北师大版九年级上册数学第二章测试题答案参考-最新教学文档
北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案
北师大版九年级上册数学第二章测试题及答案(考试时间：120分钟 满分：120分)第Ⅰ卷(选择题 共18分)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．用配方法解一元二次方程x 2＋4x －5＝0，此方程可变形为( A )A ．(x ＋2)2＝9B ．(x －2)2＝9C ．(x ＋2)2＝1D ．(x －2)2＝12．若方程x 2－3kx ＋k ＋1＝0的两根之积为2，则( D )A ．k ＝2B ．k ＝－1C ．k ＝0D ．k ＝13．关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值是( C )A ．任意实数B ．m ≠1C ．m ≠－1D ．m ＞14．(衡阳中考)绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米，设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( B )A ．x (x －10)＝900B ．x (x ＋10)＝900C ．10(x ＋10)＝900D ．2[x ＋(x ＋10)]＝9005．菱形ABCD 的一条对角线长为6，边AB 的长为方程y 2－7y ＋10＝0的一个根，则菱形ABCD 的周长为( B )A ．8B ．20C ．8或20D ．106．如果关于x 的一元二次方程kx 2－2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实根，则k 的取值范围是( D )A ．－12≤k ＜12B ．k ≠0C ．k ＜12且k ≠0D ．－12≤k ＜12且k ≠0 第Ⅱ卷(非选择题 共102分)二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．已知方程3x 2－9x ＋m ＝0的一个根是1，则m 的值 6 .8．已知关于x 的一元二次方程(m －2)x 2＋3x ＋m 2－4＝0的常数项为0，则m 的值为__－2 .9．已知x 为实数，且满足(x 2＋3x )2＋2(x 2＋3x )－3＝0，则x 2＋3x 的值为 1 .10．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x 2－13x ＋40＝0的根，则该三角形的周长为 12 .11．某种T 恤衫，平均每天销售40件，每件盈利20元．若每降价1元，则每天可多售出10件．如果每天盈利1 400元，那么每件应降价 6或10 元．12．(成都中考)已知x 1，x 2是关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋a ＝0的两个实数根，且x 21－x 22＝10，则a ＝ 214.三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．解方程：(1)(2017·兰州)2x 2－4x －1＝0；解：原方程可化为(x －1)2＝32， ∴x 1＝1＋62，x 2＝1－62； (2)(山西中考)2(x －3)2＝x 2－9.解：2(x －3)2－(x ＋3)(x －3)＝0，(x －3)(2x －6－x －3)＝0，(x －3)(x －9)＝0，x －3＝0或x －9＝0，∴x 1＝3，x 2＝9.14．(巴中中考)定义新运算：对于任意实数m ，n 都有m ☆n ＝m 2n ＋n ，等式右边是常用的加法、减法、乘法及乘方运算，例如：－3☆2＝(－3)2×2＋2＝20.根据以上知识解决问题：若2☆a 的值小于0，请判断方程2x 2－bx ＋a ＝0的根的情况．解：∵2☆a 的值小于0，∴22a ＋a ＝5a ＜ 0，解得a ＜ 0.在方程2x 2－bx ＋a ＝0中，Δ＝(－b)2－8a ≥ －8a ＞ 0，∴方程2x 2－bx ＋a ＝0有两个不相等的实数根．15.已知关于x 的方程x 2＋2x ＋a －2＝0.(1)若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；(2)当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根．解：(1)依题意有Δ＝22－4(a －2)＞ 0，解得a ＜ 3；(2)依题意得1＋2＋a －2＝0，解得a ＝－1，∴原方程为x 2＋2x －3＝0.∴x ＝－2±4－4× 1× （－3）2× 1＝－2±162， 即x 1＝1，x 2＝－3，∴a ＝－1，方程的另一根为－3.16．一个直角三角形的斜边为4 5 cm ，两条直角边的长相差4 cm ，求这个直角三角形两条直角边的长．解：设其中一条较长的直角边长为x cm ， 则另一条直角边长为(x －4) cm.根据题意，得x 2＋(x －4)2＝(45)2，解得x 1＝－4(舍去)，x 2＝8.∴x －4＝4.∴两条直角边的长分别为4 cm ，8 cm.17．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元，求3月份到5月份的营业额的月平均增长率．解：3月份到5月份月增长是经过2次增长，平均月增长率是每次增长的百分数相同．设平均月增长率为x，则5月份的营业额是：3月份的营业额× (1＋x)2，因此，应先求3月份的营业额．显然，3月份的营业额是2月份的营业额×(1＋10%)＝400(1＋10%)＝440，故依题意，得440(1＋x)2＝633.6，(1＋x)2＝1.44，两边直接开平方，得1＋x＝± 1.2，所以x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．故3月份到5月份的营业额的月平均增长率为20%.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．(菏泽中考)某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？解：设销售单价为x，则：(x－360)[160＋2(480－x)]＝20 000，∴x2－920x＋211 600＝0，解得x1＝x2＝460.答：这种玩具的销售单价为460元时，厂家每天可获利润20 000元．19．(十堰中考)已知关于x的一元二次方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程两实数根分别为x1，x2，且满足x21＋x22＝31＋|x1x2|，求实数m的值．解：(1)Δ＝b2－4ac＝[－(2m＋3)]2－4(m2＋2)＝12m＋1，∵方程有实数根，∴12m＋1≥ 0，解得m≥－1 12.(2)∵x1，x2是方程x2－(2m＋3)x＋m2＋2＝0的两个实数根，∴x1＋x2＝2m＋3，x1x2＝m2＋2＞0.∵x21＋x22＝31＋x1x2，∴(x1＋2)2－2x1x2＝31＋x1x2，∴(2m＋3)2－2(m2＋2)＝31＋m2＋2，∴m2＋12m－28＝0，解得m1＝2，m2＝－14.∵m≥－112，∴m＝2.20.中秋节前夕，旺客隆超市采购了一批土特产，根据以往销售经验，每天的售价与销(1)求y与x的函数表达式；(2)如果这种土特产的成本价是20元/kg，为使某一天的利润为780元，那么这一天的销售价应为多少元？(利润＝销售总金额－成本)解：(1)∵y与x是一次函数关系．∴设y 与x 之间的函数表达式是y ＝kx ＋b(k ≠0)．根据题意，得⎩⎨⎧20k ＋b ＝86，35k ＋b ＝56，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝126. 所以，所求的函数表达式是y ＝－2x ＋126.(2)设这一天的销售价为x 元/kg, 根据题意，得(x －20)(－2x ＋126)＝780.整理，得x 2－83x ＋1 650＝0，解得x 1＝33，x 2＝50.答：这一天的销售价应为33元/kg 或50元/kg.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．已知关于x 的一元二次方程(a ＋c )x 2＋2bx ＋a －c ＝0，其中a ，b ，c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果x ＝－1是方程的根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由．解：(1)△ABC 是等腰三角形．理由如下：∵x ＝－1是方程的根，∴将x ＝－1代入得(a ＋c)× (－1)2－2b ＋a －c ＝0，∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0，∴a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形；(2)△ABC 是直角三角形．理由如下：∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(2b)2－4(a ＋c)(a －c)＝0，∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形．22．某单位于“三·八”妇女节期间组织女职工到温泉“星星竹海”观光旅游．下面是领队与旅行社导游收费标准的一段对话：领队：组团去“星星竹海”旅游每人收费是多少？导游：如果人数不超过25人，人均旅游费用为100元．领队：超过25人怎样优惠呢？导游：如果超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低2元，但人均旅游费用不得低于70元．该单位按旅行社的收费标准组团浏览“星星竹海”结束后，共支付给旅行社2 700元． 请你根据上述信息，求该单位这次到“星星竹海”观光旅游的共有多少人？ 解：设该单位这次参加旅游的共有x 人，∵100× 25＜ 2 700，∴x ＞ 25.依题意，得[100－2(x －25)]x ＝2 700，整理，得x 2－75x ＋1 350＝0.解得x 1＝30，x 2＝45.当x ＝30时，100－2(x －25)＝90＞ 70，符合题意．当x ＝45时，100－2(x －25)＝60＜ 70，不符合题意，舍去．∴x ＝30.答：该单位这次参加旅游的共有30人．六、(本大题共12分)23．如图，在△ABC 中，AB ＝6 cm ，BC ＝7 cm ，∠ABC ＝30°，点P 从A 点出发，以1 cm/s 的速度向B 点移动，点Q 从B 点出发，以2 cm/s 的速度向C 点移动．如果P ，Q 两点同时出发：(1)经过几秒后△PBQ 的面积等于4 cm 2?(2)当△PBQ 的面积等于4 cm 2时，△PBQ 是什么形状的三角形？解：(1)如图，过点Q 作QE ⊥PB 于E ，则∠QEB ＝90°.∵∠ABC ＝30°，∴2QE ＝QB.∴S △PBQ ＝12·PB·QE. 设经过t s 后△PBQ 的面积等于4 cm 2，则PB ＝6－t ，QB ＝2t ，QE ＝t.根据题意，12·(6－t)·t ＝4. t 2－6t ＋8＝0，t 1＝2，t 2＝4.当t ＝4时，2t ＝8，8＞ 7，不合题意舍去，所以t ＝2.答：经过2 s 后△PBQ 的面积等于4 cm 2.(2)∵△PBQ 的面积等于4 cm 2时，t ＝2，∴PB ＝6－t ＝6－2＝4，QB ＝2t ＝4，∴QB ＝PB ，∴△PBQ 是等腰三角形．。
北师大版九年级上册数学第二章测试题(附答案)
北师大版九年级上册数学第二章测试题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A. x2﹣2=（x+3）2B. ax2+bx+c=0C. x2+ ﹣5=0D. x2﹣1=02.方程﹣5x2=1的一次项系数是（）A. 3B. 1C. ﹣1D. 03.若关于x的一元二次方程x2+5x+m2-1=0的常数项为0，则m等于（）A. 1B. 2C. 1或-1D. 04.一元二次方程(x-5)2= x -5的解是（）A. x=5B. x=6C. x=0D. x1=5,x2=65.一种药品经两次降价，由每盒50元调至40.5元，平均每次降价的百分率是（）A. 5%B. 10%C. 15%D. 20%6.某商品两次价格上调后，单位价格从4元变为4.84元，则平均每次调价的百分率是（）A. 9%B. 10%C. 11%D. 12%7.一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A. 2B. 0C. 0和2D. 18.已知是方程x2-2x-1=0的两个根，则的值为（）A. B. 2 C. D. -29.方程2x2﹣6x﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A. 6、2、5B. 2、﹣6、5C. 2、﹣6、﹣5D. ﹣2、6、510.用配方法解方程x2－2x－3＝0时，配方后所得的方程为（）A. B. C. D.11.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（）A. 20％B. 30%C. 50%D. 120%12.某产品的成本两年降低了75%，平均每年递降（）A. 50%B. 25%C. 37.5%D. 以上答案都不对二、填空题（共6题；共14分）13.把一元二次方程化成二次项系数大于零的一般式，其中二次项系数是________，常数项是________.14.设m，n是一元二次方程x2＋2x－7＝0的两个根，则m2＋3m＋n＝________.15.一个两位数两个数字的和为5，把这个两位数的个位数字与十位数字母互换得到一个新的两位数，它与原两位数的积为736，则原两位数是________.16.已知x1，x2是一元二次方程x2﹣3x﹣2＝0的两实数根，则+ 的值是________．17.已知方程3x2﹣4x﹣2＝0的两个根是x1、x2，则＝________．18.△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是________．三、计算题（共2题；共10分）19.解方程:12x2+x-1=020.解方程① ；（公式法）② ．(配方法)四、解答题（共4题；共21分）21.解方程：2x2﹣3x+1=0．22.《杨辉算法》中有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多了多少步？23.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+x-m2-2m+3=0有一根是0，求m的值及这个方程的另一个根．24.经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．（1）填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨.（2）该经销店计划月利润为9000元而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？五、综合题（共4题；共41分）25.我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240 元，按每千克400 元出售，平均每周可售出200 千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10 元，则平均每周的销售量可增加40 千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600 元，请回答：（1）每千克茶叶应降价多少元？（2）在平均每周获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？26.定义新运算：对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Max{a，b}表示a、b中的较大值，如：Max{2，4}=4．（1）填空：Max{﹣2，﹣4}=________；（2）按照这个规定，解方程．27.如果方程x2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=﹣p，x1•x2=q，请根据以上结论，解决下列问题：（1）若p=﹣4，q=3，求方程x2+px+q=0的两根．（2）已知实数a、b满足a2﹣15a﹣5=0，b2﹣15b﹣5=0，求+ 的值；（3）已知关于x的方程x2+mx+n=0，（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数．28.某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元．（1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率；（2）根据第一题所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元．答案一、单选题1. D2. D3. C4. D5. B6. B7. C8.D9. C 10.A 11. A 12.A二、填空题13. 1；-1 14. 5 15. 23或32 16. 17. -2 18. 8三、计算题19. 解：根据题意，a=12,b=1,c=-1△=b2-4ac=1-4×12×（-1）=49＞0∴= ，=20. 解：① ，∵，，，∴，∴，∴，；② ，∴，∴，∴，∴，∴，∴，.四、解答题21. 解：方程分解因式得：（2x﹣1）（x﹣1）=0，可得2x﹣1=0或x﹣1=0，解得：x1=""，x2=1．22. 解：设矩形的长为x步，则宽为（60﹣x）步，依题意得：x（60﹣x）＝864，整理得：x2﹣60x+864＝0，解得：x＝36或x＝24（不合题意，舍去），∴60﹣x＝60﹣36＝24（步），∴36﹣24＝12（步），则该矩形的长比宽多12步23. 解答：由题意得解得m=-3将m=-3代入原方程得-4x2+x=0，所以另一根为24. （1）60（2）解：设售价每吨为x元，根据题意列方程为：（x - 100）（45+×7.5）=9000，化简得x2 - 420x + 44000=0，解得x1=200，x2=220（舍去），因此，将售价定为200元时销量最大。
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》训练试题和答案
