{高中试卷}向量的实际背景及基本概念1[仅供参考]

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高考向量的基本知识点总结

高考向量的基本知识点总结一、引言向量是高中数学中非常重要的概念，也是高考数学必考的知识点之一。

理解和掌握向量的基本概念和运算规则对于学生在高考中取得好成绩至关重要。

本文将从向量的定义、向量的表示、向量的运算以及向量的应用等方面进行综述。

二、向量的定义向量是有大小和方向的量。

向量通常用一个有向线段表示，线段的长度表示向量的大小，而线段的方向则表示向量的方向。

在平面上，向量可以用坐标表示，例如一个二维向量可以表示为 (x, y)。

在空间中，向量可以用坐标表示为 (x, y, z)。

三、向量的表示1. 平面向量的表示平面向量的表示常用坐标表示法，例如 (a, b) 表示一个平面向量，其中 a 和 b 分别表示向量在 x 和 y 方向上的分量。

2. 空间向量的表示空间向量的表示同样使用坐标表示，例如 (a, b, c) 表示一个空间向量，其中 a、b 和 c 分别表示向量在 x、y 和 z 方向上的分量。

四、向量的运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即对于任意向量 a、b 和 c，有 a + b = b + a，(a + b) + c = a + (b + c)。

向量的加法可以用坐标方式进行计算，即将对应位置的坐标相加。

2. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘法运算。

即对于任意向量 a 和实数 k，有 k a = a k。

向量的数乘可以用坐标方式进行计算，即将向量的每个坐标乘以实数 k。

3. 向量的减法向量的减法可以转化为向量的加法和数乘运算，即 a - b = a + (-b)，其中 -b 表示向量 b 的反向向量。

五、向量的应用向量广泛应用于物理学、几何学等领域。

以下是向量在几何学中的常见应用：1. 向量的共线和共面若两个向量共线，则它们的方向相同或相反；若三个向量共面，则它们在同一平面上。

2. 平面向量的数量积平面向量的数量积定义为两个向量的模的乘积与它们夹角的余弦值的乘积。

人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念

注：向量与数量的区分 ①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量．注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中，不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模向量| AB | 的长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的单位向量：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.

数学高考向量知识点总结

数学高考向量知识点总结一、向量的概念与表示1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的物理量，是指在空间中的矢量。

2. 向量的表示：向量通常用加粗的小写字母（例如a）或者以字母上方加→（例如→a）表示。

二、向量的运算1. 向量的加法：如果a和b是两个向量，那么它们的和记作a+b，它的几何意义是以a和b的起点为端点的对角线的方向和长度。

2. 向量的数乘：数k与向量a相乘的结果是一个新向量，记为ka。

当k>0时，ka的方向与a的方向相同；当k<0时，ka的方向与a的方向相反。

3. 向量的线性组合：设k1，k2，…，kn是任意n个数，a1，a2，…，an是任意n个向量，那么向量C=k1a1+k2a2+…+knan称为向量a1，a2，…，an的线性组合。

三、向量的数量积1. 向量的数量积定义：设a和b是两个向量，那么它们的数量积记作a·b，它的数值等于|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。

2. 向量的数量积性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数乘结合：(ka)·b=k(a·b)（4）模长的平方：|a|^2=a·a（5）向量夹角余弦的大小：a·b=|a||b|cosθ3. 向量的正交性：如果a·b=0，则称向量a和b正交，也就是说，两个向量的夹角为90°。

四、向量的叉乘1. 向量的叉乘定义：设a和b是两个向量，那么它们的叉乘记作a×b，它的结果是一个新的向量，其模长等于|a||b|sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并满足右手定则。

2. 向量的叉乘性质：（1）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（2）数乘结合：(ka)×b=k(a×b)（3）零向量叉乘：a×0=0×a=0（4）相等向量叉乘：a×a=0（5）模长的平方：|a×b|^2=|a|^2|b|^2-(a·b)^2（6）向量的三角函数关系：a×b=|a||b|sinθn五、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：设A(x1,y1,z1)是平面上的一点，n=[A,B,C]是平面的法向量，那么平面的向量方程可以表示为r·n=d，其中r=[x,y,z]是平面上任意一点的位置向量。

最新必修四平面向量的实际背景及基本概念(附答案)

