高中数学必修四《简单的三角恒等变换》导学案
人教A版高中数学必修四简单的三角恒等变换学案
1、知识目标：以已有的十一个公式为依据，以求三角函数的周期，最值，三角函数恒等式的证明为基本训练，学习三角变换的内容，思路和方法。
2、能力目标：体会三角变换的特点，提高推理，运算的能力。
能运用化归转化的数学思想方法对三角函数的变换过程进行设计，不断提)B ϕ++的周期，最值，单调区间： 2. 三角函数和差角公式： 3.三角函数二倍角公式： 4.辅助角公式： 二、问题设置： 问题1、求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期，最大值和最小值。
问题2、证明：21cos 2tan 1cos 2θθθ-=+三、知识探究： 探究问题1：思考1：求解函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最值与求函数y sin()A x B ϖϕ=++的周期，最值有什么区别与联系吗？答：问题都是一样的；如果能把函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--转化为函数y sin()A x B ϖϕ=++，那么，函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--的周期和最值就可以求解了。
思考2：如何将函数22tan tan 2y cos )tan 2tanαααααα=--转化为y sin()A x B ϖϕ=++的形式呢？思考3：观察函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--与函数y sin()A x B ϖϕ=++形式的差别，有哪些？答：函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=--中三角函数的种类多，角也是两种不同的角思考4：在问题3中所找到的差别，我们能否转化消除？如果能，怎样转化消除？答：正切化正弦，可以减少一种三角函数，tan 2α可以通过正切的二倍角公式转化为单角，这样就可以和其它三角函数的角一样了 思考5：当我们把函数22tan tan 2y cos )tan2tan αααααα=--中与y sin()A x B ϖϕ=++不同的地方全部转化消除了，是否意味着我们可以求函数22tan tan 2y cos )tan 2tan αααααα=+--的周期，最大值和最小值？思考6：如何书写此问题的解答过程？请在下面写出来： 解答：反思总结：探究问题2：思考7：这是三角恒等式的证明问题，在学习同角三角函数关系的时候，我们已经接触过三角函数恒等式的证明问题，请问三角恒等式的证明有哪些方法？思考8：若用“从等式的左边推证得出等式的右边”的方法证明此恒等式，你认为其核心思想是什么？与思考1问题解决的核心思想有什么样的关系？思考9：结合思考1的解题思路，给出思考2的解答反思总结：四．知识巩固：1、求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值：（1）y sin 2cos 2x x =（2）2y 2cos 12x=+（3）y 4sin 4x x =+2、求证：（1）2(sin 2cos 2)1sin 4x x x -=- （2）12tan 2tan tan2θθθ-=-（3）1sin 2cos sin cos sin θθθθθ+=++ （4）1sin 2cos 2tan 1sin 2cos 2θθθθθ+-=++（5）tan()tan()2tan 2424x x xππ++-=（6）21cos 22sin 2x x ++=）。
精选人教A版高中数学必修4第三章三角恒等变换3.2简单的三角恒等变换导学案
3.2 简单的三角恒等变换学习目标.1.能用二倍角公式导出半角公式，体会其中的三角恒等变换的基本思想方法.2.了解三角恒等变换的特点、变换技巧，掌握三角恒等变换的基本思想方法.3.能利用三角恒等变换对三角函数式化简、求值以及三角恒等式的证明和一些简单的应用.知识点一.半角公式思考1.我们知道倍角公式中，“倍角是相对的”，那么对余弦的二倍角公式，若用2α替换α，结果怎样？答案.结果是cos α＝2cos2α2－1＝1－2sin 2α2＝cos 2α2－sin 2α2. 思考2.根据上述结果，试用sin α，cos α表示sin α2，cos α2，tan α2.答案.∵cos2α2＝1＋cos α2，∴cos α2＝± 1＋cos α2， 同理sin α2＝±1－cos α2，∴tan α2＝sinα2cosα2＝±1－cos α1＋cos α.思考3.利用tan α＝sin αcos α和倍角公式又能得到tan α2与sin α，cos α怎样的关系？答案. tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2cosα2cos α2·2cosα2＝sin α1＋cos α，tan α2＝sin α2cos α2＝sin α2·2sinα2cos α2·2sinα2＝1－cos αsin α.梳理知识点二.辅助角公式思考1.a sin x ＋b cos x 化简的步骤有哪些？ 答案.(1)提常数，提出a 2＋b 2得到a 2＋b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a a 2＋b 2 sin x ＋b a 2＋b 2cos x .(2)定角度，确定一个角θ满足： cos θ＝a a 2＋b2，sin θ＝b a 2＋b2(或sin θ＝a a 2＋b2，cos θ＝b a 2＋b 2).一般θ为特殊角⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3等，则得到a 2＋b 2(cos θsin x ＋sin θcos x )(或a 2＋b 2(sin θsin x ＋cosθcos x )).(3)化简、逆用公式得a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ)(或a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2cos(x －θ)).思考2.在上述化简过程中，如何确定θ所在的象限？ 答案.θ所在的象限由a 和b 的符号确定. 梳理.辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋θ).(其中tan θ＝ba)类型一.应用半角公式求值例1.已知sin θ＝45，5π2＜θ＜3π，求cos θ2和tan θ2.解.∵sin θ＝45，且5π2＜θ＜3π，∴cos θ＝－1－sin 2θ＝－35.由cos θ＝2cos 2θ2－1，得cos 2θ2＝1＋cos θ2＝15. ∵5π4＜θ2＜3π2，∴cos θ2＝－ 1＋cos θ2＝－55. tan θ2＝sin θ1＋cos θ＝2.反思与感悟.(1)若没有给出角的范围，则根号前的正负号需要根据条件讨论. (2)由三角函数值求其他三角函数式的值的步骤： ①先化简所求的式子；②观察已知条件与所求式子之间的联系(从角和三角函数名称入手). 跟踪训练1.已知sin α＝－817，且π<α<3π2，求sin α2，cos α2和tan α2. 解.∵sin α＝－817，π<α<3π2，∴cos α＝－1517.又∵π<α<3π2，∴π2<α2<3π4，∴sin α2＝1－cos α2＝ 1＋15172＝41717， cos α2＝－1＋cos α2＝－ 1－15172＝－1717， tan α2＝sinα2cosα2＝－4.类型二.三角恒等式的证明例2.求证：1＋sin 4θ－cos 4θ2tan θ＝1＋sin 4θ＋cos 4θ1－tan 2θ. 证明.要证原式，可以证明1＋sin 4θ－cos 4θ1＋sin 4θ＋cos 4θ＝2tan θ1－tan 2θ. ∵左边＝sin 4θ＋(1－cos 4θ)sin 4θ＋(1＋cos 4θ)＝2sin 2θcos 2θ＋2sin 22θ2sin 2θcos 2θ＋2cos 22θ ＝2sin 2θ(cos 2θ＋sin 2θ)2cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝tan 2θ，右边＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ， ∴左边＝右边， ∴原式得证.反思与感悟.证明三角恒等式的实质是消除等式两边的差异，有目的地化繁为简、左右归一或变更论证.对恒等式的证明，应遵循化繁为简的原则，从左边推到右边或从右边推到左边，也可以用左右归一，变更论证等方法.常用定义法、化弦法、化切法、拆项拆角法、“1”的代换法、公式变形法，要熟练掌握基本公式，善于从中选择巧妙简捷的方法. 跟踪训练2.证明：sin α＋11＋sin α＋cos α＝12tan α2＋12.证明.∵左边＝2tanα21＋tan2α2＋11＋2tan α21＋tan 2 α2＋1－tan2α21＋tan2α2＝tan2α2＋2tan α2＋11＋tan 2α2＋2tan α2＋1－tan2α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋122tan α2＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫tan α2＋1＝12tan α2＋12＝右边， ∴原等式成立.类型三.利用辅助角公式研究函数性质例3.已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 (x ∈R ).(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求使函数f (x )取得最大值的x 的集合. 解.(1)∵f (x )＝3sin(2x －π6)＋2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12 ＝3sin[2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12]＋1－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＝2⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫32sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－12cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12＋1 ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12－π6＋1 ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.(2)当f (x )取得最大值时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝1， 有2x －π3＝2k π＋π2，即x ＝k π＋5π12 (k ∈Z )，∴所求x 的集合为{x |x ＝k π＋5π12，k ∈Z }.反思与感悟.(1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提.