2020届金山区高考数学二模
2020年上海市金山区高考数学二模试卷
2020年上海市金山区高考数学二模试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1．（4分）集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =I ． 2．（4分）函数12y x -=的定义域是 ．3．（4分）i 是虚数单位，则||1ii-的值为 ． 4．（4分）已知线性方程组的增广矩阵为113()02a ，若该线性方程组的解为1()2，则实数a = ．5．（4分）已知函数21()||11x f x =，则1(0)f -= ． 6．（4分）已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = ．7．（5分）已知函数1()sin 11xf x lg x x-=+++．若()4f m =，则()f m -= ．8．（5分）数列{}n a 通的项公式*11,2132n nn na n N n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪⎪⎩…，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= ． 9．（5分）甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 ．（结果用最简分数表示）10．（5分）若点集22{(,)|1}A x y x y =+„，{(,)|22B x y x =-剟，11}y -剟，则点集12{(,)|Q x y x x x ==+，12y y y =+，1(x ，1)y A ∈，2(x ，2)}y B ∈所表示的区域的面积是 ．11．（5分）我们把一系列向量(1i a i =u u r ，2，⋯，)n 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a u u r，已知向量列{}i a u u r 满足1(1,1)a =u u r ，11111(,)(,)(2)2n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+u u r …，设n θ表示向量n a uu r 与1n a -u u u r 的夹角，若2n n n b θπ=对任意正整数n ，log (12)a a ⋯+>-恒成立，则实数a 的取值范围是 ．12．（5分）设*n N ∈，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，16,2m t t R =-+∈，1222[][][]([]333n n n na a ab x =++⋯+表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n n t b m -+-的最小值为 ．2x二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13．（5分）已知直角坐标平面上两条直线方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =是“两直线1l ，2l 平行”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．（5分）如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45︒且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )A 22+ B 12+ C ．22D ．12+15．（5分）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是( )A ．221111111()3A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u rB ．1111()0AC A B A A -=u u u u r u u u u r u u u rgC ．向量1AD u u u u r 与1A B uuu r的夹角是120︒D ．正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD u u u r u u u r u u u rg g16．（5分）函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0x ∈，1]时，()f x x =，若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．11(,)44-B ．(12,21)-C ．11(4,4)()44k k k Z -+∈D ．(412,421)()k k k Z ++∈三、解答题（本大满分76分）本天题共有5题，下列必频在答题纸相应编号的规定区城内写出必要的步骤，17．（14分）已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，底面ABCD 是正方形，E是PD 的中点，PD 与底面ABCD所成角的大小为6π． （1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．18．（14分）已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =． （1）求函数()f x 在区间[0，]π上的单调增区间； （2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值． 19．（14分）随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放．据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型*:n N ∈ 以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+⎧⎪⎪=+⎨⎪-⎪⎩g剟剟剟表示第n 个时刻进入园区的人数； 以0115()4005000162882002936n g n n n n ⎧⎪=-⎨⎪⎩剟剟剟表示第n 个时刻离开园区的人数； 设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n =；8点30分作为第2个计算单位，即2n =；依此类推，把一天内从上年8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四含五入，精确到整数）．（1）试分别计算当天12:30至13:30这一小时内，进入园区的人数(19)(20)(21)(22)f f f f +++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++；（2）请问，从12点（即16)n =开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．20．（16分）已知动直线l 与与椭圆22:12y C x +=交于1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y 两不同点，且OPQ ∆的面积2OPQ S ∆=O 为坐标原点． （1）若动直线l 垂直于x 轴．求直线l 的方程；。
上海市金山区2019~2020学年第二学期期中高三数学质量监控(二模)试卷答案解析
x y
= =
1 2
，故
a
=
2
．
5． 已知函数 f(x) = 2x 1 ，则 f −1(0) = ＿＿＿＿＿． 11
【答案】 0 【解析】由 f(x) = 2x 1 = 2x −1 = 0 ，解得 x = 0 ，则 f−1(0) = 0 ．
11
·1·
6．
已知双曲线 x2 a2
− y2
= 1(a 0) 的一条渐近线方程为 2x − y = 0 ，则实数 a = ＿＿＿＿＿．
+
y2 n −1
= 2．
x2 n −1
+
y2 n −1
2xn2−1 + 2yn2−1
2
n
=
π 4
， bn
=
n2 4
．
不等式化为：
n
2 +
1
+
n
2 +
2
+
+
2 2n
＞ loga
(1 −
2a )
对任意正整数 n
恒成立．
设
Tn
=
2 n +1
+
n
2 +
2
+
2． 2n
又
Tn +1
− Tn
=
2 2n +1
+
2
2(n +1)
组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是＿＿＿＿＿（结果用最简分数表示）．
【答案】 1 14
【解析】先在甲中3人任取一人有 C31 种，再乙中取一人不同甲中的职业有 C12 种，则丙中取一人不同职业有
2020上海高三数学二模汇编-解析几何含答案
解析几何一、直线1、【2020年闵行区二模第3题】若直线10ax by ++=的方向向量为(1,1)，则此直线的倾斜角为 【答案：4π】 2、【2020年黄浦区二模第4题】若直线1:350l ax y +-=与2:210l x y +-=互相垂直，则实数a 的值为 【答案： 6- 】3、【2020年金山区二模第13题】已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的( )． （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案：B 】4、【2020年徐汇区二模第8题】已知直线(2)(1)30a x a y ++--=的方向向量是直线(1)(23)20a x a y -+++= 的法向量，则实数a 的值为 .【答案：11或- 】5、【2020年松江区二模第13题】若为坐标原点，是直线上的动点，则的最小值为（ ） (A)(B)(C)(D)【答案：B 】6、【2020年金山区二模第12题】设*n ∈N ，n a 为()(2)1nn x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[x ]表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.O P 20-+=x y OP 2R t ∈【答案：95解析：赋值法，令1x =，∴32nnn a =-，∴(32)2[][][()]333n n nn n nna n n n -==-⋅， 可用计算器分析2()3n n ⋅单调性及范围，可知2()(0,1)3n n ⋅∈，∴[]13n n na n =-，∴(1)2n n n b -=，22()()n n t b m -+-的 几何意义为点(,)n n b 到点(,)t m 的距离的平方，如图所示， 当3n =时，点(3,3)到直线162y x =-+的距离最小， ∴min 22512d ==+，即2min95d =。
2020 金山 高三二模
2020 金山 高三二模一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合{|03}A x x =<<，{|||2}B x x =<，则A B =I 2. 函数12y x-=的定义域是3. i 是虚数单位，则i||1i-的值为 4. 已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =5. 已知函数21()11x f x =，则1(0)f -=6. 已知双曲线2221x y a-=(0)a >的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =7. 已知函数1()lgsin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= 8. 数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n ⎧=⎪⎪=⎨⎪≥⎪⎩，n ∈*N ，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=9. 甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表示） 10. 若点集22{(,)|1}A x y x y =+≤，{(,)|22,11}B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是11. 我们把一系列向量i a u r (1,2,,)i n =⋅⋅⋅按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a u r ，已知向量列{}i a u r满足1(1,1)a =u u r ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+u u r (2)n ≥，设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数nlog (12)a a ⋅⋅⋅>-恒成立，则实数a 的取值范围是 12. 设n ∈*N ，n a 为(2)(1)n n x x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，t ∈R ，1222[][][]333n n n na a ab =++⋅⋅⋅+（[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m -+-的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:l a x b y c ++0=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的（ ） A . 充分非必要条件 B . 必要非充分条件 C . 充要条件 D . 既非充分又非必要条件14. 如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是（ ） A .22+ B . 12+ C . 22+ D . 12+ 15. 在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是（ ）A. 221111111()3A A A D A B A B ++=u u u r u u u u r u u u u r u u u u r B . 1111()0A C A B A A ⋅-=u u u r u u u u r u u u r 、C .向量1AD u u u u r 与1A B uuu r的夹角是0120D .正方体1111ABCD A B C D -的体积为1AB AA AD ⋅⋅u u u r u u u r u u u r16. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是（ ）A . 11(,)44- B . (12,21)--C . 11(4,4)44k k -+(Z k ∈) D . (412,421)k k +-+-(Z k ∈)三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥底面ABCD ，1PA =，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6π. （1）求四棱锥P ABCD -的体积； （2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18. 已知函数2()2cos 3sin 2xf x x =+.（1）求函数()f x 在区间[0,]π上的单调递增区间； （2）当11()5f α=，且236ππα-<<，求sin(2)3πα+的值.19. 随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ∈）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n -+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n =，8点30分作为第2个计算单位，即2n =，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f +(21)(22)f f ++和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g +++；（2）请问，从12点（即16n =）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.20. 已知动直线l 与椭圆22:12y C x +=交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点，且△OPQ的面积2OPQ S =V ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ===V V V ？若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.21. 