2.1 热物理问题的控制方程
3D仿真机房建模2
摘要本文以偏微分方程离散化方法及相关变量拟合为基础，建立了热物理过程的控制方程，解决了机房的流速分布及热分布问题，并对附件数据作了大量分析，并把热分布模型所解得的温度分布数据与所给实验数据作比较,从而检验了模型的准确性和方法的可靠性。
对于问题一，为了绘出热分布及流场分布及室内最高温度位置，由于所给的数据量很少，首先对已有数据进行插值，同时依据机房内的气体流动形式及温度的实际分布特性，将问题简化，做出同类型通道场分布近似相同的假设，故只需研究通道二和通道三的温度场和流场分布，即可代替整个冷通道和热通道的温度场和流场分布。
分别用matlab的interp2函数与griddata函数进行绘图，根据图像对实际物理情景如“热点后移”分析并解释，然后利用matlab在图像上遍历取点，找出了室内最高温度所在位置温度最高点，在距空调7.2m，离地面高2.1m处，最高温度为51.94 c ，并根据物理知识综合考虑温度与流场的关系，对结果的合理性进行了详细的分析。
对于问题二，基于用零方程表示的控制方程，对不同通道分别分析,假定相同的X 平面,由此得到了简化的二维的基于零方程的热分布模型, 将微分方程离散化的方法，对模型进行了求解，为使得结果与实际的误差更加明显，将实际测量值的差值与理论值相减，得到绝对误差与相对误差，且绘出误差直观图，与附件1数据作比较,误差较小。
对于问题三，定义该机房的总体任务量为1，根据模型及附件1的流场数据，为确定服务器实际的最优任务分配方案，并给出室内最高温度，首先根据模型和附件的数据，插值求出每个通道的最高温度随给定的12种不同机柜的工作量组合的变化情况。
由所得到不同工作量组合下不同通道最高温度值与各机组工作量之间的关系分析出每个通道的最高温度主要与距离最近的机柜工作量相关，再利用matlab提供的cftool工具拟合，发现指数关系能精确地拟合出最高温度与机柜工作量的关系。
根据前面得到的各通道的最高温度与机柜工作量的关系，设立如下目标：①热点温度最低；②各通道最高温度尽可能均衡；利用编程，求出给定实际任务量（0.8或0.5时）所对应的最优任务分配方案及最高温度。
流动传热及传质的控制方程
缺点： ①数学模化的全面和准确性需要不断提高：
Ⅰ、物理问题的数学模型是否正确（回流问题还是边界层问题， 稳态还是非稳态），否则，数值算法的改进没有意义。
Ⅱ、所有物性数据要可靠，否则减少数值误差的努力毫无意义。 ②真实再现某些过程的代价也是极其昂贵的或不可能；（用于气象，
石油） ③有些迫不得已的简化是致命的或大大降低其价值； ④计算结果准确性仍需接受实验或精确解检验。（如对有代表性点
把原来在空间与时间坐标中连续的物理量的场速度场温度场浓度场等用一系列有限个离散点节点上的值的集合来代替通过一定的原则建立起这些离散点上变量值之间关系的代数方程称为离散方程求解所建立起来的代数方程以获得所求解变量的近似值
流动与传热的数值计算
§1 绪论
1.1 引言 1、传热、传质与流体流动的重要性
工程设备（如结晶器，中间包，钢包及锅炉，高炉等） 内部流体流动及热交换过程，自然环境中的污染问题，暴 风雨雪，河流泛滥及着火过程中出现的热、质传递，流动 起着重要作用。 2、对过程估计和认识的必要性
一．质量守恒方程（连续性方程）
1.理论依据：质量守恒定律 2.数学描述： [单位时间内微元体中流体质量的增加]=[ 同一时间间隔内流入该微
元体的净质量] 3.数学表达式：
?? ? ? ?? u?? ? ?? v?? ? ?? w?? 0
?t ?x
?y
?z
?? ? div(? U) ? 0
?t
or
?? ? ? (? U) ? 0
五．控制方程的通用形式 引入背景：比较四个基本控制方程式，虽因变量各不相同，但它
)
?
div(?
gradu)
?
?p ?x
?
Su
控制方程 弱形式
控制方程弱形式引言控制方程（Control Equations）是工程领域中一类重要的数学方程，用于描述物理、化学或其他领域中的现象。
控制方程的弱形式（Weak Formulation）是对控制方程进行数学推导和变换，以满足特定条件和求解要求的一种形式。
本文将深入探讨控制方程的弱形式，包括定义、推导方法、求解步骤以及应用领域等方面。
定义控制方程通常以微分方程的形式出现，用于描述物理、化学或其他领域中的基本原理和规律。
控制方程的一般形式如下所示：L(u) = f (1)其中，u表示未知函数，L(u)表示对u的线性微分算子，f表示已知函数。
控制方程的目标是求解未知函数u，使得方程等式成立。
推导方法控制方程的弱形式是通过对控制方程进行适当的变换和推导得到的。
以下是一种常用的推导方法：1.乘以测试函数：将控制方程(1)两边分别乘以一个测试函数v(x)，得到如下形式：L(u)v = f*v (2)2.应用分部积分：对方程(2)中的左侧进行分部积分，得出：∫L(u)v dx = ∫f*v dx (3)其中，∫表示积分运算符，dx表示积分变量。
3.弱形式定义：将方程(3)中的等式改写为一种弱形式的定义，即要求：∫L(u)v dx = ∫f*v dx for all v (4)式中，for all v表示对于所有的测试函数v都成立。
求解步骤求解控制方程的弱形式通常包括以下步骤：1.选择适当的测试函数v(x)。
2.将控制方程(1)乘以测试函数，并应用分部积分得到弱形式的定义。
3.将弱形式的定义转化为离散形式，即将函数空间上的积分转化为有限个节点上的求和。
4.构造离散系统方程：根据离散形式，将所有的测试函数v(x)替换为离散的基函数，并构建线性方程组。
5.求解线性方程组：使用合适的数值求解方法求解线性方程组，得到未知函数的近似解。
