史宁中教授-抽象推理

数的符号表达：简洁、关键是把握问题的本质 （基本概念与运算法则：小学数学核心问题， 高等教育出版社，2013年）
读数的关键：十个符号 + 数位
如何读 2002 符号 0 很重要： 1 ～ 10 → 1 ～ 9 → 0 和 10 相反数： a + b = 0，b 为相反数，表示为 -a 数位与数不同 数位：个(ones)、十(tens)，“十”是十个“个” “万”是十个“千” 数：10 = 9 + 1
从现实世界到数学内部，数学具有一般性 通过推理：数学 → 数学 从假设前提出发，通过推理得到数学的结果 数学内部的发展，数学具有逻辑性 通过模型：数学 → 现实 解决现实世界中的与数量和图形有关的问题 从数学内部到现实世界，数学具有应用性
得到数学的基本特征：
一般性（抽象）、严谨性（逻辑）、应用的广泛性（模型）
演绎推理
演绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。 论证问题的形式是： 已知 A 求证 B
其中 A 和 B 都是确定性命题，没有新的知识
发现知识需要下面两个能力： 从条件预测结果的能力，从结果探究成因的能力 因此，需要归纳推理：从经验过的东西推断未曾经验的东西
归纳推理
归纳推理需要前提：经验或者想象 经验：从个别到一般，从具体到符号 加法交换律 3 + 5 = 8，5 + 3 = 8 → 3 + 5 = 5 + 3 6 + 9 = 15，9 + 6 = 15 → 6 + 9 = 9 + 6 3 + (-2) = 1，(-2) + 3 = 1 → 3 + (-2) = (-2) + 3 → a + b = b + a 结论的正确与否需要演绎证明
现代的教育理念：以人为本、育人为本（纲要） 课程标准 以学生的发展为本 人的成功依赖：知识技能、把握机遇、思维方法
不仅要记住一些数学的知识、掌握一些数学的技能
还要培养学生的数学素养（素质教育）：让学生 感悟数学的基本思想，通过数学教学（数量、图形） 积累基本活动经验：会想问题、会做事情 课程目标：基础知识、基本技能 + 基本思想、基本活动经验 分析问题、解决问题 + 发现问题、提出问题 解决问题 → 问题解决
2. 什么是数学的基本思想
数学是研究数量关系和空间形式的科学 研究对象：数量、图形 研究内容：数量关系、图形关系 数学的基本思想：数学的产生与发展必须依赖的思想 学习过数学与没有学习数学的思维差异 抽象、推理、模型 数学教学的责任：会抽象、会推理
通过抽象：现实 → 数学
把研究对象、以及对象之间的关系形成概念
归纳推理
探究成因 混合运算：先算括号、先乘除后加减 为什么？举例说明 (3 + 2)×6 = 5×6 = 30 3 + 2×6 = 3 + 12 = 18
上： 一队同学，每排3名女生2名男生，共6排，问有多少同学。 下：操场上有3名同学，又来了一队同学，2人一排共6排，问现 在操场上有多少同学。 现在同学数 = 原来同学数 + 后来同学数 = 3 + 2×6 混合运算讲两个以上的故事。 除分数等于乘这个分数的倒数
演绎推理
加上一个正数比原来的数大。 符号表示：对于任意的数 a 和正数 b，有 a + b ＞ a。 因为 b 为正数，所以 b ＞ 0 在上面不等式两边分别加上 a，由命题 2 得到 a + b ＞ a 结论成立。 利用类似的方法可以证明对称命题： 加上一个负数比原来的数小。
演绎推理
减去一个正数等于加上这个正数的相反数 减去一个正数比原来的数小 用数学符号表示这个命题： a - b = a + (-b) 其中b ＞ 0。因为“减法是加法逆运算”： a - b = x ←→ a = b + x 由命题2，在右边等式的两边分别加上（-b）等式不变： a + (-b) = b + (-b) + x。 根据相反数的定义：a + (-b) = x。由命题 1： a - b = x = a + (-b)
模型
抽象：把现实世界（数量、图形、关系）引到数学。 推理：数学内部的发展。 模型：从数学回归到现实世界。 模型是沟通数学与现实世界的桥梁。 模型讲述的是现实世界的故事。
课标中主要要求两个模型
总量模型（加法模型）：总量 = 部分 + 部分 部分 = 总量–部分 → 系列模型：现在 = 过去 + 变化 路程模型（乘法模型）：路程 = 速度 ×时间 速度 = 路程 / 时间
逻辑推理 命题的内涵之间存在一条主线 凡人都有死。苏格拉底是人。苏格拉底有死。 非逻辑推理 命题的内涵之间不存在一条主线 苹果是酸的，酸是一种味道，苹果是一种味道。 两种逻辑推理 演绎推理：命题内涵由大到小。从一般到特殊。 归纳推理：命题内涵由小到大。从特殊到一般。
