湘教版2018八年级(下册)数学第一章直角三角形 全章课件
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∴△CBD为等边三角形.
1 ∴BC=BD= AB. 2
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°， 那么它所对的直角边等于斜边的一半.
思考
1 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，若BC= 2
AB，那么
C
∠A=30°吗？
A
B
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都
在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这
个直角三角形斜边的长度.
c=5 我量得c为5.
B A
c=?
b=4 a=3 C
讨论
在方格纸上，以图中的Rt△ABC的三边为边长分别向外作正
方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面
积S1、S2、S3之间有什么关系呢？
西向东航行到O处时，测得A岛在北偏东60°的方向，且与
轮船相距 30 3 海里.若该船继续保持由西向东的航向，那么
有触礁的危险吗？
分析：取轮船航向所在的直线为OB.过点A
作AD⊥OB，垂足为D.AD长为A岛到轮船航
道的最短距离，若AD大于20海里，则轮船
由西向东航行就不会有触礁危险.
解：在图中，过点A作AD⊥OB，垂足为D，连接AO.
在Rt△AOD中，AO= 30 3 海里，∠AOD=30°，
1 于是 AD AO 2 1 30 3 2 25.98(海里)＞20(海里).
由于AD长大于20海里，所以轮船由西向 东航行不会触礁.
练习
3.如图是某商店营业大厅电梯示意图.电梯AB的倾斜角为30°， 大厅两层之间的高度BC为6m.你能算出电梯AB的长度吗？
湘教版八年级数学下册第一章《直角三角形》优课件
第一章 直角三角形复习
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
知识点回顾
直角三角形：有一个角是直角的三角形
一、直角三角形的性质：
1.直角三角形的两个锐角互余；
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
3.直角三角形中,30O角所对直角边是斜边的一半；
4.直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方； (勾股定理)
熟记以下几组勾股数: 3、4、5； 5、12、13； 7、24、25；8、15、17
A
3
B
1
C
4
E
2
D
例4：如图：AD是△ABC中BC边上的高，E 为AC上一点，BE交AD于F，BF=AC， FD=CD，问BE，AC互相垂直么？请说明 理由
A
FE
B
DC
2．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则 正方形A，B，C，D的面积之和为______4_9____cm2。
3、在Rt△ABC中，∠C=90º，∠A=30º，BC=2ｃｍ， 则AB=_____ｃｍ。
4、在△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，CD⊥AB于D，
AB=a，则DB等于（ ）
a
a
a
（A） （B） （C） （D）以上结果都不对
2
3
4
想一想
5、下图中的三角形是直角三角形,其余是 正方形,求下列图中字母所表示的正方形的 面积.
二、直角三角形的判定：
1.定义：有一个角是直角的三角形是直角三角形
2. 有两个角是互余的三角形是直角三角形 3. 若三角形中，较小两边的平方和等于较大边的平方，
则这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）
三、直角三角形全等的判定：
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定教学课件(新版)湘教版
所以BD=CD.
一般三角
形全等的 判定
SAS
ASA
AAS
SSS
直角三
角形全
等的判 SAS ASA AAS SSS HL
定
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
教学课件
数学 八年级下册 湘教版
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
1.如图，△ABC≌△DEF，指出它们的对应 边、对应角.
AD
BE CF AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A—— ∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠F 2.我们已经学过判定全等三角形的方法有 哪些？
SSS、SAS、ASA、AAS
At△ACB≌Rt△ADB(HL).
D
∴BC=BD(全等三角形的对应
边相等).
3、 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木 桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 解：BD=CD.理由：因为 ∠ADB=∠ADC=90°. 所以在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，AD=AD， 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
E
D
∵BC=CB,BE=CD,
B
C
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
1、如图，AB=CD ， BF⊥AC ， DE⊥AC ， AE=CF. 求证：BF=DE.
B
F
A
EG
C
D
2、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条
件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
直角三角形全等的判定
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直 角边”或“HL” ）.
一般三角
形全等的 判定
SAS
ASA
AAS
SSS
直角三
角形全
等的判 SAS ASA AAS SSS HL
定
灵活运用各种方法证明直角三角形全等.
教学课件
数学 八年级下册 湘教版
第1章 直角三角形
1.3 直角三角形全等的判定
1.如图，△ABC≌△DEF，指出它们的对应 边、对应角.
