2019-2020年高考二轮复习专题限时集训第3讲《函数与方程、函数的应用

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2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题03函数与方程问题

2021年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破专题03函数与方程问题函数与方程思想是高中数学的根本思想之一.通过建立函数关系,用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,或运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题,进而解决问题,是高中数学根本的解题分析方法之一.函数尸f(x)也可以看成是二元方程g(x, y)=0.通过建立方程或方程组,分析数学问题中变量间的等量关系,或者运用方程的性质去分析、转化问题,进而解决问题,是高中数学又一根本的解题分析方法高考对此也经常以不同的方式进行考查,比方：函数零点的个数问题、位置问题、近似解问题等.以选择题、填空题、解做题等形式出现在试卷中的不同位置,且考查得较为灵活、深刻,值得广阔师生关注.本文拟就此问题做一探索.1函数零点的个数问题函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的根,也就是函数f(x)的图像与x轴交点的横坐标.因此,判断函数y=f(x) 零点的个数问题,就可以转化为函数f(x)的图像与x轴交点的个数问题.当然,如果函数f(x)的图像不容易画出,也可以将y=f(x)变形为g(x)=h(x),然后转化为函数g(x)与h(x)图像的交点个数问题.例1设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,且在区间［0, 1)内,八幻二匕7：：,.其中集合D={H|* m杆'},求方程f(x)—lgx=0的解的个数.例2函数+ (a-分炉〞一工有两个零点,求实数a的取值范围2函数零点的位置提到零点的位置,我们自然会想到零点存在定理.事实上,在例2的求解过程中对此也有一定程度的表达,但是彼时的解题重心主要放在判断零点的有无〞和放缩找点〞上.此处我们再举一个例子阐述关于函数零点位置的另外一种判断方法.例3函数广反)=casx-A,虱⑥=rinlco3M —#与hGO=co5(simc) 一去都是定义在区间(0q)内的函数,工丁巧丹分别是f(x), g(x), h(x)的零点,那么/"争后的大小关系是()A. X^<X^<3C2B. Zg3函数零点的近似解提到函数零点的近似解,我们自然就想到匕分法〞这确实是一种很好的方法,但是它的求解过程非常烦琐,更适合运用计算机操作,平时这方面的考题不多 .但是,近年来逐渐成为热点的数学文化〞类考题倒经常在此驻足,且往往以整点近似解居多.例4?九章算术?是我国古代一部重要的数学著作,书中有如下问题：今有良马与弩马发长安,至齐 .齐去长安三千里,良马初日行一百九十三里,日增一十三里,弩马初日行九十七里,日减半里.良马先至齐,复还迎弩马,问几何日相逢.’其大意为：现在有良马和弩马同时从长安出发到齐地去,长安和齐的距离是 3000里,良马第一天行 193里,之后每天比前一天多行 13里,弩马第一天行 97里,之后每天比前一天少行0.5里.良马到齐后,马上返回去迎弩马,多少天后两马相遇.〞最新模拟题强化一 . x 一X 10 lg 12 .喷气式1 10 12140dB; 一般说话时,声音的等级约为 60dB .那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的〔A . 104 倍 C. 108倍3.某公司为鼓励创新,方案逐年加大研发资金投入,假设该公司 2021年全年投入研发资金 130万元,在此根底上,每年投入的研发资金比上一年增长 12%,那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是〔〕〔参考数据：lg1.12 0.05, lg1.3 0.11, lg2 0.30〕A . 2021 年B, 2021 年C. 2022 年D, 2023 年4.函数口,当区七〔口工］时,f 〔x 〕 =s ＜假设在区间内,或©=网?0—tG+2｝有两个f 〔x 〕 + 2 = f .不同的零点,那么实数 t 的取值范围是〔〕1.声音的等级f X 〔单位: 飞机起飞时,声音的等级约为 dB 〕与声音强度x 〔单位：w/m 2〕满足fB. 106 倍 D. 1010 倍2.在以下区间中,函数 f X e x 4x 3的零点所在的区间为〔A.B. O,4C.4’2D.1 32,45.假设定义在R上函数y f(x 1)的图象关于图象上点(1,0)对称,f(x)对任意白勺实数x都有f (x 4) f (x),且f(3)=0,那么函数y=f(x)在区间0,2021上的零点个数最少有(A. 2021个B. 1768个C. 1515个D. 1514个定义在R上的奇函数f(x)满足f(1 x) f(1 x),且当x ［0,1］时,f(x) 4x2 2x,那么当［2,2］时,方程2f(x) 1的解的个数为()A. B. 3 C. 4 D. 67. 假设直线ym与曲线y|恰有三个公共点,那么实数m的取值范围是( )A. (1,、.2)(、、2 1, 2 1) C • (1,、.2 1) D . (2,72 1)函数x33x, xln x, xa有3个零点,那么实数a的取值范围是(0,4 B. 0,2 C. ,4 D. ,29. 设函数f (x) 3x a (a R),那么a 2〞是 f (x)有且只有一个零点〞的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.定义在R上的奇函数f(x)恒有f(x 1) f (x 1),当x [0,1)时,2x- 1 …一〃f (x) =-一~1 ,那么当函数2x+1g(x) f(x)1kx -在［0,7］上有三个零点时,3k的取值范围是A. _215 B._215C._215 D._215假设关于x的方程0时总有4个解,那么f可以是(x2 1 C. 2x 2 D. 10g2 x12.函数f(x) log2x,0sin —x ,242,假设存在实数X I ,x 10x2 , x3 , x4 使得f x1 f x2 f x3 f 人且为< X2< X3< X4 ,那么X3 1 X4 1X1X22X4 5X3的取值范围是(A. 14,17B. 14,19C. 17,1977D. 17,——4. .., 一一- X 1 _ --13.己知函数f(x) e x 2, g(x)2x mx m 3 ,假设存在实数x ,X2,使得f X I g X2 0 ,且X1 X2 1 ,那么实数m的取值范围为(7 A, 3, B.2,：3C. [2,D. [2,3]14.设［X］表示不大于实数X的最大整数, 函数f (X)2ln x [ln x] 1,xe x(ax 1),x (且只有5个解, 那么实数a的取值范围为(假设关于x的方程f(x) 1有A. ( , 1)B. ( , e)C.( ,1]D. e]15.函数f X 1 _ asin R, e是自然对数的底数, 0)存在唯一的零点,那么实数a的取值范围为B. 0,2C. 0,2D. 0,216.函数f(x)f x1 f x217.函数f一个零点,那么实数18.假设曲线C I : y2x,0sin —x,22X3 f X41 3」2-x bx3c的取值范围为2,假设存在四个不同的实数4,且X1<X2<X3<X4 ,贝uX Ic , (b,c为常数),当Xax2 (a 0)与曲线C2:y e x在0,十| X1, X2, X3 ,X4 满足X2X3 X42时,函数f X取得极值,假设函数f x只有上存在公共点,那么a的取值范围为19.函数f(x) x3 3x c(x R),假设函数f(x)恰有一个零点,那么实数c的取值范围是X20.假设函数f x 2 x a 1在区间0,1上有零点,那么实数a的取值范围,一一 .2 x, x 2,21 .函数f x {2函数g X b f 2 x ,其中b R,x 2 , x 2,y f x g x 恰有4个零点,那么b 的取值范围是.22 .满足a,b 1,0,1,2,且关于x 的方程ax 2 2x b 0有实数解的有序数对a,b .x 2 x,x 1. ,23 .函数f x3,假设函数y f x a x 1恰有三个零点,那么实数1 x 3,x 124.定义域为 R 的函数y f(x)满足f (x 2) f(x),且-1 x 1时,f (x) 1lg x ,x 0.. ........................ _ _ _ _ g(x),假设F(x) f (x) g(x),那么x [ 5,10],函数F(x)零点的个数是1,x 026 .函数f (x) sin x x 3, f x 为f(x)的导函数 (1)求f(x)在x 0处的切线方程；(2)求证：f x 在一,一上有且仅有两个零点. 2 2r2cL )27 .函数 f x =x 2ax+5 a 1 .(1)假设f x 的定义域和值域均是[1, a],求实数a 的值； (2)假设f x 在[1, 3]上有零点,求实数 a 的取值范围.228 .函数f (x) ax bx c(a 0)满足f (0) 0,对于任息x R 都有f (x) xf( 1 x) f( 1 x),另 g(x) f(x) | x 1(0)2 2(1)求函数f(x)的表达式；(2)当02时,求函数g(x)的单调区间；(3)当02时,判断函数g(x)在区间(0,1)上的零点个数,并给予证实.29 .关于x 的方程lg x 1 lg 3 x lg a x ,其中a 是实常数.25.假设 f xlog 2x m 有两个零点x 1,x 2 x 1x 2 2, 2,那么X 4x 2的最小值为假设函数的个数为a 的取值范围是2 一…x ,函数(1)当a 2时,解上述方程(2)根据a的不同取值,讨论上述方程的实数解的个数.,一、… 一、 . 1 2 r130 .函数f(x) xsinx cosx -ax , x [,]2(1)当a 0时,求f(x)的单调区间；(2)当a 0,讨论f(x)的零点个数；31 .函数f(x) sin( x ) b 0,——的相邻两对称轴间的距离为一,假设将f x的................................................... 2 2 2图像先向左平移一个单位,再向下平移1个单位,所得的函数g x为奇函数.12(1)求f x的解析式；(2)假设关于x的方程3(g(x))2m g(x) 2 0在区间0,-上有两个不等实根,求实数m的取值范围.. 一一一 3 _ _. 一- .................32 .函数f (x) x 3ax e, g(x) 1 In x ,其中e为自然对数的底数.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)用max{m,n}表示m,n中较大者,记函数h(x) max{ f(x), g(x)},( x 0).假设函数h(x)在0, 上恰有2个零点,求实数a的取值范围.,一,. 2x2 1 _33 .函数f(x) ------------------ alnx(a R)x(1)讨论f(x)的单调性；a(2)假设方程f (x) 2x有两个不相等的实数根,求证：f(a) 与2e34 .函数f x ln x .(1)求函数g x f x x 1的零点；(2)设函数f x的图象与函数y x -a 1的图象交于A x1 , y1 B x1,y〔X I x2两点,求证：x ,a X1X2 X I；(3)假设k 0,且不等式x21 f x > k x 1 2对一切正实数x恒成立,求k的取值范围.35 .函数f x axcosx 1在0,-上的最大值为吏? 6 6 (1)求a的值；-- 一・、TT ...................... . .. (2)证实：函数f X在区间0,-上有且仅有2个零点.。

