矩阵
矩阵的知识点总结
矩阵的知识点总结一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个由数字排成的矩形阵列。
它由m行n列的数域（通常是实数域或复数域）中的元素所组成，用A=(aij)m×n表示。
1.2 矩阵的分类按行、列的数量可以将矩阵分为行矩阵、列矩阵和方阵；按元素的类型可以分为实矩阵和复矩阵。
1.3 矩阵的转置矩阵A的转置记作A^T，其中A^T的行数等于A的列数，A^T的列数等于A的行数。
1.4 矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行的最大数目。
二、性质2.1 矩阵的加法性质设A、B是同一维数的矩阵，则它们的和A+B也是同一维数的矩阵，它的元素是A和B 对应元素的和。
2.2 矩阵的数乘性质设A是m×n的矩阵，k是数，则kA是m×n的矩阵，它的元素是k与A中对应元素的乘积。
2.3 矩阵的乘法性质设A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么它们的乘积AB是m×p的矩阵。
2.4 矩阵的逆若存在一个矩阵B，使得AB=BA=I，其中I是单位矩阵，则称B是A的逆矩阵，记作A^-1。
2.5 矩阵的行列式对于n阶方阵A，其行列式是一个标量，通常用det(A)或|A|表示，代表了矩阵A的某种代数性质。
三、运算3.1 矩阵的加法设A=(aij)m×n，B=(bij)m×n，那么A+B=(aij+bij)m×n。
3.2 矩阵的数乘设A=(aij)m×n，k是数，则kA=(kaij)m×n。
3.3 矩阵的乘法设A=(aij)m×n，B=(bij)n×p，那么AB=(cij)m×p，其中cij=∑(k=1→n)aij*bkj。
3.4 矩阵的转置对于n×m的矩阵A，它的转置矩阵是m×n的矩阵，且满足(a^T)ij=aji。
四、特殊矩阵4.1 方阵每个元素是一个标量的矩阵，其中行数和列数相等。
4.2 零矩阵所有元素都是零的矩阵。
矩阵知识点完整归纳
矩阵知识点完整归纳矩阵是大学数学中比较重要和基础的概念之一，具有广泛的应用领域，例如线性代数、微积分、计算机科学等。
本文将全面归纳和总结矩阵的基本概念、性质以及相关应用，旨在帮助读者更好地理解和掌握矩阵知识。
一、基本概念1.矩阵的定义矩阵是由一个$m\times n$ 的矩形阵列（数组）表示的数表，其中$m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数。
如下所示：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{bmatrix}$$其中，$a_{ij}$ 表示矩阵的第$i$ 行、第$j$ 列元素。
2.矩阵的分类矩阵根据其元素的性质可以分为不同类型，主要有以下几种：（1）行矩阵（行向量）：只有一行的矩阵，例如$[a_1,a_2,\cdots,a_n]$。
（2）列矩阵（列向量）：只有一列的矩阵，例如$\begin{bmatrix}a_1\\\ a_2\\\ \vdots\\\ a_m\end{bmatrix}$。
（3）方阵：行数等于列数的矩阵，例如$A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\\ 4 & 5 & 6\\\ 7 & 8 & 9\end{bmatrix}$。
（4）零矩阵：所有元素都为$0$ 的矩阵，例如$\begin{bmatrix}0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\\\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$。
矩阵知识点总结大学
矩阵知识点总结大学一、基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是指一个按照矩形排列的数字元素集合。
一般地，矩阵用符号“A”、“B”、“C”等来表示，其中每个元素用小写字母加标记来表示其位置，如a_ij表示矩阵A的第i行第j列的元素。
矩阵A的元素一般用a_ij来表示，其中i表示元素所在的行数，j表示元素所在的列数。
如下所示：A = [a_11, a_12, ..., a_1n][a_21, a_22, ..., a_2n][..., ..., ..., ...][a_m1, a_m2, ..., a_mn]矩阵的大小一般用m×n来表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的元素一般用小写字母a、b、c、d等来表示。
1.2 特殊矩阵⑴方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
n阶方阵指的是行数和列数均为n的方阵。
⑵零矩阵：所有元素都为0的矩阵称为零矩阵，通常用0表示。
⑶单位矩阵：对角线上的元素全为1，其他元素均为0的方阵称为单位矩阵，通常用I表示。
⑷对角矩阵：除了对角线上的元素外，其他元素均为0的矩阵称为对角矩阵。
1.3 矩阵的运算规则矩阵的运算包括加法、乘法和数乘三种，具体规则如下：⑴矩阵的加法：若A、B是同型矩阵，则它们的和记为A+B，定义为A+B=[a_ij+b_ij]，其中a_ij和b_ij分别是A和B对应位置的元素。
⑵矩阵的数乘：若A是一个矩阵，k是一个数，则它们的数乘记为kA，定义为kA=[ka_ij]，其中a_ij是A的元素。
⑶矩阵的乘法：若A是一个m×n的矩阵，B是一个n×p的矩阵，则它们的乘积记为A·B，定义为A·B=C，其中C是一个m×p的矩阵，其中C的第i行第j列的元素c_ij等于A的第i行和B的第j列对应元素的乘积的和。
1.4 矩阵的转置若A是一个m×n的矩阵，其转置记作A^T，定义为A^T=[a_ji]，其中a_ji表示A的第i 行第j列的元素。
2.1 矩阵的概念
与另外 m 个变量
P29 例3
之间存在如下的线性关系：
线性变换的系数可构成矩阵
A ( a ij ) m n .
线性变换和矩阵之间存在着一一对应关系.
16
§2.1 矩阵的概念 第 附：图像举例 二 章 矩 阵
30 33 37 40 48 58 53 52 65 64 71 69 62 68 76 67 74 86 88 70 58 48 37 33
a a 0 (?) aI a n n
0
11
§2.1 矩阵的概念 第 三、几种特殊的矩阵 二 章 3. 方阵 (1) 单位矩阵 矩 (2) 数量矩阵 阵 (3) 对角矩阵
1
2
0
0
记为 Λ diag ( 1 , 2 , , n ) . n n n
a11 a12 a 21 a 22 (A b) am1 am 2 a1 n a2 n am n b1 b2 bm
称为方程组的增广矩阵. 15
§2.1 矩阵的概念 第 例 二 章 矩 阵 线性变换是指 n 个变量
数表内部 进行操作
4
§2.1 矩阵的概念 第 二、矩阵的定义与一些基本概念 二 1. 矩阵的定义 章 定义 由 m×n 个数 ai j 排成的 m 行 n 列的数表 矩 阵 P26
定义 2.1 记为
A 或者
Am n
称为 m×n 阶矩阵，简记为 A
(a i j )mn
或
(a i j ) .