九上专题训练《一元二次方程》含答案一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝02．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝23．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣25．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣二．填空题（共5小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝，x1＝，x2＝．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝时为一元二次方程．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+ ＝（x﹣）2；（2）x2+ +＝（x+ ）2；（3）x2﹣2x+ ＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣）2﹣．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．专题训练：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A，2x2﹣+1＝0，不是整式方程，故不是一元二次方程；B，原方程变形为：3x﹣2＝0，故不是一元二次方程；C，5x2﹣1＝0是一元二次方程；D，ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程；故选：C．2．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32＝7+32，∴（x﹣3）2＝16；故选：A．3．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1．故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2018＝a（a2+a）+a2+2018＝a+a2+2018，＝1+2018＝2019，故选：B．6．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得a2+b2﹣3＝±5，所以a2+b2＝3±5，解得a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．故选：C．7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣【解答】解：x2+6x+m＝0，x2+6x＝﹣m，∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x＝36，4x＝6，x＝，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．故选：B．二．填空题（共8小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝41 ，x1＝，x2＝．【解答】解：2x2﹣7x+1＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，故答案为：41，，．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝﹣1 时为一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，为一元二次方程，∴，解得：m＝﹣1．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+ p +＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣ 3 ）2﹣13 ．【解答】解：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+p+＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x2﹣x+）＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x2﹣6x+9﹣9）+5＝2（x﹣3）2﹣13．故答案为：（1），；（2）p，；（3），；（4）3，13．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．【解答】解：解方程x2+3x﹣3＝0的根是x＝，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，因而方程x2+3x﹣3＝0的一个根的相反数是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是﹣即．故本题答案为x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝2或﹣1 ．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2＝1，x﹣1＝±1，x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2＝1，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．【解答】解：（1）x1＝+，x2＝﹣．（2）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5，由原方程，得x2﹣4x+2＝0，则a＝1，b＝﹣4，c＝2，所以x＝＝2±，故x1＝2﹣，x2＝2+．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4＝0，（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；（2）当m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，即m＝﹣1时，是一元一次方程；（3）x＝﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3＝0，解得，m1＝，m2＝﹣1．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ 4 ，＝14 ，＝194 ；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝\sqrt{{（x}^{2}﹣2x+1）+（{y}^{2}﹣16y+64）}＝＝\sqrt{{（x}^{2}+4x+4）+（{y}^{2}﹣4y+4）}＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x 的值为1﹣。
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷及答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷及答案时间：60分钟，满分：100分一、选择题（每题3分，共24分）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x−1=0B．x2−x−1=0C．x2−y=0D．1x+x−1=02．一元二次方程x2−4x+1=0配方后，可化为（）A．(x−2)2=3B．(x+2)2=3C．(x−2)2=4D．(x+2)2=43．若x=1是方程x2+mx+1=0的一个解，则m的值为（）A．1 B．2 C．−1D．−24．方程x(x−2)=0的解是（）A．0 B．2 C．−2D．0或25．若一元二次方程mx2+2x+1＝0有实数解，则m的取值范围是（）A．m≥-1 B．m≤1C．m≥-1且m≠0 D．m≤1且m≠06．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A．x2−2x+3=0B．x2+6x+9=0C．4x2=3x+2D．3x2−x+2=07．一次同学聚会，每两人之间互赠1件礼物，共有礼物30件．设x人参加聚会，则可列方程为（）A．12x(x+1)=30B．12x(x−1)=30C．x（x+1）=30 D．x（x−1）=308．已知m，n是一元二次方程x2+x−2023=0的两个实数根，则代数式m2+2m+n的值等于（）A．2020 B．2021 C．2022 D．2023二、填空题（每题4分，共20分）9．已知关于x的方程(m+2)x m2−2+3x−1=0为一元二次方程，则m的值是．10．用配方法解一元二次方程x2+4x−3=0，配方后的方程为(x+2)2=n，则n的值为.11．一个等腰三角形的底边长为10，腰长是一元二次方程x2−11x+30=0的一个根，则这个三角形的周长是.12．若m，n是一元二次方程x2−3x−1=0的两个根，则m+n+3mn的值为13．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价元．三、计算题（共10分）14．解方程：（1）x2−8x−9=0；（2）x2−x−1=0．四、解答题（共46分）15．已知关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0．（1）求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）若该方程的一个根为1，求m的值及另一个根．16．已知关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根．（1）求m的取值范围；（2）若两实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求m的值．17．商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？18．据某市车管部门统计，2020年底全市汽车拥有量为150万辆，而截至到2022年底，全市的汽车拥有量已达216万辆，假定汽车拥有量年平均增长率保持不变．（1）求年平均增长率；（2）如果不加控制，该市2024年底汽车拥有量将达多少万辆？参考答案1．B2．A3．D4．D5．D6．C7．D8．C9．210．711．2212．014．（1）解：x2−8x−9=0(x−9)(x+1)=0 x1=9，x2=−1；（2）解：x2−x−1=0x2−x=1x2−x+14=1+14x2−x+14=54(x−12)2=54x−12=±√52x1=√52+12=1+√52，x2=−√52+12=1−√52．15．（1）证明：由题意得=4m2+4m+1−4m2−4m=1>0∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根：（2）解：∵关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+m(m+1)=0的一个根为1∴1−(2m+1)+m(m+1)=0∴m2−m=0解得m=0或m=1；当m=0时，原方程为x2−x=0，解得x=0或x=1；当m=1时，原方程为x2−3x+2=0，解得x=1或x=2；综上所述，当m=0时，方程的另一个根为x=0；当m=1时，方程的另一个根为x=2．16．（1）解：∵关于x的一元二次方程x2−2x−m=0有实数根∴△=b2﹣4ac=4+4m≥0解得：m≥﹣1；（2）解：∵x1和x2是方程x2−2x−m=0的两个实数根∵x1+x2=2，x1x2=﹣m∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=6∴22+2m=617．（1）解：当天盈利：（50-3）×（30+2×3）=1692（元）．答：若某天该商品每件降价3元，当天可获利1692元；（2）解：设每件商品降价x元根据题意，得：（50-x）（30+2x）=2000整理，得：x2−35x+250=0解得：x1=10，x2=25∵商城要尽快减少库存∴x=25．答：每件商品降价25元时，商场日盈利可达到2000元．18．（1）解：设该市汽车拥有量的年平均增长率为x．根据题意，得150（1+x）2=216．解得：x=0.2或x=﹣2.2（不合题意，舍去）．∴年平均增长率为20%．（2）解：216（1+20%）2=311.04（万辆）．答：如果不加控制，该市2024年底汽车拥有量将达311.04万辆．。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元检测题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．方程3x2−5=4x中，关于a、b、c的说法正确的是（）A．a=3,b=4,c=−5B．a=3,b=−5,c=4C．a=−3,b=−4,c=−5D．a=3,b=−4,c=−52．已知关于x的方程x2+bx−a=0有且只有一个根x=a(a≠0)，则b的值为（）A．2B．−2C．±2D．以上都不是3．用配方法解方程x2+4x+3=0，变形后的结果正确的是（）A．(x+2)2=−1B．(x+2)2=1C．(x+2)2=3D．(x+2)2=74．若α，β是一元二次方程3x2+x−1=0的两个实数根，则3α2+4α+3β+1的值是（）A．−1B．1C．2D．−25．方程(m−2)x2−√3−mx+14=0有两个实数根，则m的取值范围（）A．m≤52B．m≤52且m≠2C．m≥3D．m≤3且m≠26．关于x的方程a(x+m)2+b=0的解是x1=−2，x2=1（a，m，b均为常数a≠0），则方程a(x+3+m)2+ b=0的解是（）A．−1或−4B．−2或1C．1或3D．−5或−27．已知关于x的一元二次方程x2−kx+2k−1=0的两个实数根分别为x1、x2，且x12+x22=7，那么(x1−x2)2的值为（）A．13或−11B．13C．−11D．118．如果△ABC有两边的长是方程x2−7x+12=0的根，第三边的长是方程x2−12x+35=0的根，那么△ABC的周长为（）A．14B．12C．12或14D．以上都不对二、填空题9．已知关于x的一元二次方程2x2−4x+3=0的两个实数根分别是α，β；则(α+1)(β+1)=．10．某等腰三角形的一边长为3，另外两边长是关于x的方程x2−12x+k=0的两根，则k=；11．若a是一元二次方程x2−2023x+1=0的一个根，则代数式a2−2022a+2023a2+1的值为。
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【最新整理，下载后即可编辑】北师大版九年级上册数学 第二章 一元二次方程 练习题一、选择题（每小题3分，共36分）1.用配方法解方程x 2+8x+9=0时，应将方程变形为 ( )A.(x+4)2=7B.(x+4)2=－9C.(x+4)2=25D.(x+4)2=－72.已知m 是方程x 2-x-1=0的一个根，则代数式m 2-m 的值等于（ ）A.-1B.0C.1D.23.若α、β是方程x 2+2x-2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）A.2005B.2003C.-2005D.40104.关于x 的方程kx 2+3x-1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A.k ≤-49B.k ≥-49且k ≠0C.k ≥-49D.k ＞-49且k ≠05.在某次同学聚会上，每两人都互赠了一件礼物，所有人共送了210份礼物，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是 （ ） A .210)1(=-x x B .2102)1(=-x x C . 210)1(=+x x D . 2102)1(=+x x 6.已知关于x 的方程x 2-（2k-1）x+k 2=0有两个不相等的实根，那么k 的最大整数值是（ ）A.-2B.-1C.0D.17.某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x ，由题意所列方程正确的是（ ）A.300（1+x ）=363B.300（1+x ）2=363C.300（1+2x ）=363D.363（1-x ）2=3008.方程x 2=3x 的根是（ ）A.x=3B.x=0C.x 1=-3，x 2=0D.x 1=3，x 2=09.如果一元二次方程3x 2-2x =0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2的值等于（ ）A.0B.2C.32D.32-10.关于x 的方程2(3)210a x x a -++-=是一元二次方程的条件是（ ）A.0a ≠ B.3a ≠ C.a ≠ D.3a ≠-11.甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两根为2+6和2-6，则原方程是（ ）A.x 2+4x-15=0B.x 2-4x+15=0C.x 2+4x+15=0D.x 2-4x-15=012.方程x 2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A.12B.12或15C.15D.不能确定二、填空题（每小题3分，共30分）12.若关于x 的方程2x 2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是 ．13.已知1x =-是方程260x ax -+=的一个根，则a=_______，另一个根为______.14.方程(m 2－1)x 2+(m －1)x+1=0，当m ____时，是一元二次方程；当m 时，是一元一次方程.15.若的值为则的解为方程10522++=-+a a ，x x a .16.已知m 是方程022=--x x 的一个根，则代数式m m -2的值等于 .17.当m 时，关于x 的方程(m －1)12+m x +5+mx=0是一元二次方程.．18.如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a+b 的值是 ． 19.等腰△ABC 中，BC=8，AB 、AC 的长是关于x 的方程x 2-10x+m=0的两根，则m 的值是 ．20.关于x 的一元二次方程0322=+++m m x mx 有一个根为零，那m 的值等于 .21.某化工厂今年一月份生产化工原料15万吨，通过优化管理，产量逐月上升，第一季度共生产化工原料60万吨，设一、二月份平均增长的百分率相同，均为x ，可列出方程为_____________ .三、解答题（共84分）22.解方程（每小题4分，共24分）（1）（x-5）2=16 （2）x 2-4x+1=0（3）42)2)(1(+=++x x x （4）3x 2–4x –1=0（5）()()752652x x x +=+ （6）x 2+5x-24=023.（7分）已知：x 1、x 2是关于x 的方程x 2+（2a-1）x+a 2=0的两个实数根，且（x 1+2）（x 2+2）=11，求a 的值．24.（8分）已知：关于x 的方程x 2-2（m+1）x+m 2=0（1）当m 取何值时，方程有两个实数根？（2）为m 选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根，并求这两个根．25.（8分）如下图，某小区规划在长32米，宽20米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的3条小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为570米2，问小路应为多宽？26.（8分）已知a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对的边，且关于x的方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．27.（8分）如图1，有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的长为35m，求鸡场的长与宽各为多少米？28.（8分）某省为解决农村饮用水问题，省财政部门共投资20亿元对各市的农村饮用水的“改水工程”予以一定比例的补助,2008年，A市在省财政补助的基础上投入600万元用于“改水工程”，计划以后每年以相同的增长率投资，2010年该市计划投资“改水工程”1176万元。
