北京市西城区2012届高三数学4月第一次模拟考试试题 理
北京市西城区2011年高三4月一模数学(理科)试题(WORD精校版)
开始是否i < 输出S结束2i S S =+1i i =+①1,1S i ==北京市西城区2011年高三一模试卷 数 学（理科） 2011. 4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 已知集合{5}A x x =∈<Z ，{20}B x x =-≥，则A B 等于 （A ）(2,5)（B ）[2,5)（C ）{2,3,4}（D ）{3,4,5}2．下列给出的函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是 （A ）2xy =（B ）2y x x =-（C ）2y x = （D ）3y x =3. 设3log 2=a ，3log 4=b ，5.0=c ，则 （A ）a b c <<（B ）b c a <<（C ）c a b <<（D ）b a c <<4．设向量(1,sin )θ=a ，(3sin ,1)θ=b ，且//a b ，则cos2θ等于 （A ）31-（B ）32-（C ）32 （D ）31 5. 阅读右侧程序框图，为使输出的数据为31， 则①处应填的数字为 （A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）76.已知函数①x x y cos sin +=，②x x y cos sin 22=，则下列结论正确的是（A ）两个函数的图象均关于点(,0)4π-成中心对称 （B ）两个函数的图象均关于直线4x π=-成中心对称（C ）两个函数在区间(,)44ππ-上都是单调递增函数（D ）两个函数的最小正周期相同 7．已知曲线1:(0)C y x x=>及两点11(,0)A x 和22(,0)A x ，其中210x x >>.过1A ，2A 分别作x 轴的垂线，交曲线C 于1B ，2B 两点，直线12B B 与x 轴交于点33(,0)A x ，那么 （A ）312,,2x x x 成等差数列 （B ）312,,2x x x 成等比数列 （C ）132,,x x x 成等差数列 （D ）132,,x x x 成等比数列8．如图，四面体OABC 的三条棱OC OB OA ,,两两垂直，2==OB OA ,3=OC ，D 为四面体OABC 外一点.给出下列命题.①不存在点D ,使四面体ABCD 有三个面是直角三角形 ②不存在点D ,使四面体ABCD 是正三棱锥③存在点D ,使CD 与AB 垂直并且相等④存在无数个点D ,使点O 在四面体ABCD 的外接球面上 其中真命题的序号是（A ）①② （B ）②③ （C ）③ （D ）③④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 在复平面内，复数2i1i-对应的点到原点的距离为_____.10.如图，从圆O 外一点P 引圆O 的切线PA 和割线PBC ，已知22PA =，4PC =， 圆心O 到BC 的距离为3，则圆O 的半径为_____.11.已知椭圆:C cos ,()2sin x y θθθ=⎧∈⎨=⎩R 经过点1(,)2m ，则m =______，离心率e =______.12.一个棱锥的三视图如图所示，则这个棱锥的体积为_____.13.某展室有9个展台，现有3件展品需要展出，要求每件展品独自占用1个展台，并且3件展品所选用的展台既不在两端又不相邻，则不同的展出方法有______种；如果进一步要求3件展品所选用的展台之间间隔不超过两个展位，则不同的展出方法有____种.14.已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1135,2n n n n n n kk a a a a a a +++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数.其中为使为奇数的正整数，,当111a =时，100a =______；若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）设ABC ∆中的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，且54cos =B ,2=b . （Ⅰ）当35=a 时，求角A 的度数；（Ⅱ）求ABC ∆面积的最大值. 16．（本小题满分13分）甲、乙、丙三人独立破译同一份密码，已知甲、乙、丙各自破译出密码的概率分别为11,,23p .且他们是否破译出密码互不影响.若三人中只有甲破译出密码的概率为14. （Ⅰ）求甲乙二人中至少有一人破译出密码的概率； （Ⅱ）求p 的值；（Ⅲ）设甲、乙、丙三人中破译出密码的人数为X ，求X 的分布列和数学期望EX .PABCO• OABDC正(主)视图俯视图侧(左)视图344333如图, ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，DE AF //，AF DE 3=，BE 与平面ABCD 所成角为060.(Ⅰ)求证：AC ⊥平面BDE ； (Ⅱ)求二面角D BE F --的余弦值；（Ⅲ）设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得//AM 平面BEF ，并证明你的结论.18. （本小题满分14分）已知函数2(1)()a x f x x -=，其中0a >. （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若直线10x y --=是曲线()y f x =的切线，求实数a 的值； （Ⅲ）设2()ln ()g x x x x f x =-，求()g x 在区间[1,e]上的最大值.（其中e 为自然对数的底数）19. （本小题满分14分）已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过F 的直线交y 轴正半轴于点P ，交抛物线于,A B 两点，其中点A 在第一象限.（Ⅰ）求证：以线段FA 为直径的圆与y 轴相切；（Ⅱ）若1FA AP λ= ,2BF FA λ= ,1211[,]42λλ∈，求2λ的取值范围.A BCD F E定义=),,,(21n a a a τ12231||||||n n a a a a a a --+-++- 为有限项数列{}n a 的波动强度. （Ⅰ）当(1)nn a =-时，求12100(,,,)a a a τ ；（Ⅱ）若数列,,,a b c d 满足()()0a b b c -->，求证：(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤；（Ⅲ）设{}n a 各项均不相等，且交换数列{}n a 中任何相邻两项的位置，都会使数列的波动强度增加，求证：数列{}n a 一定是递增数列或递减数列.北京市西城区2011年高三一模试卷参考答案及评分标准数学（理科） 2011.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBADBCAD二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 2 10. 2 11. 415±，3212. 12 13. 60，48 14.62；1或5 注：11题，13题，14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15.（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为54cos =B ，所以53sin =B . ……………………2分 因为35=a ，2=b ，由正弦定理B b A a sin sin =可得21sin =A . …………………4分因为b a <，所以A 是锐角，所以o30=A . ……………………6分（Ⅱ）因为ABC ∆的面积ac B ac S 103sin 21==， ……………………7分 所以当ac 最大时，ABC ∆的面积最大.因为B ac c a b cos 2222-+=，所以ac c a 58422-+=. ……………………9分 因为222a c ac +≥，所以8245ac ac -≤， ……………………11分 所以10≤ac ，（当10a c ==时等号成立） ……………………12分 所以ABC ∆面积的最大值为3. ……………………13分16.（本小题满分13分）解：记“甲、乙、丙三人各自破译出密码”分别为事件321,,A A A ，依题意有12311(),(),(),23P A P A P A p ===且321,,A A A 相互独立.（Ⅰ）甲、乙二人中至少有一人破译出密码的概率为121()P A A -⋅1221233=-⨯=. …………………3分（Ⅱ）设“三人中只有甲破译出密码”为事件B ，则有()P B =123()P A A A ⋅⋅＝121(1)233pp -⨯⨯-=， …………………5分 所以1134p -=，14p =. ……………………7分（Ⅲ）X 的所有可能取值为3,2,1,0. ……………………8分所以1(0)4P X ==， (1)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅111312111423423424=+⨯⨯+⨯⨯=， (2)P X ==P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅+P 123()A A A ⋅⋅11312111112342342344=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=， (3)P X ==P 123()A A A ⋅⋅＝111123424⨯⨯=. ……………………11分 X 分布列为：X 0 1 23 P14 1124 14 124……………………12分所以，1111113()012342442412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………………13分17.（本小题满分13分）(Ⅰ)证明： 因为DE ⊥平面ABCD ，所以AC DE ⊥. ……………………2分 因为ABCD 是正方形， 所以BD AC ⊥，从而AC ⊥平面BDE . ……………………4分 (Ⅱ)解：因为DE DC DA ,,两两垂直，所以建立空间直角坐标系xyz D -如图所示.因为BE 与平面ABCD 所成角为060，即60DBE ∠=， ………………5分 所以3=DBED. 由3=AD 可知36DE =，6AF =. ………………6分则(3,0,0)A ，(3,0,6)F ，(0,0,36)E ，(3,3,0)B ，(0,3,0)C ，所以(0,3,6)BF =- ，(3,0,26)EF =-， ………………7分设平面BEF 的法向量为=n (,,)x y z ，则00BF EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ，即3603260y z x z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩， 令6z =，则=n (4,2,6). …………………8分因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的法向量，(3,3,0)CA =-，xyBCAEzDFx M所以613cos ,133226CA CA CA ⋅〈〉===⨯n n n . …………………9分 因为二面角为锐角，所以二面角D BE F --的余弦值为1313. ………………10分 (Ⅲ)解：点M 是线段BD 上一个动点，设(,,0)M t t .则(3,,0)AM t t =-，因为//AM 平面BEF ，所以AM ⋅n 0=， …………………11分即4(3)20t t -+=，解得2=t . …………………12分 此时，点M 坐标为(2,2,0)，13BM BD =，符合题意. …………………13分18. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）3(2)()a x f x x -'=，（0x ≠）， ……………3分 在区间(,0)-∞和(2,)+∞上，()0f x '<；在区间(0,2)上，()0f x '>.所以，()f x 的单调递减区间是(,0)-∞和(2,)+∞，单调递增区间是(0,2). ………4分（Ⅱ）设切点坐标为00(,)x y ，则002000030(1)10(2)1a x y x x y a x x -⎧=⎪⎪⎪--=⎨⎪-⎪=⎪⎩ ……………7分（1个方程1分）解得01x =，1a =. ……………8分 （Ⅲ）()g x =ln (1)x x a x --，则()ln 1g x x a '=+-， …………………9分 解()0g x '=，得1e a x -=，所以，在区间1(0,e)a -上，()g x 为递减函数，在区间1(e ,)a -+∞上，()g x 为递增函数. ……………10分当1e1a -≤，即01a <≤时，在区间[1,e]上，()g x 为递增函数，所以()g x 最大值为(e)e e g a a =+-. ………………11分当1ee a -≥，即2a ≥时，在区间[1,e]上，()g x 为递减函数，所以()g x 最大值为(1)0g =. ………………12分当11<e<e a -，即12a <<时，()g x 的最大值为(e)g 和(1)g 中较大者；(e)(1)e e 0g g a a -=+->，解得ee 1a <-， 所以，e1e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-， …………………13分e2e 1a ≤<-时，()g x 最大值为(1)0g =. …………………14分综上所述，当e 0e 1a <<-时，()g x 最大值为(e)e e g a a =+-，当e e 1a ≥-时，()g x 的最大值为(1)0g =.19. （本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由已知(,0)2pF ,设11(,)A x y ，则2112y px =， 圆心坐标为112(,)42x p y +，圆心到y 轴的距离为124x p+， …………………2分 圆的半径为1121()2224FAx p px +=⨯--=， …………………4分 所以，以线段FA 为直径的圆与y 轴相切. …………………5分（Ⅱ）解法一：设022(0,),(,)P y B x y ，由1FA AP λ= ,2BF FA λ=,得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………6分所以1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 由221y y λ=-，得222221y y λ=. 又2112y px =，2222y px =，所以 2221x x λ=. …………………10分 代入221()22p p x x λ-=-，得22121()22p p x x λλ-=-，2122(1)(1)2px λλλ+=+， 整理得122p x λ=， …………………12分代入1112px x λ-=-，得122222p p p λλλ-=-， 所以12211λλλ=-， …………………13分 因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 解法二：设),(),,(2211y x B y x A ，:2pAB x my =+， 将2p x my =+代入22y px =，得2220y pmy p --=， 所以212y y p =-（*）， …………………6分由1FA AP λ= ，2BF FA λ=，得111101(,)(,)2p x y x y y λ-=--，22211(,)(,)22p px y x y λ--=-， …………………7分 所以，1111101,()2px x y y y λλ-=-=-，221221(),22p px x y y λλ-=-=-， …………………8分 将122y y λ-=代入（*）式，得2212p y λ=， …………………10分所以2122p px λ=，122p x λ=. …………………12分代入1112px x λ-=-，得12211λλλ=-. …………………13分因为1211[,]42λλ∈，所以2λ的取值范围是4[,2]3. …………………14分 20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：12100122399100(,,,)||||||a a a a a a a a a τ=-+-++- ………………1分222299198=+++=⨯= . ………………3分（Ⅱ）证明：因为(,,,)||||||a b c d a b b c c d τ=-+-+-，(,,,)||||||a c b d a c c b b d τ=-+-+-，所以(,,,)(,,,)||||||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+-----. ……………4分 因为()()0a b b c -->，所以a b c >>，或a b c <<.若a b c >>，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d a b c d a c b d ττ-=-+--+--||||c b c d b d =-+---当b c d >>时，上式()2()0c b c d b d c b =-+---=-<， 当b d c ≥≥时，上式()2()0c b d c b d d b =-+---=-≤， 当d b c >>时，上式()0c b d c d b =-+---=，即当a b c >>时，(,,,)(,,,)0a b c d a c b d ττ-≤. ………………6分若a b c <<，则(,,,)(,,,)||||a b c d a c b d b a c d c a b d ττ-=-+--+--，||||0b c c d b d =-+---≤.（同前）所以，当()()0a b b c -->时，(,,,)(,,,)a b c d a c b d ττ≤成立. ……………7分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）易知对于四个数的数列，若第三项的值介于前两项的值之间，则交换第二项与第三项的位置将使数列波动强度减小或不变.（将此作为引理）下面来证明当12a a >时，{}n a 为递减数列.（ⅰ）证明23a a >.若231a a a >>，则由引理知交换32,a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾.若2a a a >>３１，则1212212121(,,)||||||||(,,)a a a a a a a a a a a a a a ττ=-+->-+-=３３３３，与已知矛盾. 所以，321a a a >>. ………………9分 （ⅱ）设12(32)i a a a i n >>>≤≤- ，证明1i i a a +>.若i i i a a a >>+-11，则由引理知交换1,+i i a a 的位置将使波动强度减小或不变，与已知矛盾. 若i i i a a a >>-+11，则211211(,,,)(,,,)i i i i i i i i a a a a a a a a ττ--+--+=，与已知矛盾. 所以，1+>i i a a . …………11分 （ⅲ）设121n a a a ->>> ，证明1n n a a ->. 若1n n a a ->，考查数列121,,,,n n a a a a - ，则由前面推理可得122n n n a a a a -->>>> ，与121n a a a ->>> 矛盾. 所以，1n n a a ->. ……………12分 综上，得证.同理可证：当12a a <时，有{}n a 为递增数列. ………………13分。
北京市西城区2012年高三二模试卷
北京市西城区2012年高三二模试卷数学（理科）（西城二模）（时间：120分钟总分：150分）第1卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合,0|{},1log |{2C x x B x x A <<=<=其中>c }.0若,B B A = 则C 的取值范围是( )]1,0.(A ),1.[∝+B ]2,0.(C ),2(.∝+D2．执行如图所示的程序框图，若输入如下四个函数：)(x f ①;)(;)(;1-+=-==x x x f e x f e x x ③② -=x x f )(④.1-x 则输出函数的序号为 ( )A.① B．② C.③ D．④3．椭圆ϕϕϕ(sin 5,cos 3⎩⎨⎧==y x 是参数）的离心率是 ( )53.A 54.B 259.C 2516.D 4．已知向量),4,(),1,(x b x a -==其中.R x ∈则,,2=x 是”“b a |的 ( ) A 充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件5．下图是1，2两组各7名同学体重(单位：kg)数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为 ,21x x 和标准差依次为1s 和⋅2s 那么 ( ) （注：标准差,])(...)()[(122221x x x x x x ns n -++-+-=其中x 为n x x x ,,,21 的平均数）2121,.s s x x A >> 2121,.s s x x B <> 2121,.s s x x C << 2121,.s s x x D ><6．已知函数,1)(+=kx x f 其中实数k 随机选自区间[-2，1].对0)(],1,0[≥∈∀x f x 的概率是 （ ）31.A 21.B 32.C 43.D 7．某大楼共有12层，有11人在第1层上了电梯，他们分别要去第2至第12层，每层1人.因特殊原因，电梯只允许停1次，只可使1人如愿到达，其余10人都要步行到达所去的楼层．假设这10位乘客的初始“不满意度”均为O ，乘客每向下步行1层的“不满意度”增量为1，每向上步行1层的“不满意度”增量为2，10人的“不满意度”之和记为 S ，则S 的最小值是 ( )A ．42B ．41 C. 40 D ．398．对数列},{n a 如果*N k ∈∃及,,,,21R k ∈λλλ 使=+k n a n k n k n a k a a λλλ++-+-++ 2211成立，其中 *,N n ∈则称}{n a 为k 阶递归数列．给出下列三个结论：①若}{n a 是等比数列，则}{n a 为1阶递归数列; ②若}{n a 是等差数列，则}{n a 为2阶递归数列；③若数列}{n a 的通项公式为=n a ,2n 则}{n a 为3阶递归数列．其中，正确结论的个数是 ( )0.A 1.B 2.C 3.D第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上．9．在△ABC 中，,3,2,3π===A AC BC 则B=10．已知复数z 满足,1).1(=-z i 则=z11.如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙0的切线，PB 交AC 于点E ，交⊙0于点D ．若=∠=A B C PE PA ,,9,1,60==PB PD 则PA= ；EC=12．已知函数1)(2++=bx x x f 是R 上的偶函数，则实数b= ；不等式||)1(x x f <-的解集为13. 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，该几何体的体积是 ；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积是 ．14.曲线C 是平面内到定点F(O ，1)和定直线L ：y=一1的距 离之和等于4的点的轨迹，给出下列三个结论：①曲线C 关于y 轴对称；②若点P(x ，y)在曲线C 上，则≤||y ;2③若点P 在曲线C 上，则.4||1≤≤PF 其中，所有正确结论的序号是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数 .sin )6(cos )(22x x x f --=π (I)求)12(πf 的值； (Ⅱ)若对于任意的],2,0[π∈x 都有,)(c x f ≤求实数C 的取值范围．16.（本小题共14分）如图，直角梯形ABCD 与等腰直角三角形ABE 所在的平面互相垂直．⊥AB CD AB ,//.,22BC,EB EA BC CD AB ⊥==(I)求证：.DE AB ⊥(Ⅱ)求直线EC 与平面ABE 所成角的正弦值．(Ⅲ)线段EA 上是否存在点F ，使EC∥平面FBD?若存在，求出;EAEF 若不存在，说明理由．17.（本小题共13分）甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是,53乙能答对其中的5道题，规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．(I)求乙得分的分布列和数学期望；(Ⅱ)求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．18.（本小题共13分）已知抛物线x y 42=的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(I)若⋅=,2求直线AB 的斜率；(Ⅱ)设点M 在线段AB 上运动，原点0关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值． 19．（本小题共14分）已知函数,112)(22+-+=x a ax x f 其中a .R ∈ (I)当a=l 时，求曲线)(x f y =在原点处的切线方程；(Ⅱ)求)(x f 的单调区间；(Ⅲ)若)(x f 在区间),0[+∞上存在最大值和最小值，求a 的取值范围．20．（本小题共13分）若0(21==i n n a a a a A 或,1,1=i ),,,2n 则称n A 为O 和1的一个n 位排列．对于,n A 将排列121-n n a a a a 记为);(1n A R 将排列211--n n n a a a a 记为);(2n A R 依此类推，直至⋅=n n n A A R )(对于排列),1,,2,1)((-=n i A R A n i n 和它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做)(n i n A R A 和的相关值，记作)).(,(n i n A R A t 例如=3A ,110则.1))(,(,011)(31331-==A R A t A R若),1...21(1))(,(-=-=n i A R A t n i n ，，， 则称n A 为最佳排列．（I ）写出所有的最佳排列;3A (Ⅱ)证明：不存在最佳排列;5A (Ⅲ)若某个k A k (12+是正整数）为最佳排列，求排列12+k A 中1的个数.。
考点14 解三角形(教师版) 新课标
4．（海淀区高三年级第二学期期末练习文）在 中，若 ， ， 的面积为 ，则 =.
5．(北京市西城区2012届高三下学期二模试卷理)在△ 中， ， ， ，则 ___ __．
【答案】 ；
【解析】利用正弦定理可知：
6．在 中， ，AB=5，BC=7，则 的面积S=
7．（怀化2012高三第三次模拟考试文）（本小题满分12分）
考点14解三角形
【高考再现】
热点一、利用正余弦定理在三角形中求三角函数值、求角、求边长
1．（2012年高考（重庆文））设△ 的内角 的对边分别为 ,且 ,则 ____
2．（2012年高考（天津理））在 中,内角 , , 所对的边分别是 ,已知 , ,则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2012年高考（陕西理））在 中,角 所对边长分别为 ,若 ,则 的最小值为（ ）
6．(教材习题改编)在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有()
A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定
【名校模拟】
一．基础扎实
1．(2012·长沙模拟)在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，
已知A＝ ，a＝ ，b＝1，则c等于()
A．1B．2C. －1 D.