演绎推理
演绎推理需要前提：公理或者假设。 “数与代数”演绎推理的前提 命题1 等式（不等式）关系具有传递性。 a = b (a ﹥ b），b = c (a ﹥ b） → a = c (a ﹥ c） 命题2 等式（不等式）两边加减相同的量，等式（不等式）不变。 a = b (a ﹥ b） → a + c = b + c (a + c ﹥ b + c） a - c = b - c (a - c ﹥ b - c）
小学数学中的抽象与推理
东北师范大学 史宁中 2013. 10
报告目录
一、数学的基本思想



二、小学数学中的抽象
三、小学数学中的推理
一、数学的基本思想
1. 课程目标：由双基到四基（实现教育理念的转变） 过去的教育理念：以知识为本 教学大纲 关心问题是： 应当教那些内容；应当教到什么程度 考核内容是： 规定的内容是否教了；学生的掌握是否达到要求 教学目标是： 基础知识（概念记忆与命题理解）扎实（记忆） 基本技能（证明技能与运算技能）熟练（训练） 教学形式是： 课堂、教材、教师（凯洛夫的三中心论）
郑板桥：我画的不是我眼中之竹，而是我心中之竹。
三、小学数学中的推理
推理：数学内部的发展依赖的是逻辑推理 数学的结论都是命题 数学命题：可供正确或者错误判断的陈述 可以判断，下面陈述不是数学命题 这个三角形是美的 仅供判断，下面两个陈述都是数学命题 三角形内角和180度 三角形内角和120度 直接推理：对命题的直接判断 一般推理：一个命题判断到另一个命题判断的思维过程
点、线、面的抽象 0 维是点、1 维是线、2 维是面、3 维是体。 日常生活看到的几何图形都是三维的，点线面是抽象的。
角的抽象 角是由两条有公共端点的射线组成的图形。 → 称下面的图形为角。角由两条线段所夹部分组成，这两条 线段的一个端点重合。称这两条线段为角的边，角的大小与 边长无关。 几何作图（画角平分线）的教育价值：培养想象力
演绎推理
减去一个负数等于加上这个负数的相反数。 减去一个负数等于加上一个正数。 减去一个负数比原来的数大。 用数学符号表示这个命题 a - (-b) = a + b 令 x = a + b。等式分别两边加上b的相反数（-b），由命题2 x + (-b) = a + b + (-b) = a 上面等式的两边同时减去(-b)，再由命题2： x + (-b) – (-b) = a – (-b) 因为同样的数相减为 0：x = a – (-b)。由命题1： a - (-b) = a + b
抽象的小结
抽象出数学研究的对象：
把外部世界的数量和数量关系、 图形与图形关系引导数学内部。 概念：自然数、负数、点、线、面、体、角 关系：（代数）数的大小关系，（几何）两点决定一条直线 法则：加法 → 减法、乘法、除法 抽象的东西不存在：现实中没有 2，只有具体的两匹马、两头牛
抽象的东西是理念的存在
归纳推理
类比的方法：几何
一个点把直线分为两个部分。如何表达？
一条直线把平面分为两个部分。如何表达？两条直线呢？
一个平面把空间分为两个部分。如何表达？两个平面呢？ 数学推理：通过归纳推理得到结论，通过演绎推理证明结论。 因为归纳推理和演绎推理都是是逻辑推理， 因此数学的结果具有一般性和严谨性，进而具有应用的广泛性。
如果在我国的中小学数学教育中 一方面保持“数学双基教学”合理的内核，一方面又添 加了“基本思想”和“基本活动经验”，必将会出现既有 “演绎能力”又有“归纳能力”的培养模式。 就必将会出现“外国没有的我们有，外国有的我们也有”的局 面，到了那一天，我们就能自豪地说，中国的基础教育领先于 世界。
谢谢！
二、小学数学中的抽象
数学思想：抽象、推理、模型（不是知识，不靠讲解靠感悟） 教学要点：感悟什么？如何感悟？ 抽象有两种方法：对应、定义 数是对数量的抽象， 同时抽象出关系，从数量的多少到数的大小。 对应：三个苹果、三只鸡 → □□□ ←→ 3 （去掉物理属性） 定义：一个一个多起来（后继数）： 1 = 0 + 1，2 = 1 + 1，3 = 2 + 1，4 = 3 + 1，„ 小学阶段的数学教育： 开始用对应的方法，以后用定义方法 对应：负数 量相等、意义相反 不能用数轴解释、最好不用减法或相反数解释 定义：如何认识 10000：比 9999 多 1，
10000 = 9999 +有两种方法表示加法：对应、定义。
3 + 1 = 4 ？ 4 = 3 + 1 → 3 + 1 = 4 对应： □□□ □□□□ □□□←□ □□□□ → 3 + 1 = 4 定义：□□□←□
哪边多 哪边多？
理解等号的意义：等号两边讲两个故事， 这两个故事量相等（方程）