专题06 分母有理化(解析版)

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人教版-数学-八年级下册-数学(人教)八年级素材：什么是分母有理化

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分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a-b（a+b）（a-b）=a-ba-b．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如：2-3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意有理数．

精编分母有理化专题

分母有理化

一、【知识点梳理】

1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2．有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

a =

b a-

与b

a-等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a

分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

（1）先将分子、分母化成最简二次根式；

（2）将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

（3）最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

二、【典型例题】

例1.找出下列各式的有理化因式

例2.把下列各式分母有理化

(

例3.把下列各式分母有理化：

（1

（3（4

(6))

a x a

例4.计算

(1)

⎫

例5.（1

）已知x=

y=，求22

1010

x xy y

++的值（2

，其中2

例6. 已知，则a_________

三、【随堂检测】

A组

1．找出下列各式的有理化因式

(4)

2．把下列各式分母有理化

(

(1)5

(

已知：a =

b =a 与b 的关系为（） A 、a b = B 、1ab = C 、1ab =- D 、a b =- 4.(1)

=_________;(2) =_________.

5．计算 (

2211(3)

22+

计算：0(3)1-+

．

．已知x =

y =，求1111x y +--的值.

9．已知12a =，12

b =，求代数式225a ab b -+的值。

10. 已知a ＝2－3，求代数式1212-+-a a a －a a a a -+-221

高考数学解答题(新高考)数列求和(裂项相消法)(典型例题+题型归类练)(解析版)

专题06 数列求和（裂项相消法）(典型例题+题型归类练)

一、必备秘籍

常见的裂项技巧类型一：等差型

类型二：无理型

类型三：指数型

①1

1(1)11

()()n n n n n a a a k a k a k a k

++-=-++++

如：11211

(2)(2)22n n n n n k k k k

++=-++++

类型四：通项裂项为“+”型

如：①()()()211

11111n

n n n n n n +⎛⎫-⋅

=-+ ⎪++⎝⎭ ②()()

131222(1)

(11)1n n

n n n

n n n n n +⎛⎫

++⋅-=+- ⎝+⎪⎭

本类模型典型标志在通项中含有(1)n -乘以一个分式.

二、典型例题

类型一：等差型

例题1．（2022·辽宁·鞍山一中模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，0n a >，315S =，公差1d >，且___________.从①21a -为11a -与31a +等比中项，②等比数列{}n b 的公比为3q =，1124,b a b a ==这两个条件中，选择一个补充在上面问题的横线上，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. (1)求数列{}n a 的通项公式；

(2)设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭

的前n 项和为n T ，求证：1

T <. 【答案】(1)选择条件见解析，21n a n =+(2)证明见解析 (1)若选①，21a -为11a -与31a +的等比中项，

则()()()2

132111a a a -+=-，由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，∴25a =，

专题06 二次根式篇(解析版)-2023年中考数学必考考点总结

知识回顾

微专题

专题06二次根式---2023年中考数学必考考点总结

考点一：二次根式之定义与有意义的条件

1.二次根式的定义：

形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。2.二次根式有意义的条件：

二次根式的被开方数大于等于0。即a 中，0≥a 。

1．（2022•湘西州）要使二次根式63-x 有意义，则x 的取值范围是（）

A ．x ＞2

B ．x ＜2

C ．x ≤2

D ．x ≥2

【分析】根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数即可得出答案．【解答】解：∵3x ﹣6≥0，∴x ≥2，故选：D ．

2．（2022•广州）代数式1

+x 有意义时，x 应满足的条件为（）

A ．x ≠﹣1

B ．x ＞﹣1

C ．x ＜﹣1

D ．x ≤﹣1

【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：代数式有意义时，x +1＞0，

解得：x ＞﹣1．故选：B ．

3．（2022•贵阳）代数式3-x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（

）

A ．x ≥3

B ．x ＞3

C ．x ≤3

D ．x ＜3

【分析】直接利用二次根式的定义得出x ﹣3≥0，进而求出答案．【解答】解：∵代数式

在实数范围内有意义，

∴x ﹣3≥0，解得：x ≥3，

∴x 的取值范围是：x ≥3．故选：A ．

4．（2022•绥化）若式子21-++x x 在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（

）

A ．x ＞﹣1

B ．x ≥﹣1

C ．x ≥﹣1且x ≠0

D ．x ≤﹣1且x ≠0

【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，a ﹣

p ＝

（a ≠0）即可得出答案．

6 分母有理化

第六讲分母有理化

1．计算3

的近似值 1.22

2．计算

3-2

的近似值 3.15

将下列各式的分母有理化

3．

4．－42

2114

a+b

6．1

2+1

2-1

7．

3-2

8．x+y

x-y

(x≠y)

