专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升(解析版)
(全册系列精选)华东师大初中数学九年级上册二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用. 【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式. 要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义. 2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2()a =（0a ≥），如222112(2);();()33x x ===（0x ≥）. （2） 2a 中a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a 一定有意义.（3）化简2a 时，先将它化成a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（4）2a 与2()a 的异同不同点：2a 中a 可以取任何实数，而2()a 中的a 必须取非负数；2a =a ，2()a =a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 取非负数时，2a =2()a .3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如222,,3,ab x a b +等都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如2与8，由于8=22，2与8显然是同类二次根式. 知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法(0,0)a b ab a b ⨯=≥≥积的算术平方根化简公式：(0,0)ab a b a b =⨯≥≥二次根式的除法(0,0)a a a b b b=≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).【答案】（1）;（2）.【解析】(1) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；(2) 要使在实数范围内有意义，则必有∴当时，在实数范围内有意义；【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥时a 才是二次根式. 举一反三： 【变式】已知，求的值.【答案】根据二次根式的意义有将代入已知等式得2.（2016•柘城县校级一模）把1a a--中根号外的因式移到根号内的结果是( ). A ．a - B ．a - C ．a -- D ．a 【答案】A.【解析】由二次根式的意义知10a-> ，则0a <()211a a a a a--=-⨯-=-. 【总结升华】在利用二次根式性质化简时，要注意其符号，要明确a 是非负数，反过来将根号外的因式移到根号内时，也必须向里移非负数。
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【最新整理，下载后即可编辑】《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（基础）【学习目标】1、理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.2、熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.3、了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.【知识网络】【要点梳理】要点一、二次根式的相关概念和性质1.二次根式等式子，都形如(0)a a≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02叫做二次根式.要点诠释：二次根式a有意义的条件是0a≥，即只有被开方数0a≥时，式子a才是二次根式，a才有意义.2.二次根式的性质（1）；（2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2=（0a ≥），如22212;;3x ===（0x ≥）.（2）a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 一定有意义.（3a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2. 3. 最简二次根式（1）被开方数是整数或整式；（2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.，与. 要点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥ 积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法=(0,0)a aa b b b≥>商的算术平方根化简公式：(0,0)a aa b b b=≥> 要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a b c d ac bd ⋅=.（2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如(4)(9)49-⨯-≠-⨯-. 2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式. 要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． 当________3x -在实数范围内有意义.【答案】x ≥3.【解析】根据二次根式的性质，必须3x -≥0才有意义.【总结升华】本例考查了二次根式成立的条件，要牢记，只有0a ≥a .举一反三 【变式】①242x x =-成立的条件是 . ②2233x x x x--=--成立的条件是 .【答案】① x ≤0；(2422x x x x ==-∴≤0.)② 2≤3x <.(20,30,x x -->∴≥2≤3x <)2．当0≤x <1时，化简21x x +-的结果是__________.【答案】 1.【解析】因为x ≥0，所以2x =x ；又因为x <1,即x -1<0,所以1(1)1x x x -=--=-，所以21x x +-=x +1-x =1.【总结升华】利用二次根式的性质化简二次根式，即2a =a ，同时联系绝对值的意义正确解答. 举一反三【变式】已知0a <，化简二次根式3a b -的正确结果是（ ）.A.aab --B. a ab -C.a abD.a ab -【答案】A.3.下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）. A.14 B. 48 C.a bD. 44a +【答案】A.【解析】选项B ：48=43；选项C ：有分母；选项D ：44a +=21a +，所以选A.【总结升华】本题考查了最简二次根式的定义.最简二次根式要满足：（1）被开方数是整数或是整式； （2）被开方数中不含能开方的因式或因数. 类型二、二次根式的运算4．下列计算错误的是（ ）. A. 14772= B. 60523= C. 9258a a a =D.3223=【答案】 D.【解析】选项A ： 14714727772⨯=⨯=⨯⨯= 故正确；选项B ：605605123423÷=÷==⨯=，故正确； 选项C925358a a a a a +=+=故正确；选项D ：32222-= 故错误.【总结升华】本题主要考查了二次根式的加减乘除运算，属于基础性考题. 举一反三【变式】计算：48(54453)833-+⨯ 【答案】243610-.5.化简20102011(32)(32)+⋅-.【答案与解析】201020102010=(32)(32)(32)(32)(32)(32)1(32)3 2.+⋅-⋅-⎡⎤=+⋅-⋅-⎣⎦=⋅-=-原式【总结升华】本题的求解用到了积的乘方的性质，乘法运算律，平方差公式及根式的性质，是一道综合运算题型.6已知2231,12x x x x =-+求.【答案与解析】2231,1=30,(1)133331=33x x x xx x x =+∴->∴=--+==原式当时，原式【总结升华】 化简求值时要注意x 的取值范围，如果未确定要注意分类讨论. 举一反三【变式】已知a b +=-3, ab =1,求abb a +的值.【答案】∵a b +=-3,ab =1，∴<0a ,<0b11++)=-=3a b b a ab∴原式.。
考点04 二次根式(精讲)(解析版)
考点04.二次根式（精讲）【命题趋势】二次根式在各地中考中，每年考查2道题左右，分值为8分左右，对二次根式的考查主要集中在对其取值范围、化简、计算等方面，其中取值范围类考点多出选择题、填空题形式出现，而化简计算则多以解答题形式考察。
此外，二次根式还常和锐角三角函数、实数、其他几何图形等结合出题，难度不大，但是也多属于中考必考题。
【知识清单】1：二次根式的相关概念（☆☆）（1）二次根式的概念：形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式。
其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数。
注意：被开方数a 只能是非负数。
即要使二次根式a 有意义，则a ≥0。
（2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式。
（3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式。
2：二次根式的性质与化简（☆☆☆）（1）二次根式的性质：1）双重非负性：a ≥0（a ≥0）；2）)0()(2≥=a a a ；32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（2）二次根式的化简方法：1）利用二次根式的基本性质进行化简；2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。
（3）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。
3：二次根式的的运算（☆☆☆）（1）加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并。
口诀：一化、二找、三合并。
（2）乘法法则:两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.（3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.（4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程。
人教数学八年级下册《二次根式》的巩固与提升分专题例谈 .docx
初中数学试卷桑水出品《二次根式》的巩固与提升分专题例谈赵化中学 郑宗平在数式相关的题型中，含二次根式的题是同学们感到比较头疼的，特别是其综合解答题的正确率也比较低；二次根式涵盖知识点多，解答的技巧性强；不但在代数中占据很重要的位置，而且有时在几何计算中也常能发挥很关键的作用，二次根式是很能考查同学们在初中阶段的数学素养的；下面我“分类”例举的一部分题型是对二次根式的巩固与提升，让我们来共同探究. 一、善于挖掘隐含条件，准确的“移进”和“移出”. 例（ ）A.--D.分析：a 0≤的条件.这是因为根据二次根式的定义可知3a 0-≥，所以a 0≤==- C.例2.把(a 1- .分析：(a 1-101a>-的条件，所以1a 0->，可得a 1<，所以a 10-<；所以 ()a 11a -=--=(a 1-.点评：关于二次根式的根号内外的“移进”和“移出”，关键是要抓住二次根式的被开方数是非负数这个特点，先确定字母的隐含的取值范围，a 进行“移进”和“移出”的变形化简；这类题在考试中常出现在考题的填空和选择题中，是正确率比较低的热点考题. 追踪练习：1.把下列各式化简：①；②.2.把根号外的因式“移入”根号内：①...(x 1-；④.-二、利用二次根式中的算术平方根的双重非负数性[ )a 0≥有a 00≥]巧解题 例1.x y 、6y -，求1x y -的值？分析：根据式子有13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩，从中可求得x 的值，进一步求得y 的值，使问题得以解决.略解：根据题意可知：13x 03x 10-≥⎧⎨-≥⎩ 解得：1x 3=；把1x 3=6y =-有：6y -，解得：y 6= 所以111x y 636183--⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.例2.已知：2a 12a =，求20151ab 2⎛⎫⎪⎝⎭的值？分析：2a 2a 10-+=()2a 10-=，利用非负数的性质可求得ab 、的值.略解：2a 2a 10-+= ，进一步可得()2a 10-=0，()2a 10-≥∴ ()2a 10⎧-=⎪= ∴a 10a b 10-=⎧⎨++=⎩ 解得：a 1b 2=⎧⎨=-⎩∴()()20152015201511ab 121122⎛⎫⎡⎤=⨯⨯-=-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.例3.分析：本题显得比较抽象，似乎难以找到突破口，但题中有二次根式这一重要特点，所以抓住从被23a 0-≥，可求得a 0=. 略解：23a 0-≥，可得a 0≤ ；又∵a 0≥ ∴a 0= ∴原式32106+++=.点评：二次根式的算术平方根的双重非负数性是属于考试中的高频考点，这个知识点容易与其它知识点联姻构成有一定含金量的综合题，而双重非负数性在其中扮演的往往是关键角色，上面的几道例题就是要抓住算术平方根及其被开方数都是非负数的破题；比如很多同学对于例3这类题不知从何入手，但只要抓住本题是二次根式构建的，从被开方数是非负数这点入手，就可以隐藏在其中的a 的值挖出来，从而使问题得以解决. 追踪练习：1.已知y=2.已知a 40-,化简并求22222a ab a abb a b+-+-的值？ 3.若2m6m 9-+xy 的值？4.的值？5.已知2014a a -+，试求2a2014-的值？ 三、逆用()2aa 0=≥即()2a a 0=≥巧化简.例1.化简：+ 分析：根据题中式子可知,a 0b 0≥≥，∴,22a b==∴22a b -=-=,等，即逆用()2a a0=≥可以巧化简.略解：原式=()()222222⎛⎫-⎪+⎪⎪⎝⎭=22⎛⎫=ab⋅ab ab=ab ab--=a bab+-例2.分析：本题按常规可以把分母中根号化去，但若用()2a a=≥可以进行巧算，更简捷.分子分别有)231=，22253=-=-=.略解：原式=21==-=点评：逆用()2a a0=≥即()2a a0=≥来化简、计算或分解因式等往往能起到“四两破千斤”的作用.比如例2的计算化简（主要把分母中的根号化去，即分母有理化），按常规方法要分子和分母要同时乘以有理化因式，在计算中是容易出错的，但用()2a a0=≥进行巧算，可以做到快速准确.追踪练习：1.-.2.化简：⎫3.已知：y18=的值？a=计算或化简.例1.若0m1<<111m1m⎛⎫+⨯⎪+⎝⎭.分析：本题关键是含二次根号的部分化简.的221m2m+-可以借助因式分解的方法化成21mm⎛⎫-⎪⎝⎭a=来可将根号化去.略解：∵0m1<<2111mm mm m m-=-=-=∴原式=()()21m1m1m11m11m1m m1m m m11m1m+---⎛⎫⨯+⨯=⨯⨯=⎪++++⎝⎭.例2.若ab c、、为ABC的三边.分析：a的部分的正负情况是本题的关键，根据三角形三边之间的关系可以搞定.略解：∵a b c、、为ABC的三边∴,,a0b0c0>>>；a b c-<；b c a+>；c b a-<.∴,,,a b c0a b c0b c a0c b a0++>--<+->--<∴原式=a b c a b c b a c c b a+++--+-+---=a b c a b c b a c c b a++-+++-++--=2a2b4c-++例3.分析：双重二次根式的计算或化简往往是同学们感到比较抽象的.其实关键也是把被开方数部分化成“平方”的形式，本题比较抽象的是被开方数部分是两“项”，但我们若用“拆项”的技巧，可以使问题得以解决.也就是2532-=-=-，此时被开方数可以化成2a=来可将外层根号化去.===点评：a=也是属于考试中的高频考点，这个知识点更容易与其它知识点联姻构成的综合题，本专题的前面两道例题就这方面的题型. 《二次根式》一章“几乎所有”涉及计算或化a =的这个二次根式的性质.a 抓住这几个环节:首先想办法把被开方数写成2aa ；最后根据绝对值的代数意义[ 即 ()()a a 0a a a 0⎧≥⎪=⎨-≤⎪⎩ ] 来化简. 追踪练习：1.计算：①(()211---+；②2. 实数m n 、 如图所示：请化简3. 1= a ？ 五、利用幂的运算法则、乘法公式等进行二次根式的计算或化简例.计算：1. ))2015201544； 2.(21-； 3..