高考数学一轮复习 三解函数的化简-求值-证明教案 理
高三数学一轮复习教学案：三角函数
三角函数1．了解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；理解任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切．2．掌握三角函数的公式（同角三角函数基本关系式、诱导公式、和、差角及倍角公式）及运用．3．能正确运用三角公式进行简单的三角函数式的化简、求值和条件等式及恒等式的证明．4．掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、正切函数的图象、并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象．会用“五点法”画出正弦函数、余弦函数和)(sin ϕω+=x A y 的简图，理解ϕω、A 、的物理意义．5．会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx ，arccosx ，arctanx 表示角．6．掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形，能利用计算器解决解三角形的计算问题．三角部分的知识是每年高考中必考的内容，近几年的高考对这部分知识的命题有如下特点：1．降低了对三角函数恒等变形的要求，加强了对三角函数图象和性质的考查．尤其是三角函数的最大值与最小值、周期．2．以小题为主．一般以选择题、填空题的形式出现，多数为基础题，难度属中档偏易．其次在解答题中多数是三角函数式的恒等变形，如运用三角公式进行化简、求值解决简单的综合题等．3．更加强调三角函数的工具性，加强了三角函数与其它知识的综合，如在解三角形、立体几何、平面解析几何中考查三角函数的知识．第1课时 任意角的三角函数一、角的概念的推广1．与角α终边相同的角的集合为 ．2．与角α终边互为反向延长线的角的集合为 ．3．轴线角（终边在坐标轴上的角）终边在x 轴上的角的集合为 ，终边在y 轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 ．4．象限角是指： ．5．区间角是指： ．6．弧度制的意义：圆周上弧长等于半径长的弧所对的圆心角的大小为1弧度的角，它将任意角的集合与实数集合之间建立了一一对应关系．7．弧度与角度互化：180º＝ 弧度，1º＝ 弧度，1弧度＝ ≈ º．8．弧长公式：l ＝ ；扇形面积公式：S ＝ .二、任意角的三角函数9．定义：设P(x, y)是角α终边上任意一点，且 |PO| ＝r ，则sin α＝ ； cos α＝ ；tan α＝ ；10．三角函数的符号与角所在象限的关系：1213的正弦线、余弦线、正切线．－ ＋ －+cos x , ＋ ＋ －－sin x ,－ ＋ ＋－tan x ,x y O xy O x y O2α,2α ,3α的终边所在位置.解： ∵α是第二象限的角，∴k·360°+90°＜α＜k·360°+180°（k ∈Z ）.（1）∵2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°（k ∈Z ），∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上.（2）∵k·180°+45°＜2α＜k·180°+90°（k ∈Z ），当k=2n （n ∈Z ）时，n·360°+45°＜2α＜n·360°+90°；当k=2n+1（n ∈Z ）时，n·360°+225°＜2α＜n·360°+270°.∴2α是第一或第三象限的角.（3）∵k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°（k ∈Z ），当k=3n （n ∈Z ）时，n·360°+30°＜3α＜n·360°+60°；当k=3n+1（n ∈Z ）时，n·360°+150°＜3α＜n·360°+180°；当k=3n+2（n ∈Z ）时，n·360°+270°＜3α＜n·360°+300°.∴3α是第一或第二或第四象限的角.变式训练1：已知α是第三象限角，问3α是哪个象限的角？解： ∵α是第三象限角，∴180°+k·360°＜α＜270°+k·360°（k ∈Z ），60°+k·120°＜3α＜90°+k·120°.①当k=3m(m ∈Z )时，可得60°+m·360°＜3α＜90°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第一象限.②当k=3m+1 (m ∈Z )时，可得180°+m·360°＜3α＜210°+m·360°（m ∈Z ).故3α的终边在第三象限.③当k=3m+2 （m ∈Z ）时，可得300°+m·360°＜3α＜330°+m·360°（m ∈Z ）.故3α的终边在第四象限.综上可知，3α是第一、第三或第四象限的角. 例2. 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围,并由此写出角α的集合:(1)sin α≥23;(2)cos α≤21-.解：（1）作直线y=23交单位圆于A 、B 两点，连结OA 、OB ，则OA 与OB 围成的区域即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为α|2k π+3π≤α≤2k π+32π，k ∈Z .（2）作直线x=21-交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC 与OD 围成的区域（图中阴影部分）即为角α终边的范围.故满足条件的角α的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≤≤+Z k k k ,342322|ππαππα.变式训练2：求下列函数的定义域：（1）y=1cos 2-x ；（2）y=lg(3-4sin 2x ）.解：（1）∵2cosx-1≥0，∴cosx≥21.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示).∴x ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-32,32ππππk k （k ∈Z ）.（2）∵3-4sin 2x ＞0,∴sin 2x ＜43,∴-23＜sinx ＜23.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如右图阴影),∴x ∈（k π-3π,k π+3π）（k ∈Z ).例3. 已知角α的终边在直线3x+4y=0上，求sin α,cos α,tan α的值.解：∵角α的终边在直线3x+4y=0上，∴在角α的终边上任取一点P(4t,-3t) (t≠0),则x=4t,y=-3t,r=5)3()4(2222=-+=+t t y x |t|,当t ＞0时，r=5t, sin α=5353-=-=t t r y ,cos α=5454==t t r x , tan α=4343-=-=t t x y ; 当t ＜0时，r=-5t,sin α=5353=--=t t r y , cos α=5454-=-=t t rx , tan α=4343-=-=t t x y . 综上可知，t ＞0时，sin α=53-,cos α=54,tan α=43-; t ＜0时，sin α=53,cos α=-54,tan α=43-.变式训练3：已知角θ的终边经过点P ()(0),sin m m m θ≠=且，试判断角θ所在的象限，并求cos tan θθ和的值．解：由题意，得0,4r m m ==≠∴= 故角θ是第二或第三象限角．当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======当m =,r =P 的坐标为(，cos tan x y r x θθ∴======例4. 已知一扇形中心角为α，所在圆半径为R ． (1) 若α3π=，R ＝2cm ，求扇形的弧长及该弧所在弓形面积；(2) 若扇形周长为一定值C(C>0)，当α为何值时，该扇形面积最大，并求此最大值．解：（1）设弧长为l ，弓形面积为S 弓。
