2.3.1函数单调性

合集下载

浅谈高中数学函数的单调性

浅谈高中数学函数的单调性【摘要】高中数学函数的单调性是高中数学中重要的概念之一。

本文首先介绍了高中数学函数的重要性，并定义了函数的单调性。

随后，探讨了单调递增函数和单调递减函数的性质，以及函数单调性的判定方法。

通过例题分析，进一步探讨了高中数学函数单调性的具体应用。

讨论了函数单调性与导数的关系，并总结了函数单调性在数学学习中的重要性。

未来，应用函数单调性的方法将会在高中数学学习中得到更广泛的应用。

为了提高对函数单调性的理解，鼓励学生多加练习，并深入探讨函数单调性的相关知识。

【关键词】高中数学函数、单调性、单调递增、单调递减、判定方法、例题分析、导数、重要性、应用、练习、理解。

1. 引言1.1 介绍高中数学函数的重要性高中数学函数是数学学科中一个重要的概念，它在数学的各个领域中都有着重要的应用。

函数在数学中被定义为一种特殊的关系，它描述了自变量和因变量之间的依赖关系。

在高中数学中，学生需要掌握各种类型的函数，了解它们的性质和特点，从而能够更好地理解和解决数学问题。

函数的单调性是函数性质中的一个重要概念。

一个函数在定义域内的某个区间上，如果对于任意两个不同的自变量，函数值之间始终保持单调关系（单调递增或单调递减），则称该函数在该区间上是单调的。

函数的单调性直接反映了函数图像的走势和变化规律，对于理解函数的性质和解题有着重要的意义。

通过研究和探讨高中数学函数的单调性，可以帮助学生深入理解函数的性质，提高数学建模和问题解决能力。

在高中数学学习中，函数的单调性是一个必须要重视和掌握的概念。

通过对函数单调性的认识和应用，可以帮助学生更好地理解和应用数学知识，提高数学思维和解题能力。

1.2 定义函数单调性函数的单调性是指函数在定义域上的增减关系。

对于定义域为区间的函数来说，如果函数的值随着自变量的增加而增加，则称该函数在此区间上是单调递增的；如果函数的值随着自变量的增加而减少，则称该函数在此区间上是单调递减的。

2.3函数的单调性和最值(第1课时函数的单调性)课件高一上学期数学北师大版

函数的单调性.
(-2), ≥ 2,
解 f(x)=x|x-2|=
(2-), < 2,
图象如图所示.
由图象可知,函数在区间(-∞,1],[2,+∞)上单调递增;在区间[1,2]上单调递减.
角度2利用单调函数的运算性质判断函数的单调性
【例1-2】
解
2 2 -3
判断函数f(x)=
的单调性.
2.[探究点一·2024陕西咸阳高一期末]函数f(x)=(x-4)·|x|的单调递增区间
是( C )
A.(-∞,0)
B.(-∞,0)∪(2,+∞)
C.(-∞,0)和(2,+∞)
D.(2,+∞)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2 -4, ≥ 0,
解析由于 f(x)=(x-4)·|x|= 2
知识点2 增函数、减函数的定义
函数增函数
条件
减函数
设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任意的x1,x2∈D,当x1<x2时,都有
f(x1)<f(x2)
结论称函数y=f(x)是增函数
f(x1)>f(x2)
称函数y=f(x)是减函数
名师点睛
1.若f(x),g(x)均是区间A上的增(减)函数,则f(x)+g(x)也是区间A上的增(减)函
由图象可得原函数在区间[-3,-1]和[1,+∞)上单调递增,原函数在区间(-∞,-3]
和[-1,1]上单调递减.
- 2 + 2 + 1, ≥ 0,
(2)y= 2
- -2 + 1, < 0,
-(-1)2 + 2, ≥ 0,

《2.3函数的单调性》优秀课件

证明函数f(x)=1/x在（0，+∞）上是减函数。
课堂练习 1如图,已知函数y = f ( x)的图像(包含)端点, 根据函数说
,以及在每一单调区间上 ,函数是增函出函数的单调区间数还是减函数 .
−π
−
Y
π
2
O
π
2
π
X
3 2证明函数f ( x) = 在(−∞,0)上是减函数 x
课堂小结（1）函数的单调区间是其定义域内的子集，讨论函数的单调性必须在定义域内进行；
2教学
难
教学重点：函数单调性的概念。教学点：函数增减性的判定。
3教学
知识目标:
标
能力目标：（1）使学生理解增函数、减函数（1）增函数、减函数的概念；的概念，掌握判断某些函数增减性的方法；德育渗逶目标：通过本节课的学习，启示学（2）函数增减性的判定；（2）培养学生利用数学概念进行判断推理的生养成细心观察、认真分析、严谨论证的良能力和数学结合的能力；好思维能力
教师补充：这时我们说函数y = x2在（0，+∞）上是增函数
(5)反过来，如果y=x (5)反过来，如果y=x2在（0，+∞）反过来上是增函数, 上是增函数,我们能不能得到自变量与函数值的变化规律呢？函数值的变化规律呢？类似地分析图象轴的左侧部分。在y轴的左侧部分。
y f(x2) f(x1) o x1 x2 x Y=x2
f(x2) f(x1) o
Y=x2
x1 x2
x
与
数值
x1，y1）， (3) 果 y轴侧两个（x1，y1）， x2，y2）， x1<x2时 y1，），当（x2，y2），当x1<x2时，y1，y2 关系？义内两个这个规？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？ (4)如何用数学符号语言来描述这个规律？如何用数学符号语言来描述这个规律