平面向量的实际背景及基本概念[学习目标] 1.能结合物理中的力、位移、速度等具体背景认识向量，掌握向量与数量的区别.2.会用有向线段作向量的几何表示，了解有向线段与向量的联系与区别，会用字母表示向量.3.理解零向量、单位向量、平行向量、共线向量、相等向量及向量的模等概念，会辨识图形中这些相关的概念．知识点一向量的概念数学中，我们把既有大小，又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量(如年龄、身高、体积等)称为数量．注意：①向量的两个要素：大小和方向，缺一不可．解题时，注意从两个要素出发考虑问题． ②数量之间可以比较大小，而两个向量不能比较大小．思考已知下列各量：①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移；⑦加速度；⑧重力；⑨路程；⑩密度．其中是数量的有________________，是向量的有________________．答案 ②④⑤⑨⑩ ①③⑥⑦⑧知识点二向量的表示方法(1)向量的几何表示：向量可以用一条有向线段表示．带有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示．以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.(2)向量的字母表示：向量可以用字母a, b, c ，…，表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a →，b →，c →)．(3)向量AB →的大小：也就是向量AB →的长度(或称模)，即有向线段AB →的长度，记作|AB →|.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．思考在同一平面内，把所有长度为1的向量的始点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是________．答案单位圆知识点三相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．(2)平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．①记法：向量a 平行于b ，记作a ∥b .②规定：零向量与任一向量平行．(3)共线向量：由于任意一组平行向量都可移动到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量．也就是说，平行向量与共线向量是等价的，因此要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆．思考向量平行具备传递性吗？答案向量的平行不具备传递性，即若a ∥b ，b ∥c ，则未必有a ∥c ，这是因为，当b ＝0时，a 、c 可以是任意向量，但若b ≠0，必有a ∥b ，b ∥c ⇒a ∥c .因此在今后学习时要特别注意零向量的特殊性，解答问题时，一定要看清题目中是“零向量”还是“非零向量”．题型一向量的基本概念例1 判断下列命题是否正确，并说明理由．①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .解两个向量不相等，可能是长度不同，方向可以相同或相反，所以a 与b 有共线的可能，故①不正确．②AB →＝DC →，A 、B 、C 、D 四点可能在同一条直线上，故②不正确．③在平行四边形ABCD 中，|AB →|＝|DC →|，AB →与DC →平行且方向相同，故AB →＝DC →，③正确．④零向量的方向是任意的，与任一向量平行，④正确．⑤a ＝b ，则|a |＝|b |且a 与b 方向相同；b ＝c ，则|b |＝|c |且b 与c 方向相同，则a 与c 方向相同且模相等，故a ＝c ，⑤正确．若b ＝0，由于a 的方向与c 的方向都是任意的，a ∥c 可能不成立；b ≠0时，a ∥c 成立，故⑥不正确．跟踪训练1 下列说法正确的有________．(1)若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－b ；(2)向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上；(3)向量AB →与BA →是平行向量；(4)任何两个单位向量都是相等向量．答案 (3)解析 (1)错误．由|a |＝|b |仅说明a 与b 模相等，但不能说明它们方向的关系．(2)错误．共线向量即平行向量，只要方向相同或相反，并不要求两个向量AB →、CD →必须在同一直线上，因此点A 、B 、C 、D 不一定在同一条直线上．(3)正确．向量AB →和BA →是长度相等，方向相反的两个向量．(4)错误．单位向量不仅有长度，而且有方向；单位向量的方向不一定相同，而相等向量要求长度相等，方向相同．题型二向量的表示及应用例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →；(2)求|AD →|.解 (1)向量AB →、BC →、CD →如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线，又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB 綊CD .∴四边形ABCD 为平行四边形．∴AD →＝BC →，∴|AD →|＝|BC →|＝200 km.跟踪训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．题型三平行向量与共线向量例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点，所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.跟踪训练3 如图，已知四边形ABCD 为▱ABCD ，则(1)与OA →的模相等的向量有多少个？(2)与OA →的模相等，方向相反的向量有哪些？(3)写出与AB →共线的向量．解 (1)与OA →的模相等的向量有AO →，OC →，CO →三个向量．(2)与OA →的模相等且方向相反的向量为OC →，AO →.(3)与AB →共线的向量有DC →，CD →，BA →.对向量的有关概念理解不清致误例4下列说法正确的个数是()①向量a，b共线，向量b，c共线，则a与c也共线；②任意两个相等的非零向量的起点与终点都分别重合；③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行．A．1 B．2 C．3 D．4错解向量共线具有传递性，相等向量的各要素相同(包括起点、终点)，同起点共线向量不是平行向量．答案B或C或D错因分析对共线向量的概念理解不清，零向量与任一向量都是共线向量，共线向量也是平行向量，它与平面几何中的共线和平行不同．正解事实上，对于①，由于零向量与任意向量都共线，因此①不正确；对于②，由于向量都是自由向量，则两个相等向量的始点和终点不一定重合，故②不正确；对于④，向量的平行只与方向有关，而与起点是否相同无关，故④不正确；a与b不共线，则a与b都是非零向量，否则，不妨设a为零向量，则a与b共线，与a与b不共线矛盾，从而③正确．答案 A1．下列说法错误的是()A ．若a ＝0，则|a |＝0B ．零向量是没有方向的C ．零向量与任一向量平行D ．零向量的方向是任意的2．下列说法正确的是( )A ．若|a |>|b |，则a >bB ．若|a |＝|b |，则a ＝bC ．