(2)解此类题时要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角转换公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，为讨论函数性质提供保障.跟踪训练3.已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，g (x )＝12sin 2x －14. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数h (x )＝f (x )－g (x )的最大值，并求使h (x )取得最大值时x 的集合. 解.(1)f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x －32sin x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x＝14cos 2x －34sin 2x ＝1＋cos 2x 8－3(1－cos 2x )8＝12cos 2x －14， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)h (x )＝f (x )－g (x )＝12cos 2x －12sin 2x＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，当2x ＋π4＝2k π(k ∈Z )时，h (x )有最大值22.此时x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k π－π8，k ∈Z .类型四.三角函数在实际问题中的应用例4.如图，ABCD 是一块边长为100 m 的正方形地皮，其中AST 是半径为90 m 的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P 在ST 上，相邻两边CQ 、CR 正好落在正方形的边BC 、CD 上，求矩形停车场PQCR 面积的最大值和最小值.解.如图连接AP ，设∠PAB ＝θ(0°≤θ≤90°)，延长RP 交AB 于M ，则AM ＝90cos θ，MP ＝90sin θ. 所以PQ ＝MB ＝100－90cos θ，PR ＝MR －MP ＝100－90sin θ.所以S 矩形PQCR ＝PQ ·PR＝(100－90cos θ)(100－90sin θ) ＝10 000－9 000(sin θ＋cos θ) ＋8 100sin θcos θ.令t ＝sin θ＋cos θ(1≤t ≤2)， 则sin θcos θ＝t 2－12.所以S 矩形PQCR ＝10 000－9 000t ＋8 100·t 2－12＝8 1002(t －109)2＋950. 故当t ＝109时，S 矩形PQCR 有最小值950 m 2；当t ＝2时，S 矩形PQCR 有最大值(14 050－9 0002) m 2.反思与感悟.此类问题关键在于构建函数模型，首先要选准角，有利于表示所需线段，其次要确定角的范围.跟踪训练4.某工人要从一块圆心角为45°的扇形木板中割出一块一边在半径上的内接长方形桌面，若扇形的半径长为1 m ，求割出的长方形桌面的最大面积(如图).解.连接OC ，设∠COB ＝θ，则0°<θ<45°，OC ＝1. ∵AB ＝OB －OA ＝cos θ－AD ＝cos θ－sin θ， ∴S 矩形ABCD ＝AB ·BC＝(cos θ－sin θ)·sin θ ＝－sin 2θ＋sin θcos θ ＝－12(1－cos 2θ)＋12sin 2θ＝12(sin 2θ＋cos 2θ)－12 ＝22cos(2θ－45°)－12. 当2θ－45°＝0°，即θ＝22.5°时，S max ＝2－12(m 2). ∴割出的长方形桌面的最大面积为2－12m 2.1.若cos α＝13，α∈(0，π)，则cos α2的值为(..)A.63 B.－63 C.±63 D.±33答案.A解析.由题意知α2∈(0，π2)，∴cos α2>0，cos α2＝1＋cos α2＝63. 2.已知tan θ2＝3，则cos θ等于(..)A.45B.－45C.415D.－35 答案.B解析.cos θ＝cos 2θ2－sin2θ2cos 2θ2＋sin2θ2＝1－tan2θ21＋tan2θ2＝1－321＋32＝－45.3.函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上的最大值是(..)A.1B.2C.32D.3答案.C解析.f (x )＝1－cos 2x 2＋32sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12， ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， ∴f (x )max ＝1＋12＝32，故选C.4.函数f (x )＝sin x －cos x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最小值为 .答案.－1解析.f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.∵－π4≤x －π4≤π4，∴f (x )min ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1.5.化简：(1＋sin α＋cos α)⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22＋2cos α.(180°<α<360°)解.原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α24cos2α2＝2cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α22⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2α2－cos 2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝－cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为180°<α<360°，所以90°<α2<180°，所以cos α2<0，所以原式＝cos α.1.学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式.2.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中φ满足： ①φ与点(a ，b )同象限；②tan φ＝b a(或sin φ＝b a 2＋b2，cos φ＝a a 2＋b 2).3.研究形如f (x )＝a sin x ＋b cos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是高考常考的考点之一.对一些特殊的系数a ，b 应熟练掌握，例如sin x ±cos x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ±π4； sin x ±3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ±π3等. 课时作业一、选择题1.若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2等于(..)A.－12B.12 C.2 D.－2答案.A解析.∵α是第三象限角，cos α＝－45，∴sin α＝－35，∴1＋tanα21－tan α2＝1＋sinα2cos α21－sinα2cosα2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2＝cos α2＋sin α2cos α2－sin α2·cos α2＋sinα2cos α2＋sinα2＝1＋sin αcos α＝1－35－45＝－12.2.若tan α＝2tan π5，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5等于(..)A.1B.2C.3D.4 答案.C解析.cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α－3π10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝sin αcos π5＋cos αsinπ5sin αcos π5－cos αsin π5＝tan αtan π5＋1tan αtanπ5－1＝2＋12－1＝3.3.已知180°<α<360°，则cos α2的值等于(..)A.－ 1－cos α2 B. 1－cos α2 C.－ 1＋cos α2D.1＋cos α2答案.C4.在△ABC 中，若sin A sin B ＝cos 2C2，则△ABC 是(..)A.等边三角形B.等腰三角形C.不等边三角形D.直角三角形答案.B解析.用降幂公式进行求解. 5.设函数f (x )＝3cos 2ωx ＋sin ωx cos ωx ＋a (其中ω>0，a ∈R )，且f (x )的图象在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标是π6，则ω的值为(..) A.12 B.－13 C.－23 D.2π3答案.A解析.f (x )＝32cos 2ωx ＋12sin 2ωx ＋32＋a ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3＋32＋a ， 依题意得 2ω·π6＋π3＝π2⇒ω＝12. 6.设a ＝12cos 6°－32sin 6°，b ＝2sin 13°cos 13°，c ＝ 1－cos 50°2，则有(..) A.c <b <aB.a <b <cC.a <c <bD.b <c <a 答案.C解析.a ＝sin 30°cos 6°－cos 30°sin 6°＝sin(30°－6°)＝sin 24°， b ＝2sin 13°cos 13°＝sin 26°，c ＝sin 25°，∵y ＝sin x 在[0，π2]上是单调递增的， ∴a <c <b .7.已知sin θ＝m －3m ＋5，cos θ＝4－2m m ＋5(π2＜θ＜π)，则tan θ2等于(..) A.－13B.5C.－5或13D.－13或5 答案.B解析.由sin 2θ＋cos 2θ＝1，得(m －3m ＋5)2＋(4－2m m ＋5)2＝1，解得m ＝0或8，当m ＝0时，sin θ＜0，不符合π2＜θ＜π.∴m ＝0舍去，故m ＝8，sin θ＝513，cos θ＝－1213，tan θ2＝1－cos θsin θ＝1＋1213513＝5.二、填空题8.设5π＜θ＜6π，cos θ2＝a ，则sin θ4的值为 .答案.－ 1－a2 解析.sin 2θ4＝1－cos θ22，∵θ∈(5π，6π)，∴θ4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π4，3π2，∴sin θ4＝－ 1－cos θ22＝－ 1－a2.9.sin 220°＋sin 80°·sin 40°的值为 .答案.34解析.