数学北师大版九年级上册一元二次方程根的判别式

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北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教案2一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的教学内容。

本节内容是在学生已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基础上，进一步引导学生探究一元二次方程的根的判别式，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教材通过引入判别式，让学生了解一元二次方程根的情况，从而更好地掌握解一元二次方程的方法。

二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经掌握了二次三项式分解、配方法解一元二次方程的基本方法，对一元二次方程有一定的认识。

但学生对判别式的概念、意义和应用可能还不够清晰，因此，在教学过程中需要教师引导学生深入理解判别式的内涵，并通过实际问题让学生体会判别式在解一元二次方程中的作用。

三. 教学目标1.让学生理解判别式的概念，掌握判别式的计算方法。

2.培养学生运用判别式判断一元二次方程根的情况的能力。

3.提高学生解决实际问题的能力，培养学生的数学思维。

四. 教学重难点1.判别式的概念和计算方法。

2.运用判别式判断一元二次方程根的情况。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考；通过案例分析，让学生深入了解判别式；通过小组讨论，促进学生互动交流，提高学生的合作能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。

2.准备教学PPT，包括判别式的定义、计算方法和应用实例。

3.准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出一个问题：“如何判断一个一元二次方程有几个实数根或无实数根？”引发学生的思考，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）介绍判别式的定义和计算方法，呈现相关的案例和实际问题，让学生在实际问题中体会判别式的作用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立运用判别式判断一元二次方程的根的情况。

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》说课稿1

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》说课稿1一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的一节课。

本节课的主要内容是引导学生探究一元二次方程的根与判别式之间的关系，让学生通过自主学习、合作交流的方式，理解并掌握判别式的意义和应用。

教材中，首先是通过引入一元二次方程的解的概念，让学生回顾和复习相关知识。

然后，通过探究判别式的定义和性质，引导学生发现判别式与方程的根之间的关系。

最后，通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本知识，对解方程的方法和步骤有一定的了解。

但是，对于判别式的概念和意义，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，通过引导和启发，帮助学生理解和掌握判别式的知识。

三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解判别式的定义，掌握判别式与方程的根之间的关系。

2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和合作精神。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

四. 说教学重难点1.教学重点：判别式的定义和性质，判别式与方程的根之间的关系。

2.教学难点：判别式的应用，如何利用判别式判断方程的根的情况。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流的教学方法，让学生在探究中学习，提高学生的学习兴趣和参与度。

2.教学手段：利用多媒体课件，展示判别式的定义和性质，引导学生直观地理解判别式与方程的根之间的关系。

六. 说教学过程1.引入：通过回顾一元二次方程的解的概念，引导学生复习相关知识。

2.探究：让学生自主学习判别式的定义和性质，通过合作交流，引导学生发现判别式与方程的根之间的关系。

3.讲解：通过讲解判别式的意义和应用，帮助学生理解和掌握判别式的知识。

4.练习：通过例题和练习，让学生巩固所学知识，提高解决问题的能力。

北师大版九年级上册数学[一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识点整理及重点题型梳理](基础)

