北师大版七年级下册数学：完全平方公式的应用

3.完全平方公式的几何意义？
(a+b)2 = a2+2ab+b2
b ab
b2
a−b
b
a a2 ab
a
b
a−b (a−b)2 b(a−b)
a
b
ab
a
(a−b)2 = a 2− a b − b(a −b)
即 (a−b)2 = a2−2ab+b2
例题学解一析学(1)
例1利用完全平方公式计算（1）(2x−3)2
注意 先明确用哪个完全平方公式 再把计算的式子与完全平方公式对照,
明确哪个是 a , 哪个是 b.
( a − b )2= a2 −2 a b + b2
( 2 x −3 )2 = (2x)2 −2·2x·3 + 32
解：(1) (2x−3)2 =( 2x )2 − 2 • 2x • 3 +32
=4x2 −12x + 9 ;
有时需要进行变形，使变形后的式子 符合应用完全平方公式的条件，即为 “两数和(或差)的平方”，然后应用 公式计算.
纠 错练习
指出下列各式中的错误，并加以改正： (1) (2a−1)2＝2a2−2a+1; (2) (2a+1)2＝4a2 +1； (3) (a−1)2＝a2−2a−1.
解: (1) 第一数被平方时, 未添括号;
形式不同．
结果不同：
完全平方公式的结果 是三项，
即 (a + b)2＝a2 + 2ab + b2; (a − b)2＝a2 − 2ab + b2
平方差公式的结果 是两项，
即 (a+b)(a−b)＝a2−b2.
在解题过程中要准确确定a和b、对照 公式原形的两边, 做到不丢项、不弄 错符号、2ab时不少乘2；首项、末项 被平方时要注意添括号,是运用完全 平方公式的关键.
拓展练习
下列等式是否成立? 说明理由．
(1) (4a+1)2=(1−4a)2； 成立 (2) (4a−1)2=(4a+1)2； 成立 (3) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2； 不成立． (4) (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)(4a+1). 不成立．
理由: (1) 由加法交换律 4a+l＝l−4a。 (2) ∵ 4a−1＝(4a+1)， ∴(4a−1)2＝[(4a+1)]2＝(4a+1)2.
4.x2
+
x
1
+(_4__)
=
(
x +__12__)2
5. (a − 12b )2 = a2 + (−ab) + (_14_b_2)
2、计算：
(1) ( 1 x + 2y)2
2
（2）( n – 3m)2 （3） (2xy –15Z)2 （4）（−3x2+2y )2
本节课你的收获是什么？
注意完全平方公式和平方差公式不同：
3）(a−1)2 =(a)2−2•(a)•1+12 =a2+2a+1;
(二)
一. 填空:
练一练 二
1.( 2x + y)2 = 4x2 + ( _4_x_y__ ) + y2
2.(x − _5_y___)2 = x2 – (_1_0_x_y_) + 25y2
3.(_3_a_− b )2 = 9 a2 −(_6__a b) + (___b)2
+
y)(–x
–
y)=
22
__________________
m n –9 3.(mn
–
3)(mn
+
3)=
22
__________________
y –4x 4.(–2x+y)(2x+y)=
2
2
__________________
学
一块边长为a米的正方形实验田，
b 因需要将其边长增加 米。形成四块实验
(a−b)2=[a+(−b)]2 他是怎么想的?
利用两数和的 (a−b)2= [a+(−b)]2
平方 推证 = a 2 + 2a (−b)+ (−b)2
= a2 − 2ab + b2.
(a+b)2=a2+2ab+b2 (a−b)2= a2 −2ab+b2
结构特征: 左边是 两数和 (差) 的平方; 右边是 两数的平方和 加上 (减去) 这两数乘积的两倍.
第一数与第二数乘积的2倍 少乘了一个2 ; 应改为: (2a−1)2＝ (2a)2−2•2a•1+1;
(2) 少了第一数与第二数乘积的2倍 (丢了一项); 应改为: (2a+1)2＝ (2a)2+2•2a•1 +1;
(3) 第一数平方未添括号, 第一数与第二数乘积的2倍 错了符号; 第二数的平方 这一项错了符号; 应改为: (a−1)2＝(a)2−2•(a )•1+12;
做题时要边念边写：
第一数 的平方, 减去 第一数与第二数乘积
的2倍,
加上 第二数 的平方.
练一练（一）
指出下列各式中的错误，并加以改正：
(1) (2a−1)2＝2a2−2a+1;
(2) (2a+1)2＝4a2 +1；
解:
(3) (a−1)2＝a2−2a−1.
1）(2a−1)2 =(2a)2−2•2a•1+1=4a2 4a+1; 2）(2a+1)2 =(2a)2+2•2a•1 +1= 4a2 +4a+1;
(3) ∵ (1−4a)＝−(1+4a) ＝(4a−1)， 即 (1−4a)＝(4a−1) ∴ (4a−1)(1−4a)＝(4a−1)·[(4a−1)]
＝(4a−1)(4a−1)＝(4a−1)2。
(4) 右边应为:
(4a−1)(4a+1)。
田，以种植不同的新品种(如图）.
你能用ห้องสมุดไป่ตู้同的形 b 式表示实验田的总面 积,并进行比较吗？ a
a
b
探索: 你发现了什么?
直 接
总面积
法一 求 (a+b)2
b ab b2
间 接
总面积
法二 求
a a2 ab
a2+ ab ab b2.
++
a
b
等式: (a+b)2=a2+2ab+b2.
动脑筋
完全平方公式
想一想(a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2
=
(1) 你能用多项式的乘法法则来
说明它成立吗?
推证
(a+b)2 = (a+b)(a+b) =a2+ab+ ab+b2
=a2+2ab+ b2
动脑筋
完全平方公式
想一想(a+b)2=a2+2ab+b2； (a−b)2 a2 −2ab+b2.
(2) 某同学写出=了如下的算式:
1.6.1 完全平方公式
第一章 整式的运算
导回顾与思考回顾 & 思考
(a+b)(a−b)= a2 − b2
公式的结构特征:
左边是 两数和与这两数差的积. 右边是 这两数的平方差.
练习：
x –4y 1.(x + 2y)(x – 2y) = 2 2 __________________
x –y 2.(–x
语言表述: 两数和(差)的平方
等于这两数的平方和
用自己的语 言叙述上面
的公式
加上(减去)这两数乘积的两倍.
(a+b)2=a2 +2ab+b2 (a−b)2=a2 −2ab+b2
首平方，尾平方， 两倍乘积放中央， 同加异减看前方。
注意：
1.完全平方公式和平方差公式的 区别！
2. (a + b )2≠a2 + b2 (a – b )2 ≠a2 - b2
（2）（4x + 5y )2
(3) (mn−a )2
= (4x)2+2·4x·5y+(5y)2 = (mn)2−2·mn·a+a2 =16x2+40xy+25y2 = m2n2 − 2mna+a2
解：(1) (2x −33)2 = ( 2x )2 −2 • 2x•3+ 32 = 4x2 −12x + 9 ;