八年级初二数学 提高题专题复习勾股定理练习题及答案

八年级初二数学 提高题专题复习勾股定理练习题及答案
一、选择题
1．图中不能证明勾股定理的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．△ABC 的三边分别为,,a b c ，下列条件能推出△ABC 是直角三角形的有（ ） ①222a c b -=;②2
()()0a b a b c -++=;③ ∠A ＝∠B -∠C; ④∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3 ;⑤111,,345a b c =
==;⑥10,a = 24,b = 26c = A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
3．如图，ABC 中，有一点P 在AC 上移动．若56AB AC BC ===，，则AP BP CP ++的最小值为( )
A ．8
B ．8.8
C ．9.8
D ．10
4．如图钢架中，∠A ＝15°，现焊上与AP 1等长的钢条P 1P 2，P 2P 3…来加固钢架，若最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离为3 ）
A ．16
B ．15
C ．12
D ．10
5．如图，在四边形ABCD 中，∠DAB =30°，点E 为AB 的中点，DE ⊥AB ，交AB 于点E ，DE =3，BC =1，CD =13，则CE 的长是（ ）
A ．14
B ．17
C ．15
D ．13
6．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，BD 平分∠ABC ，E 是AB 中点，连接DE ，则DE 的长为（ ）
A ．102
B ．2
C ．512+
D ．32
7．如图，已知AB AC =，则数轴上C 点所表示的数为( )
A ．3-
B ．5-
C ．13-
D ．15-
8．已知直角三角形的两条边长分别是3和5，那么这个三角形的第三条边的长( ) A ．4 B ．16 C ．34
D ．4或34 9．如图，直角三角形两直角边的长分别为3和4，以直角三角形的两直边为直径作半圆，则阴影部分的面积是（ ）
A ．6
B ．32π
C ．2π
D ．12
10．下列以线段a 、b 、c 的长为边的三角形中，不能构成直角三角形的是（ ） A ．9,41,40a b c ===
B ．5,5,52a b c ===
C ．::3:4:5a b c =
D ．11,12,13a b c ===
二、填空题
11．如图，在△
中，，∠90°，是边的中点，是边上一动点，则的最小值是__________．
12．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝8，矩形内一动点P 使得S △PAD ＝
13S 矩形ABCD ，则点P 到点A 、D 的距离之和PA +PD 的最小值为_____．
13．若ABC ∆为直角三角形，90B ∠=︒，6AB =，8BC =，点D 在斜边AC 上，且2AC BD =，则AD 的长为__________．
14．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AB ＝7.5cm ，AC ＝4.5cm ，动点P 从点B 出发沿射线BC 以2cm/s 的速度移动，设运动的时间为t 秒，当△ABP 为等腰三角形时，t 的取值为_____．
15．如图是“赵爽弦图”，△ABH 、△BCG 、△CDF 和△DAE 是四个全等的直角三角形，四边形ABCD 和EFGH 都是正方形．如果AB ＝13，EF ＝7，那么AH 等于_____．
16．以直角三角形的三边为边向外作正方形P ，Q ，K ，若S P =4，S Q =9，则K S =___
17．如图在三角形纸片ABC 中，已知∠ABC =90º，AC =5，BC=4，过点A 作直线l 平行于BC ，折叠三角形纸片ABC ，使直角顶点B 落在直线l 上的点P 处，折痕为MN ，当点P 在直线l 上移动时，折痕的端点M 、N 也随之移动，若限定端点M 、N 分别在AB 、BC 边上（包括端点）移动，则线段AP 长度的最大值与最小值的差为________________．
18．如图,30AOB ∠=︒，点,M N 分别在,OA OB 上，且6,8OM ON ==，点,P Q 分别在,OB OA 上运动，则PM PQ QN ++的最小值为______．
19．如图，△ABC 中，AB=AC=13，BC=10，AD 是BAC ∠的角平分线，E 是AD 上的动点，F 是AB 边上的动点，则BE+EF 的最小值为_____．
20．观察：①3、4、5，②5、12、13，③7、24、25，……，发现这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过．根据以上规律，请写出第8组勾股数：______．
三、解答题
21．如图，△ABC 和EDC ∆都是等边三角形，7,3,2AD BD CD =
==求:（1）AE
长；（2）∠BDC 的度数：（3）AC 的长．
22．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB =90°，AC=BC ，AD 平分∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E 是AB 的中点，连接CE 交AD 于点F ，BD =3，求BF 的长．
23．我们规定，三角形任意两边的“广益值”等于第三边上的中线和这边一半的平方差．如图1，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，AB 与AC 的“广益值”就等于22AO BO -的值，可记为22AB AC OA BO ∇=-
（1）在ABC ∆中，若90ACB ∠=︒，81AB AC ∇=，求AC 的值．
（2）如图2，在ABC ∆中，12AB AC ==，120BAC ∠=︒，求AB AC ∇，BA BC ∇的值．
（3）如图3，在ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，24ABC S ∆=，8AC =，64AB AC ∇=-，求BC 和AB 的长．
24．如图所示，已知ABC ∆中，90B ∠=︒，16AB cm =，20AC cm =，P 、Q 是ABC ∆的边上的两个动点，其中点P 从点A 开始沿A B →方向运动，且速度为每秒1cm ，点Q 从点B 开始沿B C A →→方向运动，且速度为每秒2cm ，它们同时出发，设出发的时间为ts ．
（1）则BC =____________cm ；
（2）当t 为何值时，点P 在边AC 的垂直平分线上？此时CQ =_________?
