平面向量的实际背景及基本概念学案
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。
2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。
3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。
2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。
3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。
4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。
5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。
6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。
7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。
2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。
3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。
四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。
2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。
3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。
五、教学资源：1. 教案、PPT课件。
2. 几何图形和物理情境的图片或视频。
3. 练习题和案例分析题。
4. 小组讨论和报告的评价标准。
六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。
2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。
七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。
2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。
3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。
4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。
2019年导学案2.1平面向量的实际背景及基本概念.doc
2． 1平面向量的实际背景及其基本概念导学案【学习目标】1. 通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清楚数量与向量的区别。
2.理解自由向量、相等向量、相反向量、平面向量等概念，并能判断向量之间的关系，并会辨认图形中的相等向量或作出某一已知向量的相等向量。
【学习重点】掌握并理解向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，会表示向量。
【学习难点】平行向量、相等向量和共线向量的区别与联系。
【学法指导】通过实例，利用平面向量的实际背景以及研究平面向量的必要性，理解平面向量的概念以及确定平面向量的两个要素，搞清楚数量与向量的区别。
【知识链接】向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量【学习过程】一．预习自学1．物理学中我们学习了位移、速度、加速度、力等物理量，回顾这与我们学习过的长度、面积、体积、质量等有什么不同之处？而位移、速度、加速度、力这些量又有什么共同点？2．向量的有关概念：（1）向量：既有，又有的量叫做向量。
（2）向量的模：有向线段AB的长度，表示向量AB 的大小，也叫做向量AB的（或），记作。
（3）零向量：长度为的向量叫做零向量，记作。
（4）单位向量：长度等于的向量叫做单位向量。
（5）相等向量：且的向量叫做相等向量。
（6）平行向量（共线向量）：方向的非零向量叫做平行向量，也叫做共线向量，向量 a 平行于b ，记作，规定：零向量与平行。
3．向量的表示方法：（1）用有向线段的几何表示法：①有向线段：带有素、的线段叫做有向线段，它包含三要、。
○2 向量的几何表示法：以 A 为、B 为的有向线段记为AB，如果有向线段AB表示一个向量，通常我们就说向量AB 。
（2）字母表示：可用字母表示向量，手写时通常写成带箭头的小写字母。
4、通过上上面的学习你知道向量和数量有何不同？向量和有向线段有何关系？二 . 课堂检测1．判断正误：（1）向量必须用有向线段表示（2）表示一个向量的有向线段是唯一的（）（）（3）若向量a与b同向，且| a | | b |，则（4）单位向量都相等a b（（））（5）向量AB与CD是共线向量，则 A、B、C、D四点必在一条直线上（6）共线的向量，起点不同，则终点一定不同（）（）（7）四边形 ABCD是平行四边形当且仅当2．非零向量AB的长度怎样表示？非零向量ABBADC（）的长度怎样表示？这两个向量的长度相等吗？这两个向量相等吗？二．新知探究例 1．如图，设 O是正六边形ABCDEF的中心，分别写出图中与OA 、OB 、OC 相等的向量。
2.1平面向量的实际背景及基本概念 导学案