2．(2012·福州质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a＝1，c＝4 ，B＝45°，则sinC等于()
2．利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．
热点三、利用正余弦定理求三角形面积
1．（2012年高考（山东文））(本小题 满分12分)
北京市西城区2013—2014学年度高三年级第一学期期末数学理科
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷高三数学（理科）2014.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．设集合{|02}A x x =<<，1{|||}B x x =≤，则集合A B = （ ） （A ）(0,1)（B ）(0,1]（C ）(1,2)（D ）[1,2)3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . 若3a =，2b =，1cos()3A B +=，则c =（ ） （A ）4（B（C ）3（D4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ） （A ）34 （B ）45（C ）56（D ）12．已知复数z 满足2i=1iz +，那么z 的虚部为（ ） （A ）1-（B ）i -（C ）1（D ）i5．已知圆22:(1)(1)1C x y ++-=与x 轴切于A 点，与y 轴切于B 点，设劣弧»AB 的中点为M ，则过点M 的圆C 的切线方程是（ ） （A）2y x =+-（B）1y x =+-（C）2y x =-+（D）1y x =+-6． 若曲线221ax by +=为焦点在x 轴上的椭圆，则实数a ,b 满足（ ） （A ）22a b > （B ）11a b< （C ）0a b <<（D ）0b a <<7．定义域为R 的函数()f x 满足(1)2()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，2()f x x x =-，则当[2,1]x ∈--时，()f x 的最小值为（ ） （A ）116-（B ） 18-（C ） 14-（D ） 08. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为P 在对角线1BD 上，过点P 作垂直于1BD 的平面α，记这样得到的截面多边形（含三角形）的周长为y ，设BP =x ， 则当[1,5]x ∈时，函数()y f x =的值域为（ ）（A） （B） （C） （D）第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 在平面直角坐标系xOy 中，点(1,3)A ，(2,)B k -，若向量OA AB ⊥，则实数k = ____． 10．若等差数列{}n a 满足112a =，465a a +=，则公差d =______；24620a a a a ++++= ______．11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）13． 如图，,B C 为圆O 上的两个点，P 为CB 延长线上一点，PA 为圆O 的切线，A 为切点. 若2PA =，3BC =，则PB =______；ACAB=______．1侧(左)视图14．在平面直角坐标系xOy 中，记不等式组220,0,2x y x y x y +⎧⎪-⎨⎪+⎩≥≤≤所表示的平面区域为D .在映射,:u x y T v x y =+⎧⎨=-⎩的作用下，区域D 内的点(,)x y 对应的象为点(,)u v . （1）在映射T 的作用下，点(2,0)的原象是 ； （2）由点(,)u v 所形成的平面区域的面积为______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知函数()f x x ω=，π()sin()(0)3g x x ωω=->，且()g x 的最小正周期为π.（Ⅰ）若()2f α=[π,π]α∈-，求α的值； （Ⅱ）求函数()()y f x g x =+的单调增区间.16．（本小题满分13分）以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以a 表示．（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求a 的值； （Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；（Ⅲ）当2a =时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望．17．（本小题满分14分）如图，在多面体ABCDEF 中，底面ABCD 是边长为2的菱形， 60=∠BAD ，四边形BDEF 是矩形，平面BDEF ⊥平面ABCD ，BF =3， H 是CF 的中点.（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求直线DH 与平面BDEF 所成角的正弦值； （Ⅲ）求二面角H BD C --的大小.甲组 乙组 891 a822 F CEHD18．（本小题满分13分）已知函数()()e xf x x a =+，其中e 是自然对数的底数，a ∈R . （Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）当1a <时，试确定函数2()()g x f x a x =--的零点个数，并说明理由.19．（本小题满分14分）已知,A B 是抛物线2:W y x =上的两个点，点A 的坐标为(1,1)，直线AB 的斜率为k ， O 为坐标原点. （Ⅰ）若抛物线W 的焦点在直线AB 的下方，求k 的取值范围；（Ⅱ）设C 为W 上一点，且AB AC ⊥，过,B C 两点分别作W 的切线，记两切线的交点为D ，求OD 的最小值.20．（本小题满分13分）设无穷等比数列{}n a 的公比为q ，且*0()n a n >∈N ，[]n a 表示不超过实数n a 的最大整数（如[2.5]2=）,记[]n n b a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 的前n 项和为n T . （Ⅰ）若114,2a q ==，求n T ； （Ⅱ）若对于任意不超过2014的正整数n ，都有21n T n =+，证明：120122()13q <<. （Ⅲ）证明：n n S T =（1,2,3,n =L ）的充分必要条件为1,a q N N **挝.北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2014.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．B 2．C 3．D 4．B 5．A 6．C 7．A 8．D 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．4 10．125511． 12．24 13．1 214．(1,1) π注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为π()sin()(0)3g x x ωω=->的最小正周期为π， 所以2||ωπ=π，解得2ω=． ……………… 3分由 ()2f α=22α=， 即 cos 22α=， ……… 4分 所以 π22π4k α=±，k ∈Z . 因为 [π,π]α∈-， 所以7πππ7π{,,,}8888α∈--. ……………… 6分（Ⅱ）解：函数 π()()2sin(2)3y f x g x x x =+=+-ππ2sin 2cos cos 2sin 33x x x =+- ……………… 8分1sin 222x x =πsin(2)3x =+， ……………10分 由 2πππ2π2π232k k x -++≤≤， ………………11分 解得 5ππππ1212k k x -+≤≤． ………………12分所以函数()()y f x g x =+的单调增区间为5ππ[ππ]()1212k k k -+∈Z ,.…………13分16．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：依题意，得 11(889292)[9091(90)]33a ++=+++， ……………… 2分解得 1a =. ……………… 3分 （Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件A ， ……………… 4分依题意 0,1,2,,9a = ，共有10种可能. ……………… 5分 由（Ⅰ）可知，当1a =时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，所以当2,3,4,,9a = 时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分 所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率84()105P A ==． ……………… 7分 （Ⅲ）解：当2a =时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有339⨯=种， 它们是：(88,90)，(88,91)，(88,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)，(92,90)，(92,91)，(92,92)， ……………… 9分则这两名同学成绩之差的绝对值X 的所有取值为0,1,2,3,4. ……………… 10分 因此2(0)9P X ==，2(1)9P X ==，1(2)3P X ==，1(3)9P X ==，1(4)9P X ==. ……………… 11分所以随机变量X 的分布列为：………………12分所以X 的数学期望221115()01234993993E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．……………13分 17．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形，所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. …………… 3分 因为 ED BD D = ，所以 AC ⊥平面BDEF . …………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点，所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ，由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间直角坐标系. ……… 5分 因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -，(1,0,3)F，C，13()22H . ………………6分因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF的法向量AC =. …………7分设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()222BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩ 令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则00(01(3)1cos ,232ED ED ED⋅⨯+⨯+⨯-<>===-⨯n n n . ………………13分 由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：因为()()e xf x x a =+，x ∈R ，所以()(1)e x f x x a '=++． ……………… 2分 令()0f x '=，得1x a =--． ……………… 3分 当x 变化时，()f x 和()f x '的变化情况如下：……………… 5分故()f x 的单调减区间为(,1)a -∞--；单调增区间为(1,)a --+∞．………… 6分 （Ⅱ）解：结论：函数()g x 有且仅有一个零点. ……………… 7分理由如下：由2()()0g x f x a x =--=，得方程2e x ax x -=，显然0x =为此方程的一个实数解.所以0x =是函数()g x 的一个零点. ……………… 9分 当0x ≠时，方程可化简为e x ax -=.设函数()ex aF x x -=-，则()e 1x a F x -'=-，令()0F x '=，得x a =．当x 变化时，()F x 和()F x '的变化情况如下：即()F x 的单调增区间为(,)a +∞；单调减区间为(,)a -∞．所以()F x 的最小值min ()()1F x F a a ==-. ………………11分 因为 1a <，所以min ()()10F x F a a ==->， 所以对于任意x ∈R ，()0F x >， 因此方程e x a x -=无实数解．所以当0x ≠时，函数()g x 不存在零点.综上，函数()g x 有且仅有一个零点. ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：抛物线2y x =的焦点为1(0,)4. ……………… 1分由题意，得直线AB 的方程为1(1)y k x -=-， ……………… 2分 令 0x =，得1y k =-，即直线AB 与y 轴相交于点(0,1)k -. ……………… 3分 因为抛物线W 的焦点在直线AB 的下方， 所以 114k ->， 解得 34k <. ……………… 5分 （Ⅱ）解：由题意，设211(,)B x x ，222(,)C x x ，33(,)D x y ，联立方程21(1),,y k x y x -=-⎧⎨=⎩ 消去y ，得210x kx k -+-=，由韦达定理，得11x k +=，所以 11x k =-. ……………… 7分 同理，得AC 的方程为11(1)y x k-=--，211x k =--. ……………… 8分对函数2y x =求导，得2y x '=，所以抛物线2y x =在点B 处的切线斜率为12x ，所以切线BD 的方程为21112()y x x x x -=-， 即2112y x x x =-. ……………… 9分 同理，抛物线2y x =在点C 处的切线CD 的方程为2222y x x x =-.………………10分联立两条切线的方程2112222,2,y x x x y x x x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ 解得12311(2)22x x x k k +==--，3121y x x k k==-，所以点D 的坐标为111((2),)2k k k k---. ………………11分 因此点D 在定直线220x y ++=上. ………………12分因为点O 到直线220x y ++=的距离d ==所以5OD ≥，当且仅当点42(,)55D --时等号成立． ………………13分 由3125y k k =-=-，得k =.所以当k =OD………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由等比数列{}n a 的14a =，12q =， 得14a =，22a =，31a =，且当3n >时，01n a <<. ……………… 1分所以14b =，22b =，31b =，且当3n >时，[]0n n b a ==. ……………… 2分即 ,6, 2,4, 17, 3.n n n T n ==⎧⎪=⎨⎪⎩≥ ……………… 3分（Ⅱ）证明：因为 201421()n T n n =+≤，所以 113b T ==，120142(2)n n n b T T n -=-=≤≤. ……………… 4分 因为 []n n b a =，所以 1[3,4)a ∈，2014[2,3)(2)n a n ∈≤≤. ……………… 5分 由 21a q a =，得 1q <. ……………… 6分 因为 201220142[2,3)a a q =∈，所以 20122223qa >≥，第 11 页 共 11 页 所以 2012213q <<，即 120122()13q <<. ……………… 8分 （Ⅲ）证明：（充分性）因为 1a N *Î，q N *Î， 所以 11n n a a q N -*= ，所以 []n n n b a a == 对一切正整数n 都成立.因为 12n n S a a a =+++L ，12n n T b b b =+++L ，所以 n n S T =. ……………… 9分 （必要性）因为对于任意的n N *Î，n n S T =，当1n =时，由1111,a S b T ==，得11a b =；当2n ≥时，由1n n n a S S -=-，1n n n b T T -=-，得n n a b =.所以对一切正整数n 都有n n a b =.由 n b Z Î，0n a >，得对一切正整数n 都有n a N *Î， ………………10分 所以公比21a q a =为正有理数. ………………11分 假设 q N *Ï，令p q r=，其中,,1p r r N *?，且p 与r 的最大公约数为1. 因为1a 是一个有限整数，所以必然存在一个整数()k k N Î，使得1a 能被k r 整除，而不能被1k r+整除. 又因为111211k k k k a p a a q r++++==，且p 与r 的最大公约数为1. 所以2k a Z +Ï，这与n a N *Î（n N *Î）矛盾.所以q *∈N .因此1a N *Î，q *∈N . ……………13分。
北京市西城区2024届高三下学期4月统一测试数学试卷(解析版)
西城区高三统一测试试卷数学2024.4本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.已知全集U =R ，集合{}{}3,22A x x B x x =<=-≤≤，则U A B =I ð（）A.()2,3 B.()(),22,3-∞-⋃ C.[)2,3 D.][(),22,3-∞-⋃【答案】B【解析】【分析】利用补集和交集运算求解即可.【详解】因为集合{}22B x x =-≤≤，所以{2U B x x =<-ð或}2x >，又集合{}3A x x =<，所以U A B =I ð{2x x <-或}23x <<=()(),22,3∞--⋃.故选：B2.下列函数中，既是偶函数又在区间()0,∞+上单调递增的是（）A.2y x x=+ B.cos y x =C.2xy = D.2log y x =【答案】D【解析】【分析】利用奇偶函数的判断方法及基本函数的单调性，对各个选项逐一分析判断，即可得出结果.【详解】对于选项A ，当1x =时，112y =+=，当=1x -时，110y =-=，即(1)(1)f f -≠，所以选项A 不满足题意，对于选项B ，因cos y x =在区间()0,∞+上不单调，所以选项B 不满足题意，对于选项C ，因为2x y =图象不关于y 轴对称，所以选项C 不满足题意，对于选项D ，因为2log y x =的定义域为()(),00,∞-+∞U ，关于原点对称，又22()log log ()f x x x f x -=-==，所以2log y x =为偶函数，当0x >时，22log log y x x ==，又2log y x =在区间()0,∞+上单调递增，所以选项D 满足题意，故选：D.3.622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为A.60- B.15-C.15D.60【答案】D【解析】【分析】写出二项式展开通项，整理后令x 的指数为0，得到相应的项数，然后算出常数项.【详解】622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为()663166222rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令630r -=，得到2r =所以622x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为()226260C -=，故选D 项.【点睛】对二项式展开通项的考查，题目难度不大，考查内容比较单一，属于简单题.4.已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（）A.=1x - B.2x =-C.1y =- D.=2y -【答案】C【解析】【分析】由对称性可得曲线C 方程，求出准线方程即可.【详解】因为抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，所以将,x y 互换后可得抛物线C 方程为24x y =，即242p p =⇒=，所以C 的准线方程为12p y =-=-，故选：C.5.设()11,,2a t b t c t t t t =-=+=+，其中10t -<<，则（）A.b a c <<B.c<a<bC.b<c<aD.c b a<<【答案】C【解析】【分析】借助正负性、对勾函数的性质及二次函数的性质判断即可得.【详解】由10t -<<，故()1,1t ∈-∞-，故10a t t =->，由对勾函数性质可得()1112b t t =+<-+=-，()20c t t =+<，且()()2222111c t t t t t =⋅+=+=+-≥-，综上所述，有b<c<a .故选：C.6.已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（）A.1- B.1 C.7- D.7【答案】A【解析】【分析】得出()1,3a b -=- 、()2,1c = 后借助向量数量积的坐标运算法则计算即可得.【详解】由图可得()1,3a b -=- ，()2,1c = ，故()()12311c a b ⋅-=⨯+-⨯=- .故选：A.7.已知函数()2,20x x x f x x c ⎧+-<<⎪=⎨≤<⎪⎩，若()f x 存在最小值，则c 的最大值为（）A.116 B.18 C.14 D.12【答案】A【解析】【分析】运用二次函数的性质求得20x -<<的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可.【详解】当20x -<<时，2211()24f x x x x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，故当12x =-时，()f x 有最小值为14-；0x c ≤<时，()f x =()0f x <≤，由题意()f x 存在最小值，则14≥-，解得1016c <≤，即c 的最大值为116.故选：A8.在等比数列{}n a 中，00n a >．则“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.【详解】设等比数列{}n a 的公比为0q ≠，当001n n a a +>时，即有00n n a q a >⋅，又00n a >，故1q <且0q ≠，当1q <-时，有0002311n n n a q a a +++=>，故不能得到0013n n a a ++>，即“001n n a a +>”不是“0013n n a a ++>”的充分条件；当0013n n a a ++>时，即有0002311n n n a q a a +++=<，即21q <且0q ≠，则001n n a q a +=⋅，当()1,0q ∈-时，由00n a >，故010n a +<，故001n n a a +>，当()0,1q ∈时，0001n n n a q a a +=⋅<，亦可得001n n a a +>，故“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要条件；综上所述，“001n n a a +>”是“0013n n a a ++>”的必要不充分条件.故选：B.9.关于函数()sin cos2f x x x =+，给出下列三个命题：①()f x 是周期函数；②曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③()f x 在区间[)0,2π上恰有3个零点．其中真命题的个数为（）A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【分析】选项①，根据条件得到()2π()f x f x +=，即可判断出①的正误；选项②，根据条件得出(π)()f x f x -=，根据对称轴的定义，即可得出②的正误；选项③，令()0f x =，直接求出x 的值，即可得出③的正误，从而得出结果.【详解】对于①，因为()sin cos2f x x x =+，所以()2πsin(2π)cos2(2π)sin cos2()f x x x x x f x +=+++=+=，故2πT =，所以选项①正确，对于②，因为(π)sin(π)cos2(π)sin cos2()f x x x x x f x -=-+-=+=，由对称轴的定义知，π2x =为函数()f x 的一条对称轴，所以选项②正确，对于③，因为()2sin cos22sin sin 1f x x x x x =+=-++，令()0f x =，得到22sin sin 10x x -++=，解得1sin 2x =-或sin 1x =，又[)0,2πx ∈，由1sin 2x =-，得到7π6x =或11π6x =，由sin 1x =，得到π2x =，所以选项③正确，故选：D.10.德国心理学家艾·宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的趋势可由函数0.2710.6y t =-近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为（）（参考数据：lg20.30,lg30.48≈≈）A.2小时B.0.8小时C.0.5小时D.0.2小时【答案】C【解析】【分析】根据题设得到0.2756t =，两边取对数求解，即可得出结果.【详解】根据题意得0.27110.62t =-，整理得到0.2756t =，两边取以10为底的对数，得到5lg 0.27lg 6t =，即1lg 32lg 20.27lg t --=，又lg20.30,lg30.48≈≈，所以8lg 27t =-，得到827100.5t -=≈，故选：C.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分．11.若复数z 满足(12i)3i z +=+，则z =______【答案】【解析】【分析】利用复数的除法公式计算1i z =-，再计算模长即可.【详解】(12i)3i z +=+，则()()()()3i 12i 3i 55i 1i 12i 12i 12i 5z +-+-====-++-，故z ==..12.已知(),0,παβ∈．使()()tan tan αβαβ+<-成立的一组,αβ的值为α=__________；β=__________．【答案】①.π3②.π3（答案不唯一）【解析】【分析】任取一组(),0,παβ∈，验证是否满足()()tan tan αβαβ+<-即可得.【详解】取π3αβ==，此时()2πtan tan 03αβ+=<，()tan tan00αβ-==，故()()tan tan αβαβ+<-，符合要求.故答案为：π3；π3（答案不唯一）.13.双曲线22:13y M x -=的渐近线方程为__________；若M 与圆222:()0O x y r r +=>交于,,,A B C D 四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则r =__________．【答案】①.y =②.【解析】【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.【详解】由22:13y M x -=，故其渐近线方程为1y x =±=；令(),A m n ，由题意可得m n =，即有2213m m -=，解得232m =，故222232r m n m ===+，即r =.故答案为：y =14.在数列{}n a 中，122,3a a ==-.数列{}n b 满足()*1n n n b a a n +=-∈N.若{}nb 是公差为1的等差数列，则{}n b 的通项公式为n b =______，n a 的最小值为______.【答案】①.6n -②.13-【解析】【分析】求出等差数列{}n b 的首项，直接求出{}n b 的通项公式即可，利用数列{}n a 的单调性得最小项为6a ，利用累加法即可求解.【详解】由题意1215b a a =-=-，又等差数列{}n b 的公差为1，所以()5116n b n n =-+-⋅=-；故16n n a a n +-=-，所以当6n ≤时，10n n a a +-≤，当6n >时，10n n a a +->，所以123456789a a a a a a a a a >>>>>=<<<⋅⋅⋅，显然n a 的最小值是6a .