（3）当点Q 在边CA 上运动时，直接写出使BCQ ∆成为等腰三角形的运动时间．
25．已知ABC ∆中，AB AC =.
（1）如图1，在ADE ∆中，AD AE =，连接BD 、CE ，若DAE BAC ∠=∠，求证：BD CE =
（2）如图2，在ADE ∆中，AD AE =，连接BE 、CE ，若60DAE BAC ∠=∠=，CE AD ⊥于点F ，4AE =，5EC =，求BE 的长；
（3）如图3，在BCD ∆中，45CBD CDB ∠=∠=，连接AD ，若45CAB ∠=，求AD AB
的值.
26．如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，2BC AC =.
(1)如图1，点D 在边BC 上，1CD =，5AD =ABD ∆的面积.
(2)如图2，点F 在边AC 上，过点B 作BE BC ⊥，BE BC =，连结EF 交BC 于点M ，过点C 作CG EF ⊥，垂足为G ，连结BG .求证：2EG BG CG =+.
27．已知ABC ∆中，90ACB ∠=︒，AC BC =，过顶点A 作射线AP .
（1）当射线AP 在BAC ∠外部时，如图①，点D 在射线AP 上，连结CD 、BD ，已知21AD n =-，21AB n =+，2BD n =（1n >）.
①试证明ABD ∆是直角三角形；
②求线段CD 的长.（用含n 的代数式表示）
（2）当射线AP 在BAC ∠内部时，如图②，过点B 作BD AP ⊥于点D ，连结CD ，请写出线段AD 、BD 、CD 的数量关系，并说明理由.
28．如图，在四边形ABCD 中，=AB AD ，=BC DC ，=60A ∠︒，点E 为AD 边上一点，连接CE ，BD . CE 与BD 交于点F ，且CE ∥AB .
（1）求证:CED ADB ∠=∠；
（2）若=8AB ，=6CE . 求BC 的长 .
29．2ABCD 中，点O 是对角线AC 的中点，E 是线段OA 上一动点（不包括两个端点），连接BE .
（1）如图1，过点E 作EF BE ⊥交CD 于点F ，连接BF 交AC 于点G .
①求证：BE EF =;
②设AE x =，CG y =，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围. （2）在如图2中，请用无刻度的直尺作出一个以BE 为边的菱形.
30．如图1，已知△ABC 是等边三角形，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且CD ＝AE ，AD 与BE 相交于点F ．
（1）求证：∠ABE ＝∠CAD ；
（2）如图2，以AD 为边向左作等边△ADG ，连接BG ．
ⅰ）试判断四边形AGBE 的形状，并说明理由；
ⅱ）若设BD ＝1，DC ＝k （0＜k ＜1），求四边形AGBE 与△ABC 的周长比（用含k 的代数式表示）．
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一、选择题
1．A
解析：A
【分析】
根据各个图象，利用面积的不同表示方法，列式证明结论222+=a b c ，找出不能证明的那个选项．
【详解】
解：A 选项不能证明勾股定理；
B 选项，通过大正方形面积的不同表示方法，可以列式()22142
a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ；
C 选项，通过梯形的面积的不同表示方法，可以列式()221122
22
a b ab c +=⨯+，可得222+=a b c ； D 选项，通过这个不规则图象的面积的不同表示方法，可以列式
222112222
c ab a b ab +⨯=++⨯，可得222+=a b c ． 故选：A ．
【点睛】
本题考查勾股定理的证明，解题的关键是掌握勾股定理的证明方法．
2．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理的逆定理，三角形的内角和定理，分别对每个选项进行判断，即可得到答案.
【详解】
解：∵222a c b -=，得222a b c =+，符合勾股定理逆定理，则①正确；
∵2()()0a b a b c -++=，得到222a c b +=，符合勾股定理逆定理，则②正确； ∵∠A ＝∠B -∠C ，得∠B=∠A+∠C ，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，故③正确；
∵∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，∠A+∠B+∠C=180°， ∴318090123
C ∠=︒⨯=︒++，故④正确； ∵222111
()()()45
3+≠，则⑤不能构成直角三角形，故⑤错误；
∵222102426+=，则⑥能构成直角三角形，故⑥正确；
∴能构成直角三角形的有5个；
故选择：D.
【点睛】
本题考查了勾股定理的逆定理，以及三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理进行判断三角形是直角三角形. 3．C
解析：C
【分析】
由AP+CP=AC 得到AP BP CP ++=BP+AC ，即计算当BP 最小时即可，此时BP ⊥AC ，根据三角形面积公式求出BP 即可得到答案.
【详解】
∵AP+CP=AC ，
∴AP BP CP ++=BP+AC ，
∴BP ⊥AC 时，AP BP CP ++有最小值，
设AH ⊥BC ，
∵56AB AC BC ===，
∴BH=3， ∴224AH AB BH =
-=, ∵1122ABC S
BC AH AC BP =⋅=⋅， ∴1164522
BP ⨯⨯=⨯, ∴BP=4.8，
∴AP BP CP ++=AC+BP=5+4.8=9.8，
故选：C.
【点睛】
此题考查等腰三角形的三线合一的性质，勾股定理，最短路径问题，正确理解AP BP CP ++时点P 的位置是解题的关键.
