AC+ED；（2）由（1）知，DE＝BC＝a，BD＝AC＝b，＝，∴S梯形ACDE＝S△ABC+S△ABE+S△BDE又∵S梯形ACDE＝ab++＝ab+，∴，∴a2+b2＝c2．11．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，C B＝10km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等．问：（1）在离A站多少km处？（2）判定三角形DEC的形状．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵使得C，D两村到E站的距离相等．∴DE＝CE，∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，设AE＝x，则BE＝AB﹣AE＝（25﹣x），∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km；（2）△DEC是直角三角形，理由如下：∵△DAE≌△EBC，∴∠DEA＝∠ECB，∠ADE＝∠CEB，∠DEA+∠D＝90°，∴∠DEA+∠CEB＝90°，∴∠DEC＝90°，即△DEC是直角三角形．12．今年第6号台风“烟花”登陆我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向AB由A向B移动，已知点C为一海港，且点C与直线AB上的两点A、B的距离分别为AC＝300km，BC＝400km，又AB＝500km，经测量，距离台风中心260km及以内的地区会受到影响．（1）海港C受台风影响吗？为什么？（2）若台风中心的移动速度为28千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）海港C受台风影响，理由见解答过程；（2）台风影响该海港持续的时间为小时．【解答】解：（1）海港C受台风影响，理由：∵AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°；过点C作CD⊥AB于D，∵△ABC是直角三角形，∴AC×BC＝CD×AB，∴300×400＝500×CD，∴CD＝240（km），∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响；（2）当EC＝260km，FC＝260km时，正好影响C港口，∵ED＝（km），∴EF＝2ED＝200km，∵台风的速度为28千米/小时，∴200÷28＝（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为小时．1．（2023•株洲）一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．如图所示，已知∠ACB＝90°，点D为边AB的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则CD＝（）A．3.5cm B．3cm C．4.5cm D．6cm【答案】B【解答】解：由图可得，∠ACB＝90°，AB＝7﹣1＝6（cm），点D为线段AB的中点，∴CD＝AB＝3cm，故选：B．2．（2022•永州）如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝60°，点D为边AC的中点，BD＝2，则BC的长为（）A．B．2C．2D．4【答案】C【解答】解：在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D为边AC的中点，BD＝2，∴AC＝2BD＝4，∵∠C＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝2，故选：C．3．（2020•河北）如图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案．现有五种正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按如图的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是（）A．1，4，5B．2，3，5C．3，4，5D．2，2，4【答案】B【解答】解：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，围成的直角三角形的面积是＝，当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5时，围成的直角三角形的面积是＝；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4时，围成的直角三角形的面积是＝，∵，∴所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选：B．4．（2022•陕西）如图，是一个棱长为1的正方体纸盒．若一只蚂蚁要沿着正方体纸盒的表面，从顶点A爬到顶点B去觅食，则需要爬行的最短路程是（）A．B．2C．D．