若a ＝b ，则a 与b 共线D ．若a ≠b ，则a 一定不与b 共线3．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB →与DC →的关系是( )A.AB →＝DC →B ．|AB →|＝|DC →| C.AB →>DC →D.AB →<DC →4.如图所示，以1×2方格纸中的格点(各线段的交点)为起点和终点的向量中．(1)写出与AF →、AE →相等的向量；(2)写出与AD →模相等的向量．5．如图所示，在四边形ABCD 中，AB →＝DC →，N ，M 分别是AD ，BC 上的点且CN →＝MA →，求证：四边形DNBM 是平行四边形．一、选择题1．下列条件中能得到a ＝b 的是( )A ．|a |＝|b |B ．a 与b 的方向相同C ．a ＝0，b 为任意向量D ．a ＝0且b ＝02．下列说法正确的是( )A ．若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反B ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥cC ．若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等D ．若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c3．命题“若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ”( )A ．总成立B ．当a ≠0时成立C ．当b ≠0时成立D ．当c ≠0时成立 4．如图，在四边形ABCD 中，若AB →＝DC →，则图中相等的向量是( )A.AD →与CB →B.OB →与OD →C.AC →与BD →D.AO →与OC →5．若a 为任一非零向量，b 为模为1的向量，下列各式：①|a |＞|b |；②a ∥b ；③|a |＞0；④|b |＝±1，其中正确的是( )A ．①④B ．③C ．①②③D ．②③6．判断下列命题中不正确的是命题个数为( )①若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；②若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；③对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；④向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题7．若对任意向量b ，均有a ∥b ，则a 为________．8．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)9．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．10．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD →|＝________.三、解答题11．一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地．(1)画出AD →，DC →，CB →，AB →；(2)求B 地相对于A 地的位置向量．12．如图，已知AA ′—→＝BB ′—→＝CC ′—→.求证：(1)△ABC ≌△A ′B ′C ′；(2)AB →＝A ′B ′——→，AC →＝A ′C ′———→.13．O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO →，BO →相等的向量；(2)找出与AO →共线的向量；(3)找出与AO →模相等的向量；(4)向量AO →与CO →是否相等？当堂检测答案1．答案 B解析零向量的长度为0，方向是任意的，它与任何向量都平行，所以B 是错误的．2．答案 C解析 A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a |>|b |，但a 与b 的方向不确定，不能说a >b ，A 不正确；同理B 错误；D 中，a ≠b ，a 可与b 共线．故选C.3．答案 B解析 |AB →|与|DC →|表示等腰梯形两腰的长度，故相等．4.解 (1)AF →＝BE →＝CD →，AE →＝BD →.(2)DA →，CF →，FC →.5．证明 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 为平行四边形，∴AD ，BC 平行且相等．又∵CN →＝MA →，∴四边形CNAM 为平行四边形，∴AN ，MC 平行且相等，∴DN ，MB 平行且相等，∴四边形DNBM 是平行四边形．当堂检测答案一、选择题1．答案 D2．答案 D3．答案 C解析当b ＝0时，不一定成立，因为零向量与任何向量都平行．4．答案 D解析 ∵AB →＝DC →，∴四边形ABCD 是平行四边形，∴AC 、BD 互相平分，∴AO →＝OC →.5．答案 B解析 a 为任一非零向量，故|a |＞0.6．答案 C解析 ①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．它由两个因素来确定，即大小与方向，所以两个向量不能比较大小，故①不正确．②不正确．由|a |＝|b |只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．③正确．∵|a |＝|b |，且a 与b 同向．由两向量相等的条件可得a ＝b .④不正确．因为向量a 与向量b 若有一个是零向量，则其方向不确定．二、填空题7．答案零向量8．答案 ①③④解析相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．9．答案菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．10．答案 2 3解析易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO →|＝3，∴|BD →|＝2|BO →|＝2 3.三、解答题11．解 (1)向量AD →，DC →，CB →，AB →如图所示．(2)由题意知AD →＝BC →，∴AD 綊BC ，则四边形ABCD 为平行四边形，∴AB →＝DC →，则B 地相对于A 地的位置向量为“北偏东60°，6千米”．12．证明 (1)∵AA ′—→＝BB ′—→，∴|AA ′—→|＝|BB ′—→|，且AA ′—→∥BB ′—→.又∵A 不在BB ′—→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′———→|.同理|AC →|＝|A ′C ′———→|，|BC →|＝|B ′C ′———→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′———→，且|AB →|＝|A ′B ′———→|.∴AB →＝A ′B ′———→.同理可证AC →＝A ′C ′———→.13．解 (1)AO →＝BF →，BO →＝AE →.(2)与AO →共线的向量有BF →，CO →，DE →.(3)与AO →模相等的向量有：CO →，DO →，BO →，BF →，CF →，AE →，DE →.(4)向量AO →与CO →不相等，因此它们的方向不相同．班级工作计划15机电班，作为一个全男生班，管理上要特别对待。