4．D
解析：D
【分析】
根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，求出钢条的根数，然后根据最后一根钢条与射线AB 的焊接点P 到A 点的距离即AP 5为3AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，再用含a 的式子表示出P 1P 3，P 3P 5，从而可求出a 的值，即得出每根钢条的长度，从而可以求得所有钢条的总长．
【详解】
解：如图，∵AP 1与各钢条的长度相等，∴∠A=∠P 1P 2A=15°，
∴∠P 2P 1P 3=30°，∴∠P 1P 3P 2=30°，∴∠P 3P 2P 4=45°，
∴∠P 3P 4P 2=45°，∴∠P 4P 3P 5=60°，∴∠P 3P 5P 4=60°，
∴∠P 5P 4P 6=75°，∴∠P 4P 6P 5=75°，∴∠P 6P 5B=90°，
此时就不能再往上焊接了，综上所述总共可焊上5根钢条．
设AP 1＝a ，作P 2D ⊥AB 于点D ，
∵∠P2P1D＝30°，∴P2D=1
2P1P2，∴P1D＝
3
2
a，
∵P1P2=P2P3，∴P1P3＝2P1D =3a，
∵∠P4P3P5=60°，P3P4=P4P5，∴△P4P3P5是等边三角形，∴P3P5＝a，
∵最后一根钢条与射线AB的焊接点P到A点的距离为4+23，
∴AP5=a+3a+a＝4+23，
解得，a＝2，
∴所有钢条的总长为2×5＝10，
故选：D．
【点睛】
本题考查了三角形的内角和、等腰三角形的性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，发现并利用规律找出钢条的根数是解答本题的关键．
5．D
解析：D
【解析】
【分析】
连接BD，作CF⊥AB于F，由线段垂直平分线的性质得出BD=AD，AE=BE，得出
∠DBE=∠DAB=30°，由直角三角形的性质得出BD=AD=2DE=23，AE=BE=3DE=3，证出
△BCD是直角三角形，∠CBD=90°，得出∠BCF=30°，得出BF=1
2
BC=
1
2
，CF=3BF=
3
2
，
求出EF=BE+BF=7
2
，在Rt△CEF中，由勾股定理即可得出结果．
【详解】
解：连接BD，作CF⊥AB于F，如图所示：
则∠BFC=90°，
∵点E为AB的中点，DE⊥AB，
∴BD=AD，AE=BE，
∵∠DAB=30°，
∴∠DBE=∠DAB=30°，BD=AD=2DE=23，AE=BE=
3DE=3，
∵BC 2+BD 2=12+（23）2=13=CD 2，
∴△BCD 是直角三角形，∠CBD=90°，
∴∠CBF=180°-30°-90°=60°，
∴∠BCF=30°，∠BFC=90°，
∴∠BCF=30°，
∴BF=
12BC=12，CF=3BF=3， ∴EF=BE+BF=72， 在Rt △CEF 中，由勾股定理得：CE=2
2731322⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
； 故选D ．
【点睛】
本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质；熟练掌握勾股定理和逆定理是解题的关键． 6．A
解析：A
【解析】
试题解析：如图，过D 作AB 垂线交于K ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠CBD=∠ABD
∵∠C=∠DKB=90°，
∴CD=KD ，
在△BCD 和△BKD 中，
CD KD BD BD ⎧⎨⎩
＝＝ ∴△BCD ≌△BKD ，
∴BC=BK=3
∵E 为AB 中点
∴BE=AE=2.5，EK=0.5，
∴AK=AE-EK=2，
设DK=DC=x，AD=4-x，∴AD2=AK2+DK2
即（4-x）2=22+x2
解得：x=3 2
∴在Rt△DEK中，.
故选A．
7．D
解析：D
【分析】
根据勾股定理求出AB的长，即为AC的长，再根据数轴上的点的表示解答.
【详解】
由勾股定理得，AB==
∴AC AB
==
∵点A表示的数是1
∴点C表示的数是1-
故选D.
【点睛】
本题考查了勾股定理、实数与数轴，熟记定理并求出AB的长是解题的关键.
8．D
解析：D
【解析】
试题解析：当3和5
当5．
故选D．
9．A
解析：A
【分析】
分别求出以AB、AC、BC为直径的半圆及△ABC的面积，再根据S阴影=S1+S2+S△ABC-S3即可得出结论．
【详解】
解：如图所示：
∵∠BAC=90°，AB=4cm ，AC=3cm ，BC=5cm ，
∴以AB 为直径的半圆的面积S 1=2π（cm 2）；
以AC 为直径的半圆的面积S 2=98π（cm 2）； 以BC 为直径的半圆的面积S 3=258π（cm 2）； S △ABC =6（cm 2）；
∴S 阴影=S 1+S 2+S △ABC -S 3=6（cm 2）；
故选A ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 10．D
解析：D
【分析】
根据直角三角形的判定，符合a 2+b 2＝c 2即可；反之不符合的不能构成直角三角形．
【详解】
解：A 、因为92+402＝412，故能构成直角三角形；
B 、因为52+52=()252
，故能构成直角三角形； C 、因为()()()222345x x x +=，故能构成直角三角形；
D 、因为112+122≠152，故不能构成直角三角形；
故选：D ．
【点睛】
本题考查的是勾股定理的逆定理，当三角形中三边满足222a b c +=关系时，则三角形为直角三角形．
二、填空题
11．
【解析】如图，过点作
⊥于点，延长到点，使，连接，交于点，连接，此时
的值最小．连接，由对称性可知∠45°，
，∴ ∠90°.根据勾股定理可得
．
12．82【分析】
根据S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，得出动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，作A关
于直线l的对称点E，连接DE，BE，则DE的长就是所求的最短距离．然后在直角三角形ADE中，由勾股定理求得DE的值，即可得到PA+PD的最小值．
【详解】
设△PAD中AD边上的高是h．
∵S△PAD＝1
3
S矩形ABCD，
∴1
2
AD•h＝
1
3
AD•AB，
∴h＝2
3
AB＝4，
∴动点P在与AD平行且与AD的距离是4的直线l上，
如图，作A关于直线l的对称点E，连接BE，DE，则DE的长就是所求的最短距离．
在Rt△ADE中，∵AD＝8，AE＝4+4＝8，
DE2222
8882
AE AD
++=
即PA+PD的最小值为2．
故答案2．
【点睛】
本题主要考查了轴对称-最短路线问题，三角形的面积，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质．得出动点P所在的位置是解题的关键．
13．5
【分析】
在直角ABC中，依据勾股定理求出AC的长度，再算出BD，过点B作BE AC
⊥于点
E ，通过等面积法求出BE ，得到两个直角三角形，分别运用勾股定理算出AE ED 、，两者相加即为AD 的长.