高三数学二轮专题突破专题一第3讲函数与方程及函数的应用

第3讲函数与方程及函数的应用【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f (a )·f (b )<0，那么，函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使得f (c )＝0，这个c 也就是方程f (x )＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一； ②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解． 2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一函数的零点例1 (1)(2013·重庆)若a 0)，2x ＋1(x ≤0)，的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. (2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．(1)(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________. 答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1. 考点二与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案 A解析对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx (x <0)，log 3x (x >0)，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案 C解析依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)，若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π(－x 0)＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C. 考点三函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g (12)，0≤a ≤14，g (0)，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等． (2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋8(0<x ≤4)，2x ＋28x －1(x >4).当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 216＋2m (0<x ≤4)，m (x ＋14)2x －2(x >4)，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m(2x －2)2<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可，即167≤m ≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f (x )在区间[a ，b ]上是一个单调函数，那么当f (a )·f (b )<0时，函数f (x )在区间(a ，b )内有唯一的零点，即存在唯一的c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.②如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题(文字语言)⇒建模(数学语言)⇒求解(数学应用)⇒反馈(检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析函数f (x )＝(13)x －log 2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∵0<a f (b )>f (c )．又∵f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0. 若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ，若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ，故x 0>c 不可能成立，故选D. 2．若f (x )＋1＝1f (x ＋1)，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m 有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D解析根据方程与函数关系．设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)，∴f (x )＝1f (x ＋1)－1＝1x ＋1－1，∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m ≤12.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2．若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知，对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立．对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D. 3． (2013·天津)函数f (x )＝2x |log 0.5 x |－1的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 B解析当0<x <1时，f (x )＝2x log 0.5x －1，令f (x )＝0，则log 0.5x ＝⎝⎛⎭⎫12x由y ＝log 0.5x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知，在(0,1)内有一个交点，即f (x )在(0,1)上有一个零点．当x >1时，f (x )＝－2x log 0.5x －1＝2x log 2x －1，令f (x )＝0得log 2x ＝⎝⎛⎭⎫12x ，由y ＝log 2x ，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象知在(1，＋∞)上有一个交点，即f (x )在(1，＋∞)上有一个零点，故选B.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5．已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是 ( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析令f(x)＝|x2－6x|，作图象如下：知f(x)＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，它与直线y＝a交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6．(2013·辽宁)已知函数f(x)＝x2－2(a＋2)x＋a2，g(x)＝－x2＋2(a－2)x－a2＋8.设H1(x)＝max{f(x)，g(x)}，H2(x)＝min{f(x)，g(x)}(max{p，q}表示p，q中的较大值，min{p，q}表示p，q中的较小值)．记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A－B等于() A．a2－2a－16 B．a2＋2a－16C．－16 D．16答案 C解析f(x)＝[x－(a＋2)]2－4－4a，g(x)＝－[x－(a－2)]2＋12－4a，在同一坐标系内作f(x)与g(x)的图象(如图)．依题意知，函数H1(x)的图象(实线部分)，函数H2(x)的图象(虚线部分)．∴H1(x)的最小值A＝f(a＋2)＝－4－4a，H2(x)的最大值B＝g(a－2)＝12－4a，因此A－B＝(－4－4a)－(12－4a)＝－16.7．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点；又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案－12，－13解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6.∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.11．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x －12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3≤a ≤5)的管理费，预计当每件产品的售价为x 元(9≤x ≤11)时，一年的销售量为(12－x )2万件．(1)求分公司一年的利润L (万元)与每件产品的售价x 的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大？并求出L 的最大值Q (a )．解 (1)分公司一年的利润L (万元)与售价x 的函数关系式为L ＝(x －3－a )(12－x )2，x ∈[9,11]．(2)L ′(x )＝(12－x )2－2(x －3－a )(12－x ) ＝(12－x )(18＋2a －3x )．令L ′＝0得x ＝6＋23a 或x ＝12(不合题意，舍去)．∵3≤a ≤5，∴8≤6＋23a ≤283.在x ＝6＋23a 两侧，L ′的值由正变负．所以①当8≤6＋23a <9，即3≤a <92时，L max ＝L (9)＝(9－3－a )(12－9)2＝9(6－a )； ②当9≤6＋23a ≤283，即92≤a ≤5时，L max ＝L ⎝⎛⎭⎫6＋23a ＝⎝⎛⎭⎫6＋23a －3－a ⎣⎡⎦⎤12－⎝⎛⎭⎫6＋23a 2＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，所以Q (a )＝⎩⎨⎧9(6－a )，3≤a <92，4⎝⎛⎭⎫3－13a 3，92≤a ≤5.故若3≤a <92，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝9(6－a )(万元)；若92≤a ≤5，则当每件售价为⎝⎛⎭⎫6＋23a 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值Q (a )＝4⎝⎛⎭⎫3－13a 3(万元)． 13．已知函数f (x )＝e x －m －x ，其中m 为常数．(1)若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，求m 的取值范围； (2)当m >1时，判断f (x )在[0,2m ]上零点的个数，并说明理由．解 (1)f ′(x )＝e x －m －1，令f ′(x )＝0，得x ＝m .故当x ∈(－∞，m )时，e x －m <1，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(m ，＋∞)时，e x －m >1，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝m 时，f (m )为极小值，也是最小值．令f (m )＝1－m ≥0，得m ≤1，即若对任意x ∈R 有f (x )≥0成立，则m 的取值范围是(－∞，1]． (2)由(1)知f (x )在[0,2m ]上至多有两个零点，当m >1时，f (m )＝1－m <0. ∵f (0)＝e －m >0，f (0)f (m )<0， ∴f (x )在(0，m )上有一个零点． ∵f (2m )＝e m －2m ，令g (m )＝e m －2m ， ∵当m >1时，g ′(m )＝e m －2>0，∴g(m)在(1，＋∞)上单调递增，∴g(m)>g(1)＝e－2>0，即f(2m)>0.∴f(m)·f(2m)<0，∴f(x)在(m,2m)上有一个零点．故f(x)在[0,2m]上有两个零点．。

2020高考数学课标二轮：专题能力训练函数与方程及函数的应用含解析

同时函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有一个交点,所以 ≤a<1.
若函数f(x)=2x-a的图象在x<1时与x轴没有交点,则函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1时与x轴有两个不同的交点,当a≤0时,函数f(x)=2x-a的图象与x轴无交点,函数f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在x≥1上与x轴也无交点,不满足题意.
A.4B.6C.8D.10
答案:C
解析:因为f(x)=e-2|x-1|+2sin =e-2|x-1|-2cosπx,所以f(x)=f(2-x).因为f(1)≠0,所以函数零点有偶数个,且两两关于直线x=1对称.当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)∈(0,1],且单调递减;函数y=2cosπx∈[-2,2],且在区间[1,5]上有两个周期,因此当x∈[1,5]时,函数y=e-2(x-1)与y=2cosπx的图象有4个不同的交点;从而所有零点之和为4×2=8,故选C.
故W=
(2)①当0<x≤10时,由W'=8.1- =0,得x=9.当x∈(0,9)时,W'>0;当x∈(9,10]时,W'<0.
所以当x=9时,W取得最大值,
即Wmax=8.1×9- ×93-10=38.6.
②当x>10时,W=98- ≤98-2 =38,
当且仅当 =2.7x,即x= 时,W取得最大值38.
解析:由题意,知f'(x)=ex+1>0恒成立,则函数f(x)在R上是单调递增的,
因为f(0)=e0+0-2=-1<0,f(1)=e1+1-2=e-1>0,所以函数f(x)的零点a∈(0,1).
由题意,知g'(x)= +1>0,

2020届高考数学二轮复习专题1集合、函数、导数、方程、不等式第3讲函数与方程课件理

f′(x)＜0得2x(2x2－1)＞0，得x＞
2 2
或－
2 2
＜x＜0，此时函数单调递减，排除C．故
选D．
(2)函数y＝
x4lg|x| |x|
是偶函数，排除B．当x>1时，y>0，函数图象在x轴上方，排除
A．当x＞0时，y＝x3lg x，y′＝3x2lg x＋x2lg e，可知x＝ 1 是函数的一个极值点，排 3 e
3．(2019年新课标Ⅱ)已知函数f(x)＝ln x－xx＋－11. (1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点； (2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝ ex的切线．
【解析】(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． f′(x)＝1x＋x－212＞0(x＞0且x≠1) ∴f(x)在(0,1)和(1，＋∞)上单调递增，在(0,1)上，fe12＜0，f1e＞0，∴f(x)在(0,1)上有且仅有一个零点；在(1，＋∞)上，f(e)＜0，f(e2)＞0，∴f(x)在(1，＋∞)上有且仅有一个零点． ∴故f(x)在定义域内有且仅有两个零点．
＝
－sin x－x cos x＋x2
＝－f(x)，则f(x)为[－π，π]上的奇函数，图象关于原点对称，排除A．又
f(π)＝csoins ππ＋＋ππ2＝π2－π 1>0，因此排除B，C．故选D．
辨识函数图象的两种方法 1．直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象． 2．利用间接法，排除、筛选错误与正确的选项，可从以下几个方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的周期性，判断图象的循环往复； (5)从特殊点出发，排除不符合要求的选项．

高考数学二轮复习方案第3讲函数、方程及函数的应用课件文课标版

第3讲 │ 要点热点探究
► 探究点一函数的零点和方程根的分布
例 1(1)[2011·山东卷] 已知函数 f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且 a≠1)．当 2＜a＜3＜b＜4 时，函数 f(x)的零点 x0∈(n，n＋1)， n∈N*，则 n＝________.
(2)[2011·陕西卷] 方程|x|＝cosx 在(－∞，＋∞)内( ) A．没有根 B．有且仅有一个根 C．有且仅有两个根 D．有无穷多个根
f(1)＝－2
f(1.5)＝ 0.625
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
f(1.25)≈ －0.984
[2011·天津卷] 对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝
a，a－b≤1， b，a－b>1.
设函数 f(x)＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R，若函
数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取
值范围是( )
A．(－1,1]∪(2，＋∞) B．(－2，－1]∪(1,2]
第3讲函数、方程及函数的应用
第3讲函数、方程及函数的应用
第3讲 │ 主干知识整合
主干知识整合
1．函数的零点方程的根与函数的零点的关系：由函数的零点的定义可知，函数 y＝f(x)的零点就是方程 f(x)＝0 的实数根，也就是函数 y＝f(x)的图象与 x 轴的交点的横坐标．所以，方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．
第3讲 │ 要点热点探究
【分析】 (1)从对数函数的单调性入手，借助函数零点定理，进一步确定 n 的值；(2)把方程解的问题转化为函数图象的交点，进而得出方程根的情况．
(1)2 (2)C 【解析】 (1)本题考查对数函数的单调性与函数零点定理的应用．因为 2＜a＜3，所以 loga2 ＜1＝logaa＜loga3，因为 3＜b＜4，所以 b－2>1>loga2， b－3＜1＜loga3，所以 f(2)·f(3)＝ (loga2＋2－b)·(loga3 ＋3－b)＜0，所以函数的零点在(2,3)上，所以 n＝2.(2) 如图所示，由图象可得两函数图象有两个交点，故方程有且仅有两个根，故答案为 C.

