黑龙江省牡丹江高一上期末数学试卷(含答案解析).doc

2017-2018学年黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．56．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．1611．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为．14．（5分）=．15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调增区间．21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．2017-2018学年黑龙江省牡丹江高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共有12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知θ是锐角，那么2θ是（）A．第一象限角B．第二象限角C．小于180°的正角 D．第一或第二象限角【解答】解：∵θ是锐角，∴0°＜θ＜90°∴0°＜2θ＜180°，∴2θ是小于180°的正角．故选C2．（5分）点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A．（﹣，）B．（，）C．（﹣，﹣）D．（﹣，）【解答】解：点P从（1，0）出发，沿单位圆逆时针方向运动弧长到达Q点，所以∠QOx=，所以Q（cos，sin），即Q点的坐标为：（﹣，）．故选：A．3．（5分）点A（cos2018°，sin2018°）在直角坐标平面上位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：2018°=5×360°+218°，为第三象限角，∴sin2018°=sin218°＜0，cos2018°=cos218°＜0，∴A在第三象限，故选：C．4．（5分）已知=，=，=，则（）A．A、B、D三点共线B．A、B、C三点共线C．B、C、D三点共线D．A、C、D三点共线【解答】解：=（）+3（）=+5，又=，所以，则与共线，又与有公共点B，所以A、B、D三点共线．故选A．5．（5分）已知扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是1弧度，则该扇形的面积（）A．3 B．2 C．4 D．5【解答】解：∵扇形圆心角1弧度，所以扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=r，故扇形周长C=l+2r=3r=6cm，∴r=2cm扇形面积S=π•r2•=2cm2．故选：B．6．（5分）等边三角形ABC的边长为1，=，=，=，则=（）A．3 B．﹣3 C．D．【解答】解：由题意可得，=∴==﹣故选D7．（5分）设sin（+θ）=，则sin2θ=（）A．﹣ B．﹣ C．D．【解答】解：∵sin（+θ）=，∴（sinθ+cosθ）=，∴两边平方，可得：（1+sin2θ）=，解得：sin2θ=﹣，故选：B．8．（5分）设函数f（x）=|sin（2x+）|，则下列关于函数f（x）的说法中正确的是（）A．f（x）是偶函数B．f（x）最小正周期为πC．f（x）图象关于点（﹣，0）对称D．f（x）在区间[，]上是增函数【解答】解：A．由于f（﹣x）=|sin（﹣2x+）|=|sin（2x﹣）|≠f（x），故A错；B．由于f（x+）=|sin[2（x）+]|=|sin（2x++π）|=|sin（2x+）|=f （x），故f（x）最小正周期为，故B错；C．函数f（x）=|sin（2x+）|的图象可看作由函数f（x）=|sin2x|的图象平移可得，而函数f（x）=|sin2x|的图象无对称中心，如图，故C错；D．由于函数f（x）=|sin2x|的增区间是[]，k∈Z，故函数f（x）的增区间为[]，k∈Z，k=1时即为[，]，故D正确．故选D．9．（5分）函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则只需将f（x）的图象（）A．向右平移个长度单位B．向右平移个长度单位C．向左平移个长度单位D．向左平移个长度单位【解答】解：由已知中函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）的图象，过（，0）点，（）点，易得：A=1，T=4（）=π，即ω=2即f（x）=sin（2x+φ），将（）点代入得：+φ=+2kπ，k∈Z又由∴φ=∴f（x）=sin（2x+），设将函数f（x）的图象向左平移a个单位得到函数g（x）=sin2x的图象，则2（x+a）+=2x解得a=﹣故将函数f（x）的图象向右平移个长度单位得到函数g（x）=sin2x的图象，故选A10．（5分）已知函数的图象过点，若对x∈R恒成立，则ω的最小值为（）A．2 B．10 C．4 D．16【解答】解：函数的图象过点，∴f（0）=sinφ=，∴φ=，∴f（x）=sin（ωx+）；又对x∈R恒成立，∴ω•+=2kπ+，k∈Z，即ω=24k+4，k∈Z，∴ω的最小值为4．故选：C．11．（5分）若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A． B． C．或D．或【解答】解：∵α∈[，π]，β∈[π，]，∴2α∈[，2π]，又0＜sin2α=＜，∴2α∈（，π），即α∈（，），∴β﹣α∈（，），∴cos2α=﹣=﹣；又sin（β﹣α）=，∴β﹣α∈（，π），∴cos（β﹣α）=﹣=﹣，∴cos（α+β）=cos[2α+（β﹣α）]=cos2αcos（β﹣α）﹣sin2αsin（β﹣α）=﹣×（﹣）﹣×=．又α∈（，），β∈[π，]，∴（α+β）∈（，2π），∴α+β=，故选：A．12．（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|t|的最小值为1，则（）A．若θ确定，则||唯一确定B．若||确定，则θ唯一确定C．若θ确定，则||唯一确定D．