【详解】
解：如图，过点B 作BE AC ⊥于点E ，则90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒,
∵直角ABC 中，90B ∠=︒，6AB =，8BC =， ∴22=10AC AB BC +=,
又∵2ABC S AB BC AC BE =⋅=⋅，2AC BD =
∴6810BE ⨯=，5BD =,
∴=4.8BE ,
∵90BEA ∠=︒,90BED ∠=︒ ∴22= 3.6AE AB BE -=,22= 1.4ED BD BE -=,
∴5AD AE ED =+=.
故答案为：5.
【点睛】
本题考查了勾股定理，通过作直角三角形斜边上的高，既构造了两个直角三角形求位置线段，又通过等面积法求出了一条直角边的长度，为运用勾股定理求线段创造了条件；故在求线段长时，可以考虑构造直角三角形.
14．75或6或
94 【分析】
当△ABP 为等腰三角形时，分三种情况：①当AB ＝BP 时；②当AB ＝AP 时；③当BP ＝AP 时，分别求出BP 的长度，继而可求得t 值．
【详解】
在Rt △ABC 中，BC 2＝AB 2﹣AC 2＝7.52﹣4.52＝36，
∴BC ＝6（cm ）；
①当AB ＝BP ＝7.5cm 时，如图1，t ＝7.52
＝3.75（秒）； ②当AB ＝AP ＝7.5cm 时，如图2，BP ＝2BC ＝12cm ，t ＝6（秒）；
③当BP ＝AP 时，如图3，AP ＝BP ＝2tcm ，CP ＝（4.5﹣2t ）cm ，AC ＝4.5cm ， 在Rt △ACP 中，AP 2＝AC 2+CP 2，
所以4t 2＝4.52+（4.5﹣2t ）2，
解得：t ＝94， 综上所述：当△ABP 为等腰三角形时，t ＝3.75或t ＝6或t ＝
94． 故答案为：3.75或6或94
．
【点睛】
此题是等腰三角形与动点问题，考查等腰三角形的性质，勾股定理，解题中应根据每两条边相等分情况来解答，不要漏解.
15．【分析】
根据面积的差得出a+b 的值，再利用a-b=7，解得a ，b 的值代入即可．
【详解】
∵AB ＝13，EF ＝7，
∴大正方形的面积是169，小正方形的面积是49，
∴四个直角三角形面积和为169﹣49＝120，设AE 为a ，DE 为b ，即141202
ab ⨯
=， ∴2ab ＝120，a 2+b 2＝169，
∴（a +b ）2＝a 2+b 2+2ab ＝169+120＝289，
∴a +b ＝17，
∵a ﹣b ＝7，
解得：a ＝12，b ＝5，
∴AE ＝12，DE ＝5，
∴AH ＝12﹣7＝5．
故答案为：5．
【点睛】
此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab 的值． 16．5或13
【分析】
根据已知可得题意中的图是一个勾股图，可得S P +S Q =S K 为从而易求S K ．
【详解】
解：如下图所示，
若A=S P=4．B=S Q=9，C=S K，
根据勾股定理，可得
A+B=C，
∴C=13．
若A=S P=4．C=S Q=9，B=S K，
根据勾股定理，可得
A+B=C，
∴B=9-4=5．
∴S K为5或13．
故答案为：5或13．
【点睛】
本题考查了勾股定理．此题所给的图中，以直角三角形两直角边为边所作的正方形的面积和等于以斜边为边所作的正方形的面积．
17．71-
【分析】
分别找到两个极端,当M与A重合时，AP取最大值，当点N与C重合时，AP取最小，即可求出线段AP长度的最大值与最小值之差
【详解】
如图所示，当M与A重合时，AP取最大值，此时标记为P1，由折叠的性质易得四边形AP1NB是正方形，在Rt△ABC中，2222
--，
AB=AC BC=54=3
∴AP的最大值为A P1=AB=3
如图所示，当点N与C重合时，AP取最小，过C点作CD⊥直线l于点D，可得矩形ABCD，∴CD=AB=3，AD=BC=4，
由折叠的性质有PC=BC=4，
在Rt△PCD中，2222
PD=PC CD=43=7
--，
-
∴AP的最小值为AD PD=47
线段AP 长度的最大值与最小值之差为()1AP AP=347=71----
故答案为71-
【点睛】
本题考查勾股定理的折叠问题，可以动手实际操作进行探索.