分析：本例的3道小题都是幂的运算法则、乘法公式在二次根式中的稍难运算的运用.1小题逆用积的乘方的法则和平方差公式进行计算；2小题可以把括号的其中两项看成一个整体，然后里利用完全平方公式计算；3小题抓住两个括号里的“项”相同．．和互为相反数．．．．．的特征，利用平方差公式可以进行简便运算.略解：1.原式)()()222201520152444151611⎡⎤⎡⎤==-=-=-=-⎢⎥⎣⎦⎣⎦；2.原式((2221116⎡==++==-⎣3.原式22235⎡⎡=+-=-=+-=⎣⎣点评：二次根式的运算中，以前学习过的法则、运算律以及乘法公式同样适用.本专题的三个例子都是同学们感到有一定难度的计算题，但是我们运用幂的运算法则、乘法公式使其运算过程大大简化了；运用幂的运算法则、乘法公式要注意两点：其一.运算式子有没有符合法则和公式的结构特征；其二.要有整体的思想. 追踪练习： 1.计算： ①.；②.2⎝⎭；③.2；④.(21；⑤.))2015201622；⑥. (11-. 2. .计算：22-.六、含二次根式的代数式的整数部分与小数部分例.已知a 是1-b 5的小数部分，c abc 的值？ 分析：由..,14014123<<<可得：,,61575823-<--<<<<.由此根据题中的条件可以分别确定题中a b c 、、的值. 略解：∵..,14014123<<<∴,,61575823-<--<<<< ∴,,a 5b 572c 2=-=-== ∴())()()()22abc 522522256450⎡⎤=-=--+=--=⎢⎥⎣⎦点评：含二次根式的代数式的值的整数部分与小数部分的确定，关键是确定根式部分值的范围，然后在此基础上确定整个代数式的值的范围，使其整数部分与小数部分得以确定；特别要注意其小数部分往往是一个含二次根式的式子，它是整个式子减去整数，比如上面b c 、的值的确定：,b 572c 2=-==，除非题有要求，小数部分不要写成一个近似的小数，而是一个含二次根式的式子，这正是这类题的“魅力”所在，是众命题人青睐和关注的原因. 追踪练习：1.若x y 、分别是822xy y -的值？2.已知a b 、分别为62a b -的值？3.5+a ，5的小数部分是b ，求ab 5b +的值？4.的整数部分为a ，小数部分为b ，求22a b +的值？5.已知x 是6y 2的小数部分，z 是)12-的整数部分，求22x z y z -的值？ 6. 周六，小华的妈妈和小华作了一个小游戏.小华的妈妈说：“你现在学习了二次根式，若m 表示n 表示它的小数部分，我这个钱包里的钱数是)m n ⋅元，你猜一下这个钱包的钱数是多少？若猜对了，钱包里的钱就由你支配.”你能运用数学知识帮小华获得支配权吗？ 七、整体代换·巧变求值.例1. 已知x 5y 5=-=+，求223x 5xy 3y ++的值？分析：从要求值的式子特征来看，若直接代入求值计算过程比较繁琐；若从223x 5xy 3y ++变形即()2223x 6xy 3y xy 3x y xy ++-=+-，从已知整体求出xy 和x y +的值，整体代入过程便变得简捷了. 略解：∵x 5y 5=-=+∴(((,xy 5525241x y 5510=-+=-=+=-++= ∴原式()22223x 6xy 3y xy 3x y xy 31013001299=++-=+-=⨯-=-= 例2.已知a b =2a b +的值.分析：从要求值的式子特征来看，是以ab 和a b +为架构的；恰巧a b 、互为倒数，所以我们可以先整体求出ab 和a b +的值，在此基础上求代数式的值便轻松了.11-m n略解：∵a b==∴()(,22ab1a b232434314==+==++=++-=2a b11961961196195++==--点评：上面两道题如果直接代入求值，计算量比较大，而且容易出错，通过观察已知和要求的值的式子，发现都可以变形和化简，若运用整体的代换的思想，“两头凑”，也就比较容易求出式子的值.追踪练习：1.若x2=2x4x6--的值？2. 已知：,11a b22==，求：①.22a ab b-+的值；②.a bb a+的值.3.已知：x y y z--=222x y z xy xzyz++---的值？八、稍复杂的含二次根式的代数式值的大小比较例..分析：我们采用“倒数法”，倒数值大的反而小，问题便可以解决.略解：设m n==m n====>∴m n>∴11m n<点评：平时我们常用“近似数法”、“平方法”和“比差法”等来比较含二次根式的代数式值的大小，但稍微复杂的，这些方法就不管用了，所以必须突破常规才能解决问题.比如本题采用“倒数法”，通过分母有理化分别求出原式的倒数值，比较其倒数的大小，从而比较原式值的大小.追踪练习：1.比较大小：()--（填“>”或“<”或“=”）2.()（填“>”或“<”或“=”）3.的大小.4.设a＞b＞c＞d＞0且，x y z===x、y、z的大小关系．九、解含无理系数的方程（组）和不等式（组）例1.解x1>+分析：本题关键是未知数的系数含有无理数，在系数化为1的时候要特别注意系数的正负情况，同时要注意将结果中分母中的根号化去，即分母有理化.略解：由x1+得x1>∴(1x1>∵1∴x=∴x1=-例2.解方程组：2y++分析：解二元一次方程组的方法消元.关键是本题未知数的系数含有无理数，这种特点的方程组若采用代入消元法，过程较为繁琐，一般采用加减法消元.略解：①3y+=③③-②得：y=将y=+=解得：x=∴原方程组的解是xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩点评：解含无理系数的方程（组）和不等式（组）都要注意结果要把分母中的根号化去（即分母有理化），解含无理系数的方程（组）一般采用加减法更简捷，而解含无理系数的不等式（组）要注意的是系数化为1时系数的正负性.追踪练习：1.1>+；2.解方程组：11+==十、几何计算中的二次根式运算或化简例1.若一个矩形的的周长为cm，一边长为cm，求另一边长和此矩形的面积？分析：根据矩形的的周长可以先求出两邻边的和（即长与宽的和），再用两邻边的和减去已知的一边长；根据矩形的面积公式可求得矩形的面积.略解：根据题意和矩形的周长公式可知另一边为：1111122222-==⨯⨯==矩形的面积为：66=-=故矩形另一边长为(cm，而矩形的面积为2cm例2.如图，在方格纸中的小正方形的面积为1，ABC的三个顶点都在小正方形的格点上，小刚通过观察探究得出如下结论：①.△ABC 的形状是等腰三角形；②.△ABC的周长是③.△ABC 的面积是5；④.点C 到AB⑤.直线EF 是线段BC 的垂直平分线.你认为刚观察的结论正确的序号有 .解析：结合图形和已知条件可以求出方格纸中的小正方形的边长为1，再根据勾股定理可计算出ABC 的三边长分别为，故①正确，②错误；ABC 的面积由间接计算得到：11333122422⨯-⨯⨯-⨯⨯=，故③错误；利用三角形的等积法：1AB h 42⋅=h 4=，解得h 故④正确；根据垂直平分线的判定并结合图象可知EF 是线段BC 的垂直平分线，⑤正确.故选①④⑤.点评：几何的相关计算中往往要通过二次根式的计算或化简来解决不在少数，是中考和各类考试的热点考题；这类题型把二次根式的计算或化简和勾股定理即其它几何知识很好结合在一起考察，是数形结合等思想方法较好体现.追踪练习：1.如图在四边形ABCD 中，,,1AB BC DC BC AE CD BC 4⊥⊥==求四边形ABCD 的周长和面积？2.如图一块长方形场地ABCD 的长AB 与宽AD 1，DE ⊥AC于点E ，BF ⊥AC 于点F ，连结BE 、DF ；现计划在四边形DEBF 区域内 （阴影部分）种植花草，求四边形DEBF 与长方形ABCD 的面积之比.3.已知边长为1的正方形OABC 在直角坐标系中，B C 、 两点在第二象限内，OA 与x 轴的夹角为60°，求出点B 点坐标.。
专题04 二次根式概念及其运算(解析版)
专题04 二次根式概念及其运算【题型一】二次根式有意义条件【例1－1】（2020·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥ B ．0x >C ．2x >D ．2x ≥【答案】D.【解析】解：由题意知：x-2≥0， 解得：x ≥2， 故答案为：D ．【例1－2】（2020·x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x ≥ C ．2x >且3x ≠D ．2x ≥且3x ≠【答案】D.【解析】解：由题意得：x-2≥0且x-3≠0 解得：x ≥2且x ≠3， 故答案为：D ．【变式1－1】（2020·在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（ ） A ．31x -≤< B ．3x ≥-且1x ≠ C ．1x <且3x ≠- D ．1x ≠且3x ≠-【答案】B.x+3≥0，且1-x ≠0 解得：x ≥-3且x ≠1， 故答案为：B ．【题型二】二次根式性质【例2－1】2x =-，则实数x 满足的条件是（ ）A ．x=2B ．x≥2C ．x ＜2D ．x≤2【答案】D.【解析】解：由二次根式双重非负性知， 2-x ≥0， 解得x ≤2． 故答案为：D ．【例2－2】（2020·金华市期中）已知非零实数a ，b 满足212a b a -+-=-则a －b 等于（ ） A ．−1 B ．0C ．1D ．2【答案】D.【解析】解：由题意知，a-2≥0， 即a ≥2则212a b a -+-=-，即10b -= ∴b-1=0，a-3=0， ∴b=1，a=3 a-b=2， 故答案为：D ．【变式2－1】（2020·江苏淮安市期中）9﹣m ，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ＞9 B ．m ＜9 C ．m ≥9 D ．m ≤9【答案】D.【解析】解：由题意知，9﹣m ≥0， ∴m ≤9， 故答案为：D ．【变式2－2】（2020·河北邢台市期中）若实数x 、y |1|0y -=，则代数式x y +的值为________． 【答案】1.【解析】解：根据非负性可知：x=0，y-1=0， 即x=0，y=1，x+y=1， 故答案为：1．【题型三】最简二次根式【例3－1】（2020·江苏盐城市期末）若0a >，则下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）A B C D 【答案】C.【解析】解：A a=BC是最简二次根式，故此选项符合题意；D||a=故答案为：C．【例3－2】（2020·河南洛阳市月考）则整数a的最小值是（）A．0 B．3 C．4 D．12【答案】B.=∴3a是一个完全平方数，∴整数a的最小值是3．故答案为：B．【变式3－1】（2020·中，是最简二次根式的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B.===22个，故答案为：B．【变式3－2】（2020·四川省阆中月考）下列根式是最简二次根式的是（）AB C D【答案】C.，不是最简二次根式；【解析】解：AB2C是最简二次根式，符合题意；D故答案为：C.【题型四】同类二次根式【例4－1】）A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C.x，y为正整数，====∴113 27x y =⎧⎨=⎩，224812xy=⎧⎨=⎩，331473xy=⎧⎨=⎩，共有三组正整数解．故答案为：C．【例4－2】（2020·浙江杭州市模拟）已知最简二次根式与二次根式，则a的值为_________．【答案】±1.【解析】解：由题意可知：3a2+2=7a2-2解得：a=±1，故答案为：±1．【变式4－1】（2020·上海闵行区）已知最简二次根式与x=___．【答案】﹣2.【解析】解：∵最简二次根式与∴x+5=3，解得：x=﹣2，故答案为：﹣2．【变式4－2】与最简二次根式a=________．【答案】12.=又则4-2a=3，解得a=12．故答案为：12．【题型五】二次根式化简【例5－1】（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a-的值相等的是（）AB．C D．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a＞0，则a-2021<0，∴原式=(2021a--==故答案为：D．【例5－2】（2020·四川期末）化简）A B C D【答案】C.【解析】解：由题意知：﹣1x＞0，得x＜0，x故答案为C．【变式5－1】（2020·浙江杭州市模拟）化简二次根式）A B C D【答案】B.【解析】解：由题意知，-（a+2）≥0，即a≤-2∴原式=a=故答案为：B.【变式5－2】（2020·重庆月考）如图，实数a、b在数轴上对应的点分别为A、B，则=_______________．【答案】1-a.【解析】解：由数轴知，a＜b＜1，∴a-b＜0，b-1＜0，∴原式=|a-b|+|b-1|=b-a+1-b=1-a，故答案为：1-a．【变式5－3】当x＝y＝2的值为______．【解析】解：由题意，知：x+y＝4，x﹣y＝，（x+1）（y+1）＝6；【题型六】二次根式运算【例6－1】已知a+b＝﹣8，ab＝6__．【解析】解：∵a+b=-8，ab=6，∴a＜0，b＜0∴原式=86a bab+⎛⎫-==-=⎪⎝⎭【例6－2】计算：（1）-；（2）【答案】（1）2；（2）2.【解析】解：（1）原式2=+2=（2）原式=22==．【变式6－1】（2020·成都市月考）已知x=y=（1）求222x xy y++的值．（2【答案】（1）40；（2）-6.【解析】解：（1）3=+，y=3=，∴x+y=x-y=6， 原式=（x+y ）2=40 （2）原式=21(2)(1)x y x x y y -+--+=11x y- =y xxy- =61-=-6. 【变式6－2】（2019·广东阳江）学习了二次根式的乘除后，老师给同学们出了这样一道题：已知a，求2a a-的值．刘峰想了想，很快就算出来了，下面是他的解题过程：()111a a a a-===-，又∵a，∴1a=你认为刘峰的解法对吗？如果对，请你给他一句鼓励的话；如果不对，请找出错误的原因，并改正． 【答案】见解析.【解析】解：刘峰的解法错误，(0)(0)a a a a ⎧⎨-<⎩这个公式，正确解法是：∵a＜1， ∴a ﹣1＜0，＝|1|(1)a a a -- ＝1(1)aa a --＝﹣1a，【题型七】综合题型【例7－1】（2020·四川成都市月考）若a ，b ，c是实数，且10a b c ++=，则2b c +=________．【答案】21.【解析】解：∵10a b c ++=∴100a b c ---=∴2221490⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-=⎣⎦⎣⎦⎣⎦∴2221)2)3)0++=∴123=== 解得：a=2，b=5，c=11 ∴2b+c=21．【例7－2】（2020·北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：?=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a,图2∵a＞0，=a+3.a+3.【例7－3】（2020·河南洛阳市月考）阅读下面的材料，并解决问题．==1；==…（1＝．（2）观察上述规律并猜想：当n示，不用说明理由）（3）请利用（2）的结论计算：+++⨯＝；①1)②1)2020++⨯．【答案】（1）2（2（3）①4；②2020．【解析】解：（1＝2；（21；（3×+1）））﹣2））1）1）＝4；+）×）﹣）×）1）×）＝2020.【例7－4】（2020·长沙市月考）人教版初中数学教科书八年级下册第16页阅读与思考给我们介绍了“海伦—秦九韶公式”，它是利用三角形的三条边的边长直接求三角形面积的公式：即如果一个三角形的三边长分别为a 、b 、c ，记2a b c p ++=，那么这个三角形的面积为S =，如图，在ABC ∆中，8a =，4b =，6c =．（1）求ABC ∆的面积；（2）设AB 边上的高为1h ，AC 边上的高为2h ，BC 边上的高为3h ，求123h h h ++的值．【答案】(1)；(2)4． 【解析】解：(1)在△ABC 中，a=8，b=4，c=6，代入可得p=9，∴=；(2) 设AB 边上的高为h 1，AC 边上的高为h 2，BC 边上的高为h 3，则123111222ch bh ah ===，∴1h =，2h =3h =，故h 1+h 2+h 3． 【变式7－1】（2019·浙江台州市期末）在一个含有两个字母的代数式中，如果任意交换这两个字母的位置．代数式的值不变，则称这个代数式为二元对称式，例如：x y +，xy ，11x y+，x y +，xy 叫做二元基本对称式．请根据以上材料解决下列问题：（1）下列各代数式中，属于二元对称式的是______（填序号）；①1a b -；②()2a b -；③22+y x （2）若x y m +=，2=xy n ，将2y x x y ++用含m ，n 的代数式表示，并判断所得的代数式是否为二元对称式；（3）先阅读下面问题1的解决方法，再自行解决问题2：问题1：已知40x y +-=，求22x y +的最小值．分析：因为条件中左边的式子4+-x y 和求解中的式子22xy +都可以看成以x ，y 为元的对称式，即交换这两个元的位置，两个式子的值不变，也即这两个元在这两个式子中具有等价地位，所以当这两个元相等时，22xy +可取得最小值． 问题2，①已知224x y +=，则x y +的最大值是______；②已知220x y +-=，则24x y +的最小值是______．【答案】（1）②④（2）222++=y x m x y n，不是；（3）① 4 【解析】解：（1）11a b b a≠--，①不是二元对称式， ()()22a b b a -=-，②是二元对称式， 2222y x x y +≠+，③不是二元对称式，=故答案为：②④；（2）∵x+y=m ，xy=n 2． ∴()22222222++++++=+==x y y x y x y x xy x y xy xy xy， ∴222++=y x m x y n． 当m ，n 交换位置时，代数式的值改变了，∴不是二元对称式．（3）①当x 2=y 2=2时，即当x=y=时，x+y 有最大值，最大值为．②令t=2y ，则x+2y-2=x+t-2=0，2242222x y x y x t =++=+，∴当x=t 时，22x t +取最小值，即24x y +取到最小值，∴x=2y=1时，24x y +取到最小值4，所以最小值为4．【变式7－2】（2019·重庆九龙坡区月考）阅读下列材料：材料1：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去=|11==-=；材料2： 配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法。