5
补
数表
第2章 矩阵及其运算
第二章 矩阵及其运算一、矩阵的概念与几类特殊方阵（一）矩阵及相关概念1.矩阵阶方阵阶矩阵或是，则称若或矩阵，简记称为列的表格行排成的个数n n A n m a A n m a a a a a a a a a n m a n m n m ij mn m m n n ij =⨯⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⨯⨯,)( (21)2222111211 2.0矩阵00，则称为零矩阵，记作中所有元素而都是如果矩阵A3.同型矩阵是同型矩阵与则称中如果，矩阵B A t n s m b B a A t s ij n m ij ,,,)(,)(====⨯⨯4.矩阵相等即对应的元素都相等同型矩阵),,(j i b a B A ij ij ∀=⇔= 1. 方阵的行列式 阶行列式其元素可构造对于方阵n a A ij )(=B A B A a a a a a a a a a A nnn n n n ≠≠=得不到由,.............. (2122221)11211(二)几类特殊方阵1.单位矩阵 主对角线上的运算全是1，其余元素均为0的n 阶段方阵，称为n 阶单位矩阵，记为E E A A AE EA ===0;2.对称矩阵),(,j i a a A A n A ji ij T ∀==即阶矩阵，如是设3.反对称矩阵对称矩阵反不一定是对称矩阵，但反也是对称矩阵，则反是同阶的若，即阶矩阵，如是设)()(,,)(,0),(-,-AB A B A B A B A a j i a a A A n A ii ji ij T λ-+=∀==4.对角矩阵 、积仍然是对角矩阵同阶的对角矩阵的和差，对角矩阵记为阶矩阵，如是设Λ≠∀≡)(0j i a n A ij5.逆矩阵 1,-==AA AB A E BA AB B n n A 记为的逆矩阵唯一的逆矩阵，是是可逆矩阵，，则称使阶矩阵阶矩阵，如存在是设6.正交矩阵T T T A A A E A A AA n A ===-1,是正交矩阵，则称阶矩阵，如是设7.伴随矩阵*=A A A A A A A A A A A n A a A n a A nn n n n n ij ij ij 的伴随矩阵，记为，称为阶矩阵所构成的的代数余子式的各元素阶矩阵，则由行列式是设....................)(212221212111二、矩阵的运算（一）矩阵的线性运算1.矩阵的加法CB A B A b a cC n m n m b B a A ij ij ij ij ij =++==⨯⨯==的和称为矩阵矩阵矩阵，则是两个设,)()()(),(2.矩阵的数乘kAA k b a ka n m k n m a A ij ij ij ij 记为的数乘，与矩阵称为数矩阵是一个常数，则矩阵，是设)()()(+=⨯⨯=3.矩阵的乘法nb r A r B Ax B AB A E A A A A B AB BA AB B A BA AB ABC B A b a b a b a b a c c C s m s n b B a A nk kj ik nj in j i j i ij ij ij ij ≤+≠======≠==≠==+++==⨯⨯==∑=)()(,00,0;0,;00,0)2(,)1(,...)()(),(212211则齐次方程组有非零解的解，若程中的每一列都是其次方应联想到或不能堆出，不能退出时，才能运算可交换即与只有换律矩阵的乘法一般没有交的乘积，记为与称为其中矩阵矩阵，则是两个设 ，命题成立矩阵，秩序是若不能退出的列数，则，且若可逆，则，且矩阵若立：以下两种情况消去率成，对于矩阵乘以不具有消去律n A r n m A C B A AC AB B A A r AB B A AB A AB =⨯=≠======≠=)(,,0,)3(0)(000),0(0（二）关于逆矩阵的运算规律A A =--11))(1( 111))(2(--=A k kA 111))(3(---=AB AB 11)())(4(--=T T A A 11)5(--=A A n n A A )())(6(11--=(三)关于矩阵转置的运算规律 A A T T =))(1( T T kA kA =))(2( T T T A B AB =))(3(T T T B A B A +=+))(4(（四）关于伴随矩阵的运算规律E A AA A A ==**)1( )2()2(1≥=-*n A A n )2())(3(2≥=-**n A A A n*-*=A k kA n 1))(4( **=)())(5(T T A A1)(,0)(;1)(,1)(;)(,)()6(-=-====***n A r A r n A r A r n A r n A r111-1-,)()(,1)()7(-**-**===A A A A A A AA A 可逆，则若（五）关于分块矩阵的运算法则⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡4433221143214321)1(B A B A B A B A B B B B A A A A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡DW CY DZ CX BW AY BZ AX W Z Y X D C B A )2( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡T T T T T D BC AD C B A )3( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡n n n C OO B C O O B )4( ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--O BC O O C B O C O O B C O O B 111-1-1-1-)4(，三、矩阵可逆的充分必要条件.8,.70.6)(.5,.4)(.30.2.121的特征值全不为总有唯一解非齐次方程组只有零解齐次方程组向量线性无关行的列是初等矩阵其中，有阶方阵存在可逆，等价于阶方阵A b Ax b Ax A P P P P A nA r A EBA AB B n A n i s =∀=⋅⋅⋅==≠==四、矩阵的初等变换与初等矩阵（一）矩阵的初等变换及相关概念1.矩阵的初等变换下述三种对矩阵的行列实施的变换称为矩阵的初等行列变换（1） 对调矩阵的两行列（2） 用非零常数k 乘以某行列中所有元素（3） 把矩阵某行列所有元素的k 倍加至另一行列对应的元素上去（4） 求秩（行列变换可混用）；求逆矩阵（只用行或只用列）；求线性方程组的解（只用行变换）（5） 不要混淆矩阵的运算2.行阶梯形矩阵与行最简形矩阵（1）具体如下特征的矩阵称为行阶梯形矩阵①零行（即元素全为零的行）全都位于非零行的下方②各非零行坐起第一个非零元素的列指标由上至下是严格增大（2）如果其非零行的第一个非零元素为1，并且这些非零元素所在列的其他元素均为零，这个行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵对于任何矩阵A ，总可以经过有限次初等行变换把它化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵（二）初等矩阵的概念单位鞠振宁经过一次初等变换所得到的矩阵称为初等矩阵（三）初等矩阵的性质逆是同类型的初等矩阵初等矩阵均可逆，且其同样的行列初等变换做了一次与就是对矩阵，所得乘右左用初等矩阵.2)()(.1P A AP PA A P )()(100013-001100013001)1()(100021000110002000100101010000101010011-11-11-k E k E k E k E E E ij ij i i ij ij -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---主对角线以外；主对角线；副对角线五、矩阵的等价（一）矩阵等价的概念的秩是矩阵阶单位矩阵是的等价标准形，其中后者是则称若等价，记作与则称矩阵矩阵经有限次初等变换变成矩阵A r r E A E A B A B A B A r r,,000~.