应用领域控制方程的弱形式在各个工程领域中都有广泛的应用，以下列举了几个常见的应用领域：流体力学在流体力学中，控制方程通常是以Navier-Stokes方程的形式出现。
对流换热—2章1
2. 数学性质
从数学上看，边界层动量方程与能量方程都由原来的椭圆型 方程转化为抛物型方程，所描述问题由边值问题转化为初值问题。 二元二阶偏微分方程：
A xx B xy C yy D x E y F G( x, y )
其中， A, B, C , D, E , F , G 均为x、y的函数。 当
恒关系，不能保证边界层内任意分布函数，我们称其解为近 似解。就方程本身的性质而言，在数学上其解称为”弱解”。 边界层微分方程：尽管比原始方程简单，但还是针对边界层内任 意小的微元体建立守恒关系，其解仍称为精确解。
需要说明：对大多数层流强制对流换热，往往忽略体积力和
没有影响，也就是说，边界层流动在主流方向上呈现出步进性。
y向动量方程中：对流项、扩散项均比x向动量方程中的小得多， 可忽略，即y向的动量变化很小。此时边界层方程简化为：
p 0 y
（2.1.3）
这说明：边界层内，压力 P沿 y方向几乎无变化，而仅是 x的函数， 在任何x处截面上，各点压力相等、等于边界层外主流压力。 在主流区：
3、边界条件
描述一般二维稳态层流对流换热的微分方程是椭圆型方程，其 解的依赖域是整个求解域的封闭边界，这意味着边界条件须给出 求解域四条边界线上所有因变量的值、或分布函数、或导数。
而描述二维层流边界层稳态对流换热的微分方程是抛物型方 程，不需给出下游边界上的条件。
如对绕流等温平壁的二稳态层流边界层对流换热： u
了对流换热理论的发展。
到目前为止，已获得了十几个层流对流换热问题的分析解。 下面介绍边界层理论的要点及边界层微分方程的数理性质。
一、边界层理论要点
1.流动边界层
绕流固体壁面的流场可分 为边界层、主流（势流区） 两个特征不同的流动区域：
常微分方程对物理问题的解析及应用
常微分方程对物理问题的解析及应用在物理学中，常微分方程（ODE，ordinary differential equation）被广泛应用于描述物理现象。
常微分方程是一种描述未知函数和它们的导数之间关系的方程。
这种方程有各种各样的解法，其中最常用的是分离变量法和变量代换法。
在本文中，我们将介绍常微分方程在物理中的应用以及解决物理问题的方法。
一、常微分方程在物理中的应用物理学家使用常微分方程来描述各种现象，如力学、电磁学、热学、光学等等。
下面是一些例子：1. 力学中的应用：在质点运动学中，通过运用牛顿第二定律，可以使用常微分方程描述出质点的运动状态。
例如，机械振动的运动方程可以表示为：$$\frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{k}{m}x = 0$$其中，x是质点的位移，t是时间，k是弹性系数，m是质点的质量。
2. 电磁学中的应用：在电磁学中，麦克斯韦方程组可以用常微分方程的形式表示出来。
例如，欧姆定律可以表示为下面的常微分方程：$$\frac{dI}{dt} + \frac{R}{L}I = \frac{V}{L}$$其中，I是电流强度，R是电阻，L是电感，V是电压。
3. 热学中的应用：在热学中，热传导方程可以表示为下面的常微分方程：$$\frac{\partial T}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 T}{\partial x^2}$$其中，T是温度，t是时间，x是空间。
这个方程描述了温度随时间和空间的变化。
二、常微分方程的解析方法求解常微分方程的方法有很多种，但我们只介绍两种最常用的方法：分离变量法和变量代换法。
1. 分离变量法分离变量法是常微分方程中最常用的方法之一。
此法的思想是将未知函数和它的导数分别放在不同的一侧，然后两侧同时进行积分。
例如下面的方程：$$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$$可以通过将它变形得到：$$\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$$然后两边同时积分：$$\int \frac{dy}{g(y)} = \int f(x)dx$$这样就可以求得y的解。
《化工热力学》学习体会报告
P1V1 = P2V2 = nR
T1
T2
4、Redlich-Kwong（RK）方程
5、Soave（SRK）方程
6、Peng-Robinson（PR）方程
第三章 纯物质的热力学性质 1.热力学性质之间的关系
dU TdS pdV
-3-
H=U+PV
dH TdS Vdp
A=U-TS
dA SdT pdV
2、化工热力学及其特性： 所谓热力学主要是研究热现象和能量转换的。热力学以宏观体系作为自己的
研究对象,就其内容而言,它涉及到热机的效率,能源的利用,各种物理、化学乃至 生命过程的能量转换,以及这些过程在指定条件下有没有发生的可能性。如今热 力学已广泛的用于研究各种能量之间的关系，热力学从远古时期发展至今，可称 它为一门“完善”的科学，这主要表现在它具有四大特性：⑴严密性 ⑵完整性 ⑶ 普遍性 ⑷精简性
第二章、流体的 P-V-T 关系 1、纯物质的P-V-T 性质
流体的P-V-T 数据是化工生产﹑工程设计和科学研究最为基本的数据，它们 是化工热力学的基础数据。三维立体图2-1 是典型的纯物质的P-V-T 关系图。
2、 P-V-T 关系 对于纯物质而言，在单相区里，PVT 三者之间存在着一定的函数关系，用数
dB0
dTr
dB1 dTr
B0
0.083
0.422 T 1.6
r
B1
0.139
0.172 T 4.2
r
导出：
dB0 0.675