第三讲：函数的单调性

第三讲：函数单调性与应用一．知识点梳理 1. 函数单调性的定义(1) 一般地,对于给定区间上的函数f(x),如果对于属于这个区间的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有f(x 1)<f(x 2)(或都有f(x 1)>f(x 2)),那么就说f(x)在这个区间上是单调增函数(或单调减函数).(2) 如果函数y=f(x)在某个区间上是单调增函数(或单调减函数),那么就说f(x)在这个区间上具有(严格的)单调性,这个区间叫作f(x)的单调区间.若函数是单调增函数,则称该区间为单调增区间;若函数为单调减函数,则称该区间为单调减区间. 2. 复合函数的单调性对于函数y=f(u)和u=g(x),如果当x ∈(a,b)时,u ∈(m,n),且u=g(x)在区间(a,b)上和y=f(u)在区间(m,n)上同时具有单调性,则复合函数y=f[g(x)]在区间(a,b)上具有单调性,并且具有这样的规律:同增异减（即内外函数的单调性相同则为增，内外函数的单调性相反则为减） 3.和函数的单调性同增为增，同减为减，不同步不确定。

4. 积函数的单调性（1）同增同正，得增；（2）同增同负，得减；（3）同减同正，得减；（4）同减同负，得增；（5）一增一减，一正一负，单调性与原函数中函数值为负的函数相同；（6）其余情况，可增可减，亦可为常数函数.5. 求函数单调区间或证明函数单调性的方法:(1) 函数单调性的定义法; (2) 函数的图象法; (3) 导函数法；（4）利用已知函数的单调性法二．考点突破 1.函数单调性的判断例1：判断下列函数在区间(0,2)上的单调性:(1) y=-x+1; (2) y=; (3) y=x 2-2x+5; (4) y=2x .例2：设函数()f x =()f x 的单调性；例3：求下列函数的增单调区间（1）2()(3),(1))x f x x e x =-⋅∈-⋃+∞；（2）22()log (1)(2)f x x x x =+++变式：1. 函数f(x)=x 2-2x 的单调增区间为 . 2.给定下列函数:①y=12x ;②12log (1)y x =+;③y=-|x-1|;④y=2x+1.其中在区间(0,1)上单调递减的函数是 .(填序号)3.求函数f(x)=ln(4+3x-x 2)的单调减区间是 .4.求函数2()23f x x x =-++的单调增区间5.若函数1,0()0,01,0x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，2()()g x x f x =⋅，求函数()g x 的单调减区间6.已知函数f(x)= 是(-∞,+∞)上的单调减函数,那么实数a 的取值范围是。

函数单调性及其应用论文

函数单调性及其应用函数的单调性是函数的一种简单性态，也是函数的一种重要性质.用单调性可以解决一些不等式的证明、求一些函数的最值和判断方程根的情况等.本文先给出函数单调性的定义，接着给出单调性的判定定理，最后从几个方面说明单调性在教学上的应用.1.函数单调性的概念1.1、函数单调性的定义定义如果函数对于区间i内的任意两点，当时有，则称此函数在i上单调增加，i称为单调增区间；当时有，则称此函数在i上单调减少，i称为单调减区间.1.2.1、函数单调性的判定的预备知识以下三个定理在这里只给出，而不给予证明.定理1.2.1（罗尔中值定理）设函数满足以下三个条件：（1）在闭区间内连续；（2）在开区间内可导；（3）则至少存在一点，使得 .定理1.2.2（拉格朗日中值定理）设函数满足以下两个条件：在闭区间内连续；（1）在开区间内可导则至少存在一点，使得 .定理1.2.3（根的存在定理）设函数在闭区间内连续且，则至少存在一点，使得 .即方程至少存在一个根 .1.2.2、函数单调性的判定有的函数形式比较简单，可以直接用定义判定其单调性。

但有的函数的单调性仅凭定义很难判定。

因此需要借助以下定理：定理1.2.4 设函数在区间内可导，若导函数，则函数在区间内单调递增；若导函数，则函数在区间内单调递减.2.函数单调性的应用2.1、证明不等式用函数单调性可以证明不等式.例2.1.1 证：当时， .证构造辅助函数，有，当时有即在内单调增加，从而当时有故也即 .即证.例2.1.2 证：当时， .证构造辅助函数当时，即在内单调减少.从而当时，有 .由的定义知，有，由对数的性质可得 .故原证题得证.这个不等式也可以用来比较乘幂的大小.例如当时，有幂的大小关系 .2.2、求函数的最值用函数的单调性可以求一些函数的最大值和最小值.例2.2.1 求在闭区间内的最大值和最小值.解当时，有即在闭区间内单调增加。

因而函数在闭区间内的最大值为，最小值为 .例2.2.2 求的最大值和最小值.解函数的定义域为实数域，现考虑该函数在实数域上的最大值和最小值。

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

完整版)函数的单调性知识点与题型归纳备考知考情：在高考中，理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义以及运用基本初等函数的图象分析函数的性质是非常重要的。

函数的单调性是热点，常见问题有求单调区间、判断函数的单调性、求参数的取值、利用函数单调性比较数的大小以及解不等式等。

客观题主要考查函数的单调性，最值的确定与简单应用。

题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇命题，则以解答题的形式出现。

一、知识梳理在研究函数单调性之前，必须先求函数的定义域。

函数的单调区间是定义域的子集，单调区间不能并。

知识点一：函数的单调性单调函数的定义：若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间。

注意：1.定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2.函数的单调区间必须是定义域的子集。

3.定义有两种变式。

问题探究：1.关于函数单调性的定义应注意哪些问题？1）定义中x1，x2具有任意性，不能是规定的特定值。

2）函数的单调区间必须是定义域的子集。

3）定义有两种变式。

2.单调区间的表示注意哪些问题？单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。

如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结。

知识点二：单调性的证明方法：定义法及导数法高频考点例1：规律方法1) 定义法：利用定义证明函数单调性的一般步骤是：①任取x1、x2∈D，且x1<x2；②作差f(x1)－f(x2)，并适当变形（如“分解因式”、配方成同号项的和等）；③依据差式的符号确定其增减性。