又16n n a a n +-=-，所以()()()()()612132435465a a a a a a a a a a a a =+-+-+-+-+-()()()()()25432113=+-+-+-+-+-=-，即n a 的最小值是13-.故答案为：6n -，13-15.如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直．点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动．设2,1AB AF ==，给出下列四个结论：①存在点,P Q ，使3PQ =；②存在点,P Q ，使//CQ EP ；③到直线AD 和EF 的距离相等的点P 有无数个；④若PA PE ⊥，则四面体PAQE 体积的最大值为13．其中所有正确结论的序号是__________．【答案】①③④【解析】【分析】建立适当空间直角坐标系后，借助空间向量研究位置关系，结合距离公式、三棱锥体积公式逐项判断即可得.【详解】建立如图所示空间直角坐标系A FBD -，则有()0,0,0A 、()1,0,0F 、()0,2,0B 、()0,0,2D 、()0,2,2C 、()1,2,0E ，设()0,,P m n ，(),,0Q s t ，其中0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，对①：(),,PQ s t m n =-- ，则()222PQ s t m n =+-+ ，当1s =，2t n ==，0m =时，有1443PQ =++=，故存在点,P Q ，使3PQ =，故①正确；对②：(),2,2CQ s t =-- ，()1,2,EP m n =-- ，若//CQ EP ，则有()()222s m t sn ⎧-=--⎨=⎩，由0,,2m n t ≤≤，01s ≤≤，故当2sn =时，1s =，2n =，此时有()22m t -=--，即4m t +=，即2m t ==，此时Q 与E 重合，P 与C 重合，故不存在点,P Q ，使//CQ EP ，故②错误；对③：点P 到直线AD 的距离为m ，点P 到直线EF 的距离为，即有m =221m n -=，由0,2m n ≤≤，故其轨迹为双曲线的一部分，即点P 有无数个，故③正确；对④：()0,,AP m n = ，()1,2,EP m n =-- ，由PA PE ⊥，故有()220m m n -+=，则()[]22110,1n m =--∈，又1112122AB AQE FE S S ≤=⨯⨯= 矩形，故11113313P AQE AQE V S n -⨯≤⨯⨯==⨯ ，故④正确.故答案为：①③④.【点睛】关键点点睛：第④个结论的关键点在于借助四面体的体积公式，分别求出高与底面三角形的最大值.三､解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==，D 为BC 的中点．（1）求证：1//A C 平面1AB D ；（2）若1A C AB ⊥，求二面角11D AB A --的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3-【解析】【分析】（1）根据线线平行证明面面平行；（2）向量法求二面角.【小问1详解】如图，连接1A B ，设11A B AB E = ，连接DE ．因为在三棱柱111ABC A B C -中，四边形11A ABB 是平行四边形，所以E 为1A B 的中点．因为D 为BC 的中点，所以1//DE AC ．又因为1A C ⊄平面1AB D ，DE ⊂平面1AB D ，所以1AC 平面1AB D ．【小问2详解】因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，又1AC AC C ⋂=，1AC ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ，所以AB ⊥平面11A ACC ，又因1AA ⊂平面11A ACC ，所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以AB ，AC ，1AA 两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,0,0A ，()12,0,2B ，()1,1,0D ，()0,2,0C ．所以()12,0,2AB = ，()1,1,0AD = ．设平面1AB D 的法间量为(),,m x y z = ，则100m AB m AD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2200x z x y +=⎧⎨+=⎩，令=1x -，则1y =，1z =于是()1,1,1m =- ．因为AC ⊥平面11A ABB ，所以()0,2,0AC = 是平面11A ABB 的一个法向量．所以cos ,3m AC m AC m AC⋅== ．由题设，二面角11D AB A --的平面角为钝角，所以二面角11D AB A --的余弦值为3-．17.在ABC 中，tan 2sin a B b A =．（1）求B ∠的大小；（2）若8a =，再从下列三个条件中选择一个作为已知，使ABC 存在，求ABC 的面积．条件①：BC ；条件②：2cos 3A =-；条件③：7b =．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）π3B ∠=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）借助正弦定理计算即可得；（2）选条件①或③：借助余弦定理与面积公式计算即可得；不可选条件②，不存在这样的ABC .【小问1详解】由tan 2sin a B b A =，得sin 2sin cos a B b A B =，在ABC 中，由正弦定理得sin sin 2sin sin cos A B A B B =，因为sin 0,sin 0A B >>，所以1cos 2B =，又0πB <∠<，所以π3B ∠=；【小问2详解】选条件①：BC ：设BC 边中点为M ，连接AM，则4AM BM ==，在ABM 中，由余弦定理得2222cos AM AB BM AB BM B =+-⋅⋅，即2π21168cos 3AB AB =+-⋅，整理得2450AB AB --=，解得5AB =或1AB =-（舍），所以ABC的面积为11πsin 58sin 223ABC S AB BC B =⋅⋅=⨯=，选条件③：7b =：在ABC 中，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即222π7816cos3c c =+-⋅，整理得28150c c -+=，解得3c =或5c =，当3c =时，ABC的面积为11πsin 83sin 223ABC S ac B ==⨯⨯= ．当5c =时，ABC的面积为11πsin 85sin 223ABCS ac B ==⨯⨯=△．不可选条件②，理由如下：若2cos 3A =-，故A为钝角，则5sin 3A ==，则38sin 12152sin 53a Bb A ⨯===，224325b a =>，即b a >，其与A 为钝角矛盾，故不存在这样的ABC .18.10米气步枪是国际射击联合会的比赛项目之一，资格赛比赛规则如下：每位选手采用立姿射击60发子弹，总环数排名前8的选手进入决赛．三位选手甲､乙､丙的资格赛成绩如下：环数6环7环8环9环10环甲的射出频数11102424乙的射出频数32103015丙的射出频数24101826假设用频率估计概率，且甲､乙､丙的射击成绩相互独立．（1）若丙进入决赛，试判断甲是否进入决赛，说明理由；（2）若甲､乙各射击2次，估计这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率；（3）甲､乙､丙各射击10次，用()1,2,3i X i =分别表示甲､乙､丙的10次射击中大于a 环的次数，其中{}6,7,8,9a ∈．写出一个a 的值，使()()()321D X D X D X >>．（结论不要求证明）【答案】（1）甲进入决赛，理由见解析（2）13100（3）7a =或8【解析】【分析】（1）分别计算出甲和丙射击成绩的总环数，进行比较即可判断.（2）先根据题中数据，用频率估计概率分别得出甲、乙命中9环的概率和甲、乙命中10环的概率；再根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率公式即可求解.（3）根据题意可知()1,2,3i X i =服从二项分布，利用二项分布求出每一个a 对应的()()()321,,D X D X D X 即可解答.【小问1详解】甲进入决赛，理由如下：丙射击成绩的总环数为26471081892610542⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，甲射击成绩的总环数为16171082492410549⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．因为549542>，所以用样本来估计总体可得甲进入决赛．【小问2详解】根据题中数据：“甲命中9环”的概率可估计为242605=；“甲命中10环”的概率可估计为242605=；“乙命中9环”的概率可估计为301602=；“乙命中10环”的概率可估计为156041=．所以这4次射击中出现2个“9环”和2个“10环”的概率可估计为：222221122212121113.5452524100C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯+⨯+⨯⨯⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【小问3详解】7a =或8．根据题中数据：当6a =时，在每次射击中，甲击中大于6环的的概率为5960p =；在每次射击中，乙击中大于6环的的概率为5760p =；在每次射击中，丙击中大于6环的的概率为5860p =；由题意可知：15910,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25710,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()15915901060603600D X =⨯⨯=，()257317101060603600D X =⨯⨯=，()358211601060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.当7a =时，在每次射击中，甲击中大于7环的的概率为5860p =；在每次射击中，乙击中大于7环的的概率为5560p =；在每次射击中，丙击中大于7环的的概率为5460p =；由题意可知：15810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，25510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，35410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()158211601060603600D X =⨯⨯=，()255527501060603600D X =⨯⨯=，()354632401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当8a =时，在每次射击中，甲击中大于8环的的概率为4860p =；在每次射击中，乙击中大于8环的的概率为4560p =；在每次射击中，丙击中大于8环的的概率为4460p =；由题意可知：14810,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，24510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，34410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1481257601060603600D X =⨯⨯=，()2451567501060603600D X =⨯⨯=，()3441670401060603600D X =⨯⨯=，满足()()()321D X D X D X >>.当9a =时，在每次射击中，甲击中大于9环的的概率为2460p =；在每次射击中，乙击中大于9环的的概率为1560p =；在每次射击中，丙击中大于9环的的概率为2660p =；由题意可知：12410,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，21510,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，32610,60X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭.此时()1243686401060603600D X =⨯⨯=，()2154567501060603600D X =⨯⨯=，()3263488401060603600D X =⨯⨯=，不满足()()()321D X D X D X >>.所以7a =或8．19.已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b+=>>的一个顶点为()2,0A -，离心率为12．（1）求椭圆G 的方程；（2）设O 为原点．直线l 与椭圆G 交于,C D 两点（,C D 不是椭圆的顶点），l 与直线2x =交于点E ，直线,AC AD 分别与直线OE 交于点,M N ．求证：=OM ON ．【答案】（1）22143x y +=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）结合题意，列出方程组计算即可得；（2）设直线l 为y kx m =+，联立椭圆方程可得与横坐标有关韦达定理，借助C 、D 两点坐标可表示出M x 、N x ，计算可得0M N x x +=，即可得解.【小问1详解】由题意可得222212a c a a b c=⎧⎪⎪=⎨⎪-=⎪⎩，解得21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆G 的方程为22143x y +=；【小问2详解】由题意可知直线l 的斜率存在，设其方程为y kx m =+．则()2,2E k m +，直线OE 的方程为2m y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由223412y kx m x y =+⎧⎨+=⎩，得()2224384120k x kmx m +++-=，由()22Δ48430k m =-+>，得2243m k <+，设()()1122,,,C x y D x y ，则21212228412,4343km m x x x x k k -+=-=++，直线AC 的方程为()1122y y x x =++，联立直线AC 和OE 得()11222y m x k x x ⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭，解得()()11111114244422M kx m y y x m mx k mx k k x y +===++⎛⎫++- ⎪⎝⎭，同理可得()2244N kx m x mx k +=+，所以()()()()()()12211244444M N kx m mx k kx m mx k x x mx k mx k ++++++=⨯++，因为()()()()122144kx m mx k kx m mx k +++++()()221212248kmx x k m x x km =++++()()()22222222412848430434343km m km k m km k k k k -++=-+=+++，所以0M N x x +=，即点M 和点N 关于原点O 对称，所以OM ON =．.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()()1122,,,x y x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，注意∆的判断；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12x x +、12x x （或12y y +、12y y ）的形式；（5）代入韦达定理求解.20.已知函数()()1ln e x f x x ax x a=++．（1）当1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率；（2）当1a =-时，讨论()f x 的单调性；（3）若集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素，求a 的值．【答案】（1）2e 2+（2）单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-（3）1a e =-【解析】【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求出结果；（2）对函数求导得到()()11e x f x x x ⎛⎫=+-⎪⎝⎭'，由函数()f x 定义域知1e 0x x -<，再利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果；（3）对函数求导得到()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，再分0a >和a<0两种情况讨论，利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，结合条件，即可求出结果.【小问1详解】当1a =时，()ln e xf x x x x =++，所以()()111e x f x x x=+++',得到()12e 2f '=+，所以曲线()y f x =在点()(1,)1f 处切线的斜率为2e 2+．【小问2详解】当1a =-时，()()ln e xf x x x x =+--，易知()f x 的定义域为(),0∞-，又()()()1111e 1e x x f x x x x x ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭'，因为(),0x ∈-∞，所以1e 0x x -<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<所以()f x 的单调递增区间为(),1-∞-；单调递减区间为()1,0-．【小问3详解】因为()()1ln e x f x x ax x a =++，所以()()1e 1x f x x x a ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭'，易知0a ≠，当0a >时，()f x 的定义域为()0,∞+，所以()0f x ¢>恒成立，故()f x 在()0,∞+上单调递增，又12111e 0a f a a a⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，所以0a >不合题意，当0a <时，()f x 的定义域为(),0∞-，此时1e 0xx a+<，所以(),1x ∈-∞-时，()0f x ¢>，()1,0x ∈-时，()0f x '<，故()f x 的单调递增区间为(),1-∞-，单调递减区间为()1,0-，所以()()max 1()11ln ef x f a a =-=-+--．设()()11ln (0)e g x x x x =-+--<，则()2211e 1e e x g x x x x +=+='，当1,e x ∞⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()0g x '<，1,0e x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()0g x '>，所以()g x 的单调递减区间为1,e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；单调递增区间为1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭．所以min 1()1e g x g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以集合(){}1xf x ≥-∣有且只有一个元素时1a e =-．【点睛】方法点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般有三个方法：一是分离参数法,使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过对具体函数的研究确定含参式子满足的条件；二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论；三是数形结合法，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图像确定条件.21.对正整数3,6m n ≥≥，设数列{}()12:,,,,0,11,2,,n i A a a a a i n ∈= .B 是m 行n 列的数阵，ij b 表示B 中第i 行第j 列的数，{}()0,11,2,,;1,2,,ij b i m j n ∈== ，且B 同时满足下列三个条件：①每行恰有三个1；②每列至少有一个1；③任意两行不相同．记集合{11220i i n in i a b a b a b +++= 或}3,1,2,,i m = 中元素的个数为K ．（1）若111000:1,1,1,0,0,0,101100000111A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求K 的值；（2）若对任意{},1,2,,(),p q n p q B ∈< 中都恰有r 行满足第p 列和第q 列的数均为1．①B 能否满足3m r =？说明理由；②证明：()21424K n n ≥-．【答案】（1）2K =（2）①不满足，理由见解析；②证明见解析【解析】【分析】（1）记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，计算出1t 、2t 、3t 即可得；（2）①由题意可得B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，亦可得其为2n rC 个，当3m r =时，可得2C 9n=，此方程无解，故不满足；②满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，亦可得其为()rx n x -，即有()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，借助该等式表示出K 后放缩即可得.【小问1详解】记1122i i i n in t a b a b a b =+++ ，则11112123134145156163t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，21212223234245256262t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，31312323334345356360t a b a b a b a b a b a b +=+++=+，故2K =；【小问2详解】①B 不满足3m r =，理由如下：假设B 满足3m r =，因为B 的每行恰有三个1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有3m 个，另一方面，从B 中任选两列共有2C n 种可能，且对任意两列，都恰有r 行使得这两列的数均为1，故B 中满足1ip iq b b ==的(),,i p q 的个数共有2n rC 个，所以23C n m r =，当3m r =时，得2C 9n =，此方程无解，所以B 不满足3m r =；②由①可得23C nm r =，即2C 3n r m =，下面考虑满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数：对B 中满足0i t ≠和3的m K -行，每行恰有两组(),p q 使1ip iq b b ==且p q a a ≠，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()2C 223n r m K K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，设数列A 中有x 项为1,n x -项为0，满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),p q 的个数为()x n x -，所以满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为()rx n x -，所以()2C 23n r rx n x K ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，所以()()222C 33326n rx n x r r K x nx n n -=-=-+-()2222233146426424r n n r n n n n n n ⎛⎫⎛⎫≥-+-=-≥- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，关键点在于结合定义，得到满足1ip iq b b ==，但p q a a ≠的(),,i p q 的个数为2C 23n r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭且为()rx n x -.。
精品解析：北京市西城区2012届第一学期期末考试数学(理)试题解析(学生版)
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．复数i1i =+（ ）（A ）1i 22+（B ）1i 22-（C ）1i 22-+（D ）1i 22--2．已知圆的直角坐标方程为2220x y y +-=．在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ） （A ）2cos ρθ= （B ）2sin ρθ= （C ）2cos ρθ=-（D ）2sin ρθ=-3．已知向量(3,1)=a ，(0,2)=-b .若实数k 与向量c 满足2k +=a b c ，则c 可以是（ ） （A ）(3,1)-（B ）(1,3)--（C ）(3,1)--（D ）(1,3)-4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）（A ）3（B ）6- （C ）10（D ）15-5．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,2,220,x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+-≥⎩那么22x y +的取值范围是（ ）（A ）[1,4] （B ）[1,5] （C ）4[,4]5（D ）4[,5]56．已知,a b ∈R ．下列四个条件中，使a b >成立的必要而不充分的条件是（ ） （A ）1a b >- （B ）1a b >+ （C ）||||a b >（D ）22a b >7．某几何体的三视图如图所示，该几何体的体积是（ ） （A ）8 （B ）83（C ）4 （D ）438．已知点(1,1)A --．若曲线G 上存在两点,B C ，使A B C △为正三角形，则称G 为Γ型曲线．给定下列三条曲线：①3(03)y x x =-+≤≤； ② 22(20)y x x =--≤≤； ③ 1(0)y x x=->．其中，Γ型曲线的个数是（ ） （A ）0 （B ）1（C ）2 （D ）3第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 函数21()log f x x=的定义域是______．10．若双曲线221x ky -=的一个焦点是(3,0)，则实数k =______．11．如图，P A 是圆O 的切线，A 为切点，P B C是圆O 的割线．若32P A B C=，则P B B C=______．12. 已知{}n a 是公比为2的等比数列，若316a a -=，则1a = ；22212111naaa+++= ______．13. 在△A B C 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若25b =，4B π∠=，5sin 5C =，则c = ；a = ．14. 有限集合P 中元素的个数记作c a r d ()P .已知c a rd ()10M =，A M ⊆， B M ⊆，A B =∅ ，且card()2A =，card()3B =.若集合X 满足A X M ⊆⊆，则集合X 的个数是_____；若集合Y 满足Y M ⊆，且A Y ⊄，B Y ⊄，则集合Y 的个数是_____.（用数字作答）三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15.（本小题满分13分）已知函数2()3sin sin cosf x x x x=+，π[,π]2x∈.（Ⅰ）求()f x的零点；（Ⅱ）求()f x的最大值和最小值.16.（本小题满分13分）盒中装有7个零件，其中2个是使用过的，另外5个未经使用.（Ⅰ）从盒中每次随机抽取1个零件，每次观察后都将零件放回盒中，求3次抽取中恰有1次抽到使用过的零件的概率；（Ⅱ）从盒中随机抽取2个零件，使用后．．．放回盒中，记此时盒中使用过的零件个数为X，求X 的分布列和数学期望.18.（本小题满分13分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b ab+=>>的一个焦点是(1,0)F ，且离心率为12.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设经过点F 的直线交椭圆C 于,M N 两点，线段M N 的垂直平分线交y 轴于点0(0,)P y ，求0y 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知函数)1ln(21)(2x axx x f +--=，其中a ∈R .（Ⅰ）若2x =是)(x f 的极值点，求a 的值； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间；（Ⅲ）若)(x f 在[0,)+∞上的最大值是0，求a 的取值范围.20.（本小题满分13分）已知数列12:,,,n n A a a a .如果数列12:,,,n n B b b b 满足1n b a =，11k k k k b a a b --=+-， 其中2,3,,k n = ，则称n B 为n A 的“衍生数列”.（Ⅰ）若数列41234:,,,A a a a a 的“衍生数列”是4:5,2,7,2B -，求4A ；（Ⅱ）若n 为偶数，且n A 的“衍生数列”是n B ，证明：n B 的“衍生数列”是n A ； （Ⅲ）若n 为奇数，且n A 的“衍生数列”是n B ，n B 的“衍生数列”是n C ，….依次将数列n A ，n B ，n C ，…的第(1,2,,)i i n = 项取出，构成数列:,,,i i i i a b c Ω .证明：i Ω是等差数列.。