高中数学必修4平面向量常考题型：平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基本概念【知识梳理】1．向量和数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量． 2．有向线段(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点，B 为终点的有向线段记作AB .(2)有向线段包含三个要素：起点、方向、长度，知道了有向线段的起点、长度和方向，它的终点就唯一确定．3．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，书写时用a →，b →，c →…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如，AB ，CD.4．向量的模及两个特殊向量 (1)向量的长度(模)：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度(或模)，记作|AB |.(2)两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 5．相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a 与b 相等，记作a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定．(2)平行向量：①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行，通常记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a ，都有0∥a .③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．【常考题型】题型一、向量的有关概念【例1】下列说法正确的是( )A ．向量AB 与CD是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反C ．向量AB 与向量BA是两平行向量D ．单位向量都相等[解析] A 项考查的是有向线段共线与向量共线的区别．事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上．而向量共线时，表示向量的有向线段可以在两条平行直线上，不一定在同一直线上．故A 项错误．由于零向量与任一向量平行，因此，若a ，b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．故B 项错误．由于向量AB 与BA方向相反，所以二者是平行向量．故C 项正确．单位向量的长度都相等，方向任意，而向量相等不仅需要长度相等，还要求方向相同．故D 项错误．[答案] C 【类题通法】解决与向量概念有关问题的方法解决与向量概念有关题目的关键是突出向量的核心——方向和长度，如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制；相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度；零向量的核心是方向没有限制，长度是0；规定零向量与任一向量共线．只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决与向量概念有关的问题．【对点训练】给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ；③向量AB 与向量BA相等．以上命题中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．①③D ．②③解析：选A 根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义，单位向量的模相等，但方向不同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB 与向量BA模相等，方向相反，故③错误．故选A.题型一、向量的表示【例2】 (1)如图，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA ，使|OA|＝42，点A 在点O 北偏东45°； ②AB ，使|AB|＝4，点B 在点A 正东； ③BC ，使|BC|＝6，点C 在点B 北偏东30°.(1)[解析] 由向量的几何表示可知，可以写出12个向量，它们分别是AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，BA ，CA ，DA ，CB ，DB ，DC .[答案] 12(2)[解] ①由于点A 在点O 北偏东45°处，所以在坐标纸上点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数相等．又|OA|＝42，小方格边长为1，所以点A 距点O 的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A 位置可以确定，画出向量OA如图所示．②由于点B 在点A 正东方向处，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B 距点A 的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B 位置可以确定，画出向量AB如图所示．③由于点C 在点B 北偏东30°处，且|BC|＝6，依据勾股定理可得：在坐标纸上点C 距点B 的横向小方格数为3，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C 位置可以确定，画出向量BC如图所示．【类题通法】用有向线段表示向量的方法用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据向量模的大小确定向量的终点．必要时，需依据直角三角形知识求出向量的方向(即夹角)或长度(即模)，选择合适的比例关系作出向量．【对点训练】中国象棋中规定：马走“日”字．如图是中国象棋的半个棋盘，若马在A 处，可跳到A 1处，也可跳到A 2处，用向量1AA 或2AA表示马走了“一步”．试在图中画出马在B ，C 处走了“一步”的所有情况．解：根据规则，画出符合要求的所有向量．马在B 处走了“一步”的情况如图(1)所示；马在C 处走了“一步”的情况如图(2)所示．题型三、共线向量或相等向量【例3】如图所示，四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形．(1)找出与向量AB共线的向量；(2)找出与向量AB相等的向量．[解] (1)依据图形可知DC ，ED ，EC 与AB 方向相同，BA ，CD ，DE ，CE 与AB方向相反，所以与向量AB 共线的向量为BA ，CD ，DC ，ED ，DE ，EC，CE .(2)由四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形，知DC ，ED 与AB长度相等且方向相同，所以与向量AB 相等的向量为DC 和ED.【类题通法】寻找共线向量或相等向量的方法(1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量．(2)寻找相等向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线．【对点训练】如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH相等的向量有________；(2)与向量GH共线，且模相等的向量有________；(3)与向量EA共线，且模相等的向量有________．解析：向量相等⇔向量方向相同且模相等．向量共线⇔表示有向线段所在的直线平行或重合．答案：(1) LB ' ，HC (2) EC ' ，LE ，LB ' ，GB，HC(3) EF ，FB ，HA ' ，HK ，KB ' 【练习反馈】1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选C 因为速度、力和加速度既有大小，又有方向，所以它们是向量；而质量、路程和功只有大小，没有方向，所以它们不是向量，故不是向量的个数是3.2.如图所示，在正三角形ABC 中，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AC的中点，则与向量PQ相等的向量是( )A.PR 与QRB.AR 与RCC.RA 与CRD.PA P A 与QR解析：选B 向量相等要求模相等，方向相同，因此AR 与RC 都是和PQ相等的向量．3．当向量a 与任一向量都平行时，向量a 一定是________．解析：由零向量的规定知，只有零向量与任一向量都平行．答案：零向量4．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD|＝________.解析：易知AC ⊥BD ，且∠ABD ＝30°，设AC 与BD 交于点O ，则AO ＝12AB ＝1.在Rt △ABO 中，易得|BO|＝3，则|BD|＝2|BO |＝2 3.答案：2 35.如图，O 是正方形ABCD 的中心．(1)写出与向量AB相等的向量；(2)写出与OA的模相等的向量．解：(1)与向量AB相等的向量是DC ；(2)与OA 的模相等的向量有：OB ，OC ，OD ，BO ，CO ，DO ，AO .。