2.1 平面向量的实际背景及基本概念导学案班级：姓名：一.学习目标：（1）理解向量的概念；理解数量与向量的区别；掌握向量的表示方法：几何表示、字母表示；（2）理解特殊的向量：零向量、单位向量；理解向量的几种特殊关系：平行（共线）向量、相等向量；揭示向量可以平移这一特性；（3）在学习的过程中，学生的观察、联系、类比、抽象、概括、归纳、实践等方面的能力都能得到一定程度培养和提高.二.学习内容及程序:问题1同学们，我用12N的力作用于桌面上一个小木块，结果小木块竟然纹丝不动，你们觉着奇怪吗？问题2 物理学中有很多的“量”，如速度、质量等，你还能列举出一些吗？并分类.探究新知(1)向量的概念：我们把的量叫向量.探究：两个向量是否可以比较大小？问题3数的概念中,实数与数轴上的点一一对应.类比:向量是否也可以用几何来表示呢?(2)向量的表示:①几何表示: ②字母表示: 向量的模:数学建构探究实数中0、1，类比：向量中有与之相对应的向量吗？(3)两个特殊向量:零向量:思考:零向量有没有方向?单位向量: 练习1.如图2.1-6，试根据图中的比例尺(1:8000000)以及三地的位置，在图中分别用向量表示A 地 至B 、C 两地的位移，并求出A 地至B 、C 两地 的实际距离（精确到1km ）练习2.指出图中各向量的长度.思考:向量,,有怎样的位置关系？(4)平行向量： 规定: 相等向量:练习3.在54 的方格中有一个向量AB ，分别以图中的格点为起点和终点作向量，其中与相等的向量有多少个？和长度相等的平行向量又有多少个？思考:这15个向量与共线吗？共线向量:问题4 平行向量也叫共线向量,你将如何理解?IJ判断：a 与b 共线,b 与c 共线,则a 与c 也共线.( )数学应用练习4.概念辨析:⑴两个长度相等的向量一定相等．（ ） ⑵相等向量的起点必定相同．（ ） ⑶平行向量就是共线向量．（ ）⑷若与共线，则 A 、B 、C 、D 四点必在同一条直线上．（ ） ⑸向量a 与b 平行，则向量a 与b 的方向相同或相反．（ ）练习5.如图2.1-10，设O 是正六边形ABCDEF 的中心,分别写出图中所示向量与OC OB OA 相等的量.变式:(1)与向量长度相等的向量有多少个？ (2)与向量OA 共线的向量有哪些？归纳总结:问题5 你是怎样研究向量的，能理一理本节课所学的知识结构吗?三、课后练习:1. 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD 中,与是共线向量；(2)单位向量都相等. 2. 下列命题正确的是( )A.与共线,与共线,则与也共线；B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点；C.向量a 与b 不共线,则a 与b 都是非零向量；D.有相同起点的两个非零向量不平行. 3. 下列命题中，正确的是( )A ．||=||⇒=B ．||=||且∥⇒=C ． =⇒∥D ．∥0⇒||=04.把平面上一切单位向量的始点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是（ ）A.一条线段B.一段圆弧C.圆上一群孤立点D.一个单位圆 5. 设在平面上给定了一个四边形ABCD ,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中 点,则_______,||=________= 6.根据下列的条件,分别判断四边形ABCD 的形状:(1) = ; (2),==DC AB作业布置:教科书P77习题2.1A 组 附：向量的发展历程：向量，最初被应用于物理学。
平面向量的实际背景及基本概念教学设计( )
第二章平面向量2.1平面向量的实际背景及基本概念教学设计一、内容和内容解析向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何和三角函数的一种工具，它有着丰富的现实背景和物理背景。
向量是刻画位置的重要数学工具，在诸如卫星定位、飞船设计等领域有着广泛的应用。
向量也是刻画物理量——力、位移、速度、加速度、动量、电场强度这些物理量的数学工具，它体现了数学和物理的天然联系。
向量的学习有助于学生认识数学和实际生活以及物理学科的紧密联系，体会向量在刻画和解决实际问题中的作用，从中感受数学的应用价值。
在教学中需要引导学生对现实原型的观察分析和比较，得出抽象的数学模型，所以本节内容是渗透“数学抽象”很好的载体。
在本节中，学生将了解平面向量丰富的实际背景，理解平面向量的意义，能用向量的语言和方法表达和解决数学和物理中的一些问题。
本节课是一节概念课，在向量基本概念的形成过程中，需要将学生已有的旧知识作为新知识的固着点和生长点，在探究向量的几何表示时让学生经历以物理中学习力的图示，位移的表示，速度的表示为起点，归纳并确定向量的几何表示以及符号表示，而在探索向量间的特殊关系时，引导学生借助图形进行，这样不仅使研究有序，同时更锻炼学生的直观想象能力，有助于感受向量集数与形于一身的特性。
通过类比学习数量的过程，让学生自然的获得新知识的探究方向，在基本概念的学习中，要让学生体验概念的生成过程，获得这些概念的“基本思路”即获得数学研究对象，认识数学新对象的基本方法，用数学的观点刻画和研究现实事物的方法和途径。
二、目标和目标解析1. 通过对平面向量概念的抽象概括，体验数学概念的形成过程，了解平面向量的实际背景；2. 理解平面向量的意义和两个向量相等的含义；3. 理解平面向量的几何表示和基本要素，会用有向线段表示向量，会判断零向量，单位向量，能做一个向量和已知向量相等，能根据图形判定向量是否是平行，共线，相等向量。
4.通过类比“学习数量的过程”而获得研究的内容与方法的启发，再一次体会研究一类新的数学问题的基本思路．学生已经学习过数量，但是形如确定位置的问题，只用数量是无法满足需要的，这就使得学习新知识是自然的有必要的，同时可以引导学生类比“学习数量的过程”明确研究向量概念的基本方向，因此，复习回顾数量的相关知识是有必要的。
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念学案