若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ∈，对任意的0n n ≥（*N n ∈），都有n k n a a d +-=（d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a =，22a =，33a =，求234a a a ++的值；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ∈，i j <，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i--.金山区2019学年第二学期质量监控高三数学试卷评分参考答案一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1–6题每题4分，第7–12题每题5分） 考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果．1．02（，） ；2．0+∞（，）；3．2 ； 4．2；5．0；6．127．-2；8．74；9．114；10．20+π；11．10,3（）；12．95 二、选择题（本大题共4小题，满分20分，每小题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．B ；14．C ；15．D ；16．C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)解：(1)由PA ⊥底面ABCD ，得PD 与底面ABCD 所成角为PDA ∠， …………………3分由=6PDA π∠，得AD = ……………………………………………………4分所以2113V AD PD =⨯=; ……………………………………………………………………7分 (2)解法一：取CD 中点F ，连接,EF AF ，因为//EF PC ，所以AEF ∠就是所求角（或其补角） 10分由计算得1,AE AF EF ===，222cos 2AE EF AF AEF AE EF +-∠==⋅所以，异面直线所成角为其补角，大小为. ………………………………………14分解法二：如图建系（图略），得())10,0,1,,0,22P CE ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， …………………10分设异面直线所成角为θ ，则cos 7||||AE PC AE PC θ⋅==u u u r u u u ru u u r u u u r所以，异面直线所成角大小为arccos7. ………………………………………14分 18．(本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分)解：(1)()1cos 2sin 16f x x x x π⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭， ……………………………3分 22,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，22233k x k ππππ-+≤≤+， ………5分所以，当[0,]x π∈ 时，函数单调递增区间是[0,]3π; ……………………7分(2)1132sin 1,sin ,6565ππαα⎛⎫⎛⎫++=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ………………………9分 因为,36263πππππαα2-<<-<+< ，所以cos 06πα⎛⎫+> ⎪⎝⎭，4cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， …11分因而3424sin 2sin 22sin cos 236665525ππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=++=⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦………14分 19．(本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 解：(1)进入园区人数为(19)(20)(21)(22)f f f f +++1314151611111111300[3333]24004=⨯++++⨯14738≈（人）， …………………3分离开园区的人数(19)(20)(21)(22)=12800g g g g +++（人）； ………………6分 （2）当时，园内游客人数递增；当时，园内游客人数递减， …8分 ①当1628n ≤≤时，661111()()30032400(4005000)30034007400n n f n g n n n ---=⋅+--=⋅-+，由计算器计算可得：当1622n ≤≤时，()()0f n g n ->，进入园区游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多; 当2328n ≤≤时，()()0f n g n -<，进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少；…10分()()()()222282.9130,2323161.30f g f g -=>-=-< ………………11分②当2936n ≤≤时，由()()65015200f n g n n -=-+递减，且其值恒为负数．进入园区游客人数少于离开游客人数，总人数将变少． ………………13分综上，当天下午13：30时（22n =）园区内的游客人数最多人. ………………14分20．(本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分)解：(1)直线l 垂直于x 轴时，,P Q 两点关于x轴对称，由111|||2y |22S x =⋅=与2211=12y x +，…2分 可得2112x =，所以，直线l的方程为2x =± ； ……………………………………4分(2) 若直线l 垂直于x 轴时，由（1）知，22121x x +=，22122y y +=均为定值 ……………5分若直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为y kx m =+ ，0)()(≥-n g n f 0)()(<-n g n f联立2212y x y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得：222(2)220k x kmx m +++-=， 则12221222222km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由∆>0 得222m k <+， …………………6分由122|||2PQ x x k=-=+，d =21|||222m S PQ d k ===+V得()()242222244220,22m mkk m k -+++==+ 满足∆>0， ……………8分()()()()()22222222212121222222242222122k m m k m k x x x x x x k k -++++=+-===++， ………9分()()2222121222222y y x x +=-+-=，综上，2212=1x x + 和2212=2y y + 均为定值; ……………10分(3) 椭圆C 上不存在点,,D E G，使得三角形面积ODE ODG OEG S S S ===V V V ,………11分 假设存在()()()112233,,,,,,D x y E x y G x y 由（2）得2222221223311,1,1x x x x x x +=+=+= ，得22212312x x x ===同理，2221231y y y ===, ………13分 所以,,D E G只能在12⎛⎫±± ⎪ ⎪⎝⎭这4个点中任取3个不同点，而这三点的两两连线中必有一条过原点，不构成三角形，所以产生矛盾，假设不成立.所以，椭圆C 上不在点,,D E G . …………16分21．(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分)解：(1) 由30,1n n a a n +-=≥ …………1分 知411a a ==，所以2346a a a ++=； …………………4分(2) 设等差数列{}n b 公差为d ， 等比数列{}n c 的公比为q ，则由题意，411111481b c q b d c ⎧==⎨+==⎩解得11811,,1203c b d q =⎧=⎧⎪⎨⎨==⎩⎪⎩52019,3nn n b n c -=-=， …………………7分532019n n a n -=+-，对任意0n n ≥，()520331n k n k n a a k --+-=+-不恒为0，所以，不具有性质()0,,0Q k n .…………………………………………10分（解法二：说明从第二项起单调递增） (3) 由题意得12(1)2(2)n i n n j n a a d n a a d ++-=⎧≥⎨-=⎩，，， …………………………………………12分由（1）得1n ji n a a jd +=+ （3） 由（2）得2n ij n a a id +=+ （4）(3)(4)- 得21,2,jd d n i=≥ …………………………………………15分 由（1）得()1+,2n j n j i a a d n +--=≥ （5）， 由(2)(5)- 得211,2n j i n j ia a d d d n i+---=-=≥ 即数列{}n a 具有性质1,2,j i Q j i d i -⎛⎫- ⎪⎝⎭.{}n a {}n a。
2020上海金山高三二模数学
上海市金山区2020届高三二模数学试卷2020.5一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1.集合{|03}A x x ，{|||2}B x x ，则A B 2.函数12y x的定义域是3.i 是虚数单位，则i||1i的值为 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ，若该线性方程组的解为12，则实数a 5.已知函数21()11x f x ，则1(0)f6.已知双曲线2221x y a(0)a 的一条渐近线方程为20x y ，则实数a7.已知函数1()lg sin 11xf x x x，若()4f m ，则()f m8.数列{}n a 的通项公式1,1,21,32n nn na n，n *N ，前n 项和为n S ，则lim n n S9.甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表示）10.若点集22{(,)|1}A x y x y ，{(,)|22,11}B x y x y ，则点集12121122{(,)|,,(,),(,)}Q x y x x x y y y x y A x y B 所表示的区域的面积是11.我们把一系列向量i a (1,2,,)i n 按次序排成一列，称为向量列，记作{}i a，已知向量列{}i a 满足1(1,1)a ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y (2)n ，设n 表示向量1n a 与n a 夹角，若2n n n b，对任意正整数n ，log (12)a a恒成立，则实数a 的取值范围是12.设n *N ，n a 为(2)(1)n n x x 的展开式的各项系数之和，162m t ，t R ，1222[][][]333n n n na a ab （[]x 表示不超过实数x 的最大整数），则22()()n t b m 的最小值为二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13.已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ，2222:l a x b y c 0 ，那么“11220a b a b ”是“两直线1l 、2l 平行”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件14.如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的 面积是（ ）A.22B.12C. 2D. 115.在正方体1111ABCD A B C D 中，下列结论错误的是（）A. 221111111()3A A A D A B A B B. 1111()0A C A B A AC. 向量1AD 与1A B的夹角是120°D. 正方体1111ABCD A B C D 的体积为1||AB AA AD16.函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x 为偶函数，当[0,1]x 时，()f x 若函数()()g x f x x m 有三个零点，则实数m 的取值范围是（）A. 11(,)44B. (11)C. 11(4,4)44k k (Z k )D. (411)k k (Z k )三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17.已知四棱锥P ABCD ，PA 底面ABCD ，1PA ，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6.（1）求四棱锥P ABCD 的体积； （2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）18.已知函数2()2cos 2xf x x . （1）求函数()f x 在区间[0,] 上的单调递增区间； （2）当11()5f，且236 ，求sin(23的值. 19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（*N n ）：以611200150016()30032400728234006502936n n n f n n n n表示第n 个时刻进入园区的人数，以0115()4005000162882002936n g n n n n表示第n 个时刻离开园区的人数.设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1n ，8点30分作为第2个计算单位，即2n ，依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）.（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数(19)(20)f f(21)(22)f f 和离开园区的游客人数(19)(20)(21)(22)g g g g ；（2）请问，从12点（即16n ）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.20.已知动直线l 与椭圆22:12y C x 交于11(,)P x y 、22(,)Q x y 两不同点，且△OPQ 的面积2OPQ S ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程；（2）证明2212x x 和2212y y 均为定值；（3）椭圆C 上是否存在点D 、E 、G ，使得三角形面积2ODE ODG OEG S S S ？ 若存在，判断△DEG 的形状，若不存在，请说明理由.21.若无穷数列{}n a 满足：存在*N k ，对任意的0n n （*N n ），都有n k n a a d （d 为常数），则称{}n a 具有性质0(,,)Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质(3,1,0)Q ，且11a ，22a ，33a ，求234a a a 的值； （2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ，5181b c ，n n n a b c ，判断{}n a 是否具有性质0(,,0)Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质1(,2,)Q i d ，又具有性质2(,2,)Q j d ，其中*,N i j ，i j ，i 、j 互质，求证：数列{}n a 具有性质1(,2,)j iQ j i d i.参考答案一. 填空题1.(0,2)2.(0,)3.24.25.06.127.28.749.11410.20 11. 1(0,)312.95二. 选择题 13.B 14.C15.D16.C三. 解答题17.（1）1；（2）arccos7. 18.（1）[0,3 ；（2）2425.19.（1）14738，12800；（2）13点30分.20.（1）2x；（2）1，2；（3）不存在. 21.（1）6；（2）不具有；（3）略.。
2020年上海金山高中二模数学试卷
解：(1)由
底面
，得 与底面
所成角为
，
…………………3分
由
，得
，
……………………………………………………4分
所以
;
(2)解法一：
取 中点 ，连接
……………………………………………………………………7分
，因为
，所以
就是所求角（或其补角） 10分
由计算得
，
所以，异面直线所成角为其补角，大小为 解法二：如图建系（图略），得
. ………………………………………14分 ， …………………10分
设异面直线所成角为 ，则
所以，异面直线所成角大小为
.
