第二节 一阶微分方程(3)
高数第4章第2节——一阶微分方程
例4 求解
解
分离变量,
并两端积分 得
dy y2
cos
xdx
,
解得
1 y
sin x C1,
即 1 sin x C , y
代入 y x0 1 , 得 C 1 ,
所求特解为 1 sin x 1 . y
说明：
初值问题:
g( y) dy f ( x) dx
y
x
x0
y0
的特解也可用变上限积分确定：
例1 求微分方程
解 分离变量,并两端积分,得 e ydy e2xdx,
解得 e y 1 e2x C , (C 为任意常数) 2
方程通解为 e y 1 e2x C ,(C 为任意常数). 2
例2 求微分方程
解
当
y0
时分离变量
,
得
dy y
2 xdx ,
两端积分
,
dy y
2
xdx,
得 : ln | y | x2 C1,
例8
解
由通解公式得：
y
e
4 dx x
sin x x4
e
4 dx
x dx
C
eln x4
sin x x4
e ln
x 4 dx
C
1 x4
(
sin
xdx
C
)
1 x4
(
cos
x
C
).
故所求通解为：y
1 x4
( cos
x
C ).
例9 解
由通解公式得：
故所求通解为：y cos x (tan x C ).
是线性方程 , 可用常数变易法或公式法求解.
例10 解
高等数学一阶微分方程教学
C(x)eP(x)dxQ(x),
积分得 C (x)Q (x)eP(x)dd x xC ,
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
ye P (x)d[xQ (x )eP (x)dd x x C ] e P (x )dxQ (x )e P (x )dd x x C P ( e x )dx
非齐次方 程特解
分离变量得
dy P ( x )dx y
两边积分得 dyyP(x)dx,
lnyP(x)dxlnC
齐次方程的通解为
y CeP(x)dx
(8)
22
第六章 常微分方程
说明：
第二节 一阶微分方程
为了书写方便，约定以后不定积分符号只表示被积函
数的一个原函数，如符号 P ( x )dx 是P(x)的一个原函
sinxx2dxC
31
第六章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
例12 求微分方程 xy2yx4 满足初始条件
1 y x 1 6 的特解. 解 将原方程变形为 y 2 y x3 P(x)2,Q(x)x3x
x
ye2 xdx( x3e2 xdxdxC)
1 x6 x2 ( 6 C)
x4 6
13
第六章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
分离变量后，得
du
1 dx
u ln u x
两边积分，得
ln ln u ln x ln C
即
lnuCx
u eCx
以 u y 代回，得通解 x
y xeCx
14
第六章 常微分方程
第二节 一阶微分方程
例 6 求解微分方程 x2 dy xy y2. dx
dx
方程(7)称为一阶线性非齐次微分方程；
一阶微分方程
dz 4 2 4 x x 2 2 z x , 解得 z x C ,即 y x C dx x 2 2
dy 4 y 0 的通解为 方法2. 用常数变易法: dx x
令
2
y cx .
4
2
y u( x ) x ,
4
代入原方程化简得
例12 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分解
0
ydx x y,
Q
两边求导得 解此微分方程
dx
y y 3 x 2 ,
M N 全微分方程 . y x
2.解法:
M ( x, y )dx N ( x, y )dy 0
全微分方程
M N 应用曲线积分与路径无关. y x
通解为
y
u( x, y ) M ( x, y )d x N ( x0 , y )dy
x0 y0
1 1 x x 2 3. y y x y (c ) x 1 x 1 3 4
3
4
dx 2 y 1 2 2 4. x 1 x y cy e . 2 dy y
du 4 6. y x u, y 1 u . dx u5 u 2 10u 8 x c ( y x ) 2 10 y 2 x c.
第二节 一阶微分方程
一阶方程的形式:
y f ( x, y ).
或
p( x, y )dx Q( x, y )dy 0.
dx f ( x, y ). dy
或
一、可分离变量方程 1. 定义:形如 y f ( x ) g ( y ) 为可分离变量的微分方程.
一阶微分方程
一阶微分方程第二节 一阶微分方程一阶微分方程的一般形式为F (x ,y ,y ′)＝0或y ′=f (x ,y )，其中F (x ,y ,y ′)是x ，y ，y ′的已知函数，f (x ,y )是x ，y 的已知函数．这一节只介绍几种较简单的一阶微分方程的解法．它们通过求积分就可以找到未知函数与自变量的函数关系，我们称这种求解微分方程的方法为初等积分法．一、 可分离变量的方程 形如xyd d =f (x )g (y ) (10-2-1)或M 1(x )M 2(y )d y =N 1(x )N 2(y )d x (10-2-2) 的一阶微分方程称为可分离变量方程．其中f (x )，g (y )及M 1(x )，M 2(y )，N 1(x )及N 2(y )均为已知连续函数．方程(10-2-1)的求解步骤如下： 先将方程(10-2-1)分离变量得将21y -作为分母时丢失了两个特解．故所求方程的通解为：arcsin y ＝x +C （C 为任意常数）， 另外还有两个特解y ＝±1．例2 已知某商品的需求量x 对价格P 的弹性e ＝-3P 3，而市场对该商品的最大需求量为1(万件)，求需求函数．解 需求量x 对价格P 的弹性e ＝pxx P d d ． 依题意，得pxx P d d ＝-3P 3，于是xx d ＝-3P 2d P ，积分得ln x =-P 3+C 1，即x =Ｃ3P -e (C =1C -e )．由题设知P ＝0时，x =1,从而C =1．因此所求的需求函数为x =3P -e ．例3 根据经验知道，某产品的净利润y 与广告支出x 之间有如下关系：xy d d ＝k (N -y ），其中k ，N 都是大于零的常数，且广告支出为零时，净利润为y 0，0＜y 0＜N ，求净利润函数y =y (x )，解 分离变量yN y -d =k d x ，两边同时积分得-ln ｜N -y ｜=kx +C 1 (C 1为任意常数)， 因N -y ＞0，所以ln ｜N -y ｜=ln(N -y )，上式经整理得y =N -C e -kx (C =1C -e ＞0）．将x =0，y =y 0代入上式得C =N -y 0，于是所求的利润函数为y =N -(N -y 0)e -kx ．由题设可知xy d d ＞0，这表明y (x )是x 的单调递增函数；另一方面又有)(lim x y x ∞→=N ，即随着广告支出增加，净利润相应地增加，并逐渐趋向于y =N ．因此，参数N 的经济意义是净利润的最大值．二、 齐次微分方程 1． 齐次微分方程 形如xy d d =⎪⎭⎫ ⎝⎛xy f （10-2-3） 的一阶微分方程，称为齐次微分方程，简称齐次方程．对于方程(10-2-3)，通常可通过变量替换u =x y将方程化为可分离变量的方程来解．具体过程如下：令 u =x y(或y =ux )，其中u 是新的未知函数．对y =ux 两端关于x 求导，得xyd d =u +x xud d ． 代入(10-2-3)得u +x xu d d =f (u )． 分离变量并积分得⎰-uu f u )(d =⎰x x d ，即Φ(u )=ln|x |+C (C 为任意常数)，其中Φ(u )是⎰-u u f u )(d 的一个原函数，再将u =xy代入上式中，便得到方程(10-2-3)的通解Φ(x y)＝ln|x|+C ．上面的推导要求f (u )-u ≠0，如果f (u )-u =0，也就是⎪⎭⎫ ⎝⎛x y f ＝xy．