2020高考数学二轮复习第3讲函数与方程函数的应用专题限时集训(理)

专题限时集训(三)[第3讲函数与方程、函数的应用](时间：10分钟＋35分钟)1．函数f (x )＝2x－x －2的一个零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)2．函数f (x )＝ln x ＋x －2的零点所在区间是( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)3．函数f (x )＝3cos πx 2－log 12x 的零点的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．54．里氏震级M 的计算公式为：M ＝lg A －lg A 0，其中A 是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，A 0是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅为0.001，则此次地震的震级为________级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的________倍．1．a 是f (x )＝2x－log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定2．若函数f (x )＝e x －x 3，x ∈R ，则函数的极值点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．33．函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点4．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10公里处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万和8万，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5公里处B ．4公里处C ．3公里处D ．2公里处5．在用二分法求方程x 3－2x －1＝0的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(1,2)内，则下一步可断定该根所在的区间为________．6．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.若在区间(－2,6]内关于x 的方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)恰有3个不同的实数根，则a 的取值范围是________．7.某食品厂进行蘑菇的深加工，每公斤蘑菇的成本为20元，并且每公斤蘑菇的加工费为t 元(t 为常数，且2≤t ≤5)，设该食品厂每公斤蘑菇的出厂价为x 元(25≤x ≤40)，根据市场调查，销售量q 与e x成反比，当每公斤蘑菇的出厂价为30元时，日销售量为100公斤．(1)求该工厂的每日利润y 元与每公斤蘑菇的出厂价x 元的函数关系式； (2)若t ＝5，当每公斤蘑菇的出厂价x 为多少元时，该工厂的利润y 最大，并求最大值．8.广东某民营企业主要从事美国的某品牌运动鞋的加工生产，按国际惯例以美元为结算货币，依据以往加工生产的数据统计分析，若加工产品订单的金额为x 万美元，可获得的加工费近似为12ln(2x ＋1)万美元，受美联储货币政策的影响，美元贬值，由于生产加工签约和成品交付要经历一段时间，收益将因美元贬值而损失mx 万美元，其中m 为该时段美元的贬值指数，m ∈(0,1)，从而实际所得的加工费为f (x )＝12ln(2x ＋1)－mx (万美元)．(1)若某时期美元贬值指数m ＝1200，为确保企业实际所得加工费随x 的增加而增加，该企业加工产品订单的金额x 应在什么范围内？(2)若该企业加工产品订单的金额为x 万美元时共需要的生产成本为120x 万美元，已知该企业加工生产能力为x ∈[10,20](其中x 为产品订单的金额)，试问美元的贬值指数m 在何范围时，该企业加工生产将不会出现亏损．专题限时集训(三)【基础演练】1．B 【解析】根据函数的零点存在定理进行判断．f (0)＝1－2<0，f (1)＝1－2<0，f (2)＝2－2>0，f (3)＝5－2>0，f (4)＝12－2>0.根据函数的零点存在定理，函数f (x )的一个零点所在的区间是(1,2)．2．B 【解析】根据函数的零点存在定理进行判断．f (0)无意义，但在x 接近零时，函数值趋向负无穷大，f (1)＝－1<0，f (2)＝ln2>0，f (3)＝ln3＋1>0，f (4)＝ln4＋2>0.根据函数的零点存在定理可得，函数f (x )零点所在的区间是(1,2)．3．D 【解析】把函数的零点个数转化为函数y ＝3cos π2x 、y ＝log 12x 图象的交点个数，在同一个坐标系中画出这两个函数的图象，根据函数图象并结合数据分析．两函数图象，如图．函数y ＝3cos π2x 的最小正周期是4，在x ＝8时，y ＝log 128＝－3，结合函数图象可知两个函数的图象只能有5个交点，即函数f (x )＝3cosπx 2－log 12x 有5个零点．4．6 10000 【解析】由M ＝lg A －lg A 0知，M ＝lg1000－lg0.001＝6，所以此次地震的级数为6级．设9级地震的最大振幅为A 1,5级地震的最大振幅为A 2，则lg A 1A 2＝lg A 1－lg A 2＝()lg A 1－lg A 0－()lg A 2－lg A 0＝9－5＝4.所以A 1A 2＝104＝10000.所以9级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的10000倍．【提升训练】1．B 【解析】函数f (x )＝2x－log 12x 在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，这个零点是唯一的，根据函数的单调递增性，在(0，a )上这个函数的函数值小于零，即f (x 0)<0.在定义域上单调的函数如果有零点，则只能有唯一的零点，并且以这个零点为分界点把定义域分成两个区间，在其中一个区间内函数值都大于零，在另一个区间内函数值都小于零．2．D 【解析】 f ′(x )＝e x －3x 2，令g (x )＝e x －3x 2，g ′(x )＝e x－6x ，结合图象不难知道g ′(x )＝0有两个异号零点x 1，x 2，当x 1<x 2时，x 1是函数g (x )的极大值点，x 2是函数g (x )的极小值点，故函数g (x )在(－∞，x 1)上单调递增，在(x 1，x 2)上单调递减，在(x 2，＋∞)上单调递增，函数g (x )最多存在三个零点，而g (－1)＝1e －3<0，g (0)＝1>0，g (1)＝e－3<0，g (8)＝e 8－3×64>28－192＝256－192>0，故函数g (x )在区间(－1,0)，(0,1)，(1,8)内各有一个零点，即函数g (x )至少有三个零点，但函数g (x )至多有三个零点，故函数g (x )有且只有三个零点，即函数f (x )有三个极值点．3．B 【解析】在同一个坐标系中作出y ＝x 与y ＝cos x 的图象如图，由图象可得函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)上只有一个零点．4．A 【解析】设仓库建在离车站x 公里处，则y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，根据给出的初始数据可得k 1＝20，k 2＝0.8，两项费用之和y ＝20x＋0.8x ≥8，等号当且仅当x ＝5时成立．5.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 【解析】因为f (1)<0，f (2)>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝278－3－1<0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32f (2)<0，所以由已知可得出下一步断定该根在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2内．6．(34，2) 【解析】根据f (x －2)＝f (x ＋2)，可得f (x )＝f (x ＋4)，即函数f (x )是周期为4的函数，在同一个坐标系中分别画出函数f (x )和函数y ＝log a (x ＋2)的图象，如图．若方程f (x )－log a (x ＋2)＝0在区间(－2,6]内只有3个不同的实数根，则就是函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log a (x ＋2)的图象只有三个不同的交点，由函数图象可得在x ＝6时，函数y ＝log a (x ＋2)的图象在函数y ＝f (x )的图象上方，而在x ＝2处，函数y ＝log a (x ＋2)的图象在函数y ＝f (x )的图象下方，由此得到实数a 需满足不等式log a 8>3且log a 4<3，即log 2a <1且log 4a >13，即34<a <2.7．【解答】 (1)设日销量q ＝k e x ，则ke 30＝100，∴k ＝100e 30，∴日销量q ＝100e30e x ，∴y ＝100e 30x －20－tex(25≤x ≤40)．(2)当t ＝5时，y ＝100e30x －25ex，y ′＝100e 3026－xex，由y ′>0，得x <26，由y ′<0，得x >26，∴y 在[25,26)上单调递增，在(26,40]上单调递减，∴当x ＝26时，y max ＝100e 4.当每公斤蘑菇的出厂价为26元时，该工厂的利润最大，最大值为100e 4元． 8．【解答】 (1)由已知m ＝1200得，f (x )＝12ln(2x ＋1)－x200，其中x >0. ∴f ′(x )＝12x ＋1－1200＝199－2x2002x ＋1. 由f ′(x )>0，即199－2x >0，解得0<x <99.5，即加工产品订单金额x ∈(0,99.5)(单位：万美元)，该企业的加工费随x 的增加而增加． (2)依题设企业加工生产不出现亏损，则当x ∈[10,20]时，都有12ln(2x ＋1)－mx ≥120x ，由12ln(2x ＋1)－mx ≥120x 得120＋m ≤ln 2x ＋12x.令g (x )＝ln 2x ＋12x，x ∈[10,20]，则g ′(x )＝22x ＋1·x －ln 2x ＋12x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x 22x ＋1. 令h (x )＝2x －(2x ＋1)ln(2x ＋1)，则h ′(x )＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤2ln2x ＋1＋2x ＋122x ＋1 ＝－2ln(2x ＋1)<0，可知h (x )在[10,20]上单调递减，从而h (20)≤h (x )≤h (10)．又h (10)＝20－21ln21<21(1－ln21)<0，即x ∈[10,20]时，可知g (x )在[10,20]上单调递减，因此g min (x )＝ln4140，即m ≤ln4140－120.故当美元的贬值指数m ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，ln41－240时，该企业加工生产不会亏损．。

