2018届高三招生全国统一考试模拟数学(理)试题(五)含答案

合集下载

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

绝密*启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案考前须知：1．答卷前，考生务必将自己的、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．答复选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答复非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试完毕后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。

在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。

1．设1i2i 1iz -=++，则||z =A ．0B ．12C ．1D2．集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．*地区经过一年的新农村建立，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建立前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建立前经济收入构成比例建立后经济收入构成比例则下面结论中不正确的选项是 A ．新农村建立后，种植收入减少B ．新农村建立后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建立后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建立后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，假设3243S S S =+，12a =，则=5a A ．12-B ．10-C ．10D ．125．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，假设()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．3144AB AC - B ．1344AB AC - C ．3144AB AC + D ．1344AB AC + 7．*圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱外表上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱外表上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为 A ．172B ．52C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4*的焦点为F ，过点〔–2，0〕且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5 B ．6 C ．7D ．89．函数e 0()ln 0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．假设g 〔*〕存在2个零点，则a 的取值围是 A ．[–1，0〕B ．[0，+∞〕C ．[–1，+∞〕D ．[1，+∞〕10．下列图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色局部记为II ，其余局部记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则 A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .假设△OMN 为直角三角形，则|MN |=A ．32B ．3 C． D ．412．正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD二、填空题：此题共4小题，每题5分，共20分。

2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(五)含答案

绝密 ★ 启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{}2|5 A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B =（） A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-2．已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件3．元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的的值为（）班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封A ．34B ．78C ．1516D ．31324．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（）A ．12B ．2C ．34D ．25．则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,06． ()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A ．-5B ．7C ．-11D ．137．四面体A BCD -中，10AB CD ==，AC BD ==AD BC ==四面体A BCD -外接球的表面积为（）A ．50πB ．100πC ．200πD ．300π8．已知函数()()sin 2(0)f x x ϕϕ=-+π＜＜的图像向右平移得到函数()g x 的图像关于直线12x π=） A ．725-B ．34-C ．725D ．349．如图为正方体1111ABCD A B C D -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（）A ．B．C ．D ．10．在ABC △中，点D 满足34B D BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（） ABC ．910D ．41811()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是（） A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞12．如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线过点F 且依次交抛物线及圆(222x y -+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟(五)理

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=x y y N x x x M ，则=⋂N M （）A ．)2,0(B ．)2,1(C ．)1,0(D ．∅2.已知i 为虚数单位，复数iai i z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（）A ．21B ．1C ．23 D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．21B ．22-π C. 41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（） A ．55 B ．25 C. 45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（）A ．552B ．55 C. 54 D ．51 7.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（）A ．]4,3[-B ．]3,1[- C. ]9,3[- D ．]4,3[8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（）A ．)0,6(πB ．)0,3(π C. )43,6(-πD ．)43,3(-π9. )102()1(10101022101105x C x C x C x ++++ 展开式中，7x 项的系数是（）A ．50400B ．15300 C. 30030 D ．15001510.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A ．425πB ．1625π C. 41125π D ．161125π 11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，x x f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f （） A ．631 B ．1231 C. 635 D ．1235 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（） A ．)3,1( B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(五)数学试题(理科)(解析版)

普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟（五）理科数学第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. （2017·成都市二诊）已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】解不等式可得，从而可求.【详解】，故，故选B.【点睛】本题考察集合的运算-并，为基础题.2. （2017·太原市一模）已知是虚数单位，则复数的共轭复数是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用复数的除法计算后取所得结果的共轭即可.【详解】，故所求共轭复数为，故选A.【点睛】本题考察复数的概念及其运算，是基础题.3. （2017·合肥市质检）某校高三年级共有学生900人，编号为1，2，3，…，900，现用系统抽样的方法抽取一个容量为45的样本，则抽取的45人中，编号落在区间的人数为（）A. 10B. 11C. 12D. 13【答案】C【解析】【分析】因用系统抽样的方法抽取，所以900人分成45组，每组20人，每组取1人，因此可用等差数列的通项公式计算落在区间的人数.【详解】900人分成45组，每组20人，每组取1人，其编号构成等差数列，故编号落在区间的人数为，故选C.【点睛】抽样方法共有简单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种，（1）简单随机抽样是每个个体等可能被抽取；（2）系统抽样是均匀分组，按规则抽取（通常每组抽取的序号成等差数列）；（3）分层抽样就是按比例抽取.4. 已知双曲线：的离心率为，则的渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，双曲线：的离心率为，则有，即，即有，又由双曲线的焦点在轴上，则其渐近线方程为，故选C.5. 如图所示，当输入，的值分别为2，3时，最后输出的的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】题设中的算法是求中的较大者.【详解】算法是求中的较大者，故最后输出的是3，故选C.【点睛】本题考查算法中的选择结构，属于容易题.6. 某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】几何体为正方体中挖掉半个圆柱，故可求其表面积.【详解】几何体为正方体中挖去半个圆柱，正方体的棱长为2，正方体的3个侧面的面积为，上下底面的面积为，半个圆柱的侧面积为，因此所求几何体的表面积为，故选B．【点睛】本题考察三视图，要求根据三视图复原几何体，注意复原后表面积的合理计算．7. （2017·陕西省质检）已知等比数列的前项和为.若，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由已知可得，解之得,应选A。

2018年高三最新高三高考模拟数学理科卷参考答案答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（荆中模拟卷）数学（理工农医类）参考答案1～10：C C B C A B A B D A11、{}41216λλλλλ-<<>≠-≠或且且 12、1(,]2-∞- 13、5414、> 15、2(1)(1)2(1)(1)1n n na d q a q q q -⎧+=⎪⎪⎨-⎪≠⎪-⎩（提示：15.[]111(1)(1)k k k kk a a k d q aq k dq ---=+-=+-，又1(1)k kk a aq k d -=+-01d q ∴==或）16.解：（1）2122()sin cos sin cos )333233x x x x x f x ==+1222sin sin()23333x x x π==+ ………3（分）由)332sin(π+x =0即231()()332x k k k z x k z πππ-+=∈=∈得:即对称中心为31(,()22k k z π-∈ …………6（分）（2）已知b 2=ac2222221cos 2222125cos 10923333952||||sin sin()132923332sin()133a c b a c ac ac ac x ac ac ac x x x x x πππππππππππ+-+--==≥=∴≤<<≤<+≤->-∴<+≤+≤+分即)(x f 的值域为]231,3(+综上所述，]3,0(π∈x ，故)(x f 值域为]231,3(+…12（分）17．解：（1）32,4x x y ξ-≤-≤∴的最大值为6，此时有1,5x y ==或5,1x y ==，故所求的概率为1115511225P C C +==. …………5（分）（2）ξ的所有可能取值是0，1，2，3，4，5，6.其分布列为：……………10（分） 1484422140123456252525252525255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ……12（分） 18.解：（1）,AC CD BC CD ⊥⊥CD ABC ∴⊥面，又CD ⊂∴⊥面BCD,面ABC 面BCD ,AB BC ⊥面ABC 面BCD=BC AB AB BD ∴⊥∴⊥面BCD, …………5（分）（2）当AC CD ⊥时，则AB BD ⊥,,AB a BC b CD c === 2B D A b∴其表面积11112222S ab bc =++ 当AC 与CD 不垂直时，则AD CD ⊥，否则由（1）知AB BD ⊥，可得AC CD ⊥（矛盾）.当AD AC ⊥时，AB 与AD 不能垂直，否则AD ⊥面ABC,,BC AD BC CD BC ∴⊥⊥⊥面ACD ，从而BC AC ⊥，与AB BC ⊥矛盾.BD AD ∴⊥，从而可得2222AD a c b =-- …………①由AD AC ⊥得，2222AD c a b =-- …………②根据①、②得：22a c =，从而导致220AD b =-<矛盾.AD CD ∴⊥，从而得到AB AD ⊥当AD CD ⊥时，2222AD a b c =+-当AB AD ⊥时，2222AD b c a =+-,a c AD b ∴==，此时四面体的各个面是全等的三角形，变形成为一平面图形，舍去..∴其表面积为11112222S ab bc =++……………12（分）19.解：（I ）从第n 年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为ax n ，被捕捞量为b x n ，死亡量为221,,*.(*)n n n n n n cx x x ax bx cx n N +-=--∈因此1(1),*.(**)n n n x x a b cx n N +=-+-∈即 …………（3分）（II ）若每年年初鱼群总量保持不变，则x n 恒等于x 1， n ∈N*，从而由（*）式得..0*,,0)(11cba x cxb a N n cx b a x n n -==--∈--即所以恒等于因为x 1>0，所以a >b. 猜测：当且仅当a >b ，且cba x -=1时，每年年初鱼群的总量保持不变. ……（6分）（Ⅲ）若b 的值使得x n >0，n ∈N*，由x n +1=x n (3－b －x n ), n ∈N*, 知0<x n <3－b, n ∈N*, 特别地，有0<x 1<3－b. 即0<b<3－x 1，而x 1∈(0, 2)，所以]1,0(∈b由此猜测b 的最大允许值是1. ……………（10分）下证当x 1∈(0, 2) ，b=1时，都有x n ∈(0, 2), n ∈N* ①当n=1时，结论显然成立.②假设当n=k 时结论成立，即x k ∈(0, 2),则当n=k+1时，x k+1=x k (2－x k )>0.又因为x k+1=x k (2－x k )=－(x k －1)2+1≤1<2,所以x k+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n ∈N*，都有x n ∈(0,2).综上所述，为保证对任意x 1∈(0, 2), 都有x n >0， n ∈N*，则捕捞强度b 最大允许值是1.…（13分）20. 解：(1)设双曲线方程为22221x y a b -=，由椭圆22184x y +=求得两焦点为(2,0),(2,0)-， ∴对于双曲线:2C c =，又y =为双曲线C 的一条渐近线∴ba= 解得 221,3a b ==， ∴双曲线C 的方程为2213y x -= ……………（5分） (2)解法一：由题意知直线l 的斜率k 存在且不等于零。

