2020年6月宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期第四次高考模拟测试数学(文)试题

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2020届宁夏六盘山高中高考文科数学模拟试题一和答案详细解析及高分经验

的部分图象大致是（）
A．
B．
C．
D．
6．（5 分）双曲线
的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”
四个区域（不含边界），若点（2，1）在“右”区域内，则双曲线离心率 e 的取值范围是（）
A．
B．
C．
D．
7．（5 分）在四边形 ABCD 中，∠D＝2∠B，且 AD＝1，CD＝3，cos∠B＝，则边 AC 的长
线 PB 与平面 PAC 所成角为（）
A．
B．
C．
D．
10．（5 分）定义行列式运算
＝a1b2﹣a2b1，已知函数 f（x）＝
（ω＞0），
满足：f（x1）＝0，f（x2）＝﹣2，且|x1﹣x2|的最小值为，则 ω 的值为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
11．（5 分）如图，若 C 是
椭圆上位于第一象限内的点，A，B 分别
是椭圆的左顶点和上顶点，F 是椭圆的右焦点，且 OC＝OF，AB∥OC 则该椭圆的离心率为（）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）定义在 R 上的奇函数 f（x）满足 f（x+2）＝﹣
＝3x，则 f（log354）＝（）
A．
B．
C．﹣
，且在（0，1）上 f（x） D．﹣
二、填空题：（每小题 5 分，共 20 分）
2020 届宁夏六盘山高中高考文科数学模拟试题一
一.选择题：（每题 5 分，共 60 分，每题只有一个答案是正确的）
1．（5 分）若复数 z 满足（1+2i）z＝3﹣4i，则 z 的实部为（）
A．1
B．﹣1
C．2
D．﹣2

宁夏六盘山高级中学2020届高三第四次模拟考模拟答案

50 100
所以 K 2的观测值k 100 (12 32 18 38)2 12 2.706
30 70 50 50
7
查表可知，没有 90% 的把握认为绝对贫困户数与村落有关。
（3）设事件 A 为“所选 2 户中至少有一户是亟待帮助户”
贫困指标在[0,0.4) 内的贫困户共有（0.25+0.5）*0.2*100=15（户）
e
1
1
要使(*)成立，则－＋a≥0，得 a≥ .
e
e
即
a
1 的取值范围为[ ，＋∞)．
e
（二）选考题：共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第
一题计分
22.选修 4-4：坐标系与参数方程
（3）过点 F 作 FH AB ，垂足为 H 平面ABCD 平面ABEF
FH 平面ABCD
V1
VF BCE
VC BEF
1 3
EF FH 2
BC
FH
BC 3
V2
VF ABCD
1 3
AB
BC
FH
4BC 3
FH
V1 :V2 1: 4
20.
已知双曲线 x2 3
y2
1 的左右焦点分别为 F1, F2 ， PF1F2 的周长为 12
（1）求点 P 的轨迹 C 的方程。
（2）已知点 Q(8,0) ，是否存在过点 Q 的直线 l 与曲线 C 交于不同的两点 M , N ，使得
| MF2 || NF2 | ，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由。
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1 21.已知函数 f(x)＝－ax(x∈R)．
ex 1)当 a＝－2 时，求函数 f(x)的单调区间； (2)若 a＞0 且 x≥1 时，f(x)≤ln x，求 a 的取值范围．

2020年宁夏银川六盘山高级中学高三一模数学试卷(文科)

23. 已知函数（1）当（2）当
时，求不等式时，不等式
．的解集．
成立，求的取值范围．
【答案】 1. A
解析:
∴ 又 ∴ 故选．
或
，
，
，
2. B 解析:
．，
5
∵ 为纯虚数，
∴
，
，
∴
．
故选．
3. C
解析:
∵
，
∴
∴
故选：．
，，．
4. B
解析:
《爱你一万年》未被选取的概率
．
故选：．
．求椭圆离心率的取值
21. 已知函数
.
（ 1 ）判断函数的单调性．
（ 2 ）若满足
，证明：
．
四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）
22. 在极坐标系中，已知圆心
，半径
点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系．
（ 1 ）求圆的参数方程．
（ 2 ）若点在线段上，且
，点在圆上运动，以极点为平面直角坐标系原，求动点轨迹的极坐标方程．
∵
，
∴
，
∴
，
14
∴
，
故
，
所以
，
综上所述，的取值范围为
．
15
是菱形，
是矩形，
面
，
．
（ 1 ）求证：平面（2）若
面
．
，求四棱锥
的体积．
18. 在等差数列（ 1 ）求数列（2）若
中，
，
．
的通项．
，求数列的前项和．
19. 从某工厂的一个车间抽取某种产品件，产品尺寸（单位：）落在各个小组的频数分布如表：

2020年宁夏六盘山高中高考(理科)数学(4月份)模拟测试试卷含解析

2020年高考（理科）数学（4月份）模拟试卷一、选择题.1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．209．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．211．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）二、填空题13．已知tan x＝2，求cos2x＝．14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合A＝{﹣1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．8个【分析】根据题意，列举出A的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．解：根据题意，在集合A的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，﹣1}、{﹣1，0，1}，四个；故选：B．2．在平面区域M＝{（x，y）|}内随机取一点P，则点P在圆x2+y2＝2内部的概率（）A．B．C．D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．解：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为△OAB，则三角形的面积为S＝×1×2＝1，点P取自圆x2+y2＝2内部的面积为圆面积的，即×π×＝，则根据几何概型的概率公式可得，则点P取自圆x2+y2＝2内部的概率等于．故选：B．3．已知直线l，m，平面α、β、γ，给出下列命题：①l∥α，l∥β，α∩β＝m，则l∥m；②α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β；④l⊥m，l⊥α，m⊥β，则α⊥β．其中正确的命题有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．解：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，α∥γ，因为m⊥α，所以m⊥γ，即②正确；③若α⊥γ，β⊥γ，则α与β平行或相交，即③错误；④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C．4．已知m∈R，“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据函数的性质求出m的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解：若函数y＝f（x）＝2x+m﹣1有零点，则f（0）＝1+m﹣1＝m＜1，当m≤0时，函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数不成立，即充分性不成立，若y＝log m x在（0，+∞）上为减函数，则0＜m＜1，此时函数y＝2x+m﹣1有零点成立，即必要性成立，故“函数y＝2x+m﹣1有零点”是“函数y＝log m x在（0，+∞）上为减函数”的必要不充分条件，故选：B．5．若函数f（x）＝﹣cos x+ax为增函数，则实数a的取值范围为（）A．[﹣1，+∞）B．[1，+∞）C．（﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．解：由题意可得，f′（x）＝sin x+a≥0恒成立，故a≥﹣sin x恒成立，因为﹣1≤﹣sin x≤1，所以a≥1．故选：B．6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．【分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．解：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．＝﹣＝＝．故选：D．7．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（）①②③A i≤7？s＝s﹣i＝i+1B i≤128？s＝s﹣i＝2iC i≤7？s＝s﹣i＝i+1D i≤128？s＝s﹣i＝2iA．A B．B C．C D．D【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S的值，由此得出结论．解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：S＝1﹣，i＝4，第2次循环：S＝1﹣﹣，i＝8，第3次循环：S＝1﹣﹣﹣，i＝16，…依此类推，第7次循环：S＝1﹣﹣﹣﹣…﹣，i＝256，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：i≤128？，执行框②应填入：s＝s﹣，③应填入：i＝2i．故选：B．8．若展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．20【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值解：令x＝1可得展开式的各项系数之和为2n＝32，∴n＝5，故其展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝10，故选：C．9．复数i3（1+i）2＝（）A．2B．﹣2C．2i D．﹣2i【分析】复数i的幂的计算，直接乘积展开可得结果．解：i3（1+i）2＝（﹣i）（2i）＝2，故选：A．10．已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9＝2a52，a2＝1，则a1＝（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9＝2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2＝1即可求出a1的值．解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8＝2（a1q4）2，即q2＝2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q＝，故a1＝．故选：B．11．设F1，F2分别为双曲线（a＞0，b＞0）的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P，满足|PF2|＝|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解：依题意|PF2|＝|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知可知|PF1|＝2 ＝4b根据双曲定义可知4b﹣2c＝2a，整理得c＝2b﹣a，代入c2＝a2+b2整理得3b2﹣4ab＝0，求得＝；∴e＝＝＝＝．故选：B．12．已知以T＝4为周期的函数f（x）＝，其中m＞0，若方程3f（x）＝x恰有5个实数解，则m的取值范围为（）A．（，）B．（，）C．（，）D．（，）【分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当x∈（﹣1，1]，[3，5]，[7，9]上时，f （x）的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线y＝x与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m的范围．解：∵当x∈（﹣1，1]时，将函数化为方程x2+＝1（y≥0），∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当x∈（1，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线y＝x与第二个椭圆（x﹣4）2+＝1（y≥0）相交，而与第三个半椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）无公共点时，方程恰有5个实数解，将y＝x代入（x﹣4）2+＝1 （y≥0）得，（9m2+1）x2﹣72m2x+135m2＝0，令t＝9m2（t＞0），则（t+1）x2﹣8tx+15t＝0，由△＝（8t）2﹣4×15t（t+1）＞0，得t＞15，由9m2＞15，且m＞0得m＞，同样由y＝x与第三个椭圆（x﹣8）2+＝1 （y≥0）由△＜0可计算得m，综上可知m∈（，）．故选：A．二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan x＝2，求cos2x＝．【分析】已知tan x＝2，根据弦切互化公式得cos2x＝＝＝；而cos2x ＝2cos2x﹣1，代入求出值即可．解：∵tan x＝2，∴cos2x＝＝＝；所以cos2x＝2cos2x﹣1＝2×﹣1＝﹣故答案为﹣14．若D点在三角形ABC的边BC上，且，则3r+s的值为．【分析】根据即可得出，然后根据平面向量基本定理即可得出r，s的值，从而得出3r+s的值．解：如图，∵，∴，∴根据平面向量基本定理得，，∴．故答案为：．15．已知A，B两点均在焦点为F的抛物线y2＝2px（p＞0）上，若|AF|+|BF|＝4，线段AB 的中点到直线x＝的距离为1，则p的值为1或3．【分析】分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，由线段AB的中点到直线x＝的距离为1，设M（x 0，y 0），可得|x 0﹣|＝1，由此求得p值．解：分别过A、B作交线l：x＝﹣的垂线，垂足分别为C、D，设AB中点M在准线上的射影为点N，连接MN，设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0）根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AC|+|BD|＝4，∴梯形ACDB中，中位线MN＝（|AC|+|BD|）＝2，可得x0+＝2，x0＝2﹣，∵线段AB的中点到直线x＝的距离为1，可得|x0﹣|＝1，∴|2﹣p|＝1，解得p＝1或p＝3，故答案为：1或3．16．观察下列算式：13＝1，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19……若某数n3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n＝45．【分析】由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个整数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个数，可得2×＜2021，解出即可得出．解：由已知规律可得：n3按上述规律展开后，发现等式右边含有n个正奇数．而前面n﹣1个等式共含有1+2+……+（n﹣1）＝个奇数，∴2×＜2021，即n（n﹣1）＜2021，而45×44＝1980＜2021.46×45＝2070＞2021．∴n＝45，故答案为：45．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b sin2A﹣a sin（A+C）＝0．（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若a＝3，△ABC的面积为，求的值．【分析】（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A，得2cos A＝1，所以．（Ⅱ）由△ABC的面积为及⇒bc＝6，由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，，即可得．解：（Ⅰ）由b sin2A﹣a sin（A+C）＝0得b sin2A＝a sin B＝b sin A……又0＜A＜π，所以sin A≠0，得2cos A＝1，所以……（Ⅱ）由△ABC的面积为及，得，即bc＝6……又a＝3，从而由余弦定理得b2+c2﹣2bc cos A＝9，所以……所以……18．如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100），据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X，求X的分布列和数学望期．【分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60）之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X的分布列和数学期望．解：（1）由茎叶图知，分数在[50，60）之间的频数为4，频率为0.0125×10＝0.125，∴全班人数为人．∴分数在[80，100]之间的频数为32﹣4﹣8﹣10＝10，∴分数在[80，100]之间的频率为＝0.3125；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.0125×10×32＝4份．由题意，X的取值为0，1，2，3，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为X0123P数学期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝1.2．19．如图所示，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E是CD的中点，O为AE的中点，以AE为折痕将△ADE向上折起，使D到P，且PC＝PB（1）求证：PO⊥面ABCE．（2）求AC与面PAB所成角θ的正弦值．【分析】（1）取BC的中点F，连OF，PF，证明OF⊥BC，BC⊥PF，得到BC⊥面POF从而证明BC⊥PO，可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为，得到AC与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝解：（1）PA＝PE，OA＝OE∴PO⊥AE（1）取BC的中点F，连OF，PF，∴OF∥AB，∴OF⊥BC因为PB＝PC∴BC⊥PF，所以BC⊥面POF从而BC⊥PO（2）由（1）（2）可得PO⊥面ABCE（2）作OG∥BC交AB于G，OG⊥OF如图，建立直角坐标系，设平面PAB的法向量为AC 与面PAB所成角θ的正弦值sinθ＝|cos＜＞|＝20．已知椭圆过点（0，1），且离心率为．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足．（1）求椭圆的标准方程；（2）若λ1+λ2＝﹣3，试证明：直线l过定点并求此定点．【分析】（1）根据题意列出关于a，b，c的方程组，解出a，b，c的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由已知条件推出，，所以λ1+λ2＝﹣3，即y1y2+m（y1+y2）＝0，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l过定点．解：（1）由题意可知，解得：，∴椭圆的标准方程为：；（2）由题意设P（0，m），Q（x0，0），M（x1，y1），N（x2，y2），设直线l的方程为x＝t（y﹣m），由知，（x1，y1﹣m）＝λ1（x0﹣x1，﹣y1），∴y1﹣m＝﹣y1λ1，由题意λ1≠0，∴，同理由知，，∴λ1+λ2＝﹣3，∴y1y2+m（y1+y2）＝0 ①，联立方程，消去x得：（t2+3）y2﹣2mt2y+t2m2﹣3＝0，∴需△＝4m2t4﹣4（t2+3）（t2m2﹣3）＞0 ②，且有，③，把③代入①得：t2m2﹣3+m•2mt2＝0，∴（mt）2＝1，由题意mt＜0，∴mt＝﹣1，满足②式，∴直线l的方程为x＝ty+1，过定点（1，0），即（1，0）为定点．21．已知函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的图象在x＝1处的切线l过点（，）．（1）若函数g（x）＝f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；（2）若a＝﹣4，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，证明：x1+x2≥．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得b ＝0，得到f（x）和g（x）的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得f（x）的解析式，由条件化简可得2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，求得导数和单调区间，可得h（t）的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．解：（1）函数f（x）＝lnx﹣ax2+bx+1的导数为：f′（x）＝﹣ax+b，可得图象在x＝1处的切线l的斜率为k＝1﹣a+b，切点为（1，1+b﹣a），由切线经过点（，），可得1﹣a+b＝，化简可得，b＝0，则f（x）＝lnx﹣ax2+1，g（x）＝lnx﹣ax2+1﹣（a﹣1）x（x＞0，a＞0），g′（x）＝﹣ax﹣（a﹣1）＝﹣，当0＜x＜时，g′（x）＞0，g（x）递增；当x＞时，g′（x）＜0，g（x）递减．可得g（x）max＝g（）＝﹣lna﹣+1﹣1+＝﹣lna；（2）证明：a＝﹣4时，f（x）＝lnx+2x2+1，f（x1）+f（x2）+x1+x2+3x1x2＝2，可得lnx1+2x12+1+lnx2+2x22+1+x1+x2+3x1x2＝2，化为2（x12+x22+2x1x2）+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），即有2（x1+x2）2+（x1+x2）＝x1x2﹣ln（x1x2），令t＝x1x2，t＞0，设h（t）＝t﹣lnt，h′（t）＝1﹣，当t＞1时，h′（t）＞0，h（t）递增；当0＜t＜1时，h′（t）＜0，h（t）递减．即有h（t）在t＝1取得最小值1，则2（x1+x2）2+（x1+x2）≥1，可得（x1+x2+1）（2x1+2x2﹣1）≥0，则2x1+2x2﹣1≥0，可得x1+x2≥．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为C1：为参数），曲线C2：＝1．（Ⅰ）在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）射线θ＝（ρ≥0）与C1的异于极点的交点为A，与C2的交点为B，求|AB|．【分析】（Ⅰ）由可得C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）求出A，B的极径，即可求|AB|．解：（Ⅰ）曲线为参数）可化为普通方程：（x﹣1）2+y2＝1，由可得曲线C1的极坐标方程为ρ＝2cosθ，曲线C2的极坐标方程为ρ2（1+sin2θ）＝2．（Ⅱ）射线与曲线C1的交点A的极径为，射线与曲线C2的交点B的极径满足，解得，所以．[选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x的不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，记实数m的最大值为M．（1）求M的值；（2）正数a，b，c满足a+2b+c＝M，求证：+≥1．【分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．解：（1）由绝对值不等式得|x﹣2|﹣|x+3|≥≤|x﹣2﹣（x+3）|＝5，若不等式|x﹣2|﹣|x+3|≥|m+1|有解，则满足|m+1|≤5，解得﹣6≤m≤4．∴M＝4．（2）由（1）知正数a，b，c满足足a+2b+c＝4，即[（a+b）+（b+c）]＝1∴+＝[（a+b）+（b+c）]（+）＝（1+1++）≥（2+2）≥×4＝1，当且仅当＝即a+b＝b+c＝2，即a＝c，a+b＝2时，取等号．∴+≥1成立．。