~,⎥⎦⎤⎢⎣⎡ （二）矩阵等价的充分必要条件价向量组等价必有矩阵等向量可以互相线性表示；向量组等价是指两个等价是两个不同的概念矩阵的等价与向量组的使得阶可逆矩阵，阶可逆矩阵矩阵，则存在时设，使和存在可逆矩阵秩是同型矩阵且有相同的，等价于⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⨯=000,.2.1~r E PAQ Q n P m n m A BPAQ Q P B A B A六、常考题型及其解题方法与技巧题型一、有关矩阵的概念及运算题型二、求方阵的幂n A数学归纳法思路，可用相似对角化来求个线性无关的特征向量有，当思路可用二项式定理展开则且，能分解成两个矩阵的和，若思路律就可很方便地求出个矩阵的乘积，用结合能分解为一列与一行两则，若思路,43)(,2,1)(1nn n nA n A CB A CB BC C B A A A A A r +==+== 题型三、求与已知矩阵可交换的矩阵题型四、有关初等变换的问题题型五、关于伴随矩阵的命题题型六、矩阵可逆的计算与证明⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=====----*-O BC O O C B O C O O B C O O B A E E A A E E A A AA EBA E AB B 111-1-1-1-1114)()();()(3121，，分块矩阵法思路，初等变换法思路，伴随矩阵法思路或使，定义法，找出思路 题型七、求解矩阵方程为阶梯形方程组列方程用高斯消元法化不可逆，则可设未知数，若方法可以先求出可逆，则若方法解题思路的列向量表出的每列可由有解等价于A AB A X A B A r A r A B B Ax 2,,1)()(.2.111--===。
第二节 矩阵的定义
判断矩阵 A 和矩阵 B 相等（ A = B）：
①同型矩阵（相同的行、列数） ②对应的元素相等
3 1 4 2 5 6 a c e b d f
与
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
例4
反 对 称 矩 阵
实对称矩阵
A A , 即 a ij a ji ( i , j 1 , 2 , , n ),
T
则称 A 为对称矩阵 . A A , 即 a ij a ji , a ii 0 ( i , j 1 , 2 , , n ),
T
则称 A 为反对称矩阵 .
a 11 a 21 A a n1 a 12 a 22 an2 a1n a2n . a nn
例如
A 称为 n n 方阵，常称为 n 阶方阵或 n 阶矩阵， 常简记为 A= ( aij )n .
(4) 对角矩阵
除主对角线的元素外，其余的元素全为0的 方阵称为对角矩阵，如
a 11 A
a 22
. a nn
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 aij = 0 , i j ,
对角阵常记为 diag a 11 ,
i, j = 1, 2, … , n ,
a 22 , , a nn . 例如
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵 只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量). 如 A= ( a1 a2 … an ). 只有一列的矩阵称为列矩阵 (也称为列向量). 如
b1 b2 B . bm
矩阵的概念与性质
矩阵的概念与性质矩阵是线性代数中的一个重要概念，它具有多种性质和运算规律。
在数学和工程学科中，矩阵被广泛应用于各种问题的描述和求解中。
本文将介绍矩阵的基本概念和一些重要的性质，帮助读者更好地理解和运用矩阵。
**1. 矩阵的定义**在数学中，矩阵是由数构成的矩形阵列。
通常用大写字母表示，比如A、B、C等。
一个m×n的矩阵由m行n列的数排列在方括号 [] 中表示，如下所示：\[ A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} \]其中，a<sub>ij</sub>表示矩阵A中第i行第j列的元素。
**2. 矩阵的性质**- 矩阵的加法：设A和B是同型矩阵，即行数和列数相同。
则它们的和A + B是一个同型矩阵，其每个元素是对应位置元素的和。
\[ A + B = \begin{bmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & \cdots & a_{1n}+b_{1n} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & \cdots &a_{2n}+b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1}+b_{m1} & a_{m2}+b_{m2} & \cdots & a_{mn}+b_{mn} \end{bmatrix} \]- 矩阵的数乘：给定一个矩阵A和一个标量k，矩阵A乘以标量k表示将矩阵A的每个元素乘以k。
矩阵(Matrix)的定义
a11 a12
A
a21
a22
am1 am1
a1n
a2n
amn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
第二节 矩阵的运算
主要内容
矩阵的加法 数与矩阵相乘 矩阵的乘法 方阵的幂
矩阵乘积的意义 矩阵的转置 方阵的行列式
一、矩阵的加法
1.定义：设有两个 m×n 矩阵 A = (aij)，B = (bij) ，那么矩 阵 A 与 B 的和记作 A＋B，规定为
a11 b11
A
B
a21
b21
am1 bm1
a12 b12 a22 b22
am2 bm2
a1n b1n
a2n
b2n
amn bmn
说明：只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进行加法运算.
2.矩阵加法的运算规律
a, b, c R
设 A、B、C 是同型矩阵
交 换 abba 律
A(B C) AB AC (B C)A BA CA
(iv) 单位矩阵在矩阵乘法中的作用类似于数1，即
Em Amn Amn En A
推论：矩阵乘法不一定满足交换律，但是纯量阵 lE 与任何
同阶方阵都是可交换的.
(l En ) An l An An (l En )
纯量阵不同 于对角阵
1 2 4 3 9 8 5 2 , 4 2 1 0
1 2 3 0
9
8
.
5 1
3
5
行列式
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
矩阵
a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
线性代数第二章,矩阵及其运算
a1n b1
a2n
b2
L L
amn bm
§2 矩阵的运算
一、加法
设 A (ai j )mn ， B (bi j )mn 都是m n 矩阵，则加法定义为
a11 b11
A
B
a21
b21
L
a12 b12 L a22 b22 L
LL
am1 bm1 am2 bm2 L
显然，
AB B A
a22
L
L L L
am1 am2 L
a1n
a11 a21 L
a2n
，记
AT
a12
a22
L
L
L L L
amn
a1n an2 L
则称
AT
A
是
的转置矩阵。
am1
am 2
L
amn
显然，
① ( AT )T A ，② ( A B)T AT BT ，③( A)T AT ，④( AB)T BT AT
2． 即使 Amn ， Bnm ，则Amn Bnm 是m 阶方阵，而Bnm Amn 是n 阶方阵；
3． 如 果 A ， B
都 是n
阶
方
阵
，
例
如
2
A
1
4
2
，
B
2
3
4
6
，则
16
AB
8
32 16
，而BA
0 0
0
0
；
AB BA
综上所述，一般
（即矩阵乘法不满足交换率）。
但是下列性质显然成立：
三、乘法
乘法运算比较复杂，首先看一个例子
设变量t1, t2 到变量 x1, x2 , x3 的线性变换为
矩阵定义
a11 a21 A am 1
a12 a22 am 1
a1 n a2 n amn
系数矩阵
线性变换与矩阵之间存在着一一对应关系.