二次根式复习专题讲义(补课用)详解
二次根式复习专题讲义一、二次根式的概念：1.二次根式：a ≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号。
①.式子中，被开方数(式)必须大于等于零。
②.a ≥0）是一个非负数。
③.2＝a （a ≥0）（a ≥0）2.二次根式的乘：①.②. 3.二次根式的除：①. 一般地，对二次根式的除法规定：②. 4. 二次根式的加减法则：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
典型例题分析：例1. 下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、1xx>0）1x y+x ≥0，y•≥0）．例2.当x+11x+在实数范围内有意义？变式题1：当x在实数范围内有意义？变式题2：①.当x2在实数范围内有意义？例3.①.已知，求xy的值．②.=0，求a2004+b2004的值．③.，求x y的值．例4.计算1．22．（）23．24．（2）2例5. 计算1．2（x≥0）2．23．24．2变式题：计算1.（-）22.例6.在实数范围内分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3例7.化简（2（3（4（1例8.填空：当a≥0时，=_____；当a<0时，=_______，•并根据这一性质回答下列问题．（1，则a可以是什么数？（2，则a可以是什么数？（3，则a可以是什么数？例9.当x>2．例10．先化简再求值：当a=9时，求的值，甲乙两人的解答如下：甲的解答为：原式=a+（1-a）=1；乙的解答为：原式=a+（a-1）=2a-1=17．两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________．=a，求a-19952的值．变式题1．若│1995-a│变式题2．若-3≤x≤2时，试化简│x-2│。
（2（3（4）（1a≥0，b≥0）计算即可．分析：（2（3（4例12 .化简（2（3（1（5（4例13 .判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：（1=4（2变式题1：和，•那么此直角三角形斜边长是（）．变式题2：化简a）．．√169×6变式题3变式题5：探究过程：观察下列各式及其验证过程．（1）验证：（2）验证：同理可得：，……通过上述探究你能猜测出：a=_______（a>0）,并验证你的结论．例14．计算：（1（2÷（3÷（4）例15．化简：（1（2（3（4例16．，且x为偶数，求（1+x的值．变式题1.的结果是（）．变式题2.阅读下列运算过程：，化”）．变式题3.已知x=3，y=4，z=5，是_______．变式题4.有一种房梁的截面积是一个矩形，且矩形的长：1，•现用直径为的一种圆木做原料加工这种房梁，那么加工后的房染的最大截面积是多少？变式题5.计算（1·（m>0，n>0）（2）（a>0）例17.把它们化成最简二次根式：(1)3; (2)总结：二次根式有如下两个特点：1．被开方数不含分母；2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．例18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长．B A C例19.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：-1，=，，……从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算++（+1）的值．练习：一、选择题1（y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（）．y>0） B y>0） C y>0）AD．以上都不对2．把（a-1中根号外的（a-1）移入根号内得（）．C． D．ABA=a2DC4的结果是（）B．C．D．A．二、填空题1．（x≥0）2．化简二次根式号后的结果是_________．三、综合提高题1．已知a 过程，请判断是否正确？若不正确，•请写出正确的解答过程：2．若x 、y 为实数，且y=y x y -的值．例20.计算 （1（2总结：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，•再将被开方数相同的二次根式进行合并．例21．计算（1）（2））+例22．已知4x 2+y 2-4x-6y+10=0，求（23+y-（x -5x）的值．练习： 一、选择题1中，与是同类二次根式的是（ ）．A ．①和②B ．②和③C ．①和④D ．③和④ 2．下列各式：①3+3=6；②17=1；③=；④，其中错误的有（ ）．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个 二、填空题1、、与是同类二次根式的有________．2．计算二次根式5-3-7+9的最后结果是________．三、综合提高题1．已知≈2.236，求（-）-+）的值．（结果精确到0.01） 2．先化简，再求值．（）-（，其中x=32，y=27．例23．如图所示的Rt △ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始沿BA 边以1厘米/•秒的速度向点A 移动；同时，点Q 也从点B 开始沿BC 边以2厘米/秒的速度向点C 移动．问：几秒后△PBQ 的面积为35平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？（结果用最简二次根式表示）BAC QP例23．要焊接如图所示的钢架，大约需要多少米钢材（精确到0.1m ）？例24．若最简根式3是同类二次根式，求a 、b 的值．（•同类二次根式就是被开方数相同的最简二次根式）练习： 一、选择题1．已知直角三角形的两条直角边的长分别为5和5，那么斜边的长应为（ ）．（•结果用最简二次根式） A ．BC ．D ．以上都不对2．小明想自己钉一个长与宽分别为30cm 和20cm 的长方形的木框，•为了增加其稳定性，他沿长方形的对角线又钉上了一根木条，木条的长应为（）米．（结果同最简二次根式表示）A．． D．二、填空题1．某地有一长方形鱼塘，已知鱼塘的长是宽的2倍，它的面积是1600m2，•鱼塘的宽是_______m．（结果用最简二次根式）2．，•那么这简二次根式）三、综合提高题1．若最简二次根式与n是同类二次根式，求m、n的值．2．同学们，我们以前学过完全平方公式a2±2ab+b2=（a ±b）2，你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数（包括0）都可以看作是一个数的平方，如3=）2，5=（2，你知道是谁的二次根式呢？下面我们观察：-1）2=）2-2·1+12+1=3-2反之，∴-1求：（1（2；（3吗？(√3-1)（4，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．例25．计算: （1）+（2）（4）÷例26．计算 （1））（3-） （2）））例27．已知xba-=2-xa b-，其中a 、b 是实数，且a+b ≠0，练习： 一、选择题1．）．AC2（ ）．A．2 B．3 C．4 D．1二、填空题+）2的计算结果（用最简根式表示）是 1．（-12________．）（）-（）2的计算结果（用最简2．（二次根式表示）是_______．-1，则x2+2x+1=________．3．若4．已知a=3+2，，则a2b-ab2=_________．三、综合提高题12．当+的值．（结果用最简二次根式表示）课外知识1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，•这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）．AC2．互为有理化因式：•互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如x+1-与x+1+与也是互为有理化因式．+的有理化因式是________；的有理化因式是_________．_______．3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、•分母上同乘以一个二次根式，达到化去分母中的根号的目的．练习：把下列各式的分母有理化（1（2；（3（44．其它材料：如果n是任意正整数，=_____=_______．例28.-1的大小。
专题04二次根式的核心知识点精讲(讲义)(解析版)-备战2024年中考数学一轮复习考点帮(全国通用)
专题04二次根式的核心知识点精讲1.了解二次根式的概念及其有意义的条件．2．了解最简二次根式的概念，并会把二次根式化成最简二次根式．3．掌握二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、除、乘方运算法则，会用它们进行有管的简单四则运算．【题型1：二次根式有意义的条件】【典例1】（2023•济宁）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≥0C．x≥2D．x≥0且x≠2【答案】D【解答】解：由题意得x≥0且x﹣2≠0，解得x≥0且x≠2，故选：D．1．（2023•金华）要使有意义，则x的值可以是（）A．0B．﹣1C．﹣2D．2【答案】D【解答】解：由题意得：x﹣2≥0，解得：x≥2，则x的值可以是2，故选：D．2．（2023•通辽）二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．3．（2023•湘西州）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是x≥5．【答案】x≥5．【解答】解：由二次根式在实数范围内有意义可得：2x﹣10≥0，解得：x≥5；故答案为：x≥5．【题型2：二次根式的性质】【典例2】（2023•泰州）计算等于（）A．±2B．2C．4D．【答案】B【解答】解：＝2．故选：B．1．（2021•苏州）计算（）2的结果是（）A．B．3C．2D．9【答案】B【解答】解：（）2＝3．故选：B．2.（2023•青岛）下列计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】C【解答】解：与无法合并，则A不符合题意；2﹣＝，则B不符合题意；×＝＝，则C符合题意；÷3＝＝，则D不符合题意；故选：C．3．（2021•娄底）2、5、m是某三角形三边的长，则+等于（）A．2m﹣10B．10﹣2m C．10D．4【答案】D【解答】解：∵2、5、m是某三角形三边的长，∴5﹣2＜m＜5+2，故3＜m＜7，∴+＝m﹣3+7﹣m＝4．故选：D．4．（2022•遂宁）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|﹣+＝2．【答案】2．【解答】解：由数轴可得，﹣1＜a＜0，1＜b＜2，∴a+1＞0，b﹣1＞0，a﹣b＜0，∴|a+1|﹣+＝a+1﹣（b﹣1）+（b﹣a）＝a+1﹣b+1+b﹣a＝2，故答案为：2．【题型3：二次根式的运算】【典例3】（2023•金昌）计算：÷×2﹣6．【答案】6．【解答】解：原式＝3××2﹣6＝12﹣6＝6．1．（2023•聊城）计算：（﹣3）÷＝3．【答案】3．【解答】解：原式＝（4﹣3×）÷＝（4﹣）÷＝3÷＝3．故答案为：3．2．（2023•山西）计算：的结果为﹣1．【答案】﹣1．【解答】解：原式＝（）2﹣（）2＝2﹣3＝﹣1．故答案为：﹣1．3．（2023•兰州）计算：．【答案】．【解答】解：原式＝3﹣2＝．4．（2023•陕西）计算：．【答案】2﹣2．【解答】解：原式＝﹣3++1＝2﹣3+1＝2﹣2．1．（2023秋•福鼎市期中）下列各数不能与合并的是（）A．B．C．D．【答案】B【解答】解：A、∵＝＝，∴能与合并，故A不符合题意；B、∵＝2，∴不能与合并，故B符合题意；C、∵＝3，∴能与合并，故C不符合题意；D、∵＝4，∴能与合并，故D不符合题意；故选：B．2．（2023秋•云岩区校级期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、＝＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、＝＝4，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意；C、＝，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；D、是最简二次根式，符合题意；故选：D．3．（2022秋•泉州期末）若二次根式有意义，则x的取值范围是（）A．x＜3B．x≠3C．x≤3D．x≥3【答案】C【解答】解：∵二次根式有意义，∴3﹣x≥0，解得：x≤3．故选：C．4．（2023秋•龙泉驿区期中）下列运算中，正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、±＝±3，故A不符合题意；B、与﹣不能合并，故B不符合题意；C、2﹣＝，故C不符合题意；D、÷＝，故D符合题意；故选：D．5．（2023秋•锦江区校级期中）若a＞b＞0，则的结果是（）A．a B．2b﹣a C．a﹣2b D．﹣a【答案】A【解答】解：∵a＞b＞0，∴+＝|b|+|b﹣a|＝b+a﹣b＝a，故选：A．6．（2023春•河东区期中）把x根号外的因数移到根号内，结果是（）A．B．C．﹣D．﹣【答案】C【解答】解：由x可知x＜0，所以x＝﹣＝﹣，故选：C．7．（2023春•铁岭县期末）计算：的结果是（）A．2B．0C．﹣2D．﹣【答案】B【解答】解：＝﹣＝2﹣2＝0，故选：B．8．（2023春•抚顺月考）二次根式的计算结果是（）A．B．C．±D．【答案】B【解答】解：＝＝×＝3，故选：B．9．（2023春•西丰县期中）已知a＝+2，b＝﹣2，则a﹣b的值是（）A．2B．4C．2+4D．2﹣4【答案】B【解答】解：∵a＝+2，b＝﹣2，∴a﹣b＝+2﹣（﹣2）＝+2﹣+2＝4，故选：B．10．（2023春•工业园区期末）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（）A．与B．与C．与D．与【答案】D【解答】解：A、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故A不符合题意；B、∵＝2，∴与不是同类二次根式，故B不符合题意；C、与不是同类二次根式，故C不符合题意；D、∵＝2，∴与是同类二次根式，故D符合题意；故选：D．11．（2023春•武昌区校级期中）若是整数，则满足条件的最小正整数n的值为6．【答案】见试题解答内容【解答】解：＝2，∵是整数，∴满足条件的最小正整数n＝6．故答案为：6．12．（2023春•固镇县月考）计算＝﹣．【答案】﹣．【解答】解：＝2﹣3＝﹣，故答案为：﹣．13．（2023春•高安市期中）化简计算：＝2．【答案】2．【解答】解：＝（）2﹣12＝3﹣1＝2，故答案为：2．14．（2023秋•高新区校级期中）计算：（1）×；（2）．【答案】（1）﹣11；（2）5﹣4．【解答】解：（1）×＝﹣4×3＝﹣12＝﹣11；（2）＝4﹣5+4﹣4+2＝5﹣4．15．（2023秋•秦都区校级期中）计算：﹣×．【答案】4﹣+2．【解答】解：﹣×＝3﹣+2＝﹣+2＝4﹣+2．1．（2022秋•鼓楼区校级期末）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（）A．7B．﹣7C．2a﹣15D．无法确定【答案】A【解答】解：∵由图可知：4＜a＜10，∴a﹣4＞0，a﹣11＜0，∴原式＝+＝a﹣4+11﹣a＝7．故选：A．2．（2023春•新郑市校级期末）若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4【答案】D【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．3．（2023秋•西安校级月考）若x，y都是实数，且，则xy的值是（）A．0B．