专题06 分母有理化(解析版)
专题06 二次根式篇(解析版)
专题06 二次根式考点一：二次根式之定义与有意义的条件1. 二次根式的定义：形如()0≥aa的式子叫做二次根式。
2. 二次根式有意义的条件：二次根式的被开方数大于等于0。
即a中，0≥a。
1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x有意义，则x的取值范围是（ ）A．x＞2B．x＜2C．x≤2D．x≥2【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x﹣6≥0，∴x≥2，故选：D．2．（2022•广州）代数式11+x有意义时，x应满足的条件为（ ）A．x≠﹣1B．x＞﹣1C．x＜﹣1D．x≤﹣1【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x+1＞0，解得：x＞﹣1．故选：B．3．（2022•贵阳）代数式3-x在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）A．x≥3B．x＞3C．x≤3D．x＜3【分析】直接利用二次根式的定义得出x﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式在实数范围内有意义，∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ）A ．x ＞﹣1B ．x ≥﹣1C ．x ≥﹣1且x ≠0D ．x ≤﹣1且x ≠0【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣p ＝（a ≠0）即可得出答案．【解答】解：∵x +1≥0，x ≠0，∴x ≥﹣1且x ≠0，故选：C ．5．（2022•雅安）使2-x 有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式有意义的条件，得出关于x 的不等式，解不等式，即可得出答案．【解答】解：∵∴x ﹣2≥0，∴x ≥2，故选：B ．6．（2022•菏泽）若31-x 在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得，x ﹣3＞0，解得x ＞3．故答案为：x ＞3．7．（2022•青海）若式子11-x 有意义，则实数x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不等于零列式计算可求解．【解答】解：由题意得x ﹣1＞0，解得x ＞1，故答案为：x ＞1．8．（2022•包头）若代数式x x 11++在实数范围内有意义，则x 的取值范围是 ．【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不等于零，列不等式组，解出即可．【解答】解：根据题意，得，解得x ≥﹣1且x ≠0，故答案为：x ≥﹣1且x ≠0．9．（2022•常德）要使代数式4-x x 有意义，则x 的取值范围为 ．【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x ﹣4＞0，解得：x ＞4，故答案为：x ＞4．10．（2022•邵阳）若21-x 有意义，则x 的取值范围是 ．x 的不等式组，求出x 的取值范围即可．【解答】解：∵有意义，∴，解得x ＞0．故答案为：x ＞2．考点二：二次根式之性质与化简1. 二次根式的性质：①二次根式的双重非负性：二次根式本身是一个非负数，恒大于等于0。
2.分母有理化(2)解析
(
)
A.两个解法都对
B.甲错乙对
C.甲对乙错
D.两个都错
分析：甲利用分数的基本性质来进行分能相等， x y可能为 0.
分母有理化的方式: 1.将分子与分母乘以同一个代数式
2.分子与分母中的因式分解直接约分
1 (1) 让分母不带根号你会用 什么方法? 3
1 3 3 我们发现只要 3 3 3
2 (2) 分母不带根号你又会用 什么方法? 5 3
2 ( 5 3) 2( 5 3) 5 3 2 ( 5 3)( 5 3)
正解：选B
将下列各式分母有理化
1 1 5 2 52
2
1 3 2
3 2
5 3 2
2 3 6 2
1 6 2 4 5 3
2
1 5 计算： 1 5
1 5 (1 5)(1 5) 解： 1 5 (1 5)(1 5)
1 2 5 ( 5) 2 12 ( 5) 2
平方差公式
2 2
（ a-
2 2( a + b ) 2( a + b ) = = a- b a - b ( a - b )( a + b )
（ a-
b ） （ ? a
2 2 b ） =（ a ） -（ b ） = a- b
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积 不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理 化因式
2 (2 3 ) 2 2 2 ( 3)
6 解 : 原式 6 ( 2 1)
2 1 ( 2 1)( 2 1)
中考数学真题解析分母有理化次根式化简(含答案)