若θ确定，则θ唯一确定【解答】解：令f（t）=|t|2=t2+2t•+2，∴△=4（•）2﹣4•≤0恒成立，当且仅当t=﹣=﹣cosθ时，f（t）取得最小值1，∴（﹣cosθ）2•+2（﹣cosθ）••+2=1，化简sin2θ=1．∴θ确定，则||唯一确定故选：C二、填空题（本大题共有4个小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知=（1，0），=（1，1），+λ与垂直，则λ的取值为﹣1．【解答】解：∵，∴即∴1+λ=0∴λ=﹣1故答案为﹣114．（5分）=．【解答】解：原式==tan（45°+15°）=tan60°=．故答案为：15．（5分）已知sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）的值为．【解答】解：∵sin（x+）=，则sin（﹣x）﹣cos（2x﹣）=sin[2π﹣（x+）]﹣cos2（x+）﹣π]=﹣sin（x+）+cos2（x+）=﹣sin（x+）+1﹣2=﹣+1﹣=，故答案为：．16．（5分）已知||=||=，且•=1，若点C满足|+|=1，则||的取值范围是[﹣1，+1] ．【解答】解：∵•=1，∴×cos＜＞=1，∴cos＜＞=．∴的夹角为．设，=（，），设=．则==（，），∴||=，∵|+|=1，∴|+﹣|=1，即|﹣|=||=1．∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，∴||的最小值为，||的最大值是+1．故答案为[﹣1，+1]．三、解答题（本大题共有6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）已知tanα=2．（1）求的值；（2）求．【解答】解：（1）∵tanα=2，∴==；（2）===﹣．18．（12分）（1）已知||=3，||=4，的夹角为，求，；（2）已知||=3，=（1，2），且，求的坐标．【解答】解：（1）∵||=3，||=4，的夹角为，∴=||•||•cos=3×4×=6，∴2=||2+||2﹣2•=9+16﹣2×6=13，∴2=，（2）设=（x，y），则x2+y2=9①，由，∴2x=y，②，由①②解得，，或，故的坐标为，19．（12分）已知函数的最大值为3．（1）求常数a的值；（2）求使f（x）＞0成立的x的取值集合．【解答】解：（1）∵=sinxcos﹣cosxsin+sinxcos+cosxsin+cosx+a=2sinxcos+cosx+a==．∴f（x）max=2+a=3，即a=1；（2）由f（x）＞0，得，即．∴，k∈Z．则，k∈Z．∴f（x）＞0成立的x的取值集合为{x|，k∈Z}．20．（12分）已知向量=（m，cos2x），=（sin2x，n），设函数f（x）=•，且y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．（Ⅰ）求m，n的值；（Ⅱ）将y=f（x）的图象向左平移φ（0＜φ＜π）个单位后得到函数y=g（x）的图象．若y=g（x）的图象上各最高点到点（0，3）的距离的最小值为1，求y=g （x）的单调增区间．【解答】解：（Ⅰ）已知：，，则：=msin2x+ncos2x，y=f（x）的图象过点y=f（x）的图象过点（，）和点（，﹣2）．则：解得：，即：m=，n=1（Ⅱ）由（Ⅰ）得：=，f（x）向左平移φ个单位得到：g（x）=2sin（2x+2Φ+），设g（x）的对称轴x=x0，最高点的坐标为：（x0，2）点（0，3）的距离的最小值为1，则：，则：g（0）=2，解得：Φ=，所以：g（x）=2sin（2x+）=2cos2x．令：﹣π+2kπ≤2x≤2kπ（k∈Z）则：单调递增区间为：[]（k∈Z）故答案为：（Ⅰ）m=，n=1（Ⅱ）单调递增区间为：[]（k∈Z）21．（12分）已知函数f（x）的图象是由函数g（x）=cosx的图象经如下变换得到：现将g（x）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，（横坐标不变），再讲所得的图象向右平移个单位长度．（1）求函数f（x）的解析式，并求其图象的对称轴的方程；（2）已知关于x的方程f（x）+g（x）=m在[0，2π]内有两个不同的解α，β，①求实数m的取值范围．②证明：cos（α﹣β）=﹣1．【解答】解：（1）将g（x）=cosx的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）得到y=2cosx的图象，再将y=2cosx的图象向右平移个单位长度后得到y=2cos（x﹣）的图象，故f（x）=2sinx，从而函数f（x）=2sinx图象的对称轴方程为x=kπ+（k∈Z）．（2）①f（x）+g（x）=2sinx+cosx=（sinx+cosx）=sin（x+φ）（其中sinφ=，cosφ=）依题意，sin（x+φ）=在区间[0，2π）内有两个不同的解α，β，当且仅当||＜1，故m的取值范围是（﹣，）．②证明：因为α，β是方程sin（x+φ）=m在区间[0，2π）内的两个不同的解，所以sin（α+φ）=，sin（β+φ）=．当1≤m＜时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=π﹣2（β+φ）；当﹣＜m＜1时，α+β=2（﹣φ），即α﹣β=3π﹣2（β+φ）；所以cos（α﹣β）=﹣cos2（β+φ）=2sin2（β+φ）﹣1=2（）2﹣1=﹣1．22．（12分）设向量=（λ+2，λ2﹣cos2α），=（m，+sinαcosα）其中λ，m，α为实数．（Ⅰ）若α=，且⊥，求m的取值范围；（Ⅱ）若=2，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）α=时，=（λ+2，λ2﹣），=（m，+），由于⊥，则=0，即有（λ+2）m+（）（）=0，即有+mλ+=0对一切λ∈R均有解，当m=﹣时，λ=﹣2成立，当m时，△=m2﹣4××≥0，≤m≤，且m，综上，可得，m的取值范围是[，]；（Ⅱ）=2，则λ+2=2m且=m+2sinαcosα，消去λ，得（2m﹣2）2﹣m=sin2，即有4m2﹣9m+4=2sin（2）∈[﹣2，2]，由﹣2≤4m2﹣9m+4≤2，解得，，则==2﹣∈[﹣6，1]．则有的取值范围是[﹣6，1]．。