4C．2D．不能确定【答案】B【解答】解：根据题意得，x﹣1≥0且1﹣x≥0，解得x≥1且x≤1，∴x＝1，∴y＝4，∴xy＝1×4＝4．故选：B．4．（2023•商水县一模）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积，这个公式也被称为海伦一秦九韶公式．若p＝5，c＝2，则此三角形面积的最大值为（）A．B．C．D．5【答案】C【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝2，∴5＝，∴a+b＝8，∴a＝8﹣b，∴S＝＝＝＝＝＝＝当b＝4时，S有最大值为．故选：C．5．（2023秋•闵行区期中）计算：＝．【答案】．【解答】解：，＝＝＝＝＝，故答案为：．6．（2023春•科左中旗校级期末）观察下列等式：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…按上述规律，计算a1+a2+a3+…+a n＝﹣1．【答案】见试题解答内容【解答】解：第1个等式：a1＝＝﹣1，第2个等式：a2＝＝，第3个等式：a3＝＝2﹣，第4个等式：a4＝＝﹣2，…a1+a2+a3+…+a n＝﹣1+﹣+…+﹣＝﹣1故答案为：﹣1．7．（2023春•中江县月考）已知的值是7．【答案】7．【解答】解：∵m＝+1，n＝＝﹣1，∴m+n＝2，mn＝1，∴m2+mn+n2＝（m+n）2﹣mn＝（2）2﹣1＝7．故答案为：7．8．（2023春•禹州市期中）如图，在数学课上，老师用5个完全相同的小长方形在无重叠的情况下拼成了一个大长方形，已知小长方形的长为，宽为，则这个大长方形的周长为22．【答案】22．【解答】解：∵大长方形的宽＝3+2＝5，大长方形的长＝3×2＝6，∴大长方形的周长＝（5+6）×2＝22，故答案为：22．9．（2023春•宿豫区期末）计算的结果为3．【答案】3．【解答】解：原式＝+＝+＝2+＝3．故答案为：3．10．（2023秋•双流区校级期中）已知a＝3+，b＝3﹣，分别求下列代数式的值：（1）a2﹣b2；（2）a2﹣3ab+b2．【答案】（1）12；（2）1．【解答】解：（1）∵a＝3+，b＝3﹣，∴a+b＝3++3﹣＝6，a﹣b＝3+﹣3+＝2，ab＝（3）（3）＝7，则a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝6×＝12；（2）由（1）知a﹣b＝2，ab＝（3）（3）＝7，∴a2﹣3ab+b2＝（a﹣b）2﹣ab，＝＝8﹣7＝1．11．（2023春•双柏县期中）阅读下面问题：＝＝﹣1；＝＝﹣；＝＝﹣2．（1）求的值；（2）计算：+++…++．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝＝﹣；（2）原式＝﹣1+﹣+…+﹣+﹣＝10﹣1＝9．12．（2023秋•二七区校级月考）阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样（）2+（）2＝m，•＝．那么便有：（a＞b），问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴，模型应用1：利用上述解决问题的方法化简下列各式：（1）；（2）．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4﹣，AC＝，那么BC边的长为多少？（直接写出结果，结果化成最简）．【答案】（1）1+；（2）2﹣；（3）2﹣2．【解答】解：（1）m＝6，n＝5．∵1+5＝6，1×5＝5，∴（）2+（）2＝6，×＝，∴＝＝1+．（2）∵＝．∴m＝13，n＝40，∵5+8＝13，5×8＝40，∴（）2+（）2＝13，×＝，∴＝＝＝2．（3）BC＝＝．∵＝，∴m＝16，n＝48，∵4+12＝16，4×12＝48，∴（）2+（）2＝16，×＝，∴BC＝＝＝＝2﹣2．1．（2022•桂林）化简的结果是（）A．2B．3C．2D．2【答案】A【解答】解：＝2，故选：A．2．（2022•内蒙古）实数a在数轴上的对应位置如图所示，则+1+|a﹣1|的化简结果是（）A．1B．2C．2a D．1﹣2a【答案】B【解答】解：根据数轴得：0＜a＜1，∴a＞0，a﹣1＜0，∴原式＝|a|+1+1﹣a＝a+1+1﹣a＝2．故选：B．3．（2022•河北）下列正确的是（）A．＝2+3B．＝2×3C．＝32D．＝0.7【答案】B【解答】解：A、原式＝，故该选项不符合题意；B、原式＝×＝2×3，故该选项符合题意；C、原式＝＝92，故该选项不符合题意；D、0.72＝0.49，故该选项不符合题意；故选：B．4．（2022•湖北）下列各式计算正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解答】解：A、与不属于同类二次根式，不能运算，故A不符合题意；B、，故B不符合题意；C、，故C不符合题意；D、，故D符合题意；故选：D．5．（2022•青岛）计算（﹣）×的结果是（）A．B．1C．D．3【答案】B【解答】解：（﹣）×＝﹣＝﹣＝3﹣2＝1，故选：B．6．（2022•安顺）估计（+）×的值应在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间【答案】B【解答】解：原式＝2+，∵3＜＜4，∴5＜2+＜6，故选：B．7．（2023•绵阳）若式子在实数范围内有意义，则x的最小值为．【答案】．【解答】解：由题意可得2x﹣1≥0，解得：x≥，则x的最小值为，故答案为：．8．（2023•丹东）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≥﹣2，且x≠1．【答案】x≥﹣2，且x≠1．【解答】解：由题可知，x+2≥0，即x≥﹣2，又知分母不能等于0，即x﹣1≠0，则x≠1．故答案为：x≥﹣2，且x≠1．9.（2022•武汉）计算的结果是2．【答案】2．【解答】解：法一、＝|﹣2|＝2；法二、＝故答案为：2．10．（2023•内蒙古）实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：＝2﹣m．【答案】2﹣m．【解答】解：由数轴可知：1＜m＜2，∴m﹣2＜0，∴＝|m﹣2|＝2﹣m．故答案为：2﹣m．11．（2022•荆州）若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，则代数式（2+a）•b的值是2．【答案】2．【解答】解：∵1＜＜2，∴1＜3﹣＜2，∵若3﹣的整数部分为a，小数部分为b，∴a＝1，b＝3﹣﹣1＝2﹣，∴（2+a）•b＝（2+）（2﹣）＝2，故答案为：2．12．（2022•泰安）计算：•﹣3＝2．【答案】2．【解答】解：原式＝﹣3×＝4﹣2＝2，故答案为：2．13．（2022•济宁）已知a＝2+，b＝2﹣，求代数式a2b+ab2的值．【答案】﹣4．【解答】解：∵a＝2+，b＝2﹣，∴a2b+ab2＝ab（a+b）＝（2+）（2﹣）（2++2﹣）＝（4﹣5）×4＝﹣1×4。
考点02 二次根式(解析版)
考点二二次根式知识点整合1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．【注意】被开方数a 只能是非负数．即要使二次根式a 有意义，则a ≥0．（2）最简二次根式被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．（3）同类二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做同类二次根式．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．3．二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b ab a b =≥≥；除法法则：(0,0)a aa b bb=≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．考向一二次根式的概念及性质1．二次根式的有关概念（1）二次根式的概念形如)0(≥a a 的式子叫做二次根式．其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做被开方数．2．二次根式的性质（1）a ≥0（a ≥0）；（2）)0()(2≥=a a a ；（32(0)0(0)(0)a a a a a a a >⎧⎪===⎨⎪-<⎩；（40,0)ab a b a b =≥≥；（50,0)a a a b b b=≥>．1．在函数12x y x -=-中，自变量x 的取值范围是（）A ．0x ≥且2x ≠B ．2x >C ．1x ≥且2x ≠D ．1x >且2x ≠【答案】C【分析】本题考查了函数的自变量有意义的条件，分式有意义的条件、二次根式有意义的条件．根据分式的分母不能为0，被开方数不0即可得．【详解】解：在函数12x y x -=-中，．B．．D．【答案】B【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解即可．考向二二次根式的运算（1）二次根式的加减合并同类二次根式：在二次根式的加减运算中，把几个二次根式化为最简二次根式后，若有同类二次根式，可把同类二次根式合并成一个二次根式．（2）二次根式的乘除0,0)a b =≥≥；0,0)a b≥>．（3）二次根式的混合运算二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的．在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用．-【答案】2a-【答案】（1）5；（2）2a(1)______的解法是错误的；(2)当2a =时，求26911a a a -++-的值．【答案】(1)小亮OA=__________(1)填空：210(2)请用含有n（n为正整数）的式子填空：(133+(1)求出这个魔方的棱长．(2)图甲中阴影部分是一个正方形ABCD，求出阴影部分正方形(3)把正方形ABCD放置在数轴上，如图乙所示，使得点的数为______．【答案】(1)4cm(1)则原来大正方形的边长为号）(2)求这个长方体盒子的底面边长和体积分别是多少2 1.414,3 1.732,≈≈【答案】(1)42；2A．20cm B．5【答案】A【分析】本题考查二次根式的应用，出关系式，去括号合并即可得到结果．。
二次根式知识点总结及习题带答案
二次根式知识点总结及习题带答案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN【基础知识巩固】一、二次根式的概念形如（）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
二、取值范围1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。
三、二次根式（）的非负性（）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。
注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。
四、二次根式（）的性质：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
（）注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。
上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，.五、二次根式的性质：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即；2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义；3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。
六、与的异同点1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。
但与都是非负数，即，。
因而它的运算的结果是有差别的，，而2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而.七、二次根式的运算1、最简二次根式必须满足以下两个条件（1）被开方数不含分母，即被开方的因式必须是整式；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，即被开方数中每一个因数或因式的指数都是1.2ab a·b（a≥0，b≥0）；积的算术平方根的性质即乘法法则的逆用.3、除法法则：b ba a（b≥0，a>0）；商的算术平方根的性质即除法法则的逆用.4、合并同类项的法则：系数相加减，字母的指数不变.5、二次根式的加减（1）二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并。
二次根式及其运算知识讲义(解析版)
专题01 二次根式及其运算知识讲义【相关概念】二次根式：a≥0）的式子叫做二次根式.a为被开方数，a可以是数字或代数式.代数式：含有字母的数学表达式称为代数式.整式、分式均为代数式.最简二次根式：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数的因数是整数，因式是整式.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.【二次根式运算】乘法=a≥0，b≥0）除法=（a≥0，b ＞0）加（减）法先把各根式化成最简根式，再合并同类根式分母有理化====【二次根式性质】，a≥0非负数：|a|，a 2n()()00a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩2a =【二次根式应用】因式的内移和外移：（1）负号不能移到根号下；（2）根号下的负号不能移到根号外.【题型一】二次根式有意义条件例1. （2020·m 能取的最小整数值是（）A ．m = 0B ．m = 1C ．m = 2D ．m = 3【答案】B.3m －1≥0，解得：m≥13， 所以，m 能取的最小整数值是1．故答案为：B ．例2. （2020·=-，那么x 的取值范围是_______． 【答案】－3≤x≤0.【解析】解：∵233x x +-∴x≤0，且x+3≥0，解得：－3≤x≤0，故答案为：－3≤x≤0.例3．（2019·=x 的取值范围是______. 【答案】x≥2.=∴x≥0，x−2≥0，∴x≥2.故答案为：x≥2.【题型二】同类二次根式例4. （2020·是同类二次根式，那么满足条件的m 中最小正整数是________．【答案】4.【解析】解：当5m+8=7时，m=-15，不合题意，，即5m+8=28时，m=4，是同类二次根式，那么m 的最小正整数是4，故答案为：4．例5. mn =_________．【答案】10.∴n=2，2m-5=5，∴m=5，n=2∴mn=10故答案为：10．例6. mn＝________．【答案】21.∴1221343nm m-=⎧⎨-=-⎩，解得，73mn=⎧⎨=⎩，∴mn=21故答案为：21.【题型三】变式考查例7. （2020·浙江宁波市期中）我们把形如b（a，b为最简二次根式）32是（）A型无理数B C型无理数D型无理数【答案】B.【解析】解：2故答案为：B．例8. （1n所有可能的值；（2是整数，求正整数n的最小值．【答案】（1）自然数n 的值为2、9、14、17、18；（2）正整数n 的最小值为6．【解析】解：（1是整数，∴18-n=0或1或4或9或16，解得：n=18或17或14或9或2，则自然数n 的值为2，9，14，17，18；（2=是整数，n 为正整数，∴正整数n 的最小值为6．例9．（2020·21x =-，则x=__________． 【答案】12或1.21x =-，∴2x-1=0或2x-1=1，解得：x=12或x=1． 故答案为12或1． 【题型四】二次根式运算例10．（2020·周长为( )A ．B ．C ．D ．无法确定【答案】A.若，，则周长为若，∴，此三角形不存在，∴个三角形的周长为故答案为：A ．例11)2211-．)2211--1313=--+-=例12．（2020·福建省泉州月考）已知1x =，x 的整数部分为a ，小数部分为b ，求a b的值．.【解析】解：∵3，∴+1<4，故a=3，－2，∴)3232274a b ====-. 例13．（2020·广东佛山市月考）先阅读，再解答:由222=-= 可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是；(2)= ．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）；（3）<；（4）2017.【解析】解：（1+1；（2333==+；（3=>（4）原式=)120181+=)11=2018-1=2017．例14. 若a，b都是正整数，且a＜b是可以合并的二次根式，是否存在a，b，＝a，b的值；若不存在，请说明理由．【答案】当a＝3，b＝48；当a＝12，b＝27.，m、n为正整数，m＜n，∴m=1，n=4或m=2，n=3故a=3，b=48或a=12，b=27．例15．