2018届普通高等学校招生全国统一模拟考试数学(理)试卷(扫描版)

2017—2018学年度高三年级第三次模拟考试理科数学参考答案一．选择题：A 卷：CDDBB BBACD DA B 卷：CADBB BBDCDDA二．填空题：（13）4（14）0.8185（15）(－∞，－1)∪(0，1)（16）[32，1)三．解答题： 17．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，依题意有，⎩⎨⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，解得d ＝2，q ＝2， …4分故a n ＝2n －1，b n ＝2n，…6分（2）由已知c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n，所以数列{c n }的前2n 项和为S 2n ＝(a 1＋a 3＋…a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…b 2n )＝n (1＋4n －3)2＋4(1－4n )1－4＝2n 2－n ＋ 4 3(4n －1)． …12分18．解：（1）两队所得分数的茎叶图如下A 球队所得分数比较集中，B 球队所得分数比较分散．…6分（2）记C A 1表示事件：“A 球队攻击能力等级为较强”，C A 2表示事件：“A 球队攻击能力等级为很强”； C B 1表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱”，C B 2表示事件：“B 球队攻击能力等级为较弱或较强”，则C A 1与C B 1独立，C A 2与C B 2独立，C A 1与C A 2互斥，C ＝(C A 1C B 1)∪(C A 2C B 2)．P (C )＝P (C A 1C B 1)+ P (C A 2C B 2)＝P (C A 1)P (C B 1)＋P (C A 2)P (C B 2)．由所给数据得C A 1，C A 2，C B 1，C B 2发生的频率分别为1420，320，520，1820，故P (C A 1)＝1420，P (C A 2)＝320，P (C B 1)＝520，P (C B 2)＝1820， P (C )＝1420×520＋320×1820＝0.31．…12分19．解：（1）∵AB ∥CD ，PC ⊥CD ，∴AB ⊥PC ， ∵AB ⊥AC ，AC ∩PC ＝C ，∴AB ⊥平面PAC ，∴AB ⊥PA ，又∵PA ⊥AD ，AB ∩AD ＝A ， ∴PA ⊥平面ABCD ，PA 平面PAB ， ∴平面PAB ⊥平面ABCD ． …5分（2）连接BD 交AE 于点O ，连接OF ， ∵E 为BC 的中点，BC ∥AD ， ∴BO OD ＝ BE AD ＝ 12， ∵PD ∥平面AEF ，PD 平面PBD ，平面AEF ∩平面PBD ＝OF ， ∴PD ∥OF ， ∴BF FP ＝ BO OD ＝ 12， …7分以AB ，AC ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系A －xyz ，则A (0，0，0)，B (3，0，0)，C (0，3，0)，D (－3，3，0)，P (0，0，3)，E (3 2， 32，0)，F (2，0，1)，设平面ADF 的法向量m ＝(x 1，y 1，z 1)， ∵AF →＝(2，0，1)，AD →＝(－3，3，0)，由AF →·m ＝0，AD →·m ＝0得⎩⎨⎧2x 1＋z 1＝0，－3x 1＋3y 1＝0，取m ＝(1，1，－2)．…9分设平面DEF 的法向量n ＝(x 2，y 2，z 2)，∵DE →＝( 9 2，－ 3 2，0)，EF →＝( 1 2，－ 32，1)，由DE →·n ＝0，EF →·n ＝0得⎩⎨⎧ 9 2x 2－ 32y 2＝0， 1 2x 2－ 32y 2＋z 2＝0，取n ＝(1，3，4)． …11分cos m ，n＝m ·n |m ||n |＝－23939， ∵二面角A -DF -E 为钝二面角，∴二面角A -DF -E 的余弦值为－23939．…12分20．解：（1）由已知可得|PD |＝|PE |，|BA |＝|BD |，|CE |＝|CA |，所以|PB |＋|PC |＝|PD |＋|DB |＋|PC |＝|PE |＋|PC |＋|AB | ＝|CE |＋|AB |＝|AC |＋|AB |＝4＞|BC |所以点P 的轨迹是以B ，C 为焦点的椭圆（去掉与x 轴的交点），可求的方程为x 24＋y 23＝1(y ≠0)． …5分（2）由O ，D ，C 三点共线及圆的几何性质，可知PB ⊥CD ，又由直线CE ，CA 为圆O 的切线，可知CE ＝CA ，O A ＝O E ，所以△OAC ≌△O EC ，进而有∠ACO ＝∠ECO ，所以|PC |＝|BC |＝2，又由椭圆的定义，|PB |＋|PC |＝4，得|PB |＝2，所以△PBC 为等边三角形，即点P 在y 轴上，点P 的坐标为(0，±3) …7分 (i)当点P 的坐标为(0，3)时，∠PBC ＝60，∠BCD ＝30，此时直线l 1的方程为y ＝3(x ＋1)，直线CD 的方程为y ＝－33(x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝3(x ＋1)整理得5x 2＋8x ＝0，得Q (－ 8 5，－335)，所以|PQ |＝165，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝－33(x －1)整理得13x 2－8x －32＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，x 1＋x 2＝813，x 1x 2＝－3213，|MN |＝1＋ 1 3|x 1－x 2|＝4813，所以四边形MPNQ 的面积S ＝1 2|PQ |·|MN |＝38465．…11分(ii)当点P 的坐标为(0，－3)时，由椭圆的对称性，四边形MPNQ 的面积为38465．综上，四边形MPNQ 的面积为38465．…12分21．解：（1）g (a )＝ln a 2＋4a a 2＋a 2－2＝2(ln a ＋1a－1)， …1分g (a )＝2(1a－1a2)＝2(a －1)a2，…2分所以0＜a ＜1时，g (a )＜0，g (a )单调递减；a ＞1时，g (a )＞0，g (a )单调递增，所以g (a )的最小值为g (1)＝0．…5分（2）f(x )＝ 1x －4a (x ＋a 2)2＝x 2＋(2a 2－4a )x ＋a4x (x ＋a 2)2，x ＞0．因为y ＝f (x )有三个不同的零点，所以f (x )至少有三个单调区间，而方程x 2＋(2a 2－4a )x ＋a 4＝0至多有两个不同正根，所以，有⎩⎨⎧2a 2－4a ＜0，Δ＝16a 2(1－a )＞0，解得，0＜a ＜1． …8分由（1）得，当x ≠1时，g (x )＞0，即ln x ＋1x－1＞0，所以ln x ＞－1x，则x ＞e －1x (x ＞0)，令x ＝a 22，得a 22＞e － 2a 2．因为f (e － 2a 2)＜－ 2a 2＋4a－2＝－2(a －1)2a2＜0，f (a 2)＞0， f (1)＝4a 1＋a 2－2＝－2(a －1)21＋a 2＜0，f (e 2)＝4a e 2＋a2＞0，所以y ＝f (x )在(e － 2a 2，a 2)，(a 2，1)，(1，e 2)内各有一个零点， …11分故所求a 的范围是0＜a ＜1．…12分22．解：（1）由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得椭圆C 极坐标方程为ρ2(cos 2θ＋2sin 2θ)＝4，即ρ2＝41＋sin 2θ； …2分直线l 的极坐标方程为ρsin θ＝2，即ρ＝ 2sin θ．…4分（2）证明：设A (ρA ，θ)，B (ρB ，θ＋2)，－2＜θ＜2．由（1）得|OA |2＝ρ2A ＝41＋sin 2θ，|OB |2＝ρ2B ＝ 4 sin 2(θ＋ 2)＝4cos 2θ， …7分由S △OAB ＝ 1 2×|OA |×|OB |＝ 12×|AB |×h 可得，h 2＝|OA |2×|OB |2|AB |2＝|OA |2×|OB |2|OA |2＋|OB |2＝2．…9分故h 为定值，且h ＝2． …10分23．解：（1）由题意得|x －1|≥|2x －3|,所以|x －1|2≥|2x －3|2…2分整理可得3x 2－10x ＋8≤0，解得 4 3≤x ≤2，故原不等式的解集为{x | 43≤x ≤2}．…5分（2）显然g (x )＝f (x )＋f (－x )为偶函数，所以只研究x ≥0时g (x )的最大值．…6分g (x )＝f (x )＋f (－x )＝|x －1|－|2x －3|＋|x ＋1|－|2x ＋3|，所以x ≥0时，g (x )＝|x －1|－|2x －3|－x －2＝⎩⎪⎨⎪⎧－4， 0≤x ≤1，2x －6，1＜x ＜ 3 2，－2x ， x ≥ 32， …8分所以当x ＝ 32时，g (x )取得最大值－3，故x ＝± 32时，g (x )取得最大值－3．…10分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(五)数学(理)试题