新北师大版九年级上册初中数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习一元二次方程根的判别式及根与系数的关系—知识讲解（基础）【学习目标】1. 会用一元二次方程根的判别式判别方程根的情况，由方程根的情况能确定方程中待定系数的取值范围；2. 掌握一元二次方程的根与系数的关系以及在各类问题中的运用.【要点梳理】知识点一、一元二次方程根的判别式1.一元二次方程根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.要点诠释：利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤：①把一元二次方程化为一般形式；②确定c b a .,的值；③计算ac b 42-的值；④根据ac b 42-的符号判定方程根的情况.2. 一元二次方程根的判别式的逆用在方程()002≠=++a c bx ax 中，（1）方程有两个不相等的实数根⇒ac b 42-﹥0；（2）方程有两个相等的实数根⇒ac b 42-=0；（3）方程没有实数根⇒ac b 42-﹤0. 要点诠释：（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ac b 42-≥0.知识点二、一元二次方程的根与系数的关系1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么a b x x -=+21，ac x x =21. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商.2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根；(2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①222121212()2x x x x x x +=+-； ②12121211x x x x x x ++=； ③2212121212()x x x x x x x x +=+； ④2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=； ⑤22121212()()4x x x x x x -=+-；⑥12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++；⑦12||x x -==； ⑧22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==；⑨12x x -==⑩12||||x x +===(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程；以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围；（6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根为1x 、2x ，则①当△≥0且120x x >时，两根同号．当△≥0且120x x >，120x x +>时，两根同为正数；当△≥0且120x x >，120x x +<时，两根同为负数．②当△＞0且120x x <时，两根异号．当△＞0且120x x <，120x x +>时，两根异号且正根的绝对值较大；当△＞0且120x x <，120x x +<时，两根异号且负根的绝对值较大．要点诠释：（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的∆．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根a a a ，b 为有理数）．【典型例题】类型一、一元二次方程根的判别式的应用1．（2016•丽水）下列一元二次方程没有实数根的是（）A ．x 2+2x +1=0B ．x 2+x +2=0C ．x 2﹣1=0D ．x 2﹣2x ﹣1=0【思路点拨】求出每个方程的根的判别式，然后根据判别式的正负情况即可作出判断．【答案】B ．【解析】解：A 、△=22﹣4×1×1=0，方程有两个相等实数根，此选项错误；B 、△=12﹣4×1×2=﹣7＜0，方程没有实数根，此选项正确；C 、△=0﹣4×1×（﹣1）=4＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；D 、△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，方程有两个不等的实数根，此选项错误；故选：B ．【总结升华】本题主要考查一元二次方程根的情况，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．举一反三：【变式】不解方程，判别方程根的情况：2210xax a -++= .【答案】无实根.2．（2015•本溪）关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0.【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0，解得：k ＜2且k ≠1．故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.举一反三：【变式】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.类型二、一元二次方程的根与系数的关系的应用3．已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求另一个根及k 的值．【思路点拨】根据方程解的意义，将x ＝2代入原方程，可求k 的值，再由根与系数的关系求出方程的另外一个根．【答案与解析】方法一：设方程另外一个根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得125k x +=-，1625x =-，从而解得：135x =-，k ＝-7．方法二：将x ＝2代入方程，得5×22+2k -6＝0，从而k ＝-7．设另外一根为x 1，则由一元二次方程根与系数的关系，得1725x +=，从而135x =-，故方程的另一根为35-，k 的值为-7．【总结升华】根据一元二次方程根与系数的关系12b x x a +=-，12c x x a =易得另一根及k 的值．举一反三：【变式】已知方程220x x c -+=的一个根是3，求它的另一根及c 的值．【答案】另一根为-1；c 的值为-3．4．（2015•咸宁）已知关于x 的一元二次方程mx 2﹣（m+2）x+2=0．（1）证明：不论m 为何值时，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．【答案与解析】解：（1）△=（m+2）2﹣8m=m2﹣4m+4=（m﹣2）2，∵不论m为何值时，（m﹣2）2≥0，∴△≥0，∴方程总有实数根；（2）解方程得，x=，x1=2m，x2=1，∵方程有两个不相等的正整数根，∴m=1或2，m=2不合题意，∴m=1．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式和求根公式的应用，此外要掌握整数根的意义及正确求解适合条件的整数根．。

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教学设计2

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教学设计2一. 教材分析《一元二次方程的根的判别式》是北师大版数学九年级上册的一章内容。

本章主要介绍了一元二次方程的根的判别式的概念、性质和应用。

通过本章的学习，学生能够理解一元二次方程的根的判别式的含义，掌握计算方法，并能够运用判别式解决一些实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本概念和求解方法，对代数基础知识有一定的掌握。

但学生在理解和运用方面可能存在一些困难，如对判别式的概念理解不清晰，计算方法不熟练等。

因此，在教学过程中需要注重学生的理解和实践能力的培养。

三. 教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解一元二次方程的根的判别式的概念，掌握计算方法，并能够运用判别式解决一些实际问题。

2.过程与方法目标：通过导入、呈现、操练、巩固、拓展等环节，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。

四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的根的判别式的概念和计算方法。

2.难点：对判别式的应用和解决实际问题的能力的培养。

五. 教学方法1.讲授法：通过讲解和示例，引导学生理解和掌握一元二次方程的根的判别式的概念和计算方法。

2.实践操作法：通过操练和巩固环节，让学生亲自动手计算和解决问题，提高学生的实践能力。

3.小组讨论法：通过小组讨论和合作，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教学PPT：制作教学PPT，包括导入、呈现、操练、巩固、拓展等环节的内容。

2.练习题：准备一些相关的练习题，用于巩固学生的理解和应用能力。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过复习一元二次方程的基本概念和求解方法，引入根的判别式的概念。