六盘山高级中学2020届高三数学第四次模拟测试试题文含解析

（一）必考题:(每道题12分，共60分）
17.已知的内角，，所对的边长分别为，，，的面积为，且．
（1)求的值；
（2)若 , ,求．
【答案】（1）；（2)2.
【解析】
【分析】
(1）由得，即可求出的值；
（2）由和 ,易得和的值,再由可得出的值，进一步可得，进而得出，最后得出 .
A. B。 C。 D。
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高的长，再根据向量数量积公式转化，并计算的值。
【详解】由题意可知，所以根据等面积转化可知 ,解得：
， .
故选：A
【点睛】本题考查向量数量积,向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.
阴影部分的面积＝阴影部分的面积,所以，故选C。
【点睛】本题主要考查了几何概型的应用,其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键,着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
7.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为的扇形，则该圆锥的底面半径为（）
A。 B. C. D.
【答案】D
【解析】
由双曲线的定义有： ,所以
则
直角三角中, ，所以
所以，则
故选：D
【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用,求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理,属于中档题。
12.已知函数且则的取值范围是( ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数,不等式等价于 ,再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式。

2020年宁夏银川市六盘山高中高考数学一模试卷(文科)

高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设i是虚数单位，则复数（1-i）（1+2i）=（）A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i2.已知集合A={x|2＜x＜4}，B={x|1＜x＜3}，则A∪B（）A. （1，3）B. （1，4）C. （2，3）D. （2，4）3.函数f（x）=的部分图象大致为（）A. B.C. D.4.设=（1，2），=（1，1），若（+k）⊥，则实数k的值为（）A. B. C. D.5.某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，那么至多一名女生参加的概率是（）A. B. C. D.6.已知双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D. x2-y2=17.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cos A=．且b＜c，则b=（）A. B. 2 C. 2D. 38.秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数学九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法，如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为4，2，则输出v的值为（）A. 66B. 33C. 16D. 89.如图所示，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1=，则异面直线AB1与BD所成的角为（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°10.若f（x）=sin x+cos x在[-m，m]（m＞0）上是增函数，则m的最大值为（）A. B. C. D.11.已知定义在R上的偶函数y=f（x）满足f（x）=f（4-x），且f（-3）=2，则f（2019）=（）A. -2B. 0C. 2D. 412.如图，已知F1，F2是椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点，点P在椭圆C上，线段PF2与圆x2+y2＝b2相切于点Q，且点Q为线段PF2的中点，则椭圆C的离心率为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数y=x+ln x在x=1处的切线方程是______．14.若x，y满足约束条件，则z=x+3y的最小值是______，最大值是______．15.已知sinα+sinβ=，cosα+cosβ=，则cos（α-β）=______．16.在三棱锥P-ABC中，△ABC是等边三角形，PB⊥底面ABC，AB=2，PB=2，则该三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a2=20，S9=45．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求S n，并求当S n取得最大值时n的值．18.根据《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行道时，应当减速慢行，遇行人正在通过人行道，应当停止让行，俗称“礼让斑马线”．《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚，如表是银川市一主干路口监控抓拍的5个月内驾驶员“礼让斑马线”行为统计数据：（Ⅰ）请利用所给数据求违章人数y与月份x之间的回归直线方程=x+；（Ⅱ）预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．附：线性回归方程=x+中，==，=．其中，为样本的平均值．19.如图，在三棱锥V-ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点．（Ⅰ）求证：平面MOC⊥平面VAB；（Ⅱ）求三棱锥B-VAC的高．20.已知抛物线C：y2=4x，过点（-1，0）的直线与抛物线C相切，设第一象限的切点为P．（I）求点P的坐标；（Ⅱ）若过点（2，0）的直线l与抛物线C相交于两点A，B，圆M是以线段AB 为直径的圆过点P，求直线l的方程．21.设函数f（x）=xe x+a（1-e x）+1．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，+∞）有零点，证明：a＞2．22.在直角坐标系中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ2-4ρcosθ+1=0，直线l的参数方程为：（t为参数），点A的极坐标为（2，），设直线l与曲线C相交于P，Q两点．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程；（Ⅱ）求|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．23.已知函数f（x）=|x-a|-|2x-1|．（1）当a=2时，求f（x）+3≥0的解集；（2）当x∈[1，3]时，f（x）≤3恒成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：复数（1-i）（1+2i）=1+2-i+2i=3+i．故选：C．直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：集合A={x|2＜x＜4}，B={x|1＜x＜3}，则A∪B={x|1＜x＜4}=（1，4），故选：B．直接根据并集的定义即可求出．本题考查了集合的基本运算，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：函数的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（-x）=-f（x），函数为奇函数，排除A；又当x→+∞时，y→+∞，排除B；而x＞0时，f（x）=，f′（x）=．可得x=1为函数的极小值点，结合图象可知，函数f（x）=的部分图象大致为C．故选：C．利用函数为奇函数排除A；再由当x→+∞时，y→+∞，排除B；利用导数判断单调性且求极值得答案．本题考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性图象等基础知识，考查逻辑推理能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、特殊与一般思想等，是中档题．4.【答案】B【解析】解：；∵；∴；∴．故选：B．可求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出k的值．考查向量垂直的充要条件，向量加法、数乘和数量积的坐标运算．5.【答案】A【解析】解：某小组有2名男生和3名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，基本事件总数n==10，至多一名女生参加包含的基本事件个数m==7，∴至多一名女生参加的概率是p==．故选：A．基本事件总数n==10，至多一名女生参加包含的基本事件个数m==7，由此能求出至多一名女生参加的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：双曲线的一条渐近线平行于直线l：y=x+2，一个焦点在直线l上，可得一条渐近线方程y=x，且一个焦点为（-2，0），即有=1，c=2，又c2=a2+b2，解得a=b=，则双曲线的方程为-=1．故选：A．由双曲线的渐近线方程和平行直线的关系可得a=b，由题意可得c=2，结合a，b，c的关系，可得a，b，进而得到双曲线的方程．本题考查双曲线的方程和性质，主要考查渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于较易题．7.【答案】B【解析】解：a=2，c=2，cos A=．且b＜c，由余弦定理可得，a2=b2+c2-2bc cos A，即有4=b2+12-4×b，解得b=2或4，由b＜c，可得b=2．故选：B．运用余弦定理：a2=b2+c2-2bc cos A，解关于b的方程，结合b＜c，即可得到b=2．本题考查三角形的余弦定理及应用，主要考查运算能力，属于中档题和易错题．8.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的i，v的值是解题的关键，属于基础题．由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i=-1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为66．【解答】解：初始值n=4，x=2，程序运行过程如下表所示：v=2，i=3，v=2×2+3=7，i=2，v=2×7+2=16，i=1，v=16×2+1=33，i=0，v=33×2+0=66，i=-1 跳出循环，输出v的值为66，故选：A．9.【答案】C【解析】解：（几何法）∵在正棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1：AB=：1，∴设AA1=，AB=1，取A1C1的中点E，连结B1E，AE，则B1E∥BD，∴∠AB1E是异面直线AB1与BD所成的角（或所成角的补角），B1E==，AB1=，AE==，∴cos∠AB1E===，∴∠AB1E=60°，∴异面直线AB1与BD所成的角为60°．故选：C．（向量法）∵在正棱柱ABC-A1B1C1中，D是AC的中点，AA1：AB=：1，∴设AA1=，AB=1，以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，A（0，0，0），B1（，，），B（，，0），D（0，，0），=（，，），=（-，0，0），设异面直线AB1与BD所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°，∴异面直线AB1与BD所成的角为60°．故选：C．（几何法）设AA1=，AB=1，取A1C1的中点E，连结B1E，AE，则B1E∥BD，∠AB1E是异面直线AB1与BD所成的角（或所成角的补角），由此利用余弦定理能求出异面直线AB1与BD 所成的角．（向量法）设AA1=，AB=1，以A为原点，过A在平面ABC内作AC的垂线为x轴，以AC为y 轴，AA1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AB1与BD所成的角．本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10.【答案】C【解析】解：若f（x）=sin x+cos x=2（sin x+cos x）=2sin（x+）在[-m，m]（m＞0）上是增函数，∴-m+≥-，且m+≤．求得m≤，且m≤，∴m≤，故m的最大值为，故选：C．利用辅助角公式，化简函数的解析式，再根据正弦函数的单调性，求得m的最大值．本题主要考查辅助角公式，正弦函数的单调性，属于中档题．11.【答案】C【解析】解：因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（4-x）=f（x-4），所以f（x）的周期为4，又2019=4×504+3，所以f（2019）=f（3）=f（-3）=2．故选：C．由已知以及偶函数性质推出周期为4，所以f（2019）=f（3）．本题考查了函数奇偶性的性质与判断，属基础题．12.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了椭圆的定义及其运用，直线与圆的位置关系，椭圆的几何性质及其离心率的求法，属基础题.连接OQ，PF1，先利用三角形中位线定理证明OQ∥PF1，OQ=PF1，而OQ即为圆的半径b，从而得焦半径PF1=2b，再利用椭圆的定义，得PF2=2a-2b，最后利用直线与圆相切的几何性质，证明PF1⊥PF2，从而在三角形中利用勾股定理得到a、b、c间的等式，进而计算离心率即可.【解答】解：如图：连接OQ，PF1，∵点Q为线段PF2的中点，∴OQ∥PF1，OQ=PF1，∴PF1=2OQ=2b，由椭圆定义，PF1+PF2=2a，∴PF2=2a-2b∵线段PF2与圆x2+y2=b2相切于点Q，∴OQ⊥PF2，∴PF1⊥PF2，且|F1F2|=2c，∴（2b）2+（2a-2b）2=（2c）2即3b=2a，5a2=9c2，∴e==.故选：B．13.【答案】2x-y-1=0【解析】解：∵y=x+1nx，∴y′=1+，∴k=y′|x=1=1+1=2，∴函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程为y-1=2（x-1），整理，得2x-y-1=0．故答案为：2x-y-1=0．由y=x+1nx，知y′=1+，由此能求出函数y=x+1nx在点（1，1）处的切线方程．本题考查函数的切线方程的求法，考查导数的几何意义，正确求导是关键．14.【答案】-2 ；8【解析】【分析】本题给出二元一次不等式组，求目标函数的最小值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中档题．作出题中不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+3y对应的直线进行平移，观察直线在y 轴上的截距变化，然后求解最优解得到结果．【解答】解：作出x，y满足约束条件表示的平面区域，如图：其中B（4，-2），A（2，2）．设z=F（x，y）=x+3y，将直线l：z=x+3y进行平移，观察直线在y轴上的截距变化，可得当l经过点B时，目标函数z达到最小值．∴z最小值=F（4，-2）=-2．可得当l经过点A时，目标函数z达到最最大值：z最大值=F（2，2）=8．故答案为-2；8．15.【答案】-【解析】解：由sinα+sinβ=，①，cosα+cosβ=，②，①2+②2得：1+2sinαsinβ+1+2cosαcosβ=，则cosαcosβ+sinαsinβ=．所以cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ=-．故答案为：-．把已知的两等式两边分别平方后得到新的等式，然后两等式相加，利用同角三角函数的基本关系及两角差的余弦函数公式即可求出cos（α-β）的值．此题考查了同角三角函数间的基本关系及两角差的余弦函数公式的应用，是一道基础题．也是高考中常考的题型．16.【答案】20π【解析】解：如图，M为底面中心，N为PB中点，OM⊥平面ABCON⊥PB，在Rt△BMO中，BM=2，OM=1，OB=R，可得R=，故外接球表面积为：20π．故答案为：20π．设底面中心为M，PB中点为N，作图找到球心O的位置，OM⊥平面ABC，ON⊥PB，利用直角三角形建立方程求得半径，面积．此题考查了三棱锥外接球问题，难度适中．17.【答案】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，∵a2=20，S9=45．∴a1+d=20，9a1+36d=45，联立解得：a1=25，d=-5，∴a n=25-5（n-1）=30-5n．（Ⅱ）S n===+，可得：n=5，或6时，S n取得最大值．【解析】（I）设等差数列{a n}的公差为d，由a2=20，S9=45．可得a1+d=20，9a1+36d=45，联立解得：a1，d，利用通项公式即可得出a n．（Ⅱ）利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．本题考查了等差数列的通项公式求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）由表中数据得=（1+2+3+4+5）=3，=（120+105+100+90+85）=100，则====-8.5，==100-（-8.5）×3=125.5，即所求回归直线方程为=-8.5x+125.5；（Ⅱ）令x=9，则=-8.5×9+125.5=49人，即预测该路口9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数为49人．【解析】（Ⅰ）根据数求出，的值，结合公式求出，的值即可（Ⅱ）令x=9，即可预测9月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数．本题主要考查线性回归方程的应用，根据数据分别求出，，，的值是解决本题的关键．19.【答案】（Ⅰ）证明：∵AC=BC，O为AB的中点，∴OC⊥AB，∵平面VAB⊥平面ABC，OC⊂平面ABC，∴OC⊥平面VAB，∵OC⊂平面MOC，∴平面MOC⊥平面VAB；（Ⅱ）解：在等腰直角△ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴等边△VAB的面积为S△VAB=×22×sin60°=，又∵OC⊥平面VAB，∴OC⊥OM，△AMC中，AM=1，AC=，MC=，∴S△AMC=•1•=，∴S△VAC=2S△MAC=，由三棱锥V-ABC的体积与三棱锥C-VAB的体积相等，即S△VAC•h=S△VAB•OC，∴h==，即三棱锥B-VAC的高为．【解析】（Ⅰ）由题意得出OC⊥AB，利用平面VAB⊥平面ABC证得OC⊥平面VAB，从而证明平面MOC⊥平面VAB；（Ⅱ）由题意求出△VAB的面积和OC的值，再计算△AMC和△AVC的值，根据等体积法求出三棱锥C-VAB的体积，从而求得三棱锥B-VAC的高．本题考查了平面与平面垂直的判定问题，也考查了三棱锥体积的计算问题，是中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）由题意知可设过点（-1，0）的直线方程为x=ty-1，联立，得：y2-4ty+4=0．①∵直线与抛物线相切，∴△=16t2-16=0，即t=±1．∵P为第一象限的切点，∴t=1，则①化为y2-4y+4=0，解得y=2，此时x=1，则点P坐标为（1，2）；（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2-4my-8=0，则△=16m2+32＞0恒成立，y1y2=-8，y1+y2=4m，则，．由题意可得：，即x1x2-（x1+x2）+1+y1y2-2（y1+y2）+4=0，∴4m2+8m+3=0，解得：或．则直线l的方程为y=-2x+4或．【解析】（Ⅰ）由题意知可设过点（-1，0）的直线方程为x=ty-1，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，利用判别式等于0求得t，进一步求解P的坐标；（Ⅱ）设直线l的方程为：x=my+2，与抛物线方程联立，化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系结合求得m值，则直线方程可求．本题考查直线与抛物线的综合，考查计算能力，是中档题．21.【答案】（Ⅰ）解：∵f（x）=xe x+a（1-e x）+1∴f′（x）=[x-（a-1）]e x，∴x＞a-1时，f′（x）＞0，函数f（x）在（a-1，+∞）上单调递增；x＜a-1时，f′（x）＜0，函数f（x）在（-∞，a-1）上单调递减；（Ⅱ）证明：函数f（x）在（0，+∞）有零点，可得方程f（x）=0有解，∴a===x+有解，令g（x）=x+，则g′（x）=1+=，设函数h（x）=e x-x-2，x∈（0，+∞）,h′（x）=e x-1＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，又h（1）=e-3＜0，h（2）=e2-4＞0，∴函数h（x）在（0，+∞）上单调递增，∴存在x0∈（1，2），当x∈（0，x0）时，g′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，g′（x）＞0，∴函数g（x）存在唯一最小值x0，满足=x0+2，∴g（x0）=x0+=x0+1∈（2，3），∵a=g（x）=x+有解，∴a≥g（x0）＞2，∴a＞2．【解析】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化问题、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于较难题．（Ⅰ）f′（x）=[x-（a-1）]e x，对a分类讨论即可得出单调性；（Ⅱ）函数f（x）在（0，+∞）有零点，可得方程f（x）=0有解，可得a==x+有解，令g（x）=x+，利用导数研究其单调性极值与最值即可得出a的取值范围．22.【答案】解：（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为：x2+y2-4x+1=0，即（x-2）2+y2=3…（2分）直线l的普通方程为x-y=0 …（4分）（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x-2）2+y2=3联立得：t2+2t+1=0，由韦达定理得：t1t2=1，|AP||AQ|=1 …（6分）将直线的极坐标方程θ=（ρ∈R）与圆的极坐标方程ρ2-4ρcosθ+1=0联立得：，由韦达定理得：ρ1ρ2=1，即|OP||OQ|=1 …（8分）所以，|AP||AQ||OP||OQ|=t1t2|ρ1ρ2|=1．…（10分）【解析】（Ⅰ）利用极坐标与直角坐标互化直接写出曲线C的直角坐标方程，消去参数即可得到直线l的普通方程；（Ⅱ）点A的直角坐标为（3，），设点P，Q对应的参数分别为t1，t2，点P，Q的极坐标分别为（），（）．将（t为参数）与（x-2）2+y2=3联立，得：t1t2=1，|AP||AQ|=1，转化求解|AP|•|AQ|•|OP|•|OQ|的值．本题考查极坐标与参数方程与直角坐标方程的互化，考查转化思想以及计算能力．23.【答案】解：（1）当a=2时，由f（x）≥-3，可得|x-2|-|2x-1|≥-3，①或②或③，解①得-4≤x＜；解②得≤x＜2；解③得x=2，综上所述，不等式的解集为{x|-4≤x≤2}；（2）若当x∈[1，3]时，f（x）≤3成立，即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2，故-2x-2≤x-a≤2x+2，即：-3x-2≤-a≤x+2，∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1，3]时成立，∴a∈[-3，5]．【解析】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，是一道中档题．（1）问题转化为解关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）根据x的范围，去掉绝对值符号，从而求出a的范围即可．。