2) 导数法：x＋1x＋1a>0)由定义可知。

f(x1f(x2即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．法二：导数法f′(x)＝a(x＋1)－axx＋1)2ax＋1)2a>0，x∈(－1，＋∞))即f(x)在(－1，＋∞)上为增函数．例2.（2）《名师一号》P16高频考点例1（2）判断函数f(x)＝x2－2x＋3在R上的单调性，并证明．法一：导数法f′(x)＝2x－22(x－1)当x<1时，f′(x)<0，即f(x)在(－∞，1)上为减函数；当x>1时，f′(x)>0，即f(x)在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．法二：二次函数法对于任意实数x，有f(x)＝(x－1)2＋2因为平方项非负，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)的最小值为2，即f(x)≥2；又因为当x＝1时，f(x)＝2，所以f(x)在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数．综上可知，f(x)在R上单调性不同．例3.（1）《名师一号》P16高频考点例1（3）设f(x)＝exax－b，其中a，b为常数，证明：当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．证明：f′(x)＝exaf′′(x)＝ex当a20，即f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f′′(x)<0，即f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f′′(x)＝0，即f(x)为抛物线．因此，当a2<4时，f(x)在R上为凸函数；当a2>4时，f(x)在R上为下凸函数；当a2＝4时，f(x)在R上为抛物线．2.1、解析：根据题意，我们可以列出不等式a-2<0，解得a≤2.代入原式得到实数a的取值范围为(-∞。

函数的单调性教案

函数的单调性教案第一章：函数单调性的基本概念1.1 引入：引导学生回顾初中阶段学过的函数概念，复习一次函数、二次函数的图像和性质。

提问：函数的图像是否具有单调性？如何描述函数的单调性？1.2 单调性的定义：讲解函数单调性的定义，引导学生理解单调递增和单调递减的概念。

举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调性。

1.3 单调性的判断：教授如何判断函数的单调性，引导学生掌握利用导数或图像判断单调性的方法。

第二章：单调递增函数的性质2.1 单调递增的定义：复习单调递增的定义，强调函数值随着自变量的增加而增加的特点。

举例说明：如y=x，y=2x+1等函数的单调递增性质。

2.2 单调递增函数的图像：讲解单调递增函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而上升的趋势。

2.3 单调递增函数的性质：教授单调递增函数的性质，如凹凸性、极值等。

第三章：单调递减函数的性质3.1 单调递减的定义：复习单调递减的定义，强调函数值随着自变量的增加而减少的特点。

举例说明：如y=-x，y=-2x-1等函数的单调递减性质。

3.2 单调递减函数的图像：讲解单调递减函数的图像特点，引导学生理解函数图像随着x的增加而下降的趋势。

3.3 单调递减函数的性质：教授单调递减函数的性质，如凹凸性、极值等。

第四章：单调性的应用4.1 最大值和最小值：讲解如何利用函数的单调性求解最大值和最小值问题。

4.2 函数的单调区间：讲解如何确定函数的单调递增区间和单调递减区间。

4.3 函数的单调性与方程的解：讲解如何利用函数的单调性来解决方程的解的问题。

第五章：单调性的综合应用5.1 函数图像的变换：讲解如何利用单调性来分析和理解函数图像的平移、翻折等变换。

5.2 函数的单调性与实际问题：引导学生将函数的单调性应用于解决实际问题，如优化问题、经济问题等。

5.3 单调性的进一步探讨：引导学生思考单调性的局限性，如非单调函数的特殊情况。

第六章：复合函数的单调性6.1 复合函数的概念：引导学生回顾复合函数的定义，理解复合函数是由两个或多个基本函数通过函数运算组合而成的。

(完整版)函数的单调性知识点总结及练习,推荐文档

8．已知函数 y （f x) 在 R 上是增函数，且 f(m2)＞f(-m)，则 m 的取值范围是:
__________．
9．函数 f (x) x2 2x 8 的单调减区间
．
10．若函数 f (x) 4x2 mx 5 m 在[2, ) 上是增函数，则实数 m 的取值范为
；
11．函数 y x2 2 | x | 1的单调增区间为
3．常见结论若 f(x)为减函数，则-f(x)为增函数；若 f(x)>0（或<0）且为增函数，则函数 1 在其定义域内为减函数．
f (x)
1
二、例题精讲题型 1：单调性的判断 1．写出下列函数的单调区间
（1） y kx b,
（2） y k ， x
（3） y ax 2 bx c ．
2.3 函数的单调性
学习目标： 1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 2.会用定义判断函数的单调性，会求函数的单调区间及会用单调性求函数的最值．重点难点：函数单调性的应用一、知识点梳理
1．函数单调性定义：对于给定区间 D 上的函数 f(x)，若对于任意 x 1 ,x 2 ∈D,
当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 ) <f(x 2 )，则称 f(x)是区间 D 上的增函数，D 叫 f(x)单调递增区间．
2．函数 y 2x2 x 1的单调递增区间为_______________________．
3．已知 f (x) (2k 1)x b 在 R 上是增函数，则 k 的取值范围是______________．
4．下列说法中，正确命题的个数是______________．
①函数 y x2 在 R 上为增函数；
当 x 1 <x 2 时，都有 f(x 1 )> f(x 2 )，则称 f(x)是区间：（1）定义法．步骤是：