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编分母有理化、二次根式化简一、选择题1. （2011•台湾17，4分）计算631254129⨯÷之值为何（ ） A 、123 B 、63 C 、33 D 、433 考点：二次根式的乘除法.分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得．解答：解：原式=635412129⨯⨯=63． 故选B ．点评：本题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得．2. （2011•贺州）下列计算正确的是（ ） A 、=﹣3 B 、（）2=3C 、=±3D 、+=考点：二次根式的混合运算.专题：计算题.分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可．解答：解：A 、=3，此选项错误；B 、（）2=3，此选项正确；C 、=3，此选项错误；D、+=+，此选项错误．故选B．点评：本题考查了二次根式的混合运算．解题的关键是注意开方的结果是≥0的数．3.（2011黑龙江大庆，3，3分）对任意实数a，则下列等式一定成立的是（）A、a=aB、2a=－aC、2a=±aD、2a＝a考点：二次根式的性质与化简.专题：计算题.分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断．解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时不成立，故本选项错误；C、=|a|，故本选项错误．D、故本选项正确．故选D．点评：本题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键．4.（2011，台湾省，17,5分）下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（）A、3B、6C、2﹣1D、3+3考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程.专题：计算题.分析：方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可．解答：解：方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得x=，=，=，=3（+1），=3+3．故选D ． 点评：本题考查了解一元一次方程．关键是将方程的未知数项系数化为1，将分母有理化．5. （2011山东菏泽，4，4分）实数a 化简后为（ ）A ．7B ．﹣7C ．2a ﹣15D ．无法确定考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴．分析：先从实数a 在数轴上的位置，得出a 的取值范围，然后求出（a ﹣4）和（a ﹣11）的取值范围，再开方化简．解答：解：从实数a 在数轴上的位置可得，5＜a ＜10，所以a ﹣4＞1，a ﹣11＜﹣1，a ﹣4+11﹣a =7．故选A ． 点评：本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．6. （2011•莱芜）下列计算正确的是（ ）A 、3)3(2-=-B 、91)31(2=- C 、（﹣a 2）3=a 6 D 、a 6÷（21a 2）=2a 4 考点：整式的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；二次根式的性质与化简. 分析：A 、首先计算出（﹣3）2的结果，再开方判断；B 、根据负整数指数幂：a ﹣p =p a1（a≠0，p 为正整数）计算可判断； C 、首先看准底数，判断符号，再利用幂的乘方法则：底数不变，指数相乘计算即可判断；D 、根据单项式除以单项式法则：把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同他的指数一起作为商的一个因式计算即可判断．解答：解：A 、3)3(2=-，故此选项错误；B 、2)31(-==9，故此选项错误；C 、（﹣a 2）3=﹣a 6，故此选项错误；D 、a 6÷（21a 2）=（1÷21）（a 6÷a 2）=2a 4，故此选项正确． 故选：D ．点评：此题主要考查了二次根式的开方，负整数指数幂，幂的乘方，单项式除以单项式，关键是准确把握各种计算法则．7. （2011•临沂，4，3分）计算 ）A 、B 、5C 、5D 、考点：二次根式的加减法.分析：根据二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．解答：解：=2×2﹣故选A ．点评：此题主要考查了二次根式的运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．8. （2011泰安，7，3分）下列运算正确的是（ ）A ．525±=B ．12734=-C ．9218=÷D ．62324=⋅ 考点：二次根式的混合运算.专题：计算题.分析：根据二次根式运算的法则，分别计算得出各答案的值，即可得出正确答案．解答：解：A ．∵25＝5，∴故此选项错误；B ．∵43－27＝43－33＝3，∴故此选项错误；C ．18÷2＝9＝3，∴故此选项错误；D ．∵24×＝2324⋅＝6，∴故此选项正确． 故选：D ．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．9. （2011山东省潍坊， 1，3分）下面计算正确的是( )．A ．3=B 3=C ．D 2=- 【考点】二次根式的混合运算．【专题】计算题．【分析】根据二次根式的混合运算方法，分别进行运算即可．【解答】解：A.3+不是同类项无法进行运算，故此选项错误；B.= = =3，故此选项正确；C.= ，×= = ，故此选项错误；D.=-2，∵= =2，故此选项错误； 故选：B ．【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．10.（2011山东淄博3，3分）下列等式不成立的是（ ）A.