算法大全第22章 模糊数学模型
模糊数学模型
模糊数学模型
模糊数学模型是一种基于模糊集合理论，将模糊概念引入数学模型中，用来解决模糊
不确定性问题的数学方法。
模糊数学模型具有在模糊情况下进行决策和优化的能力，可以
有效地处理模糊性和不确定性的问题。
模糊数学模型最早是由L.A. Zadeh于1965年提出的，它可以被广泛地应用于工程、
管理、经济、环境等领域。
通过构建模糊数学模型，可以将人类对事物的模糊认知转化为
数学形式，用数学语言来描述和解决实际问题。
模糊数学模型基本元素包括：模糊集合、隶属函数和运算。
其中，模糊集合是一种比
传统集合更为广泛的概念，它可以描述某个事物与某种属性之间的关系。
隶属函数是模糊
集合的核心，它用来描述每个元素与模糊集合之间的隶属关系，通常用数学函数来表示。
运算则是针对模糊集合进行的各种运算，包括交、并、补、复合等。
在实际应用中，模糊数学模型可以用来解决许多具有模糊性和不确定性的问题。
比如，在工程中，可以利用模糊数学模型来设计模糊控制器，对不确定的系统进行控制；在管理中，可以利用模糊数学模型进行模糊决策，对模糊问题进行分析和解决；在经济学中，可
以利用模糊数学模型进行模糊预测，对经济变量进行分析和预测。
总之，模糊数学模型是一种能够应对模糊不确定性、处理大量信息、解决复杂问题的
有效工具，具有非常广泛的应用前景。
模糊数学模型
第四讲 模糊数学模型（Fuzzy ）过份的精确反而模糊；适当的模糊反而精确。
起源：1965年 L.A.Zadeh 在杂志“ Information and Control ”上发表著名论文，首先提出模糊集合的概念，标志着模糊理论的产生。
一、模糊综合评判法 （一）模糊集合：1、X 上的模糊集合A ，由()A U x 表示的隶属函数的集合。
()A U x 表示X 隶属集合A 的程度，()A U x 越接近1 ，表示X 属于A 的程度越大。
当()A U x =1时，X 肯定属于A ； 当()A U x =0时，X 肯定不属于A ；2、若X 为离散空间，则X 可以表示为：{}12,,,n X x x x =,则模糊集合A 可以表示为：{}1122(,()),(,()),,(,())A A n A n A x U x x U x x U x =。
{}:1,2,,9Eg X =,A=“大体上与5接近的数”，模糊集合A 可以表示为A ={（1，0），（2，0），（3，0.4），（4，0.8）,(5,1),(6,0.8),(7,0.4),(8,0),(9,0)}。
3、若X 为连续空间，则X 可以表示为：{},,X x x R R =∈为某连续区域，模糊集合{}(,()),A A x U x x R =∈。
Eg:若建立年轻人的隶属函数，可以根据统计资料，作出年轻人的隶属函数的大致曲线，发现与柯西分布接近。
21 ()()11()11(30)0.3 13.51(3025)10A A x aU x P x x a x a U βαβα≤⎧⎪==⎨>⎪+-⎩===+-1取a=25,=2,＝10不合理11()0.8125100A U x αα==⇒=+进行反推，A 2U )1 x 251 x>25()()25110A x U x P x x ≤⎧⎪⎪==⎨-⎛⎫⎪+ ⎪⎪⎝⎭⎩从而得到（ 例：为解决某一地区的交通运输问题，有两个方案可供选择：评价准则有如下四个： ①费用效益②对区域发展的贡献 ③对社会安全的贡献， ④对环境保护的贡献，评价的结果为： 满意，较满意，不太满意，不满意因素集合（准则）U ={ 费用效益， 区域发展， 社会安全， 环境保护 } 评语集（结论集）V ={ 满意， 较满意， 不太满意， 不满意 }AHP 法。
模糊数学模型
