2017年高考数学分类题库1

、最值

一、选择题

1.(2017·全国甲卷理科·T11)若x=-2是函数f(x)=(2x+ax-1)1x e-的极值点,则f(x)的极小值为()

A.-1

B.-23

e- D.1

e- C.53

【命题意图】导数研究函数的单调性,极值与最值以及不等式的解法.通过求极小值意在考查学生单调性与导数的关系,以及运算能力.

【解析】选A.由题可得f'(x)=(2x+a)1x e-+(2x+ax-1)1x e-=[2x+(a+2)x+a-1]1x e-,

因为f'(-2)=0,所以a=-1,f(x)=(2x-x-1)1x e-,故f'(x)=(2x+x-2)1x e-,

令f'(x)>0,解得x<-2或x>1,所以f(x)在(-∞,-2)和(1,+∞)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,所以f(x)极小值=f(1)=(1-1-1)11

e-=-1.

【方法技巧】求可导函数f(x)的极值的步骤

(1)确定函数的定义区间,求导数f'(x).

(2)求f(x)的拐点,即求方程f'(x)=0的根.

(3)利用f'(x)与f(x)随x的变化情况表,根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值.

2.(2017·浙江高考·T7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()

【解析】选D.由导函数的图象可知函数在(-∞,0)上是先减后增,在(0,+∞)上是先增后减再增,故选D.

3.(2017·山东高考文科·T10)若函数g(x)=e x f(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是()

A.f(x)=2-x

B.f(x)=x2

C.f(x)=3-x

D.f(x)=cosx

【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力.

【解析】选A.A中,g(x)=e x2-x=

2x

e⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为

2

e

>1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M性质,

满足题意,故选A;

B中,g(x)=e x x2,则g'(x)=e x x(x+2),所以g(x)在(-2,0)上单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题意;

C中,g(x)=e x3-x=

3x

e⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为0<

3

e

<1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M性质,不满足题

意;

D中,g(x)=e x cosx,则g'(x)=e x(cosx-sinx),所以g(x)在

5

,

44

ππ

⎛⎫

⎪

⎝⎭

上单调递减,所以f(x)不具

有M性质,不满足题意.

二、填空题

4.(2017·江苏高考·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-错误!未找到引用源。,其中e是自然对数的底数,若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.

【命题意图】考查利用函数性质解不等式,如何利用函数的性质把不等式转化为f(g(x))>f(h(x))的形式,根据函数的单调性去掉“f”,转化为具体的不等式(组)是重点.突出考查考生的应变能力.

【解析】因为f'(x)=3x2-2+e x+e-x≥3x2-2+2错误!未找到引用源。≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,因为f(-x)

=-x 3+2x+错误!未找到引用源。-e x =-f(x),f(a-1)+f(2a 2)≤0,所以2a 2≤1-a,即2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤错误!未找到引用源。,故实数a 的取值范围为错误!未找到引用源。. 答案:错误!未找到引用源。

5.(2017·山东高考理科·T15)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称f(x)具有M 性质,则下列函数中所有具有M 性质的函数的序号为

①f(x)=2-x ;②f(x)=3-x ;③f(x)=x 3;④f(x)=x 2+2

【命题意图】本题考查函数的单调性的判断及导数的应用,意在考查考生应用已有知识分析问题、解决问题的能力.

【解析】①g(x)=e x 2-x =2x

e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为2e >1,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M 性质,满足题意;

②g(x)=e x 3-x =3x

e ⎛⎫ ⎪⎝⎭,因为0<3e <1,所以g(x)单调递减,所以f(x)不具有M 性质,不满足题意; ③g(x)=e x x 3,则g'(x)=e x (x 3+3x 2)=e x x 2(x+3),所以g(x)在(-∞,-3)上单调递减,所以f(x)不具有M 性质,不满足题意;

④g(x)=e x (x 2+2),则g'(x)=e x (x 2+2x+2)>0恒成立,所以g(x)单调递增,所以f(x)具有M 性质,满足题意.

综上,①④满足题意.

答案:①④

三、解答题

6.(2017·北京高考文科·T20)同(2017·北京高考理科·T19)已知函数f(x)=e x cosx-x.

(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程.

(2)求函数f(x)在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上的最大值和最小值.

【命题意图】本题主要考查利用导数研究曲线的切线及求函数最值,意在培养学生的计算能力与分析解决问题的转化能力.

【解析】(1)f(x)=e x ·cosx-x,所以f(0)=1,

所以f'(x)=e x (cosx-sinx)-1,所以f'(0)=0,

所以y=f(x)在(0, f(0))处的切线过点(0,1),k=0,

所以切线方程为y=1.

(2)f'(x)=e x (cosx-sinx)-1,设f'(x)=g(x),

所以g'(x)=-2sinx ·e x ≤0,所以g(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减,所以g(x)≤g(0)=0,所以f'(x)≤0, 所以f(x)在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递减, 所以f(x)max =f(0)=1,f(x)min =f 2π⎛⎫ ⎪⎝⎭=-2

π. 7.(2017·全国丙卷·文科·T21)已知函数f(x)=lnx+ax 2+(2a+1)x.

(1)讨论f(x)的单调性.

(2)当a<0时,证明f(x)≤-

34a -2. 【解析】(1)f'(x)=()22211a a x x

x +++ =()()

211ax x x ++(x>0),

当a ≥0时,f'(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增,

当a<0时,则f(x)在10,2a ⎛⎫- ⎪⎝

⎭上单调递增, 在1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭

上单调递减. (2)由(1)知,当a<0时,f(x)max =f 12a ⎛⎫- ⎪⎝⎭