高中数学_三角函数式的化简求值教学设计学情分析教材分析课后反思
5、学生犯错误的过程，及其他学生进行纠正的过程加深了学生对知识的理解，增强了应用的自如性，提高了学习的兴趣。
课题名称：三角函数式的化简求值 人教版·必修4
主讲人：学校：
教材分析
纵观近几年的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数考题，他们形式独特、背景鲜明、
知识回顾：第三章的公式
出示自主检测
展台展示第三章公式
口头展示自主检测答案及解题方法
教师读课标分析、学习目标，更深入了解要学习的内容，从高考题入手说明这一部分重要性
让学生回顾公式，归纳总结
让学生解决自主检测
引导学生展示并给予鼓励
培养学生掌握学习的方法，以达到事半功倍的效果。
培养学生自主探究的能力的能力，培养归纳总结的能力
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人： 学校：
课标分析
1、理解任意角的概念、弧度的意义、正确进行弧度与角度的换算；掌握任意角三角函数的定义、会利用单位圆中的三角函数线表示正弦、余弦、正切。
2、掌握三角函数公式的运用（即同角三角函数基本关系、诱导公式、和差及倍角公式）
3、能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简求值和恒等式证明。
自主检测
当堂检测
课题名称：三角函数式的化简求值人教版·必修4
主讲人： 学校：
课后反思
由于近几年三角函数知识和向量在高考题中呈现形式精彩纷呈，题目在高考题中属于中低档题，学生还是不易拿到分，三角函数的化简与求值要求学生会灵活运用，能准确地进行计算，所以选定本课题。
在教学中创新之处：
1、以学生为主体、教师为主导教学。
课题名称： 三角函数式的化简和求值 人教版·必修4
高三数学 三解函数式的化简,三角函数式的求值,三角恒等式的证明。三角形中的求值与证明知识精讲
高三数学三解函数式的化简，三角函数式的求值，三角恒等式的证明。
三角形中的求值与证明知识精讲一. 三角函数的化简1. 两角和与差的三角函数 cos()cos cos sin sin sin()sin cos cos sin tan()tan tan tan tan αβαβαβαβαβαβαβαβαβ±=+-±=±±=±-；；12. 二倍角、半角的正弦、余弦、正切 sin sin cos cos cos sin cos sin tan tan tan cos cos sin cos tancos cos cos sin sin cos 22221122212122122111122222αααααααααααααααααααααα==-=-=-=-=±+=±-=±-+=-=+；；；；；（右边的“”由所在象限决定±α2）。
3. 万能公式sin cos tan tan .αααα=+=-+==-21112212222tt t t t tt ；（其中）；4. 积化和差与和差化积[]sin cos sin()sin()αβαβαβ=++-12[][][]cos sin sin()sin()cos cos cos()cos()sin sin cos()cos()αβαβαβαβαβαβαβαβαβ=+--=++-=-+--121212；；；sin sin sincos sin sin cos sin cos cos cos cos cos cos sin sin .x y x y x yx y x y x yx y x y x yx y x y x y+=+--=+-+=+--=-+-222222222222；；；运用以上公式作三角恒等变换时，既要会“顺用”公式，也还要会“逆用”公式及一些基本的变形使用。
化简三角函数式的类型分为有条件的化简和无条件的化简，基本要求为： （1）所含的三角函数名称或角的种类尽可能少。
高考数学一轮复习 第五章 三角函数、解三角形 第5节 三角函数的化简与求值课件
12/11/2021
第二十五页，共三十七页。
(4)法一 由 cos α＝－ 55，π<α<32π，得 sin α＝－255，tan α＝2，又 tan β＝13， 于是 tan(α－β)＝1t＋antαan－αttaannββ＝1＋2－2×13 13＝1. 又由 π<α<32π，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<32π，因此 α－β＝54π.
＝ 6.
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角度(jiǎodù)2 给值求值
【例 2－2】 已知 α，β 都是锐角，cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，求 cos β 的值. 解 ∵α，β 都是锐角，cos α＝17，∴sin α＝ 1－cos2α＝473，又 0<α＋β<π， cos(α＋β)＝－1114， ∴sin(α＋β)＝ 1－cos2（α＋β）＝5143， 故 cos β＝cos[(α＋β)－α]
＝sin 2α－ 3cos 2α＝2sin2α－π3.
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考点(kǎo diǎn)二 三角函数式的求
值角度(jiǎodù)1 给角求值
多维探究(tànjiū)
【例 2－1】 求值： 1＋cos 20°[2cos 40°＋sin 10°(1＋ 3tan 10°)].
1－cos 1＋cos
22xx＝11＋－3535＝4.
答案(dáàn) 4
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5.方程 sin x＋ 3cos x＝1 在区间[0，2π]上的所有解的和等于________.
解析 sin x＋ 3cos x＝2sinx＋π3＝1，x∈[0，2π]，解得 x1＝π2，x2＝2π－π6，
2019-2020年高考数学一轮复习三角函数的化简-求值-证明学案理
2019-2020年高考数学一轮复习三角函数的化简-求值-证明学案理知识梳理：1、三角函数的化简，求值，证明，除直接就用同角三角函数关系基本关系、诱导公式、和差倍差公式外，还要注意公式的变形应用。
（1）、1+ （2）、1- （3）、1+ ; 1- ; （4）、= ，= （5）ta===2、注意常用的角的变形 （1）、（+）-=； （2）、（-）+ ； （3）、（+）+（-）=2 ；（4）、（+）-（-）=2 （5）、-）--）=3、注意公式中“1”的妙用 +=1 1=- 1=+ 二、题型探究探究一：三角函数的求值问题例1: （xx 广东卷 理科）（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且，（1）求的值； （2）若，，求。
