基于小波分形理论的股价指数信息量测度研究

第12卷　第1期

运　筹　与　管　理Vol.12,No.12003年2月

OPERA TIONS RESEARCH AND MANA GEMEN T SCIENCE Feb.,2003

收稿日期:2002206224作者简介:陈军飞(19732),男,浙江人,讲师,博士生,主要从事小波、分形,预测与决策方法研究;王嘉松(19362),男,山东人,教授,主要研究方向:最优化方法,经济数学。

基于小波分形理论的股价指数信息量测度研究

陈军飞,　王嘉松

(11河海大学国际工商学院,江苏南京210098;　21南京大学数学系,江苏南京210093)

摘　要:本文把小波分析和分形理论引入到股价指数时间序列的分析中,给出了股价指数波动复杂性的信息量测度方法———信息熵和分形维方法。通过对上证综指和深证成指1994年1月3日至2002年3月4日期间的数据进行的实证分析显示,两种方法均能刻画股价指数波动的复杂程度,这对初步了解我国股市的波动规律有一定的实际意义。

关键词:股价指数;小波变换;信息熵;分形维

中图分类号:F830191 文章标识码:A 文章编号:100723221(2003)0120065205

Re search on Stock Price Index Information Mea sure

Ba sed on Wavelets and Fractals Theory

CHEN J un 2fei ,WAN G Jia 2song

(1.International B usi ness School ,Hehai U niversity ,N anji ng 210098,Chi na ;

2.Depart ment of M athem atics ,N anji ng U niversity ,N anji ng 210093,Chi na )

Abstract :In this paper ,wavelets and fractals theory is proposed in the analysis of stock price index time se 2quences and information entropy and fractal dimension methods are introduced for describing the vibrating character of stock price index.The analysis of Shanghai and Shenzhen stock price index from January 3,1994to March 4,2002shows that the complicated vibrating characteristic of stock price index can be described well by the above methods.It will have some practical meanings for understanding China ’s stock market.Key words :stock price index ;wavelet transform ;information entropy ;fractal dimension

0　引言

分形学的创始人Mandelbrot B 1B 曾对股票价格的变动规律进行了研究,认为股票价格的变化是分形的[1];用小波变换可以分析股票价格变化的自相似性和拟周期性以及检测股价的奇异点[2];认为股票价格的变动服从布朗运动,并引入了谱分析法[3]等。本文则通过对股价指数进行小波分析,计算了刻画股价指数序列波动程度的信息量系数,并且计算了两市股价指数序列的分形维,对刻画股指波动的复杂程度,进一步了解股市波动的规律有一定的现实意义。

1　时间序列信号的小波变换与Mallat 算法

111　小波变换

设函数Ψ(t )∈L 1(R )∩L 2(R ),且^Ψ(0)=

∫R Ψ(t )d t =0,其中^Ψ(w )=∫R Ψ(t )de -iw t d t 为Ψ

(t)的傅立叶变换,则按如下方式生成的函数族{Ψa,b}:Ψa,b(t)=|a|-12Ψ[(t-b)/a],b∈R,a∈R-{0}称为连续小波,Ψ称为基本小波,式中a为尺度因子,b为平移因子,t为时间变量。

从小波定义可以看出,当1

|a|

越大,时宽越小,而频宽越大。因此小波作为一族基函数用来表示信号具有很好的时频局部化特征,即在信号低频的部分具有较高频率分辩率和较低的时间分辩率,在信号高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率。它比传统的傅立叶分析法具有更好时频特征。

对于信号函数f(t),其小波变换定义为(WΨf)(a,b)==|a|-12∫R f(t)Ψ(t-b a)d t,其中Ψ(x)表示Ψ(x)的共轭函数。

在实际运用中,特别在计算机中进行计算时一般都对连续小波Ψ(t)进行二进离散化,取a j=2-j,

b j,k=2-j k,j;k∈z,得到离散小波基函数族为Ψj,k(t)=2j

2Ψ(2j t-k)。则对离散信号f(t)作小波变换

分解可表示为f(t)=6j6k c j,kΨj,k(t),其中c j,k=称为小波系数。信号f(t)经小波变换后表示为不同频率成份的信号Ψj,k(t)的迭加。

112　小波变换的Mallat算法[4][5]

1988年Mallat在基于对信号多分辨率分析的基础上,提出了Mallat分解与重构算法,Mallat算法在小波析中的地位类似于FF T在经典傅立叶变换中的地位。

设f(n)为一离散信号n∈N,Mallat分解算法的基本思想就是把f(n)分解为低频的尺度信号和高频的细节信号,则进行J层的Mallat分解算法可表示为:

设c0n=f(n)　n∈N

c j k=6L-1n=0h(n)c j-1n+2k,

d j k=6L-1n=0g(n)c j-1n+2k, j=1,2,…,J

式中:h(n),g(n)分别为低通滤波器和高通滤波器,L为滤波器算子的长度。且h(n),g(n)间满足关系:h(n)=(-1)n g(L-1-n)。

由低通滤波器h滤波得到的系数c j k称为尺度系数,对应于信号的低频部分,由高通滤波器g滤波得到的系数d j k称为细节系数,对应信号的高频部分。J为长度为N的时间序列f(n)进行Mallat分解的最大次数,且满足J≤[log2(N-L)]+1。

2　时间序列信号的信息量测度方法

211　信号信息熵测度[5][6]

熵(Entropy)是热力学中的重要概念,在统计物理学中用来表示系统的混乱程度,系统越无序,熵越大,反之,熵越小。信息熵作为衡量一个不确定系统混乱度的指标,在工程技术、通讯、决策系统、经济学、统计学等诸多领域得到了广泛的应用。

在信息论中,信息是系统有序程度的一个度量。Shannon指出,对于一个不确定性信息系统,若用一个随机变量X表示其状态特征,设X可能的取值为X={x1,x2,…,x n}(n≥1),且每种取值状态出现的概率为p i,0≤p i≤1(i=1,2,…,n)且满足6n i=1p i=1,则该系统的信息熵定义为

E=-6n i=1p i ln p i(1)若X为连续随机变量,则E=-∫b a p(x)ln p(x)d x

其中:[a,b]为积分区间;p(x)为随机变量X的概率密度函数。

对离散信号f(n)进行小波分解后,可求得各种尺度水平j下的小波系数d j k,从而可求得各种尺度水平j下的能量

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