18．10
【分析】
首先作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值，易得△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∠N ′OM ′=90°，继而可以求得答案．
【详解】
作M 关于OB 的对称点M ′，作N 关于OA 的对称点N ′，连接M ′N ′，即为MP +PQ +QN 的最小值．
根据轴对称的定义可
知：∠N ′OQ =∠M ′OB =30°，∠ONN ′=60°，OM ′=OM =6，ON ′=ON =8，∴△ONN ′为等边三角形，△OMM ′为等边三角形，∴∠N ′OM ′=90°．在Rt △M ′ON ′中，M ′N ′=22''OM ON +=10． 故答案为10．
【点睛】
本题考查了最短路径问题，根据轴对称的定义，找到相等的线段，得到直角三角形是解题的关键．
19．
12013
【解析】 ∵AB=AC ，AD 是角平分线，
∴AD ⊥BC ，BD=CD ，
∴B 点，C 点关于AD 对称，
如图，过C 作CF ⊥AB 于F ，交AD 于E ，
则CF=BE+FF 的最小值，
根据勾股定理得，AD=12，
利用等面积法得：AB ⋅CF=BC ⋅AD ，
∴CF=BC AD AB ⋅=101213⨯=12013
故答案为
12013. 点睛：本题主要考查的是翻折的性质、垂线段最短、勾股定理的应用及三角形面积的等积法.明确当CF ⊥AB 时，CF 有最小值是解题的关键.
20．17，144，145
【分析】
由题意观察题干这些勾股数，根据所给的勾股数找出三个数之间的关系即可．
【详解】
解：因为这些勾股数的“勾”都是奇数，且从3起就没断过，所以从3、5、7…依次推出第8组的“勾”为17，
继续观察可知弦-股=1，利用勾股定理假设股为m ，则弦为m+1，
所以有222
17(1)m m +=+，解得144m =，1145m +=，即第8组勾股数为17，144，145.
故答案为17，144，145.
【点睛】
本题属规律性题目，考查的是勾股数之间的关系，根据题目中所给的勾股数及勾股定理进行分析即可． 三、解答题
21．（12）150°；（3
【分析】
（1）根据等边三角形的性质可利用SAS 证明△BCD ≌△ACE ，再根据全等三角形的性质即得结果；
（2）在△ADE 中，根据勾股定理的逆定理可得∠AED ＝90°，进而可求出∠AEC 的度数，再根据全等三角形的性质即得答案；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，根据等边三角形的性质和勾股定理可得PE 与CP 的长，进而可得AE ＝CP ，然后即可根据AAS 证明△AEG ≌△CPG ，于是可得AG ＝CG ，PG ＝EG ，根据勾股定理可求出AG 的长，进一步即可求出结果．
【详解】
解：（1）∵△ABC 和△EDC 都是等边三角形，
∴BC ＝AC ，CD ＝CE ＝DE ＝2，∠ACB ＝∠DCE ＝60°，
∴∠BCD ＝∠ACE ，
在△BCD 与△ACE 中，
∵BC ＝AC ，∠BCD ＝∠ACE ，CD ＝CE ，
∴△BCD ≌△ACE ，
∴AE ＝BD ＝3； （2）在△ADE 中，∵7,3,2AD AE DE =
==， ∴DE 2+AE 2＝()()222237+=＝AD 2
， ∴∠AED ＝90°，
∵∠DEC ＝60°，
∴∠AEC ＝150°，
∵△BCD ≌△ACE ，
∴∠BDC ＝∠AEC ＝150°；
（3）过C 作CP ⊥DE 于点P ，设AC 与DE 交于G ，如图，
∵△CDE 是等边三角形，
∴PE ＝12DE ＝1，CP 22213-=，
∴AE ＝CP ，
在△AEG 与△CPG 中，
∵∠AEG ＝∠CPG ＝90°，∠AGE ＝∠CGP ，AE ＝CP ，
∴△AEG ≌△CPG ，
∴AG ＝CG ，PG ＝EG ＝12
， ∴AG ()2
222113322AE EG ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， ∴AC ＝2AG 13
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握上述知识、灵活应用全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．BF 的长为32【分析】
先连接BF ，由E 为中点及AC=BC ，利用三线合一可得CE ⊥AB ，进而可证△AFE ≌△BFE ，再利用AD 为角平分线以及三角形外角定理，即可得到∠BFD 为45°，△BFD 为等腰直角三角形，利用勾股定理即可解得BF ．
解：连接BF ．
∵CA=CB ，E 为AB 中点
∴AE=BE ，CE ⊥AB ，∠FEB=∠FEA=90°
在Rt △FEB 与Rt △FEA 中，
BE AE BEF AEF FE FE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴Rt △FEB ≌Rt △FEA
又∵AD 平分∠BAC ，在等腰直角三角形ABC 中∠CAB=45°
∴∠FBE=∠FAE=12
∠CAB=22.5° 在△BFD 中，∠BFD=∠FBE+∠FAE=45°
又∵BD ⊥AD ，∠D=90°
∴△BFD 为等腰直角三角形，BD=FD=3 ∴222232BF BD FD BD =
+==【点睛】
本题主要考查等腰直角三角形的性质及判定、三角形全等的性质及判定、三角形外角、角平分线，解题关键在于熟练掌握等腰直角三角形的性质．
23．(1)AC=9;(2)AB ∇AC =-72,BA ∇BC =73
【分析】
(1)在Rt AOC ∆中,根据勾股定理和新定义可得AO 2-OC 2=81=AC 2;
(2)①先利用含30°的直角三角形的性质求出AO =2,OB =23再用新定义即可得出结论; ②先构造直角三角形求出BE ,AE ,再用勾股定理求出BD ,最后用新定义即可得出结论;
(3)作BD ⊥CD,构造直角三角形BCD,根据三角形面积关系求出BD,根据新定义和勾股定理逆定理得出三角形AOD 是直角三角形,根据中线性质得出OA 的长度,根据勾股定理求出OC,从而得出BC,再根据勾股定理求出CD,再求出AD,再运用勾股定理求出AB.