原式＝sin 220°＋sin(60°＋20°)·sin(60°－20°)＝sin 220°＋(sin 60°cos 20°＋cos 60°sin 20°)·(sin 60°·cos 20°－cos 60°sin 20°)＝sin 220°＋sin 260°cos 220°－cos 260°sin 220°＝sin 220°＋34cos 220°－14sin 220°＝34sin 220°＋34cos 220°＝34.10.函数f (x )＝sin(2x －π4)－22sin 2x 的最小正周期是 .答案.π解析.∵f (x )＝22sin 2x －22cos 2x －2(1－cos 2x )＝22sin 2x ＋22cos 2x －2＝sin(2x ＋π4)－2， ∴T ＝2π2＝π. 三、解答题11.已知sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，求cos α的值. 解.∵sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α ＝sin αcos π3＋cos αsin π3＋sin α ＝32sin α＋32cos α＝－435. ∴32sin α＋12cos α＝－45， ∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. ∵－π2<α<0，∴－π3<α＋π6<π6， ∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35. ∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π6 ＝35×32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×12＝33－410. 12.求证：tan 3x 2－tan x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x . 证明.∵左边＝tan 3x 2－tan x 2＝sin 3x 2cos 3x 2－sin x 2cos x 2＝sin 3x 2cos x 2－cos 3x 2sin x 2cos 3x 2cos x 2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2cos 3x 2cos x 2 ＝sin x cos 3x 2cos x 2＝2sin x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋x 2＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2－x 2＝2sin x cos x ＋cos 2x＝右边. ∴原等式得证.13.已知cos 2θ＝725，π2<θ<π， (1)求tan θ的值；(2)求2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)的值. 解.(1)因为cos 2θ＝725， 所以cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝725， 所以1－tan 2θ1＋tan 2θ＝725， 解得tan θ＝±34， 因为π2<θ<π，所以tan θ＝－34. (2)因为π2<θ<π，tan θ＝－34， 所以sin θ＝35，cos θ＝－45， 所以2cos 2θ2＋sin θ2sin (θ＋π4)＝1＋cos θ＋sin θcos θ＋sin θ ＝1－45＋35－45＋35＝－4. 四、探究与拓展14.已知A ＋B ＝2π3，那么cos 2A ＋cos 2B 的最大值是 ，最小值是 . 答案.32.12解析.∵A ＋B ＝2π3， ∴cos 2A ＋cos 2B＝12(1＋cos 2A ＋1＋cos 2B ) ＝1＋12(cos 2A ＋cos 2B ) ＝1＋cos(A ＋B )cos(A －B )＝1＋cos 2π3·cos(A －B ) ＝1－12cos(A －B )， ∴当cos(A －B )＝－1时，原式取得最大值32； 当cos(A －B )＝1时，原式取得最小值12. 15.已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x . (1)求f (x )的最小正周期和最大值；(2)讨论f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上的单调性. 解.(1)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x sin x －3cos 2x ＝cos x sin x －32(1＋cos 2x ) ＝12sin 2x －32cos 2x －32＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－32， 因此f (x )的最小正周期为π，最大值为2－32. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3时，0≤2x －π3≤π，从而 当0≤2x －π3≤π2，即π6≤x ≤5π12时，f (x )单调递增， 当π2≤2x －π3≤π，即5π12≤x ≤2π3时，f (x )单调递减. 综上可知，f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π12上单调递增；在⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π12，2π3上单调递减.。
高中数学3.2简单的三角恒等变换导学案新人教版必修4
3. 2简单的三角恒等变换（导学案）课前预习学案一、 预习目标：回顾复习两角和与差的正弦、 的三角恒等变换。
二、 预习内容：1、回顾复习以下公式并填空：2、阅看课本 P139---141 例 1、2、3。
三、提出疑惑：课内探究学案一、 学习目标：会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，会推导半角公式， 积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆） ，进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
学习重点：以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训 练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
学习难点：认识三角变换的特点， 并能运用数学思想方法指导变换过程的设计， 不断提高从整体上把握变换过程的能力。
二、 学习过程：探究一：半角公式的推导（例1）请同学们阅看例1，思考以下问题，并进行小组讨论。
1、 2a 与a 有什么关系？ a 与a /2有什么关系？进一步体会二倍角公式和半角公式的 应用。
2、 半角公式中的符号如何确定？ 3 、二倍角公式和半角公式有什么联系？4、代数变换与三角变换有什么不同？探究二：半角公式的推导（例 2）请同学们阅看例2,思考以下问题，并进行小组讨论。
COS ( a + 3 )=Cos( sin( t an(sin( tan( a + 3 )= a + 3 )=sin2a=ta n2cos2a =a - 3 )= a - 3 )= a - 3 )= a =余弦和正切公式及二倍角公式，预习简单1、两角和与差的正弦、 余弦公式两边有什么特点？它们与例2在结构形式上有什么联系？2 、在例2证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？ 3、在例2证明过程中，体现了什么数学思想方法？探究三：三角函数式的变换（例 3）请同学们阅看例1,思考以下问题，并进行小组讨论。
1、 例3的过程中应用了哪些公式？2、 如何将形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin （ w x+ $ ）的函数？并求y=as in x+bcosx 的周期，最大值和最小值.课后练习与提高、选择题:1 .已知 cos ( a + 3 ) cos ( a —3)=-，则 cos2 a — Sin 2 卩的值为()3C2.在△ ABC 中，若 sin A sin B =cos 2 ，则△ ABC 是()C. 不等边三角形D.直角三角形V3口3. sin a +sin 3 =—— (cos 3 — cos a ), 且 a €( 0,n 3等于（）三、反思、总结、归纳：sin a /2= cos a /2=tansina cos 3 =cos a sin 3 =cos a cos 3 = sin a sin 3 =sin0 +sin $ = sin 0 -sin $ =cos 0 +cos $ =cos0 -cos $ =四、当堂检测：课本 p143 习题3.2 A 组 1、 (3) (7) 2、(1) B 组a /2=A .B .C. D.A. 等边三角形B. 等腰三角形,3^( 0 ,n)，贝U a — 3A. — 2 nB.—n c.上 D. 2 n3333二、填空题4. sin20 ° cos70° +sin10° sin50 ° =5.已知a —3 = 2 n，且cos a +cos卩：=1，则cos ( a+ 3 )等于33三、解答题.5 sin — x6.已知f ( X)=—1+ J , x€( 0,n).2 X2 2sin2(1)将f (x)表示成cosx的多项式；(2)求f (x)的最小值.谍后练习琴芳答案；—S选择题m 比E 3, D二、埴空題:4. 1 5. -I4 P三、解答题Sr r 3rsinsin—2 cos —smx * Y5. 解(1) fM =------ 2 ------ L = ----- 2------- =2cos —cos—YoarfooQjMosY——1.”勺.K * . s 222 sin—2511122⑵(r) -2(8Sl+£) 2—芝，且一1 £CCIS.\<L二当匚曲戶一—时！J'(A")取寻眾小值一2.寧EL；! 4F 客。
高中数学 3.2《简单的三角恒等变换》导学案 新人教A版