dTr
T 2.6 r
dB1 0.772
dTr
T 5.2 r
3.两项系统的热力学性质及热力学图表
对化工过程进行热力学分析，对工程进行工艺与设备计算时，需要物质在各 种状态下的焓、熵、比容等热力学参数的数据，希望能够迅速、简便的获得所研
传热学-第二章导热基本定律及稳态传热
d 时间X方向流入与流出微元体的热流量
dQx
- dQxdx
- qx x
dxdydz d
( t ) dxdydz d
x x
d 时间Y方向流入与流出微元体的热流量
dQy
- dQydy
- q y y
dy dxdz d
y
( t ) dxdydz d
y
2.4 导热微分方程及定解条件
影响热导率的因素：物质的种类、材料成分、温度、压力及 密度等。
2.3 导热系数
2.3.1 气体导热系数
气体导热——由于分子的无规则热运动以及分子间 的相互碰撞
1 3
vlcv
v 3RT M
V 气体分子运动的均方根 m/s L 气体分子两次碰撞之间的平均自由程 m
Cv气体的定容比热 J/kg·℃
2.3 导热系数
2.4 导热微分方程及定解条件
建立数学模型的目的：
求解温度场 t f x, y, z,
步骤： 1）根据物体的形状选择坐标系, 选取物体中的 微元体作为研究对象； 2）根据能量守恒, 建立微元体的热平衡方程式； 3）根据傅里叶定律及已知条件, 对热平衡方程式 进行归纳、整理，最后得出导热微分方程式。
通过某一微元面积dA的热流：
dA q
d
q dA
t
n
dA
t
dydz
t
dxdz
t
பைடு நூலகம்
dxdy
n
x
y
z
2.2导热的基本定律
例：判断各边界面的热流方向
2.3 导热系数
由傅里叶定律可得，导热系数数学定义的具体形式为：
q t n
能量控制方程源项计算过程___概述说明
能量控制方程源项计算过程概述说明1. 引言1.1 概述本文旨在介绍能量控制方程源项计算过程的方法和步骤，并通过实例分析与应用验证其有效性。
能量控制方程是工程领域中常用的一种计算模型，它用于描述物体或系统中能量的变化和转换过程。
源项计算是根据系统特征和边界条件确定能量方程中各项的大小和作用方式，对于正确研究系统内部能量交互至关重要。
1.2 文章结构本文的结构如下：引言：提供文章研究目的、概述以及结构安排。
能量控制方程源项计算过程：介绍能量控制方程的基本概念和源项计算方法，详细解释源项计算过程中所涉及的步骤。
实例分析与应用：通过具体案例研究，展示并验证所介绍的能量控制方程源项计算方法的应用价值。
结果与讨论：展示并分析实际计算结果，并对比分析其他方法的优缺点。
结论与展望：总结本文内容和主要贡献，并对未来的研究方向提出展望和建议。
1.3 目的本文旨在介绍能量控制方程源项计算过程的方法和步骤，并提供实例分析与应用来验证该方法的有效性。
通过研究能量控制方程源项计算，我们可以更准确地理解系统中能量的转化和传输过程，从而为改进系统设计、优化能源利用等提供理论基础。
同时，此文档也为相关领域的研究者提供了一个参考并促进学术交流与讨论。
2. 能量控制方程源项计算过程2.1 能量控制方程概述能量控制方程是描述能量传输和转化的数学表达式，在许多科学和工程领域中都具有重要应用。
它可以用于分析系统内部的能量流动和变化，并提供了优化系统效率和设计改进的依据。
在本节中，我们将介绍能量控制方程的基本概念和公式。
2.2 能量源项计算方法为了完整地描述能量传递过程，我们需要计算能量控制方程中的源项。
源项代表了影响系统内能量变化的各种因素，如热传导、辐射、对流等。
准确计算这些源项对于准确分析系统内能量流动至关重要。
在本节中，我们将介绍一些常见的能量源项计算方法。
2.3 源项计算过程步骤为了计算能量控制方程中的源项，我们需要进行一系列步骤。
第二章稳态热传导
xx d x xx x xd x xx x x t xd y d z d x yy d y yy y yd y yy y y t yd x d z d y
使微分方程获得适合某一特定问题的解的附加条件，
称为定解条件。
初始条件
非稳态导热
边界条件
稳态导热
边界条件
导热问题的数学描写
二、边界条件分类
1、第一类边界条件：指定边界上的温度分布。
如右图中：
x 0, t tw1 x ,t tw2
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时 ,twf1
zz d z zz zzd z zz z z t zd x d y d z
导热问题的数学描写
微元体热力学能（即内能）的增量= c t dxdydz
微元体内热源的生成热= d x d y d z
式中：ρ——微元体的密度； c ——微元体的比热容； Φ——单位时间内单位体积中内热源的生成热； τ ——时间;
导热问题的数学描写
2、第二类边界条件：指定边界上的热流密度值。 如右图中：
x
,t
x
qw
对于非稳态导热，这类边界条件还需要给出以下关系式：
0时,-nt wf2
导热问题的数学描写
3、第三类边界条件：指定边界上物体与周围流体间的表面传 热系数h及周围流体的温度tf。 如右图中：
x, xtxqwhtwtf
各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温 度分布。
t f x,y,z,
稳态温度场（定常温度场）
t f x,y,z
瞬态温度场（非定常温度场）
数值传热学总结
1. 质量守恒方程：单位时间内微元体中流体质量的增加=同一时间间隔内流入该微元体的净质量2. 动量守恒方程：微元体中流体动量的增加率=作用在微元体上各种力之和3. 能量守恒方程：微元体内热力学能的增加率=进入微元体的净热量+体积力与表面力对微元体做的功4. 控制方程的通用形式：展开形式：5. 控制方程的守恒与非守恒形式对比：1.从微元体的角度，控制方程的守恒形式与非守恒形式是等价的，都是物理的守恒定律的数学表示。