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二章《一元二次方程》测试卷-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.方程（x+1）（x-1）=0的根是（）A. x1=x²=1B. x1= x²=-1C. x1=1，x²=-1D. x1=1，x²=02.一元二次方程x²-2x-5 =0用配方法解可变形为（）A. （x+1）2=6B. （x+2）2=9C. （x-1）2=6D. （x-2）2=93.方程x²-2x+3 =0的根的情况是：（）A.有两个相等的实数根7B.无实C.有两个不相等的实数根D.只有一个实根4.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a2-1 =0有一个根为0，则a的值为（）A.1B.-1C.+1D.05.一个等腰三角形的两边是方程x²-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10 DBC.8或10D. 66.方程x-2x+m=0有两个相等的实数解，则m的值为（）A.1B.-1C.2D. -27.以1，3为根的一元二次方程是.（）A. x²+4x+3=0B. x²-4x+3=0C. x²+4x-3=0D. -x²+4x+3=08.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x，则可列方程（）A. x（x+1）=120B. x（x+2）=120C. x（x-1）=120D. x（x-2）=1209.一个长方形的长比宽多1，面积为12，则长方形的宽为（）A.3B.4C.523D.610.在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有x人参加会议，则可列方程为（）A. x（x+1）=10B. x（x-1）= 10C. 12（x+1）=10D. 12（x-1）=10二、填空题（每题4分，共28分）11.方程x²=1的解为。
12. 已知m和n是方程3x²-6x-9=0的两根，则m +n= .13.已知代数式x²与2x-1的值相等，则x的值为.14.如果关于x的一元二次方程x²+2x-m=0没有实根，那么m的取值范围是.15.若关于x的方程x²+mx-3=0有一个根为2，则m的值为.16. 一个长方形的周长为8，面积为4，设宽为x，则可列方程为.17.已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x1和x2，且x1+x2+ x1x2=1，出m的值为.三、解答题（一）（每题6分，共18分）18.解方程：（1）x²-4x+3=0；（2）2x²-3x-1 =0；（3）（x+4）2 =2（x +4）.19.已知x=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根.20.如图，在长为10m，宽为8m的矩形试验田上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，要使种植面积（空白部分）为63m2，求道路的宽.四、解答题（二）（每题8分，共24分）21.已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m=0.（1）当m=0时，求方程的解；（2）当m=1时，求方程的解.22.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元，第三天收到捐款1440元（1）如果第二天第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款?23.已知关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=p2.求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根五、解答题（三）（每题10分，共20分）24.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?25.设等腰三角形的三条边分别为3，m，n，已知m，n是关于x的方程x²-4x+k=0的两个根，求k的值.参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6. A 7.B 8.B 9.A 10.D二、11. X1=1，x2=-1 12.2 13. 114.m< -1 15. -1 216.x(4-x) =4 17.0三、18.解：(1)x2 -4x+4= -3+4 (x-2)2=1x-2=土1x1=1 +2=3x2=-1+2=1(2)∵ a=2，b= -3，c= -1△=b2 -4ac=( -3)2-4x2x( -1)=9+8= 17∴x24317 b b ac-±-±x1 =3174x2317=4(3)(x+4)(x+4-2) =0(x +4)(x+2) =0X1=-4x2=-2.19.解：把x= -1代人方程x2 +mx-5 =0则：(-1)2-m-5=0- m=4m= -4把m= -4代人x2 +mx-5=0则：x2 -4x-5=0X2 -4x+4=5 +4(x-2)2 =9x-2=土3x1 =3+2=5x2= -3+2= -1∴m的值为-4，方程的另一根为520.解：设道路寬x m.根据题意，得(10-x)(8-x) =63x2 -18x +80= 63(x-9)2 =64x-9=土8x 1=8 +9=17(不合题意，舍去)x2 = -8+9=1∴道路宽1m四、21.解：(1)当m=0时，x2 +(m+1)x+m=0 x2 +x+0=0x(x+1) =0∴x=0或x+1 =0∴x1 =0，x2=-1(2)当m=1时，x2 +(m+1)x+m=0X2+(1 +1)x+1=0x2 +2x+1 =0(x+1)2 =0∴x1=x2=-122.解：(1)设捐款增长率为x，依题意，得1 000(1 +x)2=1 440(1 +x)2=1.441 +x= +1.2x= ±1.2-1∴x1 =1.2-1 =0.2 = 20%x2= -1.2-1= -2.2(不合题意，舍去)答：捐款增长率为20%(2)1440x(1 +20%) =1 728元答：第四天该单位能收到1728元捐款。
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章一元二次方程》单元测试卷-带答案一、单项选择题1．若x＝－1是方程x2＋x＋m＝0的一个根，则此方程的另一个根是( ) A．－1 B．0 C．1 D．22．一元二次方程(x＋1)(x－1)＝2x＋3的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根 D．没有实数根3．已知一元二次方程x2－10x＋24＝0的两个根是菱形的两条对角线长，则这个菱形的面积为( )A．6 B．10 C．12 D．244．若x＝－2是一元二次方程x2＋2x＋m＝0的一个根，则方程的另一个根及m的值分别是( )A．0，－2 B．0，0 C．－2，－2 D．－2，05．若m，n是一元二次方程x2＋3x－9＝0的两个根，则m2＋4m＋n的值是( ) A．4 B．5 C．6 D．126．若关于x的一元二次方程x2＋2(m－1)x＋m2－m＝0的两个实数根α，β满足α2＋β2＝12，则m的值为( )A． 0 B．1 C．－1 D．－27．根据下列表格中列出来的数值，可判断方程x2－bx－c＝0有一个根大约是( )x 0 0.5 1 1.5 2x2－bx－c －15 －8.75 －2 5.25 13A ．0.25B ．0.75C ．1.25D ．1.758．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a ≠0B ．a ＞－1且a ≠0C ．a ≥－1且a ≠0D ．a ＞－1 9．一个大正方形的边长是小正方形边长的3倍多1，若两个正方形的面积和为53，则大正方形的边长为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010．我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，遣人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x 株，则符合题意的方程是( )A ．3(x －1)x ＝6210B ．3(x －1)＝6210C ．(3x －1)x ＝6210D ．3x ＝3210二、填空题11．若x ＝1是方程x 2－2x ＋a ＝0的根，则a ＝______．12．已知m 是一元二次方程x 2＋x －6＝0的一个根，则代数式m 2＋m 的值等于______.13．若一元二次方程x 2－(m 2－7)x ＋m ＝0两根之和为2，则m ＝__________． 14．若α，β是关于x 的一元二次方程(m －1)x 2－x ＋1＝0的两个实根，且满足(α＋1)(β＋1)＝m ＋1，则m 的值为__________．15．设x 1与x 2为一元二次方程12x 2＋3x ＋2＝0的两根，则(x 1－x 2)2的值为 ______．16．关于x的一元二次方程2x2＋4mx＋m＝0有两个不同的实数根x1，x2，且x12＋x22＝316，则m＝______．17．一元二次方程x(x＋1)＝0的两根分别为__________________．18．若关于x的一元二次方程(m＋1)x2＋4x＋m2＋m＝0有一个根为x＝0，则m＝____．19．用配方法解方程2x2－px＋3＝0时，方程可变形为2(x－32)2＝q，则p＝________，q＝________．20．一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是方程x2－6x＋8＝0的根，则这个三角形的周长为________．21．一个两位数等于它十位上的数与个位上的数的积的3倍，已知十位上的数比个位上的数小2，则这个两位数是________．三、解答题22．用适当的方法解下列方程：(1)x2－4x＋1＝0；(2)3x(x－2)＝6(2－x)；(3)x2－6x＋9＝(5－2x)2；(4)12 x 2＋3 x ＝x 2＋5.23．关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋k ＝0有实数根． (1)求k 的取值范围；(2)如果k 是符合条件的最大整数，且一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，求此时m 的值．24．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)16m ，宽(AB)9m 的矩形场地ABCD 上修建三条同样宽的小路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为112m 2，则小路的宽应为多少？25．夏季高温期间居民为了减少外出，更愿意选择线上购物，某购物平台今年二月份注册用户50万人，四月份达到了72万人，假设二月份至四月份的月平均增长率为x. (1)求x 的值；(2)若保持这个增长率不变，五月份注册用户能否达到85万人？为什么？ 参考答案一、1-10 BACBC CCBAA 二、11．1 12．6 13．－3 14．－1 15．20 16．－8117．x 1＝0，x 2＝－1 18．0 19．6 3220．12 21．24三、22．解：(1) x 1＝2＋ 3 ，x 2＝2－ 3 (2) x 1＝2，x 2＝－2(3) x 1＝2，x 2＝83(4) 无解23．解：(1)根据题意得Δ＝(－3)2－4k ≥0，解得k ≤94(2)k 的最大整数为2，方程x 2－3x ＋k ＝0可变形为x 2－3x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝2，∵一元二次方程(m －1)x 2＋x ＋m －3＝0与方程x 2－3x ＋k ＝0有一个相同的根，∴当相同的根为x ＝1时，m －1＋1＋m －3＝0，解得m ＝32；当相同的根为x ＝2时，4(m －1)＋2＋m －3＝0，解得m ＝1，由题意可知m －1≠0， 即m ≠1，∴m 的值为3224．解：设小路的宽应为xm ，根据题意，得(16－2x)(9－x)＝112， 解得x 1＝1，x 2＝16.∵16＞9，∴x ＝16不符合题意，应舍去，∴x ＝1. 答：小路的宽应为1m25．解：(1)依题意，得50(1＋x)2＝72，解得x 1＝0.2＝20%，x 2＝－2.2(不合题意，舍去).答：x 的值为20%(2)72×(1＋20%)＝86.4(万人)，86.4>85，∴五月份注册用户能达到85万人。
(北师大版)初中数学九年级上册 第二章综合测试试卷01及答案
第二章综合测试一、单选题1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（）A .2352035202600x x x ´--+=.B .3520352020600x x x ´--´=C .(352)(20)600x x --=D .(35)(202)600x x --=2.把一元二次方程()()2331x x x +=-化成一般形式，正确的是（ ）A .22790x x --=B .22590x x --=C .24790x x ++=D .226100x x --=3.若关于x 的一元二次方程()21220k x x -+-=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A .12k ＞且1k ¹B .12k ＞C .12k ≥且1k ¹D .12k ＜4.用配方法解方程2250x x --=，下列配方正确的是（ ）A .2(2)9x -=B .2(2)5x -=C .2(1)4x -=-D .2(1)6x -=5.已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：则()a b c ++值为（ ）x245y0.380.386A .24B .36C .6D .46.已知一元二次方程230x x --=的较小根为1x ，则下面对1x 的估计正确的是（ ）A .121x --＜＜B .132x --＜＜C .123x ＜＜D .110x -＜＜7.关于x 的方程2(21)10kx k x k -+++=（k 为常数），下列说法：①当1k =时，该方程的实数根为2x =；②1x =是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根.其中正确的是（ ）A .①②B .②③C .②D .③8.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程240x x k -+=的两个根，则k 的值为（ ）A .3B .4C .3或4D .7二、填空题9.若1x ，2x 是方程2420200x x --=的两个实数根，则代数式211222x x x -+的值等于________.10.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是________厘米.三、计算题11.用指定的方法解方程：（1）22530x x -+=(用公式法解方程)（2）2356x x -=(用配方法解方程)12.解方程：（1）24x x =（因式分解法）（2）22430x x --=（公式法）13.解方程：（1）()224x +=(自选方法)（2）2210x x --=(配方法)（3）²14x x -=(公式法)（4）²122x x -=+(因式分解法)四、综合题14.已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根.（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根.15.已知关于x 的一元二次方程220x x k +-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111a ab -++的值.16.已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k -++=的两个实数根.（1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=-成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由.17.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。
北师大版九年级上册数学第二章测试题附答案
北师大版九年级上册数学第二章测试题附答案(满分：120分 考试时间：120分钟)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1．一元二次方程y 2－y －34＝0配方后可化为( B ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝1 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝34 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝342．已知a ，b ，c 为常数，点P (a ，c )在第二象限，则关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根的情况是( B )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断3．如图，AB ⊥BC ，AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，一只蝉从C 点沿CB 方向以每秒1 cm 的速度爬行，蝉开始爬行的同时，一只螳螂由A 点沿AB 方向以每秒2 cm 的速度爬行，当螳螂和蝉爬行x 秒后，它们分别到达了M ，N 的位置，此时，△MNB 的面积恰好为24 cm 2，由题意可列方程（ D ）A ．2x ·x ＝24B．(10－2x)(8－x)＝24 C．(10－x)(8－2x)＝24 D．(10－2x)(8－x)＝484．运用换元法解方程2（x2＋1）x＋6xx2＋1＝7时，如果设y＝x2＋1x，那么将原方程化为关于y的一元二次方程的一般形式是(A)A．2y2－7y＋6＝0 B．y2＋7y＋6＝0C．2y2－7y－6＝0 D．y2＋7y－6＝05．关于x的一元二次方程(m－2)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（ D ）A．m≤3 B．m＜3C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠26．等腰三角形的底和腰是方程x2－7x＋12＝0的两个根，则这个三角形的周长是（ C ）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)7．方程(x－1)2－81＝0的两个实数根是x1＝－8，x2＝10.8．关于x的一元二次方程(m－1)x2＋4x＋m2＋4m－5＝0有一根为0，则m＝－5.9．某公司通过两次技术革新，使生产成本下降了36%.则平均每次生产成本的降低率是20%.10．已知m，n是方程x2＋2x－5＝0的两个实数根，则m2－mn＋3m＋n＝8．11．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？经过计算，可知长比宽多12步．12．近些年，魔术表演风靡全球，某魔术师发明了一个魔术盒，当任意实数对(a，b)进入魔术盒中时，会得到一个新的实数：a2＋b－1.例如，把(3，－2)放入魔术盒中，就会得到32＋(－2)－1＝6.现将实数对(m，－2m)放入魔术盒中，得到实数2，则m＝__－1或3 ．三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)13．