常微题2

模拟试题2
一．填空题：（第1小题4分，其它每小题3分，共25分）
1．方程0)(24=+'-'''y x y y 是 阶是(非) 线性方程. 2．若方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=（(,)(,)M x y N x y ，连续）是全
微分方程，
则(,)(,)M x y N x y ，满足关系 .
3．李普希兹条件是保证初值问题 00
(,)
()dy
f x y dx y x y ⎧=⎪⎨
⎪=⎩解唯一性的 条件.
4．对于一阶方程
)()(x q y x p dx
dy
+=（p (x ),q (x )∈C (a ,b )）, 则其任一解的存在区间是 .
5．对于欧拉方程 02
22
=+-y dx dy
x dx
y d x ，只需作变换 ，即可将其化为常系数线性方程.
6．对于二阶方程)(=+''x t a x ，其由解)(),(21t x t x 所构成的
Wronski 行列式必为 .
7．对于常系数线性齐次方程组X =X 'A ，若常系数矩阵A 的
特征根的实部都是负的，
则方程组的任一解当+→t ∞时 .
8．单摆运动方程0sin =+'+''ϕϕμ
ϕl
g m
可化为一阶方程
组 .
∙ 参考答案
1. 三 ，非 2 ．
M N
y x
∂∂=∂∂ 3．充分， 4．(a,b)， 5．t e x =， o 6．常数 ， 7. 趋于零， 8.⎪⎩⎪⎨⎧
--==y
m x l g dt
dy y dt dx μsin .
二．求解下述方程：（每小题6分，共42分）
1．y x e dx
dy
-= 2．
2
2y x y
dx dy -=
3．02)(2=+-xydy dx y x
4.2
)(2
2x dx dy x dx dy y +-=
5.12+=-''t x a x
6.t x x sin =+''
7.0)(2='+''x x x
∙ 参考答案
o
1.0=+-C e e y x (6分)
o 2. y x y
y y x dy dx -=-=2
22，解为 y Cy y y x -+-=2ln 2
o 3. 积分因子为21
x
，解为 C x y x =+2ln (6分)； o
4. 设
dx
dy
p
=(1分)，令dx
dy p =
，解为
2224
1
21x y C Cx x y =++=
及 (6分)； o
5. （I ）当0=a ，21232
161
C t C t t x +++=;
（II ）当0≠a ,不防设a>0,则方程的两个基本解为
at e -，at e 易求得一个特解 ),1(1
20t a x +-
=
所以此时方程的解为 )1(1
2
21t a e C e C x at at +-
+=- o
6. x ″+x=0的通解是 12cos sin x C t C t =+(2分)， 设原方程的特解是(cos sin )x t A t B t =+(4分)， 将
(cos sin )
x t A t B t =+代入原方程得
2sin 2cos sin A t B t t -+=，
所以有 2120A B -=⎧⎨=⎩ ⇒120
A B ⎧
=-
⎪⎨⎪=⎩ ,
所以原方程的通解是 121
cos sin cos 2
x C t C t t t =+- 注：如果用常数变易法或利用辅助方程''it x x e +=求解，则参照此解法给分
o
7. 2()0xx x '''+=,设x p '=，则d p d p d x d p x p dt dx dt dx
''==⋅=（2分）. 所以，原方程化为 2000dp dp xp p p x p dx dx +=⇒=+=或 由
0dp
x
p dx
+=得C
p x
=
，
因
此得
2
112
d x C
x d x C
d t x C
t
C
d t x =⇒=⇒=+
（6分） 三．（本题11分）
1．何谓)(t Φ是线性齐次方程组X =X 'A 的基解矩阵？
2．试求系数矩阵A=⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---244354332上述方程组的基解矩阵.
∙ 参考答案
o
1. 称)(t Φ是X =X 'A 的基解矩阵，如果)(t Φ满足
（a ）)()(t A t Φ=Φ' (b) 0)(det ≠Φt .（4分）
o
2. 令
02
4
4
35
4
3
3
2
)(=---+---=-λλλλλA E f ，可求得
2,2,1321=-=-=λλλ（7分）
对于11-=λ 由,000344344333321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x x x 可取⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=0111X ,
对于22-=λ，由,000444334334321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------x x x 可取⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝⎛=1102X 对于23=λ，由,000044374330321⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----x x x 可取⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛=1113X
因此基解矩阵为⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=Φ----t t
t
t t
t t
e e e e e
e e t 2222200)(.（11分） 四．讨论题：（本题12分） 研究方程
22
x
y dx dy n -= 1． 当n =1, 方程是什么类型的方程？并求解之。

2．
当n =2, 方程是什么类型的方程?通过观察能否直接
求出其解？
如何作变换将其化为可求解的类型，并具体求解之。

∙ 参考答案
o
1. 当 n=1 时，方程为线性非齐次方程，
其解为 ⎪⎭
⎫
⎝
⎛+-
=-⎰C dx e x e y x x 22（3分） o
2. 当 n=2 时，方程为Riccati 方程，通过观察，易知x
1
为其一特解（6分），
令u x
y +=1
（8分），代入原方程后可化简为
,22x
u u dx du +=此为伯努里方程，
再令u v 1=
，则又可化为
,21x
v
dx dv --=可求其解为32
x
x
c v -=
，
因此原方程的解为2
2
331x
c x x y -+= . 五．证明题：（本题10分）
设)(),(21t x t x 是方程0)()(21=+'+''x t a x t a x 的基本解组，则线性
非齐次方程)()()(21t f x t a x t a x =+'+''
满足初始条件0)()(00='=t t ϕϕ的解可表为
⎰
+-=t
t ds s f w s x t x s x t x t 0
)())
()()()(()(1221ϕ（其中w 为解)(),(21t x t x 所成的
Wronski 行列式），试证明之.
∙ 参考答案
o
证明：设 )(),(21t x t x 为方程 0)()(21=+'+''x t a x t a x （1）的两个线性无关解.
令 ',21x x x x ==，则（1）化为AX X ='，其中
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=)(0)(,)()(1012t f t F t a t a A （3分） 则据常数变易公式，满足初始条件0)(0=t ϕ的解为
⎰-ΦΦ=t
t ds s F s t t 0)()()()(1ϕ,（6分）
其中 w t x t x t x t x t t x t x t x t x t /)(')(')()()(,)(')(')()()(212112121⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=Φ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=Φ- 代入可算得 ⎰
+-=t
t ds s f w s x t x s x t x t 0
)())
()()()(()(1221ϕ.。