宁夏六盘山高级中学届高三数学第四次模拟考试试题文讲义

宁夏六盘山高级中学2015-2016学年第二学期高三第四次模拟测试卷数学（文科）满分：150分测试时间：120分钟本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。

考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷一．选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

（1）设全集，，则图中阴影部分表示的集合为（A）（B）（C）（D）（2）已知，若为纯虚数，则的值为（A）（B）（C）（D）（3）若函数，则的值为（A）（B）（C）（D）（4）已知，则（A）（B）（C）（D）（5）已知实数满足，则的最大值为（A）（B）（C）（D）（6）公元年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了割圆术。

利用割圆术刘徽得到了圆周率精确到小数点后面两位的近似值，这就是著名的徽率。

如图是利用刘徽的割圆术设计的程序框图，则输出的值为（参考数据：，，）（A）（B）（C）（D）（7）设是所在平面内的一点，且，则与的面积之比是（A）（B）（C）（D）（8）已知抛物线的准线与双曲线相交于两点，点为抛物线的焦点，为直角三角形，则双曲线的离心率为（A）（B）（C）（D）（9）若函数为偶函数，则函数的单调增区间是（A）（B）（C）（D）（10）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（A）（B）（C）（D）（11）任取，直线与圆相交于两点，则的概率为（A）（B）（C）（D）（12）已知()是函数的一个零点，若，，则（A），（B），（C），（D），第II卷二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

(13)函数的图象在点处的切线方程是，则= .(14)已知都是实数，则命题“若则”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是________．(15)已知是球表面上的点，，，，，则球的表面积等于 .(16)锐角中，分别是三个内角的对边，设，则的取值范围是 .三．解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷(理科)