2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版

2019-2020年高考数学第二轮专题复习教案函数的性质及其应用人教版考情动态分析函数是高中数学中的重要内容，函数的观点和方法贯穿整个高中数学的全过程，函数也是一条纽带，它把中学数学各个分支紧紧地连在一起，特别是新教材中的导数的涉入，使函数的内容更加充实、方法更加灵活，自然就成为高考的重点和热点．近几年高考试题中函数部分占有相当大的比重，所考查的内容主要有函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、反函数以及函数图象的变换等．其中多项式函数（含二次函数）、指数函数、对数函数仍是重点考核的内容．高考主要涉及：①直接通过具体函数考查某些性质；②以导数为工具围绕函数、不等式、方程综合考查；③函数与解析几何、数列等内容结合在一起，以曲线方程的变换、参数范围的探求及最值问题等综合性强的新颖试题．如xx年高考试题中的3、5、7、9题，xx年高考试题（江苏卷）中的8、11、22题，xx年高考试题（江苏卷）中的2、13、15、17、22题．二轮复习时要注意引导学生用函数的思想和方法去看待问题、解决问题，并揭示其内在联系．纵观近几年来的高考试题，以基础层次或中档难度的试题考查函数的图象，特别是图象的平移、对称变换，充分体现了图象在解题中的作用（数形结合的思想）．以中等难度、组合形式一题多角度考查函数的性质预计成为新的热点或方向．函数极易与不等式、方程、最值、参数的取值范围的探求及数形结合、解析几何综合在一起编拟综合性较强的高档解答题来测试对函数思想方法的理解与灵活运用，考查等价转化及数形结合、分类讨论等解题策略的理解和掌握程度．§1.1 函数的性质考点核心整合函数的性质主要体现在五个方面：1．能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域．确定函数定义域时，常从以下几个方面考虑：（1）分式的分母不等于0；（2）偶次根式被开方数大于等于0；（3）对数式的真数大于零，底数大于0且不等于1；（4）指数为0时，底数不等于0．定义域经常和判定函数的奇偶性、求函数单调区间、求参数范围或解函数相关不等式相关联，在函数有意义的条件下转化求解．2．函数的值域在函数y= f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．确定函数的值域的原则：（1）当函数y = f(x)用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y的集合；（2）当函数y = f(x)用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上的投影所覆盖的实数y 的集合；（3）当函数y = f (x )用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定；（4）当函数由实际问题给出时，函数的值域由实际问题的实际意义确定．值域的求法比较多，注意选择不同条件的适用性．如：判别式法、三角代换法、反函数法、不等式法、单调性法、图象法、数形结合法、导数法．值域往往与实际问题中的最优值或数列问题相关联． 3．函数的奇偶性如果对于函数y = f (x )定义域内的任意一个x ，都有f (-x ) = – f (x )[ f (-x ) = f (x )] ，那么函数f (x )就叫做奇函数（偶函数）．在此定义中，只有当函数定义域在数轴上所表示的区间关于原点对称，这个函数才可能具有奇偶性，然后再作判断． 4．函数的单调性函数的单调性是函数的又一个重要性质．给定区间D 上的函数f (x )，若对于任意x 1、x 2∈D ，当x 1＜x 2时，都有f (x 1)＜f (x 2) [f (x 1)＞f (x 2)]，则称在区间D 上为单调函数．反映在图象上，若函数f (x )是区间D 上的增（减）函数，则图象在D 上的部分从左向右是上升（下降）的．或如果函数f(x)在给定区间(a ，b )上恒有f '(x )＞0[f '(x )＜0]，则称f (x )在区间(a ，b )上是增（减）函数，(a ，b )为f (x )的单调增（减）区间． 5．函数的周期性设函数y = f (x )，x ∈D ，如果存在非零常数T ，使得任何x ∈D ，都有f (x + T ) = f (x )，则函数f (x )为周期函数，T 为y = f (x )的一个周期．周期性往往和单调性、奇偶性、函数的图象及其解析式相关联出现．注意从代数变换角度分析．考题名师诠释【例1】设函数f (x ) = - x1 + |x |（x ∈R ），区间M = [a ，b ](a ＜b ），集合N = {y |y = f (x )，x ∈M }，则使M = N 成立的实数对(a ，b )A ．0个B ．1个C ．2个D 解析由f (-x ) = -f (x )，可得f (x ) = - x1 + |x |是奇函数，故f (x )的图象关于原点成中心对称．当x ＞0时，f (x ) = -x1 + x，据此可以作出f (x )在x ∈R 上的图象（如图所示）．观察f (x )的图象可知，f (x )在R 上是减函数，要使M = [a ，b ](a ＜b )与N = {y |y = f (x )，x ∈M }相等，必须a ＜0，b ＞0（由图可知a 、b 同号显然不能满足题意）．故有⎩⎨⎧ f (a ) = b ，f (b ) = a ．即⎩⎨⎧ - a 1 - a = b ， - b 1 - b = a ．，解得a = b = 0，与题设a ＜b 矛盾，从而不存在满足题意的实数对(a ，b )，应选A ．答案 A评述本题为存在性问题，它融函数的定义域、值域、奇偶性、单调性及函数图象于一炉，颇有新意，解题时要善于从函数表达式中捕捉函数的性质，通过考察函数图象的特征来处理问题，这就需要我们有较强的数形转化能力．【例2】已知函数f (x ) = 13x 3 + 12ax 2+ 2bx + c 在(0，1)内取得极大值，在(1，2)内取得极小值，求b - 2a - 1的取值范围．解 f '(x ) = x 2+ ax + 2b ．依题意，方程x 2+ ax + 2b = 0的一个根大于0且小于1，另一个根大于1且小于2．于是⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>'<'>'0)2(0)1(0)0(f f f ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<++>++>012020b a b a b不等式组表示的平面区域如右图所示，其中A (-2，1)，B (-1，0)，D (1，2)．设C (a ，b )为可行域（阴影部分）内任一点，而b - 2a - 1的几何意义为直线CD 的斜率．由图可知k BD ＞k CD ＞k AD ，故 14＜b - 2a - 1＜1．评述通过对函数f (x )求导，将f (x )在(0，1)内取得极大值、在(1，2)内取得极小值的问题转化为研究二次方程f '(x ) = x 2+ ax + 2b = 0根的分布问题，利用二元一次不等式组的几何背景，联系斜率公式，运用数形结合的数学思想求得取值范围．深化拓展若此题条件不变，结论改为：求a 2+ b 2的取值范围．答案：1＜a 2+ b 2＜5【例3】设偶函数f (x )在区间[a ，b ]上是增函数（b ＞a ＞0），试判断F (x ) = (12)f (x ) – x在区间[-b ，-a ]上的单调性，并加以证明．解 ∵f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上单调递增．∴f (x )在[-b ，-a ]上单调递减，f (x ) - x 在[-b ，-a ]上单调递减．故F (x ) = (12)f (x ) - x在[-b ，-a ]上单调递增．证明：设-b ≤x 1＜x 2≤-a ，a ≤-x 2＜-x 1≤b ，∴F (x 1)F (x 2) = (12)f (x 1) - x 1(12)f (x 2) - x 2 = (12)f (x 1) – f (x 2) + (x 2 – x 1) = (12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)． ∵f (x )在上[a ，b ]单调递增，f (–x 1)＞f (–x 2)，∴f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＞0．∴0＜(12)f (–x 1) – f (–x 2) + (x 2 – x 1)＜1．∴F (x 1)F (x 2)＜1．故F (x 1)＜F (x 2)．∴F (x )为[-b ，-a ]上的增函数．评述本题是采用定义法证明函数的单调性，也是最通用的方法，此外还有利用基本函数性质递推、导数法等方法．【例4】（xx 年上海模拟）已知集合M D 上满足下列性质的函数的全体：对于定义在D 中的任何两个自变量x 1、x 2(x 1≠x 2)，都有|f (x 1) – f (x 2)|＜|x 1 – x 2|成立．（1）当D = R 时，f (x ) = x cos+ sin[∈(0，π)]是否属于M D ，为什么？（2）当D = R +时，试证明函数f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）是否存在一个集合D R +时，使得函数f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ？给出你的结论，并说明理由．（1）解设任意x 1、x 2∈R (x 1≠x 2)，|f (x 1) – f (x 2)| = |( x 1 – x 2)cos| = |cos|| x 1 – x 2|，∵∈(0，π)，∴|cos|∈[0，1）．又∵| x 1 – x 2|＞0，∴|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立．故f (x ) = x cos+ sin ，∈(0，π)属于M D ．（2）证明当D = R +时，f (x ) = a x(0＜a ＜1)不属于M D ．举例：令x 1 = a n，x 2 =a n + 1（n ∈N *），此时| x 1 – x 2| = |a n – a n + 1| = an (n + 1)＜a ．而|f (x 1) – f (x 2)| = |n – (n + 1)| = 1＞a ，则|f (x 1) – f (x 2)|＞| x 1 – x 2|． ∴f (x ) = ax(0＜a ＜1)不属于M D ．（3）解存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．设x 1、x 2∈R +，且x 1≠x 2．若|f (x 1) – f (x 2)| = |a x 1 – a x 2|=a | x 1 – x 2|x 1x 2＜| x 1 – x 2|成立，∵| x 1 – x 2|＞0，∴只需x 1x 2＞a 成立．故存在D = (a ，+∞)时，任取x 1、x 2∈(a ，+∞)都有|f (x 1) – f (x 2)|＜| x 1 – x 2|成立． ∴存在一个集合D R +，使f (x ) = a x(0＜a ＜1)属于M D ．（注：D 的存在是不唯一的，对于的非空子集均正确）考能提升训练一、选择题1．（xx 年全国卷Ⅰ，理7）设b ＞0，二次函数y = ax 2+ bx + a 2– 1的图象为下列之一，则a 的值为……………………… （） A ．1B ．-1C ．-1-52D ．-1+52（1）（2）（3）（4）2．设函数f (x )是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f (1)＞0，f (2) = (a + 1)(2a – 3)，则a 的取值范围是…………………………………………………… （） A ．a ＜32B ．a ＜32且a ≠-1C ．a ＞32或a ＜-1D ．-1＜a ＜323．(xx 年黄冈模拟)设函数f (x ) = log a x (a ＞0且a ≠1)，若f (x 1x 2…x xx ) = 8，则f (x 12) + f (x 22)+ … + f (x xx 2)的值等于………………………………… （） A ．4B ．8C ．16D ．2log a 84．函数在y = a x 在[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a 等于………………（） A ．12B ．2C ．4D ．145．(xx 年全国卷Ⅰ，8)设0＜a ＜1，函数f (x ) = log a (a 2x– 2a x– 2)，则使f (x )＜0的x的取值范围是 A ．(-∞，0) B ．(0，+∞) C ．(-∞，log a 3) D ．(log a 3，+∞)二、填空题6．(xx 年北京海淀模拟)函数y = x 2的图象F 按向量a = (3，-2)平移得到F'，则F' 的解析式为．7．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (12 - x ) = f (12 + x )，则f (1) + f (2) + f (3) = ．三、解答题8．已知函数y = 12log a (a 2x )·log a (ax )(2≤x ≤4)的最大值是0，最小值是- 18，求a 的值．9．已知f (x )是定义在[-1，1]上的奇函数，当a 、b ∈[-1，1]，且a + b ≠0时，有f (a ) + f (b )a + b＞0．（1）判断函数f (x )的单调性，并给以证明；（2）若f (1) = 1，且f (x )≤m 2– 2bm + 1对所有x ∈[-1，1]，b ∈[-1，1]，恒成立，求实数m 的取值范围．10．(xx 年山东卷，19)已知x = 1是函数f (x ) = mx 3– 3(m + 1)x 2+ nx + 1的一个极值点，其中m 、n ∈R ，m ＜0．（1）求m 与n 的关系表达式；（2）求f (x )的单调区间；（3）当x ∈[-1，1]时，函数y = f (x )的图象上任意一点的斜率恒大于3m ，求m 的取值范围．简明参考答案一、1．B 2．D 3．C 4．B 5．C 二、6．y = x 2– 6x + 7 7．0三、8．129．（1）增函数，证明略；（2）m ∈(-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞)． 10．（1）n = 3m + 6；（2）f (x )在(-∞，1 + 2m )，（1，+∞）上单调递减，在(1 + 2m，1)上单调递增；（3）-43＜m ＜0．。