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (五 ) 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U R =,集合{}223,A y y x x x R ==++∈},集合()1 ,1,3B y y x x x ⎧⎫⎨=-∈⎩=⎬⎭，则()u C A B =（）A ．（0，2）B ．803（，） C ．823⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．-2∞（，）2.已知()()13,,,,342sin a cos ππαραρπ⎛⎫-=+=-∈ ⎪⎝⎭，则 sin ρ的值为（）A ．12 B ．12 C ．12 D ．43.已知i 为虚数单位,现有下面四个命题1p :若复数z 满足210z +=,则z i =;2p :若复数z 满足()11i z i +=-,则z 为纯虚数; 3p :若复数12,z z 满足12z z R ∈,则12z z =;4p :复数1z a bi =+ 与2,,z a bi a b R =-∈在复平面内对应的点关于实轴对称.其中的真命题为（）A ．13,p pB ．14,p pC ．23,p pD ．24,p p4.在中心为O 的正六边形ABCDEF 的电子游戏盘中(如图),按下开关键后,电子弹从O 点射出后最后落入正六边形的六个角孔内，且每次只能射出一个，现视,,,,,A B C D E F 对应的角孔的分数依次记为1,2,3,4,5,6,若连续按下两次开关,记事件M 为“两次落入角孔的分数之和为偶数”,事件N 为“两次落入角孔的分数都为偶数”，则()|P N M =（）A ．23 B ．14 C.13 D ．125.某几何体的正视图与俯视图如图,则其侧视图可以为（）A ．B ． C. D ．6.河南洛阳的龙门石窟是中国石刻艺术宝库之一,现为世界文化遗产.龙门石窟与莫高窟、云冈石窟、麦积山石窟并称中国四大石窟.现有一石窟的某处“浮雕像”共7层,每上层的数量足下层的2 倍,总共有1016 个“浮雕像”,这些“浮雕像”构成一幅优美的图案,若从最下层往上:“浮雕像”的数量构成一个数列{}n a ,则()235log a a ∙的值为（） A ．8 B ．10 C.12 D ．167.已知函数2sin ()(,)cos 44x f x x x x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦，则函数()f x 在区间-04π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为（）A ．． C.2-92π= D ． 8.下面推理使用类比推理,其中推理正确的个数是（）①“若()0a b b c b ∙=∙≠,则 a c =”类比推出“若()0a b b c b ∙=∙≠,则 a c =”; ②“()a b c ac bc +=+”类比推出“(0)a b a bc c c c+=+≠”; ③“到三角形各边距离相等的点为三角形内切圆的圆心”类比到空间:“到三棱锥各面距离相等的点为三棱锥内切球的球心”；④“在实数范围内,11=1⨯成立”类比“在复数范围内,i i i ⨯=(i 为虚数单位)成立”. A ．1 B ．2 C. 3 D ．49.已知直线y a =与正切函数(0)3y tan x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的相邻两支曲线的交点的横坐标分别为12,x x ,且有212x x π-=,假设函数=3((0,)y tan x x ππω⎛⎫∈ ⎪⎝⎭+的两个不同的零点分别为3443,()x x x x >,若在区间()0,π内存在两个不同的实数5665,()x x x x >，与34,x x 调整顺序后,构成等差数列,则{}56,(3y tan x x x x πω⎛⎫∈⎪⎝⎭=+的值为（）A ．-3 B ．3 C. D ．-3或310.已知抛物线24x y =的焦点为F ,双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点为1,0)F c （,过点1,F F 的直线与抛物线在第一象限的交点为M ,且抛物线在点M 处的切线与直线y =垂直,则ab 的最大值为（）A ．32．211.已知函数()f x 的导函数()'xf x e =(其中e 为自然对数的底数),且()()0,2f f 为方程()()()222110e x c e c x ++++=-的两根,若对(]0,1x ∀∈,不等式2()f x≤恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．(]0,eB ．(]0,2+e C.(]-,+2e ∞ D ．[)2,e ++∞12.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且()223,b c a bc ABC +=+∆外接圆的半径为1,当bc 取最大值时,函数()()()2f t abct a b c t t R =+++∈的最小值为（）A D第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.4(1)(1)x ax -+展开式中含3x 项的系数为2,则a 的值为． 14.已知向量()21,3,-340a b b =-=,向量,a b 的夹角为3π,设(),c ma nb m n R =+∈,若() c a b ⊥+,则mn的值为． 15.已知定义在R 内的函数()g x 满足①当0x ≥时,()'0g x >恒成立;②对任意的x R ∈,都有 ()()g x g x =-.若方程()()222g a g a a =-+的解集为{}* P ai i N -∈，,则()i g a 与3-2g ⎛⎫⎪⎝⎭的大小关系依次为． 16.已知数列{}n a 的通项公式为n a n t =+,数列{}n b 为公比小于1的等比数列,且满足4238,6, b b b b ∙=+=1,设22n nn n a b a b c -+=+n 在数列{}n c 中,若()4*n c c n N ≤∈,则实数t 的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.已知向量()()1,,,cos 202m x n cos x x ωωωω⎫⎪⎭==>,若函数()12f x m n =∙-的最小正周期为4π.(1)求函数()f x 的单调递减区间与图象的对称轴方程; (2)将函数()y f x =图象经下列变换:①图象上:各点向右平移6π个单位长度，②再将所得图象上所有点向上平移12个长度单位,③再将所得到的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍(横坐标不变)，得到函数()y g x =的图象，当()-,x ππ∈时,求函数()g x 的值域. 18.如图所示的四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,ACBD E =,PB 的中点为F ,2PA AD a ==,异面直线PD 与AC 所成的角为3π，PA ⊥平面ABCD .(1)证明:EF //平面PAD ;(2)求二面角E AF B --的余弦值的大小.19.2017年8月8 日晚我国四川九寨沟县发生了7.0级地震.为了解与掌握一些基本的地震安全防护知识,某小学在9月份开学初对全校学生进行了为期一周的知识讲座,事后并进行了测试(满分100 分),根据测试成绩评定为“合格”(60 分以上包含60 分)、“不合格”两个等级,同时对相应等级进行量化:“合格”定为10 分，“不合格”定为5 分.现随机抽取部分学生的答卷,统计结果及对应的频率分布直方图如图所示:等级不合格合格得分 [)2040，[)4060， [)6080，[]80100，频数6a24b(1)求,,a b c 的值;(2)①用分层抽样的方法,从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中抽取10 人进行座谈.现再从这10 人中任选4人,记所选4 人的量化总分为ξ,求ξ的分布列及数学期望()E ξ; ②设函数()()()E f D ξξξ=(其中()D ξ表示ξ的方差)是评估安全教育方案成效的一种模拟函数.当() 2.5fξ≥ 时,认定教育方案是有效的;否则认定教育方案应需调整，试以此函数为参考依据.在①的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案?20.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+>>的中心在原点，左、右焦点分别为()()12- ,0,,00()F c F c c >,点p ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上,且()2,0F c 到直线0x y ++=的距离为3.(1)求椭圆C 的离心率与标准方程;(2)设斜率为k 的直线l 经过椭圆的右焦点()2,0F c ,且与椭圆交于M N 、两点.若点1F 不在以MN 为直径的圆内部,求422491417k k k++的最小值. 21.已知函数()()32310f x ax x a =-+>. (1)求函数()f x 的单调区间与极值;(2)若，()ln g x x =定义{}(),()()()max (),()(),()()f x f xg xh x f x g x g x f x g x ≥⎧==⎨<⎩试讨论函数()(0)h x x >的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为()3R πθρ=∈(pER),圆C 的极坐标方程为2430cos ρρθ-+=.(1)求直线i 与圆C 的直角坐标方程;(2)设平面直角坐标系xOy 中的直线':3l x y +=与直线l 相交于点P ,且点Q 是圆C 上任一点,求OQP ∆面积的最大值. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()()21,4f x x x g x x =++=-.(1)求不等式()() f x g x >的解集; (2)记函数()()(){}(),()f x h x min f xg x g x ⎧==⎨⎩ (()())(()())f x g x f x g x ≤>，试讨论方程()0h x k +=)k R ∈（解的个数.2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数 (五 )一、选择题1-5:ACDDB 6-10:CBBCB 11、12：DB 二、填空题 13.1或12-【解析】 ()41ax +展开式的通项公式为 ()()()444110,1,2,3,44rrr r r r T C ax C a x r ---+===,所以展开式中含x 项的系数为223216442a C C a a a ⎛⎫ =⎪-⎝⎭-,由题可知,()()23322264223102110a a a a a a a -=⇒-+=⇒---=,即()()()()221210 12101a a a a a a ---=⇒-+==>=或1-2a =.14.5-2【解析】由题可知(2340(4)(1)04a a b b b b b =⇒=--=⇒-+=⇒=，,因为()c a b ⊥+,所以有().0c a b +=,即得()()()2200ma nb a b ma m n a b nb +∙+=⇒++∙+=,也就是()4160m m n a b n ++∙+=.又1cos24432a b a b π∙==⨯⨯=,因此8200m n +=,从而得到52m n =-.15.()32(1)2g g g ⎛⎫⎪>⎝⎭>-【解析】因为函数()g x 满足:当0x ≥时,()'0g x >恒成立，且对任意x R ∈,都有()()g x g x =-,则函数()g x 为R 上的偶函数且在[)0,+∞上为单调递增函数，故有()()g x g x -=,因此()()222g a g a a =-+等价于()()222g a g a a =-+,从而得到222a a a =-+,即222a a a -+=或222a a a -+=-,由222a a a -+=得23201a a a -+=⇒=或2a =,由222a a a -+=- 得220a a a ++=⇒无解,所以可记211,2a a ==,又33()()22g g -=.由()g x 在[)0,+∞上为单调递增函数,可知()32(1)2g g g ⎛⎫⎪>⎝⎭>-.16.[]4,2-- 【解析】在等比数列{}bn 中,由142388b b b b ∙=⇒∙=,又236b b +=,且公比小于1,所以234,2b b ==,所以3212b q b ==,因此2242114()()22n n n n b b q ---==⨯=.