定义 2 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ，其隶属函数分别为 μA (x) ， μB (x) 。
i) 若对任意 x ∈ X ，有 μB (x) ≤ μA (x) ，则称 A 包含 B ，记为 B ⊆ A ； ii) 若 A ⊆ B 且 B ⊆ A ，则称 A 与 B 相等，记为 A = B 。 定义 3 对于论域 X 上的模糊集 A ， B ， i) 称 Fuzzy 集 C = A U B ，D = A I B 为 A 与 B 的并（union）和交（intersection），
假设做n次模糊统计试验则可计算出0x对a的隶属频率nax的次数0实际上当n不断增大时隶属频率趋于稳定其频率的稳定值称为0x对a的隶属度即0xanaxn的次数0lim2指派方法262指派方法是一种主观的方法它主要依据人们的实践经验来确定某些模糊集隶属函数的一种方法
第二十二章 模糊数学模型
§1 模糊数学的基本概念 1.1 模糊数学简介 1965 年，美国著名计算机与控制专家查德(L.A.Zadeh)教授提出了模糊的概念，并
x
>
a
⎧1,
x≤a
柯 西
μA
=
⎪ ⎨
1
⎪⎩1 + α (x − a)β
,
x
>
a
型
(α > 0, β > 0)
表 1 常用的模糊分布
中间型
μA
=
⎧1, ⎩⎨0,
a≤ x≤b x < a或x > b
⎧ ⎪ ⎪
x b
− −
a a
,
a≤ x≤b
μA
=
⎪1,
⎨ ⎪
d
⎪d
− −
x c
数学建模算法大全模糊数学模型
-257- 第二十二章 模糊数学模型模糊数学是研究和处理模糊性现象的数学，是在美国控制论专家A. Zadeh 教授于1965年提出的模糊集合（Fuzzy Set ）基础上发展起来的一门新兴的数学分支。
这门学科经过多年的发展。
它在现实世界中的应用越来越广泛。
§1 模糊数学基本知识1.1 集合与特征函数集合是现代数学的重要概念。
一般地说，具有某种属性的事物的全体或确定对象的汇总称为一个集合。
不含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为Ω。
若集合Ω⊆A ，则将集合},|{Ω∈∉x A x x 且称为集合A 的补集，记为c A 。
集合及其性质可用所谓特征函数来描述。
定义 1 设Ω为全集，A 为Ω的子集，则集合A 的特征函数指的是Ω到集合}1,0{=V 的一个映射A μV A →Ω:μ)(x x A μ→其中对应规则A μ满足⎩⎨⎧∉∈=Ax A x A 01μ 集合的特征函数具有以下性质：)}(),(max{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∨)}(),(min{)(x x x B A B A μμμ= ，记作)()(x x B A μμ∧)(1)(x x A A cμμ-= 1.2 模糊集合1.2.1 模糊集合的概念对于普通集合A 及其余集c A ，任何元素A x ∈或cA x ∈，二者必居其一，且仅居其一；用特征函数来表示就是0)(=x A μ或1)(=x A μ有且仅有一个成立。
然而，客观-258-世界中存在着大量的模糊概念，如“高个子”，“老年人”，这些概念无法用普通集合表示，因为这些概念与其对立面之间无法划出一条明确的分界线。
为了研究和处理这类模糊概念（或现象），就需要把普通集合引申到模糊集合，用特征函数来描述就是将集合的特征函数的值域由}1,0{两个数扩展到闭区间]1,0[，这就是建立模糊集合的基本思想。
下面我们把所讨论对象的全体称为论域。
模糊数学建模
R1 = (0.2,0.5,0.3,0)