2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8πB ．4πC ．2π D ．34π 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题：①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥．其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．5C 43D 537．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D8．若231()nx x +展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( ) A ．1 B ．5 C ．10 D ．209．复数32(1)(i i += )A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B 2C 2D ．2 11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( ) A ．43B ．53C ．54D ．11412．已知以4T =为周期的函数21,(1,1]()1|2|,(1,3]m x x f x x x ⎧⎪-∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．15(，7)B ．4(3，7)C ．3(4，8)3D ．15(，8)3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = ．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r，则3r s +的值为．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为．16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = ．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆的面积为33，求11b c+的值． 18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点(0,1)6l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ．（1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1A =-，0，1}，A 的子集中，含有元素0的子集共有( ) A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个【思路分析】根据题意，列举出A 的子集中，含有元素0的子集，进而可得答案．【解析】：根据题意，在集合A 的子集中，含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，1}-、{1-，0，1}，四个；故选：B ．【归纳与总结】元素数目较少时，宜用列举法，当元素数目较多时，可以使用并集的思想． 2．在平面区域{(,)|0}2y x M x y x x y ⎧⎪=⎨⎪+⎩……„内随机取一点P ，则点P 在圆222x y +=内部的概率( )A ．8π B ．4πC ．2πD ．34π【思路分析】作出不等式组对应的平面区域，利用几何概型的概率公式，求出相应的面积即可得到结论．【解析】：如图示：作出不等式组对应的平面区域，对应区域为OAB ∆，则三角形的面积为11212S =⨯⨯=，点P 取自圆222x y +=内部的面积为圆面积的18，即21(2)84ππ⨯⨯=，则根据几何概型的概率公式可得，则点P 取自圆222x y +=内部的概率等于4π．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．利用数形结合是解决此类问题的基本方法． 3．已知直线l ，m ，平面α、β、γ，给出下列命题： ①//l α，//l β，m αβ=I ，则//l m ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③αγ⊥，βγ⊥，则αβ⊥； ④l m ⊥，l α⊥，m β⊥，则αβ⊥．其中正确的命题有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【思路分析】利用线面平行的性质定理判断①；利用面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理可判断②；若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，可判断③；利用面面垂直的判定定理可判断④．【解析】：①由线面平行的性质定理可知①正确；②由面面平行的性质定理可知，//αγ，因为m α⊥，所以m γ⊥，即②正确； ③若αγ⊥，βγ⊥，则α与β平行或相交，即③错误； ④由面面垂直的判定定理可知④正确．所以正确的命题有①②④，故选：C ．【归纳与总结】本题考查空间中线面的位置关系，熟练掌握线面平行或垂直的判定定理与性质定理是解题的关键，考查学生的空间立体感和推理论证能力，属于基础题．4．已知m R ∈，“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【思路分析】根据函数的性质求出m 的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解析】：若函数()21x y f x m ==+-有零点，则(0)111f m m =+-=<，当0m „时，函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数不成立，即充分性不成立，若log m y x =在(0,)+∞上为减函数，则01m <<，此时函数21x y m =+-有零点成立，即必要性成立，故“函数21x y m =+-有零点”是“函数log m y x =在(0,)+∞上为减函数”的必要不充分条件，故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数零点和对数函数的性质求出等价条件是解决本题的关键．5．若函数()cos f x x ax =-+为增函数，则实数a 的取值范围为( ) A ．[1-，)+∞B ．[1，)+∞C ．(1,)-+∞D ．(1,)+∞【思路分析】由题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立，分离参数后结合正弦函数的性质即可求解．【解析】：由题意可得，()sin 0f x x a '=+…恒成立，故sin a x -…恒成立，因为1sin 1x --剟，所以1a …．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础试题． 6．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( )A ．23B ．25C ．43 D ．53【思路分析】由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．据此即可得到体积．【解析】：由三视图可知：该几何体是一个棱长和底面边长都是2的正三棱锥砍去一个三棱锥得到的几何体．11111111PB C ABC A B C ABC P A B C V V V ---=- 2231322213=⨯⨯-⨯⨯⨯ 53=．故选：D ．【归纳与总结】由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．7．我国古代名著《庄子g 天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分①② ③ A 7i „？1s s i =-1i i =+B128i „？ 1s s i=-2i i = C7i „？ 12s s i=-1i i =+ D128i „？12s s i=-2i i =A ．AB ．BC ．CD ．D【思路分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知该程序的作用是累加并输出S 的值，由此得出结论．【解析】：程序运行过程中，各变量值如下表所示：第1次循环：112S =-，4i =，第2次循环：11124S =--，8i =，第3次循环：1111248S =---，16i =，⋯依此类推，第7次循环：11111248128S =----⋯-，256i =，此时不满足条件，退出循环，其中判断框内①应填入的条件是：128i „？，执行框②应填入：1s s i=-，③应填入：2i i =．故选：B ．【归纳与总结】本题考查了程序框图的应用问题，程序填空是重要的考试题型，准确理解流程图的含义是解题的关键．8．若231()n x x+展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为( )A ．1B ．5C ．10D ．20【思路分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值【解析】：令1x =可得231()n x x +展开式的各项系数之和为232n=， 5n ∴=，故其展开式的通项公式为10515r r r T x -+=g ð，令1050r -=，求得2r =，可得常数项为2510=ð，故选：C ．【归纳与总结】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题． 9．复数32(1)(i i += ) A ．2B ．2-C ．2iD ．2i -【思路分析】复数i 的幂的计算，直接乘积展开可得结果．【解析】：32(1)()(2)2i i i i +=-=，故选：A ．【归纳与总结】复数代数形式的运算，注意i 的幂的运算，是基础题．10．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且23952a a a =g ，21a =，则1(a = )A ．12B C D ．2【思路分析】设等比数列的公比为q ，根据等比数列的通项公式把23952a a a =g 化简得到关于q 的方程，由此数列的公比为正数求出q 的值，然后根据等比数列的性质，由等比q 的值和21a =即可求出1a 的值．【解析】：设公比为q ，由已知得28421112()a q a q a q =g ，即22q =，又因为等比数列{}n a 的公比为正数，所以q =，故21a a q ===．故选：B ．【归纳与总结】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．11．设1F ，2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左，右焦点．若在双曲线右支上存在一点P ，满足212||||PF F F =，且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为( )A ．43 B ．53 C ．54D【思路分析】利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a 与b 之间的等量关系，进而求出离心率．【解析】：依题意212||||PF F F =，可知三角形21PF F 是一个等腰三角形，2F 在直线1PF 的投影是其中点，由勾股定理知可知1||2PF =4b =根据双曲定义可知422b c a -=，整理得2c b a =-，代入222c a b =+整理得2340b ab -=，求得43b a =；53c e a ∴==．故选：B ．【归纳与总结】本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．12．已知以4T =为周期的函数(1,1]()1|2|,(1,3]x f x x x ⎧⎪∈-=⎨--∈⎪⎩，其中0m >，若方程3()f x x =恰有5个实数解，则m 的取值范围为( )A ．B ．4(3C ．3(4，8)3D ．，8)3【思路分析】根据对函数的解析式进行变形后发现当(1x ∈-，1]，[3，5]，[7，9]上时，()f x 的图象为半个椭圆．根据图象推断要使方程恰有5个实数解，则需直线13y x =与第二个椭圆相交，而与第三个椭圆不公共点．把直线分别代入椭圆方程，根据△可求得m 的范围．【解析】：Q 当(1x ∈-，1]时，将函数化为方程2221(0)y x y m+=…，∴实质上为一个半椭圆，其图象如图所示，同时在坐标系中作出当(1x ∈，3]得图象，再根据周期性作出函数其它部分的图象，由图易知直线13y x =与第二个椭圆222(4)1(0)y x y m -+=…相交，而与第三个半椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …无公共点时，方程恰有5个实数解，将13y x =代入222(4)1y x m -+=(0)y …得，2222(91)721350m x m x m +-+=，令29(0)t m t =>，则2(1)8150t x tx t +-+=，由△2(8)415t t =-⨯(1)0t +>，得15t >，由2915m >，且0m >得m >，同样由 13y x =与第三个椭圆222(8)1y x m -+=(0)y …由△0<可计算得m <，综上可知m ∈．故选：A ．【归纳与总结】本题主要考查了函数的周期性．采用了数形结合的方法，很直观．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知tan 2x =，求cos2x = 35- ．【思路分析】已知tan 2x =，根据弦切互化公式得222111cos sec 1tan 5x x x ===+；而2cos22cos 1x x =-，代入求出值即可．【解析】：tan 2x =Q ，222111cos sec 1tan 5x x x ∴===+；所以213cos22cos 12155x x =-=⨯-=-故答案为35-【归纳与总结】考查学生会进行弦切互化，会化简二倍角的余弦，整体代入思想的运用能力．14．若D 点在三角形ABC 的边BC 上，且4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ，则3r s +的值为 85．【思路分析】根据4CD DB =u u u r u u u r 即可得出4455CD AB AC =-u u u r u u u r u u u r，然后根据平面向量基本定理即可得出r ，s 的值，从而得出3r s +的值．【解析】：如图， Q 4CD DB r AB sAC ==+u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴444555CD CB AB AC ==-u u u r u u u r u u u r u u u r ，∴根据平面向量基本定理得，44,55r s ==-， ∴12483555r s +=-=．故答案为：85．【归纳与总结】本题考查了向量减法和数乘的几何意义，平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．15．已知A ，B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为 1或3 ．【思路分析】分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，由线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，设0(M x ，0y )，可得0||12px -=，由此求得p 值．【解析】：分别过A 、B 作交线:2pl x =-的垂线，垂足分别为C 、D ，设AB 中点M 在准线上的射影为点N ，连接MN ，设1(A x ，1y )，2(B x ，2y )，0(M x ，0y )根据抛物线的定义，得||||||||4AF BF AC BD +=+=，∴梯形ACDB 中，中位线1(||||)22MN AC BD =+=，可得022p x +=，022px =-，Q 线段AB 的中点到直线2p x =的距离为1，可得0||12px -=，|2|1p ∴-=，解得1p =或3p =，故答案为：1或3．【归纳与总结】本题考查抛物线中参数的求法，考查抛物线、直线方程等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题 16．观察下列算式：311=，3235=+， 337911=++， 3413151719=+++⋯⋯若某数3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有“2021”这个数，则n = 45 ．【思路分析】由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个整数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个数，可得(1)220212n n -⨯<，解出即可得出．【解析】：由已知规律可得：3n 按上述规律展开后，发现等式右边含有n 个正奇数．而前面1n -个等式共含有(1)12(1)2n n n -++⋯⋯+-=个奇数，(1)220212n n -∴⨯<，即(1)2021n n -<，而454419802021.464520702021⨯=<⨯=>． 45n ∴=，故答案为：45．【归纳与总结】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、归纳推理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分）17．（12分）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin()0b A a A C -+=．（Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若3a =，ABC ∆，求11b c+的值．【思路分析】（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==，得2cos 1A =，所以3A π=．（Ⅱ）由ABC ∆的面积为及6A bc π=⇒=，由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，b c +=，即可得11b c b c bc ++==．【解析】：（Ⅰ）由sin 2sin()0b A a A C -+=得sin2sin sin b A a B b A ==⋯⋯（3分）又0A π<<，所以sin 0A ≠，得2cos 1A =，所以3A π=⋯⋯（6分）（Ⅱ）由ABC ∆及3A π=，得1sin 23bc π=6bc =⋯⋯（8分）又3a =，从而由余弦定理得222cos 9b c bc A +-=，所以b c +=（10分）所以11b c b c bc ++==（12分）【归纳与总结】本题主要考查了正余弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．18．（12分）如图所示，某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损，其中，频率分布直方图的分组区间分别为[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100)，据此解答如下问题．（1）求全班人数及分数在[80，100]之间的频率；（2）现从分数在[80，100]之间的试卷中任取3份分析学生失分情况，设抽取的试卷分数在[90，100]的份数为X ，求X 的分布列和数学望期．【思路分析】（1）由茎叶图先分析出分数在[50，60)之间的频数，结合频率分布直方图中该组的频率，可得到全班人数，再由茎叶图求出数在[80，100]之间的频数，即可得到分数在[80，100]之间的频率；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可得到X 的分布列和数学期望．【解析】：（1）由茎叶图知，分数在[50，60)之间的频数为4，频率为0.0125100.125⨯=，∴全班人数为40.125人．∴分数在[80，100]之间的频数为32481010---=，∴分数在[80，100]之间的频率为100.312532=；（2）由（1）知，分数在[80，100]之间有10份，分数在[90，100]之间有0.012510324⨯⨯=份．由题意，X 的取值为0，1，2，3，则363101(0)6C P X C ===，12463101(1)2C C P X C ===，21463103(2)10C C P X C ===，343101(3)30C P X C ===，X 0 123P16 12 310 130 数学期望()0123 1.2621030E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．【归纳与总结】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，考查分布列和数学期望，频率分布直方图，茎叶图，是统计和概论比较综合的应用，学会用图并掌握相关的重要公式是解答的关键．19．（12分）如图所示，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，O 为AE 的中点，以AE 为折痕将ADE ∆向上折起，使D 到P ，且PC PB = （1）求证：PO ⊥面ABCE ．（2）求AC 与面PAB 所成角θ的正弦值．【思路分析】（1）取BC 的中点F ，连OF ，PF ，证明OF BC ⊥，BC PF ⊥，得到BC ⊥面POF从而证明BC PO ⊥，可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系，设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r r g r r u u u rr g ，得到AC 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r 【解析】：（1）PA PE =，OA OE PO AE =∴⊥（1）取BC 的中点F ，连OF ，PF ，//OF AB ∴，OF BC ∴⊥ 因为PB PC BC PF =∴⊥，所以BC ⊥面POF 从而BC PO ⊥（2）由（1）（2）可得PO ⊥面ABCE（2）作//OG BC 交AB 于G ，OG OF ⊥如图，建立直角坐标系{,,}OG OF OP u u u r u u u r u u u r，(1,1,0),(1,3,0),(1,3,0),(0,02)(2,4,0),(1,1,2),(0,4,0)A B C P AC AP AB --=-=-=u u u r u u u r u u u r设平面PAB 的法向量为20(,,)(2,0,1)40n AP x y z n x y z n AC n AB y ⎧=-++=⎪=⇒=⎨==⎪⎩u u u r g r r u u u rr g 与面PAB 所成角θ的正弦值30sin |cos ,|n AC θ=<>=u u ur r【归纳与总结】本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键．20．（12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过点(0,1)l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点Q 、P ，与椭圆分别交于点M 、N ，各点均不重合且满足12,PM MQ PN NQ λλ==u u u u r u u u u r u u u r u u u r ．（1）求椭圆的标准方程；（2）若123λλ+=-，试证明：直线l 过定点并求此定点．【思路分析】（1）根据题意列出关于a ，b ，c 的方程组，解出a ，b ，c 的值，从而求出椭圆的标准方程；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-，由已知条件推出111m y λ=-，221my λ=-，所以123λλ+=-，即1212()0y y m y y ++=，再联立直线与椭圆方程，利用韦达定理代入上式，即可得到直线l 过定点．【解析】：（1）由题意可知2221b ca ab c=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，解得：1a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，∴椭圆的标准方程为：2213x y +=；（2）由题意设(0,)P m ，0(Q x ，0)，1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，设直线l 的方程为()x t y m =-，由1PM MQ λ=u u u u r u u u u r知，1(x ，1101)(y m x x λ-=-，1)y -，111y m y λ∴-=-，由题意10λ≠，∴111my λ=-，同理由2PN NQ λ=u u u r u u u r 知，221my λ=-，123λλ∴+=-，1212()0y y m y y ∴++=①，联立方程2233()x y x t y m ⎧+=⎨=-⎩，消去x 得：22222(3)230t y mt y t m +-+-=，∴需△2422244(3)(3)0m t t t m =-+->②，且有212223mt y y t +=+，2212233t m y y t -=+③，把③代入①得：222320t m m mt -+=g ，2()1mt ∴=，由题意0mt <，1mt ∴=-，满足②式，∴直线l 的方程为1x ty =+，过定点(1,0)，即(1,0)为定点．【归纳与总结】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．21．（12分）已知函数21()12f x lnx ax bx =-++的图象在1x =处的切线l 过点1(2，1)2．（1）若函数()()(1)(0)g x f x a x a =-->，求()g x 最大值（用a 表示）；（2）若4a =-，121212()()32f x f x x x x x ++++=，证明：1212x x +…．【思路分析】（1）求得()f x 的导数，可得切线的斜率和切点，运用斜率公式，化简可得0b =，得到()f x 和()g x 的解析式，求出导数和单调区间，即可得到所求最大值；（2）求得()f x 的解析式，由条件化简可得2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-，求得导数和单调区间，可得()h t 的最小值，进而运用因式分解，即可得到结论．【解析】：（1）函数21()12f x lnx ax bx =-++的导数为：1()f x ax b x'=-+，可得图象在1x =处的切线l 的斜率为1k a b =-+，切点为1(1,1)2b a +-，由切线经过点1(2，1)2，可得111221112b a a b +---+=-，化简可得，0b =，则21()12f x lnx ax =-+，21()1(1)(02g x lnx ax a x x =-+-->，0)a >，1(1)(1)()(1)x ax g x ax a x x +-'=---=-，当10x a <<时，()0g x '>，()g x 递增；当1x a>时，()0g x '<，()g x 递减．可得1111()()1122max g x g lna lna a a a a==--+-+=-；（2）证明：4a =-时，2()21f x lnx x =++， 121212()()32f x f x x x x x ++++=，可得2211221212212132lnx x lnx x x x x x ++++++++=，化为2212121212122(2)()()x x x x x x x x ln x x ++++=-，即有2121212122()()()x x x x x x ln x x +++=-，令12t x x =，0t >，设()h t t lnt =-， 1()1h t t'=-，当1t >时，()0h t '>，()h t 递增；当01t <<时，()0h t '<，()h t 递减．即有()h t 在1t =取得最小值1，则212122()()1x x x x +++…，可得1212(1)(221)0x x x x +++-…，则122210x x +-…，可得1212x x +…．【归纳与总结】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查不等式的证明，注意运用转化和变形，以及构造函数的方法，考查运算能力，属于难题．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数），曲线222:12x C y +=．（Ⅰ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的交点为B ，求||AB ．【思路分析】（Ⅰ）由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得1C ，2C 的极坐标方程；（Ⅱ）求出A ，B 的极径，即可求||AB ．【解析】：（Ⅰ）曲线11cos :(sin x C y ααα=+⎧⎨=⎩为参数）可化为普通方程：22(1)1x y -+=，由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩可得曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为22(1sin )2ρθ+=．（Ⅱ）射线(0)6πθρ=…与曲线1C 的交点A 的极径为12cos 6πρ==射线(0)6πθρ=…与曲线2C 的交点B 的极径满足222(1sin )26πρ+=，解得2ρ=所以12||||AB ρρ=-．【归纳与总结】本题考查了直角坐标方程转化为极坐标方程、直线与圆的相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． [选修4-5：不等式选讲]23．已知关于x 的不等式|2||3||1|x x m --++…有解，记实数m 的最大值为M ．（1）求M 的值；（2）正数a ，b ，c 满足2a b c M ++=，求证：111a b b c+++…．【思路分析】（1）根据绝对值不等式的性质进行转化求解．（2）利用1的代换，结合基本不等式的性质进行证明即可．【解析】：（1）由绝对值不等式得|2||3||2(3)|5x x x x --+--+=厔，若不等式|2||3||1|x x m --++…有解，则满足|1|5m +„，解得64m -剟．4M ∴=．（2）由（1）知正数a ，b ，c 满足足24a b c ++=，即1[()()]14a b b c +++=∴11111111[()()]()(11)(2414444b c a b a b b c a b b c a b b c a b b c +++=++++=++++⨯=++++++厖，当且仅当b c a ba b b c++=++即2a b b c +=+=，即a c =，2a b +=时，取等号．∴111a b b c+++…成立．【归纳与总结】本题主要考查不等式的求解和应用，根据绝对值不等式的性质以及基本不等式的应用，利用1的代换是解决本题的关键．————————————————————————————————————《初、高中数学教研微信系列群》简介：目前有8个群（7个高中群、1个初中群），共3000多大学教授、教师、中学优秀、特、高级教师，省、市、区县教研员、教辅公司数学编辑、报刊杂志初、高中数学编辑等汇聚而成，是一个围绕初、高中数学教学研究展开教研活动的微信群.宗旨：脚踏实地、不口号、不花哨、接地气的高中数学教研！特别说明：1.本系列群只探讨初、高中数学教学研究、数学试题研究等相关话题；2.由于本群是集“研究—写作—发表（出版）”于一体的“桥梁”，涉及业务合作，特强调真诚交流，入群后立即群名片：教师格式：省+市+真实姓名，如：四川成都张三编辑格式：公司或者刊物（简写）+真实姓名欢迎各位老师邀请你身边热爱初、高中数学教研（不喜欢研究的谢绝）的教师好友（学生谢绝）加入，大家共同研究，共同提高！群主二维码：见右图————————————————————————————————————附:《高中数学教研微信系列群》“助力2020高考”特别奉献备考（纯WORD）资料已分享目录——（1）2020上海市春季高考数学试卷(精美纯WORD版全详解)（2）2020年广东省广州市天河区高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（3）2020年河南省郑州市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（4）2020年四川省成都七中高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（5）2020年安徽省合肥市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（6）2020年辽宁省沈阳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（7）2020年湖北省武汉市高三三月调考数学试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（8）2020年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（9）2020年广西高考数学一诊试卷（理科）(精美纯WORD版全详解)（10）2020年安徽省合肥市数学一模试卷（文科）(精美纯WORD版全详解)（11）2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）(精美纯WORD版全详解)（12）2020年宁夏六盘山高中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）(精美纯WORD版全详解)不断更新中.......。