(1)已知如图:AO 为BC 上的中线,
在Rt AOC ∆中,
AO 2-OC 2=AC 2
因为81AB AC ∇=
所以AO 2-OC 2=81
所以AC 2=81
所以AC=9.
(2)①如图2,取BC 的中点D ,连接AO ,∵AB =AC ,∴AO ⊥BC ,
在△ABC 中,AB =AC ,∠BAC =120°,∴∠ABC =30°,
在Rt △AOB 中,AB =12,∠ABC =30°,∴AO =6,OB =2222126AB AO -=-=63,
∴AB ∇AC =AO 2﹣BO 2=36﹣108=﹣72, ②取AC 的中点D ,连接BD ,∴AD =CD =
12
AC =6,过点B 作BE ⊥AC 交CA 的延长线于E ,在Rt △ABE 中,∠BAE =180°﹣∠BAC =60°,∴∠ABE =30°, ∵AB =12,∴AE =6,BE =
222212663AB AE -=-=, ∴DE =AD +AE =12,
在Rt △BED 中,根据勾股定理得,BD =()2222631267BE DE +=
+=
∴BA ∇BC =BD 2﹣CD 2=216;
(3)作BD ⊥CD,
因为24ABC S ∆=,8AC =,
所以BD=26ABC S AC ∆÷=,
因为64AB AC ∇=-,AO 是BC 边上的中线,
所以AO 2-OC 2=-64,
所以OC 2-AO 2=64,
由因为AC 2=82=64,
所以OC 2-AO 2= AC 2
所以∠OAC=90°
所以OA=24228322ABC S AC ∆⨯
÷=⨯÷= 所以OC=22228373AC OA +=+=
所以BC=2OC=273,
在Rt △BCD 中,
CD=()2222276163BC BD -=-=
所以AD=CD-AC=16-8=8
所以AB=22228610AD BD +=+=
【点睛】
考核知识点:勾股定理逆定理,含30°直角三角形性质.借助辅助线构造直角三角形,运用勾股定理等直角三角形性质解决问题是关键.
24．（1）12；（2）t=12.5s 时，13 cm ；（3）11s 或12s 或13.2s
【分析】
（1）由勾股定理即可得出结论；
（2）由线段垂直平分线的性质得到PC = PA =t ，则PB =16-t ．在Rt △BPC 中，由勾股定理可求得t 的值，判断出此时，点Q 在边AC 上，根据CQ =2t -BC 计算即可；
（3）用t 分别表示出BQ 和CQ ，利用等腰三角形的性质可分BQ =BC 、CQ =BC 和BQ =CQ 三种情况，分别得到关于t 的方程，可求得t 的值．
【详解】
（1）在Rt △ABC 中，BC 2222212016AC AB =
-=-=(cm )．
故答案为：12；
（2）如图，点P 在边AC 的垂直平分线上时，连接PC ，
∴PC = PA =t ，PB =16-t ．
在Rt △BPC 中，222BC BP CP +=，即2221216)t t +-=（，
解得：t =252． ∵Q 从B 到C 所需的时间为12÷2=6(s )，
252＞6， ∴此时，点Q 在边AC 上，CQ =25212132
⨯-=(cm )；
（3）分三种情况讨论：
①当CQ =BQ 时，如图1所示，
则∠C =∠CBQ ．
∵∠ABC =90°，
∴∠CBQ +∠ABQ =90°，∠A +∠C =90°，
∴∠A =∠ABQ ，
∴BQ =AQ ，
∴CQ =AQ =10，
∴BC +CQ =22，
∴t =22÷2=11(s )．
②当CQ =BC 时，如图2所示，
则BC +CQ =24，
∴t =24÷2=12(s )．
③当BC =BQ 时，如图3所示，
过B 点作BE ⊥AC 于点E ，
则BE 121648205AB BC AC ⋅⨯=
==， ∴CE 2222483612()55
BC BE =-=-==7.2． ∵BC =BQ ，BE ⊥CQ ，
∴CQ =2CE =14.4，
∴BC +CQ =26.4，
∴t =26.4÷2=13.2(s )．
综上所述：当t 为11s 或12s 或13.2s 时，△BCQ 为等腰三角形．
【点睛】
本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．用时间t 表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，注意方程思想的应用．
25．（1）详见解析；（241；（33
【分析】
（1）证∠EAC=∠DAB.利用SAS 证△ACE ≌△ABD 可得；（2）连接BD ，证
1302
FEA AED ∠=∠=，证△ACE ≌△ABD 可得30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5，利用勾股定理求解；（3）作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=，利用勾股定理得AE 2AB =，3AB ，根据（1）思路得3AB .
【详解】
(1) 证明：∵∠DAE=∠BAC ，
∴∠DAE+∠CAD=∠BAC+∠CAD ，
即∠EAC=∠DAB.