2.从数值计算的观点，守恒型的方程有两个优点。
A 守恒型的控制方程可以使激波的计算结果光滑而且稳定，而应用非守恒型方程时激波的计算结果会在激波前及后引起解的振荡，并导致错误的激波位置。
B 只有守恒型的控制方程才可以保证对有限大小的控制容积内所研究的物理量的守恒定律仍然得到满足。
6. 初始条件是所研究现象在过程开始时刻的各个求解变量的空间分布，必须予以给定。
对于稳态问题不需要初始条件。
边界条件是在求解区域的边界上所求解的变量或其一阶导数随地点及时间的变化规律。
7. 二维稳态层流控制方程： 质量守恒方程：0=∂∂+∂∂yv x u 动量守恒方程：)(1)()(2222yu x u x p y vu x uu ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ )(1)()(2222yv x v y p y vv x uv ∂∂+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂νρ 能量守恒方程：)()()(2222yT x T a y vT x uT ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂ 8. 偏微分方程的三种类型：双曲型b2-4ac>0，过该点有两条实的特征线；抛物型b2-4ac=0过该点有一条实的特征线；椭圆型b2-4ac<0过该点没有实的特征线。
9. 椭圆型方程：描写物理学中一类稳态问题，这种物理问题的变量与时间无关而需要在空间的一个闭区域内来求解。
这类问题又称边值问题。
稳态导热过程，有回流的流动与对流换热都属于椭圆型问题，其控制方程都是椭圆型的。
物理化学目录
物理化学目录第一章热力学基础概念1.1 热力学系统的分类与性质1.2 温度与热量1.3 内能与热力学第一定律1.4 焓与熵的概念1.5 热力学第二定律及其表述1.6 热力学函数与可逆过程第二章能量转化与计算2.1 热功转化与热机效率2.2 化学反应热与热化学方程式2.3 焓变的计算与标准生成焓2.4 熵变的计算与标准熵2.5 自由能与吉布斯自由能变2.6 反应方向与平衡常数第三章过程变化与平衡3.1 理想气体状态方程及其应用3.2 实际气体与范德华方程3.3 相变与相平衡3.4 化学平衡与平衡常数3.5 化学反应的方向与限度3.6 多相平衡与相图第四章物质分离与提纯4.1 溶液的基本概念与性质4.2 溶解度与溶度积4.3 溶质分配定律与萃取分离4.4 蒸馏与分馏原理及应用4.5 结晶与重结晶方法4.6 色谱分离技术与原理第五章电化学与界面现象5.1 电解质溶液的电导与电导率5.2 离子迁移数与电迁移5.3 电动势与电池反应5.4 电解与极化现象5.5 界面张力与吸附作用5.6 双电层理论与界面电位第六章化学动力学基础6.1 化学反应速率的定义与表示6.2 反应速率的影响因素6.3 反应速率方程与速率常数6.4 反应机理与速率控制步骤6.5 温度对反应速率的影响与阿累尼乌斯方程6.6 催化作用与催化剂第七章物理化学实验方法7.1 热力学实验方法与技术7.2 电化学实验方法与技术7.3 化学动力学实验方法与技术7.4 仪器分析方法与技术在物理化学中的应用7.5 数据处理与实验误差分析第八章相关领域应用与拓展8.1 物理化学在能源与环境领域的应用8.2 物理化学在材料科学中的应用8.3 物理化学在生命科学中的应用8.4 物理化学在化工生产中的应用8.5 物理化学的前沿领域与发展趋势本目录旨在为读者提供一个系统的物理化学知识体系框架，涵盖了热力学、能量转化、过程变化、物质分离、电化学、化学动力学以及物理化学实验方法等多个方面。
工程热力学知识点总结
工程热力学知识点总结1. 热力学基本概念1.1 热力学系统：研究对象，与周围环境有能量和物质交换。
1.2 环境：系统之外的一切，与系统形成对比。
1.3 边界：系统与环境之间的分界线。
1.4 状态：系统在某一时刻宏观性质的集合。
1.5 平衡态：系统状态不随时间变化的状态。
1.6 过程：系统从一个平衡态到另一个平衡态的演变。
2. 热力学第一定律2.1 能量守恒：系统内能量的变化等于热量与功的和。
2.2 内能：系统内部微观粒子动能和势能的总和。
2.3 热量：系统与环境之间由于温度差而交换的能量。
2.4 功：系统对环境或其他系统施加的力与其位移的乘积。
2.5 热力学第一定律公式：ΔU = Q - W。
3. 热力学第二定律3.1 熵：系统无序度的量度，是不可逆过程的度量。
3.2 孤立系统：不与外界交换能量或物质的系统。
3.3 熵增原理：孤立系统熵永不减少。
3.4 卡诺定理：所有热机的最大效率由卡诺循环确定。
4. 热力学性质4.1 温度：系统热动能的度量，是热力学过程的驱动力。
4.2 压力：分子对容器壁单位面积的平均作用力。
4.3 体积：系统占据的空间大小。
4.4 比热容：单位质量的物质温度升高1K所需吸收的热量。
4.5 热容：系统温度升高1K所需吸收的热量。
5. 理想气体行为5.1 理想气体状态方程：PV = nRT。
5.2 摩尔体积：1摩尔理想气体在标准状态下的体积。
5.3 气体常数：理想气体状态方程中的常数R。
5.4 马略特定律：理想气体在恒定温度下，体积与压力成正比。
5.5 波义耳定律：在恒温条件下，理想气体的压强与其体积成反比。
6. 热力学循环6.1 卡诺循环：理想化的热机循环，由四个可逆过程组成。
6.2 奥托循环：内燃机的理想循环，包括等容加热、绝热膨胀、等容放热和绝热压缩。
6.3 朗肯循环：蒸汽动力循环，包括泵吸、锅炉加热、涡轮膨胀和冷凝器排热。