例2: tan()=, tan=,求 tan()探究二:三角函数式的化简问题 例3：化简:探究三：三角恒等 式的证明 例4：求证：=sin四、反思感悟五、课时作业1、已知，则的值等于（ ）A 、B 、C 、D 、 2、已知、是方程的两根，且，则等于 （ ）A 、B 、C 、或D 、或 3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42xxx x ππ+---为（ ）A 、B 、C 、D 、 4、 ( )(A) (B) (C) 1 (D)5、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若，则的所有可能值为（ ）（A ）1 （B ） （C ） （D ）6、设a 为第四象限的角，若 ，则tan 2a =______________.7、已知tan =2，则tan α的值为－，tan 的值为______________8、已知，则的值为______________。
9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则＝＿＿. 10、求证：21tan 1sin 2.12sin 1tan 22αααα++=--11、已知2sin 22sin ()1tan 42k ααππαα+=<<+，试用表示的值。
高中数学教案三角函数式的化简与求值
高中数学教案三角函数式的化简与求值三角函数式的化简与求值知识网络三角函数式化简与求值的理论依据—三角公式体系，主要由两个系列组成：三角函数坐标定义的推论系列；公式的推论系列一、高考考点以三角求值为重点，同时对三角式的化简具有较高要求，主要考查：1、同角三角函数基本关系式与诱导公式的应用.运用诱导公式的“准确”；运用同角公式的“灵活”：正用、反用、变用。
2、两角和与差的三角函数与倍角公式的应用：正用、反用；有关公式的联合运用，主要应用于无附加条件的三角式的化简或求值（以选择题、填空题为主）；带有附加条件的三角式的求值问题（以解答题为主）；比较简单的三角恒等式的证明（多为解答题，不同某一小题）。
3、等价转化思想以及三角变换的基本技能。
二、知识要点（一）三角函数坐标定义的推论1、三角函数值的符号2、特殊角的三角函数值3、同角三角函数的基本关系式（同角公式）（1）课本中的公式：（2）同角公式“全家福”①平方关系： .②商数关系： .③倒数关系：4、诱导公式：（1）认知与记忆：对使三角函数有定义的任意角①k·360°＋（k∈Z），－，180°± ，360°－（共性：偶数×90°± 形式）的三角函数值，等于的同名函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号；②90°±，270°± （共性：奇数×90°± ）的三角函数值，等于的相应余函数值，前面放上一个把看作锐角时原函数值的符号。
①②两类诱导公式的记忆：奇变偶不变，符号看象限。
（2）诱导公式的引申；；.（二）两角和与差的三角函数1、两角和的三角函数两角差的三角函数令＝2、倍角公式；＝＝；3、倍角公式的推论推论1（降幂公式）：；； .推论2（万能公式）：； .推论3（半角公式）：；； .其中根号的符号由所在的象限决定.三、经典例题例1、填空：（1）已知的取值范围为（2）已知的取值范围为分析：（1）从已知条件分析与转化入手①又②∴由①、②得，∴应填（2）首先致力于左右两边的靠拢：左边＝①右边＝②∴由左边＝右边得，∴应填点评：解本题，极易出现的错解是由①、②得，这种由忽略分子而产生的错误很值得大家吸取经验教训.例2.化简或求值：（1）（2）分析：（1）注意到分母为单一的非特殊角的余弦，需设法在分子变换出cos20°.为此，将10°变为30°－20°后运用差角公式。
最新高三教案-7三角函数的化简与证明 精品
三角函数的化简与证明一、知识点1、化简（1）化简目标：项数习量少，次数尽量低，尽量不含分母和根号（2）化简三种基本类型：1） 根式形式的三角函数式化简2） 多项式形式的三角函数式化简3） 分式形式的三角函数式化简（3）化简基本方法：用公式；异角化同角；异名化同名；化切割为弦；特殊值与特殊角的三角函数值互化。
2、证明及其基本方法（1）化繁为简法（2）左右归一法（3）变更命题法（4）条件等式的证明关键在于分析已知条件与求证结论之间的区别与联系。
3、无论是化简还是证明都要注意：（1）角度的特点（2）函数名的特点（3）化切为弦是常用手段（4）升降幂公式的灵活应用二、范例解析例1：（1）已知α为第四象限角，化简：ααααααcos 1cos 1sin sin 1sin 1cos +-++- （2）已知 360270<<α，化简α2cos 21212121++ 解：（1）因为α为第四象限角 所以原式=αααααα2222cos 1)cos 1(sin sin 1)sin 1(cos --+-- ()ααααααααααsin cos cos 1sin 1sin cos 1sin cos sin 1cos -=---=--+-= （2） 360270<<α，02cos ,0cos <>∴αα所以原式=2cos 2cos 2cos 1cos 212122cos 1212122ααααα-==+=+=++ 思路点拨：根式形式的三角函数式化简常采用有理化如（1）或升幂公式如（2） 例2、讨论函数ααααcos cos )cos(2cos )22cos(21)(2x x x x f --+-=的值域、周期性、奇偶性及单调性解：ααααcos cos )cos(2cos ]1)(cos 2[21)(22x x x x f --+--==αααα22cos cos cos )cos(221)(cos +----x x x =21cos ]cos cos 2))[cos(cos(2-+---ααααx x x =21cos ]cos cos sin )[sin cos(2-+--ααααx x x =ααα2cos 21)]cos()[cos(++--x x x 2cos 21-= ∴)(x f 的值域为]21,21[-，周期为π，是偶函数， 当)](2,[Z k k k x ∈+∈πππ时)(x f 是增函数，当)](,2[Z k k k x ∈-∈πππ时)(x f 是减函数。
高考数学第一轮复习 各个知识点攻破4-4 三角函数式的求值 化简与证明课件 新人教B版
[ 解]
m· n＝ 3sinAcosB ＋ 3cosA sinB ＝ 3sin(A ＋ B)
＝ 3sin(π－ C) ＝ 3sinC ，又 cos(A ＋ B) ＝ cos(π－ C) ＝－ cosC， 故 3sinC＝1－cosC， 即 3sinC＋cosC＝1， 即 2sin(C π π 1 π π 7π ＋6)＝1，即 sin(6)＝2，由于6<C＋6< 6 ，故只有 C＋ π 5π 2π 6＝ 6 ，即 C＝ 3 .
• 答案：A
• 答案：A
• 3．A、B、C为△ABC的内角，且cosA＝， sinB＝ ，则sin(A＋B)的值为 ( )
3 4 π π 解析：∵cosA＝ .∴sinA＝ ，∴ <A< 5 5 4 2 5 π 5π ∵sinB ＝ ，故 0<B< ， ( 当 <B<π 时 A ＋B>π 矛 13 6 6 12 盾)．∴cosB＝ 13. 4 12 3 5 ∴sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosA sinB＝5×13＋5×13 63 ＝65.故选 D.