3.2《简单的三角恒等变换》导学案【学习目标】1．会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆），2．使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力. 【导入新课】 习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2Tα先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α.既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 新授课阶段半角公式的推导及理解 ： 例1、 试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解析： 解：点评：⑴以上结果还可以表示为：1cos sin221cos cos22αααα-=+=1cos tan 21cos ααα-=+并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2 求证：（１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sin cos22θϕθϕθϕ+-+=． 解析： 证明：点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３ 求函数sin 3cos y x x =+的周期，最大值和最小值． 解析： 解： 课堂小结用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．作业课本p143 习题3.2 A 组1、（1）（5） 3 、5 拓展提升1．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 2．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形3．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3π C ．3πD ．3π2 4．已知cos （α+β）cos （α－β）=31，则cos 2α－sin 2β的值为（ ）A ．－32B ．－31C ．31D ．32 5．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C，则△ABC 是（ ）A ．等边三角形B ．等腰三角形C ．不等边三角形D ．直角三角形6．sin α+sin β=33（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ）A ．－3π2 B ．－3πC ．3πD ．3π2 7．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m二、填空题8．sin20°cos70°+sin10°sin50°=_________． 9．已知α－β=3π2，且cos α+cos β=31，则cos （α+β）等于_________． 三、解答题10．已知f （x ）=－21+2sin 225sinxx，x ∈（0，π）． （1）将f （x ）表示成cos x 的多项式； （2）求f （x ）的最小值．12．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足：A +C =2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2CA -的值．13． 已知sin A +sin3A +sin5A =a ，cos A +cos3A +cos5A =b ， 求证：（2cos2A +1）2=a 2+b 2．14． 求证：cos 2x +cos 2（x +α）－2cos x cos αcos （x +α）=sin 2α．15． 求函数y =cos3x ·cos x 的最值．参考答案 例1解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=；因为2cos 2cos 12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．点评：⑴以上结果还可以表示为：sin2cos2αα==tan 2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定.⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明. ⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.例2：解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系. 证明：（１）因为()sin αβ+和()sin αβ-是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-．两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-；即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①；设,αβθαβϕ+=-=， 那么,22θϕθϕαβ+-==．把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．点评：在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．例３、解析：利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值. 解： 13sin 3cos 2sin cos 2sin 223y x x x x x π⎛⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，所求的周期22T ππω==，最大值为２，最小值为2-．点评：例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数()sin y A x ωϕ=+的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．拓展提升一、选择题：1．C 2． B 3． D 4．C 5． B 6． D 7． B 二、填空题：8．41 9．－97三、解答题10．解：（1）f （x ）=2cos 23cos 22sin 2sin 23cos 22sin 22sin 25sinx x x xxx x x ==-=cos2x +cos x =2cos 2x +cos x－1．（2）∵f （x ）=2（cos x +41）2－89，且－1≤cos x ≤1， ∴当cos x =－41时，f （x ）取得最小值－89． 11 分析：本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力． 解：由题设条件知B =60°，A +C =120°， ∵－︒60cos 2=－22，∴CA cos 1cos 1+=－22． 将上式化简为cos A +cos C =－22cos A cos C ， 利用和差化积及积化和差公式，上式可化为 2cos2C A +cos 2CA -=－2［cos （A +C ）+cos （A －C ）］， 将cos2C A +=cos60°=21，cos （A +C ）=cos120°=－21代入上式得cos 2CA -=22－2cos （A －C ）， 将cos （A －C ）=2cos 2（2C A -）－1代入上式并整理得42cos 2（2C A -）+2cos 2C A -－32=0，即［2cos2C A -－2］［22cos 2CA -+3］=0． ∵22cos 2C A -+3≠0，∴2cos 2CA -－2=0． ∴cos 2C A -=22．12．证明：由已知得 ⎩⎨⎧=+=+，，b A A A a A A A 3cos 2cos 3cos 23sin 2cos 3sin 2 ∴⎩⎨⎧=+=+.)12cos 2(3cos )12cos 2(3sin b A A a A A ，两式平方相加得（2cos2A +1）2=a 2+b 2． 13．证明：左边=21（1+cos2x ）+21［1+cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+21［cos2x +cos （2x +2α）］－2cos x cos αcos （x +α） =1+cos （2x +α）cos α－cos α［cos （2x +α）+cos α］ =1+cos （2x +α）cos α－cos αcos （2x +α）－cos 2α =1－cos 2α=sin 2α =右边，∴原不等式成立． 14．解：y =cos3x ·cos x=21（cos4x +cos2x ） =21（2cos 22x －1+cos2x ） =cos 22x +21cos2x －21 =（cos2x +41）2－169． ∵cos2x ∈［－1，1］， ∴当cos2x =－41时，y 取得最小值－169； 当cos2x =1时，y 取得最大值1．。
高二数学简单的三角恒等变换教案(通用11篇)
高二数学简单的三角恒等变换教案（通用11篇）高二数学简单的三角恒等变换教案 1教学目标1、理解并掌握基本的三角恒等式，如和差化积、积化和差公式。
2、能够运用三角恒等式进行简单的三角恒等变换。
3、培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
教学重点1、三角恒等式的理解和记忆。
2、三角恒等变换的方法和步骤。
教学难点三角恒等式的灵活运用和复杂三角表达式的化简。
教学准备1、多媒体课件，包含三角恒等式、例题和练习题。
2、黑板和粉笔。
教学过程一、导入新课复习上节课内容，回顾三角函数的定义和性质。
提出问题：如何利用已知的三角函数公式推导出新的三角恒等式？二、新课讲解1、讲解三角恒等式的基本概念，介绍和差化积、积化和差等公式。
2、通过实例演示如何使用三角恒等式进行三角恒等变换。
3、引导学生总结三角恒等变换的.一般方法和步骤。
三、课堂练习布置一些简单的三角恒等变换练习题，让学生尝试运用所学知识解决问题。
教师巡视指导，及时纠正学生的错误，并给予适当的提示和帮助。
四、巩固提升分析一些较复杂的三角恒等变换问题，引导学生思考如何灵活运用三角恒等式进行化简。
鼓励学生相互讨论，分享解题思路和方法。
五、课堂小结总结本节课的重点内容，强调三角恒等变换的重要性和应用价值。
布置课后作业，要求学生完成一些三角恒等变换的练习题，以巩固所学知识。
教学反思本节课通过实例演示和课堂练习，使学生初步掌握了三角恒等变换的基本方法和步骤。
但在处理较复杂问题时，部分学生仍显得不够熟练，需要进一步加强练习和指导。
在今后的教学中，可以设计更多具有针对性的练习题，帮助学生巩固和提高三角恒等变换的能力。
同时，也要注重培养学生的逻辑思维能力和数学运算能力，为后续的数学学习打下坚实的基础。
高二数学简单的三角恒等变换教案 2理解并掌握三角恒等变换的基本公式，包括正弦、余弦、正切的和差公式，二倍角公式，半角公式等。
能够运用三角恒等变换解决一些简单的三角函数化简、求值及证明问题，培养学生的逻辑推理能力和数学运算能力。
3.2 简单的三角恒等变换(教、学案)
简单的三角恒等变换永寿县中学 徐红博【教学目标】会用已学公式进行三角函数式的化简、求值和证明，引导学生推导半角公式，积化和差、 和差化积公式（公式不要求记忆），使学生进一步提高运用转化、换元、方程等数学思想解决问题的能力。
【教学重点、难点】教学重点：引导学生以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
【教学过程】复习引入：复习倍角公式2S α、2C α、2T α先让学生默写三个倍角公式，注意等号两边角的关系，特别注意2C α。
既然能用单角表示倍角，那么能否用倍角表示单角呢？ 半角公式的推导及理解 ：例1、 试以cos α表示222sin,cos ,tan 222ααα．解析：我们可以通过二倍角2cos 2cos 12αα=-和2cos 12sin 2αα=-来做此题．（二倍角公式中以α代2α，2α代α） 解：因为2cos 12sin 2αα=-，可以得到21cos sin22αα-=； 因为2cos 2cos12αα=-，可以得到21cos cos 22αα+=． 两式相除可以得到222sin 1cos 2tan21cos cos 2ααααα-==+． 点评：⑴以上结果还可以表示为：sin 2cos2αα==tan2α=并称之为半角公式（不要求记忆），符号由2α角的象限决定。
⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明。
⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
变式训练1：求证sin tan21cos 1cos tan 2sin αααααα=+-=积化和差、和差化积公式的推导（公式不要求记忆）： 例2：求证： （１）()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．解析：回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系。
人教版必修四：32简单的三角恒等变换(导学案)
3.2 简单的三角恒等变换班级：姓名：小组：学习目标1.了解半角公式及其推导过程；2.能用两角和与差公式进行简单的三角求值、化简和证明.3.掌握三角恒等变换在研究三角函数图像与性质中的应用.重点难点重点：灵活运用三角公式，特别是倍角公式进行三角恒等变换. 难点：公式的综合应用.学法指导通过例题与练习，对变换对象和变换目标进行对比、分析，逐渐形成在解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识．课前预习半角公式：co s2α= （2Cα）sin2α= （2Sα）2tanα= （2Tα）注意：根号前的±号，由2α所在象限决定.预习评价用半角公式求sin15，cos15，tan15值.课堂学习研讨、合作交流（一）应用半角公式求值例1.已知3cos5α=，α是第四象限角，求tan2α.★变式已知1tan22α=，求（1）cosα；（2）sinα；（3）tanα.[来源:学。
科。
（二）三角变换例2.求证：)]sin()[sin(21cossin)1(βαβαβα-++=；.2cos2sin2sinsin)2(ϕθϕθϕθ-+=+例3.已知,αβ都是锐角，3512cos(),sin(),45413ππαβ-=+=-3(,),(0,)444πππαβ∈∈，求sin()αβ+的值．例4.化简：sin50(13tan10)+例5..cossin3间及最小值的最小正周期，递增区求函数xxy+=例6.已知函数R x x x x y ∈++=,1cos sin 23cos 212（1）求函数)(x f 的最小正周期； （2）求)(x f 的最大值及取得最大值时相应的x 值； （3）求函数的单调递增区间.当堂检测1.44cossin 1212ππ-等于（ ）A ．32 B ．22 C ．12 D ．12- 2.化简：13sin10cos10-3. 已知1sin cos,0225αααπ-=≤≤，求sin()4πα-的值．4. .sin cos 1cos 1sin 2tan ααααα-=+=求证：5. 求证：.2sin2cos2sin sin ϕθϕθϕθ-+=-6.求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值.x x y 2cos 2sin )1(= 12cos 2)2(2+=x y7.求函数()sin(4)cos(4)36f x x x ππ=++-的最小正周期和递减区间． 学后反思。
3.2简单的三角恒等变换导学案
- 1 -3.2简单的三角恒等变换学案【学习目标】掌握降次公式（半角公式）的降次作用,能正确运用三角公式进行三角恒等变换。
【重点、难点】灵活的运用将次公式进行三角恒等变换 【基础梳理】1、 )sin(βα+= )sin(βα-= =+)cos(βα =-)cos(βα =+)tan(βα =-)tan(βα2、辅助角公式： x b x a cos sin +=3、α2sin = =α2cos = =4、降幂升角 2sin α= 2cos α= 5．用αcos 表示下列三角函数式：2sin2α= ；2cos2α= 2tan2α=【预习自测】1.75sin 15sin 的值是 。
2.化简：2cos 2sinxx = x x sin cos -= 3.证明：（1）2(sin cos )1sin 2θθθ-=-；（2）44cos sin cos 2ααα-=. 4. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于54,则这个三角形底角的正弦值为（ ） A1010 B 1010- C 10103 D 10103- 【典例探讨】1.倍角或半角公式的简单应用 例1、 试以αcos 表示2tan ,2cos ,2sin 222ααα。
分析：α是2α的二倍角，在二倍角的余弦公式中以α代替2α，以2α代替α， 即得222sin,cos ,tan 222ααα相除得. 探讨：你能进一步求出sin,cos,tan222ααα的值吗？变式1：已知43sin -,(,2)52πααπ=∈，sin ,cos ,tan 222ααα的值。
变式2：已知α是钝角，β是锐角，且4sin 5α=，12sin 13β=，求-cos 2αβ的值. 2．倍角或半角公式的灵活应用：三角函数式的求值例2：已知：sin 22sin()sin()4242απαπα=-+，求25sin 23sin cos ααα-的值. 分析：4242παπα-+与的和为2π，所以sin()=cos()4222παπα+-，代入化简；给值、求值的关键是找出已知的式子与欲求的式子之间的关系，适当变换已知的式子和欲求的式子，即可. 变式3：已知tan 34πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求2sin 22cos θθ-的值. 【课堂检测】1.已知135sin =α，且α在第二象限，求2sin α ，2tan α的值。
【范文】高中数学必修四3.2.1 简单的三角恒等式的证明导学案
高中数学必修四3.2.1 简单的三角恒等式的证明导学案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址3.2简单的三角恒等变换3.2.1简单的三角恒等式的证明【学习目标】.加深对三角函数的概念、公式的理解，把握三角恒等变换的基本特点。
2.以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，培养提高学生推理、运算能力。
【新知自学】知识回顾：回顾复习以下公式并填空：=________________=________________对点练习：、已知sin•sin=1，那么cos的值为．-l1±l2．已知tan=，且∈，则sin的值是．--3．【合作探究】典例精析：例1．试用表示，，讨论展示：在前面学习的二倍角公式中，2角是的二倍，大家体会一下：这里角与可以有什么关系？进一步体会二倍角公式中，倍角的相对性。
解答：规律总结：、本题的结果可以表示成：，，，并称之为半角公式（不要求记忆），其中的符号由_____来确定。
2、思考：代数变换与三角变换有什么不同？（答案见课本）变式练习1：求证：（优点：避免选择符号）例2．求证：；．讨论展示：①两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？②它们与本例在结构形式上有什么联系？③如何完成本题的证明？思考感悟：①本题证明过程中，体现了什么数学思想方法？_____、________②在本例证明过程中，如果不用（1）的结果，如何证明（2）？变式练习2：已知，，求证：【课堂小结】三角变换的特点：换元法、方程思想的运用【当堂达标】、求证：=cos2x．2、求证：3、求证：【课时作业】、已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）A．－B．－c．D．2、求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．*3、求证：tanπ4＋α•cos2α2cos2π4－α=14、求证：4sinθ•cos2=2sinθ+sin2θ．5、求证：证明sinα＋sin2α1＋cosα＋cos2α＝6、证明：sinθ＝sin2θcosθ；tanα＋tanβtanα－tanβ＝sinα＋βsinα－β.【延伸探究】证明：。
人教版高中数学高一A版必修4导学案 3.2简单的三角恒等变换(一)
课堂导学三点剖析1.综合运用所学公式进行化简.求值和证明【例1】已知cos （α+β）=51，cos （α-β）=53，求tanαtanβ的值. 思路分析：要求tanαtanβ，需求sinαsinβ与cosαcosβ，两个整体式子的值，而cos （α+β）与cos （α-β）展开式中正好含有cosαcosβ与sinαsinβ，因此，可构造关于sinαsinβ，cosαcosβ的方程组来求解.解：由条件得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=-)2.(53sin sin cos cos )1(,51sin sin cos cos βαβαβαβα ①+②得，2cosαcosβ=54，∴cosαcosβ=52. ②-①得，2sinαsinβ=52，∴sinαsinβ=51. ∴tanαtanβ=215251sin cos sin sin ==βαβα. 温馨提示要抓住公式之间的内在联系，在充分理解的基础上加强记忆，并能做到灵活运用公式本题就是利用方程的思想，构造一个关于sinαsinβ与cosαcosβ的方程组，通过解方程获解.2.辅助角公式的应用【例2】 将下列各式化简为Asin （ωx+φ）的形式：（1）cosx-sinx ；（2）3sinx+3cosx ；（3）asinx+bcosx （ab≠0）.思路分析：本题主要考查两角和（差）的正余弦公式的恒等变形.解：（1）cosx-sinx=-（sinx-cosx ） =-2（22sinx-22cosx ） =-2（sinxcos4π-cosxsin 4π） =-2sin （x-4π）. 本题化简结果不唯一，也可这样变换： cosx-sinx=2（22cosx-22sinx ）=2（sinxcos 43π+cosxsin 43π）=2sin （x+43π）.（2）3sinx+3cosx=23（23sinx+21cosx ） =23（sinxcos6π+cosxsin 6π） =23sin （x+6π）. （3）asinx+bcosx =)cos sin (222222x b a b x b a ab a ++++ =22b a +（sinxcosφ+cosxsinφ） =22b a +sin （x+φ）.其中cosφ=22b a a+，sinφ=22b a b +.3.半角公式的应用及符号选择【例3】 已知cosθ=-53，且180°＜θ＜270°，求tan 2θ的值. 思路分析：本题有以下两种思路：（1）cosθ=-53→tan 2θ=±θθcos 1cos 1+-→tan 2θ的值； （2）cosθ=-53→tan 2θ=θθsin cos 1-（或tan 2θ=θθcos 1sin +)→tan 2θ的值. 对于（1）的思考要注意符号的选择.