7. 相变与潜热7.1 相变：物质从一种相态转变为另一种相态的过程。
热物理过程数值模拟
1.简要分析热物理过程问题的研究方法，分析其异同。
研究方法：分析解法；实验方法；数值模拟分析解法：优点：（1）精确预测了数学模型所控制的热物理过程；（2）函数形式的解使得可以确定区域中任意位置物理量的大小；（3）以显函数的形式，展示各有关参量对该热物理过程的影响；（4）由于是函数形式的解，便于进一步的运算、处理，例如求导、积分。
缺点：（1）获得分析解的可能较小；（2）即使能求得分析解，也常常是无穷级数，特殊函数以及涉及特征值问题的超越函数，要得到具体的数值结果，也需要繁复的计算；（3）数学模型的结果也需要有实验检验。
实验方法：优点：（1）可以获得热物理过程可靠的数据资料；（2）全比例设备实验可预测由它完全复制的同类设备在相同条件下将如何运行和变化；（3）是研究一种新的基本现象的唯一方法；（4）是检验其它预测方法准确程度的标准。
缺点：（1）全比例实验代价大（投资，物力，人力，周期……）；（2）缩小比例模型实验→结果的外推受准则数实验范围的限制，有些在全比例设备上才能出现的特征在缩小比例模型上并非总是能模拟（例如流动的涡），降低了模型试验的效果；（3）测试困难及测量误差；（4）有些过程无法预先进行试验（航天，气象预报……）数值模拟：优点：（1）成本低：在大多数实际应用中，计算机运算的成本要比相应的实验研究成本低好几个数量级，对象愈庞大，过程愈复杂，此优点愈突出；同时，与大多数物品价格不断上涨的趋势相反，计算成本还会降低；（2）速度快，周期短；不同方案的对比计算和优选，这对某些大型实验几乎是不可能的。
（3）信息完整：能提供计算区域内所有各个位置上有关变量的值（速度、压力、温度、浓度等），而实验则不可能测出整个区域各点处所有变量的值。
（4）具有模拟真实条件的能力：几何条件、边界条件、物性条件、初始条件……很容易模拟真实条件，不需要采用缩小模型或冷态实验，无论大小、高位，低温、过程快、慢。
（5）具有模拟理想条件的能力：对于研究物理现象而不是工程问题时，注意力集中几个基本参数而要设法消除所有无关的因素。
热力学热容和热传导方程
热力学热容和热传导方程热力学热容和热传导方程是研究物体热力学性质和热传导过程中的重要方程。
本文将就热力学热容和热传导方程的定义、特点以及应用进行讨论和探索。
一、热力学热容热力学热容是描述物体吸热能力的物理量，通常用符号C表示。
热容的定义是单位质量物质温度升高1摄氏度所需吸收的热量。
根据定义，热容可以用下式表示：C = dq / (m * dT)其中，C表示热容，dq表示吸收的热量，m表示质量，dT表示温度变化。
热容有两种不同的定义，分别是定压热容和定容热容。
定压热容表示在压强不变的情况下，单位质量物质温度升高1摄氏度所需吸收的热量，用符号Cp表示；定容热容表示在体积不变的情况下，单位质量物质温度升高1摄氏度所需吸收的热量，用符号Cv表示。
在实际应用中，定压热容和定容热容往往有一定的差别，因此需要根据实际情况进行选择。
例如，在气体热力学问题中，往往使用定压热容；而在固体热力学问题中，定容热容更为常用。
二、热传导方程热传导是指物体内部因温度差异而发生的热量传递过程。
热传导方程描述了热传导的数学规律，通常用符号∇·(k∇T) = ρc∂T/∂t来表示。
其中，∇表示梯度算子，k表示热传导系数，T表示温度，ρ表示密度，c表示热容，t表示时间。
热传导方程的形式可以根据不同情况进行推导和变形，常见的形式有一维稳态热传导方程、一维非稳态热传导方程以及三维热传导方程等。
这些方程在热传导问题的计算和分析中有着重要的应用。
热传导方程的求解可以通过数值方法或者解析方法进行，具体方法根据实际问题的复杂程度和求解精度来选择。
通过热传导方程的求解，可以研究物体的热传导特性以及温度分布的变化情况，对于工程设计和科学研究具有重要意义。
三、应用与展望热容和热传导方程的应用涵盖了多个领域。
在工程领域中，热容和热传导方程的研究可以用于热工系统的设计与优化，例如锅炉、换热器、冷却器等设备。
同时，研究热传导方程可以帮助我们了解材料的热传导性能，指导材料的选择与设计。
偏微分方程在物理学和工程中的应用
偏微分方程在物理学和工程中的应用随着科技的不断发展，偏微分方程越来越被广泛应用于物理学和工程领域。
简单来讲，偏微分方程是研究一个多元函数关于各个自变量的一些数学性质及其满足的方程式。
由于它能够有效地描述自然现象和物理参数，因此它成为了许多领域的标准工具。
1. 偏微分方程在物理学中的应用1.1 热传导方程热传导方程是最常见的偏微分方程之一，描述了物体如何从高温区域向低温区域传递热量。
温度不仅影响着物质的状态，而且还是各种热力学系统的可测量量。
热传导方程可以应用于许多物理问题，包括热伸缩、金属加热、建筑物冷却、地下水流等。
通过分析这些方程，我们可以更好地了解温度如何影响各种物理过程的性质和结果。
1.2 声波方程声波方程描述了空气或液体中声波如何传播。
声波方程对于诊断医学、无损检测、地震测试等应用非常重要。
如果我们可以解决方程，就能够了解地震波在岩石中如何传播以及如何测量地下水的位置。
在医学领域，超声波成像也是应用偏微分方程的重要方法之一。
1.3 电磁方程电磁方程描述了电磁波的传播，包括光波、微波和无线电波等。
电磁方程的应用范围广泛，涵盖了许多领域，包括通讯、微波炉、雷达、X射线和激光。
一个非常常见的电磁方程是麦克斯韦方程组，该方程组描述了电磁波在真空中的行为。
2. 偏微分方程在工程领域中的应用2.1 流体力学流体力学是应用偏微分方程领域中最广泛的领域之一。
它研究物体怎样在液体和气体等流动媒介中运动。
流体力学的应用非常广泛，包括飞机翼的设计、汽车空气动力学、船舶设计和机器人技术等。