• (3)给值求角的关键是先求出该角的某一三 角函数值，其次判断该角对应函数的单调 区间，最后求出角．
• 3.证明问题 • 它包括无条件的恒等式和附加条件恒等式 的证明． • (1)无条件恒等式的证明．证明时要认真分 析等式两边三角函数式的特点，角度、函 数、结构的差异，一般由繁的一边往简的 一边证，逐步消除差异，最后达到统一， 对于较难的题目，可以用分析法帮助思考， 或分析法和综合法联用．
[解]
2cos(30° －20° )－ sin20° (1)原式＝ sin70°
3cos20° ＋ sin20° － sin20° 3cos20° ＝ ＝ ＝ 3. sin70° sin70° π π π (2)原式＝tan[(6－θ)＋(6＋θ)][1－tan(6－θ) π π π tan( ＋θ)]＋ 3tan( －θ)tan( ＋θ)＝ 3. 6 6 6
最新高三教案-7三角函数式的化简与证明 精品
tan x, cos 2 x, sin 2 x ,
1 sin x cos x (2)化简 1 sin x cos x
例4、（1）化简
1 2 cos x 2 cos x 2
4 2
2 t an( x) sin ( x) 4 4
2
P173考例3
23 cos 4 x （2）求证： tan x cot x 1 cos 4 x P173考例4
2 2
思路点拨：要据角度x与4x的特点和函数名的 特点，可采用化切为弦，并用倍角公式证明。
例5、
设 sin m sin2 m 0, k k z
1 m 求证： tan tan 1 m P175考例5变式
,2 结论等式中的角有： , 联系： ，2
四、作业：
2 tan 改成 tan ） P176 基础强化全部（第4题 2
2
能力提高：7、预测。
1 1 2 2
1 1 cos 2 2 2
例2、讨论函数
可先看看考例2
1 2 f ( x) cos( 2 x 2 ) cos 2 cos( x ) cos x cos 2
的值域、周期性、奇偶性及单调性
思路点拨：注意角度 2 x 2 与 x 关系， 先化简整理。
ab cos 2 x 练习：a,b为何值时，函数 y a b sin x 2
2
的值为2？
例3 （1） 化简：
P175考例3变式 1 3 tan x 3 tan x 2 cos 2 x sin 2 x 1 cos 2 x 4 sin 2 x 4
2019届一轮复习人教A版 三角函数的求值、化简、证明(理) 学案
高考第一轮复习——三角函数的求值、化简、证明一、学习目标：1. 理解任意角的三角函数定义，及三角函数线定义。
理解同角三角函数的基本关系（平方关系、倒数关系、商的关系）2. 掌握弧度制与角度制的转换及弧度制下的扇形面积、弧长公式。
3. 掌握三角函数的诱导公式、和差角、倍半角、和差化积、积化和差等公式（半角公式及和差化积、积化和差公式不要求记忆）及其简单的三角恒等变换（求值、化简、证明）二、重点、难点：重点：三角函数的求值、化简、证明。
难点：诱导公式、和差角、倍半角公式的应用。
知识要点解析： （一）任意角与弧度制1. 角的概念推广：正角、负角、零角。
（按角的始边的旋转方向分） （1（2）轴线角：角的终边在坐标轴上的角叫轴线角角的终边在x 轴上的角的集合：}Z k ,k x |x {S ∈π==角的终边在y 轴上的角的集合：}Z k ,2k x |x {S ∈π+π== 角的终边在坐标轴上的角的集合：}Z k ,k 21x |x {S ∈π== （3）终边相同的角的集合：所有与角α有相同终边的角的集合表示为： },2|{z k k S ∈+==απββ 2. 弧度制：（1）角度制与弧度制的转换：角度化弧度：rad 01745.0rad 1801≈π=︒ 弧度化角度：'185730.57)180(rad 1︒≈︒≈︒π= （2）弧长与扇形面积公式：2||2121,||r lr S r l αα===，（α为扇形圆心角，r 为扇形半径）（二）任意角的三角函数定义、诱导公式（1）任意角三角函数定义：设α是任意角，角的终边与单位圆交于P （u ，v ）则：αααtan ,sin ,cos ===uvv u注：（i ）若点P （x ，y ）是角α的终边上一点，则2222cos ,sin yx x yx y +=+=αα)0(,tan ≠=x xyα （ii ）角α在第一、二象限时，0sin >α，角α在第一、四象限时，0cos >α 角α在第一、三象限时，0tan >α（2）诱导公式：掌握απ±，α-，απαπαπ±±±23,2,2k 的诱导公式。
高三数学高考三角函数式的化简与求值教案
难点16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=1312,sin(α+β)=－53,求sin2α的值_________.● 案例探究［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80°=21 (1－cos40°)+21(1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21cos160°+3sin20°cos(60°+20°)=1－21cos40°+21(cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°)=1－21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－23sin 220°=1－43cos40°－43(1－cos40°)=41解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则x +y =1+1－3sin60°=21，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100°=－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y =41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=41.［例2］ 设关于x 的函数y =2cos 2x －2a cos x －(2a +1)的最小值为f (a )，试确定满足f (a )=21的a 值，并对此时的a 值求y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由y =2(cos x －2a )2－2242+-a a 及cos x ∈［－1，1］得：f (a )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<-----≤)2( 41)22( 122)2(12a a a a a a∵f (a )=21,∴1－4a =21⇒a =81∉［2,+∞) 故－22a －2a －1=21，解得：a =－1，此时，y =2(cos x +21)2+21，当cos x =1时，即x =2k π，k ∈Z ，y max =5.［例3］已知函数f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求f (x )的最小值及取得最小值时相应的x 的值； (3)若当x ∈［12π，127π］时，f (x )的反函数为f －1(x )，求f -－1(1)的值. 命题意图：本题主要考查三角公式、周期、最值、反函数等知识，还考查计算变形能力，综合运用知识的能力，属★★★★★级题目.知识依托：熟知三角函数公式以及三角函数的性质、反函数等知识. 错解分析：在求f-－1(1)的值时易走弯路.技巧与方法：等价转化，逆向思维. 解：(1)f (x )=2cos x sin(x +3π)－3sin 2x +sin x cos x=2cos x (sin x cos3π+cos x sin3π)－3sin 2x +sin x cos x=2sin x cos x +3cos2x =2sin(2x +3π)∴f (x )的最小正周期T =π(2)当2x +3π=2k π－2π，即x =k π－125π(k ∈Z )时，f (x )取得最小值－2. (3)令2sin(2x +3π)=1，又x ∈［27,2ππ］,∴2x +3π∈［3π,23π］,∴2x +3π=65π，则x =4π，故f-－1(1)=4π.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：1.求值问题的基本类型：1°给角求值，2°给值求值，3°给式求值，4°求函数式的最值或值域，5°化简求值.2.技巧与方法：1°要寻求角与角关系的特殊性，化非特角为特殊角，熟练准确地应用公式. 2°注意切割化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用.3°对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，很难入手的问题，可利用分析法.4°求最值问题，常用配方法、换元法来解决. ●歼灭难点训练 一、选择题1.