由22n nn n a b a b Cn -+=+得到 ()()n n n n nn b a b Cn a a b ≤⎧=⎨>⎩所以{}Cn 是取,n n a b ,中最大值,所以4C 是数列{}Cn 中的最小项,又41()2n n b -=单调递减,n a n t =+单调递增，所以当44c a =时，4n c c ≤,即4n a C ≤,所以4a 是数列{}Cn 中的最小项,则必须满足443b a b <<,即得443411()4()3222t t --<+≤⇒-<≤-;当44C b =时，4n c c ≤,即4n b c ≤,所以4b 是数列{}Cn 中的最小项,则必须满足445a b a ≤≤,即得4414()5432t t t -+≤≤+⇒-≤≤-.综上所述，实数t 的取值范围为[]4,2--. 三、解答题17.解: (1)由题1,2m x ω=⎫⎪⎭()() , 20n cos x cos x ωωω=>可知()1, , 22m n x cos x cos x ωωω⎫⎪⎭∙=∙1cos 22xcos x x ωωω+12cos 2sin(2)26x x x πωωω+=+，所以()11sin(2)262f x x m n πω+∙--==. 又因为最小正周期为4π,所以21=4=24ππωω⇒ 所以()11262f x sin x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭令1322,2262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈，求得3844,23k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 故函数()f x 的单调递减区间为284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦又今1,262x k k Z πππ+=+∈, 得22,3x k k Z ππ=+∈, 故函数()f x 的图象的对称轴方程为22,3x k k Z ππ=+∈, (2)由(1)知()11262f x sin x π⎛⎫=+-⎪⎝⎭，将函数()f x 图象上各点向右平移6π个单位长度后，得到函数11 -262y sin x π⎛⎫ ⎪⎝⎭=+,再将其图象上所有点向上平移12个单位后得到函数1212y sin x π=+⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象,再次将上述图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍,得到1()2212g x sin x π⎛⎫⎪⎝=⎭+的图象.因为-x ππ<<, 所以1-222x ππ<<，所以5171221212x πππ-<+<. 因为7sin sin()1234πππ=+= sincoscossin3434ππππ+=而7sin sin()12ππ-=,所以55sin()sin 1212ππ-=-=所以函数()g x 的值域为2⎛⎤⎥ ⎝⎦18.解:(1)由已知ABCD 为矩形，且AC BD E =,所以E 为BD 的中点. 又因为F 为PB 的中点，所以在BPD ∆中,//EF PD ,又因为PD ⊂平面PAD ,EF ⊄平面PAD , 因此//EF 平面PAD . (2)由(1)可知//EF PD ,所以异面直线PD 与AC 所成的角即为AEF ∠(或AEF ∠的补角) 所以=3AEF π∠或2=3AEF π∠. 设AB x =,在AEF ∆中,AE =122EF PD ===,又由PA ⊥平面ABCD 可知PA AB ⊥, 且F 为中点，因此122AF PB ==，此时AE AF =,所以=3AEF π∠所以AEF ∆为等边三角形，所以2=,即2x a =,因为,,AB AP AD 两两垂直,分别以,,AB AP AD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系,如图所示，则()()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2A B a P a D a , 所以()(),0,,,,0E a a F a a . 由,,AD AB AD AP AB AP A ⊥⊥=,可得AD ⊥平面ABP ,可取平面ABF 的一个法向量为10,(0,1n =）设平面AEF 的一个法向量为()2,,n x y z =,由2200n AF n AE ⎧∙=⎪⎨∙=⎪⎩ (,,)(,,0)00(,,)(,0,)00x y z a a x y x y z a a x z ∙=+=⎧⎧⇒⇒⎨⎨∙=+=⎩⎩令-11x y z =⇒==, 所以()21,1,1n =-.因此121212,n n xos n n n n ∙<>=3=又二面角E AF B --为锐角，故二面角E AF B --19.解:(1)由频率分布直方图可知,得分在[)20,40的频率为0.005200.1⨯=, 故抽取的学生答卷数为6600.1=, 又由频率分布直方图可知,得分在[]80,100的频率为0.2, 所以600.212b =⨯=.又62460a b +++=,得30a b +=, 所以18a =.180.0156020c ==⨯(2)①“合格”与“不合格”的人数比例为36:24=3:2, 因此抽取的10 人中“合格”有6 人，“不合格”有4人. 所以ξ有40,35,30,25,20 共5种可能的取值.44118664(40),(35)44142010102213346464(30),(25)447351010414(20)21010CC CP P C C C C C C P P C C C P C ξξξξξ===============8 ξ的分布列为ξ40 35 30 25 20P114 821 37 435 1210所以()183414035302520321421735210E ξ=⨯+⨯+⨯++⨯= ②由①可得()()()2222218341403235323032)(2532)(2032)161421735210(D ξ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=所以()322 2.5()16()E f D ξξξ===< 故可以认为该校的安全教育方案是无效的,需要调整安全教育方案. 20.解:(1)因为椭圆的右焦点为()2,0F c ,3c =⇒=.又因为P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，所以223112a b+=;联立方程组422222231123202c b b ab a bc ⎧=⎪⎪+=⇒--=⎨⎪-=⎪⎩，22(21)(2)0b b ⇒+-=22b ⇒=或212b =-（舍），因此24a =,从而得到2c e a ==, 故椭圆C椭圆C 的方程为22142x y +=. (2)由题可设直线l的方程为(y k x =,记()()122,1,,M x y N x y ，联立22(142y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩得()222212440k x x k +-+-=,所以有()212221221216210,4412x x k k k x x k ⎧+=⎪⎪+∆=+>⎨-⎪∙=⎪+⎩当点1F 不在以MN 为直径的圆内部时，(11212.10F M F N x x y y =+∙≥,121212121212)20)2((0x x x x y y x x x x k x k x ⇒+++≥⇒+++∙≥2221212(1))()2(1)0k x x k x x k ⇒+-+++≥将21222122124412x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪∙=⎪+⎩代入上式得2222244(1))2(1)012k k k k k -+∙+-+≥+ 化简得271k ≥,因为24222172247741194k k k k k =++≥+=+当且仅当22177k k =,即217k =时,取等号，故422491417k k k ++的最小值为4.21.解:(1)∵函数()3231f x ax x =-+,∴()()2'3632f x ax x x ax =-=-.令()'0f x =,得10x =或22x a=， ∵0a >,∴12x x <,列表如下:x(,0)-∞0 2(0,)a2a2(,)a+∞ '()f x + 0 - 0 + ()f x递增极大值递减极小值递增∴函数的单调递增区间为2(,0),(,)a -∞+∞,单调递减区间为2(0,)a且()f x 的极大值为()01f =,极小值为22228124()11f aa a a =-+=- (2)由(1)知()f x 在区间(,0)-∞内的最小值为224()1f a a-①当2410a->,即2a >时，∵()0f x > 在区间(,0)-∞内恒成立，∴()()(){},h x max f x g x =在区间(,0)-∞内无零点. ②当2410a -=即2a =时,()()10f x min f ==, 又∵()10g =,∴()()(){},h x max f x g x =在区间(,0)-∞内有一个零点. ③当2410a -<,即02a <<时，当1x >时，由()10g =, 且()()(){},h x max f x g x =,得()0h x >,∴()h x 在区间()1,+∞内无零点;当1x =时，()10g =, ()120f a =-<, 且()()(){},h x max f x g x =,得()10h =. 当01x <<时,设()()()()3231 01x f x g x ax x ln x x ϕ=-=-+<<-,∵()()211'36610x ax x x x x xϕ=--<--<, ∴()x ϕ在区间(0,1)内单调递减，又∵()232123120,0a e a e e e ϕϕ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-<=+> ∴存在唯一的1(,1)o x e∈,使得()0o x ϕ=,当0o x x <≤时，∵()()()()0o x f x g x x ϕϕ=-≥=, ∴()()h x f x =,且()h x 为减函数，又∵()()()()ln 10,010o o o o h x f x g x x ln f ===<==>, ∴()h x 在()0,o x 上有一个零点; 当1o x x >>时∵()()()()0o x f x g x x ϕϕ=-≥=, ∴()()h x f x =,且()h x 为增函数， ∵()10g =,∴()h x 在(),1o x 上无零点∴()()(){},h x max f x g x =在()0,+∞上有两个零点，综上所述，当02a <<时,()h x 有两个零点; 当2a =时,()h x 有一个零点; 当2a >时,()h x 无零点.22.解:(1)直线l 的直角坐标方程为y ，圆C 的直角坐标方程为2430x y x -+=2+,即()2221x y -+=.(2)联立方程组(33{1x y y x +==⇒+=1)2x ⇒=所以3(32y =即得到点1)3(3,22P ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭此时OP ==1)由于圆心C 到直线l 的距离1d ==>即直线l 与圆C 相离，Q 到直线l 的距离的最大值为1dmax =+，因此()12OPQ max maxS OP d ∆=∙=11)1)32⨯⨯=, 故OQP ∆面积的最大值为3.23.解:(1)因为()22131024f x x x x ⎛⎫ =++=++⎪⎭>⎝所以()()f x g x >等价于214,x x x +>-+即得()()22303103x x x x x +->⇒+->⇒<-或1x >, 因此()()f x g x >的解集为()(31,)U -∞-+∞，, (2)由题可知()()(){}min ,h x f x g x ==21,314,31x x x x x x ⎧++-≤≤⎨-<->⎩或由243(3,7)17y x x A y x x y ⎧=-=-⎧⇒⇒-⎨⎨=++=⎩⎩或1(1,3)3x B y =⎧⇒⎨=⎩作图如下，故方程()0h x k +=解的问题即为直线y k =-与曲线()y h x =的交点问题. 数形结合易知:①当34k >-或3k <-时,方程()0h x k +=有一个解; ②当34k =-或3k =-时,方程()0h x k +=有二个解;③当334k -<<-时,方程()0h x k +=有三个解.。