= 4== =考点：二次根式的混合运算.专题：计算题.分析：根据二次根式的混合运算依次计算，再进行选择即可．解答：解：A 、=B 2=，故本选项错误；C=，故本选项正确；D ==故选C ．点评：本题考查了二次根式的混合运算，是基础知识比较简单．11. （2011成都，23，4分）设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++设...S =，则S ＝_________ (用含n 的代数式表示，其中n 为正整数)． 考点：二次根式的化简求值.专题：计算题；规律型.分析：由222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n ，求n S ，得出一般规律．解答：解： ∵222222222222)]1([]1)1([)]1([122)]1([)1()1()1(11+++=+++++=+++++=+=n n n n n n n n n n n n n n n n n S n， ∴1111)1(1)1(+-+=+++=n n n n n n S n ， ∴1111312112111+-+++-++-+=n n S 111+-+=n n 1211)1(22++=+-+=n n n n n 故答案为： 122++n n n 点评：本题考查了二次根式的化简求值．关键是由S n 变形，得出一般规律，寻找抵消规律．12. （2011湖北孝感，4，3分）下列计算正确的是（ ）A ． =B =C ．=D =考点：二次根式的混合运算.专题：计算题.分析：根据二次根式的加法及乘法法则进行计算，然后判断各选项即可得出答案．解答：解：ABCD ，故本选项错误．故选A ．点评：本题考查了二次根式的混合运算，难度不大，解答本题一定要掌握二次根式的混合运算的法则．二、填空题1.（2011江苏南京，9，2）（2考点：二次根式的混合运算.分析：根据二次根式的混合运算直接去括号得出，再进行合并同类项即可．解答：解：）（2，2﹣2+2点评：此题主要考查了二次根式的混合运算，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并注意认真计算防止出错．2.（2011•青海）分解因式：﹣x3+2x2﹣x=﹣x（x﹣1）2；计算：= 0．考点：二次根式的加减法；提公因式法与公式法的综合运用.专题：计算题.分析：①先提取公因式﹣x，再根据完全平方公式进行二次分解即可．完全平方公式：a2±2ab+b2=（a±b）2．②将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．解答：解：①﹣x3+2x2﹣x=﹣x（x2﹣2x+1）=﹣x（x﹣1）2；②原式=3+﹣4=0．故答案为：﹣x（x﹣1）2，0．点评：本题考查二次根式的加减及提公因式法、公式法分解因式，属于基础题木，在分解因式时注意提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，分解要彻底． 5–点评：本题考查二次根式的混合运算，难度不大，解答此类题目时往往要先将二次根式化为最简．4. （2011贵州遵义，11，4分）计算：218⨯＝ ▲ .5. （2011天水，11，4＝ 考点：二次根式的加减法.分析：首先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可．解答：解：原式=22= 点评：在二次根式的加减运算中，首先要将各式化为最简二次根式，然后再合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并．6.（2011•包头，15，3分）化简二次根式：1232127---= ﹣2 ． 考点：二次根式的混合运算.分析：首先进行各项的化简，然后合并同类项即可．解答：解：1232127---=33﹣（32+）﹣23=﹣2， 故答案为﹣2．点评：本题主要考察二次根式的化简、二次根式的混合运算，解题的关键在于对二次根式进行化简，然后合并同类项．三、解答题解答：（1112⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 解：原式=212223+-+-=123+点评：本题主要考察二次根式的混合运算，分式的混合运算，负整数指数幂，解题的关键在于首先对各项进行化简，然后在进行运算=-3+ + - ，=-2 ．点评：此题主要考查了二次根式的混合运算以及绝对值的性质，在进行此类运算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．3. （2011四川凉山，25，5分）已知a b 、为有理数，m n 、分别表示5小数部分，且21amn bn +=，则2a b += . 考点：二次根式的混合运算；估算无理数的大小．专题：计算题．分析：只需首先对5从而求出其整数部分a ，其小数部分用 5－a 表示．再分别代入amn ＋bn 2＝1进行计算．解答：解：因为2＜7＜3，所以2＜5－7＜3，故m ＝2，n ＝5－ 7－2＝3－ 7． 把m ＝2，n ＝3－ 7代入amn ＋bn 2＝1，化简得（6a ＋16b ）－（2a ＋6b ）7＝1，所以6a ＋16b ＝1且2a ＋6b ＝0，解得a ＝1.5，b ＝－0.5．所以2a ＋b ＝3－0.5＝2.5．故答案为：2.5．点评：本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．4. （2011黑龙江大庆，19，4分）计算26)1(30--+-π．考点：二次根式的混合运算；零指数幂.26)1(30--+-π专题：计算题.分析：运用去绝对值，0指数幂的意义，二次根式的除法法则进行运算．解答：解：原式=+1﹣=1．点评：本题考查了二次根式的混合运算．熟练掌握去绝对值，0指数幂的意义，二次根式的除法法则是解题的关键．5. （2010广东，11，6分）计算：20245sin 18)12011(-︒+-．考点：特殊角的三角函数值；零指数幂分析：本题涉及零指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简，乘方四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．解答：解：原式4， =1+3﹣4，=0．点评：此题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的化简等考点的运算．。