例
y1 x1 , y x , 2 2 线性变换 称为恒等变换. yn x n
0 xn , 0 xn , 1 xn
, n)
则称矩阵 A 与 B 相等，记作 A = B .
0 0 例如 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0
0 0 0 .
注意：不同型的零矩阵是不相等的.
三、矩阵与线性变换
n 个变量 x1 , x2 , , xn 与 m 个变量 y1 , y2 , , ym 之间的 存在如下关系： y1 a11 x1 a12 x2 a1n xn , y a x a x a x , 2 21 1 22 2 2n n ym am 1 x1 am 2 x2 amn xn .
1 2 14 3 例如 5 6 与 8 4 为同型矩阵. 3 7 3 9
2. 两个矩阵 A (aij ) 与 B (bij )为同型矩阵，并且对应元
素相等，即 aij bij (i 1, 2,
, m; j 1, 2,
, an ) 称为行矩阵(或行向量) .
a1 a2 只有一列的矩阵 B 称为列矩阵(或列向量) . an
3. 元素全是零的矩阵称为零距阵．可记作 O . 例如：
O22
0 0 0 0
O14 0 0 0 0
1 0 4. 形如 0
矩阵相关知识点
矩阵的概念：由m ×n 个数排列成m 行n 列的数表叫做m ×n 矩阵⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡mnm2m12n22211n1211a ...a a............a ...aa a ...a a 其中A 的元素,简称为元.◎元素是实数的矩阵称为实矩阵. ◎元素是复数的矩阵称为复矩阵.几种特殊的矩阵1.如果A m ×n 矩阵的所有的元都是零的矩阵称为 零矩阵,记为 0mxn .2.如果A, B 都是m ×n 矩阵, 就说A 与B 是同型的.3.在m ×n 矩阵A=(a ij )中, 当m=n 时称为n 阶方阵.4.只有一行或者一列的矩阵称为行（列）矩阵/行（列）向量.5.⎥⎥⎦⎤对角矩阵 若全为k ，则为数量矩阵.6.上下三角矩阵矩阵的线性计算说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时,才能进行加法运算.设A,B,C 均为数域P 上的m ×n 矩阵,k,l ∈P,不难验证,矩阵的加法和数乘满足如下运算规律: (1) A+B=B+A; 加法交换律(2) (A+B)+C=A+(B+C); 加法结合律(3) A+0=0+A=A,这里0是与A 同型的零矩阵; (4) A+(-A)=(-A)+A=0； (5) k(A+B)=kA+kB ； (6) (k+l)A=kA+lA ；(7) (kl)A=k(lA)=l(kA)； (8) 1A=A, 0A=0.矩阵的乘法注意：当矩阵A 的列数等于B 矩阵的行数时,AB 才有意义.矩阵的乘法不满足交换律矩阵乘法的运算规律1）.(AB)C=A(BC)2）.A(B+C)=AB+AC ，(B+C)A=BA+CA 3）.k(AB)=(kA)B=A(kB)A=4）.A m ×n E n =E m A m ×n =A m ×n ● 方阵的幂定义若A 是n 阶矩阵，则A k 为A 的k 次幂，即A k =A A A, A m A k =A m+k 并且(A m ) k =A mk . (m,k 为正整数)注意: (AB)k ≠A k B k● 方阵行列式的性质 (1) |kA n |=k n |A n |≠k |A n |； (2) |AB |=|A ||B |转置矩阵将矩阵A 的行与列互换,且保持它们的先后次序不改变，得到的n ×m ，称为矩阵A 的转置矩阵,记为A T.转置矩阵的运算性质● 对称矩阵定义设A=(aij)为n 阶方阵,如果有A T=A,即aij=aji (i, j=1, 2,…,n),则称A 是对称矩阵. ● 反对称矩阵定义 如果有A T=–A,即aij=–aji(i,j=1,2, …,n),则称A 是反对称矩阵. 注：反对称矩阵其主对角元素为0逆矩阵定义 对于n 阶矩阵 A,如果有一个n 阶矩阵B ,使得AB=BA=E,则说矩阵A 是可逆的,并把矩阵B 称为A 的逆矩阵.A 的逆矩阵记作.(若A 是可逆矩阵, 则A 的逆矩阵是唯一的.) ● 逆矩阵的充要条件 定理1 矩阵 A 可逆的充要条件是A ≠0，且A-1=A1A *其中A *为矩阵 A 的伴随矩阵. 逆否命题 ：矩阵 A 不可逆的充要条件是|A|=0.证明：矩阵 A 可逆 ∴AA -1=A=E 即|A||A -1|=1 ∴|A|≠0又AA *=A *A=|A|E....推论. 若A n B n =E （或BA=E ），则B=A -1。
矩阵的概念
例如
1 5
62 与 184
3 4
为同型矩阵.
3 7 3 9
2.两个矩阵 A aij 与B bij 为同型矩阵,并且
对应元素相等,即
aij bij i 1,2,,m; j 1,2,,n,
则称矩阵 A与B相等,记作 A B.
例1 n个变量x1, x2,, xn与m个变量y1, y2,, ym之 间的关系式
Px, y
O
X
例2 设 A 1 2 3, 3 1 2
B 1 x 3, y 1 z
已知 A B,求 x, y, z. 解 A B,
x 2, y 3, z 2.
三、小结
(1)矩阵的概念 m行n列的一个数表
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
§4－1 矩阵的概念
一、矩阵概念的引入
1.线性方程组
a11x1 a12 x2 a1n xn 0 a21x1a22x2 a2nxn0 am1x1 am2 x2 amn
a21
am1
a12 a22
am2
a1n a2n
amn
表示成
Ax=0
二、矩阵的定义
方阵 m n;
a1
(2) 特殊矩阵
行矩阵与列矩阵;
单位矩阵; 11
00 对角矩阵;
A 00
12
aB1 ,a20000,aan2., ,an
,
零矩阵.