在△ACE 与△ABD 中，
AD AE EAC BAB AC AB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACE ≌△ABD(SAS)，
∴BD CE =；
(2)连接BD
因为AD AE =， 60DAE BAC ∠=∠=，
所以ADE ∆是等边三角形
因为60DAE DEA EDA ∠=∠=∠=,ED=AD=AE=4
因为CE AD ⊥ 所以1302FEA AED ∠=∠= 同(1)可知△ACE ≌△ABD(SAS)，
所以30FEA BDA ∠=∠=,CE=BD=5
所以90BDE BDA ADE ∠=∠+∠=
所以BE=22225441BD DE +=+=
(3)作CE 垂直于AC,且CE=AC,连接AE,则90,45ACE CAE ∠=∠=
所以222AB AC AC +
因为AB AC =
所以AE 2=
又因为45CAB ∠=
所以90ABE ∠= 所以()2
22223BE AE AB AB AB AB =+=+= 因为45CBD CDB ∠=∠=
所以BC=CD, 90BCD ∠=
因为同(1)可得△ACD ≌△ECB(SAS)
所以3AB
所以33AD AB AB
==
【点睛】
考核知识点:等边三角形;勾股定理.构造全等三角形和直角三角形是关键.
26．（1）3；（2）见解析．
【分析】
（1）根据勾股定理可得AC ，进而可得BC 与BD ，然后根据三角形的面积公式计算即可； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则根据余角的性质可得∠CBG =∠EBH ，由已知易得BE ∥AC ，于是∠E =∠EFC ，由于CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，则根据余角的性质得∠EFC =∠BCG ，于是可得∠E =∠BCG ，然后根据ASA 可证△BCG ≌△BEH ，可得BG =BH ，CG =EH ，从而△BGH 是等腰直角三角形，进一步即可证得结论．
【详解】
解：（1）在△ACD 中，∵90ACB ∠=︒，1CD =，5AD =，∴222AC AD CD =-=，
∵2BC AC =，∴BC=4，BD =3，∴1132322ABD S BD AC ∆=
⋅=⨯⨯=； （2）过点B 作BH ⊥BG 交EF 于点H ，如图3，则∠CBG +∠CBH =90°，
∵BE BC ⊥，∴∠EBH +∠CBH =90°，∴∠CBG =∠EBH ，
∵BE BC ⊥，90ACB ∠=︒，∴BE ∥AC ，∴∠E =∠EFC ，
∵CG EF ⊥，90ACB ∠=︒，∴∠EFC +∠FCG =90°，∠BCG +∠FCG =90°，
∴∠EFC =∠BCG ，∴∠E =∠BCG ，
在△BCG 和△BEH 中，∵∠CBG =∠EBH ，BC=BE ，∠BCG =∠E ，∴△BCG ≌△BEH （ASA ）， ∴BG =BH ，CG =EH ，
∴222GH BG BH BG =+=，
∴2EG GH EH BG CG =+=
+．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、余角的性质和勾股定理等知识，属于常考题型，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
27．（1）①详见解析；（2）222
222
CD n n =+-（1n >）；（2）2AD BD CD -=，理由详见解析.
【分析】
（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断；
②过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，利用同角的余角相等证明∠3=∠4，∠1=∠E ，进而证明△ACD ≌△BCE ，求出DE 的长，再利用勾股定理求解即可.
（2）过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，先证∠ACD=∠BCF ，再证△ACD ≌△BCF ，得CD=CF ，AD=BF ，再利用勾股定理求解即可.
【详解】
（1）①∵()()()22222222212214AD BD n n n n n +=-+=-++
()()22
222211n n n =++=+ 又∵()2
221AB n =+
∴222AD BD AB +=
∴△ABD 是直角三角形
②如图①，过点C 作CE ⊥CD 交DB 的延长线于点E ，
∵∠3+∠BCD=∠ACD=90°，∠4+∠BCD=∠DCE=90°
∴∠3=∠4
由①知△ABD 是直角三角形
∴1290∠+∠=︒
又∵290E ∠+∠=︒
∴∠1=∠E
在ACD ∆和BCE ∆中，
A 34E AC BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ACD ≌△BCE
∴CD CE =，AD BE =
∴221DE BD BE BD AD n n =+=+=+- 又∵CD CE =，90DCE ∠=︒ ∴由勾股定理得222DE CD DE CD
=+=
∴22CD =2222n n =+-（1n >） （2）AD 、BD 、CD 的数量关系为：2AD BD CD -=，
理由如下：
如图②，过点C 作CF ⊥CD 交BD 的延长线于点F ，
∵∠ACD=90°+∠5，∠BCF=90°+∠5
∴∠ACD=∠BCF
∵BD ⊥AD
∴∠ADB=90°
∴∠6+∠7=90°
∵∠ACB=90°
∴∠9=∠8=90°
又∵∠6=∠8
∴∠7=∠9
ACD ∆和BCF ∆中
97AC BC
ACD BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴△ACD ≌△BCF
∴CD=CF ，AD=BF
又∵∠DCF=90°
∴由勾股定理得222DF CD CF CD =+=
又DF=BF-BD=AD-BD
∴2AD BD CD -=
【点睛】
本题考查的是三角形全等、勾股定理及其逆定理，掌握三角形全等的判定方法及勾股定理
及其逆定理是关键.
28．（1）见解析；（2）27BC =.
【分析】
（1）由等边三角形的判定定理可得△ABD 为等边三角形，又由平行进行角度间的转化可得出结论.