x+2xy+y

x-y

6 2

2y2x

25+23 14

(b≠1) 1+b

15-2a-1-2a(a+1)

＜

16．比较大小

17．比较大小

18．比较大小9－8与8－7

19．比较大小7－6与8－7

专题06 分母有理化(解析版)

专题06 分母有理化

1.分母有理化的概念：

把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2.常见类型：常见类型一：a

a b a a a

b a b

=⋅⋅=．常见类型二：b

a b a c b a b a b a c b a c

--=-+-⋅=+)())(()

(．其中，我们称n n a 1-是n a 的“有理化因子”，b a -是b a +的“有理化因子”．分母有理化的关键是

找到分母的“有理化因子”．

3.有理化因式的概念：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

4.熟记一些常见的有理化因式：

a 的有理化因式是a ；

b n a +的有理化因式是b n a -；

b a +的有理化因式是b a -；

b n a m +的有理化因式是b n a m -；

33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。

5.分母有理化十法

分母有理化及最简二次根式

实例解析
例如，将分式$frac{1}{sqrt{2}}$有理化，可以乘以$sqrt{2}$，得到$frac{1}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{2}$。
又如，将分式$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}}$有理化，可以分子分母同乘以$sqrt{2}$，得到$frac{sqrt{3}}{sqrt{2}} times frac{sqrt{2}}{sqrt{2}} = frac{sqrt{6}}{2}$。
进阶练习题
题目
化简二次根式$frac{sqrt{7}}{sqrt{7} - sqrt{7}}$。
解析
同样将分子分母同乘以$sqrt{7} + sqrt{7}$，得到$frac{sqrt{7} times (sqrt{7} + sqrt{7})}{(sqrt{7} - sqrt{7}) times (sqrt{7} + sqrt{7})} = frac{7 + 7}{0} = frac{-14}{infty} = 0$。
根式。
判断被开方数的因式是否为整式
03
检查被开方数的因式是否为整式，若不是整式则不是最简二次
根式。
化简技巧
提取公因式法
将根号内的多项式进行因式分解，提取公因式，简化根式。
分母有理化法

分母有理化上课课件

3
2 2
6 6
(4)
7 5 5 7
7 5
(5)
2 x 2 x
y y
6
a2 a2
a2 a2
【经典练习】
• 7．已知
x 2 2 3 3
，y
2 2
3 3
，
求下列各式的值：（1）
，
x y x y
（2） x 3 xy y
2
2
【分母有理化作业】
• 1.把下列各式分母有理化：
1 x 1
x 1 3 2 2
，y
1 32 2
，
1 y 1
1 7
的值.
5
5．已知 a 2
b ， 2 1
7
5
，
求代数式 a 2 5 ab b 2 的值。
aΒιβλιοθήκη Baidub a b
3
4
b b
a b
2
2 2
a b
2
【典型例题】
• 例4 计算
1 (1) 18 4 2 1 3 3 2
【典型例题】
• 例5（1）已知
x 1 2 3
，y

1 2 3
，
求10 x 2 xy 10 y 2 的值
【典型例题】
(5) a b

成都市初一升初二衔接第6讲分母有理化

【学习目标】

1、使学生掌握分母有理化概念，并能利用分母有理化解决二次根式的化简及近似计算题；

2、让学生能够进一步学习二次根式的化简，对二次根式化简有进一步的认识，使化简进一步完善。

3、本节的主要内容是二次根式的乘除法的巩固以及分母有理化。这在二次根式的化简和运算的运用中是关键，从化简与运算又引出初中重要的内容之一：分母有理化，分母有理化的理解决定了最简二次根式化简的最终的掌握程度。