………………………………………14分
1
18．(本题满分 14分，第 1小题满分 7分，第 2小题满分 7分)
解：(1)
，
所以，当
，
时，函数单调递增区间是
;
……………………………3分
………………13分 ………………14分
20．(本题满分 16分，第 1小题满分 4分，第 2小题满分 6分，第 3小题满分 6分)
解：(1)直线 垂直于 轴时， 两点关于 轴对称，由
Hale Waihona Puke 与，…2分2
可得
，所以，直线 的方程为
；
(2)若直线 垂直于 轴时，由（1）知， 若直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为
联立
，消去 y得：
……………………………………4分
，
均为定值 ……………5分
，
，
则
，由
得
，
…………………6分
由
，
，
得
满足
，
上海市金山区2020年第二学期高三质量测试数学试题(文理合卷)
上海市金山区2020年第二学期高三质量测试数学试卷(文理合卷)(满分：150分，完卷时间：120分钟)一、填空题(本大题有12小题，每小题5分，共计60分) 1、函数y = sin2x 的最小正周期是 。
2、(理)函数y=lg(x 2–2x +4)的单调递减区间是 。
(文)不等式：|x –4|≤6的解是 。
3、函数f (x )＝2x +1(x ≥1)的反函数f –1(x )= 。
4、(理)已知f (x )为奇函数，且当x >0时f (x )=x (x –1)，则f (–3)= 。
(文)下面3个关于算法的叙述：(1)一个程序的算法步骤是可逆的；(2)完成一件事情的算法不止一种；(3)设计算法要本着简单方便的原则。
其中叙述正确．．的序号是 。
5、关于x 的不等式：x x x 1<2的解是 。
6、(理)计算：11131)1(913112141211lim ---∞→-+++-++++n n n n ΛΛ= 。
(文)计算：]31)1(2719131[lim 1n n n -∞→-+++-Λ= 。
7、(理)如果(x +x1)n (n ∈N *)展开式中各项系数的和等于32，则展开式中第3项是 。
(文)如果(x +1)n (n ∈N *)展开式中各项系数的和等于32，则展开式中第3项是 。
8、(理)已知直线l 的参数方程为：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=t y t x 232211(t 为参数)，则直线l 的倾斜角的大小为 。
(文)圆柱侧面展开图是一个边长为2的正方形，则其体积为 。
9、(理)设地球的半径约为6371千米，在赤道圈上有两点A 、B ，这两点的经度差为120o ，则A 、B 两点的球面距离是 (千米)。
(计算结果精确到1千米)(文)已知目标函数k =3x+y ，且x 、y 满足以下条件：⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-0304y x y y x ，则k 的最大值为 。
10、(理)有一种叫做“天天彩”的彩票，每注售价2元，中奖的概率为1%，如果每注奖的奖金为50元，那么购买一注彩票的期望收益是 (元)。
上海市金山区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷含解析
上海市金山区达标名校2020年高考二月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数()()2a i i --的实部与虚部相等，其中i 为虚部单位，则实数a =( ) A ．3B ．13-C ．12-D ．1-2．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入x 的值为2，则输出的v 值为( )A ．10922⨯-B ．10922⨯+C ．11922⨯+D ．11922⨯-3．正方形ABCD 的边长为2，E 是正方形内部（不包括正方形的边）一点，且2AE AC ⋅=，则()2AE AC +的最小值为（ ） A ．232B ．12C ．252D ．134．如图，正四面体P ABC -的体积为V ，底面积为S ，O 是高PH 的中点，过O 的平面α与棱PA 、PB 、PC 分别交于D 、E 、F ，设三棱锥P DEF -的体积为0V ，截面三角形DEF 的面积为0S ，则（ ）A ．08V V ≤，04S S ≤B ．08V V ≤，04S S ≥C ．08V V ≥，04S S ≤D ．08V V ≥，04S S ≥5．已知正四面体的内切球体积为v ，外接球的体积为V ，则Vv=（ ） A ．4B ．8C ．9D ．276．已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ） A ．14B ．13C ．12D ．17．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想的内容是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，例如：422=+，633=+，835=+，那么在不超过18的素数中随机选取两个不同的数，其和等于16的概率为（ ） A ．121B ．221C ．115D ．2158．如图，这是某校高三年级甲、乙两班在上学期的5次数学测试的班级平均分的茎叶图，则下列说法不正确的是（ ）A ．甲班的数学成绩平均分的平均水平高于乙班B ．甲班的数学成绩的平均分比乙班稳定C ．甲班的数学成绩平均分的中位数高于乙班D ．甲、乙两班这5次数学测试的总平均分是1039．已知三棱锥A BCD -的所有顶点都在球O 的球面上，AD ⊥平面,120ABC BAC ︒∠=，2AD =，若球O 的表面积为20π，则三棱锥A BCD -的体积的最大值为（ ） A ．33B ．33C 3D ．310．已知集合{}2|2150A x x x =-->，{}|07B x x =<<，则()R A B 等于( )A ．[)5,7-B ．[)3,7-C ．()3,7-D ．()5,7-11．复数z 的共轭复数记作z ，已知复数1z 对应复平面上的点()1,1--，复数2z :满足122z z ⋅=-.则2z 等于（ ）A ．2B ．2C ．10D ．1012．已知()32z i i =-，则z z ⋅=（ ） A ．5B ．5C ．13D ．13二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届上海市金山区高三二模数学试题(解析版)
（2）请问，从12点（即 ）开始，园区内总人数何时达到最多？并说明理由
【答案】（1）14738，12800；（2）13点30分，详见解析
【解析】（1）由分段函数的性质，直接代入计算即可得解；
（2）由题意可得 ，然后构造函数 ，利用导数研究 时，n的最大值即可得解.
【解析】令 ，可得 为奇函数，求得 后，即可得 ，即可得解奇函数，
又 ， ， ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题考查了函数奇偶性及对数运算、三角函数性质的应用，考查了构造新函数的能力和运算求解能力，属于中档题.
12．已知数列 的通项公式为 ， ，其前n项和为 ，则 ________.
（1）求四棱锥 的体积
（2）求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）
【答案】（1）1；（2） .
【解析】
（1）由题意可得 ，由 即可得解；
（2）取 的中点 ，连接 、 、 ，由题意可得 即为异面直线 与 所成角，分别计算出 、 、 后，利用余弦定理即可得解.
【详解】
（1） 底面 ， 即为 与底面 所成的角， ，
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】如图所示建立坐标系，计算面积得到答案.
【详解】
如图所示建立坐标系，
根据题意：图2中 为直角梯形， ， ， .
故 .
故选： .
【点睛】
本题考查了斜二测画法求面积，意在考查学生的计算能力.
