《运筹学》第8章_图与网络分析

V = {v1 ,v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
e9
图1
2、如果一个图是由点和边所构成的，则称其为无 如果一个图是由点和边所构成的 则称其为无 图是由点和边所构成 向图， 向图 ， 记作 G = (V， E) ， 连接点的边记作 [vi , vj] ， 或 者 [vj , vi ]。 3、如果一个图是由点和弧所构成的，那么称它为 如果一个图是由点和弧所构成的 图是由点和弧所构成 有向图， 的点集合， 有向图，记作D=(V, A)，其中V 表示有向图D 的点集合， A 表示有向图D 的弧集合。一条方向从vi指向vj 的弧， 的弧集合。 的弧， 记作(vi , vj)。
V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 }， A = {(v1 , v3 ) , (v2 , v1) , (v2 , v3 ) , (v2 , v5 ) , (v3 , v5 ) , (v4 , v5 ) , (v5 , v4 ) , (v5 , v6 ) }
v1 v3 v5 v2 v4 v6
v3
v5
v6 v2
b
v4
二、最小支撑树（最小树）： 最小支撑树（最小树）： 已知赋权无向图G=(V,E,W) 已知赋权无向图G=(V,E,W)的支撑树为 G=(V,E,W)的支撑树为 T=(V,E')(E'∈E),一棵支撑树所有边上权 T=(V,E')(E'∈E),一棵支撑树所有边上权 的总和，称为支撑树的权。具有最小权 的总和，称为支撑树的权。 的支撑树T* 称为最小树。 T*， 的支撑树T*，称为最小树。 即：
树和最小支撑树
二.支撑树 的一支撑子图, 定义 设图 K=(V,E’)是图 G=(V,E) 的一支撑子图, 如果 ) 的一个支撑树。 图K=(V,E’)是一个树,那么称K是G的一个支撑树。 )是一个树, 例如, 是图a 的一个支撑树。 例如,图b 是图a 的一个支撑树。
v3 v1 v2
a
v5 v1 v6 v4
太原
石家庄
北京 天津 济南
塘沽 青岛
郑州 重庆 武汉 南京
徐州 连云港 上海
图的本概念与基本定理
有六支球队进行足球比赛，我们分 别用点 v1…v6 表示这六支球队，它 v 们之间的比赛情况，也可以用图反 映出来，已知 v1 队战胜 v2 队， v2 队 战胜 v3 队， v3 队战胜 v5 队，如此等 等。这个胜负情况，可以用图所示 的有向图反映出来。
图2
e1
一条边的两个端点是相同的, 4、一条边的两个端点是相同的, 称此边为环。 称此边为环 5、如果两个端点之间有两条 以上的边，称为多重边 多重边。 以上的边，称为多重边。
v1 e10 v6 e9 e8
e2 e5 e6 v5
v2 e3 e v4 4 e7 v3
6、一个无环、无多重边的图称为简单图， 一个无环、无多重边的图称为简单图 简单图， 含有多重边的图称为多重图 多重图。 含有多重边的图称为多重图。 每一对顶点间都有边相连的简单图； 7、无向完全图 、无向完全图——每一对顶点间都有边相连的简单图； 每一对顶点间都有边相连的简单图 有向完全图——指每一对顶点之间有且仅有一条有 有向完全图 指每一对顶点之间有且仅有一条有 向 边的简单图。 边的简单图。
矩阵A为网络G的 称矩阵A为网络 的权矩阵 设图G=（ ， ）中顶点的个数为n， 设图 （V，E）中顶点的个数为 ，构造一个 其中： 矩阵 A = (a i j ) n×n ，其中：
1 ai j = 0 (v i , v j ) ∈ E (v i , v j ) ∉ E
矩阵A为网络G的 称矩阵A为网络 的邻接矩阵
树和最小支撑树
如果用六个点v1…v6代表这六个城市， 在任意两个城市之间架设电话线，即在相应 的两个点之间连一条边。这样，六个城市的 一个电话网就作成一个图。由于任意两个城 任意两个城 市之间均可以通话，这个图必须是连通图。 市之间均可以通话 并且，这个图必须是无圈的。否则，从圈上 任意去掉一条边，剩下的图仍然是六个城市 的一个电话网。图是一个不含圈的连通图， 代表了一个电话线网。