3【答案】C【解答】解：需要爬行的最短路程即为线段AB的长，如图：∵正方体棱长为1，∴BC＝1，AC＝2，∴AB＝＝＝，∴需要爬行的最短路程为；故选：C．5．（2023•攀枝花）如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC 于点E，则∠EBC＝10°．【答案】10°．【解答】解：∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠ABC＝90°﹣∠A＝50°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠EBA＝∠A＝40°，∴∠EBC＝∠ABC﹣∠EBA＝50°﹣40°＝10°，故答案为：10°．6．（2023•郴州）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是AB的中点，求CM＝5．【答案】5．【解答】解：连接CM，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝，∵点M是AB的中点，∴CM＝AB＝5．故答案为：5．7．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A 为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【答案】+1．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB＝＝＝，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB＝，∴OC＝AC+OA＝+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（+1，0）．故答案为：+1．8．（2023•随州）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，D为AC上一点，若BD是∠ABC的角平分线，则AD＝5．【答案】5．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴CD⊥BC，∵BD是∠ABC的角平分线，CD⊥BC，DE⊥AB，∴CD＝DE，在Rt△BCD和Rt△BED中，，∴Rt△BCD≌Rt△BED（HL），∴BC＝BE＝6，在Rt△ABC中，＝＝10，∴AE＝AB﹣BE＝10﹣6＝4，设CD＝DE＝x，则AD＝AC﹣CD＝8﹣x，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，∴42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴AD＝8﹣x＝5．故答案为：5．9．（2023•扬州）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和一个小正方形组成．如图，直角三角形的直角边长为a、b，斜边长为c，若b﹣a＝4，c＝20，则每个直角三角形的面积为96．【答案】96．【解答】解：由图可得，a2+b2＝c2，∴且a、b均大于0，解得，∴每个直角三角形的面积为ab＝×12×16＝96，故答案为：96．10．（2021•杭州）如图，在△ABC中，∠ABC的平分线BD交AC边于点D，AE⊥BC于点E．已知∠ABC ＝60°，∠C＝45°．（1）求证：AB＝BD；（2）若AE＝3，求△ABC的面积．【答案】（1）证明见解答过程；（2）．【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝∠ABC＝30°，∵∠C＝45°，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝75°，∴∠BAC＝∠ADB，∴AB＝BD；（2）解：在Rt△ABE中，∠ABC＝60°，AE＝3，∴BE＝＝，在Rt△AEC中，∠C＝45°，AE＝3，∴EC＝＝3，∴BC＝3+，＝BC×AE＝．∴S△ABC。

解直角三角形 PPT课件 17 华东师大版

1、再长的路一步一步得走也能走到终点，再近的距离不迈开第一步永远也不会到达。 2、从善如登，从恶如崩。 3、现在决定未来，知识改变命运。 4、当你能梦的时候就不要放弃梦。 5、龙吟八洲行壮志，凤舞九天挥鸿图。 6、天下大事，必作于细；天下难事，必作于易。 7、当你把高尔夫球打不进时，球洞只是陷阱；打进时，它就是成功。 8、真正的爱，应该超越生命的长度、心灵的宽度、灵魂的深度。 9、永远不要逃避问题，因为时间不会给弱者任何回报。 10、评价一个人对你的好坏，有钱的看他愿不愿对你花时间，没钱的愿不愿意为你花钱。 11、明天是世上增值最快的一块土地，因它充满了希望。 12、得意时应善待他人，因为你失意时会需要他们。 13、人生最大的错误是不断担心会犯错。 14、忍别人所不能忍的痛，吃别人所不能吃的苦，是为了收获别人得不到的收获。 15、不管怎样，仍要坚持，没有梦想，永远到不了远方。 16、心态决定命运，自信走向成功。 17、第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力的。 