集贤一中高一数学学案 必修四 姓名 备课时间：11月30日 主备教师： 小组： 课题：§2.1 平面向量的实际背景及基本概念一． 学习过程：(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量，如速度、位移、力等．(2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量，如面积、体积、质量等．(1)有向线段：带有________的线段叫做有向线段，其方向是由________指向________，以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB →.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度．知道了有向线段的起点、方向、长度，它的终点就唯一确定．(2)向量的有关概念：向量AB →的________，也就是向量AB →的长度(或称模)，记作|AB →|.长度为______的向量叫做零向量，记作0.长度等于______个单位的向量，叫做单位向量．(3)向量的表示法：①几何表示：用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向；②字母表示：用一个小写的英文字母表示，或用表示向量的有向线段的________和______的字母表示．(4)平行向量：方向________或________的非零向量叫做平行向量．向量a 与b 平行，通常记为a ∥b .规定零向量与任何向量都________，即对于任意向量a ，都有0∥a .(1)记为a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．在平面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示同一个向量．(2)共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一________上，因此，平行向量也叫共线向量．思考探究：谈谈你对平行向量、共线向量、相等向量这三个概念的认识．二．典型例题例 ①若a ≠b ，则a 一定不与b 共线；②若AB →＝DC →，则A 、B 、C 、D 四点是平行四边形的四个顶点；③在平行四边形ABCD 中，一定有AB →＝DC →；④若向量a 与任一向量b 平行，则a ＝0；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .回顾归纳 对于命题判断正误题，应熟记有关概念，看清、理解各命题，逐一进行判断，有时对错误命题的判断只需举一反例即可．变式训练1 判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)若向量a 与b 同向，且|a |>|b |，则a>b ；(2)若向量|a |＝|b |，则a 与b 的长度相等且方向相同或相反；(3)对于任意|a |＝|b |，且a 与b 的方向相同，则a ＝b ；(4)向量a 与向量b 平行，则向量a 与b 方向相同或相反．例2 一辆汽车从A 点出发向西行驶了100 km 到达B 点，然后又改变方向向西偏北50°走了200 km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100 km 到达D 点．(1)作出向量AB →、BC →、CD →； (2)求|AD →|.回顾归纳 准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．变式训练2 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？类型3相等向量与共线向量例3 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．回顾归纳 (1)非零向量共线是指向量的方向相同或相反；(2)共线的向量不一定相等，但相等的向量一定共线．变式训练3 如图所示，四边形ABCD 和BCED 都是平行四边形，(1)写出与BC →相等的向量：________.(2)写出与BC →共线的向量：________.三．达标训练1．下列说法正确的有( )①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．下列命题正确的是( )A ．若|a |＝|b |，则a ＝b 或a ＝－bB ．向量的模一定是正数C ．起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量D ．向量AB →与CD →是共线向量，则A 、B 、C 、D 四点必在同一直线上3．下列四个命题①若|a |＝0，则a ＝0；②若|a |＝|b |，则a ＝b ，或a ＝－b ；③若a ∥b ，则|a |＝|b |； ④若a ＝0，则－a ＝0.其中正确命题的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44．下列命题正确的是( )A ．a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B ．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点C ．向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D ．有相同起点的两个非零向量不平行5．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形为________．6．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．7．下列各种情况下，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.8. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．四．课堂小结1．向量是既有大小又有方向的量，解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑．2．向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．如a >b 没有意义，而|a |>|b |有意义．3．共线向量与平行向量是同一概念．规定：零向量与任一向量都平行.五．课后反思：。
平面向量的实际背景及基本概念教案
为起点、B 为终点的有向线段记作 AB，起点写在终点前面
B(终点)
有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.