00 00 1n
思考题
矩阵与行列式的概念有什么区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是 一个算式，一个数字行列式经过计算可求得 其值，而矩阵仅仅是一个数表，它的行数和 列数可以不同.
矩阵知识点总结大纲
矩阵知识点总结大纲一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义1.2 矩阵的元素1.3 矩阵的维数1.4 矩阵的转置1.5 矩阵的特殊矩阵二、矩阵运算2.1 矩阵的加法2.2 矩阵的数乘2.3 矩阵的乘法2.4 矩阵的转置2.5 矩阵的幂2.6 矩阵的逆2.7 矩阵的行列式2.8 矩阵的秩三、线性方程组与矩阵3.1 矩阵的行简化阶梯形式3.2 矩阵的列简化阶梯形式3.3 矩阵的增广矩阵3.4 矩阵的系数矩阵3.5 矩阵的齐次线性方程组3.6 矩阵的非齐次线性方程组四、矩阵的应用4.1 线性代数4.2 计算机图形学4.3 信号处理4.4 优化问题4.5 统计学4.6 量子力学五、矩阵分析5.1 矩阵的迹5.2 矩阵的本征值与本征向量5.3 矩阵的相似矩阵5.4 矩阵的对角化5.5 矩阵的奇异值分解5.6 矩阵的正交矩阵六、矩阵的特征6.1 矩阵的周期性6.2 矩阵的稀疏性6.3 矩阵的对称性6.4 矩阵的正定性6.5 矩阵的随机性七、矩阵的发展历程7.1 矩阵的起源7.2 矩阵的发展7.3 矩阵的应用八、矩阵的未来发展8.1 矩阵的应用领域拓展8.2 矩阵的理论深化8.3 矩阵的计算方法改进九、矩阵的教学与研究9.1 矩阵的教学模式9.2 矩阵的教学资源9.3 矩阵的研究方向十、矩阵的未来前景10.1 矩阵的应用前景10.2 矩阵的教学前景10.3 矩阵的研究前景十一、矩阵的总结与展望11.1 矩阵的总结11.2 矩阵的展望结语矩阵知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是一个按照长方形排列的数表。
其中的元素可以是数字、符号或数学式。
矩阵是线性代数的基本概念，应用非常广泛，涉及几何学、概率论、微分方程以及物理学和工程学等各个学科。
1.2 矩阵的元素矩阵的元素是矩阵中的一个具体数值或符号。
1.3 矩阵的维数一个矩阵的维数是指矩阵的行数与列数。
如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n阶矩阵。
矩阵(Matrix)PPT课件
a11 a12
A
a21
a22
am1 am2
a1n x1 b1
a2n
,
x
x2
,
b
b2
amn xn bn
ai1x1 ai2 x2 ain xn bi
则方程组又可表示为 Ax b.
x1ai1 x2ai2 xnain bi
a11 a21
定义成
a11 a21
x1 x1
a12 x2 a22 x2
x1
a11
a21
x2
a12
a22
x1 1 x2 2
e2
(a12 , a22 )
2
1
y ( y1, y2 )
2
A和x的乘法实质给出了 向量y在A坐标系(β1Oβ2) 下的刻划方法。
e1
(a11,1a21 )
y y1e1 y2e2
ai1b1 j ai 2b2 j a b b 1j is sj
a a a i1 i2
b2 j is
注：A的列数和B的行数相等时 b，sj AB才有意义。
• 例3 设矩阵
1 0 1
A
1
1
3
,
求乘积 AB．
解
1 0
C
AB
1
1
0 3 4 B 1 2 1
3 1 1
B
a12
a22
a1n a2n
am1
am2
y (x1, x2, , xn )
c (b1,b2, ,bm)
amn nm
则方程组又可表示为 yB c.
矩阵向量乘法意义之二：为刻划向量提供了坐标系
根据矩阵乘法定义，m n 阶矩阵A与n维列向
矩阵知识点归纳
矩阵知识点归纳矩阵是线性代数中一种重要的数学工具，它广泛应用于科学、工程、计算机科学等领域。
本文将对矩阵的基本概念、运算法则以及常见的矩阵类型进行归纳总结。
一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义：矩阵是由m行n列的元素排列而成的矩形阵列，用大写字母表示，如A。
其中，m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
2. 元素：矩阵中的数值称为元素，用小写字母表示，如a。
矩阵A的第i行第j列的元素表示为a_ij。
3. 零矩阵：所有元素都为0的矩阵，用0表示。
4. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的矩阵，用I表示。
5. 行向量和列向量：只有一行的矩阵称为行向量，只有一列的矩阵称为列向量。
二、矩阵的运算法则1. 矩阵的加法：两个相同维数的矩阵相加，即对应位置的元素相加。
2. 矩阵的减法：两个相同维数的矩阵相减，即对应位置的元素相减。
3. 矩阵的数乘：用一个数乘以矩阵的每个元素。
4. 矩阵的乘法：矩阵乘法需要满足左矩阵的列数等于右矩阵的行数。
若A是m×n的矩阵，B是n×p的矩阵，那么A与B的乘积AB是m×p的矩阵，且AB的第i行第j列元素为A的第i行与B的第j列对应元素的乘积之和。
5. 转置：将矩阵的行和列对调得到的矩阵称为原矩阵的转置。
若A为m×n的矩阵，其转置记作A^T，即A的第i行第j列元素等于A^T的第j行第i列元素。
三、常见的矩阵类型1. 方阵：行数和列数相等的矩阵称为方阵。
2. 对角矩阵：主对角线以外的元素都为0的方阵称为对角矩阵。
3. 上三角矩阵：主对角线以下的元素都为0的方阵称为上三角矩阵。
4. 下三角矩阵：主对角线以上的元素都为0的方阵称为下三角矩阵。
5. 对称矩阵：元素满足a_ij=a_ji的方阵称为对称矩阵。
6. 反对称矩阵：元素满足a_ij=-a_ji的方阵称为反对称矩阵。