18、励志照亮人生，创业改变命运。 19、就算生活让你再蛋疼，也要笑着学会忍。 20、当你能飞的时候就不要放弃飞。 21、所有欺骗中，自欺是最为严重的。 22、糊涂一点就会快乐一点。有的人有的事，想得太多会疼，想不通会头疼，想通了会心痛。 23、天行健君子以自强不息；地势坤君子以厚德载物。 24、态度决定高度，思路决定出路，细节关乎命运。 25、世上最累人的事，莫过於虚伪的过日子。 26、事不三思终有悔，人能百忍自无忧。 27、智者，一切求自己；愚者，一切求他人。 28、有时候，生活不免走向低谷，才能迎接你的下一个高点。 29、乐观本身就是一种成功。乌云后面依然是灿烂的晴天。 30、经验是由痛苦中粹取出来的。 31、绳锯木断，水滴石穿。 32、肯承认错误则错已改了一半。 33、快乐不是因为拥有的多而是计较的少。 34、好方法事半功倍，好习惯受益终身。 35、生命可以不轰轰烈烈，但应掷地有声。 36、每临大事，心必静心，静则神明，豁然冰释。 37、别人认识你是你的面容和躯体，人们定义你是你的头脑和心灵。 38、当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 39、人的价值，在遭受诱惑的一瞬间被决定。 40、事虽微，不为不成；道虽迩，不行不至。 41、好好扮演自己的角色，做自己该做的事。 42、自信人生二百年，会当水击三千里。 43、要纠正别人之前，先反省自己有没有犯错。 44、仁慈是一种聋子能听到、哑巴能了解的语言。 45、不可能！只存在于蠢人的字典里。 46、在浩瀚的宇宙里，每天都只是一瞬，活在今天，忘掉昨天。 47、小事成就大事，细节成就完美。 48、凡真心尝试助人者，没有不帮到自己的。 49、人往往会这样，顺风顺水，人的智力就会下降一些；如果突遇挫折，智力就会应激增长。 50、想像力比知识更重要。不是无知，而是对无知的无知，才是知的死亡。 51、对于最有能力的领航人风浪总是格外的汹涌。 52、思想如钻子，必须集中在一点钻下去才有力量。 53、年少时，梦想在心中激扬迸进，势不可挡，只是我们还没学会去战斗。经过一番努力，我们终于学会了战斗，却已没有了拼搏的勇气。因此，我们转向自身，攻击自己，成为自己最大的敌人。 54、最伟大的思想和行动往往需要最微不足道的开始。 55、不积小流无以成江海，不积跬步无以至千里。 56、远大抱负始于高中，辉煌人生起于今日。 57、理想的路总是为有信心的人预备着。 58、抱最大的希望，为最大的努力，做最坏的打算。 59、世上除了生死，都是小事。从今天开始，每天微笑吧。 60、一勤天下无难事，一懒天下皆难事。 61、在清醒中孤独，总好过于在喧嚣人群中寂寞。 62、心里的感觉总会是这样，你越期待的会越行越远，你越在乎的对你的伤害越大。 63、彩虹风雨后，成功细节中。 64、有些事你是绕不过去的，你现在逃避，你以后就会话十倍的精力去面对。 65、只要有信心，就能在信念中行走。 66、每天告诉自己一次，我真的很不错。 67、心中有理想再累也快乐 68、发光并非太阳的专利，你也可以发光。 69、任何山都可以移动，只要把沙土一卡车一卡车运走即可。 70、当你的希望一个个落空，你也要坚定，要沉着！ 71、生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。 72、只要路是对的，就不怕路远。 73、如果一个人爱你、特别在乎你，有一个表现是他还是有点怕你。 74、先知三日，富贵十年。付诸行动，你就会得到力量。 75、爱的力量大到可以使人忘记一切，却又小到连一粒嫉妒的沙石也不能容纳。 76、好习惯成就一生，坏习惯毁人前程。 77、年轻就是这样，有错过有遗憾，最后才会学着珍惜。 78、时间不会停下来等你，我们现在过的每一天，都是余生中最年轻的一天。 79、在极度失望时，上天总会给你一点希望；在你感到痛苦时，又会让你偶遇一些温暖。在这忽冷忽热中，我们学会了看护自己，学会了坚强。 80、乐观者在灾祸中看到机会；悲观者在机会中看到灾祸。

九年级数学解直角三角形7

解直角三角形【学习目标】理解直角三角形中各元素间的关系，并能熟练地运用它们解直角三角形．【主体知识归纳】1．解直角三角形由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形．2．直角三角形中边角之间的关系在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，那么，除∠C 外，其余5个元素之间有以下关系：(1)两锐角之间的关系——互余，即∠A ＋∠B ＝90°；(2)三边之间的关系——勾股定理，即a 2＋b 2＝c 2；(3)边角之间的关系——sin A ＝斜边的对边A ∠，cos A ＝斜边的邻边A ∠，tan A ＝的邻边的对边A A ∠∠， cot A ＝的对边的邻边A A ∠∠；其中∠A 可以换成∠B ．【基础知识讲解】1．什么条件下可以解直角三角形?三角形中共有六个元素．在直角三角形中，由于有一个角(即直角)是已知的，所以通常是在已知两个元素求另外三个元素，这里的元素是指边和角(直角除外)．已知的两个元素中，不能都是锐角，因为一个三角形只知道角不能确定三角形的大小，所以根本不可能求出三边的长．