这时，方程(10-2-3)为 x yd d ＝x y ．这已是一个可分离变量的方程，不必作代换就可求出它的通解为y =Cx ．例4 求微分方程xy xy d d =x 2+y 2满足条件y |x =e＝2e 的解．解 原方程可化为x y d d = y x +xy，这是一个齐次方程．作代换u =x y，即y =ux ，则xyd d ＝u +x xud d ． 代入前一方程得u +x x u d d =u 1+u 即 x x u d d =u1， 分离变量并积分得u 2=2ln ｜x ｜+2C (C 为任意常数)，将u 替换为x y，便得原方程的通解：y 2=2x 2ln ｜x ｜+2Cx 2，再将初始条件代入通解得4e 2=2e 2·ln e +2C e 2，求得 C =1， 于是，所求的特解为y 2=2x 2(ln ｜x ｜+1）．例 5 设甲、乙两种商品的价格分别为P 1,P 2，且价格P 1相对于P 2的弹性为21d d P P P P 12=1212PP P P +-，求价格P 1与P 2的函数关系．解 将所给方程整理为21d d P P =21212111P P P P P P +-．这是齐次方程．令u =21P P ，即P 1＝uP 2，则21d d PP＝u +P 22d d Pu ，代入上式得 u +P 22d d P u ＝uu+-11·u ． 整理得⎪⎭⎫ ⎝⎛--211u u d u ＝222d P P．两边积分得u1-ln ｜u ｜＝2ln ｜P 2｜＋C 1 （C 1为任意常数）． 将u 替换为21P P ，便得方程的通解(注意到u ＞0,P 22＞０)12P P e＝CP 1P 2（C ＝1C e ， C 为正数)．2． 可化为齐次方程的微分方程形如xy d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222111C y b x a C y b x a f （10-2-4）的微分方程，当C 1＝C 2＝０时，就是一个齐次方程．当C 1,C 2中至少有一个不为零时，尽管本身不是齐次方程，但经过适当的变量替换后，可化为齐次方程．下面分两种情况讨论：(1) 若a 1b 2-a 2b 1≠0,这时方程组⎩⎨⎧=++=++0,0222111C y b x a C y b x a有惟一解x =α，y =β．作变量替换⎩⎨⎧-=-=,,βαy v x u则222111C y b x a C y b x a ++++＝222111)()()()(C v b u a C v b u a ++++++++βαβα＝vb u a v b u a 22111++． 于是方程(10-2-4)化为u v d d =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++v b u a v b u a f 22111．这是关于变量u 和v 的齐次方程．求出其通解后再换回原来的变量x 和y ，即得原方程的通解．(2) 若a 1b 2-a 2b 1=0，这时令21a a ＝21b b＝λ，即有a 1=λa 2,b 1=λb 2． 方程(10-2-4)可写为xyd d ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++222122)(C y b x a C y b x a f λ．作变量替换t =a 2x +b 2y ,此时x t d d ＝a 2+b 2xyd d ，方程(10-2-4)化为xtd d ＝a 2+b 212()t C f t C λ++．这是关于变量t 和x 的可分离变量的方程．例6 求方程xyd d ＝51+++-x y x y 的解． 解 解方程组⎩⎨⎧=++=+-05,01x y x y得x =-2,y =-3．作变换x =u -2，y =v -3，原方程化为uv d d =uv u v +-． 这是一个齐次方程，按齐次方程的解法可求得它ln(u 2+v 2)+2arctan u v=C ．再将u =x +2，v =y +3代入上式，便得原方程的通解为．ln ［(x +2)2+(y +3)2］+2arctan 23++x y =C ． 三、 一阶线性微分方程 形如y ′＋P (x )y =Q (x ) （10-2-5）的方程叫做一阶线性微分方程．其中P (x )，Q (x )为x 的已知连续函数，Q (x )称为自由项．如果Q (x )≡0，方程(10-2-5)即为y ′+P (x )y =0． （10-2-6）该方程称为一阶齐次线性微分方程．而当Q (x ) ≠0时，方程(10-2-5)称为一阶非齐次线性微分方程．也称(10-2-6)为(10-2-5)所对应的齐次方程．注意这里所说的齐次方程与上段讨论的齐次方程是不同的．下面来讨论一阶非齐次线性方程(10-2-5)先考虑非齐次线性方程(10-2-5)所对应的齐次方程(10-2-6)的通解．显然y=0是它的一个解，当y≠0时分离变量得y d=-P(x)d x．y两边积分得ln｜y｜=⎰-xx(+C1，P d)即y=C⎰-x x P de)(（C=±1C e）．y=0也是方程(10-2-6)的解，这时在上式中取C=0即可．于是得到方程(10-2-6)的通解为y=C⎰-x x P de)((C为任意常数)．(10-2-7)再利用“常数变易法”求非齐次线性方程(10-2-5)的通解．由于方程(10-2-5)与(10-2-6)的左端相同，右端不同，方程(10-2-5)的左端比方程(10-2-6)的左端多了一项Q(x)，因此，我们猜想方程(10-2-5)的通解也具有(10-2-7)的形式，而其中的C不可能还是常数，而是x的某个函数C(x)．于是，可设方程(10-2-5)的解为y=C(x)·⎰-x x P de)(，（10-2-8）其中C(x)是待定函数．将(10-2-8)代入方程(10-2-5)，得[C (x ) ⎰-xx P d e )(]'+P (x )C (x )⎰-xx P d e )(=Q (x )．化简，得C '(x )＝Q (x )⎰xx P d e )(．上式两端同时积分，得C (x )=⎰)(x Q⎰xx P d e )(d x ＋C （C 为任意常数）．将上式代入(10-2-8)式，得非齐次线性方程(10-2-5)的通解 y =⎰-xx P d e)([⎰)(x Q⎰xx P d e )(d x ＋C ] (C 为任意常数)． （10-2-9）这种将任意常数变成待定函数求解的方法，称为常数变易法．将通解(10-2-9)改写为y =C ⎰-xx P d e)(+⎰-xx P d e)(⎰⎰xx Q xx P d )e(d )(．不难看出： 通解由两部分构成，其中第一项是方程(10-2-5)所对应的齐次线性方程(10-2-6)的通解，第二项是方程(10-2-5)本身的一个特解［对应于通解(10-2-9)中C =0的特解］．这并不偶然，这是线性方程解的结构的一个重要性质．例7 求方程xy ′+y =e x (x ＞0)的通解． 解 所给方程可化为y ′+xy=xx e ． （10-2-10）先求得方程(10-2-10)对应的齐次线性方程的通解为y =xC ， 再利用常数变易法，设方程(10-2-10)的解为y =x x C )(，代入方程(10-2-10)得22)()()(xx C x x C x C x +-'＝xxe ，化简，得C '(x )=e x ，积分得C (x )=e x +C ，故得方程(10-2-10)的通解为y =x1 (e x+C )（C 为任意常数）． 这也就是所求方程的通解．以上是按“常数变易法”的思路求解，本题也可直接利用通解公式(10-2-9)求解．但是，必须先将方程化为形如方程(10-2-5)的标准形式．这里，P (x )=x1，Q (x )＝xx e ，代入公式(10-2-9)，得方程的通解为y =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎰⎰⎰-C x x x x x x xd e e ed d 11＝x1(e x+C )． 