(★★★★★)已知方程x 2+4ax +3a +1=0(a ＞1)的两根均tan α、tan β，且α，β∈ (－2,2ππ)，则tan2βα+的值是( ) A.21B.－2C.34D.21或－2 二、填空题2.(★★★★)已知sin α=53，α∈(2π，π)，tan(π－β)= 21，则tan(α－2β)=_________.3.(★★★★★)设α∈(43,4ππ)，β∈(0，4π)，cos(α－4π)=53，sin(43π+β)=135，则sin(α+β)=_________.三、解答题 4.不查表求值:.10cos 1)370tan 31(100sin 130sin 2︒+︒+︒+︒5.已知cos(4π+x )=53，(1217π＜x ＜47π)，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.6.(★★★★★)已知α－β=38π，且α≠k π(k ∈Z ).求)44(sin 42sin 2csc )cos(12βπαααπ-----的最大值及最大值时的条件.7.(★★★★★)如右图，扇形OAB 的半径为1，中心角60°，四边形PQRS 是扇形的内接矩形，当其面积最大时，求点P 的位置，并求此最大面积.8.(★★★★★)已知cos α+sin β=3，sin α+cos β的取值范围是D ，x ∈D ，求函数y =10432log 21++x x 的最小值，并求取得最小值时x的值.参考答案难点磁场解法一：∵2π＜β＜α＜43π,∴0＜α－β＜4π.π＜α+β＜43π, ∴sin(α－β)=.54)(sin 1)cos(,135)(cos 122-=+--=+=--βαβαβα∴sin2α=sin ［(α－β)+(α+β)］=sin(α－β)cos(α+β)+cos(α－β)sin(α+β).6556)53(1312)54(135-=-⨯+-⨯=解法二：∵sin(α－β)=135,cos(α+β)=－54,∴sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α－β)=－6572sin2α－sin2β=2cos(α+β)sin(α－β)=－6540∴sin2α=6556)65406572(21-=--歼灭难点训练一、1.解析：∵a ＞1，tan α+tan β=－4a ＜0. tan α+tan β=3a +1＞0,又α、β∈(－2π,2π)∴α、β∈(－2π,θ),则2βα+∈(－2π,0),又tan(α+β)=342tan 12tan2)tan(,34)13(14tan tan 1tan tan 2=β+α-β+α=β+α=+--=βα-β+α又a a , 整理得2tan 222tan 32-β+α+β+α=0.解得tan 2β+α=－2. 答案：B2.解析：∵sin α=53,α∈(2π,π),∴cos α=－54 则tan α=－43,又tan(π－β)=21可得tan β=－21,247)34()43(1)34(432tan tan 1tan tan )2tan(.34)21(1)21(2tan 1tan 22tan 222=-⨯-+---=β⋅α+β-α=β-α-=---⨯=β-β=β答案：2473.解析：α∈(43,4ππ),α－4π∈(0, 2π),又cos(α－4π)=53. 6556)sin(.655613554)1312(53)43sin()4sin()43cos()4cos()]43()4cos[(]2)43()4sin[()sin(.1312)43cos(,135)43sin().,43(43).4,0(,54)4sin(=β+α=⨯+-⨯-=β+π⋅π-α+β+π⋅π-α-=β+π+π-α-=π-β+π+π-α=β+α∴-=β+π∴=β+πππ∈β+π∴π∈β=π-α∴即 答案：6556 三、4.答案：2752853)54(257)4cos()4sin(2sin sin cos cos )cos (sin sin 2cos 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 54)4sin(,2435,471217.257)4(2cos 2sin ,53)4cos(:.522=-⨯=++=-+=-+=-+-=+∴<+<∴<<=+-=∴=+x x x xx xx x x x x x x x x x x x x x x x ππππππππππ又解 2)322sin(22)21()322sin(4.32243824,3822cos 2sin 42)2sin 2(sin 2)2sin 2121(42cos 2cos 22sin 2)22cos(142sin 1)cos 1(2sin )44(sin 42sin 2csc )cos(1:.62222-π-α-=--⨯π-α=∴π-α=π-α=β-α∴π=β-α-β-αβ+α=-β+α=β--αα⋅α=β-π--α-α+α=β-π-α-αα-π-=t t 令解π≠αk （k ∈Z ）,322322π-π≠π-α∴k （k ∈Z ） ∴当,22322π-π=π-αk 即34π+π=αk （k ∈Z ）时,)322sin(π-α的最小值为－1.7.解：以OA 为x 轴.O 为原点，建立平面直角坐标系，并设P 的坐标为(cos θ,sin θ)，则｜PS ｜=sin θ.直线OB 的方程为y =3x ，直线PQ 的方程为y =sin θ.联立解之得Q (33sin θ；sin θ)，所以｜PQ ｜=cos θ－33sin θ. 于是S PQRS =sin θ(cos θ－33sin θ)=33(3sin θcos θ－sin 2θ)=33(23sin2θ－22cos 1θ-)=33(23sin2θ+21cos2θ－21)= 33sin(2θ+6π)－63.∵0＜θ＜3π,∴6π＜2θ+6π＜65π.∴21＜sin(2θ+6π)≤1.∴sin(2θ+6π)=1时，PQRS 面积最大，且最大面积是63，此时，θ=6π，点P 为的中点，P (21,23).8.解：设u =sin α+cos β.则u 2+(3)2=(sin α+cos β)2+(cos α+sin β)2=2+2sin(α+β)≤4.∴u 2≤1,－1≤u ≤1.即D =［－1,1］,设t =32+x ,∵－1≤x ≤1,∴1≤t ≤5.x =232-t ..21,232,2,258log 2log 82log ,0log .82,2,42.8224142142104325.05.05.0min 5.0max 2-==+==-==∴>=====≤+=+=++=∴x x t y M M y M t t t tt t t x x M 此时时时是减函数在时即当且仅当。
高考数学统考一轮复习微专题十二数学运算_三角函数式的化简与求值学案文含解析新人教版
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- 1 - 微专题(十二) 数学运算——三角函数式的化简与求值
数学运算能让学生进一步发展数学运算能力；能有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．
〖例〗 〖2021·湖北宜昌一中检测〗已知α是第三象限角，且cos α＝－
1010. (1)求tan α的值；
(2)化简并求cos (π－α)2sin (－α)＋sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α的值． 〖解 析〗(1)∵α是第三象限角，cos α＝－
1010， ∴sin α＝－
1－cos 2α＝－31010，∴tan α＝sin αcos α＝3. (2)原式＝－cos α－2sin α＋cos α＝cos α2sin α－cos α＝12tan α－1，由(1)知tan α＝3，∴原式＝12×3－1＝15
. 名师点评
三角函数运算是重要的“数学运算”，在正确分析条件和所求的基础上明确运算的方向，灵活地选用三角函数公式，完成三角函数运算．
〖变式练〗 〖2021·安徽“皖南八校”联考〗已知sin α＝13
，则sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝( )
A ．－23 B. 23
C ．－13
D ．0
微专题(十二)
变式练
〖解 析〗∵sin(π＋α)＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－sin α，∴sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭
⎫3π2－α＝－sin α－sin α＝－2sin α＝－23
.故选A. 〖答 案〗A。
高三数学一轮复习 第六章 第6讲 三角函数的求值、化简与证明课件 理 新人教A
由
tanB＝2co3sB得csoinsBB＝2co3sB，∴sinB＝
3 2.