7. 单位矩阵：主对角线上的元素为1，其他元素为0的方阵称为单位矩阵。
四、矩阵的性质1. 矩阵的零点乘法：任何矩阵与零矩阵相乘，结果都是零矩阵。
矩阵的总结知识点
矩阵的总结知识点一、矩阵的基本概念1. 矩阵的定义矩阵是一个按照矩形排列的数学对象。
矩阵的概念最早出现在线性代数理论中，它是由m行n列的数字排成的矩形阵列。
通常表示为一个大写字母，比如A，而矩阵中的元素通常用小写字母表示，比如a_ij，表示在第i行第j列的元素。
2. 矩阵的类型根据矩阵的形状和性质不同，可以将矩阵分为多种类型，比如方阵、对称矩阵、对角矩阵、三角矩阵等。
方阵是指行数和列数相等的矩阵，对称矩阵是指矩阵关于主对角线对称，对角矩阵是指除了主对角线上的元素外，其他元素都为零，而三角矩阵是指上三角或下三角矩阵。
3. 矩阵的运算矩阵的运算包括矩阵的加法、减法、数乘、矩阵的乘法等。
其中，矩阵的加法和减法要求相加的矩阵具有相同的形状，即行数和列数相同；而矩阵的数乘是指矩阵中的每个元素都乘以一个标量；矩阵的乘法是指矩阵A的列数等于矩阵B的行数时，可以进行矩阵乘法运算。
4. 矩阵的转置和逆矩阵矩阵的转置是指将矩阵的行和列对调得到一个新的矩阵，记作A^T。
而逆矩阵是指如果一个矩阵A存在逆矩阵A^(-1)，使得A*A^(-1)=I，其中I是单位矩阵，则称矩阵A可逆，否则称矩阵A为奇异矩阵。
二、矩阵的应用1. 线性方程组的求解矩阵可以用来表示和求解线性方程组，线性方程组可以表示成AX=B的形式，其中A是系数矩阵，X是未知数矩阵，B是常数矩阵。
通过矩阵的基本变换和行列式的计算，可以求解线性方程组的解。
2. 数据处理和分析在数据处理和分析领域，矩阵可以用来表示和处理大规模的数据集。
比如，在机器学习算法中，可以通过矩阵的运算和矩阵分解来进行数据的降维和特征的提取。
3. 控制理论在控制理论中，矩阵可以用来描述线性系统的状态方程和控制方程，通过对状态矩阵和控制矩阵的计算和分析，可以得到系统的稳定性和控制性能。
4. 计算机图形学在计算机图形学中，矩阵可以用来描述和处理图形的旋转、平移、缩放等变换，通过矩阵的运算和矩阵乘法，可以实现图形的变换和动画效果。
矩阵的基本运算和性质
矩阵的基本运算和性质矩阵是线性代数中一个重要的概念，广泛应用于数学、工程、计算机科学等领域。
本文将介绍矩阵的基本运算和性质，旨在帮助读者理解和应用矩阵。
一、矩阵的基本定义和表示方法在开始讨论矩阵的运算和性质之前，首先应了解矩阵的基本定义和表示方法。
矩阵是一个按照矩形排列的数表，它由m行n列的元素组成。
一般用大写字母表示矩阵，例如A、B等，而矩阵的元素一般用小写字母表示，例如a、b等。
矩阵的表示方法有多种，其中最常见的是用方括号将矩阵的元素排列起来。
例如：A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]其中A是一个3行3列的矩阵，a11、a12等表示矩阵A的元素。
二、矩阵的基本运算1. 矩阵的加法和减法矩阵的加法只能对应位置的元素进行相加，也就是说，如果两个矩阵具有相同的行数和列数，则可以将它们对应位置的元素进行相加，得到一个新的矩阵。
例如，对于两个相同维数的矩阵A和B，其加法和减法运算的规则如下：A +B = [a11 + b11, a12 + b12; a21 + b21, a22 + b22]A -B = [a11 - b11, a12 - b12; a21 - b21, a22 - b22]2. 矩阵的数乘和数除矩阵的数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个常数，矩阵的数除是指将矩阵的每个元素除以一个常数。
例如，对于一个矩阵A和一个常数k，其数乘和数除运算的规则如下：kA = [ka11, ka12; ka21, ka22]A/k = [a11/k, a12/k; a21/k, a22/k]3. 矩阵的乘法矩阵的乘法是指将一个矩阵的行与另一个矩阵的列相乘并相加得到结果。
例如，对于两个矩阵A和B，其乘法运算的规则如下：C = AB其中，C为一个m行n列的矩阵，其元素cij可以通过下面的公式计算得到：cij = a[i1]*b[1j] + a[i2]*b[2j] + ... + a[in]*b[nj]4. 矩阵的转置矩阵的转置是指将矩阵的行与列互换得到一个新的矩阵。
矩阵的概念
例如
，
a11
0
0
a12 a 22
0
... a1n
... ...
a2n
a nn
,
a11 a21 an1
0 a22
an2
0 0
ann
分别为上、下三角形矩阵.
线,a11,a22,…,ann称为主对角线上的元素.
对于n阶方阵A,可定义行列式
a11 a12 a1n
a 21
a 22 Biblioteka a2n ,，
a n1 a n2 a nn
称其为矩阵A的行列式,记为|A|.
，
单位矩阵、对角形矩阵、数量矩阵
主对角线上的元素都为1,其余的元素
均为零的n阶方阵称为n阶单位矩阵,简记
§2.1 矩阵的概念
定义2.1.1 数域 P 上m×n个数 aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)排成的m行n列
数表
a11 a21
a12 a22
a1n a2n
am1 am1 amn
(2.1.1)
称为P上的一个m行n列矩阵，或称为
mn矩阵,简记为(aij) m×n或(aij).其中aij (i=1,2,…,m; j=1,2,…,n)称为这个矩阵
则是由个数所排成的一个数表.
下面介绍一些特殊类型的矩阵.
行矩阵、列矩阵
在mn矩阵A=(aij)中,
，
如果m=1,这时A=(a11,a12,…,a1n),称
其为行矩阵,也称为n维行向量;
，
，
a11
如果n=1,这时
A
a21
,称其为列矩
am1
阵,也称为m维列向量.
