高等数学二下期末复习试题(二本18和19班)
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
高数二期末考试题及答案
高数二期末考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 下列函数中，哪一个是奇函数？A. \( f(x) = x^2 \)B. \( f(x) = x^3 \)C. \( f(x) = \sin(x) \)D. \( f(x) = \cos(x) \)答案：C2. 极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} \) 的值是多少？A. 0B. 1C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \infty \)答案：B3. 微分方程 \( y'' + y = 0 \) 的通解是？A. \( y = C_1 e^{-x} + C_2 e^x \)B. \( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)C. \( y = C_1 x + C_2 \)D. \( y = C_1 \ln(x) + C_2 \)答案：B4. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是多少？A. \( \frac{1}{3} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( 1 \)D. \( 2 \)答案：A5. 曲线 \( y = x^3 \) 在点 \( (1,1) \) 处的切线斜率是？A. 3B. 1C. 0D. \( \frac{1}{3} \)答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数 \( f(x) = x^2 - 6x + 8 \) 的最小值是 ________。
答案：22. 函数 \( f(x) = e^x \) 的导数是 ________。
答案：\( e^x \)3. 函数 \( y = \ln(x) \) 的定义域是 ________。
答案：\( (0, +\infty) \)4. 函数 \( y = \frac{1}{x} \) 的图像关于 ________ 对称。
答案：原点三、计算题（每题10分，共30分）1. 求函数 \( y = x^3 - 3x^2 + 4 \) 在 \( x = 2 \) 处的导数。
(2020年编辑)第二学期高等数学期末考试试卷及答案2
一．填空题（本题满分
1．设 ，则 ________________________．
解：
由 ，得 ，所以，
应填： ．
2．交换累次积分的顺序 ______________________．
解：
．
应填： ．
3．设 ，则 ___________________．
解：
，所以，
， ， ．
所以，
．
的特解．又微分方程 有形如
．
的特解．所以，微分方程 有形如
的特解．
应选：（D）．
三．（本题满分
设 ，其中函数 具有二阶连续的偏导数，试求 ， ．
解：
，
．
四．（本题满分
计算二重积分 ，其中 ．
解：
作极坐标变换 ，有
五．（本题满分
当轮船的前进速度为 时，推进器停止工作，已知受水的阻力与船速的平方成正比（比例系数为 ，其中 为常数，而 为船的质量）．问经过多少时间，船的速度减为原速度的一半？
（A）． ；（B）． ；
（C）． ；（D）． ．
解：
级数 是发散的（因为其通项的极限不为0）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是绝对收敛的（因为 ，而级数 收敛）．
级数 是条件收敛的（因为 发散，而由Leibniz判别法，交错级数 收敛）．
应选：（D）．
4．设函数 是以 为周期的周期函数，它在 上的表达式为
．
由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数是关于 的偶函数，所以
．
又由于区域 是关于 轴对称的，则
前一个积分中的被积函数是关于 的奇函数，而后一个积分中的被积函数也是关于 的奇函数，所以
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案(第2套)
高等数学第二学期期末考试试题真题及完整答案一、填空题（将正确答案填在横线上)(本大题共5小题，每小题4分，总计20分)1、设函数，则=2、曲面在点处的切平面方程为____3、= .4、曲面积分= ，其中，为与所围的空间几何形体的封闭边界曲面，外侧.5、幂级数的收敛域为。
二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，总计20分）1、函数在(1,1）点沿方向的方向导数为（ )。
（A） 0 （B） 1 （C) 最小 (D）最大2、函数在处( ）.(A）不连续，但偏导数存在 (B)不连续，且偏导数不存在（C)连续，但偏导数不存在 (D)连续，且偏导数存在3、计算=（ )，其中为（按逆时针方向绕行)．（A）0 (B）（C） (D)4、设连续,且,其中D由所围成，则（ )。
（A）（B) （C） (D)5、设级数收敛，其和为，则级数收敛于( )。
（A）(B）(C）（D）三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分,总计24分)1、设函数由方程所确定，计算，。
2、计算，其中,为曲线,．3、求幂级数的和函数．三、解答下列各题(本大题共3小题，每小题8分，总计24分）1、求内接于半径为的球面的长方体的最大体积．2、计算，其中平面区域．3、计算，其中为平面被柱面所截得的部分.五、解答下列各题(本大题共2小题,每小题6分，总计12分）1、计算其中为上从点到点．2、将函数展开成的幂级数.答案及评分标准一、填空题 (本大题分5小题，每小题4分，共20分)1、 2、3、 4、 5、二、选择题（将选项填在括号内）(本大题共5小题，每小题4分，共20分）1、C2、A3、B4、D5、B三、解答下列各题(本大题共3小题,每小题8分，共24分)1、解：方程两端同时对分别求偏导数，有，………………6分解得：.…………………………………………8分2、解:作图（略）。
原式=………………………2分.………………………8分3、解：经计算，该级数的收敛域为。
第二学期高数(下)期末考试试卷及答案
第二学期期末高数（下）考试试卷及答案1 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1.设()=⎰22t xFx e dt ，则()F x '=-22x xe.2.曲面sin cos =⋅z x y 在点,,⎛⎫⎪⎝⎭1442ππ处的切平面方程是--+=210x y z .3.交换累次积分的次序：=(),-⎰⎰2302xxdx f x y dy.4.设闭区域D 是由分段光滑的曲线L 围成,则：使得格林公式： ⎛⎫∂∂-=+ ⎪∂∂⎝⎭⎰⎰⎰D LQ P dxdy Pdx Qdy x y 成立的充分条件是：()(),,和在D上具有一阶连续偏导数P x y Q x y .其中L 是D 的取正向曲线;5.级数∞=-∑1nn 的收敛域是(],-33.二、 单项选择题 (每小题3分,共15分)1.当→0x ，→0y 时,函数+2423x yx y 的极限是()DA.等于0;B. 等于13;C. 等于14; D. 不存在.2.函数(),=zf x y 在点(),00x y 处具有偏导数(),'00x f x y ，(),'00y f x y 是函数在该点可微分的()CA.充分必要条件;B.充分但非必要条件;C.必要但非充分条件;D. 既非充分又非必要条件.3.设()cos sin =+x ze y x y ，则==10x y dz()=BA.e ;B. ()+e dx dy ;C.()-+1e dx dy ; D. ()+x e dx dy .4.若级数()∞=-∑11nn n a x 在=-1x 处收敛,则此级数在=2x处()AA.绝对收敛;B.条件收敛;C.发散;D.收敛性不确定. 5.微分方程()'''-+=+3691x y y y x e 的特解*y 应设为()DA. 3x ae ;B. ()+3x ax b e ;C.()+3x x ax b e ; D. ()+23x x ax b e .三.（8分）设一平面通过点(),,-312,而且通过直线-+==43521x y z,求该平面方程. 解：()(),,,,,--312430A B(),,∴=-142AB 平行该平面∴该平面的法向量()()(),,,,,,=⨯-=--5211428922n ∴所求的平面方程为：()()()----+=83912220x y z即：---=8922590xy z四.（8分）设(),=yzf xy e ,其中(),f u v 具有二阶连续偏导数,试求∂∂z x 和∂∂∂2zx y.解：令=uxy ，=y v e五.（8分）计算对弧长的曲线积分⎰L其中L 是圆周+=222xy R 与直线,==00x y在第一象限所围区域的边界.