对于任何机械工程师或航空航天工程师来说，了解流体力学的基础知识都是重要的。
2.2 结构动力学结构动力学是研究物体在外界力下的振动特性，其中最常见的问题是如何评估建筑物、桥梁和飞机等结构承载能力。
结构动力学的应用包括模拟地震、机器振动、车辆碰撞等任何有关动态负载的应用，这些问题都可以用一系列的偏微分方程来解决。
2.3 物质传输物质传输方程主要是用来描述各种物质从高浓度区域到低浓度区域的扩散过程以及在不同形态下的转化，如气体、液体和固体。
热扩散方程的研究
热扩散方程的研究热扩散方程是描述热能传递过程的方程，它在物理学、工程学、科学计算等领域有着广泛的应用。
它的形式是 $u_t = \alpha u_{xx}$，其中 $u$ 表示温度场，$t$ 表示时间，$x$ 表示空间位置，$\alpha$ 是热扩散系数。
本文将探讨热扩散方程的基本性质、数学解法以及应用实例。
1. 基本性质热扩散方程是一种偏微分方程，具有以下基本特征：1.1 不存在瞬间传递热的传递需要时间，热扩散方程中的 $\alpha$ 系数就是用来描述热的传递速度的。
显然， $\alpha$ 越小，热的传递越慢。
因此，不存在瞬间传递的情况。
这也是热扩散方程与热传导方程的区别。
1.2 保持温度平衡热扩散方程中，温度场会随着时间不断变化，但是在空间上保持着平衡状态。
也就是说，在一个区域内，温度场的变化和扩散是相互平衡的，它们能够保持一定的稳定性。
1.3 稳定性分析热扩散方程是一个稳定性问题，它的稳定性与初始条件和边界条件有关。
通过数学分析，可以证明热扩散方程在满足一些条件的情况下是稳定的，这为实际应用提供了理论基础。
2. 数学解法求解热扩散方程是一种常见的数学问题，有多种数值方法可以用来求解。
下面介绍几种常见的解法：2.1 分离变量法分离变量法是一种简单但有效的求解热扩散方程的方法。
它利用了热扩散方程的线性性质和特殊的解法形式，可以快速得到精确的解。
2.2 有限差分法有限差分法是一种常用的数值求解方法，它利用有限差分的技巧将热扩散方程转化为一个差分方程，然后通过迭代求解来得到近似解。
这种方法的求解速度较快，但精度较低。
2.3 有限元法有限元法是一种比较新的数值解法，它利用有限元分析的技术将热扩散方程转化为一个线性方程组，然后通过求解线性方程组得到精确解。
这种方法的计算量较大，但精度较高，可以用于复杂的热传递问题。
3. 应用实例热扩散方程在实际应用中有着广泛的应用，下面介绍几个实例：3.1 材料热处理材料热处理是一种重要的制造工艺，通过控制材料的温度来改变其微观结构和性质。
控制方程 弱形式
控制方程弱形式以控制方程弱形式为标题的文章：在数学和物理学中，控制方程的弱形式是一种常用的数学工具，用于描述和求解各种物理现象和工程问题。
控制方程的弱形式是对原始方程进行变分处理后得到的，通过引入合适的试验函数和适当的边界条件，将原始方程转化为一组弱形式方程。
本文将介绍控制方程的弱形式的基本概念、求解方法和应用领域。
控制方程的弱形式是一种数学形式，它通过对原始方程进行变分处理后得到。
变分处理是一种数学方法，通过引入试验函数和适当的边界条件，将原始方程转化为一组弱形式方程。
试验函数是一种满足一定条件的函数，用于近似原始方程的解。
边界条件是问题的约束条件，它限制了试验函数在边界上的取值。
通过将原始方程转化为弱形式方程，可以得到更容易求解的数学问题。
控制方程的弱形式在工程和物理学中有广泛的应用。
例如，在流体力学中，通过控制方程的弱形式可以求解流体的运动和压力分布。
在结构力学中，通过控制方程的弱形式可以求解结构的变形和应力分布。
在热传导问题中，控制方程的弱形式可以求解温度分布。
在电磁学中，通过控制方程的弱形式可以求解电场和磁场的分布。
控制方程的弱形式还可以用于优化设计和参数估计等问题。
控制方程的弱形式的求解方法有多种。
其中最常用的方法是有限元法。
有限元法是一种数值计算方法，通过将问题的求解域分割成有限个小单元，然后在每个小单元上构建试验函数和弱形式方程，最后将所有小单元的方程组合起来求解整个问题。
有限元法具有较高的计算精度和灵活性，适用于各种复杂的工程和物理问题。
除了有限元法，控制方程的弱形式还可以用其他数值方法进行求解，如边界元法、有限差分法、谱方法等。
这些方法在不同的问题和领域中有各自的优势和适用性。
选择合适的数值方法需要考虑问题的特点、计算资源和求解精度等因素。
总结起来，控制方程的弱形式是一种数学工具，用于描述和求解各种物理现象和工程问题。
通过引入试验函数和边界条件，将原始方程转化为一组弱形式方程，可以得到更容易求解的数学问题。
传热控制方程
传热控制方程（原创版）目录一、传热控制方程的概念二、传热控制方程的种类三、传热控制方程的应用四、传热控制方程的求解方法正文一、传热控制方程的概念传热控制方程是研究物体内部热量传递规律的一种数学模型，它是以物理、数学和工程学为基础，对物体在各种热工况下内部温度分布进行定量描述的方程。
传热控制方程广泛应用于化工、能源、建筑、航空航天等领域。
二、传热控制方程的种类根据物体的热传导机理和边界条件，传热控制方程可以分为以下几类：1.一维稳态传热控制方程：描述物体在恒定边界条件下，温度沿某一方向分布的方程。
2.二维稳态传热控制方程：描述物体在恒定边界条件下，温度在两个方向上分布的方程。
3.三维稳态传热控制方程：描述物体在恒定边界条件下，温度在三个方向上分布的方程。
4.一维非稳态传热控制方程：描述物体在非恒定边界条件下，温度沿某一方向分布的方程。
5.二维非稳态传热控制方程：描述物体在非恒定边界条件下，温度在两个方向上分布的方程。
6.三维非稳态传热控制方程：描述物体在非恒定边界条件下，温度在三个方向上分布的方程。