零矩阵
矩阵
矩阵数学中最重要的基本概念之一，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究及应用的一个重要工具。
由m n个数排成的m行n列的矩形表称为m×n矩阵,记作A或,也可记作(αij)或。
数称为矩阵的第i行第j列的元素。
当矩阵的元素都是某一数域F中的数时,就称它为数域F上的矩阵,简称F上的矩阵。
当m=n时，矩阵A称为n阶矩阵或n阶方阵,此时α11,α22,…,αnn称为n阶矩阵的对角线元素，当所有的非对角线元素αij(i ≠j)均为零时，A就称为n阶对角矩阵,简称对角矩阵。
当对角线下面(或上面)的所有元素均为0时,A就称为上（或下）三角矩阵。
在m×n矩阵A中取k个行和k个列,k≤m，n；由这些行与列相交处的元素按原来的位置构成的k阶行列式,称为矩阵A的k阶子式。
一个n阶矩阵A只有一个n阶子式,它称为矩阵A的行列式，记作│A│或det A。
矩阵-来源英文名Matrix（SAMND矩阵）。
在数学名词中，矩阵用来表示统计数据等方面的各种有关联的数据。
这个定义很好地解释了Matrix代码制造世界的数学逻辑基础。
数学上，矩阵用在解线性方程组上既方便，又直观。
例如对于方程组。
a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3来说，我们可以构成一个矩阵：/ \|a1 b1 c1 || ||a2 b2 c2 || ||a3 b3 c3 |\ / 因为这些数字是有规则地排列在一起，形状像矩形，所以数学家们称之为矩阵，通过矩阵的变化，就可以得出方程组的解来。
矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的。
数学上，一个m×n矩阵乃一m行n列的矩形阵列。
矩阵由数组成，或更一般的，由某环中元素组成。
矩阵常见于线性代数、线性规划、统计分析，以及组合数学等。
请参考矩阵理论。
矩阵-矩阵的运算两个矩阵只有在其行数与列数均分别相同，而且所有相应位置的元素均相等时，才能称为相等。
矩阵的基本概念
§1矩阵及其运算教学要求：理解矩阵的定义、掌握矩阵的基本律、掌握几类特殊矩阵（比如零矩阵，单位矩阵，对称矩阵和反对称矩阵）的定义与性质、注意矩阵运算与通常数的运算异同。
能熟练正确地进行矩阵的计算。
知识要点：一、矩阵的基本概念矩阵，是由用空个数组成的一个豹行曲列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素吟錶勺，…表示，其中下标都是正整广a---a、^11U L2%佝如"'捡数，他们表示该元素在矩阵中的位置。
比如，Ui仏-j或/二蒔表示一个聊也矩阵，下标莎表示元素術位于该矩阵的第J行、第丿列。
元素全为零的矩阵称为零矩阵。
特别地，一个肌xl矩阵I耳丿，也称为一个沽维列向量；而一个矩阵血妇垃），也称为一个祀维行向量。
当一个矩阵的行数翻与烈数河相等时，该矩阵称为一个曲阶方阵。
对于方阵，从左上角到右下角的连线，称为主对角线；而从左下角到右上角的连线称为付对角线。
若一个祁介方阵的主对角线上的元素都是1,而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为耳，即：r0『010巴二......…3°…1丿“。
如一个”阶方阵的主对角线上（下）方的元靠10■0、素都是零，则称为下（上）三角矩阵，例如，厲1卸2■"術」是%如…％2一个卅阶下三角矩阵，而I。
°…汕J则是一个然阶上三角矩阵。
今后我们用（町表示数域F上的吻也矩阵构成的集合，而用血山町或者町表示数域F1上的相阶方阵构成的集合。
二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果蔦）是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说迓B E M跟（町），则定义它们的和A+B仍为与它们同型的矩阵（即』+肌"嘶側），/+R的元素为月和B对应元素的和，即：川十£二（唏十如）。
给定矩阵占二何），我们定义其负矩阵-卫为：亠卜霸）。
这样我们可以定义同型矩阵卫』的减法为：厘-呂二川+（-毋。
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a2 D= b3 b2 = a2 a3 − b2 b3 a3
14
含参数行列式
1 5 1.若 0 0 1 2 3 4 2 6 0 0 1 x 3 4 3 4 块三角形 7 8 12 = 0, 则x = = −4 ( 5 x − 12 ) = 0 ⇒ x = 5 x 3 4 5 前2列观察，容易化
⎛ ⎞ ⎡0 ⎜ ⎟ 2 4.若A = ⎜ 0 0 4 ⎟，则A = ⎢⎢0 ⎢0 ⎣ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠
0 8⎤ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎦
, A3 = 0 .
⎛ 0 2 3 ⎞ ⎛ 0 2 3 ⎞ ⎡0 0 8 ⎤ ⎛ 0 2 3 ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A2 = ⎜ 0 0 4 ⎟ ⎜ 0 0 4 ⎟ → ⎢ 0 0 0 ⎥ ⎜ 0 0 4 ⎟ = 0 ⎢ ⎥ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎢0 0 0⎥ ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠
3 1 * T − A B = ____ . 2 2
n
A-1 B* − A* B −1 = ____ 。 −6
( −5)
n
1 * T ⎛1⎞ * T ⎛1⎞ n −1 A B =⎜ ⎟ A B =⎜ ⎟ A B 2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
n
A* = 2 A−1 , B* = −3B −1 A-1 B* − A* B −1 = −3 A-1 B −1 − 2 A−1 B −1 = −5 A−1 B −1 A B −AB
⎧ Ax = 0有非零解 ⎪ ⎪反证法 ⎪ A 推理中： = 0 ⇔ ⎨ r ( A ) < n ⎪ 0是A的特征值 ⎪ ⎪A =− A ⎩
18
定理
设n 阶行列式 a11 a21 an1 a12 a22 an 2 a1n a2 n ann
D=
元素aij的代数余子式为Aij ,当i ≠ k 当j ≠ k ( j , k = 1, 2, ai1 Ak 1 + ai 2 Ak 2 + , n ) 时，有
−1 1
λ −3
1 −1
1 λ −5 1
2
λ −3
= ( λ − 3) ( λ − 5 ) − 1 − 1 − ( λ − 5 ) − ( λ − 3) − ( λ − 3) = ( λ − 2 )( λ − 3)( λ − 6 )
解三次方程不容易，若能根据1、3二行看出一个根2， 就比较容易了．
16
an 2 ... ann
17
⎧ Ax = 0有非零解 ⇔ A =0 ⎪ ⎪ 伴随矩阵求逆法:A−1 = 1 A* ⎪ A ⎪ 应用 ⎨线性相关（无关）判定: A =0 ⇔ A的列向量组线性相关 ⎪可逆的证明： ≠ 0 ⇔ A可逆 A ⎪ ⎪ 克莱姆法则：（稍后详述） ⎪ ⎩特征值计算：A的特征值是 λ I − A 的根
n
方法． cij =
∑a
k =1
ik kj
b 如下：
( )
nl
nm
和 Bml = bij
( )
，
ml
( )
= Anm Bml 也是一个矩
(a
i1
, ai 2,...,ain
)
阵， 注意它的行列数规则． 矩阵相乘需要 易见：左列数=右行数！ 有匹配的行列数．
24
⎡ b1 j ⎤ ⎢b ⎥ ⎢ 2j⎥ ⎢ ⎥ ⎢b ⎥ ⎣ nj ⎦
2-方阵与行列式
方阵 ⎡ a11 ⎢a ⎢ 21 A= ⎢ ... ⎢ ⎣ an1 a12 a22 ... an 2
（方阵的）行列式，数 a11 ... a1n ⎤ a21 ... a2 n ⎥ ⎥ D= A = ... ... ... ⎥ ⎥ an1 ... ann ⎦ a12 a22 ... ... a1n ... a2 n ... ...