解：=++123L L L L其中： 1L ：(),+=≥≥22200x y R x y 2L ：()=≤≤00x y R3L ： ()=≤≤00y x R而Re ==⎰⎰1202RR L e Rdt ππ故：()Re =+-⎰212R R Le π六、（8分）计算对面积的曲面积分∑⎛⎫++ ⎪⎝⎭⎰⎰423z x y dS ,其中∑为平面++=1234x y z在第一卦限中的部分. 解：xy D ：≤≤⎧⎪⎨≤≤-⎪⎩023032x y x=3-==⎰⎰323200x dx 七.（8分）将函数()=++2143f x x x ,展开成x 的幂级数.解：()⎛⎫=-=⋅-⋅ ⎪+++⎝⎭+111111121321613f x x x x x , 而()∞=⋅=-+∑01111212n n n x x , (),-11()∞=-⋅=+∑01116313nn n n x x , (),-33()()∞+=⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭∑10111123nnn n f x x , (),-11八.（8分）求微分方程：()()+-+-+=42322253330xxy y dx x y xy y dy 的通解.解：∂∂==-∂∂263P Qxy y y x, ∴原方程为：通解为：++-=532231332x y x y y x C 九.幂级数：()()!!!!=++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅246212462nx x x x y x n1.试写出()()'+y x y x 的和函数;（4分）2.利用第1问的结果求幂级数()!∞=∑202nn x n 的和函数.（8分）解：1、()()!!!-'=+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅-35213521n x x x y x x n (),-∞∞ 于是()()!!'+=++++⋅⋅⋅=23123x x x y x y x x e (),-∞∞ 2、令：()()!∞==∑202nn x S x n由1知：()()'+=x S x S x e 且满足：()=01S通解：()()--=+=+⎰12xx xxx Sx eC e e dx Cee 由()=01S ，得：=12C ；故：()()-=+12x x S x e e十.设函数()f t 在(),+∞0上连续,且满足条件其中Ωt 是由曲线⎧=⎨=⎩2z ty x ,绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面=zt (参数>0t )所围成的空间区域。
高等数学2期末复习题与答案
《高等数学》2期末复习题一、填空题:1、函数得定义域就是 1≦X^2+Y^2<3 、2、设则、3、函数在点得全微分4.设则、设则、5、设而则6.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,)得方向导数就是7、改换积分次序 ; 、8.若L就是抛物线上从点A到点B得一段弧,则=9、微分方程得通解为、二、选择题:1. 等于 ( )(上下求导)A.2, B、 C、0 D、不存在2.函数得定义域就是( D )A. B、C、 D.3、 ( B )A、 B、C、 D、5、设,且F具有导数,则(D )A、;B、;C、 ;D、、6.曲线 ,,,在处得切向量就是 ( D )A. B、 C、 D、7.对于函数 ,原点 ( A )A.就是驻点但不就是极值点 B、不就是驻点 C、就是极大值点 D、就是极小值点8.设I=, 其中D就是圆环所确定得闭区域,则必有( )A.I大于零 B、I小于零 C、I等于零 D、I不等于零,但符号不能确定。
9、已知L就是平面上不包含原点得任意闭曲线,若曲线积分,则a等于( )、A -1B 1C 2D -210.若L为连接及两点得直线段,则曲线积分=( )A.0 B、1 C、 D、211、设D为则( )A、;B、 ;C、 ;D、、12、微分方程得通解为( )A、;B、;C、;D、13、( )就是微分方程在初始条件下得特解、A、;B、;C、;D、、三、计算题:1、设,求及,其中f 具有一阶连续偏导数、2．设, 求 ,3．求旋转抛物面在点处得切平面及法线方程。
4．求函数得极值5．计算,其中D就是由圆周及轴所围成得右半闭区域、6．计算,其中D就是以O(0,0),A(1,1),B(0,1)为顶点得三角形闭区域、7、计算 ,其中就是三个坐标面与平面所围成得区域、8、计算 ,其中L为圆得正向边界。
9、计算曲线积分其中L就是从O(0, 0)沿上半圆到A(2, 0)、10、验证:在整个面内,就是某个函数得全微分,并求出这样得一个函数、11、求微分方程得通解、12、求解微分方程得特解:13、解微分方程、四、应用题:1、用钢板制造一个容积为V得无盖长方形水池,应如何选择水池得长、宽、高才最省钢板、2、已知矩形得周长为24cm,将它绕其一边旋转而构成一圆柱体,试求所得圆柱体体积最大时得矩形面积、3、求抛物线所围成得闭区域得面积、4、求抛物面与锥面所围成得立体得体积、高等数学2期末复习题答案一、填空题:1、2、3、4、5、6、(注:方向导数)7、;8、(注:) 9、二、选择题:1、A;2、 D;3、 B;4、缺5、 D;6、 D;7、 A;8、 A;9、 A; 10、C;11、 C; 12、C; 13、D三、计算题:1、解:令,则2212sin 3sin 3x x z z u z v z z e y x e y f x f x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2212cos 3cos 3x x z z u z v z z e y y e y f y f y u y v y u v∂∂∂∂∂∂∂''=⋅+⋅=+=⋅+⋅∂∂∂∂∂∂∂ 2、 解:两方程分别两边对求偏导数,注意就是关于得二元函数,得即这就是以为未知量得二元线性方程组。
高数期末考试题及答案下册
高数期末考试题及答案下册一、选择题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处连续，则下列说法正确的是：A. f(a)存在B. 左极限lim(x→a-) f(x)存在C. 右极限lim(x→a+) f(x)存在D. 所有选项都正确答案：D2. 函数f(x)=x^2在区间[-1,1]上是：A. 单调递增函数B. 单调递减函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：C3. 若f(x)=sin(x)，则f'(x)是：A. cos(x)B. -sin(x)C. x*cos(x)D. x*sin(x)答案：A4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的零点个数为：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：D5. 曲线y=x^2与直线y=4x在第一象限的交点坐标为：A. (1,1)B. (2,8)C. (4,16)D. (0,0)答案：B6. 若∫(0,1) f(x)dx = 2，则∫(0,1) x*f(x)dx的值为：A. 0B. 1C. 2D. 无法确定答案：B7. 函数f(x)=ln(x)的泰勒展开式在x=0处的前两项为：A. 1-xB. x-x^2/2C. -x^2/2D. -1-x答案：D8. 若函数f(x)在区间(a,b)内可导，且f'(x)>0，则f(x)在该区间内是：A. 单调递减函数B. 单调递增函数C. 有增有减函数D. 常数函数答案：B9. 函数f(x)=e^x的无穷级数展开式为：A. 1+x+x^2/2!+x^3/3!+...B. 1-x+x^2-x^3+...C. 1+x-x^2+x^3-...D. 1-x-x^2+x^3-...答案：A10. 若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则∫(a,b) f(x)dx：A. 一定存在B. 可能不存在C. 等于0D. 等于f(a)-f(b)答案：A二、填空题（每题2分，共20分）1. 若函数f(x)在点x=a处可导，则f'(a)表示______。
高等数学二期末复习题及答案