函数的基本性质单调性教案

函数的基本性质-单调性教案第一章：函数单调性的概念与定义1.1 引入：通过实际例子，让学生感受函数单调性的存在。

1.2 单调性的定义：函数单调递增和单调递减的定义。

1.3 单调性的表示：用符号表示函数的单调性。

1.4 单调性的性质：单调性的一些基本性质，如传递性、复合函数的单调性等。

第二章：函数单调性的判断与证明2.1 单调性的判断方法：通过导数或者图像来判断函数的单调性。

2.2 单调性的证明：利用导数或者定义来证明函数的单调性。

2.3 单调性的应用：利用单调性解决一些实际问题，如最值问题、不等式问题等。

第三章：函数单调性与极值的关系3.1 极值的概念：函数的极大值和极小值的定义。

3.2 极值与单调性的关系：函数在极值点附近的单调性变化。

3.3 利用单调性求极值：通过单调性来确定函数的极值点。

第四章：函数单调性与图像的关系4.1 图像的单调性：函数图像的单调递增和单调递减。

4.2 单调性与图像的交点：函数图像的交点与单调性的关系。

4.3 利用图像判断单调性：通过观察函数图像来判断函数的单调性。

第五章：函数单调性的应用5.1 函数的单调区间：确定函数的单调递增或单调递减区间。

5.2 单调性与函数值的关系：函数值的变化与单调性的关系。

5.3 应用实例：利用单调性解决实际问题，如最大值、最小值问题等。

第六章：单调性在实际问题中的应用6.1 引言：通过实际问题引入单调性的应用。

6.2 单调性在优化问题中的应用：如最短路径问题、最大收益问题等。

6.3 单调性在经济学中的应用：如市场需求、价格调整等。

第七章：函数单调性的进一步探讨7.1 函数的严格单调性：严格单调递增和严格单调递减的定义。

7.2 单调性的不变性：函数单调性在坐标变换下的性质。

7.3 单调性与连续性的关系：连续函数的单调性性质。

第八章：复合函数的单调性8.1 复合函数的定义：两个函数的组合。

8.2 复合函数的单调性：复合函数单调性的判定方法。

函数的单调性·典型例题精析

2．3．1 函数的单调性·例题解析【例1】求下列函数的增区间与减区间(1)y ＝|x 2＋2x －3|(2)y (3)y ＝＝x x x x x 2221123-----+||解 (1)令f(x)＝x 2＋2x －3＝(x ＋1)2－4．先作出f(x)的图像，保留其在x 轴及x 轴上方部分，把它在x 轴下方的图像翻到x 轴就得到y ＝|x 2＋2x －3|的图像，如图2．3－1所示．由图像易得：递增区间是[－3，－1]，[1，＋∞)递减区间是(－∞，－3]，[－1，1](2)分析：先去掉绝对值号，把函数式化简后再考虑求单调区间．解当x －1≥0且x －1≠1时，得x ≥1且x ≠2，则函数y ＝－x ．当x －1＜0且x －1≠－1时，得x ＜1且x ≠0时，则函数y ＝x －2． ∴增区间是(－∞，0)和(0，1)减区间是[1，2)和(2，＋∞)(3)解：由－x 2－2x ＋3≥0，得－3≤x ≤1．令u ＝＝g(x)＝－x 2－2x ＋3＝－(x ＋1)2＋4．在x ∈[－3，－1]上是在x ∈[－1，1]上是．而＝在≥上是增函数．y u 0u∴函数y 的增区间是[－3，－1]，减区间是[－1，1]．【例2】函数f(x)＝ax 2－(3a －1)x ＋a 2在[－1，＋∞]上是增函数，求实数a 的取值范围．解当a ＝0时，f(x)＝x 在区间[1，＋∞)上是增函数．当≠时，对称轴＝，若＞时，由＞≤，得＜≤．a 0x a 0a 0 3a 10a 131212a aa--⎧⎨⎪⎩⎪若a ＜0时，无解．∴a 的取值范围是0≤a ≤1．【例3】已知二次函数y ＝f(x)(x ∈R )的图像是一条开口向下且对称轴为x ＝3的抛物线，试比较大小：(1)f(6)与f(4)(2)f(2)f(15)与解 (1)∵y ＝f(x)的图像开口向下，且对称轴是x ＝3，∴x ≥3时，f(x)为减函数，又6＞4＞3，∴f(6)＜f(4)(2)x 3f(2)f(4)34f(x)x 3∵对称轴＝，∴＝，而＜＜，函数在≥15 时为减函数．∴＞，即＞．f(15)f(4)f(15)f(2)【例4】判断函数＝≠在区间－，上的单调性．f(x)(a 0)(11)ax x 21- 解任取两个值x 1、x 2∈(－1，1)，且x 1＜x 2．∵－＝∵－＜＜＜，＋＞，－＞，－＜，－＜．∴＞f(x )f(x )1x x 1x x 10x x 0x 10x 10012121221a x x x x x x x x x x x x ()()()()()()()()12211222121212211222111111+---+---当a ＞0时，f(x)在(－1，1)上是减函数．当a ＜0时，f(x)在(－1，1)上是增函数．【例5】利用函数单调性定义证明函数f(x)＝－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．证取任意两个值x 1，x 2∈(－∞，＋∞)且x 1＜x 2．∵－＝－＋＋这里有三种证法：当＜时，＋＋＝＋－＞当≥时，＋＋＞f(x )f(x )(x x )(x x x x )()x x 0x x x x (x x )x x 0x x 0x x x x 02112221212121212221221212121222证法一又∵x 1－x 2＜0，∴f(x 2)＜f(x 1)故f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法二()x x x x (x x )x x x x 0x x 0x 0x 0x x x x x x 012122212222122122112121222∵＋＋＝＋＋，这里＋与不会同时为，否则若＋＝且＝，则＝这与＜矛盾，∴＋＋＞．12341212得f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．证法三()t x x x x x 4x 3x 00x 0x 0t x 03x 0t 0x x x x 0f(x )f(x )f(x)(22121212121212221222121221令＝＋＋，其判别式Δ＝－＝－≤，若Δ＝时，则＝，那么≠，∴＝＞，若Δ＝－＜，则＞，即＋＋＞，从而＜，∴在－∞，＋∞上是减函数．)【例6】讨论函数＝＋的单调性，并画出它的大致图像．f(x)x 1x解定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内两个值x 1、x 2，且x 1＜x 2．∵－＝－，又－＜，f(x )f(x )(x x )x x x x 012121112x x 221 ∴当0＜x 1＜x 2≤1或－1≤x 1＜x 2＜0时，有x 1x 2－1＜0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．当1≤x 1＜x 2或x 1＜x 2≤－1时，有x 1x 2－1＞0，x 1x 2＞0，f(x 1)＞f(x 2)，∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．根据上面讨论的单调区间的结果，又x ＞0时，f(x)min ＝f(1)＝2，当x ＜0时，f(x)max ＝f(－1)＝－2．由上述的单调区间及最值可大致画出＝＋的图像如图．－．y x 2321x说明 1°要掌握利用单调性比较两个数的大小．2°注意对参数的讨论(如例4)．3°在证明函数的单调性时，要灵活运用配方法、判别式法及讨论方法等．(如例5)4°例6是分层讨论，要逐步培养．。