3．在正方体 中，下列结论错误的是（）
A．
B．
C．向量 与 的夹角是
D．正方体 的体积为
【答案】
2020年上海市金山区高考数学二模试卷(附答案详解)
2020年上海市金山区高考数学二模试卷一、单选题（本大题共4小题，共20.0分）1. 已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l 1：a 1x +b 1y +c 1=0，l 2：a 2x +b 2y +c 2=0，那么“∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣=0是“两直线l 1，l 2平行”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件2. 若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是( )A. 2+√22B. 1+√22C. 2+√2D. 1+√23. 在正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，下列结论错误的是( )A. (A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2B. A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C. 向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是120° D. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 4. 函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −1)为偶函数，当x ∈[0,1]时，f(x)=√x ，若函数g(x)=f(x)−x −m 有三个零点，则实数m 的取值范围是( )A. (−14,14) B. (1−√2,√2−1) C. (4k −14,4k +14)(k ∈Z)D. (4k +1−√2,4k +√2−1)(k ∈Z)二、单空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 集合A ={x|0<x <3}，B ={x||x|<2}，则A ∩B =______．6. 函数y =x −12的定义域是______． 7. i 是虚数单位，则|i1−i |的值为______． 8. 已知线性方程组的增广矩阵为(113a02)，若该线性方程组的解为(12)，则实数a =______．9. 已知函数f(x)=∣∣∣2x 111∣∣∣，则f −1(0)=______．10. 已知双曲线x 2a 2−y 2=1(a >0)的一条渐近线方程为2x −y =0，则实数a =______． 11. 已知函数f(x)=lg 1−x1+x +sinx +1.若f(m)=4，则f(−m)=______．12. 已知数列{a n }的通项公式为a n ={1n ,n =1,2(12)n ,n ≥3，n ∈N ∗，其前n 项和为S n ，则n →∞limS n =______．13. 甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是______.(结果用最简分数表示)14. 若点集A ={(x,y)|x 2+y 2≤1}，B ={(x,y)|−2≤x ≤2，−1≤y ≤1}，则点集Q ={(x,y)|x =x 1+x 2，y =y 1+y 2，(x 1,y 1)∈A ，(x 2,y 2)∈B}所表示的区域的面积是______．15. 我们把一系列向量a i ⃗⃗⃗ (i =1,2,…,n)按次序排成一列，称之为向量列，记作{a i ⃗⃗⃗ }，已知向量列{a i ⃗⃗⃗ }满足a 1⃗⃗⃗⃗ =(1,1)，a n ⃗⃗⃗⃗ =(x n ,y n )=12(x n−1−y n−1,x n−1+y n−1)(n ≥2)，设θn 表示向量a n ⃗⃗⃗⃗ 与a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，若b n =n 2πθn 对任意正整数n ，不等式√1bn+1+√1bn+2+⋯+√1b2n>log a (1−2a)恒成立，则实数a 的取值范围是______．16. 设n ∈N ∗，a n 为(x +2)n −(x +1)n 的展开式的各项系数之和，m =−12t +6,t ∈R ，b n =[a13]+[2a 232]+⋯+[na n 3n]([x]表示不超过实数x 的最大整数)，则(n −t)2+(b n −m)2的最小值为______.x 2三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17. 已知四棱锥P −ABCD ，PA ⊥底面ABCD ，PA =1，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为π6． (1)求四棱锥P −ABCD 的体积；(2)求异面直线AE 与PC 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)．18.已知函数f(x)=2cos2x2+√3sinx．(1)求函数f(x)在区间[0,π]上的单调增区间；(2)当f(α)=115，且−2π3<α<π6，求sin(2α+π3)的值．19.随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放．据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型n∈N∗：以f(n)={200n+15001≤n≤6300⋅3n−611+24007≤n≤2823400−650n29≤n≤36表示第n个时刻进入园区的人数；以g(n)={01≤n≤15400n−500016≤n≤28820029≤n≤36表示第n个时刻离开园区的人数；设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即n=1；8点30分作为第2个计算单位，即n=2；依此类推，把一天内从上年8点到下午5点分成36个计算单位(最后结果四含五入，精确到整数)．(1)试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的人数f(19)+f(20)+f(21)+f(22)和离开园区的游客人数g(19)+g(20)+g(21)+g(22)；(2)请问，从12点(即n=16)开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．20.已知动直线l与与椭圆C：x2+y2=1交于P(x1,y1)，Q(x2,y2)两不同点，且△OPQ的2面积S△OPQ=√2，其中O为坐标原点．2(1)若动直线l垂直于x轴．求直线l的方程；(2)证明：x12+x22和y12+y22均为定值；(3)椭圆C上是否存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=√2？2若存在，判断△DEG的形状；若不存在，请说明理由．21.若无穷数列{a n}满足：存在k∈N∗，对任意的n≥n0(n∈N∗)，都有a n+k−a n=d(d为常数)，则称{a n}具有性质Q(k,n0,d)．(1)若无穷数列{a n}具有性质Q(3,1,0)，且a1=1，a2=2，a3=3，求a2+a3+a4的值；(2)若无穷数列{b n}是等差数列，无穷数列{c n}是公比为正数的等比数列，b1=c5=1，b5=c1=81，a n=b n+c n，判断{a n}是否具有性质Q(k,n0,0)，并说明理由；(3)设无穷数列{a n}既具有性质Q(i,2,d1)，又具有性质Q(j,2,d2)，其中i，j∈N∗，i<j，i，j互质，求证：数列{a n}具有性质Q(j−i,2,j−id1).i答案和解析1.【答案】B【解析】解：若“∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣=0则a 1b 2−a 2b 1=0，若a 1c 2−a 2c 1=0，则l 1不平行于l 2， 若“l 1//l 2”，则a 1b 2−a 2b 1=0，∴∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣=0， 故“∣∣∣a 1b 1a 2b 2∣∣∣=0是“两直线l 1，l 2平行的必要不充分条件， 故选：B ．两条直线平行时，一定可以得到a 1b 2−a 2b 1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．2.【答案】C【解析】解：水平放置的图形为一直角梯形，由题意可知上底为1，高为2，下底为1+√2， S =12(1+√2+1)×2=2+√2．故选：C ．水平放置的图形为直角梯形，求出上底，高，下底，利用梯形面积公式求解即可． 本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，也可利用原图和直观图的面积关系求解．属基础知识的考查．3.【答案】D【解析】解：正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1如图所示，选项A ，(A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )2=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(√3|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |)2=3A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2，故A 正确；选项B ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵A 1C 在平面ABB 1A 1内的投影为A 1B ，且A 1B ⊥AB 1，∴A 1C ⊥AB 1，∴A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故B 正确；选项C ，∵△A 1BC 1为等边三角形，∴∠A 1BC 1=60°，∵AD 1//BC 1，∴向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角是180°−60°=120°，故C 正确；选项D ，∵AB ⊥AA 1，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，故D 显然错误． 故选：D ．选项A ，通过空间向量的加法运算得到A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，而|A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√3|A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，故可判断A 正确；选项B ，A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −A 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=A 1C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，再通过三垂线定理证明A 1C ⊥AB 1，故可判断B 正确；选项C ，借助平移的思想，将向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角转化为向量AD 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，再结合△A 1BC 1为等边三角形即可得解；选项D ，由于AB ⊥AA 1，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，显然正方体的体积不可能为0，故D 错误． 本题考查空间向量的运算，涉及加法、减法、数量积和异面直线的夹角，考查学生的空间立体感和运算能力，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：因为函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −1)为偶函数， 当x ∈[0,1]时，f(x)=√x ， 故当x ∈[−1,0]时，f(x)=−√−x ， 所以函数f(x)的图象如图．g(x)=f(x)−x −b 有三个零点， 即函数f(x)与函数y =x +b 有三个交点，当直线y=x+b与函数f(x)图象在(0,1)上相切时，即√x=x+b有2个相等的实数根，即x2+bx−1=0有2个相等的实数根．