提问学生对于一元二次方程的根的情况有哪些，引导学生思考和探索。

2.呈现（15分钟）讲解一元二次方程的根的判别式的概念和计算方法。

通过示例和讲解，让学生理解判别式的含义和如何计算。

复习2：一元二次方程根的判别式

4、若关于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有两个不相等实数根，
则m的取值范围是
()
A.m＜1
B. m＜1且m≠0
C.m≤1
D. m≤1且m≠0
5、若关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-7/4=0有两个相等的实数根，则 k= .
6.关于x的一元二次方程mx2-(3m-1)x+2m-1=0, 其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。
则x1+x2=
；x1x2= ；
2、方程2x2-kx-6=0的一个根是2，则k=
；
另一个根为（）
3、以2，-3为根的一元二次方程是
；
4、已知a、b是方程x2+x-1=0的两实根，则
a2+2a+b=
拓展已知a、b满足6a=a2+4，6b=b2+4，
求 ab ba
思维训练. 1、在一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)中
3、一元二次方程的根与系数的关系：注意:此关系是在( )条件下存在的。若 ax2+bx+c=0 的两根为 X1、x2，则x1+x2= ；x1x2= ；
4、以x1、x2为根（二次项系数为1）的一元二次方程是——————
➢ 课时训练（一）
Hale Waihona Puke 1、下列一元一次方程中，有实数根的是（）
A
.x2-x+1=0
➢ 要点、考点聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况： (1)当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根； (2)当Δ=0时，方程有两个相等的实数根； (3)当Δ＜0时，方程无实数根.

九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》教案、教学设计

2.针对难点内容，采用以下教学策略：
（1）通过分类讨论，让学生明确判别式的符号与方程根的关系，降低判断错误的可能性。
（2）利用数形结合的方法，将判别式与一元二次方程的图像相结合，帮助学生形象地理解判别式的符号意义。
（3）对学生在运用判别式时出现的常见错误进行剖析，引导学生总结经验，提高解题能力。
3.教学过程设想：
（四）课堂练习，500字
在课堂练习环节，我会设计具有梯度性的练习题，让学生独立完成。这些题目会涵盖判别式的计算、应用以及一元二次方程根的判断等各个方面。我会要求学生在规定时间内完成练习，并及时批改和反馈。
针对学生在练习中出现的典型错误，我会进行集中讲解，分析错误原因，并指导学生如何避免类似错误。这样的练习有助于巩固学生对判别式知识的掌握，并提高他们解决实际问题的能力。
（2）当判别式大于0、等于0和小于0时，分别对应方程的哪些根的情况？
（3）请举例说明在实际问题中如何运用判别式求解一元二次方程的根。
3.请同学们尝试解决以下拓展题目：
（1）已知一元二次方程的判别式，如何求解该方程的根？
（2）已知一元二次方程的根，如何反推判别式的值？
4.针对本节课的内容，请同学们撰写学习心得，内容包括：
4.设计分层练习，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
5.引导学生总结学习过程中的经验与教训，培养学生的自我反思和自我调整能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对方程根的判别式的兴趣，激发学生学习数学的热情。
2.培养学生勇于探索、积极思考的良好习惯，增强学生的自信心和自我效能感。
3.培养学生团结协作、互帮互助的精神，提高学生的沟通能力。
2.知识难点：理解判别式的符号意义，正确运用判别式判断方程根的情况。

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教学设计1

北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》教学设计1一. 教材分析北师大版数学九年级上册《一元二次方程的根的判别式》是本学期的重点内容，主要让学生掌握一元二次方程根的判别式的概念，以及如何应用判别式来判断方程的根的情况。

本节课的内容是学生学习一元二次方程的根与系数之间的关系的基础，也是解决一元二次方程实际问题的前提。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的代数基础，对一元二次方程的概念和性质有一定的了解。

但是，对于判别式的概念和应用，学生可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要引导学生从已有的知识出发，逐步理解和掌握判别式的概念和应用。

三. 教学目标1.让学生理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其计算方法。

2.让学生能够应用判别式来判断一元二次方程的根的情况。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。

2.教学难点：如何引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念，以及如何应用判别式来解决问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置实际问题，引导学生从实际问题中抽象出判别式的概念。

2.案例教学法：通过分析具体的案例，让学生掌握判别式的计算方法和应用。

3.小组合作学习：让学生在小组内进行讨论和交流，培养学生的合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于导入和巩固环节。

2.准备PPT，用于呈现和讲解判别式的概念和计算方法。

3.准备练习题，用于课后巩固和拓展。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT呈现一个实际问题：某商品打8折后的售价为120元，原价是多少？让学生尝试用一元二次方程来解决这个问题，从而引出一元二次方程的根的判别式。

2.呈现（10分钟）利用PPT呈现判别式的概念和计算方法，结合具体的例子进行讲解。

让学生明确判别式的意义和作用。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，尝试用判别式来解决问题。