AD
BE CF AB——DE，AC——DF，BC——EF，∠A—— ∠D，∠B——∠DEF，∠ACB——∠F 2.我们已经学过判定全等三角形的方法有 哪些？
SSS、SAS、ASA、AAS
At△ACB≌Rt△ADB(HL).
D
∴BC=BD(全等三角形的对应
边相等).
3、 如图，两根长度为12米的绳子，一端系在旗杆 上，另一端分别固定在地面两个木桩上，两个木 桩离旗杆底部的距离相等吗？请说明你的理由. 解：BD=CD.理由：因为 ∠ADB=∠ADC=90°. 所以在Rt△ABD和Rt△ACD中， AB=AC，AD=AD， 所以Rt△ABD≌Rt△ACD(HL).
E
D
∵BC=CB,BE=CD,
B
C
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
1、如图，AB=CD ， BF⊥AC ， DE⊥AC ， AE=CF. 求证：BF=DE.
B
F
A
EG
C
D
2、 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条
件标注在图中，你能说明BC与BD相等吗？
解：在Rt△ACB和Rt△ADB中,
直角三角形全等的判定
斜边、直角边定理 斜边和一条直角边对应相等 的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边、直 角边”或“HL” ）.
湘教版数学八年级下册(图片版)课件：第1章 直角三角形1.3
如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知 AB=A′B′，AC=A′C′，∠ACB=∠A′C′B′=90°，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
那么Rt△ABC和Rt△A′B′C′全等吗？
推导如下： 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中， ∵AB=A′B′，AC=A′C′，
由以上推理我们可以得到直角 三角形全等的判定方法：
斜边、直角边定理：斜边和一条直 根据勾股定理，BC2=AB2-AC2， 角边对应相等的两个直角三角形全 等（可以简写成“斜边、直角边” B′C′2=A′B′2-A′C′2，∴BC=B′C′ 或“HL”）. ∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′.
分析：欲证BC=AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角 形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，O为DB、 AC的交点，经过条件的分析，△ABD和△BAC具备全等的 条件.
1.使学生理解判定两个直角三角形全等可用已经学过的全等三 角形判定方法来判定. 2.使学生掌握“斜边、直角边”定理，并能熟练地利用这个定 理和一般三角形全等的判定方法来判定两个直角三角形全等.指导 学生自己动手，发现问题，探索解决问题(发现探索法).由于直角 三角形是特殊的三角形，因而它还具备一般三角形所没有的特殊性 质.因为这是第一次涉及特殊三角形的特殊性，所以教学时要注意 渗透由一般到特殊的数学思想，从而体现由一般到特殊处理问题的 思想方法.
分析：要证明 OB=OC，在同 一个三角形中， 只需要证明它们 所对的两个角相 等即可.
我们有五种判定三角形全等的方法： 1.边边边（SSS） 2.边角边（SAS） 3.角边角（ASA） 4.角角边（AAS）
5.HL（仅用在直角三角形中）
八年级数学下册第1章直角三角形1.3直角三角形全等的判定教学课件新版湘教版
【解析】选D.在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、 △DBC都和△ABC全等，又∠ABC=∠DCE=90°， DE∥AC,所以∠DEC=∠ACB;又AB=DC,所以 △DCE也和△ABC全等．
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图
中，你能说明BC与BD相等吗？ C
【解析】在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
D
B
F C
2. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一 端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离 相等吗？请说明你的理由.
【解析】BD=CD. ∵∠ADB=∠ADC=90°, AB=AC， AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴ BD=CD.
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过 点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三 角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
F C
E
D
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.
A
C1
B1
C
B
A1
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角.(ASA)或(AAS)
∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
【跟踪训练】
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
B
A
E
F
C
D
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
2. 如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图
中，你能说明BC与BD相等吗？ C
【解析】在Rt△ACB和Rt△ADB中,则
D
B
F C
2. 如图，两根长度为12 m的绳子，一端系在旗杆上，另一 端分别固定在地面两个木桩上，两个木桩离旗杆底部的距离 相等吗？请说明你的理由.
【解析】BD=CD. ∵∠ADB=∠ADC=90°, AB=AC， AD=AD， ∴Rt△ABD≌Rt△ACD(HL)， ∴ BD=CD.