高考数学二轮复习专题限时集训第3讲函数与方程、函数模型及其应用配套作业理（解析版）

专题限时集训三
[第3讲函数与方程、函数模型及其应用]
时间：45分钟
1．已知偶函数f，当>0时，f＝错误!＋ne＝ 2…为自然对数的底数，则函数f的零点不可能在的区间为
A．－1，0 B．0，1
C．－错误!，错误!，1
2．有一组实验数据，如下表：
A．v＝og2t B．v＝2t－2
C．v＝错误! D．v＝2t－2
3．若a>2，则函数f＝错误!3－a2＋1在0，2内零点的个数为
A．3 B．2 C．1 D．0
4．函数f＝3co错误!－og2－错误!的零点个数为
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图3－1的函数图象与轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是
图3－1
6．一矩形铁皮的长为8 cm，宽为5 cm，在四个角上截去四个相同的小正方形，制成一个无盖的小盒子，盒子容积的最大值是
A．12 cm3 B．15 cm3 C．18 cm3 D．16 cm3
7．已知函数f＝错误!则下列关于函数＝f[f]＋1的零点个数的判断正确的是
A．当>0时，有3个零点；当0时，有4个零点；当40 km50 km3a5a2a4a3a5a3a20 km20 km2a3a0，即0≤<a
②可化为≤2a－t，∴≤错误!，
因为t∈[0，1]，所以错误!<a
综上可得函数f＝4a－，定义域为错误!，其中t为常数，且t∈[0，1]．
2＝4a－＝－4错误!错误!a＝a2，
当错误!<错误!，即0≤t<错误!时，＝4a－在错误!上为增函数，∴当＝错误!时，ma＝错误!
答：当错误!≤t≤1时，投入＝错误!，附加值最大，为a2万元；
当0≤t<错误!时，投入＝错误!，附加值最大，为错误!万元．。

名师伴你行高考数学理二轮复习课件：3函数与方程及函数的应用

题
体
所以 b≠2，排除 A.
验
专
当 b＝1 时，
题限
时
热点
当 x>2 时，方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2－5x＋7＝0，无解；
训练
考向
当 0≤x≤2 时，方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 1－x＝2－x，无解；
突
破
当 x<0 时，方程 f(x)－g(x)＝0 可化为 x2＋x＋1＝0，无解．
第一部分专题一第3讲第22页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
(2)答案：B
解析：函数 h(x)＝f(x)－g(x)的零点个数可转化为函数 f(x)与
高考
g(x) 图象的交点个数，作出函数
f(x) ＝ x － [x] ＝
真题
…，
体验
x＋1，－1≤x<0，
x，0≤x<1，
(5)分段函数模型：f(x)＝ghxx，，xx∈ ∈AA12， (A1∩A2＝∅)
．
第一部分专题一第3讲第5页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
2．重要性质
高
(1)函数的零点及其与方程根的关系
考
真题
对于函数 f(x)，要使 f(x)＝0 的实数 x 叫做函数 f(x)的零点，
体
考真
(1)直接求零点：令 f(x)＝0，则方程解的个数即为零点的个数．
题
体验
(2)零点存在性定理：利用该定理不仅要求函数在[a，b]上是专
题
连续的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单
限时
热点

备战高考数学二轮专题复习专题1第3讲函数、方程及函数的应用课件文新人教版

第3讲 │ 主干知识整合
二、二分法 1．二分法的条件：函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且 f(a)f(b)<0. 2．二分法的思想：通过二等分，无限逼近． 3．二分法的步骤：其中给定精确度 ε 的含义是区间 (a，b)长度|a－b|<ε，不能认为是函数零点近似值的精度．
第3讲 │ 要点热点探究
【解答】 (1)设相遇时小艇的航行距离为 S 海里，则 S＝ 900t2＋400－2·30t·20－cos90°－30° ＝ 900t2－600t＋400 ＝ 900t－132＋300. 故当 t＝13时 Smin＝10 3，v＝101 3＝30 3，
3 即小艇以 30 3海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．
第3讲 │ 要点热点探究
【点评】关于解决函数的实际应用问题，首先要在阅读上下功夫，一般情况下，应用题文字叙述比较长，要耐心、细心地审清题意，弄清各量之间的关系，再建立函数关系式，然后借助函数的知识求解，解答后再回到实际问题中去．本题中弄清“销量”、“售价”、“生产成本”、“促销费”、 “利润”等词的含义后列出函数关系式是解决本题的关键．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)为保证小艇在 30 分钟内(含 30 分钟)能与轮船相遇，试确定小艇航行速度的最小值；
(3)是否存在 v，使得小艇以 v 海里/小时的航行速度行驶，总能有两种不同的航行方向与轮船相遇？若存在，试确定 v 的取值范围；若不存在，请说明理由．
又 t＝0 时，x＝1. ∴3－1＝0＋k 1，解得 k＝2. ∴x 与 t 的关系式是 x＝3－t＋2 1(t≥0)．
第3讲 │ 要点热点探究

高考数学二轮专题复习训练：专题第讲函数与方程及函数的应用

第3讲函数与方程及函数的应用(推荐时间：60分钟)一、填空题1．(2011·福建改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值为________．2．(2011·陕西)设n ∈N ＋，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数．．根的充要条件是n ＝________.3．函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)上存在一个零点，则a 的取值范围是________．4．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．5．函数f (x )对一切实数x 都满足f ⎝⎛⎭⎫12＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫12－x ，并且方程f (x )＝0有三个实根，则这三个实根的和为________．6．已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为________万件． 7．若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且x ∈(－1,1]时f (x )＝|x |，则方程f (x )＝lg|x |的解的个数为______．8．设a >1，函数y ＝|log a x |的定义域为[m ，n ] (m <n )，值域为[0,1]，定义“区间[m ，n ]的长度等于n －m ”，若区间[m ，n ]长度的最小值为56，则实数a 的值为________． 9．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ， x ≥2，(x －1)3， x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．10．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1) (k ∈N *)，则k 的值为________．11．设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为____________．二、解答题12．经市场调查，某超市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t (天)的函数，且销售量近似满足g (t )＝80－2t (件)，价格近似满足f (t )＝20－12|t －10|(元)． (1)试写出该种商品的日销售额y 与时间t (0≤t ≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y 的最大值与最小值．13.某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f (x )的表达式；(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？14．某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A ，B 及CD 的中点P 处，已知AB ＝20 km ，CB ＝10 km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上(含边界)，且与A ，B 等距离的一点O 处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO ，BO ，OP ，设排污管道的总长为y km.(1)按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO ＝θ(rad)，将y 表示成θ的函数关系式；②设OP ＝x (km)，将y 表示成x 的函数关系式．(2)请你选用(1)中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使三条排污管道总长度最短．答案1．－3 2．3或4 3．a >15或a <－1 4．2 5. 326．9 7．18 8．6 9．(0,1) 10．3 11．{0,3,14,30}12．解 (1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|) ＝(40－t )(40－|t －10|)＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t )， 0≤t <10，(40－t )(50－t )， 10≤t ≤20. (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1 200,1 225]，在t ＝5时，y 取得最大值为1 225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1 200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.答总之，第5天日销售额y 取得最大值为1 225元；第20天日销售额y 取得最小值为600元．13．解 (1)当0<x ≤100时，p ＝60；当100<x ≤600时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x .∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧60， 0<x ≤100，62－0.02x ， 100<x ≤600. (2)设利润为y 元，则当0<x ≤100时，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时，y ＝(62－0.02x )x －40x ＝22x －0.02x 2. ∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧20x ， 0<x ≤100，22x －0.02x 2， 100<x ≤600.当0<x ≤100时，y ＝20x 是单调增函数，当x ＝100时，y 最大，此时y ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时，y ＝22x －0.02x 2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，此时y ＝6 050.显然6 050>2 000.所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．14．解 (1)延长PO 交AB 于Q ，①由条件知PQ 垂直平分AB ，若∠BAO ＝θ(rad)，则OA ＝AQ cos ∠BAO ＝10cos θ，所以OB ＝10cos θ. 又OP ＝10－10tan θ，所以y ＝OA ＋OB ＋OP＝10cos θ＋10cos θ＋10－10tan θ，故所求函数关系式为y ＝20－10sin θcos θ＋10 ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4. ②若OP ＝x (km)，则OQ ＝(10－x ) (km)，所以OA ＝OB ＝(10－x )2＋102＝x 2－20x ＋200. 故所求函数关系式为y ＝x ＋2x 2－20x ＋200 (0≤x ≤10)．(2)选择函数模型①， y ′＝－10cos θ·cos θ－(20－10sin θ)(－sin θ)cos 2θ＝10(2sin θ－1)cos 2θ，令y ′＝0，得sin θ＝12，因为0≤θ≤π4，所以θ＝π6. 当θ∈⎣⎡⎭⎫0，π6时，y ′<0，y 是θ的减函数；当θ∈⎝⎛⎦⎤π6，π4时，y ′>0，y 是θ的增函数，所以当θ＝π6时，y min ＝20－10×1232＋10＝(103＋10) (km)．这时点O 位于线段AB 的中垂线上，且距离AB 边1033km 处．。