北师大版数学九年级上册2.3.2一元二次方程根的判别式课件

• 我们把 b2-4ac叫做一元二次方程
ax2 bx c 0a 0 根的判别式
用符号△表示。即△ =b2-4ac
综上可知，我们发现一元二次方程ax2+bx+c(a≠0) 根的情况可由△ =b2-4ac来判断：
1当 > 0 时，原方程有两个不相等的实数根；
2当 0 时，原方程有两个相等的实数根；
2.3 一元二次方程根的判别式
一元二次方程的一般形式：
ax2 bx c 0(a 0)
一元二次方程的求根公式：
b b2 4ac x
2a
(b2-4ac≥0)
用公式法解下列方程
( 1 ) 2x2 x 1
( 2 ) x2 4=4x ( 3 ) (x+1)(4x+1)=2x
观察上面三个方程根的情况，你有什么发现？
想一想：根据前面的结论，运用根的
判别式可以不解方程就知道方程根的情况，反过来如果知道了方程根的情况， △的值会怎样呢？
1 当方程有两个不相等的实数根时，＞ 0 ； 2 当方程有两个相等的实数根时， 0 ；
3当方程没有实数根时，＜ 0
例2：已知关于 x的方程 x2 3x k ，0
问 k取何值时，这个方程有两个实数根?
思考题： m为何值时,关于x的一元二次方程 m2x2+(2m+1)x+1=0有两个不等实根？
本节课你有什么收获？
讨论：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
的根有哪几种情况？方程是否有根由什么决定？
我们知道,任何一个一元二次方程
ax2 bx c 0(a 0)
配方法
x
b 2a
2
b2 4ac 4a2

北师大版九年级上册第二单元一元二次方程解法复习及根的判别式应用的讲义

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17．x2－15x－16=0．(最佳方法：______)
18．4x2＋1=4x．(最佳方法：______)
9．(x－1)(x＋1)－5x＋2=0．(最佳方法：______)
综合运用一、填空题
20．若分式 x2 7x 8 的值是 0，则 x=______． x 1
21．关于 x 的方程 x2＋2ax＋a2－b2=0 的根是____________．二、选择题
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一元二次方程的根有三种情况（根的判别式）
1、当b2 4ac 0时, 方程有两个不相等的实数根；
方程有两个相等的实数根；
3、当b2 4ac 0时, 方程没有实数根；
练习 1：1). 2x2＋x－6＝0； 2). x2＋4x＝2； 3). 5x2 - 4x – 12 = 0 ;
A． m 3 2
B． m 3 且 m≠1 2
C． m 3 且 m≠1 2
D． m 3 2
16．如果关于 x 的二次方程 a(1＋x2)＋2bx=c(1－x2)有两个相等的实根，那么以正数 a，b，c 为边长的三角形是
( )．
A．锐角三角形
B．钝角三角形
C．直角三角形
D．任意三角形
二、解答题
17．已知方程 mx2＋mx＋5=m 有相等的两实根，求方程的解．
(4)、-3x2+22x-24=0
例 2、用公式法解方程 5x2-4x=12
步骤：1.变形:化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用 a,b,c 写出各项系数; 3.计算: b2-4ac 的值; 4.代入:把有关数值代入公式计算; 例 2、用公式法解方程 4x2+4x+10=1-8x
例 3、解方程：x2-5x+12=0

