暑期班第14讲.导数的应用.文科.学生版

1．了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）．
2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）．
（一）主要方法
1．利用导数判断单调性：
如果函数()y f x =在x 的某个开区间内，总有()0f x '>（()0f x '<），则()f x 在这个区间上是增（减）函数． 2．利用导数研究函数的极值与最值： ⑴极值的定义：
函数()y f x =的定义域内的一点0x ，如果对0x 附近的所有点x ，都有0()()f x f x <（0()()f x f x >），则称函数()f x 在点0x 处取极大值
（极小值），记作0()y f x =极大（或0()y f x =极小），并把0x 称为函数()f x 的一个极大（极小）值点，统称极值点．
⑵求函数()y f x =的极值的方法：
先求方程()0f x '=的所有实数根，再考查每个根附近，导函数()f x '的符号是否变化，符号发生变化的对应的是极值点，否则不是．
⑶求函数最大（小）值的方法：
先求出函数在区间内的极值点，再比较极值与区间端点处的函数值，得到函数的最值．
（二）典例分析
【例1】 ⑴已知函数321
()53
f x x x ax =++-，若()f x 的单调递减区间是(31)-，，则a 的值是 ．
⑵（2008广东卷9）
设a ∈R ，若函数x y e ax x =+∈R ，
有大于零的极值点，则（ ） 高考要求
第十四讲 导数的应用
知识精讲
A ．1a <-
B ．10a -<<
C ．10a e -<<
D ．1
e
a <-
【解析】 ⑴3-；2
()2f x x x a '=++为二次函数，故原函数的递减区间是(31)-，{}(31)()0x f x '⇔-=<，
， 所以31-，是方程220x x a ++=的两个实数根，由韦达定理，()31a -⋅=，∴3a =-． ⑵A ；x y e a '=+，由题意知0y '=有正根，故0a <，且ln()01a a ->⇒<-．
【变式】 已知函数321
()53f x x x ax =++-，若()f x 在[1)+∞，上是单调增函数，
则a 的取值范围是 ． 【解析】 [3)-+∞，；函数在[1)+∞，上是单调增函数[){}1()0x f x '⇔+∞⊆，
≥ ()*， 2()244f x x x a a '=++∆=-，，
分类讨论：
①当0∆≤，即440a -≤，即1a ≥时，()*条件成立；
②当0
11130(1)0
a a f ∆>⎧<⎧⎪
-<⇔⎨⎨+⎩⎪'⎩
≥≥，即31a -<≤时，()*条件成立；
综上，当3a -≥时，()*条件成立，3a -≥为所求．
【例2】 已知321
(2)33
y x bx b x =++++是R 上的单调增函数，则b 的取值范围是（ ）
A ．1b <-或2b >
B ．1b -≤或2b ≥
C ．12b -<<
D ．12b -≤≤
【解析】 D ；222y x bx b '=+++，由题意知，2220x bx b +++≥在R 上恒成立，故2(2)4(2)0b b -+≤，
解得12b -≤≤．
【变式】 函数325y ax x x =-+-在区间()-∞+∞，上单调递增，求a 的取值范围． 【解析】 分析：导函数2321y ax x '=-+在0a ≠时为二次函数，可以考虑图象．
只需0a >，且4120a ∆=-<，解得1
3a >．
而当0a >且4120a ∆=-=，即1
3
a =时，y '只有在1x =时才等于零，在其它点都大于零，故此时函
数仍然单调递增．
故1
3
a ≥．
【例3】 （2006全国卷I ）
设a 为实数，函数()()3221f x x
ax a x =-+-在()0-∞，
和()1+∞，都是增函数，求a 的取值范围． 【解析】 22()32(1)f x x ax a '=-+-，其判别式22241212128a a a ∆=-+=-．
⑴若21280a ∆=-=，即a =，当3a x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭，或3a x ⎛⎫
∈+∞ ⎪⎝⎭
，
时，()0f x '>， 故()f x 在()-∞+∞，为增函数．所以a =满足． ⑵若21280a ∆=-<，恒有()0f x '>，()f x 在()-∞+∞，为增函数，所以23
2
a >
，
即a
⎛⎫
∈-∞+∞
⎪
⎪
⎝⎭⎝⎭
，；
⑶若2
1280
a
∆=->，即a
<<，令()0
f x
'=，解得
1
x，
2
x
=．
当
1
()
x x