（2019·辽宁大连市期中）[观察]请你观察下列式子的特点，并直接写出结果：11112=+-=；11123=+-=；11134=+-=；……[发现]根据你的阅读回答下列问题：（1）请根据上面式子的规律填空：=（n为正整数）；（2）请证明(1) 中你所发现的规律．[应用]请直接写出下面式子的结果：11n++=．【答案】[观察]32，76，1312；[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++；（2）证明见解析；[应用]221n nn++．【解析】[观察]32，76，1312，[发现]（1）1111n n+-+或221n nn n+++（2）左边=====∵n 为正整数，∴()11111011n n n n +-=+>++ ∴左边=右边[应用11n +++111111111111223341n n =+-++-++-+++-+…… 1111n n =⨯+-+ 1n n n =++ 22=1n n n ++. 【题型五】化简求值例16. （2021·江苏南通市期末）化简2+的结果是（ ） A ．152x -B ．1-C ．27x -D ．1 【答案】A.【解析】解：∵二次根式被开方数为非负数，∴7-x≥0，则x≤7∴x-8＜0，原式=7-x+8-x=15-2x故答案为：A ．例17．（2020·浙江杭州期中）实数a ，b 在数轴上的位置如图，||a b -的结果为（ ）A ．2aB ．2a -C ．2bD ．2b -【答案】B.【解析】解：由题意得：a ＞b ，|a |＜|b |，a ＞0，b ＜0，∴a -b ＞0，a +b ＜0，∴原式＝-a -b -a +b ＝-2a ，故答案为：B ．例18．若数轴上表示数x 的点在原点的左边，则化简3x + ） A ．4x - B ．4x C ．2x - D ．2x【答案】C.【解析】解：∵数x 的点在原点的左边，∴x ＜0，∴原式＝|3x +|x ||＝|3x -x |＝|2x |＝-2x ．故答案为：C ．例19．（2020·温州月考）下列四个式子中，与(a -的值相等的是（） AB ．CD ．【答案】D.【解析】解：由题意得：2021-a>0，得：a<2021，∴a-2021<0，∴原式=(2021a --== 故答案为：D ． 例20．下列给出的四个命题：①若a b = ，则a a b b =；②若a 2﹣5a+5=01a =- ；③(1a -=其中是真命题是【答案】②.【解析】解：①当a=-1，b=1时，命题不成立，是假命题，②a 2=5a-5，∴5a-5≥0，即a≥1，，是真命题；③(a -==，是假命题， 故答案为：②．【题型六】阅读材料例21．（2021·北京延庆区期末）我们规定用（a ，b ）表示一对数对．给出如下定义：记m=，n = a ＞ 0，b ＞ 0），将（m ，n ）与（n ，m ）称为数对（a ，b ）的一对“对称数对”．例如：（4，1）的一对“对称数对”为（12，1）和（1，12）； （1）数对（9，3）的一对“对称数对”是 ；（2）若数对（3，y ）的一对“对称数对”相同，则y 的值为 ；（3）若数对（x ，2）的一个“对称数对”，1），则x 的值为 ；（4）若数对（a ，b ）的一个“对称数对”，，求ab 的值．【答案】（1）1(3与1)3， ；（2）13；（3）1 ；（4）16或6.【解析】解：（1）由题意得13=，∴数对(9，3)的一对“对称数对”是1(3与1)3，；（2）由题意得，∴数对(3，y ）的一对“对称数对”为⎝与⎭， ∵数对(3，y ）的一对“对称数对”相同，= ∴y=13；（3）∵数对(x ，2)的一对“对称数对”是与而数对(x ，2)的一个“对称数对”，1）， 1=， ∴x=1；（4）∵数对(a ，b)的一对“对称数对”是与，而数对(a ，b)的一个“对称数对”是，==1,183a b == ∴11863ab =⨯=；==1,318a b ==， ∴113186ab =⨯=，综上所述，16ab =或6ab =． 例22. 阅读理解：二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．．11==． 类比应用：（1= ； （29++=+ ． 拓展延伸：的矩形叫黄金矩形．如图①，已知黄金矩形ABCD 的宽AB =1． （1）黄金矩形ABCD 的长BC = ；（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB 为边的正方形ABEF ，得到新的矩形DCEF ，猜想矩形DCEF 是否为黄金矩形，并证明你的结论；（3）在图②中，连结AE ，则点D 到线段AE 的距离为 ．【答案】类比应用：（1）；（2）2；拓展延伸：（1）12；（2）矩形DCEF为黄金矩形，理由见解析；（3【解析】解：类比应用：（1）根据题意可得：== （2）根据题意可得：9++(9+++19-+-1=2；拓展延伸：（1的矩形叫黄金矩形， 若黄金矩形ABCD 的宽AB =1，则黄金矩形ABCD 的长BC； （2）矩形DCEF 为黄金矩形，理由是：由裁剪可知：AB=AF=BE=EF=CD=1，根据黄金矩形的性质可得：AD=BC=1=∴FD=EC=AD-AF=112-=12，∴DF EF =11122÷=，故矩形DCEF 为黄金矩形；（3）连接AE ，DE ，过D 作DG ⊥AE 于点G ，∵AB=EF=1，，∴=在△AED 中，S △AED =1122AD EF AE DG ⨯⨯=⨯⨯，即AD EF AE DG ⨯=⨯1DG =，解得∴点D 到线段AE 的距离为4+. 例23. （2019·四川月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：====1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1...+（2）已知 m 是正整数， ab且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ． （31=【答案】（1）12；（2）2；（3）9. 【解析】解：（1）原式12019+2222=+++2019++== （2）∵ab∴=2（2m+1），=1∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴2（a 2+b 2）+1823=2019∴a 2+b 2=98∴4（2m+1）2=100∴m=2或m=-3∵m是正整数∴m=2．（31=，得：21=20=2281=-+=0≥≥．例24.（2020·湖南怀化市期末）同学们，我们以前学过完全平方公式222)2(a ab b a b ±+=±，你一定熟练掌握了吧！现在，我们又学习了二次根式，那么所有的非负数（以及0）都可以看作是一个数的平方，如23=，25=，下面我们观察：)2221211213=-⨯=-=-23211)-=-=，∴231)-=1= 求：（1；（2（3=，则m 、n 与a 、b 的关系是什么？并说明理由．【答案】（11；（21；（3）m+n=a ，mn=b ，理由见解析.【解析】解：（11；（21==；（3）m+n ＝a ，mn ＝b.=∴2a =+，∴，∴m+n ＝a ，mn ＝b.例25．（2020·安徽安庆市）阅读理解题，下面我们观察：2221)211213=-⨯=-=-反之23211)-=-=，所以231)-=1= 完成下列各题：（1）在实数范围内因式分解：（2（3．【答案】（1）2(1+；（21；（3【解析】解：（1）22231(1+=+=+（21==（3==。
专题01 二次根式及其运算知识基础巩固+技能提升(解析版)
专题01 基础巩固+ 技能提升【基础巩固】1. （2020·荆州市月考）下列说法错误的是（）A．2a与()2a-相等B与-互为相反数C．D．a与a【答案】D.【解析】解：A、()2a-=2a，故A正确；B=B正确；C、互为相反数，故C正确；-=，故D错误；D、a a故答案为：D.2．（2020·个按键的功能．：将荧幕显示的数变成它的算术平方根；②1/x：将荧幕显示的数变成它的倒数；小明输入一个数据后，按照以下步骤操作，依次按照从第一步到第三步循环按键．若一开始输入的数据为10，那么第2018步之后，显示的结果是（ ）A B．100C．0.01D．0.1【答案】C .【解析】解：根据题意得各步显示的数如下：第一步：102＝100，第二步：1100＝0.01＝0.1；第四步：0.12＝0.01，第五步：10.01＝100＝10；第七步：102＝100，第八步：1100＝0.01＝0.1；…所以显示的数是六步一个循环∵2018÷6=336 (2)∴按了第2018下后荧幕显示的数与第二步相同，所以显示的数是0.01．故答案为：C ．3．（2021·四川达州期末）若,x y 为实数，且满足26||0x y --=，则2021x y æöç÷èø的值是________．【答案】-1.【解析】解：由题意得：260220x y x y --=ìí+-=î，解得：22x y =ìí=-î，∴2021202122x y æöæö=ç÷ç÷-èøèø=-1；故答案为：-1．4．（2020·北京月考）已知3m =，则2019()m n +的值为______．【答案】1.【解析】解：由题意得：16-n 2≥0，16-n 2≤0，故n 2=16，即n =±4，又n ≠-4，∴n =4，m =-3∴原式=（4-3）2019=1故答案为：1．5．（2021·是同类最简二次根式，则a b -=________．【答案】2.【解析】解：根据题意得：a -1=2，b +2=5-2b ，∴a =3，b =1∴a -b =2故答案为：2．6．（2020·克东县期中）当x x 2﹣4x +2017=________．【答案】2016.【解析】解：x 2﹣4x +2017=（x ﹣2）2+2013=）2+2013=2016．故答案为：2016．7．（2021·江苏扬州市期末）已知5y x =+，当x 分别取1、2、3、…、2021时，所对应y 值的总和是_____．【答案】2033.【解析】解：当x ＜4时，y =-2x +9，即当x =1时，y =9-2=7；当x =2时，y =9-4=5；当x =3时，y =9-6=3；当x ≥4时，y =1，即当x 分别取4，5，…，2021时，y 的值均为1，综上所述，当x 分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y 值的总和是7+5+3+2018×1=2033，故答案为：2033．8．（2020·浙江杭州市期中）已知ABC V 的三边长分别为1，k ，3，则化简9-的结果是_______．【答案】12-4k.【解析】解：由题意可知：2＜k＜4，∴1＜9-2k＜5，1＜2k-3＜5，∴原式=9-=9-2k-2k+3=12-4k，故答案为：12-4k．9．（2020·北京顺义区期末）为了简洁、明确的表示一个正数的算术平方根，许多数学家进行了探索，期间经历了400余年，直至1637年法国数学家笛卡儿在他的《几何学》中开始使用”表示算数平方根．我国使用根号是由李善兰（1811-1882年）译西方数学书时引用的，她在《代数备旨》中把图1所示题目翻译为：?+=则图2所示题目（字母代表正数）翻译为_____________，计算结果为_______________.a+3.【解析】解：根据题意可知图中的甲代表a，图2所示题目（字母代表正数）翻译为∵a＞0，=a+3a+3.10．（2021·a，小数部分是b，求ab的值．.=，23<<，∴532，∴a =2，b 2=-=，即a b ===11．（2021·2++-【解析】解：原式32=+--2332=++--=12．（2021·云南曲靖市期末）先化简，再求值：2241244x x x x x -æö-¸ç÷--+èø，其中2x =-【答案】22x -+，.【解析】解：2241244x x x x x -æö-¸ç÷--+èø22(2)22(2)(2)x x x x x x x --æö=-´ç÷--+-èø2222x x x --=´-+22x =-+，当2x=-==13．（2020·浙江杭州期末）计算：（13-+++（2）(222【答案】（1）-；（2）8-【解析】解：（13+=5+=-+=；++（2）(222+-+-=5243=8-14．（2021·浙江绍兴市期末）定义：若一个三角形两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形为勾股高三角形，这两边的交点称为勾股顶点．（1）如图①，已知△ABC为勾股高三角形，其中A为勾股顶点，AD是BC边上的高．若BD＝1，CD＝2，求高AD的长；-，求证：△ABC是勾股高三角（2）如图②，△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝3形．【答案】（1；（2）见解析.【解析】解：（1）解：∵AD 是BC 边上的高，BD ＝1，CD ＝2，∴AB 2＝AD 2＋1，AC 2＝AD 2＋4，∵△ABC 为勾股高三角形，A 为勾股顶点，∴ AC 2－AB 2＝AD 2，即（AD 2＋4）－（AD 2＋1）＝AD 2，∴ AD（2）∵AB ＝AC ＝3 ，∴点A 不可能为勾股顶点过B 作BH 垂直AC 于D 点H ，设HC ＝x ，由题意，得BC 2－CH 2＝BH 2＝AB 2－AH 2，∴()()2222333x x -=---，x ＝6-，∴BH 2＝BC 2－CH 2＝()(223627---=-∵AB 2－BC 2＝()223327--=-∴BH 2＝AB 2－BC 2∴△ABC是勾股高三角形．+．15．（2020·c【答案】﹣b．【解析】解：由数轴可以看出：a＞0，b＜0，c＜0，a＜﹣c，+，c=|b|-|b+c|+|a-c|+|a+c|，＝﹣b﹣[﹣（b+c）]+（a﹣b）+[﹣（a+c）]，＝﹣b+（b+c）+a﹣b﹣a﹣c，＝﹣b．16．（2019·南阳市月考）如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右直爬2个单位到达点B，再直爬向点C停止，已知点A表示，点C表示2，设点B所表示的数为m．（1）求m的值（2）求1m++的值（3）直接写出蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有个m=-（2）6-；（3）3.【答案】（1）2【解析】解：（1）由题意可得：m-2=-∴m=2-；（2）把m=2-代入得1m++=-|21|=--33=-；6（3）从点A到点C所经过的整数有-1，0，1，2，其中非负整数有0，1，2，所以蚂蚁从点A到点C所经过的整数中，非负整数有3个．=-，17．（2020·成都市温江区月考）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题1==-，…（1＝ ；（2）请你用含n（n为正整数）的关系式表示上述各式子的变形规律．并证明你的结论．（3）利用上面的结论，求下列式子的值：)L．+++×+【答案】（1）（2=-n为正整数），证明见解析；（3）2007.【解析】解：（1；故答案为：；（2=-n为正整数）．=n为正整数）；-+L×1+)（3）原式＝1﹣1）+1）＝2008﹣1＝2007.18．阅读下列材料，并解答其后的问题：我国古代南宋数学家秦九韶在其所著书《数学九章》中，利用“三斜求积术”十分巧妙的解决了已知三角形三边求其面积的问题，这与西方著名的“海伦公式”是完全等价的．我们也称这个公式为“海伦•秦九韶公式”，该公式是：设△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b 、c ，△ABC 的面积为S ．（1）（举例应用）已知△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝4，b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为 ；（2）（实际应用）有一块四边形的草地如图所示，现测得AB ＝（）m ，BC ＝5m ，CD ＝7m ，AD ＝m ，∠A ＝60°，求该块草地的面积．【答案】（1）（2）（）m 2【解析】解：（1）△ABC 的面积为S＝故答案为：；（2）解：过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，连接BD ，在Rt △ADE 中，∵∠A ＝60°，∴∠ADE ＝30°，∴AE ＝12AD ＝∴BE ＝AB ﹣AE ＝﹣＝DE ==∴BD ==∴S △BCD =∵S △ABD ＝112422AB DE ×=´+´=+∴S 四边形ABCD ＝S △BCD +S △ABD ＝ 24++19．（2021·江苏南通市期末）（1）判断下列各式是否成立？并选择其中一个说明理由；===．（2）用字母表示（1）中式子的规律，并给出证明．【答案】（1）成立，理由见解析；（2=（n ＞1），理由见解析.【解析】解：（1）成立，===（2====，L ，1)n =>，1)n ==>．20．（2019·兰州市期中）先阅读下列的解答过程，然后再解答：a 、b ，使a +b ＝m ，ab ＝n ，使得22m +===±（a ＞b ），这里m ＝7，n ＝12，由于4+3＝7，4×3＝12即227+===+2（1＝ ，＝ ；（2．-，；（22.【答案】（11【解析】解：（1中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3+==即224-；1，m＝9，n＝20，由于4+5＝9，4×5＝20+==即229=2（2这里m＝19，n＝60，由于15+4＝19，15×4＝60+==即2219-221．