高中数学向量基础知识

高中数学向量基础知识向量是高中数学中非常重要的一个概念，它不仅在几何学中有着广泛的应用，也贯穿了代数学的许多领域。

在学习向量的过程中，我们需要掌握一些基础知识，包括向量的定义、性质、表示法以及运算规律等内容。

下面将对高中数学向量的基础知识进行详细介绍。

1. 向量的定义在几何学中，向量是指既有大小又有方向的量。

向量通常用一个有向线段来表示，线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。

向量的大小也称为模或者长度，通常用符号||a|| 或者|a| 来表示。

向量a的起点记为A，终点记为B，则向量a可以表示为AB。

2. 向量的性质（1）平行向量：如果两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量是平行向量。

平行向量具有以下性质：- 平行向量的模相等。

即若向量a和向量b平行，则 |a| = |b|。

- 平行向量的方向相同或者相反。

（2）共线向量：如果两个向量共线，那么它们一定是平行向量。

（3）相等向量：如果两个向量的大小和方向都相同，那么这两个向量是相等的。

（4）零向量：模为0的向量称为零向量，通常用0来表示。

零向量的方向是任意的。

3. 向量的表示法向量可以用不同的表示方法，包括坐标表示、数量表示（即分解成数量与方向）、三角形法则等。

（1）坐标表示：平面直角坐标系中，一个向量可以表示为一个有序偶 (x, y)。

其中 x 和 y 分别表示向量在 x 轴和 y 轴上的投影长度，且向量的起点通常取为原点 O。

（2）数量表示：一个向量在平面上的位置可以用模为大小的有向线段表示，通常用数的对应关系表示，例如 a = x i + y j。

（3）三角形法则：将向量的起点放在另一个向量的终点，将这两个向量和连接起点和终点的线段形成一个闭合的三角形，两边的和为第三边。

4. 向量的运算规律（1）向量加法：向量的加法遵循平行四边形法则。

即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连接，那么这个连接线段的向量即为两个向量的和。

（2）数量乘法：向量与数的乘法是指一个数乘以一个向量的长度，得到一个新的向量。

《向量的实际背景与基本概念》

有向线段：在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段。记为 AB. 线段AB的长度也叫做有向线段AB. AB 的长度，记作：有向线段三要素：起点、方向、长度.
向量可以用有向线段表示，于是：向量AB 的大小，也就是向量AB 长度（或称模） AB 记作：零向量是有方向的但
a
c
任一组平行向量都可以移动到同一条直线上，因此，平行向量也叫做共线向量。
b
l C O B A
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC的各边中点， ∠BAC=90℃。（1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等的向量。（2）分别写出图中与向量 DE, FD 相等的向量。（3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线的向量。
既有大小，又有方向的量叫做向量（物理学中称为矢量）只有大小，没有方向的量（如年龄、身高长度等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量的区别与联系。
重要的是向量不可以比较大小，而数量可以比较大小；但是向量的模是非负数，所以能比较大小例3 请同学们思考“向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？错，有向线段只是向量的表示，并不是说向量就是有向线段 next
对平行向量的几点说明：
1、两个向量平行的所有情况
①
②
③
④
2、由于零向量的方向是任意的，所以我们规定零向量与任一向量平行既对于任间向量 a ，都有 a ∥0
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量记作：a = b 对相等向量的几点说明： 1、用有向线段表示的向量相等的所有情况：
在相等向量的定义下，任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定