∈-∞，或
2
()
x x
∈+∞
，时，()0
f x
'>，(
)
f x为增函数；当
12
()
x x x
∈，时，()0
f x
'<，
()
f x为
减函数．依题意
1
x≥且
2
1
x≤．由
1
x≥得a
1a<
≤；
由
2
1
x≤3a
-，解得a
<，从而1
a
⎡
∈⎢
⎣⎭
．
综上，a的取值范围为[)
1
⎛
-∞+∞
⎝⎦
，，．
【例4】求函数3
()3
f x x x
=-的单调区间与极值．
【解析】2
()333(1)(1)
f x x x x
'=-=+-，
令()0
f x
'>，解得11
x
-<<；令()0
f x
'<，解得1
x>或1
x<-．
故()
f x的单调增区间为(11)
-，；单调减区间为(1)
-∞-
，和(1)
+∞
，；
有下表：
从而，(f
【变式】求函数
22
()(0100)
1
a b
f x x a b
x x
=+<<>>
-
，，的单调区间与极小值．
【解析】
222222
2222
(1)
()
(1)(1)
a b b x a x
f x
x x x x
--
'=-+=
--22
()[()]
(1)
a
a b x b a x a
a b
x x
⎛⎫
+--+
⎪
+
⎝⎭
=
-
．
当0
x=时，()0
b a x a a
-+=>；当1
x=时，()0
b a x a b
-+=>，
∴01
x
<<时，恒有()0
b a x a
-+>，令()0
f x
'=，解得
a
x
a b
=
+
(01)
∈，．
当0
a
x
a b
<<
+
时，()0
f x
'<，当1
a
x
a b
<<
+
时，()0
f x
'>．
∴函数()
f x在0
a
a b
⎛⎫
⎪
+
⎝⎭
，上单调递减，在1
a
a b
⎛⎫
⎪
+
⎝⎭
，上单调递增，
故()
f x在
a
x
a b
=
+
处取得极小值为2
()
a
f a b
a b
⎛⎫
=+
⎪
+
⎝⎭
．
【例5】已知函数
2
1
()2(02]
f x ax x
x
=-∈
，，，若()
f x在(01]
x∈，上是增函数，求a的取值范围．
【解析】
33
21
()22
f x a a
x x
⎛⎫
'=+=+
⎪
⎝⎭
，
若()f x 在(01]x ∈，上是增函数，只需在(01]x ∈，上，()0f x '>恒成立，即31
a x
>-恒成立． 在(01]x ∈，上，有3
1
1x -
≤-，故只需1a >-． 而当1a =-时，31()21f x x ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭
，只有在1x =时，才有0y '=，在(01)，上总有0y '>，即函数
21
()2f x ax x
=-在(01]，
上单调递增． 综上，1a ≥时，函数21
()2f x ax x
=-，(01]x ∈，是增函数．
【例6】 （2005福建）
已知函数26
()ax f x x b
-=
+的图象在点(1(1))M f --，处的切线方程为250x y ++=． ⑴求函数()y f x =的解析式；⑵求函数()y f x =的单调区间．
【解析】 ⑴由函数()y f x =的图象在点(1(1))M f --，处的切线方程为250x y ++=，知
12(1)50(1)2f f -+-+=⇒-=-，1
(1)2
f '-=-，
∵222
()2(6)()()a x b x ax f x x b +--'=+，∴221(1)2()1(1)2a b
b
a b a b b --⎧=⎪+⎪⎨++--⎪=-⎪+⎩
，
解得2
3a b ==，（1b =-舍弃，∵1b +≠0）
所求函数的解析式是2
26
()3
x f x x -=+．
⑵222
2126
()(3)x x f x x -++'
=+．
令()0f x '=，解得1233x x =-=+ 当
3x <-或3
x >+
()0f x '<；
当33x -<+()0f x '>．
综上，226
()3
x f x x -=+在(3-∞-，
内是减函数，在(33-+内是增函数， 在(3)++∞内是减函数．
【例7】 （2006江西）
已知函数32()f x x ax bx c =+++在2
3
x =-与1x =时都取得极值，若对[12]x ∈-，，
不等式2()f x c <恒成立，求c 的取值范围．
【解析】 如果能求出()f x 在[12]-，上的最大值，令其2c <即可．函数的极大值与端点处的值之间的最大
者，为函数在该区间的最大值．
2()32f x x ax b '=++，
由2124
0393
f a b ⎛⎫'-=-+= ⎪⎝⎭，(1)320f a b '=++=，得122a b =-=-，，