高等数学二期末复习题及答案集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN]《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅，则=（ ）（A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--，（C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 ( )（A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ）(A) 22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰ (B) 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰ (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ，则=⎰L ds 6 （ ）（A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 235、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 （ ）（A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ）（A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d xy y x f x 等于 ( )（A ）⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y(B) ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C)⎰⎰-xx y x f y 1010d ),(d(D)⎰⎰1010d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( )（A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ）椭球面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 （B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 y =则曲线积分22()L x y ds +=⎰( )(A) 0 (B) 2π (C) π (D) 4π11、若级数1n n a ∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）(A)12n n a ∞=∑收敛 (B) 1(2)n n a ∞=+∑收敛 (C)100nn a∞=∑收敛 (D) 13n n a ∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关； (B) 区域D 及变量x,y 无关； （C ）函数f 及区域D 有关； (D) 函数f 无关，区域D 有关。
高等数学(下)期末复习题(附答案)
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （ ） （A) )4,2,4(-- (B ）(24,4)--， （C ）(4,2,4)- （D)(4,4,2)--.2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为 （ ）(A ）直线 (B) 抛物线 （C)圆 (D)圆柱面 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =( ) (A ）2240a d a rdr a πθπ=⎰⎰ （B ） 224002ad a adr a πθπ=⎰⎰(C ）223023ad r dr a πθπ=⎰⎰（D ）2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、 设的弧段为：230,1≤≤=y x L ,则=⎰L ds 6 ( ） （A ）9(B ） 6 (C ）3(D)23 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 ( ） （A ） 发散 （B ） 条件收敛 (C ） 绝对收敛 （D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 10),(lim),(σηξσλ中的λ代表的是（ )（A ）小区间的长度 （B)小区域的面积 （C ）小区域的半径 (D ）以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-1010d ),(d x y y x f x 等于 ( ）（A)⎰⎰-1010d ),(d xx y x f y (B ） ⎰⎰-1010d ),(d yx y x f y(C ）⎰⎰-x x y x f y 1010d ),(d （D)⎰⎰11d ),(d x y x f y8、方程222z x y =+表示的二次曲面是 ( ）(A)抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面 9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（ ）. （A ） 必要条件 (B ） 充分条件 （C ） 充要条件 （D) 无关条件10、设平面曲线L 为下半圆周 21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰（ )(A ）0（B)2π (C)π(D) 4π 11、若级数1nn a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 （ ）（A ）12nn a∞=∑收敛 (B ）1(2)nn a∞=+∑收敛 （C ）100nn a∞=∑收敛 （D)13nn a∞=∑收敛12、二重积分的值与 （ ）（A ）函数f 及变量x,y 有关；（B)区域D 及变量x ，y 无关； （C)函数f 及区域D 有关;(D ） 函数f 无关，区域D 有关。
高等数学2(下册)试题答案以及复习要点汇总(完整版)
高等数学(2)试题答案以及复习要点汇总一. 选择题 (每题3分,共15分)1. 设(,)f x y 具有一阶连续偏导数，若23(,)f x x x =，224(,)2x f x x x x =-，则2(,)y f x x = [ A ](A) 3x x + ； (B) 2422x x + ； (C) 25x x + ； (D) 222x x + 。
解：选A 。
23(,)f x x x = 两边对 x 求导：222(,)(,)23x y f x x f x x x x +⋅=，将 224(,)2x f x x x x =- 代入得 242222(,)3y x x xf x x x -+= ，故 23(,)y f x x x x =+ 。
2．已知()()dy y x x by dx x y axy 22233sin 1cos +++-为某二元函数的全微分，则a 和b 的值分别为 [ C ] (A) –2和2； (B) –3和3； (C)2和–2； (D) 3和–3；解：选C 。
x y axy yPxy x by x Q cos 236cos 22-=∂∂=+=∂∂ 2,2=-=a b3. 设∑为曲面z =2－(x 2+y 2)在xoy 平面上方的部分，则⎰⎰∑=zdS I =[ D ]()⎰⎰-+-2202220412)(rrdr r r d A πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d B πθ； ()()⎰⎰-22202rdr r d C πθ；()()⎰⎰+-22220412rdr r r d D πθ。
解：选D 。
()⎰⎰+-=22220412rdr r r d I πθ 。
4. 设有直线410:30x y z L x y --+=⎧⎨+-=⎩，曲面222z x y z =-+在点(1,1,1)处的切平面∏，则直线L 与平面∏的位置关系是： [ C ] (A) L ⊂∏； (B) //L ∏； (C) L ⊥∏； (D) L 与∏斜交 。
高二下数学期末考试试卷.doc
高二下数学期末考试试卷【一】第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
）1．设全集，集合，，则等于（）A．B．C．D．2.下列函数中，在R上单调递增的是（）A.B.C.D.3．函数的图象为（）4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的函数是（）A．B．C．D．5、下列各组函数中，表示同一函数的是（）A．B．C．D．6、已知全集，集合，，那么集合等于（）A．B．C．D．7．函数在上为减函数，则的取值范围是（）A.B.C.D.8．设是定义在实数集上的函数,满足条件是偶函数,且当时,,则,,的大小关系是（）A．B．C．D．9．已知，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是（）A.B.C.D.10.若点(a,b)在图像上，,则下列点也在此图像上的是A.B.(10a,1b)C.D.11．设，，，则a、b、c的大小关系是（）A．B．C．D．12．若a＞0，b＞0，且函数在x＝1处有极值，则ab的值等于A．2B．3C．6D．9第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13．已知函数那么的值为.14．若,则定义域为.15.设函数若，则.．16.已知函数有零点，则的取值范围是___________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）17（本题满分10分）设集合为方程的解集，集合为方程的解集，，求。