高中数学第二章函数2.3函数的单调性课件北师大版必修1

第十页，共36页。
5．函数 f(x)＝－x2＋6x＋8 在[－2,1]上的最大值是________．【解析】 f(x)＝－x2＋6x＋8＝－(x－3)2＋17，所以函数 f(x)在[－2,1]上是增函数．所以 f(x)的最大值为 f(1)＝13. 【答案】 13
第十一页，共36页。
课堂探究类型一函数单调性的判定或证明 [例 1] (1)函数 y＝f(x)的图像如图所示，其减区间是( )
(2)证明：对于任意的 x1，x2∈(－∞，0)，且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)＝x121－x122 ＝x22x－21x22x21＝x2－xx121xx222＋x1. ∵x1<x2<0，∴x2－x1>0，x1＋x2<0，x12x22>0. ∴f(x1)－f(x2)<0，即 f(x1)<f(x2)．
第二十一页，共36页。
方法归纳,
函数单调性应用的关注点 (1)函数单调性的定义具有“双向性”：利用函数单调性的定义可以判断、证明函数的单调性，反过来，若已知函数的单调性，可以确定函数中参数的范围． (2)若一个函数在区间[a，b]上是单调的，则此函数在这一单调区间内的任意子集上也是单调的．
第二十二页，共36页。
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝x2－2ax－3 在区间[1,2]上单调，求实数 a 的取值范围．
第二十三页，共36页。
【解析】函数 f(x)＝x2－2ax－3 的图像开口向上，对称轴为直线 x＝a，画出草图如图所示．
由图像可知函数在(－∞，a]和[a，＋∞)上分别单调，因此要使函数 f(x)在区间[1,2]上单调，只需 a≤1 或 a≥2(其中当 a≤1 时，函数 f(x) 在区间[1,2]上单调递增；当 a≥2 时，函数 f(x)在区间[1,2]上单调递减)，从而 a∈(－∞，1]∪[2，＋∞)．

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用

浅谈函数单调性在高中数学中的学习与运用1. 引言1.1 引言在高中数学学习中，函数单调性是一个重要的概念。

它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在解决实际问题中也具有很大的应用价值。

本文将从函数单调性的概念入手，探讨在高中数学中函数单调性的学习与运用。

函数单调性是指函数在定义域上的增减性质。

在高中数学课程中，我们学习了很多种函数，如线性函数、二次函数、指数函数、对数函数等。

了解这些函数的单调性，可以帮助我们更好地理解函数的性质，进而解决各种数学问题。

在学习函数单调性时，我们需要掌握如何判断一个函数的单调性。

一般来说，可以通过求导数或者利用函数的增减性质来确定一个函数的单调性。

我们还需要注意函数在定义域上的特殊点，如奇点和间断点，这些点可能影响函数的单调性。

函数单调性在高中数学中有着广泛的应用。

比如在求函数的最值、解不等式、证明不等式等问题中，函数的单调性往往能起到关键作用。

在物理、化学等自然科学中，函数的单调性也常常被用来描述物理规律和现象。

2. 正文2.1 函数单调性的概念函数单调性是函数在定义域内具有特定的增减规律的性质。

简单来说，就是函数随着自变量的增大而增大，或随着自变量的减小而减小。

在数学中，函数单调性是对函数变化规律的一种重要描述，它能够帮助我们更好地理解和分析函数的性质。

具体来说，函数的单调性分为严格单调和非严格单调两种。

严格单调是指函数在整个定义域内严格递增或严格递减，即任意两个不同的自变量对应的函数值之间的大小关系是确定的。

非严格单调则是指函数在整个定义域内递增或递减，但可以存在相等的情况。

函数单调性的概念为我们提供了研究函数的新视角，通过研究函数的单调性，我们可以得到函数图像的大致形状和变化规律。

这对于解题和分析问题都有重要意义。

在高中数学中，函数单调性是一个重要的概念，通过对函数单调性的学习和理解，我们可以更深入地掌握函数的性质和特点。

函数单调性是数学中一个基础而重要的概念，它在高中数学中具有重要的教学意义和应用价值。

函数单调性与奇偶性

函数单调性与奇偶性1. 函数的单调性在数学中，函数的单调性描述的是函数在定义域内的变化趋势。

一个函数可以是递增的（增函数），也可以是递减的（减函数），也可以是既递增又递减的。

1.1 递增函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≤ f(x2)，那么这个函数就是递增函数。

简单来说，递增函数的值随着定义域内的值的增加而增加。

1.2 递减函数一个函数在定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) ≥ f(x2)，那么这个函数就是递减函数。

简单来说，递减函数的值随着定义域内的值的增加而减少。

1.3 严格递增和严格递减函数当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) < f(x2)，那么这个函数就是严格递增函数。

当一个函数的定义域内的任意两个值x1和x2，若满足x1 < x2，则函数值f(x1) > f(x2)，那么这个函数就是严格递减函数。

性质1：若f(x)在(a, b)内单调递增，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。

即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) < f(x2)。

性质2：若f(x)在(a, b)内单调递减，则在(a, b)内的任意一个开区间内，函数的值唯一决定自变量的值。

即如果x1和x2是定义域内的两个值，且x1 < x2，则有f(x1) > f(x2)。

性质3：若区间(a, b)上的函数单调递增，则它在(a, b)上的任意一个开区间内也单调递增。

2. 函数的奇偶性在数学中，函数的奇偶性描述的是函数的对称性质。

一个函数可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以是既奇又偶的。

2.1 奇函数如果一个函数f(x)满足对于任意的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数就是奇函数。