例8 求方程y ′＝3y x y +满足初始条件y (0)=1的特解．解 先求出所给方程的通解．这个方程乍一看不像一阶线性方程，但把它改写成yxd d -y1x =y 2， 则是以y 为自变量，x 为未知函数的一阶线性微分方程．利用通解公式(10-2-9)得 x =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎰⎰-⎰C y y y yy yd eed 2d 11＝[]⎰+-Cy y yyd ee 2ln ln ＝[]⎰+C y y y d =Cy +21y 3， 将初始条件y (0)=1代入上述通解中，得C ＝21-，故所求 方程的特解为x =21-y +21y 3． 例9 已知连续函数f (x )满足条件f (x )＝t f x t d ⎰303)(＋e 2x，求f (x )． 解 因原方程右端函数可导，所以f (x )可导．对方程两端同时求导，得f ′(x )=3f (x )+2e 2x ．由一阶线性方程的通解公式，得 f (x )＝()⎰+⎰-⎰Cx xx xd e ee d d 3232＝e 3x (-2e -x +C )=－２e 2x +C e 3x ．例10 设y =f (x )是第一象限内连接点A (0，1)，B (1，0)的一段连续曲线，M (x ,y )为该曲线上任意一点，点C 为M 在x 轴上的投影，O 为坐标原点．若梯形OCMA 的面积与曲边三角形CBM 的面积之和为63x ＋31，求f (x )的表达式．图10-2解 参看图10-2，由题设得2x［1+f (x )］+⎰1)(xtt f d ＝63x ＋31， 求导，得21［1+f (x )］+21xf ′(x )-f (x )=22x ，即f ′(x )-x1f (x )=xx 12- (x ≠0)．利用一阶线性微分方程的通解公式，得f (x )＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅⎰⎰-⎰C x x x x x x xd e e d d 1211＝e＝x221d x x C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭⎰＝x 2+1+Cx ．当x =0时，f (0)=1．说明上述解在x =0时有意义．将条件f (1)=0代入到通解中，得C =-2，于是有f (x )=x 2-2x +1．形如xyd d +P (x )y =Q (x )y a （α≠0，1）（10-2-11）的方程称为伯努利(Bernoulli)方程．它不是线性方程，但是经过适当的变量替换，可将它化成线性方程求解．事实上，只要将方程(10-2-11)两端除以y α，得y-αxy d d +P (x )y 1-α＝Q (x )，即xy d d -1αα-11＋P (x )y 1-α＝Q (x )．若令y 1-α＝z ， 则上面这个方程为xz d d α-11+P (x )z ＝Q (x )． （10-2-12）这是一个线性方程．求出这个方程的通解后，用y 1-α替换z ，便得到伯努利方程的通解．例11 求方程y ′+y x x21- =21xy 的通解．解 这是α＝21的伯努利方程．方程两边同时除以21y ，得21211y xxx y y -+d d ＝x ．令z ＝y1-α＝21211yy=-，则上面的方程化为xzd d +z x x )1(22-＝2x． 这是一阶线性微分方程，其通解为z ＝⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⎰⎰-⎰-C x x x x x x x xd e ed d 221211212＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---C x x 43242)1(311＝)1(311242x x C---．将21y 替换z ，得原方程的通解为y =2242)1(311⎥⎦⎤⎢⎣⎡---x x C （C 为任意常数)．习题10-21． 求下列微分方程的通解或在给定的初始条件下的特解：(1) y ′＝xy-+11； (2) xy d x +21x -d y =0;(3) (xy 2+x )d x +(y -x 2y )d y =0; (4) sin x cos 2y d x +cos 2x d y =0;(5)1,0110==+-+=x y y xyx y x d d ；(6) yy ′+x e y =0, y (1)=0; (7) y ′=e 2x -y ， 00==x y ．2． 物体冷却速度与该物质和周围介质的温差成正比，具有温度为T 0的物体放在保持常温为α的室内，求温度T 与时间t 的关系：3． 求下列微分方程的通解或在给定条件下的特解： (1) xy ′-y -22y x +＝0；(2) y ′=x y +sin x y ；(3) 3xy 2d y ＝(2y 3-x 3)d x ; (4) x 2y ′+xy =y 2， y (1)=1； (5) xy ′=y (ln y -ln x ), y (1)=1; (6) (y -x +2)d x =(x +y +4)d y ; (7) (x +y )d x +(3x +3y -4)d y =0．4． 求下列微分方程的通解或在给定初始条件下的特解： (1) y ′-y =sin x ;(2) y ′-xn y =x n e x； (3) (x -2y )d y +d x =0; (4) (1+x sin y )y ′-cos y =0；(5) y ′-1+x y =(x +1)e x , y (0)=1; (6) y ′+2221212x x y x x +=+，y (0)=23; (7) y ′-y x 1=-x2ln x , y (1)=1; (8) y ′+2xy =(x sin x )·2x -e ，y (0)=1;(9) y ′＝234xy y x +；(10) y ′＝xy y x +331．5． 设函数f (x )在［1,＋∞］上连续，若由曲线y =f (x )，直线x =1,x =t (t ＞1)与x 轴所围成的 平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为V (t )＝3π［t 2f (t )-f (1)］． 试求y =f (x )所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件y (2)=92的特解．6． 设某生物群体的出生率为常数a ，由于拥挤及对食物的竞争的加剧等原因，死亡率与当时群体中的个体量成正比(比例系数为b ＞0)．如果t =0时生物个体总数为x 0，求时刻t 时的生物个体的总数(注： 将生物群体中的个体量当做时间t 的连续可微变量看待)．7． 已知f (x )＝x t f xd ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛303＋3x -3， 求f (x )．8． 已知某商品的成本C ＝C (x )随产量x 的增加而增加，其增长率为C ′(x )＝xC x +++11， 且产量为零时，固定成本C (0)＝C 0＞0．求商品的生产成本函数C (x )．9． 某公司对某种电器设备的使用费用进行考察，结果发现，随该电路使用时间x 的延长，它的保养维修费会加倍增长，因而平均单位时间的使用费S 也在增加，即S 为x 的函数S =S (x )，其变化率为a xb S x b x S 21+-=d d ，其中a ,b 均为正常数．若当x =x 0时S ＝S 0，试问：使用时间为多少时，其平均单位时间的使用费S最高?。
(优选)第二节一阶线性微分方程
两边积分
dp p(1
p)
dt ,
得方程的通解为 得
p ln 1 p t c1,
p ec1 et cet 1 p
所以方程的通解为:
ce t
1
p 1 cet
1 cet
.