分母有理化及最简二次根式
综合练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3} + sqrt{6}}{sqrt{3} - sqrt{6}}$。
解析
首先将分子分母同乘以$sqrt{3} + sqrt{6}$，得到$frac{(sqrt{3} + sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})}{(sqrt{3} - sqrt{6})(sqrt{3} + sqrt{6})} = frac{3 + 2sqrt{18} + 6}{3 - 6} = frac{-9sqrt{2}}{3} = -sqrt{2}$。
04
练习题与解析
基础练习题
题目
化简二次根式$frac{1}{sqrt{2}}$。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{3}}{sqrt{6}}$。
解析
首先将分母有理化，即分子分母同乘以$sqrt{2}$， 得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法
通过乘以共轭式的方法，将分母化为有理数，从而简化根式。
分子有理化法
在分子或分母有理化时，有时需要采用分子有理化的方法，即将分 子或分母同时乘以共轭因子，以简化根式。
题目
化简二次根式$frac{sqrt{5}}{sqrt{5} + 2sqrt{5}}$。
VS
分母有理化上课课件
分母有理化
• 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母 有理化。
• 2．有理化因式：两个含有二次根式的代 数式相乘，如果它们的积不含有二次根 式，就说这两个代数式互为有理化因式。 有理化因式确定方法如下： • ①单项二次根式：利用 a a a 来确定， a 如： a 与 a ， b 与 a b ， a b 与 a b 等分别互为有理化因式。 • ②两项二次根式：利用平方差公式来确 定。如 a b 与 a b ，a b 与 a b ， 1 a x b y 与 a x b y 分别互为有理化因式。
• （2）化简并求值：a
ab ab b ab b a ab
，其
中 a 2 3 ，b 2
3
【经典练习】
• 1．找出下列各式的有理化因式
(1)5
2
(4) a 2 3 5
(3) a a b
【经典练习】
• 2．把下列各式分母有理化
1
2 5 1
2
5 7 2
3
2 2
6 6
(4)
7 5 5 7
7 5
(5)
2 x 2 x
y y
6
a2 a2
a2 a2
【经典练习】
• 7．已知
x 2 2 3 3
，y
2 2
3 3
，
求下列各式的值：（1）
，
x y xБайду номын сангаасy
（2） x 3 xy y
2
2
分母有理化(根式).
2a a＋b
＝
2 a a＋ b a＋ b •
2a a＋b ＝ a＋ b a＋b
注意：要进行分母有理化，一般是把分子分母 即将分母中根号下的被开方数写成完全平方数（式） 都乘以一个适当的代数式，使分母不含根号 的形式
分母是一个多项式
2 2 (2) 计算： （1） 2- 1 a-
b
解： (1)
2 = 2- 1 = 2
解：原式
2015 1 .
2 1 3 2 2015 1 2015 1 2014
2015 2014
2015 1
(2)
1 1 3 3 5 3 3 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 5 5
7
1 3 3 1 3 3 1 3 解：观察： 1 , 6 2 3 3 3 3 2 1 5 3 3 5 1 5 3 3 5 1 3 5 30 2 15 5 5 3 3 5 2 3
(2)
1 1 3 3 5 3 3 5 7 1 ...... 49 47 47 49
1 5 5
7
1 解：考察一般情况： (2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1
(2n 1) 2n 1 (2n 1) 2n 1 1 ( 2 2 (2n 1) (2n 1) (2n 1) (2n 1) 2
分母有理化
又称“有理化分母”，指的是在二次根式中分母原为 无理数，而将该分母化为有理数的过程，也就是将 分母中的根号化去。
由于在初中、高中阶段，最后的二次根式结果要求 分母不含根号，故分母有理化成为初中学生学习和 使用的一种重要方法。将分母有理化，会使根式的 运算变得简便。
数学分母有理化的知识点
数学分母有理化的知识点
分母有理化有两种方法，一个是分母是单项式，另一个是分母是多项式。
分母有理化
I.分母是单项式
如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b
II.分母是多项式