解法1：因为180°＜θ＜270°，所以90°＜2θ＜135°，即2θ是第二象限的角，所以tan 2θ＜0， ∴tan 2θ=.2)53(1)53(1cos 1cos 1-=-+---=+--θθ 解法2：因为180°＜θ＜270°，即θ是第三象限角，∴sinθ=542591cos 12-=--=--θ. ∴tan 2θ=54)53(1sin cos 1---=-θθ=-2，或tan 2θ=)53(154cos 1sin -+-=+θθ=-2. 各个击破类题演练1已知sin （α+β）=21，sin （α-β）=31，求βαtan tan 的值. 解：由已知可得:sinαcosβ+cosαsinβ=21① sinαcosβ-cosαsinβ=31② ①+②得sinαcosβ=125， ①-②得cosαcosβ=121. ∴βαtan tan =5. 变式提升1求值：tan （6π-θ）+tan （6π+θ）+3tan （6π-θ）·tan （6π+θ）. 解：原式=tan ［（6π-θ）+（6π+θ）］·［1-tan （6π-θ）·tan （6π+θ）］+3tan （6π-θ）·tan （6π+θ） =tan 3π·［1-tan （6π-θ）·tan （6π+θ）］+3tan （6π-θ）·tan （6π+θ） =3-3·tan （6π-θ）·tan （6π+θ）+3tan （6π-θ）tan （6π+θ）=3. 类题演练2将3sinx-4cosx 化为Asin （ωx+φ）的形式.解：3sinx-4cosx=5（53sinx-54cosx ） 令cosφ=53，φ为第一象限角，则sinφ=54， ∴3sinx-4cosx=5（sinxcosφ-cosxsinφ）=5sin （x-φ）.变式提升2（1）求函数y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x 的最小正周期和最小值 ；并写出该函数在［0，π］上的单调递增区间.解：y=sin 4x+23sinxcosx-cos 4x（sin 2x+cos 2x ）（sin 2x-cos 2x ）+3sin2x =3sin2x-cos2x=2sin （2x-6π）. 故该函数的最小正周期是π；最小值是-2. 单增区间是［0，3π］，［π65，π］. （2）当y=2cosx-3sinx 取得最大值时，tanx 的值是（ ） A.23 B.-23 C.13 D.4 解析：y=2cosx-3sinx=13sin （x+φ）最大值为13，又sin 2x+cos 2x=1， 解得sinx=133-，cosx=132， ∴tanx=xx cos sin =-23. 答案：B类题演练3已知sinφ·cosφ=16960，且4π＜φ＜2π，求sinφ，cosφ的值. 解：∵sinφcosφ=16960,∴sin2φ=169120, 又∵4π＜φ＜2π，2π＜2φ＜π，cos2φ＜0, ∴cos2φ=169119169717)169120(12sin 122-=⨯-=--=--ϕsinφ＞0，cosφ＞0. ∴sinφ=13122169119122cos 1=+=-ϕ， cosφ=1352169119122cos 1=-=+ϕ. 变式提升3设5π＜θ＜6π，cos 2θ=a ，那么sin 4θ等于（ ） A.21a +- B.21a -- C.21a +- D.-21a -解析：由5π＜θ＜6π，则52π＜2θ＜3π，45π＜4θ＜23π，则sin 4θ=2122cos 1a --=--θ. 答案：B。
高中数学必修四导学案-简单的三角恒等变换
3. 2 简单的三角恒等变换三维目标1.通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式，能利用和与差的正弦、余弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高推理能力.2.理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角恒等变换在数学中的应用.3.通过例题的解答，引导对变换对象目标进行对比、分析，形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高推理能力.重点难点教学重点：1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练.2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力.教学过程引言：三角函数的化简、求值、证明，都离不开三角恒等变换.学习了和角公式，差角公式，倍角公式以后，我们就有了进行三角变换的新工具，从而使三角变换的内容、思路和方法更加丰富和灵活，同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间和发展的平台.应用：例1、 试以cos α表示sin 22a ,cos 22a , tan 22a . 例2、 练习：求证tan 2a =ααααsin cos 1cos 1sin -=+。
例2、证明(1)sin αcos β=21[sin(α+β)+sin(α-β)]; (2)sin θ+sin φ=2sin 2cos 2ϕθϕθ-+. 练习：课后练习2（2）、3（2）、题例3、 求函数x x y cos 3sin +=的周期，最大值和最小值。
练习：求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值。
（！）x x y 2cos 2sin = （2）12cos 22+=x y （3）x x y 4sin 4cos 3+= 阅读内容： 函数y=asinx+bcosx 的变形与应用（辅助角公式）函数y=asinx+bcosx=22b a +（2222sin b a b x b a a +++cosx ）, ∵(sin ,cos 1)()(2222222222=+=+=+++b a b b a a b a b b a a ϕ从而可令φ, 则有asinx+bcosx=22b a +（sinxcos φ+cosxsin φ） =22b a +sin （x+φ）.因此，我们有如下结论：asinx+bcosx=22b a +sin （x+φ），其中tan φ=ab . 例4、 如图,已知OPQ 是半径为1,圆心角为3π的扇形,C 是扇形弧上的动点,ABCD 是扇形的内接矩形.记∠COP=α,求当角α取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个最大面积.课堂小结 1、回顾前面学习的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条件等式的证明.2、本节课还研究了通过三角恒等变形,把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为形如y=Asin(ωx+φ)的函数,从而能顺利考查函数的若干性质,达到解决问题的目的,充分体现出生活的数学和“活”的数学.作业课本习题3.2 A 组1（2） （4）、3、5、题。
高中数学必修四3.2.1简单的三角恒等式的证明导学案
高中数学必修四3.2.1简单的三角恒等式的证明导学案2简单的三角恒等变换2.1简单的三角恒等式的证明【学习目标】加深对三角函数的概念、公式的理解，把握三角恒等变换的基本特点。
以已有公式为依据，以推导半角公式，积化和差、和差化积公式作为基本训练，学习三角变换的内容、思路和方法，培养提高学生推理、运算能力。
【新知自学】知识回顾：回顾复习以下公式并填空：=________________=________________对点练习：已知sin•sin=1，那么cos的值为．-l01±l．已知tan=，且∈，则sin的值是．--．【合作探究】典例精析：例1．试用表示，，讨论展示：在前面学习的二倍角公式中，2角是的二倍，大家体会一下：这里角与可以有什么关系？进一步体会二倍角公式中，倍角的相对性。
解答：规律总结：本题的结果可以表示成：，，，并称之为半角公式，其中的符号由_____来确定。
思考：代数变换与三角变换有什么不同？变式练习1：求证：例2．求证：；．讨论展示：①两角和与差的正弦、余弦公式两边有什么特点？②它们与本例在结构形式上有什么联系？③如何完成本题的证明？思考感悟：①本题证明过程中，体现了什么数学思想方法？_____、________②在本例证明过程中，如果不用的结果，如何证明？变式练习2：已知，，求证：【课堂小结】三角变换的特点：换元法、方程思想的运用【当堂达标】求证：=cos2x．求证：求证：【课时作业】已知coscos=，则cos2α－sin2β的值为A．－B．－c．D．求证：1+2cos2θ－cos2θ=2．*3、求证：tanπ4＋αcos2α2cos2π4－α=14、求证：4sinθ•cos2=2sinθ+sin2θ．求证：证明sinα＋sin2α1＋cosα＋cos2α＝证明：sinθ＝sin2θcosθ；tanα＋tanβtanα－tanβ＝sinα＋βsinα－β.【延伸探究】证明：。
高中数学必修四导学案-简单的三角恒等变换
疱工巧解牛知识•巧学一、半角的三角函数1.在倍角公式cos2α=1-2sin 2α=2cos 2α-1中，以α代替2α，以2α代替α，将得出sin2α=± 2cos 1α-，2cos 12cos αα+±=，αααcos 1cos 12tan +-±=，我们称之为半角公式，它们是用单角的余弦函数表示半角的弦函数与切函数的.其正负号的选取由2α所在的象限确定.2.对于半角的切函数，还可写成αααααsin cos 1cos 1sin 2tan-=+=，我们可从同角的三角函数的商数关系出发，逆用二倍角公式去证明，即ααααααααcos 1sin 2cos 22cos 22sin 2cos 2sin 2tan 2+=∙==. 同理，可把2cos 2sin 2tan ααα=的分子、分母同乘以2sin 2α，即可化成αααsin cos 12tan -=.也可从半角的切函数αααcos 1cos 12tan 2+-=出发，把被开方数转化成一个完全平方的形式，通过开方求值.由于2222)cos 1(sin )cos 1()cos 1)(cos 1(cos 1cos 12tan αααααααα+=++-=+-=， ∴|tan 2α|=ααcos 1|sin |+.∵sin α=2sin 2αcos 2α=2tan 2α·cos 22α，∴sin α与2tan α同号.又∵1+cos α>0，∴αααcos 1sin 2tan +=.同理，若把ααcos 1cos 1+-的分子、分母同乘以1-cos α，可转化成αααsin cos 12tan -=.我们也把αααcos 1sin 2tan +=，αααsin cos 12tan -=称之为半角公式，它是用单角的正、余弦函数表示半角的切函数的.3.对于半角公式，也必须明确“半角”是相对而言，不能认为2α才是半角.如2α是4α的半角、23α是3α的半角；反之，2α、2α分别是4α、α的倍角.正是根据这个思想，才由二倍角公式得出了半角公式.学法一得 关于半角正切的三个公式：公式αααsin cos 12tan-=不带有根号，而且分母为单项式，运用起来特别方便，但要注意它与以下两个公式：αααcos 1cos 12tan +-±=和αααcos 1sin 2tan +=的使用范围不完全相同，后两个公式只要α≠(2k+1)π(k∈Z )，而第一个公式除α≠(2k+1)π(k∈Z )之外，还必须有α≠2k π(k∈Z ).当然，这三个公式可以互化，在使用时要根据题目中式子的特征灵活选用.