二、齐次微分方程
形如
dy ( y )
dx x
(3)
的微分方程称为齐次微分方程．
例如:
dy y ( y )2 , dx x x
(2)
其中c为任意常数.
ydy sin xdx 1 y2
例3
求微分方程 1 y2 sin x yy满足
初值条件y
x
2
=
2 的特解. 2
解 当1 y2 0时,方程可以改写成为
ydy sin xdx,
1 y2
两边积分
ydy
1 y2 sin xdx,
得方程的通解为
1 y2 cos x c,
y c( x)e P( x)dx
(8)
dy c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x (9) dx 将(8),(9)代入方程（5） dy P( x) y Q( x)
dx
得 dy P( x) y c( x)e P( x)dx c( x)P( x)e P( x)x
分离变量
1 du 1 dx,
(u) u x
两边积分，得
1
(u)
u
du
1 dx x
求出积分后再用 y 代替u, 便得通解。 x
例5 解微分方程y2 x2 dy xy dy . dx dx
解
原方程可以改写成
dy dx
y2 xy x2
第六章微分方程第二节一阶微分方程
二
dx
u6
章
微 分离变量:
分
u 6 du 2dx u1
du 2u 2 dx u 6
方 程
积分得
u 5ln | u 1 | 2x C
代回原变量, 得原方程的通解:
x y 5ln | x y 1 | 2x C
y x 5ln | x y 1 | C
dx x 1
解法一 常数变易法
第 十
对应的齐次方程为 dy 2 y 0 dx x 1
二 章
分离变量得
dy 2dx
y x1
微 分
两边积分
ln | y | 2ln | x 1 | ln | C |
方
程
y C( x 1)2
由常数变易法令 y u( x)(x 1)2
sin u
x
微 分 方
两边积分
cos sin
u u
d
u
dx x
ln
|
C
|
程得
ln sinu ln x ln C , 即 sinu C x
故原方程的通解为 sin y C x ( C 为任意常数 ) x
( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解)
- 11 -
第二节 一阶微分方程
2
3
y ( x 1)2
章
dx ( x 1)
微 分 方
y
e
2 dx
x1 [
(
x
3
1)2
e
2 dx x1
dx
c]
第二节 一阶微分方程PPT优秀
y e [ p(x)dx e p(x)dxQ(x)dx C]
常数变易法求解一阶线性非齐次 微分方程的步骤:
1.将方程化成一阶线性非齐次微分方程的标准形式; 2.写出方程中的P(x)与Q(x);
3.计算积分 y eP(x)dx
4.计算积分 Q(x)eP(x)dxdx
5.由公式写出通解
例 求微分方程 dy y x2 的通解 dx x
分
离
变
量
得
1 u 1 u2
du
1 x
dx,两
边
积
分
得
通
解
为
a rc ta n u 1 ln (1 u 2 ) ln x C 2
回代u y可得原方程的通解为 x
2 arctan y ln( x 2 y 2 ) C x
代 入 初 始 条 件 求 得 C 0,因 此 所 求 曲 线 方 程 为
N(y) 例 求微分方程
的通解
写出方程中的P(x)与Q(x);
(2) 两边积分 计算积分可得原方程的通解为
dy N(y)
M(x)dx
若G'(y) 1 ,F'(x) M(x),则可得通解 N(y)
G(y)=F(x)+C
例1 求方程 y'lnxy2lnx 的通解
解 原方程可化为 dy (1 y2)lnx
＝
C1x
1 2
x3,
C2x
1 2
x3
x0 ,x 0
即 y Cx 1 x3 2
例 求方程(1 x2)d y(1 2 xyx2)d x满足
初始条件 y |x0 1 的一个特解
解 原方程可化为
dy dx
2x 1 x2
微分方程(1-3)
第9章微分方程与差分方程第1节微分方程的根本概念我们已经知道，利用函数关系可以对客观事物的规律性进展研究.而在许多几何，物理，经济和其他领域所提供的实际问题，即使经过分析、处理和适当的简化后，我们也只是能列出含有未知函数及其导数的关系式.这种含有未知函数的导数的关系式就是所谓的微分方程.求出微分方程中的未知函数的过程就叫解微分方程.本章主要介绍微分方程的一些根本概念和几种常用的微分方程的解法.实际问题中的数据大多数是按等时间间隔周期统计的.因此，有关变量的取值是离散变化的，处理他们之间的关系和变化规律就是本章最后的容——差分方程.含有未知函数的导数或微分的方程称为微分方程.微分方程中出现的未知函数的导数的最高阶数称为微分方程的阶.现实世界中的许多实际问题，例如，物体的冷却，人口的增长，琴弦的振动，电磁波的传播等，都可以归结为微分方程问题.这时微分方程也称为所研究问题的数学模型.例9.1 质量为m 的物体只受重力作用由静止开场自由垂直降落.根据牛顿第二定律：物体所受的力F 等于物体的质量m 与物体运动的加速度的乘积，即F ma =.取物体降落的铅垂线为x 轴，其正向向下.下落的起点为原点.记开场下落的时间0t =，则物体下落的距离x 与时间t 的函数关系()xx t =满足22d xg dt=， (9.1) 其中g 为重力加速度常数.这就是一个2阶微分方程。
例9.2 产品的月产量为x 时的边际本钱1()82c x x '=+， (9.2) 就是一个1阶微分方程.在微分方程中，假设未知函数是一元函数就称为常微分方程；假设未知函数是多元函数，就称为偏微分方程.本章只讨论常微分方程。
n 阶微分方程的一般形式是()(,,,,,)0n F x y y y y '''=，(9.3)其中x 为自变量，()yy x =是未知函数，上式(9.3)中，()n y 必须出现，而其余变量〔包括低阶导数〕可以不出现.如果能从式(9.3)中解出最高阶导数得到微分方程的如下形式()(1)(,,,,,)n n y f x y y y y -'''= (9.4)以后我们只讨论姓如式(9.4)的微分方程，并假设式(9.4)右端的函数f在所讨论的围连续.特别地，式〔9.4〕中的f 如果能写成如下形式()(1)11()()()()n n n n y a x y a x y a x y g x --'++++= (9.5)则称式(9.5)为n 阶线性微分方程.其中1(),,()n a x a x 和()g x 均为自变量x 的函数.把不能表示成形如式(9.5)的微分方程称为非线性微分方程.例9.3 试指出以下方程是什么方程，并指出微分方程的阶数. (1)3dy x y dx =+ (2)sin (cos )tan 0dyx x y x dx++= (3)32235d y dy x y dx dx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(4)33ln d y dy x xy x dx dx ++= 解方程(1)是一阶线性微分方程.因为dydx和y 都是一次.方程(2)也是一阶线性微分方程.因为两边除以sin x 就可看出.方程(3)是2阶非线性微分方程，因为其中含有3dy dx ⎛⎫⎪⎝⎭.方程(4)是3阶线性微分方程.因为33,,d y dyy dx dx都是一次式. 如果一个函数代入微分方程能使方程式为恒等式，则称这个函数为该微分方程的解. 