由△=0求得b=14，数形结合可得g(x)=f(x)−x−b有三个零点时，实数b满足−14<b<14，故此式要求的b的集合为(−14,1 4 ).再根据函数f(x)的周期为4，可得要求的b的集合为(4k−14,4k+14)，k∈Z，故选：C．由题意，画出函数f(x)的图象，利用数形结合的方法找出f(x)与函数y=x+m有三个零点时b的求值本题主要考查函数的奇偶性和周期性的应用，函数的零点和方程的根的关系，体现了转化和数形结合的数学思想，属于中档题5.【答案】{x|0<x<2}【解析】解：∵集合A={x|0<x<3}，B={x||x|<2}={x|−2<x<2}，∴A∩B={x|0<x<2}．故答案为：{x|0<x<2}．求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】(0,+∞)【解析】解：∵y=x−12=√x，∴要使函数y=x−12有意义，则x>0，即函数y=x−12的定义域是(0,+∞)．故答案为：(0,+∞)．把已知函数解析式变形，再由分母中根式内部的代数式大于0求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．7.【答案】√22【解析】解：∵i1−i =i(1+i)(1−i)(1+i)=i−12=−12+12i ，∴|i 1−i|=|−12+12i|=√14+14=√22． 故答案为：√22．先化简i 1−i =−12+12i ，再直接求模即可．本题考查复数的运算以及复数模的求解，考查计算能力，属于基础题．8.【答案】2【解析】解：由线性方程组的增广矩阵为(113a 02)，可知， 该线性方程组为{x +y =3ax =2，∵该线性方程组的解为(12)，即{x =1y =2，∴a ⋅1=2，即a =2． 故答案为：2．本题的关键是根据增广矩阵写出相应的线性方程组，然后将解代入即可计算出参数a 的值．本题主要考查线性方程组与矩阵结合的问题．考查了转化思想，对应思想，以及方程的计算能力，本题属基础题．9.【答案】0【解析】解：函数f(x)=∣∣∣2x 111∣∣∣=2x −1， 由2x −1=0，解得x =0． 则f −1(0)=0． 故答案为：0． 根据题意，求f−1(0)，即使得f(x)=∣∣∣2x 111∣∣∣=2x −1=0，计算即可．本题考查反函数的求法及其性质，行列式的运算性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题．10.【答案】12【解析】解：令x2a2−y2=0，则双曲线的渐近线方程为y=±1ax，∵双曲线有一条渐近线为2x−y=0，∴a=12，故答案为：12．令x2a2−y2=0，求出双曲线的渐近线方程，再与题中的已知条件对比，即可得到a的值．本题考查双曲线的渐近线方程，考查学生的计算能力，属于基础题．11.【答案】−2【解析】解：令f(x)−1=g(x)=lg1−x1+x+sinxg(−x)=lg 1+x1−x+sin(−x)=−(lg1−x1+x+sinx)=−g(x)∴g(−m)=−g(m)，∴f(−m)−1=−[f(m)−1]即f(m)+f(−m)=2∴f(−m)=−2故答案为：−2．令g(x)=f(x)−1，运用函数奇偶性的定义可得g(−x)=−g(x)，从而可得g(−m)=−g(m)，即f(−m)−1=−[f(m)−1]，从而求出f(m)+f(−m)的值，即可求出f(−m)的值．本题首先利用构造方法构造新的函数，然后运用函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性，用整体思想求解出f(m)+f(−m)为一定值，解题时要注意整体思想的运用．12.【答案】74【解析】解：由题可知n →∞lim S n =n →∞lim(1+12+123+124+⋯+12n )=n →∞lim(1+12+123(1−12n−2)1−12)=n →∞lim(1+12+122−12n ) =n →∞lim(74−12n)=74， 故答案为：74．通过等比数列的求和公式可知当n ≥3时123+124+⋯+12n =122−12n ，进而取极限可得结论．本题考查考查数列的通项及前n 项和，考查等比数列的求和公式，涉及极限思想，注意解题方法的积累，属于中档题．13.【答案】114【解析】解：甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，基本事件总数n =C 93=84，他们的单位与职业都不相同包含的基本事件个数m =3×2×1=6， 则他们的单位与职业都不相同的概率是p =m n=114．故答案为：114．基本事件总数n =C 93=84，他们的单位与职业都不相同包含的基本事件个数m =3×2×1=6，他们的单位与职业都不相同的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14.【答案】20+π【解析】解：由题意，x 12+y 12≤1，又x =x 1+x 2，y =y 1+y 2，∴(x −x 2)2+(y −y 2)2≤1， 又−2≤x 2≤2，−1≤y 2≤1，∴点(x,y)表示以集合B 表示的长方形内的点为圆心，半径为1的圆面． 如图所示，点集Q 是由四段圆弧以及连接它们的四条切线段围成的区域， 其面积为20+π． 故答案为：20+π．由题意，x 12+y 12≤1，结合x =x 1+x 2，y =y 1+y 2，可得(x −x 2)2+(y −y 2)2≤1，画出图形，即可求得点集Q 所表示的区域的面积．本题考查二元二次不等式组与平面区域的关系问题，考查转化数学思想，作图能力，是中档题．15.【答案】(0,13)【解析】解：由题意，计算cosθn =a n ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗|a n⃗⃗⃗⃗⃗ |×|a n−1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |， 把{x n =12(x n−1−y n−1)y n =12(x n−1+y n−1)代入， 可求得cosθn =√22，所以θn =π4； 所以b n =n 2πθn =n 24； 记c n =√1bn+1+√1bn+2+⋯+√1b2n=2n+1+2n+2+⋯+22n ；则c n+1=2n+2+2n+3+⋯+22n +22n+1+22n+2；所以c n+1−c n =22n+1+22n+2−2n+1=22n+1−22n+2>0；所以数列{c n }是单调递增数列，且log a (1−2a)<(c n )min =c 1=1； 由于1−2a >0，解得a <12， 所以{1−2a >01−2a >a 0<a <1，解得0<a <13，所以a 的取值范围是(0,13). 故答案为：(0,13).计算cosθn ，求出θn 的值，得出b n ；令c n =√1bn+1+√1b n+2+⋯+√1b 2n，得出数列{c n }是单调递增数列，且log a (1−2a)<(c n )min ，由此列不等式组求出a 的取值范围． 本题考查了不等式恒成立问题、数列得单调性，也考查了平面向量的夹角计算问题，是综合题．16.【答案】95【解析】解：易知，(n −t)2+(b n −m)2表示的是(n,b n )到直线m =−12t +6的距离的平方．因为na n 3n =n[1−(23)n ]，∴[nan3n ]的值依次为：0，1，2，3，……，n −1，……，(因为对于n(23)n ，当n >1时，n(23)n ∈(0,1)，所以[n −n(23)n ]=n −1.)所以b n =[a13]+[2a232]+⋯+[nan 3n ]([x]表示不超过实数x 的最大整数)，对应的点依次为(1,0)，(2,1)，(3,3)，(4,6)，……，(n,n(n−1)2)，……这些点与直线y =−12x +6的距离先接近，再离得越来越远． 所以这些点到直线x +2y −12=0的距离为：d =|n+2×n(n−1)2−12|√5=|n 2−12|√5，n ∈N +，易知n =3时，d min =3√5，故所求的最小值为95． 故答案为：95．(n −t)2+(b n −m)2表示的是点(n,b n )到直线m =−12t +6的距离的平方，研究点(n,b n )的变化规律可求解．本题考查二项式系数的求法等知识，同时还考查学生运用转化思想，函数思想解决问题的能力．同时考查学生的逻辑推理、数学抽象、直观想象和数学运算等数学核心素养．属于较难的题目．17.【答案】解：(1)如图，∵PA ⊥底面ABCD ，∴AD 为PD 在底面上的射影，可得∠PDA 为PD 与底面ABCD 所成角，大小为π6．又PA =1，∴AD =PAtan π6=√3，∵底面ABCD 是正方形，∴S 正方形ABCD =√3×√3=3． ∴V P−ABCD =13×3×1=1；(2)取CD 中点G ，连接EG ，AG ，则EG//PC ， ∴∠AEG 为异面直线AE 与PC 所成角(或其补角)． 由(1)得，AC =√6，则PC =√7，EG =√72，PD =2，则AE =1，AG =√3+34=√152．在三角形AEG 中，由余弦定理可得：cos∠AEG =AE 2+EG 2−AG 22AE⋅EG=1+74−1542×1×√72=−√77． ∴异面直线AE 与PC 所成角的余弦值为√77，角的大小为arccos √77．【解析】(1)由已知求解三角形可得底面边长，再由体积公式求体积；(2)取CD 中点G ，连接EG ，AG ，则EG//PC ，可得∠AEG 为异面直线AE 与PC 所成角(或其补角)，求解三角形得异面直线AE 与PC 所成角的余弦值，则答案可求．本题考查空间直线与直线、直线与平面的位置关系、平面与平面位置关系，几何体的体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，是中档题．18.【答案】解：(1)函数f(x)=2cos 2x 2+√3sinx =cosx +1+√3sinx =2(√32sinx +12cosx)+1=2siin(x +π6)+1，由−π2+2kπ≤x +π6≤π2+2kπ，(k ∈Z)，解得：−2π3+2kπ≤x ≤π3+2kπ，令k =0得，−2π3≤x ≤π3，所以函数f(x)在区间[0,π]上的单调增区间为：[0,π3]； (2)∵f(α)=115，∴2sin(α+π6)+1=115，∴sin(α+π6)=35， 又∵−2π3<α<π6，∴−π2<α+π6<π3，∴cos(α+π6)=45，∴sin(2α+π3)=sin[2(α+π6)]=2sin(α+π6)cos(α+π6)=2×35×45=2425．【解析】(1)先利用三角函数公式化简函数f(x)的解析式，再利用三角函数的图象和性质即可求出函数f(x)在区间[0,π]上的单调增区间； (2)由f(α)=115可得sin(α+π6)=35，又−2π3<α<π6，得−π2<α+π6<π3，可求cos(α+π6)=45，再利用二倍角公式即可求出sin(2α+π3)的值．本题主要考查三角函数的公式，以及三角函数的图象和性质，是中档题．19.【答案】解：(1)当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的人数f(19)+f(20)+f(21)+f(22)=300×[31311+31411+31511+31611]+2400×4=300×31311×[1−3411]1−3111+9600≈14738，离开园区的游客人数g(19)+g(20)+g(21)+g(22)=400×(19+20+21+22)−5000×4=12800；(2)由题意可知，当f(n)−g(n)≥0时，园内游客数增加；当f(n)−g(n)<0时，园内游客数减少，①当16≤n ≤28时，f(n)−g(n)=300×3n−611+2400−400n +5000=300×3n−611−400n +7400，∵f(22)−g(22)=82.9>0，f(23)−g(23)=−161.3<0，∴当16≤n ≤22时，f(n)−g(n)>0，进入园内游客人数多于离开园区游客人数，总人数越来越多，当23≤n ≤28时，f(n)−g(n)<0，进入园内游客人数少于离开园区游客人数，总人数越来越少，②当29≤n ≤36时，f(n)−g(n)=23400−650n −8200=−650n +15200，递减，且值恒为负数，进入园内游客人数少于离开园区游客人数，总人数越来越少， 综上所述，当天下午13：30时(n =22)园区内游客总人数达到最多．【解析】(1)根据条件利用代入法即可求得f(19)+f(20)+f(21)+f(22)和g(19)+g(20)+g(21)+g(22)的值；(2)根据分段函数的不等式，结合函数的单调性进行求解．本题主要考查了分段函数的实际运用，以及函数的单调性，是中档题．20.