[高二]第十七届希望杯全国数学邀请赛试题
第22届“希望杯”全国数学邀请赛高二第一试试题和答案(word版)
高二第一试试题
1．已知椭圆22
143
x y +=上的任意一点(,)P x y 可使20x y m ++≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ )
(A) (,4]-∞-. (B ）[4,)-+∞． (C) (,4]-∞．(D ）[4,)+∞．
2．椭圆22194x y +=上到直线2310x y ++=
的点的个数是（ ） (A)1. (B)2. （C ）3. （D ）4.
二、A 组填空题（每小题4分，共40分）
3．当x 在区间［0,1］上时，函数()2x x f x e e -=+的值域是__________．
4．某商场在中秋节前30天内月饼的销售总量()f t （单位：盒）与时间(030)t t <≤（单位：天）的关系大致满足2()1016f t t t =++，则该商场前t 天平均售出（如前10天的平均售出为(10)10
f 盒）的盒数最少为__________． 5．已知△ABC 的三条边的长分别是221,2,21a x x b x x c x =-+=-=-，则△ABC 的内角的最大值是__________．
6．从直线:184
x y l +=上的任意一点P 作圆22:8O x y +=的两条切线，切点为A 和B ，则弦AB 长度的最小值为__________．
三、B 组填空题（每小题8分，共40分）
7．已知曲线22440y y x +-+=是一条抛物线，则它的焦点坐标是_____，准线方程是_________．
8．函数32()331f x x x x =-++图象的对称中心的坐标是_____，现将()f x 的图象按向量 a 平移后，得到函数()y g x =的图象，若()y g x =是奇函数，则向量a =_________．。
2012年“希望杯”全国数学邀请赛广东赛区获奖学生名单
三等奖
5
高二
广州市执信中学
林佐贤
三等奖
6
高二
广州大学附属中学
叶智林
三等奖
7
高二
华南师范大学附属中学
刘宇琛
三等奖
8
高二
华南师范大学附属中学
林楠铮
三等奖
9
高二
广州市执信中学
赖日升
三等奖
10
高二
广州市第二中学
高健铭
三等奖
11
高二
广州大学附属中学
陈毓聪
三等奖
12
高二
广雅中学
林仲懿
三等奖
13
高二
广东实验中学
6
高二
华南师范大学附属中学
尚雨潇
一等奖
7
高二
华南师范大学附属中学
陈昺弘
一等奖
8
高二
广州大学附属中学
钟樾
一等奖
9
高二
华南师范大学附属中学
梁森伟
一等奖
10
高二
华南师范大学附属中学
余欣航
一等奖
11
高二
华南师范大学附属中学
陈倚天
一等奖
12
高二
广州市执信中学
张之韵
一等奖
13
高二
华南师范大学附属中学
温晓
一等奖
14
高二
广州市西关外国语学校
杨力甬
二等奖
52
高二
广州市西关外国语学校
伍文浩
二等奖
53
高二
广州市西关外国语学校
叶建伟
二等奖
54
高二
广州市越秀区培正小学
第十七届“希望杯”全国邀请赛——八年级数学试题
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初二 第1试2006年3月19日 上午：30至10：00学校______________班__________学号__________姓名__________辅导教师________成绩__________一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内．1．实数m ＝20053－2005，下列各数中不能整除m 的是 （ ）A ．2006B ．2005C ．2004D ．20032．a ，b ，c ，d 是互不相等的正整数，且abcd ＝441，那么a ＋b ＋c ＋d 的值是 （ ）A ．30B ．32C ．34D ．363．三角形三边的长都是正整数，其中最长边的长为10，这样的三角形有 （ ）A ．55种B ．45种C ．40种D ．30种4．已知m ，n 是实数，且满足m 2＋2n 2＋m －34n ＋3617＝0，则－mn 2的平方根是（ ） A ．62 B ．±62 C ．61 D ．±61 5．某校初一、初二年级的学生人数相同，初三年级的学生人数是初二年级学生人数的54．已 知初一年级的男生人数与初二年级的女生人数相同，初三年级男生人数占三个年级男生 人数的41，那么三个年级女生人数占三个年级学生人数的 （ ） A ．199 B ．1910 C ．2111 D ．10 6．如图1，点E 、F 、G 、H 、M 、N 分别在△ABC 的BC 、AC 、AB边上，且NH ∥MG ∥BC ，ME ∥NF ∥AC ，GF ∥EH ∥AB ．有黑、白两只蚂蚁，它们同时同速从F 点出发，黑蚁沿路线F →N →H →E →M →G →F 爬行，白蚁沿路线F →B →A →C →F 爬行，那么（ ）A ．黑蚁先回到F 点B ．白蚁先回到F 点C ．两只蚂蚁同时回到F 点D ．哪只蚂蚁先回到F 点视各点的位置而定7．一个凸多边形截去一个角后形成的多边形的内角和是2520°，则原多边形的边数是（ ）A ．14B ．15C ．15或16D ．15或16或17 8．Let a be integral part of 2 and b be its decimal part ．Let c be the integral part of π and d be the decimal part.．if ad －bc ＝m ，the （ ）A ．－2＜m ＜－1B ．－1＜m ＜0C ．0＜m ＜1D ．1＜m ＜2（英汉词典：integral part 整数部分；decimal part 小数部分）9．对a ，b ，定义运算“＊”如下：a ＊b ＝⎩⎨⎧∙≥时＜，当时，，当b a ab b a b a 22已知3＊m ＝36，则实数m 等于 图1（ ）A ．23B ．4C ．±23D ．4或±2310．将连续自然数1，2，3，…，n （n ≥3）的排列顺序打乱，重新排列成a 1，a 2，a 3，…，a n ．若(a 1－1)(a 2－2)(a 3－3)…(a n －n )恰为奇数，则 （ ）A ．一定是偶数B ．一定是奇数C ．可能是奇数，也可能是偶数D ．一定是2m －1（m 是奇数）二、A 组填空题（每小题4分，共40分）11．已知a 、b 都是实数，且a ＝43＋x ，b ＝312＋x ，b ＜37＜2a ，那么实数x 的取值范围是_________．12．计算12008200720062005＋⨯⨯⨯－20062的结果是__________． 13．已知x ＝22＋1，则分式15119232－－－－x x x x 的值等于__________． 14．一个矩形各边的长都是正整数，而且它的面积的数量等于其周长的量数的2倍，这样的矩形有__________个． 15．Suppose that in Fig.2，the length of side of square ABCD is 1，E and F aremid －points of CD and AD respectively ，GE and CF intersect at a point P ．Then the length of line segment CP is __________． （英汉词典：figure （缩写Fig.）图；length 长度；square 正方形；mid－point 中点；intersect 相交；line segment 线段）16．要使代数式2113｜－－｜｜＋－｜x x 有意义，实数x 的取值范围是____________．17．图3的梯形ABCD 中，F 是CD 的中点，AF ⊥AB ，E 是BC 边上的 一点，且AE ＝BE ．若AB ＝m （m 为常数），则EF 的长为__________． 18．A ，n 都是自然数，且A ＝n 2＋15n ＋26是一个完全平方数，则n 等于__________． 19．一个长方体的长、宽、高均为整数，且体积恰好为2006cm 3，现将它 的表面积涂上红色后，再切割成边长为1cm 的小正方体，如果三面为 红色的小正方体有178个，那么恰好有两面为红色的小正方体有 ________个．20．一条信息可以通过如图4所示的网络按箭头所指方向由上往下传送， 例如到达点C 2的信息可经过B 1或B 2送达，共有两条途径传送，则信息由A 点传送到E 1、E 2、E 3、E 4、E 5的不同途径共有________条．三、B 组填空题（每小题8分，共40分．每小题两个空，每空4分．）21．某学校有小学六个年级，每个年级8个班；初中三个年级，每个年级8个班；高中三个年级，每个年级12个班．现要从中抽取27个班做调查研究，使得各种类型的班级抽取的比例相同，那么小学每个年级抽取________个班，初中每个年级抽取________个班．22．矩形ABCD 中，AB ＝2，AB ≠BC ，其面积为S ，则沿其对称轴折叠后所得的新矩形的对角线长为__________或__________．A B C D E FP 图2 A B C D E Fm 图3 1B A 2B 1C 2C 3C 1D 2D 3D 4D 1E 2E 3E 4E 5E 图423．已知m，n，l都是两位正整数，且它们不全相等，它们的最小公倍数是385，则m＋n ＋l的最大值是__________，最小值是__________．24．某工程的施工费用不得超过190万元．该工程若由甲公司承担，需用20天，每天付费10万元；若由乙公司承担，需用30天，每天付费6万元．为缩短工期，决定由甲公司先工作m天，余下的工作由乙公司完成，那么m＝________，完工共需要__________天．25．将2006写成n（n≥3）个连续自然数的和，请你写出两个表达式：（1）________________________________；（2）________________________________．第十七届“希望杯”全国数学邀请赛答案·评分标准初二第1试1．答案（1）选择题（2）A组填空题（3）B组填空题2．评分标准（1）第1～10题：答对得4分；答错或不答，得0分．（2）第11～20题：答对得4分；答错或不答，得0分．（2）第21～25题：答对得8分，每个空4分；答错或不答，得0分．。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试题
第１７届“希望杯”全国数学邀请赛试题初中一年级 第１试 一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．在数轴上，点Ａ对应的数是－２００６，点Ｂ对应的数是＋１７．则Ａ、Ｂ两点的距离是（）（Ａ）１９８９． （Ｂ）１９９９．（Ｃ）２０１３．（Ｄ）２０２３．２．有如下四个命题：①两个符号相反的分数之间必定有一个正整数；②两个符号相反的分数之间必定有一个负整数；③两个符号相反的分数之间必定有一个整数；④两个符号相反的分数之间必定有一个有理数．其中真命题的个数为（）（Ａ）１． （Ｂ）２． （Ｃ）３． （Ｄ）４．图１３．图１是某中学参加选修课学生人数的扇形统计图，从图中可以看出参加数学选修课的学生为参加选修课学生总人数的（）（Ａ）１２％． （Ｂ）２２％．（Ｃ）３２％． （Ｄ）２０％．４．如果ａ＜－３，那么（）（Ａ）ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１．（Ｂ）ａ＋１ａ＋２＜ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３．（Ｃ）ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．（Ｄ）ａａ＋１＜ａ＋２ａ＋３＜ａ＋１ａ＋２．５．如图２的交通标志中，轴对称图形有（）（Ａ）４个．（Ｂ）３个．（Ｃ）２个．（Ｄ）１个．图２６．对于数ｘ，符号［ｘ］表示不大于ｘ的最大整数．例如［３．１４］＝３，［－７．５９］＝－８．则满足关系式［３ｘ＋７７］＝４的ｘ的整数值有（）（Ａ）６个．（Ｂ）５个．（Ｃ）４个．（Ｄ）３个．图３７．在图３所示的４×４的方格表中，记∠ＡＢＤ＝α，∠ＤＥＦ＝β，∠ＣＧＨ＝γ，则α，β，γ的大小关系是（）（Ａ）β＜α＜γ．（Ｂ）β＜γ＜α．（Ｃ）α＜γ＜β．（Ｄ）α＜β＜γ．８．方程ｘ＋ｙ＋ｚ＝７的正整数解有（）（Ａ）１０组．（Ｂ）１２组．（Ｃ）１５组．（Ｄ）１６组．图４９．如图４，ＡＢＣＤ与ＢＥＦＧ是并列放在一起的两个正方形．Ｏ是ＢＦ与ＥＧ的交点．如果正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，ＣＧ＝２厘米．则·４３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期△ＤＥＯ的面积是（）．（Ａ）６．２５平方厘米．（Ｂ）５．７５平方厘米．（Ｃ）４．５０平方厘米．（Ｄ）３．７５平方厘米．１０．有如下四个叙述：①当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．②当０＜ｘ＜１时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．③当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＜１－ｘ＋ｘ２．④当－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ＞１－ｘ＋ｘ２．其中正确的叙述是（）（Ａ）①③．（Ｂ）②④．（Ｃ）①④．（Ｄ）②③．二、Ａ组填空题１１．神舟六号飞船的速度为７．８千米／秒，航天员费俊龙用３分钟在舱内连做４个“前滚翻”，那么当费俊龙“翻”完一个跟斗时，飞船飞行了千米．１２．已知ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝－３０，则ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝．１３．图５为某工厂２００３年至２００５年的利润和资产统计表，由图可知资产利润率最高的年份是年．（注：资产利润率＝利润总资产）图５１４．计算：１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝．图６ １５．图６是一个程序流向图，请你看图说出“终止”处的计算结果是．１６．已知ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），则ｍ２＋１ｍ２的值是．１７．ｎ是自然数，如果ｎ＋２０和ｎ－２１都是完全平方数，则ｎ等于．１８．Ｉｆ ｘ＝２ｉｓ ｔｈｅ ｓｏｌｕｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｅｑｕａｔｉｏｎ１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１，ｔｈｅｎ ａ＝．（英汉词典：ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ解）１９．将（１＋２ｘ－３ｘ２）２展开，所得多项式的系数和是．图７２０．如图７所示，圆的周长为４个单位长度，在圆的４等分点处，顺时针方向依次标上数字０，１，２，３．先让圆周上数字０所对应的点与数轴上的数－１所对应的点重合，再让数轴按逆时针方向绕在该圆上，使数轴上－２，－３，－４，…所对应的点与圆周上３，２，１，…所对应的点重合，那么数轴上数－２００６与圆周上对应的数是．三、Ｂ组填空题２１．把一块正方体木块的表面涂上漆，再把它锯成２７块大小相同的小正方体．在这些小正方体中，没涂漆的有个，至少被漆２个面的有块．图８２２．如图８所示，在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝９０°，ＡＣ＝８厘米，ＢＣ＝６厘米．分别以ＡＣ、ＢＣ为边向形外作正方形ＡＥＤＣ、ＢＣＦＧ．三角形ＢＥＦ的面积为ａ，六边形ＡＥＤＦＧＢ面积为Ｓ．则ａ＝平方厘米，且ａＳ＝．·５３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版２３．世界十大沙漠的面积见下表：（面积单位：万平方千米）名称撒哈拉沙漠阿拉伯沙漠利比亚沙漠澳大利亚沙漠戈壁沙漠面积８６０ ２３３ １６９ １５５ １０４名称巴塔哥尼亚沙漠鲁卜哈利沙漠卡拉哈里沙漠大沙沙漠塔克拉玛干沙漠面积６７ ６５ ５２ ４１ ３２十大沙漠的总面积为万平方千米．已知地球陆地面积为１．４９亿平方千米，占地球表面积的２９．２％，则十大沙漠的总面积占地球表面积的％（精确到千分位）．２４．甲自Ａ向Ｂ走了５．５分钟时，乙自Ｂ向Ａ行走，每分钟比甲多走３０米．他们于途中Ｃ处相遇．甲自Ａ到达Ｃ用时比自Ｃ到Ｂ用时多４分钟，乙自Ｃ到Ａ用时比自Ｂ到Ｃ用时多３分钟．则甲从Ａ到Ｃ用了分钟，Ａ、Ｂ两处的距离是米．２５．将１，２，３，４，５，６，７，８，９按任意顺序写成一排，其中相邻的３个数字组成一个三位数．共有七个三位数，求这七个三位数的和．则所得这些三位数之和的最小值是．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｄ Ｂ Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ Ｂ Ｃ Ａ Ｃ 提示１．Ａ，Ｂ两点间的距离是＋１７－（－２００６）＝１７＋２００６＝２０２３．故选（Ｄ）．２．如－１２和１２之间既没有正整数，也没有负整数，所以命题①，②不正确．０介于两个符号相反的分数之间，所以命题③，④正确．故选（Ｂ）．３．参加数学兴趣小组的学生占参加课外活动学生总人数的１００％－１７％－２６％－３５％＝２２％．故选（Ｂ）．４．因为ａ＋２ａ＋３＝１－１ａ＋３，ａ＋１ａ＋２＝１－１ａ＋２，ａａ＋１＝１－１ａ＋１，又ａ＋１＜ａ＋２＜ａ＋３＜０，可得０＜－（ａ＋３）＜－（ａ＋２）＜－（ａ＋１），所以－１ａ＋１＜－１ａ＋２＜－１ａ＋３，因此ａａ＋１＜ａ＋１ａ＋２＜ａ＋２ａ＋３．故选（Ｃ）．５．第一、第三两个交通标志是轴对称图形，其他两个交通标志不是轴对称图形，故选（Ｃ）．６．解不等式４≤３ｘ＋７７＜５，得整数解ｘ＝７，８，９．故选（Ｄ）．７．观察图形，易知 ∠ＡＢＤ＝α＞９０°，∠ＤＥＦ＝β＜９０°，∠ＣＧＨ＝γ＝９０°，所以β＜γ＜α．故选（Ｂ）．８．因为ｘ，ｙ，ｚ均为正整数，且ｘ＋ｙ＋ｚ＝７，所以１≤ｘ≤５．下面分类讨论：当ｘ＝１时，有５组解；当ｘ＝２时，有４组解；当ｘ＝３时，有３组解；当ｘ＝４时，有２组解；当ｘ＝５时，有１组解．共计５＋４＋３＋２＋１＝１５（组）解．故选（Ｃ）．９．如图９，连接ＢＤ，易知ＢＤ∥ＥＧ，图９所以△ＥＤＯ与△ＢＥＯ的面积相等．由于Ｏ是正方形ＢＥＦＧ的对角线ＢＦ与ＥＧ的交点，所以△ＢＥＯ的面积等于正方形ＢＥＦＧ面积的四分之一．因为正方形ＡＢＣＤ的面积是９平方厘米，所以边长ＢＣ＝３厘米．又ＣＧ＝２厘米，因此，ＢＧ＝５厘米，正方形ＢＥＦＧ的面积等于２５平方厘米．所以△ＥＤＯ的面积＝△ＢＥＯ的面积＝２５４＝６．２５（平方厘米）．故选（Ａ）．·６３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１０．当０＜ｘ＜１或－１＜ｘ＜０时，１１＋ｘ和１－ｘ＋ｘ２都大于０，所以两式的比值大于０．又（１－ｘ＋ｘ２）÷１１＋ｘ＝（１－ｘ＋ｘ２）（１＋ｘ）＝１＋ｘ３，当０＜ｘ＜１时，１＋ｘ３＞１，所以①正确，②不正确；当－１＜ｘ＜０时，１＋ｘ３＜１，所以③不正确，④正确．故选（Ｃ）．二、Ａ组填空题题号１１ １２ １３ １４ １５ １６ １７ １８ １９ ２０答案３５１ ５０ ２００４ １６－３２９４４２１－４ ０ ３ 提示１１．费俊龙“翻”一个跟斗的时间为（３×６０÷４）秒，神舟六号飞船飞行的速度为７．８千米／秒，所以在费俊龙“翻”一个跟头的时间内飞船飞行了７．８×３×６０÷４＝３５１（千米）．１２．