例如，(a)212x gt =,(b)21212x gt c t c =++都是例9.1中的微分方程9.1的解，其中12,c c 为任意常数.通常，称不含任意常数的解为微分方程的特解.而含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相等的解为微分方程的通解〔一般解〕.这里所说的相互独立的任意常数，是指它们取不同的值时就得到不同的解.从而不能通过合并而使得通解中的任意常数的个数减少.上面的解中，(a)和(c)分别是方程(9.1)和(9.2)的特解，(b)和(d)分别是方程(9.1)和(9.2)的通解.在实际问题常都要求寻找满足*些附加条件的解.此时，这类附加条件就可以用来确定通解中的任意常数.这类附加条件称为初始条件，也称为定解条件.一般地，一阶微分方程(,)y f x y '=的初始条件为 00x x y y == (9.6)其中00,x y 都是常数.二阶微分方程(,,)y f x y y '''=的初始条件为00,x x x x y y y y ==''== (9.7)带有初始条件的微分方程称为微分方程的初值问题. 微分方程的解的图形是一条曲线，称为微分方程的积分曲线. 例9.4 验证函数3()cos y xc x =+〔c 为任意常数〕是方程的通解，并求出满足初始条件00x y ==的特解.解要验证一个函数是否是微分方程的通解，只要将函数代入方程，验证是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数一样.对3()cos y x c x =+，求一阶导数把y 和dydx代入方程左端，得 因为方程两边恒等，且y中含有一个任意常数，方程又是一阶的，故3()cos y x c x =+是题设方程的通解.把初始条件00x y ==代入通解3()cos y x c x =+中，得0c =.从而所求特解为3cos y x x =.习题9-11、 指出以下微分方程的阶数〔1〕220xy yy x '''-+=〔2〕235()sin 0y y x x ''-+=〔3〕22(3)(45)0xdx x y dy +++=2、指出以下各题中的函数是否为所给微分方程的解. 〔1〕22,5xy y y x '== 〔2〕2122220,yy y y c x c x x x'''-+==+ 〔3〕12121212()0,xx y y y y c e c e λλλλλλ'''-++==+3、验证1y cx c=+〔c 为任意常数〕是方程2()10x y yy ''-+=的通解，并求满足初始条件02x y==的特解.4、设曲线在点(,)x y 处的切线的斜率等于该点横坐标的平方，试建立曲线所满足的微分方程，并求出通解.习题9-1答案1、〔1〕2阶〔2〕2阶〔3〕1阶2、〔1〕是〔2〕是〔3〕是3、特解为122yx =+ 4、微分方程为3dyx dx =，通解为414y x c =+ 第2节一阶微分方程微分方程没有统一的解法，必须根据微分方程的不同类型，研究相应的解法.本节我们将介绍可别离变量的微分方程以及一些可以化为这类方程的微分方程，如齐次方程等.一、可别离变量的微分方程. 在一阶微分方程(,)dyF x y dx=中，如果右端函数能分解成(,)()()F x y f x g y =， x 与y 别离，x 的一个函数()f x 与y 的一个函数()g y 相乘的形式，即()()dyf xg y dx= (9.8) 其中()f x ，()g y 都是连续函数.根据这种方程的特点，我们可以通过积分的方法来求解.设()0g y ≠.用()g y 除方程(9.8)的两端，用dx 乘以方程的两端，使得未知函数y 的*函数及其微分与自变量x 的*函数及其微分置于等号的两边〔又一次别离了x 与y 〕得 再对上述等式两边积分，即得1()()dy f x dx g y =⎰⎰ (9.9)积分出来以后就说明y 是x 的一个〔隐〕函数〔关系〕，就是方程(9.8)的解. 如果0()0g y =，则易验证0yy =也是方程(9.8)的解.上述求解可别离变量的微分方程的方法，称为别离变量法. 例9.5 求微分方程 的通解.解先合并,dx dy 的各项得 设210,10y x-≠-≠,别离变量得两端积分211dy xdx y x =--⎰⎰ 得2111ln |1|ln |1|ln ||22y x c -=-+于是221(1)(1)y c x -=±-记1cc =±，则得到题设方程的通解为22(1)(1)y c x -=-例9.6 求微分方程x dye y dx=的通解. 解别离变量后两边积分 得1ln ||ln ||x y e c =+从而1xe y c e =±记1cc =±，则得到题设方程的通解为xey ce =例9.7 一曲线通过点(3,2)，它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求曲线的方程.解设曲线的方程为()yy x =.曲线上任一点(,)x y 的切线方程为由假设，切点(,)x y 的切线位于两坐标轴间的线段的两个端点分别是0X=时，2Y y =和0Y =时，2X x =.将这两个端点代入切线方程都得到曲线所满足的微分方程别离变量后积分，得到通解为xyc =将初始条件3|2x y ==代入通解得6c =. 从而所求的曲线方程为6xy =.二、齐次方程 如果一阶微分方程 中的函数(,)f x y 可以写成y x 的函数，即(,)y f x y x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，于是 dy y dx x ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭(9.10) 这称为齐次方程.齐次方程可以通过引进新的未知函数的方法化成为可别离变量的微分方程.令y u x =，u 是x 的一个新的未知函数.则,dy duy ux x u dx dx==+，原齐次方程变成()duxu u dxϕ+= 别离变量后积分得ln ||()du dxx c u u x ϕ==+-⎰⎰记()u Φ为1()u uϕ-的一个原函数，则得通解为()ln ||u x c Φ=+再以y x 代替u ,就得所给齐次方程的通解ln ||y x c x ⎛⎫Φ=+ ⎪⎝⎭例9.8 求微分方程22()()0xy x dx y xy dy ---=的通解.解原方程变形为 就是一个齐次方程 令y ux =，则,dy du y ux x u dx dx==+ 代入齐次方程得21du u x u dx u u-+=- 别离变量，0,0ux ≠≠时，得211u du dx u x=- 两边积分211u du dx u x=-⎰⎰ 得211ln |1|ln ||ln ||2u x c --=+ 以y x 代替u 就得到原方程的通解11ln |1|ln ||ln ||2yx c x--=+ 记211cc =±得21y c x x-= 从而2x xy c -=.注.此题也可以直接别离变量法求解.0y x -≠时，ydy xdx =-积分得22111222y x c =-+ 即22yx c +=为原方程的通解.这样此题得到两个通解形式2x xy c -=和22y x c +=.说明微分方程的通解并不一定要包含所有解！三、一阶线性微分方程 方程()()dyp x y Q x dx+= (9.11) 叫做一阶线性微分方程，它对于未知函数y 及其导数y '都是一次的.如果()0Q x ≡，则方程(9.11)称为齐次的，否则就称为非齐次的.