2020届宁夏六盘山高级中学高三第四次模拟测试数学(文)试题答案

1 ∴(2x－2)max≤a≤(2x＋2)min(x∈[2，1])，
∴0≤a≤3.
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在矩形 ABCD 中， CB AB
平面ABCD 平面ABEF AB,CB 平面ABCD
CB 平面ABEF AF 平面ABEF AF CB
又 AB 为圆 O 的直径， AF BF 又 CB BF B,CB 平面CBF , BF 平面CBF AF 平面CBF 而 AF 平面DAF, 平面DAF 平面CBF
上， AB // EF ，矩形 ABCD 所在平面和圆 O 所在平面互相垂直，已知 AB 4, EF 2
（1）求证：平面 AFD 平面 BED （2）若几何体 F BEC 和几何体 F ABCD 的体积分别为V1和V2 ，求V1 :V2 证明（1）平面ABCD 平面ABEF
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亟待帮助户共有 0.25*0.2*100=5（户）所以利用分层抽样抽取 6 户，抽到的亟待帮助户户数为 6 5 2 （户）
15 抽到不是亟待帮助户户数为 6-2=4（户）
将所有可能的抽取结果一一列出（略）有古典概型概率公式得 P( A) 9 3
15 5 19. 如图， AB 为圆 O 的直径，点 E, F 在圆 O
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为贫困指标 x ，再将指标 x 分成 [0,0.2),[0.2,0.4), [0.4,0.6),[0.6,0.8), [0.8,1.0] 五组，得到如右图所示的频率分布直方图。若规定 0 x 0.6 ，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当 0.8 x 1.0 时，认定该户为“低收入户”，当 0 x 0.2 时，认定该户为“亟待帮助户”。已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的 24% 。（1）完成下列列联表，并判断是否有 90% 的把握认为绝对贫困户数与村落有关。（2）某干部决定在这两村贫困指标在[0,0.2),[0.2,0.4) 内的贫困户中，利用分层抽样抽取 6 户。现从这 6 户中随机选取 2 户进行帮扶，求所选 2 户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率

2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷（文科）

2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷（文科）2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷（文科）一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ={x|?2<="" 2?3x=""A. (0,1)B. (?2,3]C. [0,1)D. (1,3]2. 命题“?x ∈R ，e x ?x 2>0”的否定是( )A. ?x 0∈R,e x 0?x 02>0 B. ?x 0∈R,e x 0?x 02≤0 C. ?x 0∈R,e x 0?x 02≥0D. ?x 0∈R,e x 0?x 02<03. 已知a >0，f(x)={log 2x(x >0)a x ?1(x ≤0)，且f(?2)=3，则f(f(14))=( )A. 3B. ?3C. ?4D. ?344. 等比数列{a n }中，已知a 2=2，a 6=8，则a 4=( )A. ±4B. 4C. ?4D. 165. 由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是( )A. 归纳推理B. 类比推理C. 演绎推理D. 以上都不是6. 如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M.在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为P(A)，取自M 区域的概率记为P(M)，则( )A. P(A)>P(M)B. P(A)<p(m)< bdsfid="101" p=""></p(m)<>C. P(A)=P(M)D. P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关7. 已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3，面积为3π的扇形，则该圆锥的底面半径为( )A. 4B. 3C. 2D. 18. 下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是( )A. y =cos(2x +π2) B. y =sin(2x +π2) C. y =sin 2x +cos 2xD. y =sin x +cos x9. 最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，△ABC 满足“勾三股四弦五”，其中股AB =4，D 为弦BC 上一点(不含端点)，且△ABD 满足勾股定理，则cos <ab ="" ,ad<="" p="" bdsfid="119">。

2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(文科) (解析版)

2020年宁夏六盘山高中高考数学四模试卷(文科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2−3x<0}，B={x|y=√1−x}，则A∩B=()A. [0,3)B. (1,3)C. (0,1]D. (0,1)2.命题“，x3−x2+1>0”的否定是()A. ，x3−x2+1<0B. ，x3−x2+1⩽0C. ，x3−x2+1⩽0D. ，x3−x2+1>03.设函数f(x)={log2x,x>1x2+1,x≤1，则f(f(1))的值为()A. −1B. 1C. 0D. 24.设{a n}是等比数列，若a1=1，a5=16，则a7=()A. 63B. 64C. 127D. 1285.已知(1)正方形的对角线相等；(2)矩形的对角线相等；(3)正方形是矩形．由(1)、(2)、(3)组合成“三段论”，根据“三段论”推理出一个结论，则这个结论是()A. 正方形是矩形B. 矩形的对角线相等C. 正方形的对角线相等D. 以上均不正确6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A和M.在此图内任取一点，此点取自A区域的概率记为P(A)，取自M区域的概率记为P(M)，则()A. P(A)>P(M)B. P(A)<P(M)C. P(A)=P(M)D. P(A)与P(M)的大小关系与半径长度有关7.已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6，圆心角为π3的扇形，则圆锥的高为()A. √33B. √34C. √35D. 58.下列函数中，最小正周期为π且图像关于原点对称的函数是()A. y =cos(2x +π2) B. y =sin(2x +π2) C. y =sin2x +cos2xD. y =sinx +cosx9. 在△ABC 中，|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，，AD 是边BC 上的高，则AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值等于( ) A. −94B. 94C. 274D. 910. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c.若acosA =(acosC +ccosA)cosB ，则△ABC 的形状是( )A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形11. 已知A ，B 是双曲线E 的左、右焦点，点C 在E 上，∠B =2π3，若(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ =0，则E 的离心率为( )A. √5−1B. √3+1C. √3−12D. √3+1212. 已知函数f(x)=e |x|+|x|，则满足f(2x −1)<f(13)的x 的取值范围是( )A. (13,23)B. [13,23)C. (12,23)D. [12,23)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知a 是实数，i 是虚数单位，若z =a 2−1+(a +1)i 是纯虚数，则a =______． 14. 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 5+a 7=22，则S 11=_____． 15. 曲线f(x)=e x cosx −x.在点(0,f(0))处的切线方程是______．16. 已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1的所有棱长都相等，M 是棱A 1B 1的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的面积是30，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，cosA =1213．(Ⅰ)求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC⃗⃗⃗⃗⃗ ； (Ⅱ)若c −b =1，求a 的值．18.某科研所共有30位科研员，其中60%的人爱好体育锻炼．经体检调查，这30位科研员的健康指数(百分制)如下茎叶图所示．体检评价标准指出：健康指数不低于70者为身体状况好，健康指数低于70者为身体状况一般．(1)根据以上资料完成下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“身体状况好与爱好体育锻炼有关系”？身体状况好身体状况一般总计经常体育锻炼缺少体育锻炼总计30(2)从该科研所健康指数高于90的5人中随机选取2人介绍养生之道，求这2人中至多1人爱好体育锻炼的概率．．附：x2=(a+b+c+d)(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K2≥k0)0.100.050.0250.0100.0060.001k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.82819.如图，AB为圆O的直径，点E，F在圆O上，AB//EF，矩形ABCD和圆O所在的平面互相垂直，已知AB=4，EF=2．(1)求证：平面DAF⊥平面CBF；(2)当AD=4时，求多面体FABCD的体积．20.已知双曲线x2−y2=1，过点A(1,1)是否存在直线l，使l与双曲线交于P，Q两点，并且A为2线段PQ的中点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21.已知函数f(x)=e−x−ax(x∈R)．(1)当a=−1时，求函数f(x)的最小值；(2)若x≥0时，f(−x)+ln(x+1)≥1，求实数a的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =1+cosαy =sinα(α为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=1，直线l 的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R)．(1)求：①曲线C 1的普通方程； ②曲线C 2与直线l 交点的直角坐标；(2)设点M 的极坐标为(6,π3)，点N 是曲线C 1上的点，求△MON 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −a|+|2x −1|，a ∈R ．(Ⅰ)当a =1时，求不等式f(x)≤3的解集；(Ⅱ)若关于x 的不等式f(x)≤|2x +1|的解集包含集合[12,1]，求实数a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，一元二次不等式的解法，以及交集的运算．解：A ={x|0<x <3}，B ={x|x ≤1}； ∴A ∩B =(0,1]．故选：C ．2.答案：B解析：【试题解析】本题考查命题的否定，属于基础题．根据存在量词命题的否定是全称量词命题求解即可．解：含有存在命题的否定，需要用全称量词替代存在量词，同时否定结论，故命题“，x 3−x 2+1>0”的否定是“∀x ∈R ，x 3−x 2+1≤0”，故选B ．3.答案：B解析：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．解：∵函数f(x)={log 2x,x >1x 2+1,x ⩽1，∴f(1)=1+1=2，f(f(1))=f(2)=log 22=1．故选B ．4.答案：B。

宁夏六盘山高级中学2020届高三下学期模拟考试数学（理）试题

绝密★启用前宁夏六盘山高级中学2020届高三第二次模拟考试理科数学试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写在本试题相应的位置、涂清楚.2.选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设,,a b R i ∈是虚数单位，则“0ab =”是“复数ba i+为纯虚数”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2.集合{}0,2,,A a ={}21,,B a =，若{}0,1,2,4,16,AB =则实数a 的值为A. 0B. 1C. 2D. 43.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0，若2a ，3a ，6a 成等比数列，则数列{}n a 的前6项的和6S 为A. B. C. 3 D. 84.设向量(2,1)a =，(0,2)b =-则与2a b +垂直的向量可以是 ( )A. B. C. D.5.用一平面去截体积为43π的球，所得截面的面积为π，则球心到截面的距离为A. 2B.C.D. 16.5()(2)x y x y +-的展开式中的33x y 系数为（）A.B.C. 40D. 807.下列命题中，错误命题是A. “若11a b<则0a b >>的逆命题为真. B. 线性回归直线y bx a =+必过样本点的中心(,)x y .C. 在平面直角坐标系中到点(1,0)和(0,1)的距离的和为2的点的轨迹为椭圆.D. 在锐角ABC ∆中，22sin cos A B >.8.元朝著名数学家朱世杰在四元玉鉴中有一首诗：“我有一壶酒，携着游春走，遇店添一倍，逢友饮一斗，店友经三处，没了壶中酒，借问此壶中，当原多少酒？”用程序框图表达如图所示．若将“没了壶中酒”改为“剩余原壶中13的酒量”，即输出值是输入值的13，则输入的x =A.35B. 911 C ．2123D. 45479.已知圆223(1)4x y -+=的一条切线y kx =与双曲线2222:-1x y C a b=(0,0)a b >>没有公共点，则双曲线的离心率的取值范围是（） A.(1,3)B.(1,2]C.3+∞（，）D. [2,)+∞ 10.将正方形ABCD 沿对角线BD 折成直二面角ABCD ，有如下四个结论：；是等边三角形；所成的角为；所成的角为．其中错误的结论是（）A. B. C. D.11.函数3()ln f x x mx =+有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是 ( )A.1(,)3e -+∞B. 1(,0)3e - C. 1(,)3e -∞- D. 11(,)3e e-- 12.在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =,动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+，则λμ+的最大值为 ( )A.3B. 22C.5D. 2二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）．13.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，() 2.4D X =，(4)(6)P X P X =<=，则p =________．14. 函数()sin()f x A x ωϕ=+(,,0,0)A A ωϕω>>是常数，的部分图象如图所示，则-3f π（）的值是______15. 若数列{}n a 满足11a =，212323n n a a a na n a ++++=，2020a =_____.16.“解方程34()()155x x +=”有如下思路；设34()()()55x xf x =+，则()f x 在R 上单调递减，且(2)1f =，故原方程有唯一解2x =，类比上述解题思路，不等式632(2)(2)x x x x -+>+-的解集是______．三、解答题：共70分。