第3讲函数的单调性(教案).docx

函数的单调性教学目标：掌握函数单调性(高考要求B)教学重难点：掌握函数单调性的定义及证明方法，并会用函数单调性解决有关综合性问题。

教学过程：一、知识要点：1、函数单调性定义：对于给定区间D上的函数f(x),若对于任意x p x2 ED,当x/x2时，都有f(x I)<f(x2),则称f(x)是区间D上的增函数，D叫f(x)单调递增区间.当X]<X2时，都有f(X] )>f(X2)，则称f(x)是区间D上的减函数，D叫f(x)单调递减区间.2、函数单调性的判断方法：(1)定义法。

步骤是：①任取X], x2 eD,且x,<x2②作差f(xj— f(x°)或作商/輿(产(州)工0),并变形，③判定f(Xj— f(xj的符号，或比较卑2与1的大小，④根据定义作出结论。

(2)图象法；借助图象直观判断.(3)复合函数单调性判断方法：设y = =若内外两函数的单调性相同，则『=/[§(%)]在x的区间D内单调递增，若内外两函数的单调性相反时，则y = f[g(x)~\在X的区间D内单调递减。

3、常见结论增函数/(x) +增函数g(x)是增函数；减函数f(x) +减函数g(x)是减函数；增函数/(X)-减函数g(x)是增函数；减函数/(x) -增函数g(x)是减函数。

若f(x)为减函数，贝Ij-f(x)为增函数；若f(x)>0且为增函数，则函数丄在英定义域内为减函数；/(-V)二、基础练习：1. 写出下列函数的单调区间(1)y - kx + h,(2) y = — , (3) y = ax1 -^-bx+c.X2. 已知f(x)=(—疋+3P + 4)x + 2£—1在R上是增函数，则k的取值范围.(-1, 4) _________________3. 函数/(x) = x2+(771-1)x4-2在(—00,4]上是减函数，则求m的取值范围. 虑-74. 已知函数f(x) = x2 + 2ar+2,%G[-5,5]±是单调函数.a的取值范围是 ______□5. 函数/(x)在(0, +-)上是减函数，求/(/—a+i)与/(亍)的大小关系是 W三、例题精讲：题型1:单调性的判断：例1. (1)求函数y = -F+2|兀|+3的单调区间。

高一数学必修一知识点整合

高一数学必修一知识点整合引言本文档旨在整合高一数学必修一的知识点，为学生提供一个全面、系统的学习参考。

我们将按照教材的结构，逐章节梳理重点内容，以便学生更好地理解和掌握。

第一章：集合与函数概念1.1 集合- 集合的含义与表示方法- 集合的性质与运算- 集合的关系：子集、真子集、非空子集等1.2 函数概念- 函数的定义与表示方法- 函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等- 函数的图像：直线、二次函数、指数函数等第二章：函数的性质2.1 函数的单调性- 单调增函数与单调减函数的定义- 单调性的判断方法- 单调函数的图像特点2.2 函数的奇偶性- 奇函数与偶函数的定义- 奇偶性的判断方法- 奇偶函数的图像特点2.3 函数的周期性- 周期函数的定义与性质- 常见周期函数举例- 周期函数的应用第三章：方程与不等式3.1 方程的解法- 线性方程的解法：加减法、代入法等- 一元二次方程的解法：因式分解、配方法等- 方程组的解法：代入法、消元法等3.2 不等式的解法- 简单不等式的解法- 一元二次不等式的解法- 不等式组的解法3.3 方程与不等式的应用- 实际问题中的方程与不等式求解- 线性规划的基本方法第四章：数列4.1 数列的概念与性质- 数列的定义与表示方法- 数列的性质：收敛性、发散性等- 等差数列与等比数列的定义与性质4.2 数列的求和- 等差数列的求和公式- 等比数列的求和公式- 数列求和的常用方法：分组求和、错位相减法等4.3 数列的应用- 实际问题中的数列求解- 数列极限的概念与性质第五章：三角函数5.1 三角函数的概念与性质- 角度与弧度的转换- 三角函数的定义与表示方法- 三角函数的性质：单调性、奇偶性、周期性等5.2 三角函数的图像- 基本三角函数的图像特点- 三角函数图像的变换：平移、缩放等5.3 三角函数的应用- 实际问题中的三角函数求解- 三角恒等式的证明与变换结论本文档对高一数学必修一的知识点进行了全面、详细的整合，希望能为学生提供一个系统、清晰的学习参考。

对高中数学新教材第二章《函数》的认识解读

对高中数学新教材第二章《函数》的认识一、函数函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学数学后继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法也广泛地渗透到中学数学的全过程和其它学科之中。

因此，对本章内容力求学习得更好一些。

函数这一章的内容可分为三个单元。

第一单元：函数，主要介绍函数、函数的单调性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。

这部分是学习本章内容的基础。

第二单元：指数与指数函数第三单元：对数与对数函数本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，是近年高考的热点。

2.1 函数关于函数的定义设在某个变化过程中有两个变量 x 和y ，如果对于x 在某一范围内的每个确定的值，y 都有唯一确定的值与之对应，那么就称y 是x 的函数，x 叫做自变量•函数的三大要素是：定义•域、值域、对应法则。

判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。

2.2函数的表示方法： ① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解析式； ② 列表法； ③图象法。

分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。

甚至函数图象处处不连续，也可看作分段函数。

如何确定常见函数的定义域？(1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R ；(2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x 取值的集合(R 的子集)；(3 )当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取非负值的x 取值的集合(R 的子集)；(4 )当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的x 取值的集合(R 的子集)；(5 )当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际问题中 x 取值的意义。