1.（温州·中考）如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，过 点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三 角形共有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
F C
E
D
如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员 想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一 条直角边被花盆遮住无法测量.
A
C1
B1
C
B
A1
（1）你能帮他想个办法吗？
方法一：测量斜边和一个对应的锐角. (AAS)
方法二：测量没遮住的一条直角边和一个对应的锐 角.(ASA)或(AAS)
∵ ∠DEF+∠DFE=90°, ∴∠ABC+∠DFE=90°.
【跟踪训练】
1.如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
B
A
E
F
C
D
【证明】在Rt△ABF和Rt△CDE中,
湘教版八年级下册数学第一章直角三角形复习课件
正弦、余弦函数值在0到1之间，正切函数 值可正可负，且随着角度的增大而增大或减 小。
特殊角度下三角函数值记忆方法
30°、45°、60°等特殊角度的三 角函数值可通过几何图形或三角
函数表进行记忆。
利用三角函数之间的互相关系， 如tanA=sinA/cosA，可以通过 已知函数值推导出其他函数值。
制作三角函数卡片或表格，方便 随时查阅和记忆。
分类
按边长可分为普通直角三角形和 等腰直角三角形，其中等腰直角 三角形两腰相等。
直角三角形边与角关系
边长关系
对于直角三角形，满足勾股定理，即两直角边的平方和等于 斜边的平方。
角度关系
直角三角形两锐角互余，且满足三角函数的定义和性质。
勾股定理及其应用
勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和 等于斜边的平方。
05 复习策略与备考建议
重点知识点回顾与总结
直角三角形的定义和性质
01
直角三角形是一个角为90度的三角形，它具有一些特殊的性质
和定理，如勾股定理等。
直角三角形的边角关系
02
在直角三角形中，角度和边长之间有一定的关系，如正弦、余
弦、正切等三角函数。
直角三角形的判定方法
03
通过给定的条件，如角度、边长等，可以判定一个三角形是否
湘教版八年级下册数学第一章直角 三角形复习课件
目 录
• 直角三角形基本概念与性质 • 直角三角形中的函数关系 • 解直角三角形方法技巧总结 • 直角三角形在几何证明题中应用 • 复习策略与备考建议
01 直角三角形基本概念与性 质
直角三角形定义及分类
定义
有一个角为90度的三角形称为直 角三角形。
构造直角三角形
湘教版八年级数学下册教学课件(XJ) 第1章 直角三角形 第2课时 勾股定理的实际应用
解：(1)在Rt△ ABC中，
A
别踩我,我怕疼!
C 根据勾股定理得
AB 32 42 5米，
∴这条“径路”的长为5米. （2）他们仅仅少走了
(3+4-5)×2=4(步). B
二 利用勾股定理求最短距离
问题 在A点的小狗，为了尽快吃到B点的香肠，它选择A 不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
问题 观看下面同一根长竹竿以三种不同的方式进门的情况，并结合曾 小贤和胡一菲的做法，对于长竹竿进门之类的问题你有什么启发？
这个跟我们学的勾股 定理有关，将实际问 题转化为数学问题
典例精析 例1 一个门框的尺寸如图所示，一块长3m,宽2.2m的长方形薄木板能
否从门框内通过?为什么?
分析：可以看出木板横着，竖着都不能通过，
A A
B
解：台阶的展开图如图，连接AB.
在Rt△ABC中，根据勾股定理得
C
B
AB2=BC2＋AC2＝552＋482＝5329,
∴AB=73cm.
能力提升： 5. 为筹备迎新晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然 后缠绕红色油纸，如图.已知圆筒的高为108cm，其横截面周长为36cm， 如果在表面均匀缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸？
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面6米处断裂， 树的顶部落在离树根底部8米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
6 米
8米
A
6 米
C
8米
解：根据题意可以构建一直角三角
形模型，如图.
在Rt△ABC中，
AC=6米，BC=8米，
由勾股定理得
AB AC2 BC2
62 82
B
AB32= 62 +（10+8）2 =360， B2 ∴AB1＜AB2＜AB3.
湘教版数学八年级下册(图片版)课件：第1章 直角三角形1.1-2
AB. ∴ BC BD= 1 2
在直角三角形中，如 果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜 边的一半.