表示: AB
A(起点)
（1）用有向线段的起点和终点字母表示向量 （2）用小写字母表示 a , b , c , . . . （3）坐标表示
书本练习 P77 练习 1 三、向量的有关概念
1、 向量 AB 的大小,也就是向量 AB 的长度（或称模）,记作|AB|. 2、两个特殊向量：
长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0. |0|=0. 长度等于 1 个单位的向量，叫做单位向量.
注：①零向量是长度为零的向量，大小为 0，有方向，约定其方向任意。 ②单位向量是长度为 1 一个单位的向量，对一个具体的向量来说，其单位向量方向是
确定的,跟其方向一致。 讨论：数量是可以比较大小的，向量能比较大小吗？ 向量既有大小，又有方向，本身不能比较大小，但是其长度（模）可以比较大小
5.小结与布置作业
七、板书设计
定义：大小、方向 表示：有向线段 概念：平行（共线）向量
相等向量 相反向量
定义画图
练习画图
一、课题：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
二、教学目标
1.知识与技能 了解向量的实际背景； 理解向量的含义、几何表示、向量的模； 理解零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念，能在图形中辨认相等向量和共线
向量
2.过程与方法 体会数形结合、化归等思想方法； 提高观察、类比、分析、概括等能力
3.情感态度与价值观 通过联系实际生活，认识到学习向量是实际的需要，提高学习数学的积极性，形成积极
思考：1、时间、路程、功是向量吗？
2、温度有零上零下之分，“温度”是否为向量？
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 让学生理解平面向量的实际背景，感受向量在现实生活中的应用。
2. 掌握平面向量的基本概念，包括向量的定义、向量的表示、向量的运算等。
3. 培养学生的抽象思维能力，提高学生运用向量解决问题的能力。
二、教学内容：1. 向量的实际背景：介绍向量在物理学、几何学等领域的应用，如力的表示、位移的表示等。
2. 向量的基本概念：(1) 向量的定义：线段上的点称为向量的始点，线段的另一端称为向量的终点，线段的长度称为向量的模。
(2) 向量的表示：用箭头表示向量，箭头的长度表示向量的模，箭头的方向表示向量的方向。
(3) 向量的运算：加法、减法、数乘、点积、叉积等。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的实际背景，向量的基本概念，向量的表示方法。
2. 教学难点：向量的运算，向量的几何意义。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解向量的实际背景和基本概念。
2. 采用案例分析法，分析向量在实际问题中的应用。
3. 采用互动教学法，引导学生参与课堂讨论，提高学生的参与度。
五、教学过程：1. 引入新课：通过力的表示、位移的表示等实例，引导学生了解向量的实际背景。
2. 讲解向量的基本概念：讲解向量的定义、表示方法，并进行示例演示。
3. 向量的运算：讲解向量的加法、减法、数乘等运算方法，并进行示例演示。
4. 向量的几何意义：通过图形展示向量的几何意义，引导学生理解向量在几何中的应用。
5. 课堂练习：布置相关练习题，让学生巩固所学内容。
7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。
六、教学评估：1. 课堂讲解过程中，观察学生对向量实际背景的理解程度，以及对向量基本概念的掌握情况。
2. 课堂练习环节，收集学生的练习成果，评估学生对向量运算的熟悉程度。
3. 课后作业的完成情况，以检验学生对课堂所学知识的巩固程度。
七、教学策略的调整：1. 根据学生的学习反馈，针对性地加强向量实际背景的讲解，提高学生对向量的认识。
《平面向量的实际背景及基本概念》参考教案11
平面向量的实际背景及基本概念教学理念新的课程标准要求我们创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，创设教学情境，让学生通过主动参与、积极思考、合作交流和创新等过程，获得知识、能力、情感的全面发展．本节课将充分体现以“学生为本”的教学观念，实现课程理念、教学方式和学生学习方式的转变．教学内容《普高中课程标准数学教科书数学必修四》（人教A版）教学目标1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景；理解向量的概念。