宁夏省六盘山市2020届高三第四次模拟测试数学(文)试卷

文科数学试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1.已知集合2{|21},{|30}A x x B x x x =-<<=-≤，则A B =（）A.(0,1)B.(2,3]-C.[0,1)D.(1,3]【答案】C 【解析】【分析】先求出集合B ，再进行交集运算即可.【详解】集合{}2{|30}03B x x x x x =-≤=≤≤，所以{01}[0,1)A B x x ⋂=≤<= 故选C.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，集合的交集运算，属基础题. 2.命题“2,0x x R e x ∀∈->”的否定是（） A.0200,0xx R e x ∃∈-> B.0200,0x x R e x ∃∈-≤ C.0200,0xx R e x ∃∈-≥ D.0200,0xx R e x ∃∈-<【答案】B 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题的知识，写出原命题的否定. 【详解】原命题是全称命题，故其否定是特称命题.命题“2,0x x R e x ∀∈->”的否定是:“0200,0xx R e x ∃∈-≤” 所以B 选项符合. 故选：B【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题，考查全称命题的否定，属于基础题.3.已知0a >，2log (0)()1(0)xxx f x a x >⎧=⎨-≤⎩，且(2)3f -=，则1(())4f f =（）A.3B.3-C.4-D.34-【答案】A 【解析】【分析】求出1()4f 的值，根据(2)3f -=，即得答案. 【详解】211log 244f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，又()23f -=，()1234f f f ⎛⎫⎛⎫∴=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：A .【点睛】本题考查分段函数求值，属于基础题. 4.等比数列{}n a 中，已知22a =，68a =，则4a =（） A.4 B.4± C.4- D.5【答案】A 【解析】【分析】由等比数列知识可知4624a q a ==，进而求出2q 的值，再由242a a q =⋅进行计算即可得解. 【详解】设等比数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，所以462842a q a ===，所以22q =，所以242224a a q =⋅=⋅=. 故选：A .【点睛】本题考查等比数列通项公式的应用，侧重考查对基础知识的理解和掌握，考查计算能力，属于常考题.5.由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是 A.类比推理 B.归纳推理 C.演绎推理D.以上都不是【答案】A 【解析】试题分析：从推理形式上看，由特殊到特殊的推理是类比推理，由部分到整体，个别到一般的推理是归纳推理，由一般到特殊的推理是演绎推理．考点：逻辑推理.6.下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由一个半圆和一个四分之一圆构成，两个阴影部分分别标记为A 和M .在此图内任取一点，此点取自A 区域的概率记为()P A ，取自M 区域的概率记为()P M ，则（）A.()()P A P M >B.()()P A P M <C.()()P A P M =D.()P A 与()P M 的大小关系与半径长度有关【答案】C 【解析】【分析】利用圆的面积公式和扇形的面积公式，分别求得阴影部分的面积，得到阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，即可求解.【详解】由题意，设四分之一圆的半径为R 2R ，阴影部分A 的面积为212R ，空白部分的面积为221142R R π-，阴影部分M 的面积为：2222121112422R R R R ππ⎫⎛⎫⨯⨯--=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，阴影部分A 的面积＝阴影部分M 的面积，所以P A P M （）＝（），故选C. 【点睛】本题主要考查了几何概型的应用，其中解答中认真审题，正确求解阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7.已知某圆锥的侧面展开图是圆心角为23π，面积为3π的扇形，则该圆锥的底面半径为（） A.4 B.3C.2D.1【答案】D 【解析】【分析】根据扇形的面积计算出扇形的半径，即圆锥的母线长，由此可计算出扇形的弧长，即为圆锥的底面圆周长，进而可计算出该圆锥的底面半径. 【详解】设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则212323l ππ⨯⨯=，解得3l =，所以，圆锥的底面圆周长为2223r l πππ==，解得1r =. 故选：D.【点睛】本题考查圆锥底面半径的计算，考查了圆锥侧面积的计算，考查计算能力，属于基础题.8.下列函数中，最小正周期为π且图象关于原点对称的函数是（） A.cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B.sin 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C.sin2cos2y x x =+D.sin cos y x x =+【答案】A 【解析】【分析】求出函数的周期，函数的奇偶性，判断求解即可．【详解】解：y ＝cos （2x 2π+）＝﹣sin2x ，是奇函数，函数的周期为：π，满足题意，所以A 正确y ＝sin （2x 2π+）＝cos2x ，函数是偶函数，周期为：π，不满足题意，所以B 不正确；y ＝sin2x +cos2x =（2x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为π，所以C 不正确；y ＝sin x +cos x =（x 4π+），函数是非奇非偶函数，周期为2π，所以D 不正确；故选A ．考点：三角函数的性质.9.最早发现勾股定理的人是我国西周数学家商高，商高比毕达哥拉斯早500多年发现勾股定理，如图所示，ABC 满足“勾三股四弦五”，其中股4AB =，D 为弦BC 上一点（不含端点），且ABD △满足勾股定理，则cos ,AB AD <>=（）A.35B.45C.34D.512【答案】A 【解析】【分析】首先根据直角三角形等面积公式计算斜边的高AD 的长，再根据向量数量积公式转化，并计算cos ,AB AD <>的值.【详解】由题意可知AD BC ⊥，所以根据等面积转化可知435BA AC BC AD AD ⨯=⨯⇔⨯=⨯，解得：125AD =()2AB AD AD DB AD AD ⋅=+⋅=，23cos ,454AD AB AD ADAB AD AB ADAD⋅<>====. 故选：A【点睛】本题考查向量数量积，向量夹角的余弦值，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于基础题型.10.在ABC 中，设,,a b c 分别是角,,A B C 所对的边长，且直线cos cos 0ax y A B +-=与cos cos 0x B by A -+=垂直，则ABC 一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】C【解析】【分析】本题首先可以结合角,,A B C 是ABC 的内角排除两条直线一条平行于x 轴、一条平行于y 轴的情况，然后根据两直线垂直得出cos cos 0a B b A ，最后结合正弦定理边角互化以及两角差的正弦公式即可得出结果.【详解】当cos 0A =，cos 0B =时，两直线方程为0x =、0y =，相互垂直，因为角,,A B C 是ABC 的内角，所以cos A 与cos B 不可能同时为0，故排除这种情况，因为直线cos cos 0ax y A B +-=与cos cos 0x B by A -+=垂直，所以cos cos 0a B b A ，即sin cos cos sin 0A B A B -=，()sin 0A B -=，A B =，故ABC 一定是等腰三角形，故选：C.【点睛】本题考查两直线垂直的相关性质，若两直线0AxBy C ++=与0Dx Ey F ++=垂直，则满足一条直线平行于x 轴、一条直线平行于y 轴或0A D B E ，考查计算能力，考查化归与转化思想，是中档题.11.已知12,F F 是双曲线C 的左右焦点，点P 在双曲线C 上，126F PF π∠=，且2121()0F F F P F P +⋅=，则双曲线C 的离心率为（）1 B.121-D.12【答案】D 【解析】分析】设N 为1PF 的中点，由2121()0F F F P F P +⋅=，可得12F F P 为等腰三角形，由双曲线的定义可得122PF a c =+，在直角三角2PNF 中，122cos 2PN a c F PF PF c +∠===可求出答案.【详解】如图，设N 为1PF 的中点，则21222F F F P F N +=, 由2121()0F F F P F P +⋅=，即210F N F P ⋅=,所以21F N F P ⊥ 所以12F F P 为等腰三角形，1222F F F P c ==由双曲线的定义有：122PF F P a -=，所以122PF a c =+ 则PN a c =+直角三角2PNF 中，126F PF π∠=，所以1223cos 22PN a c F PF PF c +∠=== 所以13a c +=，则312e += 故选：D【点睛】本题考查向量在平面解析几何中的应用，求双曲线的离心率，关键是向量条件的转化处理，属于中档题.12.已知函数()(),x x f x x e e -=-且313(log )(log )2(1),+≤f x f x f 则x 的取值范围是（）A.1[,1]3B.[1,3]C.1[,3]3D.1(,][3,)3-∞+∞【答案】C 【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用导数判断函数的单调性，利用函数是偶函数，不等式等价于()()3log 1f x f ≤，再利用函数的奇偶性和单调性，解抽象不等式.【详解】由题意可知x ∈R ，()()()xx f x x ee f x --=--=()f x ∴是偶函数，且当0x >时，()()()0x xx x f x e ex e e --'=-++>， ∴在区间()0,∞+上，函数()f x 单调递增，133log log x x =-，()()1333log log log f x f x f x ⎛⎫∴=-= ⎪⎝⎭∴原不等式等价于()()32log 21f x f ≤⇔()()3log 1f x f ≤，即3log 1x ≤，即31log 1x -≤≤，解得：133x ≤≤，即不等式的解集是1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性，以及利用函数性质解抽象不等式，对数不等式，重点考查转化与化归的思想，计算能力，属于中档题型.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若复数()211z m m i =--+是纯虚数，则实数m =____________．【答案】1 【解析】【分析】根据复数z 为纯虚数得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数m 的值.【详解】由于复数()211z m m i =--+为纯虚数，则21010m m ⎧-=⎨+≠⎩，解得1m =.故答案为：1.【点睛】本题考查利用复数的概念求参数，考查计算能力，属于基础题. 14.等差数列{}n a 中，已知14730a a a ++=，36924a a a ++=，则其前9项和9S =____________．【答案】81 【解析】【分析】由等差数列的性质：若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+可得14743a a a a ++=，即可求出4a 的值，同理可求得6a ，根据求和公式及等差的性质可得，194699()9()22a a a a S ++==，代入数据即可求解.【详解】在等差数列中1474330a a a a ++==，所以410a =，同理3696324a a a a ++==，所以68a =，所以194699()9()9(108)81222a a a a S ++⨯+====. 故答案为81.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及前n 项和的计算，注意灵活应用此性质，可大大降低计算难度，属基础题.15.曲线()cos x f x e x x =+在点(0,(0))f 处的切线方程为____________．【答案】21y x =+ 【解析】【分析】求出导函数，得(0)2f '=，即切线斜率，然后可得切线方程．【详解】由()cos xf x e x x =+，则(0)1f = 由题意()cos sin 1x xf x e x e x '=-+，则(0)2f '=所以曲线()cos x f x e x x =+在点(0,(0))f 处的切线的斜率为(0)2k f '==所以所求切线方程为：()120y x -=-，即21y x =+ 故答案为：21y x =+【点睛】本题考查导数的几何意义，函数()f x 在点00(,())x f x 处的切线方程是()000()()y f x f x x x '-=-．属于基础题.16.正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，M 是棱11A B 的中点，则异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为__________．【答案】5 【解析】【分析】将正三棱柱补成如图所示的四棱柱，则MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角，解三角形即可．【详解】解：将正三棱柱补成如图所示的四棱柱1111ABCD A B C D -，其中//AB CD ，//AD BC ，连接MD ，1MD ，因为//AD BC ，所以MAD ∠为异面直线AM 与BC 所成角（或其补角），设12AB BC AA x ===，则1A M x =，5AM x =， ∵111A B C ∆为正三角形，∴111=120B A D ∠︒，由余弦定理得2221111D M A D A M =+1112cos120A D A M -⋅︒2214222x x x x =++⋅⋅⋅， ∴17D M x =，则11DM x =，∴222cos 2AM AD DM MAD AM AD +-∠=⋅2225252x x==⋅⋅， ∴异面直线AM 与BC 所成角的余弦值为510，故答案为：510．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，考查计算能力，属于基础题．三、解答题：（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：（每道题12分，共60分）17.已知ABC 的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S ，且BA BC S ⋅=．（1）求tan B 的值；（2）若3cos 5A =，2c =，求b ．【答案】（1）tan 2B =；（2）2. 【解析】【分析】（1）由BA BC S ⋅=得12cos sin ac ac B B =，即可求出tan B 的值；（2）由tan 2B =和22sin cos 1B B +=，易得sin B 和cos B 的值，再由3cos 5A =可得出sin A 的值，进一步可得sin sin()sin C A B B =+=，进而得出B C =，最后得出2b c ==.【详解】（1）由BA BC S ⋅=得12cos sin ac ac B B =，即12cos sin B B =，∴sin tan 2cos BB B==；（2）∵tan 2B =，∴sin 2cos BB=，即sin 2cos B B =，① 又∵22sin cos 1B B +=，② 又(0,)B π∈，由①②可得sin B =cos B =，又已知3cos 5A =，(0,)A π∈，4sin 5A ∴==， sin sin()sin cos cos sin C AB A B A B ∴=+=+453252555=⨯+⨯=sin B =，∴B C =或B C π+=（舍去），故ABC 为等腰三角形，所以2b c ==．【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查同角三角函数的基本关系，考查简单三角恒等变换，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.18.在贯彻精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户，工作组对这100户村民的年收入、劳动能力、子女受教育等情况等进行调查，并把调查结果转换为贫困指标x ，再将指标x 分成[)0,0.2、[)0.2,0.4、[)0.4,0.6、[)0.6,0.8、[]0.8,1.0五组，得到如下图所示的频率分布直方图．若规定00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”，当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户”．已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%．（1）完成下列列联表，并判断是否有90%的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；（2）某干部决定在这两村贫困指标在[)0,0.2、[)0.2,0.4内的贫困户中，利用分层抽样抽取6户，现从这6户中再随机选取2户进行帮扶，求所选2户中至少有一户是“亟待帮助户”的概率．甲村乙村总计附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关；（2）5. 【解析】【分析】（1）计算出甲村中“绝对贫困户”的户数，计算出甲、乙两村的“绝对贫困户”户数之和，可得出22⨯列联表，可计算出2K 的观测值，结合临界值表可得出结论；（2）计算出所抽取的6户中，抽到的“亟待帮助户”户数为2，分别记为a 、b ，抽到不是“亟待帮助户”户数为4，分别记为A 、B 、C 、D ，列举出所有的基本事件，并确定事件“所选2户中至少有一户是“亟待帮助户””所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的“绝对贫困户”有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出下表：所以2K的观测值()210012321838122.706307050507k ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，查表可知，没有90%的把握认为“绝对贫困户”数与村落有关；（2）贫困指标在[)00.4,内的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），亟待帮助户共有0.250.21005⨯⨯=（户），所以利用分层抽样抽取6户，抽到的“亟待帮助户”户数为56215⨯=（户），分别记为a 、b ，抽到不是“亟待帮助户”户数为624-=（户），分别记为A 、B 、C 、D ，所有的基本事件有：(),a b 、(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D 、(),A B 、(),A C 、(),A D 、(),B C 、(),B D 、(),C D ，共15个，其中，事件“所选2户中至少有一户是“亟待帮助户””所包含的基本事件有：(),a b 、(),a A 、(),a B 、(),a C 、(),a D 、(),b A 、(),b B 、(),b C 、(),b D ，共9个.因此，事件“所选2户中至少有一户是“亟待帮助户””的概率为93155P ==. 【点睛】本题考查利用独立性检验解决实际问题，同时也考查了古典概型概率的计算，考查数据处理能力与计算能力，属于中等题.19.如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆O 上，//AB EF ，矩形ABCD 所在平面和圆O 所在平面互相垂直，已知2AB =，1EF =，（1）求证：平面ADF ⊥平面BCF（2）若几何体F BCE -和几何体F ABCD -的体积分别为1V 和2V ，求12:V V . 【答案】（1）证明见解析；（2）12:1:4V V =. 【解析】【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD BF ⊥，由圆的直径的性质得BF AF ⊥，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）F BCE C BEF V V --=，设AD BC a ==，则可用a 表示出1V ，2V ，从而得出体积比．【详解】（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD平面ABEF AB =，AD AB ⊥，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ，∴AD BF ⊥， ∵AB 是圆O 的直径，∴BF AF ⊥，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD AF A =，∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ；（2）如图，连结OE 、OF ，则1OE OF EF ===，∴AOF ，OEF ，BOE △是等边三角形，过F 作FM AB ⊥于M ，则3FM =，FM ⊥平面ABCD ，设AD BC a ==，则1111331332212F BCE C BEF BEF aV V V S BC a --===⋅=⨯⨯⨯=△， 2113323323F ABCD ABCD aV V S FM a -==⋅=⨯⨯=矩形． ∴12331:4123:a aV V ==：. 【点睛】本题考查平面与平面垂直判定，考查棱锥体积的求法，考查空间想象能力和计算能力，属于常考题.20.已知双曲线2213x y -=的左右焦点分别为12,F F ，12PF F △的周长为12．（1）求点P 的轨迹C 的方程．（2）已知点(8,0)Q ，是否存在过点Q 的直线l 与曲线C 交于不同的两点,M N ，使得22||||MF NF =，若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．【答案】（1）221(0)1612x y y +=≠；（2）不存在，答案见解析. 【解析】【分析】（1）依题意根据椭圆的定义可知点P 的轨迹为椭圆，（除去与x 轴的交点），设方程为22221(0,0)x y y a b a b+-≠>>，由4a =，2c =，求出b 即可得到椭圆方程；（2显然直线l 的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；当直线l 的斜率存在时，设方程为(8)y k x =-，联立直线与椭圆方程，消元，由>0∆求出k 的取值范围，设点()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点()00,T x y ，列出韦达定理，表示出00,x y ，由又22MF NF =，得到2F T MN ⊥，得到方程判断方程的解即可；【详解】解：（1）由题意可得()12,0F -，()22,0F ， ∴124F F =，又∵12F F Р的周长为12， ∴12128F P F P F F +=>，∴点P 的轨迹是椭圆（除去与x 轴的交点），设方程为22221(0,0)x y y a b a b+-≠>>，∴2824a c =⎧⎨=⎩，∴42a c =⎧⎨=⎩，∴216412b =-=，∴点P 的轨迹C 的方程为221(0)1612x y y +=≠．（2）①当直线l 的斜率不存在时，直线与椭圆无交点；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的斜率为k ，则:(8)l y k x =-，联立22(8)1(0)1612y k x x y y =-⎧⎪⎨+=≠⎪⎩，得2222(43)6416(163)0k x k x k +-+-=，由()()()222264443161630k k k ∆=--+⨯->，解得1122k -<<，且0k ≠．设点()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点()00,T x y∵21226443k x x k +=+，∴2023243x k k =+ ()00224843ky k x k -=-=+又∵22MF NF =，∴2F T MN ⊥， ∵22441F T kk k -=- ∴2224141F Tk K k k -⨯==--，此方程无解．综上所述，不存在直线l 使得22MF NF =．【点睛】本题考查椭圆的定义的应用，直线与椭圆的综合应用，属于中档题. 21.已知函数()()1x f x ax x R e=-∈．（1）当2a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >且1x ≥时，()ln f x x ≤，求a 的取值范围．【答案】（1）单调递减区间为(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞；（2）1,e⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）将2a =-代入函数()y f x =的解析式，求得该函数的导数，求出该函数的极值点，并分析导数的符号变化，由此可得出函数()y f x =的单调递增区间和递减区间；（2）由题意得出不等式1n 0l x x ex a -+≥对任意的1x ≥恒成立，构造函数()()1ln 0x g x x ax a e=-+>，可得出()min 0g x ≥，利用导数分析函数()y g x =在区间[)1,+∞上的单调性，求得函数()y g x =的最小值，由此可解得实数a 的取值范围.【详解】（1）当2a =-时，()12x f x x e =+，()12xf x e '∴=-+．令()12120x x xe f x e e-'=-+==，得1ln ln 22x ==-．当ln2x <-时，()0f x '<；当ln 2x >-时，()0f x '>．∴函数()y f x =的单调递减区间为(),ln 2-∞-，单调递增区间为()ln 2,-+∞；（2）()()ln 1f x x x ≤≥等价于1ln x ax x e -≤，即1n 0l x x ex a -+≥. 令()()1ln 0x g x x ax a e =-+>，则()110xg x a x e '=++>, ∴函数()y g x =在[)1,+∞上单调递增，()()min 110g x g a e∴==-≥，解得1a e ≥，因此，实数a 的取值范围是1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用函数不等式恒成立求参数，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.（二）选考题：（共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分）22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），在以原点O 为极点，x 的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是曲线C 上任意一点，求PAB △面积的最大值．【答案】（1）2213x y +=，20x y -+=；（2）4. 【解析】【分析】（1）利用22sin cos 1θθ+=消去曲线C 参数方程中的参数θ得到C 的普通方程，利用两角和的余弦公式和cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）设点P的坐标为,sin )θθ，可求出点P 到直线l的距离d ≤||AB =.【详解】（1）由sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）消去参数θ，得2213x y +=，所以曲线C 的普通方程为：2213x y +=，由cos()4πρθ+=cos sin 2ρθρθ-=-，可得直线l 的直角坐标方程为：20x y -+=；（2）设点P的坐标为,sin )θθ，则点P 到直线l 的距离为：d ==≤ 又直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为()2,0A -，()0,2B，所以||AB = 所以PAB △面积的最大值为142⨯=．【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查参数法解决三角形面积的最值问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，考查转化能力，属于常考题.23.已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x －1|(a ∈R). (1)当a ＝－1时，求f (x )≤2的解集；(2)若f (x )≤|2x ＋1|的解集包含集合1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，求实数a 的取值范围.【答案】（1）；（2）51,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】试题分析：（1）代入1a =-，由()2f x ≥，根据绝对值的几何意义，求出满足条件的x 的值即可；（2）根据题意，把()21f x x ≤+，转化为22121x a x x -+-≤+在1[,1]2x ∈上恒成立，求解max min (22)(22)x a x -≤≤+，即可求解实数a 的取值范围. 试题解析：(1)当a ＝－1时，f(x)＝|2x ＋1|＋|2x －1|，f(x)≤2⇒＋≤1，上述不等式的几何意义为数轴上点x 到两点－，距离之和小于或等于1，则－≤x≤，即原不等式的解集为.(2)∵f(x)≤|2x ＋1|的解集包含，∴当x ∈时，不等式f(x)≤|2x ＋1|恒成立， ∴当x ∈时，|2x －a|＋2x －1≤2x ＋1恒成立，。