向量的实际背景及概念

向量的实际背景及概念一、教材内容分析向量是近代数学中重要和基础的数学概念之一，它是沟通代数、几何、三角的桥梁,对更新和完善中学数学知识结构起着重要的作用。

向量集数与形于一身，有着极其丰富的实际背景，它的概念从大量的生活实例和丰富的物理素材中抽象出来，经过研究，建立起完整的知识体系后，向量又作为数学模型，广泛地运用于解决数学、物理学科及生活实际问题，因此它在整个高中数学中起到联系数形、跨越学科、承前启后的作用。

本节课是人教A版高中数学必修4第二章第一节，是平面向量的起始课，具有“统领全局”的作用。

本节课是概念课，但重要的不仅仅是向量的形式化定义及几个相关概念，还要让学生去体会如何用数学的观点刻画和研究现实事物，获得认识和研究数学新对象的基本思路和方法，进而提高提出问题、分析问题、解决问题的能力。

二、教学目标设置1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并能弄清平行向量、相等向量、共线向量的关系3.经历平面向量及其相关概念的形成过程，初步体会学习新概念的基本思路，同时学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高。

三、学生学情分析从学生已经学习过的知识中看，他们已经掌握了数的抽象过程、实数的绝对值（线段的长度）、单位长度、0和1的特殊性。

还有学生在物理学科中已经积累了足够多的向量模型，并且在三角函数线部分内容的学习中（必修4任意角的三角函数、三角函数的图象与性质）已经接触到有向线段的概念，从而为本节课的学习提供了知识准备。

从学生现有的学习能力看，学生已经具备了一定的抽象概括的能力，因此，可以尝试让学生从实际背景中抽象并概括出向量的概念。

学生在学习本节课内容过程中，对撇去实际背景后理解向量的概念，一时难以适应；向量的几何表示是向量概念的形象化（几何化），它是学生认识过程中的又一次飞跃，后继的向量运算，以及用向量方法解决几何问题，都是以此为基础。

【精品】高中数学必修4_平面向量的实际背景及基本概念_讲义知识点讲解+巩固练习(含答案)提高

平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的含义，理解向量的几何表示的意义和方法． 3．掌握向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会表示向量． 4．理解两个向量共线的含义．【要点梳理】要点一：向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量．2．数量：只有大小，没有方向的量（如年龄、身高、长度、面积、体积和质量等），称为数量。

要点诠释：（1）本书所学向量是自由向量，即只有大小和方向，而无特定的位置，这样的向量可以作任意平移。

（2）看一个量是否为向量，就要看它是否具备了大小和方向两个要素。

（3）向量与数量的区别：数量与数量之间可以比较大小，而向量与向量之间不能比较大小。

要点二：向量的表示法1．有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，有向线段包含三个要素：起点、方向、长度。

2．向量的表示方法：(1)字母表示法：如,,,a b c r r rL 等．(2)几何表示法：以A 为始点，B 为终点作有向线段AB u u u r（注意始点一定要写在终点的前面）。

如果用一条有向线段AB u u u r 表示向量，通常我们就说向量AB u u u r ．要点诠释：（1）用字母表示向量便于向量运算；（2）用有向线段来表示向量，显示了图形的直观性。

应该注意的是有向线段是向量的表示，不是说向量就是有向线段。

由于向量只含有大小和方向两个要素，用有向线段表示向量时，与它的始点的位置无关，即同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。

要点三：向量的有关概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度)．要点诠释：（1）向量r a 的模||0 ra 。

（2）向量不能比较大小，但||ra 是实数，可以比较大小。

2．零向量：长度为零的向量叫零向量．记作0r，它的方向是任意的。

3．单位向量：长度等于1个单位的向量．要点诠释：（1）在画单位向量时，长度1可以根据需要任意设定；（2）将一个向量除以它的模，得到的向量就是一个单位向量，并且它的方向与该向量相同。