2018年全国高等院校统一招生考试全国Ⅲ理科数学试卷(含答案)

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}|10A x x =-≥，{}012B =，，，则A B =A ．{}0B ．{}1C ．{}12，D ．{}012，， 2．()()1i 2i +-= A ．3i --B ．3i -+C ．3i -D ．3i +3．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是4．若1sin 3α=，则cos2α=A ．89B ．79C ．79-D ．89-5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．806．直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是A ．[]26，B ．[]48，C ．232⎡⎤⎣⎦，D ．2232⎡⎤⎣⎦， 7．函数422y x x =-++的图像大致为8．某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立，设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， 2.4DX =，()()46P X P X =<=，则p = A ．0.7B ．0.6C ．0.4D ．0.39．ABC △的内角A B C ，，的对边分别为a ，b ，c ，若ABC △的面积为2224a b c +-，则C = A ．π2 B ．π3 C ．π4 D ．π610．设A B C D ，，，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC △为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D ABC-体积的最大值为 A ．123B ．183C ．243D ．54311．设12F F ，是双曲线22221x y C a b-=：（00a b >>，）的左、右焦点，O 是坐标原点．过2F 作C 的一条渐近线的垂线，垂足为P ．若16PF OP =，则C 的离心率为 A ．5B ．2C ．3D ．212．设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=________．14．曲线()1e x y ax =+在点()01，处的切线的斜率为2-，则a =________． 15．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．16．已知点()11M -，和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若 90AMB =︒∠，则k =________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分． 17．（12分）等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ． 18．（12分）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min ）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ，并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表：超过m不超过m第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，()2P K k ≥ 0.050 0.0100.001k3.841 6.635 10.82819．（12分）如图，边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧CD 所在平面垂直，M 是CD 上异于C ，D 的点．（1）证明：平面AMD ⊥平面BMC ；（2）当三棱锥M ABC -体积最大时，求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点,且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差． 21．（12分）已知函数()()()22ln 12f x x ax x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，（θ为参数），过点()02-，且倾斜角为α的直线l与O ⊙交于A B ，两点．（1）求α的取值范围；（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）设函数()211f x x x =++-．（1）画出()y f x =的图像；（2）当[)0x +∞∈，，()f x ax b +≤，求a b +的最小值．参考答案：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 CDABCADBCBCB13.1214.3- 15.3 16.2 17.(12分)解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21nn S =-.由63m S =得264m =，解得6m =.综上，6m =. 18.（12分）解：（1）第二种生产方式的效率更高. 理由如下：（i ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高. （ii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv ）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高. 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分. （2）由茎叶图知7981802m +==. 列联表如下：超过m 不超过m第一种生产方式 15 5 第二种生产方式515（3）由于2240(151555)10 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异. 19.（12分）解：（1）由题设知,平面CMD ⊥平面ABCD ,交线为CD .因为BC ⊥CD ,BC ⊂平面ABCD ,所以BC ⊥平面CMD ,故BC ⊥DM .因为M 为CD 上异于C ，D 的点,且DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BCCM =C ,所以DM ⊥平面BMC .而DM ⊂平面AMD ,故平面AMD ⊥平面BMC .（2）以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz.当三棱锥M −ABC 体积最大时，M 为CD 的中点.由题设得(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,1,1)D A B C M ，(2,1,1),(0,2,0),(2,0,0)AM AB DA =-==设(,,)x y z =n 是平面MAB 的法向量,则0,0.AM AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.x y z y -++=⎧⎨=⎩ 可取(1,0,2)=n .DA 是平面MCD 的法向量,因此5cos ,5||||DA DA DA ⋅==n n n ， 25sin ,5DA =n ，所以面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值是255. 20.（12分）解：（1）设1221(,),(,)A y x y x B ，则222212121,14343y x y x +=+=. 两式相减，并由1221y x y k x -=-得1122043y x y k x +++⋅=. 由题设知12121,22x y x ym ++==，于是34k m=-.① 由题设得302m <<，故12k <-. （2）由题意得(1,0)F ，设33(,)P x y ，则331122(1,)(1,)(1,)(0,0)y x x y x y -+-+-=.由（1）及题设得3321213()1,()20y y x x y x m =-+==-+=-<. 又点P 在C 上，所以34m =，从而3(1,)2P -，3||2FP =. 于是222211111||(1)(1)3(1)242x x FA x x y =-+=-+-=-.同理2||22x FB =-. 所以121||||4()32FA FB x x +=-+=. 故2||||||FP FA FB =+，即||,||,||FA FP FB 成等差数列. 设该数列的公差为d ，则1122212112||||||||||()422FB FA x x x x x x d =-=-=+-.② 将34m =代入①得1k =-. 所以l 的方程为74y x =-+，代入C 的方程，并整理得2171404x x -+=.故121212,28x x x x +==，代入②解得321||28d =.所以该数列的公差为32128或32128-. 21.(12分)解：（1）当0a =时，()(2)ln(1)2f x x x x =++-，()ln(1)1xf x x x'=+-+. 设函数()()ln(1)1xg x f x x x'==+-+，则2()(1)x g x x '=+.当10x -<<时，()0g x '<；当0x >时，()0g x '>.故当1x >-时，()(0)0g x g ≥=，且仅当0x =时，()0g x =，从而()0f x '≥，且仅当0x =时，()0f x '=.所以()f x 在(1,)-+∞单调递增.又(0)0f =，故当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >.（2）（i ）若0a ≥，由（1）知，当0x >时，()(2)ln(1)20(0)f x x x x f ≥++->=，这与0x =是()f x 的极大值点矛盾.（ii ）若0a <，设函数22()2()ln(1)22f x xh x x x ax x ax ==+-++++. 由于当1||min{1,}||x a <时，220x ax ++>，故()h x 与()f x 符号相同. 又(0)(0)0h f ==，故0x =是()f x 的极大值点当且仅当0x =是()h x 的极大值点.2222222212(2)2(12)(461)()1(2)(1)(2)x ax x ax x a x ax a h x x x ax x ax x ++-++++'=-=++++++.如果610a +>，则当6104a x a +<<-，且1||min{1,}||x a <时，()0h x '>，故0x =不是()h x 的极大值点. 如果610a +<，则224610a x ax a +++=存在根10x <，故当1(,0)x x ∈，且1||m i n {1,}||x a <时，()0h x '<，所以0x =不是()h x 的极大值点.如果610a +=，则322(24)()(1)(612)x x h x x x x -'=+--.则当(1,0)x ∈-时，()0h x '>；当(0,1)x ∈时，()0h x '<.所以0x =是()h x 的极大值点，从而0x =是()f x 的极大值点综上，16a =-. 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）【解析】（1）O 的直角坐标方程为221x y +=．当2απ=时，l 与O 交于两点．当2απ≠时，记tan k α=，则l 的方程为2y kx =-．l 与O 交于两点当且仅当22||11k<+，解得1k <-或1k >，即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈．综上，α的取值范围是(,)44π3π．（2）l 的参数方程为cos ,(2sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数，44απ3π<<)．设A ，B ，P 对应的参数分别为A t ，B t ，P t ，则2A BP t t t +=，且A t ，B t 满足222sin 10t t α-+=．于是22sin A B t t α+=，2sin P t α=．又点P 的坐标(,)x y 满足cos ,2sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=-+⎪⎩ 所以点P 的轨迹的参数方程是2sin 2,222cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩(α为参数，44απ3π<<)． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）【解析】（1）13,,21()2,1,23, 1.x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=+-≤<⎨⎪≥⎪⎪⎩()y f x =的图像如图所示．（2）由（1）知，()y f x =的图像与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当3a ≥且2b ≥时，()f x ax b ≤+在[0,)+∞成立，因此a b +的最小值为5．。

【数学】2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(五) 含解析

绝密★启用前2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学（五）本试题卷共2页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．[2018·菏泽期末]已知集合{}2|5A x x x =＞，{}=1,3,7B -，则A B = （）A ．{}1-B ．{}7C ．{}1,3-D ．{}1,7-【答案】D【解析】{}{}2|5|05A x x x x x x == ＜或＞＞，{}=1,3,7B -，{}1,7A B ∴=- ．故选D ．2．[2018·宁波期末]已知a b ＞，则条件“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的（）条件． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件班级姓名准考证号考场号座位号此卷只装订不密封【答案】B【解析】当210a b c ==⎧⎨=⎩＞时，ac bc ＞不成立，所以充分性不成立，当 ac bca b ⎧⎨⎩＞＞时0c ＞成立，0c ≥也成立，所以必要性成立，所以“0c ≥”是条件“ac bc ＞”的必要不充分条件，选B ．3．[2018·赣州期末]元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经四处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示，即最终输出的0x =，则一开始输入的x 的值为（）A ．34B ．78C ．1516D ．3132【答案】C 【解析】1i =，（1）21,2x x i =-=，（2）()221143,3x x x i =--=-=，（3）()243187,4x x x i =--=-=，（4）()28711615,5x x x i =--=-=，所以输出16150x -=，得1516x =，故选C ．4．[2018·四川联考]已知椭圆22221(0)x y a b a b +=＞＞的左焦点1F ，过点1F 作倾斜角为30︒的直线与圆222x y b +=，则椭圆的离心率为（）A ．12 BC ．34D【答案】B【解析】过点1F 倾斜角为30︒的直线方程为：)y x c =+，即0x c +=，则圆心()0,0到直线的距离：2c d ==，由弦长公式可得：=，整理可得：22b c =，222a c c ∴-=，222a c =，则：21,22e e ==．本题选择B 选项．5．[2018·吕梁一模]图所示，则函数()()cos g x A x ωϕ=+图像的一个对称中心可能为（）A ．()2,0-B ．()1,0C ．()10,0D ．()14,0【答案】C【解析】由题意得A =()26282ωωππ=⨯+⇒=，把点(2,-代入方程可得34ϕπ=-()g x 的一个对称中心为()10,0，故选C ．6．[2018·南宁二中]()61211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项是（）A．-5 B．7 C．-11 D．13 【答案】C【解析】61 1x ⎛⎫-⎪⎝⎭其中含1x数项为，故()61211xx⎛⎫+-⎪⎝⎭的展开式中的常数项是11C．7．[2018·铜仁四中]四面体A B C D-中，10AB CD==，AC BD==，AD BC==A BCD-外接球的表面积为（）A．50πB．100πC．200πD．300π【答案】C【解析】将四面体A BCD-置于一个长方体中，所以四面体A BCD-的外接球即为长方体的外接球，设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则根据图形可有222222136164100a bb ca c⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，则外接球的直径2R==R=则球的表面积为24200S R=π=π，故选择C．8．[2018·晋城一模]已知函数()()sin2(0)f x xϕϕ=-+π＜＜单位后，得到函数()g x 的图像关于直线12x π=A ．725-B ．34-C ．725D ．34【答案】C 【解析】根据题意i n3x ϕ⎤π⎫⎛--⎪⎥⎭⎝⎦，2,1232k k ϕπππ∴⨯-+=π+∈Z故选C ．9．[2018·衡水金卷]如图为正方体1111ABCD A B CD -，动点M 从1B 点出发，在正方体表面上沿逆时针方向运动一周后，再回到1B 的运动过程中，点M 与平面11A DC 的距离保持不变，运动的路程x 与11l MA MC MD =++之间满足函数关系()l f x =，则此函数图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】取线段1B A中点为N，计算得：N 为线段AC 或1CB 的C 项的图象特征．故选C ．10．[2018·闽侯四中]在ABC △中，点D 满足34BD BC =，当E 点在线段AD 上移动时，若AE AB AC λμ=+，则()221t λμ=-+的最小值是（） A．10B．4C ．910D ．418【答案】C【解析】如图，存在实数m使得()01AE mAD m =≤≤，()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC=+=+=+-=+ ，434m m λμ⎧==⎪⎪⎨⎪⎪⎩，当25m =时，函数取得最小值910，故选C ．11．[2018·台州期末]()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，则实数k 的取值范围是（）A ．[)1,3B ．(]1,3C ．[)2,3D ．()3,+∞【答案】A【解析】函数()()()1g x f x k x =-+在(],1-∞恰有两个不同的零点，等价于()y f x =与()1y k x =+的图象恰有两个不同的交点，画出函数,如图，()1y k x =+的图象是过定点()1,0-斜率为k 的直线，当直线()1y k x =+经过点()1,2时，直线与()y f x =的图象恰有两个交点，此时，1k =，当直线经过点()0,3时直线与()y f x =的图象恰有三个交点，直线在旋转过程中与()y f x =的图象恰有两个交点，斜率在[)1,3内变化，所以实数k 的取值范围是[)1,3．12．[2018·湖北联考]如图，已知抛物线2y =的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆(222x y -+=于A ，B ，C ，D 四点，则4AB CD +的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】准线0l由圆：(222x y -+=，当AB x ⊥当AB 的斜率存在且不为0，设AB(222280k x x k -++=，∴8A D x x =当且仅当4A D x x =，即122A D x x ==，时取等号，综上所述4AB CD+C ．第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学含答案解析