动脑筋
如图 ，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如 果 BC = 1 AB ，那么∠A=30°吗？ 2
如图 ，取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， 则有 CD 1 AB BD. 2 又已知 BC 1 AB ， 2 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形. 所以∠B=60°. 又∠A+∠B=90°， 所以∠A=30°.
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢?
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
AB BD. ∴ CD 1 2
∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∴ △BDC为等边三角形.
求证：FC=2BF.
分析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到
△AFB为等腰三角形.又∠B=∠C=∠BAF=30°，这样可求得∠FAC=90°.取CF中点M， 连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行说明.
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：如图，在△ABC中，AB=AC=2，
∠B=15°.
求等腰三角形ABC腰上的高的长.
分析：△ABC为钝角三角形，先要准确地作出高CD，并为用30°的直角三角形的性
质创造了条件.
分析：由AM平分∠BAC及∠BAC=60°这两个条件，易得∠B=∠CAM=∠BAM=30°，
从而有BM=AM=15cm.在Rt△ACM中，易得CM=1/2AM=7.5（cm）.故可由BM、CM的长求 出BC的长.
在直角三角形中，如 果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜 边的一半.
动脑筋
如图 ，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，如 果 BC = 1 AB ，那么∠A=30°吗？ 2
如图 ，取线段AB的中点D，连结CD， 即CD为Rt△ABC斜边上的中线， 则有 CD 1 AB BD. 2 又已知 BC 1 AB ， 2 所以CD=BD=BC，即△BDC为等边三角形. 所以∠B=60°. 又∠A+∠B=90°， 所以∠A=30°.
动脑筋
如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°， 如果∠A=30°，那么直角边BC与斜边AB 有什么关系呢?
如图，取线段AB的中点D，连接CD.
∵ CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
AB BD. ∴ CD 1 2
∵ ∠BCA=90°，且∠A=30°， ∴ ∠B=60°. ∴ △BDC为等边三角形.
求证：FC=2BF.
分析：根据EF是AB的垂直平分线，联想到垂直平分线的性质，因此连接AF，得到
△AFB为等腰三角形.又∠B=∠C=∠BAF=30°，这样可求得∠FAC=90°.取CF中点M， 连接AM，就可以利用直角三角形的性质进行说明.
ห้องสมุดไป่ตู้
例3：如图，在△ABC中，AB=AC=2，
∠B=15°.
求等腰三角形ABC腰上的高的长.
分析：△ABC为钝角三角形，先要准确地作出高CD，并为用30°的直角三角形的性
质创造了条件.
分析：由AM平分∠BAC及∠BAC=60°这两个条件，易得∠B=∠CAM=∠BAM=30°，
从而有BM=AM=15cm.在Rt△ACM中，易得CM=1/2AM=7.5（cm）.故可由BM、CM的长求 出BC的长.
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第1章 直角三角形 第1课时 角平分线的性质定理
E
10
6
DC = DE，DB = DB，
D
∴Rt△CDB≌Rt△EDB(HL)，
B
∴BE ＝ BC ＝ 8. ∴ AE＝AB - BE = 2.
8
C
∴△AED的周长 = AE + ED + DA = 2 + 6 = 8.
6.如图，已知 AD∥BC，P 是∠BAD与 ∠ABC的平分线的交 点，PE⊥AB 于 E，且PE = 3，求 AD 与BC 之间的距离.
解：过点 P 作MN⊥AD 于点 M，交 BC 于点 N. ∵ AD∥BC， ∴ MN⊥BC，MN 为 AD 与 BC 之间的距离. ∵ AP 平分∠BAD，PM⊥AD，PE⊥AB， ∴ PM = PE. 同理，PN = PE. ∴ PM = PN = PE =3. ∴ MN = 6. 即 AD 与 BC 之间的距离为 6.
PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E.
A
求证：PD = PE.
D
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO = ∠PEO = 90°.
C P
在 △PDO 和 △PEO 中，
O
E
B
∠PDO = ∠PEO，
∠DOP = ∠EOP， OP = OP，
∴ △PDO≌△PEO(AAS). ∴ PD = PE.