故已知的两个元素中，至少要知道一条边．解直角三角形有两种类型：(1)已知一边和一锐角，求另外两边和另一锐角； (2)已知两边求第三边和两个锐角．注意：(1)尽量使用给定的原始数据；(2)角的某种三角函数值确定后，可以查表求出角的度数． 3．解直角三角形时应注意以下几点：(1)解直角三角形的公式不可死记，要灵活地运用； (2)解直角三角形求出的元素(不包括直角)共有3个； (3)要准确地应用公式，认真计算，防止出错；(4)解直角三角形时，近似计算的数字，如无特别说明，边长保留四个有效数字，角精确到1′； (5)尽可能避免开方运算；(6)有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决．【例题精讲】例1：已知：在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝7∠A ＝60°，求∠B ，b ，C ．解：∠B ＝90°－∠A ＝90°－60°＝30°b ＝a ·tan B ＝7·tan30°＝373，c ＝B b sin ＝3314．说明：(1)求三角形的边长，应算出最简结果．因本题没有给出精确度，所以最后结果可以保留根式的形式．(2)本题还可以用勾股定理或直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，来求边C ．例2：如图6—13，在△ABC 中，∠B ＝30°，∠C ＝45°，AC ＝2，求AB 和BC ．剖析：因为△ABC 不是直角三角形，故不能直接应用直角三角形中的三角函数的定义．通过作BC 边上的高，可把原三角形变成两个直角三角形，再利用三角函数的定义，即可求解．解：过点A 作AD ⊥BC 于D ．在Rt △ADC 中，∵AC ＝2，∠C ＝45°，sin C ＝ACAD， ∴AD ＝AC ·sin45°＝2×22＝2， ∴ＤC ＝A Ｄ＝2．在Rt △ABD 中，∵∠B ＝30°，A Ｄ＝2， ∴AB ＝2A Ｄ＝22． ∵cos B ＝ABBD， ∴B Ｄ＝AB ·cos B ＝22×23＝6． ∴BC ＝B Ｄ＋ＤC ＝6＋2． ∴AB 为22，BC 为6＋2．说明：斜三角形中的边角计算问题，往往通过作高转化为解直角三角形的问题．这也是本章解题的基本思想之一，必须熟练掌握．作高时，要尽量不破坏题中的特殊角．例3:一个等腰三角形的两边长为4和6，求底角的余切值．剖析：在一些与直角三角形联系密切的图形(如等腰三角形、等腰梯形或一般梯形等)中，我们往往根据给出的条件，构造直角三角形，本题则通过作底边上的高，构造出底角所在的直角三角形，从而求出底角的余切值．解：如图6—14，过顶点A 作底边BC 的垂线，垂足为D ．(1)当AB ＝AC ＝4，BC ＝6时，∵A Ｄ⊥BC ， ∴B Ｄ＝ＤC ＝21BC ＝3． ∴A Ｄ＝7342222=-=-BD AB∴cot B ＝77373==AD BD ． (2)当AB ＝AC ＝6，BC ＝4时，∵A Ｄ⊥BC ，∴B Ｄ＝ＤC ＝2∴A Ｄ＝24262222=-=-BD AB ． ∴cot B ＝42=AD BD ．综上可知，底角的余切值为773或42．说明：本题的条件中，已知等腰三角形的两边长为4和6，这里要对4为腰、6为腰两种情况进行讨论．例4:如图6—15，在△ABC 中，∠B ＝90°．VD 、E 是AB 边上的点，AD ＝30，DE ＝103，∠A ＝θ，∠CDB ＝2θ， ∠CEB ＝4θ，解Rt △ABC ．解：∵∠AC D ＝∠CDE –∠A ＝θ， ∠DCE ＝∠CEB –∠CDE ＝2θ，∴△ADC 和△DEC 都是等腰三角形．∴AD ＝CD ＝30，DE ＝CE ＝103．作EF ⊥CD ，垂足为F ， ∴DF ＝FC ＝15．在Rt △DEF 中， cos FDE ＝cos2θ＝DE DF＝2331015=， ∴2θ＝30°，∴θ＝15°．在Rt △CBE 中，BC ＝CE ·sin4θ＝103×23＝15． ∠ECB ＝90°–4θ＝30°．∴BE ＝21CE ＝53．∴AB ＝AD ＋DE ＋EB ＝30＋153．∴AC ＝)62(15)31530(152222+=+=+AB BC ． ∴∠A ＝15°，∠ACB ＝75°，AB ＝30＋153，AC ＝15(62+)．BC ＝15．说明：（1）解本题的关键在于作等腰△DEC 底边上的高，构造出已知条件足够的Rt △DEF ，求出θ的值，进而使问题得到解决．(2)在求出θ和BC 的值后，也可以利用三角函数定义，通过查表解直角三角形．【同步达纲练习】 1．选择题(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝32，那么tan B 等于( ) A ．53 B ．25 C ．552D ．35 (2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，斜边是15，sin A ＝53，则∠A 的对边的长为( )A ．25B ．20C ．12D ．9(3)等边三角形的高为53，则它的面积为( ) A ．150B ．1503C ．503D ．