【答案】解：(1)设直线l的方程为：x=m，∴S△OPQ=12×|m|×|PQ|=√22，∴|PQ|=√2|m|，∴点P(m,√22|m|)，代入椭圆C的方程得：m2+28m2=1，解得：m2=12，∴m=±√22，∴直线l的方程为：x=±√22；(2)①当直线l的斜率不存在时，点P，Q两点关于x轴对称，所以x2=x1，y2=−y1，因为点P(x1,y1)在椭圆上，因此x12+y122=1①，又因为S△OPQ=√22，所以|x1|⋅|y1|=√22②，由①、②得：|x1|=√22，|y1|=1，此时x12+x22=1，y12+y22=2；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y=kx+m，依题意m≠0，联立方程{y=kx+mx2+y22=1，消去y得：(2+k2)x2+2kmx+m2−2=0，∴△=4k2m2−4(2+k2)(m2−2)>0，即2+k2>m2(∗)，且x1+x2=−2km2+k2，x1x2=m2−22+k2，∴|PQ|=√1+k2⋅√(x1+x2)2−4x1x2=√1+k2⋅2√2⋅√2+k2−m22+k2，又∵原点O到直线l的距离为d=√1+k2，∴S△OPQ=12×|PQ|×d=12×√1+k2⋅2√2⋅√2+k2−m22+k2√1+k2=√2⋅|m|⋅√2+k2−m22+k2=√22，整理得：2+k2=2m2，符合(∗)式，此时，x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=(−2km2+k2)2−2×m2−22+k2=k2m2−m2−2m2=k2−m2+2m2=1，y12+y22=2(1−x12)+2(1−x22)=4−2(x12+x22)=2，综上所述，x12+x22=1，y12+y22=2；(3)椭圆C上不存在点D，E，G，使得三角形面积S△ODG=S△ODE=S△OEG=√22，证明：假设存在D(u,v)，E(u1,v1)，G(u2,v2)，满足S△ODG=S△ODE=S△OEG=√22，由(1)得：u2+u12=1，u2+u22=1，u12+u22=1，v2+v12=2，v2+v22=2，v12+v22=2，解得：u2=u12=u22=12，v2=v12=v22=1，∴u ，u 1，u 2 只能从±√22中选取，v ，v 1，v 2只能从±1中选取，∴点D ，E ，G 只能在(±√22,±1)这四个点中选取三个不同的点，而这三个点的两两连线中必有一条过原点，与S △ODG =S △ODE =S △OEG =√22矛盾，∴椭圆C 上不存在点D ，E ，G ，使得三角形面积S △ODG =S △ODE =S △OEG =√22．【解析】(1)设直线l 的方程为：x =m ，由S △OPQ =12×|m|×|PQ|=√22，可得点P(m,√22|m|)，代入椭圆C 的方程即可求出m 的值，从而得到直线l 的方程；(2)当直线l 的斜率不存在时，易求x 12+x 22=1，y 12+y 22=2，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：y =kx +m ，与椭圆方程联立，利用弦长公式以及点到直线距离公式，根据三角形的面积，可得到2+k 2=2m 2，代入x 12+x 22，y 12+y 22化简即可得到x 12+x 22=1，y 12+y 22=2；(3)假设存在D(u,v)，E(u 1,v 1)，G(u 2,v 2)，满足S △ODG =S △ODE =S △OEG =√22，由(1)得：u 2+u 12=1，u 2+u 22=1，u 12+u 22=1，v 2+v 12=2，v 2+v 22=2，v 12+v 22=2，从而求出点D ，E ，G 的坐标，可以得到直线DE ，DG ，EG 的方程，从而得到结论． 本题主要考查了点到直线距离公式，考查了直线与椭圆的位置关系，以及三角形面积公式，是中档题．21.【答案】解：(1)无穷数列{a n }具有性质Q(3,1,0)，可得任意的n ≥1，都有a n+3=a n ，则a 4=a 1=1，又a 2=2，a 3=3，可得a 2+a 3+a 4=6； (2)由b 1=c 5=1，b 5=c 1=81，可得{b n }的公差d =b 5−b 14=81−14=20，则b n =1+20(n −1)=2n −19；又{c n }的公比q ，满足81q 4=1，可得q =13，则c n =(13)n−5， 则a n =(13)n−5+2n −19， 若{a n }具有性质Q(k,n 0,0)，则存在k ∈N ∗，对任意的n ≥n 0(n ∈N ∗)，都有a n+k =a n ， 下证{a n }在n ≥5时，单调递增．事实上，a n+1−a n =20+(13)n−4−(13)n−5>19>0，所以n ≥5时，a n+k ≥a n ，恒成立．所以{a n}不具有性质Q(k,n0,0)；(3)对任意n≥2，a n+i−a n=d1，a n+j−a n=d2，所以a n+i−a n=d1，a n+2i−a n+i=d1，…，a n+ji−a n+ji−i=d1，累加可得a n+ji−a n=d1j，同理可得a n+ji−a n=d2j，所以d1j=d2i，即有d2=jid1，下证a n+j−i−a n=j−iid1．事实上，a n+j−i−a n=(a n+j−i−a n+j)+(a n+j−a n)=−d1+d2=−d1+ji d1=j−iid1．故a n+j−i−a n=j−iid1．数列{a n}具有性质Q(j−i,2,j−iid1)成立．【解析】(1)由题意可得任意的n≥1，都有a n+3=a n，可得a4=a1=1，可得所求和；(2)由题意可得{b n}的公差，以及通项公式；同时可得{c n}的公比和通项公式，进而得到a n，若{a n}具有性质Q(k,n0,0)，由新定义，结合单调性，即可判断；(3)由题意可得对任意n≥2，a n+i−a n=d1，a n+j−a n=d2，运用累加法可得a n+ji−a n=d1j，同理可得a n+ji−a n=d2j，可得d1，d2的关系，证a n+j−i−a n=j−iid1.即可得证．本题考查数列的新定义的理解和运用，以及等差数列和等比数列的定义和通项公式，考查化简运算求解能力，以及推理能力，属于难题．。
上海市金山区达标名校2020年高考二月适应性考试数学试题含解析
上海市金山区达标名校2020年高考二月适应性考试数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，12a =，且139,,a a a 成等比数列，则8S =（ ） A ．56B ．72C ．88D ．402．已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a>0，b>0)的右焦点为F ，过原点O 作斜率为43的直线交C 的右支于点A ，若|OA|=|OF|，则双曲线的离心率为（ ）A B C ．2D 3．已知排球发球考试规则：每位考生最多可发球三次，若发球成功，则停止发球，否则一直发到3次结束为止．某考生一次发球成功的概率为()01p p <<，发球次数为X ，若X 的数学期望() 1.75E X >，则p 的取值范围为( ) A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．70,12⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．7,112⎛⎫ ⎪⎝⎭4．两圆()224x a y ++=和()221x y b +-=相外切，且0ab ≠，则2222a b a b+的最大值为（ ） A ．94B ．9C ．13D ．15．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b>0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e=（ ）A ．12B ．2C ．2D ．36．设()f x 、()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且21()()(1)2x f x g x x ++=+-，则(1)(1)f g -=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．37．已知复数21iz i=+，则z =（ ）A ．1i +B ．1i -CD ．28．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥B ．若//αβ，m α⊂，n β⊂，则//m nC ．若m n ⊥，m α⊂，n β⊂，则αβ⊥D ．若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥ 9．如图，圆锥底面半径为2，体积为223π，AB 、CD 是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点，已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到圆锥顶点P 的距离等于（ ）A ．12B ．1C ．10 D ．5 10．设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，22()log (1)1f x x ax a =++-+(a 为常数)，则不等式(34)5f x +>-的解集为（ ）A ．(,1)-∞-B ．(1,)-+∞C ．(,2)-∞-D ．(2,)-+∞11．若21i iz =-+，则z 的虚部是A ．3B ．3-C ．3iD ．3i -12．某几何体的三视图如图所示，其俯视图是由一个半圆与其直径组成的图形，则此几何体的体积是（ ）A ．203π B ．6πC ．103π D ．163π 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届金山高三数学二模(教师版)
金山区2019学年第二学期期中 高三年级数学学科教学质量监测试卷（120分钟，150分）考生注意：1.本试卷包括试卷和答题纸两部分，答题纸另页，正反面；2.在本试卷上答题无效，必须在答题纸上的规定位置按照要求答题；3.可使用符合规定的计算器答题.一、填空题（本大题共有12愿，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果。
1.集合{|03}A x x =<<，{|2}B x x =<，则A B =I . 【答案】(0,2) 【解析】(0,2)A B =I2.函数12y x-=的定义域是 .【答案】(0,)+∞ 【解析】12yx-==所以定义域为(0,)+∞ 3.i 是虚数单位，则1ii-的值为 .【答案】2【解析】||1|1|2i i i i ===-- 4.已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a = .【答案】2a =【解析】由题意得32x y ax +=⎧⎨=⎩的解是12x y =⎧⎨=⎩2a ∴=5.已知函数211)1(x f x =，则1(0)f -= .【答案】1(0)0f -=【解析】21()2111x x f x ==-，令0y =，得0x = 1(0)0f -∴=6.已知双曲线2221(0)x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a = .【答案】12a=【解析】令2220x y a -=，得渐近线方程为1y x a =±1122a a ∴=∴= 7.已知函数1()lg sin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -= . 【答案】2- 【解析】11()()1sin 1lg sin 1211m mf m f m gm m m m-++-=+++-+=+- ()2()2f m f m ∴-=-=-8.数列{}n a 的通项公式*1,1,2,,1,3,2n nn na n N n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪≥⎪⎩ 前n 项和为n S ，则lim n n S →∞= . 【答案】74【解析】()()1234nn S a a a a a =+++++L 34111112222n =+++++L 21113821212n -⎛⎫- ⎪⎝⎭=+-23111242n -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ 317lim 244n n S →∞∴=+= 9.甲、乙、丙三个不同的医疗队里各有3人，职业分别是医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是 （结果用最简分数表示）.【答案】114【解析】123123123A A AB B BC C C 甲乙丙11319231618414C C C C ∴== 10.