例 1. 已知 f(x+1)= x 2 6x 2,求 f(0)，f(x).D(x)= ；1(x 为有理数)，、、0(x 为无理数)解：当x= — 1 时，x+仁0 , f(0)= f( —1+1)= ( —1)2+6( —1)+2=—3.法一：变量代换令X+仁t ，则x=t — 1 ,2f(t)=( t — 1) +6(t — 1)+22=t +4 t — 32f(x) = x +4 x — 3. f(0) = — 3.法二：配凑法2f(x+1) =( x +2x+1)+(4 x+4)+2 — 5=(x+1)2+4(x+1) — 32f(x) = x +4 x — 3.例2己知函数f(x)的定义域为〔0, 1〕，求函数f(2x)和f(x+1)的定义域.11解：0? 2x? 1= 0? x? ,••• f(2x)的定义域为〔0,〕.220? x+1 ? 1= — 1? x? 0, •f(x+1)的定义域•为〔—1, 0〕.例3求函数y = x - . 1 - 2x 的值域•2.3 函数的单调性什么叫做函数的单调性？设给定区间B 上的函数f(x)，对任x 1, X 2€ B (x 1< x 2),如果都有f(xj < f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是增函数，如果都有f(Xj > f(X 2)，那么称函数f(x)在间B 上是减函数. 可以表述为：(X 1 — X 2)〔 f(x 1) — f(X 2)〕> 0为增函数，(X 1 — X 2)〔 f(x 1)— f(X 2)〕< 0 为减函数，如果函数f(x)在某区间B 上是增函数或减函数，那么称f(x)在区间B 上具有俨格的)单调性，并把区间 B 叫做f(x)的单调区间.函数的单调性是函数的整体性之一1 2 1 X t+(t? 0).22y 二-1 1 —t E(t 1)21 (t? 0)22 2 故值域为〔 ——1〕.2求值域的方法：观察、配方、换兀、"法等。

判断函数单调性的方法

判断函数单调性的方法函数的单调性是指函数在定义域内是否递增或递减。

判断一个函数的单调性需要观察它的导数或增减性，下面将详细介绍判断函数单调性的方法。

一、定义函数的单调性假设函数f(x)定义在区间[a, b]上，如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≤f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递增；如果对于任意的x1, x2∈[a, b]，且x1<x2，有f(x1)≥f(x2)，那么函数f(x)在区间[a, b]上单调递减。

二、判断函数单调性的准则1. 函数导数法函数的导数能够反映函数的增减性，因此我们可以通过观察函数的导数来判断函数的单调性。

1.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；1.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)≤0，则函数在该区间上单调递减；1.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；1.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上的导函数f'(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。

2. 函数零点法2.1 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于零，即f(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；2.2 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于零，即f(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减；2.3 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒大于等于零，即f(x)≥0，则函数在该区间上单调递增；2.4 如果函数f(x)在区间[a, b]上恒小于等于零，即f(x)≤0，则函数在该区间上单调递减。

3. 函数一阶导数与二阶导数法如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≥0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)>0，则函数在该区间上严格单调递增；如果函数f(x)在区间[a, b]上的一阶导数f'(x)≤0，并且在该区间上的二阶导数f''(x)<0，则函数在该区间上严格单调递减。