253(4)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，a ＋b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．16－83B ．23C ．8D ．10(5)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，则下列等式一定成立的是( ) A ．a ＝c ·sin BB ．c ＝Bacos C ．b ＝c ·tan B D ．a ＝c ·cot B(6)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，设其斜边上的高为l 1，则l 1∶a 等于( )A ．21B ．23C ．3D ．33 (7)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ＝21，a ＋b ＝37，则a 、b 、c 分别是( )A ． 7，27，35B ．27，7，35C ． 7，27，37D ． 7，27，21(8)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，S △ABC ＝93，则边a 的长为( ) A ． 3B ．23C ．32D ．6(9)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，tan A ·cot B ＝3，c ＝6，则△ABC 的最短边长为( ) A ．2B ．3C ． 3D ．23(10)在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝6，tan B ＝33，则△ABC 的面积为( ) A ．93B ．293 C ．9D ．18（11）在△ABC 中，∠C ＝90°，a ＝2，b ＝3，则c 和cot A 的值为( )A ．13，32B ． 13，23C ．5，32D ． 5，23（12）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝18，∠B ＝49．3°，用计算器（或查表）计算直角边a 、b 与角A 的结果是( )A ．b ＝11．74，a ＝13．65，∠A ＝50．7°B ．b ＝11．74，a ＝13．65，∠A ＝40°42′C ．b ＝13．65，a ＝11．74，∠A ＝40°42′D ．b ＝15．65，a ＝9．74，∠A ＝59°38′ (13)如图6—16，已知等腰梯形ABCD 中，A D ∥BC ， ∠B ＝60°，AD ＝2，AD ∶BC ＝1∶3．那么梯形的面积为( )A ．83B ．43C ．82D ．42(14)等腰梯形下底长为10，下底角为30°，高为3，则腰长和上底长分别是( ) A ．2，4B ．2，33C ．23，4D ．23，10－23(15)如图6—17，已知在△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，BC 边上的高A Ｄ＝3，则BC 边的长为( )A ．3＋33B ．2＋3C ．3＋3D ． 3＋62．填空题(1)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，∠B ＝30°，则a ＝_______，b ＝_______；(2)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ∶c ＝3∶2，b ＝6，则∠A ＝_______，a ＝_______，c ＝_______；(3)在直角三角形中，一锐角的正切值为125，周长为18，则三边的长分别为__________； (4)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，c ＝2，tan A ＝21，则a ＝___________，b ＝_________，S △ABC ＝_______．(5)在△ABC 中，∠C ＝90°，c ＝10，b ＝53，则∠A ＝__________，S △ABC ＝___________． (6)在△ABC 中，三边满足a ∶b ∶c ＝1∶1∶2，则∠A ＝_________，∠B ＝________．（7）在Rt △ABC 中，∠AC B ＝90°，CD 是AB 边上的高，如果CD ＝6，BD ＝3，那么AD ＝___________． (8)已知AD 为△ABC 的高，CD ＝6，AD ＝BD ＝2，则∠BAC ＝____________． (9)在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若3a ＝3b ，则∠A ＝_________．(10)直角三角形斜边上的高与中线分别为5和6，则它的面积是____________．3．解Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）b＝35，c＝45（2）a＝15，∠A＝35°27′；（3）AB＝102，∠A＝45°；（4）a＝15，b＝35；（5）b＝4，a∶c＝3∶2;(6)a＝10，S△＝503．4．