可以利用平方差公式
如1/√a+√b=√a-√b/(√a+√b)(√a-√b)=√a-√b/a-b
根式中分母不能含有根号，且要变为最简的才行。
整式的运算
1、幂的运算法则(m,n是整数)：
(1)a×a=a;
(2)a÷a=a;(a≠0)
(3)(a)=a
(4)(ab)=ab
2、整式的运算(略)
3、乘法公式：
(a+b)(a-b)=a^2-b^2
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)( a^2-ab+b^2) =a^3+b^3
(a-b)( a^2+ab+b^2) =a^3-b^3
(三)多项式的因式分解
把一个多项式化成几个整式的积的`形式叫做因式分解
1、提公因式法;
2、公式法：
a^2-b^2=(a+b)(a-b)
a^2+2ab+b^2=(a+b)^2
a^2-2ab+b^2=(a-b)^2
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)
a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)
3、十字相乘法或求根法分解二次三项式：ax+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
代数的学习离不开分母有理化知识的应用。
【数学分母有理化的知识点】。
分母有理化(八年级数学)[001]
![分母有理化(八年级数学)[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/8ad42450a0116c175f0e48ee.png)
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2
思考：如何将下列a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
(a b )(a b ) (a 2 b )2 a b
平方差公式
2
2(a b) 2(a b)
a b (a b)(a b) ab
(a b )(a b ) (a 2 ) (b ) 2 a b
原 式 的 倒 数 1 1 73 57 35 2
原式 7 3 2
1 、分母有理化 2、有理化因式
（1）各种典型的有理化因式； （2）二次根式的除法运算 （3）化简分母较复杂的二次根式
谢谢！
2x
(x 1 x2)(x 1 x2)
2x
2x
x2 (1 x2 )
将下列代数式分母有理化
2 3 5 2 3 5
解 ： 原 式 ( 235)( 235) ( 235)( 235)
2 15 6 26
10 6 2
计算 15 35 215
32 5 7
解 ： 原 式 ( 3 5)( 5 7) ( 3 5)( 5 7)
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如 果它们的积不含有二次根式，我们就说这 两个二次根式互为有理化因式
（ a b ） 的 有 理 化 因 式 是 （ a b ） （ a b ） 的 有 理 化 因 式 是 （ a b ）
有理化因式确定方法如下：
①单项二次根式：利用 a a a来确定， 如： a与 a ，ab与ab， a b 与 a b 等分别互为有理化因式。
(2) 1
4 33 2
4 33 2
30
(3) m -n (m n ) m n m n
(4) 2 5 2 3
《分母有理化》 讲义
《分母有理化》讲义一、什么是分母有理化在数学中，分母有理化是一种重要的运算技巧。
当我们面对一个分式，其中分母是含有根式的表达式时，通过一定的方法将分母中的根式去掉，把分母化为有理数，这个过程就叫做分母有理化。
比如说，对于分式\（＼frac{1}｛＼sqrt{2}｝＼），它的分母\（＼sqrt{2}＼）是一个无理数。
经过分母有理化后，我们可以将其化为\（＼frac{＼sqrt{2}｝｛2}＼），此时分母\（2\）就是一个有理数。
分母有理化的目的主要是为了简化计算和表达式，使得数学运算更加方便和清晰。
二、为什么要进行分母有理化分母有理化在数学中具有重要的意义和作用，主要体现在以下几个方面：1、简化运算当分式的分母中含有根式时，进行计算往往比较复杂。
通过分母有理化，可以将分母化为有理数，从而简化运算过程，提高计算的准确性和效率。
2、统一形式在数学问题中，为了便于比较和分析不同的表达式，常常需要将它们化为相同的形式。
分母有理化可以帮助我们将分式化为具有统一分母的形式，便于进行后续的运算和处理。
3、便于理解和分析有理化后的分母更容易被理解和直观地把握，有助于我们更深入地研究和分析数学问题。
三、分母有理化的基本方法分母有理化的方法主要有以下几种：1、乘法有理化对于形如\（＼frac{A}｛＼sqrt{B}｝＼）的分式，我们可以将分子分母同时乘以\（＼sqrt{B}＼），得到\（＼frac{A\sqrt{B}｝｛B}＼）。
例如，对于\（＼frac{1}｛＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（＼sqrt{3}＼），得到\（＼frac{＼sqrt{3}｝｛3}＼）。
2、平方差公式有理化当分母是形如\（a ＋＼sqrt{b}＼）或\（a ＼sqrt{b}＼）的式子时，我们可以利用平方差公式\（（a ＋ b)（a b) ＝ a^2 b^2\）来进行有理化。