北京市西城区2009届高三一模(数学理)
北京市西城区 2009届高三4月抽样测试高三数学试卷（理科） 2009.4本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.共150分.考试时间120分钟.第Ⅰ卷(共40分)一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{3,4},{2,3,5A B ==，那么集合()U A Bð等于（ ）A. {1,2,3,4,5}B. {3,4}C. {1,3,4}D. {2,3,4,5}2. 设i 是虚数单位，复数tan 45z =-oi sin 60×o，则2z 等于（ ）A. 74-B.14-C. 74+D.14+3. 若数列{}n a 是公比为4的等比数列，且12a =，则数列2{log }n a 是（ ）A. 公差为2的等差数列B. 公差为lg 2的等差数列C. 公比为2的等比数列D. 公比为lg 2的等比数列4. 设a 为常数，函数2()43f x x x =-+. 若()f x a +为偶函数，则a 等于（ ）A. -2B. 2C. -1D. 15. 已知直线a 和平面a ，那么//a a 的一个充分条件是（ ）A. 存在一条直线b ，//,a b b a ÌB. 存在一条直线b ，,a b b a ^^C. 存在一个平面,,//a ββαβ⊂D. 存在一个平面,,a ββαβ⊥⊥ 6. 与直线40x y --=和圆22220x y x y ++-=都相切的半径最小的圆的方程是（ ）A. 22(1)(1)2x y +++=B. 22(1)(1)4x y +++=C. 22(1)(1)2x y -++=D. 22(1)(1)4x y -++= 7．设 ,a b ÎR ， 且(1)<0b a b ++，(1)<0b a b +-，则 ( )A. 1a >B. 1a <-C. 11a -<<D. ||1a >8. 函数f (x )的定义域为D ，若对于任意12,x x D Î，当12x x <时，都有12()()f x f x £，则称函数()f x 在D 上为非减函数 .设函数f (x )在[0，1]上为非减函数，且满足以下三个条件： ○1(0)0f =； ○21()()32xf f x =； ○3(1)1()f x f x -=-.则11()()38f f +等于（ ）A.34B.12 C. 1 D. 23北京市西城区 2009年抽样测试高三数学试卷（理科） 2009.4第Ⅱ卷( 共110分)二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9.222324limx x x x ®-+-的值等于___________.10. 522()x x+的展开式中2x 的系数是___________；其展开式中各项系数之和为________.(用数字作答)11. 不等式|21|||x x ->的解集为_____________.12. 设O 为坐标原点，向量 (1,2)O A =. 将O A 绕着点 O 按逆时针方向旋转 90得到向量 OB , 则2OA OB +的坐标为____________.13. 给出下列四个函数：① sin cos y x x =+； ② sin cos y x x =-； ③ sin cos y x x = ； ④ sin cos x y x=.其中在)2,0(π上既无最大值又无最小值的函数是_________________.（写出全部正确结论的序号）14. 已知函数()f x 由下表给出：其中(0,1,2,3,4)k a k =等于在01234,,,,a a a a a 中k 所出现的次数. 则4a =______________；0123a a a a +++=___________.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）某个高中研究性学习小组共有9名学生，其中有3名男生和6名女生. 在研究学习过程中，要进行两次汇报活动（即开题汇报和结题汇报），每次汇报都从这9名学生中随机选1人作为代表发言. 设每人每次被选中与否均互不影响.（Ⅰ）求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率；（Ⅱ）设x 为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值，求x 的分布列和数学期望.16.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A 在x 轴正半轴上，直线AB 的倾斜角为34p ，|OB |=2,设3,(,)24A O Bp pq q ? .（Ⅰ）用q表示点B的坐标及||OA；（Ⅱ）若4tan3q=-，求O A O B×uur uu u r的值.17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，90,//,B C D A B C D?o又1,2,AB BC PC PB CD AB PC=====^.（Ⅰ）求证：P C^平面A B C D；（Ⅱ）求二面角B-PD-C的大小；（Ⅲ）求点B到平面PAD的距离.18.（本小题满分14分）设a∈R，函数2()(1)2(1)ln(1)f x x a x=--+-+.（Ⅰ）若函数()f x在点(0,(0))f处的切线方程为41y x=-，求a的值；BD CP（Ⅱ）当a <1时，讨论函数()f x 的单调性.19.（本小题满分14分） 已知椭圆C 22:14yx +=，过点M (0, 3)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A 、B .（Ⅰ）若l 与x 轴相交于点N ，且A 是MN 的中点，求直线l 的方程；（Ⅱ）设P 为椭圆上一点, 且OA OB OP λ+=(O 为坐标原点). 求当||A B <实数λ的取值范围.20.（本小题满分14分）设3m >，对于有穷数列{}n a (1,2,,n m =L ), 令k b 为12,,,k a a a L 中的最大值，称数列{}n b 为{}n a 的“创新数列”. 数列{}n b 中不相等项的个数称为{}n a 的“创新阶数”. 例如数列2,1,3,7,5的创新数列为2,2,3,7,7，创新阶数为3.考察自然数1,2,,(3)m m >L 的所有排列，将每种排列都视为一个有穷数列{}n c . （Ⅰ）若m =5, 写出创新数列为3,4,4,5,5的所有数列{}n c ；(Ⅱ) 是否存在数列{}n c ，使它的创新数列为等差数列？若存在，求出所有的数列{}n c ，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，求它们的首项的和.北京市西城区 2009年抽样测试参考答案高三数学试卷（理科） 2009.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 9.1410. 10，243 11. 1{|1}3x x x ><或 12. (0,5) 13. ○2○4 14. 0,5注：两空的题目，第一个空3分，第二个空2分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：记 “2次汇报活动都是由小组成员甲发言” 为事件A . -----------------------------1分由题意，得事件A 的概率111()9981P A =?，即2次汇报活动都是由小组成员甲发言的概率为181.---------------------------5分（Ⅱ）解：由题意，ξ的可能取值为2,0, ----------------------------6分每次汇报时，男生被选为代表的概率为3193=，女生被选为代表的概率为12133-=.0202022211115(2)C ()(1)C ()(1)33339P x ==-+-=； 1112114(0)C ()(1)339P x ==-=； 所以，x 的分布列为：---------------------------10分x的数学期望541020999E x =??.---------------------------12分16.（本小题满分12分）（Ⅰ）解：由三角函数的定义，得点B 的坐标为(2cos ,2sin )q q . ---------------------------1分在A O B V 中，|OB |=2，3,444B A O B p p p p q q ??--=-，由正弦定理，得||||sin sin4O B O A Bp =Ð||3sin()42O A p q =-，所以3||)4O A p q =-.---------------------------5分注：仅写出正弦定理，得3分. 若用直线AB 方程求得||2(sin cos )OA q q =+也得分.（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得3||||cos )cos 4O A O BO A O B p q q q ?鬃- uur uu u ruur uu u r ， ------------------7分因为43tan ,(,)324p p q q =- ， 所以43sin ,cos 55q q ==-，----------------------------9分又333sin()sincos cos sin 444p p p q q q -=?34()(2525=--10=，---------------------------11分所以312()15O O B ?-=-uru u.---------------------------12分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：在P B C V 中，1,BC PC PB ===222B C P C P B \+=，90PCB \?o，即P C B C ^， ---------------------------1分,A B P C A BB C B^=Q I ， P C \^平面A .---------------------------4分（Ⅱ）方法一：解：由（Ⅰ）知P C B C ^，又,BC CD PC CD C ^=I ，B C \^平面P，---------------------------5分如图，过C 作C M P D ^于M ，连接BM ，C M \是BM 在平面PCD 内的射影， B M P D \^，又C M P D ^C M B\ 为二面角B -PD -C 的平面角.---------------------------7分在P C D V 中, 90PCD?o, PC=1, 2C D =，PD \=又C MP D^，P D C MP C C D \? ，5PC C D C M PD×\==. ---------------8分在C M B V 中, 90BCM?o, BC=1, 5C M =tan 2BC C M BC M\?=\二面角B -PD -C的大小为ar t an 2. ---------------------------9分 方法二：解：如图，在平面ABCD 内，以C 为原点， CD 、CB 、CP 分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系C -xyz ， 则(0,0,0),(0,1,0),(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0)C BD P A ,---------------------------5分过C 作C M D P ^于M ，连接BM ，设(,,)M x y z ，则(,,),(2,,),(2,MC x y z DM x y z DP =---=-=-uuu ruuu u ruuu rA BD CPM 你的首选资源互助社区M C DP^uuu r uuu r Q ，20M C DPx z \?-=uuu r uuu r ； ○1,DM DP uuu u r uuu rQ 共线，20,2x y z -\==-， ○2由○1○2，解得24,0,55x y z ===，M \点的坐标为24(,0,)55，24(,1,)55M B =--uuu r ，24(,0,)55M C =--uuu r ，440055M B D P ?+-=uuu r uuu r Q ,M B D P \^，又C M D P ^，C M B\ 为二面角B -PD -C 的平面角.---------------------------7分 24(,0,)55M C =--uuu rQ ，24(,1,)55M B =--uuu r ，2c o s 3||||M B M C C M B M B M C ×\?=×u u ur u u ur u u ur u u ur ，\二面角B -PD -C 的大小为2a r cc o s 3.--------------------------9分（Ⅲ）解：设点B 到平面PAD 的距离为h ， A B B C ^Q，AC \=P C ^Q 平面ABCD ，PC AC \^，PA \=在直角梯形ABCD 中，1,1,2AB BC C D ===，AD \=在PAD V中，AD =QPA PD ==\222A D P A P D+=，90PAD \?o，P A D\V 的面积122PAD S AD PA=?V ，---------------------------10分Q 三棱锥B -PAD 的体积B PADP ABDV V --=，13P A D S h\鬃V 13A B D S P C=鬃V ，---------------------------12分1(11)122h创 ，解得6h =，\点B 到平面PAD的距离为6.---------------------------14分 18.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：函数()f x 的定义域为(1,)-+ ， ---------------------------1分22()221a f x x x -¢=-+++2221x ax -+=+.---------------------------4分因为(f '=，所以2a =.---------------------------5分（Ⅱ）解：当0a <时，因为210,220x x a +>-+<，所以()0f x ¢<，故()f x 在(1,)-+ 上是减函数； ------------------------7分当a =0时，当(1,0)x ?时，22()01xf x x -¢=<+，故()f x 在(1,0)-上是减函数，当(0,)x ? 时，22()01xf x x -¢=<+，故()f x 在(0,+)¥上是减函数，因为函数()f x在(1,)-+上连续，所以()f x在(1,)-+上是减函数；---------------------------9分当0<a<1时，由222()01x af xx-+¢==+, 得x或x=-分x变化时，(),()f x f x'的变化如情况下表：所以()f x在(1,--上为减函数、在)+上为减函数；()f x在(-上为增函数.------------------------13分综上，当0a£时，()f x在(1,)-+上是减函数；当0<a<1时，()f x在(1,--上为减函数、在)+上为减函数；()f x在(-上为增函数.------------------------14分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：设A(x1, y1)，因为A为MN的中点，且M的纵坐标为3，N的纵坐标为0，所以132y =，---------------------------1分又因为点A (x 1, y 1)在椭圆C 上 所以221114y x +=，即219116x +=，解得14x =±，则点A 的坐标为3)42或3()42-，-------------------------3分所以直线l 的方程为7210y -+=或7210y +-=.--------------------------5分（Ⅱ）解：设直线AB 的方程为3y kx =+或0x =，A (x 1, y 1)，B (x 2, y 2)，33(,)P x y ，当AB 的方程为0x =时，||4AB =>与题意不符. --------------------------6分当AB 的方程为3y kx =+时：由题设可得A 、B 的坐标是方程组22314y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩的解， 消去y 得22(4)650k x kx +++=，所以22(6)20(4)0,k k ∆=-+>即25k >， 则121212122226524,,(3)(3)444k x x x x y y kx kx kkk-+=⋅=+=+++=+++，---------------------------8分因为||AB =<<，解得216813k -<<，所以258k <<.--------------------------10分因为OA OB OP λ+=，即112233(,)(,)(,)x y x y x y λ+=，所以当λ=时，由OA OB += ，得1212226240,044k x x y y kk-+==+==++， 上述方程无解，所以此时符合条件的直线l 不存在；--------------------11分当0λ≠时，12326(4)x x kx k λλ+-==+，123224(4)y y y k λλ+==+，因为点33(,)P x y 在椭圆上， 所以226[](4)kk λ-++22124[]14(4)kλ=+，-------------------------12分化简得22364kλ=+，因为258k <<，所以234λ<<，则(2,2)λ∈- .综上，实数λ的取值范围为(2,2)- .---------------------------14分 20.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由题意，创新数列为3,4,4,5,5的数列{}n c 有两个，即：（1）数列3，4，1，5，2； ---------------------------2分（2）数列3，4，2，5，1.---------------------------3分注：写出一个得2分，两个写全得3分.（Ⅱ）答：存在数列{}n c ，它的创新数列为等差数列.解：设数列{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ， 因为m e 为12,,,m c c c L 中的最大值. 所以m e m =.由题意知：k e 为12,,,k c c c L 中最大值，1k e +为121,,,,k k c c c c +L 中最大值， 所以1k k e e +£，且{1,2,,}k e m ÎL .若{}n e 为等差数列，设其公差为d ，则10k k d e e +=- ，且d ÎN ， -----------------5分当d =0时，{}n e 为常数列，又m e m =，所以数列{}n e 为,,,m m m L ，此时数列{}n c 是首项为m 的任意一个符合条件的数列；当d =1时，因为m e m =，所以数列{}n e 为1,2,3,,m L ，此时数列{}n c 是1,2,3,,m L ；--------------------7分当2d ³时，因为111(1)(1)222m e e m d e m m e =+-?-?-+，又13,0m e >>，所以m e m >，这与m e m =矛盾，所以此时{}n e 不存在，即不存在{}n c 使得它的创新数列为2d ³的等差数列.综上，当数列{}n c 为：（1）首项为m 的任意符合条件的数列；（2）数列1,2,3,,m L 时，它的创新数列为等差数列.---------------------------9分注：此问仅写出结论（1）（2）者得2分. （Ⅲ）解：设{}n c 的创新数列为{}(1,2,,)n e n m =L ， 由(Ⅱ)知，m e m =， 由题意，得11e c =，所以当数列{}n c 的创新阶数为2时，{}n e 必然为111,,,,,,,c c c m m m L L （其中1c m <），---------------------10分由排列组合知识，得创新数列为,,,,,,,()k k k m m m k m <L L 的符合条件的{}n c 的个数为1111111111(1)!m k m k k m kk m m k k m k C A A A A m m km k------------鬃=?---，----------------12分所以，在创新阶数为2的所有数列{}n c 中，它们的首项的和为1111(1)!(1)!m m k k m k k m m km k--==-?---邋. ---------------------------14分。
北京市西城区2024届高三下学期4月一模试题 化学含答案
2024北京西城高三一模化学（答案在最后）2024.4本试卷共10页，100分。
考试时长90分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H1C12O16第一部分本部分共14题，每题3分，共42分。
在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项。
1．中国科学家对量子材料的研究处于国际领先水平，近年来对石墨烯、硅烯、锗烯等低维量子材料的研究发展迅速。
下列说法不正确．．．的是A．碳、硅、锗属于同主族元素B．第一电离能：C＞SiC．红外光谱法可直接确定石墨烯的晶体结构D．硅和锗常用作半导体材料2．下列化学用语或图示表达正确的是A．基态N原子的轨道表示式：B．SO3的VSEPR模型：C．Cl—Cl的p-pσ键的形成：D．用电子式表示HCl的形成过程：3．下列物质的结构或性质不能．．解释其用途的是选项结构或性质用途A植物油可加氢硬化植物油可制肥皂B Al3+水解生成Al(OH)3胶体明矾可作净水剂C金属原子核外电子跃迁烟花中加入金属化合物产生五彩缤纷的焰火D聚丙烯酸钠中含有亲水基团聚丙烯酸钠可作高分子吸水材料4．下列物质混合后，因发生氧化还原反应使溶液的pH减小的是A．向苯酚钠溶液中通入少量CO2气体B．向NaHCO3溶液中通入少量HCl气体C ．向水中通入少量NO 2气体D ．向饱和H 2S 溶液中通入少量SO 2气体5．下列反应的离子方程式书写正确的是A ．NaOH 溶液与醋酸溶液反应：OH －+H +===H 2OB ．CuSO 4溶液与Ba(OH)2溶液反应：Cu 2++SO 2−4+Ba 2++2OH －===BaSO 4↓+Cu(OH)2↓C ．电解饱和食盐水：2Cl －+2H +=====Cl 2↑+H 2↑D ．向FeI 2溶液中通入过量的Cl 2：2Fe 2++Cl 2===2Fe 3++2Cl－6．抗生素克拉维酸具有抗菌消炎的功效，其结构简式如下。