因为ａ＋ｂ＝３，ａ２ｂ＋ａｂ２＝ａｂ（ａ＋ｂ）＝－３０，所以ａｂ＝－１０．故 ａ２－ａｂ＋ｂ２＋１１＝（ａ＋ｂ）２－３ａｂ＋１１＝３２－３×（－１０）＋１１＝５０．１３．计算得２００３年的资产利润率＝３００３０００×１００％＝１０％，２００４年的资产利润率＝３６０３２００×１００％＝１１．２５％，２００５年的资产利润率＝４８０５０００×１００％＝９．６％，所以资产利润率最高的年份是２００４年．１４．１３×１７×－２１３＋０．１２５（）÷－１１１６（）１－１２－１８＝１７×－２＋１３８（）×－１６１７（）３８＝１６．１５．只要按照程序的过程走就可以看出结果应该是－２的５次方，等于－３２．１６．译文：如果ｍ－２的倒数是－１４１ｍ＋２（），那么ｍ２＋１ｍ２＝．解 由条件知 ｍ－２＝－４１ｍ＋２，即（ｍ－２）１ｍ＋２（）＝－４，１－２ｍ＋２ｍ＝０．所以１ｍ－ｍ＝１２，两边平方，再整理得 ｍ２＋１ｍ２＝９４．１７．设ｎ＋２０＝ａ２，ｎ－２１＝ｂ２（ａ，ｂ均为整数），则ａ２－ｂ２＝（ａ－ｂ）（ａ＋ｂ）＝４１，且ａ２＞ｂ２，又因为４１是质数，所以ａ－ｂ＝１，ａ＋ｂ＝４１；｛或ａ－ｂ＝４１，ａ＋ｂ＝１；｛或ａ－ｂ＝－１，ａ＋ｂ＝－４１；｛或ａ－ｂ＝－４１，ａ＋ｂ＝－１．｛方程组的两式相加，得２ａ＝４２，或２ａ＝－４２，即ａ＝２１，或ａ＝－２１，从而ｎ＝ａ２－２０＝４４１－２０＝４２１．１８．译文：已知ｘ＝２是方程１９１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０｛｝＝１的解，那么ａ＝．解 从外向里逐层去括号：１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＋１０＝９，１６１３ｘ＋ａ２＋４（）－７［］＝－１，１３ｘ＋ａ２＋４（）－７＝－６，１３ｘ＋ａ２＋４（）＝１，ｘ＋ａ２＋４＝３，ｘ＋ａ２＝－１，ｘ＋ａ＝－２．将ｘ＝２代入上式，得ａ＝－４．·７３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版１９．多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｍ－１ｘ１＋ａｎ的系数和为ａ０＋ａ１＋ａ２＋…＋ａｎ－１＋ａｎ，故只需令多项式ａ０ｘｎ＋ａ１ｘｎ－１＋ａ２ｘｎ－２＋…＋ａｎ－１ｘ１＋ａｎ中的ｘ＝１即可．所以（１＋２ｘ－３ｘ２）２的展开式的系数和为（１＋２－３）２＝０．２０．因为｜（－２００６）－（－１）｜＝２００５＝５０１×４＋１，所以数轴上的数－２００６与圆周上的数３相对应．三、Ｂ组填空题题号２１ ２２ ２３ ２４ ２５答案１；２０ ６６；１４８ １７７８；３．４８ １０；１４４０ ４６４８；３１２２ 提示２１．８个角上的小正方体三面涂漆，１２条棱上各有１块小正方体两面涂漆，６个面上各有１块小正方体一面涂漆，还剩１块中心的小正方体没有涂漆．所以没涂漆的小正方体有１块，至少被漆２个面的小正方体有８＋１２＝２０（块）．２２．易知Ｓ△ＡＢＣ＝Ｓ△ＣＤＦ＝１２×６×８＝２４（平方厘米），正方形ＡＣＤＥ的面积＝８２＝６４（平方厘米），正方形ＢＣＦＧ的面积＝６２＝３６（平方厘米）．所以 六边形ＡＥＤＦＧＢ的面积＝２４＋２４＋６４＋３６＝１４８（平方厘米）．连接ＣＥ，则Ｓ△ＣＦＥ＝Ｓ△ＣＦＤ＝２４（平方厘米），Ｓ△ＣＢＥ＝Ｓ△ＣＢＡ＝２４（平方厘米），又Ｓ△ＢＣＦ＝６２２＝１８（平方厘米）．所以三角形ＢＥＦ的面积２４＋２４＋１８＝６６（平方厘米）．２３．十大沙漠的总面积为８６０＋２３３＋１６９＋１５５＋１０４＋６７＋６５＋５２＋４１＋３２＝１７７８（万平方千米），地球陆地面积为１．４９亿平方千米＝１．４９×１０４万平方千米，占地球表面积的２９．２％，所以地球表面积为１．４９×１０４÷２９．２％（万平方千米）．故十大沙漠的总面积占地球表面积的１７７８１．４９×１０４÷２９．２％＝３．４８％．２４．解法１ 设甲与乙相遇时甲行走了ｔ分钟，则甲自Ｃ到达Ｂ处所用时间是（ｔ－４）分钟，乙自Ｂ到达Ｃ处所用时间是（ｔ－５．５）分钟，乙自Ｃ到达Ａ处所用时间是（ｔ－２．５）分钟．设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ｔｖ＝（ｔ－２．５）（ｖ＋３０），（ｔ－４）ｖ＝（ｔ－５．５）（ｖ＋３０）．｛即３０ｔ－２．５ｖ－７５＝０，３０ｔ－１．５ｖ－１６５＝０．｛解得ｔ＝１０，ｖ＝９０．｛所以Ａ，Ｂ两处的距离为（２ｔ－４）ｖ＝１６×９０＝１４４０（米）．解法２ 设甲的速度是ｖ米／分，则乙的速度是（ｖ＋３０）米／分．列方程组，得ＡＣ－ＢＣ＝４ｖ，ＡＣ－ＢＣ＝３（ｖ＋３０）．｛解得ｖ＝９０．又设甲与乙相遇时乙行走了ｔ分钟，则（５．５＋ｔ）×９０－（９０＋３０）ｔ＝９０×４，解得ｔ＝４．５．所以甲从Ａ到Ｃ所用时间是５．５＋４．５＝１０（分钟），Ａ，Ｂ两处的距离为９０×１０＋（９０＋３０）×４．５＝１４４０（米）．２５．设排列的九个数为ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｅ，ｆ，ｇ，ｈ，ｉ依题意知，所求的七个三位数的和为ａｂｃ＋ｂｃｄ＋ｃｄｅ＋ｄｅｆ＋ｅｆｇ＋ｆｇｈ＋ｇｈｉ＝１００ａ＋１１０ｂ＋１１１（ｃ＋ｄ＋ｅ＋ｆ＋ｇ）＋１１ｈ＋ｉ，为使所求的七个三位数的和最大，应选取ａ＝３，ｂ＝４，ｃ～ｇ选５～９，ｈ＝２，ｉ＝１，此时，最大的和为４６４８．为使所求的七个三位数的和最小，应选取ａ＝７，ｂ＝６，ｃ～ｇ选１～５，ｈ＝８，ｉ＝９，此时，最小的和为３１２２．·８３·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期初中一年级 第２试一、选择题以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．１．ａ和ｂ是满足ａｂ≠０的有理数，现有四个命题：①ａ－２ｂ２＋４的相反数是２－ａｂ２＋４；②ａ－ｂ的相反数是ａ的相反数与ｂ的相反数的差；③ａｂ的相反数是ａ的相反数和ｂ的相反数的乘积；④ａｂ的倒数是ａ的倒数和ｂ的倒数的乘积．其中真命题有（）（Ａ）１个． （Ｂ）２个． （Ｃ）３个． （Ｄ）４个．２．在下面的图形中，不是正方体的平面展开图的是（）３．在代数式ｘｙ２中，ｘ与ｙ的值各减少２５％，则该代数式的值减少了（）（Ａ）５０％．（Ｂ）７５％．（Ｃ）３７６４．（Ｄ）２７６４．４．若ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，则以下四个结论中正确的是（）（Ａ）ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ一定是正数．（Ｂ）ｄ＋ｃ－ａ－ｂ可能是负数．（Ｃ）ｄ－ｃ－ｂ－ａ一定是正数．图１（Ｄ）ｃ－ｄ－ｂ－ａ一定是正数．５．在图１中，ＤＡ＝ＤＢ＝ＤＣ，则ｘ的值是（）（Ａ）１０．（Ｂ）２０．（Ｃ）３０．（Ｄ）４０．６．已知ａ，ｂ，ｃ都是整数，ｍ＝｜ａ＋ｂ｜＋｜ｂ－ｃ｜＋｜ａ－ｃ｜，那么（）（Ａ）ｍ一定是奇数．（Ｂ）ｍ一定是偶数．（Ｃ）仅当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ是偶数．（Ｄ）ｍ的奇偶性不能确定．７．三角形三边的长ａ，ｂ，ｃ都是整数，且［ａ，ｂ，ｃ］＝６０，（ａ，ｂ）＝４，（ｂ，ｃ）＝３．（注：［ａ，ｂ，ｃ］表示ａ，ｂ，ｃ的最小公倍数；（ａ，ｂ）表示ａ，ｂ的最大公约数），则ａ＋ｂ＋ｃ的最小值是（）（Ａ）３０．（Ｂ）３１．（Ｃ）３２．（Ｄ）３３．图２８．如图２，矩形ＡＢＣＤ由３×４个小正方形组成．此图中，不是正方形的矩形有（）（Ａ）４０个． （Ｂ）３８个．（Ｃ）３６个．（Ｄ）３４个．９．设ａ是有理数，用［ａ］表示不超过ａ的最大整数，如［１．７］＝１，［－１］＝－１，［０］＝０，［－１．２］＝－２，则在以下四个结论中正确的是（）（Ａ）［ａ］＋［－ａ］＝０．（Ｂ）［ａ］＋［－ａ］等于０或１．（Ｃ）［ａ］＋［－ａ］≠０．（Ｄ）［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．１０．Ｏｎ ｔｈｅ ｎｕｍ ｂｅｒ ａｘｉｓ，ｔｈｅｒｅ ａｒｅ ｔｗｏｐｏｉｎｔｓ Ａａｎｄ Ｂｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ｔｏ ｎｕｍ ｂｅｒｓ ７ａｎｄ ｂ ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ａｎｄ ｔｈｅ ｄｉｓｔａｎｃｅ ｂｅｔｗｅｅｎＡａｎｄ Ｂｉｓ ｌｅｓｓ ｔｈａｎ １０．Ｌｅｔ ｍ＝５－２ｂ，ｔｈｅｎｔｈｅ ｒａｎｇｅ ｏｆ ｔｈｅ ｖａｌｕｅ ｏｆ ｍｉｓ（）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．（英汉词典：ｎｕｍｂｅｒ ａｘｉｓ数轴；ｐｏｉｎｔ点；ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇｔｏ对应于…；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｄｉｓｔａｎｃｅ距离；ｌｅｓｓ ｔｈａｎ小于；ｖａｌｕｅ值、数值；ｒａｎｇｅ范围）·９３·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版二、填空题１１．１１２－２５６＋３１１２－４１９２０＋５１３０－６４１４２＋７１５６－８７１７２＋９１９０＝．１２．若ｍ＋ｎ－ｐ＝０，则ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）的值等于．图３１３．图３是一个小区的街道图，Ａ，Ｂ，Ｃ，…，Ｘ，Ｙ，Ｚ是道路交叉的１７个路口，站在任一路口都可以沿直线看到过这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道，那么，最少要设个岗哨．１４．如果ｍ－１ｍ＝－３，那么ｍ３－１ｍ３＝．１５．１＋２＋３＋４＋５＋…＋２００５＋２００６１－１１００４（）１－１１００５（）１－１１００６（）…１－１２００６（）＝．１６．乒乓球比赛结束后，将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名，乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有个．１７．有甲、乙、丙、丁四人，每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为２９、２３、２１和１７岁，则这四人中最大年龄与最小年龄的差是岁．１８．初一（２）班的同学站成一排，他们先自左向右从“１”开始报数，然后又自右向左从“１”开始报数，结果发现两次报数时，报“２０”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有１５人，则全班同学共有人．１９．２ ｍ＋２００６＋２ ｍ（ｍ是正整数）的末位数字是．２０．Ａｓｓｕｍｅ ｔｈａｔ ａ，ｂ，ｃ，ｄ ａｒｅ ａｌｌ ｉｎｔｅｇｅｒｓ，ａｎｄ ｆｏｕｒ ｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ ｈａｖｅ ａｌｗａｙｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｘ，ｙ，ｚ，ｗ ｏｆ ｐｏｓｉｔｉｖｅ ｎｕｍｂｅｒｓｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ，ｔｈｅｎ ｔｈｅ ｍｉｎｉｍｕｍ ｏｆ ａｉｓ．（英汉词典：ｔｏ ａｓｓｕｍｅ假设；ｉｎｔｅｇｅｒ整数；ｅｑｕａｔｉｏｎ方程；ｓｏｌｕｔｉｏｎ（方程的）解；ｐｏｓｉｔｉｖｅ正的；ｒｅｓｐｅｃｔｉｖｅｌｙ分别地；ｍｉｎｉｍｕｍ最小值）三、解答题要求：写出推算过程２１．（１）证明：奇数的平方被８除余１．（２）请你进一步证明：２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．图４２２．如图４所示，△ＡＢＣ的面积为１，Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点．连结ＡＯ并延长交ＢＣ于Ｄ，连结ＣＯ并延长ＡＢ于Ｆ．求四边形ＢＤＯＦ的面积．２３．老师带着两名学生到离学校３３千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车，速度为２５千米／小时．这辆摩托车后座可带乘１名学生，带人后速度为２０千米／小时．学生步行的速度为５千米／小时．请你设计一种方案，使师生三人同时出发后到达博物馆的时间都不超过３个小时．参考答案一、选择题题号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０答案Ｃ Ｃ Ｃ Ｃ Ａ Ｂ Ｂ Ａ Ｄ Ｃ 提示１．因为－ａ－２ｂ２＋４＝２－ａｂ２＋４，所以命题①是真命题；因为ａ－ｂ的相反数为－（ａ－ｂ）＝－ａ－（－ｂ），所以命题②的真命题；·０４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期因为ａｂ的相反数为－ａｂ，（－ａ）（－ｂ）＝ａｂ，又ａｂ≠０，所以－ａｂ≠ａｂ，因此③不是真命题；因为ａｂ≠０，所以ａｂ的倒数为１ａｂ＝１ａ·１ｂ，因此，④是真命题．故选（Ｃ）．２．观察即知，选（Ｃ）．３．因为ｘ（１－２５％）·［ｙ（１－２５％）］２＝２７６４ｘｙ２，所以代数式的值减少了１－２７６４＝３７６４．故选（Ｃ）．４．当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２时，（Ａ）不成立；当ａ＝－５，ｂ＝－４，ｃ＝１，ｄ＝２０时，（Ｄ）不成立；又因为ａ＜ｂ＜０＜ｃ＜ｄ，所以ｄ＋ｃ＞０，①ｄ－ｃ＞０，②－ａ＞０，③－ｂ＞０，④①＋③＋④，得 ｄ＋ｃ－ａ－ｂ＞０，②＋③＋④，得 ｄ－ｃ－ｂ－ａ＞０，即（Ｂ）不正确，（Ｃ）正确．故选（Ｃ）．５．根据三角形内角和定理，并利用等腰三角形两底角相等，得２ｘ＋３０×２＋５０×２＝１８０，解得ｘ＝１０．故选（Ａ）．６．因为ａ，ｂ，ｃ，均为整数，又奇数＋奇数＝偶数；偶数＋偶数＝偶数；奇数－奇数＝偶数；偶数－偶数＝偶数；奇数－偶数＝奇数；偶数－奇数＝奇数；所以当ａ，ｂ，ｃ同奇或同偶时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个奇数一个偶数时，ｍ为偶数；当ａ，ｂ，ｃ中有两个偶数一个奇数时，ｍ为偶数；故选（Ｂ）．７．由题意知ｂ既能被４整除，又能被３整除，所以ｂ能被１２整除．又６０能被ｂ整除，所以ｂ＝１２或６０．（１）若ｂ＝１２，则６０÷ｂ＝５，因为（５，４）＝１，（５，３）＝１，所以ａ，ｃ中至少有一个含因数５．若ａ含因数５，则ａ≥２０，又ｃ≥３，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥２０＋１２＋３＝３５；若ｃ含因数５，则ｃ≥１５，又ａ≥４，所以ａ＋ｂ＋ｃ≥４＋１２＋１５＝３１，取ａ＝４，ｂ＝１２，ｃ＝１５，能构成三角形．（２）若ｂ＝６０，则ａ＋ｂ＋ｃ＞６０＞３１．综上知，ａ＋ｂ＋ｃ的最小值为３１．故选（Ｂ）．８．从５条竖线中取２条，共有５×４２＝１０（种）取法，从４条横线中取２条，共有４×３２＝６（种）取法．２条竖线和２条横线可组成１个矩形，所以图中的矩形共有１０×６＝６０（个），其中，正方形有４×３＋３×２＋２×１＝２０（个），所以，不是正方形的矩形有６０－２０＝４０（个）．故选（Ａ）．·１４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版９．当ａ＝１．１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－２，所以（Ａ）、（Ｂ）不成立．当ａ＝１时，［ａ］＝１，［－ａ］＝－１，所以（Ｃ）不成立．当ａ≥０时，ａ可以写成ａ＝［ａ］＋｛ａ｝，而０≤｛ａ｝＜１，－ａ＝－［ａ］－｛ａ｝．如果｛ａ｝＝０，即ａ是正整数，则［－ａ］＝－［ａ］，所以［ａ］＋［－ａ］＝０．如果｛ａ｝＞０，则［－ａ］＝－［ａ］＝－１，所以［ａ］＋［－ａ］＝－１．当ａ＜０时，令ｂ＝－ａ＞０，将上面讨论中的ａ换成ｂ，仍可以得到［ａ］＋［－ａ］等于０或－１．故选（Ｄ）．１０．译文：点Ａ和点Ｂ分别对应于数轴上的两个数７和ｂ，且｜ＡＢ｜＜１０．如果ｍ＝５－２ｂ，那么ｍ的取值范围是（ ）（Ａ）－１＜ｍ＜３９．（Ｂ）－３９＜ｍ＜１．（Ｃ）－２９＜ｍ＜１１．（Ｄ）－１１＜ｍ＜２９．解 由题意知｜ＡＢ｜＝｜ｂ－７｜＜１０，所以－３＜ｂ＜１７，即－２９＜５－２ｂ＜１１．故选（Ｃ）．二、填空题题号１１ １２ １３ １４ １５答案１９１０－３ ４－３６ ４０２６０４２题号１６ １７ １８ １９ ２０答案３１ １８ ５３或２５ ０ ２４３３ 提示１１．原式＝１＋１２＋３－２５６（）＋１１２＋ ５－４１９２０（）＋１３０＋７－６４１４２（）＋１５６＋ ９－８７１７２（）＋１９０＝１＋１２＋１６＋１１２＋１２０＋１３０＋１４２＋１５６＋１７２＋１９０＝１＋１－１２（）＋１２－１３（）＋１３－１４（）＋ １４－１５（）＋…＋１８－１９（）＋１９－１１０（）＝２－１１０＝１－９１０．１２．因为ｍ＋ｎ－ｐ＝０，所以ｍ－ｐ＝－ｎ，ｎ－ｐ＝－ｍ，ｍ＋ｎ＝ｐ，即 ｍ１ｎ－１ｐ（）＋ｎ１ｍ－１ｐ（）－ｐ１ｍ＋１ｎ（）＝ｍｎ－ｍｐ＋ｎｍ－ｎｐ－ｐｍ＋ｐｎ（）＝ｍｎ－ｐｎ（）＋ｎｍ－ｐｍ（）－ｍｐ＋ｎｐ（）＝ｍ－ｐｎ＋ｎ－ｐｍ－ｍ＋ｎｐ＝－１－１－１＝－３．１３．因为ＤＳ，ＡＸ，ＥＹ，ＦＺ是小区中４条彼此平行的街道，守望每条街道都需要１个岗哨，因此，守望这４条彼此平行的街道至少需要４个岗哨．即守望这个小区的所有街道需要安排的岗哨不能少于４个．在Ｄ，Ｎ，Ｙ，Ｆ路口设４个岗哨即可守望小区的所有街道，因此，最少要设４个岗哨．１４．ｍ３－１ｍ２＝ｍ－１ｍ（）ｍ２＋１１ｍ２（）＝－３ ｍ２－２＋１ｍ２＋３（）＝－３ ｍ－１ｍ（）２＋３［］＝－３×１２＝－３６．·２４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期１５．原式＝（１＋２００６）×１００３１００３２００６＝２００７×２００６＝４０２６０４２．１６．设共有乒乓球ｘ个，则第一名得乒乓球的个数为ｘ２＋１２＝１２（ｘ＋１）；第二名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２（）＋１２＝１４（ｘ＋１）；第三名得乒乓球的个数为１２ｘ－ｘ＋１２－ｘ＋１４（）＋１２＝１８（ｘ＋１）；以此类推，第四名得乒乓球的个数为ｘ＋１１６；第五名得ｘ＋１３２．依题意ｘ＋１２＋ｘ＋１４＋ｘ＋１８＋ｘ＋１１６＋ｘ＋１３２＝ｘ，即（ｘ＋１）１２＋１４＋１８＋１１６＋１３２（）＝ｘ．解得ｘ＝３１．１７．设甲、乙、丙、丁四人的年龄分别是ａ，ｂ，ｃ，ｄ，则有ａ＋ｂ＋ｃ３＋ｄ＝２９，ｂ＋ｃ＋ｄ３＋ａ＝２３，ｃ＋ｄ＋ａ３＋ｂ＝２１，ｄ＋ａ＋ｂ３＋ｃ＝１７．烅烄烆将四个式子相加并化简，得ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ＝４５，再将上面方程组的每个式子乘以３后分别与（＊）式相减，得ａ＝１２，ｂ＝９，ｃ＝３，ｄ＝２１．由对称性，知甲、乙、丙、丁四人中年龄最大的是２１岁，年龄最小的是３岁．所以最大年龄与最小年龄的差为２１－３＝１８（岁）．１８．有如图５所示的两种情况：图５所以全班共有２０＋２０＋１３＝５３（人），或２０＋（２０－１５）＝２５（人）．１９．因为２ ｍ＋２００６＋２ ｍ＝２ ｍ（２２００６＋１），而２２００６＝（２４）５０１×２２＝１６５０１×４，乘积的个位数字是４，所以２２００６＋１的个位数字是５，又２ ｍ为偶数，所以ｍｍ＋２００６＋２ ｍ的末位数字为０．２０．译文：设ａ，ｂ，ｃ，ｄ均为整数，且关于ｘ，ｙ，ｚ，ｗ的四个方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１，（ｂ－３ｃ）ｙ＝１，（ｃ－４ｄ）ｚ＝１，ｗ＋１００＝ｄ的根都是正数，则ａ可能取得的最小值是．解 因为方程（ａ－２ｂ）ｘ＝１的根ｘ＞０，所以ａ－２ｂ＞０，又因为ａ，ｂ均为整数，所以ａ－２ｂ也为整数，即ａ－２ｂ≥１，ａ≥２ｂ＋１．同理可得ｂ≥３ｃ＋１，ｃ≥４ｄ＋１，ｄ≥１０１．所以ａ≥２ｂ＋１≥２（３ｃ＋１）＋１＝６ｃ＋３≥６（４ｄ＋１）＋３＝２４ｄ＋９≥２４×１０１＋９＝２４３３，故ａ可能取得的最小值为２４３３．三、解答题２１．（１）设ｎ为任意整数，则２ｎ＋１为任意奇数．那么（２ｎ＋１）２＝２ｎ２＋４ｎ＋１＝４ｎ（ｎ＋１）＋１．由于ｎ（ｎ＋１）能被２整除，·３４·２０２０年第１２期数学竞赛数理天地初中版所以４ｎ（ｎ＋１）能被８整除，所以４ｎ（ｎ＋１）＋１被８除余１．因此，奇数的平方被８除余１．（２）假设２００６可以表示为１０个奇数的平方之和，也就是ｘ２１＋ｘ２２＋ｘ２３＋…＋ｘ２１０＝２００６，（其中ｘ１，ｘ２，ｘ３，…，ｘ１０都是奇数）等式左边被８除余２，而２００６被８除余６．矛盾！因此，２００６不能表示为１０个奇数的平方之和．２２．设Ｓ△ＢＤＦ＝ｘ，Ｓ△ＢＯＤ＝ｙ．因为Ｅ是ＡＣ的中点，Ｏ是ＢＥ的中点，且Ｓ△ＡＢＣ＝１，所以Ｓ△ＡＯＥ＝Ｓ△ＣＯＥ＝Ｓ△ＡＯＢ＝Ｓ△ＣＯＢ＝１４．则Ｓ△ＡＯＦ＝１４－ｘ，Ｓ△ＡＣＦ＝３４－ｘ，Ｓ△ＢＣＦ＝１４＋ｘ．由Ｓ△ＡＯＦＳ△ＢＯＦ＝ＡＦＢＦ＝Ｓ△ＡＣＦＳ△ＢＣＦ，得１４－ｘｘ＝３４－ｘ１４＋ｘ，即１１６－ｘ２＝３４ｘ－ｘ２，得ｘ＝１１２．又Ｓ△ＣＯＤ＝１４－ｙ，Ｓ△ＡＣＤ＝３４－ｙ，Ｓ△ＡＢＤ＝１４＋ｙ．由Ｓ△ＢＯＤＳ△ＣＯＤ＝ＢＤＣＤ＝Ｓ△ＡＢＤＳ△ＡＣＤ，得ｙ１４－ｙ＝１４＋ｙ３４－ｙ，即１１６－ｙ２＝３４ｙ－ｙ２，得ｙ＝１１２．所以Ｓ四边形ＢＤＯＦ＝ｘ＋ｙ＝１１２＋１１２＝１６．２３．要使师生二人都到达博物馆的时间尽可能短，可设计方案如下：设学生为甲、乙二人．乙先步行，老师带甲乘摩托车行驶一定路程后，让甲步行，老师返回接乙，然后老师带乘乙，与步行的甲同时到达博物馆．如果６所示，设老师带甲乘摩托车行驶了ｘ千米，用了ｘ２０小时，比乙多行了ｘ２０×（２０－５）＝３４ｘ（千米）．图６这时老师让甲步行前进，而自己返回接乙，遇到乙时，用了３４ｘ÷（２５＋５）＝ｘ４０（小时）．乙遇到老师时，已经步行了ｘ２０＋ｘ４０（）×５＝３８ｘ（千米），离博物馆还有３３－３８ｘ（千米）．要使师生三人能同时到达博物馆，甲、乙二人搭乘摩托车的路程应相同，则有ｘ＝３３－３８ｘ，解得ｘ＝２４．即甲先乘摩托车行驶２４千米，用了１．２小时，再步行９千米，用了１．８小时，共计３小时．因此，上述方案可使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过３个小时．·４４·数理天地初中版数学竞赛２０２０年第１２期。