解方程：(1)x2－18x－40＝0；解：x2－18x＝40，x2－18x＋92＝40＋92，(x－9)2＝121，x－9＝±11，x1＝20，x2＝－2.(2)(x－5)2＝4(2x＋1)2.解：(x－5)2－[2(2x＋1)]2＝0，[x－5＋2(2x＋1)][x－5－2(2x＋1)]＝0，x1＝35，x2＝－73.14．《九章算术》中记载：今有户不知高、广，竿不知长、短．横之不出四尺，从之不出二尺，邪之适出．问户高、广、邪各几何？译文是：今有门，不知其高、宽，有竿，不知其长、短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；叙放，竿与门的对角线恰好相等．问门的高、宽、对角线的长分别是多少？若设门的对角线长为x尺，根据题意列出方程并化为一般形式．解：根据题意可列方程为：x2＝(x－4)2＋(x－2)2，将其化为一般形式为x2－12x＋20＝0.15．(潍坊中考)关于x的方程3x2＋mx－8＝0有一个根是23，求另一个根及m 的值．解：设方程的另一根为t .依题意得：3×⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋23m －8＝0，解得m ＝10.又23t ＝－83，所以t ＝－4.综上所述，另一个根是－4，m 的值为10.16．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，且关于x 的方程b (x 2－1)－2ax ＋c (x 2＋1)＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状．解：原方程可化为(b ＋c )x 2－2ax －b ＋c ＝0.∵方程有两个相等的实数根，∴Δ＝(－2a )2－4(b ＋c )(－b ＋c )＝4a 2－4c 2＋4b 2＝0，∴a 2＋b 2＝c 2，∴△ABC 为直角三角形．17．一个直角三角形的斜边长为4 5 cm ，两条直角边的长相差4 cm ，求这个直角三角形两条直角边的长．解：设其中一条较长的直角边为x cm ，则另一条直角边长为(x －4)cm.依题意得，x 2＋(x －4)2＝(45)2，x1＝－4(舍去)，x2＝8，∴x－4＝4.∴两条直角边的长分别为4 cm，8 cm.四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)18．学校为了奖励“汉字听写大赛”的优秀学生，派王老师到商店购买奖品，他看到下表关于某种商品的销售信息，便用 1 400元买回了该种商品作为奖品，求王老师购买该种商品的件数．解：∵30×40＝1 200(元)＜1 400元，∴购买的该种商品的件数超过了30.设王老师购买该种商品的件数为x，则每件商品的价格为[40－(x－30)×0.5]元．根据题意，得x[40－(x－30)×0.5]＝1 400.解得x1＝40，x2＝70.∵当x＝70时，40－(70－30)×0.5＝20(元)＜30元，∴x＝70不符合题意，舍去．答：王老师购买该种商品的件数为40.19．观察下列一组方程：①x2－x＝0；②x2－3x＋2＝0；③x2－5x＋6＝0；④x2－7x＋12＝0……它们的根有一定的规律，都是两个连续的自然数，我们称这类一元二次方程为“连根一元二次方程”．(1)若x2＋kx＋56＝0也是“连根一元二次方程”，写出k的值，并解这个一元二次方程；(2)请写出第n个方程和它的根．解：(1)由题意可得k＝－15，则原方程为x2－15x＋56＝0，即(x－7)(x－8)＝0，解得x1＝7，x2＝8.(2)第n个方程为x2－(2n－1)x＋n(n－1)＝0，即(x－n)(x－n＋1)＝0，解得x1＝n－1，x2＝n.20．解方程x2－|x|－2＝0.解：(1)当x≥0时，原方程可化为x2－x－2＝0，解得x1＝2，x2＝－1(不合题意，舍去)；(2)当x<0时，原方程可化为x2＋x－2＝0.解得x1＝1(不合题意，舍去)，x2＝－2.∴原方程的根是x1＝2，x2＝－2.请你参照例题解方程x2－|x－1|－1＝0.解：(1)当x－1≥0，即x≥1时，原方程化为x2－x＝0，解得x1＝0(不合题意，舍去)，x2＝1.(2)当x－1<0，即x<1时，原方程化为x2＋x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1(不合题意，舍去)．∴原方程的根是x1＝1，x2＝－2.五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)21．已知关于x的一元二次方程x2＋2(m＋1)x＋m2－1＝0.(1)若方程有实数根，求实数m的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为x1，x2，且满足(x1－x2)2＝16－x1x2，求实数m的值．解：(1)根据题意可知Δ＝[2(m＋1)]2－4(m2－1)≥0，解得m≥－1，∴实数m的取值范围是m≥－1.(2)根据根与系数的关系可知x1＋x2＝－2(m＋1)，x1x2＝m2－1，∵(x1－x2)2＝16－x1x2，∴(x1＋x2)2－4x1x2＝16－x1x2，即(x1＋x2)2＝16＋3x1x2，∴[－2(m＋1)]2＝16＋3(m2－1)，解得m＝1或－9.又∵m≥－1，∴m＝－9不合题意，舍去，∴m＝1.22．如图，在边长为12 cm的等边三角形ABC中，点P从点A开始沿AB边向点B以每秒钟1 cm的速度移动，点Q从点B 开始沿BC边向点C以每秒钟2 cm的速度移动．若P，Q分别从A，B同时出发，其中任意一点到达目的地后，两点同时停止运动，求：(1)经过6秒后，BP＝________ cm，BQ＝________cm；(2)经过几秒后，△BPQ是直角三角形？(3)经过几秒△BPQ的面积等于10 3 cm2?解：(1)6，12；(2)∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝12 cm ，∠A ＝∠B ＝∠C ＝60 °，当∠PQB ＝90 °时，∴ ∠BPQ ＝30 °，∴BP ＝2BQ .∵BP ＝12－x ，BQ ＝2x ，∴12－x ＝2×2x ，∴x ＝125， 当∠QPB ＝90 °时，∴∠PQB ＝30 °，∴BQ ＝2PB ，∴2x ＝2(12－x )，x ＝6.答：6秒或125秒时，△BPQ 是直角三角形； (3)作QD ⊥AB 于D ，∴∠QDB ＝90 °，∴∠DQB ＝30 °，∴DB ＝12BQ ＝x ， 在Rt △DBQ 中，由勾股定理，得DQ ＝3x ， ∴（12－x ）3x 2＝103，解得：x 1＝10，x 2＝2， ∵x ＝10时，2x ＞12，故舍去，∴x ＝2.答：经过2秒△BPQ 的面积等于10 3 cm 2.六、(本大题共12分)23．(2018·宜昌)某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”(下称甲方案)和“沿江工厂转型升级”(下称乙方案)进行治理，若江水污染指数记为Q，沿江工厂用乙方案进行一次性治理(当年完工)，从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q值都以平均值n计算，第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q值降低了12. 经过三年治理，境内长江水质明显改善．(1)求n的值；(2)从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；(3)该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加一个相同的数值a. 在(2) 的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5.求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．解：(1)∵40n＝12，∴n＝0.3；(2)∵40＋40(1＋m)＋40(1＋m)2＝190，解得m1＝12，m2＝－72(舍去)．∴第二年用乙方案治理的工厂数量为40(1＋m)＝40×(1＋50%)＝60(家)；(3)设第一年用甲方案治理降低的Q 值为x ，第二年Q 值因乙方案治理降低了100n ＝100×0.3＝30，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ＝30，x ＋2a ＝39.5，∴x ＝20.5，a ＝9.5.。
九年级数学上册第二章测试卷-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二章测试卷-北师大版（含答案）一、单选题1．关于x 的一元二次方程22(1)10a x ax a +-+-=有一个根为0，则a 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不确定 2．把方程x 2﹣10x ﹣3＝0配方成(x +m )2＝n 的形式，则m 、n 的值（ ） A ．﹣5、25 B ．5、25 C ．5、﹣28 D ．﹣5、28 3．为改善居住环境，我县2019年投入治理黑臭水体2500万元，预计到2021年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入治理的费用年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是（ ）A ．2500（1+2x ）＝12000B ．2500+2500（1+x ）+2500（1+2x ）＝12000C ．2500（1+x ）2＝12000D ．2500+2500（1+x ）+2500（1+x ）2＝120004．已知a ，b 是关于x 的一元二次方程22(23)0x m x m +++=的两个不相等的实数根，且满足111a b+=-，则m 的值是（ ） A ．﹣3或1B ．3或﹣1C ．3D ．1 5．已知一元二次方程x 2+k x +3＝0有一个根为3，则k 的值为（ ） A ．﹣4 B ．4 C ．﹣2 D ．2 6．关于x 的一元二次方程﹣kx 2﹣6x +3＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k ＞﹣3B ．k ＜3C ．k ＜3且k ≠0D ．k ＞﹣3且k ≠0 7．将一元二次方程2650x x --=化成2()x a b -=的形式，那么a b +的值为（ ） A ．9 B ．11 C ．14 D ．17 8．若a≠b ，且22410,410a a b b -+=-+=则221111a b +++的值为（ ） A ．14 B ．1 C ．.4 D ．39．如图，某小区计划在一块长为32m ，宽为20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m 2．若设道路的宽为xm ，则下面所列方程正确的是（ ）A ．（32﹣2x ）（20﹣x ）=570B ．32x+2×20x=32×20﹣570C ．（32﹣x ）（20﹣x ）=32×20﹣570D ．32x+2×20x ﹣2x 2=57010．已知α、β是方程x 2﹣2x ﹣4＝0的两个实数根，则α3+8β+6的值为（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．22 D ．3011．关于x 的一元二次方程2(1)20x k x k ---+=有两个实数根12,x x ，()1212122(2)2x x x x x x -+--+3=-，则k 的值（ ）A ．0或2B ．-2或2C ．-2D ．2二、填空题12．已知关于x 的一元二次方程mx 2+5x+m 2﹣2m=0有一个根为0，则m=_____．13．一元二次方程2420x x -+=的两根为1x ,2x ,则2111242x x x x -+的值为____________ . 14．关于x 的一元二次方程x 2﹣2kx+k 2﹣k=0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12+x 22=4，则x 12﹣x 1x 2+x 22的值是_____．15．为增强学生身体素质，提高学生足球运动竞技水平，我市开展“市长杯”足球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间赛一场）．现计划安排21场比赛，应邀请多少个球队参赛？设邀请x 个球队参赛，根据题意，可列方程为_____．16．已知关于x 的一元二次方程2640x x m -++=有两个实数根1x ，2x ，若1x ，2x 满足1232x x =+，则m 的值为_____________17．如果m ，n 是两个不相等的实数，且满足m 2﹣m=3，n 2﹣n=3，那么代数式2n 2﹣mn+2m+2015=_____________．三、解答题18．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．19．已知关于x 的方程220x ax a ++-=.（1）当该方程的一个根为1时，求a 的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.20．山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：（1）每千克核桃应降价多少元？（2）在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？21．为响应“把中国人的饭碗牢牢端在自己手中”的号召，确保粮食安全，优选品种，提高产量，某农业科技小组对A 、B 两个玉米品种进行实验种植对比研究．去年A 、B 两个品种各种植了10亩．收获后A 、B 两个品种的售价均为2.4元/kg ，且B 品种的平均亩产量比A 品种高100千克，A 、B 两个品种全部售出后总收入为21600元．（1）求A 、B 两个品种去年平均亩产量分别是多少千克？（2）今年，科技小组优化了玉米的种植方法，在保持去年种植面积不变的情况下，预计A 、B 两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加a %和2a %．由于B 品种深受市场欢迎，预计每千克售价将在去年的基础上上涨a %，而A 品种的售价保持不变，A 、B 两个品种全部售出后总收人将增加20%9a ，求a 的值． 22．如图，在长方形ABCD 中，边AB 、BC 的长（AB ＜BC ）是方程x 2-7x +12=0的两个根．点P 从点A 出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC 边 A →B →C →A 的方向运动，运动时间为t （秒）．（1）求AB 与BC 的长；（2）当点P 运动到边BC 上时，试求出使AP 时运动时间t 的值；（3）当点P 运动到边AC 上时，是否存在点P ，使△CDP 是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t 的值；若不存在，请说明理由．参考答案1．A2．D3．D4．C5．A6．D7．D8．B9．A10．D11．D 12．213．214．415．12x（x﹣1）=2116．417．202618．（1）省略（2）1或219．（1）12，32；（2）省略20．（1）4元或6元；（2）九折.21．（1）A品种去年平均亩产量是400、B品种去年平均亩产量是500千克；（2）10．22．(1) AB＝3，BC＝4;(2) t＝4;(3) t为10秒或9.5秒或535秒时，△CDP是等腰三角形.4。
北师大版数学九年级上册第二章各节练习题含答案
第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程同步练习题1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A．x2＋1x＝0 B．(x－1)2＝(x＋3)(x－2)＋1C．x＝x2D．ax2＋bx＋c＝02．方程(m－1)x2＋mx＋1＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A．任何实数 B．m≠０C．m≠1 D．m≠－13．方程2(x＋2)＋8＝3x(x－1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x2＝5x－3；(2)(x＋2)(x－2)＋3x＝4.5．设一个奇数为x，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A．x(x＋2)＝323 B．x(x－2)＝323C．x(x＋1)＝323 D．x(x－2)＝323或x(x＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m2，如果它的长减少 5 m，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了 1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm，长为2x cm，面积为24 cm2，则x最大不超过( )A．1 B．2 C．3 D．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围是( )x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A.3<x<3.23 B．3.23<x<3.24 C．3.24<x<3.25 D．3.25<x<3.26 10．已知m是关于x的方程x2－2x－3＝0的一个根，则2m2－4m＝______．11．已知关于x的一元二次方程(k－1)x2＋x＋k2－1＝0有一个根为0，则k的值为________．12．方程(m－1)xm2＋1＋2mx－3＝0是关于x的一元二次方程，则m的值为( ) A．m＝±1 B．m＝－1 C．m＝1 D．m≠１13．若方程(k－1)x2＋kx＝1是关于x的一元二次方程，则k的取值范围是() A．k≠1 B．k≥0 C．k≥0且k≠1 D．k为任意实数14．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，列表如下：x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2＋px＋q －15 －8.75 －2 －0.59 0.84 2.29则方程x2＋px＋q＝0的一个正数解满足( )A．解的整数部分是0，十分位是 5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是 1D．解的整数部分是1，十分位是 215．若关于x的方程x2＋(m＋1)x＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是()A．－52 B.12C．－52或12D．116．已知关于x的方程(m2－4)x2＋(m－2)x＋4m＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x的一元二次方程m(x－1)2＝－3x2＋x的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x2－x－2＝0，②－12x2＋x＋2＝0，③x2－2x＝4，④－x2＋2x＋4＝0，⑤3x2－23x－43＝0.(2)方程12x2－x＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？