12
1 1 7. 1 1
1 2 0 0
1 0 3 0
1 0 -2 = ______ . 0 4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 −1 −1 0 1 −1 −1 0 1 −1 −1 = = = 0 −1 2 −1 0 0 1 −2 0 0 1 −2 0 −1 −1 3 0 0 −2 2 0 0 0 −2
⎡ 8 4 0⎤ ⎢16 8 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 8 4 0⎥ ⎣ ⎦
26
27
⎛ 1 −1 1 ⎞ ⎜ ⎟ 3.设α 是3维列向量，α T 是α的转置，若αα T = ⎜ −1 1 −1⎟， ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ 则α T α = _____ . 3 ⎛ 1 −1 1 ⎞ α T = (1,-1,1)，则：αα T = ⎜ −1 1 −1⎟， ⎜ ⎟ ⎜ 1 −1 1 ⎟ ⎝ ⎠ 0 2 3
⎛2 ⎜ 2.已知A = ⎜ 1 ⎜1 ⎝ ⎛2 4 ⎜ A2 = ⎜ 1 2 ⎜1 2 ⎝ 4 6⎞ ⎟ 7 n −1 . 2 3 ⎟，则An = ____A 2 3⎟ ⎠ 6 ⎞ ⎛ 2 4 6 ⎞ ⎡14 28 42 ⎤ ⎟⎜ ⎟ 3 ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟ = ⎢ 7 14 21⎥ = 7 A ⎢ ⎥ ⎥ 3 ⎟ ⎜ 1 2 3 ⎟ ⎣ 7 14 21⎦ ⎠⎝ ⎠ ⎢
⎡1 4 7⎤ T 则： A = ⎢ 2 5 8 ⎥ ． ⎢ ⎥ ⎣ 3 6 9⎦
单位矩阵，也记： E .
25
（ ），β = 1 （ 1.已知α = 1 2 1
T
2 T T T
A = αβ αβ = α ( β α ) β = 2αβ
T
1 T 0），A = αβ T，则A4 = 2
T
⎡1 1/ 2 0 ⎤ A4 = 8αβ T = 8 ⎢ 2 1 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 1/ 2 0 ⎥ ⎣ ⎦
D的值是不同行不同列元素乘积的代数和 （共n !项之和）
2
⎧ 经转置行列式的值不变 ⎪ ⎪ 某行有公因数k , 可把k 提到行列式外 ⎪ 性质 ⎨某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和 ⎪ 两行互换行列式变号 ⎪ ⎪某行的k 倍加至另一行，行列式的值不变 ⎩ 所有这些性质，对于列同样成立。
数字简单时，三角化计算还是方便的．通用的方法．
13
a1 0 3.四阶行列式 0 b4
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
b1 0 的值等于 D 0 a4
( A) a1a2 a3 a4 - b1b2b3b4 ( B ) a1a2 a3 a4 + b1b2b3b4 ( C )( a1a2 - b1b2 ) ( a3 a4 - b3b4 ) ( D ) ( a2 a3 - b2b3 ) ( a1a4 - b1b4 )
* * d = ab d；
4
a1 b1 c1
a2 b2 c2
a3 a1 b3 b1 c3 c1
a2 b2 c2
这样的计算方法 对4阶及4阶以上
行列式不适用. = a1b2 c3 + a2b3c1 + a3b1c2 − a3b2 c1 − a1b3c2 − a2b1c3
范德蒙行列式 1 x1 x12 x1n-1 1 x2
为块三角
1 3 x 6
1 1 = 0, 则x = 6 x
1 1 1 1 0 x−2 1 −1 0 0 3 x −3 0 0 2 x−4 = ( x − 2 )( x − 1)( x − 6 )
15
λ −3
2.若 1 −1
1 λ −5 1
−1 2、3、6 1 = 0, 则λ = ____ .
λ −3
性质2: 如A可逆，则r ( AB ) = r ( B ) 性质3: A可逆 ⇔ 则r ( A ) = n ( 方阵A 的阶数 )
30
An1 ⎤ ⎡ A11 A21 ⎢A A22 An 2 ⎥ ⎥ , AA* = A* A = A E (注意行列倒置) 伴随矩阵 : A∗ = ⎢ 12 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Ann ⎦ ⎣ A1n A2 n ⎧ 行初等变换 ⎪ −1 ⎪用定义 ( A E ) → → E A ( 只能用行初等变换 ) ⎪ 1 * ⎪ −1 求法 ⎨用伴随A = A A ⎪ −1 −1 ⎪ −1 0 A⎞ A 0⎞ ⎛A ⎛ 0 B −1 ⎞ 0 ⎞ ⎛ ⎛ ⎪可分块时 , ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ ⎟ = ⎜ −1 −1 ⎟ ⎜ ⎪ 0 ⎠ ⎝ 0 B⎠ ⎝ 0 B ⎠ ⎝B 0⎠ ⎝A ⎩
n
B;
( 4 ) 若A是n可逆阶矩阵，则 A ( 5) 若A是n阶矩阵，λi ( i = 1, 2,
则 A = Π λi ;
n
-1
= A
−1
, n ) 是A的特征值，
( 6 ) 若A
i =1
B,则 A = B .
20
五. 克莱姆法则 ⎧ a11 x1 + a12 x2 + ⎪a x + a x + ⎪ 21 1 22 2 若线性方程组 ⎨ ⎪ ⎪a n1 x1 + a n2 x2 + ⎩ a11 a12 的系数行列式:D= a 21 a 22 a n1 a n2 + a1n xn = b1 + a 2n xn = b2 + a nn xn = bn a1n a 2n ≠ 0 ann
2 x2
1 xn
2 xn =
1≤ j < i ≤ n n x2 -1 n xn -1
∏ (x − x )
i j
5
x x 1
x + x
= x3 − x 2 +
系数： −1
6
7
8
9
对行列式的性质3要理解正 确 A + B ≠ A + B , 有2 项！
n
10
11
⎧ ⎧三角化法 ⎪ ⎪ ⎪ 数字型 ⎨ 公式法 ⎪ 递推法 ⎪ ⎩ ⎪ 行列式计算法，一般有 ⎨ ⎧用行列式性质 ⎪ ⎪抽象型 ⎪ 用矩阵性质 ⎨ ⎪ ⎪用特征值 A = ∏ λi ⎪ ⎩ ⎩