（2020·2）﹣2）＝1＝a（a≥0）、＋1）﹣1）＝b﹣1（b≥0）……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们＋1﹣1，＋2中的根号．请完成下列问题：（1（2）计算：；（3的大小，并说明理由．【答案】（12）2＋（3.【解析】解：（1（22＝2＋；（3，，．22．（2020·江苏盐城市期中）先观察下列等式，再回答问题：111111112=+-=+；111112216=+-=+；1111133112=+-=+；（1(直接写出结果)（2）根据上述规律，解答问题：设...m =+++，求不超过m 的最大整数是多少？【答案】（1）1120；（2）不超过m 的最大整数是2019．【解析】解：（1＝1120；（2）m ＝112+116+1112+…+1120192020´＝1×2019+（12+16+112+…+1120192020´）＝2019+（1﹣12+12﹣13+13﹣14+…+1120192020-）＝2019+（1﹣12020）=201920192020，∴不超过m 的最大整数是2019．【拓展提升】1.（2020·相反数；③实数与数轴上的点是一一对应的关系；④两个无理数的和一定是无理数；⑤已知a ＝2，b ＝2，则a 、b 是互为倒数．其中错误的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B .③实数与数轴上的点是一一对应的关系，正确；④两个无理数的和一定是无理数，错误；⑤已知a ＝2，b ＝2，则a 、b 是互为倒数，正确．故答案为：B .2．（2020·偃师市月考）设a 的小数部分，b 的小数部分，则21b a-的值为（ ）A 1-B 1+C 1-D 1【答案】B .-∴a ，∴b ，∴21b a -，故答案为：B ．3．（2021·湖南邵阳市期末）若表示a ，b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示，则化简a b -+的结果等于（ ）A ．2b -B ．2bC ．2a -D ．2a【答案】C .【解析】解：∵由数轴可得a ＜0＜b ，|a |＞|b |，∴a −b ＜0，a ＋b ＜0，∴a b -+＝|a −b |＋|a ＋b |＝b - a −（a ＋b ）＝b - a –a -b=−2a ．故答案为：C ．4.（2020·四川期末）化简，正确的是（ ）A B C D 【答案】C .【解析】解：﹣1x＞0，得x ＜0，x.故答案为：C ．5．（2020·浙江杭州市）化简二次根式 的结果是（ ）A B C D 【答案】B .a +2≤0a ≤-2，原式=a a ==故答案为：B .6．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内，得________.【解析】解：∵310a-³，∴a ＜0，∴===．7．将(0)a a -<化简的结果是___________________.【答案】【解析】解：∵a ＜0∴a －3＜0，∴(a -==故答案为：8．（2020·北京期中）我们学完二次根式后，爱思考的小鲍和小黄提出了一个问题：我们可以算22，23-的值，我们可以算122，233的值吗？金老师说：也是可以的，你们可以查阅资料来进行学习.他们查阅资料后，发现了这样的结论：0)nm a a =³，例如：122=，3248===，那请你根据以上材料，写出123=____________，238=___________.4.【解析】123=，2384===，4．9．（2020·龙口市期中）已知实数a 满足|2014-a a ，那么a -20142+1的值是______ ．【答案】2016.【解析】解：∵a -2015≥0，∴a ≥2015，∴原式可变形为：a =a ，∴a -2015=20142，∴a =20142+2015，∴a -20142+1=20142+2015-20142+1=2016.故答案为：2016.10．（2020·灌南县月考）已知a 满足2019a a -+=．（1有意义，a 的取值范围是；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析，求22019a -的值．【答案】（1）a ≥2020；a -2019；（2）2020.【解析】解：（2）由（1）可知，∵2019a a -+=，∴2019a a -=，2019=，∴220202019a -=，∴202019220a =-.11中发现：首先把437+=，4312´=，即：227+=，=，所以2====问题：（1=__________=____________﹔（2a ，b （a b >），使a b m +=，ab n =，即22m +==﹐那么便有：=__________．（3（请写出化简过程）【答案】（11+；（2)a b >；（3.1；)a b =>；（312．（2020·广东茂名市月考）阅读下述材料：我们在学习二次根式时，熟悉的分母有理化以及应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”:==分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：的大小．可以先将它们分子有理化如下：==>+<-再例如：求y=的最大值．做法如下：解：由20,20x x+³-³可知2x³，而y==当2x=2，所以最大值是2．解决下述问题：（1）比较4-和（2）求y=的最大值和最小值．【答案】（1）4-<-；（2）y的最大值为21-．【解析】解：（1）4-==，-==，而>，4>4\+>+4\-<；（2）由10x-…，10x+…，0x…得01x……，y=++-，∴当x=0有最小值，1，1，所以y的最大值为2；当x=1时，+1-有最小值0，所以y1-．13．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a，b，则面积为12ab，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab+³，当且仅当a b=时取等号．在222a b ab+³中，若0a>，0b>代替a，b得，a b+³，即2a b+³（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求代数式的最小值．我们以“已知x的最小值”为例给同学们介绍．=+，>0>，+³==时取等。
中考数学知识讲解及巩固练习：二次根式的概念和性质(提高)知识讲解
二次根式的概念和性质（提高）知识讲解责编：杜少波【学习目标】1、理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由.2、理解并掌握下列结论：，，，并利用它们进行计算和化简．3、理解并掌握同类二次根式和最简二次根式的概念，能运用二次根式的有关性质进行化简.【要点梳理】要点一、二次根式及代数式的概念1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0) 的式子叫做二次根式，要点诠释：二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.2.代数式：形如5，a，a+b，ab，，x 3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.要点二、二次根式的性质1、； 2.； 3..要点诠释： 1.二次根式(a≥0)的值是非负数。
一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，即2(0a a ≥）.2要注意区别与联系：1).a 的取值范围不同，2中a a 为任意值.2).a ≥0时，2a ；a <0时，2无意义，=a .要点三、最简二次根式（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开放数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.要点四、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似).要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数；(2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式.【典型例题】类型一、二次根式的概念1．（2016春•天津期末）已知y=+﹣4，计算x ﹣y 2的值．【思路点拨】根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式组可得x 的值，进而可求出y的值，然后代入x ﹣y 2求值即可．【答案与解析】解：由题意得：，解得：x=，把x=代入y=+﹣4，得y=﹣4，当x=，y=﹣4时x ﹣y 2=﹣16=﹣14．【总结升华】此题主要考查了二次根式有意义的条件，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数．举一反三【变式】方程480x ，当0y 时，m 的取值范围是（）A．01m B.m ≥2C.2mD.m ≤2【答案】C.类型二、二次根式的性质2.根据下列条件，求字母x的取值范围：(1)；(2).【答案与解析】(1)(2)【总结升华】二次根式性质的运用.举一反三【变式】（2014春•铁东区校级月考）问题探究：因为，所以，因为，所以请你根据以上规律，结合你的以验化简下列各式：（1）；（2）．【答案】解：（1）==；（2）==．3.（2015•罗平县校级模拟）已知，1≤x≤3，化简：=_______.【思路点拨】由题意1≤x≤3，可以判断1﹣x≤0；x﹣3≤0，然后再直接开平方进行求解．【答案】2.【解析】解：∵1≤x≤3，∴1﹣x≤0，x﹣3≤0，∴=x﹣1+3﹣x=2.【总结升华】此题主要考查二次根式的性质和化简，计算时要仔细，是一道基础题．【高清课堂：高清ID 号：381279关联的位置名称（播放点名称）：经典例题4】4.已知c b a ,,为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a=．【答案】a b c .【解析】∵c b a ,,为三角形的三边,0,0,0a b c b c a b c a ,即原式=a b c a c b b c a =a b c .【总结升华】重点考查二次根式的性质：的同时，复习了三角形三边的性质.类型三、最简二次根式5.已知0<a <b .【答案与解析】a b a b=.【总结升华】a 成立的条件是a >0;若a a .类型四、同类二次根式6.如果两个最简二次根式和是同类二次根式，那么a 、b 的值是()A.a =2，b =1 B.a =1，b =2 C.a =1，b =-1 D.a =1，b =1【答案】D.【解析】根据题意，得,解之，得，故选D.【总结升华】同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指数是2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式】若最简根式与根式是同类二次根式，求a、b的值．【答案】同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式不是最简二次根式，因此把化简==|b|×由题意得，∴，∴a=1，b=1.。
二次根式章节知识点题型及巩固习题
二次根式知识点一：二次根式的概念定义：一般地，形如a （a≥0）的代数式叫做二次根式。
”“称为二次根号。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。
例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、x1、x>0）、、、yx 1+、y x +（x ≥0，y •≥0）．知识点二：取值范围1、??二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a ≧0时，a 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、?二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a ﹤0时，a 没有意义。
例2．当x 是多少时，1x 3+在实数范围内有意义？ 例3．当x 是多少时，32x ++1x 1+在实数范围内有意义？ 知识点三：二次根式a （a≥0）的非负性a （a≥0）表示a 的算术平方根，也就是说，a （a≥0））是一个非负数，即a ≥（a≥0）。
注：因为二次根式a（a≥0）表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（a≥0）的算术平方根是非负数，即a ≥（a≥0），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
例4(1)已知y=2x x 2-+-+5，求yx的值． (2)若1b 1a -++=0，求a2004+b 2004的值知识点四：二次根式()2a 的性质()2a =a （a≥0）文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式()2a =a （a≥0）是逆用平方根的定义得出的结论。
例1计算()25223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛227⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 例2在实数范围内分解下列因式:（1）3x 2-（2）4x4-知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
二次根式章节知识点题型及巩固习题
知识点一： 二次根式的概念定义：一般地，形如 品(a >0的代数式叫做二次根式。
1厂”称为二次根号。
注意：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意： 因为负数没有平方根，所以.<■丨是 E 为二次根式的前提条件，如 门」，厂 ，' - ■ ■■- 'V 等是二等都不是二次根式。
例1 •下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式:-2、： 3、1、： x(x>0 )、i 0、4 2、X(x> 0，y? > 0)知识点二：取值范围a 三0时，■a 有意义，是二次根式，所以要使 a<0 时， a 没有意义。
例2 •当x 是多少时， 3x 1在实数范围内有意义？---- 1 例3 •当x 是多少时，..、2x - 3+ 在实数范围内有意义?x +1 知识点三：二次根式 需(a >0的非负性 -•a (a >0表示a 的算术平方根，也就是说，a (a >0 )是一个非负数，即.a >( a >0注：因为二次根式-..a (a 》0表示a 的算术平方根，而正数的算术平方根是正数， o 的算术平方根是 o ，所以非负数 (a >0的算术平方根是非负数，即 、..a >(a >0，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。
例4(1)已知y= •. 2 -x 一丿x -2 +5，求—的值.二次根式次根式，而1、 ??二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当 二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2、 ?二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当y ⑵若.a 1 、b T =o，求a2004+b2004的值知识点四：二次根式Qa2的性质a 2=a (a>0文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式 （j a ）=a （a >0是逆用平方根的定义得岀的结论。
二次根式全章复习与巩固(提高)知识讲解