对于齐次一阶线性微分方程()0dyp x y dx+= (9.12) 通过别离变量积分，可得它的通解()p x dxy Ce -⎰= (9.13)而对于非齐次一阶线性微分方程(9.11)，我们可以利用它相应的齐次一阶线性微分方程(9.12)的通解(9.13)，并使用所谓常数变易法来求非齐次方程(9.11)的通解，这种方法是把齐次方程(9.12)的通解(9.13)中的任意常数C 变易换成x 的未知函数()u x ，即作变换()p x dx y ue -⎰= (9.14)假设(9.14)是非齐次方程(9.11)的解，代入(9.11)中进而求出()u x ，再代入(9.14)就得到非齐次方程(9.11)的解.为此，将(9.14)对x 求导，注意u 是x 的函数，得()()()p x dxp x dx dy du e up x e dx dx--⎰⎰=- (9.15) 将(9.15)和(9.14)代入(9.11)，得 别离变量后积分得()()p x dxu Q x e dx C ⎰=+⎰ (9.16)将(9.16)代入(9.14)就得到(9.11)的通解()()()()p x dx p x dx p x dx y Ce e Q x e dx --⎰⎰⎰=+⎰(9.17)易见，一阶非齐次线性方程的通解(9.17)是对应的一阶齐次线性方程的通解(9.13)与其本身的一个特解((9.17)中取0C =的解)之和.此后还可看到，这个结论对高阶非齐次线性方程也成立.例9.9 求方程1cos xy y x x'+=的通解.解题设方程是一阶非齐次线性方程，这时1cos (),()xp x Q x x x==. 于是，按公式(9.17)，所求通解为 例9.10 求方程38dyy dx+=的通解. 解这是一个非齐次线性一阶方程.下面不利用公式(9.17)，而采用常数变易法来求解. 先求解相应的齐次方程的通解.由 别离变量后积分得相应齐次方程的通解31xy c e-=，其中1c 为任意常数.利用常数变易法，将1c 变易为()u x ，即设原非齐次方程的通解为3x yue -=求导得333xx dy du e ue dx dx--=-代入原非齐次方程得38xdu e dx-= 别离变量后积分得338()83xxu x e dx e C ==+⎰从而得到原非齐次方程的通解为383x yCe -=+ 习题9－21、求以下微分方程的通解 〔1〕22(1)(1)0x y dx y x dy -+-=〔2〕3x y dydx+= 2、求以下微分方程的通解〔1〕0xy y '--=〔2〕2222()()0y xxy y dx x x xy y dy -++++=3、求以下微分方程的通解 〔1〕x y y e -'+=〔2〕sin xy y x '+=4、求以下微分方程的初值问题： 〔1〕0cos (1)sin 0,|4xx ydx e ydy y π-=++==〔2〕20(1)(1),|1x x x y y x e y ='+-=+=5、*产品生产的总本钱C 由可变本钱与固定本钱两局部组成.可变本钱y 是产量x 的函数，且y 关于x 的变化率等于222xy x y +，当10x =时，1y =；固定本钱为100.求总本钱函数()c c x =.习题9－2答案1、〔1〕22(1)(1)xy C --=；〔2〕33x yC -+=2、〔1〕2y Cx+=；〔2〕arctan y x xy Ce⎛⎫- ⎪⎝⎭=3、〔1〕()xy x C e -=+；〔2〕1(cos )y C x x=-4、〔1〕(1)sec xey +=〔2〕(1)xy x e =+5、99()1001)2C x =+- 第3节可降阶的二阶微分方程本节讨论三种特殊形式的二阶微分方程的求解. 一、()y f x ''=型这种简形的方程，其解法就是屡次积分. 在()y f x ''=两端积分，得1()y f x dx C '=+⎰再次积分，得1212[()]()yf x dx C dx C f x dxdx C x C =++=++⎰⎰⎰⎰注：对于n 阶微分方程()()n y f x =，显然也可以连续积分n 次，就得到含有n 个任意常数的通解.例9.11 求方程2sin x y ex ''=+的通解. 解连续积分两次，得这就是所求通解.二、(,)y f x y '''=型这种类型的特征是不显含y ，求解方法是：令()y p x '=，则()y p x '''=，则原二阶方程化成了一阶方程利用上一节的方法求出它的通解1(,)p x C ϕ=，再根据1(,)dy y p x C dx ϕ'===也是一阶方程.直接积分得12(,)y x C dx C ϕ=+⎰，就是原二阶微分方程的通解.注：由于一阶微分方程(,)p f x p '=，我们并不都会求解.因此本类型(,)y f x y '''=方程的求解还不能说都可求出.例9.12 求方程1x y y xe x '''=+的通解. 解令p y '=，原方程化成的一阶线性微分方程.从而即1x p y c x xe '==+因此，原方程的通解为三、(,)y f y y '''=型这种类型的特征是不明显地含x .这时我们把x 看成自变量y 的函数，令p y '=，从而p 也是y 的函数.再利用复合函数的求导法则，把对x 的导数y ''化为对y 的导数，即于是，(,)y f y y '''=就变成了 这样就得到一个关于,y p 的一阶微分方程.设1(,)y p y c ϕ'==是它的通解，则别离变量再积分就得到原方程的通解为21(,)dy x c y c ϕ=+⎰.注.一阶微分方程1(,)dp p y c dyϕ=不一定会求解，因此本类型(,)y f y y '''=也不一定能求出解来.例9.13 求方程y yy '''=的通解. 解令p y '=，将x 看作是y 的函数. 这时dpdpdydpy p dx dy dx dy ''==⋅=代入原方程就得到一个一阶方程 别离变量再积分得2112p y c =+ 再解一阶微分方程2112y p y c '==+别离变量再积分得就是原方程的通解.习题9－31、 求以下方程的通解〔1〕cos y x x ''=-〔2〕y x y '''=+〔3〕(1)y y y '''=+2、求以下微分方程初始问题的特解. 〔1〕300,|0,|0x x x y e y y =='''=== 〔2〕111,|0,|2x x y y y y x ==''''=== 〔3〕200()0,|2,|1x x yy y y y y =='''''--===习题9－3答案1、〔1〕3121cos 6y x x c x c =+++〔2〕12xx y c e xe c =-+〔3〕2x c +=2、〔1〕3111939x y e x =--〔2〕21y x =- 〔3〕1x y e =+。
【精选】.一阶线性微分方程、可降阶二阶微分方程
y 3(1 x2 )
再积分,得 y x2 3x C2
把初始条件 y x0 1 代入上式,得 C2 1
于是所求的特解为 y x2 3x 1
三、 y f y, y型的微分方程
y f y, y
右端不显
含自变量 x
解法 设y p( y),则y dp dp dy p dp
dx dy dx dy
y
1 4
e2x
cos
x
C1x
C2
二、 y f x, y 型的微分方程
y f x, y
右端不显
含未知数 y
解法 设y px, 则y dp p
dx 于是原方程变为
p f x, p
它是一个关于变量 x 、p 的一阶微分方程.解此一阶微分
方程,便得到原方程的通解.