18．（本小题满分12分）已知函数.(Ⅰ)当时，解不等式的解集；(Ⅱ)若存在x使成立，求的取值范围.19．（本题满分12分）已知函数是定义在上的奇函数，且（1）确定函数的解析式;（2）用定义证明在上是增函数；（3）解不等式20.（本题满分12分）已知函数，其中常数满足（1）若，判断函数的单调性；（2）若，求时的的取值范围.21．（本题满分12分）已知函数，，．(1)若，试判断并证明函数的单调性；(2)当时，求函数的值的表达式．22．（本题满分12分）设函数,曲线过P（1,0），且在P点处的切线斜率为2．（I）求a，b的值；（II）证明：.【二】一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
高二数学下学期期末试题
高二数学下学期期末试题考试是紧张又充溢应战的，同窗们一定要掌握住分分钟的时间，温习好每门功课，下面是编辑教员为大家预备的高二数学下学期期末试题。
一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分.在每题给出的选项中,只要一个选项是契合标题要求的.)1.集合，，那么 ( )A. B.(1，3) C.(1， ) D.(3， )2.假定双数 (aR，i为虚数单位位)是纯虚数，那么实数a的值为( )A.-2B.4C.-6D.63.命题：，命题： .假定命题且是真命题，那么实数的取值范围为( )A. 或B. 或C. D.4.假定f(x)=x2-2x-4ln x，那么f(x)0的解集为( )A.(0，+)B.(-1,0)(2，+)C.(2，+)D.(-1,0)5.用数学归结法证明：1+a+a2++an+1=1-an+21-a(a1，nN*)在验证n=1时，左端计算所得的项为( )A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a36.曲线y=sin xsin x+cos x-12在点M 4，0处的切线的斜率为( )A.-12B.12C.-22D.227.由曲线y=x2，y=x3围成的封锁图形面积为( )A.112B.14C.13D.7128.设f(x)是周期为2的奇函数，当01时，f(x)=2x(1-x)，那么f-52=( )A.-12B.-14C.14D.129.如图，在一个长为，宽为2的矩形OABC内，曲线y=sin x(0)与x轴围成如下图的阴影局部，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等能够的)，那么所投的点落在阴影局部的概率是( )A.1B.2C.D.310.假定点P是曲线y=x2-ln x上恣意一点，那么点P到直线y=x-2的最小值为( )A.1B.2C.22D.311. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一族美丽的曲线(如图).设点A(1,0)，B(0,1)，衔接AB，线段AB恰恰被其中的两个幂函数y=x，y=x的图象三等分，即有|BM|=|MN|=|NA|.那么，=( )A.1B.2C.3D.无法确定12. 符号表示不超越的最大整数，假定函数有且仅有3个零点，那么的取值范围是( ) A. B. C. D.。
高二数学下学期期末复习题2
高二数学下学期期末复习题2班级 学号 得分 一、填空题（每题5分，共14题，计70分）1.已知集合{|},{|21,}A x y x Z B y y x x A =∈==-∈，则A B ⋂= 。
2. 定义运算a b ad bc c d=-，则符合条件12011z i ii+=-+=0的复数z 的共轭复数所对应的点在第 象限。
3.已知x 、的取值如下表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且^0.95y x a =+，则a = 。
4. 偶函数]0,1[)(-在x f 单调递减，若A 、B 是锐角三角形的两个内角，则(sin )f A 与5. 设函数xx x f cos 1)(2++=的最大值为M ，最小值为m ，则M+m = 。
6. 若不等式1log (10)0xa a --<有解，则实数a 的范畴是 。
7. 已知()sin(1)(1)33f x x x ππ=+-+，则(1)(2)(2008)f f f ++⋅⋅⋅+= . 8. 已知命题p: 函数)2(log 250a x x y ++=⋅的值域为R 。
命题q ：函数xa y )25(--=是减函数。
若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范畴是 。
9. 已知函数),(1,,1,16)23()(+∞-∞⎩⎨⎧≥<-+-=在x a x a x a x f x 上单调递减，那么实数a 的取值范畴是 。
10. 函数2sin y x x =-在（0，2π）内的单调增区间为 ．11.定义运算a *b 为：a *b=⎩⎨⎧>≤)()(b a b b a a ，例如，1*2=1，则函数x x x f cos *sin )(=12.若4()n i +为整数，则整数n 的个数为 。
13. 函数f(x)02x π≤≤) 的值域是 。
14. 已知定义域为D 的函数()f x ，对任意x D ∈，存在正数K ，都有()f x K ≤成立，则称函数()f x 是D 上的“有界函数”。
高二数学第二学期期末复习试卷2-普通用卷
高二数学第二学期期末复习试卷2-普通用卷(总11页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-高二数学第二学期期末复习试卷2一、选择题（本大题共12小题，共分）1.已知集合A={x|-1≤x≤2}，B={1，2，3}，则A∩B=（）A. {1}B. {1}C. {1,1}D. {1,2，1}2.已知i为虚数单位，复数z满足（2-i）z=1，则复数z的虚部为（）A. 111 B. 11C.111 D. 113.下列有三种说法：①命题“∃x∈R，x2+1＞3x”的否定是“∀x∈R，x2+1＜3x”；②已知p、q为两个命题，若p∨q为假命题，则（￢p）∧（￢q）为真命题；③命题“若xy=0，则x=0且y=0”为真命题．其中正确的个数为（）A. 3个B. 2个C. 1个D. 0个4.有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线1⊄平面1，直线1⊂1平面1，直线1∥平面1，则直线1∥直线1”的结论显然是错误的，这是因为 ( )A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 非以上错误5.执行如图所示的程序框图，如果输入N=4，则输出p为（）A. 6B. 24C. 120D. 7206.a=313，b=2-3，c=log25，则三个数的大小顺序（）A. c>a>bB. c>b>aC. a>c>bD. b>c>a7.已知条件p：|x+1|＞2，条件q：x＞a，且￢p是￢q的充分不必要条件，则a的取值范围是（）A. a≤1B. a≤−3C. a≥−1D. a≥18.函数f（x）=ln|x+1|x+1的大致图象为（）A. B.C. D.9.在平面内，点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=|Ax0+By0+C|√A2+B2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到平面x+2y+2z+3=0的距离为（）A. 3B. 5C. 5√217D. 3√510.已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+1）=f（1-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=2x-m，则f（2019）=（）.A. 1B. −1C. 2D. −211.曲线y=2sin x+cos x在点（π，-1）处的切线方程为（）A. x−y−π−1=0B. 2x−y−2π−1=0C. 2x+y−2π+1=0 D. x+y−π+1=012.设f（x）是定义在R上的函数，若存在两个不等实数x1，x2∈R，使得f（x1+x22）=f(x1)+f(x2)2，则称函数f（x）具有性质P，那么下列函数：①f（x）={1x，x≠00，x=0；②f（x）=x3；③f（x）=|x2-1|；④f（x）=x2；不具有性质P的函数为（）A. ①B. ②C. ③D. ④二、填空题（本大题共4小题，共分）13.设函数f(x)={x2+3x,x≥0,f(x+2),x<0,则f（－3）＝________．14.设函数f（x）=a sin x+x3+1，若f（2）=3，则f（-2）=______．15.下列4个命题：①对于命题＜0，则均有②命题“若，则”的逆否命题为“若，则”③若为假命题，则均为假命题④“x＞2”是“＞0”的充分不必要条件.其中正确的是_________16.函数f(x)(x∈R)满足f(1)＝1，且f(x)在R上的导函数f′(x)＞12，则不等式f(x)＜x+12的解集为________．三、解答题（本大题共8小题）17.（12分）已知复数z=bi（b∈R），z−21+i是实数，i是虚数单位．（1）求复数z；（2）若复数（m+z）2所表示的点在第一象限，求实数m的取值范围．218.（12分）证明：（1）设a≥b>0，：a3+b3≥a2b+ab2；（2）√6+√7>2√2+√5.19.（12分）已知函数f(x)=alnx−bx2，a，b∈R.若f(x)在x=1处与直线y=−12相切．(1)求a，b的值；(2)求f(x)在[1e,e]上的极值．20.（12分）已知f(x)=xlnx,g(x)=−x2+ax−3。
