二面角求解方法 (2)

二面角大小归类分析

一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ， 求二面角B-PC —-D 的大小。

二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；

例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平 行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ， ∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。

三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；

例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，

PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。

四、射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；

例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。

五、:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面， 使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。

例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，

PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ， 求平面PBA 与平面PDC 所成二面角 的大小。（补形化为定义法）

[基础练习]

1．二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形

B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形

C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形

D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形

2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线

C 仅2条交线

D 1条或2条或3条交线

3．在30

的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )

A 5

B 20

C 210 D

2

2

5 4．在直二面角α-l-β中，Rt ΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面

β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ）

p A

B

D L H

A

D P H

A

D P

H P

A 300

B 450

C 600

D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=2

6

， 则弧度数为

3

π的二面角是（ ） A D-AC-B B A-CD-B C A-BC-D D A-BD-C

6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ角，有 A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθ C S △ABC =S △A1B1C1·sinθ D S △ABC =S △A1B1C1·cosθ

7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB

⊥l ，B 为垂足，

A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面M

所成角为β，二面

角M-l-N 的大小为γ，则有 （ ）

A sin α=sin βsin γ

B sin β=sin αsin γ

C sin γ=sin αsin β

D 以上都不对

8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。

9．已知△ABC 和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，AB ⊂α，且平面ABC 与α所

成角为300，则点C 到平面α的距离为 。

10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面A 1BCD 1所成的二面角（锐角）为 。

11．已知菱形的一个内角是600，边长为a ，沿菱形较短的对角线折成大小为600

的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。

12．如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC 1，若∠ABC 1=θ，BC 1=a,且 平面ABC 与平面α所成的角为ψ，求点C 到平面α的距离

13．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC AC

与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。

[深化练习]

14．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a 和a 2，到棱的距离为2a ，则此二面角的度数是 。

15．把等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，若∠BAC=600，

则此二面角的度数是 。

16．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线

BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。

17．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小；（2）二面角C 1—BD —C 的正切值。

二面角大小的求法答案

1.、 AB=AD=a PA AB PA AD PB PD AB AD a ⊥⎫⎪⊥⇒=⎬⎪==⎭，PB PD BC DC PBD PDC PC PC =⎫

⎪

=⇒∆≅∆⎬⎪=⎭

过B 作BH ⊥PC 于H ，连结DH

DH ⊥PC 故∠BHD 为二面角B-PC-D 的平面角 因12PB·BC=S △PBC=1

2

PC·BH 则BH=

3

=DH 又 A B C

D A B M

N

P l A

B

C D

A

D C B