考点06指数函数、对数函数、幂函数、二次函数(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员 考点06 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数（教师版）热点一 指数函数、对数函数2.（2012年高考（安徽文））设集合{3213}A x x =-≤-≤,集合B 是函数lg(1)y x =-的定义域;则A B =（ ）A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[,)12D ．(,]12【答案】D【解析】{3213}[1,2]A x x =-≤-≤=-,(1,)(1,2]B A B =+∞⇒= 3.（2012年高考（新课标理））设点P 在曲线12xy e =上,点Q 在曲线ln(2)y x =上,则PQ 最小值为 （ ）A ．1ln 2-B ln 2)-C ．1ln 2+D ln 2)+4.（2012年高考（山东文））若函数()(0,1)x f x a a a =>≠在[-1,2]上的最大值为4,最小值为m ,且函数()(14g x m =-在[0,)+∞上是增函数,则a =____.5.（2012年高考（北京文））已知函数()lg f x x =,若()1f ab =,22()()f a f b +=_________.【答案】2【解析】()lg ,()1f x x f ab == ,lg()1ab ∴=，2222()()lg lg 2lg()2f a f b a b ab ∴+=+==.6.（2012年高考（上海理））已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数,则a 的取值范围是_________ .7.（2012年高考（上海文））已知函数)1lg()(+=x x f . (1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.【解析】（1）由22010x x ->⎧⎨+>⎩，得11x -<<，由220lg(22)lg(1)lg11x x x x -<--+=<+，得221101xx -<<+……….3分因为10x +>，所以2112210(1),33x x x x +<-<+∴-<<， 由112133x x -<<⎧⎪⎨-<<⎪⎩，得2133x -<<……………………………………….6分【方法总结】热点二 幂函数、二次函数7.（2012年高考（福建文））已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立,则实数a 的取值范围是_________. 【答案】(0,8)【解析】因为不等式恒成立,所以0∆<,即 2420a a -⋅<,所以08a <<.8.（2012年高考（北京文））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若,()0x R f x ∀∈<或()0g x <,则m 的取值范围是________.【答案】(4,0)-9.（2012年高考（山东理））设函数21(),()(,,0)f x g x ax bx a b R a x==+∈≠,若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是（ ）A ．当0a <时,12120,0x x y y +<+>B ．当0a <时,12120,0x x y y +>+<C ．当0a >时,12120,0x x y y +<+<D ．当0a >时,12120,0x x y y +>+>10.（2012年高考（福建理））对于实数a 和b ,定义运算“﹡”:22,*,a ab a b b ab ⎧-⎪=⎨⎪-⎩a ba b≤>,设()(21)*(1)f x x x =--,且关于x 的方程为()()f x m m R =∈恰有三个互不相等的实数根123,,x x x ,则123x x x 的取值范围是_________________.11.（2012年高考（北京理））已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22xg x =-.若同时满足条件:①,()0x R f x ∀∈<或()0g x <;②(,4)x ∃∈-∞- ,()()0f x g x <. 则m 的取值范围是________.40m -<<,又由于条件2的限制,可分析得出(,4),()x f x ∃∈-∞-恒负,因此就需要在这个范围内()g x 有取得正数的可能,即4-应该比12,x x 两个根中较小的大,当(1,0)m ∈-时,34m --<-,解得交集为空,舍去.当1m =-时,两个根同为24->-,也舍去,当(4,1)m ∈--时,242m m <-⇒<-,综上所述(4,2)m ∈--.【方法总结】【考点剖析】 一．明确要求二．命题方向1.指数函数的概念、图象与性质是近几年高考的热点．2.通过具体问题考查指数函数的图象与性质，或利用指数函数的图象与性质解决一些实际问题是重点，也是难点，同时考查分类讨论思想和数形结合思想．3.高考考查的热点是对数式的运算和对数函数的图象、性质的综合应用，同时考查分类讨论、数形结合、函数与方程思想．4.关于幂函数常以5种幂函数为载体，考查幂函数的概念、图象与性质，多以小题形式出现，属容易题．5.二次函数的图象及性质是近几年高考的热点；用三个“二次”间的联系解决问题是重点，也是难点．6.题型以选择题和填空题为主，若与其他知识点交汇，则以解答题的形式出现. 三．规律总结 1.指数规律总结两个防范(1)指数函数的单调性是由底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．(2)换元时注意换元后“新元”的范围． 三个关键点画指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a .2.对数函数规律总结三个关键点画对数函数的图象应抓住三个关键点：(a,1)，(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，－1.四种方法对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较． 3.幂函数的规律总结 五个代表函数y ＝x ，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1可做为研究和学习幂函数图象和性质的代表． 两种方法【基础练习】1.(教材习题改编)已知a ＝log 0.70.8，b ＝log 1.10.9，c ＝1.10.9，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．b ＜a ＜c D ．c ＜a ＜b【答案】 C【解析】 将三个数都和中间量1相比较：0＜a ＝log 0.70.8＜1，b ＝log 1.10.9＜0，c ＝1.10.9＞1.2.（经典习题）若函数f (x )＝12x ＋1，则该函数在(－∞，＋∞)上是( )．A ．单调递减无最小值B ．单调递减有最小值C ．单调递增无最大值D ．单调递增有最大值3.(教材例题改编)如图中曲线是幂函数y ＝x n在第一象限的图象．已知n 取±2，±124．(经典习题)若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a 、b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f (x )＝________. 答案 －2x 2＋4解析 f (x )＝bx 2＋(ab ＋2a )x ＋2a 2由已知条件ab ＋2a ＝0，又f (x )的值域为(－∞，4]，则⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，b ＝－2，2a 2＝4.因此f (x )＝－2x 2＋4.5.(经典习题)已知a ＝5log 23.4，b ＝5log 43.6，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15log 30.3，则( )．A ．a ＞b ＞cB ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．c ＞a ＞b【名校模拟】 一．基础扎实1. (北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ）（A ）b a c <<（B ）a b c << （C ）c b a <<（D ）b c a << 【答案】D【解析】32log (1,)a =∈+∞，23log (0,1)b =∈，26664221log log log (1,)2c ====∈+∞ 而3622log log >，∴a>c>b ∴故选D2. (浙江省杭州学军中学2012届高三第二次月考理）设()()13.0log ,3.0,2223.0>+===x x c b a x ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．c b a <<B ．c a b <<C ．a b c <<D ．a c b <<4.（山东省济南市2012届高三3月（二模）月考文）若a ＞b ＞0，则下列不等式不．成立的是A. a b +<B. 1122a b >C. ln a ＞ln bD. 0.30.3a b<【解析】A 根据指数幂函数、对数函数、指数函数性质可知选项B 、C 、D 中的表达式成立，不成立即为选项A 中的表达式。
考点01集合的概念与运算(教师版) 新课标
2013年数学40个考点总动员 考点01 集合的概念与运算（教师版）新课标【高考再现】热点一 集合的概念1 ．（2012年高考（新课标））已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈， 则B 中所含元素的个数为（ ） A ．3 B ．6C ．8D ．103.（2012年高考（广东））设集合{}1,2,3,4,5,6U =,{}1,2,4M =,则U C M =（ ）A ．UB ．{}1,3,5C ．{}3,5,6D ．{}2,4,6热点二 集合间的关系和运算4．（2012年高考（陕西））集合{|lg 0}M x x =>,2{|4}N x x =≤,则M N = （ ）A ．(1,2)B ．[1,2)C ．(1,2]D ．[1,2]【答案】C【解析】{|lg 0}{|1}M x x x x =>=>,{|22}N x x =-≤≤,{12}M N x x =<≤,故选C.5．（2012年高考（山东））已知全集{}0,1,2,3,4U =,集合{}{}1,2,3,2,4A B ==,则U C A B （）为（ ）A ．{}1,2,4B ．{}2,3,4C ．{}0,2,4D ．{}0,2,3,4【答案】C【解析】因}4,0{=A C U ,所以}42,0{，）（=B A C U ,选C. 6 ．（2012年高考（辽宁））已知全集U={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},集合A={0,1,3,5,8},集 合B={2,4,5,6,8},则)()(B C A C U U 为 （ ） A ．{5,8}B ．{7,9}C ．{0,1,3}D ．{2,4,6}热点三 与集合为背景探求参数取值7.（2012年高考（大纲））已知集合{{},1,,A B m A B A ==⋃=,则m = （ ）A ．0或B ．0或3C ．1D ．1或38．（2012年高考（天津理））已知集合={||+2|<3}A x R x ∈,集合={|()(2)<0}B x R x m x ∈--,且=(1,)A B n - ,则=m _____,=n _______. 【答案】1-,1【解析】∵={||+2|<3}A x R x ∈={||5<<1}x x -,又∵=(1,)A B n - ,画数轴可知=1m -,=1n .9.（2012年高考（上海春））已知集合[1,2,},{2,5}.A k B ==若{1,2,3,5},A B = 则k =______.【考点剖析】 一．明确要求1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.4.在具体情境中，了解全集与空集的含义.5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.7.能使用韦恩（Venn ）图表达集合的关系及运算. 二．命题方向三．规律总结 1.一个性质要注意应用A ⊆B 、A ∩B ＝A 、A ∪B ＝B 、∁U A ⊇∁U B 、A ∩(∁U B )＝∅这五个关系式的等价性． 2.两种方法韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法要特别注意端点是实心还是空心． 3.三个防范(1)空集在解题时有特殊地位，它是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解．(2)认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)．(3)在解决含参数的集合问题时，要检验集合中元素的互异性，否则很可能会因为不满足“互异性”而导致结论错误．【基础练习】1.(教材习题改编)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合M ＝{1,4}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝ ( )A ．{1,3}B ．{1,5}C ．{3,5}D ．{4,5} 【答案】C【解析】先求出M 的补集∁U M ＝{2,3,5}，N ＝{1,3,5}，则N ∩(∁U M )＝{1,3,5}∩{2,3,5}＝{3,5}．2. (教材习题改编)设集合A ＝{x |2≤x ＜4}，B ＝{x |3x －7≥8－2x }，则A ∪B 等于( )． A ．{x |3≤x ＜4}B ．{x |x ≥3}C ．{x |x ＞2}D ．{x |x ≥2}4. (人教A 版教材习题改编)已知集合A ＝{1,3，m }，B ＝{3,4}，A ∪B ＝{1,2,3,4}，则m ＝________. 【答案】2【解析】A ∪B ＝{1,3，m }∪{3,4}＝{1,2,3,4}，∴2∈{1,3，m }，∴m ＝2.【名校模拟】一．扎实基础1.（湖北省黄冈中学2012届高三五月模拟考试理）设集合}1,0,1{-=M ，},{2a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是A ．1B ．0C ．－1D ．1或－1答案：C解析：由M N N = ，根据集合元素的互异性，则1a =-，故选C 。
北京市西城区2010年高三4月一模数学(理科)试题(WORD精校版)
北京市西城区2010年抽样测试高三数学试卷（理科） 2010.4本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷与答题纸一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1. 设集合{1}P x x =>， 2{0}Q x x x =->，则下列结论正确的是A ．P Q =B ．P Q =RC ．P ⊂≠QD ．Q ⊂≠P2. 函数sin cos y x x =+的最小值和最小正周期分别是A．2π B ．2,2π- C．πD ．2,π-3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于A ．10B ．12C ．15D ．304. 甲乙两名运动员在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，12,x x 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，12,s s 分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A ．12x x >，12s s <B ．12x x =，12s s <C ．12x x =，12s s =D ．12x x <，12s s >5. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序， 输出的结果为 A ．1321 B ． 2113 C ． 813 D ． 1387 83 5 5 72 38 94 5 5 6 1 2 2 0 1 乙甲6. 某会议室第一排共有8个座位，现有3人就座，若要求每人左右均有空位，那么不同的坐法种数为A ．12B ．16C ．24D ．327. 已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为A ．14B ．13C ．12D ．238. 如图，平面α⊥平面β，αβ= 直线l ，,A C 是α内不同的两点,,B D 是β内不同的两点，且,,,A B C D ∉直线l , ,M N 分别是线段,AB CD 的中点. 下列判断正确的是A ．当2CD AB =时，,M N 两点不可能重合 B ．,M N 两点可能重合，但此时直线AC 与直线l 不可能相交C ．当AB 与CD 相交，直线AC 平行于l 时，直线BD 可以与l 相交D ．当,AB CD 是异面直线时，MN 可能与l 平行βαlBACDMN· ·第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 若(2i)i i a b -=+，其中,a b ∈R ，i 为虚数单位，则a b +=___________.10. 已知2=a ，3=b ，a 、b 的夹角为60，则2-=a b ____________.11. 极坐标方程2cos ρθ=化成直角坐标方程为___________. 12. 如图，PC 切O 于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD AB ⊥于点E ，已知O 的半径为3，2PA =，则PC =_________，OE =_________.13. 已知双曲线2213y x -=的左顶点为1A ，右焦点为2F ，P 为双曲线右支上一点，则12PA PF ⋅的最小值为___________.14. 设函数()f x 的定义域为D ，若存在非零实数l 使得对于任意()x M M D ∈⊆，有x l D +∈，且()()f x l f x +≥，则称()f x 为M 上的l 高调函数.如果定义域是[1,)-+∞的函数2()f x x =为[1,)-+∞上的m 高调函数，那么实数m 的取值范围是____________.如果定义域为R 的函数()f x 是奇函数，当0x ≥时，22()f x x a a =--，且()f x 为R 上的4高调函数，那么实数a 的取值范围是____________.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知α为锐角，且tan()24πα+=.（Ⅰ）求tan α的值； （Ⅱ）求sin 2cos sin cos2αααα-的值.16.（本小题满分13分）在一个选拔项目中，每个选手都需要进行4轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答者进入下一轮考核，否则被淘汰. 已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮问题的概率分别为56、45、34、13，且各轮问题能否正确回答互不影响. （Ⅰ）求该选手进入第三轮才被淘汰的概率； （Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率；（Ⅲ）该选手在选拔过程中回答过的问题的个数记为X ，求随机变量X 的分布列和期望.17.（本小题满分14分）在四棱锥P ABCD -中，侧面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，E 为PC 中点，底面ABCD 是直角梯形，//AB CD ，90ADC ∠=，1AB AD PD ===，2CD =.（Ⅰ）求证：//BE 平面PAD ； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面PBD ；（Ⅲ）设Q 为侧棱PC 上一点，PQ PC λ=，试确定λ的值，使得二面角Q BD P --为45.18.（本小题满分14分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点(0,4)D 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ，O 为坐标原点，若OEF ∆为直角三角形，求直线l 的斜率.ACDEP19.（本小题满分14分）已知函数()(1)x af x e x=+，其中0a >． （Ⅰ）求函数()f x 的零点；（Ⅱ）讨论()y f x =在区间(,0)-∞上的单调性；（Ⅲ）在区间(,]2a -∞-上，()f x 是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．20.（本小题满分13分）对于各项均为整数的数列{}n a ，如果满足i a i +（1,2,3,i = ）为完全平方数，则称数列{}n a 具有“P 性质”；不论数列{}n a 是否具有“P 性质”，如果存在与{}n a 不是同一数列的{}n b ，且{}n b 同时满足下面两个条件：①123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的一个排列；②数列{}n b 具有“P 性质”，则称数列{}n a 具有“变换P 性质”.（Ⅰ）设数列{}n a 的前n 项和2(1)3n n S n =-，证明数列{}n a 具有“P 性质”； （Ⅱ）试判断数列1,2,3,4,5和数列1,2,3,,11 是否具有“变换P 性质”，具有此性质的数列请写出相应的数列{}n b ，不具此性质的说明理由；（Ⅲ）对于有限项数列:1,2,3,,A n ，某人已经验证当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列A 具有“变换P 性质”，试证明：当22[1,(1)]n m m ∈++时，数列A 也具有“变换P 性质”.北京市西城区2010年抽样测试参考答案 高三数学试卷（理科） 2010.4一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 3 10.11. 2220x y x +-= 12. 94,513. 2- 14. 2m ≥； 11a -≤≤注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.三、解答题：（本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分.） 15、解：（Ⅰ）1tan tan()41tan πααα++=-，…………………2分所以1tan 21tan αα+=-，1tan 22tan αα+=-，所以1tan 3α=.…………………5分（Ⅱ）2sin 2cos sin 2sin cos sin cos 2cos 2αααααααα--=2sin (2cos 1)sin cos 2sin cos 2cos 2ααααααα-===.…………………8分因为1tan 3α=，所以cos 3sin αα=，又22sin cos 1αα+=， 所以21sin 10α=，…………………10分又α为锐角，所以sin α=，所以sin 2cos sin cos 2αααα-=.…………………12分16、解：设事件i A （1,2,3,4i =）表示“该选手能正确回答第i 轮问题”，由已知15()6P A =，24()5P A =，33()4P A =，41()3P A =， （Ⅰ）设事件B 表示“该选手进入第三轮被淘汰”，则123123()()()()()P B P A A A P A P A P A ==…………………2分 5431(1)6546=⨯⨯-=.…………………3分 （Ⅱ）设事件C 表示“该选手至多进入第三轮考核”，则112123()()P C P A A A A A A =++…………………5分1121231515431()()()(1)6656542P A P A A P A A A =++=+⨯+⨯⨯-=.………6分 （Ⅲ）X 的可能取值为1,2,3,4.…………………7分11(1)()6P X P A ===，…………………8分 12541(2)()(1)656P X P A A ===⨯-=，…………………9分1235431(3)()(1)6546P X P A A A ===⨯⨯-=，…………………10分1235431(4)()6542P X P A A A ===⨯⨯=，…………………11分…………………12分1111()123436662E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.…………………13分17、解：（Ⅰ）取PD 的中点F ，连结,EF AF ，因为E 为PC 中点，所以//EF CD ，且112EF CD ==， 在梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，所以//EF AB ，EF AB =，四边形ABEF 为平行四边形， 所以//BE AF ， …………………2分BE ⊄平面PAD ，AF ⊂平面PAD ，所以//BE 平面PAD . …………………4分（Ⅱ）平面PCD ⊥底面ABCD ，PD CD ⊥，所以PD ⊥平面ABCD ，所以PD AD ⊥.…………………5分如图，以D 为原点建立空间直角坐标系D xyz -. 则(1,0,0),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,1).A B C P…………………6分(1,1,0)DB = ，(1,1,0)BC =-，所以0BC DB ⋅=，BC DB ⊥，……………8分又由PD ⊥平面ABCD ，可得PD BC ⊥， 所以BC ⊥平面PBD .…………………9分（Ⅲ）平面PBD 的法向量为(1,1,0)BC =-，…………………10分(0,2,1)PC =- ，PQ PC λ=，(0,1)λ∈所以(0,2,1)Q λλ-，…………………11分 设平面QBD 的法向量为(,,)a b c n =，(1,1,0)DB = ，(0,2,1)DQ λλ=-，由0DB ⋅= n ，0DQ ⋅=n ，得所以，02(1)0a b b c λλ+=⎧⎨+-=⎩，所以2(1,1,)1λλ--n =，…………………12分所以cos 452BC BC⋅===n n ，…………………13分 注意到(0,1)λ∈，得1λ=. …………………14分18、解：（Ⅰ）由已知2c a =225a b +=，…………………3分 又222a b c =+，解得24a =，21b =，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.…………………5分 （Ⅱ）根据题意，过点(0,4)D 满足题意的直线斜率存在，设:4l y kx =+，联立，22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得22(14)32600k x kx +++=，…………………6分222(32)240(14)64240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >. …………………7分 设,E F 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， （ⅰ）当EOF ∠为直角时，则1212223260,1414k x x x x k k+=-=++，…………………8分 因为EOF ∠为直角，所以0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=，…………………9分所以21212(1)4()160k x x k x x ++++=，所以222215(1)32401414k k k k⨯+-+=++，解得k =.…………………11分 （ⅱ）当OEF ∠或OFE ∠为直角时，不妨设OEF ∠为直角，此时，1OE k k ⋅=-，所以111141y y x x -⋅=-，即221114x y y =-………①，…………12分 又221114x y +=………②， 将①代入②，消去1x 得2113440y y +-=，解得123y =或12y =-（舍去），………………13分 将123y =代入①，得1x =所以114y k x -==14分 经检验，所求k 值均符合题意，综上，k的值为和19、解：（Ⅰ）解()0f x =，得x a =-，所以函数()f x 的零点为a -.…………………2分 （Ⅱ）函数()f x 在区域(,0)-∞上有意义，22()xx ax a f x e x +-'=，…………………5分令()0f x '=，得12a x -=，22a x -=，因为0a >，所以10x <，20x >.…………………7分 当x 在定义域上变化时，()f x '的变化情况如下：所以在区间(,2a --∞上()f x 是增函数，………8分在区间上()f x 是减函数. …………………9分 （Ⅲ）在区间(,]2a -∞-上()f x 存在最小值()2a f -. …………………10分证明：由（Ⅰ）知a -是函数()f x 的零点，因为1022a a a x a --+--=--=>， 所以10x a <-<，…………………11分由()(1)xaf x e x=+知，当x a <-时，()0f x >，…………………12分又函数在1(,0)x 上是减函数，且102ax a <-<-<， 所以函数在区间1(,]2a x -上的最小值为()2a f -，且()02af -<，………………13分所以函数在区间(,]2a -∞-上的最小值为()2af -，计算得2()2aaf e --=-.…………………14分20、解：（Ⅰ）当2n ≥时，1n n n a S S -=- …………………1分2221(1)[(1)1]33n n n n n n -=----=-，……………2分 又10a =，所以2n a n n =-()n ∈*N . ……………3分所以2i a i i +=（1,2,3,i = ）是完全平方数，数列{}n a 具有“P 性质”. ……4分 （Ⅱ）数列1,2,3,4,5具有“变换P 性质”， …………………5分数列{}n b 为3,2,1,5,4. …………………6分数列1,2,3,,11 不具有“变换P 性质”. …………………7分因为11，4都只有与5的和才能构成完全平方数，所以数列1,2,3,,11 不具有“变换P 性质”. …………………8分（Ⅲ）设2n m j =+，121j m ≤≤+，注意到22(2)()44m m j m j +-+=+-，令441h m j =+--，由于121j m ≤≤+，5m ≥，所以4412212h m j m =+--≥+≥，又22244142m h m m j m m -=--++≥--， 2242(2)60m m m --=-->，所以2h m <，即2[12,]h m ∈. ………………10分因为当2[12,]n m ∈（5m ≥）时，数列{}n a 具有“变换P 性质”，所以1,2,,441m j +-- 可以排列成123,,,,h a a a a ，使得(1,2,,)i a i i h += 都是平方数； …………………11分另外，44m j +-，441m j +-+，…，2m j +可以按相反顺序排列，即排列为2m j +，…，441m j +-+，44m j +-，使得(44)m j +-22()(2)m j m ++=+， 22(441)(1)(2)m j m j m +-+++-=+，…， …………………12分 所以221,2,,441,44,,1,m j m j m j m j +--+--++ 可以排成123,,,,,h a a a a 2,,44m j m j ++- 满足2(1,2,,)i a i i m j +=+ 都是平方数. …………………13分。
北京市西城区2008年高三4月一模数学(理科)试题(WORD解析版)