北师大版数学九年级上册第二章一元二次方程知识点归纳及例题含答案

北师大版九年级上册第二章一元二次方程知识知识点归纳及例题【学习目标】1.了解一元二次方程及有关概念；2.掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次──解一元二次方程；3.掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方法．【知识网络】【知识点梳理】知识点一、一元二次方程的有关概念1.一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．2.一元二次方程的一般式：3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.知识点诠释：判断一个方程是否为一元二次方程时，首先观察其是否是整式方程，否则一定不是一元二次方程；其次再将整式方程整理化简使方程的右边为0，看是否具备另两个条件：①一个未知数；②未知数的最高次数为2.对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0．知识点二、一元二次方程的解法1．基本思想一元二次方程一元一次方程 2．基本解法直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．知识点诠释：解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法．知识点三、一元二次方程根的判别式及根与系数的关系1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根；（3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.2.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.知识点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：(1)不解方程判定方程根的情况；(2)根据参系数的性质确定根的范围；(3)解与根有关的证明题．2. 一元二次方程根与系数的应用很多：(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．知识点四、列一元二次方程解应用题1.列方程解实际问题的三个重要环节：一是整体地、系统地审题；二是把握问题中的等量关系；三是正确求解方程并检验解的合理性.−−−→降次)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21ac x x =212.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.3.解决应用题的一般步骤：审 (审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；设 (设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；列 (根据题目中的等量关系，列出方程)；解 (解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验 (检验方程的解能否保证实际问题有意义）；答 (写出答案，切忌答非所问).4.常见应用题型数字问题、平均变化率问题、利息问题、利润(销售)问题、形积问题等.知识点诠释：列方程解应用题就是先把实际问题抽象为数学问题（列方程），然后由数学问题的解决而获得对实际问题的解决.【典型例题】类型一、一元二次方程的有关概念1．（2016•诏安县校级模拟）关于x 的一元二次方程（a ﹣1）x 2+x +a 2﹣1=0的一个根是0，则a 的值为（）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．【思路点拨】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a 的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．【答案】B ；【解析】解：根据题意得：a 2﹣1=0且a ﹣1≠0，解得：a=﹣1．故选B ．【总结升华】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．举一反三：【变式】关于x 的方程,当时为一元一次方程；当时为一元二次方程.【答案】=4；≠4且≠-2.类型二、一元二次方程的解法2．用适当的方法解一元二次方程(1) 0.5x 2-=0； (2) (x+a)2=；(3) 2x 2-4x-1=0； (4) (1-)x 2=(1+)x ．【答案与解析】 22(28)(2)10a a x a x --++-=a a a a a(1)原方程可化为0.5x2=∴x2=用直接开平方法，得方程的根为∴x1=，x2=-．(2)原方程可化为x2+2ax+a2=4x2+2ax+∴x2=a2用直接开平方法，得原方程的根为∴x1=a，x2=-a．(3) a=2，b=-4，c=-1b2-4ac=(-4)2-4×2×(-1)=24＞0x=∴x1=，x2=.(4)将方程整理，得(1-)x2-(1+)x=0用因式分解法，得x[(1-)x-(1+)]=0∴ x1=0，x2=-3-2．【总结升华】在以上归纳的几种解法中，因式分解法是最简便、最迅捷的方法，但只有一部分方程可以运用这种方法，所以要善于及时观察标准的二次三项式在有理数范围内是否能直接因式分解，凡能直接因式分解的，应首先采取这种方法．公式法是可以解任何类型的一元二次方程，但是计算过程较繁琐，所以只有选择其他解法不顺利时，才考虑用这种解法．虽然先配方，再开平方的方法也适用于任何类型的一元二次方程，但是对系数复杂的一元二次方程，配方的过程比运用公式更繁琐，所以，配方法适用于系数简单的一元二次方程的求解．举一反三：【变式】解方程． (1)(3x-2)2+(2-3x)＝0； (2)2(t-1)2+t＝1.【答案】(1)原方程可化为：(3x-2)2-(3x-2)＝0，∴ (3x-2)(3x-2-1)＝0．∴ 3x-2＝0或3x-3＝0，∴ ，． (2)原方程可化为：2(t-1)2+(t-1)＝0．∴ (t-1)[2(t-1)+1]＝0．∴ (t-1)(2t-1)＝0，∴ t-1＝0或2t-1＝0．∴ ，．类型三、一元二次方程根的判别式的应用3．（2015•荆门）若关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，则a 的取值范围是（）A ．a ≥1B ． a ＞1C ． a ≤1D ．a ＜1【答案】A ；【解析】∵关于x 的一元二次方程x 2﹣4x+5﹣a=0有实数根，∵∵=（﹣4）2﹣4（5﹣a ）≥0，∵a ≥1．故选A ．【总结升华】本题考查的是一元二次方程根的判别式，根据方程有两个实数根，得到判别式大于等于零，求出a 的取值范围．类型四、一元二次方程的根与系数的关系4．已知x 1、x 2是关于x 的方程的两个不相等的实数根，（1）求t 的取值范围；（2）设，求s 关于t 的函数关系式．【答案与解析】(1)因为一元二次方程有两个不相等的实数根．所以△＝(-2)2-4(t+2)＞0，即t ＜-1．(2)由一元二次方程根与系数的关系知：，，从而，即．【总结升华】利用根与系数关系求函数解析式综合题.举一反三：【变式】已知关于x 的一元二次方程的两实数根为，．（1）求m 的取值范围；（2）设，当y 取得最小值时，求相应m 的值，并求出最小值．【答案】（1）将原方程整理为． 123x =21x =11t =212t =2220x x t -++=2212s x x =+122x x +=122x x t =+2212s x x =+21212()2x x x x =+-222(2)2t t =-+=-2(1)s t t =-<-222(1)x m x m =--1x 2x 12y x x =+222(1)0x m x m +-+=∵ 原方程有两个实数根．∴ ，∴ ．（2），且．因为y 随m 的增大而减小，故当时，取得最小值1．类型五、一元二次方程的应用5．如图所示，在长为10cm ，宽为8cm 的矩形的四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长．【答案与解析】设小正方形的边长为xcm ，由题意得4x 2＝10×8×(1-80%)．解得x 1＝2，x 2＝-2．经检验，x 1＝2符合题意，x 2＝-2不符合题意舍去．∴ x ＝2．答：截去的小正方形的边长为2cm ．【总结升华】设小正方形的边长为x cm ，因为图中阴影部分面积是原矩形面积的80%，所以4个小正方形面积是原矩形面积的20%．举一反三：【变式】（2015春•启东市月考）如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD （围墙MN 最长可利用25m ），现在欲砌50m 长的墙，砌成一个面积300m 2的矩形花园，则BC 的长为多少 m?【答案】解：设AB=x 米，则BC=（50﹣2x ）米．根据题意可得，x （50﹣2x ）=300，解得：x 1=10，x 2=15，当x=10，BC=50﹣10﹣10=30＞25，故x 1=10（不合题意舍去），50﹣2x=50﹣30=20．22[2(1)]4840m m m =--=-+≥△12m ≤1222y x x m =+=-+12m ≤12m=答:BC的长为20m．6．某旅行社有100张床位，每床每晚收费10元，空床可全部租出；若每床每晚提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去，为了每晚获得1120元的利润，每床每晚应提高多少元?【答案与解析】设每床每晚提高x个2元，则每床每晚收费为(10+2x)元，每晚出租出去的床位为(100-10x)张，根据题意，得(10+2x)(100-10x)＝1120．整理，得x2-5x+6＝0．解得，x1＝2，x2＝3．∴当x＝2时，2x＝4；当x＝3时，2x＝6．答：每床每晚提高4元或6元均可．【总结升华】这是商品经营问题，总利润＝每张床费×床数．可设每床每晚提高x个2元，则床费为(10+2x)元，由于每晚每床提高2元，出租出去的床位减少10张，则出租出去的总床位为(100-10x)张，据此可列方程．。