同理，对存储容量 u 2 ，运行速度 u3 ，外设配置
u4 和价格
u5 分别作出单因素评价，得
R2 = (0.1,0.3,0.5,0.1)
R3 = (0,0.4,0.5,0.1)
R4 = (0,0.1,0.6,0.3)
R5 = (0.5, 0.3, 0.2, 0.0)
= ((0.1 ∧ 0.2) ∨ (0.1 ∧ 0.1) ∨ (0.3 ∧ 0.0) ∨ (0.15 ∧ 0.0) ∨ (0.35 ∧ 0.5), (0.1 ∧ 0.5) ∨ (0.1 ∧ 0.3) ∨ (0.3 ∧ 0.4) ∨ (0.15 ∧ 0.1) ∨ (0.35 ∧ 0.3), (0.1 ∧ 0.3) ∨ (0.1 ∧ 0.5) ∨ (0.3 ∧ 0.5) ∨ (0.15 ∧ 0.6) ∨ (0.35 ∧ 0.2), (0.1 ∧ 0.0) ∨ (0.1 ∧ 0.1) ∨ (0.3 ∧ 0.1) ∨ (0.15 ∧ 0.3) ∨ (0.35 ∧ 0.0)) = (0.1 ∨ 0.1 ∨ 0.0 ∨ 0.0 ∨ 0.35, 0.1 ∨ 0.1 ∨ 0.3 ∨ 0.15 ∨ 0.2, 0.1 ∨ 0.1 ∨ 0.3 ∨ 0.1 ∨ 0.3, 0.0 ∨ 0.1 ∨ 0.1 ∨ 0.15 ∨ 0.0)
B = Ao R
0.5 0.3 0.4 0.1
0.0 0.1 0.1 0.3 0.3 0.2 0.0 0.3 0.5 0.5 0.6
= ((0.1 ∧ 0.2) ∨ (0.1 ∧ 0.1) ∨ (0.3 ∧ 0.0) ∨ (0.15 ∧ 0.0) ∨ (0.35 ∧ 0.5), (0.1 ∧ 0.5) ∨ (0.1 ∧ 0.3) ∨ (0.3 ∧ 0.4) ∨ (0.15 ∧ 0.1) ∨ (0.35 ∧ 0.3), (0.1 ∧ 0.3) ∨ (0.1 ∧ 0.5) ∨ (0.3 ∧ 0.5) ∨ (0.15 ∧ 0.6) ∨ (0.35 ∧ 0.2), (0.1 ∧ 0.0) ∨ (0.1 ∧ 0.1) ∨ (0.3 ∧ 0.1) ∨ (0.15 ∧ 0.3) ∨ (0.35 ∧ 0.0))
模糊数学建模方法
其中d=(d1 ,d2, …,dm)T为伸缩指标。 设Z0是(1)的最优解，设Z1是(2)的最优解 目标函数的弹性可表示为Z0≤Z=Cx≤ Z1
隶属函数为：
0 n n G ( x ) g ( c j x j ) ( c j x j z0 ) ( z1 z0 ) j 1 j 1 1
变形得
max Z
n aij x j d i bi d i ( i 1, 2, , m ) j 1 n c j x j ( z1 z0 ) z0 j 1 0, x 0 ( j 1, 2, , n)1 3 x2 3 x1 2 x2 1500 x1 400 s.t . x2 250 x , x 0. 1 2
(1) (2) (3)
根据实际情况，假设约束条件(1)(2)(3)的伸
缩系数分别为d1=50(元)， d2=5(套)， d3=5 (套)，为
x X
则模糊规划转化为普通规划问题
max Z
n 1 ( aij x j bi ) d i ( i 1, 2, , m ) j 1 n ( c j x j z0 ) ( z1 z0 ) j 1 0, x 0 ( j 1, 2, , n) j
min f1 x1 2 x2 x3 max f 2 2 x1 3 x2 x3 x1 3 x2 2 x3 10 s.t . x1 4 x2 x3 6 x , x , x 0. 1 2 3
解得λ =0.57, x1=6.29, x2=0.29, x3=1.43,此时
6 x1 2 x2 21, s.t . x1 , x2 0.