误区警示 当2α所在的象限无法确定时，应保留根号前面的正、负两个符号；当α或2α的大小确定时，应根据2α所在的象限，确定根号前的正负号.二、积化和差公式1.公式：sin αcos β=21［sin(α+β)+sin(α-β)］； cos αsin β=21［sin(α+β)-sin(α-β)］; cos αcos β=21［cos(α+β)+cos(α-β)］;sin αsin β=21-［cos(α+β)-cos(α-β)］.2.公式推导：积化和差公式是由正弦或余弦的和角公式与差角公式通过加减运算推导而得.如第一个公式，可以由S (α+β)+S (α-β)产生，因为sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β，sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β，所以sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β，两边同除以2即得，其他公式同理可以由两角和与差的正余弦公式获得.3.公式特点；同名函数之积化为两角和与差余弦的和(差)的一半，异名函数之积化为两角和与差正弦的和(差)的一半，等式左边为单角α、β，等式右边为它们的和差角. 记忆要诀 积化和差公式可按如下方法记忆： (1)“+”两角的正弦、余弦的积都可化为21［f(α-β)±f(α+β)］的形式. (2)如果两角的函数同为正弦或余弦，则“f”表示余弦；如果一个为正弦一个为余弦，则“f”表示正弦.(3)当左边含有余弦函数时，右边中间取“+”，否则取“-”. 三、和差化积公式1.公式：sinx+siny=2cos2sin2yx y x -+； sinx-siny=2sin2cos 2yx y x -+; cosx+cosy=2cos2cos 2yx y x -+; cosx-cosy=2sin2sin 2yx y x -+-. 2.公式推导：在积化和差公式中，令α+β=x,α-β=y ，从而α=2y x +，β=2yx -，将上述值代入公式，即有=--++-++=-+)]22sin()22[sin(212cos 2sin yx y x y x y x y x y x)sin (sin 21y x +,所以sinx+siny=2cos2sin 2yx y x -+，这就是和差化积公式中的第一个，其他公式同理可得.3.三角函数的和差化积公式与积化和差公式实质上是一类公式的正用或逆用，即积化和差公式的逆用就是和差化积公式.辨析比较 ①积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想.②只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式.如果是一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积.③另外对三角函数的和差化积可以理解为代数中的因式分解.因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用. 四、辅助角公式一般地，通过三角变换，可把形如y=asinx+bcosx 的函数转化为y=22b a + sin(x+θ)，其中sin θ=22ba b+，cos θ=22ba a+的形式.证明：如图3-2-1，设点P(a ，b)是角θ终边上一点，则cos θ=22ba a +，sin θ=22ba b +.图3-2-1 于是)cos sin (222222x ba bx ba ab a y ++++==22b a +(cos θsinx+sin θcosx)=22b a +sin(x+θ).其中sin θ=22ba b +，cos θ=22b a a+.特别地，当a b =±1，±33，±3时，θ是一特殊角，θ所在的象限由点P(a ，b)所在的象限唯一确定，可先由tan φ=|ab|找到一个符合条件的锐角，再由诱导公式导出一个符合条件的角.学法一得 利用上述公式可把形如asinx+bcosx 的三角函数式转化成一个角的一个函数的形式，对我们研究函数的最值、周期、单调区间、对称中心、对称轴等都是大有裨益的. 典题•热题知识点一 半角公式的应用 例1 已知sin2 010°=-21，求sin1 005°，cos1 005°，tan1 005°的值. 解：∵2 010°=5×360°+210°是第三象限的角， ∴cos2 010°=232010sin 12-=︒--. 又∵1 005°=2×360°+285°是第四象限的角，∴232223122010cos 11005sin +-=+-=︒--=︒， 232223122010cos 11005cos -=-=︒+=︒， )32(1)32(32321005cos 1005sin 1005tan 2+-=+-=-+-=︒︒=︒.例2 求12tan ,8cos ππ的值. 解：由于4221222124cos 18cos 2+=+=+=ππ， ∴22242218cos +=+=π. 由于22)32(32322312316cos 16cos 112tan-=+-=+-=+-=πππ，∴3212tan-=π. 例3 已知sin2α=1312-，π＜2α＜23π，求tan α.解：∵π＜2α＜23π，∴2π＜α＜43π. 由135)1312(1sin 12cos 22-=---=--=αα，得23131213512sin 2cos 1tan -=-+=-=ααα或23135113122cos 12sin tan -=--=+=ααα； 或23135113512cos 1cos 1tan -=-+-=+2--=ααα. 方法归纳 ①已知角α所在的象限，则2α所在的象限是角α的平分线及其反向延长线所在的象限.当α位于一、二象限时，2α位于一、三象限；当α位于三、四象限时，2α位于二、四象限.②已知单角的弦函数，求半角的切函数时，使用公式αααcos 1sin 2tan +=或αααsin cos 12tan -=可避开符号的讨论.③若角α的倍角2α是特殊角，则可用半角公式求α的函数值，以α为桥梁，可把2α与2α的角的函数值连在一起. 知识点二 积化和差公式的应用 例4 求下列各式的值：(1)12sin 125cosππ；(2)2cos50°cos70°-cos20°. 解：(1) )]12125sin()12125[sin(2112sin 125cos ππππππ--+=4321)231(21)3sin 2(sin 21-=-=-=ππ. 巧解提示:26cos1265cos 1125cos 125cos 125cos 12sin 125cos 2πππππππ-=+=== 43212231-=-=.(2)原式=cos(50°+70°)+cos(50°-70°)-cos20° =cos120°+cos20°-cos20°=cos120°=-cos60°=21-. 例5 求证：(1)sin80°cos40°=︒+40sin 2143； (2)sin37.5°sin22.5°=41-+21cos15°. 证明：(1)左边=21［sin(80°+40°)+sin(80°-40°)］ =21(sin120°+sin40°)=2143+sin40°=右边，所以原式成立. (2)左边=-21［cos(37.5°+22.5°)-cos(37.5°-22.5°)］=21-(cos60°-cos15°)=2141+-cos15°=右边，所以等式成立.方法归纳 ①只有同名或异名弦函数积的形式，才能积化和差，它也实现了角的重组，出现了(α±β)这样的角.②在积化和差的过程中，构成积的两个因式的顺序不同时，使用的公式也不同，但最终结果是相同的.③三角函数式的化简、恒等变形和证明三角恒等式都是化归思想中的等价化归在实际问题中的应用.知识点三 和差化积公式的应用 例6 求下列各式的值: cos75°-cos15°；(2)︒-︒︒-︒40cos 20cos 40sin 20sin .解：(1)cos75°-cos15°21575sin21575sin2︒-︒︒+︒-= =-2sin45°sin30°=2221222-=⨯⨯-. 巧解提示:cos75°-cos15°=cos(45°+30°)-cos(45°-30°)=-2sin45°sin30°=22-. (2)原式=32123)10sin(30sin 2)10sin(30cos 224020sin 24020sin 224020sin24020cos2-=-=︒-︒-︒-︒=︒-︒︒+︒-︒-︒︒+︒. 例7 求证:(1)cos40°-cos80°=3sin20°；(2))(21sin )(21sin )sin(sin sin y x y x y x y x +-=+-. 证明：(1)左边=28040sin 28040sin 2︒-︒︒+︒-=-2sin60°sin(-20°)=3sin20°=右边.所以原式成立. (2)右边)(21cos )(21sin 2)(21cos )(21sin 2y x y x y x y x +++-= )sin(sin sin )sin()sin(sin )sin()]()[(21sin )]()[(21sin y x y x y x y x y x y x y x y x y x +-=+-+=+++-+++-==左边.所以原式成立.方法归纳 ①只有系数绝对值相等的同名弦函数的和、差的形式才能化积，化积后实现了角的重组， 出现了2ϕθ±这样的角.②在运用积化和差或和差化积公式化简三角函数式时，若解析式中存在三个或三个以上因式，当进行积化和差时，应选择两角的和或差是特殊角的形式相结合；当进行和差化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他角一致的因式相组合.③积化和差与和差化积公式与同角的三角函数的基本公式、诱导公式、两角和差与二倍角公式、半角公式一样，也是进行三角恒等变换的工具.例8 求函数y=sin 4x+32sinxcosx-cos 4x 的最小正周期与最小值，并写出该函数在［0，π］上的单调增区间.思路分析：本题考查三角函数的基础知识.根据题设结构特征，先用a 2-b 2=(a+b)(a-b)，再用asin θ+bcos θ=22b a +sin(θ+φ)求解.解：y=sin 4x-cos 4x+32sinxcosx=(sin 2x+cos 2x)(sin 2x-cos 2x)+3sin2x=3sin2x-cos2x=2(23sin2x-21cos2x)=2sin(2x-6π). 该函数的最小正周期是π，最小值是-2.令2k π-2π≤2x -6π≤2k π+2π，得k π-6π≤x≤k π+3π，k∈Z . 取k=0，得-6π≤x≤3π；取k=1，得3465ππ≤≤x .由于0≤x≤π，所以该函数在［0，π］上的增区间是［0，3π］或［65π，π］.例9 设函数f(x)=a ·b ，其中向量a =(2cosx ，1)，b =(cosx ，3sin2x)，x∈R . (1)若f(x)=1-3且x∈［3π-，3π］，求x ； (2)若函数y=2sin2x 的图象按向量c=(m ，n)(|m|＜2π)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m 、n 的值.思路分析：本小题主要考查平面向量的概念和计算、三角函数的恒等变换及其图象变换的基本技能，考查运算能力.解：(1)依题设，f(x)=2cos 2x+3sin2x=1+cos2x+3sin2x=1+2(21cos2x+23sin2x)=1+2sin(2x+6π).由1+2sin(2x+6π)=1-3，得sin(2x+6π)=23-.