例5-10 求微分方程 y 1 y 0的通解 x
二、 y f x, y型的微分方程 三、 y f y, y型的微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程
y f ( x)
右端仅含自
变量 x
解法 接连积分两次,便可得到方程的通解
例5-9 求微分方程 y e2x cos x的通解.
解 对所给方程连续积分两次,得
y
1 2
e2x
sin
x
C1
y
Ce
P( x)dx
dx
非齐次微分方程
dy dx
P(x)
y
Q(x)的通解
y C(x)e P(x)dx
一阶线性非齐次微分方程的通解中C(x)是个未定
式，下面我们确定C(x)。
非齐次方程通解形式 与齐次方程通解相比
C C(x)
非齐次微分方程 dy P(x) y Q(x) 的求解 dx
高等数学第二节_一阶微分方程
3 .将 y,y代回 ,得 原 C 关 (x 方 )的 于 程 微 : 分方 C (x)Q (x)eP(x)d,x
4 .求 C (x ) 出 Q (x ) e P (x ) dd x C x , 5. 写出原方程的通:y 解 e P (x )d(C xQ (x )e P (x )dd x )x
yP (x )y0 .
分离变量, 得
dyP(x)dx, y
两端积分, 得
dyyP(x)dx,
ln y P (x )d x lC n 1 ,
线性齐次方程的通解为 yCeP(x)dx.
齐次方程的通解为 yCeP(x)dx . 例6 求解微分方程 dyycotsd的 t 通 . 解
解: 分离变量, 得 两端积分, 得
高等数学第二节_一阶微分方程
第五章 微分方程 §2 一阶微分方程
一、可分离变量的微分方程 二、齐次型方程 三、一阶线性微分方程 四、拓展与思考 五、小结
一阶微分方程的一般形式： F (x,y,y)0
初值问题：
y f (x, y),
y
xx0
y0.
一、可分离变量的微分方程
形如： y f1 (x )f2 (y )
将y和y代入原方程 C (x 得 )eP (x)dx Q (x),
即 C (x)Q (x)eP(x)dx
积分得 C (x ) Q (x )e P (x )dd x x C , 通解为 y (Q (x ) e P (x )dd x C x ) e P (x )dx
通解为 y (Q (x ) e P (x )dd x C x ) 0 或 Q (y ) 0 ,方程称为一阶线性齐次微分方程.
第二节 一阶微分方程
Q( x ) 1 x 2
ye
1 x
2x
dx 2
[ (1 x )e
1 x 2 dx
2x
dx C ]
e
ln( 1 x 2 )
[ (1 x )e
2
ln( 1 x 2 )
dx C ]
1 (1 x )[ (1 x ) dx C ] 2 1 x
2
练习 求微分方程 xy y(1 ln y ln x ) 的通解 dy y y 解 原方程化为 (1 ln ) dx x x dy du y 令u , y xu, 则 u x , dx dx x
du 代入上式, 得u x u(1 ln u) dx
2
(1 y 满足条件 y( ) 1的特解 . x x
解 (用常数变易法)
dy dx 1 先求y y 0的解, 分 离 变 量 ： , y x x C
y 两边积分：y ln x lnC 得 通 解 ： ln
齐次方程的通解为
y Ce
P ( x ) dx
.
dy P( x) y 0 dx
y Ce
P ( x ) dx
dy (si nx ) y 0 的通解 例1 求微分方程 dx
解 由原方程，知 P( x ) sinx 代入通解公式，
y Ce
P ( x ) dx
sinu Cx ,
y 代回原变量得方程的解为 sin ln x C . x
dy y2 例2 求微分方程 的通解. 2 dx xy x
y dy x y , 令u , y xu, 解 原方程化为 dx y x 1 x dy du du u2 则 u x , 代入上式, 得u x , dx dx dx u 1 u1 dx du 两边积分，得 u x u ln u ln x ln C1 , C1 ux e u . y 1 y 用u 代入， y Ce x (C ) 为所求通解. 得 C1 x
微积分 第七章 第二节 一阶微分方程
2.解法 作变量代换 u y ,
x
dy u x d u ,
dx
dx
即 y xu,
代入原式得
分离变量得
u
du x
f (u),
dx
du dx , 两边积分即得通解. f (u) u x
注意：须将u代回.
9
例6 求方程 dy y 3 tan y 的通解.
dx x
x
解 此题不能分离变量, 是齐次方程,
解
原方程变形为
dy dx
y2 xy x2
( y / x)2 , y x1
作变量代换 u y , y xu , dy u x du ,
x
dx
dx
代入原方程得 u x du u2 , dx u 1
即 x du u2 u u ,
dx u 1
u1
13
即 x du u2 u u ,
dx
2
2
解 dy cos x y cos x y 2sin x sin y ,
dx
2
2
22
dy 2 sin
y
sin
x 2
dx,
2
ln | csc y cot y | 2cos x C
22
2
为所求通解.
6
例4 求方程(e x y e x ) dx (e x y e y ) dy 0
y
e
P
(
x
)dx
[
Q(
x
)
e
P
(
x
)dx
dx
C
]
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y
e
P(
x
)dx
[
Q(
第二节一阶微分方程
则 通 解 为yCex2 .
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4
例3 求 方 程 d y co xy s co xy s的 通 解 .
d x 2
2
解 dycoxsycoxsy2sinxsiny,
dx
2
2
22
dy 2si ny
si
nxdx, 2
2
lncscycoty 2cosx C
一阶线性微分方程的标准形式:
dyP(x)yQ(x) dx
当 Q(x)0, 上方程称为齐次的.
当 Q(x)0, 上方程称为非齐次的.
例如 dy y x2, dx xsi nt t2, 线性的;
dx
dt
yy2x y3, yco y s1, 非线性的.
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一阶线性微分方程的解法
1. 线性齐次方程 dy P(x)y0. dx
是齐次方程,
x
作变量代换u y , x
yxu,
dy uxdu,
dx
dx
代 入 原 方 程 得 uxduu1, dx u1
分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
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分 离 变 量 得1 1 u u 2dud x x,
积 分 得 aru c 1 ltn 1 a u 2 ( n ) l|n x | C , 2
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例11 求 方 程 y d x ( x y 3 ) d y 0 的 通 解 .