2.理解向量的几何表示；掌握零向量、单位向量、平行向量等概念；3.理解相等向量和共线向量等概念，并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量。
教学重点、难点：1、通过学生自主探究，并在教师的引导下，使学生理解向量的概念，相等向量等相关的概念，向量的几何表示等是本节课的重点．2、难点是学生对向量的概念和共线向量的概念的理解．学情和教材分析向量是近代数学中重要和基本的概念之一，有深刻的几何背景及代数意义，因此向量具有数形结合的特征，是深入学习数学及解决各类数学问题的有效工具，在其他学科中也有广泛应用。
所以向量是历年高考的必考内容，本节课是向量的第一节课，是新知识的一个起点，所以这是十分关键、重要的一节课。
本节教学内容的特点是：概念多，有向量、平行向量、相等向量、单位向量等相关概念及向量的几何表示。
学生在学习过程中，诸多概念容易混淆，它们之间关系不易理清，这些是学习中的难点。
鉴于以上分析，我认为本课的教学方法应采用“指导学生自主学习”方式，以培养学生的阅读能力、独立学习能力，又可以避免满堂灌及学习死记硬背的学习方法。
教学准备：多媒体课件。
教学过程一、导入新课1.我们知道物理中的力、速度，位移等都是矢量，他们具有共同的特征是什么？………………………（学生讨论回答）2.你能举出几个具有以上特征的量吗？岁数、身高、面积具有这些特征吗？3.在数学上，我们把具有这种特征的量称为向量，（引导学生看书P85）二、推进新课提出问题：本课的概念较多，课本中对这些概念的表述清楚，容易读懂，下面请同学们阅读课本，然后对所学的内容作一个归纳，并完成课后的练习师：1.巡查学生读书情况，并为个别学生作指导；2.过后，请一个学生叙述他的知识归纳，并请几个同学作补充。
永城高中高一(I)部数学学案-平面向量的实际背景及基本概念
B(终点)A(起点)高一（I ）部数学学案（10）出题人：许福利 2013/2/28平面向量的实际背景及基本概念1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；2.掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.会用符号表示向量.1.向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量。
2.数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.3.向量的表示方法：①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ（黑体，印刷用）等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB ；④向量AB 的大小，即长度称为向量的模，记作|AB |.4.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.向量与有向线段的区别： （1）向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.5.零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0，其方向是任意的. 注意：0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.6.平行向量定义：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；（2）向量a 、b 平行，记作a ∥b .7.相等向量定义：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.说明：（1）向量a 与b 相等，记作a ＝b ；（2）零向量与零向量相等；（3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关．．．．．．．．．．. 8.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量，因为任一组平行向量都可移到同一直线上（与有向线段的起点无关）．．．．．．．．．．．. 说明：（1）平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；（2）共线向量可以相互平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.例1.下列命题正确的是（ ） A. a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.有相同起点的两个非零向量不平行1.设00,a b 分别,a b 的单位向量，则下列结论中正确的是（ ） A ．00a b = B ．001a b ⋅=C ．00||||2a b +=D ．00||2a b +=2.关于零向量，下列说法中错误的是（ ）A 零向量是没有方向的。