（2）连接AC 交BD 于点O ，由题意可证AC 垂直平分BD ，△ABD 是等边三角形，可得∠BAO=∠DAO=30°，AB=AD=BD=8，BO=OD=4，通过证明△EDF 是等边三角形，可得DE=EF=DF=2，由勾股定理可求OC ，BC 的长．
【详解】
（1）证明：∵AB AD =，=60A ∠︒，
∴△ABD 是等边三角形.
∴60ADB ∠=︒.
∵CE ∥AB ，
∴60CED A ∠=∠=︒.
∴CED ADB ∠=∠.
（2）解：连接AC 交BD 于点O ，
∵AB AD =，BC DC =，
∴AC 垂直平分BD .
∴30BAO DAO ∠=∠=︒.
∵△ABD 是等边三角形，8AB =
∴8AD BD AB ===，
∴4BO OD ==.
∵CE ∥AB ，
∴ACE BAO ∠=∠.
∴6AE CE ==, 2DE AD AE =-=.
∵60CED ADB ∠=∠=︒.
∴60EFD ∠=︒.
∴△EDF 是等边三角形.
∴2EF DF DE ===,
∴4CF CE EF =-=,2OF OD DF =-=.
在Rt △COF 中，
∴OC ==.
在Rt △BOC 中，
∴BC =
== 【点睛】
本题考查了等边三角形的性质和判定，勾股定理，熟练运用等边三角形的判定是本题的关键．
29．(1)①见解析；②()22012x y x x
-=
<<-；（2）见解析 【解析】
【分析】
（1）①连接DE ，如图1，先用SAS 证明△CBE ≌△CDE ，得EB=ED ，∠CBE =∠1，再用四边形的内角和可证明∠EBC =∠2，从而可得∠1=∠2，进一步即可证得结论；
②将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点E 落在点P 处，如图2，用SAS 可证
△PBG ≌△EBG ，所以PG=EG =2－x －y ，在直角三角形PCG 中，根据勾股定理整理即得y 与x 的函数关系式，再根据题意写出x 的取值范围即可.
（2）由（1）题已得EB=ED ，根据正方形的对称性只需再确定点E 关于点O 的对称点即可，考虑到只有直尺，可延长BE 交AD 于点M ，再连接MO 并延长交BC 于点N ，再连接DN 交AC 于点Q ，问题即得解决.
【详解】
（1）①证明：如图1，连接DE ，∵四边形ABCD 是正方形，
∴CB=CD ，∠BCE =∠DCE =45°，
又∵CE=CE ，∴△CBE ≌△CDE （SAS ），
∴EB=ED ，∠CBE =∠1，
∵∠BEC =90°，∠BCF =90°，
∴∠EBC +∠EFC =180°，
∵∠EFC +∠2=180°，
∴∠EBC =∠2，
∴∠1=∠2.
∴ED=EF ，
∴BE=EF .
②解：∵正方形ABCD
的边长为2，∴对角线AC =2.
将△BAE 绕点B 顺时针旋转90°，点A 与点C 重合，点E 落在点P 处，如图2， 则△BAE ≌△BCP ，
∴BE =BP ，AE=CP=x ，∠BAE =∠BCP =45°，∠EBP =90°，
由①可得，∠EBF =45°，∴∠PBG =45°=∠EBG ，
在△PBG 与△EBG 中，PB EB PBG EBG BG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△PBG ≌△EBG （SAS ）.
∴PG=EG =2－x －y ，
∵∠PCG =∠GCB +∠BCP =45°+45°=90°，
∴在Rt △PCG 中，由222PC CG PG +=，得()2222x y x y +=--，
化简，得()22012x y x x
-=<<-. （2）如图3，作法如下：
①延长BE 交AD 于点M ，
②连接MO 并延长交BC 于点N ，
③连接DN 交AC 于点Q ，
④连接DE 、BQ ，
则四边形BEDQ 为菱形.
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四边形的内角和、勾股定理和菱形的作图等知识，其中通过三角形的旋转构造全等三角形是解决②小题的关键，利用正方形的对称性确定点Q 的位置是解决（2）题的关键.
30．（1）详见解析；（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，证明详见解析；ⅱ）222133
k k k k ++++. 【解析】
【分析】
（1）只要证明△BAE ≌△ACD ；
（2）ⅰ）四边形AGBE 是平行四边形，只要证明BG=AE ，BG ∥AE 即可；
ⅱ）求出四边形BGAE 的周长，△ABC 的周长即可；
【详解】
（1）证明：如图1中，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB ＝AC ，∠BAE ＝∠C ＝60°，
∵AE ＝CD ，
∴△BAE ≌△ACD ，
∴∠ABE ＝∠CAD ．
（2）ⅰ）如图2中，结论：四边形AGBE 是平行四边形．
理由：∵△ADG，△ABC都是等边三角形，∴AG＝AD，AB＝AC，
∴∠GAD＝∠BAC＝60°，
∴△GAB≌△DAC，
∴BG＝CD，∠ABG＝∠C，
∵CD＝AE，∠C＝∠BAE，
∴BG＝AE，∠ABG＝∠BAE，
∴BG∥AE，
∴四边形AGBE是平行四边形，
ⅱ）如图2中，作AH⊥BC于H．
∵BH＝CH＝1 (1) 2
k+
∴
1113 1(1),3(1) 2222
DH k k AH BH k =-+=-==+
∴222
AH DH k k1
AD=+=++
∴四边形BGAE的周长＝2
2k k1
k+++,△ABC的周长＝3（k+1），
∴四边形AGBE与△ABC
2
221 k k k
+++
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．。