若点集{}{}22(,)|1,(,)|22,11,A x y x y B x y x y =+≤=-≤≤-≤≤则点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈，所表示的区域的面积是 . 【答案】20π+【解析】由2211121,,y x x x x y +≤=+=得()()22221x x y y -+-≤又2222,11x y -≤≤-≤≤Q所以点(,)x y 表示 以集合B 点集Q 24122142S ππ=+⨯+⨯⨯+⨯⨯=+11.我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =u r K 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a u r，已知向量列{}i a u r 满足：1(1,1)a =u r ，11111(,)(,)2n n n n n n n a x y x y x y ----==-+u u r (2)n ≥，设n θ表示向量1n a -u u u r 与n a u u r 的夹角，若2n n n b θπ=对任意的正整数n ，不等式log (12)a a +>-L 恒成立，则实数a 的取值范围是 . 【答案】10,3⎛⎫⎪⎝⎭【解析】因为11cos 2||||n n n n n a a a a θ--⋅==⋅u u u r u u ru u u r u u r ，所以4n πθ=，24n n b =所以不等式化为)2log (2122212a n n na ++⋯+>+-+ 设222122nT n n n=+++++L ， 又1222220212(1)12122n n T T n n n n n +-=+-=->+++++所以数列{}n T 单调递增，()1min 1n T T ==，要使不等式恒成立，只要1log (12)a a >- ，即当1a >时，12012a a a->⎧⎨>-⎩ ，解得1132a <<，舍当01a <<时，12012a a a->⎧⎨<-⎩，解得103a <<综上所述，所以使不等式对于任意正整数n 恒成立的a 取值范围是10,3⎛⎫⎪⎝⎭12.设*,n n N a ∈为(2)(1)n nx x +-+的展开式的各项系数之和，122216,,...2333n n n na a a m t t R b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+∈=+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（[]x 表示不超过实数x 的最大整数）,则22()()n t b m -+-的最小值为 .【答案】59【解析】32nnn a =-Q ，1]32[]3[-=⋅-=n n n na n nn n22n n n b -∴=，用22)()(m b t n n -+-表示，点2(,)2n n n -到点)621,(+-t t 的距离平方 即)(,22+∈-=N x xx y 到621+-=x y 的距离平方交点横坐标为,12=x 取整为4,3=x 则整数点)6,4(),3,3(分别算到621+-=x y 距离平方为：51659、，故最小值是59二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑。
2020高三二模数学金山卷
金山区2019学年第二学期质量监控高三数学试卷(满分：150分，完卷时间：120分钟)（答题请写在答题纸上）一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．集合，，则=.2．函数12y x-=的定义域是____________.3．i 是虚数单位，则i1i-的值为____________.4．已知线性方程组的增广矩阵为11302a ⎛⎫⎪⎝⎭，若该线性方程组的解为12⎛⎫⎪⎝⎭，则实数a =________.5．已知函数21()11x f x =，则1(0)f -=.6．已知双曲线()22210x y a a-=>的一条渐近线方程为20x y -=，则实数a =___________.7．已知函数1()lgsin 11xf x x x-=+++，若()4f m =，则()f m -=.8．数列{}n a 的通项公式*1,1,2,1,3,2n nn na n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎪≥⎪⎩N ，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞=.9．甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有3人，职业分别为医生、护士与化验师，现在要从中抽取3人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是（结果用最简分数表示）．10．若点集{}22(,)|1A x y x y =+≤，(){},|22,11B x y x y =-≤≤-≤≤，则点集{}12121122(,)|,,(,),(,)Q x y x x x y y y x y A x y B ==+=+∈∈所表示的区域的面积是__________.11．我们把一系列向量(1,2,...,)i a i n = 按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a ，已知向量列{}i a满足：1(1,1)a = ，()()11111,,(2)2n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥ ，设n θ表示向量1n a - 与n a 的夹角，若2n n n b θπ=，对任意正整数n，不等式()...log 12a a +++>-恒成立，则实数a 的取值范围是________.12．设*n ∈N ，n a 为()(2)1nnx x +-+的展开式的各项系数之和，162m t =-+，R t ∈，1222...333n n n a a na b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++⎢⎥⎢⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（ 表示不超过实数x 的最大整数），则()22()n n t b m -+-的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13．已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为1111:0l a x b y c ++=，2222:0l a x b y c ++=，那么“11220a b a b =”是“两直线1l 、2l 平行”的()．（A ）充分非必要条件（B ）必要非充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分又非必要条件14．如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°且腰和上底均为1的等腰梯形，则原平面图形的面积是().（A ）222+（B ）221+（C ）22+（D ）21+15．在正方体1111ABCD A B C D -中，下列结论错误的是().（A ）()2211111113A A A D A B A B ++= （B ）1111)0AC A B A A ⋅(-= （C ）向量1AD 与1A B的夹角是120︒（D ）正方体1111ABCD A B C D -的体积为1||AB AA AD ⋅⋅16．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()1f x -为偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x =.若函数()()g x f x x m =--有三个零点，则实数m 的取值范围是().（A ）11(,)44-（B ）(11)-（C ）11(4,4)44k k -+（k ∈Z ）（D ）(411)k k +-（k ∈Z ）三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知四棱锥⊥-PA ABCD P ,底面ABCD ,1PA =，底面ABCD 是正方形，E 是PD 的中点，PD 与底面ABCD 所成角的大小为6π.（1）求四棱锥P ABCD -的体积；（2）求异面直线AE 与PC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.18．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分7分，第2小题满分7分．已知函数()22cos2xf x x =.（1）求函数)(x f 在区间[]0,π上的单调递增区间；（2）当11()=5f α，且6<<32-παπ，求sin(3+2πα的值.19．（本题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分，第2小题满分8分．随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放.据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型()n ∈*N ：以()6112001500,(16)30032400,(728)23400650,(2936)n n n f n n n n -+≤≤⎧⎪⎪=⋅+≤≤⎨⎪-≤≤⎪⎩表示第n 个时刻进入园区的人数；以()0,(115)4005000,(1628)8200,(2936)n g n n n n ≤≤⎧⎪=-≤≤⎨⎪≤≤⎩表示第n 个时刻离开园区的人数．设定每15分钟为一个计算单位，上午8点15分作为第1个计算人数单位，即1=n ；8点30分作为第2个计算单位，即2=n ；依次类推，把一天内从上午8点到下午5点分成36个计算单位（最后结果四舍五入，精确到整数）．（1）试分别计算当天12：30至13：30这一小时内，进入园区的游客人数 果您喜欢这 果档，欢这 果档您欢这 果档档欢和离开园区的游客人数 您喜这 档，这 档您这 档档；（2）请问，从12点（即 ꑈ您 ）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由．EPDCBA20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知动直线l 与椭圆C:2212y x +=交于()11,P x y 、()22,Q x y 两不同点，且△OPQ 的面积2OPQ S = ，其中O 为坐标原点.（1）若动直线l 垂直于x 轴，求直线l 的方程;（2）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（3）椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得三角形面积22ODE ODG OEG S S S === ?若存在，判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）若无穷数列{}n a 满足：存在*k ∈N ，对任意的()*0n n n ≥∈N ，都有n kn aa d +-=（d 为常数）,则称{}n a 具有性质()0,,Q k n d .（1）若无穷数列{}n a 具有性质()3,1,0Q ，且11a =，22a =，33a =，求234a a a ++的值；（2）若无穷数列{}n b 是等差数列，无穷数列{}n c 是公比为正数的等比数列，151b c ==，5181b c ==，n n n a b c =+，判断{}n a 是否具有性质()0,,0Q k n ，并说明理由；（3）设无穷数列{}n a 既具有性质()1,2,Q i d ，又具有性质()2,2,Q j d ，其中*,,,,i j i j i j ∈<N 互质，求证：数列{}n a 具有性质1,2,j i Q j i d i -⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
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列{a } 满足a (1,1) ， a (x , y ) 1 (x y , x y ) (n 2) ，设 表示向量a
i
1
n
nn
2 n1
n1 n1
n1
n
n1
与 an 夹角，若 bn n2n ，对任意正整数 n ，不等式
1 bn1
1 bn2
1 b2n
loga (1 2a)
恒成立，则实数 a 的取值范围是
n
1
2
i 、 j 互质，求证：数列{a } 具有性质Q( j i, 2, j i d ) .