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知命题:12p x -<<，2:log 1q x <，则p 是q 成立的（）条件． A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．既不充分有不必要 D ．充要【答案】B【解析】2:log 102q x x <⇒<<，因为()()0,21,2⊂-，所以p 是q 成立的必要不充分条件，选B ． 2．已知复数11i z a =+，232i z =+，a ∈R ，i 是虚数单位，若12z z ⋅是实数，则a =（）A ．23-B ．13-C ．13D ．23【答案】A【解析】复数11i z a =+，232i z =+，()()()()121i 32i 32i 3i 23223i z z a a a a a ⋅=++=++-=-++．若12z z ⋅是实数，则230a +=，解得23a =-．故选A ．3．下列函数中既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的函数是（）A ．()22xxf x -=- B ．()21f x x =-C ．()12log f x x = D ．()sin f x x x =【答案】B【解析】A 是奇函数，故不满足条件；B 是偶函数，且在()0,+∞上单调递增，故满足条件；C 是偶函数，在()0,+∞上单调递减，不满足条件；D 是偶函数但是在()0,+∞上不单调．故答案为B ．4．已知变量x ，y 之间满足线性相关关系 1.31ˆyx =-，且x ，y 之间的相关数据如下表所示：则m =（） A ．0.8 B ．1.8 C ．0.6 D ．1.6【答案】B【解析】，代入线性回归方程为 1.31ˆyx =-，可得 0.1 3.144 2.25m ∴+++=⨯， 1.8m ∴=，故选B ．5．若变量x ，y 满足约束条件00340x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+-⎩≥≥≤，则32x y +的最大值是（）A ．0B ．2C ．5D ．6【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知：目标函数在点()1,1A 处取得最大值，max 3231215z x y =+=⨯+⨯=．本题选C ．6．已知等差数列{}n a 的公差和首项都不为0，且124a a a 、、成等比数列，则1143a a a +=（） A ．2B ．3C ．5D ．7【答案】C【解析】由124a a a 、、成等比数列得2214a a a =，()()21113a d a a d ∴+=+，21d a d ∴=，0d ≠，1d a ∴=，C ． 7．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题：“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，少女三日一归．问：三女何日相会？”意思是：“一家出嫁的三个女儿中，大女儿每五天回一次娘家，二女儿每四天回一次娘家，小女儿每三天回一次娘家．三个女儿从娘家同一天走后，至少再隔多少天三人再次相会？”假如回娘家当天均回夫家，若当地风俗正月初二都要回娘家，则从正月初三算起的一百天内，有女儿回娘家的天数有（） A ．58 B ．59C ．60D ．61【答案】C【解析】小女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是33，25，20，小女儿和二女儿、小女儿和大女儿、二女儿和大女儿回娘家的天数分别是8，6，5，三个女儿同时回娘家的天数是1，所以有女儿在娘家的天数是：33+25+20-（8+6+5）+1=60．故选C ．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．2+B．2+ C．2+ D．8+【答案】A【解析】由三视图可知，该多面体是如图所示的三棱锥P ABC -，其中三棱锥的高为2，底面为等腰直角三角形，直角边长为2，表面积为A ．9，则()1πf x dx -=⎰（）A ．2π+ C D【答案】Dπ24dx =-，故选D ．10．已知A ，B 是函数2x y =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞- B ．(),2-∞-C ．()1,-+∞D ．()2,-+∞【答案】B【解析】设(),2a A a ，(),2b B b ，则112222a b -=-，因为a b ≠，所以221a b +=，由基本不等式有222a b +>，故21<，所以2a b +<-，选B ．11．在三棱锥A BCD-中，1AB AC ==，2DB DC ==，AD BC ==A BCD -的外接球的表面积为（） A ．π B ．4πC ．7πD ．9π【答案】C【解析】该三棱锥的图象如图所示，由1AB AC ==，2DB DC ==，AD BC ==AB AD ⊥，AC AD ⊥，易证AD ⊥平面ABC ．在ABC △中，由余弦定理可得，即120BAC ∠=︒，以AC 为x 轴，以AD 为z 轴建立如图所示的坐标系，则()000A ，，，102B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，()100C ，，，(00D ，设三棱锥A BCD -的外接球球心为(),,M x y z ，则()(222222222222112x y z x y z x y z x y z ⎛⎛⎫++=++-+=-++=++- ⎪ ⎝⎭⎝⎭，3y =，3z =2227r x y z =++=∴外接球的表面积为24π7πS r ==，故选C ．12．在等腰梯形ABCD 中//AB CD ，且2AB =，1AD =，2CD x =，其中()0,1x ∈，以A ，B 为焦点且过点D 的双曲线的离心率为1e ，以C ，D 为焦点且过点A 的椭圆的离心率为2e ，若对任意()0,1x ∈都t 的最大值为（）A ．74B ．38C ．58D ．54【答案】C【解析】如图，过D 作DE AB ⊥交AB 于E ，则1A E x =-，1EB x =+，所以DE =DB =所以1，2e ==，所以1212e e +=，令1t =，则121e e t t +=+，因t ⎛∈ ⎝⎭，故12e e +>C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．△ABC 内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos 2c B a b =+，则C ∠=_________．【答案】120︒【解析】∵2cos 2c B a b =+，∴222222a c b c a b ac +-⨯=+，即222a b c ab +-=-， ∴2221cos 22a b c C ab +-==-，∴120C =︒． 14．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为__________．【答案】138【解析】由题设中提供的算法流程图中的算法程序可知：当1x =，1y =时，220z x y =+=<，1x =，2y =，运算程序依次继续：320z x y =+=<，2x =，3y =；520z x y =+=<，3x =，5y =；820z x y =+=<，5x =，8y =；1320z x y =+=<，8x =，13y =；2120z x y =+=>，138y x =运算程序结束，输出138，应填答案138． 15．在ABC △中，22CA CB ==，1CA CB ⋅=-，O 是ABC △的外心，若CO xCA yCB =+，则x y +=______________．【答案】136【解析】由题意可得：120CAB ∠=︒，2CA =，1CB =，则：()24CO CA xCA yCB CA xCA yCB CA x y ⋅=+⋅=+⋅=-， ()2CO CB xCA yCB CB xCA CB yCB x y ⋅=+⋅=⋅+=-+，如图所示，作OE BC E ⊥=，OD AC D ⊥=，则212CO CA CA ⋅==，21122CO CB CB ⋅==，42x y -=⎧x ⎧⎪136x y +=．16．已知函数()f x 满足()()2f x f x =，且当[)1,2x ∈时()ln f x x =．若在区间[)1,4内，函数()()2g x f x ax=-有两个不同零点，则a 的范围为__________．【解析】()()2f x f x =，()2x f x f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，当[)2,4x ∈时，，故函数()[)[)ln ,12ln ln 2,24x x f x xx ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，，，作函数()f x 与2y ax =的图象如下，过点()4,ln 2时，ln 28a ∴=，ln ln 2y x =-，1y x '=，故2e >4x =，故实数a三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分，每个试题12分． 17．已知在ABC △中，2B A C =+，且2c a =．（1）求角A ，B ，C 的大小；（2）设数列{}n a 满足n 项和为n S ，若20n S =，求n 的值．【答案】（1π3B =，π2C =；（2）4n =或5n =．【解析】（1）由已知2B A C =+，又πA B C ++=，所以2c a =， 222c a b =+，ππππ（2 ，*k ∈N ，由2224203k n S +-==，得22264k +=，所以226k +=，所以2k =，所以4n =或5n =． 18．某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分成6组制成频率分布直方图如图所示：（1）求m 的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数x ；（2）该学校为制定下阶段的复习计划，从成绩在[]130,150的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在[]140,150的同学人数位ξ，写出ξ的分布列，并求出期望．【答案】（1）0.008m =（2）见解析．【解析】（1）由题()0.0040.0120.0240.040.012101m +++++⨯=，解得0.008m =，1350.012101450.00810121.8⨯⨯+⨯⨯=．（2）成绩在[)130,140的同学人数为6，成绩在[)140,150人数为4，所以ξ的分布列为：19．如图，多面体ABCDEF 中，ABCD 是正方形，CDEF 是梯形，//EF CD ，12EF CD =，DE ⊥平面ABCD 且DE DA =，M N 、分别为棱AE BF 、的中点．（1）求证：平面DMN ⊥平面ABFE ；（2）求平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2．【解析】（1）∵//EF CD ，ABCD 是正方形，∴//EF AB ，∵M N 、分别为棱AE BF 、的中点，∴//MN AB ， ∵DE ⊥平面ABCD ，∴DE AB ⊥，∵AB AD ⊥，AD DE D =， ∴AB ⊥平面ADE ，∴AB AE ⊥，从而MN AE ⊥， ∵DE DA =，M 是AE 中点，∴DM AE ⊥， ∵MNDM M =，∴AE ⊥平面DMN ，又AE ⊂平面ABFE ，∴平面DMN ⊥平面ABFE ．（2）由已知，DA ，DC ，DE 两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D xyz -，设2AD =，则()2,0,0A ，()0,0,2E ，()2,2,0B ，()0,2,0C ，()0,1,2F ， ∴()2,0,0CB =，()0,1,2CF =-，设平面BCF 的一个法向量为(),,n x y z ，由00n CB n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得2020x y z =⎧⎨-+=⎩，令2y =，则()0,2,1n =，由（1）可知AE ⊥平面DMN ，∴平面DMN 的一个法向量为()2,0,2AE =-，设平面DMN 和平面BCF 所成锐二面角为θ10cos<>nAE ⋅=所以，平面DMN 和平面BCF ．20．已知椭圆1C ：22221x y a b+= (0)a b >>，焦距为，抛物线2C ：22x py =(0)p >的焦点F 是椭圆1C 的顶点．（1）求1C 与2C 的标准方程；（2）1C 上不同于F 的两点P ，Q 满足0FP FQ ⋅=，且直线PQ 与2C 相切，求FPQ △的面积．【答案】（1）221124x y +=，28x y =；（2）1835．【解析】（1）设椭圆1C 的焦距为2c ，依题意有2c =，3c a =，解得a =2b =，故椭圆1C 的标准方程为221124x y +=．又抛物线2C ：22(0)x py p =>开口向上，故F 是椭圆1C 的上顶点，()0,2F ∴，4p ∴=，故抛物线2C 的标准方程为28x y =．（2）显然，直线PQ 的斜率存在．设直线PQ 的方程为y kx m =+，设()11,P x y ，()22,Q x y ，则()11,2FP x y =-，()22,2FQ x y =-，()121212240FP FQ x x y y y y ∴⋅=+-++=，即()()()22121212440k x x km k x x m m ++-++-+=()*，y 整理得，()()2223163120**k x kmx m +++-=．依题意1x ，2x ，是方程()**的两根，2214412480k m ∆=-+>，122631kmx x k -∴+=+，212231231m x x k -⋅=+，将12x x +和12x x ⋅代入()*得220m m --=，解得1m =-，（2m =不合题意，应舍去）联立218y kx x y=-⎧⎨=⎩，消去y 整理得，2880x kx -+=，令264320k '∆=-=，解得212k =．经检验，212k =，1m =-符合要求．21．已知函数()2ln f x x x =-．（1）求函数()f x 在点()()1,1f 处的切线方程；（2）在函数()2ln f x x x =-的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上．若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1）y x =；（2()1,1．【解析】（1）∵()11f =x，∴()1211f '=-=，故所求切线方程为()111y x -=⨯-即y x =．（2）设所求两点为()11,x y ，()22,x y ，1x ，21,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，不妨设12x x <，由题意：121211221x x x x ⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，又12x x <，∴()()12f x f x ''<，∴解得：112x =，（11x =-舍），21x =，（212x =-舍） ()1,1即为所求．（二）选考题（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分）22．在平面直角坐标系xOy 中，直线1lt 为参数），直线2l的参数程为m 为参数），设直线1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时点P 的轨迹为曲线1C ．（1）求出曲线1C 的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线2C 的极坐标方程为Q 为曲线1C 的动点，求点Q 到直线2C 的距离的最小值．【答案】（1）1C 的普通方程为()22103x y y +=≠；（2）d的最小值为【解析】（1）将1l ，2l 的参数方程转化为普通方程；(1:3l y k x =+，①)21:33l y x k=，②①×②消k 可得：2213x y +=，因为0k ≠，所以0y ≠，所以1C 的普通方程为()22103x y y +=≠．（2）直线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=．由（1）知曲线1C 与直线2C 无公共点，由于1Ca 为参数，πa k ≠，k ∈Z ），所以曲线1C80x y +-=的距离为：d的最小值为23（1）当2a= （2M ，若11,32M ⎡⎤⊆⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{|0x x ≤或1}x ≥；（2）14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．【解析】（1）当2a =时，原不等式可化为3123x x -++-≥，解得0x ≤，所以0x ≤；②当23x <<时，原不等式可化为3123x x -+-≥，解得1x ≥，所以12x <≤．③当2x ≥时，原不等式可化为3123x x --+≥，解得1x ≥，所以2x ≥，综上所述，当2a =时，不等式的解集为{|0x x ≤或1}x ≥．（2）不等式()13x f x x -+≤可化为313x x a x -+-≤，依题意不等式313x x a x -+-≤在11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立，即11a x a -+≤≤，所以a 的取值范围是14,23⎡⎤-⎢⎥⎣⎦．。