∵-3π≤x≤3π，∴-65622πππ≤+≤-x .∴2x+6π=3π-，即x=-4π-.(2)函数y=2sin2x 的图象按向量c =(m ，n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n 的图象，即函数y=f(x)的图象. 由(1)得f(x)=2sin2(x+12π)+1. ∵|m|＜2π，∴m=12π-，n=1. 方法归纳 ①为使辅助角公式形式最简，可通过提取公因式22b a +或22b a +-使辅助角θ是一锐角的形式.辅助角公式是化特殊为一般的化归思想的具体运用，它把y=asin ωx+bcos ωx 的函数式转化为y=Asin(ωx+φ)的形式，以进一步研究函数的性质. ②一般地，函数y=asin ωx+bcos ωx ，x∈R 的最大值是22b a +，最小值是22b a +-；周期是ωπ2=T ；可把化简后的解析式y=22b a +sin(ωx+φ)的“ωx+φ”，ω>0视为一个整体，结合初等三角函数的性质求单调区间. 问题•探究思想方法探究问题积化和差与和差化积公式在形式上非常相似，其实质是一类公式的正用或逆用，那么在使用这些公式时，通常怎样变化？探究过程:积化和差与和差化积是一对孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用.探究结论:在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算.和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值.正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段.。
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简单的三角恒等变换一．教学目标1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式，体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想，提高学生的推理能力。
2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，并会利用公式进行简单的恒等变形，体会三角恒等变形在数学中的应用。
学习三角变换的内容、思路和方法，在与代数变换相比较中，体会三角变换的特点，提高推理、运算能力。
3、通过例题的解答，引导学生对变换对象目标进行对比、分析，促使学生形成对解题过程中如何选择公式，如何根据问题的条件进行公式变形，以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识，从而加深理解变换思想，提高学生的推理能力． 二、教学重点与难点教学重点：引导学生以已有的十一个公式为依据，推导半角公式、积化和差、和差化积公式。
教学难点：认识三角变换的特点，并能运用数学思想方法指导变换过程的设计，不断提高从整体上把握变换过程的能力。
三、教学过程 1、复习公式：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ ()c o s c o sc o ss i n s i nαβαβαβ+=- ()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+ ()s i n s i n c o s c o s s i nαβαβαβ-=- ()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ--=+()t a n t a n t a n 1t a n t a n αβαβαβ++=- sin 22sin cos ααα= 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-22tan tan 21tan ααα=-公式变形：ααα2sin 21cos sin =←——→ ←——→ 2、例1：试以cos α表示222sin ,cos ,tan 222ααα．解：由21c o s 2s i n 2αα-=，可以得到21cos sin 22αα-=；由 ，可以得到21cos cos 22αα+=．所以222sin 1cos 2tan 21cos cos 2ααααα-==+．总结：掌握各个公式的推导过程，是理解和运用公式的首要环节，熟练地运用公式进行升幂和降幂。
3、思考：（1）已知αcos ，如何求?2tan,2cos,2sinααα（2）代数式变换与三角变换有什么不同呢？ 学生——自主思考，写出结论2cos 12sinαα-±=；2cos 12cos αα+±=；αααcos 1cos 12tan +-±= 教师——上述公式称为半角公式，让学生思考“±”如何选取？ 学生——自主探究，相互交流。
教师——进行总结，“±”号由2α所在象限决定。
师生——对第二个问题的思考，通过师生共同分析得出：代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换；对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点。
4、变式训练：αα2cos 1sin 22-=αα2cos 1cos 22+=22cos 1sin 2αα-=22cos 1cos 2αα+=22cos 1cos 2αα+=求证：sin 1cos tan21cos sin ααααα-==+（教科书P142练习第1题）解：方法一：2tan 2cos2sin2cos 22cos2sin2cos 1sin 2αααααααα===+ 2tan 2cos2sin2cos2sin22sin 2sin cos 12αααααααα===- 方法二：αααααααααcos 1sin 2cos 22cos 2cos22sin2cos 2sin 2tan+=∙∙==αααααααααsin cos 12sin 22cos 2sin22sin2cos2sin 2tan-=∙∙==5、例2：求证： （１）、()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦； （２）、sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．※ 说明：通过分析公式特点指出，此公式称为和差化积公式，类似地可以求出ϕθϕθϕθcos cos ,cos cos ,sin sin -+-。
证明：（1）（方法一）：()βαβαβαsin cos cos sin sin +=+ ,()βαβαβαsin cos cos sin sin -=-两式相加得()()2sin cos sin sin αβαβαβ=++-； 即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦． （方法二）：令y x ==βαβαsin cos ,cos sin ，则()()⎩⎨⎧-=-+=+βαβαsin sin y x y x ()()[]()()[]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--+=-++=⇒βαβαβαβαs i n s i n 21s i n s i n 21y x即()()1sin cos sin sin 2αβαβαβ=++-⎡⎤⎣⎦． ϕθθϕϕθϕϕθϕθθϕθϕθϕθϕθ)2sin 2sin 2cos 2cos 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2cos 2(sin 2]2sin 2sin 2cos 2][cos 2sin 2cos 2cos 2[sin 22222+++=++=原式（２）（方法一）：（方法二）：由（１）得()()sin sin 2sin cos αβαβαβ++-=①； 把,αβ的值代入①式中得sin sin 2sincos22θϕθϕθϕ+-+=．6、变式训练：已知2sin cos 2sin ,sin cos sin ,2cos2cos2θθαθθβαβ+===． 证明：（方法一）： αα2sin 212cos -= ()ααα22sin 42sin 2122cos 2-=-=∴ 将αθθsin 2cos sin =+代入：()2cos sin 22cos 2θθα+-=()θθθθ22cos cos sin 2sin 2++-=θθcos sin 21-=又,sin cos sin 2βθθ= ββα2cos sin 212cos 22=-=∴ （方法二）：βθθαθθ2sin cos sin ,sin 2cos sin ==+ ， 又()βθθθθ22sin 21cos sin 21cos sin +=+=+ ，βα22sin 21sin 4+=∴,22cos 12122cos 14βα-∙+=-∙∴， ()()βα2cos 112cos 12-+=-∴，βα2cos 2cos 2=∴．总结：证明条件三角恒等式要注意观察条件和所要证的等式中角、三角函数名称、运算等方面的关系。
方法一用代入法把θα化成，再把βθ化成；方法二中利用恒等式,2222ϕϕθϕθθϕθϕθ=--+=-++，.22βϕθαϕθ=-=+∴，令ϕθϕϕθθθθϕϕϕϕθθϕθθϕϕθϕϕθϕθθϕθϕθϕθϕθs i n s i n 2c o s 2s i n 22c o s 2s i n 2)2s i n 2(c o s 2c o s 2s i n 2)2s i n 2(c o s 2c o s 2s i n 2)2s i n 2s i n 2c o s 2c o s 2s i n 2s i n 2c o s 2s i n 2c o s 2c o s 2c o s 2(s i n 2]2s i n 2s i n 2c o s 2][c o s 2s i n 2c o s 2c o s 2[s i n 222222222+=+=+++=+++=++=原式()θθθθcos sin 21cos sin 2+=+消去条件中θθcos sin 的方法，即消元法，这是三角变换中常用的方法。
7、课堂小结（1）三角函数式的化简常用方法： ①直接应用公式进行降次、消项； ②化切为弦，异名化同名； ③ 三角公式的逆用等。
（2）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端化“异”为“同”。
8、作业：教科书P143习题3.2A 组第1、2、3题备选练习：已知220,532sin πθθ<<=，求⎪⎭⎫⎝⎛+--4sin 21sin 2cos 22πθθθ的值。
四、板书设计简单的三角恒等变换←——→ ←——→542cos ,220,532sin =∴<<=θπθθ 解：ααα2sin 21cos sin =αα2sin 22cos 1=-22cos 1sin 2αα-=αα2cos 22cos 1=+22cos 1cos 2αα+=()()()212cos 2sin 1sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 4sin 21sin cos 12=-=-+-=+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--+=θθθθθθθθθθθθπθθθ原式。