理论力学B-5

相对运动----研究对象相对于动系的运动 牵连运动----动系相对于定系的运动
§ 3 复合运动
§ 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动
复合运动的概念
y’ y x’
小车直线水平移动 重物上下直线运动
牵连运动 相对运动 绝对运动 牵连运动 相对运动 绝对运动
x
重物对地面作曲线运动 圆盘定轴转动
y’ x’
小球沿槽直线运动 从地面观察小球作螺旋运动
y
x
绝对运动可分解为牵连运动 动点 点 动系 刚体 定系 和相对运动。也提出一种研 究方法，将复杂的运动分解 相对运动 牵连运动 点 为简单的基本运动来研究， 绝对运动 关键是动点和动系的选取。
（复合运动）
3. 复合运动---- 研究对象的绝对运动可分解为相对运
§ 3 复合运动
§ 3.1 绝对运动、相对运动、牵连运动
研究对象----点M的运动（动点M）---- 与选取的参考
空间有关 1. 固定参考空间（定系）----常与地球固连 绝对运动----研究对象相对于定系的运动 2. 运动参考空间（动系）----常固连于相对地球作平
面运动（平动、定轴转动、一般平面运动）的刚体上
（2）两部件在接触点未固结在一起，有相对运动
----该接触点实际为两个物质点，这两点的轨
迹、速度、加速度一般不完全相同。
----应用本章复合运动的知识求解
O
A点——唯一，既是杆OA上的 点，又是杆AB上的点 A B
A'
A A点
OA杆上的点A
顶板上的点A'
O

A C' C CM B
CM
CM
环上的点C ——环上的一个固定点。 某瞬 杆上的点C' ——杆上的一个固定点。 时的 环与杆的交点CM ——既非环上的固定点， 点C 也非杆上的固定点！ 可视为同时套在杆与环 上的另一个小环。
动与牵连运动的合成
绝对运动
4. 复合运动 的实例
相对运动 + 牵连运动
5. 本章的研究内容
工程机构各部件之间运动的传递通常是通过相互 间的接触点完成的。接触点主要有两种： （1）两部件在接触点固结在一起，无相对运动 ----该接触点有惟一的轨迹、速度、加速度。 ----可用§2刚体平面运动的知识求解
1 . 动点的运动方程
M
研究对象：动点M
定系：参考点O，直角坐标系OXi
xe2 xi2
x i3
xe3
O’
动系：参考点O’，直角坐标系O’Xe 动点M的绝对运动
动点M的相对运动
O
xe1 xi
1
动系原点的牵连运动
且
r (t ) rO (t ) r (t )
r r (t ) r (t ) r rO rO (t )
（3.3)
2. 动点的速度、加速度 动点M的绝对速度
M
xi3
dr va dt
xe3
O’
(3.4)
O
xe2 x i2
xe1
x i1 dva （3.5) 动点M的绝对加速度 a a dt ~ dr 动点M的相对速度 vr (3.6) dt ~ d vr (3.7) 动点M的相对加速度 ar dt

30o
解：（1）动点、动系
ve
v
v v e vr
动点：车；动系：荡船
（2）对动点写出速度合成关系 （3）解矢量方程
va ve vr
ve l
18.07o
vr 14.51m / s
例题：荡船如图，O1A=O2B=l=3m，O1O2=AB， =3rad/s，小车速度v=6m/s, 求荡船相对于小 车的速度？
关于牵连点的实例：
动点：滑块M，动系：固连于摇杆 任意瞬时的牵连点为m
利用复合运动求解运动学问题的求解步骤 （1）选择适当的动点与动系 同一题目，动点、动系的选择不唯一。 动点的选择 ----两部件之间的接触点（明确指明是 哪个部件上的点）
动系的选择----注意： a.动点对动系一定要有相对运动 b.相对运动的轨迹要清楚
动点相对速度
va vO vr e r 故 记动点牵连速度为 ve vO e r
则(3.15)变为 速度合成定理
(3.15)
(3.16) (3.17)
va ve vr
牵连速度的物理意义：
m M
x i3
（2）分析动点的绝对运动轨迹、相对运动轨迹及动系
相对于定系的牵连运动 （3）对动点写出速度合成关系 va ve vr 分析各速度矢量的方向、大小，求解矢量方程
例题：荡船如图，O1A=O2B=l=3m，O1O2=AB， =3rad/s，小车速度v=6m/s, 求小车相对于荡 船的速度？
(3.3) dr
drO x i1 vO 动系参考点的绝对速度 dt dr 而 为相对矢径的绝对导数，根据(3.1)式，有
dt
dr va dt
动点绝对速度
~ dr dr e r vr e r dt dt
6. 本章研究的关键
解题之前必须明确：
（1）研究对象 ----动点是哪个刚体上的哪一点？
（2）参考系 定系：固连大地
动系：与哪个运动的物体固连
（3）动点的绝对运动、相对运动、牵连运动各为如何？
§ 3.2 变矢量的绝对导数与相对导数
变矢量 a (t ) ——大小、方向随时间 t
变化的矢量
变矢量的时间变化率（导数）与参考空间有关
a (t )
O’ O
~ a (t t ) aa a ) ae (t
a (t )
d
动系 t 时刻 定系
O
定系
定系中,矢量的变化为绝对变化即绝对增量 a ，绝对微分 da ~ ~ 动系中,矢量的变化为相对变化即相对增量 a ，相对微分 d a
~ da d a d a (t ) dt dt dt ~ da d a 即 e a （3.1） dt dt
特例：当动系相对于定系的牵连运动
~ da da 当e=0 时 dt dt
为平动时，有e=0，故：
（3.2）
§ 3.3 点的复合运动的分析法求解
r
xe 3
r
O’
O
rO
xe2 x i2
动系中该瞬时与动点M重合 的点m（牵连点）相对于定 系的绝对速度 动系（也是一个刚体）上牵连点m 与参考点O’的两点速度关系即为
xe1
vm vO vmO
xi
1
ve vO e Om vO e r
§3.4 点的复合运动的矢量法求解
1. 速度合成定理 动点M，定系O，动系O’
M
xi
3
r
xe3
r
由运动方程关系r (t ) rO (t ) r (t )
两边求绝对导数
xe2 x i2
O’
O
rO
xe1
根据速度的定义有
dr drO dt dt dt
~ 从图中可知 a a ae
t +t 时刻动系相对定系转过d
其中ae 为 a (t ) 大小不变，仅
方向随动系改变时的变化
~ ~ 故 da d a dae d a d a 故有绝对导数与相对导数之间的关系
d 其中 e 为t 时刻动系相对于定系的角速度矢量 dt

30
o
va
解：（1）动点、动系
v v a vr
v
动点：荡船上一点；动系：车
（2）对动点写出速度合成关系 （3）解矢量方程
va ve vr
va l
18.07o
vr 14.51m / s