“希望杯”全国数学邀请赛简介
“希望杯”全国数学邀请赛简介 这⼀邀请赛⾃1990年以来，已经连续举⾏了⼆⼗⼆届。
22年来，主办单位始终坚持⽐赛⾯向多数学校、多数学⽣，从命题、评奖到组织⼯作的每个环节，都围绕着⼀个宗旨：激发⼴⼤中学⽣学习的兴趣，培养他们的⾃信，不断提⾼他们的能⼒和素质。
这⼀活动只涉及初⼀、初⼆、⾼⼀、⾼⼆四个年级，不涉及初三、⾼三，不与奥赛重复，不与中考、⾼考挂钩，不增加师⽣负担，因此受到⼴⼤师⽣的欢迎。
该竞赛⼀直受到原国家教委的肯定，并被列⼊原国家教委批准的全国性竞赛活动的名单中，同时愈来愈多的数学家、数学教育家对邀请赛给予热情的关⼼和⽀持。
到第⼗届为⽌，参赛城市已超过500个，参赛学⽣累计598万。
“希望杯”全国数学邀请赛已经成为中学⽣中规模、影响最⼴的学科课外活动之⼀。
据介绍，该竞赛活动分两试进⾏。
第⼀试（每年三⽉进⾏）以各地（省、市、县、〔区〕、学校）为单位组织参赛学⽣，在全国各参赛学校同时进⾏，各测试点按命题委员会下发的评分标准进⾏阅卷、评分，从中按七分之⼀的⽐例按成绩择优选拔参加第⼆试的选⼿。
第⼆试（每年四⽉进⾏）由当地《数理天地》编委分会或地、市级教研室或教育学院、教科所、教师进修学校统⼀组织，测试结束后，各测试点将试卷密封，向组委会挂号寄出，由命题委员会阅卷，从中按⼋分之⼀的⽐例按成绩评定⼀、⼆、三等奖，分别授予⾦、银、铜奖牌及获奖证书。
对组织⼯作做得出⾊的地区或学校，组委会颁发“希望杯”数学邀请赛组织奖。
⽇本国算数奥林匹克委员会对此项赛事⾮常关注，该委员会事务局局长若杉荣⼆先⽣专程来华同邀请赛组委会洽谈参赛事宜，并从1996年开始，已连续三年组织⽇本部分中学⽣参加了竞赛活动，由此开创了我国社会团体举办同类竞赛⾛出国门的先例。
近年来，美国、德国的有关组织也与组委会联系合作事宜。
希望杯杯徽 ★圆形，表⽰⼴阔的天空。
★英⽂hope（希望）形如⼀只展翅飞翔的鸟。
喻义：“希望杯”全国数学邀请赛为⼴⼤的青少年在科学思维能⼒上的健康发展开辟了⼀个⼴阔的空间，任他们⾃由翱翔。
(2020年编辑)希望杯数学竞赛第一届至十历届四年级全部试题与答案打
教育精品资料目录1.第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (2)2. 第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (5)3. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (7)4. 第二届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (10)5. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (13)6. 第三届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (16)7. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (18)8. 第四届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (21)9. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (23)10. 第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (26)11. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (28)12. 第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (30)13. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (32)14. 第七届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (36)15. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (39)16. 第八届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (41)17. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (44)18. 第九届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (46)19. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试） (48)20. 第十届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第2试） (50)21.第一届---第八届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案 (53)第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。
2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。
3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。
4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。
历届希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆）4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ） （A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ）（A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断：⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x +2y +3z = 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。
2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛高二
2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第一试一、选择题1. 否定结论“至少有两个解”的正确说法是( )A 、至少有三个解B 、至多有一个解C 、至多有两个解D 、只有一个解2. 点P (ln (2x ＋2－x －tan π6)，cos 2)(x ∈R )位于坐标平面的( )A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 3. 已知y ＝f (x )是定义在R 上的函数条件甲：y ＝f (x )没有反函数；条件乙：y ＝f (x )不是单调函数. 则条件甲是条件乙的( )A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 4. 已知sin θ＋cos θ＝13，θ∈(－π2，π2)，则θ的值等于( )A 、－arccos21＋19 B 、－arccos 21－19 C 、－arccos 17＋19 D 、－17－195. Suppose that a ∈R ，line (1－a )x ＋(a ＋1)y －4(a ＋1)＝0，always passes through a fixed pointP ，and point Q is on the curve x 2－xy ＋1＝0，Then the range of slope of a line passing through P and Q is ( )A 、[－2，＋∞)B 、[－3，＋∞)C 、(1，＋∞)D 、(3，＋∞) (英汉词典：fixed point 固定点；range 范围；slope 斜率；to pass through 通过) 6. 函数y ＝5－4x －x 2＋log 12(cos 2x ＋sinx －1)的定义域是( )A 、(0，12)B 、[－5，－7π6)∪(0，π6)C 、(－7π6，－π)∪(0，π6)D 、(0，π6)7. 关于方程x 2sin α＋y 2cos α＝tan α(α是常数且α≠k π2，k ∈Z )，以下结论中不正确的是( )A 、可以表示双曲线B 、可以表示椭圆C 、可以表示圆D 、可以表示直线8. F 1、F 2为椭圆的焦点，P 为椭圆上一点，∠F 1PF 2＝90°，且|PF 2|＜|PF 1|，已知椭圆的离心率为63，则∠PF 1F 2∶∠PF 2F 1＝( ) A 、1∶5 B 、1∶3 C 、1∶2 D 、1∶19. 关于x 的方程|e |lnx |－2|＝t (0＜t ＜1)，其中t 是常数，则方程根的个数是( )A 、2B 、3C 、4D 、不能确定的 10. 若双曲线x 2－y 2＝a 2(a ＞0)关于直线y ＝x －2对称的曲线与直线2x ＋3y －6＝0相切，则a 的值为( )A 、455B 、855C 、1255D 、1655二、A 组填空题11. 直线3x ＋2y ＝1上的点P 到点A (2，1)，B (1，－2)的距离相等，则点P 的坐标是__________. 12. 已知向量a →与b →满足|a →|＝2，|b →|＝1，且夹角为60°，则使向量a →＋λb →与λa →－2b →的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________________.13. 已知|ax －3|≤b 的解集是[－12，72]，则a ＋b ＝_______________.14. 不等式(2＋3)x ＋(2－3)x ＞8的解集是_________________.15. 方程(arccosx )2＋(2－t )arccosx ＋4＝0有实数解，则t 的取值范围是________________. 16. △ABC 的三个内角为A 、B 、C ，且2C －B ＝180°，又△ABC 的周长与最长边的比值为m ，那么m 的最大值为__________________.17. 双曲线x (y ＋1)＝1的准线方程为_________________. 18. 不等式x ＋22xy ≤a (x ＋y )对于一切正数x 、y 恒成立，则实数a 的最小值为___________.19. 一只小船与10m /s 的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m /s 的速度前进，如图，现在小船在水面P 点以南的40米处，汽车在桥上Q 点以西30米处(其中PQ ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为____________米(不考虑汽车和小船本身的大小).20. 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，在正方体表面上与点A 距离为233的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一平面上)，则此曲线的长度为_______________. 三、B 组填空题21. Let S n be the sum of the first n terms of an arithmetic sequence . Assume that S 3＝9，S 20＞0，and S 21＜0 . Then the range of the common difference d is ___________，the maximum term of the sequence S 1，S 2，S 3，……，is ____________. (英汉词典：term 项；arithmetic sequence 等差数列；common difference 公差；maximum term 最大(值)项) 22. 若x ，y ∈R ，且满足x ＋2＋y －5＝6，则x ＋2y 的最小值是________，最大值是_______.23. 经过点E (－p2，0)的直线l ，交抛物线C :y 2＝2px (p ＞0)于A 、B 两点，l 的倾斜角为α，则α的取值范围是______________；F 为抛物线的焦点，△ABF 的面积为___________(用p ，α表示)24. 球面上有十个圆，这十个圆可将球面至少分成___________个区域，至多分成___________个区域. 25. 点P (x ，y )的坐标满足关系式⎩⎨⎧2x ＋y ≥15x ＋3y ≥27x ≥2y ≥3且x ，y 均为整数，则x ＋y 的最小值为__________，此时P 点坐标是____________.2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)答案选择题：BDADBCDACB。
5.向量夹角
杨老师高考数学丛书,给您一个智慧的人生！请尊重知识产权,不得翻印！高考数学母题[母题]Ⅰ(12-05):向量夹角(265) 677向量夹角[母题]Ⅰ(12-05):(2011年安徽高考试题)已知向量a 、b 满足(a +2b )(a -b )=-6,且|a |=1,|b |=2,则a 与b 的夹角为 .[解析]:由(a +2b )(a -b )=-6⇒a 2+ab -2b 2=-6⇒|a |2+ab -2|b |2=-6⇒ab =1⇒cos<a ,b >=||||b a b a ⋅=21⇒<a ,b >=3π.[点评]:关于向量的夹角:①定义:对于非零向量a ,b ,作OA =a ,OB =b ,则∠AOB=θ称为向量a ,b 的夹角,θ∈[0,π];②公式:由向量的数量积;ab =|a ||b |cos<a ,b >可得向量的夹角公式:cos<a ,b >=||||b a b a ⋅;③范围:<a ,b >是锐角⇔0<cos<a ,b ><1;<a ,b >是钝角⇔-1<cos<a ,b ><0.[子题](1):(2013年安徽高考试题)若非零向量a ,b 满足|a |=3|b |=|a +2b |,则a 与b 夹角的余弦值为 .[解析]:由|a |=|a +2b |⇒|a |2=|a +2b |2⇒a 2=(a +2b )2⇒ab =-b 2⇒cos<a ,b >=||||b a b a ⋅=22||3||b b -=-31.注:求向量a ,b 的夹角首先要|a |,|b |,ab 或三者的数量关系,然后利用向量的夹角公式求cos<a ,b >,进而求<a ,b >. [子题](2):(2004年福建高考试题)已知a 、b 是非零向量且满足(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a 与b 的夹角是( ) (A)6π (B)3π (C)32π (D)65π [解析]:由(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ⇒a (a -2b )=0,b (b -2a )=0⇒2ab =a 2,2ab =b 2⇒a 2=b 2⇒|a |=|b |⇒2ab =|a |2⇒cos<a ,b >==21⇒<a ,b >=3π.故选(B).注:已知(x 1a +y 1b )⊥(x 2a +y 2b )且(m 1a +n 1b )⊥(m 2a +n 2b ),求<a ,b >,解决该类问题的步骤:①由垂直关系转化为数积关系,并展开得两式;②由所得两式消去ab 项可求得|a |=t|b |,由此可得ab =λ|b |2;③利用向量的夹角公式求cos<a ,b >. [子题](3):(2009年全国高中数学联赛河南初赛试题)设在同一平面上的两个非零向量a ,b 满足|a +b |=3|a -b |,则a ,b 的夹角的取值范围为 .[解析]:由|a +b |=3|a -b |⇒a 2+2ab +b 2=3(a 2-2ab +b 2)⇒4ab =a 2+b 2⇒4|a ||b |cos<a ,b >=|a |2+|b |2≥2|a ||b |⇒cos<a ,b >≥21⇒<a ,b >∈[0,3π].注:对向量夹角的范围问题,①要注意<a ,b >∈[0,π];②要注意f(x)=cosx 在[0,π]内递减;③要灵活运用基本不等式和夹角为锐角或钝角的充要条件. [子题系列]:1.(2006年全国Ⅰ高考试题)已知向量a 、b 满足|a |=1,|b |=4,且ab =2,则a 与b 夹角为( ) (A)6π (B)4π(C)3π (D)2π 2.(2009年上海春招试题)已知|a |=3,|b |=2.若ab =-3,则a 与b 夹角的大小为 . 3.