高二数学下学期期末考试试题 理含解析 试题 18
智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹第二学期期末考试高二数学〔理科〕试卷一、选择题：在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求的. 1.在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限〔〕 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，找到对应点，判断象限. 【详解】复数2212321zi i i i i=+-=-+-=-+ 对应点为：(3,2)-在第四象限 故答案选D【点睛】此题考察了复数的计算，属于简单题.24y x =的焦点坐标是〔〕A.()1,0B.1,016⎛⎫⎪⎝⎭C.()0,1D.10,16⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线方程化成HY 形式后再求出焦点坐标．【详解】由题意抛物线的HY 方程为24y x=， 所以抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，且18p =，所以1216p =， 因此焦点坐标为1(0,)16． 应选D ．【点睛】此题考察抛物线的性质，解题的关键是将抛物线的方程化为HY 形式后再求解，属于简单题．212S at =-〔a 为常数〕，那么该物体在t t =0时刻的瞬时速度为〔〕A.0atB.0at -C.012at D.02at【答案】B 【解析】 【分析】对运动方程为212S at =-求导，代入t t =0，计算得到答案.【详解】对运动方程为212S at =-求导'S at ⇒=-代入tt =00'V S at ==-故答案选B【点睛】此题考察了导数的意义，意在考察学生的应用才能.x ，y ，满足一组数据如表所示，y 与x 的回归直线方程为3 1.5y x =-，那么m 的值是〔〕A.1B.1.5C.2D.2.5【答案】A【分析】将数据的中心点计算出来，代入回归方程，计算得到答案.【详解】 1.5x=574m y +=中心点为：57(1.5,)4m +代入回归方程故答案选A【点睛】此题考察了回归方程过中心点的知识，意在考察学生的计算才能.X服从正态分布()22,Nσ，且()()2312P X P x ≥=≤≤，()3P X <=〔〕 A.13B.56C.16D.23【答案】B 【解析】 设(3)P Xx ≥=，那么(12)2P X x ≤≤=，根据对称性，(23)2P X x ≤≤=， 那么(2)3P Xx ≥=0.5=，即1(3)6P X ≥=，故5(3)6P X <= 应选：B ．6.将一枚质地均匀且各面分别有狗，猪，羊，马图案的正四面体玩具抛掷两次，设事件=A {两次掷的玩具底面图案不一样}，B ={两次掷的玩具底面图案至少出现一次小狗}，那么()P B A =〔〕A.712B.512C.12 D.1112【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式得到答案. 【详解】336()1616P AB +==【点睛】此题考察了条件概率的计算，意在考察学生的计算才能.ln y x =在()()33P f ,处的切线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线平行，那么双曲线的离心率是〔〕D.3【答案】D 【解析】 【分析】 计算函数ln y x =在()()33P f ,处的切线斜率，根据斜率计算离心率.【详解】11ln '3y x y k x =⇒=⇒= 切线与一条渐近线平行133b b y x a b a a ⇒=⇒=⇒=故答案选D【点睛】此题考察了切线方程，渐近线，离心率，属于常考题型.8.如图，在矩形OABC 中的曲线分别是sin y x =，cos y x =的一局部，,02A π⎛⎫⎪⎝⎭，()0,1C ，在矩形OABC 内随机取一点，那么此点取自阴影局部的概率为〔〕A.)41πB.)31πC.)21πD.1π【答案】A 【解析】 【分析】先利用定积分计算阴影局部面积，再用阴影局部面积除以总面积得到答案.【详解】曲线分别是sin y x =，cos y x =的一局部那么阴影局部面积为：4102(cos sin )2(sin cos )240S x x dx x x ππ=-=+=⎰总面积为：122S ππ=⨯=【点睛】此题考察了定积分，几何概型，意在考察学生的计算才能.()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=，假设()()f x h x x=，那么()2h '=〔〕 A.12B.12- C.18-D.58【答案】C 【解析】 【分析】 根据切线方程计算1'(2)2f =，3(2)2f =，再计算()h x 的导数，将2代入得到答案. 【详解】函数()f x 的图像在点()()22f ,处的切线方程是210x y -+=故答案选C【点睛】此题考察了切线方程，求函数的导数，意在考察学生的计算才能.1，3，5中任取2个不同的数字，从0，2，4中任取2个不同的数字，可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为〔〕 A.96 B.54C.108D.78【答案】A 【解析】 【分析】根据选取的两个偶数是否包含0分为两种情况，种数相加得到答案.【详解】选取的两个偶数不包含0时：2213322336C C C A ⨯⨯⨯=选取的两个偶数包含0时：21323232(2)60C C A A ⨯⨯+⨯=故一共有96个偶数 答案选A【点睛】此题考察了排列组合，将情况分类可以简化计算.()22151C x y ++=:，()2225225C x y -+=:，定点()4,1M ，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切，那么1CM CC +的最大值为〔〕A.16B.16C.16+D.16【答案】A 【解析】 【分析】将动圆C 的轨迹方程表示出来：2216439x y +=,利用椭圆的性质将间隔转化,最后利用间隔关系得到最值.【详解】定圆()22151C x y ++=:，()2225225C x y -+=:，动圆C 满足与1C 外切且与2C 内切 设动圆半径为r ，那么12121,1516CC r CC r CC CC =+=-⇒+=表示椭圆，轨迹方程为：2216439x y +=故答案选A【点睛】此题考察了轨迹方程，椭圆的性质，利用椭圆性质变换长度关系是解题的关键.()()12x f x e x =-，()g x ax a =-，1a >-假设存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->，那么a 的取值范围是〔〕A.31,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦B.2,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.31,2e ⎛⎤--⎥⎝⎦D.21,32e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】 【分析】 先确定0x =是唯一整数解,再通过图像计算(1)(1)g f -≥-得到范围. 【详解】()()()()12'1+2x x f x e x f x e x =-⇒=12x >-是函数单调递减；21x <-函数单调递增. 存在唯一的整数0x ，使()()0f x g x ->取0x=，1a >-，()()0010f g a -=+>满足，那么0是唯一整数.()g x ax a =-恒过定点(1,0)如下列图：(1)(1)g f -≥-即3322a a e e≤-⇒≤-综上所诉：31,2a e ⎛⎤∈--⎥⎝⎦故答案选C【点睛】此题考察了函数的图像，函数的单调性，首先确定0是唯一解是解题的关键. 二、填空题.13.i 是虚数单位，假设复数z 满足20191zi i =+，那么z =________.【解析】 【分析】先计算复数，再计算复数的模.【详解】20191()11zi i z i i z i z z =+⇒⨯-=+⇒=-+⇒==【点睛】此题考察了复数的计算，属于简单题.14.(333cos x x dx -=⎰________.【答案】92π 【解析】 【分析】将定积分分为两局部，前一局部根据奇函数积分为0，后一局部转化为几何面积得到答案.【详解】(3333333cos cos x x dx x xdx ---=+⎰⎰⎰3cos xx 为奇函数333cos 0x xdx -=⇒⎰3-⎰表示半径为3的半圆面积：为92π 故答案为：92π 【点睛】此题考察了定积分的计算，根据奇函数的性质可以简化运算. 15.观察以下等式：照此规律，那么第五个等式应为________________. 