n
i1
第 4页
.........
参考答案
一. 填空题
1. (0,2)
5. 0
1
9.
14
2. (0, )
3. 2 2
6. 1
7. 2
2
10. 20
11.
8. 7
4
1 (0, )
3
4. 2
9 12.
5
二. 选择题 13. B
若函数 g(x) f (x) x m 有三个零点，则实数 m 的取值范围是（ ）
A.( 1 1, ) 44
C. (4k 1 ,4k 1) ( k Z )
44
B. (1 2, 2 1) D. (4k1 2,4k 2 1) ( k Z )
三. 解答题（本大题共 5 题，共 14+14+14+16+18=76 分）
（结果用最简分数表示）
10. 若点集 A {(x, y) | x2 y2 1}， B {(x, y) | 2 x 2,1 y 1}，则点集
Q {(x, y) | x x1 x2, y y1 y2,(x1, y1) A,(x2, y2) B}所表示的区域的面积是
11. 我们把一系列向量ai (i 1,2,,n) 按次序排成一列，称为向量列，记作{ai}，已知向量
1 x
8.
数列{a } 的通项公式a
n
n
1 n
,
n 1,2 ， n N* ，前 n 项和为 S
，则 lim S
1 2n
,
n3
n
n n
9. 甲、乙、丙三个不同单位的医疗队里各有 3 人，职业分别为医生、护士与化验师，现在
要从中抽取 3 人组建一支志愿者队伍，则他们的单位与职业都不相同的概率是
B. A1C (A1B1 A1A) 0
D. 1 2
C. 向量 AD1与 A1B 的夹角是 120° D. 正方体 ABCD A1B1C1D1的体积为| AB AA1 AD |
16. 函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (x 1) 为偶函数，当 x [0,1] 时， f (x) x ，
第 1页
.........
13. 已知直角坐标平面上两条直线的方程分别为l1 : a1x b1y c1 0 ， l2 : a2x b2y c2
0 ，那么“ a1 b1 0 ”是“两直线 l 、 l 平行”的（ ）
a2 b2
1
2
A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 既非充分又非必要条件
f (21) f (22) 和离开园区的游客人数 g(19) g(20) g(21) g(22) ；
（2） 请问，从 12 点（即 n 16 ）开始，园区内游客总人数何时达到最多？并说明理由.
第 3页
.........
20.
已知动直线l 与椭圆C : x2
y2 2
1交于
P(x1, y1 ) 、Q(x2 , y2 ) 两不同点，且△
i 1
i
|
的值为
1
4. 已知线性方程组的增广矩阵为 a
1 0
3 2
，若该线性方程组的解为
1
2
，则实数
a
2x 1
5. 已知函数 f (x)
，则 f 1 (0)
11
6.
已知双曲线
x2 a2
2
y
Байду номын сангаас
1 (a 0) 的一条渐近线方程为 2x
y
0 ，则实数 a
7. 已知函数 f (x) lg 1 x sin x 1 ，若 f (m) 4 ，则 f (m)
OPQ 的
面积 S OPQ
2 ，其中O 为坐标原点. 2
（1） 若动直线l 垂直于 x 轴，求直线l 的方程；
（2） 证明 x2 x2 和 y2 y2 均为定值；
1
2
1
2
（3） 椭圆 C 上是否存在点 D 、 E 、 G ，使得三角形面积 S ODE S ODG S OEG
2？ 2
若存在，判断△ DEG 的形状，若不存在，请说明理由.
据统计研究，近期每天赏花的人数大致符合以下数学模型（ n N* ）：
200n 1500
n6
以
f
(n)
300
3
11
2400
23400
650n
1 n 6
7 n 28 表示第n 个时刻进入园区的人数， 29 n 36
0
1 n 15
以 g(n) 400n 5000 16 n 28 表示第n 个时刻离开园区的人数.
18. 已知函数 f (x) 2cos2 x 3 sin x . 2
（1）求函数 f (x) 在区间[0, ] 上的单调递增区间；
（2）当 f ( ) 11 ，且 2 ，求sin(2 ) 的值.
5
3
6
3
19. 随着疫情的有效控制，人们的生产生活逐渐向正常秩序恢复，位于我区的某著名赏花园区重新开放，
14. 如图，若一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底
角为 45°且腰和上底均为 1 的等腰梯形，则原平面图形的
面积是（ ）
A. 2 2 2
B. 1 2 2
C. 2 2
15. 在正方体 ABCD A1B1C1D1中，下列结论错误的是（ ）
A. (A1A A1D1 A1B1)2 3AB1 1 2
（2） 若无穷数列{bn} 是等差数列，无穷数列{cn} 是公比为正数的等比数列， b1 c5 1， b5 c1 81 ，
an bn cn ，判断{an } 是否具有性质Q(k, n0 ,0) ，并说明理由；
（3） 设无穷数列{a } 既具有性质Q(i,2,d ) ，又具有性质Q( j,2,d )，其中i, j N* ， i j ，
12. 设 n N* ， a 为 (x 2)n (x 1)n 的展开式的各项系数之和， m 1 t 6 ， t R ，
n
b a1 [ 2a2 ] [ nan ] （[ x] 表示不超过实数
2 x 的最大整数），则(n t)2 (b m)2
n
[] 3
32
3n
的最小值为
二. 选择题（本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分）
14. C
15. D
16. C
三. 解答题
17.（1）1；（2） arccos 7 .
7
24
18.（1）[0, ]；（2） .
3
25
19.（1）14738，12800；（2）13 点 30 分.
20.（1） x 2 ；（2）1，2；（3）不存在. 2
21.（1）6；（2）不具有；（3）略.
第 5页
.........
上海市金山区 2020 届高三二模数学试卷
一. 填空题（本大题共 12 题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）
1. 集合 A {x | 0 x 3}， B {x || x | 2}，则 A B
1
2. 函数 y x 2 的定义域是
3.
i
是虚数单位，则|
17. 已知四棱锥 P ABCD ， PA 底面 ABCD ， PA 1，底面 ABCD 是正方形， E 是 PD
的中点， PD与底面 ABCD所成角的大小为 . 6
（1） 求四棱锥 P ABCD 的体积； （2） 求异面直线 AE 与 PC 所成角的大小.
（结果用反三角函数值表示）
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.........
21. 若无穷数列{a } 满足：存在 k N* ，对任意的 n n （ n N* ），都有 a a d （ d 为常数），
n
0
nk
n
则称{an } 具有性质Q(k, n0 , d ) .
（1）若无穷数列{an } 具有性质Q(3,1,0) ，且a1 1， a2 2 ， a3 3 ，求a2 a3 a4 的值；
8200
29 n 36
设定每 15 分钟为一个计算单位，上午 8 点 15 分作为第 1 个计算人数单位，即n 1，8 点 30 分作为 第 2 个计算单位，即n 2 ，依次类推，把一天内从上午 8 点到下午 5 点分成 36 个计算单位（最后结果四
舍五入，精确到整数）.
（1） 试分别计算当天 12：30 至 13：30 这一小时内，进入园区的游客人数 f (19) f (20)