2.3函数的单调性1

课题：2.3.1 函数的单调性1教学目的：（1）了解单调函数、单调区间的概念：能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思（2）理解函数单调性的概念：能用自已的语言表述概念；并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间（3）掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题：能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性教学重点：函数的单调性的概念；教学难点：利用函数单调的定义证明具体函数的单调性授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教材分析：函数的单调性是函数众多性质中的重要性质之一，函数的单调性一节中的知识是今后研究具体函数的单调性理论基础；在解决函数值域、定义域、不等式、比较两数大小等具体问题中均需用到函数的单调性；在历年的高考中对函数的单调性考查每年都有涉及；同时在这一节中利用函数图象来研究函数性质的数形结合思想将贯穿于我们整个高中数学教学在本节课中的教学中以函数的单调性的概念为线，它始终贯穿于整个课堂教学过程；利用函数的单调性的定义证明具体函数的单调性是对函数单调性概念的深层理解，且在“作差、变形、定号”过程学生不易掌握按现行新教材结构体系，学生只学过一次函数、反比例函数、正比例函数、二次函数，所以对函数的单调性研究也只能限于这几种函数学生的现有认知结构中能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大函数值增大”等变化趋势，所以在教学中要充分利用好函数图象的直观性、发挥好多媒体教学的优势；由于学生在概念的掌握上缺少系统性、严谨性，在教学中须加强根据以上分析本节课教学方法以在多媒体辅助下的启发式教学为主；同时，本节课在教学过程中对教材中的函数3x y =的图象进行了删除，教学中始终以23+=x y 、2x y =、xy 1=等函数为例子进行讨论研究教学过程：一、复习引入： ⒈ 复习：我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质，我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数的图象. 2x y =的图象如图1，3x y =2. ⒉ 引入：从函数2x y =的图象（图1）图象在y 轴的右侧部分是上升的，也就是说，当x 在区间[0，+∞)上取值时，随着x 的增大,相应的y 值也随着增大，即如果取21,x x ∈[0，+∞)，得到1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y <2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在[0,+ ∞)上是增函数. 图象在y 轴的左侧部分是下降的，也就是说，当x 在区间（-∞，0）上取值时，随着x 的增大，相应的y 值反而随着减小，即如果取21,x x ∈（-∞，0）1y =)(1x f ,2y =)(2x f ,那么当1x <2x 时，有1y >2y .这时我们就说函数y =)(x f =2x 在(-∞,0)上是减函数.函数的这两个性质，就是今天我们要学习讨论的.二、讲解新课：⒈ 增函数与减函数定义：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x ，⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数（如图3）；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数（如图4）.说明：函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的.有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当x ∈[0,+∞)时是增函数，当x ∈(-∞,0)时是减函数.⒉ 单调性与单调区间若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的.说明：⑴函数的单调区间是其定义域的子集；⑵应是该区间内任意的两个实数，个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数），例如，图5中，在21,x x 那样的特定位置上，虽然使得)(1x f >)(2x f ，显然此图象表示的函数不是一个单调函数；⑶除了严格单调函数外，还有不严格单调函数，它的定义类似上述的定义，只要将上述定义中的“)(1x f <)(2x f 或)(1x f >)(2x f , ”改为“)(1x f ≤)(2x f 或)(1x f ≥)(2x f ,”即可；⑷定义的内涵与外延：内涵是用自变量的大小变化来刻划函数值的变化情况；外延①一般规律：自变量的变化与函数值的变化一致时是单调递增，自变量的变化与函数值的变化相对时是单调递减.②几何特征：在自变量取值区间上，若单调函数的图象上升，则为增函数，图象下降则为减函数.三、讲解例题：例1 如图6是定义在闭区间[-5，5]上的函数)(x f y =的图象，根据图象说出)(x f y =的单调区间，以及在每一单调区间上，函数)(x f y =是增函数还是减函数.解：函数)(x f y =的单调区间有[-5，-2)，[-2，1)，[1，3)，[3，5]，其中)(x f y =在区间[-5，-2)，[1，3)上是减函数，在区间[-2，1)，[3，5]上是增函数.说明：函数的单调性是对某个区间而言的，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题；另外，中学阶段研究的主要是连续函数或分段连续函数，对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调，因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以；还要注意，对于在某些点上不连续的函数，单调区间不包括不连续点.例2 证明函数23)(+=x x f 在R 上是增函数.证明：设21,x x 是R 上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =(31x +2)-(32x +2)=3(1x －2x ),由1x <2x x,得1x －2x <0 ,于是)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f .∴23)(+=x x f 在R 上是增函数.例3 证明函数xx f 1)(=在(0,+∞)上是减函数. 证明：设1x ,2x 是(0,+∞)上的任意两个实数，且1x <2x ，则)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(0,+ ∞)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即)(1x f > )(2x f∴xx f 1)(=在(0,+ ∞)上是减函数. 例4．讨论函数322+-=ax x f(x)在(-2,2)内的单调性.解：∵222332a (x-a)ax x f(x)-+=+-=，对称轴a x =∴若2-≤a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是增函数；若22<<-a 则322+-=ax x f(x)在(-2,a)内是减函数,在[a,2]内是增函数若2≥a ,则322+-=ax x f(x)在(-2,2)内是减函数.四、练习：1：课本P59练习：1，2答案：)(x f 的单调区间有[-2,-1]，[-1,0]，[0,1]，[1,2]；)(x f 在区间[-2,-1]，[0,1]上是增函数，在区间[-1,0]，[1,2]上是减函数.)(x g 的单调区间有[-π,-2π]，[-2π,2π]，[2π, π]；)(x g 在区间[-π,-2π]，[2π，π]上是减函数，在区间[-2π，2π]上是增函数. 说明：要了解函数在某一区间是否具有单调性，从图象上进行观察是一种常用而又较为粗略的方法，严格地说，它需要根据增（减）函数的定义进行证明，下面举例说明.2判断函数23)(+-=x x f 在R 上是增函数还是减函数？并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(-31x +2)-(-32x +2)=3(2x -1x ),又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f .∴23)(+-=x x f 在R 上是减函数.3判断函数)(x f =x1在(-∞,0)上是增函数还是减函数并证明你的结论. 解：设1x ,2x ∈(-∞，0)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =11x －21x =2112x x x x -=2112x x x x -, 由1x ,2x ∈(-∞，0)，得1x 2x >0,又由1x <2x ,得2x －1x >0 ,于是)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f . ∴)(x f = x1在(0,+ ∞)上是减函数. 能否说函数)(x f = x1在(-∞，+∞)上是减函数？答：不能. 因为x =0不属于)(x f =x 1的定义域. 说明：通过观察图象，对函数是否具有某种性质，作出猜想，然后通过推理的办法，证明这种猜想的正确性，是发现和解决问题的一种常用数学方法.4 ⑴ 判断函数b kx x f +=)(在R 上的单调性，并说明理由.⑵ 课本P60练习：4.解：⑴设1x ,2x ∈R ，且1x <2x ,则)(1x f －)(2x f =(k 1x +b)-(k 2x +b)=k(1x -2x ).若k>0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f <0,即 )(1x f <)(2x f.∴b kx x f +=)(在R 上是增函数.若k<0，又1x <2x ,∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f .∴b kx x f +=)(在R 上是减函数.⑵设1x ,2x ∈(0,+∞)，且1x <2x ，∵)(1x f －)(2x f =(21x +1)-(22x +1)= 21x -22x =(1x +2x ) (1x -2x )∵0<1x <2x ,∴1x +2x >0，1x -2x <0，∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f ，∴)(x f =2x +1在(0,+∞)上是增函数.五、小结 ⒈讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其定义域的子集,因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域;⒉根据定义证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性. 六、课后作业：课本第60习题2.3：1，2，3 补充：⑴)(x f =41252-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 是以(25,41-)为顶点、对称轴平行于y 轴、开口向上的抛物线（如图）;它的单调区间是(-∞,25]与[25,+ ∞);它在(-∞,25]上是减函数，在[25,+ ∞)上是增函数. 证明：设1x <2x ≤25,则 )(1x f －)(2x f =21x -22x -5(1x -2x )=(1x +2x -5) (1x -2x ) ∵1x <2x 25≤,∴1x +2x <5，1x -2x <0，∴)(1x f －)(2x f >0,即 )(1x f > )(2x f ..∴)(x f =2x -5x +6在(-∞,25]上是减函数. 类似地，可以证明)(x f 在[25,+∞)上是增函数. ⑵)(x f =-2x +9的图象是以(0,9)为顶点、y 轴为对称轴、开口向下的一条抛物线（如图）；它的单调区间是(-∞,0]与[0,+∞)，它在(-∞,0]上是增函数，在[0,+∞)上是减函数.证明：设1x <2x ≤0,则)(1x f －)(2x f =-21x +22x =(1x +2x ) (2x -1x )∵1x <2x ≤0,∴1x +2x <0，2x -1x >0，∴)(1x f －)(2x f <0,即)(1x f <)(2x f.∴)(x f =9-2x 在(-∞,0]上是增函数.类似地，可以证明)(x f 在[0,+∞)上是减函数.七、板书设计（略）八、课后记：。