数学高考大题向量知识点

数学高考大题向量知识点数学高考大题-向量知识点在数学高考中，向量是一个重要的知识点。

考察向量的题目涉及到向量的定义、运算、性质等方面。

下面我们将逐一介绍。

1. 向量的定义和表示方法向量是有大小和方向的量，可以用有序数对来表示。

如一个向量A 可以表示为(A1, A2)，其中A1表示向量在x轴上的分量，A2表示向量在y轴上的分量。

2. 向量的加法和减法向量的加法就是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。

向量的减法类似，只是将对应分量相减。

例如，向量A(A1, A2)和向量B(B1, B2)的和为(A1+B1, A2+B2)，差为(A1-B1, A2-B2)。

3. 向量的数量积和向量的夹角向量的数量积是向量与标量的乘积，结果是一个数。

向量A(A1, A2)和向量B(B1, B2)的数量积为A1*B1+A2*B2。

向量的夹角是指通过顶点连线形成的两个向量之间的夹角。

夹角的计算公式为cosθ=(A1*B1+A2*B2)/(|A|*|B|)，其中|A|表示向量A的模，|B|表示向量B的模。

4. 平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算是指将向量进行平移、旋转、缩放等操作。

平移是通过向量加减法来实现的。

旋转是通过变换向量的分量来实现的。

缩放是通过乘以一个标量来实现的。

5. 向量的线性相关与线性无关如果存在不全为0的实数k1，k2，使得k1*A+k2*B=0，则称向量A和B线性相关；否则，称向量A和B线性无关。

6. 向量的共线如果两个向量A和B的夹角为0度或180度，则称它们共线。

共线的向量可以用倍数关系表示，即向量A=k*B，其中k为倍数。

上述是数学高考中常见的向量知识点。

在解答相关题目时，应首先理解向量的定义和表示方法，熟练掌握向量的加减法和数量积的计算方法。

在进行平面向量的坐标运算时，要灵活运用平移、旋转和缩放的操作。

另外，对于线性相关与线性无关的判断，需要应用线性代数的知识，将向量组的系数矩阵进行行列变换，判断矩阵的秩是否等于向量个数，从而确定向量的线性相关性。

高考向量的知识点总结

高考向量的知识点总结高考数学中，向量是一个重要的知识点。

掌握好向量的相关概念和运算法则，对于解题和理解几何问题都有很大的帮助。

本文将从向量的基本概念、向量的运算以及向量的应用三个方面来总结高考向量的知识点。

一、向量的基本概念向量是指既有大小又有方向的量。

在直角坐标系中，向量通常表示为一个有序实数组(a₁, a₂, ..., aₙ)，它有n个分量，分别表示在坐标系的各个轴上的长度。

向量可以用箭头来表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

在解题中，我们常常涉及到向量的模、方向角等概念。

向量的模表示向量的长度，记作|a|，它满足|a|≥0；向量的方向角表示向量与某个坐标轴的夹角，通常用θ表示，θ∈[0, 2π]。

二、向量的运算1. 向量的加法和减法向量的加法是向量之间的运算，表示将两个向量按照顺序首尾相接，构成一个新的向量。

记作a + b。

向量的减法是向量之间的运算，表示将两个向量首尾相接的角位置互换，并构成一个新的向量。

记作 a - b。

2. 向量的数量积和向量积向量的数量积又称为点积，它表示两个向量的长度之积与它们夹角的余弦值的乘积。

记作a·b，计算公式为a·b = |a| |b| cosθ。

向量的数量积具有交换律和分配律，可以利用数量积求向量夹角和向量的投影等问题。

向量的向量积又称为叉积，它表示两个向量的长度之积与它们夹角的正弦值的乘积。

记作a×b，计算公式为a×b = |a| |b| sinθ n，其中n为垂直于a、b所在平面的单位向量。

向量的向量积具有反交换律和分配律，可以用来求平行四边形的面积和判断向量的共线性等问题。

三、向量的应用向量在几何问题中有广泛的应用。

例如，我们可以利用向量来求解平面几何中的相交、垂直等性质，通过向量的数量积和向量积求解线段和角的性质。

此外，在物理学中，向量可以表示物体的位移、速度、加速度等量。

在力学中，力可以用向量来表示，可以通过向量的运算求解合力、分解力等问题。

高考向量知识点

高考向量知识点高考是每个中国学生都将面对的一场考试，而向量是其中数学科目中的一个重要知识点。

向量的概念和计算方法是高考数学必备的基础知识之一，下面我将为大家介绍一些相关的内容。

1. 向量的基本概念向量是有方向和大小的量，它可以用有向线段来表示。

在二维空间中，向量通常用(a, b)表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

向量的大小可以用模长来表示，记作|AB|或|a|，它等于向量的长度。

2. 向量的加减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

根据向量的定义，将两个向量的对应分量相加即可得到新向量的对应分量。

例如，(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)。

向量的减法可以看作是加法的逆运算，即将被减向量取负后与减向量相加。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积，它表示两个向量的夹角和向量的模的乘积。

数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后相加。

设向量a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，它们的数量积为a·b = a1b1 + a2b2。

数量积的几何意义是向量a在向量b方向上的投影长度。

4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，它表示由两个向量所确定的平行四边形的面积和法向量的方向。

向量积的计算方法是通过两个向量的分量之间的运算得到一个新的向量。

设向量a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，它们的向量积为a×b = a1b2 - a2b1。