2018届高三招生全国统一考试模拟数学(理)试题(五)有答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（五）本试卷共6页，23题(含选考题)。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合}12|{},02|{2+==<-=xy y N x x x M ，则=⋂N M （） A ．)2,0( B ．)2,1( C ．)1,0( D ．∅ 2.已知i 为虚数单位，复数iaii z ++=1)1(的虚部为2，则实数=a （） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3.函数x x y sin 22cos +=的最大值为（） A ．21 B ．1 C ．23D ．2 4.如图，分别以C A ,为圆心，正方形ABCD 的边长为半径圆弧，交成图中阴影部分，现向正方形内投入1个质点，则该点落在阴影部分的概率为（）A ．21 B ．22-π C.41 D ．42-π 5.已知O 为坐标原点，分别在双曲线)0,0(12222>>=-b a bx a y 第一象限和第二象限的渐近线上取点N M ,，若MON ∠的正切值为34，则双曲线离心率为（） A ．55 B ．25 C.45 D ．35 6.若点),(y x 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤+≤≥+3202y x x y y x ，则22)2(-+y x 的最小值为（）A ．552 B ．55 C.54 D ．517.按下面的程序框图，如果输入的]3,1[-∈t ，则输出的x 的取值范围为（） A ．]4,3[- B ．]3,1[- C.]9,3[-D ．]4,3[8.将函数)3cos(sin )(π+=x x x f 的图象向右平移3π个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 图象的一个对称中心是（） A ．)0,6(πB ．)0,3(πC.)43,6(-πD ．)43,3(-π9.)102()1(10101022101105x C x C x C x ++++Λ展开式中，7x 项的系数是（）A ．50400B ．15300 C.30030 D ．15001510.如图是一三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为（）A ．425π B ．1625π C.41125π D ．161125π11.已知函数)(x f 是定义在R 内的奇函数，且满足)()2(x f x f =-，若在区间]1,0(上，xx f 1)(=，则=++++++)818()212()111(f f f Λ（）A ．631 B ．1231 C. 635 D ．1235 12.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 且斜率为)0(>k k 的直线l 交抛物线于点B A ,，若→→=FB AF λ，且)21,31(∈λ，则k 的取值范围是（）A ．)3,1(B ．)2,3( C. )22,2( D ．)22,3(第Ⅱ卷（共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为...........................故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11 B. 10 C. 9 D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你们三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1) 由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料：月份市场份额请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额.如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数（单位：天）统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元；当时，企业平均每天收入约为400万元；当时，企业平均每天收入约为700万元.①设该企业在六月份每天收入为，求的数学期望；②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率.附：回归直线的方程是，其中，，【答案】（1）;预测该企业2017年7月份的市场份额为23%.(2) ①;②.【解析】试题分析：（1）根据题中数据得到，，，，代入样本中心值得到，进而得到方程，将x=7代入方程即可；（2）由题干知设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，则，，，进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况，求概率之和即可.解析：（1）由题意，，，故，，由得，则.当时，，所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，则，，.故的分布列为所以（万元）.②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.则.所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876.19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为棱的中点，与交于点，侧面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取中点为，连接，，，可证明四边形为平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式得到要求的线面角. 解析：（1）取中点为，连接，，，由，，，，得，且，所以四边形为平行四边形.所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）由已知.又平面，所以，，两两垂直.以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则经计算得，，，，因为，所以，所以，，.设平面一个法向量为，由令，得.设直线与平面所成的角为，则.20. 已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.解析：（1）由题意，，故。