∵角 B 是锐角，∴B＝60°.
切化弦和边角统一都是基本方法．关于三角形中的 三角函数问题，边角的统一是问题的切入点，等式右边的分子分 母均为 a，b，c 的二次齐次式，所以考虑使用余弦定理．
【互动探究】
2.23－－csoins27100°°＝( C )
恒等变换(包括导出积化和差、 角、复(半)角化单角、异次化同次、 和差化积、半角公式，但对这 切函数化弦函数等，化简的结果
三组公式不要求记忆).
必须是最简形式.
1．转化思想是本节三角变换的基本思想，包括角的变换、 函数名的变换、和积变换、次数变换等．三角公式中次数和角 的关系：次降角升；次升角降．常用的升次公式有：1＋sin2α ＝(sinα＋cosα)2；1－sin2α＝(sinα－cosα)2；1＋cos2α＝2cos2α； 1－cos2α＝2sin2α.
1
2
A.2
B. 2
C．2
3 D. 2
考点3 三角函数中的最值问题
例3：已知函数f(x)＝4sin2 π4＋x －2 3 cos2x－1且给定条件 p：“π4≤x≤π2”．
(1)求f(x)的最大值及最小值； (2)若又给条件q：“|f(x)－m|<2”且p是q的充分条件，求实数 m的取值范围．
•1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 •2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 •3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 •4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 •5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 •6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2022年1月2022/1/292022/1/292022/1/291/29/2022 •7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2022/1/292022/1/29January 29, 2022 •8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2022/1/292022/1/292022/1/292022/1/29
高考数学一轮复习 第3章 三角函数、解三角形 第3讲 第2课时 三角函数式的化简与求值课件
42，等式两边平方，可得 1－sin 2α＝18，所以 sin 2α＝78，故选 C．
12/11/2021
(3)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，
∴cos α＝ 1－sin2α＝255，
cos (α－β)＝
1－sin2α－β＝3
10 10
∴sin β＝sin [α－(α－β)]
12/11/2021
解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)
原式＝1－c2os
2α 1－cos ·2
2β＋1＋c2os
2α 1＋cos ·2
2β－12cos
2α·cos
2β
＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)
12/11/2021
(2)∵sin (A－B)＝1＋2cos (B＋C)·sin (A＋C)， ∴sin Acos B－cos Asin B＝1－2cos Asin B， ∴sin Acos B＋cos Asin B＝1，即 sin (A＋B)＝1， ∴sin C＝1，又 0<C<π，∴C＝π2， ∴△ABC 为直角三角形，故选 D． [误区警示] 本题(1)极易求得两解，问题出在∠B 上，因为由 sin B＝153，可得两 个 B 值，考虑 A 的因素，只有一个适合，因此 sin C 只有一个结果．
15°sin 15°sin
8° 8°
＝csoins
15°cos 15°cos
88°°＝tan
15°＝tan
(45°－30°)
＝1t＋ant4a5n°4－5°ttaann3300°°＝11－＋
【高考A计划】高考数学第一轮复习 第28课时 三角函数式的化简与证明学案
1【高考A 计划】2014高考数学第一轮复习 第28课时 三角函数式的化简与证明学案 新人教A 版一．课题：三角函数式的化简与证明二．教学目标：能正确地运用三角公式进行三角函数式的化简与恒等式的证明．三．教学重点：熟练地运用三角公式进行化简与证明．四．教学过程：（一）主要知识：1．三角函数式的化简要求：通过对三角函数式的恒等变形（或结合给定条件而进行的恒等变形），使最后所得到的结果中：①所含函数和角的名类或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少；④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值．2．三角恒等式的证明要求：利用已知三角公式通过恒等变形（或结合给定条件运用三角公式），论证所给等式左、右相等，要求过程清晰、步骤完整．（二）主要方法：1．三角函数式的化简：三角函数式的化简常用方法是：异名函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．2．三角恒等式的证明：三角恒等式包括有条件的恒等式和无条件的恒等式．①无条件的等式证明的基本方法是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端的“异”化为“同”；②有条件的等式常用方法有：代入法、消去法、综合法、分析法等．（三）例题分析：例1．化简：（1）23sin12(4cos 122)--； （2）(cot tan )(1tan tan )222αααα-+⋅； （3(1sin cos )(sin cos ))θθθθθπ++-<<． 解：（1）原式213sin12cos12)3cos12222sin12cos12(2cos 121)sin24cos 24--==- 60)1sin 482-==- （2）原式1cos 1cos sin 1cos ()(1)sin sin cos sin αααααααα+--=-+⋅ 2cos 1cos 1(1)2cot (11)2csc sin cos cos ααααααα-=+=+-=．2 （3）原式2(2cos 2cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=2cos (cos sin )(sin cos )θθθθθ+-=222cos (sin cos )cos (cos )22222|cos ||cos |22θθθθθθθ--== ∵0θπ<<，∴022<<，∴|cos |cos 22=， ∴原式cos θ=-．例3．证明：（1）222(3cos 4)tan cot 1cos 4x x x x ++=-；（2）sin(2)sin 2cos()sin sin A B B A B A A+-+=． 证：（1）左边22442222222222sin cos sin cos (sin cos )2sin cos 1cos sin sin cos sin 24x x x x x x x x x x x x x ++-=+== 22222111sin 21sin 284sin 244cos 222111cos 41cos 4sin 2(1cos 4)48x x x x x x x x ---+====--- 42(1cos 4)2(3cos 4)1cos 41cos 4x x x x +++===--右边，∴得证． 说明：由等式两边的差异知：若选择“从左证到右”，必定要“切化弦”；若“从右证到左”，必定要用倍角公式．（2）左边sin[()]2cos()sin sin A B B A B A A ++-+=sin()cos cos()sin sin A B A A B A A+-+= sin[()]sin sin sin A B A B A A+-===右边，∴得证．（四）巩固练习：1．1sin 4cos 41sin 4cos 4αααα++=+- （ B ） ()A cot α ()B cot 2α ()C tan α ()D tan 2a2．已知()f x =53(,)42ππα∈时，式子(sin 2)(sin 2)f f αα--可化简为 （ D ） ()A 2sin α ()B 2cos α- ()C 2sin α- ()D 2cos α 3．222cos 12tan()sin ()44αππαα-=-+ 1 ．五．课后作业：《高考A 计划》考点28，智能训练7，8，9，11，12，14，15．。
(山东专用)版高考数学一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 第三讲 第2课时 三角函数式的化简与求值