三、传热控制方程的应用传热控制方程在工程技术中有着广泛的应用，以下是一些典型的应用场景：1.建筑物的节能设计：通过求解传热控制方程，可以预测建筑物在不同气候条件下的温度分布，从而优化建筑物的保温结构和材料选择，提高建筑物的能源利用效率。
2.工业设备的热设计：通过求解传热控制方程，可以预测工业设备在运行过程中的温度分布，从而优化设备的结构和材料选择，提高设备的安全性和可靠性。
3.热力系统的运行控制：通过求解传热控制方程，可以预测热力系统中各设备的温度分布，从而优化系统的运行参数，提高系统的热效率。
四、传热控制方程的求解方法求解传热控制方程的方法有很多，以下是一些常用的方法：1.分离变量法：将传热控制方程中的变量进行分离，从而将复杂问题简化为多个简单问题，依次求解得到最终结果。
2.有限差分法：将传热控制方程离散化为有限个节点上的方程组，通过求解方程组得到节点温度分布，从而获得整个区域的温度分布。
阿伦尼乌斯方程式
阿伦尼乌斯方程式阿伦尼乌斯方程式是描述热传导过程中温度分布的一种数学模型。
该方程式是由法国数学家让-巴普蒂斯特·约瑟夫·阿伦尼乌斯于1822年提出的，用于描述固体物体内部的温度分布和传热速率。
阿伦尼乌斯方程式的基本形式为：∂T/∂t = α(∂²T/∂x²)其中，T是温度关于时间和空间的函数，t是时间，x是空间坐标，α是热扩散系数。
该方程式表达了温度随时间和空间变化的关系，即温度随时间的变化率等于热扩散系数与温度随空间的二阶导数的乘积。
阿伦尼乌斯方程式的含义是，物体内部的温度分布随时间的推移而发生变化，变化的速率由热扩散系数决定。
热扩散系数越大，温度的变化越快，传热速率越高。
热扩散系数与物质的热导率、密度和热容量等物理属性有关。
阿伦尼乌斯方程式在热传导领域有着广泛的应用。
通过求解该方程式，可以得到物体内部的温度分布随时间的演化过程。
这对于热传导问题的研究和工程应用具有重要意义。
在实际应用中，阿伦尼乌斯方程式可以通过数值方法求解。
常用的数值方法包括有限差分法、有限元法和网格法等。
通过将物体离散化为一系列小区域或网格单元，可以将阿伦尼乌斯方程式转化为一组离散的代数方程，然后通过迭代求解这些方程，得到温度分布的近似解。
阿伦尼乌斯方程式在工程领域的应用非常广泛。
例如，在热处理过程中，通过控制加热时间和温度，可以使物体的温度分布达到所需的状态。
在电子器件的散热设计中，可以利用阿伦尼乌斯方程式来分析散热效果，优化散热结构。
此外，阿伦尼乌斯方程式还可以应用于地下水热传导、大气环流和地球内部热传导等领域的研究。
总结起来，阿伦尼乌斯方程式是用于描述热传导过程中温度分布的一种数学模型。
它通过描述温度随时间和空间变化的关系，揭示了物体内部的热传导规律。
阿伦尼乌斯方程式在热传导问题的研究和工程应用中具有重要作用，通过数值方法可以求解该方程式，得到温度分布的近似解。
通过应用阿伦尼乌斯方程式，可以优化热处理、散热设计等工程问题，也有助于地下水热传导、大气环流等领域的研究。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
特征线和依赖区
• 任意时刻 t，解域被垂直于行进方向轴的直 线 t=const 区分为两个区域。此线称为该抛 物型方程的特征线
• 以此线为分界线，它的整个上游区域都是 依赖区，整个下游区域均为影响区
（3） 对流-扩散问题
• 既包含对流，又有扩散，为对流扩散问题
• 方程除了一阶的时间或类时间坐标导数外 ，含有一阶、二阶的空间导数项 • 时间或类时间导数代表行进过程，一阶空 间导数代表对流，二阶空间导数代表扩散
两族特征线
以此为坐标系，则 A = C = 0
1 ＝－ [ D E F g ] h4 ( , , , , ) B 双曲型方程的第二种标准型式
坐标变换的 Jacobi 行列式
( , ) x y J xy y x ( x, y ) x y
转换为新坐标下的方程：
A B C D E F g ( , )
系 数
A a x 2 b x y c y 2 B 2a x x b( x y y x ) 2c y y C a x 2 b x y c y 2 D a xx b xy c yy d x e y E a xx b xy c yy d x e y F f
当满足
x + at = c1 = const x - at = c2 = const
结果完全一样！
特征线
对流问题：物理量传播的方向线
dt 1 1 dx a dt 1 2 dx a
依赖区和影响区
• 过任意点 P 有两条特征线，构成两个特征区域， 下游称为P点的影响区，上游称为P点的依赖区 • 依赖区：为了唯一确定P点的值，依赖区上点的条 件必须完全给定；影响区：当P点的值变化时，影 响区内点的值也随着变化
• 平衡问题：其对应偏微分方程的定义域是 一个封闭区域；定义域上每一点的解，依 赖于封闭边界每一点上的边界条件。
平衡问题
• 平衡问题不一定没有时间变量 • 平衡问题的判断是基于是否定义在封闭边 界内，或者说是基于控制方程是否为椭圆 型方程
例2.1 正方形导热体稳态温度分布
控制方程和边界条件
2 2T 2T T 2 2 0 0 x 1, 0 y 1 x y T (0, y ) T (1, y ) T ( x,1) 0 T ( x,0) T0
dz zxdx z ydy 0
z( x, y ) 常数
定义隐函数 y(x)
dy dx zx z y
a(
dy 2 dy ) b( ) c 0 dx dx
特征方程和特征线
dy 2 dy a ( ) b( ) c 0 dx dx
是二阶线性偏微分方程 axx bxy cyy dx ey f g( x, y) 的特征方程。 特征方程的一般积分曲线，是其特征线！
方程主部