(2007年辽宁高考试题)若向量a 与b 不共线,ab ≠0,且c =a -b b a a a )()(⋅⋅,则向量a 与c 的夹角为( )(A)0(B)6π(C)3π(D)2π4.(2004年全国Ⅲ高考试题)向量a 、b 满足(a -b )(2a +b )=-4,且|a |=2,|b |=4,则a 与b 夹角的余弦值等于 .5.(2007年上海春招试题)若向量a ,b 满足|a |=2,|b |=1,a (a +b )=1,则向量a ,b 的夹角的大小为 .6.(2009年重庆高考试题)己知|a |=1,|b |=6,a (b -a )=2,则向量a 与b 的夹角是( )(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π678 [母题]Ⅰ(12-05):向量夹角(265)7.(2011年江西高考试题)已知|a |=|b |=2,(a +2b )(a -b )=-2,则a 与b 的夹角为 .8.(2010年湖南高考试题)若非零向量a ,b 满足|a |=|b |,(2a +b )b =0,则a 与b 的夹角为( )(A)300(B)600(C)1200(D)15009.(2014年江西高考试题)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α,且cos α=31,向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β,则cos β= .10.(2004年全国高中数学联赛河北初赛试题)已知a 、b 都是非零向量,且a +3b 与7a -5b 垂直,a -4b 与7a -2b 垂直.则向量a 、b 的夹角为 .11.(2011年“卓越联盟”自主招生数学试题)向量a 、b 均为非零向量,(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ,则a ,b 的夹角为 . 12.(2012年全国高中数学联赛广西初赛试题)已知向量a +3b 与7a -5b 垂直,向量a -4b 与7a -2b 垂直.则向量a -b 与b 的夹角为 .13.(2006年湖南高考试题)己知|a |=2|b |≠0,且关于x 的方程x 2+|a |x+ab =0有实根,则a 与b 夹角的范围是( ) (A)[0,6π] (B)[3π,π] (C)[3π,32π] (D)[6π,π] 14.(2011年课标高考试题)已知a 与b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题:p 1:|a +b |>1⇔θ∈[0,32π);p 2:|a +b | >1⇔θ∈(32π,π];p 3:|a -b |>1⇔θ∈[0,3π);p 4:|a -b |>1⇔θ∈(3π,π].其中的真命题是( )(A)p 1,p 4 (B)p 1,p 3 (C)p 2,p 3 (D)p 2,p 415.(2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)试题)已知向量a 与b 满足|a |=2,|b |=1,且夹角为600,则使向量a +λb 与λa -2b 的夹角为钝角的实数λ的取值范围是 .16.(2007年全国高中数学联赛吉林初赛试题)设向量a 、b 满足|a |=1,|b |=2,且a 、b 的夹角为600.若向量7a +2t b 与向量t a +b 的夹角为钝角,则实数t 的取值范围是 . [子题详解]: 1.解:由cos<a ,b >=21⇒<a ,b >=3π.故选(C). 2.解:由cos<a ,b >=-21⇒<a ,b >=32π. 3.解:由ac =0.故选(D). 4.解:由(a -b )(2a +b )=-4⇒ab =-4⇒cos<a ,b >=-21. 5.解:由a (a +b )=1⇒ab =-1⇒cos<a ,b >=-22⇒<a ,b >=43π. 6.解:由a (b -a )=2⇒ab =3⇒cos<a ,b >=21.故选(C). 7.解:由(a +2b )(a -b )=-2⇒ab =2⇒cos<a ,b >=21⇒<a ,b >=3π.8.解:由(2a +b )b =0⇒2ab =-|b |2⇒cos<a ,b >=-21.故选(C). 9.解:由|a |=3,|b |=22,ab =8⇒cos β=322. 10.解:由(a +3b )(7a -5b )=0,(a -4b )(7a -2b )=0⇒|a |=|b |⇒2ab =b 2⇒cos<a ,b >=21⇒<a ,b >=3π.11.解:由(a -2b )⊥a ,(b -2a )⊥b ⇒a 2=b 2=2ab ⇒|a |=|b |,cos<a ,b >=21⇒<a ,b >=3π.12.解:由(a +3b )(7a -5b )=0,(a -4b )(7a -2b )=0⇒a 2=b 2=2ab ⇒|a |=|b |⇒cos<a ,b >=21⇒<a ,b >=3π⇒<a -b ,b >=32π. 13.解:由Δ=|a |2-4ab ≥0⇒cos<a ,b >≤21.故选(B). 14.解:由|a +b |>1⇔cos<a ,b >>-21;|a -b |>1⇔cos<a ,b ><21.故选(A).15.解:由(a +λb )(λa -2b )=λ2+2λ-2<0⇔λ∈(-1-3,3-1);当a +λb 与λa -2b 共线时,1:λ=λ:(-2)不成立.故λ∈(-1-3,3-1).16.解:由(7a +2t b )(t a +b )<0⇔t ∈(-7,-21);当7a +2t b 与t a +b 共线时,t=±214.故t ∈(-7,-214)∪(-214,-21).。
2020最新“希望杯”全国数学邀请赛试题
ABCED图12020最新“希望杯”全国数学邀请赛试题初一 第1试试题一、选择题（每小题4分，共40分） 1.若2015236x x x++=- ，则x =（ ） （A ）-2015（B ）-403（C ）-1（D ）12.下面有4个判断①互为相反数的两个数的绝对值相等； ②如果n 的绝对值等于，则一定为正数；③点M 在数轴上距原点2个单位长度，且位于原点右侧.若将向左移动5个单位长度，则此点对应的值为-3；④两个数相加，它们的和一定大于其中一个加数. 其中，正确判断的个数为（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）43.小明带a 元钱去超市买文具，买铅笔用去了说带钱数的13，买橡皮用去余下钱数的14，然后他又用剩下的钱数的12买了把尺子.这时小明还剩（ ） （A ）12a 元 （B ）13a 元 （C ）14a 元（D ）25a 元 4.已知a ，b 是整数，且121a b -++=，则()()2412a b -⨯+=（ ） （A ）-2（B ）-1（C ）0（D ）15.如图1，在△ABC 中，AB=AC ,D 、E 分别在AC 、AB 上，且BC=BD=DE=AE ， 则∠A 的度数为（ ） （A ）18°（B ）20°（C ）26°（D ）18076.已知x ，y ，m ，n 为有理数，若22228x y m n +=+=，则xy mn +（ ） （A ）有最小值4（B ）有最大值4（C ）有最小值8（D ）有最大值87.下列判断中正确的是（ ）（A ）在同一平面内如果有两条线段不相交，那么这两条线段就平行.（B ）在同一平面内的两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么同旁内角互补.（C ）等腰△ABC 中，如果连接点A 和边BC 边的中点D ，那么AD ⊥BC .（D ）如果等腰直角三角形的高为10，那么它的面积等于50.8.当x =2时，多项式353mx x m -++的值是118，则多项式267m m --的值为（ ） （A ）-16（B ）-7（C ）20（D ）93AB CDE图2ABCDM 图3-3 -2 03712A BC DE图5 图4FABCDEF 图69.如图2，在锐角△ABC 中，高线CD 、BE 相交于点F ，若∠A=55°，则∠BFC 的度数是（ ）（A ）110° （B ）125° （C ）135° （D ）145° 10.Consider the sequence 1,2,4,7,11,18,29……，in which each term is the sum of the two previous terms after the first two terms. How many of the first 100terms of the this sequence are multiples of 5?Answer:（ ）（A ）10 （B ）7 （C ）2 （D ）0（英汉小词典：sequence 数列；term 项；previous 前面的；multiples 倍数） 二、A 组填空题（每小题4分，共40分） 11.已知19a b =，则a ba b-=+ . 12.如图3所示，在矩形ABCD 中，AB=6cm ，且ADM S ∆:BCD S =∆ 2:3，则CM 的 长度为 cm .13.从两个重量分别为12千克和8千克且含铜量的百分比不同的合金上切下重量相等的两块，把所切下的每一块和另一块剩余的合金放在一起熔炼后得到的两块合金含铜的百分比相等，则所切下的合金的重量是 千克.14.如图4所示，点O 、A 、B 、C 、D 、E 分别对应数轴上 相应的坐标.则以O 、A 、B 、C 、D 、E 中任意两点为端 点的所有线段的长度的和为 .15.王明在早晨六点至七点之间外出晨练，出门和回家的时候，时针与分针的夹角都是110°，则王明晨练的时间为 分针.16.长方形内一点P 到其中三边的距离分别是3，4，5，而这个长方形的面积不大于100，且到另一边的距离d 也是整数，则d 最大为 .17.If 210m m +-= ,then the value of 322+2014m m +is .18.如图5，以等腰直角三角形△ABC 的直角边为边，向外作等边△ABD 和△ACE ， 则∠ADE= .19.在1，2，……10000个正整数中，含有数字“4”的数的个数是 . 20.如图6，在△ABC 中，D 在BC 上且BD :DC = 3:2，E 在AB 上且 AE :EB = 2:1，F 在CA 的延长线上且AC :AF = 4:3.若△ABC 的面积 为2015，则△DEF 的面积为 . 三、B 组填空题（每小题4分，共40分）21.根据下表所给信息填空，已知甲车每月行驶400千米，乙车每月行驶350千米.（其中修理费和保养费车型 50千米耗油量 修理费（半年） 保养费（一年） 油价 甲 4升 540元 840元 6.80元/升 乙5升720元960元6.80元/升图7AB CG D A B C D （1）A B CD EF H（2） K（3）（1）甲车行驶8个月，花费 元；（结果四舍五入保留整数）（2）甲车行驶8个月，乙车行驶7个月，则花费较少的是 .（填：“甲车”或“乙车”） 22.如图7（1），在梯形ABCD 中， BC ∥AD .将梯形沿中位线EF 翻折，使上底和下底所在的直线重合，如图7（2），未重合部分（图7（2）阴影）的面积是4.将梯形沿对角线BD 翻折，使点C 落在梯形内部的点CK 处，如图7(3),重合部分（△BDK ）的面积是8.若梯形的下底AD=8，则梯形的上底BC = ,图7(3)中阴影部分面积为 .23.已知三位数abc m =，def n =.若abcdef :defabc = 3 : 4，则=m ，n = . 24. A 、B 两地相距13.5km ，甲、乙两人分别从A 、B 两地同时出发，各在A 、B 间往返一次，家比乙先回到出发地，两人第一次在C 地相遇，第二次在D 地相遇，从出发到两人第二次相遇经过的时间为3小时20分针，若C 、D 两地相距3km.则甲的速度是 km/h ，乙的速度是 km/h . 25.有边长都是20厘米的正方形地板砖与正六边形地板砖共25块，总计有110条边.那么其中正六边形地板砖有 块.若不准切割地板砖，直接用这些地板砖来铺设正方形的地面，这可铺设的正方形最大面积为 平方厘米.。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)
２Ｏ Ｏ６年 第 ６期
．
４ ５
二、 Ａ组填空题（ 每小题 ４ ， ４ 分） 分 共 ｏ ｌ． 线 ３ ＋２ １直 ｙ＝ ｌ上 的 点 Ｐ 到 点
三 、 填空 题 （ 小题 两个空 ， 空 ４ Ｂ组 每 每 分， ４ ） 共 ０分
２ ． ｅ ｂ ｈ ｕ ｏ ｅ ｉ＇ ｒ ｆ １ Ｌ ｔＳ ｅ ｔ ｅ ｓ ｍ ｆ ｈ ｎ ｔ ｔ ｍｓｏ ｔ ｓｎ ｅ
８１ａ ｔ ｍｅｉ ｅ ｕ ｎ ｅ． ｓ ｍｅ ｔａ Ｓ３＝ ９，Ｓ∞ １ ｒ ｈ ｔ ｓ ｑ ｅ ｃ Ａｓ ｕ ｈ ｔ ｉ ｃ
Ａ（ ，） （ ， ） 距 离 相 等 ． 点 Ｐ 的坐 ２ １ 、 １ 一２ 的 则 标 是— — ． １． ２ 已知 向量 口、 足 Ｉ ＝２ Ｉ ＝ｌ ｂ满 ａＩ ，ｂＩ ，
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２ （２ ２一 詈‘ （ ． ～ ｔ ）ｏ） 点Ｐ （＋ ａ ， ２ ｎ ｃ ｓ
∈Ｒ） 位于坐标平面的（ ） ． （） Ａ 第・象限 （） Ｂ 第二象限 （） ｃ 第三象限
３ 已知 Ｙ＝ ．
（） Ｄ 第四象限
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“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究【文献综述】
毕业论文文献综述数学与应用数学“希望杯”全国数学邀请赛高二试题的研究举办“希望杯”全国数学邀请赛有助于鼓励和引导中小学生学好数学课程中最主要的内容，适当地拓宽知识面；启发他们注意数学与其它课程的联系和数学在实际中的应用；激励他们去钻研和探究；培养他们科学的思维能力、创新能力和实践能力；高二参赛学生作为一个特殊的参赛群体，既可以暂时避开来自高考的压力，又作为“希望杯”全国数学邀请赛参赛队伍中年级最高的一个群体，此赛事对这批学生来讲意义更为重大。
他们对初高中知识掌握较全面，命题人可供选择的知识点更宽泛，同时又因为他们即将面临高考，此赛事在锻炼高二参赛学生的思维，拓宽他们的解题思路方面有很大贡献。
因此有很多学者致力于研究“希望杯”全国数学邀请赛的高二试题部分。
高二“希望杯”全国数学邀请赛第一届是在1990年举行的，至今已成功举办了21届。
21年的发展历程，让“希望杯”倍受关注。
众多学者对高二“希望杯”的研究主要可以分为以下几个方面：（一）寻求高二“希望杯”试题的一题多解（二）探讨高二“希望杯”中同类题型，或给出统一解法（三）找出高二“希望杯”试题与高考试题间联系关于“希望杯”试题的一题多解的研究方明（湖南省长沙雅礼中学）发表于《数理天地》高中版2006年第6期第23页，第42页《换元法解第十七届“希望杯”试题》中，作者选取了“希望杯”高二第17届（2006年）第1试试题18向我们展示一题多解的魅力。
尽管解题思想不同，用换元或是用基本不等式，却是殊途同归。
王钦茹赵平礼（山东苍山县卞庄二中）发表于《中学数学教学》1999年第4期第34页上《一道“希望杯”赛题的几何证法》中，作者针对第七届全国数学“希望杯”高二年级第2试试题22（1），在不利用未编入教材的微积分知识的前提下，提出一种初等解法，其中主要用到三角形及扇形的面积公式。
知识点粗浅，方便理解。
王成维吴杰夫（天津市现代联合咨询中心高考研究室）发表于《数理天地》高中版2006年第6期20-21页《第17届“希望杯”高二2试解答题的别解》中，作者仅选取该届试题的2试试题，另辟蹊径地给出了自己较为简便的算法，该算法切入口明显，向下行走顺畅自然，易于理解。
高二“希望杯”全国数学邀请赛
绝密★启用前高二“希望杯”全国数学邀请赛试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：135分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知X y且bx.,lnx 成等比列，则xy 的A ．最大值是B ．最大值是C ．最小值是D ．最小值是2、已知函数则函数的反函数是A ．y=B ．y=C ．y="2X+5"D ．y=2X+23、设０，则a 和b 的大小关系是A ．aB ．C ．aD ．不确定的。
4、如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。
可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。
A ．B ．C ．D ．5、 函数y=的最小值是 A ．B ．C ．D ．6、Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)that passes the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA ．B ．C ．D ．7、等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk 项之和是A ．B ．C ．D ．8、当x.yi 满足条件时，变量U=的取值范围是A ．B ．C ．D ．9、设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e 的值等于A ．B ．C ．D ．10、Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)tothe y-axis isthen the velue of a isA ．B ．C ．orD ．or第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、延长平行四边形ABCD 的边BC 到F ，AF 依次交DB 、DC 于E 、G ，AE 比EG 大2，GF=5，则EG=________________。
历届(1-18)希望杯数学邀请赛高二试题(含答案) 全国通用
高中竞赛必备资料第一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试一、选择题1、直线A x + B y + C = 0（A ，B 不全为零）的倾斜角是（ ）（A ）B = 0时，倾斜角是2π，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –A B )（B ）A = 0时，倾斜角是2π，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –BA )（C ）A = 0时，倾斜角是0，A ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –B A ) （D ）B = 0时，倾斜角是0，B ≠ 0时，倾斜角是arctan ( –AB)2、数列{ a n }：a 1 = p ，a n + 1 = q a n + r （p ，q ，r 是常数），则r = 0是数列{ a n }成等比数列的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）不充分也不必要条件 3、f 是R → R 上的一一映射，函数y = f ( x )严格递增，方程x = f ( x )的解集为P ，方程x = f [ f ( x )]的解集为Q ，则（ ）（A ）P ⊂ Q （B ）P = Q （C ）P ⊃ Q （D ）以上都不对4、点( x ，y )的坐标x ，y 都是有理数时，该点称为有理点，在半径为r ，圆心为( a ，b )的圆中，若a ∈Q ，b ∈Q ，则这个圆上的有理点的数目（ ）（A ）最多有一个 （B ）最多有两个 （C ）最多有三个 （D ）可以有无穷多个5、以某些整数为元素的集合P 具有以下性质：（1）P 中元素有正数也有负数；（2）P 中元素有奇数也有偶数；（3）– 1 P ；（4）若x ，y ∈P ，则x + y ∈P 。