2019-2020年高考数学二轮复习专题一第3讲函数与方程及函数的应用(含解析)

2019-2020年高考数学二轮复习专题一第3讲函数与方程及函数的应用（含解析）【高考考情解读】 1.本讲主要考查函数的零点，常以分式、绝对值不等式、对数式、三角函数为载体；考查确定零点的个数、存在区间及应用零点存在情况求参数值或取值范围；函数的实际应用常以实际生活为背景，与最值、不等式、导数、解析几何等知识交汇命题.2.函数的零点主要是以选择题、填空题的形式考查，以基础知识为主，而函数的实际应用则主要以解答题的形式出现，属中、高档题．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．函数模型解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.考点一函数的零点例1 (1)(xx·重庆)若a 0，2x ＋1x ≤0，的零点个数是( ) A ．0B ．1C ．2D ．3答案 (1)A (2)D解析 (1)由于a 0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A. (2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标． (1)(xx·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3(2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3b ＝2，则n ＝________. 答案 (1)B (2)－1解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2>0，所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，所以有1个零点．(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，当x ＝－1时，y 1＝1a ＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32，∴－1<x 0<0，∴n ＝－1. 考点二与函数有关的自定义问题例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12－伴随函数”至少有一个零点．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．答案 A解析对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．对于③，若f (x )＝x 2是一个“λ－伴随函数”，则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．对于④，若f (x )是“12－伴随函数”，则f (x ＋12)＋12f (x )＝0，取x ＝0，则f (12)＋12f (0)＝0，若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；若f (0)，f (12)均不为0，则f (0)，f (12)异号，由零点存在性定理，知f (x )在(0，12)内存在零点x 0，所以④正确．故选A.函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx x <0，log 3x x >0，则f (x )的图象上的“镜像点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案 C解析依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)，若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π－x 0＝cos πx 0，所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C. 考点三函数模型及其应用例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a是与气象有关的参数，且a ∈[0，12]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．2(2)利用换元法把函数f(x)转化成g(t)＝|t－a|＋2a＋3，再把函数g(t)写成分段函数后求M (a )．解 (1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x ∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]．(2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎨⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12]上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76，g (0)－g (12)＝2(a －14)．故M (a )＝⎩⎨⎧ g12，0≤a ≤14，g0，14<a ≤12.即M (a )＝⎩⎨⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76<2显然成立；由⎩⎨⎧3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49， ∴当且仅当0≤a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．(1)解答函数应用题的关键将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等． (2)对函数模型求最值的常用方法单调性法、基本不等式法及导数法．(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎨⎧x 216＋2，0<x ≤4，x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？ (2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时， y ＝⎩⎨⎧x 24＋80<x ≤4，2x ＋28x －1x >4.当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意．当x >4时2x ＋28x －1≥4，解得4<x ≤16.综上0<x ≤16.所以自来水达到有效净化一共可持续16天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎨⎧mx 216＋2m 0<x ≤4，mx ＋142x －2x >4，得当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；当x >4时，y ′＝－30m 2x －22<0，∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m4≤y <3m ，综上知，7m4≤y ≤3m ，为使4≤y ≤10恒成立，只要7m4≥4且3m ≤10即可，即167≤m ≤103. 所以应该投放的药剂量m 的最小值为167.1．函数与方程(1)函数f (x )有零点⇔方程f (x )＝0有根⇔函数f (x )的图象与x 轴有交点． (2)函数f (x )的零点存在性定理如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，并且有f (a )·f (b )<0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使f (c )＝0.①如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且函数f(x)在区间[a，b]上是一个单调函数，那么当f(a)·f(b)<0时，函数f(x)在区间(a，b)内有唯一的零点，即存在唯一的c∈(a，b)，使f(c)＝0.②如果函数f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的曲线，并且有f(a)·f(b)>0，那么，函数f (x )在区间(a ，b )内不一定没有零点．③如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的曲线，那么当函数f (x )在区间(a ，b )内有零点时不一定有f (a )·f (b )<0，也可能有f (a )·f (b )>0.2．函数综合题的求解往往应用多种知识和技能．因此，必须全面掌握有关的函数知识，并且严谨审题，弄清题目的已知条件，尤其要挖掘题目中的隐含条件．要认真分析，处理好各种关系，把握问题的主线，运用相关的知识和方法逐步化归为基本问题来解决． 3．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．1．已知函数f (x )＝(13)x －log 2x ，实数a ，b ，c 满足f (a )·f (b )·f (c )<0(0<a bC ．x 0<cD ．x 0>c答案 D解析函数f (x )＝(13)x －log 2x在其定义域(0，＋∞)上是减函数， ∵0<a f (b )>f (c )．又∵f (a )f (b )f (c )<0，则f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，或者f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0. 若f (a )<0，f (b )<0，f (c )<0，则x 0<a ，若f (a )>0，f (b )>0，f (c )<0，则b <x 0<c ，故x 0>c 不可能成立，故选D.2．若f (x )＋1＝1f x ＋1，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，若在区间(－1,1]内，g (x )＝f (x )－mx －m有两个零点，则实数m 的取值范围是( )A ．[0，12)B ．[12，＋∞)C ．[0，13)D ．(0，12]答案 D解析根据方程与函数关系．设x ∈(－1,0)，则x ＋1∈(0,1)， ∴f (x )＝1f x ＋1－1＝1x ＋1－1，∴画出f (x )在(－1,1]上的图象(如右图)，g (x )＝f (x )－mx －m 在(－1,1]上有两个零点，即f (x )＝m (x ＋1)有两个不同根，即y ＝f (x )与y ＝m (x ＋1)有两个不同交点．如右图，当过(－1,0)的直线处于l 与x 轴之间时，满足题意，则0<m ≤12.(推荐时间：60分钟)一、选择题1．卖店函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间为( )A ．(0，12)B ．(12，1)C ．(1,2)D ．(2,3)答案 C解析函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数． f (12)＝log 212－112＝－1－2＝－3<0， f (1)＝log 21－11＝0－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，f (3)＝log 23－13>1－13＝23>0，即f (1)·f (2)<0，∴函数f (x )＝log 2x －1x的零点在区间(1,2)内．2．若函数g (x )＝f (x )－2在(－∞，0)内有零点，则y ＝f (x )的图象是( )答案 D解析由f (x )－2＝0，得f (x )＝2，由图象可知，对于A ，当f (x )＝2时，x ＝0，不成立．对于B ，当f (x )＝2时，无解．对于C ，当f (x )＝2时，x >0，不成立，所以选D.3．函数f (x )＝2x －2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)答案 C解析因为f ′(x )＝2x ln 2＋2x2>0，所以f (x )是增函数，由条件可知f (1)f (2)<0，即(2－2－a )(4－1－a )<0，即a (a －3)<0，解之得0<a <3.4．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧cx ，x <A ，cA ，x ≥A(A ，c 为常数)．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是( )A ．75,25B ．75,16C ．60,25D ．60,16答案 D解析因为组装第A 件产品用时15分钟，所以cA＝15，① 所以必有4<A ，且c 4＝c2＝30，②联立①②解得c ＝60，A ＝16.5．已知关于x 的方程|x 2－6x |＝a (a >0)的解集为P ，则P 中所有元素的和可能是( )A ．3,6,9B ．6,9,12C ．9,12,15D ．6,12,15答案 B解析令f (x )＝|x 2－6x |，作图象如下：知f(x)＝|x2－6x|的图象关于直线x＝3对称，它与直线y ＝a 交点的个数为2,3或4个．所以方程根的和为6,9,12.选B.6． (xx·辽宁)已知函数f (x )＝x 2－2(a ＋2)x ＋a 2，g (x )＝－x 2＋2(a －2)x －a 2＋8.设H 1(x )＝max{f (x )，g (x )}，H 2(x )＝min{f (x )，g (x )}(max{p ，q }表示p ，q 中的较大值，min{p ，q }表示p ，q 中的较小值)．记H 1(x )的最小值为A ，H 2(x )的最大值为B ，则A －B 等于( ) A ．a 2－2a －16 B ．a 2＋2a －16 C ．－16D ．16答案 C解析 f (x )＝[x －(a ＋2)]2－4－4a ， g (x )＝－[x －(a －2)]2＋12－4a ，在同一坐标系内作f (x )与g (x )的图象(如图)．依题意知，函数H 1(x )的图象(实线部分)，函数H 2(x )的图象(虚线部分)．∴H 1(x )的最小值A ＝f (a ＋2)＝－4－4a ， H 2(x )的最大值B ＝g (a －2)＝12－4a ，因此A －B ＝(－4－4a )－(12－4a )＝－16. 二、填空题7．函数f (x )＝x 2－2x 的零点个数为________．答案 3解析由于f (－1)＝1－2－1＝12>0，又f (0)＝0－1<0，则在区间(－1,0)内有1个零点；又f (2)＝22－22＝0，f (4)＝42－24＝0，故有3个零点．8．若函数f (x )＝x 2－ax －b 的两个零点是2和3，则函数g (x )＝bx 2－ax －1的零点是________．答案－12，－13解析由⎩⎪⎨⎪⎧ 22－2a －b ＝032－3a －b ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5b ＝－6. ∴g (x )＝－6x 2－5x －1的零点为－12，－13.9．设定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，则关于x 的函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点的个数为________．答案 7解析由y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1＝0得 f (x )＝12或f (x )＝1，如图画出f (x )的图象，由f (x )＝12知有4个根，由f (x )＝1知有3个根，故共有7个零点．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a >1.三、解答题11．已知函数f (x )＝2x ，g (x )＝12|x |＋2.(1)求函数g (x )的值域；(2)求满足方程f (x )－g (x )＝0的x 的值．解 (1)g (x )＝12|x |＋2＝⎝⎛⎭⎫12|x |＋2，因为|x |≥0，所以0<⎝⎛⎭⎫12|x |≤1，即2<g (x )≤3，故g (x )的值域是(2,3]． (2)由f (x )－g (x )＝0得2x －12|x |－2＝0，当x ≤0时，显然不满足方程，当x >0时，由2x －12x －2＝0，整理得(2x )2－2·2x －1＝0，(2x －1)2＝2，故2x ＝1±2，因为2x >0，所以2x ＝1＋2，即x ＝log 2(1＋2)．12．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站(又称泵站)．经预算，修建一个增压站的工程费用为432万元，铺设距离为x 公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为x 3＋x 万元．设余下工程的总费用为y 万元．(1)试将y 表示成关于x 的函数；(2)需要修建多少个增压站才能使y 最小？解 (1)设需要修建k 个增压站，则(k ＋1)x ＝120，即k ＝120x －1，所以y ＝432k ＋(k ＋1)(x 3＋x ) ＝432×(120x －1)＋120x (x 3＋x )＝51 840x＋120x 2－312. 因为x 表示相邻两增压站之间的距离，则0<x ≤60. 故y 与x 的函数关系是y ＝51 840x ＋120x 2－312(0<x ≤60)．(2)因为f (x )＝51 840x ＋120x 2－312(0<x ≤60)，则f ′(x )＝－51 840x 2＋240x ＝240x 2(x 3－216)，由f ′(x )>0，得x 3>216，又0<x ≤60，则6<x ≤60.所以f (x )在区间(6,60]上为增函数，在区间(0,6)上为减函数．所以当x ＝6时，f (x )取最小值，此时k ＝120x －1＝1206－1＝19.故需要修建19个增压站才能使y 最小．13．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数．解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. 又∵a >0，f (x )＝a [(x －1)2－4]≥－4，且f (1)＝－4a ， ∴f (x )min ＝－4a ＝－4，a ＝1.故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x＝x －3x－4ln x －2 (x >0)，∴g′(x)＝1＋3x2－4x＝x－1x－3x2.x，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下：x(0,1)1(1,3)3(3，＋∞) g′(x)＋0－0＋g(x)单调增加极大值单调减少极小值单调增加又g(e5)＝e5－3e5－20－2>25－1－22＝9>0.故函数g(x)只有1个零点，且零点x0∈(3，e5)． .。