人教版高中必修42.1平面向量的实际背景及基本概念课程设计
人教版高中必修4-2.1 平面向量的实际背景及基本概念课程设计引言平面向量是高中数学中的重要知识点。
学习平面向量，可以帮助学生深入了解向量的概念、性质及其应用；同时，平面向量也是很多高等数学和物理学领域的基础。
本文旨在分析平面向量在现实世界中的实际背景，同时设计一堂高中必修4-2.1平面向量课程。
一、平面向量的实际背景1. 科技领域平面向量在科技领域有着广泛的应用，尤其是在计算机图形学、游戏开发和机器学习等领域。
例如，在计算机游戏中，平面向量可以用来表示角色的位置、速度和方向等信息；在图像处理中，平面向量可以用来表示图像的亮度和颜色。
2. 工程领域在工程领域，平面向量通常用于描述力的大小和方向，例如，机械工程中的受力分析、土木工程中的结构设计、电气工程中的电流、电压描述等等。
3. 数学和物理学对于学习数学和物理学的学生来说，平面向量也是很重要的基础知识。
在数学中，平面向量可以用于求解代数方程组、行列式的计算和向量空间的理解等等。
在物理学中，平面向量可以用于描述物理运动，例如力的合成、速度和位移的计算等。
二、课程设计1. 教学目标本节课通过对平面向量的介绍，旨在帮助学生：1.了解平面向量的基本概念和性质。
2.能够进行向量的加减、数量乘法和点乘运算。
3.了解平面向量在科技和工程领域的应用。
4.能够解决平面向量的简单应用问题。
2. 教学内容本节课的教学内容包括：1.平面向量的基本概念和性质。
2.向量的加减、数量乘法和点乘运算。
3.平面向量的应用。
4.平面向量的简单应用问题。
3. 教学方法本节课主要采用讲授和练习相结合的方法。
具体来说，可以采用以下教学方法：1.讲解：通过PPT等资料，讲解平面向量的基本概念和性质。
2.示范：通过简单的例题演示平面向量的加减、数量乘法和点乘运算。
3.练习：让学生进行相关练习，加深对平面向量的理解和应用能力。
4.展示：让学生展示自己对平面向量的理解和应用能力。
4. 教学过程本节课的教学过程可以分为以下几个步骤：1.介绍向量的基本概念和性质。
平面向量的实际背景及基本概念(学案)
鹿邑三高导学案班级小组姓名高一年级数学编写人：刘雪纯审核人：朱永波备课组长签字：课题：2.1平面向量的实际背景及基本概念本期总课时：一．（1）课标考纲解读：掌握平面向量的基本概念。
（2）状元学习方案：通过小组合作自主探究平面向量的实际背景及基本概念二．学习目标：1. 了解向量的实际背景，会用字母表示向量，理解向量的几何表示。
2. 理解零向量、单位向量、共线向量、相等向量、相反向量等概念。
三．重点与难点：平面向量的实际背景及基本概念四．学法指导：试验观察，自主探究五．知识链接：平面向量物理背景六．学习过程一、平面向量的实际背景及基本概念1.向量的实际背景有下列物理量:位移,路程,速度,速率,力,功,其中位移,力,功都是既有_______又有________的量.路程,速率,质量,密度都是__________________的量.2、平面向量是______________________的量,向量_______比较大小.数量是_________________________的量,数量_______比较大小.3、向量的表示(1)有向线段是________________的线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点,B为终点的有向线段记作____________.起点要写在终点的前面.有向线段→AB的长度,记作________.有向线段包含三个要素________________________________________________（2）→AB和→BA的区别起点终点方向长度→AB→BA（3）向量的有向线段表示方法：向量常用带箭头的线段表示 ,它的长短表示向量的__________,箭头的指向表示向量的_______.(4) 向量也可以用_________的字母表示，如_____________；强调：箭头不能不写，否则表示数量4、向量的模向量→AB 的大小,也就是向量→AB 的长度,称_____________,记作______.5、零向量是_________的向量,记作____.零向量的方向是任意.