对于集合P ，可以断定（ ） （A ）0∈P ，2 P （B ）0 P ，2∈P （C ）0∈P ，2∈P （D ）0 P ，2 P 二、填空题6、方程arcsin ( sin x 的实根个数是 。
7、使不等式| ( x – 1 ) ( x + 1 ) | + | ( x – 2 ) ( x + 2 ) | + | ( x – 3 ) ( x + 3 ) | < ( t – x ) ( t + x )的解集为空集的实数t 形成一个集合，把这个集合用区间形式写出来，就是 。
希望杯试题1-10
历届“希望杯”全国数学邀请赛问题精选详析(高二)题1 已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 .（第十一届高二第一试第11题）解法1 b b a a b b a x ++=-+=，ab b aa b b y -+=--=.y x a b b b b a b a <∴-+>++∴<<,,0 .解法2bb a ab b a b b b b a y x ++-+=---+=，y x y x a b b a <∴<∴->+,1, . 解法3a ab b a b b a ab b b b a y x -+-++=----+=-1111 =y x yx a a b b a <∴>-∴>--+,011,0.解法4 原问题等价于比较a b b a -++与b 2的大小.由,2)(222y x y x +≥+得b a b b a a b b a 4)(2)2=-++≤-++（，b a b b a 2≤-++∴. y x b a b b a a b b a <∴<-++∴-≠+,2, .解法5 如图1，在函数x y =的图象上取三个不同的点A （a b -，a b -）、B （b ，b ）、C （b a +，b a +）由图象，显然有AB BC k k <，即)()(a b b a b b b b a b b a ----<-+-+， 即a b b b b a --<-+，亦即y x <.解法6 令()f t =，tt a at f ++=)( 单调递减，而a b b ->，)()(a b f b f -<∴，即a b b b b a --<-+，y x <∴.解法7 考虑等轴双曲线)0(22>=-x a y x . 如图2，其渐近线为x y =.在双曲线上取两点图1A （b ，a b -）、B （a b +，b ）. 由图形，显然有1>ABk ，即1>-+--bb a ab b ，从而y x <.解法8 如图3.在Rt △ABC 中，∠C 为直角，BC=a ，AC=b ，BD=b ，则AB=b a +，DC=a b -. 在△ABD 中，AB-AD<BD ，即-+b a AD b <，从而-+b a AD-DC<-b DC ，即a b b b b a --<-+，故y x <.评析 比较大小是中学代数中的常见内容.其最基本的方法是作差比较法、作商比较法、利用函数的单调性.解法1通过分子有理化（处理无理式常用此法）将问题转化成比较两个分母的大小.解法2直接作商与1比较大小，顺理成章，也很简洁.要注意的是：0,>b a 时，1a a b b >⇔>；0,<b a 时，1aa b b>⇔<.此题直接作差难以确定差与0的大小，解法3对y x ,的倒数作差再与0比较大小，使得问题顺利获解，反映了思维的灵活性.解法6运用函数的单调性解题，构造一个什么样的函数是关键.我们认为构造的函数应使得y x ,恰为其两个函数值，且该函数还应是单调的（最起码在包含y x ,对应的自变量值的某区间上是单调的）.解法5与解法7分别构造函数与解几模型，将y x ,的大小关系问题转化成斜率问题加以解决，充分沟通了代数与几何之间的内在联系，可谓创新解法.解法8充分挖掘代数式的几何背景，构造平面图形，直观地使问题得到解决，这也是解决大小关系问题和证明不等式的常用方法.有人对此题作出如下解答：取,2,1==b a 则12112,23123+=-=+=-=y x，>10+>，.,121231y x <∴+<+可再取两组特殊值验证，都有y x <.故答案为y x <.从逻辑上讲，取2,1==b a ，得y x <.即使再取无论多少组值（也只能是有限组值）验证，都得y x <，也只能说明y x >或y x ≥作为答案是错误的，而不能说明y x <一定是正确的,因为这不能排除x y =的可能性.因此答案虽然正确，但解法是没有根据的.当然，如果将题目改为选择题：图2图3已知y x a b b y b b a x b a ,,,,0则--=-+=<<的大小关系是 （ ） A 、y x > B 、y x ≥ C 、y x = D 、y x <此时用上述解法，且不用再取特殊值验证就可选D ，并且方法简单，答案一定正确.总而言之，特殊值法在解许多选择题时显得特别简捷，那是因为选择支中的正确答案是唯一的，从而通过特殊值排除干扰支，进而选出正确答案.但特殊值法只能排除错误结论，而不能直接肯定正确答案，因此，用此法解填空题（少数特例除外）与解答题是没有根据的.当然，利用特殊值指明解题方向还是十分可取的.题2 设c b a >>N n ∈,，且11na b b c a c+≥---恒成立，则n 的最大值为 （ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5（第十一届高二第一试第7题） 解法1 原式n c b c a b a c a ≥--+--⇔．mina c a c n ab bc --⎡⎤∴≤+⎢⎥--⎣⎦．而b a c a --+c b c a -- =b ac b b a --+-+b c a b b c -+--=2+b a c b --+c b b a --≥4，且当b ac b --=cb ba --，即bc a 2=+时取等号．mina c a c ab bc --⎡⎤∴+⎢⎥--⎣⎦4=．4n ∴≤．故选C ． 解法2 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，已知不等式化为()()()2a c n a b b c -≤--．由()()()()22242a c a c ab bc a b b c --≥=---+-⎛⎫⎪⎝⎭，即()()()4min2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---c b b a c a ，故由已知得4≤n ，选C ．解法3 由c b a >>，知0,0,0>->->-c a c b b a ，有()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11．又()()()[]()41111112=+≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+-=⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c b b a c b b a c a ，即()411min=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a ，由题意，4≤n ．故选C ．解法4 c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ．∴已知不等式可变形为()()()2a c n a b b c -≤--．记()()()2a c k ab bc -=--，则()()[]()()()()[]()()4222=----≥---+-=c b b a c b b a c b b a c b b a k ．由题意，4≤n ．故选C ．解法5 c b a >>110,0.a b b c∴>>--于是 ()()ca cb b ac b b a -=-+-≥-+-4411．比较得4≤n ．故选C ． 评析 由已知，可得()⎪⎭⎫⎝⎛-+--≤c b b a c a n 11恒成立．根据常识“若()a f x ≤恒成立，则()min x f a ≤；若()x f a ≥恒成立，则()max a f x ≥,”()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值就是所求n 的最大值，故问题转化为求()⎪⎭⎫⎝⎛-+--c b b a c a 11的最小值，上述各种解法都是围绕这一中心的，不过采用了不同的变形技巧，使用了不同的基本不等式而已．解法1运用了2,,b a a b R a b ++≥∈“”；解法2运用了”“22⎪⎭⎫⎝⎛+≤b a ab ；解法3运用了()”“411≥⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a ；解法4运用了()”“+∈≥+R b a ab b a ,2；解法5运用了()”“+∈+≥+R b a ba b a ,411．虽解法异彩纷呈，但却殊途同归．此题使我们联想到最新高中数学第二册（上）P 30第8题： 已知c b a >>，求证：0111>-+-+-ac c b b a ． 证：令()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．()22111111x y xya b b c c a x y x y xy x y ++∴++=+-=---++．0,0x y >> ， 0111>-+-+-∴ac c b b a ． 此证法通过换元将分母中的多项式改写成单项式，使得推证更简单了．运用这一思路，又可得本赛题如下解法：设()0,0,>>=-=-y x y c b x b a ，则y x c a +=-．ca nc b b a -≥-+-11恒成立，就是y x ny x +≥+11恒成立．也就是()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++≤y x y x n 11恒成立．()411≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x 恒成立， ∴由题意得4≤n ．故选C ．再看一个运用这一思想解题的例子．例 设+∈R c b a ,,，求证：2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++． （第二届“友谊杯”国际数学竞赛题）证明 设,,,z b a y a c x c b =+=+=+则()()0,,21>++=++z y x z y x c b a ． ()()()02222≥+-=++-+y x xy bx ay y x b a y b x a ，()222a b a b x y x y+∴+≥+ ①， ()()()()222222222a b a b c a b c a b c c a b c x y z x y z x y z a b c +++++++∴++≥+≥==+++++,即 2222cb a zc y b x a ++≥++，2222c b a b a c a c b c b a ++≥+++++∴． 本赛题还可直接由下面的命题得解．命题 若021>>>>n a a a ，则()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+--12132211111 ． 证明 021>>>>n a a a ，n n a a a a a a ---∴-13221,,, 都大于0．反复运用①式，可得: “若,(1,2,,)i i x y R i n +∈= ,则22111n i ni i ni iii x x y y ===⎛⎫⎪⎝⎭≥∑∑∑,当且仅当1212n n x x x y y y === 时取等号”.故有()()22122311223111111111n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a --+++-+++≥=----+-++-- ．也可以这样证明：021>>>>n a a a ，12231,,,0n n a a a a a a -∴---> ．故由柯西不等式，得 ()()()1223112231111()n n n na a a a a a a a a a a a --+++-+-++-⎡⎤⎣⎦--- ()()211111n -≥+++ 个()21n =-，即()()21132211)111(-≥--++-+--n a a a a a a a a n nn ．01>-n a a ，()nn n a a n a a a a a a --≥-++-+-∴-12132211111 ． 由此可得本赛题的如下解法：c b a >>，0,0,0>->->-∴c a c b b a ，()ca cb b ac b b a -=-+-+≥-+-∴411112．由 题意，4≤n ．故选C ．由此命题还可直接解决第七届高二培训题第8题：设12320002001a a a a a >>>>> ，并且122320002001111m a a a a a a =+++--- ，200116104a a n -⨯=，则m 与n 的大小关系是 ( ) A 、n m < B 、n m > C 、n m ≥ D 、n m ≤ 解 12320002001a a a a a >>>>> ，2001162001121042000a a a a m -⨯=-≥∴．故选C ． 题3 设实数y x n m ,,,满足a n m =+22，b y x =+22，则ny mx +的最大值为 ( )A 、21()b a +B 、2122b a + C 、222b a + D 、ab（第十一届高二培训题第5题）解法1 设,sin ,cos ααa n a m ==,sin ,cos ββb y b x ==则,)cos(sin sin cos cos ab ab ab ab ny mx ≤-=+=+βαβαβα即)(ny mx +max =ab .故选D ．解法2 b n a b m a b a n m =+⇒=+2222,又b y x =+22,+=+∴mx abny mx a b )( ≤ny ab 2222()()2b m n x y a +++==.2b b a a b =+⋅mx +∴,ab ab b =≤x =,y =即my nx =时取等号，max )ny mx +∴（.ab = 解法3 2222222222222()2mx ny m x mxny n y m x m y n x n y +=++≤+++()()2222,m n x y ab =++=mx ny ∴+当且仅当m yn x =时取等号，故()max mx ny +=解法4 设()(),,,,p m n q x y →→==则cos ,p q p q p q θ→→→→→→⋅=⋅⋅≤⋅222,p q p q →→→→∴⋅≤⋅()()222mx ny m n+≤+即()22,xyab +=当且仅当,p q →→共线，即my nx =时取等号，故()max mx ny +=解法5 若设mx ny k +=，则直线mx ny k +=与圆22x y b +=有公共点，于是≤()max k mx ny mx ny =+≤+=解法6 设12,z m ni z x yi =+=-,则()()()()12,z z m ni x yi mx ny nx my i =+⋅-=++-∴1212,z z mx ny mx ny mx ny z z ⋅=≥=+≥+∴+≤12z z =⋅==当且仅当my nx=时取等号，故()max mx ny += 解法7 构造函数()()()222222f X m n X mx ny X x y =+++++，则()()()220.f X mX x nX y =+++≥故()()()2222244mx ny m nxy ∆=+-++()2440,mx ny ab =+-≤即()max mx ny mx ny +≤∴+.ab =解法8 由2222,m n a x y b +=+=还可构造图形（如图），其中90,ACB ADB ︒∠=∠=,AC=,BC n =,,BD x AD y AB ===为圆的直径，由托勒密定理,ADBC BD AC ⋅+⋅2,AB CD AB =⋅≤得,x n y b ⋅+⋅≤，从而得mx ny +，当且仅当my nx =且0mx >时取等号．()max mx ny ∴+=评析 解法1抓住已知条件式的结构特征，运用三角代换法，合情合理，自然流畅，也是解决此类型问题的通法之一．解法2运用基本不等式222b a ab +≤将ny mx +放大为关于22n m +与22y x +的式子，再利用条件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就会得出下面的错误解法：()()()22222222max ,22222m n x y m x n y a b a bmx ny mx ny ++++++++≤+==∴+=．故选A ．错误的原因就在于用基本不等式求最值时未考虑等号能否取到．上述不等式取等号的条件是x a =①且y b =②，而若①，②式同时取得，则2222m n x y +=+，即,a b =这与题设矛盾！即当a b ≠时，mx ny +取不到2a b+．解法2是避免这种错误的有效方法． 由于向量与复数的模的平方是平方和形式，与已知形式一致，故解法4与解法6分别运用了构造向量与构造复数的方法，新颖而简洁．解法5设k ny mx =+后，将其看作动直线，利用该直线与定圆b y x =+22有公共点，则圆心到直线的距离小于等于半径，得ab ny mx k ≤+=，充分体现了等价转化的解题功能．解法7运用的是构造函数法．为什么构造函数()()()2222f X m n X mx ny X =+++2x +2y +呢？主要基于两点：①()f X 为非负式（值大于等于0），②由于()0≥X f ，故有0≤∆，而∆沟通了已知与未知的关系，故使问题得到解决．解法8抓住已知两条件式的特征，构造了两个有公共边的直角三角形，利用托勒密定理及圆的弦小于等于半径使问题获解，充分揭示了这一代数问题的几何背景．拓展 此题可作如下推广 若2222221212,,n n a a a p b b b q +++=+++= 则()1122max n n a b a b a b +++=()1,2,,i i b i n == 时取得最大值）.证明 2222221212n n a a a p ⎫⎫⎫+++=⇒+++⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎭⎭.q =1122a b a b ∴+++1122n n n n a b b b b ⎫=⋅+⋅++⋅⎪⎪⎭≤+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=(),22222222122221pq q p p q q p b b b a a a pq q p n n=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+++++++ 当且仅当()().,,2,1max 2211pq b a b a b a n i b a pqn n i i =+++∴== 时取等号，本推广实际就是由著名的Cauchy （柯西）不等式()()()222212222122211n n n n b b b a a a b a b a b a +++⋅+++≤+++ （当且仅当nn b a b a b a === 2211时取等号）直接得到的一个结论． 推广有十分广泛的应用，现举一例： 例 已知123,,,,,,234,8.a b c x y z R a b c x y z +∈++=++=且最大值． 解2221232344,8a b c b cx y z ++==++=22⇒+2+＝8=≤====即12ax by cz ===时取等号．