【答案】567891011121381++++++++= 【解析】【分析】左边根据首数字和数字个数找规律，右边为平方数，得到答案. 【详解】等式左边：第n 排首字母为n ，数字个数为21n - 等式右边：2(21)n -第五个等式应为：567891011121381++++++++= 故答案为：567891011121381++++++++= 【点睛】此题考察了找规律，意在考察学生的应用才能.()f x '是()()f x x R ∈的导函数，假设()()2220f x f x '->，那么()()122x e f x f ->的______.〔其中e 为自然对数的底数〕 【答案】(1,)+∞ 【解析】 【分析】 构造函数(2)()xf x F x e=根据函数单调性解不等式得到答案. 【详解】构造函数2(2)2(2)(2)2(2)(2)()'()()x x x x xf x f x e f x e f x f x F x F x e e e ''--=⇒==()()2220'()0()f x f x F x F x '->⇒>⇒单调递增.故答案为：(1,)+∞【点睛】此题考察了函数的导数，利用函数的单调性解不等式，构造函数(2)()xf x F x e =是解题的关键. 三、解答题：解答时应写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤.17.()nx n N *⎛∈ ⎝的展开式中第7项是常数项. 〔1〕求n 的值；〔2〕求展开式中二项式系数最大的项，【答案】(1)9n =(2)3266316T x =-【解析】 【分析】〔1〕利用展开式的通项计算得到答案. 〔2〕因为9n =，所以二项系数最大的项为5T 与6T ，计算得到答案.【详解】解：〔1〕展开式的通项为132211122r n r r n r r r n n T C x x C x ---+'⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 因为第7项为常数项，所以第7项669712n n T C x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即9n = 〔2〕因为9n =，所以二项系数最大的项为5T 与6T即44335916328T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭【点睛】此题考察了二项式的计算，意在考察学生的计算才能.18.每年的4月23日为“世界读书日〞，某调查机构对某校学生做了一个是否喜欢阅读的抽样调查，该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生，现已得知100人中喜欢阅读的学生占60%，统计情况如下表〔1〕完成22⨯列联表，根据以上数据，能否有95%的把握认为是否喜欢阅读与被调查对象的性别有关请说明理由：〔2〕将上述调查所得的频率视为概率，如今从所有学生中，采用随机抽样的方法抽取3位学生进展调查，求抽取的3位学生中至少有2人喜欢阅读的概率，〔以下临界值及公式仅供参考〕()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++ 【答案】(1)见解析；(2)81125【解析】 【分析】〔1〕补全列联表，计算2K ，与临界值表比照得到答案.〔2〕喜欢阅读的人数为随机变量33,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭，将2人喜欢阅读，3人喜欢阅读概率相加得到答案. 【详解】解：22⨯列联表如表由表可知()221002515253525 4.167604050506K ⨯-⨯==≈⨯⨯⨯因为24.167 3.841K =>，所以有95%的把握认为是否喜欢阅读与被调查对象的性别有关.〔2〕设3人中喜欢阅读的人数为随机变量X，由题可知33,5XB ⎛⎫⎪⎝⎭所以2人中至少有2人喜欢阅读的概率为()2PX ≥所以()812125PX ≥=【点睛】此题考察了列联表，概率的计算，意在考察学生的应用才能. 19.某商场销售某种商品的经历说明，该商品每日销量y 〔单位：千克〕与销售价格x 〔单位：元千克〕满足关系式()21074a y x x =+--，其中47x <<，a 为常数，销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克. 〔1〕求a 的值：〔2〕假设该商品的本钱为4元千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 【答案】(1)200a =(2)当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P = 【解析】 【分析】〔1〕销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品110千克代入函数解得200a =. 〔2〕求出利润的表达式，求导，根据单调性计算函数的最值. 【详解】解：〔1〕当6x=元/千克时，101102ay =+=解得200a = 〔2〕设商场每日销售该商品的利润为P ， 那么()()()242001047P x y x x =-=+--，47x <<因为()()()21047104P x x x ''=--++()()()273057x x x '⎡⎤-=--⎣⎦当()4,5x ∈时，0P '>，P 单调递增，当()5,7x ∈时，0P '<，P 单调递减所以当5x =元/千克时，商场每日销售该商品所获最大利润240P =【点睛】此题考察了函数的应用，求函数的最值，意在考察学生的计算才能和应用才能.20.某校开设的校本课程分别有人文科学、自然科学、艺术体育三个课程类别，每种课程类别开设课程数及学分设定如下表所示：要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的时机均等. 〔1〕求甲三种类别各选一门概率； 〔2〕设甲所选3门课程的学分数为X，写出X的分布列，并求出X的数学期望.【答案】(1)()928P A =(2)见解析 【解析】 【分析】 〔1〕记事件A ={甲三种类别各选一门}，那么根据排列组合公式得到答案.〔2〕X的取值有：4,5,6,7,8,9，分别计算对应概率得到分布列，再计算数学期望.【详解】解：〔1〕记事件A ={甲三种类别各选一门}那么()11133238928C C C P A C == 〔2〕X的取值有：4,5,6,7,8,9，那么所以分布列为所以期望456565656EX=⨯+⨯+⨯78956565656+⨯+⨯+⨯= 【点睛】此题考察了概率的计算，分布列，数学期望，意在考察学生的计算才能.()2222:10x y C a b a b +=>>()1,0F c -，()2,0F c 分别为椭圆的左、右焦点，点4,3c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上.〔1〕求C 的方程； 〔2〕假设直线()1y k x =-与椭圆C 相交于A ，B 两点，试问：在x 轴上是否在点D ，当k 变化时，总有ODA ODB ∠=∠？假设存在求出点D 的坐标，假设不存在，请说明理由.【答案】(1)22194x y +=(2)见解析【解析】 【分析】〔1〕根据离心率为34,3c ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上联立方程组解得答案. 〔2〕设存在定点(),0Dm ，联立方程，利用韦达定理得到关系式，ODA ODB ∠=∠推出0AD BD k k +=，代入数据计算得到答案.【详解】解：〔1〕由题可知2343c a b a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩又222a b c =+，解得3a =，2b =，c =所以29a =，24b =，即所求为22194x y +=〔2〕设存在定点(),0Dm ，并设()11,A x y ，()22,B x y由()221194y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩联立消y 可得()222294189360k x k x k +-+-= 所以21221894k x x k +=+，212293694k x x k -=+ 因为ODA ODB ∠=∠，所以0ADBD k k +=，即12120y y x m x m+=-- 所以()()1212110k x k x x m x m --+=--，整理为()()()()1212122120k x x m x x m x m x m -+++⎡⎤⎣⎦=-- 所以()()12122120x x m x x m -+++=可得()()22222187218129487209494k k m m k m k k --+++-==++ 即8720m -=，所以9m = 所以存在定点()9,0D满足题意【点睛】此题考察了椭圆离心率，定点问题，将ODA ODB ∠=∠转化为0ADBD k k +=是解题的关键.()ln xf x x a=-，假设函数()f x 有两个零点1x ，2x . 