向量积的几何意义是垂直于向量a和b所在的平面的向量。

5. 向量的共线与垂直两个向量共线是指它们的方向相同或相反，可以表示为a = kb，其中k为实数。

而两个向量垂直是指它们的数量积等于零，即a·b = 0。

利用共线和垂直的性质可以解决许多与向量相关的几何问题。

以上是关于高考向量知识点的一些介绍，希望能对大家的备考有所帮助。

在应试过程中，掌握并熟练运用向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点，能够提高解题速度和准确性。

向量知识点总结及讲解

向量知识点总结及讲解一、向量的基本概念1. 向量的定义在数学中，向量是有大小和方向的量。

在几何学中，向量通常表示为有向线段。

在向量中，大小通常表示为向量的长度，方向表示为向量的箭头指向。

2. 向量的表示向量可以用坐标、分量或者表示向量的起点和终点等方式来表示。

在二维空间中，可以使用(x, y)来表示向量，在三维空间中，可以使用(x, y, z)来表示。

3. 向量的相等当两个向量的大小和方向都相同时，这两个向量称之为相等向量，可以表示为AB=CD。

4. 零向量零向量是指大小为0，方向任意的向量，可以表示为0。

5. 单位向量单位向量是指大小为1的向量，可以将任意非零向量除以其大小得到单位向量。

6. 平行向量两个向量的方向相同或者相反，则这两个向量称之为平行向量，可以表示为AB∥CD。

7. 垂直向量当两个向量的夹角为90°时，这两个向量称之为垂直向量，可以表示为AB⊥CD。

8. 自由向量自由向量是指一个向量沿着平行的方向平移以后仍然保持原有性质的向量。

9. 定位向量定位向量是指起点固定在坐标原点上的向量，可以用终点的坐标表示。

二、向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。

2. 向量减法向量减法是指将被减向量取反后与减向量进行向量加法，得到一个新的向量。

3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或者内积，是指将两个向量的对应分量相乘后相加得到一个数，可以表示为a·b。

4. 向量的数量积性质（1）交换律：a·b = b·a（2）结合律：a·(b+c) = a·b + a·c（3）分配律：a·(b+c) = a·b + a·c5. 向量的数量积应用向量的数量积有很多应用，例如计算向量的模、判定向量的垂直性、计算夹角等。

6. 向量的向量积向量的向量积，也称为叉积或者外积，是指将两个向量的对应分量相乘后得到一个新的向量。

2.1.1平面向量的实际背景及基本概念1

(6)共线的向量，若起点不同，则终点一定不同。
a= b
如图,D、E、F分别是△ABC各边上的中点，四边形BCMF是平行四边形，请分别写出：（1）与CM模相等且共线的向量；
（2）与ED相等的向量；
A
F
E
M
B
D
C
向量
概念长度（或模）概念向量符号表示零向量特殊向量单位向量几何：有向线段 AB 有向线段的起点终点（大写字母）：表示符号小写字母： a 相等关系平行（共线）
• 长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量， • 但是两个向量之间只有相等关系，没有大小之分，“对于向
）
）
(
)
量a
，b ，a ＞ b
，或
a
＜b
”这种说法是错误的.
1.若非零向量AB//CD ，那么AB//CD吗？ 2.若a//b ,则a与b的方向一定相同或相反吗？
相等向量一定是平行向量吗? 平行向量一定是相等向量吗? 向量相等向量平行
AB CD ,
所以在四边形ABCD中,AB∥CD且 AB=CD 所以四边形ABCD为平行四边形所以 AD BC =200(公里)
练习巩固：
判断正误 (1)零向量的方向是任意的. (√) (2)若 a 0, 则a 0. (X) (3)单位向量的模都相等. (√ )
(4)单位向量都相等.
小结
作业
必做:
习题2.1 A组、B组
选做:
在等腰梯形ABCD中,对角线AC,BD交于O,EF为过O 点且平行于AB的线段. 1.写出图中的各组共线向量 2.写出图中的各组相等向量

高二下册数学期中复习要点平面向量的实际背景及基本概念

高二下册数学期中复习要点平面向量的实际背景及基本概念
高二下册数学期中复习要点平面向量的实际背
景及基本概念
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的一门科学。

小编准备了高二下册数学期中复习要点，希望你喜欢。

1、数量与向量的区别：
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.
2.向量的表示方法：
①用有向线段表示;
②用字母a、b
(黑体，印刷用)等表示;
③用有向线段的起点与终点字母： ;
④向量的大小――长度称为向量的模，记作| |.
3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.
向量与有向线段的区别：
(1)向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量;
(2)有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
4、零向量、单位向量概念：。