2.1答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)2.2 用配方法求解一元二次方程同步课堂练习1．用配方法解方程3x2－6x＋1＝0，则方程可变形为( )A．(x－3)2＝13B．3(x－1)2＝13C．(3x－1)2＝1 D．(x－1)2＝232．小明同学解方程6x2－x－1＝0的简要步骤如下：解：6x2－x－1＝0，两边同时除以6第一步x2－16x－16＝0，移项第二步x2－16x＝16，配方第三步(x－19)2＝16＋19，两边开方第四步x－19＝±518，移项第五步x1＝19＋106，x2＝19－106.上述步骤，发生第一次错误是在( )A．第一步 B．第二步 C．第三步 D．第四步3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( )A．x2－2x－99＝0化为(x－1)2＝100B．2x2－7x－4＝0化为(x－74)2＝8116C．x2＋8x＋9＝0化为(x＋4)2＝25D．3x2－4x－2＝0化为(x－23)2＝1094．用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，此方程可变形为( )A.x＋b2a2＝b2－4ac4a2B.x＋b2a2＝4ac－b24a2C.x－b2a2＝b2－4ac4a2D.x－b2a2＝4ac－b24a25．一个一元二次方程的二次项是2x2，它经过配方整理得(x＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A．x，－34B．2x，－12C．2x，－32D．x，－326．若代数式16x2＋kxy＋4y2是完全平方式，则k的值为( )A．8 B．16 C．－16 D．±167. 若代数式2x2－6x＋b可化为2(x－a)2－1，则a＋b＝________．8．把方程2x2＋4x－1＝0配方后得(x＋m)2＝k，则m＝________，k＝________．9．若代数式2x2－5x与－2x＋3的值互为相反数，则x的值为____________．10．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程15x2－75x＋2＝0的根，则该三角形的周长为________．11．已知a为实数，则代数式2a2－12a＋27的最小值为________．12．已知实数m，n满足m－n2＝1，则代数式m2＋2n2＋4m－1的最小值等于_______．13．读诗词解题(通过列方程式)，算出周瑜去世时的年龄：大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？14. 用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数，并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．15. 一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住．修整蔬菜园的费用是15元/平方米，而购买篱笆材料的费用是30元/米，这两项支出一共为 3 600元．求此正方形蔬菜园的边长．2.2答案:1---6 DCCAC D 7. 58. 1 3 29. 12或310. 1211. 312. 413. 设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为(x＋3)，这个两位数为10x ＋(x＋3)，依题意得10x＋(x＋3)＝(x＋3)2，解得x1＝2，x2＝3，∴这个两位数是25或36，又∵周瑜已过而立之年，∴周瑜去世时36岁．14. 3x－2x2－2＝－2(x－34)2－78，∵－2(x－34)2≤0，∴－2(x－34)2－78<0，∴不论x取何值时，这个代数式的值总是负数．当x＝34时，这个代数式的值最大，最大值为－7 8 .15. 设此正方形蔬菜园的边长为x米，由题意可得15x2＋30×4x＝3 600，解得x1＝12，x2＝－20(舍)．故此正方形蔬菜园的边长为12米．2.3 用公式法求解一元二次方程基础题知识点1 用求根公式求解一元二次方程1．利用求根公式求方程5x2＋12＝6x的根时，a、b、c的值分别是( )A．5，12，6 B．5，6，12C．5，－6，12D．5，－6，－122．用公式法解方程3x2＋4＝12x，下列代入公式正确的是( )A．x＝12±122－3×42B．x＝－12±122×3×42×3C．x＝12±122＋3×42D．x＝－（－12）±（－12）2－4×3×42×33．解方程：(1)x2＋1＝3x；(2)3x2＋2x＋1＝0.知识点2 利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况4．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥16．若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝____________.知识点3 方案设计的实际问题7．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9008．如图，某小区规划在一块长30 m、宽20 m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x m，则由题意列得方程为( )A．(30－x)(20－x)＝78B ．(30－2x)(20－2x)＝78C ．(30－2x)(20－x)＝6×78D ．(30－2x)(20－2x)＝6×789．如图，小明家有一块长 1.50 m ，宽1 m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为____________m.中档题10．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( )A ．x 1＝x 2＝ 2B ．x 1＝0，x 2＝－2 2C ．x 1＝2，x 2＝－3 2D ．x 1＝－2，x 2＝3 211．方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围是()A ．m>52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠212．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____________．13．用公式法解方程：(1)(x－1)(1＋2x)＝2；(2)x2－2x＋1＝－32x.14．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．15．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？综合题16．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x－7x2－8x＋11的值．2.3参考答案1．C 2.D3．(1)将原方程化为一般形式，得x2－3x＋1＝0，∵a＝1，b＝－3，c＝1，∴b2－4ac＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.∴x＝－（－3）±52×1.∴x1＝3＋52，x2＝3－52.(2)∵a＝3，b＝2，c＝1，∴b2－4ac＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．4．B 5.B 6.947.B 8.C 9.0.25 10.C 11.B 12.x1＝－1＋52，x2＝－1－5213．(1)方程化为一般式，得2x2－x－3＝0，x＝－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x1＝－1，x2＝32.(2)方程化为一般式，得x2＋22x＋1＝0，x＝－22±（22）2－4×1×12×1，x1＝1－2，x2＝－2－1.14．(1)∵b2－4ac＝(2m)2－4×1×(m2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x＝3代入原方程，得9＋6m＋m2－1＝0，解得m1＝－2，m2＝－4. 15．设AB的长度为x米，则BC的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x ＝400，解得x1＝20，x2＝5.则100－4x＝20或100－4x＝80.∵80＞25，∴x2＝5舍去．∴AB＝20，BC＝20.答：羊圈的边长AB，BC分别是20米，20米．16．(1)∵关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根，∴a－6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a－6)×9≥0.解得a≤709且a≠6.∴a的最大整数值为7.(2)①当a＝7时，原一元二次方程变为x2－8x＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x＝－（－8）±282，即x＝4±7.∴x1＝4＋7，x2＝4－7.②∵x是一元二次方程x2－8x＋9＝0的根，∴x2－8x＝－9.∴2x2－32x－7x2－8x＋11＝2x2－32x－7－9＋11＝2x2－16x＋72＝2(x2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（共10小题）1．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确2．已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或113．解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法4．若分式的值为0，则x的值为（）A．3或﹣2 B．3 C．﹣2 D．﹣3或25．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或36．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣68．一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=9．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时，方程没有实数根D．方程一定有实数根10．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．12或14二．填空题（共5小题）11．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为．12．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=．13．如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是．14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为．15．对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=．三．解答题（共5小题）16．解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．17．解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）（4）x2=6x+16（5）2x2﹣7x﹣18=0（6）（2x﹣1）（x+3）=4．18．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）．19．阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．20．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（共10小题）1．（2017?新区一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确2．（2016?荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或113．（2016秋?兰州期中）解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法4．（2016秋?利川市校级月考）若分式的值为0，则x的值为（）A．3或﹣2 B．3 C．﹣2 D．﹣3或25．（2016春?长兴县月考）已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或36．（2015?安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．（2015?东光县校级二模）使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣68．（2015春?绍兴期末）一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=9．（2015春?下城区期末）已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时，方程没有实数根D．方程一定有实数根10．（2013秋?惠安县期中）三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．12或14二．填空题（共5小题）11．（2017?德州）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为12．（2016?磴口县校级二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2= 13．（2016秋?滨州月考）如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是14．（2015秋?南江县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为15．（2015春?婺城区期末）对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=三．解答题（共5小题）16．解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．17．解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）（4）x2=6x+16（5）2x2﹣7x﹣18=0（6）（2x﹣1）（x+3）=4．18．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）．19．（2015春?沙坪坝区期末）阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．20．（2015秋?平南县月考）现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用因式分解法求解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．B．2．D．3．D．4．A．5．A．6．B．7．A．8．D．9．D．10．A．二．填空题（共5小题）11．1或．12．：6．13．3．14．x1=4，x2=﹣1．15．4．三．解答题（共5小题）16．解：①x2﹣2x=x2﹣2x+1=（x﹣1）2=x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．②a=4，b=﹣3，c=﹣1，△=9+16=25x==∴x1=1，x2=﹣．③方程整理得：x2+2x﹣8=0（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．④（3y﹣2+2y﹣3）（3y﹣2﹣2y+3）=0 （5y﹣5）（y+1）=0∴y1=1，y2=﹣1．17．解：（1）方程变形得：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）这里a=2，b=﹣7，c=5，∵△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即（x+2）（x﹣8）=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）这里a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=47+144=191，∴x=；（6）方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即（2x+7）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．18．解：（1）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x1=6，x2=﹣1．（2）（1﹣x）2﹣1=，（1﹣x）2=+1，（1﹣x）2=，1﹣x=，∴x1=1﹣=﹣，x2=1+=．（3）8x（x+2）=3x+6，8x（x+2）﹣3（x+2）=0，（x+2）（8x﹣3）=0，∴x1=﹣2，x2=．（4）．y2﹣5=20，y2=25，y=±5，即y1=5，y2=﹣5．19．解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20．解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．2.6 应用一元二次方程利润问题与增降率问题同步课时练习题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝152. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x为( ) A．8 B．20 C．36 D．183. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是( )A．50(1＋x2)＝196B．50＋50(1＋x2)＝196C．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1964. 股票每天的涨跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x 满足的方程是( )A．(1＋x)2＝1110B．(1＋x)2＝109C．1＋2x＝1110D．1＋2x＝1095. 制造一种产品，原来每件成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价为第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为使两月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价平均每月应降低( ) A．5% B．10% C．20% D．25%6. 某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利 1 080元，每件应降价________元．