2011届高考数学专题复习教案19

一轮复习学案 §2.14. 函数与方程 姓名

☆学习目标：1．理解函数零点的概念,能用二分法求方程的近似解;

2．体会函数与方程相互转化的数学思想方法. ☻基础热身：

1. 函数()321f x ax a =-+在[-1,1]上存在一个零点,则a 的取值范围是( ) A ．15

a ≥

Ｂ．1a ≤ Ｃ．115

a -≤≤

Ｄ．115

a a ≥

≤-或

2. 已知函数()f x 为偶函数，其图象与x 轴有四个交点，则该函数的所有零点之和为（ ） Ａ．０ Ｂ．２ Ｃ．１ Ｄ．４

3. 函数

1()x

f x e

x

=-

的零点所在的区间是（ ）

Ａ．1

(0,)2 Ｂ．1(,1)

2 Ｃ．3(1,)2 Ｄ．3

(,2)

2

☻知识梳理：

1.函数零点的定义

①对于函数()y f x =，把方程()0f x =的 叫做函数()y f x =叫做函数的零点；

②方程()0f x =有实根⇔函数()y f x =的图象与 有交点

⇔函数()y f x =有 ． 2.函数零点的判定

若函数()y f x =在[,]a b 上的图象是连续不间断的一条曲线，且有()()f a f b ⋅ ０, 则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点．―――――零点存在性定理．

3.给定精确度ε，用二分法求函数()f x 零点近似值的步骤：

第一步，确定区间[,]a b ，验证()()f a f b ⋅ ０； 第二步，求区间(,)a b 的中点1x ， 第三步，计算1()f x

10.若1()0f x =，则 ；

20.若1()()0f a f x ⋅<，则令 （此时零点(,)x ∈ ）； 30. 若1()()0f x f b ⋅<，则令 （此时零点(

,

)x ∈ ）

； 第四步，判断是否达到精确度ε，否则重复第二、三、四步．

4.函数与方程思想

所谓函数与方程思想, 简单了说就是用方程的方法研究函数问题, 用函数的方法研究方

程问题. 实际上是能自觉运用方程、函数，以及方程的方法、函数的方法研究解决数学问

题，一种数学修养. 是高考数学重要的思想方法. ☆ 案例分析：

例1. (1)已知函数2

()22(4)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任一实数x ，()f x 与

()g x 至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是( )

A ． (0,2)

B ．(0,8)

C ．(2,8)

D ． (,0)-∞

(2) 定义域为R 的函数⎩⎨

⎧=≠-=)2(0

)

2(||2|lg |)

(x x x x f ，若0

0)()(2

=+x bf x f ,的不同实根共有（ ）个。 A. 4 B.5 C.7 D.8

例2.已知a是实数，函数2

=+--，

f x ax x a

()223

如果函数()

-，上有零点，求a的取值范围．

=在区间[]11

y f x

例3.用二分法求3

=--在区间[1,1.5]内的一个零点(精确度0.1).

f x x x

()1

例4.

参考答案:

基础热身：1.Ｄ; 2.Ａ; 3.Ｂ.

例1. 解： (1)当0m ≤时，显然不成立

当0m >时，因(0)10f =>当4022

b m a

--=≥即04m <≤时结论显然成立；

当4022

b m a

--

=<时只要2

4(4)84(8)(2)0m m m m ∆=--=--<即可

即48m <<，则08m <<，选B

(2) 解析： 方程0)()(2=+x bf x f 可化为0)(=x f 或b x f -=)(。而)(x f y =的图象大 致如图1所示，

由图可知，直线0=y 与)(x f y =的图象有3个

交点，直线)0(<-=b b y 与)(x f y =的图象有4个交点，

即方程0)(=x f 有3个实根，方程b x f -=)(有4个实根，从而原方程共有7个实根， 故答案选C 。

例2. 解析1：函数()y f x =

在区间[-1，1]上有零点，即方程2()223f x ax x a

=+--=0在[-1，

1]上有解，

a=0时，不符合题意，所以a ≠0,方程f(x)=0在[-1，1]上有解<=>(1)(1)0f f -⋅≤

或(1)0(1)048(3)01[ 1.1]af af a a a

-≥⎧⎪

≥⎪⎪

∆=++≥⎨⎪

⎪-∈-⎪⎩15a ⇔≤≤

或2a ≤

或5a

≥

⇔2

a ≤

或a ≥1.

所以实数a

的取值范围是2

a

≤

或a ≥1.

解析2：a=0时，不符合题意，所以a ≠0,又

∴2()223f x ax x a =+--=0在[-1，1]上有解，2(21)32x a x ⇔-=-在[-1，1]上有解 2

12132x a

x

-⇔

=

-在[-1，1]上有解，

问题转化为求函数2

2132x y x

-=-[-1，1]上的值域；设t=3-2x ，x ∈[-1，1]，

则23x t

=-，t ∈[1,5],2

1(3)217

(6)

22t y t t t

--=⋅=+-，

设2

2

77().'()t g t t g t t t

-=+

=

，t ∈时，'()0g t <，此函数g(t)

单调递减，5]t ∈时，