即()(32)(1)f x x x '=+-．
易知2
3
-是()f x 的极大值点，1是()f x 的极小值点．
将a b ，的值代入有321
()22
f x x x x c =--+，
[12]x ∈-，时，222
()327
f c -=+为极大值，
而()f x 在[12]-，端点处的值为(2)2f c =+，1
(1)2
f c -=+，则(2)2f c =+为最大值．
要使2()f x c <（[12]x ∈-，）恒成立，只需2(2)2c f c >=+，解得2c >或1c <-．
【例8】 （2005全国）
已知0a ≥，函数2()(2)x f x x ax e =-，当x 为何值时，()f x 取得最小值？ 【解析】 2()(222)x f x e x ax x a '=-+-，
令()0f x '=，解得1211x a x a =-=-+ 的单调区间如下表所示：
∴()f x 在x =1x 处取得极大值，在x =2x 处取得极小值， 于是由单调区间知()f x 在1[)x +∞，上的最小值为2()f x ．
只需要证明当1()x x ∈-∞，时，2()()f x f x >，则2()f x 为()f x 的最小值． 当0a ≥时，1210x x <-<≤，即120x x <<． 注意到(0)0f =，而当0x <时()f x =(2)0x x x a e ->， 所以1()x x ∈-∞，时，()(0)f x f >． 由()f x 的单调性知2(0)()f f x > 因此1()x x ∈-∞，时，2()()f x f x >．
所以当21x x a ==-+()f x 取得最小值．
【变式】 设函数()e e x x f x -=-．
证明：⑴()f x 的导数()2f x '≥；⑵()2f x x ≥对所有的0x ≥成立．
【解析】 ⑴()f x 的导数()e e x x f x -'=+．
由于e e 2x x -+≥，故()2f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）． ⑵令()()2g x f x x =-，则()()2e e 2x x g x f x -''=-=+-≥0，
∴()g x 在R 上单调递增，
∴当x ≥0时，()(0)0g x g =≥，即()2f x x ≥对所有的0x ≥成立．
【例9】 （2006天津卷）
已知函数()323
43cos cos 16
f x x x θθ=-+
，其中x ∈R ，θ为参数，且02πθ≤≤． ⑴当cos 0θ=时，判断函数()f x 是否有极值；
⑵要使函数()f x 的极小值大于零，求参数θ的取值范围；
【解析】 ⑴当cos 0θ=时，3()4f x x =，则()f x 在()-∞+∞，内是增函数，故无极值．
⑵2()126cos f x x x θ'=-，令()0f x '=，得12cos 02
x x θ
==
，， 由⑴，只需分下面两种情况讨论．
①当cos 0θ>时，随x 的变化()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()f x 在cos 2x =处取得极小值cos 2
f ⎛⎫
⎪⎝⎭，且3
cos 13cos cos 2416f θθ⎛⎫=-+ ⎪
⎝⎭
，
要使cos 02f θ⎛⎫> ⎪
⎝⎭
，必有2
13cos (cos )044θθ-->，可得0cos θ<． 故ππ62θ<<或3π11π26
θ<<； ②当cos 0θ<时，随x 的变化，()f x '的符号及()f x 的变化情况如下表：
因此，函数()f x 在0x =处取得极小值(0)f ，且(0)cos .16
f θ=
若(0)0f >，则cos 0θ>．矛盾．所以当cos 0θ<时，()f x 的极小值不会大于零．
综上，要使函数()f x 在()-∞+∞，内的极小值大于零，参数θ的取值范围为ππ3π11π622
6⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，，．
【例10】 设3x =是函数23()()e ()x f x x ax b x -=++∈R 的一个极值点．求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求
()f x 的单调区间； 【解析】 23()[(2)]e x f x x a x b a -'=-+-+-，
由(3)0f '=，得233[3(2)3]e 0a b a --+-⨯+-=，得32b a =--，
则23()[(2)32]e x f x x a x a a -'=-+----3(3)(1)e x x x a -=--++．
