【名校专题攻略】2012高考专题复习第一部分 专题六 第2讲 空间角与距离 专题训练
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第一部分 专题六 第2讲 空间角与距离
(限时60分钟，满分100分)
1．(本小题满分20分) 如图，正方形ABCD 所在的平面与平面四边形ABEF 所在的平面互相垂直，△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，FA ＝FE ，∠AEF ＝45°.
(1)求证：EF ⊥平面BCE ；
(2)设线段CD 、AE 的中点分别为P 、M ，求证：PM ∥平面BCE .
解：∵△ABE 是等腰直角三角形，AB ＝AE ，∴AE ⊥AB ， ∵平面ABEF ∩平面ABCD ＝AB ，∴AE ⊥平面ABCD ， ∴AE ⊥AD ，即AD 、AB 、AE 两两垂直，如图建立空间直角 坐标系．
(1) 设AB ＝1，则AE ＝1，B (0,1,0)，D (1,0,0)，E (0,0,1)，C (1,1,0)， ∵FA ＝FE ，∠AEF ＝45°，
∴∠AFE ＝90°，从而F (0，－12，12
)，
EF ＝(0，－12，－1
2
，B E ＝(0，－1,1)，B C ＝(1,0,0)．
于是EF ·B E ＝0＋12－1
2
＝0，EF ·
B C ＝0， ∴EF ⊥BE ，EF ⊥BC ，
∵BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，BC ∩BE ＝B ， ∴EF ⊥平面BCE .
(2)M (0,0，12)，P (1，12，0)，从而PM ＝(－1，－12，1
2)，
于是PM ·EF ＝(－1，－12，12)·
(0，－12，－1
2
) ＝0＋14－1
4
＝0.
∴PM ⊥EF ，又EF ⊥平面BCE ，直线PM 不在平面BCE 内，故PM ∥平面BCE .
2．(本小题满分20分)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是A 1D 1、A 1C 1的中点，求：
(1)异面直线AE 与CF 所成角的余弦值； (2)二面角C －AE －F 的余弦值的大小．
解：不妨设正方体的棱长为2，分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A (2,0,0)，C (0,2,0)，E (1,0,2)，F (1,1,2)．
(1)由AE
＝(－1,0,2)，C F ＝(1，－1,2)，
得AE
＝5，|C F |＝6，
AE ·
C F
＝－1＋0＋4＝3. 又AE ·C F ＝|AE |·
|C F |·cos 〈AE
，C F 〉 ＝30cos 〈AE
，C F 〉， ∴cos 〈AE ，C F 〉＝3010
，
即AE 与CF 所成角的余弦值为
30
10
. (2)∵EF
＝(0,1,0)， ∴AE ·EF ＝(－1,0,2)·
(0,1,0)＝0， ∴AE ⊥EF ，过C 作CM ⊥AE 于M ，
则二面角C －AE －F 的大小等于〈EF
，M C 〉，
∵M 在AE 上，∴设AM
＝m AE ，
则AM ＝(－m,0,2m )，M C ＝A C －AM
＝(－2,2,0)－(－m,0,2m )＝(m －2,2，－2m )．
∵MC ⊥AE ， ∴M C ·AE ＝(m －2,2，－2m )·(－1,0,2)＝0， ∴m ＝25
∴M C ＝(－85，2，－45)，|M C |＝655，
∴EF ·M C ＝(0,1,0)·(－85，2，－45
)＝0＋2＋0＝2.
又EF ·M C ＝|EF |·|M C |·cos 〈EF ，M C 〉＝65
5
cos 〈EF ，M C 〉，
∴cos 〈EF ，M C 〉＝5
3
，
∴二面角C －AE －F 的余弦值的大小为
53
.
3．(本小题满分20分)(精选考题·陕西高考) 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，AP ＝AB ＝2，
BC ＝22，E ，F 分别是AD ，PC 的中点．
(1)证明：PC ⊥平面BEF ；
(2)求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小．
解：法一：(1)证明：如图，以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
∵AP ＝AB ＝2，BC ＝AD ＝22，四边形ABCD 是矩形． ∴A ，B ，C ，D ，P 的坐标为A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2，22，0)，D (0，22，0)，P (0,0,2)，
又E ，F 分别是AD ，PC 的中点，
∴E (0，2，0)，F (1，2，1)． ∴P C ＝(2,22，－2)，BF ＝(－1，2，1)，EF
＝(1,0,1)， ∴P C ·BF ＝－2＋4－2＝0，P C ·EF ＝2＋0－2＝0， ∴P C ⊥BF ，P C ⊥EF ， ∴PC ⊥BF ，PC ⊥EF ，BF ∩EF ＝F ， ∴PC ⊥平面BEF .
(2)由(1)知平面BEF 的法向量n 1＝P C
＝(2,22，－2)，
平面BAP 的法向量n 2＝AD
＝(0,22，0)，
∴n 1·n 2＝8.
设平面BEF 与平面BAP 的夹角为θ， 则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝
|n 1·n 2||n 1||n 2|＝84×22＝2
2
， ∴θ＝45°，∴平面BEF 与平面BAP 的夹角为45°. 法二：(1)证明：连接PE ，EC ， 在Rt △PAE 和Rt △CDE 中，
PA ＝AB ＝CD ，AE ＝DE ，
∴PE ＝CE ，即△PEC 是等腰三角形， 又F 是PC 的中点，∴EF ⊥PC ，
又BP ＝AP 2＋AB 2＝22＝BC ，F 是PC 的中点， ∴BF ⊥PC .
又BF ∩EF ＝F ，∴PC ⊥平面BEF . (2)∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥BC ， 又ABCD 是矩形， ∴AB ⊥BC ，