宁夏2020届高三数学第四次模拟考试题理

高三数学第四次模拟考试题理注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}{}22|22,|log A x Z x B x y x =∈-<<==，则AB =A ．{}1,1-B ．{}1,0,1-C ．{}1D ．{}0,12. 复数z 满足(1)|1|z =，则z 等于A ．1-B ．1C ．12-D 12i -3．已知随机变量X 服从正态分布()22N σ，且()40.88P X ≤=，则()04P X <<= A ．0.88B ．0.76C ．0.24D ．0.124．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1938S =，则11122a a -= A ．2 B ．4 C ．6 D ．85. 某校高二（1）班一次阶段考试数学成绩的茎叶图和频率分布直方图可见部分如图，根据图中的信息，可确定被抽测的人数及分数在[]90,100内的人数分别为 A ．20，2 B ．24，4 C ．25，2 D ．25，46．已知向量(1,1)m λ=+，(2,2)n λ=+，若()()m n m n +⊥-，则λ= A ．4- B ．3- C ．2- D ．1-7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．643π B ．16+3πC ．28πD ．16+3π 8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．如果输入某个正整数n 后，输出的S ∈(10,20)，那么n 的值为 A ．4 B ．5 C ．6D ．79．已知P 是ABC ∆所在平面内一点，2PB PC PA O ++=，现将一粒红豆随机撒在ABC ∆内，则红豆落在PBC ∆内的概率是 A ．14 B ．13 C ．23 D ．1210．已知()f x 是偶函数，且当0x >时，222()x f x x e-=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f --处的切线方程为 A ．310x y ++= B ． 10x y +-= C ．460x y -+=D ．420x y ++=11．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的图象如图所示，则下列说法正确的是A ．函数()f x 的周期为πB ．函数()y f x π=-为偶函数C ．函数()f x 在[,]4ππ--上单调递增D ．函数()f x 的图象关于点3(,0)4π对称 12．菱形ABCD 的边长为2，现将ACD ∆沿对角线AC 折起使平面⊥ACD 平面ACB ，求此时所成空间四面体体积的最大值 A．27 B．9 C ．1 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2020-2021学年宁夏高考第四次模拟数学(理)试卷及答案解析

宁夏高考第四次模拟考试数学能力测试(理科)注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第I 卷（客观题）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1.已知复数()4211z i i =-+（其中i 为虚数单位），则z 的虚部为A. 1-B. 1C. i -D. i2.已知集合{}1,0,1,1cos,2M N y y x x M π⎧⎫=-==-∈⎨⎬⎩⎭，则集合M N I 的真子集的个数是A. 1B. 2C. 3D. 43.平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：2221x y -=，过C 的左顶点引C 的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积A.B.C.D. 4.下列命题中正确命题的个数是（1）对于命题:p x R ∃∈，使得210x x ++<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x ++>；（2）命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题；（3）设),,(~p n B ξ已知49,3==ξξD E ,则n 与p 值分别为,1124（4）3m =是直线()320m x my ++-=与直线650mx y -+=互相垂直的充要条件.A. 1B. 2C.3D. 45.某高铁站B 进站口有3个闸机检票通道口，若某一家庭有3个人检票进站，如果同一个人进的闸机检票通道口选法不同，或几个人进同一个闸机检票通道口但次序不同，都视为不同的进站方式，那么这个家庭3个人的不同进站方式有多少种. A. 24 B. 36 C. 42 D. 606.变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤+⎧≥⎪⎩-⎪≤⎨，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为A. 1B. 7C. -1D. -77．“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，上面的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”，执行该程序框图（图中“aMODb ”表示a 除以b 的余数），若输入的,a b 分别为675,125，则输出a 的值为A. 0B. 25C. 50D. 758.等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =A. 2B. 3C. 4D. 59.已知函数17()sin()cos()(0)326f x x x ππωωω=+-->，满足3()64f π-=，则满足题意的ω的最小值为 A ．13B ．12C ．1D ．210.下图中，小方格是边长为1的正方形，图中粗线画出的是某几何体的三视图，且该几何体的顶点都在同一球面上，则该几何体的外接球的表面积为 A. 32πB. 48π C. 50πD. 64π11.已知点O 为ABC △内一点，120AOB ∠=︒，1OA =，2OB =，过O 作OD 垂直AB于点D ，点E 为线段OD 的中点，则OE EA ⋅u u u r u u u r的值为 A ．328B ．314C ．27D ．51412．已知函数2()ln f x x x =-与21()(2)24g x x m x =----的图象上存在关于(1,0)对称的点，则实数m 的取值范围是A.(),1ln2-∞-B. (],1ln2-∞-C. ()1ln2,-+∞D. [)1ln2,-+∞第II 卷（主观题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13.()()1tan231tan22+︒+︒__________． 14.已知()22nx x y+-的展开式中各项系数的和为32，则展开式中52x y 的系数为____．（用数字作答） 15.如下等式：246;810121416;18202224262830;+=++=++++=++L L以此类推，则2018出现在第__________个等式中.16.抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线分别交于两点A,B ，若点M 满足1()2OM OA OB =+u u u u r u u u r u u u r，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若2PF =，则M 点的横坐标为________．三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a n +=-+，数列{}n b 满足12b =，1n n n b b a n +=+-．（1）证明：{}n a n -为等比数列；（2）数列{}n c 满足()()111n n n n a nc b b +-=++，求数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：13n T <．18.（本小题满分12分）为了研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机对50名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在30名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有20人，不超过100km/h 的有10人．在20名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h 的有5人，不超过100km/h 的有15人．（Ⅰ）完成下面的列联表，并判断是否有99.5%的把握认为平均车速超过100km/h 的人与性别有关；（Ⅱ ）以上述数据样本来估计总体，现从高速公路上行驶的大量家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车中驾驶员为女性且车速不超过100km/h 的车辆数为ζ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ζ的分布列和数学期望.参考公式：22n(ad bc)k =(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)-，其中n=a+b+c+d ．参考数据：19.（本小题满分12分）如图，在四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，BC ＝CD ＝1，顶点D 1在底面ABCD 内的射影恰为点C (1)求证：AD 1⊥BC ；(2)若直线DD 1与直线AB 所成的角为π3，求平面ABC 1D 1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值．20.（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为32，直线y x =被椭圆C 截得的线段长为410. （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C 交于A,B 两点（A,B 不是椭圆C 的顶点），点D 在椭圆C 上，且AD AB ⊥.直线BD 与x 轴、y 轴分别交于M,N 两点.设直线BD,AM 的斜率分别为1,2k k ，证明存在常数λ使得12k k λ=,并求出λ的值.21.（本小题满分12分）已知函数2()4x x f x e x +=+. （I ）讨论函数的单调性,并证明当2x >-时，240x xex +++>;（Ⅱ）证明：当[0,1)a ∈时，函数223()(2)(2)x e ax ag x x x +--=>-+有最小值，设()g x 最小值为()h a ，求函数()h a 的值域.请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为262x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，（其中t 为参数）.现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=. (Ⅰ) 写出直线l 普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ) 过点(10)M -，且与直线l 平行的直线1l 交曲线C 于A ，B 两点，求||AB . 23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()121f x x x =--+的最大值为k . （1）求k 的值；（2）若,,a b c R ∈，2222a cb k ++=，求()b ac +的最大值.第四次模拟考试(理科)数学能力测试参考答案一、选择13. 2 14. 120 15. 31 16 . 3 三、解答题:(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.（1）121n n a a n +=-+Q ，()()112n n a n a n +∴-+=-，12n n b b +=即又因为112a -=，所以{}n a n -是以2为首项，2为公比的等比数列（2）()111122n n n n b a n a -=-=-⋅=由（）知()()1121121212121n n n n n n c ++==-++++ 223111111111112121212121213213n n n n T ++∴=-+-++-=-<+++++++L18解：（Ⅰ）()22502015105258.3337.879302025253K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯Q ，∴所以有99.5%的把握认为平均车速超过100/km h 与性别有关.（Ⅱ）根据样本估计总体的思想，从高速公路上行驶的大量家用轿车中随即抽取1辆，驾驶员为女性且车速不超过100/km h 的车辆的概率为1535010=. ξ∴的可能取值为0,1,2,3，且33,10B ξ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()0312013337343374410,11010100010101000P C P C ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()()21323333718937272,31010100010101000P C P C ξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，分布列为：()34344118927901230.9100010001000100010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯==. 或()330.910E np ξ==⨯=.19.【解】(1)证明：连接D1C ，则D 1C ⊥平面ABCD ，∴D 1C ⊥BC 在等腰梯形ABCD 中，连接AC ， ∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴BC ⊥AC ， ∴BC ⊥平面AD 1C ， ∴AD 1⊥BC(2)由(1)知AC 、BC 、D 1C 两两垂直， ∵AB ∥CD ，∴∠D 1DC ＝π3，∵CD ＝1，∴D 1C ＝ 3在等腰梯形ABCD 中，∵AB ＝2，BC ＝CD ＝1，AB ∥CD ， ∴AC ＝3，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，3)，设平面ABC 1D 1的法向量为n ＝(x ，y ，z)，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AD1→＝0得⎩⎨⎧y －3x ＝0，z －x ＝0，可得平面ABC 1D 1的一个法向量为n ＝(1，3，1)．又CD1→＝(0,0，3)为平面ABCD 的一个法向量．因此cos 〈CD1→，n 〉＝CD1→·n |CD1→||n|＝55，∴平面ABC1D1与平面ABCD 所成角(锐角)的余弦值为5520.（Ⅰ）∵，∴，，∴.①设直线与椭圆交于，两点，不妨设点为第一象限内的交点.∴，∴代入椭圆方程可得.②由①②知，，所以椭圆的方程为：.（Ⅱ）设，则，直线的斜率为，又，故直线的斜率为.设直线的方程为，由题知，联立，得.∴，，由题意知，∴，直线的方程为.令，得，即，可得，∴，即. 因此存在常数使得结论成立.21.（1）由得故在上单调递增，当时，由上知，即，即，得证.（2）对求导，得，．记，．由（Ⅰ）知，函数区间内单调递增，又，，所以存在唯一正实数，使得．于是，当时，，，函数在区间内单调递减；当时，，，函数在区间内单调递增．所以在内有最小值，．又因为．所以．根据（Ⅰ）知，在内单调递增，，所以．令，则，函数在区间内单调递增，所以，即函数的值域为．22．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程．(Ⅰ) 由2622x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，消去参数t ，得直线l 的普通方程为60x y --=.又由6cos ρθ=得26cos ρρθ=，由cos sin x y ρθρθ⎧⎨⎩＝，＝得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x +-=. (Ⅱ) 过点(1,0)M -且与直线l 平行的直线1l 的参数方程为21,2.x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩将其代入2260x y x +-=得242+70t t -=，则1212427t t t t +==，，知1200t t >>，，所以2121212||||()42AB t t t t t t =-+-.23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（1）由于()()()3,1{31,(11)3,1x x f x x x x x --≥=---<<+≤，所以()()max 12k f x f ==-=．．．．．．．．．．5分（2）由已知22222a cb ++=，有()()22224a b b c +++=，因为222a b ab +≥（当a b =取等号），222b c bc +≥（当b c =取等号），所以()()()222242a bbc ab bc +++=≥+，即2ab bc +≤，故()max2b a c ⎡⎤+=⎣⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