例如，对于\（＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＼），分子分母同时乘以\（2 ＼sqrt{3}＼），得到：＼＼begin{align}＼frac{1}｛2 ＋＼sqrt{3}｝＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛（2 ＋＼sqrt{3}）（2 ＼sqrt{3}）｝＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛2^2 （＼sqrt{3}）＾2}＼＼＆＝＼frac{2 ＼sqrt{3}｝｛4 3}＼＼＆＝2 ＼sqrt{3}＼end{align}＼四、分母有理化的实例下面通过一些具体的例子来进一步理解分母有理化的过程和方法。
二次根式专项训练-最简指数式分母有理化
二次根式专项训练-最简指数式分母有理
化
介绍
本文档是关于二次根式专项训练中的最简指数式分母有理化的
指导。
问题描述
在二次根式的化简过程中，有时候需要将指数式的分母有理化。
例如，当分母是一个含有二次根式的指数函数时，我们需要将其有
理化，使得分母成为一个整数或含有整数的表达式。
解决方案
以下是最简指数式分母有理化的步骤：
1. 确定分母是一个含有二次根式的指数函数。
2. 通过乘以适当的因式来消除分母中的二次根式，使分母变为
一个整数或含有整数的表达式。
3. 检查结果，确保分母已经被有理化，且没有引入其他的根式。
示例
假设有以下指数式：
最后，我们得到有理化后的表达式，其中分母已经被有理化。
总结
通过上述步骤，我们可以将含有二次根式的指数式分母进行最
简指数式有理化。
这一步骤在二次根式专项训练中起到了重要作用，帮助我们简化表达式，便于进一步的计算和分析。
注意：本文档中的例子仅供参考，请根据具体问题中的情况进
行相应的操作和验证。
2.分母有理化(2)解析
a b 4、 a b的有理化因式为 _____________ ；
3 3
5、m a n b的有理化因式为 _____________ m a n b ；
3 2 3 3 2
6、 a b的有理化因式为 _________________ a ab b ；
a b 1 a b a b a b 1 a b 11
0
2
(
x y
y 1 )( x y
1 ) x
y y x x 解 : 原式 ( )( ) y x y x x y y y x y x x ( ) y x x y y x ( x )2 ( y )2 xy xy x y ( x y )( x y ) x y
找出下列各式的有理化因式
(1) a b
ab
(2) 12
(3) 5 2
52
3
(5) 7 10
7 10
2
(4)5 2
5 2
(6)3 2 6
3 2 6
2
(7)2 3 8 11
3 4 11
(8)a x a ( x a)
a x a
2 2
例
将下列各式分母有理化因式
x y
例：计算
x - 6x + 2 已知x = ,求 x- 3 3+ 2 2 1 解： x = 3+ 2 2
(默7) 1
2
化简既有 数据的化 简,也有式 子的化简
\ x = 3- 2 2
2 （x - 3 ） - 7 （- 2 2 ） 7 原式 = = x- 3 - 2 2 1 2 = =4 - 2 2
2019年全国中考试题解析版分类汇编-分母有理化、二次根式化简
2019年全国中考试题解析版分类汇编-分母有理化、二次根式化简注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！1.〔2017•台湾17，4分〕计算631254129⨯÷之值为何〔〕A 、123B 、63C 、33 D 、433考点：二次根式的乘除法。
分析：把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得、 解答：解：原式=635412129⨯⨯=63、应选B 、点评：此题考查了二次根式的乘除法，把分式化为乘法的形式，互相约分而得、 2.〔2017•贺州〕以下计算正确的选项是〔〕A 、=﹣3B 、〔〕2=3C 、=±3D 、+=考点：二次根式的混合运算。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的性质进行计算，找出计算正确的即可、 解答：解：A 、=3，此选项错误；B 、〔〕2=3，此选项正确；C 、=3，此选项错误；D 、+=+，此选项错误、应选B 、点评：此题考查了二次根式的混合运算、解题的关键是注意开方的结果是≥0的数、 3.〔2017黑龙江大庆，3，3分〕对任意实数a ，那么以下等式一定成立的是〔〕A、a=aB、2a=－aC、2a=±aD、2a＝a考点：二次根式的性质与化简。
专题：计算题。
分析：根据二次根式的化简、算术平方根等概念分别判断、解答：解：A、a为负数时，没有意义，故本选项错误；B、a为正数时不成立，故本选项错误；C、=|a|，故本选项错误、D、故本选项正确、应选D、点评：此题考查了二次根式的化简与性质，正确理解二次根式有意义的条件、算术平方根的计算等知识点是解答问题的关键、4.〔2017，台湾省，17,5分〕以下何者是方程式〔﹣1〕x=12的解？〔〕A、3B、6C、2﹣1D、3+3考点：二次根式的混合运算；解一元一次方程。
专题：计算题。
分析：方程两边同除以〔﹣1〕，再分母有理化即可、解答：解：方程〔﹣1〕x=12，两边同除以〔﹣1〕，得x=，=，=，=3〔+1〕，=3+3、应选D、点评：此题考查了解一元一次方程、关键是将方程的未知数项系数化为1，将分母有理化、5.〔2017山东菏泽，4，4分〕实数a简后为〔〕A、7B、﹣7C、2a﹣15D、无法确定考点：二次根式的性质与化简；实数与数轴、分析：先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出〔a﹣4〕和〔a﹣11〕的取值范围，再开方化简、解答：解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞1，a﹣11＜﹣1，a﹣4+11﹣a=7、应选A、点评：此题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念、 6.〔2017•莱芜〕以下计算正确的选项是〔〕A 、3)3(2-=-B 、91)31(2=-C 、〔﹣a 2〕3=a 6 D 、a 6÷〔21a 2〕=2a 4考点：整式的除法；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂；二次根式的性质与化简。