第二课时 三角函数式的化简与求值KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU 考点突破·互动探究考点一 三角函数式的化简——师生共研例1 化简下列各式：(1)sin α＋β－2sin αcos β2sin αsin β＋cos α＋β； (2)11－tan θ－11＋tan θ； (3)tan π4＋α·cos 2α2cos 2π4－α.[解析] (1)原式 ＝sin α·cos β＋cos α·sin β－2sin α·cos β2sin α·sin β＋cos α·cos β－sin α·sin β＝－sin α·cos β－cos α·sin βcos α·cos β＋sin α·sin β＝－sin α－βcos α－β＝－tan (α－β)．(2)原式＝1＋tan θ－1－tan θ1－tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝tan 2θ. (3)原式＝sinπ4＋α·cos 2α2sin 2π4＋αcos π4＋α＝cos 2α2sin π4＋αcos π4＋α＝cos 2αsin π2＋2α＝cos 2αcos 2α＝1.名师点拨 ☞(1)此类化简题，对公式既要会正用，又要会逆用，甚至变形应用． (2)应用公式时特别注意角不要化错，函数名称、符号一定要把握准确． (3)对a sin x ＋b cos x 化简时，辅助角φ的值如何求要清楚．〔变式训练1〕(1)化简sin (x ＋π3)＋2sin (x －π3)－3cos (2π3－x )＝__0__.(2)(2020·开封模拟)化简：sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝__12__.[解析] (1)解法一：原式＝sin x cos π3＋cos x sin π3＋2sin x cos π3－2cos x sinπ3－3cos2π3cos x －3sin 2π3sin x ＝(cos π3＋2cos π3－3sin 2π3)sin x ＋(sin π3－2sin π3－3cos 2π3)cos x ＝(12＋1－3×32)sin x ＋(32－3＋3×12)cos x ＝0.解法二：原式＝sin (x ＋π3)－3cos [π－(x ＋π3)]＋2sin (x －π3)＝2sin (x ＋π3＋π3)＋2sin (x －π3)＝2sin (x ＋23π)＋2sin (x －π3)＝2sin [π＋(x －π3)]＋2sin (x －π3)＝－2sin (x －π3)＋2sin (x －π3)＝0.(2)解法一：(从“角”入手，化复角为单角)原式＝sin 2αsin 2β＋cos 2αcos 2β－12(2cos 2α－1)(2cos 2β－1)＝sin 2αsin 2β－cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β－12＝sin 2αsin 2β＋cos 2αsin 2β＋cos 2β－12＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12.解法二：(从“名”入手，化异名为同名)原式＝sin 2αsin 2β＋(1－sin 2α)cos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－sin 2αcos 2β－12cos 2αcos 2β＝cos 2β－cos 2β(sin 2α＋12cos 2α)＝1＋cos 2β2－12cos 2β＝12. 解法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式＝1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－12cos 2α·cos 2β＝14(1＋cos 2αcos 2β－cos 2α－cos 2β＋1＋cos 2αcos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－12cos 2αcos 2β＝14＋14＝12. 解法四：从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方原式＝(sin α·sin β－cos α·cos β)2＋2sin α·sin β·cos α·cos β－12cos2α·cos 2β＝cos 2(α＋β)＋12sin 2α·sin 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2(α＋β)－12·cos (2α＋2β)＝cos 2(α＋β)－12·[2cos 2(α＋β)－1]＝12.考点二 求值问题——多维探究角度1 给角求值例2 求下列各式的值． (1)sin 7°＋cos 15°sin 8°cos 7°－sin 15°sin 8°； (2)3tan 12°－3sin 12°4cos 212°－2. [解析] (1)原式＝sin 15°－8°＋cos 15°sin 8°cos 15°－8°－sin 15°sin 8°＝sin 15°cos 8°cos 15°cos 8°＝tan 15°＝tan (45°－30°)＝tan 45°－tan 30°1＋tan 45°tan 30°＝1－331＋33＝3－13＋1＝2－ 3. (2)3tan 12°－3sin 12°4cos 212°－2＝3sin 12°－3cos 12°2cos 24°sin 12°cos12°＝23sin 12°－60°12sin 48°＝－4 3.名师点拨 ☞给角求值问题的解题思路给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意： (1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分； (2)观察名，尽可能使函数统一名称； (3)观察结构，利用公式，整体化简．角度2 给值求值例 3 (2020·济南调研)已知sin (α＋π6)－cos α＝13，则cos (2α－π3)＝( D )A ．－518B ．518 C ．－79D ．79[解析] 由sin (α＋π6)－cos α＝13，得32sin α＋12cos α－cos α＝sin (α－π6)＝13， 得cos (2α－π3)＝1－2sin 2(α－π6)＝1－29＝79，故选D ．名师点拨 ☞给值求值问题的解题关键给值求值问题的解题关键在于“变角”，把所求角用含已知角的式子表示，求解时一定要注意角的范围的讨论．如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，π4＋α＝π2－(π4－α)等．角度3 给值求角例4 已知A ，B 均为钝角，sin 2A 2＋cos (A ＋π3)＝5－1510，且sin B ＝1010，则A＋B ＝( C )A ．3π4B ．5π4C ．7π4D ．7π6[解析] 由题意知12(1－cos A )＋12cos A －32sin A ＝12－1510，得sin A ＝55，sin B ＝1010.A ，B 均为钝角，π<A ＋B <2π，cos A ＝－255，cos B ＝－31010，cos (A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝(－255)×(－31010)－55×1010＝22>0， 那么，3π2<A ＋B <2π，所以A ＋B ＝7π4，故选C ．名师点拨 ☞(1)已知三角函数值求角的解题步骤：①求出角的某一三角函数值；②确定角的范围；③根据角的范围确定角．(2)给值求角的原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，π2)，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为(－π2，π2)，选正弦较好．〔变式训练2〕(1)(角度1)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝( D ) A ．12 B ．22C ．1D ． 2(2)(角度2)(2020·黑龙江哈师大附中模拟)已知α∈(0，π2)，且2cos 2α＝cos (π4－α)，则sin 2α的值为( C )A ．18 B ．－18C ．78D ．－78(3)(角度3)已知sin α＝55，sin (α－β)＝－1010，α，β均为锐角，则角β等于( C )A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6[解析] (1)3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos (15°＋30°)＝2cos 45°＝2，故选D ．(2)由题意可得2(cos 2α－sin 2α)＝cosπ4cos α＋sin π4sin α，即2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝22(cos α＋sin α)．由α∈(0，π2)，可得cos α＋sin α≠0，所以cos α－sin α＝24，等式两边平方，可得1－sin 2α＝18，所以sin 2α＝78，故选C ． (3)∵0<α<π2，0<β<π2，∴－π2<α－β<π2，∴cos α＝1－sin 2α＝255，cos (α－β)＝1－sin2α－β＝31010∴sin β＝sin [α－(α－β)]＝sin αcos (α－β)－cos αsin (α－β) ＝55×31010－255×(－1010)＝22， ∴β＝π4，故选C ．MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG 名师讲坛·素养提升辅助角公式的应用在三角形中，常用的角的变形结论有：A ＋B ＝π－C ；2A ＋2B ＋2C ＝2π；A 2＋B 2＋C 2＝π2.三角函数的结论有：sin (A ＋B )＝sin C ，cos (A ＋B )＝－cos C ，tan (A ＋B )＝－tan C ，sinA ＋B2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2. A >B ⇔sin A >sin B ⇔cos A <cos B ．例5 (1)设A ，B 是△ABC 的内角，且cos A ＝35，sin B ＝513，则sin C ＝( D )A ．6365或－1665 B ．1665 C ．1665或－6365D ．6365(2)(2020·河北唐山一中质检)在△ABC 中，若sin (A －B )＝1＋2cos (B ＋C )sin (A ＋C )，则△ABC 的形状一定是( D )A ．等边三角形B ．不含60°的等腰三角形C ．钝角三角形D ．直角三角形[分析] (1)由sin C ＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B 知求sin A 、cos B 即可． (2)利用cos (B ＋C )＝－cos A ，sin (A ＋C )＝sin B 及两角差的正弦公式求解． [解析] (1)∵cos A ＝35，0<A <π，∴A 为锐角，且sin A ＝1－cos 2A ＝45.又sinB ＝513<sin A ，∴B <A ，∴B 为锐角且cos B ＝1－sin 2B ＝1213. ∴sin C ＝sin [π－(A ＋B )]＝sin (A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝6365.故选D ．(2)∵sin (A －B )＝1＋2cos (B ＋C )·sin (A ＋C )， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝1－2cos A sin B ，∴sin A cos B ＋cos A sin B ＝1，即sin (A ＋B )＝1， ∴sin C ＝1，又0<C <π，∴C ＝π2，∴△ABC 为直角三角形，故选D ．[误区警示] 本题(1)极易求得两解，问题出在∠B 上，因为由sin B ＝513，可得两个B值，考虑A 的因素，只有一个适合，因此sin C 只有一个结果．名师点拨 ☞利用三角函数解决三角形问题要注意一些隐含条件，再根据所给的三角函数值确定角的范围，然后再进行求值．本题应用三角形中大角对大边，也可知A >B ⇔a >b ⇔sin A >sin B ，知B 为锐角．〔变式训练3〕(1)在△ABC 中，若sin (2π－A )＝－2sin (π－B )，3cos A ＝－2cos (π－B )，则C ＝(D )A ．π6B ．π4C ．π3D ．7π12(2)(2020·宁夏平罗中学期中)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足sin A ＝2sin B cos C ，则△ABC 一定是( A )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形[解析] 由已知得⎩⎨⎧－sin A ＝－2sin B ①，3cos A ＝2cos B ②，①2＋②2，得2cos 2A ＝1，即cos A ＝±22. 当cos A ＝22时，cos B ＝32，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝π4，B ＝π6，所以C ＝π－(A ＋B )＝7π12.当cos A ＝－22时，cos B ＝－32，又A ，B 是三角形的内角， 所以A ＝34π，B ＝56π不符题意，舍去．综上可得C ＝7π12，故选D ．(2)由题意知sin (B ＋C )＝2sin B cos C ， 整理化简得sin B cos C －cos B sin C ＝0即sin (B－C)＝0，又－π<B－C<π，∴B－C＝0，即B＝C，故选A．。
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吉林省东北师范大学附属中学2015届高考数学一轮复习 三解
函数的化简-求值-证明教案 理
知识梳理：
1、三角函数的化简，求值，证明，除直接就用同角三角函数关系基本关系、诱导公式、和差倍差公式外，还要注意公式的变形应用。
（1）、1+
（2）、1-
（3）、1+ ; 1- ;
（4）、= ，=
（5）ta ===
2、注意常用的角的变形
（1）、（+）-=； （2）、（-）+ ；
（3）、（+）+（-）=2 ；（4）、（+）-（-）=2
（5）、-）--）=
3、注意公式中“1”的妙用
+=1 1=- 1=+
二、题型探究
探究一：三角函数的求值问题
例1: （2014广东卷 理科）（本小题满分12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π
，
且2
3)125(
=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=
-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)4
3(θπ-f 。
解：（1）553()sin()121242
f A πππ=+=，
3
2
A ∴=，A =()f -θ()f θ
（2）3()()))442
f f +-=+-+=ππθθθθ，
3
cos )sin cos )]2
++-+=θθθθ，
3
2=θ，cos =θ，又)2
,0(πθ∈，
sin ∴==θ，
)43(θπ-f )=-==πθθ． 例2: tan()=, tan =,求 tan()
探究二:三角函数式的化简问题
例3：化简:
探究三：三角恒等 式的证明
例4：求证：=sin 三、方法提升：
化简、求值、证明就是对给定的三角函数式，通过适当的三角恒等变形，使之取较简单的形式或求出值，三角恒等变形的实质是对角、函数名称及运算结构的转化，而转化的依据就是一系列的三角公式，因此，对以下的三角公式在实现这种转化过程中应用就有足够的了解：
（1）、同角三角函数的基本关系——可实现函数名称的变化；
（2）、诱导公式、和差公式——可实现角的形式的转化。
（3） 、倍角公式及变形公式——可实现三角函数的升幂和降幂的转化；
四、反思感悟
五、课时作业
1、已知1sin()43π
α-=，则cos()4
πα+的值等于（ ） A
、3 B
、3- C 、13 D 、13- 2、已知tan α、tan β
是方程240x ++=的两根，且(,)22ππαβ∈-、，则αβ+等于 （ ）
A 、3π
B 、23π-
C 、3π或23
π- D 、3π-或23π 3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42
x x x x ππ+---为（ ） A 、sin x B 、cos x C 、tan x D 、
4、22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα
( ) (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12
5、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0
,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ） （A ）1 （B ）22,1- （C ）22- （D ）2
2,1 6、设a 为第四象限的角，若
5
13sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、已知tan 2α=2，则tan α的值为－34，tan ()4πα+的值为______________ 8、已知tan()34π
θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为______________。
9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝ ＿＿.
10、求证：21tan 1sin 2.12sin 1tan 22
αα
α
α++=-- 11、已知2sin 22sin ()1tan 42
k ααππαα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。
12
13
、已知tan tan αβ=，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。