2.5一元二次方程的根与系数的关系-九年级上册初三数学(北师大版)

4.总结回顾环节，我发现部分学生对于一元二次方程根与系数关系的掌握程度仍有待提高。在今后的教学中，我会加强对于这一知识点的巩固练习，确保学生能够熟练掌握。
5.课堂氛围较为活跃，学生提问积极性较高，这说明他们在课堂上愿意思考、探究。作为老师，我要继续保持这种良好的课堂氛围，鼓励学生提问，培养他们的质疑精神。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解一元二次方程的根与系数关系的基本概念。一元二次方程的根与系数关系是指方程的三个系数a、b、c与其根x1、x2之间的数学关系。这个关系在解决实际问题中起着关键作用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示如何通过已知的根来求解方程的系数，以及如何利用系数关系来解决实际问题。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了一元二次方程的根与系数关系的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这个知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决实际问题中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在今天的教学中，我重点关注了一元二次方程的根与系数关系这一章节。通过引入日常生活中的问题，我希望能够激发学生的兴趣，帮助他们理解数学与实际的联系。在授课过程中，我发现以下几点值得反思：
1.学生对于根的判别式Δ的理解存在困难。在讲解这一部分时，我应该更加形象地使用抛物线图像来帮助学生理解Δ值与方程根的关系。今后，我可以在课堂上增加更多直观的示例，以加深学生的理解。
2.教学难点
-理解根的判别式Δ的含义及其与方程根的关系。

《一元二次方程的根的判别式》教学设计2-九年级上册数学北师大版

北师大版九年级上《2．3一元二次方程的根的判别式》教学设计教学分析【教材分析】本节课是九年制义务教育初级中学北师大版九年级上册第二章继第三节《用公式法求解一元二次方程》学习的内容，在学完直接开方法、配方法、公式法解一元二次方程的基础上，在不解方程的条件下，掌握用判别式来判断一元二次方程根的情况，培养学生由特殊到一般的解题思想。

一元二次方程的根的判别方法及其逆定理是一元二次方程的重要性质，为二次函数等后继知识的学习奠定了基础。

【教学目标】知识目标：理解一元二次方程的根的判别式，运用根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。

能力目标：经历一元二次方程的根的判别式的意义及作用的探究过程，增强学生数学推理的严密性，体会由特殊到一般、分类讨论的数学思想。

情感目标：通过一元二次方程的根的判别式的引入，养成对科学的探索精神和严谨的治学态度，形成合作交流、独立思考的学习习惯，产生热爱数学的情感。

【教学重难点】重点：运用一元二次方程的根的判别式，在不解方程的前提下判别根的情况。

难点：对一元二次方程的根的判别方法及其逆定理的理解和运用。

【教学准备】ppt课件、教学工具单、一元二次方程计算小程序、希沃软件。

【我的思考】本节课在充分预习的基础上，充分放手给学生，以“小组合作、展示交流”的生态教学模式开展的探索课堂。

首先，通过公式法解一元二次方程的练习复习了公式法的步骤，接着用自制一元二次方程小软件验证一元二次方程的解是否正确，同时引起学生兴趣，引导学生感受到一元二次方程的根的情况，引发学生学习本节课内容的热情。

接下来，通过问学生为什么在代入求根公式之前要先计算一下b2-4ac的值，由此引入b2-4ac的名称的作用。

师生合作的方式把根的判别式性质用三个原命题与三个相应的逆命题形式出现，把条件与结论分得明确，使学生易于接受及记忆，进而突破教学重难点。

教师通过例题板演，规范解题格式，体验用根的判别式解决两类问题，一类是已知方程的系数，要判别方程根的情况；另一类是已知方程根的情况，要求方程的系数中所含字母的值或求字母间的关系式。