4、通过二次根式的分母有理化，培养学生的运算能力．

【知识要点】

1、分母有理化的概念：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

2、有理化因式的概念：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。

注：二次根式的有理化因式不是唯一的，它们可以相差一个倍数。

3、熟记一些常见的有理化因式：a 的有理化因式是a ；

b n a +的有理化因式是b n a -；的有理化因式是b a -；b n a m +的有理化因式是b n a m -；33b a ±的有理化因式是32332b ab a + 。

【典型例题】

例1、找出下列各式的有理化因式。

b a + 25+ 2332- )(22a x a x a >--

例2、将下列各式分母有理化。

（1）

（2）（3）（4）

例3、化简下列各式

（1）

（2）

（3）

b a b a -- （4）y x y x 2222+-

（5）

（6）

例4、已知

,求的值。

【经典练习】

1、找出下列各式的有理化因式。

(1) 3322- (2) ab (3) 12-x (4)y x 35+

分母有理化——精选推荐

分母有理化十法

分母有理化是一种极其重要的恒等变形，它广泛应用于根式的计算和化简，除掌握基本

方法外，需根据不同题的特点，灵活应用解法，讲求技巧，以达化难为易，化繁为简的目的。本文举例说明：

一. 约分法

例1. 化简

827114--

解：原式1

4114)

114(1142

=--=

--=

二. 通分法

例2. 计算

2123

212++-

解：原式2

)

2()31(3

213212-+-+-++⨯

13(21

322-=-=+=

三. 平方法

例3. 化简

23)62(2++

解：因为)

32(9)62(4)3

23)62(2(

++=

16)

32(9)

32(16)32(9)348(4=++=

++=

又因为

2)62(2>++

所以原式3

四. 配方法

例4. 化简

3262++

解：原式5

32)5(62)3()2(2

22++-++=

325

32)

532)(532(5

32)5()32(2

2-+=++-+++=

++-+=

五. 拆解法

例5. 化简

)

23)(25(24335++++

解：原式)

23)(25()23(325+++++=

2532523253231)

23)(25()23(3)

23)(25(52-+=-+-=++

+=++++

+++=

例6. 计算

310653++++

解：原式)

53(3)53(25

3++++=

21)

32)(53(5

3-=+=+++=

六. 通分逆用法

例7. 计算

4747491

55715

33513

31++

+++

解：原式

)

4749(47491

)

57(571)

35(351)

分母有理化(八年级数学)

分母有理化(八年级数学)
25.04.2021
生产计划部
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
2
思考：如何将下列
进行分母有理化？
ab
a b 乘以什么式子才能不含有根号呢？
(a b )(a b ) (a 2 b )2 a b
平方差公式
2
2(a b) 2(a b)
a b (a b)(a b) ab
(a b )(a b ) (a 2 ) (b ) 2 a b
一般常见的有理化因式总结
a a b
an b a b
m a n b
找出下列各式的有理化因式
(1) a b ( 2 ) 1 2
(3) 5 2
(4)5 2
(5) 7 10
(6)3 2 6 (7)2 38 11
(8)a x2a2(xa)
例将下列各式分母有理化因式
(1) 3 3 1
3 3 2
原式的倒数 1 1 73 57 35 2
原式 7 3 2
1 、分母有理化 2、有理化因式
（1）各种典型的有理化因式；（2）二次根式的除法运算（3）化简分母较复杂的二次根式
谢谢大家
生产计划部
(2) 1
4 33 2
4 33 2
30
(3) m -n (m n ) m n m n
Baidu Nhomakorabea