图的基本概念与基本定理
v2 v4
v1
v6
v3
v5
一、图与网络的基本知识
（一）图与网络的基本概念
E A
D
B
C
1、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头，也 、一个图是由点和连线组成。（连线可带箭头， 点和连线组成。（连线可带箭头 可不带，前者叫弧 后者叫边 可不带，前者叫弧，后者叫边）
一个图是由点集 V = {v j } 和 V 中元素的无序对的 构成的二元组， 集合 E = {ek } 构成的二元组，记为G =(V，E)，其中 叫做顶点 顶点， 的点集合； V 中的元素 v j 叫做顶点，V 表示图 G 的点集合； E 中的元素 e k 叫做边，E 表示图 G 的边集合。 叫做边 的边集合。 例
8、以点v为端点的边的个数称为点v 的次，记作 d (v ) 图中 d(v1)= 4，d(v6)= 4（环计两次） ， （环计两次）
e1 v1 e10 v6 e9 e8 v5 e2 e5 e6 e7 v3 v2
次为零的点——弧立点 弧立点 次为零的点 次为1的点——悬挂点 次为1的点 悬挂点 悬挂点的关联边——悬挂边 悬挂边 悬挂点的关联边 次为奇数的点——奇点 次为偶数的点——偶点
4 0 6 4 3 0 2 7 0 0 2 0 5 0 3 7 5 0 2 0 0 0 2 0 3 0 3 0 3 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
树和最小支撑树
一、树及其性质 在各种各样的图中，有一类图是 十分简单又非常具有应用价值的图， 这就是树图 树图。 树图 已知有六个城市，它们之间 要架设电 话线，要求任意两个城市均可以互相 通话，并且电话线的总长度最短。
树和最小支撑树
从以上定理，不难得出以下结 论： （1）从一个树中任意去掉一 从一个树中任意去掉一 条边， 那么剩下的图不是连通图， 条边 ， 那么剩下的图不是连通图 亦即，在点集合相同的图中，树 是含边数最少的连通图。 （2）在树中不相邻的两个点 在树中不相邻的两个点 之间加上一条边， 之间加上一条边 ， 那么恰好得到 一个圈。 一个圈。
若链中所含的边均不相同，称为简单链 若链中所含的边均不相同，称为简单链 所含的点均不相同的链称为初等链 也称通路。 所含的点均不相同的链称为初等链 , 也称通路。
v2 e1 v1 e2 e3 v3 e4 e5 e6 e7 v5 v4 e9 e8 e10 v6
11、图中任意两点之间均至少有一条通路， 11、图中任意两点之间均至少有一条通路，则称此图 连通图，否则称为不连通图 不连通图。 为连通图，否则称为不连通图。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 最大流问题
引
言
1736年瑞士科学家欧拉发表了 关于图论方面的第一篇科学论文， 解决了著名的哥尼斯堡七座桥 哥尼斯堡七座桥问题。 哥尼斯堡七座桥 德国的哥尼斯堡城有一条普雷格尔 河，河中有两个岛屿，河的两岸和 岛屿之间有七座桥相互连接，如图 所示。
（二）图的矩阵表示 对于网络（赋权图） （ ， ） 对于网络（赋权图）G=（V，E），其中边 (v i , v j ) 其中： 有权 w i j ，构造矩阵 A = (a i j ) n×n ，其中：
wi j ai j = 0 (v i , v j ) ∈ E (v i , v j ) ∉ E
·v7
e3 e v4 4
定理1 定理1
任何图中，顶点次数的总和等于边数的2 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 定理2 在任一图中，奇点的个数必为偶数。 有向图中： 有向图中： 的出次， 表示； 以vi 为始点的边数称为点vi 的出次，用 d + (v i ) 表示； 的入次， 表示； 以vi 为终点的边数称为点vi 的入次，用 d − ( v i ) 表示； vi 点的出次和入次之和就是该点的次。 点的出次和入次之和就是该点的次。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。