专题06 分母有理化(解析版)
专题06 分母有理化 1.分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.常见类型：常见类型一：aa b a a ab a b=⋅⋅=． 常见类型二：ba b a c b a b a b a c b a c--=-+-⋅=+)())(()(． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．3.有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；b n a +的有理化因式是b n a -；b a +的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。
专题知识点概述5.分母有理化十法分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。
通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。
【例题1】计算32123212++-+-【答案】见解析。
【解析】先通分，找准分子公因数。
原式22)2()31(3213212-+-+-++⨯=26)13(21322-=-=+=【对点练习】计算)b b a a (ab a ab 2b a b 2a b4a +÷+++--- 【答案】见解析。
【解析】设y b ,x a ==，则ba yx y y 2x yx xy )y x (x )y x (y 2x )y 2x )(y 2x ()y y x x (xy x xy 2y x y 2x y 4x y b ,x a 2222222222+=+=-+=+⋅++---+=+÷+++---===原式 【例题2】将352-分母有理化例题解析与对点练习【答案】3535)35(2+=-+= 【解析】分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．35-的有理化因子是35+．352-)35)(35()35(2+-+=3535)35(2+=-+=． 【对点练习】已知5322y ,5322x ++=-+=，求2222y xy 2x y x ++的值。
第五讲 分母有理化
代数（四）根式计算（四）——分母有理化【知识要点】1．分母有理化定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
有理化因式确定方法如下：=来确定，①单项二次根式：aa-等分别互为有理化因式。
ba-与b②两项二次根式：利用平方差公式来确定。
如a+与a，，3．分母有理化的方法与步骤：①先将分子、分母化成最简二次根式；②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】例1 把下列各式分母有理化（2（3（4）（1例2 把下列各式分母有理化（2（3）（4）（1例3 把下列各式分母有理化：（1（2（3例4已知x =y =，求下列各式的值：（1）x y x y +-（2）223x xy y -+例5 把下列各式分母有理化：（1)a b ≠ （2（3例6 计算：（122⎡⎤⎥-⎥⎝⎭⎝⎭⎦（2++例6（1）已知x =y =，求221010x xy y ++的值。
（2，其中2a =2b =【练 习】A 组1．计算（1）； （2）⎛- ⎝；（3 （4）+2．设梯形上底为a ，下底长为b ，高为h ，面积为s 。
（1）a =b =h =s ； （2）a =b =h =s ；（3）a =b =，h =s ；3．已知x =，求5x x -的值。
4．已知a =b =的值。
B 组1．计算：（1） ； （2（3）（4）（5）（6a b -（33a -+（4）-⎝（55（6+。
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专题06 分母有理化 1.分母有理化的概念：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2.常见类型：
常见类型一：a
a b a a a
b a b
=⋅⋅=． 常见类型二：b
a b a c b a b a b a c b a c
--=-+-⋅=+)())(()
(． 其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．
3.有理化因式的概念：
两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。
注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。
4.熟记一些常见的有理化因式：
a 的有理化因式是a ；
b n a +的有理化因式是b n a -；
b a +的有理化因式是b a -；
b n a m +的有理化因式是b n a m -；
33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。