《二次根式》全章复习与巩固--知识讲解（提高）【知识网络】【要点梳理】知识点一、二次根式的相关概念和性质 1. 二次根式形如(0)a a ≥的式子叫做二次根式，如13,,0.02,02等式子，都叫做二次根式.要点诠释：二次根式a 有意义的条件是0a ≥，即只有被开方数0a ≥时，式子a 才是二次根式，a 才有意义.2.二次根式的性质 （1）； （2）；（3）.要点诠释：（1） 一个非负数a 可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a 2)a =（0a ≥），如2221122););)33x x ===（0x ≥）.（2）2a a 的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，2a . （32a a ，再根据绝对值的意义来进行化简.（42的异同a 可以取任何实数，而2中的a 必须取非负数；a ，2=a （0a ≥）.相同点：被开方数都是非负数，当a 2.3. 最简二次根式1）被开方数是整数或整式；2)被开方数中不含能开方的因数或因式.满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.都是最简二次根式.要点诠释：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小于根指数2. 4.同类二次根式几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.要点诠释：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.根式.知识点二、二次根式的运算 1. 乘除法（1）乘除法法则：类型 法则 逆用法则二次根式的乘法0,0)a b =≥≥积的算术平方根化简公式：0,0)a b =≥≥二次根式的除法0,0)a b =≥>商的算术平方根化简公式：0,0)a b=≥>要点诠释：（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如= （2）被开方数a 、b 一定是非负数（在分母上时只能为正数）.如.2.加减法将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类二次根式.要点诠释：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合并同类二次根式.如23252(135)22+-=+-=-. 【典型例题】类型一、二次根式的概念与性质1． x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ (1)； (2).举一反三： 【变式】已知，求的值.2.把根号外的因式移到根号内，得( ).A ．B ．C ．D ．举一反三：【变式】已知x 为奇数，且=，求•．3. 实数,,a b c 在数轴上对应的点如图：22()1()a c c b a b c --+++. 举一反三：【变式】∆ABC 的三边长为a 、b 、c 22()()a b c a b c --+-= .类型二、二次根式的运算 4．（2015•昆山市一模）计算 （1）（2）（2）．举一反三：【变式】计算5.已知a 、b 、c 为△ABC 的三边长，化简6.若0x >___________x xy xy y xy yx xy+-=+-.举一反三：【变式】当221221123a a a a a a -+-+=-+.《二次根式》全章复习与巩固--巩固练习（提高）一、选择题1．x 是怎样的实数时，212x x --在实数范围内有意义？（ ） A. 122x x >≠且 B. 122x x ≥≠±且 C. 122x x ≠≠±且 D. 122x x ≥≠且2．若，则( ).A ．b ＞3B ．b ＜3C ．b ≥3D ．b ≤33．已知443253x <<+-，那么满足上述条件的整数x 的个数是（ ）.A ．4 B. 5 C. 6 D. 74．若x ＜0，则的结果是( ).A ．0B ．-2C ．0或-2D ．2 5．5220,x y x y-++=-若则的值是( ).A ．-7B ．-5C ．3D ．76．下列计算正确的是（ ）A.B.=2C.（）﹣1=D.（﹣1）2=27．小明的作业本上有以下四题：①；②；③；④. 做错的题是( ).A ．①B ．②C ．③D ．④ 8．()2220,a a a a ≥--时，和相比较，下面四个选项中正确的是（ ）.A.()222a a a =-≥- B. ()222a a a >->-C. ()222a a a <-<- D. ()222a a a ->=-二. 填空题9. 计算=___________.10. 若的整数部分是a ，小数部分是b ，则___________. 11．比较大小①______；②___.（用>或<填空）12. 已知最简根式232a b a b -+-+-2a+b-1与b-2a 是同类根式，则b aa b +的值为___________. 13．若m ＜0，则=___________.14.已知实数a 满足20102011a a a -+-=，则22010a -=____________.15．已知数,,a b c 在数轴上的位置如图所示：则22()a a c c b b -++---=__________. 16．已知x=，则x 2+x+1= ．三 综合题 17． 计算： (1) ()ab bab a b a ab--÷-+ (2)18 已知：，求的值.19已知：20.（2014秋•德惠市期末）某号台风的中心位于O 地，台风中心以25千米/小时的速度向西北方向移动，在半径为240千米的范围内将受影响、城市A 在O 地正西方向与O 地相距320千米处，试问A 市是否会遭受此台风的影响？若受影响，将有多少小时？。
第01讲 二次根式的概念(2个知识点+3类热点题型讲练+习题巩固)(解析版)
第01讲二次根式的概念课程标准学习目标①二次根式的定义②二次根式有无意义的条件1.掌握二次根式的定义，能够熟练判断二次根式。
2.掌握二次根式有无意义的条件，能够根据此条件熟练求值。
知识点01二次根式的定义1.二次根式的定义：一般地，我们把形如()0≥a a 的式子叫做二次根式。
其中叫做二次根号，a 叫做被开方数。
判断一个式子是不是二次根式需判断是不是含有二次根号以及被开方数是否大于等于0。
两者必须同时满足。
【即学即练1】1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：一般地，我们把形如（a ≥0）的式子叫做二次根式．【解答】解：A ．，被开方数是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；B ．，三次根式，故此选项不合题意；C ．，是二次根式，故此选项符合题意；D ．，被开方数有可能是负数，二次根式无意义，故此选项不合题意；故选：C ．知识点02二次根式有无意义的条件1.二次根式有意义的条件：二次根式有意义必须满足二次根式的被开方数大于等于0。
即a 中，a 。
注意：当二次根式存在在分母的位置时，被开方数只能大于零。
【即学即练1】2．若二次根式有意义，则x 的取值范围是（）A ．x ≥6B ．x ≥﹣6C ．x ≤﹣6D ．x ≤6【分析】根据二次根式有意义的条件可得6+x ≥0，再解不等式即可．【解答】解：由题意得：6+x ≥0，解得：x ≥﹣6，故选：B ．题型01判断二次根式【典例1】下列式子是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义：形如（a ≥0）的式子，逐一判断即可解答．【解答】解：A 、无意义，故A 不符合题意；B 、不是二次根式，故B 不符合题意；C 、是二次根式，故C 符合题意；D 、无意义，故D 不符合题意；故选：C ．【变式1】若a 为任意实数，则下列各式中是二次根式的是（）A ．B ．C ．D ．【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．当a＜0时，不是二次根式，故本选项不符合题意；B．当a＜﹣1时，不是二次根式，故本选项不符合题意；C．是二次根式，故本选项符合题意；D．当﹣1＜a＜1时，不是二次根式，故本选项不符合题意．故选：C．【变式2】已知：a、b均为实数，下列式子：①；②；③；④；⑤．其中是二次根式是个数有（）个．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据二次根式的定义（根指数是2，被开方数是非负数）判断即可．【解答】解：二次根式有①③④，共3个，故选：C．【变式3】若是二次根式，则x的取值范围是x≥﹣3．【分析】根据被开方数是非负数，建立不等式求解即可．【解答】解：∵是二次根式，∴x+3≥0，解得：x≥﹣3，故答案为：x≥﹣3．【变式4】若是二次根式，则x的取值范围是（）A．x为非负数B．x≠1C．x≥1D．x＞1【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．【解答】解：根据题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．故选：D．题型02根据二次根式有意义的条件求取值范围【典例1】若式子在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是x≤1．【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【解答】解：根据题意得：﹣x+1≥0，解得：x≤1．故答案为：x≤1．【变式1】若式子有意义，则x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件得出x﹣1≥0且x﹣2≠0，再求出答案即可．【解答】解：要使式子有意义，必须x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．【变式2】若二次根式有意义，则x的取值范围是x＜2．【分析】根据二次根式被开放数为非负数，分式的分母不为零求解即可．【解答】解：∵二次根式有意义，∴2﹣x＞0，解得：x＜2．故答案为：x＜2．【变式3】若代数式有意义，则x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．【分析】根据分式有意义时分母不等于0，二次根式有意义时被开方数大于或等于0列式求解即可．【解答】解：∵x+1≥0，∴x≥﹣1，∵，∴x≠3，∴x的取值范围是x≥﹣1且x≠3．故答案为：x≥﹣1且x≠3．【变式4】若，则（）A．a≥6B．a≥0C．0≤a≤6D．a为一切正实数【分析】由二次根式可知要使有意义，则根号里面的数不能小于0，再进行列式计算即可．【解答】解：由题可知，，解得a≥6，故选：A．【变式5】若＝在实数范围内成立，则x的取值范围是（）A．x≥1B．x≥4C．1≤x≤4D．x＞4【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件进行判断即可．【解答】解：∵＝在实数范围内成立，∴x﹣1≥0，x﹣4＞0，∴x＞4．故选：D．题型03利用二次根式有意义的条件求值【典例1】若，则a+b的值为（）A．1B．0C．﹣1D．2【分析】根据二次根式有意义的条件得出2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，求出b＝2，再代入求出a＝﹣1，最后求出a+b即可．【解答】解：要使有意义，必须2b﹣4≥0且4﹣2b≥0，解得：b＝2，所以a＝0+0﹣1＝﹣1，即a+b＝﹣1+2＝1．故选：A．【变式1】若x，y都是实数，且y＝，则x y的值是（）A．﹣B．C．2D．﹣2【分析】根据二次根式有意义的条件求出x，y的值，再代入x y计算即可．【解答】解：由题意，得，解得x＝，∴y＝﹣1，∴x y＝．故选：C．【变式2】如果实数a满足|2021﹣a|+＝a．那么a﹣20212的值是（）A．2022B．2021C．2020D．2019【分析】根据二次根式（a≥0）确定a的范围，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：a﹣2022≥0，∴a≥2022，∴2021﹣a＜0，∴|2021﹣a|+＝a，∴a﹣2021+＝a，∴＝2021，∴a﹣2022＝20212，∴a﹣20212＝2022，故选：A．【变式3】已知：，则（﹣x）y＝﹣．【分析】根据二次根式为非负数，列不等式组可得x的值，进而得到y的值，代入求值即可．【解答】解：由题意得，解得x＝，∴y＝3，∴（﹣x）y＝（﹣）3＝﹣．【变式4】已知x、y为实数，且，求y﹣x2+17的值．【分析】根据二次根式有意义的条件得出，从而得出x、y的值，代入进行计算即可．【解答】解：根据题意得：，解得：x＝4，∴当x＝4时，y＝2023，∴y﹣x2+17＝2023﹣42+17＝2024．1．下列各式中，一定是二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式的定义分别判断即可．【解答】解：A、的被开方数﹣2＜0，不是二次根式，故此选项不符合题意；B、是三次根式，故此选项不符合题意；C、的被开方数a2+1＞0，是二次根式，故此选项符合题意；D、的被开方数a﹣1有可能小于0，即当a＜1时不是二次根式，故此选项不符合题意；故选：C．2．若式子是二次根式，则a的值不可以是（）A．0B．﹣2C．2D．4【分析】根据二次根式的定义得出a≥0，再得出选项即可．【解答】解：∵式子是二次根式，∴a≥0，即只有选项B符合，选项A、选项C、选项D都不符合，故选：B．3．当a＝﹣2时，二次根式的值为（）A．2B．C．D．±2【分析】把a＝﹣2代入二次根式，即可解决问题．【解答】解：当a＝﹣2时，二次根式＝＝＝2．故选：A．4．当x＝2时，下列二次根式没有意义的是（）A．B．C．D．【分析】根据二次根式有意义的条件：形如（a≥0）的式子叫做二次根式，求解即可．【解答】解：当x＝2时，，，，故选项A、B、C不符合题意；x﹣3＝2﹣3＝﹣1＜0，即没有意义，选项D符合题意．故选：D．5．若有意义，则a的值可以是（）A．﹣1B．0C．2D．6【分析】直接利用二次根式的定义得出a的取值范围，进而得出答案．【解答】解：有意义，则a﹣4≥0，解得：a≥4，故a的值可以是6．故选：D．6．若有意义，则x可以取（）A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数进行求解即可得．【解答】解：由题意得：2x+1≥0，解得，即x可以取的值是0．故选：A．7．已知代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≠1B．x≠0C．x＞0且x≠1D．x≥0且x≠1【分析】根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得到x≥0且，进行计算即可得到答案．【解答】解：根据题意得：x≥0且，解得：x≥0且x≠1，故选：D．8．设x，y为实数，且，则|y﹣x|的值是（）A．1B．9C．4D．5【分析】根据二次根式有题意的条件可求解x，y值，进而可求解|y﹣x|的值．【解答】解：∵，∴5﹣x≥0，5﹣x≤0，∴5﹣x＝0，解得x＝5，∴y＝4，∴|y﹣x|＝|4﹣5|＝1．故选：A．9．二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围在数轴上表示为（）A．B．C．D．【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而在数轴上表示即可．【解答】解：二次根式在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，解得：x≤1，则实数x的取值范围在数轴上表示为：．故选：C．10．已知，则2xyz的相反数是（）A．B．C．D．【分析】根据算术平方根和绝对值的非负性，得出，解之得出x、y、z的值，再把x、y、z的值代入2xyz计算，得出2xyz的值，再根据相反数的定义，即可得出答案．【解答】解：在中，∵，，|x﹣2y|≥0，|z+4y|≥0，∴可得：，解得：，∴，∴2xyz的相反数是．故选：B．11．下列各式：①②③④，其中一定是二次根式的是②④．（只填序号）【分析】根据二次根式的定义逐个判断即可．【解答】解：①（﹣2）3＝﹣8＜0，故不是二次根式；②（﹣2）4＝16＞0，故是二次根式；③的根指数是3，故不是二次根式，④a2+1＞0，故是二次根式；所以一定是二次根式的是②④．故答案为：②④．12．如果是二次根式，那么x应满足的条件是x≥1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣1≥0，解得x≥1．故答案为：x≥1．13．如果，那么x y的值是100．【分析】先根据二次根式的非负性求出x的值，进而求出y的值，再代入x y计算．【解答】解：∵，，∴x＝10，∴，∴x y＝102＝100．故答案为：100．14．如果，那么x+y的平方根为±．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数可得x﹣2＝0，可得x和y的值，再解答即可．【解答】解：∵，∴x﹣2≥0，2﹣x≥0，∴x﹣2＝0，∴x＝2，∴y＝3，∴x+y＝2+3＝5，∴x+y的平方根为±．故答案为：±．15．要使式子有意义，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．【分析】直接利用二次根式有意义的条件、分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：∵要使式子有意义，∴x﹣1≥0且x﹣2≠0，解得：x≥1且x≠2，则实数x的取值范围是x≥1且x≠2．故答案为：x≥1且x≠2．16．当x分别取下列值时，求二次根式的值．（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2．【分析】直接将（1）x＝0；（2）x＝；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式＝＝3；（2）把x＝，代入二次根式＝＝；（3）把x＝﹣2，代入二次根式＝＝5．17．已知实数x，y满足等式，求3x+4y的立方根．【分析】先根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再求出3x+4y的值，即可求出对应的立方根．【解答】解：∵要有意义，∴，∴x＝5，∴，∴3x+4y＝3×5+4×3＝27，∵27的立方根是3，∴3x+4y的立方根是3．18．若x，y是实数，且．（1）求x，y的值；（2）求的值．【分析】（1）根据二次根式有意义的条件进行解题即可；（2）将求出的x与y代入进行求解即可．【解答】解：（1）由题可知，，解得x＝，将x＝代入，解得y＝．故x＝，y＝．（2）将x与y代入得＝＝．19．（1）已知一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，求这个数．（2）已知x，y为实数，且，求的平方根．【分析】（1）先根据正数的两个平方根互为相反数，得出a+3+2a﹣15＝0，求出a的值，得出这个数的一个平方根，即可得出这个正数；（2）先根据二次根式有意义的条件得出x＝9，从而求出y＝4，代入求出，即可得出答案．【解答】解：（1）∵一个正数的两个不同平方根分别是a+3与2a﹣15，∴a+3+2a﹣15＝0，解得a＝4，∴这个数一个平方根为4+3＝7，∴这个数为72＝49；（2）∵x，y为实数，，∴，∴，∴x＝9，∴y＝4，∴＝＝6，∴的平方根为．20．（1）已知2b+1的平方根为±3，3a+2b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．（2）若x、y都是实数，且y＝++8，求x+y的值．【分析】（1）根据平方根的定义列式求出b，再根据算术平方根的定义列式求出a，然后求出a+2b的值，再根据平方根的定义解答即可；（2）由二次根式有意义的条件得到关于x的不等式组，解不等式组即可求出x的值，进一步即可求得结果．【解答】解：（1）∵2b+1的平方根为±3，∴2b+1＝9，解得b＝4，∵3a+2b﹣1的算术平方根为4，∴3a+2b﹣1＝16，解得a＝3，∴a+2b＝3+2×4＝11，∴a+2b的平方根是±．（2）由题意得：，解得，所以x＝3，当x＝3时，y＝8，所以x+y＝3+8＝11．。