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数（四）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知虚数单位，复数对应的点在复平面的（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】因为=所对应的点为，在第四项限.故答案为：D.2. 已知集合，，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】},若,则故答案为：D.3. 设，，，，为实数，且，，下列不等式正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取a=2,b=4,c=3,d=2,d-a=0,c-b=-1,此时d-a>c-b,A错误；取a=2,b=3,小，则，,此时,B错误；取b=3,a=,c=1,d=-3,,C错误；对于D ，D正确.故选D.4. 设随机变量，则使得成立的一个必要不充分条件为（）A. 或B.C.D. 或【答案】A【解析】由，得到=，故3m=3，得到m=1,则使得成立的充要条件为m=1,故B错误；因为是的真子集，故原题的必要不充分条件为或.故答案为：A.5. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果，则判断框内实数应填入的整数值为（）A. 998B. 999C. 1000D. 1001【答案】A【解析】因为令则故当根据题意此时退出循环，满足题意，则实数M应填入的整数值为998，故答案为：A.6. 已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，则下列选项中结果为0的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由得到，因为公差不为0，故=0，由等差数列的性质得到，故答案为:C.7. 设，分别为双曲线（，）的左、右顶点，过左顶点的直线交双曲线右支于点，连接，设直线与直线的斜率分别为，，若，互为倒数，则双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由圆锥曲线的结论知道故答案为：B.8. 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A. B. C. 16 D.【答案】A【解析】由已知中的三视图得到该几何体是一个半圆柱挖去了一个三棱锥，底面面积为，高为4，该几何体的体积为...........................故答案为:A .9. 已知曲线和直线所围成图形的面积是，则的展开式中项的系数为（）A. 480B. 160C. 1280D. 640【答案】D【解析】由题意得到两曲线围成的面积为=故答案为：D.点睛：这个题目考查的是二项式中的特定项的系数问题，在做二项式的问题时，看清楚题目是求二项式系数还是系数，还要注意在求系数和时，是不是缺少首项；解决这类问题常用的方法有赋值法，求导后赋值，积分后赋值等.10. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，，，设，，若，，且，则的最大值为（）A. 7B. 10C. 8D. 12【答案】B【解析】已知，，,得到因为，，故有不等式组表示出平面区域，是封闭的三角形区域，当目标函数过点(2,4)时取得最大值，为10.故答案为：B.点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1)在平面直角坐标系内作出可行域;(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．常见的类型有截距型（型）、斜率型（型）和距离型（型）;(3)确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解;(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值;注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.11. 如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题：已知曲线的方程为，其左、右焦点分别是，，直线与椭圆切于点，且，过点且与直线垂直的直线与椭圆长轴交于点，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由椭圆的光学性质得到直线平分角，因为由，得到，故.故答案为：C.12. 将给定的一个数列：，，，…按照一定的规则依顺序用括号将它分组，则可以得到以组为单位的序列.如在上述数列中，我们将作为第一组，将，作为第二组，将，，作为第三组，…，依次类推，第组有个元素（），即可得到以组为单位的序列：，，，…，我们通常称此数列为分群数列.其中第1个括号称为第1群，第2个括号称为第2群，第3个数列称为第3群，…，第个括号称为第群，从而数列称为这个分群数列的原数列.如果某一个元素在分群数列的第个群众，且从第个括号的左端起是第个，则称这个元素为第群众的第个元素.已知数列1,1,3,1,3,9,1,3,9,27，…，将数列分群，其中，第1群为（1），第2群为（1,3），第3群为（1,3，），…，以此类推.设该数列前项和，若使得成立的最小位于第个群，则（）A. 11 B. 10 C. 9 D. 8【答案】B【解析】由题意得到该数列的前r组共有个元素，其和为则r=9时，故使得N>14900成立的最小值a位于第十个群.故答案为：B.点睛：这个题目考查的是新定义题型，属于数列中的归纳推理求和问题;对于这类题目，可以先找一些特殊情况，总结一下规律，再进行推广，得到递推关系，或者直接从变量较小的情况开始归纳得到递推关系.第Ⅱ卷二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若函数为偶函数，则__________．【答案】-1【解析】由偶函数的定义得到,即=即恒成立，k=-1.故答案为：-1.14. 已知，，则__________．【答案】【解析】=,故=，因为，故=，故，故.故答案为：.15. 中华民族具有五千多年连绵不断的文明历史，创造了博大精深的中华文化，为人类文明进步作出了不可磨灭的贡献.为弘扬传统文化，某校组织了国学知识大赛，该校最终有四名选手、、、参加了总决赛，总决赛设置了一、二、三等奖各一个，无并列.比赛结束后，对说：“你没有获得一等奖”，对说：“你获得了二等奖”；对大家说：“我未获得三等奖”，对、、说：“你们三人中有一人未获奖”，四位选手中仅有一人撒谎，则选手获奖情形共计__________种．（用数字作答）【答案】12【解析】设选手ABCD获得一等奖，二等奖，三等奖，分别用表示获得的奖次，其中i=0时，表示为获奖，若C说谎，则若B说谎则等九种情况，若A说谎则若D说谎则，公12种情况.故答案为：12.16. 已知为的重心，点、分别在边，上，且存在实数，使得.若，则__________．【答案】3【解析】设连接AG并延长交BC于M，此时M为BC的中点，故故存在实数t使得，得到故答案为：3.点睛：本题考查了向量共线定理、平面向量基本定理、考查了推理能力与计算能力，属于中档题．在解决多元的范围或最值问题时，常用的解决方法有：多元化一元，线性规划的应用，均值不等式的应用,“乘1法”与基本不等式的性质，等.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知.（1）求角的大小；（2）若的面积，为边的中点，，求.【答案】(1)；(2)5.【解析】试题分析：(1) 由正弦定理，得，又，进而得到；（2）的面积，得，两边平方得到，结合两个方程得到结果.解析：（1）因为，由正弦定理，得.又，所以，即.因为，故.所以.（2）由的面积，得.又为边的中点，故，因此，故，即，故.所以.18. 市场份额又称市场占有率，它在很大程度上反映了企业的竞争地位和盈利能力，是企业非常重视的一个指标.近年来，服务机器人与工业机器人以迅猛的增速占领了中国机器人领域庞大的市场份额，随着“一带一路”的积极推动，包括机器人产业在内的众多行业得到了更广阔的的发展空间，某市场研究人员为了了解某机器人制造企业的经营状况，对该机器人制造企业2017年1月至6月的市场份额进行了调查，得到如下资料：市场份额请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并预测该企业2017年7月份的市场份额.如图是该机器人制造企业记录的2017年6月1日至6月30日之间的产品销售频数（单位：天）统计图.设销售产品数量为，经统计，当时，企业每天亏损约为200万元；当时，企业平均每天收入约为400万元；当时，企业平均每天收入约为700万元.①设该企业在六月份每天收入为，求的数学期望；②如果将频率视为概率，求该企业在未来连续三天总收入不低于1200万元的概率.附：回归直线的方程是，其中，，【答案】（1）;预测该企业2017年7月份的市场份额为23%.(2) ①;②.【解析】试题分析：（1）根据题中数据得到，，，，代入样本中心值得到，进而得到方程，将x=7代入方程即可；（2）由题干知设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，则，，，进而得到分布列和均值；由第一小问得到未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况，求概率之和即可.解析：（1）由题意，，，故，，由得，则.当时，，所以预测该企业2017年7月的市场份额为23%.（2）①设该企业每天亏损约为200万元为事件，平均每天收入约达到400万元为事件，平均每天收入约达到700万元为事件，则，，.故的分布列为所以（万元）.②由①知，未来连续三天该企业收入不低于1200万元包含五种情况.则.所以该企业在未来三天总收入不低于1200万元的概率为0.876.19. 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，为棱的中点，与交于点，侧面，为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2).【解析】试题分析：（1）取中点为，连接，，，可证明四边形为平行四边形，进而得到线面平行；（2）建立坐标系得到直线的方向向量和面的法向量，由向量的夹角公式得到要求的线面角. 解析：（1）取中点为，连接，，，由，，，，得，且，所以四边形为平行四边形.所以，又因为平面，平面，所以平面.（2）由已知.又平面，所以，，两两垂直.以为坐标原点，，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则经计算得，，，，因为，所以，所以，，.设平面一个法向量为，由令，得.设直线与平面所成的角为，则.20. 已知焦点为的的抛物线：（）与圆心在坐标原点，半径为的交于，两点，且，，其中，，均为正实数.（1）求抛物线及的方程；（2）设点为劣弧上任意一点，过作的切线交抛物线于，两点，过，的直线，均于抛物线相切，且两直线交于点，求点的轨迹方程.【答案】(1)答案见解析；(2).【解析】试题分析:(1)由题意可得到将点A坐标代入方程可得到m=2,进而得到点A的坐标，由点点距得到半径；（2）设，，，,由直线和曲线相切得到，：，同理：，联立两直线得，根据点在圆上可消参得到轨迹.解析：（1）由题意，，故。

2018届高三招生全国统一考试模拟数学(理)试题(五)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题及答案

2018年高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学试卷(五)含答案

2018届普通高等学校招生全国统一考试高三数学模拟(五)理

黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试 仿真模拟(五)数学试题(理科)(解析版)

2018年高三最新 高三高考模拟数学理科卷参考答案答案

2018届普通高等学校招生全国统一模拟考试数学(理)试卷(扫描版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟(五)数学(理)试题

2018年全国高等院校统一招生考试全国Ⅲ理科数学试卷(含答案)

【数学】2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷 理科数学(五) 含解析

最新-山东省潍坊市2018届高三下学期高考模拟训练(五)

普通高等学校2018年招生全国统一考试临考冲刺卷(五)理科数学含答案解析

2018届高三招生全国统一考试模拟数学(理)试题(五)有答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数试题(解析版)

2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理数试题(解析版)

黑龙江省2018届高三普通高等学校招生全国统一考试仿真模拟(五)数学试题(理科)(解析版)

2018年高三最新高三高考模拟数学理科卷参考答案答案

【数学】2018年普通高等学校招生全国统一考试仿真卷理科数学(五) 含解析