高考数学二轮复习专题限时集训(三)函数与方程、函数模型及其应用配套作业文(解析版,新课标)

专题限时集训(三)[第3讲函数与方程、函数模型及其应用](时间：45分钟)1．函数f (x )＝log 2x －1x的零点所在的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，4)2．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (h)的函数关系用图象表示为( )图3－13．有一组实验数据如下表：A ．v ＝log 2tB ．v ＝2t－2 C ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －24．函数f (x )＝3cos π2x －log 2x －12的零点个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．55．如图3－2的函数图象与x 轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )图3－26．设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1，0) B ．(0，1) C ．(1，2) D ．(2，3)7．如图3－3所示，有一个直角墙角，两边的长度足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别是a m(0<a <12)和4 m ，不考虑树的粗细，现在用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这棵树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )图3－3图3－48．若函数f (x )＝ax ＋b 的零点为2，那么函数g (x )＝bx 2－ax 的零点是( ) A ．0，2 B ．0，12C ．0，－12D ．2，129．函数y ＝f (x )在区间(－1，1)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－1，1)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定10．已知函数f (x )＝ln x －x ＋2有一个零点所在的区间为(k ，k ＋1)(k ∈N *)，则k 的值为________．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．12．已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值范围；(2)若方程两根均在(0，1)内，求m 的取值范围．13．省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合放射性污染指数f (x )与时刻x (小时)的关系为f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x x 2＋1－a ＋2a ＋23，x ∈[0，24]．其中a 是与气候有关的参数，且a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，若取每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记为M (a )．(1)令t ＝xx 2＋1，x ∈[0，24]，求t 的取值范围；(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问：目前市中心的综合放射性污染指数是否超标．14．设函数f (x )＝x |x －1|＋m ，g (x )＝ln x .(1)当m ＝2时，求函数y ＝f (x )在[1，m ]上的最大值；(2)记函数p (x )＝f (x )－g (x )，若函数p (x )有零点，求m 的取值范围．专题限时集训(三)【基础演练】1．B [解析] 依题意，因为f (1)＝log 21－1＝－1<0，f (2)＝log 22－12＝1－12＝12>0，所以函数f (x )的零点x 0∈(1，2)．2．B [解析] 依题意，由所给出的函数图象可求得函数解析式为h ＝20－5t (0≤t ≤4)，对照选项可知图象应为B.故选B.3．C [解析] 将表中的数据代入各选项中的函数解析式验证，可知只有v ＝t 2－12满足．故选C.4．B [解析] 在同一坐标系内画出函数y ＝3cos π2x 和y ＝log 2x ＋12的图象，可得交点个数为3.【提升训练】5．B [解析] 分析选项中所给图象，只有B 两侧的函数值是同号的，所以不能用二分法求解．故选B.6．C [解析] f (1)＝e －3<0，f (2)＝e 2－2>0，故函数f (x )的零点位于区间(1，2)内． 7．C [解析] 设CD ＝x ，依题意，得S ＝x (16－x )(4<x <16－a )，所以S max ＝f (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧64（0<a ≤8），a （16－a ）（8<a <12），对照图象知，C 符合函数模型对应的图象．故选C. 8．C [解析] 由已知f (2)＝2a ＋b ＝0，可得b ＝－2a ，则g (x )＝－2ax 2－ax ，令g (x )＝0得x ＝0或x ＝－12，所以g (x )的零点是0或－12，故选C.9．D [解析] 由题意，知函数f (x )在(－1，1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，所以f (－1)·f (1)的符号不定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .10．3 [解析] 由题意知，f (3)＝ln3－1>0，f (4)＝ln4－2<0，所以该函数的零点在区间(3，4)内，由此可得k ＝3.故填3.11．(0，1) [解析] 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象(如图)，由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1.故填(0，1)．12．解：(1)条件说明抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图，得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝2m ＋1<0，f （－1）＝2>0，f （1）＝4m ＋2<0，f （2）＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R，m <－12，m >－56.∴－56<m <－12.(2)抛物线与x 轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4m 2－4（2m ＋1）≥0，f （0）＝2m ＋1>0，f （1）＝4m ＋2>0，0<－m <1，得－12<m ≤1－ 2.(这里0<－m <1是因为对称轴x ＝－m 对应的－m 应在区间(0，1)内过) 13．解：(1)当x ＝0时，t ＝0；当0<x ≤24时，x ＋1x ≥2(当x ＝1时取等号)，∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，即t 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12. (2)当a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23，则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，12上单调递增，且g (0)＝3a ＋23，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝a ＋76，g (0)－g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －14. 故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0≤a ≤14，g （0），14<a ≤12，即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12.∴当且仅当a ≤49时，M (a )≤2.故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12时超标．14．解：(1)当m ＝2，x ∈[1，2]时，f (x )＝x ·(x －1)＋2＝x 2－x ＋2＝x －122＋74.∵函数y ＝f (x )在[1，2]上单调递增，∴f (x )max ＝f (2)＝4，即f (x )在[1，2]上的最大值为4.(2)函数p (x )的定义域为(0，＋∞)，函数p (x )有零点，即方程f (x )－g (x )＝x |x －1|－ln x ＋m ＝0有解，即m ＝ln x －x |x －1|有解，令h (x )＝ln x －x |x －1|.当x ∈(0，1]时，h (x )＝x 2－x ＋ln x .∵h ′(x )＝2x ＋1x －1≥22－1>0当且仅当2x ＝1x时取“＝”，∴函数h (x )在(0，1]上是增函数，∴h (x )≤h (1)＝0.当x ∈(1，＋∞)时，h (x )＝－x 2＋x ＋ln x .∵h ′(x )＝－2x ＋1x ＋1＝－2x 2＋x ＋1x ＝－（x －1）（2x ＋1）x<0，∴函数h (x )在(1，＋∞)上是减函数，∴h (x )<h (1)＝0，∴方程m ＝ln x －x |x －1|有解时，m ≤0，即函数p (x )有零点时，m 的取值范围为(－∞，0]．。

专题03+函数的应用(教学案)-2019年高考理数二轮复习精品资料-含解析

求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0, 这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序读题文字语言⇒建模数学语言⇒求解数学应用⇒反馈检验作答与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是基本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.高频考点一函数的零点判断例1、（2018年全国I 卷理数）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）【答案】C 【解析】画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.【变式探究】【2017课标3，理11】已知函数有唯一零点，则a =A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当()0g x '=时，1x =，当1x <时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当1x >时，()0g x '>，函数()g x 单调递增，当1x =时，函数取得最小值()12g =，设，当1x =时，函数取得最小值1- ，【变式探究】(1)函数f (x )＝e x ＋12x －2的零点所在的区间是( )A.⎝⎛⎭⎫0，12B.⎝⎛⎭⎫12，1 C ．(1,2) D ．(2,3)(2)已知偶函数y ＝f (x )，x ∈R 满足：f (x )＝x 2－3x (x ≥0)，若函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，－1x ，x <0，则y ＝f (x )－g (x )的零点个数为( )A ．1B ．3C ．2D ．4解析：(1)∵f ′(x )＝e x ＋12>0，∴f (x )在R 上单调递增，又f ⎝⎛⎭⎫12＝e －74<3－74<0，f (1)＝e －32>0，∴零点在区间⎝⎛⎭⎫12，1上．(2)作出函数f (x )与g (x )的图象如图所示，易知两个函数图象有3个不同的交点，所以函数y ＝f (x )－g (x )有3个零点，故选B.答案：(1)B (2)B【方法技巧】函数零点的求法(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其有几个交点，就有几个不同的零点．【变式探究】设f (x )＝ln x ＋x －2，则函数f (x )的零点所在的区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4) 解析：选B 法一：∵f (1)＝ln 1＋1－2＝－1<0， f (2)＝ln 2>0， ∴f (1)·f (2)<0，∵函数f (x )＝ln x ＋x －2的图象是连续的，∴函数f (x )的零点所在的区间是(1,2)．法二：函数f (x )的零点所在的区间转化为函数g (x )＝ln x ，h (x )＝－x ＋2图象交点的横坐标所在的范围，如图所示，可知f (x )的零点所在的区间为(1,2)．高频考点二、二次函数的零点例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R ，函数f (x )=，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】 (1). (1,4)(2). 【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f (x )<0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。