作 PD⊥OA，PE ⊥OB，点 D，E 为垂足，测量 PD、
PE 的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
D AC P
第一次 第二次
O
EB
第三次
2. 观察测量结果，猜想线段 PD 与 PE 的大小关系，
写出结：_P_D__=__P_E___
验证猜想 角的平分线上的点到角的两边的距离相等
湘教版数学八年级下册(图片版)课件：第1章 直角三角形1.4-2
点拨：面积法是 求三角形角平分 线的交点到各边 距离的常用方法 之一.
分析：因为已知、求证中都没有具体说明哪些线段的长是距离，而证明它们相等必须标出 它们.所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理.如果已知中写明点P到三边的距离 是哪些线段的长，那么图中画实线，在证明中就可以不写.
Байду номын сангаас
归纳：三角
形的三条角 平分线相交 于一点.
点拨：在几何里，如果证明的过程完全一样，只是字母不同，可以用“同理”二字概 括，省略详细证明过程.
湘教版数学八年级下册(图片版)课件：第1章 直角三角形1.4-1
小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论.从实践中可知： 角平分线上的点到角的两边距离相等，将条件和结论互换：角的 内部到角的两边的距离相等的点也在角的平分线上.
证明如下： 已知：平面上有∠AOB，PD⊥OA， PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上. 证明：经过点P作射线OC. ∵PD⊥OA，PE⊥OB ∴∠PDO=∠PEO=90° 在Rt△PDO和Rt△PEO中，OP=OP PD=PE， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（HL） ∴∠AOC=∠BOC， ∴OC是∠AOB的平分线.
【归纳】角的内
部到角的两边的 距离相等的点在 角的平分线上.
议一议：下图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，
BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边 放下，沿AC画一条射线AE，AE就是角平分线.你能说 明它的道理吗？
要说明AC是∠DAB的平分线，其实就是证明∠CAD，那么证明这两个三角形全等就可 以了.看看条件够不够.
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三角形顶点与对边中点的连线段。 这节课我们一起探索直角三角形的判定与性质。
说一说： 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少 度呢？ A 在RT△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内 角和定理，可得： ∠A+∠ B=90 ° B 由此得到：直角三角形的两个锐角互余。 C
议 一议
如图在△ABC中，如果∠A+∠ B=90 °，△ABC是直 角三角形吗? 由∠A+∠ B=90 °和∠A+∠ B+∠C=180°，解得 A ∠C=90 °，因此△ABC是直角三角形。
例2：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁， 一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60° 的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示。该船如 3 果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
提问：A岛可以看
成一个点，轮船航 行的路线可以看成 一条线。点到线的 距离，什么最短？
北 A
30 3
A
分析：
B
30°
30°
D
30°
C
BC=BD+CD=6 cm
CD=A D
4、如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙
三家农户去种植。如果∠ C=90 ° ， ∠ B=30 ° ， 要 使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着 分一分，在图上画出来。
A
C
B
1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
C 如图，取线段AB的中点D，连接CD ∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线 ∴CD=1 AB=BD B 2
∵∠BCA=90°。且∠A=30° ∴∠B=60° ∴△CBD是等边三角形
1 ∴BC=BD= AB 2
D
A
归纳小结
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一ຫໍສະໝຸດ ，那么这条直角边所对的角等于30°。
直角三角形的性质 ： 1、直角三角形的两锐角互余。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形。
第 1章
1、直角三角形的两个锐角（ 互余 ）。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的（一半 ）
3、有两个角（ 互余 ）的三角形是直角三角形。
在Rt △ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么 BC与斜边AB有什么关系呢？ C 30 °
60° 东
O
D
B
1．如图1，Rt⊿ABC中,∠C=90°,∠A=30°, D 是斜边AB的中点，连结CD，图中有哪几条线段 相等？ 2.如图，在⊿ABC中， ∠CBA=90°, D是AC的 中点,AB=3 ,∠CBD=30°，求AC的长。
A C D C B B 30 D
图2
图1
A
3、如图：已知△ABC中，AB=AC， ∠C=30°， AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长.