max∴=.24题4 对于1≤m 的一切实数m ，使不等式221(1)x m x ->-都成立的实数x 的取值范围是＿＿＿＿（第十三届高二培训题第63题）解法1 题设等价于⎪⎩⎪⎨⎧--<>-1120122x x m x 或⎪⎩⎪⎨⎧--><-1120122x x m x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ，即⎪⎩⎪⎨⎧--<>-11210122x x x 或⎪⎩⎪⎨⎧-->-<-11210122x x x 或⎩⎨⎧>-=-012012x x ,所以21<<x 或113<<-x 或1=x ，即)2,13(-∈x . 解法2 已知不等式即()()01212<---x m x ，令()()121)(2---=x m x m f ，则当012≠-x ，即1±≠x 时，)(m f 是m 的一次函数，因为1≤m ，即11≤≤-m 时不等式恒成立，所以)(m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴的下方，故有⎩⎨⎧<+--=<+-+-=-0121)1(0121)1(22x x f x x f ，即⎩⎨⎧<->-+0202222x x x x ，解得213<<-x )1(≠x . 又当1=x 时，1)(-=m f ，适合题意，当1-=x 时，()3f m =不合题意. 故x 的取值范围是213<<-x .评析 解决本题的关键是如何根据条件构建关于x 的不等式或不等式组.解法1运用分离参数法，为了达到分离参数的目的，又对12-x 分大于0、小于0、等于0三类情形分别构建关于x 的不等式组，从而通过解不等式组解决了问题.解法2则转换思维角度，把已知不等式看成关于m 的不等式，从而将原问题转化为函数()()121)(2---=x m x m f 在[]1,1-上的图象恒在m 轴下方的问题.这种方法称为变更主元法.用此方法，使得此题的解决显得既简捷，又直观易懂.题5 当0x a <<时,不等式2)(1122≥-+x a x 恒成立,则a 的最大值是________. (第十一届高二培训题第45题)解法 1 当0x a <<时, 2≥-+-x a x x x a ①,又有2)()(2222≥-+-x a x x x a ②, ②+①×2,得6)(222222≥--+-x a x ax x x a ,6)()(122222≥---+-x a x a a x a ,8)(2222≥-+x a a x a ,即2228)(11a x a x ≥-+.由282≥a ,得02a <≤,2max =∴a . 解法2 2222)11()11()(112x a x x a x x a x--+-+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+ , 又 =-+x a x 11 +a 4 (1a 2)x a x x x a ---, 222)4()(112a x a x ≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+∴, 即2228)(11a x a x ≥-+, 当且仅当x a x xxa -=- 且 x a x -=11, 即 2a x = 时取等号. 2)(1122≥-+x a x 恒成立, ∴282,02a a ≥<≤. 于是2max =a . 解法 3 原不等式等价于12)(1122≥-+x a x ,由 0x a <<,可知10,x >10a x >-. 由 “两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”, 可知只需1)(2≥-+x a x , 即2≤a 即可, 故02a <≤, 于是2max =a .解法 422)(11x a x -+2≥ 即 2)(112222≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡--++x x a x x ①成立，又2122≥+x x 恒成立， ∴a 只要满足22)(1x x a --0≥②就能使①恒成立.由②式，得2x 2)(x a -1≤，1)(≤-x a x ，012≤-+-ax x ③.由于对称轴),0(2a ax ∈=，由二次函数的性质，当),0(a x ∈时，要③式恒成立，则24002a a ∆=-≤∴<≤ 2max =∴a .解法5 设αα22sin ,cos =-=a x a a x （0x a <<），则22)(11x a x -+=α42cos 1a +α42sin 1a ==+⋅αααα44442cos sin cos sin 1a =-⋅αα2sin 1612sin 2111422aαα2sin 2sin 28422-⋅a . )22(sin 2+αα2(sin 2－1）0≤，即2－αα2sin 2sin 42≥，则αα2sin 2sin 242-1≥)12sin (2时取等号当=α，于是2228)(11ax a x ≥-+，由已知，得282,02,a a ≥∴<≤2max =∴a . 解法6 设11,(0,0),X Y X Y x a x==>>-则 222X Y +≥表示在XOY 坐标系第一象限内以原点为圆心，2为半径的圆及其外部.由11,,X Y x a x==-得,aXY X Y =+又aXY X Y =+,4,22aXY XY ≥∴≥它表示双曲线24a XY =位于第一象限内的一支及其上方部分.依题意，双曲线2224(0)200XY X X Y X Y a=>+=>>与圆弧（，）相切或相离，从而282≥a，即02a <≤ 2max =∴a .解法7 运用结论“如果),,2,1(,n i R y x i i =∈+，则≥+++nn y x y x y x 2222121),()(21221*++++++nn y y y x x x 当且仅当k y x y xy x n n ==== 2211（常数）时取等号.” 0x a <<，∴0.a x ->由柯西不等式，有22222)11())(11)(11(x a x x a x -+≥-++①，由)(*得x a x -+11a 4≥②.故,)4())(11(2222a x a x ≥-+得2228)(11ax a x ≥-+，当且仅当2a x =时取等号，由282≥a，得02a <≤ 2max =∴a . 解法8 运用结论“212122311111(1),,n n n nn a a a a a a a a a a a -->>>+++≥---- 若则当O2 xO且仅当n a a a ,,,21 成等差数列时取等号.”2222111122()(0)()x a x x a x ⎡⎤⎡⎤+=+≥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦2110x a x ⎛⎫+ ⎪--⎝⎭222160)13(a a =⎥⎦⎤⎢⎣⎡--≥.∴2228)(11a x a x ≥-+，当且仅当x a x -=，即2a x =时取等号.令282≥a ，得02a <≤ 2max =∴a . 评析2)(1122≥-+x a x 恒成立，∴2)(11m i n 22≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+x a x.故问题的实质就是求22)(11x a x -+的最小值（关于a 的式子）大于等于2的解.因而在0x a <<的条件下，如何求22)(11x a x -+的最小值成了问题的关键.解法1运用“两个互为倒数的正数的和大于等于2”, 解法2运用配方再放缩, 解法3运用均值不等式及“两个正数的平方平均值不小于它们的调和平均值”,解法5运用三角代换，解决了这一关键问题.解法4巧妙地将原问题转化为一个含参（a ）一元二次不等式恒成立，求参数的范围问题，从而运用二次函数的性质解决问题.解法6将原问题转化为解析几何问题处理.解法7、8则是运用一些现成的结论（读者可自己证明），各种解法异彩纷呈，都值得细细品味.拓展 此题可作如下推广：推广1 若1210n x x x a -<<<<< ，则≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n ，当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.证明 由已知，1210n x x x a -<<<<< ，则12x x -0>，23x x -0>，, 1--n x a 0>.根据柯西不等式及解法7运用的不等式（*）,有⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x n ≥21211111n x x x a x -⎛⎫+++≥ ⎪--⎝⎭ 2242,n n a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭故≥-++-+-2121221)(1)(11n x a x x x 23a n . 当且仅当a x x x n ,,,,121- 成等差数列时取等号.推广2 若1210n x x x a -<<<<< ，,),,,2,1(++∈=∈N k n i R b i 则++kk x b 111kk n k n k n k k ab b b x a b x x b 121111212)()()(+-+++++≥-++- ，当且仅当∑==n i ii i b ab a 1时取等号. 证明 不妨设112211,,,--=-==n n x a a x x a x a ，=M ,)(11+=∑k ni i b 由已知得i a 0>且),,2,1(n i =,1a a ni i =∑=令a a c i i =，则∑=ni i c 1=111=∑=ni i a a .由均值不等式，++k i k i c b 1≥+++个k i i i Mc Mc Mc ,)1(11+++k k ik b M k 即k ik i c b1+k n i b b b k kMc ))(1(21++++≥+ i b ⋅，则11111(1)()k nn n k i i i k i i i i b kM c k b c ++===+≥+∴∑∑∑1111()k n n k i i k i i i b b c ++==≥∑∑，即11k nki k i ib a a +=≥∑11()n k i i b +=∑，11111()nk k i ni i k k n i ii i b b a a ++===≥⎛⎫ ⎪⎝⎭∑∑∑，当且仅当=i a ∑∑∑====⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n i i i i n i i n i i b ab b b a 111时取等号. ∴++kk x b 111++kk x b 212kn kn x a b )(1--+ k k n a b b b 121)(++++≥ . 题6 已知()⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=2,0,log sin πθθx x f ，设⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2cos sin θθf a ，()θθcos sin ⋅=fb ，⎪⎭⎫⎝⎛+=θθθcos sin 2sin f c ，那么c b a 、、的大小关系是 （ ）A 、b c a ≤≤B 、a c b ≤≤C 、a b c ≤≤D 、c b a ≤≤（第八届高二第一试第10题） 解法1 设p =θsin ，q =θcos .pq qp ≥+2，而()x f 是减函数，()pq fq p f ≤⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴2，即b a ≤.2qp pq +≤，()2pq q p pq +≤∴， pq qp pq≤+2.()pq fq p pq f ≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∴2，即b c ≥.故c b a ≤≤.选D.解法2 由题意，令6πθ=，则21sin =θ，cos 2θ=，4312cos sin +=+θθ ，23cos sin 4=θθ，233cos sin cos sin 2cos sin 2sin -=+=+θθθθθθθ，()1,021sin ∈=θ ，()x f ∴是减函数，又233234314->>+，()⎪⎭⎫⎝⎛+<<⎪⎭⎫⎝⎛+∴θθθθθθθcos sin 2sin cos sin 2cos sin f ff ，即c b a <<.故选D.评析 这是一个比较函数值大小的问题，通常利用函数的单调性.若函数()x f 单调递增（减），则当21x x <时，()()()()()2121x f x f x f x f ><，当21x x >时，()()21x f x f >()()()21x f x f <.因此解决问题的关键有两个：一是确定函数的单调性，二是确定自变量的大小关系.解法1就是这样解决问题的.因为正确答案应对一切⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ都正确，故又可以运用特殊值法.对⎪⎭⎫⎝⎛2,0π内的某个角不正确的选择支都是错误的，由正确选择支的唯一性，也可选出正确答案.解法2便是取特殊值6πθ=，排除了A 、B 、C 、而选D 的.当然，此题也可用作差比较法来解：⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πθ ，()1,0sin ∈∴θ，()x f ∴是单调减函数，0sin >θ，0cos >θ.=⋅-+=-∴θθθθθθcos sin log 2cos sin log sin sin b a01log cos sin 2cos sin log sin sin =≤⋅+θθθθθθ，b a ≤∴.又-⋅=-θθθcos sin log sin c b 01log cos sin 2cos sin log cos sin cos sin 2cos sin log cos sin 2sin log sin sin sin sin =≤+=+⋅=+θθθθθθθθθθθθθθθθθ，即c b ≤，c b a ≤≤∴.选D.题7 已知21=a ，不等式49321log <⎪⎭⎫ ⎝⎛-x a的解是 . （第三届高二第二试第13题）解 原不等式即2log 32321-⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫⎝⎛-x a. 指数函数x⎪⎭⎫⎝⎛32是减函数，21=a ，∴原不等式化为2log121->-x ，即22121121l o gl o g -⎪⎪⎭⎫⎝⎛->x .又 对数函数l o g x 是减函数，2211-⎪⎭⎫⎝⎛<-∴x ，即21<-x ，解得31<<-x . 对数函数121log-x 的定义域是1≠x 的实数，∴原不等式的解是11<<-x 或31<<x .评析 此题涉及到指数不等式、对数不等式、绝对值不等式的解法.解指数不等式与对数不等式的基本方法是同底法，即先将不等式两边的指数式或对数式化成底数相同的指数式或对数式，然后根据底数所属区间是()1,0或()+∞,1，确定以该底数为底的指数函数或对数函数的单调性，再去掉底数或对数符号，转化成别的不等式.主要依据如下：⑴若01a <<,则()()()()f x g x aa f x g x <⇔>；⑵若1a >,则()()()()f x g x a a f x g x <⇔<；⑶若01a <<,则()()()()log log 0f x g x aa f x g x <⇔>>；⑷若1a >,则()()()()log log 0f x g x a a f x g x <⇔<<.有时需要将常数化为指数式或对数式，其化法如下： ⑴ac ca log =（,0,0>>c a 且1≠c ）；（化为指数式）⑵log a c a c =（,0>c 且1≠c ）.（化为对数式） 例如，23log 32=将常数2化为3为底的指数式，233log 2=将常数2化为3为底的对数式.解指数不等式不需检验，但解对数不等式必须保证解使得对数式有意义，这点常被忽略. 若一个指数不等式的指数部分是对数式，常常采用取对数法求解. 例 不等式()x x x>lg的解集是 .（第十一届高二培训题第40题）解 两边取常用对数，得()x x lg lg 2>，即0lg ,0lg 4lg ,0lg lg 4122<>->-x x x x x 或10,4lg <<∴>x x 或410>x .故所求解集是()()+∞,101,04 .应当指出，两边取对数后，不等号的方向变不变，关键看取的是什么底数.如果底数大于1，则不等号方向不变，如果底数大于0且小于1，则不等号方向改变.关于绝对值不等式，主要是根据绝对值的几何意义求解.下列结论应当理解并熟记（a 为常数）.⑴()0≤<a a x 的解集是φ； ⑵()0><a a x 的解集是()a a ,-； ⑶()0<>a a x 的解集是R ；⑷()0x a a >>的解集是()()+∞-∞-,,a a . 下列题目供练习：⑴已知常数⎪⎭⎫⎝⎛∈4,0πθ，则不等式()()8103cot tan 2--->x x x θθ的解集是 .（第八届高二第一试第16题）⑵若函数()⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=4222log log x xx f 的定义域是不等式211222log 7log 30x x ⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭的解集，则()x f 的最小值= ；最大值= .（第十届高二第一试第23题）⑶不等式22222log 2log x x x x x x ++>的解集是 .（第九届高二培训题第23题）⑷不等式1323>--x 的解是 （ ）（A ）6>x 或232<≤x （B ）6>x 或2<x （C ）6>x （D ）2<x答案 ⑴(]⎪⎭⎫⎢⎣⎡-∞-1374,52, ⑵43 ；2 ⑶⎪⎭⎫⎝⎛2,21 ⑷A题8 不等式t x x +≥-21 的解集是∅ ,实数t 的取值范围(用区间形式)是 .(第一届高二第一试第18题)解法1 由t x x +=-21两边平方并整理得012222=-++t tx x ,此方程无实根,故()084184222<+-=--=∆t t t ,22>t .又0>t ,2>∴t .故填()+∞,2.解法2 作出函数21x y -=的图象(即图中的半圆)及函数t x y +=的图象(即图中斜率为1的直线系).由题意,直线应在半圆的上方,由图象可知直线t x y +=在y 轴上的截距2>t .故填()+∞,2.解法3 由012≥-x ,得11≤≤-x .故设θc o s =x ,[]πθ,0∈,则已知不等式就是t +≥θθcos sin ,即θθcos sin -≤t .⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-4sin 2cos sin πθθθ ,又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-43,44πππθ,()sin cos [θθ∴-∈-.由题意得2>t . 故填()+∞,2.评析 这是一道蕴含着丰富数学思想方法的好题.解法1﹑2﹑3分别运用方程思想﹑数形结合思想﹑化归转换思想,从不同的角度解决了问题,体现了这道题的丰富内涵.解法2揭示了本题的几何背景.解法3的依据是:不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21恒成立.有人认为不等式t x x +≥-21 的解集是∅等价于不等式x x t -->21有解,这种观点是错误的.事实上,21=t 时,不等式x x t -->21就有解(比如53=x 就是其一个解),而21=t 时,不等式t x x +≥-21即2112+≥-x x 的解集却不是∅ (比如0就是它的一个解).