西城区抽样测试高三数学（理科） 2008.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分. 1. 在复平面内，复数21i+ 对应的点与原点的距离是（ ）A. 1B.C.2D.2. 函数 (2)2xy x x =>-的反函数的定义域为（ ） A. (1)+∞， B. (0)+∞， C. (01)， D. (12)，3. 若双曲线221x ky +=的离心率是2，则实数k 的值是（ ） A.3- B. 13- C. 3 D.134. 函数()sin (cos sin )f x x x x =⋅-的最小正周期是（ ） A.4π B. 2πC. πD. 2π 5. 下列四个正方体图形中，A B 、为正方体的两个顶点，M N P 、、分别为其所在棱的中点，能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是（ ）A. ①、③B. ①、④C. ②、③D. ②、④6. 若集合2{|540}A x x x =-+<，{|||1}B x x a =-<，则“(23)a ∈，”是“B A ⊆”的（ ）A. 充分但不必要条件B. 必要但不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 7. 设a ∈R ，函数()e exxf x a -=+⋅的导函数是()f x '，且()f x '是奇函数 . 若曲线()y f x =的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为（ ）A. ln 22-B.ln 2-C.ln 22D. ln 2 8. 设不等式组123350x a y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，，表示的平面区域是W ，若W 中的整点（即横、纵坐标均为整数的点）共有91个，则实数a 的取值范围是（ ）A.(21]--，B.[10)-，C. (01]，D. [12)，二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分. 把答案填在题中横线上 . 9. 已知{}n a 是公比为q 的等比数列，且243a a a ，，成等差数列，则q =__________ . 10. 在10()x a -的展开式中，7x 的系数是15，则实数a =__________ .11. 5人排成一排照相，要求甲不排在两端，不同的排法共有 种. (用数字作答) 12. 已知A B C ，，三点在球心为O ，半径为3的球面上，且几何体O ABC -为正四面体，那么A B ，两点的球面距离为__________；点O 到平面ABC 的距离为__________ .13. 已知两点(10)A ，，(0)B b ，，若抛物线24y x =上存在点C 使ABC ∆为等边三角形，则b =_________ .14. 已知点G 是ABC ∆的重心， ()AG AB AC λμλμ=+∈R，，那么λμ+=_____；若︒=∠120A ，2AB AC ⋅=-的最小值是__________ .三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分12分）在ABC ∆中，cos A =，cos B =. （Ⅰ）求角C ；（Ⅱ）设AB =，求ABC ∆的面积.16. （本小题满分13分）盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球. 规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得1-分 . 现从盒内任取3个球.（Ⅰ）求取出的3个球颜色互不相同的概率； （Ⅱ）求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；（Ⅲ）设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列和数学期望.17.（本小题满分14分）如图，在三棱锥P ABC -中，PA PB =， PA PB ⊥，30AB BC BAC ⊥∠=︒，，平面PAB ⊥平面ABC .（Ⅰ）求证：PA PBC ⊥平面 ； （Ⅱ）求二面角P AC B --的大小； （Ⅲ）求异面直线AB 和PC 所成角的大小.18.（本小题满分13分）已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分14分）已知定点)01(，-C 及椭圆5322=+y x ，过点C 的动直线与椭圆相交于A B ，两点. （Ⅰ）若线段AB 中点的横坐标是12-，求直线AB 的方程； （Ⅱ）在x 轴上是否存在点M ，使MB MA ⋅为常数？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.20.（本小题满分14分）数列{}n a 中，11a =，2112n n n a a a c +=-+ (1c >为常数，1,2,3,n = ) ，且321.8a a -= （Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）① 证明：1n n a a +<；② 猜测数列{}n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）比较11nk ka =∑与14039n a +的大小，并加以证明.西城区抽样测试高三数学（理科）参考答案 2008.4一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.1. B2. A3. B4. C5. B6. A7. D8. C 二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.9. 12-或1 10. 12- 11. 72 12. π13. 5或13- 14. 23；23注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分；两解的题目少一解给2分，有错解不给分.三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分. 15.（本小题满分12分） （Ⅰ）解：由cos A =，cos B =， 得02A B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭、，， 所以sin sin A B == ………….. 3分因为c o 2C Aπ=- ………….. 6分且0C π<<，故.4C π=………….. 7分 （Ⅱ）解： 根据正弦定理得sin sin sin sin AB AC AB B AC C B C ⋅=⇒==， ………….. 10分所以ABC∆的面积为16sin .25AB AC A ⋅⋅= ………….. 12分16. （本小题满分13分）（Ⅰ）解：记 “取出1个红色球，1个白色球，1个黑色球”为事件A ， 则11123439C C C 2()C 7P A ==. ………….. 3分（Ⅱ）解：记 “取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球， 1个黑色球”为事件C ， 则122123243399C C C C 5()()()C C 42P B C P B P C +=+=+=. ………….. 6分（Ⅲ）解：ξ可能的取值为0，，，. ………….. 7分3639C 5(0)C 21P ξ===， 123639C C 45(1)C 84P ξ===， 213639C C 3(2)C 14P ξ===，3339C 1(3)C 84P ξ===. ………….. 11分ξ的分布列为:………….. 12分ξ的数学期望545311231218414E ξ=⨯+⨯+⨯. ………….. 13分17.（本小题满分14分） 解法一： （Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面ABC ，平面PAB 平面ABC AB =，且BC AB ⊥， BC PAB ∴⊥平面 . ………….. 2分PA ⊂ 平面 PAB ， PA BC ∴⊥.又 PA PB ⊥ ，∴ P A P B C ⊥平面 .………….. 4分 （Ⅱ）解：作PO AB ⊥于点O ，OM AC ⊥于点M ，连结PM .平面PAB ⊥平面ABC ， PO ABC ∴⊥平面 ，根据三垂线定理得 PM AC ⊥，PMO∴∠是二面角P A--的平面角. ………….. 6分设PA PB =， PA PB ⊥ ， 3A B P O B O A ∴===， . 30OM AM MAO ⊥∠=︒ ，， sin 302AOOM AO ∴=⋅︒=， tan 2PO AOPMO OM OM∴===， ………….. 8分 即二面角P A--的大小是arctan 2. ………….. 9分（Ⅲ）解：在底面ABC 内分别过A C 、作BC AB 、的平行线，交于点D ， 连结OC OD PD ，，.则PCD ∠是异面直线AB 和PC 所成的角或其补角. ….. 11分30AB BC BAC ⊥∠=︒ ，，tan 302BC AB ∴=⋅︒=， OC ==PC ∴易知底面ABCD 为矩形，从而OC OD =，.PC PD = 在PCD∆中，12cos 10CDPCD PC ==， ………….. 13分 ∴ 异面直线AB 和PC 所成角的大小为arccos10. ………….. 14分 解法二：作PO AB ⊥于点O ，平面PAB ⊥平面ABC ，PO ∴⊥平面ABC .过点O 作BC 的平行线，交AC 于点D .如图，以O 为原点，直线OD OB OP ，，分别为x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . ………….. 2分PA PB =设 PA PB ⊥ ，AB PO BO AO ∴====， .30AB BC BAC ⊥∠=︒ ，，tan 302BC AB ∴=⋅︒=.(0 0 0)(0 (0(2O A B C ∴，，，，，，，(0 0P ，(1 0 0).D ，， ………….. 4分 （Ⅰ）证明：(0 (2 00)PA BC == ，， ，，， 0PA BC ∴=， PA BC ∴⊥.又 PA PB ⊥ ，∴P A P B C ⊥平面 . ………….. 7分（Ⅱ）解：作OM AC ⊥于点M ，连结PM .PO ⊥ 平面ABC ， 根据三垂线定理得 PM AC ⊥，PMO∴∠是二面角P A--的平面角. ………….. 8分 在Rt AMO ∆中，sin 3022AO OM AO =⋅︒==，3 04M ⎛⎫∴ ⎪ ⎪⎝⎭，，从而33044MO MP ⎛⎫⎛=-=- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ ， ，cos MO MP MO MP MO MP∴〈〉==，， ………….. 10分 即二面角P A--的大小是………….. 11分 （Ⅲ）解：()( 02AB PC == ， ，cos AB PC AB PC AB PC∴〈〉==，， ∴异面直线AB和PC所成角的大小为………….. 14分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：()f x 的定义域为0∞(，+)， ….. 1分 ()f x 的导数()1ln f x x '=+. ………….. 3分令()0f x '>，解得1e x >；令()0f x '<，解得10ex <<. 从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. ………….. 5分所以，当1ex =时，()f x 取得最小值1e-. ………….. 6分 （Ⅱ）解： 解法一：令()()(1)g x f x ax =--，则()(g x f x a a x''=-=-+， ………….. 8分① 若1a ≤，当1x >时，()1ln 10g x a x a '=-+>-≥，故()g x 在(1)∞，+上为增函数， 所以，1x ≥时，()(g x g a ≥=-≥，即()f x a x ≥-. ………….. 10分② 若1a >，方程()0g x '=的根为 10e a x -=，此时，若0(1)x x ∈，，则()0g x '<，故()g x 在该区间为减函数.所以，0(1)x x ∈，时，()(1)10g x g a <=-<，即()1f x ax <-，与题设()1f x ax ≥-相矛盾.………….. 12分 综上，满足条件的a的取值范围是(1]-∞，. ………….. 13分 解法二：依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立， 即不等式1ln a x x≤+对于[1x ∈+∞，恒成立 . ………….. 8分 令1()ln g x x x=+， 则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭. ………….. 10分 当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭， 故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =， ………….. 12分从而a的取值范围是(1]-∞，. ………….. 13分19.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)y k x =+， 将(1)y k x =+代入5322=+y x ， 消去y整理得2222(31)6350.k x k x k +++-= ………….. 2分设1122() ()A x yB x y ，，，， 则4222122364(31)(35)0 (1)6. (2)31k k k k x x k ⎧∆=-+->⎪⎨+=-⎪+⎩， ………….. 4分 由线段AB 中点的横坐标是12-， 得2122312312x x k k +=-=-+， 解得3k =±，适合(. ………….. 5分所以直线AB的方程为10x +=，或10x +=. ………….. 6分（Ⅱ）解：假设在x 轴上存在点(,0)M m ，使MB MA ⋅为常数. ①当直线AB与x轴不垂直时，由（Ⅰ）知22121222635. (3)3131k k x x x x k k -+=-=++，所以212121212()()()()(1)(1)MA MB x m x m y y x m x m k x x ⋅=--+=--+++22221212(1)()().k x x k m x x k m =++-+++ ………….. 8分 将(3)代入，整理得 222222114(2)(31)2(61)5333131m k m m k MA MB m m k k -+----⋅=+=+++ 2216142.33(31)m m m k +=+--+ 注意到MB MA ⋅是与k 无关的常数， 从而有761403m m +==-，， 此时4.9M A M B ⋅= .. 11分② 当直线AB 与x 轴垂直时，此时点A B ，的坐标分别为11⎛⎛-- ⎝⎝、， 当73m =-时， 亦有4.9M A M B ⋅= ………….. 13分综上，在x 轴上存在定点703M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，使MB MA ⋅为常数. ………….. 14分20.（本小题满分14分） （Ⅰ）解：依题意，222211322111111.222222a a a c c a a a c c ⎛⎫=-+=-=-+=-+ ⎪⎝⎭，由3218a a -=，得21111122228c c ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得2c =，或1c =（舍去）. ………….. 3分 （Ⅱ）解：① 证明：因为2211122(2)022n n n n n a a a a a +-=-+=-≥， 当且仅当2n a =时，1n n a a +=. 因为11a =，所以10n n a a +->，即1n n a a +<(1,2,3,n = ) . ………….. 5分 ②数列{}n a 有极限，………..6分且lim 2n n a →∞=. ………….. 7分（Ⅲ）解： 由21122n n n a a a +=-+，可得11()(2)(2)n n n n n a a a a a ++-=--， 从而111122n n n a a a +=---. 因为11a =，所以 1111111111111.22222nnk k k k k n n a a a a a a ==+++⎛⎫=-=-=- ⎪-----⎝⎭∑∑ 所以21111111404139(53)(813)1401401.3923939(2)39(2)nn n n n n n k k n n n a a a a a a a a a a ++++++=+++--+--=--==-⋅-⋅-∑ ………….. 9分因为11a =，由（Ⅱ）① 得 1n a ≥ (*n ∈N ). (1) 下面证明：对于任意*n ∈N ，有2n a <成立. 当1n =时，由11a =，显然结论成立. 假设结论对 (1)n k k =≥时成立，即 2.k a <因为2211132(1)222n n n n a a a a +=-+=-+，且函数213(1)22y x =-+在1x ≥时单调递增，所以2113(21)222k a +<-+=. 即当1n k =+时，结论也成立. 于是，当*n ∈N 时，有2n a <成立. (2) 根据(、得12n a ≤<. ………….. 12分由11a = 及21122n n n a a a +=-+， 经计算可得23313.28a a ==， 所以，当1n =时，2114039a a <； 当2n =时，312114039a a a +=； 当3n ≥时，由11328n a +<<， 得1111111(53)(813)1401400 3939(2)39nnn n n n k k k n ka a a a a a a ++++==++--=>⇒>⋅-∑∑.………….. 14分。
考点04函数的定义域和值域、解析式和分段函数(教师版) 新课标
2013年新课标数学40个考点总动员 考点04 函数的定义域和值域、解析式和分段函数（教师版）热点一 函数的定义域和值域1.（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数定义域相同的函数为 （ ） A ．y=1sin xB ．y=1nxxC ．y=xe xD ．sin xx2.（2012年高考（山东文））函数1()ln(1)f x x =+ （ ）A ．[2,0)(0,2]-B ．(1,0)(0,2]-C ．[2,2]-D ．(1,2]-【答案】B【解析】要使函数)(x f 有意义只需⎩⎨⎧≥-≠+040)1ln(2x x ,即⎩⎨⎧≤≤-≠->220,1x x x ,解得21≤<-x ,且0≠x .答案应选B.3.（2012年高考（上海春））函数224log ([2,4])log y x x x=+∈的最大值是______. 【答案】5【解析】22log ,24,1log 2,1 2.t x x x t =≤≤∴≤≤∴≤≤ 令因对号函数4y t t=+在区间[1,2]上单调递减，故当1t =时函数取得最大值为5.4.（2012年高考（江苏））函数x x f 6log 21)(-=的定义域为____.5.（2012年高考（四川文））函数()f x =的定义域是____________.(用区间表示)【答案】(21-，∞)【解析】由12>0x -,得1(-)2x ∈∞，.6.（2012年高考（广东文））(函数)函数y =的定义域为__________.热点二 函数的解析式7.（2012年高考（安徽理））下列函数中,不满足(2)2()f x f x =的是 （ ）A ．()f x x =B ．()f x x x =-C ．()f x x =+1D ．()f x x =-【解析】C【解析】()f x kx =与()f x k x =均满足:(2)2()f x f x =得:,,A B D 满足条件 ，故C 不满足.8.（2012年高考（上海理））已知2)(x x f y +=是奇函数,且1)1(=f .若2)()(+=x f x g , 则=-)1(g _______ .热点三 分段函数9.（2012年高考（江西理））若函数21(1)()lg (1)x x f x x x ⎧+≤=⎨>⎩，则((10))f f =（ ）A.lg101B.2C.1D.0 【答案】B【解析】本题考查分段函数的求值.因为101>，所以()10lg101f ==.所以2((10))(1)112f f f ==+=.10.（2012年高考（福建理））设函数1,()0,D x ⎧⎪=⎨⎪⎩x x 为有理数为无理数,则下列结论错误的是（ ）A ．()D x 的值域为{}0,1B ．()D x 是偶函数C ．()D x 不是周期函数D ．()D x 不是单调函数11.（2012年高考（陕西文））设函数发0,()1(),0,2x x f x x ìï³ïï=íï<ïïïî,则((4))f f -=_____【考点剖析】一．明确要求1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法． 2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查． 二．命题方向三．规律总结 一个方法求复合函数y ＝f (t )，t ＝q (x )的定义域的方法：①若y ＝f (t )的定义域为(a ，b )，则解不等式得a ＜q (x )＜b 即可求出y ＝f (q (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )的值域即为f (t )的定义域． 两个防范(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域． (2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．【基础练习】1.(教材习题改编)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ≥0，－x ，x ＜0，若f (a )＋ f (－1)＝2，则a ＝( )A ．－3B ．±3C ．－1D ．±1【答案】C【解析】若a ≥0，则a ＋1＝2，得a ＝1；若a <0，则－a ＋1＝2，得a ＝－1.2.(教材习题改编)函数f (x )＝x －4|x |－5的定义域为________．【答案】{x |x ≥4且x ≠5}【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －4≥0，|x |－5≠0∴x ≥4且x ≠5.3.(教材习题改编)若x 有意义，则函数y ＝x 2＋3x －5的值域是________．4.(教材习题改编)若f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且f (1)＝0，f (3)＝0，则f (－1)＝________. 【答案】8【解析】由已知得⎩⎪⎨⎪⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－4，c ＝3.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.∴f (－1)＝(－1)2－4×(－1)＋3＝8.5. (人教A 版教材习题改编)函数f (x )＝log 2(3x＋1)的值域为( )． A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞) C ．(1，＋∞) D ．[1，＋∞)【答案】A【解析】 ∵3x＋1＞1，∴f (x )＝log 2(3x＋1)＞log 21＝0.6．（经典习题）函数y ＝f (x )的图象如图所示．那么，f (x )的定义域是________；值域是________；其中只与x 的一个值对应的y 值的范围是________．【名校模拟】 一．扎实基础1. （2012海淀区高三年级第二学期期末练习文）函数21,12y x x =-+-?的值域是（A ）(3,0]- （B ） (3,1]- （C ）[0,1] （D ）[1,5) 【答案】B【解析】212,(4,0],(3,1].xx y -?\-?\?2. (唐山市2011—2012学年度高三年级第一次模拟考试文)函数2l o g (12y x =+的定义域为(A ) (-1, 2) (B ) (0, 2] (C ) (0, 2) (D ) (-1, 2]3.(湖北省八校2012届高三第一次联考理)函数3()33x f x =-的值域为 （ ） A ．(,1)-∞-B ．(1,0)(0,)-+∞C ．(1,)-+∞D ．(,1)(0,)-∞-+∞4. (浙江省2012届重点中学协作体高三第二学期高考仿真试题理)设3,10,()[(5),10,x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩则(6)f 的值为A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C【解析】()()()()(6)11813107f f f f f f f =====⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦．5. (长春市实验中学2012届高三模拟考试（文）)若函数⎩⎨⎧≥<<-=)2()20(ln 1)(2x x x x x f ，且2)(=x f ，则x 的值为e A . 2.B 1.-e C 1.-e D 或2【答案】C【解析】本题考查函数的定义和对分段函数的解析式的理解。
西城区2024届高三一模数学试题及答案
西城区高三统一测试试卷 数学2024.4 第1页（共6页）西 城 区 高 三 统 一 测 试 试 卷数 学 2024.4本试卷共 6 页， 150 分。
考试时长 120 分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知全集U =R ，集合{|3}A x x =<，{|22}B x x =-≤≤，则U A B =ðI（A ）(2,3) （B ）(,2)(2,3)-∞-U （C ）[2,3)（D ）(,2][2,3)-∞-U（2）下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（A ）2=+y x x （B ）cos y x = （C ）2=x y （D ）2||log =x y（3）在622()-x x 的展开式中，常数项为 （A ）60 （B ）15 （C ）60-（D ）15-（4）已知抛物线C 与抛物线24y x =关于直线y x =对称，则C 的准线方程是（A ）1x =- （B ）2x =- （C ）1y =-（D ）2y =-（5）设1=-a t t ，1=+b t t，(2)=+c t t ，其中10-<<t ，则（A ）<<b a c （B ）<<c a b （C ）<<b c a（D ）<<c b a西城区高三统一测试试卷 数学2024.4 第2页（共6页）（6）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()⋅-=c a b （A ）1- （B ）1 （C ）7- （D ）7（7）已知函数2,20,(),0.⎧+-<<⎪=⎨<⎪⎩≤x x x f x x c 若()f x 存在最小值，则c 的最大值为 （A ）116 （B ）18（C ）14（D ）12（8）在等比数列{}n a 中，00>n a ．则“001+>n n a a ”是“0013++>n n a a ”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）关于函数()sin cos 2f x x x =+，给出下列三个命题：① ()f x 是周期函数；② 曲线()y f x =关于直线π2x =对称；③ ()f x 在区间[0,2π)上恰有3个零点． 其中真命题的个数为 （A ）0 （B ）1 （C ）2（D ）3（10）德国心理学家艾•宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中记忆率y 随时间t （小时）变化的 趋势可由函数0.2710.6=-y t 近似描述，则记忆率为50%时经过的时间约为 （参考数据：lg 20.30≈，lg30.48≈） （A ）2小时 （B ）0.8小时 （C ）0.5小时（D ）0.2小时西城区高三统一测试试卷 数学2024.4 第3页（共6页）第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2012西城一模英语试卷与答案(word版)
北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题英语试题本试卷共150分。
考试时长120分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
注意事项：1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
2．答题前考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写。
3．答题卡上选择题必须用2B铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。
非选择题必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。
第一部分：听力理解（共三节，30分）第一节（共5小题；每小题1．5分，满分7．5分）听下面5段对话。
每段对话后有一道小题，从每题所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后，你将有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话你将听一遍。