令()0f x '=，得13x =，21x a =--，由于3x =是极值点，12x x ≠，那么4a ≠-． ①当4a <-时，213x x >=，则在区间(3)-∞，上，()0f x '<，()f x 为减函数； 在区间(31)a --，上，()0f x '>，()f x 为增函数； 在区间(1)a --+∞，上，()0f x '<，()f x 为减函数． ②当4a >-时，213x x <=，则在区间(1)a -∞--，上，()0f x '<，()f x 为减函数； 在区间(13)a --，上，()0f x '>，()f x 为增函数； 在区间(3)+∞，上，()0f x '<，()f x 为减函数．
【例11】 已知二次函数()f x 满足：
①在1x =时有极值；②图象过点(03)-，，且在该点处的切线与直线20x y +=平行．
⑴求()f x 的解析式；⑵求函数2()()g x f x =的单调递增区间．
【解析】 ⑴设2()f x ax bx c =++，则()2f x ax b '=+．
由题设可得：(1)0(0)2(0)3f f f '=⎧⎪'=-⎨⎪=-⎩，即2023
a b b c +=⎧⎪=-⎨⎪=-⎩
，解得123a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩．
所以2()23f x x x =--．
⑵242()()23g x f x x x ==--，3()444(1)(1)g x x x x x x '=-=-+．列表：
由表可得：
函数()g x 的单调递增区间为(10)-，和(1)+∞，．
【例12】 （2006安徽）
已知函数()f x 在R 上有定义，对任何实数0a >和任何实数x ，都有()()f ax af x =
⑴证明()00f =；
⑵证明()f x =00kx x hx x ⎧⎨<⎩
，
≥，，其中k 和h 均为常数；
⑶当⑵中的0k >时，设()()
()1
(0)g x f x x f x =+>，讨论()g x 在()0+∞，
内的单调性并求极值． 【解析】 ⑴令0x =，则()()00f af =，∵0a >，∴()00f =．
⑵当0x >时，()()()()f ax f xa af x xf a ===，
令1a =得：()(1)f x xf =，又(0)0f =，设(1)k f =有： ()(0)f x kx x =≥；
当0x <时，()()(()())()f ax af x f x a xf a ==-⋅-=--，
令1a =得：()(1)(1)f x xf f x =--=--，令(1)h f =--，有()(0)f x hx x =<， 综上知： ()f x =00kx x hx x ⎧⎨<⎩
，
≥，，k 和h 均为常数；
⑶当0x >时，()()()11
g x f x kx f x kx =+=+，222
11()x g x k kx kx -'=-+=
， 令()0g x '=，得1x =或1x =-； 当(01)x ∈，时，()<0g x '，()g x 单调递减； 当(1)x ∈+∞，时，()0g x '>，()g x 单调递增；
所以当1x =时，函数()g x 在()0+∞，
内取得极小值，极小值为1
(1)g k k
=+．
【例13】 （2007安徽18）
设0a ≥，2()1ln 2ln (0)f x x x a x x =--+>． ⑴令()()F x xf x '=，讨论()F x 在(0)+∞，内的单调性并求极值；
⑵求证：当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．
【解析】 ⑴根据求导法则有2ln 2()10x a
f x x x x
'=-+>，，
故()()2ln 20F x xf x x x a x '==-+>，，于是22
()10x F x x x x
-'=-=>，， 列表如下：
故知()F x 在(02)，以，在2x =处取得极小值(2)22ln 22F a =-+．
⑵证明：由0a ≥知，()F x 的极小值(2)22ln 220F a =-+>． 于是由上表知，对一切(0)x ∈+，∞，恒有()()0F x xf x '=>． 从而当0x >时，恒有()0f x '>，故()f x 在(0)+，∞内单调增加． 所以当1x >时，()(1)0f x f >=，即21ln 2ln 0x x a x --+>． 故当1x >时，恒有2ln 2ln 1x x a x >-+．
习题1. 函数21
4y x x
=+