拓展 通过上面的分析,并作进一步的研究,我们便有下面的 结论 已知t 为参数, ()f x 的值域是[],a b . (1) 若()t f x ≤恒成立,则t a ≤. (2) 若()t f x ≥恒成立,则t b ≥. (3) 若()t f x ≤的解集是∅,则t b >. (4) 若()t f x ≥的解集是∅,则t a <. (5) 若()t f x ≤有解,则t b ≤. (6) 若()t f x ≥有解,则t a ≥.若将()f x 的值域改为[),a b 、(],a b 、(),a b 等，也会有相应的结论，限于篇幅，不再一一列出．根据这一结论，请回答下列问题：1.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 2.t +的解集是∅，则实数t 的取值范围是 ． 3.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 4.t +有解，则实数t 的取值范围是 ． 5.t >+恒成立，则实数t 的取值范围是 ． 6.t +恒成立，则实数t 的取值范围是 ．答案 1. ()2,+∞2.(,-∞3.)⎡+∞⎣4.(],2-∞5.(,-∞6.()2,+∞题9 不等式03422≥+---x x x 的解集是 （ ）A 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253B 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-255,253 C 、⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞+⎥⎦⎤ ⎝⎛+∞-,255253,D 、⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-253,255 （第十三届高二第二试第8题）解法 1 当0342≥+-x x ，即1≤x 或3≥x 时，原不等式就是,03422≥-+--x x x 即0552≤+-x x ，解得2553.255255+≤≤∴+≤≤-x x . 当2430,13x x x -+<即<<时，原不等式就是，03422≥+-+-x x x 即，0132≥+-x x 解得253-≤x或3x x ≥≤<.综上，所求解集为,⎫⎡⎪⎢⎪⎣⎭⎣⎦ 即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253.故选A.解法2 如图，作函数2-=x y 和342+-=x x y 的图象.要求的解集就是21y y ≥，即1y 在2y 上方时x 的区间，即图中线段AB 上的点所对应的横坐标所组成的区间[]B A x x ,. 又(),1234222--=+-=x x x y 当32<<x 时，().2122--=x y 由()2212-=--x x 可解得253+=A x .当3>x 时，(),1222--=x y 由()2122-=--x x 可解得255+=Bx ，∴所求不等式的解集为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++255,253，故选A. 解法 3 同解法2画出图形后，可知解集为一个闭区间[]b a ,，且()3,2∈a ，对照 选择支.可知选A.解法4 当5.1=x 时，03422<+---x x x 时，故1.5不是原不等式的解，从而排除含1.5的B 、C 、D ，故选A.评析 解含绝对值的不等式，一般是先去掉绝对值符号，然后再求解.解法1正是运用分类讨论思想这样解决问题的，也是一种通法.我们知道，方程()()x g x f =的解就是函数()x f y =与()x g y =的图象交点的横坐标；若图象无交点，则方程无解.而不等式()()x g x f >的解集则是函数()x f y =的图象在()x g y =的图象上方部分的点的横坐标的集合；若()x f y =的图象都不在()x g y =的图象的上方，则不等式无解.解法2正是运用这种数形结合思想解决问题的.许多超越不等式的近似解或解的所属范围也都运用此法解决.选择题的正确答案就在选择支中，只是要求我们把它选出来而已.因此,不是非要求出答案再对照选择支选择答案不可的.基于此，解法3运用估算的方法选出了正确答案(注意：估算能力是高考明确要求要考查的能力之一).而解法4则运用特殊值排除了干扰支，进而选出了正确答案.类似这种不等式（方程）的解集是什么的选择题几乎都可用这种方法解，而且十分方便.值得注意的是，特殊值只能否定错误结论，根据正确选择支的唯一性才能肯定正确答案.另外，如何选取特殊值也是很有讲究的，读者可在解题实践中体会并加以总结.题10 不等式199920003224>-+-x x 的解集是 . 1 3 A B（第十一届高二培训题第41题）解 设y=x x -+-3224 ，由⎩⎨⎧≥-≥-03024x x ，得定义域为[21，3]. 1999200010,106144410)3)(24(4)3(42422>≥∴≥-+-+=--+-+-=y x x x x x x y 即原不等式在定义域内恒成立，故所求解集为[21，3]. 评析 解无理不等式，通常是通过乘方去掉根号，化为有理不等式后再解.但从此题中不等式右边的数可以想象该有多么复杂，若将题目改为“276.571623.93224+>-+-πx x 的解集是 ”，还会有谁想通过平方化为有理不等式去解呢？显然，常规方法已难以解决问题，怎么办呢？考虑到不等式中的x ∈[21，3]，从而左边1999200010>≥，故解集就是定义域，这就启示我们，当常规思维受阻或难以奏效时，就应积极开展非常规思维，另辟蹊径，寻求解决问题的新方法.拓展 根据上面的分析，并加以拓广，我们可得结论 设a,b,c 是常数，若[,],()[,],()[,]x a b f x m n g x p q ∈∈∈,则当m c >时,不等式()f x c >的解集是[,],()a b f x c ≤的解集是φ；当n c <时, 不等式()f x c ≥的解集是φ,()f x c <的解集是[,]a b ;当n p >时, 不等式()()f x g x ≥的解集是φ, ()()f x g x <的解集是[,]a b ;当m q >时，不等式()()f x g x >的解集是[,]a b ，()()f x g x ≤的解集是φ.根据这一结论，不难求得下列不等式的解集：1、 2sinx+3cosx>4;2、 322163-->-x x ;3、 x x x -<-+-433)1(log 4;4、 sinx-cosx<32+x .答案：1、φ 2、[2，+∞) 3、φ 4、R。
第17届“希望杯”全国数学邀请赛试卷初二第2试
2006 年第 17 届“希望杯”全国数学邀请赛试卷（初二第 2 试）一、选择题（共10 小题，每题 4 分，满分40 分）1．（ 4 分）以下四组根式中，是同类二次根式的一组是（）A ．B．C．D．和2．（ 4 分）要使代数式存心义，那么实数x 的取值范围是（）A ．1＜ x≤ 5B ．x＜ 1 或 x≥5C． x≤ 1 或 x≥ 5D． x＜ 1 或 x＞ 5 3．（ 4 分）以线段a＝ 13，b＝ 13， c＝10， d＝ 6 为边作梯形，此中a， c 为梯形的两底，这样的梯形（）A ．能作一个B．能作两个C．能作无数个D．一个也不可以作4．（ 4 分）In fig 1，ABCD is a quadrilsteral ，E is a point the diagonal BD，EF ∥AD ，EM ∥ BC，then thevalue of is（）（英汉字典：fig figure 的缩写，图； quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable 变量； to depend on 取决于； position 地点）四边形 ABCD 中，E 是对角线BD 上一点， EF∥ AD ，EM∥ BC，则的值为（）A ．greaterthan 1（大于1）B ． equalto 1（等于1）C． lessthan 1（小于1）D ．variabledependingonthepositionofE （不可以确立，与 E 的地点相关）5．（ 4 分）若 m＝2006 2 2 2 2，则 m（）+2006 × 2007 +2007A．是完整平方数，仍是奇数C．不是完整平方数，可是奇数D．不是完平方数，可是偶数6．（ 4 分）将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的极点重合，而后剪去纸片的不重合部分，睁开纸片，再一次对折，使此外的两个极点重合，再剪去不重合的部分后睁开，此时纸片的形状是（）A ．正方形B ．长方形C．菱形D．等腰梯形7．（ 4 分）若 a， b，c 都是大于1 的自然数，且c）a ＝ 252b，则 a 的最小值为（A ．42B ．24 C． 21 D． 158．（4 分） Thereisatwo﹣ placednumbersatisfyingthatisacompletesquarenumber ，thentotalnumber ofthoselike is（）（英汉词曲： two ﹣ placednumber 两位数； number 数，个数；tosatisfy 知足；completesquare 完整平方（数）total 总的，总数）A ．4B ．6C． 8D． 109．（ 4 分）下表是某电台本礼拜的流行歌曲排行榜，此中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上礼拜名次的变化状况，“↑”表示上涨，“↓”表示下降，不标明的则表示名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超出两位，则上礼拜排在第 1， 5， 7 名的歌曲分别是（）名次12345678910 歌曲A B C D E F G H I J 变化↑↓↑↓↓↑↑↓新状况A ．D ，E， HB ．C， F， I C． C， E， I D． C， F ， H 10．（ 4 分）设 n（ n≥2）个正整数a1， a2， a3a n，任意改变它们的次序后，记作b1， b2，b3b n，若 P＝（ a1﹣ b1）（ a2﹣ b2）（a3﹣ b3）（ a n﹣ b n），则（）A ．P 必定是奇数B． P 必定是偶数C．当 n 是奇数时， P 是偶数D．当 n 是偶数时， P 是奇数二、填空题（共 10 小题，每题 4 分，满分40 分）11．（4 分）如图，消防云梯的长度是34 米，在一次履行任务时，它只好停在离大楼16 米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是米．12．（ 4 分）分式方程的解是 x＝．13．（ 4 分）设 m＞ 0，，则代数式的值的范围是．14．（ 4 分）计算，最后获得．15．（ 4 分）从凸 n 边形的一个极点引出的全部对角线把这个凸n 边形分红m 个小三角形，若 m 等于这个凸 n 边形对角线条数的，那么此 n 边形的内角和．16．（ 4 分）某种球形病毒，直径是0.01 纳米，每一个病毒每过一分钟就能生殖出9 个与自己的相同的病毒，若是这类病毒在人体中齐集到必定数目，按这样的数目摆列成一串，长度达到 1 分米时，人就会感觉不适，那么人从感染第一个病毒后，经过分钟，就会感觉不适．17．（ 4 分）方程有组正整数解．18．（ 4 分）设 a＝3050，b＝4040，c＝5030，则 a，b，c 中最大的是，最小的是．19．（ 4 分）如图，等腰三角形ABC 中， AB＝AC， P 点在 BC 边上的高AD 上，且，BP 的延伸线交AC 于 E，若 S△ABC＝ 10，则 S△ABE＝；S△DEC＝．20．（ 4 分）一个圆周上挨次放有1，2，3，，20 共 20 个号码牌，任意选定一个号码牌（如8），从它开始，先把它拿掉，而后每隔一个拿掉一个（如挨次拿掉8， 10，12，），并向来循环下去，直到节余两个号码牌时停止，则最后节余的两个号码的差的绝对值是．三、解答题（共 3 小题，满分40 分）21．（ 10 分）如图，正方形ABCD 的边长为 a，点 E、 F 、G、H 分别在正方形的四条边上，已知 EF ∥GH ， EF＝ GH ．（1）若 AE ＝AH＝，求四边形EFGH的周长和面积；（2）若 AE ＝BF＝ CG＝ DH ，求四边形 EFGH 的周长的最小值．22．（ 15 分）已知 A 港在 B 港的上游，小船于清晨3： 00 从 A 港出发开往 B 港，抵达后立即返回，往返穿越于A、B 港之间，若小船在静水中的速度为16 千米 / 小时，水流速度为4 千米 /小时，在当晚23：00 时，有人看见小船在距离 A 港 80 千米处行驶，求A、 B 两个港口之间的距离．23．（ 15 分）在 2，3 两个数之间，第一次写上，第二次在2， 5 之间和 5， 3 之间分别写上，以下所示：第 k 次操作是在前一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的．请写出第 3 次操作后所获得的9 个数，并求出它们的和．第 4 页（共 19 页）2006 年第 17 届“希望杯” 全国数学邀请赛试卷 （初二第2 试）参照答案与试题分析一、选择题（共 10 小题，每题4 分，满分 40 分）1．（ 4 分）以下四组根式中，是同类二次根式的一组是（）A ．B ．C ．D ． 和【剖析】 将二次根式化为最简，依据同类二次根式的被开方数相同可得出各选项正确与否．【解答】 解： A 、＝ ， 2 ＝ ，被开方数不一样，故本选项错误；B 、二者的被开方数不一样，故本选项错误；C 、＝ |a|，＝ |b|，被开方数不一样，故本选项错误；D 、 ＝ ， ＝ |b||c| ，二者的被开方数相同，故本选项正确．应选： D ．【评论】本题考察同类二次根式的知识，难度不大， 注意将各二次根式化为最简再判断．2．（ 4 分）要使代数式 存心义，那么实数 x 的取值范围是（ ）A ．1＜ x ≤ 5B ．x ＜ 1 或 x ≥5C ． x ≤ 1 或 x ≥ 5D ． x ＜ 1 或 x ＞ 5【剖析】 依据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围．【解答】 解：依据题意得： |x ﹣ 3|﹣ 2≥ 0 且 x 2﹣ 4x+3≠ 0，由 |x ﹣ 3|﹣2≥ 0，得 x ≤ 1 或 x ≥5，由 x 2﹣ 4x+3 ≠ 0，得 x ≠ 1 且 x ≠ 3．综上，可知实数 x 的取值范围是 x ＜ 1 或 x ≥ 5． 应选： B ．【评论】本题考察了函数自变量的取值范围．用到的知识点有： 分式存心义， 分母不为 0；二次根式的被开方数是非负数．本题的难点解绝对值不等式|x﹣ 3|﹣ 2≥0，在初中教材大纲中不是要点知识．3．（ 4 分）以线段a＝ 13，b＝ 13， c＝10， d＝ 6 为边作梯形，此中a， c 为梯形的两底，这样的梯形（）A ．能作一个B．能作两个C．能作无数个D．一个也不可以作【剖析】过点 B 作 BE∥ AD，则出现 ? ABED 和一个△ BEC，别的的要点是依据已知求得CE 的长，而后判断BE， CE， BC 能否能组成三角形，能组成则能做一个梯形，不然不能做一个梯形．【解答】解：如图，过点 B 作 BE∥ AD，则出现 ? ABED 和一个△ BEC∵AB＝ 10，CD＝ 13，AD ＝13， BC＝ 6∴CE＝ 3，BE ＝13∵3+6 ＜13∴ BE， CE， BC 不可以组成三角形∴这样的梯形一个也不可以作，应选： D ．【评论】本题主要考察平行四边形的判断与性质及三角形三边关系的综合运用，要点是利用三角形三边关系判断能否能组成三角形．4．（ 4 分）In fig 1，ABCD is a quadrilsteral ，E is a point the diagonal BD，EF ∥AD ，EM ∥ BC，then thevalue of is（）（英汉字典：fig figure 的缩写，图； quadrilateral四边形；diagonal对角线；value数值；variable 变量； to depend on 取决于； position 地点）四边形 ABCD 中，E 是对角线BD 上一点， EF∥ AD ，EM∥ BC，则的值为（）A ．greaterthan 1（大于 1）B ． equalto 1（等于 1）C． lessthan 1（小于 1）D ．variabledependingonthepositionofE （不可以确立，与E 的地点相关）【剖析】可由平行线的性质得出＝，＝，从而经过线段的转变即可得出结论．【解答】解：∵ EM∥ BC，∴＝，∵EF∥ AD ，∴＝，∴+ ＝+ ＝＝ 1．应选： B．【评论】本题主要考察了平行线分线段成比率的性责问题，应能够娴熟掌握．2 2 2 2，则 m（）5．（ 4 分）若 m＝2006 +2006 × 2007 +2007A．是完整平方数，仍是奇数B．是完整平方数，仍是偶数C．不是完整平方数，可是奇数D．不是完平方数，可是偶数【剖析】依据已知得出2007＝ 2006+1 ，将原式整理为对于对于2006 的平方形式得出答案即可．2 2 2 2【解答】解： m＝ 2006 +2006 ×2007 +20072 2 2 2＝ 2006 +2006 （ 2006+1 ） +（2006+1 ）4 3 2× 2006+1＝ 2006 +2× 2006 +3× 2006 +2＝（ 20062+2006+1 ）2，∴ m 是奇数．应选： A ．【评论】 本题主要考察了完整平方数，依据已知将原式整理为对于 2006 的完整平方是解题要点．6．（ 4 分）将任意一张凸四边形的纸片对折，使它的两个不相邻的极点重合，而后剪去纸片的不重合部分，睁开纸片，再一次对折，使此外的两个极点重合，再剪去不重合的部分后睁开，此时纸片的形状是（）A ．正方形B ．长方形C ．菱形D ．等腰梯形【剖析】 依据折叠的结果可知：所得的四边形分别对于两条对角线对称，可推知四条边相等，据此即可进行判断．【解答】 解：依据剪纸的过程可知，所得图形对于 AC 、 DB 对称，于是有： AB ＝ BC ＝ CD ＝ DA ，应选： C ．【评论】 本题考察了剪纸问题，要从剪纸中的诸多变化中找到不变量，是解题的要点．7．（ 4 分）若 a ， b ，c 都是大于 1 的自然数，且 c）a ＝ 252b ，则 a 的最小值为（ A ．42B ．24C ． 21D ． 15【剖析】 依据 a c ＝ 252b ＝ 22× 32× 7b ，得出当 b 最小值为 7 时， 22× 32×7b 能够表示为（ 2× 3× 7） 2的形式，从而得出 a 的最小值．【解答】 解： a c＝ 252b ＝ 22× 32× 7b ，明显，当 b 最小值为 7 时， 22× 32× 7b 能够表示为（ 2× 3× 7）2的形式，从而 a ＝42， c＝ 2故 a 的最小值为 42，应选： A ．【评论】 本题主要考察了整数问题的综合应用，依据a c ＝ 252b ＝22× 32× 7b 得出 b 的最小值是解题要点．8．（4 分） Thereisatwo﹣ placednumbersatisfyingthatisacompletesquarenumber ，thentotalnumber ofthoselike is（）（英汉词曲： two ﹣ placednumber 两位数； number 数，个数；tosatisfy 知足；completesquare 完整平方（数）total 总的，总数）A ．4B ．6C． 8D． 10【剖析】依据题意可得，本题求 2 位数中完整平方数的个数，即在10﹣ 100 之间完整平方数的个数，依据赋值法即可解题．