SAS学习系列40 时间序列分析Ⅳ—GARCH模型

40. 时间序列分析Ⅲ—GARCH模型

（一）GRACH模型

即自回归条件异方差模型，是金融市场中广泛应用的一种特殊非线性模型。

1982年，R.Engle在研究英国通货膨胀率序列规律时提出ARCH 模型，其核心思想是残差项的条件方差依赖于它的前期值的大小。

1986年，Bollerslev在ARCH模型基础上对方差的表现形式进行了线性扩展，并形成了更为广泛的GARCH模型。

一、金融时间序列的异方差性特征

金融时间序列，无恒定均值（非平稳性），呈现出阶段性的相对平稳的同时，往往伴随着出现剧烈的波动性；具有明显的异方差（方差随时间变化而变化）特征：

尖峰厚尾：金融资产收益呈现厚尾和在均值处呈现过度波峰；

波动丛聚性：金融市场波动往往呈现簇状倾向，即波动的当期水平往往与它最近的前些时期水平存在正相关关系。

杠杆效应：指价格大幅度下降后往往会出现同样幅度价格上升的倾向。

因此，传统线性结构模型（以及时间序列模型）并不能很好地解释金融时间序列数据。

二、ARCH(p)模型

考虑k 变量的回归模型

011t t k kt t y x x γγγε=++++L

若残差项t ε的均值为0，对y t 取基于t -1时刻信息的期望：

1011()t t t k kt E y x x γγγ-=+++L

该模型中，y t 的无条件方差是固定的。但考虑y t 的条件方差：

22110111var(|)()t t t t t k kt t t y Y E y x x E γγγε---=----=L

其中，1var(|)t t y Y -表示基于t -1时刻信息集合Y t -1的y t 的条件方差，若残差项t ε存在自回归结构，则y t 的条件方差不固定。

假设在前p 期所有信息的条件下，残差项平方2t ε服从AR(p )模型：

22211t t p t p t εωαεαεν--=++++L (*)

其中t ν为0均值、2νσ方差的白噪声序列。则残差项t ε服从条件正态分布：

()2211~0,t t p t p N εωαεαε--+++L

残差项t ε的条件方差：

22211var()t t t p t p εσωαεαε--==+++L

由两部分组成：

（1）常数项ω；

（2）ARCH 项——变动信息，前p 期的残差平方和21p

i t i i αε-=∑

注：未知参数01,,,p αααL 和01,,,k γγγL 利用极大似然估计法估计。 方差非负性要求01,,,p αααL 都非负。为了使2t ε协方差平稳，需

进一步要求方程

110p p z z αα---=L

的根都位于单位圆外。若i α都非负，上式等价于11p αα++

注：若扰动项的条件方差不存在自相关，则有10p αα===L ，此时0var()t εα=，即残差的条件方差同方差性情形。

三、GARCH(p ,q )模型

ARCH(p )模型在实际应用中，为了得到较好的拟合效果，往往需要很大的阶数p ，从而增加了待估参数个数、引发多重共线性、非限制估计违背i α非负性要求。

1986年，Bollerslev 将ARCH(p )模型推广为广义自回归条件异方差模型GARCH(p, q)：残差t ε的条件方差表示为

2

2211var()p q

t t

i t i i t i i i εσωαεβσ--====++∑∑ 由三项组成，

（1）常数项ω；

（2）ARCH 项；

（3）GARCH 项——前q 期预测方差21p

i t i i βσ-=∑.

注：未知参数用极大似然法估计，通常残差的假设分布有正态分布、t 分布、广义误差分布；该模型也要求,i i αβ非负；若要求是平稳过程，需要限制111p p

i i i i αβ==+<∑∑. 实际上，GARCH(p, q)模型是将残差

平方用ARMA(q,p)模型描述。

四、ARCH 检验

检验模型的残差是否具有ARCH 效应有两种方法：

1. ARCH LM 检验——拉格朗日乘数检验

检验原假设H 0：残差序列直到p 阶都不存在ARCH 效应；需进行如下回归：

2

201ˆp

t

i t i t i εββεν-==++∑ 检验回归有两个统计量：

（1）F 统计量——检验回归系数是否显著为0.

（2）T ×R 2统计量——LM 统计量，其中T 为观察值个数，R 2为回归拟合优度，该统计量渐近服从2()p χ分布。

2. 残差平方相关图

残差平方相关图显示残差平方2ˆt ε

序列，直到任意指定的滞后阶数的自相关函数（AC ）和偏自相关函数（PAC ），并计算相应滞后阶

数的Q LB 统计量。若不存在ARCH 效应，则任意滞后阶数的自相关函数（AC ）和偏自相关函数（PAC ）都近似为0.

五、GARCH -M 模型

一般风险越大，预期收益越大。在回归模型中加入一项“利用条件方差表示的预期风险”：

2t t t t

y x γρσε=+⋅+

2

2211

p q t i t i

i t i i i σωαεβσ--===++∑∑ 称为GARCH -M 模型。

另外，还有非对称冲击模型：TARCH 、EGARCH 、PARCH 等（略）。

（二）PROC AUTOREG 过程

SAS 中的AUTOREG 过程，是用于估计和预测误差项自相关或异方差的时间序列数据的线性回归模型。

自回归误差模型被用来校正自相关系数和广义自回归条件异方差模型GARCH ，并且其变体如广义的ARCH （GARCH ）、方差无穷的GARCH （IGARCH ）、指数的GARCH （EGARCH ）和依均值的GARCH （GARCH -M ）被用于异方差的建模和校正。 自回归过程autoreg 可以拟合任意阶的自回归误差模型，并且可以拟合子集自回归模型。

为了诊断自相关性，过程产生广义Durbin -Watson （DW ）统