模糊数学法
模糊数学法引言模糊数学法是一种用于处理模糊不确定性问题的数学方法。
它是由美国数学家洛特菲尔德于1965年提出的，被认为是一种在现实世界中处理不明确、含糊和不确定性信息的有效工具。
在传统的数学中，我们通常使用精确的数值来进行计算和推导。
然而，在现实生活中，很多问题都是模糊不清的，无法用精确的数值来描述。
例如，判断一个人的身高是否高大，这个问题就存在模糊性，因为高大的标准因人而异。
在这种情况下，传统的数学方法就失去了效力，需要使用模糊数学法来处理。
模糊集合模糊集合是模糊数学的核心概念之一。
传统的集合理论中，元素要么属于集合，要么不属于集合，不存在属于程度的概念。
而在模糊集合中，元素的归属程度可以是模糊的。
一个元素可以部分属于集合，部分不属于集合。
这种归属程度的模糊性可以用[0,1]之间的数值来表示，称为隶属度。
模糊集合可以用一个隶属函数来描述。
隶属函数是一个将元素映射到隶属度的函数。
例如，对于一个描述“高大”人的模糊集合，可以用一个隶属函数将每个人映射到0到1之间的一个隶属度，表示这个人属于“高大”这个集合的程度。
模糊逻辑模糊逻辑是模糊数学的另一个重要概念。
传统的逻辑推理是基于真假的二值逻辑，而模糊逻辑则允许命题的真实性程度是模糊的。
模糊逻辑中的命题可以是“完全真”、“完全假”或者处于两者之间的模糊状态。
模糊逻辑使用模糊推理来推导出模糊命题的真实性程度。
它可以用于解决模糊不确定性问题，例如模糊控制系统中的决策问题、模糊信息检索等。
模糊数学应用模糊数学方法在很多领域都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：模糊控制模糊控制是模糊数学的一个重要应用领域。
在传统的控制系统中，输入和输出之间的关系通常是精确的，可以用精确的数学模型来描述。
然而，在现实生活中，很多控制系统的输入和输出之间的关系是模糊的，无法用精确的数学模型来描述。
在这种情况下，可以使用模糊控制方法来设计控制系统，通过模糊推理来处理模糊的输入和输出。
数学建模 模糊数学
模糊集的运算性质基本上与 经典集合一致，除了排中律以外， 即 A∪Ac U， A∩Ac . 模糊集不再具有“非此即彼” 的特点，这正是模糊性带来的本 质特征.
-截集：
模糊集的 - 截集 A 是一个经典 集合，由隶属度不小于 的成员构 成.即：
A= {x | A(x) ≥ }
模糊相似矩阵的性质
上述定理表明，任一个模 糊相似矩阵可诱导出一个模 糊等价矩阵.
平方法求传递闭包 t (R)： RR2R4R8R16…
有限步之内可以求出
最后由模糊等价关系的-截集得到 等价关系，从而分类。不同的得 到的分类可能是不一样的。
在模糊聚类分析中，对于各个不同 的 ∈ [0,1] ，可得到不同的分类，从而 形成一种动态聚类图，这对全面了解样 本分类情况是比较形象和直观的.
经典二元关系
X Y 的子集 R 称为从 X 到 Y 的二 元关系，特别地，当 X = Y 时，称之为 X 上的二元关系，简称为关系. 若(x , y )R，则称 x 与 y 有关系， 记为R (x , y ) = 1； 若(x , y )R，则称 x 与 y 没有关系， 记为R (x , y ) = 0. 映射 R : X Y {0,1} 实际上是 X Y 的子集R的特征函数.