北师大版九年级数学上册《目标二一元二次方程根的判别式》课件

【点拨】等腰三角形的边分腰和底边，若没有说明，则必须分类讨论，同时注意三角形的三边关系．
解：若 a 为等腰三角形 ABC 的底边长，则 b，c 为等腰三角形 ABC 的两腰长，所以方程有两个相等
的实数根，所以 Δ＝0，即 k＝32.所以方程为 x2－4x ＋4＝0，解得 x1＝x2＝2.
即 b＝c＝2，不符合三角形三边关系，故舍去．若 a 为等腰三角形 ABC 的一腰长，由题意知 4 是方程的一个根，所以 42－(2k＋1)×4＋4k－12＝0，解得 k＝52.所以方程为 x2－6x＋8＝0，解得 x1＝2，x2＝4，符合题意．所以△ ABC 的周长为 2＋4＋4＝10.
解：方程化为5x2－7x＋5＝0， Δ＝b2－4ac＝(－7)2－4×5×5＝－51＜0， ∴此方程无实数根．
(3)3(x2－1)＝5x.
解：方程化为3x2－5x－3＝0， Δ＝b2－4ac＝(－5)2－4×3×(－3)＝61＞0. ∴此方程有两个不相等的实数根．
10
已知关于 x 的方程 x2－(2k＋1)x＋4k－12＝0.
7 【202X·荆州】定义新运算“a*b”：对于任意实数a，b，
都有a*b＝(a＋b)(a－b)－1，其中等式右边是通常的加
法、减法、乘法运算，例如4*3＝(4＋3)(4－3)－1＝7
－1＝6.若x*k＝x(k为实数)是关于x的方程，则它的根
的情况为( C )
A．有一个实数根
B．有两个相等的实数根
2
在方程2x2＋3x＝1中，b2－4ac的值为( C )
A．1 B．－1 C．17 D．－17
3 【2021·石家庄 41 中月考】已知方程 2x2＋mx＋1＝0 的根的判别式的值为 16，则 m 的值为( C ) A．2 6 B．－2 6 C．±2 6 D．±3 6

北师大版九年级上册数学.2一元二次方程的根的判别式课件(1)

北师大版·九年级数学上册·第二章·一元二次方程
一元二次方程的根的判别式
公式法
回顾之旅我思考
回顾与复习 1
配方法
w我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法。
(solving by completing the square)
助手用配方法解一元二次方程的方法的
w1.《九章算术》“勾股”章中有一题:“今有户高多于广六尺八寸, 两相去适一丈.问户高,广各几何.”
w大意是说:已知长方形门的高比宽多6尺8寸,门的对角线长1丈, 那么门的高和宽各是多少?
w解：设门的高为 x 尺，根据题意得
即 2 x 2+13.6 x -9953.76＝0. 解这个方程,得 x 1 ＝9.6;
总结
5 、用公式法解一元二次方程的一般步骤： 1、把方程化成一般情势，并写出 a、b、c 的值.
2、求出 b2 4ac 的值，
特别注意:当 b2 4ac 0 时无解;
3、代入求根公式 :
x b
b2 4ac ,
2a
4、写出方程的解： x1、x2 .
总结
对于一元二次方程：ax2 bx c 0（ a 0 ）
:
w平方根的意义: 如果x2=a,那么x= a. w完全平方式:式子a2±2ab+b2叫完全平方式
a2±2ab+b2 =(a±b)2.
回顾与复习 2
用配方法解下列方程. (1)2x2+3=7x; (2)3x2+2x+1=0.
解:(1)将方程化成一般情势:2x2-7x+3=0,
两边都除以二次项系数: 2x2 7 x 3 0，
x 2 ＝-2.8(不合题意,舍去).

初中数学北师大九年级上册(2023年修订) 一元二次方程一元二次方程的根的判别式

课题：一元二次方程的根的判别式成都八中周文东教学内容用b 2-4ac 大于、等于0、小于0判别ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的情况及其运用．教学目标（1）掌握b 2-4ac>0时a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个不等的实根；b 2-4ac=0时a x 2+bx+c=0（a ≠0）有两个相等的实数根，；b 2-4ac<0时ax 2+bx+c=0（a ≠0）没实根；反之也成立。

及其它们关系的运用．（2）培养学生的分析能力及分类讨论的思想（3）培养学生思维的批判性和严谨性。

重难点关键1．重点：b 2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；b 2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；b 2-4ac<0↔一元二次方程没有实根及其应用。