的单调增区间为（ ） A ．(0)+∞， B ．12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．(1)-∞-， D ．12⎛
⎫-∞- ⎪⎝
⎭，
【解析】 B ；令222
1(21)(421)80x x x y x x x -++'=-=>，得1
2
x >．
习题2. 函数()f x 的导函数图象如下图所示，则函数()f x 在图示区间上
（ ）
A ．无极大值点，有四个极小值点
B ．有三个极大值点，两个极小值点
C ．有两个极大值点，两个极小值点
D ．有四个极大值点，无极小值点
【解析】 因为导函数的图象与x 轴的四个交点处都是穿过的，所以都是
极值点，根据正负变化情况知，第一个与第三个交点对应极大值点，第二个与第四个交点对应极小值点（从左到右），故选C ．
习题3. 函数31
()
443
f x x x =-+的极大值是 ；极小值是 ．
【解析】 283
、43-；2()4(2)(2)f x x x x '=-=-+，()f x 在2x =-处取得极大值28
(2)3f -=；在2x =处取得
家庭作业
极小值4
(2)3
f =-．
习题4. 设函数32()23(1)1f x x a x =--+，其中1a >． ⑴求()f x 的单调区间；⑵讨论()f x 的极值．
【解析】 由已知得[]()6(1)f x x x a '=--，
令()0f x '=，解得12010x x a ==->，．
⑴()()f x f x '，随x 的变化情况如下表：
)+∞，上单调递增． ⑵由⑴知，
当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1a -处取得极小值31(1)a --．
a)
函数32()31f x x x =-+是减函数的区间为（ ）
A ．(2)+∞，
B ．(2)-∞，
C ．(0)-∞，
D ．(02)，
【解析】 D ；2()363(2)f x x x x x '=-=-．
b)
函数3()34([01])f x x x x =-∈，
的最大值是（ ） A ．1 B ．
1
2
C ．0
D ．1- 【解析】 A ；211()3121222f x x x x ⎛⎫⎛⎫'=-=-+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 在102⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，在112⎛⎫
⎪⎝⎭
，上单调递减，
又此函数的图象为一条连续的曲线，故最大值为112f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
．
c)
已知函数32()f x ax bx cx =++在点0x 处取得极大值5，其导函数()y f x '=的图象经过点(10)，，
(20)，，且开口向上．
求：⑴0x 的值；⑵a b c ，，的值．
【解析】 ⑴由题意得：
月测备选
0⑵2()32f x ax bx c '=++，
依题意得(1)5(1)0(2)0f f f =⎧⎪'=⎨⎪'=⎩，即53201240a b c a b c a b c ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩
，∴2912a b c ==-=，，．
d)
（2008全国Ⅱ21）
设a ∈R ，函数32()3f x ax x =-．
⑴若2x =是函数()y f x =的极值点，求a 的值； ⑵若函数()()()[02]g x f x f x x '=+∈，，，在0x =处取得最大值，求a 的取值范围．
【解析】 ⑴2()363(2)f x ax x x ax '=-=-．
因为2x =是函数()y f x =的极值点，所以(2)0f '=，即6(22)0a -=，因此1a =． 经验证，当1a =时，2x =是函数()y f x =的极值点．
⑵由题设，3222()336(3)3(2)g x ax x ax x ax x x x =-+-=+-+． 当()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g 时，
(0)(2)g g ≥，即02024a -≥．故得6
5
a ≤．
反之，当6
5a ≤时，对任意[02]x ∈，，
26()(3)3(2)5g x x x x x +-+≤23(210)5x x x =+-3(25)(2)5
x
x x =+-0≤，
而(0)0g =，故()g x 在区间[02]，上的最大值为(0)g ． 综上，a 的取值范围为65⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，．。