C O
D.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD
B A
D
2.若一个三角形的三内角之比为2:1:1，则该三角形是（等腰直角 三角形） 3.△ABC中，∠A= ∠ B= 40°， ∠C=
1 ∠B,∠B= 2
1 ∠C,∠A= 3
，
20°
120°
4、在RT△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边 AB的长是多少？
图1-1
图1-2
看某发 看种现 你数朋 能量友 发关家 现系用 什，砖 么同铺 ？学成 们的 ，地 我面 们反 也映 来直 观角 察三 下角 面形 的三 图边 案的 ，
相 传 25 00 年 前 ， 一 次 毕 达 哥 拉 斯 去 朋 友 家 作 客 ，
（1）观察图2-1
C A B
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是
∴∠1=∠A，∠2=∠B ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180° ∴2（∠A+∠B）=180° ∴∠A+∠B=90° ∴△ABC是直角三角形。
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ C ） A.一定有∠A=∠C B.只要有一边相等就有△ABO≌ △CDO C.只要再给一个条件就能得到△ABO≌ △CDO
B 分析：1.辅助线的常用作法有 ：
A
作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线， 作 相等的角等等。
2、你打算怎样作辅助线？
解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为 Rt△ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等 的线段？ C CD=BD=AD B D 2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？ ∠B=60° 3. △CBD是什么三 角形? 30 A
1.1 直角三角形的性质与判定（1）（2课时） 1.2 直角三角形的性质与判定（2）（3课时） 1.3 直角三角形全等的判定（1课时）
1.4 角平分线的性质（2课时）
第1章 直角三角形 小结与复习（1课时）
第 1章
1.直角三角形的定义
有一个是直角的三角形叫直角三角形。 2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°。 3.三角形中线的定义
等边三角形
现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推 理过程吗？
小结归纳
C B
性质定理：
D
30
A
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半。
问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍
然成立吗？
1 如图，在Rt⊿ABC中，如果BC= AB，那么∠A 2 等于多少？
B
C
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一 量比较各线段的长度。你能猜出什么结论？
我们发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1
如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且
1 CD= AB，求证：△ABC是直角三角形。 2
1 证明：∵CD= AB=AD=BD 2
2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
第 1章
三角形的面积计算公式是什么？ 三角形的面积=底×高÷2
a
b c
1 S= ab 2
我国古代把直角三角形中较短 的直角边称为勾，较长的直角边称 为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦 图”，最早是由三国时期的数学家 赵爽在为《周髀算经》作法时给出 的. 图1-2是在北京召开的2002年国 际数学家大会（TCM－2002）的会 标，其图案正是“弦图”，它标志 着中国古代的数学成就.
说一说： 如图在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少 度呢？ A 在RT△ABC中，因为∠C=90°，由三角形内 角和定理，可得： ∠A+∠ B=90 ° B 由此得到：直角三角形的两个锐角互余。 C
议 一议
如图在△ABC中，如果∠A+∠ B=90 °，△ABC是直 角三角形吗? 由∠A+∠ B=90 °和∠A+∠ B+∠C=180°，解得 A ∠C=90 °，因此△ABC是直角三角形。
例2：在A岛周围20海里（1海里=1852m）水域内有暗礁， 一轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东60° 的方向，且与轮船相距 30 海里，如图所示。该船如 3 果保持航行不变，有触暗礁的危险吗？
提问：A岛可以看
成一个点，轮船航 行的路线可以看成 一条线。点到线的 距离，什么最短？
北 A
30 3
A
分析：
B
30°
30°
D
30°
C
BC=BD+CD=6 cm
CD=A D
4、如图，要把一块三角形的土地均匀分给甲、乙、丙
三家农户去种植。如果∠ C=90 ° ， ∠ B=30 ° ， 要 使这三家农户所得土地的大小、形状都相同，请你试着 分一分，在图上画出来。
A
C
B
1.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半。
C 如图，取线段AB的中点D，连接CD ∵CD是RT△ABC斜边AB上的中线 ∴CD=1 AB=BD B 2
∵∠BCA=90°。且∠A=30° ∴∠B=60° ∴△CBD是等边三角形
1 ∴BC=BD= AB 2
D
A
归纳小结
在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一ຫໍສະໝຸດ ，那么这条直角边所对的角等于30°。
直角三角形的性质 ： 1、直角三角形的两锐角互余。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 直角三角形的判定： 有两个角互余的三角形是直角三角形。
第 1章
1、直角三角形的两个锐角（ 互余 ）。 2、直角三角形斜边上的中线等于斜边的（一半 ）
3、有两个角（ 互余 ）的三角形是直角三角形。
在Rt △ABC中，∠BCA=90°,如果∠A=30°，那么 BC与斜边AB有什么关系呢？ C 30 °
60° 东
O
D
B
1．如图1，Rt⊿ABC中,∠C=90°,∠A=30°, D 是斜边AB的中点，连结CD，图中有哪几条线段 相等？ 2.如图，在⊿ABC中， ∠CBA=90°, D是AC的 中点,AB=3 ,∠CBD=30°，求AC的长。
A C D C B B 30 D
图2
图1
A
3、如图：已知△ABC中，AB=AC， ∠C=30°， AB⊥AD，AD=2cm，求BC的长.