7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品的利润不能超过进价的25%，商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品的售价为________元．8. 某市为了更好地吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境．计划用两年时间，将绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为___________．9. 李先生将10 000元存入银行，一年到期后取出 2 000元购买电脑，余下8 000元及利息又存入银行，如果两次存款的年利率不变，一年到期后本息和是8 925元，则存款的年利率为________．10. 某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入广告费为x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y＝－x2 10＋710x＋710，如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，那么当年利润为16万元时，广告费x为________万元．11. 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了 1 200元，请问她购买了多少件这种服装？12. 在一次“春风行动”捐款活动中，某单位第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？13. 某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金 1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金 1 600万元．(1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前 1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？14. 毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品．若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？(2)如果商店购进 1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利 2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？15. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)答案：1---5 ABCBB6. 2或147. 100 258. 20%9. 5%10. 311. ∵80×10＝800元<1 200元，∴小丽买的服装数大于10件．设她购买了x 件这种服装，根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.∵1 200÷30＝40<50，∴ｘ2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．12. (1)设捐款增长率为x，则10 000·(1＋x)2＝12 100，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴捐款增长率为10%.(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)，∴第四天该单位能收到13 310元的捐款．13. (1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得 1 280(1＋x)2＝1 280＋1 600，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(舍)，答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得 1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得a≥1 900，答：今年该地至少有 1 900户享受到优先搬迁租房奖励．14. (1)设学生纪念品的成本为x元，根据题意，得50x＋10(x＋8)＝440.解得x＝6.∴x＋8＝6＋8＝14.答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x元后，这周销售的销量为(400＋100x)个，由题意得400×(10－6)＋(10－x－6)(400＋100x)＋(4－6)[1 200－400－(400＋100x)]＝2 500，整理，得x2－2x＋1＝0.解得x1＝x2＝1.则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．15. (1)26.8.(2)设需要售出x部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x －1)]＝(0.1x＋0.9)(万元)．当0<x≤10，根据题意得x·(0.1x＋0.9)＋0.5x ＝12，整理得x2＋14x－120＝0，解得x1＝－20(不合题意，舍去)，x2＝6；当x>10时，根据题意得x·(0.1x＋0.9)＋x＝12，整理得x2＋19x－120＝0，解得x1＝－24(不合题意，舍去)，x2＝5，因为5<10，所以x2＝5舍去．综上可知，需要售出6部汽车．第二章一元二次方程第Ⅰ卷(选择题共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中是关于x的一元二次方程的是( )A．x2＋1x2＝0 B．ax2＋bx＋c＝0C．(x－1)(x＋2)＝1 D．3x2－2xy－5y2＝02．已知关于x的方程(4－a)xa2－3a－2－ax－5＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是( )A．－1 B．1 C．4 D．4或－13．用配方法解一元二次方程x2－6x－10＝0时，下列变形正确的是( ) A．(x＋3)2＝1 B．(x－3)2＝1C．(x＋3)2＝19 D．(x－3)2＝194．若2x＋1与2x－1互为倒数，则实数x的值为( )A．±12B．±1 C．±22D．± 25．已知关于x的一元二次方程(a－1)x2－2x＋1＝0有两个不相等的实数根，则a的取值范围是( )A．a<2 B．a>2C．a<2且a≠1 D．a<－26．若关于x的方程x2＋2x－3＝0与2x＋3＝1x－a有一个解相同，则a的值为( )A．1 B．1或－3 C．－1 D．－1或37．某品牌服装原价为173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A．173(1＋x%)2＝127 B．173(1－2x%)＝127C．173(1－x%)2＝127 D．127(1＋x%)＝1738．已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为( ) A．7 B．10 C．11 D．10或119．若a满足不等式组2a－1≤1，1－a2>2，则关于x的方程(a－2)x2－(2a－1)x＋a＋12＝0的根的情况是( )A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根C．没有实数根 D．以上三种情况都有可能10．定义：如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a＋b＋c＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)满足a－b＋c＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．若一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是( ) A．方程有两个相等的实数根 B．方程有一根等于0C．方程两根之和等于0 D．方程两根之积等于0请将选择题答案填入下表：题号12345678910总分答案第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．在估算一元二次方程x2＋12x－15＝0的根时，小彬列表如下：x 1 1.1 1.2 1.3x2＋12x－15 －2－0.590.842.29由此可估算方程x2＋12x－15＝0的一个根x的范围是________．12．若(m2＋n2)(1－m2－n2)＋6＝0，则m2＋n2的值为________．13．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克，且10≤x≤18)之间的函数关系如图1所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x的方程是__________________．(不需化简和解方程)图114．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．15．已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实数根，则x13＋14x2＋5＝________.16．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若a＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；②若b2＋4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；③若a－b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有两个实数根．其中正确的有________(填序号)．三、解答题(共72分)17．(6分)用适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)(x－2)＝x－2；(2)(2x＋1)2＝x2＋2.18．(6分)已知m是方程x2－2x－2＝0的根，且m＞0，求代数式m2－1m＋1的值．19．已知关于x的一元二次方程x(x－2)＝x－2①与一元一次方程2x＋1＝2a－x②.(1)若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；(2)若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．20．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？21．(10分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为 2.88亿元．(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过 3.4亿元？22．(10分)某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨；(2)若该经销店计划获得9000元的月利润而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？23．(12分)某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计图如图2所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其他三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．(1)请你计算出游泳池的长和宽；(2)已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，共需要费用多少元？图224．(12分)如图3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s 的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的4 9；(2)问是否存在某一时刻使得点P与点Q之间的距离为 5 cm.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．图3答案1．C2．B3．D4．C5．C6．C7．C8．D9．C10．C11．1.1＜x＜1.212．313．(x－10)(－2x＋60)＝150 [解析] 设y与x之间的函数表达式为y＝kx＋b，把(10，40)，(18，24)代入，得10k＋b＝40，18k＋b＝24，解得k＝－2，b＝60，∴y与x之间的函数表达式为y＝－2x＋60(10≤x≤18)，∴W＝(x－10)(－2x＋60)，当销售利润为150元时，可得(x－10)(－2x＋60)＝150.14．(3＋x)(4－0.5x)＝1515．－4316．①②17．解：(1)(x＋1)(x－2)－(x－2)＝0，(x－2)(x＋1－1)＝0，x－2＝0或x＋1－1＝0，所以x1＝2，x2＝0.(2)3x2＋4x－1＝0，Δ＝42－4×3×(－1)＝28，x＝－4±272±3＝－2±73，所以x1＝－2＋73，x2＝－2－73.18．解：x2－2x－2＝0，x2－2x＝2，x2－2x＋1＝3，(x－1)2＝3，x＝±3＋1.∵m＞0，∴m＝3＋1.∴m2－1m＋1＝m－1＝ 3.19．解：(1)解方程①，得x1＝1，x2＝2，解方程②，得x＝2a－1 3.当2a－13＝1时，a＝2；当2a－13＝2时，a＝72.综上所述，a的值是2或7 2 .(2)由题可知，1≤2a－13≤2，解得2≤a≤72.20．解：(1)证明：∵在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)设方程的两个根分别为m，n.∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．21．解：(1)设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x.L根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2018年的利润能超过 3.4亿元．22．解：(1)60(2)解法一：设每吨售价下降10x(0＜x＜16)元．由题意，可列方程(260－100－10x)(45＋7.5x)＝9000，化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润均为9000元．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．解法二：设售价定为每吨x元．由题意，可列方程(x－100)(45＋260－x10×7.5)＝9000.化简，得x2－420x＋44000＝0，解得x1＝200，x2＝220.因为要尽可能地扩大销售量，所以售价应定为每吨200元．23．解：(1)设游泳池的宽为x米，则长为2x米．根据题意，得。
(北师大版)初中数学九年级上册 第二章综合测试(含答案)
第二章综合测试一、选择题（共10题；共30分）1.已知关于x 的一元二次方程250x x m +-=的一个根是2，则另一个根是（ ）A .7-B .7C .3D .3-2.已知1x ，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则12x x +的值是（ ）A .0B .2C .2-D .43.一元二次方程22630x x ++=经过配方后可变形为（ ）A .2(3)6x +=B .()2312x -= C .23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D .231524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程220x x +=的解是（ ）A .0x =B .2x =-C .1220x x ==D .1220x x =-=5.若方程2680x x -+=的两根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（ ）A .10B .8C .10或8D .10或146.一个正方形的边长增加了2 cm ，面积相应增加了232 cm ，则原正方形的边长为（ ）A .5 cmB .6 cmC .7 cmD .8 cm7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（ ）A .2根小分支B .3根小分支C .4根小分支D .5根小分支8.如图，在长为100 m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为27 644 m ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 m x ，则可列方程为（ ）A .10080100807 644x x ⨯--=B .()()2100807 644x x x --+=C .()()100807 644x x --=D .2100807 644x x x +-=9.关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ）A .4k -≥B .4k -≥且0k ≠C .4k ≤D .4k ≤且0k ≠10.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12．则新品种花生亩产量的增长率为（ ） A .20％B .30%C .50%D .120% 二、填空题（共6题；共18分）11.已知1x =是关于x 的一元二次方程()221--10k x k x +=的根，则常数k 的值为________.12.当x =________时，代数式2x x -与1x -的值相等.13.设m 、n 是方程2 2 0210x x +-=的两个实数根，则²2m m n ++的值为________.14.关于x 的一元二次方程()22210a x x --+=有两个不相等的实数根，则整数a 的最小值是________.15.如图，已知AB BC ⊥，12 cm AB =，8 cm BC =.一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1 cm/s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2 cm/s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当MNB △的面积为224 cm 时运动的时间t 为________秒.16.一元二次方程2680x x -+=的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为________.三、解答题（共7题；共52分）17.解方程：（1）()224x +=(自选方法)（2）2210x x --=(配方法)（3）²14x x -=(公式法)（4）²122x x -=+(因式分解法)18.已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．19.熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50 m，墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150x.元/m，设平行于墙的边长为/m300 m，求x的值；（1）若运动场地面积为2（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.求：（1）若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由.21.开学初期，天气炎热，水杯需求量大．双福育才中学门口某超市购进一批水杯，其中A种水杯进价为每个15元，售价为每个25元；B种水杯进价为每个12元，售价为每个20元（1）该超市平均每天可售出60个A种水杯，后来经过市场调查发现，A种水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．为了尽量让学生得到更多的优惠，某天该超市将A种水杯售价调整为每个m元，结果当天销售A种水杯获利630元，求m的值．（2）该超市准备花费不超过1600元的资金，购进A、B两种水杯共120个，其中B种水杯的数量不多于A种水杯数量的两倍．请为该超市设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．22.如图，在ABC △中，90B ∠=︒，12 cm AB =，16 cm BC =．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，PBQ △的面积等于235 cm ？（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于？（3）若点P 、Q 的速度保持不变，点P 在到达点B 后返回点A ，点Q 在到达点C 后返回点B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t 为何值时，PCQ △的面积等于232 cm ？23.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%.某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调%a 出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了%a ，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1%10a ，求a 的值.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】设另一个根为x ，则25x +=-，解得7x =-.故答案为：A .2.【答案】B【解析】1x ∵，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，122x x +=∴．故答案为：B ．3.【答案】C【解析】22630x x ++=∵2332x x +=-∴ 29393424x x ++=-+∴ 23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 故答案为：C4.【答案】D【解析】220x x +=∵， ()20x x +=∴，0x =∴或2-，故答案为：D ．5.【答案】A【解析】方程2680x x -+=，得12x =，24x =，∵当2为腰，4为底时，224+=，不符合三角形三边关系，∴不能构成等腰三角形；∵当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为44210++=.故答案为：A .6.【答案】C【解析】设原正方形的边长为 cm x ，则面积增加后的正方形的边长为()2 cm x +，根据题意得：()22232x x +=+解之：7x =.故答案为：C7.【答案】B【解析】设每个支干长出x 个分支，根据题意得 113x x x ++⋅=，整理得2120x x +-=，解得13x =，24x =-（不符合题意舍去），即每个支干长出3个分支.故应选B .8.【答案】C【解析】设道路的宽应为x 米，由题意有()()100807 644x x --=，故答案为：C9.【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有实数根，0k ≠∴且()2440k =--≥，解得：4k ≤且0k ≠．故答案为：D ．10.【答案】A【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x ， 根据题意得()1200150%11322x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭， 解得10.220%x ==，2 3.2x =-（不合题意，舍去)，则新品种花生亩产量的增长率为20%，故选A .二、11.【答案】0【解析】将1x =代入()22110k x k x -+-=中，得20k k -=，解得1k =或0，10k -≠∵，1k ≠∴，0k =∴.故答案为：0.12.【答案】1【解析】根据题意得21x x x -=-，整理得：2210x x -+=，()210x -=∴，解得：1x =故答案为：1.13.【答案】2 020【解析】m ∵、n 是方程2 2 0210x x +-=的两个实数根 2 2 0210m m +-=∴，1m n +=-2 2 021m m +=∴∴原式2 2 0211 2 020m m m n =+++=-=.故答案为：2 020.14.【答案】3【解析】根据题意得20a -≠，且()()224210a =---⨯＞，解得：1a ＞且2a ≠， ∴整数a 的最小值为：3.故答案为：3.15.【答案】2【解析】根据题意可知CN t =，2AM t =，8BN t =-∴，122BM t =-，MNB ∵△的面积为224 cm()()11228242x t t -⨯-=∴ 解得12x =，212x =(舍去)故答案为：2.16.【答案】4=【解析】解方程2680x x -+=得：2x =和4，即4AC =，2BD =，∵四边形ABCD 是菱形，90AOD ∠=︒∴，2AO OC ==，1BO DO ==，由勾股定理得：AD ==4三、17.【答案】（1）22x +=±10x =，24x =-（2）2210x x --=21112102168x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭- 2192048x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 219248x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 1344x -=± 11x =∴，212x =（3）2410x x --=x12x =+22x =（4）21220x x ---=2230x x --=()()310x x -+=13x =，21x =-18.【答案】（1）1a =，2b =，4c m =-24b ac ∆=-∴()2244m =--204m =-∵一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根，2040m -∴≥5m ≤．（2）当1m =时，2230x x +-=．则()()130x x -+=解得11x =，23x =-（答案不唯一）．19.【答案】（1）根据题意，得：503002x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭， 解得：20x =或30x =，∵墙的长度为24 m ，20x =∴（2）设菜园的面积是S ， 则502x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 21252x x =+ ()216252522x =-+， 0-12∵＜， ∴当25x ＜时，S 随x 的增大而增大，24x ∵≤，∴当24x =时，S 取得最大值，∴总费用24200261508 700 1 000=⨯+⨯=＜， ∴没有超过预算20.【答案】（1）()41020404 1 0085⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭(元). 答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1 008元.（2）设每件衬衫应降价x 元，根据题意，得()()40202 1 200x x -+=，整理，得2302000x x -+=，解得110x =，220x =，∵要尽量减少库存，20x =∴.答：每件衬衫应降价20元.（3）不可能.理由如下：令()()40202 1 600x x -+=，整理得2304000x x -+=，90044000∆=-⨯∵＜，∴商场平均每天不可能盈利1 600元.21.【答案】（1）设超市将A 种水杯售价调整为每个m 元，则单件利润为()15m -元，销量为()()60102531010m m ⎡⎤⎣=-⎦+-个，依题意得： ()()1531010630m m --=，解得：122m =，224m =，答：为了尽量让学生得到更多的优惠，22m =．（2）设购进A 种水杯x 个，则B 种水杯()120x -个．设获利y 元，依题意得：()1512120 1 6001202x x x x⎧+-⎪⎨-⎪⎩≤≤， 解不等式组得：140533x ≤≤，本次利润()()()251512020122960y x x x =-+--=+．20∵＞，y ∴随x 增大而增大，当53x =时，最大利润为1 066元．22.【答案】（1）()12cm BP AB AP t =-=-，2 cm BQ t =． 根据三角形的面积公式，得3251PB BQ ⋅=， 即()2212351t t -⋅=， 整理，得212350t t -+=，解得15t =，27t =．故当t 为5或7时，PBQ △的面积等于235 cm ．（2）根据勾股定理，得()()()22222212282PQ BP BQ t t =+=-+=， 整理，得2524160t t -+=， 解得145t =，24t =.故当t 为45或4时，PQ 的长度等于． （3）①当08t ＜≤时，()12c m PB t =-，()2c 16m CQ t =- 由题意，得()()162123212t t -⨯-=， 解得：14t =，216t =（舍去）．②当812t ＜≤时，()12c m PB t =-，()1c 26m CQ t =-， 由题意，得()()216122123t t -⨯-=，此方程无解． ③当1216t ＜≤时，()12cm PB t =-，()1c 26m CQ t =-， 由题意，得()()216122132t t -⨯-=， 解得：14t =（舍去），216t =．综上所述，当t 为4或16时，PCQ △的面积等于232 cm ．23.【答案】（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；根据题意得：()2.5160%200x ⨯+≥，解得：50x ≥.答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）设3月20日的总销量为1； 根据题意得：31160(1%)(1%)60(1%)601%4410a a a a ⎛⎫-⨯++⨯+=+ ⎪⎝⎭， 令%a y =，原方程化为：()31160(1)160(1)6014410y y x y y ⎛⎫-⨯+++=+ ⎪⎝⎭， 整理得：250y y -=，解得：0.2y =，或0y =（舍去），则%0.2a =，20a =∴；答：a的值为20.。
北师大版数学九年级上册第二章测试题附答案
北师大版数学九年级上册第二章测试题(一元二次方程)一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分．每小题给出4个选项，其中只有一个是正确的）1．（3分）某超市1月份的营业额是200万元，第一季度的营业额共1000万元，如果每月的增长率都是x，根据题意列出的方程应该是（）A．200（1+x）2=1000 B．200（1+2x）=1000C．200+200（1+x）+200（1+x）2=1000 D．200（1+3x）=10002．（3分）如图所示，某幼儿园有一道长为16米的墙，计划用32米长的围栏靠墙围成一个面积为120平方米的矩形草坪ABCD．则该矩形草坪BC边的长是（）A．12 B．18 C．20 D．12或203．（3分）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+2n=0的根，则m+n的值为（）A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣24．（3分）已知（m2+n2）2﹣2（m2+n2）﹣3=0，则m2+n2=（）A．﹣1或3 B．3 C．﹣1 D．无法确定5．（3分）已知关于x的方程（m+3）x2+5x+m2﹣9=0有一个解是0，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．±3 D．不确定6．（3分）若x1，x2（x1＜x2）是方程（x﹣a）（x﹣b）=1（a＜b）的两个根，则实数x1，x2，a，b的大小关系为（）A．x1＜x2＜a＜b B．x1＜a＜x2＜b C．x1＜a＜b＜x2D．a＜x1＜b＜x2 7．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，28．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可变形为（）A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=49．（3分）如果关于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠010．（3分）用换元法解方程﹣=3时，设=y，则原方程可化为（）A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=011．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的两个根，则这个三角形的周长是（）A．11 B．10 C．11或10 D．不能确定12．（3分）若分式的值为零，则x的值为（）A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3二．填空题（每小题3分，共12分）13．（3分）关于x的方程（m﹣1）x2+（m+1）x+3m+2=0，当m时为一元二次方程．14．（3分）一元二次方程x2=2x的根是．15．（3分）设m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2018=0的两个实数根，则m2+3m+n=．16．（3分）写出以4，﹣5为根且二次项的系数为1的一元二次方程是．三．解答题（本题有7小题，共52分）17．（10分）解方程（1）x2﹣4x﹣5=0（2）3x（x﹣1）=2﹣2x．18．（5分）试证明关于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0无论a取何值，该方程都是一元二次方程．19．（6分）某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2：1．在温室内，沿前侧内墙保留3m宽的空地，其它三侧内墙各保留1m宽的通道．当。
新北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》章末训练题含答案解析 (50)
第二章《一元二次方程》章末练习题-8一、选择题1.设α，β是一元二次方程x2+2x−3=0的两个根，则αβ的值是( )A．3B．−3C．2D．−22.一元二次方程x2＋2x＋1＝0的根的情况为( )A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根3.要组织一次篮球邀请赛，参赛的每两个队伍之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排6天，每天安排6场比赛，设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为( )A．12x(x+1)=36B．12x(x−1)=36C．x(x+1)=36D．x(x−1)=364.定义新运算：a∗b=a(m−b)．若方程x2−mx+4=0有两个相等正实数根，且b∗b=a∗a（其中a≠b），则a+b的值为( )A．−4B．4C．−2D．25.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+kx−1=0的两个根，且满足1x1+1x2=−2，则k的值为( )A．2B．−2C．1D．−16.关于x的方程x2+2kx+k−1=0的根的情况描述正确的是( )A．k为任何实数，方程都没有实数根B．k为任何实数，方程都有两个不相等的实数根C．k为任何实数，方程都有两个相等的实数根D．k的取值不同，分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种7.在平行四边形ABCD中，AB=10，BC=14，E，F分别为边BC，AD上的点，若四边形AECF为正方形，则AE的长( )A．7B．4或10C．5或9D．6或88.如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．以下关于倍根方程的说法，正确的是( )A．方程x2=4是倍根方程B．方程x2−x−2=0是倍根方程C．若方程(x−2)(mx+n)=0是倍根方程，则4m2+5mm+n2=0D．若点A(p,q)在正比例函数y=2x的图象上，则关于x的方程px2−q=0是倍根方程9.下列与一元二次方程根的情况相关的说法不正确的是( )A．方程x2=x有一根为0B．方程x2−1=0的两根互为相反数C．方程(x−1)2−1=0的两根互为相反数D．方程x2−x+2=0无实数根10.若关于x的方程x2+x+m=0的一个根为−2，则m的值为( )A．−2B．2C．−1D．1二、填空题11.关于x的一元二次方程x2−x+a−1=0有一个根为0，则a的值为．12.关于x的方程x a−1+2x−5=0是一元二次方程，则a=．13.某厂一月份生产某机器100台，计划三月份生产144台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是．14.运用一元二次方程的根与系数的关系解答一元二次方程相关问题的前提条件是b2−4ac(a≠0)．15.定义新运算“⋇”如下：当a≥b时，a⋇b=ab+b；当a<b时，a⋇b=ab−a．若(2x−1)⋇(x+2)=0，则x=．16.解一元二次方程x2=2x的根为．17.已知实数x满足(x2−x)2−4(x2−x)−12=0，则代数式x2−x+1的值为．三、解答题18.已知关于x的方程mx2+(2m−1)x+m−1=0(m≠0)．(1) 求证：方程总有两个不相等的实数根．(2) 若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值．19.为了响应政府的“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某地某商城自行车的销量自2019年起逐月增加，据统计，2019年该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售自行车100辆．