2．难点与关键分类讨论及思维的批判性和严谨性的培养教具准备：多媒体教学过程：一．温故而新思考：究竟是谁决定了一元二次方程根的情况？一元二次方程a x 2+bx+c=0（a ≠0）（1）当b 2-4ac ＞0时，方程有两个不相等的实数根（2）当b 2-4ac ＝0时，方程有两个相等的实数根（3）当b 2-4ac ＜0时，方程没有两实数根二．上新课例1: 不解方程，判别下列方程的根的情况.小结：一般步骤；(1)化为一般式，确定a,b,c 的值.(2)计算的值，确定的符号(3)判别根的情况，得出结论.练习1 不解方程，判别下列方程的根的情况：小结1:要确定判别式的正负时,对判别式因式分解或配方是个行之有效的方法!练习2 求证: 方程 x 2 + 2kx + 2k = 3 有两个不相等的实数根例2：已知关于x 的方程: mx 2 - 2(3m-1)x + 9m - 1 = 0有两个实数根,求m 的范围小结2: 在使用一元二次方程根的判别式时一定要注意二次项系数不为0这个前提,否则会出现错误练习3(1)已知一元二次方程有两个不相等的实数根,求k 的最大整数值.(2)已知一元二次方程有两个不相等的实数根,求实数k 的取值范围的根的判别式 2(1)414y y +=2(2)234x x +=∆∆21(1)384x x =+；()2(2)5170.t t +-=2(3)9(7)30x p x p -++-=2(6)30x mx m x +++=求证：关于的方程必有实根24=-b ac △ 2(4)()20(,,a b x cx a b a b c ++++=分别是三角形三边）2(1)20k x kx -+2(12)10k x ---=小结3: 当二次项的系数是字母时,应考虑二次项的系数为0和不为0的情况即为一次方程和二次方程两种情况例3.已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边,且方程有两相等的实数根,试判断△ABC 的形状练习4已知 a 、b 、c 是△ABC 的三边,且方程有两相等的实数根,试判断△ABC 的形状例4.关于 x 的方程左边是一个完全平方式，求 k 的值小结4：练习5:若方程 4x 2- ( m-3 )x + m-1 = 0左边是一个完全平方式，求 m 的值三．小结：（1）要确定判别式的正负时,对判别式因式分解或配方是个行之有效的方法!（2）当二次项的系数是字母时,应考虑二次项的系数为0和不为0的情况即为一次方程和二次方程两种情况（3）在使用一元二次方程根的判别式时一定要注意二次项系数不为0这个前提,否则会出现错误（4）判别式的应用：1）不解一元二次方程，判断其根的性质；2）根据方程根的情况，确定方程中未知(待定)系数的取值范围；3）应用判别式进行有关的证明（5）四．家庭作业《启航》P32-33 变式练习4，5，6。

九年级数学上册第二章一元二次方程专题(三)一元二次方程根的判别式ppt作业课件新版北师大版

4
类型四判别式与隐含条件相结合 6．(2018·扬州)关于 x 的方程 mx2－2x＋3＝0 有两个不相等的实数根，那么 m 的取值范围是_m_＜__13_且__m__≠__0__.
7．关于 x 的一元二次方程(1－m)x2－2x－1＝0 有两个实数根，则 m 的最大整数值是__2__．
8．已知关于 x 的一元二次方程 mx2－4mx＋m－5＝0 有两个相等的实数根，求 m 的值．
第二章一元二次方程
专题(三) 一元二次方程根的判别式
类型一已知常数和系数直接判断一元二次方程根的情况 1．不解方程，判断下列方程的根的情况： (1)x2－ 3x－1＝0；解：Δ＝( 3)2＋4×1＝7>0， ∴方程有两个不相等的实数根．
(2)3x2－4x＋3＝0；
解：Δ＝(－4)2－4×3×3<0， ∴方程无实数根．
A．±2 6 B．± 6 C．2 或 3
D. 2或 3
5．(2018·成都)若关于 x 的一元二次方程 x2－(2a＋1)x＋a2＝0 有两个不相等的实数根，求 a 的取值范围．
解：∵关于 x 的一元二次方程 x2－(2a＋1)x＋a2＝0 有两个不相等的实数根， ∴Δ＝[－(2a＋1)]2－4a2＝4a＋1＞0，解得 a＞－1.
m≠0，解：由题意得 Δ＝0，即(4m)2－4m(m－5)＝0， m1＝0(舍去)，m2＝－53，∴m＝－53.
类型三确定一元二次方程中字母的值或取值范围 3．关于 x 的一元二次方程(a－5)x2－4x－1＝0 有实数根，则 a 的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a>1 且 a≠5
C．a≥1 且 a≠5
D．a≠5
4．(2018·桂林)已知关于 x 的一元二次方程 2x2－kx＋3＝0 有两个相等的实数根，则 k 的值为( A )