C O
D.有OA=OC或OB=OD,就有AB=CD
B A
D
2.若一个三角形的三内角之比为2:1:1，则该三角形是（等腰直角 三角形） 3.△ABC中，∠A= ∠ B= 40°， ∠C=
1 ∠B,∠B= 2
1 ∠C,∠A= 3
，
20°
120°
4、在RT△ABC中，斜边上的中线CD=2.5cm，则斜边 AB的长是多少？
图1-1
图1-2
看某发 看种现 你数朋 能量友 发关家 现系用 什，砖 么同铺 ？学成 们的 ，地 我面 们反 也映 来直 观角 察三 下角 面形 的三 图边 案的 ，
相 传 25 00 年 前 ， 一 次 毕 达 哥 拉 斯 去 朋 友 家 作 客 ，
（1）观察图2-1
C A B
正方形A中含有 9 个 小方格，即A的面积是 9 个单位面积。 正方形B的面积是
∴∠1=∠A，∠2=∠B ∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠ACB=∠1+∠2， ∴∠A+∠B+∠1+∠2=180° ∴2（∠A+∠B）=180° ∴∠A+∠B=90° ∴△ABC是直角三角形。
1.如图，AB ⊥DB,CD ⊥DB,下列说法错误的是（ C ） A.一定有∠A=∠C B.只要有一边相等就有△ABO≌ △CDO C.只要再给一个条件就能得到△ABO≌ △CDO
B 分析：1.辅助线的常用作法有 ：
A
作平行线、中线、垂线、角平分线、延长线， 作 相等的角等等。
2、你打算怎样作辅助线？
解法：1.取线段AB的中点D，连接CD，即CD为 Rt△ABC斜边AB上的中线，则可得到哪些相等 的线段？ C CD=BD=AD B D 2.由∠A=30°可知∠B等于多少度？ ∠B=60° 3. △CBD是什么三 角形? 30 A
1.1 直角三角形的性质与判定（1）（2课时） 1.2 直角三角形的性质与判定（2）（3课时） 1.3 直角三角形全等的判定（1课时）
1.4 角平分线的性质（2课时）
第1章 直角三角形 小结与复习（1课时）
第 1章
1.直角三角形的定义
有一个是直角的三角形叫直角三角形。 2.三角形内角和的性质 三角形内角和等于180°。 3.三角形中线的定义
等边三角形
现在你能说出直角边BC与斜边AB的关系，并写出推 理过程吗？
小结归纳
C B
性质定理：
D
30
A
在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一 半。
问题：试着把上述性质的条件与结论调换，仍
然成立吗？
1 如图，在Rt⊿ABC中，如果BC= AB，那么∠A 2 等于多少？
B
C
定理：有两个角互余的三角形是直角三角形。
画一个直角三角形，并作出斜边上的中线，量一 量比较各线段的长度。你能猜出什么结论？
我们发现：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
例1
如图，已知CD是△ABC的AB边上的中线，且
1 CD= AB，求证：△ABC是直角三角形。 2
1 证明：∵CD= AB=AD=BD 2
2.在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的 一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
第 1章
三角形的面积计算公式是什么？ 三角形的面积=底×高÷2
a
b c
1 S= ab 2
我国古代把直角三角形中较短 的直角边称为勾，较长的直角边称 为股，斜边称为弦.图1-1称为“弦 图”，最早是由三国时期的数学家 赵爽在为《周髀算经》作法时给出 的. 图1-2是在北京召开的2002年国 际数学家大会（TCM－2002）的会 标，其图案正是“弦图”，它标志 着中国古代的数学成就.