(1) 求1月到3月自行车销量的月平均增长率；(2) 若每辆自行车可盈利50元，问该商城在2019年的第一季度的利润为多少元？20.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB长是方程x2−3x−18=0的根，连接BD，∠DBC=30∘，并过点C作CN⊥BD，垂足为N，动点P从点B以每秒2个单位长度的速度沿BD方向匀速运动到点D为止；点M沿线段DA以每秒√3个单位长度的速度由点D向点A匀速运动，到点A为止，点P与点M同时出发，设运动时间为t秒（t>0）．(1) 线段CN=；(2) 连接PM和MN，求△PMN的面积s与运动时间t的函数关系式；(3) 在整个运动过程中，当△PMN是以PN为腰的等腰三角形时，直接写出点P的坐标．21.已知关于x的一元二次方程x2+x+m−1=0．(1) 当m=0时，求方程的实数根；(2) 若方程有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．22.问题背景．若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶点；若再满足两个顶角和是180∘，则称这个两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点．如图1，四边形ABCD中，BC是一条对角线，AB=AC，DB=DC，则点A与点D关于BC互为顶针点；若再满足∠A+∠D=180∘，则点A与点D关于BC互为勾股顶针点．(1) 初步思考．如图2，在△ABC中，AB=AC，∠ABC=30∘，D，E为△ABC外两点，EB=EC，∠EBC=45∘，△DBC为等边三角形．①点A与点关于BC互为顶针点；②点D与点关于BC互为勾股顶针点，并说明理由．(2) 实践操作．在长方形ABCD中，AB=8，AD=10．①如图3，点E在AB边上，点F在AD边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点E，F，使得点E与点C关于BF互为勾股顶针点（不写作法，保留作图痕迹）．思维探究．②如图4，点E是直线AB上的动点，点P是平面内一点，点E与点C关于BP互为勾股顶针点，直线CP与直线AD交于点F，在点E运动过程中，线段BE与线段AF的长度是否会相等？若相等，请直接写出AE的长，若不相等，请说明理由．23.某公司研发了一款成本为50元的新型玩具，投放市场进行试销售．其销售单价不低于成本，按照物价部门规定，销售利润率不高于90%，市场调研发现，在一段时间内，每天销售数量y（个）与销售单价x（元）符合一次函数关系，如图所示：(1) 根据图象，直接写出y与x的函数关系式．(2) 该公司要想每天获得3000元的销售利润，销售单价应定为多少元？(3) 销售单价为多少元时，每天获得的利润最大，最大利润是多少元？24.已知一次函数y=(m−2)x+n−1．(1) 若一次函数图象经过点(0,3)和(1,5)，求一次函数的解析式．(2) 若把一次函数的图象向上平移3个单位得到直线y=3x−3，求m和n的值．(3) 若一次函数的图象经过二、三、四象限，请判断方程x2−5x+2(m+n)=0解的情况，并说明理由．25.现有长40m、宽30m的场地，欲在场地中央建一游泳池，周围是等宽的便道及休息区，且游泳池的面积与周围部分的面积之比为3:2，请给出这块场地建设的设计方案，并用图形及相关尺寸表示出来，请根据这一问题列出方程．答案一、选择题1. 【答案】B【知识点】一元二次方程根与系数的关系2. 【答案】B【解析】计算该一元二次方程根的判别式得：Δ＝22−4×1×1＝0，则该方程有两个相等的实数根．【知识点】一元二次方程根的判别式3. 【答案】B【解析】由题意可得：12x(x−1)=6×6，即：12x(x−1)=36．【知识点】循环赛4. 【答案】B【解析】∵方程x2−mx+4=0有两个相等实数根，∴Δ=(−m)2−4×4=0，解得m1=4，m2=−4，当m=−4时，方程有两个相等的负实数解．∴m=4，∴a∗b=a(4−b)，∵b∗b=a∗a，∴b(4−b)=a(4−a)．整理得a2−b2−4a+4b=0，(a−b)(a+b−4)=0，而a≠b．∴a+b−4=0，即a+b=4．【知识点】一元二次方程根的判别式5. 【答案】B【解析】∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+kx−1=0的两个根，∴x1+x2=−k，x1x2=−1，∵1x1+1x2=−2，∴x1+x2x1x2=−2，故−k−1=−2，解得：k=−2．【知识点】一元二次方程根与系数的关系6. 【答案】B【知识点】一元二次方程根的判别式7. 【答案】D【知识点】几何问题8. 【答案】C【知识点】因式分解法9. 【答案】C【知识点】一元二次方程根的判别式10. 【答案】A【解析】将x=−2代入方程x2+x+m=0，得4−2+m=0，解得m=−2．【知识点】一元二次方程的根二、填空题11. 【答案】1【解析】因为x=0是关于x的一元二次方程x2−x+a−1=0的一个根，所以x=0满足关于x的一元二次方程x2−x+a−1=0，所以a−1=0，解得，a=1；答案为：1．【知识点】一元二次方程的根、含参一元二次方程的解法12. 【答案】3【解析】∵关于x的方程x a−1+2x−5=0是一元二次方程，∴a−1=2，解得：a=3，故答案为：3．【知识点】一元二次方程的概念13. 【答案】100(1+x)2=144【解析】设二，三月份每月平均增长率为x，根据题意得：100(1+x)2=144．【知识点】平均增长率14. 【答案】≥0【知识点】一元二次方程根的判别式15. 【答案】−1或12【解析】①当2x−1≥x+2，即x≥3时，(2x−1)⋇(x+2)=(2x−1)(x+2)+(x+2)，由题意得(2x−1)(x+2)+(x+2)=0，解得x=0或x=−2，∵x≥3，∴x=0或x=−2均舍去；②当2x−1<x+2，即x<3时，(2x−1)⋇(x+2)=(2x−1)(x+2)−(2x−1)，由题意得(2x−1)(x+2)−(2x−1)=0，，均符合题意．解得x=−1或x=12【知识点】因式分解法16. 【答案】x1=0，x2=2【解析】∵x2=2x，∴x2−2x=0，x(x−2)=0，x1=0，x2=2．【知识点】因式分解法17. 【答案】7【解析】原等式可变为(x2−x−6)(x2−x+2)=0，所以x2−x=6，x2−x=−2（无解），从而可求x2−x+1=7．【知识点】高次方程三、解答题18. 【答案】(1) ∵m≠0，∴mx2+(2m−1)x+m−1=0m≠0是关于x的一元二次方程，∵Δ=(2m−1)2−4m×(m−1)=4m2−4m+1−4m2+4m=1>0,∴此方程总有两个不相等的实数根．(2) ∵(x+1)[mx+(m−1)]=0，−1，∴x1=−1,x2=1m∵ 方程的两个实数根都是整数，且 m 是整数， ∴m =1 或 m =−1．【知识点】一元二次方程根的判别式、因式分解法19. 【答案】(1) 设 1 月到 3 月自行车销量的月平均增长率为 x ，依题意得：64(1+x )2=100(1+x )2=100641+x=±54.解得x 1=25%,x 2=−225%(不合题意,舍去)答：1 月到 3 月自行车销量的月平均增长率为 25%． (2) 第一季度的销售量为：64+64×(1+25%)+100=244(辆).第一季度的利润为：50×244=12200(元).答：该商城在 2019 年的第一季度的利润为 12200 元． 【知识点】简单的代数式求值、平均增长率20. 【答案】(1) 3√3(2) ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DCB =90∘， CD =AB =6，∴∠DCN =∠DBC =30∘， ∴DN =12CD =3，过 N 作 NG ⊥AD 于 G ，则 NG =12DN =32，DG =√3NG =3√32， ∵BP =2t ， DM =√3t ， ∴PQ =t ，当 0<t ≤92 时，s =12×√3t ⋅(6−t )−12×√3t ×32=−√32t 2+9√34t ，当 92<t ≤6 时，s =12×√3t ×32−12×√3t (6−t )=√32t 2−9√34t ，∴s ={−√32t 2+9√34t,0<t ≤92√32t 2−9√34t,92<t ≤6．(3) P 1(3√3,3)，P 2(7√33,73)． 【知识点】平面直角坐标系及点的坐标、30度所对的直角边等于斜边的一半、矩形的性质、分段函数、等腰三角形的性质、因式分解法21. 【答案】(1) 当 m =0 时，方程为 x 2+x −1=0， Δ=12−4×1×(−1)=5， ∴x =−1±√52×1， ∴x 1=−1+√52，x 2=−1−√52．(2) ∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴Δ>0，即 Δ=12−4×1×(m −1)=1−4m +4=5−4m >0， ∴m <54．【知识点】公式法、一元二次方程根的判别式22. 【答案】(1) ① D 和 E ； ② A理由：如图 2 中， ∵△BDC 是等边三角形， ∴∠D =60∘，∵AB =AC ，∠ABC =30∘， ∴∠ABC =∠ACB =30∘， ∴∠BAC =120∘， ∴∠A +∠D =180∘，∴ 点 D 与点 A 关于 BC 互为勾股顶针点． (2) 线段 BE 与线段 AF 长度会相等． ①如图 3 中， 点 E ，点 F 即为所求． ② AE 的值为 43 或 2 或367或 18．【解析】(1) 根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知： ①点 A 与点 D 和 E 关于 BC 互为顶针点； ②点 D 与点 A 关于 BC 互为勾股顶针点． (2) ②如图 4−1 中，当 BE =AF 时，设 AE =x ，连接 EF ，∵BE =EP =AF ，EF =EF ，∠EAF =∠FPE =90∘， ∴Rt △EAF ≌Rt∠FPE (HL )， ∴PF =AE =x ，在 Rt △DCF 中，DF =10−(8−x )=2+x ，CD =8，CF =10−x ，∴(10−x )2=82+(2+x )2，解得 x =43， ∴AE =43． 如图 4−2 中，当 BE =BC =AF 时，此时点 F 与 D 重合，可得 AE =BE −AB =10−8=2．如图 4−3 中，当 BE =AF 时，设 AE =x ，同法可得 PF =AE =x ，在 Rt △CDF 中，则有 (10+x )2=82+(18−x )2，解得 x =367， ∴AE =367．如图 4−4 中，当 BE =CB =AF 时，点 F 与点 D 重合，此时 AE =AB +BE =AB +BC =18．综上所述，满足条件的 AE 的值为 43 或 2 或 367 或 18．【知识点】等边三角形的性质、几何问题、勾股定理23. 【答案】(1) 设 y =kx +b （k ≠0，b 为常数），将点 (50,160)，(80,100) 代入得 {160=50k +b,100=80k +b,解得 {k =−2,b =260.∴y 与 x 的函数关系式为：y =−2x +260．(2) 由题意得：(x −50)(−2x +260)=3000,化简得：x 2−180x +8000=0,解得：x 1=80,x 2=100.∴x ≤50×(1+90%)=95，∴x 2=100>95（不符合题意，舍去）．答：销售单价为 80 元．(3) 设每天获得的利润为 w 元，由题意得w=(x −50)(−2x +260)=−2x 2+360x −13000=−2(x −90)2+3200,∵a =−2<0，抛物线开口向下， ∴w 有最大值，当 x =90 时，w 最大值=3200．答：销售单价为 90 元时，每天获得的利润最大，最大利润是 3200 元．【知识点】利润问题、销售问题、其他实际问题24. 【答案】(1) 将 (0,3) 和 (1,5) 代入一次函数解析式，得 {n −1=3,m −2+n −1=5, 解得 {n =4,m =4,∴ 一次函数的解析式为 y =2x +3．(2) ∵ 把一次函数图象向上移 3 个单位得到直线 y =3x −3，∴ 将直线 y =3x −3 向下移 3 个单位得到一次函数，∴ 一次函数解析式为 y =3x −3−3，即 y =3x −6，∴{m −2=3,n −1=−6, 解得 {m =5,n =−5.(3) 已知方程 x 2−5x +2(m +n )=0，∴Δ=25−8(m +n )，∵ 一次函数的图象经过第二、三、四象限，∴{m −2<0,n −1<0, 解得 {m <2,n <1,∴m +n <3，∴−8(m +n )>−24，∴25−8(m +n )>1，∴Δ=25−8(m +n )>1，∴ 原方程有两个不相等的实数根．【知识点】一次函数的图象变换、k,b 对一次函数图象及性质的影响、一次函数的解析式、一元二次方程根的判别式25. 【答案】如图（单位：m ）：设计方案：求出满足条件的便道及休息区的宽度．若设便道及休息区的宽度为 x m ，则游泳池的面积为 (40−2x )(30−2x )m 2，便道及休息区的面积为 2[40x +x (30−2x )]m 2，依题意，可列方程：(40−2x )(30−2x ):2[40x +(30−2x )x ]=3:2．【知识点】几何问题。
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北师大版九年级上册数学第二章测试题答案参
考
尽可能多的做练习题可以帮助同学对所学知识点加以
巩固，经过试题的练习相信大家一定会学到更多，查字典数学网为大家提供了九年级上册数学第二章测试题答案，欢迎大家阅读。
1.解：设其中一个数为x，则另一个数为x-4，则x(x-4)=45，解得x_1=9，
x_2=-5.当x=9是时，x-4=5;当x=-5时，x-4=-9.
答：这两个数为9和5，或-5和-9.
2.解：(1)x(x-14)=0，
x=0，或x-14=0，
所以x_1=0，x_2=14.
(2)x^2+12x+27=0，
(x+3)(x+9)=0，
X+3=0，或x+9=0，
所以x_1=-3，x_2=-9.
(3)x2=x+56，x2-x-56=0，
(x+7)(x-8)=0，
X+7=0，或x-8=0，
所以x_1=-7，x_2=8.
(4)x(5x+4)=5x+4，
(5x+4)(x-1)=0，
5x+4=0，或x-1=0，
所以x_1=-4/5，x_2=1.
(5)4x2-45=31x，
4x2-31x-45=0，
(4x+5)(x-9)=0，
4x+5=0，或x-9=0，
所以x_1=-5/4，x_2=9.
(6)-3x2+22x-24=0，
3x2-22x+24=0，
(3x-4)(x-6)=0，
所以x_1=4/3，x_2=6.
(7)(x+8)(x+1)=-12，
X2+9x+20=0，
(x+4)(x+5)=0，
X+4=0，或x+5=0，
所以x_1=-4，x_2=-5.
(8)(3x+2)(x+3)=x+14，3x2+10x-8=0，
(3x-2)(x+4)=0,
3x-2=0，或x+4=0，
所以x_1=2/3，x_2=-4.
3.(1)解法1：原方程可化为x2+9x+18=0，
(x+3)(x+6)=0，
所以x_1=-3，x_2=-6.
(2)解：x2-2√5 x+2=0，
X2-2√5x=-2，
X2-2√5 x+5=-2+5，
(x-√5)2=3，x-√5=±√3，
所以x_1=√5+√3，x_2=√5-√3.
(3)解：(x+1)2-3(x+1)+2=0，
(x+1-1)(x+1-2)=0，(x-1)=0，
所以x_1=0，x_2=1.
4.解：(1)∵a=2，b=1，c=-1，∴b2-4ac=12-4×4×2(-1)=9>0，∴方程有两个不相等的实数根.
(2)原方程变形为4x2-4x+1=0，
∵a=4，b=-4，c=1，
∴b2-4ac=(-4)2-4×4×1=16-16=0，
∴方程有两个相等的实数根.
(3∵a=7，b=2，c=3，b2-4ac=22-4×7×3=-800，
∴方程有两个不相等的实数根.
设方程的两个实数根分别为x_1，x_2.
由根与系数的关系，得x_1+x_2=-b/a=-5/3，x_1
x_2=c/a=1/3.
6解：(1)根据题意，得x2-13x+12=0，
所以x1=1，x_2=12，即当x=1或x=12时，代数式x2-13x+12的值等于0.
(2)由题意，得x2-13x+12=42，
所以x_1=15，x_2=-2，
所以当x=15或x=-2时，代数式x2-13x+12的值等于42. (3)由题意，得x2-13x+12=-4x2+18，所以x_1=3，x_2=-2/5，所以当x=3或x=-2/5时，代数式x2-13x+12的值与代数式-4x2+18的值相等.
7.解：设该公司这两年缴税的年均增长率为x，
由题意，得40(1+x)2=48.4.
解得x_1=0.1=10%，x_2=-2.1(舍去).
答:该公司这两年缴税的年均增长率为10%.
8.解：设原铁皮的边长为x cm，
则4(x-8)2=400.
解得x_1=18，x_2=-2(不合题意，舍去).
答：原铁皮的边长应为18cm.
9.解：如图2-7-3所示，设小路宽为 xm，由题意，得
2x(15+2x)+2×20x=246.
整理，得2x2+35x-123=0.
解得x_1=3，x_2=-20.5(舍去).
答：小路的宽为3m.
10.解：设每行的座位数为x，则总行数为x+16，依题意，得x(x+16)=1 161.
(x-27)(x+43)=0.
解得x_1=27，x_2=-43(舍去).
答：每行的座位数为27.
11.解：设其中一段长为x cm，则另一段长为(56-x)cm. (1)由(x/4)2+((56+x)/4)2=100，解得x_1=24，x_2=32，所以一段长为24cm，另一段长为32cm.
(2)由(x/4)2+((56-x)/4)2=196，解得x_1=0，x_2=56，所以不能剪开.
(3)由(x/4)2+((56-x)/4)^2=200，解得x_1=28+4√51>56(舍去)，
X_2=28-4√510，所以方程有实数根，即侦察船可侦察到军舰，解得t_1=2，t_2=28/13(不合题意，舍去).
答：侦察船可侦察到军舰，最早在2时后可侦察到.
19.解：设到会人数为x，则有x(x-1)/2=66.整数得
x^2-1x-132=0.
解得x_1=12，x_2=-11(不合题意，舍去).
答：这次会议到会的人数为12.
20.解：设点P(x，-2x+3)，一次函数y=-2x+3的图象交x轴于点A(3/2，0)，交y轴于点B(0,3).
∵点P在第一象限，∴x>0，-2x+3>0，∴PD=x，PC=-2x+3.
根据题意，得S_矩形OCPD=PD?PC=1，x(-2x+3)=1.
化简，得-2x2+3x-1=0，
解这个方程，得x_1=1，x_2=1/2.
当x=1时，-2x+3=-2×1+3=1，
∴点P_1 (1,1)
当x=1/2 时，-2x+3=-2× 1/2+3=2，∴点P_2 (1/2，2).∴当点P_1 (1,1)或P_2(1/2，2)时，矩形OCPD的面积为1.
21.分析：由于距台风中心200km的区域受影响，所以应考虑轮船与台风中心的距离是否超过200km，如果超过200km，则会进入台风影响区.
解：(1)这艘轮船不改变航向，他会进入台风影响区.
理由：如图2-7-4所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
BC=500km，BA=300km，由勾股定理，得
AC=√(BC^2-BA^2 )=√(〖500〗^2-〖300〗^2 )=400(km). 当这艘轮船不改变航向时，轮船由C地到A地的时间为
400/30=13(h)，
台风中心由B地到A的时间为300/20=15(h).
故轮船到达A地时，台风中心距离A地为
300-20×40/3=331/3 (km).
而331/3 km。