分母有理化 ppt课件

你认为哪种方法更准确、简单？为什么？
母有理化的概念：
把分母中的根号化去，叫做分母有理化。
探究1：把 2 分母有理化
3
解： 2 2 3 6 3 3 3 3
例题1：把下列各式分母有理化
（ 1） 1 （ 2） 2 （ 3） 1 （ 4）3x
48 3 45
27x3y
解：（1）原式
1 16 3
构造平方差公式
两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个二次根式互为有理化因式
（ a - b ）的有理化因式是（ a +b ）
（ a +b ）的有理化因式是（ a - b ）
分母有理化的过程即是分子分母同时乘以分母的有理化因式
1
,求x26x2
32 2 x3
解：Qx 1 32
1(32 2) 2 (32 2)(32
1 (3 2 2 ) 2) 32 (2 2 ) 2
32
2
原式（x3）2 7 =（- 2 2）2 - 7
x3
-2 2
=1 -2 2
=- 2 4
2、解不等式： 2x- 3< 3x
解：2x- 3x<3 （2- 3）x<3 x> 3 （ 2 - 3） x > 3( 2 + 3) -1 x>- 3 2- 3 3

专题06 分式及应用的核心知识点精讲备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)

专题06 分式及应用的核心知识点精讲

1.了解分式、分式方程的概念，进一步发展符号感．

2．熟练掌握分式的基本性质，会进行分式的约分、通分和加减乘除四则运算，发展学生的合情推理能力与代数恒等变形能力．

3．能解决一些与分式有关的实际问题，具有一定的分析问题、解决问题的能力和应用意识．

【题型1：分式方程及其解法】

【典例1】（2023•凉山州）解方程：＝．

1．（2023•山西）解方程：．

2．（2023•陕西）解方程：．

3．（2022•眉山）解方程：＝．

4．（2022•西宁）解方程：﹣＝0．

【题型2：分式方程的应用】

【典例2】（2023•通辽）某搬运公司计划购买A，B两种型号的机器搬运货物，每台A型机器比每台B型机器每天少搬运10吨货物，且每台A型机器搬运450吨货物与每台B型机器搬运500吨货物所需天数相同．

（1）求每台A型机器，B型机器每天分别搬运货物多少吨？

（2）每台A型机器售价1.5万元，每台B型机器售价2万元，该公司计划采购两种型号机器共30台，满足每天搬运货物不低于2880吨，购买金额不超过55万元，请帮助公司求出最省钱的采购方案．

1．（2023•长春）随着中国网民规模突破10亿，博物馆美育不断向线上拓展．敦煌研究院顺势推出数字敦煌文化大使“伽瑶”，受到广大敦煌文化爱好者的好评．某工厂计划制作3000个“伽瑶”玩偶摆件，为了尽快完成任务，实际平均每天完成的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务，问原计划平均每天制作多少个摆件？

2．（2023•宁夏）“人间烟火味，最抚凡人心”，地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源．某经营者购进了A型和B型两种玩具，已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个，

二次根式分母有理化

评注：把1转化为，再用平方差公式“因式分解”即能约分。三. 巧用通分法例6. 化简
解：原式
评注：注意Байду номын сангаас本题两“项”互为倒数，且分母互为有理化因式的结构特征，故采用直接通分，同时又达到了分母有理化的效果，使化简更为简捷。四. 裂项约简法例7. 化简
解：原式
评注：裂项是本题的关键，做题时要善于观察、分析，找到解题最佳途径。例8. 化简
解：将原式分子、分母颠倒后就转化为例6。故原式
评注：本题解法中，先计算原式的倒数，明显方便多了。五. 等比性质法例9. 化简
解：
评注：若用常规方法，分子、分母同乘以分母的有理化因式则计算比较繁杂且易出错，注意到本题的结构特征，可用等比性质巧解
二次根式分母有理化是初中代数的重要内容，也是同学们的难点，本文介绍几种有理化方法。供同学们学习时参考。一. 常规基本法例1. 化简
解：原式
评注：这是最基本最常用的方法，解法的关键是准确判断分母的有理化因式。二. 分解约简法例2. 化简
解：原式
评注：分母提取“公因式”后可直接约分，避免分母有理化，从而简化运算。例3. 化简
解：原式
评注：由于的有理化因式
可能为零，所以不能将分子分母同乘以；若分两种情况讨论又比较繁琐。注意到本题的结构特征，故改用“分解因式”约简的方法，达到分母有理化而又避免讨论。例4. 化简

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6 分母有理化

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二次根式分母有理化

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