宁夏回族自治区银川市某高中2020届高三第四次模拟数学(理)参考答案

数学（理科）参考答案及评分标准一、选择题1.解析：由图可得，在复平面内，()2,1A -，()1,1B -，则12i z =-+，21i z =- ，所以()()122i 1i 13i z z =-+-=-+，所以12z z =选D.2.解析：由210x ->得11x -<<，所以{}11A x x =-<<，函数12x y -=的值域{}0B y y =>，所以)(0,1A B =I ，选A.3.解析：由题意，某小区小型超市今年一月份到五月份的营业额和支出数据的折线图，可得：1月份的利润为3 2.50.5-=万元；2月份的利润为3.5 2.80.7-=万元； 3月份的利润为3.830.8-=万元；4月份的利润为4 3.50.5-=万元；5月份的利润为541-=万元，所以该超市这五个月的利润一直在增长是不正确的，选C ．4.解析：1n =时，113a S λ==+2n ≥时，111(3)(3)23n n n n n n a S S λλ---=-=+-+=⋅因为{}n a 是等比数列，1a 适合n a ，所以0323λ+=⨯，1λ=-，选B .5.解析：因为()f x 为奇函数，所以()010f a =+=，所以1a =-，故()e e x x f x -=-，故()e e x x f x -'=+，由导数的几何意义知()f x 在点()0,0处的切线斜率()02k f '==，则()f x 在点()0,0处的切线方程为2y x =，故选.C6.解析：1111222223BE BA BD BA BC ⎛⎫=+=+⨯ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1115()2336BA AC AB AC AB =+-=-u uu r u u u r u u u r u u u r u u u r ，选D.7.解析：由俯视图可知侧视图是宽为2，高为2的矩形，所以侧视图面积为4+选B ．8.解析：因为1OF =，由抛物线的定义可得14M MF x =+=，所以点M 的坐标为()323±，，所以△MOF 的面积为11123322MOF y ⋅=⨯⨯=，选A ．9.解析：由已知得：()0f x =时有两个实数根，只有()f x a =-有三个实数根，由图可知：a 的取值范围是104⎛⎫- ⎪⎝⎭，，选B.10.解析：如图设2BC =，以B 为圆心的扇形面积是22263ππ⨯=，ABC ∆的面积是132232⨯⨯⨯=，所以勒洛三角形的面积为3个扇形面积减去2个正三角形面积，即23232233ππ⨯-=-，所以在勒洛三角形中随机取一点，此点取自正三角形的概率是332232(3)ππ=--，选B ．11.解析：由题意可得，如图，平面AEF 截该正方体所得的截面为平面1AD EF ，2EF =，122AD =，等腰梯形1AD EF 的高为2，所以132+2292==2EFAD S 四边形（）.选D . 12.解析:由题意可知1212224PF PF F A F A OA a -=-===，2OA =,延长2F B 交1PF M 于PI 是角平分线，2PI F B ⊥,所以三角形△2PMF 为等腰三角形，2PM PF =,所以B 为2MF 的中点，12124PF PF MF a -===，所以1122OB MF ==，所以1OB OA =，选A . 二、填空题13.解析：作出不等式组对应的平面区域如图：由图象知当直线3y x z =-经过点()21A -，时，直线的截距最大，此时z 最小，最小值为7-. 14.解析：由1323n n n a a a +=+，得11123n n a a +=+，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，111221(1)33n n n a a +=+-⨯=，321n a n =+，所以 715a =.15.解析：直接法，1女3男，又分为含女医生甲和不含女医生甲两种情况：有31342524C C C +=，2女2男，有2212252422C C C C +=，3女1男，144C =，根据分类计数原理可得，共有22+244=50+16.解析：由题意对任意10,2x ∈（），存在[]21,2x ∈，使()12()f x g x ≥，则()12min min ()f x g x ≥所以()2(1)(3)4x x f x x --'=-，可得()1min 12f x =-，()[]222=2+4=()+4,1,2g x x bx x b b x ---∈，若2b ≥，()()min =2=84g x g b -，所以1842b -≤-，即178b ≥满足，若12b <<，()()2min ==4g x g b b -，所以21323242b b b -≤-≥≤，即，不满足舍去，若1b ≤，()()min =1=52g x g b -，所以1115224b b -≤-≥，即，不满足舍去，所以178b ≥三、解答题（一）必考题17.解：（1）由21cos ADC ∠=27sin ADC ∠ 所以sin sin()sin cos cos sin BAD ADC B ADC B ADC B ∠=∠-∠=∠-∠ 273211212==………6分（2）在△ABD 中，sin sin AB ADADB B =∠，所以21AD =在△ACD 中，2222cos AC AD CD AD CD ADC =+-⋅∠21214221213=+-= 所以13AC18.（1）证明：因为DCGH 为矩形，所以CG CD ⊥，又CG AD ⊥，所以CG ⊥平面ADC ，故CG AC ⊥，因为AEFBCD 为正六边形，所以120ADC DCB ∠=∠=o ，故30DCA ∠=o ，所以90ACB ∠=o ，即AC CB ⊥，又因为CG CB C =I ,所以AC ⊥平面BCG ，因为AC ⊂平面ACG ，所以平面ACG ⊥平面BCG . ………5分(2)解：连接AC 与BD 交于点N ，连接MN ，因为AG ∥平面BMD ，且平面BMD ∩平面ACG MN =，所以AG ∥MN ，所以12CM CN MG NA ==，所以2MG =，所以3CG =，由（1）知；AC CB ⊥，CG ⊥平面ABC ，故以向量CA u u u r ，CB u u u r，CG u u u r 分别作为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图，则()A ，()0,4,0B ,()0,0,1M,()2,3H -,所以()AB =-u u u r，()2,3AH =--u u u u r，()0,4,1BM =-u u u u r ，设(),,n x y z =r 为平面AHB 的一个法向量，则23040n AH y z n AB y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩r u u u u rr u u u r可取)n =r，设直线BM 与平面AHB 所成角为θ，所以||,sin |cos |BM n BM n BM n θ⋅=〈〉==⋅u u u u r ru u u u r r u u u u r r ，即直线BM 与平面AHB 所成角的正弦值为………12分 19. 解析：（1）直线l ：0(0)kx y k k --=≠过定点(1,0)N 由条件可得||||QN QP =，又||||4QM QP += 所以 ||||4QM QN +=根据椭圆定义：动点Q 的轨迹是椭圆且24a =，2a =，1c =，b故C 的方程为：22143x y +=. …......4分（2）直线l：(1)(0)y k x k =-≠，代入22143x y +=得2222(34)84120k x k x k +-+-=，设1122()()A x y B x y ，、，，则 2122834k x x k +=+， ①212241234k x x k -⋅=+. ② ………6分因为D 为AE 的中点，且22()D x y -，，因为1202()y y +=-，122y y =-，所以1212(1)2(1)23k x k x x x -=--⇒=-+， ③ ………9分① 、③联立得22122249493434k k x x k k -+==++，，代入②得222122224949412343434k k k x x k k k-+-⋅=⨯=+++，254k k ==，所以直线l的方程为1)2y x =±-.………12分 20. 解析：（1）由已知数据可得2456855x ++++==，3444545y ++++==．∵()()()()5131000316i i i x x y y =--=-⨯-++++⨯=∑，===∴相关系数()()5ii xx y y r --0.95==≈． ∵0.75r >，∴可用线性回归模型拟合y 与x 的关系．（2）记商家周总利润为Y 元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪． ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元． ②安装2台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润300010002000Y =-=（元）， ()1020000.250P Y ===，当3070X <≤时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润230006000Y =⨯=（元）， ()4060000.850P Y ===，故Y 的分布列为∴20000.260000.85200EY =⨯+⨯=（元）．③安装3台光照控制仪的情形：当70X >时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润13000210001000Y =⨯-⨯=（元），()1010000.250P Y ===，当5070X ≤≤时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润23000110005000Y =⨯-⨯=（元），()3550000.750P Y ===，当3050X <<时，3台光照控制仪都运行，周总利润330009000Y =⨯=（元）， ()590000.150P Y ===，故Y 的分布列为∴10000.250000.790000.14600EY =⨯+⨯+⨯=（元）．综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪．21. 解：（1）因为()f x 的最小值为0，故对任意R x ∈，()0f x ≥即20x ax b -+≥恒成立，且存在实数0x 使得()()02000e 0x f x x ax b =-+⋅=，即2000x ax b -+=能成立，故关于x 的一元二次方程20x ax b -+=根的判别式240a b ∆=-=，故24a b =，故()22e4xa f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，则()22(2)e 2e 422x x a a a f x x a x a x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫'=+-+-⋅=-+⋅-⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，若22a x <-或2a x >，则()0f x '>，故()f x 在(,2)2a -∞-和(,)2a+∞上单调递增，若222a a x -<<，则()0f x '<，故()f x 在(2,)22a a-上单调递减，故22ax =-是()f x 的唯一极大值点，则2224e 4e 2aa f -⎛⎫-== ⎪⎝⎭，解得6a =，故()f x 的单调减区间为[1,3].（写成()1,3，(]1,3，[)1,3均可得分） ……… 6分（2）不妨设12x x <，由（1）可知，()22e 4x a f x x ax ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭的极大值点122ax =-，极小值点22ax =，又()2214ea f x -=，2()0f x =，故要证：()()121228f x f x a x x a -<--，即证224e 028222aaa a a --<-⎛⎫-- ⎪⎝⎭，即证2222e8a aa --<-，即证222222e 842222a a a a a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>==-⎛⎫--- ⎪⎝⎭，对任意4a <恒成立，构造函数()()2e 2x F x x x =-++，0x ≤，令()()()1e 1x g x F x x '==-+，则()e 0x g x x '=⋅≤，故()g x 在(],0-∞上单调递减，又()00g =，故()()0g x F x '=≥，故()F x 在(],0-∞上单调递增，又()00F =，故()0F x ≤，即()2e 20x x x -++≤对任意0x ≤恒成立，即2e 2x xx+>-对任意0x <恒成立，特别地，取202ax =-<，则有22222e 222a a a -⎛⎫+- ⎪⎝⎭>⎛⎫-- ⎪⎝⎭成立，故原不等式成立. ……… 12分（二）选考题：第22、23题中任选一题做答。