模糊数学基础
Fuzzy Mathematics
主讲人：韩邦合
实际生活中充满了模糊概念， 例如 , 要你某时到飞机场去迎接一个 “大胡子高个子长头发戴宽边黑色眼 镜的中年男人”. 精确概念：时间、地点、男人
模糊概念：大胡子、高个子、 长头发、宽边眼镜、中年人
模糊概念是存在的，也是 必须的，更是重要的。 人类大脑对于模糊性概念 具有较强的处理能力，模糊数学 研究处理模糊概念的理论和方法， 从而让机器人具有人一样的思维 能力，是人工智能的重要学科之 一。
数学建模模糊数学方法
0.7/a + 0.3/b ∧ 0.4/a + 0.6/b → 0.4/a + 0.3/b
一、模糊集合论的基础知识
U = {甲, 乙, 丙, 丁} A = ―矮子”
隶属函数 (0.9, 1, 0.6, 0) 隶属函数 (0.8, 0.2, 0.9, 1)
B = ―瘦子”
找出 C = ―又矮又瘦”
1.模糊聚类
1）数据标准化处理：
xij xij
xij x sj
平移—标准差变换法
xij min( xij )
i
平移—极差变换法
max( xij ) min( xij )
i i
1.模糊聚类
2）建立模糊相似矩阵： 设论域Ｕ={x1,x2, …,xn}，xi={xi1,xi2, …,xin}，如 果xi与xj之间的相似程度为rij=Ｒ(i, j)，则称之 为相似系数。R=(rij)n×n称为相似系数矩阵。 确定相似系数的方法有多种，常用的有数量积 法、夹角余弦法、相关系数法、最大最小值法、 距离法、专家评分法等。
一、模糊集合论的基础知识
例：设论域U={x1(140), x2(150), x3(160), x4(170), x5(180), x6(190)}（单位cm)表示身高， 那么模糊集“高个子”的隶属函数可定义为 A(u)=(x-140)/(190-140) 也可表示为(Zadeh表示法)
A=0/140 + 0.2/150 + 0.4/160 + 0.6/170 + 0.8/180+1/190 或（向量表示法）A=(0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1)
模糊数学建模简介
设 A (aij )mn , B (bij )mn都是模糊矩阵，定义
相等：A B aij bij 包含： A B aij bij 并： A B (aij bij )mn
交： A B (aij bij )mn
余： Ac (1 aij )mn
显然，截矩阵为Boole矩阵。
1 0.5 设A 例 6： 0.2 0 1 1 0 0
1 0.1 0.4 0 设A , B , 则 例 4： 0.2 0.3 0.3 0.2 1 0.1 A B 0.3 0.3 0 0.9 A 0.8 0.7
c
0.4 0 A B 0.2 0.2 0.6 1 B 0.7 0.8
结果为：81人认为x1 质量好，53人认为x2 质量好，
所有人认为x3 质量好，没有人认为x4 质量好，24人 认为x5 质量好
则模糊集A（质量好）
0.81 0.53 1 0 0.24 A x1 x2 x3 x4 x5
例2：考虑年龄集U=[0,100]，O=“年老”，O也是一个年龄集， u = 20 ∉ O，40 呢？…札德给出了 “年老” 集函数刻画:
（2）序偶表示法
A {( x1 , A( x1 )), ( x2 , A( x2 )),, ( xn , A( xn ))}
（3）向量表示法
A ( A( x1 ), A( x2 ),, A( xn ))
若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：
A
xU
A( x ) x
例1. 有100名消费者，对5种商品 x1 , x2 , x3 , x4 , x5 评价，
模糊数学——第22次模糊模式识别资料
2020年10月6日
1
模糊模式识别
模式识别是指对表征事物或现象的各种形式的信息（即模 式信息）进行处理和分析，以对事物或现象进行描述、辨认、 分类和解释的过程，是信息科学和人工智能的重要组成部分。
模式信息包括文字、声音、图像等具体对象，也可以是 状态、程度等抽象对象。它们是与数字形式的信息相对比区 别的。
简单的说，模式识别先通过规律找到一个模板，然后用这 个模板去识别别的事物是否属于这个模板类。
应用：文字识别、语音识别、指纹识别、遥感、医学诊断。
2020年10月6日
2
模糊模式识别
模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式， 称为标准模式库；二是有待识别的对象。
所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模 糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。
21
（2）如果max{ A1( x0 ), A2( x0 ),, Am ( x0 )} ,
并且有 k 个模糊模式 Ai1 ( x0 ), Ai2 ( x0 ),, Aik ( x0 )大于或等
于 ，则认为识别可行，并将 x0划归于 Ai1 Ai2 Aik .
2020年10月6日
15
模糊模式识别
A2(55) max{A1(55), A2(55)}
2020年10月6日
9
模糊模式识别
例2 选择优秀考生。设考试的科目有六门
x1：政治
x2：语文
x3：数学
x4：理、化
x5：史、地
x6：外语
考生为 y1，y2，…，yn，组成问题的论域 Y = { y1, y2, …, yn}。 设 A = “优秀”，是 Y 上的模糊集，A(yi) 是第 i 个学生隶 属于优秀的程度。问哪个学生最优秀。