• 线性方程：系数a、b、c、d、e、f 均为常 数或只是x、y的函数 • 拟线性方程：系数 仅为x、y、、x、y 的 函数 • 非线性方程：系数 是xx、xy、yy 的函数
以下为线性方程的 数学分类方法
引入坐标变换
( x, y ) ( x, y )
控制方程
T T T a 2 t x x 扩散项
2
非稳项
对流项
解的特征：
物理分类
平衡问题 行进问题 对流问题 扩散问题 对流扩散问题
2.2.2 偏微分方程的数学分类
单个方程，多个方程 单自变量，多自变量 低阶导数，高阶导数
二阶偏微分方程
axx bxy cyy dx ey f g( x, y)
其中粘性耗散：
u 2 v 2 w 2 1 u v 2 1 v w 2 2 [( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y z 2 y x 2 z y 1 w u 2 2 ( ) ] (div U ) 2 2 x z 3
u v w 2 Sz ( ) ( ) ( ) div( U ) x z y z z z 3 z
2.1.3 能量方程（用内能e表示）
单位时间内体系总能量增量 = 净能量流入率 + 表面力做功 + 体积力做功
e div( Ue) p div(U ) div( grad T ) Sin t
T T (为常数， 0 x 1） t x 2 T ( x,0) sin( x ) T (0, t ) T (1, t ) 0
2
精确解
T ( x, t ) sin( x)exp( t )
2
• 温度随时间呈指数衰减 - 具有耗散特性
（1） 双曲型方程
a( dy 2 dy ) b( ) c 0 dx dx
当 b2 4ac 0
方程变为
dy b b2 4ac dx 2a
dy b b 4ac dx 2a
2
( x, y) c1 const
积分
( x, y) c2 const
例2.2一维无界线性声波
控制方程和初始条件
2 2u 2 u (a为常数，－ x ） t 2 a x 2 u( x,0) f ( x ) u ( x,0) g ( x ) t
求解过程
引入坐标变换
x at x at
对于固体和不可压流体： div(U ) 0
T ST div(UT ) div( grad T ) t c
2.1.4 化学组分方程
单位时间内某化学组分增量=对流、扩散净流 率 + 化学反应产生率
ml div( mlU ) div( l grad ml ) Rl t
方程分类
b2 4ac 0 2 b 4ac 0 b2 4ac 0 双曲型 抛物型 椭圆型
有两个特解 只有一个特解 没有实的特解
求解一阶方程
azx bzx z y cz y 0
2 2
改写为：
zx 2 zx a( ) b( ) c 0 zy zy
三种类型方程形式的 简化 和 标准型式
简化的方法是通过坐标变换 使方程的某些系数变成 0
A B C D E F g ( , )
其中系数A:
系数C：
构造方程:
azx 2 bzx z y cz y 2 0
假如：以此方程的一个特解作一个坐标，另一个特解 作另一个坐标，则可简化为： A=C=0, B≠0
• 最重要的特征：
B2 4 AC (b2 4ac)(xy yx )2 J 2 (b2 4ac)
2 b 4ac 的 • 对于任何非奇异的坐标变换， 符号不变！
• 线性方程的特征分类方法：
b2 4ac 0 2 b 4ac 0 b2 4ac 0 双曲型 抛物型 椭圆型
方程变为： 积分：
u 0
u( x, t ) F1( x at ) F2 ( x at )
• 代入初始条件
f ( x at ) f ( x at ) 1 x at u( x, y ) g ( )d 2 2a x at ) 1 x at u( x, y ) g ( )d 2 2a x at
• 三个基本的守恒定律： 质量守恒 动量守恒 能量守恒
关于场论的一点复习
梯度 散度 旋度
2.1.1 连续方程
单位时间系统的质量增量 = 流入系统的净质 量 + 源项
div( U ) 0 t
2.1.2 动量方程 (牛顿流体)
单位时间内系统动量增量=外界流入净动量流 率 + 体系外力之和
u p div( uU ) div( grad u ) S x Bx t x
v p div( vU ) div( grad v ) S y By t y
w p div( wU ) div( grad w) S z Bz t z
约束条件：
m
l
l
1
grad(ml ) 0
l
l
R 0
l l
2.1.5 控制方程的通用形式
div( U ) div( grad ) S t
非稳项 对流项 扩散项 源项
2.2 偏微分方程的物理分类和 数学分类
2.2.1 偏微分方程的物理分类
1. 平衡问题
• 这类问题对应的偏微分方程定义在开区域 上，它们满足初始条件或者初始－边界条 件，称之为初值问题或者初边值问题
行进问题
初值问题
初边值问题
行进问题
• 数学上行进问题对应双曲型或者抛物型偏 微分方程 • 流体力学和热物理中，这类问题通常包括 对流问题 扩散问题 对流—扩散问题
(1) 对流问题
• 对流问题：双向传播的一维声波传播、平 面定常超音速流动、一维非定常等熵流动 • 对应双曲型偏微分方程
用焓h表示
e div( Ue) p div(U ) div( grad T ) Sin t
h e
p
h Dp div( Uh ) div( grad T ) Sh t Dt
用温度T表示
T 1 Dp div( UT ) div( grad T ) ST t c p Dt cp
解析求解过程
分离变量法
T ( x, y ) X ( x)Y ( y )
得到
T ( x, y ) An sin(n x)sh[n ( y 1)]