讨论：判断下列式子是否正确，若不正确请指出错误原因.① 0=0 ② b -b =0 00=→6、单位向量是____________的向量. 讨论：（1）单位向量是否唯一？有多少个单位向量？（2）．若将所有单位向量的起点归结在同一起点，则其终点构成的图形是_____7、平行向量：_________________________叫做平行向量,向量a 与b 平行,通常记作_______我们规定:零向量与任一向量平行,即对于任意的向量b ,都有________.二、例题探究：例1：判断下列命题的真假:（1） 向量→AB 的长度和向量→BA 的长度相等. （2）向量a 与b 平行,则b 与a 方向相同.（3） 两个有共同起点而长度相等的向量,它们的终点必相同. （4） 若a 与b 平行同向,且a ＞b ，则a ＞b （5）由于0方向不确定，故0不能与任意向量平行。
学案8： 2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1平面向量的实际背景及基本概念课程目标1．了解向量的实际背景，以位移、力等物理背景抽象出向量．2．理解向量的概念，掌握向量的表示法，了解生活中的向量．3．掌握并能判断相等向量和平行向量．基础知识1．概念(1)向量：既有____，又有____的量叫做向量，如力，位移等．(2)数量：只有大小，没有____的量称为数量，如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等． 名师点拨向量与数量的区别：向量有方向，而数量没有方向；数量之间可以比较大小，而向量之间不能比较大小．(3)有向线段：带有____的线段叫做有向线段．其方向是由____指向____，以A 为起点、B为终点的有向线段记作__(如图所示)，线段__的长度也叫做有向线段AB →的长度，记作|AB →|.书写有向线段时，起点写在终点的前面，上面标上箭头．(4)有向线段的三个要素：____、____、____.知道了有向线段的起点、方向、长度，它的____就唯一确定．【做一做1】 下列量中是向量的是( )A ．长度B ．身高C ．速度D ．面积2．向量的表示法(1)几何表示：用________表示，此时有向线段的方向就是向量的方向，向量的大小就是向量的____(或称模)，如向量AB →的长度记作__．(2)字母表示：通常在印刷时，用黑体小写字母a ，b ，c ，…表示向量，书写时，可写成带箭头的小写字母a →，b →，c →，….还可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，如以A为起点，以B 为终点的向量记为AB →.【做一做2】 已知向量a 如图所示，下列说法不正确的是( )A ．也可以用MN →表示B ．方向是由M 指向NC ．起点是MD ．终点是M3．有关概念归纳总结①共线向量所在直线平行或重合．如果两个向量所在的直线平行或重合，则这两个向量是平行向量．②在平面内，相等的向量有无数多个，它们的方向相同且长度相等．相等向量是共线向量，而共线向量不一定是相等向量．【做一做3－1】 单位向量的长度等于( )A ．0B ．1C ．2D ．不确定【做一做3－2】 如图所示，在平行四边形ABCD 中，与AB →共线的向量有__________．重难点突破1．向量和有向线段的区别与联系剖析：向量是规定了大小和方向的量，有向线段是规定了起点和终点的线段．它们的联系是：向量可以用有向线段来表示，这条有向线段的长度就是向量的长度，有向线段的方向就是向量的方向．它们的区别是：向量是可以自由移动的，故当用有向线段来表示向量时，有向线段的起点是任意的．而有向线段是不能自由移动的，有向线段平移后就不是原来的有向线段了．有向线段仅仅是向量的直观体现，是向量的一种表现形式，不能等同于向量；有向线段有平行和共线之分，而向量的平行和共线是相同的，是同一个概念．2．数学中的向量是自由向量剖析：根据相等向量的定义来分析．两个非零向量只有当它们的模相等，同时方向相同时，才能称它们相等．任意两个相等的非零向量都可以用同一条有向线段表示，并且与有向线段的起点无关，所以向量只有大小和方向两个要素，是自由向量．例如：五个人站成一排，同时向前走一步(假设每个人的步子都一样大)，则每个人都有一个位移，这五个位移都相等，是相等向量．对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，是可以自由平行移动的．因此，在用有向线段表示向量时，可以自由选择起点，所以任何一组平行向量都可以移到同一直线上．题型探究题型一 向量的有关概念【例1】 下列说法正确的是( )A. AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度等于0D ．