〔1〕求a 的取值范围；〔2〕证明：12112ln ln e x x a+> 【答案】(1)a e >(2)见证明【解析】 【分析】〔1〕确定函数定义域，求导，讨论a 的范围确定函数的单调区间，最后得到a 的范围.〔2〕将1x ，2x 两个零点代入函数，通过化简得到：需证1122211ln2x x x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭.转化为不等式12ln 0t t t--<，设函数求导根据单调性求最值得到证明. 【详解】解；〔1〕函数的定义域为()0,∞+，()1111x a f x a x x-'=-=当0a <时，()0f x '<恒成立，那么()f x 在()0,∞+递减，至多一零点当0a >时，()0f x '<解得0x a <<，()0f x '>解得x a >，所以()f x 在()0,a (),a +∞递增 函数()f x 要有两个零点，那么最小值()1ln 0f a a =-<，解得a e >经检验()110f a=>，即()()10f f a <，那么()f x 在()0,a 有一个零点. 又()22ln f a a a =-，a e >，令()2ln g a a a =-，a e >，那么()210g a a=->恒成立. 所以()ga 在(),e +∞单调递增，即()()20g a g e e >=->所以()22ln 0f a a a =->，即()()20f a f a <，那么()f x 在()0,∞+必有一零点.所以ae >时，函数()f x 有两个零点1x ，2x〔2〕因为1x ，2x 为的两个零点，所以ae >即1ea<， 不阻碍120x x <<，那么1122ln 0ln 0x x a x x a⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩即11221212ln ln ln ln x x a x x a x x a x x ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪-⎪=⎪-⎩要证12112ln ln e x x a +>，只需证12112ln ln x x +>，只需证122a ax x +>， 只需证121212122ln ln x x x xx x x x ->-+，只需证22121212ln ln 2x x x x x x -->，只需证1122211ln2x x x x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭， 令12x t x =，那么()0,1t ∈，如今只需证12ln 0t t t--< 设()12ln t t t t ϕ=--，()0,1t ∈那么()()22211210t t t t tϕ-=+-=>， 所以()t ϕ在()0,1单调递增，即()()10t ϕϕ<=所以12112ln ln e x x a+> 【点睛】此题考察了函数的零点问题，证明不等式，技巧强，综合性大，意在考察学生综合应用才能.。
同济二版高等数学(下)期末复习试题
同济二版高等数学(下)期末复习试题第 2 页 / 共 15 页高数（2）期末复习题一、填空题 1.322()y y xy x '''+=为___ 二 ___阶微分方程． 2. 微分方程dy x dx=的通解为212y x c =+ ．3. 微分方程04=-''y y 的通解为___xx e c e c y 2221-+=___.4. 点(1,2,1)M --到平面522=--+z y x 的距离是4 .5. 空间点(4,4,2)M -关于xoy 平面的对称点坐标为(4,4,2)--6. y0z 平面的曲线z y a =+ 绕z 轴旋转生成的曲面方程为_222()z a x y -=+_.7. 将xoy 面上的双曲线221x y -=绕X 轴旋转一周，所形成的曲面方程为8. 通过z 轴且过点)1,1,1(-M 的平面方程为_________________________.9. 三单位向量cb a ϖϖϖ,,满足=++c b a ϖϖϖ，则a b b c c a ⋅+⋅+⋅=v v v v v v.10. 函数()22ln 1z xy =+-+的定义域为 .11. 设函数22ey x z +=，则zd = .12. 已知函数324),(y x y x y x f -+=，则=∂∂xf．13. 设21()y xdz e xdy ydx x=-，则22zy∂=∂ ．14. 曲面122-+=y xz 在点（2，1，4）处的切平面方程为__________. 15. 曲线23,,x t y t z t ===在点（1，1，1）处的切线方程为第 3 页 / 共 15 页___________.16. 由二重积分的几何意义，计算二重积分221x y +≤σ=⎰⎰________．17. 改变积分次序21(,)xx dx f x y dy =⎰⎰.18. 在直角坐标系下将二重积分化为累次积分，其中D为11≤+x ，1≤y 围成的区域，则(,)d d Df x y x y =⎰⎰．19. 幂级数121n nn x n ∞=+∑的收敛半径为 . 20. 幂级数12nn n x n ∞=∑的收敛半径为 .21.幂级数4)n n x ∞=-的收敛域为___________．二、选择题1. 微分方程22(1)0y dx x dy --=是（ ）微分方程.A. 一阶线性齐次B. 一阶线性非齐次C. 可分离变量D. 二阶线性方程2. 方程 0y y '''-= 的通解为 （ ）. A. 12xy C C e =+ B. 12()x y e C x C =+ C. 12xy C C e -=+ D.12()x y e C x C -=+3. 下列微分方程中，通解为)sin cos (212x C x C e y x +=的方程是 （ ）. A．54=-'-''y y yB ．054=+'-''y y yC ．052=+'-''y y yD ．xe y y y 254=+'-''第 4 页 / 共 15 页4. 与向量)0,1,1(-垂直的单位向量是 （ ）． A ．)0,21,21(B ．)0,21,21( C ．)0,1,1( D ．)0,1,1(-5. 设 (2,3,2)a =v，(2,4,)b c =-v ，a b ⊥vv ，则常数c =（ ）. A. 2 B. 3 C. 4 D. 56. 直线327x y z==-与平面3278x y z -+=的位置关系是 （ ）. A.线与面平行但不相交 B.线与面垂直 C.直线在平面上 D.线与面斜交7. 方程322=++z y x 表示的曲面是 （ ）. A. 旋转抛物面 B. 圆柱面C. 圆锥面D. 球面8. 下列曲面方程为抛物柱面方程的是 （ ）．A ．222z y x =+B ．2222a z y x =++C ．222z y x =- D ．242+=x y9. 等式（ ）是正确的.A.01a =r(0a r是单位向量)B.||||||cos(,)a b a b a b ⋅=v v v v v v C.222()()()a b a b ⋅=v v v vD.||||||sin(,)a b a b a b ⨯=v v v v v v10. 函数1ln()z x y =+的定义域是 （ ）. A. {}0|),(>+y x y xB. {}0|),(≠+y x y xC. {}1|),(>+y x y xD. {}10|),(≠+>+y x y x y x 且11. 函数3322(,)339f x y x y x y x=-++-的极大值点是 （ ）.第 5 页 / 共 15 页A.(1,0)B.(1,2)C.(3,0)- D.(3,2)-12. 设22y x x z ++=，则(1,1)zy -∂=∂（ ）． A.211+B. 21-C.211-D.2113. 设二元函数22sin y z y e x=-，则dz =（ ）. A.2y ye dy；B. (2sin cos )2y x x dx ye dy-+; C.2(2sin cos )(2)y y x x dx ye y e dy-++; D. (2sin cos )x x dx -.14. 曲线 2,1 ,1tz t t y t t x =+=+=对应 t = 1的点处的切向量为（ ）. A.)1,2,21(； B. (1,-4, 8) ；C. (1,1,1)；D. (1,2,3).15. 函数22z x y = 当1,1,0.2,0.1x y x y ==∆=∆=- 时的全微分为 ( ) .A. 0.20B. 0.20-C. 0.1664-D. 0.166416. 以224y x z --=为顶，0=z 为底，侧面为柱面122=+y x 的曲顶柱体体积是（ ）.A. 220d πθ⎰⎰B. 2202d ππθ-⎰⎰C. 210d πθ⎰⎰D. 2204d πθ⎰⎰17. 二重积分22214x y x d σ≤+≤⎰⎰可表第 6 页 / 共 15 页达为累次积分（ ）. A.223201cos d r drπθθ⎰⎰B.223201cos r dr d πθθ⎰⎰C.222dx dy -⎰D.121dy x dx-⎰18. 二重积分2214(,)x dx f x y dy⎰⎰ 交换积分次序后成为（ ）.A. 1(,)dy f x y dx⎰B. 120(,)dy f x y dx ⎰C. 210(,)dy f x y dx⎰D. 201(,)dy f x y dx⎰19. 