1．What drink does the man like?A．Tea．B．Coffee．C．Cold water．2．What is the possible relationship between the two speakers?A．Husband and wife．B．Waiter and customer．C．Father and daughter3．Who is returning to Canada tomorrow?A．John．B．Steven．C．Alicia．4．What's the woman's job?A．A customs officer．B．A policewoman．C．A bank clerk．5: What does the woman mean?A．She must go home now．B．She can stay a little longer．C．She is waiting for her parents．第二节（共10小题；每题1．5分，满分15分）听下面4段对话或独白。
北京西城区2013届高三上学期期末考试数学(理科)试题
北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末试卷高三数学（理科） 2013.1第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|01}A x x =∈<<R ，{|(21)(1)0}B x x x =∈-+>R ，则A B = （ ） （A ）1(0,)2（B ）(1,1)-（C ）1(,1)(,)2-∞-+∞（D ）(,1)(0,)-∞-+∞2．在复平面内，复数5i 2i-的对应点位于（ ）（A ）第一象限（B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限3．在极坐标系中，已知点(2,)6P π，则过点P 且平行于极轴的直线的方程是（ ）（A ）sin 1=ρθ（B ）sin =ρθ（C ）cos 1=ρθ（D ）cos =ρθ4．执行如图所示的程序框图．若输出15S =， 则框图中① 处可以填入（ ） （A ）2k < （B ）3k < （C ）4k < （D ）5k <5．已知函数()cos f x x b x =+，其中b 为常数．那么“0b =”是“()f x 为奇函数”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件6．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)57．某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（ ）（A ）（B ）（C ）（D ）8．将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（ ） （A ）221（B ）463（C ）121（D ）263第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．9. 已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = _____．10．如图，R t △A B C 中，90ACB ︒∠=，3A C =，4B C =．以A C 为直径的圆交AB 于点D ，则 BD = ；C D =______．11．设等比数列{}n a 的各项均为正数，其前n 项和为n S ．若11a =，34a =，63k S =，则k =______． 12．已知椭圆22142xy+=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12P F F 的面积是______． 13．已知函数π()sin(2)6f x x =+，其中π[,]6x a ∈-．当3a π=时，()f x 的值域是______；若()f x 的值域是1[,1]2-，则a 的取值范围是______．14．已知函数()f x 的定义域为R ．若∃常数0c >，对x ∀∈R ，有()()f x c f x c +>-，则称函数()f x 具有性质P ．给定下列三个函数：①()2xf x =； ②()sin f x x =； ③3()f x x x =-．其中，具有性质P 的函数的序号是______．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）在△ABC 21cos 2B B =-． （Ⅰ）求角B 的值； （Ⅱ）若2B C =，4A π=，求△ABC 的面积．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，PD PA =，⊥PA 平面PDC ，E 为棱PD 的中点．（Ⅰ）求证：PB // 平面EAC ；（Ⅱ）求证：平面P A D ⊥平面A B C D ； （Ⅲ）求二面角B AC E --的余弦值．17．（本小题满分13分）生产A ，B 两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（Ⅰ）试分别估计元件A ，元件B 为正品的概率；（Ⅱ）生产一件元件A ，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B ，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元 .在（Ⅰ）的前提下，（ⅰ）记X 为生产1件元件A 和1件元件B 所得的总利润，求随机变量X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求生产5件元件B 所获得的利润不少于140元的概率． 18．（本小题满分13分）已知函数2()x f x x b=+，其中b ∈R ．（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设0b >．若13[,]44x ∃∈，使()1f x ≥，求b 的取值范围．19．（本小题满分14分）如图，已知抛物线24y x =的焦点为F ．过点(2,0)P 的直线交抛物线于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点，直线A F ，BF 分别与抛物线交于点M ，N ．（Ⅰ）求12y y 的值；（Ⅱ）记直线M N 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k .证明：12k k 为定值．20．（本小题满分13分）如图，设A 是由n n ⨯个实数组成的n 行n 列的数表，其中ij a (,1,2,3,,)i j n = 表示位于第i 行第j 列的实数，且{1,1}ij a ∈-.记(,)S n n 为所有这样的数表构成的集合．对于(,)A S n n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之积，()j c A 为A 的第j 列各数之积．令11()()()nniji j l A r A cA ===+∑∑．（Ⅰ）请写出一个(4,4)A S ∈，使得()0l A =； （Ⅱ）是否存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =？说明理由；（Ⅲ）给定正整数n ，对于所有的(,)A S n n ∈，求()l A 的取值集合．北京市西城区2012 — 2013学年度第一学期期末高三数学（理科）参考答案及评分标准2013.1一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1．D ； 2．B ； 3．A ； 4．C ； 5．C ； 6．B ； 7．C ； 8．B ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9．1-； 10．165，125； 11．6；12 13．1[,1]2-，[,]62ππ； 14．①③． 注：10、13题第一问2分，第二问3分;14题结论完全正确才给分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.若考生的解法与本解答不同，正确者可参照评分标准给分. 15．（本小题满分13分）（Ⅰ）解法一21cos 2B B =-， 所以 2cos 2sin B B B =．……………3分因为 0B <<π， 所以 sin 0B >， 从而 tan B =5分所以 π3B =． ………………6分解法二： 依题意得2cos 21B B +=，所以 2sin(2)16B π+=，即 1sin(2)62B π+=． (3)分因为 0B <<π， 所以 132666B πππ<+<，所以 5266B ππ+=．…………5分所以 π3B =． ………………6分（Ⅱ）解法一：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得sin sin A C B C BA=， ………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分因为 512C A B π=π--=， ………………9分所以 5sin sin sin()12464C πππ+==+=， ………………11分所以 △ABC 的面积13sin 22S AC BC C +=⋅=．………………13分解法二：因为 4A π=，π3B =，根据正弦定理得 sin sin A C B C B A=， ………………7分所以 sin sin B C B A C A⋅==． ………………8分根据余弦定理得 2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅， ………………9分 化简为 2220AB AB --=，解得 1AB =+………………11分所以 △ABC 的面积1sin 22S AB BC B =⋅=………………13分16．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．因为四边形ABCD 为正方形，所以O 为BD 中点．因为 E 为棱PD 中点．所以 EO PB //． …………3分 因为 ⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ， 所以直线PB //平面EAC ． ………………4分（Ⅱ）证明：因为⊥PA 平面PDC ，所以CD PA ⊥． ………………5分因为四边形ABCD 为正方形，所以CD AD ⊥， 所以⊥CD 平面PAD ． ……7分所以平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………8分（Ⅲ）解法一：在平面PAD 内过D 作直线D z AD ⊥．因为平面PAD ⊥平面ABCD ，所以D z ⊥平面ABCD ．由,,Dz DA DC 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -． …………9分 设4A B =，则(0,0,0),(4,0,0),(4,4,0),(0,4,0),(2,0,2),(1,0,1)D A B C P E ．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得(1,1,3)=n ． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为(0,0,1)=v ． ………………12分所以 |||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分解法二：取AD 中点M ，BC 中点N ，连结PM ，MN ． 因为ABCD 为正方形，所以CD MN //． 由（Ⅱ）可得⊥MN 平面PAD ． 因为PD PA =，所以⊥PM AD ． 由,,MP MA MN 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz M -． ………………9分设4=AB ，则(2,0,0),(2,4,0),(2,4,0),(2,0,0),(0,0,2),(1,0,1)A B C D P E ---．所以 )1,0,3(-=EA ，)0,4,4(-=AC ．设平面EAC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.E A A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n所以 ⎩⎨⎧=+-=-．044,03y x z x 取1=x ，得=n )3,1,1(． ………………11分易知平面ABCD 的法向量为=v )1,0,0(． ………………12分所以|||cos ,|||||11⋅==〈〉n v n v n v ． ………………13分由图可知二面角B AC E --的平面角是钝角， 所以二面角B AC E --的余弦值为11113-． ………………14分17．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：元件A 为正品的概率约为4032841005++=． ………………1分 元件B 为正品的概率约为4029631004++=． ………………2分（Ⅱ）解：（ⅰ）随机变量X 的所有取值为90,45,30,15-． ………………3分433(90)545P X ==⨯=； 133(45)5420P X ==⨯=；411(30)545P X ==⨯=； 111(15)5420P X =-=⨯=． ………………7分所以，随机变量X 的分布列为:………………8分3311904530(15)66520520E X =⨯+⨯+⨯+-⨯=． ………………9分（ⅱ）设生产的5件元件B 中正品有n 件，则次品有5n -件. 依题意，得 5010(5)140n n --≥， 解得 196n ≥． 所以 4n =，或5n =．………11分设“生产5件元件B 所获得的利润不少于140元”为事件A ， 则 445531381()C ()()444128P A =⨯+=． ………………13分18.（本小题满分13分） （Ⅰ）解：① 当0b =时，1()f x x=． 故()f x 的单调减区间为(,0)-∞，(0,)+∞；无单调增区间． (1)分② 当0b >时，222()()b xf x x b -'=+． ………………3分令()0f x '=，得1x =2x =()f x 和()f x '的情况如下：故()f x 的单调减区间为(,-∞，)+∞；单调增区间为(．………………5分③ 当0b <时，()f x 的定义域为{|D x x =∈≠R ．因为222()0()b xf x x b -'=<+在D 上恒成立，故()f x 的单调减区间为(,-∞，(，)+∞；无单调增区间．………………7分（Ⅱ）解：因为0b >，13[,]44x ∈，所以 ()1f x ≥ 等价于 2b x x ≤-+，其中13[,]44x ∈．……9分设2()g x x x =-+，()g x 在区间13[,]44上的最大值为11()24g =．………………11分则“13[,]44x ∃∈，使得 2b x x ≤-+”等价于14b ≤．所以，b 的取值范围是1(0,]4． ………………13分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：依题意，设直线AB 的方程为2x my =+． ………………1分将其代入24y x =，消去x ，整理得 2480y my --=． ………………4分 从而128y y =-．………………5分（Ⅱ）证明：设33(,)M x y ，44(,)N x y ．则221234341121222234123123444444y y y y y y k x x y y k x x y y y y y y y y ----+=⨯=⨯=---+-． ………………7分设直线A M 的方程为1x ny =+，将其代入24y x =，消去x ，整理得 2440y ny --=． ………………9分所以 134y y =-． ………………10分 同理可得 244y y =-． ………………11分 故112121223412444k y y y y y y k y y y y ++===--+-+． ………………13分由（Ⅰ）得 122k k =，为定值． ………………14分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）解：答案不唯一，如图所示数表符合要求．………………3分 （Ⅱ）解：不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………4分 证明如下：假设存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =．因为(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (19,19)i j ≤≤≤≤，所以1()r A ，2()r A ， ，9()r A ，1()c A ，2()c A ， ，9()c A 这18个数中有9个1，9个1-． 令129129()()()()()()M r A r A r A c A c A c A =⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ．一方面，由于这18个数中有9个1，9个1-，从而9(1)1M =-=-． ①另一方面，129()()()r A r A r A ⋅⋅⋅ 表示数表中所有元素之积（记这81个实数之积为m ）；129()()()c A c A c A ⋅⋅⋅ 也表示m ， 从而21M m ==． ②①、②相矛盾，从而不存在(9,9)A S ∈，使得()0l A =． ………………8分（Ⅲ）解：记这2n 个实数之积为p ．一方面，从“行”的角度看，有12()()()n p r A r A r A =⋅⋅⋅ ； 另一方面，从“列”的角度看，有12()()()n p c A c A c A =⋅⋅⋅ ．从而有1212()()()()()()n n r A r A r A c A c A c A ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ ． ③ ………………10分注意到(){1,1}i r A ∈-，(){1,1}j c A ∈- (1,1)i n j n ≤≤≤≤．下面考虑1()r A ，2()r A ， ，()n r A ，1()c A ，2()c A ， ，()n c A 中1-的个数：由③知，上述2n 个实数中，1-的个数一定为偶数，该偶数记为2(0)k k n ≤≤；则1的个数为22n k -， 所以()(1)21(22)2(2)l A k n k n k =-⨯+⨯-=-． ………………12分 对数表0A ：1ij a =(,1,2,3,,)i j n = ，显然0()2l A n =．将数表0A 中的11a 由1变为1-，得到数表1A ，显然1()24l A n =-． 将数表1A 中的22a 由1变为1-，得到数表2A ，显然2()28l A n =-． 依此类推，将数表1k A -中的kk a 由1变为1-，得到数表k A ． 即数表k A 满足：11221(1)kk a a a k n ====-≤≤ ，其余1ij a =． 所以 12()()()1k r A r A r A ====- ，12()()()1k c A c A c A ====- ． 所以()2[(1)()]24k l A k n k n k =-⨯+-=-．由k 的任意性知，()l A 的取值集合为{2(2)|0,1,2,,}n k k n -= ．……………13分。
2012年西城区第一次模拟考试之数学篇含答案可编辑
2012年北京市西城区初三一模试卷数学命题人：郑荣国2012．4考生须知1．本试卷共5页，共五道大题，25道小题，满分120分．考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上认真填写学校名称、班级和姓名． 3．试题答案一律填涂或书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，请将本试卷、答题纸和草稿纸一并交回．一、选择题(本题共32分，每小题4分)下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的． 1．计算：29-＝( )A ．-1B ．-3C ．3D ．52．我市深入实施环境污染整治，某经济开发区的40家化工企业中已关停、整改32家，每年排放的污水减少了167000吨．将167000用科学记数法表示为( )A ．316710⨯B ．416.710⨯C ．51.6710⨯D ．60.16710⨯3．已知，如图，AD 与BC 相交于点O ，AB ∥CD ，如果∠B ＝20°，∠D ＝40°，那么∠BOD 为( )A ．40°B ．50°C ．60°D ．70°4．因式分解()219x --的结果是( )A ．()()24x x +-B ．()()81x x ++C ．()()24x x -+D ．()()108x x -+5．如图，是由一些相同的小正方体搭成的几何体的三视图，搭成这个几何体的小正方体的个数有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．6个6．已知抛一枚均匀硬币正面朝上的概率为12，下列说法正确的是( ) A ．连续抛一枚均匀硬币2次必有1次正面朝上 B ．连续抛一枚均匀硬币10次都可能正面朝上C ．大量反复抛一枚均匀硬币，平均每100次出现下面朝上50次D ．通过抛一枚均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的7．如图，AB 是⊙O 的直径，AB ＝4，AC 是弦，AC ＝23，∠AOC 为( ) A ．120°B ．130°C ．140°D ．150°A BCDO8．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2．E 、F 分别是射线AC 、CB 上的动点，且AE ＝BF ，EF与AB 交于点G ，EH ⊥AB 于点H ，设AE ＝x ，GH ＝y ，下面能够反映y 与x 之间函数关系的图象是( )GHF A CBE yxxyyxyxDCBAOOOO二、填空题(本题共16分，每小题4分)9．函数3y x =-自变量的取值范围是__________． 10．如图，点P 在双曲线(0)ky k x=≠上，点(12)P '，与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析式为．11．如图，在平面直角坐标系中，等边三角形ABC 的顶点B ，C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)，过坐标原点O 的一条直线分别与边AB ，AC 交于点M ，N ，若OM ＝MN ，则点M 的坐标为______________．12．如图，点A 1，A 2，A 3，A 4，…，A n 在射线OA 上，点B 1，B 2，B 3，…，B n ―1在射线OB 上，且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3∥…∥A n ―1B n ―1，A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3∥…∥A n B n ―1，△A 1A 2B 1，△A 2A 3B 2，…，△A n ―1A n B n ―1为阴影三角形，若△A 2B 1B 2，△A 3B 2B 3的面积分别为1、4，则△A 1A 2B 1的面积为__________；面积小于2011的阴影三角形共有__________个．xyOABCMN O1 2yx(12)P '，P ACBO三、解答题(本题共30分，每小题5分) 13．计算：102124sin60(3)-+-︒--．14．（1）解不等式：112x x >+；（2）解方程组20328x y x y -=⎧⎨+=⎩15．已知：如图，A 点坐标为302⎛⎫- ⎪⎝⎭，，B 点坐标为()03，． （1）求过A B ，两点的直线解析式； （2）过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使2OP OA =，求ABP ∆的面积．11BAOy x16．如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE ．已知∠BAC ＝30º，EF ⊥AB ，垂足为F ，连结DF ．BO A A 1 A2A 3 A 4 A 5B 1 B 2 B 3B 441（1）求证：AC ＝EF ；（2）求证：四边形ADFE 是平行四边形．17．先化简：2313(1)2349223x x x x ÷⋅++--；若结果等于23，求出相应x 的值．18．在某市举办的“读好书，讲礼仪”活动中，东华学校积极行动，各班图书角的新书、好书不断增多，除学校购买外，还有师生捐献的图书．下面是七年级（1）班全体同学捐献图书的情况统计图： 请你根据以上统计图中的信息，解答下列问题： （1）该班有学生多少人？ （2）补全条形统计图；（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数和众数分别是多少？ABCDEF四、解答题(本题共20分，每小题5分)19．某批发商以每件50元的价格购进800件T 恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T 恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x 元． （1）填表(不需要化简)时间 第一个月 第二个月 清仓时单价(元)80 ▲ 40 销售量(件) 200▲ ▲ （2）如果批发商希望通过销售这批T 恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？20．如图，等腰梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ＝CD ＝2，∠C ＝60°，M 是BC 的中点． （1）求证：△MDC 是等边三角形；（2）将△MDC 绕点M 旋转，当MD (即MD ′)与AB 交于一点E ，MC (即MC ′)同时与AD 交于一点F 时，点E ，F 和点A 构成△AEF ．试探究△AEF 的周长是否存在最小值．如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出△AEF 周长的最小值．FEC'D'CDABM21．如图，已知ABC △，以BC 为直径，O 为圆心的半圆交AC 于点F ，点E 为弧CF 的中点，连接BE交AC 于点M ，AD 为△ABC 的角平分线，且AD BE ⊥，垂足为点H ． （1）求证：AB 是半圆O 的切线；（2）若3AB =，4BC =，求BE 的长．22．已知：如图1，矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四条边上的点(且不与各边顶点重合)，设m ＝AB ＋BC ＋CD ＋DA ，探索m 的取值范围．（1）如图2，当E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 四边中点时，m ＝________．（2）为了解决这个问题，小贝同学采用轴对称的方法，如图3，将整个图形以CD 为对称轴翻折，接着再连续翻折两次，从而找到解决问题的途径，求得m 的取值范围． ①请在图1中补全小贝同学翻折后的图形； ②m 的取值范围是____________．H GF EC DBA 图1图2HGF E C D BA 图3A BDCE FGH五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分)23．已知一元二次方程x 2＋ax ＋a －2＝0．（1）求证：不论a 为何实数，此方程总有两个不相等的实数根；BD A O AH AC A E AMA F AA（2）设a ＜0，当二次函数y ＝x 2＋ax ＋a －2的图象与x 轴的两个交点的距离为13时，求出此二次函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若此二次函数图象与x 轴交于A 、B 两点，在函数图象上是否存在点P ，使得△P AB的面积为3132，若存在求出P 点坐标，若不存在请说明理由．24．如图，在△ABC 中，点D 是BC 上一点，∠B ＝∠DAC ＝45°． （1）如图1，当∠C ＝45°时，请写出图中一对相等的线段；_________________ （2）如图2，若BD ＝2，BA ＝3，求AD 的长及△ACD 的面积．图1CD BA图2AB D C25．巳知二次函数y＝a(x2－6x＋8)(a＞0)的图象与x轴分别交于点A、B，与y轴交于点C．点D是抛物线的顶点．（1）如图①．连接AC，将△OAC沿直线AC翻折，若点O的对应点0'恰好落在该抛物线的对称轴上，求实数a的值；（2）如图②，在正方形EFGH中，点E、F的坐标分别是(4，4)、(4，3)，边HG位于边EF的右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P是边EH或边HG上的任意一点，则四条线段P A、PB、PC、PD不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段不能构成平行四边形)．“若点P是边EF或边FG上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P在抛物线对称轴上时，设点P的纵坐标l是大于3的常数，试问：是否存在一个正数a，使得四条线段P A、PB、PC、PD与一个平行四边形的四条边对应相等(即这四条线段能构成平行四边形)？请说明理由．CDBO'AxyOGH FECDBAxyO2012年北京市西城区初三一模试卷参考答案1．A ． 2．C ． 3．C ．4．A ． 5．C ． 6．A ． 7．A ． 8．C ． 9．x ≥3．10．2y x -=．11．(54，34)12．12；6．13．解：原式＝13234122+-⨯-＝12-． 14．（1）解：112x x ->，112x >，所以2x >．（2）21x y =⎧⎨=⎩15．（1）23y x =+；（2）设P 点坐标为()0x ，，依题意得3x =±，所以P 点坐标分别为()()123030P P -，，，． 1132733224ABP S ∆⎛⎫=⨯+⨯= ⎪⎝⎭，213933224ABP S ∆⎛⎫=⨯-⨯= ⎪⎝⎭，所以ABP ∆的面积为274或94． 16．略．17．原式＝(23)(23)1233)233223x x x x x x +--+⋅⋅⋅+-＝23x ；由23x＝23，可，解得x ＝±2．18．解：（1）因为捐2本的人数是15人，占30％，所以该班人数为1530%＝50 （2）根据题意知，捐4本的人数为：50－(10＋15＋7＋5)＝13．(如图)（3）七（1）班全体同学所捐献图书的中位数是242+＝3(本)，众数是2本． 19．（1）80－x ，200＋10x ，800－200－(200＋10x )；（2）根据题意，得80×200＋(80－x )(200＋10x )＋40[800－200－(200＋10x )]－50×800＝9000．整理，得x 2－20x ＋100＝0，解这个方程得x 1＝x 2＝10， 当x ＝10时，80－x ＝70＞50．答：第二个月的单价应是70元． 20．解：（1）证明：过点D 作DP ⊥BC ，于点P ，过点A 作AQ ⊥BC 于点Q ，PQFEC'D'CDA MB∵∠C ＝∠B ＝60°∴CP ＝BQ ＝12AB ，CP ＋BQ ＝AB ，又∵ADPQ 是矩形，AD ＝PQ ， 故BC ＝2AD ，由已知，点M 是BC 的中点， BM ＝CM ＝AD ＝AB ＝CD ， 即△MDC 中，CM ＝CD ，∠C ＝60°， 故△MDC 是等边三角形．（2）解：△AEF 的周长存在最小值，理由如下： 连接AM ，由（1）平行四边形ABMD 是菱形， △MAB ，△MAD 和△MC ′D ′是等边三角形， ∠BMA ＝∠BME ＋∠AME ＝60°，∠EMF ＝∠AMF ＋∠AME ＝60°， ∴∠BME ＝∠AMF ，在△BME 与△AMF 中，BM ＝AM ，∠EBM ＝∠F AM ＝60°， ∴△BME ≌△AMF (ASA )， ∴BE ＝AF ，ME ＝MF ，AE ＋AF ＝AE ＋BE ＝AB ， ∵∠EMF ＝∠DMC ＝60°，故△EMF 是等边三角形，EF ＝MF ， ∵MF 的最小值为点M 到AD 的距离错误！未找到引用源。