2019高三数学文二轮练习课时功课4：函数与方程及函数的应用

2019高三数学文二轮练习课时功课4：函数与方程及函数的应用注意事项：认真阅读理解，结合历年的真题，总结经验，查找不足！重在审题，多思考，多理解！无论是单选、多选还是论述题，最重要的就是看清题意。

在论述题中，问题大多具有委婉性，尤其是历年真题部分，在给考生较大发挥空间的同时也大大增加了考试难度。

考生要认真阅读题目中提供的有限材料，明确考察要点，最大限度的挖掘材料中的有效信息，建议考生答题时用笔将重点勾画出来，方便反复细读。

只有经过仔细推敲，揣摩命题老师的意图，积极联想知识点，分析答题角度，才能够将考点锁定，明确题意。

函数与方程及函数的应用时间：45分钟分值：100分【一】选择题(每题6分，共计36分)1、以下函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是()解析：能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )<0.A 、B 选项中不存在f (x )<0，D 选项中函数不连续、应选C.答案：C2、函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，那么x 1，x 2，x 3的大小关系是()A 、x 1<x 2<x 3B 、x 2<x 1<x 3C 、x 1<x 3<x 2D 、x 3<x 2<x 1解析：令f (x )＝x ＋2x ＝0，因为2x 恒大于零，所以要使得x ＋2x ＝0，x 必须小于零，即x 1小于零；令g (x )＝x ＋ln x ＝0，要使得ln x 有意义，那么x 必须大于零，又x ＋ln x ＝0，所以ln x <0，解得0<x <1，即0<x 2<1；令h (x )＝x －x －1＝0，得x ＝x ＋1>1，即x 3>1，从而可知x 1<x 2<x 3.答案：A3、某公司租地建仓库，仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比、据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站()A 、5千米处B 、4千米处C 、3千米处D 、2千米处解析：由题意得：y 1＝k 1x ，y 2＝k 2x ，其中x >0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x ＝45x ，即x ＝5时取等号，应选A.答案：A4、某个体企业的一个车间有8名工人，以往每人年薪为1万元，从今年起，计划每人的年薪都比上一年增加20%，另外，每年新招3名工人，每名新工人的第一年的年薪为8千元，第二年起与老工人的年薪相同、假设以今年为第一年，如果将第n 年企业付给工人的工资总额y (万元)表示成n 的函数，那么其表达式为()A、y＝(3n＋5)1.2n＋2.4B、y＝8×1.2n＋2.4nC、y＝(3n＋8)1.2n＋2.4D、y＝(3n＋5)1.2n－1＋2.4解析：第一年企业付给工人的工资总额为：1×1.2×8＋0.8×3＝9.6＋2.4＝12(万元)，而对4个选择项来说，当n＝1时，C、D相对应的函数值均不为12，故可排除C、D，A、B 相对应的函数值都为12，再考虑第2年企业付给工人的工资总额及A、B相对应的函数值，又可排除B，应选A.答案：A5、某商店将进货价每个10元的商品按每个18元售出时，每天可卖出60个、商店经理到市场上做了一番调查后发现，假设将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高1元，那么日销售量就减少5个；假设将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，那么日销售量就增加10个、为了每日获得最大利润，那么商品的售价应定为()A、10元B、15元C、20元D、25元解析：设此商品每个售价为x元，每日利润为y元、当x≥18时，有y＝[60－5(x－18)](x －10)＝－5(x－20)2＋500.即在商品售价x＝20时，每日利润y最大，每日最大利润是500元；当x≤18时，有y＝[60＋10(18－x)](x－10)＝－10(x－17)2＋490，即在商品售价x＝17时，每日利润y最大，每日最大利润是490元、故此商品的售价应定为每个20元、答案：C6、函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]上的图象如图1所示，给出以下四个选项，其中不正确的选项是()图1A、函数f[g(x)]的零点有且仅有6个B、函数g[f(x)]的零点有且仅有3个C、函数f[f(x)]的零点有且仅有5个D、函数g[g(x)]的零点有且仅有4个解析：对于A选项，设g(x)＝t，令f(t)＝0，由f(x)图象可知方程有3个根，分别为－2<t1<－1，t2＝0.1<t3<2，由g(x)图象知假设g(x)＝t1，那么方程有两解；假设g(x)＝0，那么方程有两解；假设g(x)＝t3，那么方程有两解、故方程f(g(x))＝0有6个根，故A正确；对于B选项，设f(x)＝t，令g(t)＝0，再由g(x)的图象知，g(t)＝0有两根，分别为－2<t1<－1,0<t2<1，由f(x)的图象知f(x)＝t1有1个根，f(x)＝t2有3个根、所以g[f(x)]＝0有4个根，故B错误、对于C选项，设f(x)＝t，令f(t)＝0，由f(x)的图象知f(t)＝0有3个根，分别为－2<t1<－1，t2＝0,1<t3<2，由f(x)的图象知f(x)＝t1有1个根，f(x)＝t2有3个根，f(x)＝t3有1个根，所以f[f(x)]＝0有5个根，故C正确、对于D选项，设g(x)＝t，令g(t)＝0，由g(x)的图象知g(t)＝0有2个根，分别为－2<t1<－1,0<t2<1，由g(x)图象知，g(x)＝t1有2个根，g(x)＝t2有2个根，所以g[g(x)]＝0有4个根，故D 正确、答案：B【二】填空题(每题8分，共计24分)7、关于x的方程e x ln x＝1的实数根的个数是________、解析：图2e xln x ＝1(x >0)⇒ln x ＝1e x (x >0)⇒ln x ＝(1e )x (x >0)，令y 1＝ln x (x >0)，y 2＝(1e )x (x >0)，在同一坐标系内画出函数y 1＝ln x 和y 2＝(1e )x 的大致图象，如图2所示，根据图象可知两函数只有一个交点，所以方程e xln x ＝1的根的个数为1.答案：18、用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，经第一次计算得f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________，这时可判断x 0∈________.解析：由题意知x 0∈(0,0.5)、第二次计算应取x 1＝0.25，这时f (0.25)＝0.253＋3×0.25－1<0，故x 0∈(0.25,0.5)、答案：(0,0.5)f (0.25)(0.25,0.5) 9、某同学高三阶段12次数学考试的成绩呈现前几次与后几次均连续上升，中间几次连续下降的趋势、现有三种函数模型：①f (x )＝pq x，②f (x )＝log a x ＋q ，③f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p (其中p ，q 为正常数，且q >2)、能较准确反映数学成绩与考试次序关系，应选________作为模拟函数；假设f (1)＝4，f (3)＝6，那么所选函数f (x )的解析式为________、解析：(1)因为f (x )＝pq x ，f (x )＝log a x ＋q 是单调函数，f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 中，f ′(x )＝3x 2－(4q ＋2)x ＋q 2＋2q ，令f ′(x )＝0，得x ＝q ，x ＝q ＋23，f (x )有两个零点，可以出现两个递增区间和一个递减区间，所以应选f (x )＝(x －1)(x －q )2＋p 为其成绩模拟函数、(2)由f (1)＝4，f (3)＝6得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝423－q2＋p ＝6q >2，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝4q ＝4.故f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z)、答案：③f (x )＝x 3－9x 2＋24x －12(1≤x ≤12，且x ∈Z) 【三】解答题(共计40分) 10、(10分)某市居民自来水收费标准如下：每户每月用水不超过4吨时每吨为1.80元，当用水超过4吨时，超过部分每吨3.00元，某月甲、乙两户共交水费y 元，甲、乙两用户该月用水量分别为5x,3x (吨)、(1)求y 关于x 的函数；(2)假设甲、乙两户该月共交水费26.4元，分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费、解：(1)当甲的用水量不超过4吨时，即5x ≤4时，乙的用水量也不超过4吨，即3x ≤4.y ＝(5x ＋3x )×1.8＝14.4x ；当甲的用水量超过4吨，乙的用水量不超过4吨时，即3x ≤4且5x >4. y ＝4×1.8＋3x ×1.8＋3(5x －4)＝20.4x －4.8.当乙的用水量超过4吨，即3x >4时，y ＝24x －9.6，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧14.4x 0≤x ≤4520.4x －4.845<x ≤4324x －9.6x >43.11、(15分)某工厂生产某种产品，该产品的月生产量x (t)与1t 产品的价格p (元/t)之间的关系为p ＝24200－15x 2，且生产x t 的成本为R (元)，其中R ＝50000＋200x .问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？(利润＝收入－成本)解：每月生产x t 时的利润为f (x )＝(24200－15x 2)x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)，由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)、因f (x )在[0，＋∞)内只有一个极值点x ＝200且为极大值，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000.故该厂每月生产200t 产品才能使利润达到最大且最大利润为3150000元、12、(15分)函数f (x )＝2(ln 1＋x ＋12x 2)－ax ，其中a 为常数、 (1)假设f (x )在(0,1)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2)求证：∑k ＝2n k －1k 2<ln n ＋12.解：(1)由题意有x ∈(－1，＋∞)且f ′(x )＝2x －a ＋1x ＋1.因为f (x )在(0,1)上单调递增，所以f ′(x )＝2x －a ＋1x ＋1≥0在(0,1)上恒成立，即a ≤2x ＋1x ＋1＝2(x ＋1)＋1x ＋1－2在(0,1)上恒成立、因为2(x ＋1)＋1x ＋1－2>1，所以求得a ≤1.(2)证明：由(1)有当a ＝1时f (x )在(0,1)上单调递增，所以f (x )>f (0)⇒ln(x ＋1)>x －x 2.令x ＝1n ∈(0，12]⊆(0,1)(n ≥2)，所以有ln(1n ＋1)>1n －1n 2⇒ln n ＋1n >n －1n 2，所以∑k ＝2n k －1k 2＝122＋232＋…＋n －1n 2<ln 32＋ln 43＋…＋ln 1＋n n ＝ln n ＋12，即证得∑k ＝2n k －1k 2<ln n ＋12.。

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