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专题04 二次根式概念及其运算基础巩固+技能提升【基础巩固】1．（2019·x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．1≥xC ．1x >D ．1x ≤ 【答案】B.【解析】解：x -1≥0，解得：x ≥1故答案为：B.2．（2020·山西月考）计算：(21-=_____．【答案】13-【解析】解：原式=(2212113-⨯⨯=-故答案为：13-3．（2020·=______．【解析】原式==23---．4．（2020·有意义的实数x 的取值范围是__________． 【答案】x ≤3且x ≠0. 【解析】解：由题意得，3-x ≥0，x ≠0，解得x ≤3且x ≠0，故答案为x ≤3且x ≠0．m=__________．5．（青岛月考）若2,,4【答案】4.【解析】解：∵2，m，4为三角形三边，∴2＜m＜6，原式=|m-2|+|m-6|=m-2-（m-6）=m-2-m+6=4．故答案为4．6．（2020·=___________．【答案】=2.故答案为：27．（2020·浙江杭州市模拟）一个长方形的面积为，其中一边长为边为_________．【答案】3+【解析】解：由题意可得，另一边为(÷=3故答案为：3．8．（2019·威远县月考）当a ＜01a -=_______．【答案】1.【解析】解：∵a ＜0，1a -1a -=｜a -2｜-｜1-a ｜=2-a -1+a=1．故答案为：1．9．（2020·成都月考）若实数x ，y 满足3y =，则x y +的立方根为_______． 【答案】2.【解析】解：由题意得5-x=0，即x=5，y=3，∴x+y=8，故x+y 的立方根为2．10．（2020·四川月考）若24y x =-，则x 的取值范围是__________． 【答案】x ≥1且x ≠2.【解析】解：x -1≥0，2x -4≠0，∴x ≥1且x ≠2.故答案为：x ≥1且x ≠2.11．当a=__________和可以合并． 【答案】3.和和 ∴3a-2=a+4，解得：a=3故答案为：3．12．（2020·辽宁锦州市期中）数轴上，点A 1，点B 表示3，则AB 间的距离___________【答案】 2.【解析】解：两点之间的距离为：|3-1)|=－2，故答案为：－2．13．（2020·平远县期中）(101224-⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】3.【解析】解：原式=1(4)42---+-=3.2+ 【答案】0.【解析】原式=222-+=014．（2020·甘肃兰州市期中）计算（1）（2）﹣1））﹣（1﹣2．【答案】（1）3；（2）11. 【解析】解：（1）原式=（2）原式=()31112211211---=-+=15．（2019·广东月考）如图A ，B ，C 三点表示的数分别为a ，b ，c ．利用图形化简：a b -【答案】0.【解析】解：由已知得， b ＞a ＞c ，所以，a−b ＜0，c−b ＜0，a−c ＞0，原式=b a c b a c ---+-＝b a b c a c --++-＝0．故答案为：0．16()()2233+===+-互为有理化因式，上述解题过程也称为分母有理化．（1的有理化因式是________2的有理化因式是________． （2）将下列式子进行分母有理化：=________=________． （32013++． 【答案】（12；（21；（31．【解析】解：（17=，)221=，22，2．（25==1==．1．（3）原式)(12013=++++120131=++ 17．（2020·湖南广益月考）已知关于x 的方程12111x x -=--的解比2121kx k x x --=-的解多1，求2(k +的值．【答案】7+【解析】解：12111x x -=-- 解得：x =4经检验：x=4是原方程的解∵关于x 的方程12111x x -=--的解比2121kx k x x--=-的解多1 ∴x=4－1=3是2121kx k x x--=-的解，且符合分式有意义的条件 ∴3212313k k --=- 解得：k=2∴2(k +=24(237==++18．（2020·江苏南通月考）计算（1）|2||1-（2(-（3）（4）⎛÷ ⎝【答案】（12；（2）；（3）（4）7【解析】解：（1）原式=2413++-2=；（2）原式(=-(12=⨯-=（3）原式35525=⨯+⨯==；（4）原式2633⎛=⨯⨯+⨯÷ ⎝(=÷7=．19．（1）计算：⎛ ⎝（2)011-+-．【答案】（1）2；（2）1.【解析】解：（1）⎛- ⎝(=÷=2=；（2)0112--+-1=2132133⎛⎫=--- ⎪⎝⎭ 1=．【技能提升】1. 计算（1×+）﹣（1×+ ）A ．12BC ．3D ．2【答案】B.【解析】解：设a原式＝（1﹣a ）（）﹣（1﹣a ）×a ＝﹣a 2a+a 2． 故答案为：B ．2. 若5x =-，则2102x x +-的值为（ ）A ．+1B ．C ．﹣13D ．1【答案】D.【解析】解：原式=（x+5）2-27=28-27=1故答案为：D ．3．（2020·洛阳市月考）若要说明＝3m ”是错误的，则m 的值可以为_____（写出一个m 的值）．【答案】﹣1．（答案不唯一）【解析】解：∵＝3m ”是错误的，∴3m ＜0，∴m ＜0，∴m 的值可以为﹣1．故答案为：﹣1．（答案不唯一）4．（2020·上海市月考）已知x ，y 3=，则x y =_______________；【答案】81.0≥， ∴1102x -≥， ∴x ≥2；0≥， ∴1102x -≥， ∴x ≤2，∴x=2．当x=2时，此时y=9．综上所述：y x =81．故答案为：81．5．（2020·浙江杭州市月考）已知a 是实数，且满足(0a -=，则代数式2241a a -+的值是___________．【答案】1.【解析】解：∵(0a -=，∴a -3=0或2-a=0，∴a=3（舍）或a=2，∴原式=1，故答案为：1．6．（2020·，则x 的取值范围是_____．【答案】﹣5≤x≤0.∴050x x -≥⎧⎨+≥⎩，解得：﹣5≤x ≤0． 故答案为：﹣5≤x ≤0．7．（2020·渠县月考）若a 的倒数是的相反数是0，c 是－1的立方根，则c a b a b b c c a++---＝____________．【答案】【解析】解：由题意得：a=，b=0，c=-1 ∴c a b a b b c c a++---()01=++--=故答案为： 8．（2019·浙江月考）对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．【答案】255.【解析】解：∵，，]=15，需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255．故答案为255．9．（2019·孟津县月考）把根号外的因式移入根号内，得________【答案】a. 【解析】解：∵310a-≥，∴a ＜0， ∴原式=2311()aa a a a--⨯-=--=． 故答案为：a a-． 10．（2019·辽宁葫芦岛市期中）若32x -≤≤时，试化简：()22231025x x x x -+++-+．【答案】10-x.【解析】解：原式=2-x+x+3+5-x =10-x ． 11．（2020·上海市月考）先阅读下列的解答过程，然后再解答：2m n ±a 、b ，使a b m +=，ab n =，使得22)a b m +=a b n =22()m n a b a b±=±=（a b >）．13242-． 76【解析】解：原式222(7)(6)276(76)76+-⨯⨯=-=．12．（2020·重庆市期中）观察下列一组式的变形过程，然后回答问题： 22121212121(21)(21)(2)1---====++--，3232=+4343=-+5454=+（165=+ ；10099=+ ．（2121324310099++++++的值；（3）请利用材料提供的方法，1101+++的值．【答案】（110-）；（2）9；（3）12.【解析】解：（1==-==（2）原式=1)(100++++（3）原式(101++1012-+++. 13．先化简，再求值：2a 12a a +-+，其中a 1010=．如图是小亮与小芳的解答过程：（1）________=________()a 0<；（2）先化简，再求值：x +x 2020=-． 【答案】（1）小亮；-a ；（2）-x+4 ，2024. 【解析】解：（1）当a=1010时，1-a ＜0，-1，即小亮的计算是错误的．故答案为：小亮；-a ．（2）x +=x +22x x +-，∵x=-2020，∴原式=x-2x+4=-x+4=2024.14．阅读下列解题过程：1；-2…则：（1（2（3的大小．【答案】（13；10-（2（3.==；【解析】解：（13==-10（2）由题意可知：=．=，（3>><，故答案为：（13-，10-（2-15．（2020·==也成立，因此他认为一===2=是正确的． （1）你认为他的化简对吗？如果不对，请写出正确的化简过程；（2=成立的条件；（3=是否成立，如果成立，说明成立的条件． 【答案】（1）他的化简不对，正确化简过程见解析；（2）a≥0，b ＞0；（3）a≤0，b ＜0. 【解析】解：（1）他的化简不对，正确的化简过程为：=====2；（2=成立，则a≥0，b ＞0；（3）∵当﹣a≥0，﹣b ＞0=成立，当a≤0，b ＜0=成立． 16．（2020·四川成都期中）请计算下列各题． （1）已知x =，y =，若x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，求ax by +的平方根．（2）已知a ，b ，c 数轴上对应的点如图所示，图中O 为原点，化简：2||b c +．【答案】（1）±1；（2）-2b.【解析】解：（1）2=，2=-， x 的小数部分为a ，y 的整数部分为b ，∴2-，b=0， ∴ax+by=1故ax+by 的平方根为±1. （2）原式=-a -（b -a ）-（b+c ）+c =-2b ．17．（2020·四川期中）先阅读下列的解答过程，然后作答：a 、b 使a b m +=，ab n =，这样22m +==)a b ==>．7m =，12n =；由于437+=，4312⨯=，即227+=312，27437212(43)23．由上述例题的方法化简：（1（2（3【答案】（1（2-；（3【解析】解：（1===（2====（3===18．（2020·高台县月考）化简、计算：（1．（2【答案】（1）；（2）6.【解析】解：（1==4=+4（2=-(32)=6.=-= 19．（2020·广东佛山月考）先阅读，再解答:由222可以看出，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理化因式，有时可以化去分母中的根号，例如：==，请完成下列问题：1的有理化因式是_______；(2)=_____．（直接写结果）>或<）(4)利用你发现的规律计算下列式子的值：)1+【答案】（1+1；（2）3+；（3）<；（4）2017.【解析】解：（11+1；（2333==+；（3=>（4）原式=) 120181+=)11=2018-1=2017．20．（2019·山西阳泉市模考）观察下列各式及证明过程：============（1 （2）针对上述各式反映的规律，写出用n （n 为正整数，且1n ≥）表示的等式．【答案】（1=验证见解析；（2=（n 为正整数，n ≥1）． 【解析】解：（1）猜着：11115456524⎛⎫-=⎪⎝⎭===（2=（n 为正整数，n ≥1）．21．（2020·河南南阳市月考）若x ，y 为实数，且y 12．求xyy x ++2－xyy x +-2的值．【解析】解：由题意得：x=14，y ＝12．x y y x ++2－x y y x +-2＝－当x ＝14，y ＝12．22．若a ，b 都是正整数，且a ＜b 是可以合并的二次根式，是否存在a ，b ，a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】当a ＝3，b ＝48；当a ＝12，b ＝27.， ∴当a=3，则b=48， 当a=12，则b=27．23．仔细阅读以下内容解决问题：第24届国际数学家大会会标，设两条直角边的边长为a ，b ，则面积为12ab ，四个直角三角形面积和小于正方形的面积得：222a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号．在222a b ab +≥中，若0a >，0b >代替a ，b 得，a b +≥2a b+≥（*），我们把（*）式称为基本不等式．利用基本不等式我们可以求函数的最大最小值．我们以“已知x 为实数，求2y =”为例给同学们介绍．解：由题知2y==>>，∴y=≥==时取等号，即当x=时，函数的最小值为总结：利用基本不等式0,0)2a ba b+≥>>求最值，若ab为定值，则+a b有最小值．请同学们根据以上所学的知识求下列函数的最值，并求出取得最值时相应x的取值．（1）若0x>，求函数22y xx=+的最小值；（2）若2x>，求12y xx=+-的最小值；（3）若0x≥，求函数y=的最小值．【答案】见解析.【解析】解：（1）由题知42=222=++y x xx x，∵x>0，∴2x>0∴422=+≥y xx，当且仅当242=xx时取等号，即当x=1时，函数的最小值为4；（2）由题知11=2222=+-++--y x xx x，∴1222=-++≥-y xx，当且仅当12=2xx--时取等号，即当x=3时，函数的最小值为4；（3）由题知292=2+y∵x≥0，22+≥∴26=≥y 2 即x=1时，函数的最小值为6. 24．（2019·四川师范大学附属中学月考）阅读下列材料，然后回答问题．一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：===1)2=1以上这种化简的步骤叫做分母有理化．②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比如我们熟悉的下面这个题：已知 a +b =2，ab = -3 ，求 a 2 + b 2 ．我们可以把a +b 和ab 看成是一个整体，令 x =a +b ， y = ab ，则 a 2 + b 2 = (a + b)2 - 2ab = x 2- 2y = 4+ 6=10．这样，我们不用求出a ，b ，就可以得到最后的结果．（1+...+（2）已知 m 是正整数， ab 且 2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019 ．求 m ．（31=【答案】（1（2）2；（3）9.【解析】解：（1）原式2019=++2019++==（2）∵ab∴222(21),1a b m ab +==+=∵2a 2+ 1823ab + 2b 2 = 2019∴222()18232019a b ++=∴2298a b +=∴24(21)100m +=∴251m =±-∵m 是正整数∴m=2．（31=得出21=20=∵2281=+=0≥≥9=．25．（2020·灌南县月考）已知a 满足2019a a -=．（1有意义，a 的取值范围是 ；则在这个条件下将2019a -去掉绝对值符号可得2019a -=（2）根据（1）的分析，求22019a -的值．【答案】（1）a ≥2020；a -2019；（2）2020.【解析】解：（1∴20200a -≥，∴2020a ≥；∴20190a -<， ∴20192019a a -=-；故答案为：2020a ≥；2019a -；（2）由（1）可知，∵2019a a -=，∴2019a a -=，2019=， ∴220202019a -=， ∴202019220a =-.。