考点32二项式定理(理)(教师版)新课标
2013年新课标数学40个考点总动员 考点32 二项式定理〔理〕〔教师版〕【高考再现】1.(2012年高考某某卷理科5)在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为〔 〕 〔A 〕10 〔Ｂ〕-10 〔Ｃ〕40 〔Ｄ〕-402.(2012年高考某某卷理科7)2521(2)(1)x x+-的展开式的常数项是〔 〕 ()A 3-()B 2-()C 2()D 321世纪教育网【答案】D【解析】第一个因式取2x ，第二个因式取21x得：1451(1)5C ⨯-= 第一个因式取2，第二个因式取5(1)-得：52(1)2⨯-=- 展开式的常数项是5(2)3+-=. 3. (2012年高考某某卷理科5)设a ∈Z ，且0≤a ≤13，假如512012+a 能被13整除，如此a=( ) A4.(2012年高考某某卷理科1)7(1)x +的展开式中2x 的系数是〔 〕 A 、42 B 、35 C 、28 D 、21 【答案】D【解析】二项式7)1(x +展开式的通项公式为1+k T =k k x C 7，令k=2，如此2273x C T 、=21C x 272=∴的系数为.5. (2012年高考某某卷理科4)812x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为〔 〕A.1635 B.835 C.435【答案】B 【解析】1,2x x取得次数为1:1(4:4)，展开式中常数项为448135()28C ⨯=. 6. (2012年高考某某卷理科10)261()x x+的展开式中3x 的系数为______.〔用数字作答〕7. (2012年高考某某卷理科11)4)(x a +的展开式中3x 的系数等于8，如此实数=a _________.【答案】2【解析】4)(x a +中含3x 的一项为r r r r x a C T -+=441，令3=r ，如此83434=-a C ，即2=a .8．(2012年高考某某卷理科5)在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于. 【答案】160-【解析】根据所给二项式的构成，构成的常数项只有一项，就是333462C ()160T x x=-=- .9. (2012年高考某某卷理科13) ( 2x -x)6的二项展开式中的常数项为.〔用数字作答〕10. (2012年高考某某卷理科12)5()a x +展开式中2x 的系数为10， 如此实数a 的值为． 【答案】1【解析】∵rr r r x a C T -+=551，令2=r ，如此23253x a C T =， 又∵2x 的系数为10，如此10325=a C ，∴1=a【考点定位】本小题主要考查二项式定理与其性质.11.(2012年高考全国卷理科15)假如1()nx x+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，如此该展开式中21x 的系数为. 【方法总结】 1．二项式的项数与项(1)二项式的展开式共有n ＋1项，C k n a n －k b k是第k ＋1项．即k ＋1是项数，C k n an －k b k是项．(2)通项是T k ＋1＝C k n an －k b k(k ＝0,1,2，…，n )．其中含有T k ＋1，a ，b ，n ，k 五个元素，只要知道其中四个即可求第五个元素．2．二项式系数的最大值，最小值要根据n 的奇偶性确定同时注意二项式系数最大时该项的系数不一定最大，还要取决于a 、b 的系数．【考点剖析】一．明确要求二．命题方向二项展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等是高考的热点．常以选择题、填空题的形式考查. 三．规律总结 一个防X一个定理二项式定理可利用数学归纳法证明，也可根据次数，项数和系数利用排列组合的知识推导二项式定理．因此二项式定理是排列组合知识的开展和延续．两种应用三条性质(1)对称性；(2)增减性；(3)各项二项式系数的和；以上性质可通过观察杨辉三角进展归纳总结．【根底练习】1. (人教A版教材习题改编)假如(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，如此a0＋a2＋a4的值为( )．A．9 B．8 C．7 D．6解析令x＝1，如此a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，如此a0－a1＋a2－a3＋a4＝16∴a0＋a2＋a4＝8.答案 B2．(2011·某某)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于( )．A．80 B．40 C．20 D．10解析T r＋1＝C r5(2x)r＝2r C r5x r，当r＝2时，T3＝40x2.答案 B3．假如(1＋2)5＝a＋b2(a，b为有理数)，如此a＋b＝( )．A．45 B．55 C．70 D．804．(2011·某某)(1＋3x)n(其中n∈N且n≥6)的展开式中x5与x6的系数相等，如此n＝( )．A．6 B．7 C．8 D．95．(2011·某某)设(x －1)21＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 21x 21，如此a 10＋a 11＝________. 解析 T r ＋1＝C r21x21－r(－1)r ＝(－1)r C r 21x21－r由题意知a 10，a 11分别是含x 10和x 11项的系数，所以a 10＝－C 1121，a 11＝C 1021， ∴a 10＋a 11＝C 1021－C 1121＝0. 答案 0 【名校模拟】 一．根底扎实1 (市东城区2011-2012学年度第二学期高三综合练习〔二〕理)41(2)x x-的展开式中的常数项为( )〔A 〕24-〔B 〕6-〔C 〕6〔D 〕242. (某某省某某市2011—2012学年度高三年级第二次模拟考试理)261()x x-的展开式中的常数项为A ．－15B ．15C ．－20D ．20 【答案】 B【解析】261231661()()(1)rrr r r r r T C x C x x--+=-=-,令1230r -=，∴r=4 , ∴常数项为446(1)15C -=，应当选B3．(市某某区2012届高三年级第二次综合练习理)二项式25(ax x展开式中的常数项为5，如此实数a =_______．4.(市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题理)6(2)x-的展开式中，3x的系数是_____．〔用数字作答〕【答案】-160【解析】616(2)r r rrT C x-+=-∴3x的系数为336(2)160C-=-二．能力拔高5.〔长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、某某中学2012届第三次模拟理〕假如变量,a b满足约束条件6321a ba ba+≤⎧⎪-≤-⎨⎪≥⎩，23n a b=+，如此n取最小值时，212nxx⎛⎫-⎪⎝⎭二项展开式中的常数项为〔〕A．-80 B．80 C．40 D．-206.〔某某钟祥一中2012高三五月适应性考试理〕设〔2x+3〕4=a o+a1x+a2x2+a3x3+a4x4.如此〔a o+a2+a4〕2—〔a1+a3〕2=A、2.B、—2.C、1.D、—1答案：C解析：由题意得，令4012341(23)x a a a a a=⇒++++=4012341(23)x a a a a a=-⇒-+-+=，又2244 024130123401234()()()()(23)(23)1a a a a a a a a a a a a a a a++-+=++++-+-+==应当选C。
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北京市西城区2012届高三4月第一次模拟考试试题数 学（理科）2012.4第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1．已知全集U =R ，集合1{|1}A x x=≥，则U A =ð（ ） （A ）(0,1) （B ）(0,1]（C ）(,0](1,)-∞+∞ （D ）(,0)[1,)-∞+∞2．执行如图所示的程序框图，若输入2x =，则输出y 的 值为（ ） （A ）2 （B ）5 （C ）11 （D ）233．若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）（A ）9 （B ）3 （C ）0 （D ）3-4．已知正六棱柱的底面边长和侧棱长相等，体积为3． 其三视图中的俯视图如图所示，则其左视图的面积是（ ） （A）2 （B）2（C ）28cm（D ）24cm5．已知函数44()sin cos f x x x ωω=-的最小正周期是π，那么正数ω=（ ） （A ）2（B ）1（C ）12（D ）146．若2log 3a =，3log 2b =，4log 6c =，则下列结论正确的是（ ） （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）c b a << （D ）b c a <<7．设等比数列{}n a 的各项均为正数，公比为q ，前n 项和为n S ．若对*n ∀∈N ，有23n n S S <，则q 的取值范围是（ ）（A ）(0,1] （B ）(0,2)（C ）[1,2)（D ）8．已知集合230123{|333}A x x a a a a ==+⨯+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2,3)k a k ∈=，且30a ≠.则A 中所有元素之和等于（ ） （A ）3240 （B ）3120（C ）2997（D ）2889第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9. 某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．10．6(2)x -的展开式中，3x 的系数是_____．（用数字作答）11. 如图，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC于点M．若OC =1OM =，则MN =_____．12. 在极坐标系中，极点到直线:l πsin()4ρθ+=_____．13. 已知函数122,0,(),20,x x c f x x x x ⎧≤≤⎪=⎨+-≤<⎪⎩ 其中0c >．那么()f x 的零点是_____；若()f x 的ABCOMN值域是1[,2]4-，则c 的取值范围是_____．14. 在直角坐标系xOy 中，动点A ，B 分别在射线(0)y x x =≥和(0)y x =≥上运动，且△OAB 的面积为1．则点A ，B 的横坐标之积为_____；△OAB 周长的最小值是_____．三、解答题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知sin()sin sin()A B B A B +=+-． （Ⅰ）求角A ；（Ⅱ）若||7BC =，20=⋅AC AB ，求||AB AC +．16.（本小题满分13分）乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制（即先胜4局者获胜，比赛结束），假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同（Ⅰ）求甲以4比1获胜的概率；（Ⅱ）求乙获胜且比赛局数多于5局的概率； （Ⅲ）求比赛局数的分布列.17．（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形， ︒=∠=∠60DBF DAB ，且FA FC =． （Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ； （Ⅲ）求二面角B FC A --的余弦值．18.（本小题满分13分）已知函数()e (1)axa f x a x=⋅++，其中1-≥a .（Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求)(x f 的单调区间.19.（本小题满分14分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>，定点(2,0)M ，椭圆短轴的端点是1B ，2B ，且12MB MB ⊥.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设过点M 且斜率不为0的直线交椭圆C 于A ，B 两点.试问x 轴上是否存在定点P ，使PM 平分APB ∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.20.（本小题满分13分）对于数列12:,,,(,1,2,,)n n i A a a a a i n ∈=N ，定义“T 变换”：T 将数列n A 变换成数列12:,,,n n B b b b ，其中1||(1,2,,1)i i i b a a i n +=-=-，且1||n n b a a =-，这种“T 变换”记作()n n B T A =.继续对数列n B 进行“T 变换”，得到数列n C ，…，依此类推，当得到的数列各项均为0时变换结束．（Ⅰ）试问3:4,2,8A 和4:1,4,2,9A 经过不断的“T 变换”能否结束？若能，请依次写出经过“T 变换”得到的各数列；若不能，说明理由；（Ⅱ）求3123:,,A a a a 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件； （Ⅲ）证明：41234:,,,A a a a a 一定能经过有限次“T 变换”后结束．数学（理科）参考答案及评分标准2012.4 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. C ；2. D ；3. A ；4.A ；5. B ；6. D ；7. A ；8. D .二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9.54； 10.160-； 11.1；13.1-和0，(0,4]；2(1. 注：13题、14题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.15.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：原式可化为 B A B A B A B sin cos 2)sin()sin(sin =--+=． …………3分因为(0,π)B ∈， 所以 0sin >B ， 所以21cos =A ． …………5分因为(0,π)A ∈， 所以 π3A =． ……………6分 （Ⅱ）解：由余弦定理，得 222||||||2||||cos BC AB AC AB AC A =+-⋅．………8分因为 ||7BC =，||||cos 20AB AC AB AC A ⋅=⋅=，所以 22||||89AB AC +=． …………10分 因为 222||||||2129AB AC AB AC AB AC +=++⋅=， ………12分 所以 ||129AB AC += …………13分 16.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是21． ………1分 记“甲以4比1获胜”为事件A ，则334341111()C ()()2228P A -==． …………4分 （Ⅱ）解：记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B .因为，乙以4比2获胜的概率为3353151115C ()()22232P -==， ……………6分乙以4比3获胜的概率为3363261115C ()()22232P -==， ………7分所以 125()16P B P P =+=． …………8分 （Ⅲ）解：设比赛的局数为X ，则X 的可能取值为4,5,6,7．44411(4)2C ()28P X ===， …………9分 334341111(5)2C ()()2224P X -===， …………10分 335251115(6)2C ()()22216P X -==⋅=， ……………11分336361115(7)2C ()()22216P X -==⋅=． ………………12分比赛局数的分布列为：X 45 6 7 P18 14 516 516………………13分 17.（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连结FO ．因为 四边形ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥， 且O 为AC 中点． ………………1分又 FC FA =，所以 AC FO ⊥． ………3分 因为 O BD FO = ，所以 ⊥AC 平面BDEF ． ………………4分 （Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD //BC ，DE //BF ，所以 平面FBC //平面EAD ． ………………7分又⊂FC 平面FBC ，所以FC // 平面EAD ． ……………8分（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且︒=∠60DBF ，所以△DBF 为等边三角形．因为O 为BD 中点，所以BD FO ⊥，故FO ⊥平面ABCD ．由OF OB OA ,,两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -． ………………9分设2=AB ．因为四边形ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，则2=BD ，所以1OB =，OA OF ==所以 )3,0,0(),0,0,3(),0,1,0(),0,0,3(),0,0,0(F C B A O -． 所以(3,0,CF =，(3,1,0)CB =．设平面BFC 的法向量为=()x,y,z n ，则有0,0.CF CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n所以 ⎩⎨⎧=+=+．03,033y x z x 取1=x ，得)1,3,1(--=n ． ………………12分易知平面AFC 的法向量为(0,1,0)=v ． ………………13分由二面角B FC A --是锐角，得cos ,⋅〈〉==n v n v n v． 所以二面角B FC A --的余弦值为515． ……………14分18.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：当1a =时，1()e (2)x f x x =⋅+，211()e (2)xf x x x '=⋅+-．…………2分 由于(1)3e f =，(1)2e f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是2e e 0x y -+=． ……4分 （Ⅱ）解：2(1)[(1)1]()eaxx a x f x a x ++-'=，0x ≠． …………6分① 当1-=a 时，令()0f x '=，解得 1x =-．)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-；单调递增区间为(1,0)-，(0,)+∞．…8分当1a ≠-时，令()0f x '=，解得 1x =-，或11x a =+． ② 当01<<-a 时，)(x f 的单调递减区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+；单调递增区间为(1,0)-，1(0,)1a +． ……10分 ③ 当0=a 时，()f x 为常值函数，不存在单调区间． ……………11分 ④ 当0a >时，)(x f 的单调递减区间为(1,0)-，1(0,)1a +；单调递增区间为(,1)-∞-，1(,)1a +∞+． …………13分19.（本小题满分14分）（Ⅰ）解：由 222222519a b b e a a-===-， 得 23b a =. ………2分 依题意△12MB B 是等腰直角三角形，从而2b =，故3a =. …………4分所以椭圆C 的方程是22194x y +=. ……5分 （Ⅱ）解：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线AB 的方程为2x my =+.将直线AB 的方程与椭圆C 的方程联立，消去x 得 22(49)16200m y my ++-=. ……7分所以 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+. ……8分 若PF 平分APB ∠，则直线PA ，PB 的倾斜角互补，所以0=+PB PA k k . …………9分 设(,0)P a ，则有12120y yx a x a+=--. 将 112x my =+，222x my =+代入上式， 整理得1212122(2)()0(2)(2)my y a y y my a my a +-+=+-+-，所以 12122(2)()0my y a y y +-+=. ………………12分将 1221649m y y m -+=+，1222049y y m -=+代入上式， 整理得 (29)0a m -+⋅=. ……………13分由于上式对任意实数m 都成立，所以 92a =. 综上，存在定点9(,0)2P ，使PM 平分APB ∠. …………14分20.（本小题满分13分）（Ⅰ）解：数列3:4,2,8A 不能结束，各数列依次为2,6,4；4,2,2；2,0,2；2,2,0；0,2,2； 2,0,2；…．从而以下重复出现，不会出现所有项均为0的情形． ……2分数列4:1,4,2,9A 能结束，各数列依次为3,2,7,8；1,5,1,5；4,4,4,4；0,0,0,0． ……………3分（Ⅱ）解：3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==．……4分若123a a a ==，则经过一次“T 变换”就得到数列0,0,0，从而结束．……5分 当数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束时，先证命题“若数列3()T A 为常数列，则3A 为常数列”．当123a a a ≥≥时，数列3122313():,,T A a a a a a a ---．由数列3()T A 为常数列得122313a a a a a a -=-=-，解得123a a a ==，从而数列3A 也 为常数列．其它情形同理，得证．在数列3A 经过有限次“T 变换”后结束时，得到数列0,0,0(常数列)，由以上命题，它变换之前的数列也为常数列，可知数列3A 也为常数列． ………8分所以，数列3A 经过有限次“T 变换”后能够结束的充要条件是123a a a ==． （Ⅲ）证明：先证明引理：“数列()n T A 的最大项一定不大于数列n A 的最大项，其中3n ≥”．证明：记数列n A 中最大项为max()n A ，则0max()i n a A ≤≤．令()n n B T A =，i p q b a a =-，其中p q a a ≥．因为0q a ≥， 所以max()i p n b a A ≤≤，故max()max()n n B A ≤，证毕． ……………9分现将数列4A 分为两类．第一类是没有为0的项，或者为0的项与最大项不相邻（规定首项与末项相邻），此时由引理可知，44max()max()1B A ≤-．第二类是含有为0的项，且与最大项相邻，此时44max()max()B A =．下面证明第二类数列4A 经过有限次“T 变换”，一定可以得到第一类数列． 不妨令数列4A 的第一项为0，第二项a 最大(0a >)．（其它情形同理）① 当数列4A 中只有一项为0时，若4:0,,,A a b c (,,0a b a c bc >>≠)，则4():,,||,T A a a b b c c --，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,(,0)A a a b a b b >≠，则4():,0,T A a a b b -；4(()):,,|2|,T T A a a b a b a b ---此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列；若4:0,,,A a b a (,0a b b >≠)，则4():,,,T A a a b a b b --，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,A a a a ，则4():,0,0,T A a a ；4(()):,0,,0T T A a a ；4((())):,,,T T T A a a a a ， 此数列各项均不为0，为第一类数列．② 当数列4A 中有两项为0时，若4:0,,0,A a b (0a b ≥>)，则4():,,,T A a a b b ，此数列各项均不为0，为第一类数列；若4:0,,,0A a b (0a b ≥>)，则():,,,0T A a a b b -，(()):,|2|,,T T A b a b b a -，此数列各项均不为0或含有0项但与最大项不相邻，为第一类数列．③ 当数列4A 中有三项为0时，只能是4:0,,0,0A a ，则():,,0,0T A a a ， (()):0,,0,T T A a a ，((())):,,,T T T A a a a a ，此数列各项均不为0，为第一类数列．总之，第二类数列4A 至多经过3次“T 变换”，就会得到第一类数列，即至多连续经历3次“T 变换”，数列的最大项又开始减少．又因为各数列的最大项是非负整数，故经过有限次“T 变换”后，数列的最大项一定会为0，此时数列的各项均为0，从而结束． ………………13分。