如图6—18，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝60°，BD是角平分线，且BD＝2，求三边a、b、c 的长．5．在矩形ABCD中，(1)若AC＝10，∠BAC＝30°，求AB、AD的长；(2)若周长为28，∠BAC＝60°，求矩形的面积．6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c为△ABC的∠A、∠B、∠C的对边．若a＝4，b是方程x2－3x－4＝0的一个根．试解此直角三角形．7．已知一等腰三角形的腰长为4 cm ，一腰上的高线长为2 cm ．试求此等腰三角形顶角的度数．8．如图6—19，已知等腰梯形ABCD ，腰长与上底相等，且AB ＝6 cm ，∠B ＝60°，求这个梯形的面积．9．已知等腰梯形的腰长为6，下底角的正切值为42，下底长为122，求该等腰梯形sss 的面积．10．已知△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，BC ＝4，求△ABC 的面积．11．如图6—20，已知四边形ABCD 中，∠ＤAB ＝60°，∠B ＝∠Ｄ＝90°，C Ｄ＝2，BC ＝11．求AC 的长．12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是△ABC 的三边，已知b ＋c ＝5，S △ABC ＝233，如果方程4x 2－（4cos A －4）x －3cos 2A ＋2cos A ＝0没有两个不相等的实数根．求(1)∠A 的度数；(2)b 、c 边的长．13．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5–2是关于x 的方程x 2–3x ·cos A ＋25–4＝0的一个根，而关于y 的方程y 2＋(b –2)y ＋b –411＝0有两个相等的实数根．（1）求cos A的值；（2）求Rt△ABC三边的长．14．如图6—21，在△ABC中，∠C＝90°，∠ABD＝α，∠DBC＝β，AD＝h．求BC的长．【知识拓展】飞行员在空中观察地面，观察范围是一个圆，如图6—22所示，设飞机的高度ｈ＝980米，观测角α＝45°，他看到的地面面积是多少平方米?如果观测角不变，要使看到的地面面积增加到原来的2倍，飞机要升高多少米?参考答案【同步达纲练习】1．（1）B （2）D (3)D (4)B (5)B (6)B (7)A (8)C (9)B (10)B (11)B (12)C (13)A (14)C (15)C 2．(1)53,5 (2)60°,63,12 (3)3,536,539 (4)552,554,54(5)30°,2325 (6)45°,45° (7)12 (8)105° (9)30° (10)30 3．（1）∠B ＝51°4′，∠A ＝38°56′，a ≈28．28；（2）b ≈21．08，c ≈25．86，∠B ＝54°33′；（3）∠B ＝45°，BC ＝AC ＝10；（4）c ＝215，∠A ＝30°，∠B ＝60°；（5）∠A ＝60°，∠B ＝30°，a ＝43，c ＝8；（6）b =103,c =20,∠A =30°,∠B =60°4．a =3,b =3,c =235．(1)AB =53,AD =5;(2)1963-2946．b =4,c =42,∠A =∠B =45°7．30°或150°8．过A 、D 两点分别作AE 、DF 垂直BC 于点E 、F ．易证△AB Ｅ≌△DCF ，所以四边形AEFD 为矩形．在Rt △AB Ｅ中，AB ＝6，∠B ＝60°， ∴A Ｅ＝33，B Ｅ＝ＦC =3．∴BC ＝B Ｅ＋ＥＦ＋FC ＝12（c m ） ∴S 梯形ABCD ＝21AE ·（AD ＋BC ）＝273（c m 2）9．162． 10．12－43．11．延长AD 交BC 的延长线于M ．（如下图）在Rt △MDC 中，DC ＝2，∠Ｍ＝90°－∠DAB ＝30°∵sin Ｍ＝MCCD ， ∴MC ＝︒30sin CD ＝4． ∴MB ＝MC ＋BC ＝15．在Rt △ＭAB 中，∵tan AMB ＝BMAB ， ∴AB ＝BM ·tan AMB ＝53． ∴AC ＝22BC AB +＝14．12．(1)由Δ＝（4c os A －4）2－4×4（－3c os 2A ＋2c os A ）≤0，即(2c os A －1)2≤0， ∴c os A ＝21，即∠A ＝60°． (2)过点B 作BD ⊥AC ，垂足为D ．(如下图)在Rt △AB Ｄ中，BD ＝AB ·sin A ＝23c ． ∵S △ABC ＝21AC ·BD ＝21b ·23c ＝233． ∴bc ＝6．又b ＋c ＝5，∴b ＝2，c ＝3或b ＝3，c ＝2．13．（1）c os A = 35(2)a =25,b =5,c =35或a =565,b =3,c =59514．∵BC CD =tan β,BCAC =tan(α+β) ∴CD =BC ·tan β,AC =BC ·tan(α+β)∵AC -CD=AD ,∴BC ·tan(α+β)-BC ·tan β=h ．∴BC =ββαtan )tan(-+h ．【思路拓展题】看到的地面面积30156.56平方米，飞机要升高406米。