立体几何大二轮深刻复习的策略

立体几何的解题思路

四川省成都第七中学 张世永 巢中俊 周建波

《高中数学课程标准》建议：立体几何教学应注意引导学生通过对实际模型的认识，学会将自然语言转化为图形语言和符号语言.教师可以使用具体的长方体的点、线、面关系作为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的点、线、面之间的位置关系；通过对图形的观察、实验和说明，使学生进一步了解平行、垂直关系的基本性质以及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。

理科学生不仅要掌握必修2《立体几何初步》，还要掌握选修2-1《空间中的向量与立体几何》.文科学生要求掌握必修2《立体几何初步》，为了更好地解答立体几何问题，建议教师补充讲授选修2-1《空间中的向量与立体几何》中的坐标法，让文科学生能熟练地使用坐标法，而对空间中的向量的其它知识不做介绍，以免加重文科学生的负担。另外，文科学生不要求掌握求二面角的问题。

一.求解空间三类角：两直线所成角、直线与平面所成角、二面角，关键是转化为空间两直线所成角，常常要借助于平面的法向量.要善于一题多变.

例1．（1）已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、b 所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？

解：经过点P 作直线m//a, n//b, 则直线n m ,所成角为o 60或 120, 点P 作直线n m ,的两条角平分线，其中有一条与n m ,所成角均为o 60，另一条与n m ,所成角均为 30，把这条角平分线沿着点P 旋转可以得到两条直线与n m ,所成角均为o 60，从而与a 、b 所成角均为o 60的直线有三条.

问题的推广：已知直线b a ,所成角为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与a 、

b 所成角均为θ，这样的直线l 有四条，则角θ应满足什么条件？有两条呢？有一条呢？有

零条呢？

答案：有四条时，o o 9060<<θ；有两条时，o o 6030<<θ；有一条时，o

o

90,30=θ;有零条时， 300<<θ.

变式：（1）已知直线a 与平面α所成角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与直线a 和平面α所成角均为o 45，则这样的直线l 有几条？

（2）已知平面α与平面β所成锐二面角的大小为o 60，经过空间中一点P 作直线l ，使直线l 与平面α和平面β所成角均为o 60，则这样的直线l 有几条？

(3)正三棱锥P —ABC 中，CM=2PM ，CN=2NB ，对于以下结论： ①二面角B —PA —C 大小的取值范围是（

3

π

，π）；

②若MN ⊥AM ，则PC 与平面PAB 所成角的大小为2

π

；

③过点M 与异面直线PA 和BC 都成4

π

的直线有3条；

④若二面角B —PA —C 大小为

32π，则过点N 与平面PAC 和平面PAB 都成6

π

的直线有3条． 正确的序号是 ．

解：(1) 经过点P 作平面α的法向量n ，则问题转化为 “已知直线n a ,所成角为 30或

150，经过点P 作直线l ，使直线l 与n a ,所成角均为 45，则这样的直线l 有几条？”由

例1容易得到这样的直线l 有两条.

(2) 经过点P 作平面α的法向量m ，平面β的法向量n ，则问题转化为 “已知直线n m ,所成角为 60或 120，经过点P 作直线l ，使直线l 与n m ,所成角均为 30，则这样的直线

l 有几条？”由例1容易得到这样的直线l 有一条.

(3)仿照（1）（2）可以得到答案① ② ④

二.高考中有较大部分题都可以转化为以正方体为背景的问题，为此新编以正方体为背景的系列题：相同条件为“正方体1111D C B A ABCD -棱长为1”. 1. 正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，E,F 是BD 上的动点，且BD EF 2

1

=. （1）当E 在BD 中点时，F 恰在B 点，求二面角11C EF B --大小； （2）当EF 在BD 上运动时，该二面角是否发生变化？

解：（1）取11D B 中点O,易知11EFB O C 面⊥,设二面角11C EF B --大小为θ.

∴==

∴，36cos 1EFC EFO S S ∆∆θ二面角11C EF B --大小为3

6

arccos

（2）由（1）中求二面角的方法可知，无论EF 在BD 上的什么位置，

∴==

∴，3

6

cos 1EFC EFO S S ∆∆θ二面角11C EF B --的大小不变.

2. 正方体1111D C B A ABCD -棱长为1，P 为11B A 的四等分点， Q 为11C D 中点，O 为平面B B AA 11的中心.

（1）求证：OC 与PQ 共面；

（2）求:平面OPQC 与平面B B AA 11的夹角. （1）证明：取11B A 中点H ，连结BH,HQ.

易证CQ BH //,又HB A OP 1∆为中位线，CQ OP BH OP //,//∴

∴OC 与PQ 共面.

（2） 连结OQ,过O 作PQ OM ⊥,连结MH

MH

PQ OMH PQ PQ OM PQ

OH PHQ OH ⊥∴⊥∴⊥⊥∴⊥,,,面又面

OMH ∠为面OPQC 与面B B AA 11的夹角.

.

217

arctan .2

17tan ,1717,21,1,41=∠∴=∠∴====

OMH OMH MH OH HQ PH

三.高考中有一部分题都是以三棱柱为背景的问题，为此新编以三棱柱为背景的系列题.

例3．斜三棱柱111C B A ABC -的底面是等腰三角形，AB=AC ，上底面的顶点1A 在下地面的射影是ABC ∆的外心，,3

,1π

=∠=AB A a BC 棱

柱的侧面积为2

32a

（1） 证明：侧面B B AA 11和C C AA 11为菱形，11BCC B 是矩形； （2） 求棱柱的侧面所成的三个二面角的大小； （3） 求棱柱的体积

（1）证明：BC O A ABC O A ⊥∴⊥11,面 , 又 ABC ∆的外心为O,AB=AC,BC AO =∴

∴⊥⊥,,11BB BC AA BC 四边形11BCC B 是矩形.