专题知识点概述
5.分母有理化十法
分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。
通常有约分法、通分法、平方法、配方法、拆解法等十种方法。
【例题1】计算3212
3212
++-+-
【答案】见解析。
【解析】先通分，找准分子公因数。
原式22)2()31(3
213212-+-+-++⨯=
2
6)13(2132
2-=-=+=
【对点练习】计算)b b a a (
ab a ab 2b a b 2a b
4a +÷+++--- 【答案】见解析。
【解析】设y b ,x a ==，则
b
a y
x y y 2x y
x xy )y x (x )y x (y 2x )y 2x )(y 2x ()y y x x (xy x xy 2y x y 2x y 4x y b ,x a 22
2222222
2+=+=-+=+⋅++---+=+÷+++---===原式 【例题2】将352
-分母有理化
例题解析与对点练习
【答案】3535)35(2+=-+= 【解析】分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．35-的有理化因子是35+．
352
-)35)(35()
35(2+-+=353
5)35(2+=-+=． 【对点练习】已知5322
y ,5322x ++=-+=，求222
2y xy 2x y x ++的值。
【答案】见解析。
【解析】因为22
222)y x xy (y xy 2x y x +=++， 所以它的倒数22)y
1x 1()xy y x (+=+ 而2
532y 1,2532x 1++=-+= 则2)y
1x 1(+ 3
47)32(y xy 2x y x )32()2
5322532(
2
2
22
222-=-=+++=+++-+=故
专题点对点强化训练
1.将下列各式分母有理化
（1）21
； （2）121
+。
【答案】见解析。
【解析】分母有理化的关键是找到分母的“有理化因子”．2的有理化因子是2，12+的有理化因子是12-，
（1）21
2
2222
=⋅= （2）121+)12)(12(1
2-+-=121
212-=--=。
2.计算6
31254129
⨯÷之值为何（ ） A.123 B.63 C.33 D.
433 【答案】B ．
【解析】把分式化为乘法的形式，相互约分从而解得．
原式=635412129
⨯⨯=6
3． 3. 下列何者是方程式（﹣1）x=12的解？（ ）
A ．3
B ．6
C ．2﹣1
D ．3+3
【答案】D ．
【解析】方程两边同除以（﹣1），再分母有理化即可．
方程（﹣1）x=12，两边同除以（﹣1），得
x====3（+1）=3+3． 【答案】-2 ． =-3
+ + -
=-2 ． 5.化简323)
62(2++
【答案】4/3
【解析】因为)32(9)62(4)323)
62(2(22++=++
9
16)
32(9)32(16)32(9)348(4=++=++=
又因为032)
62(2>++ 所以原式3
4= 6.用配方法化简
5326
2++ 【答案】见解析。
【解析】原式532)5(62)3()2(2
22++-++=
5
32532)
532)(532(532)5()32(22-+=++-+++=++-+=
7.用拆解法化简)23)(25(2
4335++++
【答案】见解析。
【解析】原式)23)(25()
23(325+++++=
2
2532
5232
53231)23)(25()23(3)
23)(25(5
2-+=-+-=+++=+++++++= 8.计算15310653++++
【答案】见解析。
【解析】原式)53(3)53(25
3++++=
233
21)32)(53(5
3-=+=+++= 9.计算494747491
75571
53351
331
++++++++
【答案】3/7
【解析】 原式)4749(47491
)57(571
)35(351
)13(31
+⋅+++⋅++⋅++=
4922149
2147217215215213213212147
49247
495725735235321
31-=-++-+-+-=⋅-++⋅-+⋅-+-= 7
314121=-=
10.化简2356
102-++-
【答案】见解析。
【解析】原式
3
5235)
235)(35(235)35(2)35)(35(-=-+-+-=-+---+=
11.计算)b b a a (
ab a ab 2b a b 2a b
4a +÷+++--- 【答案】见解析。
【解析】设y b ,x a ==，则
b
a y
x y y 2x y
x xy )y x (x )y x (y 2x )y 2x )(y 2x ()y y x x (xy x xy 2y x y 2x y 4x y b ,x a 22
2222222
2+=+=-+=+⋅++---+=+÷+++---===原式 12.化简1325)
13)(35(++++
【答案】见解析。
【解析】因为)13)(35(1
325++++
21
523
52133
51131)
13)(35()
13()35(-=-+-=
+++=+++++= 所以原式2
15152
+=-= 注：应用B
1A 1AB B A +=+的性质。
13.计算751
)75)(53(3
7)
53)(32(25++++--++- 【答案】见解析。
【解析】因为)23()35(25+-+=-
)35()57(37+-+=- 所以原式751
751
531
531
321
+++-+++-+=
23321
-=+= 注：逆用法则ab
a b b 1a 1±=±进行转换，再应用“互为相反数的两。