【解答】解： 32＝9， 42＝16， 92＝ 81， 102＝ 100，∵9＜ 10＜ 16， 81＜ 100，∴在 10﹣ 100 之间的完整平方数为4、 5、 6、7、 8、 9 的平方，即16，25， 36，49， 64，81，共有 6 个，应选： B．【评论】本题考察了完整平方数的计算，考察了完整平方数范围的计算，本题中正确求出在 10﹣ 100 之间的平方数是解题的要点．9．（ 4 分）下表是某电台本礼拜的流行歌曲排行榜，此中歌曲J是新上榜的歌曲，箭头“↑”或“↓”分别表示该歌曲相对于上礼拜名次的变化状况，“↑”表示上涨，“↓”表示下降，不标明的则表示名次没有变化，已知每首歌的名次变化都不超出两位，则上礼拜排在第 1， 5， 7 名的歌曲分别是（）名次12345678910 歌曲A B C D E F G H I J 变化↑↓↑↓↓↑↑↓新状况A ．D ，E， HB ．C， F， I C． C， E， I D． C， F ， H【剖析】联合图表及选项对歌曲名词的上涨及降落状况进行剖析，选出正确答案．【解答】解：∵ A 的名次上涨了，且最多上涨了两位，同时 C 的名次降落了，且最多下降 2 位，又∵ B 的名次没有变化，∴上礼拜排在前三位分别是C、 B、 A；又∵ E 的名次降落，且前三名已经确立，∵上礼拜 E 排在第 4 名，同理：上周 F 排在第 5 名；D 排在第 6 名；I 排在第 7 名；G 排在第 8 名；H 排在第 9 名；所以上礼拜排在第1， 5，7 名的歌曲分别是C、F 、 I．应选： B．【评论】本题难度稍大，锻炼了考生的逻辑思想和综合推测能力．10．（ 4 分）设 n（ n≥2）个正整数a1， a2， a3 a n，任意改变它们的次序后，记作b1， b2，b3 b n，若 P＝（ a1﹣ b1）（ a2﹣ b2）（a3﹣ b3）（ a n﹣ b n），则（）A ．P 必定是奇数B． P 必定是偶数C．当 n 是奇数时， P 是偶数D．当 n 是偶数时， P 是奇数【剖析】能够利用清除法即可进行判断．【解答】解：不论 n 是奇数偶数，能够假定a n＝ b n， P＝ 0 为偶数， A、D 不可以选，此刻在 B 和 C 中选择，要让 P 为奇数，那么一定它的n 个因式都是奇数，也就是每个因式都是一个奇数与一个偶数的差，因为 b1， b2 b n都是 a n变来的，所以本来假如是 x 个奇数与 n﹣ x 个偶数的话，奇数与偶数的数目一定也是相同的，即x ＝ n﹣ x， n＝ 2x 为偶数，也就是说， P 若为奇数， n 一定是偶数，能够推出，n 为奇数， P 一定为偶数．所以 B 错， C 正确．应选： C．【评论】本题主要考察了整数的奇偶性，正确理解奇数与偶数的性质是解题的要点．二、填空题（共 10 小题，每题 4 分，满分40 分）11．（4 分）如图，消防云梯的长度是34 米，在一次履行任务时，它只好停在离大楼16 米远的地方，则云梯能达到大楼的高度是30 米．【剖析】如图，在直角三角形ABC 中，因为 AB＝ 34 米， CB＝ 16 米，依据勾股定理即可求出 AC 的长度，也就求出了云梯能达到大楼的高度．【解答】解：在 Rt△ ABC 中，∵ AB＝ 34 米， CB＝ 16 米，∴ AC＝＝30米．∴云梯能达到大楼的高度是30 米．故填空答案：30．【评论】本题考察正确运用勾股定理．擅长察看题目的信息是解题以及学好数学的要点．12．（ 4 分）分式方程的解是x＝2．【剖析】察看可得最简公分母是（x+1）（ x+2）（ x+3）（ x+4），方程两边乘最简公分母，能够把分式方程转变为整式方程求解．【解答】解：方程两边同乘（x+1）（x+2）（ x+3）（x+4），得（ x+3）（ x+4）+（ x+1）（ x+4） +（ x+1）（ x+2 ）＝（ x+1 ）（ x+2）（ x+3 ），2∴3x +15x+18 ＝（ x+1 ）（ x+2）（ x+3），∴3（ x+2）（ x+3）＝（ x+1）（ x+2）（ x+3），∴3（ x+2）（ x+3）﹣（ x+1）（ x+2）（ x+3）＝ 0，∴（ x+2）（ x+3）（3﹣ x﹣ 1）＝ 0，∴x1＝﹣ 2， x2＝﹣ 3， x3＝ 2．经查验， x1＝﹣ 2， x2＝﹣ 3 不是原方程的根，x3＝2 是原方程的根．故原方程的解为x＝ 2．故答案为2．【评论】本题考察了分式方程的解法．解分式方程的基本思想是“转变思想”，把分式方程转变为整式方程求解．注意解分式方程必定要验根．将原方程转变为整式方程此后，运用因式分解法求解是本题的要点．13．（ 4 分）设 m＞ 0，，则代数式的值的范围是m≤ 2 ．【剖析】依据已知条件可得＝ m，第一确立 x 的取值范围，再确立 m 的范围．【解答】解：∵当与存心义时，x≥ 1，∵ x＝ 1 时，＝ 2，∴＝ m≤ 2．故答案为： m≤ 2．【评论】本题主要考察二次根式的性质，直接利用已知条件即可．14．（ 4 分）计算，最后获得﹣．【剖析】将分母因式分解，与分子约分，再分母有理化即可．【解答】解：原式＝﹣，＝﹣＝，＝﹣．故本题答案为﹣．【评论】本题考察了二次根式的化简求值，当二次根式的分母或许分子较复杂时，能够考虑先因式分解、约分，再分母有理化．15．（ 4 分）从凸 n 边形的一个极点引出的全部对角线把这个凸n 边形分红 m 个小三角形，若 m 等于这个凸 n 边形对角线条数的，那么此 n 边形的内角和720°．【剖析】 n 边形的对角线有n?（ n﹣ 3）条，依据经过多边形的一个极点的全部对角线把多边形分红的三角形个数等于这个凸n 边形对角线条数的，列方程即可求得多边形的边数，再依据多边形的内角和公式即可求得内角和．【解答】解：设这个多边形的边数是n．依据题意得：×n?（ n﹣ 3）＝ n﹣ 2，解得： n1＝（不合题意舍去），n2＝6．此n 边形的内角和是（ 6﹣2）?180°＝【评论】本题考察正多边形的性质，从n 边形的一个极点出发，能引出（n﹣ 3）条对角线，一共有条对角线，经过多边形的一个极点的全部对角线把多边形分红（n﹣2）个三角形．这些规律需要学生切记．16．（ 4 分）某种球形病毒，直径是0.01 纳米，每一个病毒每过一分钟就能生殖出9 个与自己的相同的病毒，若是这类病毒在人体中齐集到必定数目，按这样的数目摆列成一串，长度达到 1 分米时，人就会感觉不适，那么人从感染第一个病毒后，经过10分钟，就会感觉不适．【剖析】先计算出多少个病毒的长度相当于 1 分米，再求得经过多长时间能生殖出这些病毒即可．每一分钟，病毒就会增加为本来的十倍（1+9）， 1 分米是 0.01 纳米的 10 的 10 次方倍，所以经过十分钟，就能达到一分米．【解答】解： 1 分米＝ 108纳米，108÷ 0.01＝ 1010，设x 分钟感觉不适，10x＝ 1010，x＝ 10．【评论】本题考察了有理数的乘方法运算，乘方运算在实质问题的应用是难点．17．（ 4 分）方程有4组正整数解．【剖析】先将原方程转变为x＝，而后依据x、y 都是正整数的条件来确立6﹣ y 的取值范围，并确立y 的取值范围；最后依据y 的取值范围来确立y 的值，从而解答方程．【解答】解：由方程，得x＝，∵原方程有正整数解，∴x＞ 0， y＞ 0，∴6﹣ y＞ 0，即 y＜6，∴0＜ y＜ 6；①当 y＝1 时， x＝，不合题意，舍去；③当 y＝3 时， x＝ 6；④当 y＝4 时， x＝ 12；⑤当 y＝5 时， x＝ 30；综上所述，切合题意的原方程的解有 4 组；故答案为： 4．【评论】本题主要考察了二元一次方程的整数根与有理根的知识，解答本题时，不要遗漏分母不为 0 这一限制性条件．18．（ 4 分）设 a＝3050，b＝4040，c＝ 5030，则 a，b，c 中最大的是a，最小的是c．【剖析】化成指数相同比较底数的大小即可．【解答】解： a＝ 3050＝（ 305）10， b＝4040＝（ 404）10， c＝ 5030＝（ 503）10∵305＞ 404＞ 503∴a＞ b＞ c故答案为a； c．【评论】本题考察幂的乘方的观点的反运用．19．（ 4 分）如图，等腰三角形ABC 中， AB＝AC， P 点在 BC 边上的高AD 上，且，BP 的延伸线交AC 于 E，若 S△ABC＝ 10，则 S△ABE＝2；S△DEC＝4．【剖析】假如把△ ABE 与△ ABC 看作同高的两个三角形，那么它们的面积之比等于底之比，即等于 AE：AC．所认为了求出△ABE 的面积，因为已知S△ABC＝ 10，只要求出A E：AC 即可．为此，取EC 中点 F ，连结 DF ．先由等腰三角形三线合一的性质得出 D 为 BC中点，又 F 为 EC 中点，依据三角形中位线定理证出DF ∥ BE，再由平行线分线段成比率定理求出AE：EF ，从而得出AE： AC；依据 S△BEC＝S△ABC﹣ S△ABE，先求出S△BEC，再依据三角形的中线将三角形的面积二平分，得出S△DEC．【解答】解：取 EC 中点 F，连结 DF ．∵AB＝ AC， AD 为 BC 边上的高，∵ F 为 EC 中点，∴DF ∥ BE，则 DF ∥ PE，∴＝，∴＝．∴＝＝，∴S△ABE＝ S△ABC＝× 10＝2；∵S△BEC＝ S△ABC﹣ S△ABE＝ 10﹣ 2＝ 8，又∵ D 为 BC 中点，∴S△DEC＝ S△BEC＝× 8＝4．故答案为2； 4．【评论】本题主要考察平行线分线段成比率定理，等腰三角形的性质，中位线定理及三角形面积的计算，综合性较强，难度中等．20．（ 4 分）一个圆周上挨次放有1，2，3，，20 共 20 个号码牌，任意选定一个号码牌（如8），从它开始，先把它拿掉，而后每隔一个拿掉一个（如挨次拿掉8， 10，12，），并向来循环下去，直到节余两个号码牌时停止，则最后节余的两个号码的差的绝对值是8 或 12 ．【剖析】我们每隔一个拿掉一个，若是先拿的是 1，则一轮后只剩下偶数，因为上一轮最后拿掉的是 19，所以偶数要先从 2 开始拿（隔一个 20），这样就剩下4，8，12，16，20，因为上一轮最后拿掉的是18，所以要先从 4 开始拿（隔一个20），这样就剩下 8，16，完毕，从而得出答案．【解答】解：要节余两个号码牌，我们知道要进行三轮，第一，二轮号码牌都减半，第三轮号码牌减掉 3 个，每经过一轮，相邻号码牌差距拉开 2 倍，即第一轮后相邻号码牌相邻号码牌差距为8（这个其实不是数值上的差距，而是地点上的），即1，9或2，10或3，11但因为20 后边接的是1， 2， 3所以结果也可能是13，1 或 14， 2 或 15， 3，此时两个号码的差的绝对值是12．所以最后节余的两个号码的差的绝对值是8 或 12．故答案为： 8 或 12．【评论】本题主要考察了数字变化类的一些简单问题，能够掌握其内在规律，并娴熟求解．三、解答题（共 3 小题，满分40 分）21．（ 10 分）如图，正方形ABCD 的边长为 a，点 E、 F 、G、H 分别在正方形的四条边上，已知 EF ∥GH ， EF＝ GH ．（1）若 AE ＝AH＝，求四边形EFGH的周长和面积；（2）若 AE ＝BF＝ CG＝ DH ，求四边形 EFGH 的周长的最小值．【剖析】（ 1）当 AE＝ AH＝时，可证EH ∥ BD∥ FG ，利用相像比可求EH 与 BD 的关系，同理可得 GH 与 AC 的关系，可求四边形 EFGH 的周长，又正方形对角线相互垂足，可证四边形 EFGH 为矩形，可求四边形 EFGH 的面积；（2）当 EF ∥GH， EF＝ GH 时，可证四边形 EFGH 为菱形，设 AE＝ x，则 BE＝a﹣ x，依据勾股定理求菱形的边长，再表示周长，求最小值．【解答】解：连结AC、 BD，由勾股定理，得AC＝ BD ＝a，（1）∵ AB＝AD ＝ a， AE＝ AH ＝＝AD，∴＝＝，∴ EH∥ BD，＝＝，EH＝a，第 16 页（共 19 页）同理可得GH＝a，∵ EF∥ GH ，EF ＝GH，∴四边形EFGH 为平行四边形，依据正方形的性质可知AC⊥ BD ，∴ ? EFGH 为矩形，∴四边形EFGH 的周长＝ 2（a+a）＝ 2a，四边形 EFGH 的面积＝a×a＝a2；（2）设 AE ＝x，则 BE＝ a﹣ x，当 EF ∥ GH， EF ＝GH 时，∴四边形 EFGH 为平行四边形，同理，EH ＝ FG，∵ AE＝ BF ＝ CG＝ DH，∴AH＝ BE，∴可得： EH ＝ EF，∴四边形 EFGH 为菱形，四边形 EFGH 周长为： 4＝4，当 x＝﹣＝时，周长最小为2a．【评论】本题考察了二次函数的最值在求四边形周长最值中的运用．要点是判断四边形的形状，利用相像，勾股定理表示四边形的周长和面积．22．（ 15 分）已知 A 港在 B 港的上游，小船于清晨3： 00 从 A 港出发开往 B 港，抵达后立即返回，往返穿越于A、B 港之间，若小船在静水中的速度为16 千米 / 小时，水流速度为4 千米 /小时，在当晚23：00 时，有人看见小船在距离 A 港 80 千米处行驶，求A、 B 两个港口之间的距离．【剖析】先设 A、B 两个港口之间的距离为x，船在 A、 B 两个港口之间往返 y 回，依据顺水速度＝静水的速度+水流速度，逆流速度＝静水的速度﹣水流速度求出船从 A 到 B 速度和从 B 到 A 速度，依据当晚 23 点时，船在距离 A 港 80 千米处行驶，得出x＞ 80，从清晨 3 点到当晚 23 点，一共行驶了20 小时，再分两种状况议论若 23 点时船是从 A 到B 时和若23 点时船是从 B 到 A 时，船还差80 千米到 A 点，分别列出方程，求出方程的解，即可得出答案．【解答】解：设 A、 B 两个港口之间的距离为x，船在 A、 B 两个港口之间往返y 回，根据题意得：船从 A 到 B 速度为： 16+4 ＝20（千米 /小时），从 B 到 A 速度为 16﹣ 4＝12（千米 / 小时），当晚 23 点时，船在距离 A 港 80 千米处行驶，故 x＞80，从清晨 3 点到当晚 23 点，一共 20 小时．若 23 点时船是从 A 到 B 时，有（+ ） y＝ 20﹣，解得 xy＝ 120，∵ y 是正整数， x＞80，∴ y＝ 1，∴ x＝ 120．若 23 点时船是从 B 到 A 时，船还差80 千米到 A 点，∵（+ ）y＝ 20+ ，解得 xy＝ 200，∵y 是正整数， x＞80，当 y＝ 1 时， x＝ 200，当 y＝ 2 时， x＝ 100．∴ A、 B 两个港口之间的距离为 120 千米或 200 千米或 100 千米．【评论】本题考察了应用类问题，用到的知识点是顺水速度＝静水的速度+水流速度，逆流速度＝静水的速度﹣水流速度，行程＝时间×速度，要点是读懂题意，找出题目中的等量关系，列出方程，注意y 只好取正整数．23．（ 15 分）在 2，3 两个数之间，第一次写上，第二次在2， 5 之间和 5， 3 之间分别写上，以下所示：第 k 次操作是在前一次操作的基础上，在每两个相邻的数之间写上这两个数的和的．请写出第 3 次操作后所获得的9 个数，并求出它们的和．【剖析】先得出第 3 次操作后所获得的9 个数，再把它们相加即可．【解答】解：（ 1）第 3 次操作后所获得的9 个数，挨次为 2，，，，5，3，4，，3，2++ ++5+3+4+ +3＝．故第 3 次操作后所获得的9 个数的和为27；【评论】本题考察了规律型：数字的变化．解题的要点是获得第 3 次操作后中间的数．第 19 页（共 19 页）。
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13.已知|ax－3|≤b的解集是[－]，则a＋b＝_______________.
14.不等式(2＋)x＋(2－)x＞8的解集是_________________.
18.不等式x＋2≤a(x＋y)对于一切正数x、y恒成立，则实数a的最小值为___________.
19. 一只小船与10m/s的速度由南向北匀速驶过湖面，在离湖面高20米的桥上，一辆汽车由西向东以20m/s的速度前进，如图，现在小船在水面P点以南的40米处，汽车在桥上Q点以西30米处(其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为____________米(不考虑汽车和小船本身的大小).
15.方程(arccosx)2＋(2－t)arccosx＋4＝0有实数解，则t的取值范围是________________.
16.△ABC的三个内角为A、B、C，且2C－B＝180°，又△ABC的周长与最长边的比值为m，那么m的最大值为__________________.
17.双曲线x(y＋1)＝1的准线方程为_________________.
9.关于x的方程|e|lnx|－2|＝t(0＜t＜1)，其中t是常数，则方程根的个数是( )
A、2B、3C、4D、不能确定的
10.若双曲线x2－y2＝a2(a＞0)关于直线y＝x－2对称的曲线与直线2x＋3y－6＝0相切，则a的值为( )
A、B、C、D、
二、A组填空题
11.直线3x＋2y＝1上的点P到点A(2，1)，B(1，－2)的距离相等，则点P的坐标是__________.
(英汉词典：term项；arithmeticsequence等差数列；commondifference公差；maximumterm最大(值)项)
22.若x，y∈R，且满足＝6，则x＋2y的最小值是________，最大值是_______.
3.已知y＝f(x)是定义在R上的函数
条件甲：y＝f(x)没有反函数；条件乙：y＝f(x)不是单调函数.
则条件甲是条件乙的( )
A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件
4.已知sinθ＋cosθ＝，θ∈(－，)，则θ的值等于( )
A、－arccosB、－arccosC、－arccosD、－
7.关于方程＝tanα(α是常数且α≠，k∈Z)，以下结论中不正确的是( )
A、可以表示双曲线B、可以表示椭圆C、可以表示圆D、可以表示直线
8.F1、F2为椭圆的焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝90°，且|PF2|＜|PF1|，已知椭圆的离心率为，则∠PF1F2∶∠PF2F1＝( )
A、1∶5B、1∶3C、1∶2D、1∶1
A、[－2，＋∞)B、[－3，＋∞)C、(1，＋∞)D、(3，＋∞)
(英汉词典：fixedpoint固定点；range范围；slope斜率；topassthrough通过)
6.函数y＝＋log (cos2x＋sinx－1)的定义域是( )
A、(0，)B、[－5，－)∪(0，)
C、(－，－π)∪(0，)D、(0，)
2006年第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)
第一试
一、选择题
1.否定结论“至少有两个解”的正确说法是( )
A、至少有三个解B、至多有一个解C、至多有两个解D、只有一个解
2.点P(ln(2x＋2－x－tan)，cos2)(x∈R)位于坐标平面的( )
A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限
5.Supposethata∈R，line(1－a)x＋(a＋1)y－4(a＋1)＝0，alwayspassesthroughafixedpointP，andpointQisonthecurvex2－xy＋1＝0，ThentherangeofslopeofalinepassingthroughPandQis( )
20.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，在正方体表面上与点A距离为的点的集合形成一条曲线(此曲线不一定在同一平面上)，则此曲线的长度为_______________.
三、B组填空题
21.LetSnbethesumofthefirstntermsofanarithmeticsequence.AssumethatS3＝9，S20＞0，andS21＜0.Thentherangeofthecommondifferencedis___________，themaximumtermofthesequenceS1，S2，S3，……，is____________.