下列级数中，发散的级数是（ ）.①2211n n∞=+∑ ②2111n n∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑③31113n n n ∞=⎛⎫+ ⎪⎝⎭∑④1n ∞=∑ A. ①③ B. ①④C. ②③D. ②④20. 下列级数中,收敛的级数为（ ）．①11n n∞=∑ ②3121n n∞=∑③14!nn n ∞=∑ ④∑∞=+1)11ln(n nA. ①③B. ①④C. ②③D.②④21. 下列说法不正确的是 （ ）. A.∑∞=1n nnx 的收敛域为 [-1,1 )； B.∑∞=1n nka与∑∞=1n na同时发散 ；第 7 页 / 共 15 页C. 若∑∞=1||n nu收敛，则∑∞=1n nu收敛 ； D. ∑∞=1)3(n nx的收敛半径是3 .三、解答题 1. 求微分方程dxye dy e x x =+)1(的通解.2. 求微分方程()sin tan 0y x dx xdy -+=的通解.3. 求微分方程2x yy e -'=满足初始条件0|0x y ==的特解.第 8 页 / 共 15 页4. 求过点(2,0,3)-且与直线247035210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩垂直的平面方程．5. 与z 轴垂直的直线l 在平面1=+y x 上且过点(2,1,4)-，求其方程．6. 求平行于平面012=--+z y x 和012=+-+z y x ，且通过点)1,2,1(-的直线方程．7. 设函数),,(xyz xy x f w =，求xw ∂∂，yw ∂∂, zw ∂∂．第 9 页 / 共 15 页8. 设函数)(222y x f y xz ++=，求xz ∂∂，yz ∂∂．9. 设),(22xyy x f z -=，其中f 是可微函数，求yz x z ∂∂∂∂,．第 10 页 / 共 15 页10. 设ve z usin =，而y x v xy u +==,，试求yzx z ∂∂∂∂,．11. 方程2=-yz x e z 确定二元函数),(y x f z =，求dz ． 12. 设),(y x f z =由方程xyzz x =+)2sin(确定，求yz x z ∂∂∂∂,．13. 求yz e yx u ++=2sin的全微分．14. 计算二重积分⎰⎰+-Dy x yx d d e )(22，其中D 是由,0≥≥y x ，122≤+y x 所围区域．15. 求二重积分,d d ⎰⎰Dy x xy 其中D 是曲线 2,2y x y x ==-所围成的闭区域.16. 计算⎰⎰-+Dyx y x d d )12(，其中D是由直线0=x ，0=y 及12=+y x 围成的区域．17. 求幂级数1nn xn∞=∑的收敛域及和函数()S x 18. 求幂级数∑∞=+0)1(n nxn 的收敛域及和函数()S x .19. 求幂级数211121n n x n ∞-=-∑的收敛域及和函数()S x . 四、应用题1. 要设计一个容量为8m 3的长方体无盖水箱, 问长、宽、高为多少时用料最省？2. 求内接于半径为R的球面，且具有最大体积的长方体．3. 求函数222(,,)23f x y z x y z=++在平面11x y z++=上的最小值.4. 计算由平面0=x ,0=y 及1x y +=所围成的柱体被平面=z 及抛物面226x y z+=-截得的立体的体积.5. 求圆柱面122=+yx与平面2,0=+-+=zyxz所围成的立体的体积. 6. 求由曲面222yxz+=及2226yxz--=所围成的立体的体积.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2、某公司可通过电视和报纸两种方式做销售某种商品的广告，销售收入 R （万元）与 电 视 广 告 费 用 x1 （ 万 元 ） 及 报 纸 广 告 费 用 x2 （ 万 元 ） 之 间 的 关 系 有 如 下 关 系 ：
R = 15 +14x1 + 32x2 − 8x1x2 − 2x12 −10x22
2
2
∫ ∫ c
c
B. 1 f (x)dx ≤ 1 g(x)dx
2
2
1
1
∫ ∫ C. f (x)dx ≥ g(x)dx
c
c
1
1
∫ ∫ D. f (x)dx ≤ g(x)dx
c
c
x
∫ 2、设 F (x) = f (t)dt ，则 F (x) 的改变量 ΔF (x) = （ ） 0
∫x
A. [ f (t + Δt) − f (t)]dt 0
∫∫ 7、已知 xy2dxdy = 1 ，其中 D : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ kx ，则 k = （ ）
D
15
3
A. 1
B. 3 / 5
3
C. 1/15 D. 2 /15
8、区域 D : −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1，则 ∫∫ 2dσ = ( )
D
A. 2
B. − 2
C. 4
B. f (x)Δx
∫ x+Δx
C.
f (t)dt
x
∫ x+Δx
D.
f (t)dt
0
3、下列广义积分收敛的是（ ）
∫ A. +∞ dx
1x
∫ +∞ dx
B.
1 xx
∫ 1 dx
C.
0x x
∫ +∞ dx
D. 0 x2
4、函数 f (x, y) 在点 (x, y) 处存在偏导数是 f (x, y) 连续的（ ）
∑ ∑ ∑ ∞
∞
10、设幂级数 an xn 与 bn xn 的收敛半径分别为
n=1
n=1
5
/ 3 与1/ 3 ，则幂级数
∞ n=1
an2 bn 2
xn
的收
敛半径为（ ）
A. 5
B. 5 / 3
C. 1/ 3
D. 1/ 5
二、填空题（每小题 2 分，共 20 分）
∫ 1、定积分 3 9 − x2 dx = 0
n=1 (2n −1)
5、求微分方程 xy '− y = 1+ x3 的通解.
∫∫ 6、计算二重积分 (x2 + y2 )dxdy, 其中 D 是由直线 y = 1− x ， y = 0 ，以及 x = 0 所围成 D
的闭区域.
四、应用题（每小题 7 分，共 14 分） 1、在曲线 y = ln x 上点 A( e,1) 处作一切线，试求： ①该切线与已知曲线及 x 轴所围成的平面图形面积； ②该平面图形绕 y 轴旋转一周所成旋转体的体积.
.
∫ 2、 d [ −1cos2 tdt] =
dx x
.
3、当 k
∫ 时，
+∞ e
1 x(ln x)k
dx
收敛.
4、极限 lim x =
.
(x,y)→(0,5) sin xy
5、设 z = ln(x + y2 ) ，则 x ∂z + y ∂z =
.
∂x 2 ∂y
1
1
e
1
∫ ∫ ∫ ∫ 6、交换积分顺序 dx f (x, y)dy + dx f (x, y)dy =
A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件
5、设 z = xy ，则 ∂z ⋅ ∂x ⋅ ∂y = （ ） ∂x ∂y ∂z
D. 无关条件
A. −1
B. 0
C. 1
D. 3
6、设 f (x, y) = y2 − x2 +1，(0,0)点是 f (x, y) 的（ ）
A. 极小值点 B. 极大值点 C. 非驻点 D. 非极值点
0
1− x 2
1
ln x
.
∫∫ 7 、 已 知 区 域 D = {(x, y) a ≤ x ≤ b,0 ≤ y ≤ 1} ， 且 yf (x)dσ = 1 ， 则 D
b
∫a f (x)dx =
.
∑ 8、级数 ∞ 4n + 3 的和为 8n n=1
.
9、函数 f (x) = ex2−1 的幂级数展开式
D. − 4
∞
∑ 9、若级数 (un + vn ) 收敛，则下列结论正确的是（ ） n=1
-1-
∞
∞
∑ ∑ A. un 与 vn 均收敛
n=1
n=1
∞
∞
∑ ∑ B. un 与 vn 至少有一个收敛
n=1
n=1
C.
lim
n→∞
un
=
lim
n→∞
vn
=
0
n
∑ D. 数列{ (uk + vk )} 有界 k =1
.
10、方程 ( y′′)3 + e−2x y′ = 0 是
阶微分方程.
三、计算题（每小题 7 分，共 42 分）
∫1
1、求定积分
dx
.
0 1+ x
-2-
∫ 2、求定积分 π x2 cos 2xdx . −π
3、设函数 z = (x + y)x ，求 dz .
∑∞
4、求幂级数
22n−1 xn 收敛半径及收敛域.
高等数学二下期末复习试题
（注意：本复习题仅供 18、19 班期末复习时参考使用，内部资料，请勿外传，以免产生漏 题的嫌疑）
一、单项选择题(每小题 2 分，共 20 分）
1、设 f (x) 与 g(x) 在[0,1]连续，且 f (x) ≤ g(x) ，则 ∀c ∈ (0,1) 有（ ）
∫ ∫ c
c
A. 1 f (x)dx ≥ 1 g(x)dx
若可使用的广告费用为 1.5 万元，求相应的最优广告策略，使所获得的利润最大.
五、证明题（本小题 4 分） 设 f (x) 是以π 为周期的连续函数，证明：
∫ ∫ 2π
(sin x + x) f (x)dx =
π
(2x + π ) f (x)dx
0
0
-3-