解 方程含有y3,故不是关于未知函数y线性方程,
可 把 y视 为 自 变 量 , 把 方 程 改 写 为 dx x y2 , dy y
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五、用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的 方程,然后求出通解: dy 1 1； 1、 dx x y 2、 y y 2 2(sin x 1) y sin 2 x 2 sin x cos x 1 ； dy 1 y . 3、 dx x sin 2 ( xy ) x 六、已知微分方程 y y g ( x ) ,其中 2 , 0 x 1 y y( x ) g( x ) ,试求一连续函数 ,满 0 , x 0 y(0) 0 [0 , ) 足条件 ,且在区间 满足上述方程 .
n
令z
y,
2
dz 4 2 z x2 , dx x
2
x 即 y x4 x C . 解得 z x C , 2 2
例4
用适当的变量代换解下列微分方程:
2 x2
1. 2 yy 2 xy xe
;
1 x 2 1 y xy xe y , 解 2 dz dy 1( 1) 2 令z y y , 则 dx 2 y dx ,
即 y e v ( x ) e P ( x ) dx . 非齐次方程通解形式
与齐次方程通解相比: C u( x )
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 实质: 未知函数的变量代换.
新未知函数 u( x ) 原未知函数 y( x ),
作变换
y u( x )e
解
0
x
f ( x )dx ( x y ) ,
3 2
y
y x3
Q
0
x
ydx x 3 y,
2
两边求导得 y y 3 x ,
解此微分方程
o
P
y f (x )
x
x
y y 3x 2
C 3 x 2e dx dx ye
dx
ye C ln x sin x ln x e e dx C x 1 1 sin xdx C cos x C . x x
1 dx x
sin x x
1 dx e x dx
例2 如图所示，平行与 y 轴的动直线被曲 3 线 y f ( x )与 y x ( x 0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 f ( x ).
令 y u( x )e
;
令 y 1 n z;
思考题
cos y 求微分方程 y 的通解. cos y sin 2 y x sin y
思考题解答
dx cos y sin 2 y x sin y sin 2 y x tan y , dy cos y dx tan y x sin 2 y , dy
三、设有一质 量为 m 的 质点作直线运动从速度等于零 的时刻起,有一个与运动方向一致,大小与时间成正 比(比例系数为 k 1 )的力作用于它,此外还受 一与速度成正比(比例系数为 k 2 )的阻力作用,求质 点运动的速度与时间的函数关系 . 四、求下列伯努利方程的通解: 1 1 1 y y 2 x 2 y 2 ； 1、 x 3 2、 xdy [ y xy (1 ln x )]dx 0 .
xe
ln cos y
sin 2 y e
ln cos y
dy C
2 sin y cos y cos y dy C cos yC 2 cos y . cos y
练 习 题
一、求下列微分方程的通解: 1、 y y cos x e sin x ； 2、 y ln ydx ( x ln y )dy 0 ； dy 2 3、( y 6 x ) 2 y 0 . dx 二、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: dy 1、 y cot x 5e cos x , y 4 ； x dx 2 dy 2 3 x 2 y 1 , y x 1 0. 2、 3 dx x
.
dy P ( x ) y Q( x ). 2. 线性非齐次方程 dx dy Q( x ) P ( x ) dx, 讨论 y y Q( x ) dx P ( x )dx , 两边积分 ln y y Q( x ) 设 dx为v ( x ), ln y v ( x ) P ( x )dx , y
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法: 需经过变量代换化为线性微分方程.
dy 1 n P ( x ) y Q( x ), 两端除以y ，得 y dx dz n dy 1 n ， 令z y , 则 (1 n) y dx dx dz (1 n) P ( x ) z (1 n)Q( x ), 代入上式 dx
一、线性方程
一阶线性微分方程的标准形式:
dy P ( x ) y Q( x ) dx
当Q( x ) 0, 上方程称为齐次的.
当Q( x ) 0, 上方程称为非齐次的.
dy dx 2 例如 y x , x sin t t 2 , 线性的; dx dt yy 2 xy 3, y cos y 1, 非线性的.
2 xdx dz x x2 2 xdxdx C ] [ xe e 2 xz xe , z e dx x2 2 x 所求通解为 y e ( C ). 2
2
2
dy 1 y 2. ; 2 dx x sin ( xy ) x dz dy 解 令 z xy , 则 y x , dx dx dz 1 y 1 y x( ) , 2 2 dx x sin ( xy ) x sin z
一阶线性非齐次微分方程的通解为:
P ( x )dxdx C ]e P ( x )dx y [ Q( x )e
Ce
P ( x ) dx
e
P ( x ) dx
对应齐次 方程通解
非齐次方程特解
P ( x ) dx dx Q( x )e
1 sin x 例1 求方程 y y 的通解. x x sin x 1 Q( x ) , 解 P( x) , x x
n
n
z y1 n 代入即得 求出通解后，将
y
1 n
z (1 n ) P ( x ) dx dx C ). ( Q ( x )(1 n)e
e
( 1 n ) P ( x ) dx
dy 4 2 y x y 的通解. 例 3 求方程 dx x
解
1 dy 4 y x2 , 两端除以y ，得 y dx x
练习题答案
一、1、 y ( x C )e sin x ； 2、2 x ln y ln 2 y C ； 1 3、 x Cy 3 y 2 . 2 二、1、 y sin x 5e cos x 1 ；
1 3 3 x2
2、 2 y x x e . k 0t k1 k1 m 三、 v t 2 (1 e m ) . k2 k2 四、1、 xy x C ； x2 2 3 2 2、 2 C x (ln x ) . y 3 3
Ce x 3 x 2 6 x 6,
由 y | x0 0,
得 C 6,
所求曲线为 3( 2e x x 2 2 x 2). y
二、伯努利方程
伯努利(Bernoulli)方程的标准形式
dy n P ( x ) y Q( x ) y dx
( n 0,1)
1
五、1、( x y ) 2 2 x C ； 1 2、 y 1 sin x ； xC 3、2 xy sin( 2 xy) 4 x C . 2(1 e x ) , 0 x 1 六、 y y( x ) . x 2(e 1)e , x 1
将 u x y 代回, 所求通解为
y ln( x y 1) C ,
或 x C 1e y y 1
dx 另解 方程变形为 x y. dy
三、小结
y 1.齐次方程 y f ( ) x
2.线性非齐次方程 3.伯努利方程
令 y xu;
P ( x ) dx
分离变量法得 2 z sin 2 z 4 x C ,
将 z xy 代回,
所求通解为 2 xy sin(2 xy ) 4 x C .
dy 1 3. ; dx x y
dy du 解 令 x y u, 则 1, dx dx du 1 1 , 代入原式 dx u 分离变量法得 u ln(u 1) x C ,
P ( x ) dx
P ( x ) dx
y u( x )e
P ( x )dx , u( x )[ P ( x )]e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
代入原方程得 u( x )e 将y和y
P ( x ) dx
Q( x ),
P ( x )dxdx C , 积分得 u( x ) Q( x )e
一阶线性微分方程的解法
dy P ( x ) y 0. 1. 线性齐次方程 dx
(使用分离变量法)
dy P ( x )dx , y
dy y P ( x )dx ,
ln y P ( x )dx ln C ,
齐次方程的通解为 y Ce
P ( x ) dx