共线向量是在同一条直线上的向量反思：(1)对向量有关概念的理解要全面、准确，要注意相等向量、共线向量之间的区别和联系．(2)共线向量也就是平行向量，其要求是几个非零向量的方向相同或相反，向量所在的直线可以平行，也可以重合，其中“共线”的含义不同于平面几何中“共线”的含义．题型二 在图形中找出相等或共线向量【例2】 如图，四边形ABCD 与ABEC 都是平行四边形．(1)写出与向量AB →共线的向量；(2)写出与向量AB →相等的向量．分析：寻找相等向量时，需要考虑线段的长度和方向；寻找共线向量时，只需要考虑线段的方向，不需要考虑线段的长度．反思：在图形中找出与AB →共线的向量时，首先是BA →，再就是判断其他向量m 是否与AB →共线，若m 所在直线与直线AB 平行或重合，则m ∥AB →，否则它们不共线．在所有与AB →共线的向量中，与AB →方向相同且长度相等的向量与AB →相等．题型三 画出实际问题中的向量【例3】 一辆汽车从点A 出发向西行驶了100千米到达点B ，然后又改变方向向西偏北50°行驶了200千米到达点C ，最后又改变方向，向东行驶了100千米到达点D .(1)作出向量AB →，BC →，CD →；(2)求|AD →|.分析：根据行驶方向和距离作出向量，进而求解．反思：在实际问题中准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点．题型四 易错辨析易错点 混淆向量的有关概念而致错【例4】 判断下列各命题的真假：(1)向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；(2)两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；(3)两个有共同终点的向量，一定是共线向量；(4)向量AB →与向量CD →是共线向量，则点A ，B ，C ，D 必在同一条直线上；(5)有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5错解：A 或B 或D错因分析：本题易发生的错误是忽略零向量而判断(1)为正确；不理解共线向量而判断(3)为正确；混淆向量共线与平面几何里两直线平行而判断(4)正确；混淆向量与有向线段概念而判断(5)正确．反思：对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小又有方向，方向不能比较大小．因此“大于”“小于”对向量来说没有意义，而向量的模可以比较大小．零向量是比较特殊的向量，解题时一定要看清是“零向量”还是“非零向量”．随堂练习1．已知非零向量a，b满足a∥b，则下列说法错误的是()A．a＝b B．它们方向相同或相反C．所在直线平行或重合D．都与零向量共线2．下列说法正确的个数为()①温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；②零向量没有方向；③向量的模一定是正数；④非零向量的单位向量是唯一的．A．0 B．1 C．2 D．33．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，则图中与OA相等的向量是()A.OCB.ODC.OBD.CO4．如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形．(1)写出与AE共线的向量；(2)写出与AE相等的向量．5．一个人从点A出发沿东北方向走了100 m到达点B，然后改变方向，沿南偏东15°方向又走了100 m到达点C.(1)画出AB，BC，CA.(2)求|CA|.【参考答案】基础知识1．(1)大小 方向 (2)方向 (3)方向 起点 终点 AB → AB (4)起点 方向 长度 终点【做一做1】 C2．(1)有向线段 长度 |AB →|【做一做2】 D3．0 1 长度 a ＝b 有向线段 相同 相反 a ∥b平行 直线 共线【做一做3－1】 B【做一做3－2】 BA →，DC →，CD →题型探究【例1】 C AB →∥CD →包含AB →所在的直线与CD →所在的直线平行和重合两种情况，故A 项错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同，故B 项错；按定义，零向量的长度等于0，故C 项正确；共线向量可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故D 项错．【例2】 解：(1)与向量AB →共线的向量是BA →，DE →，ED →，DC →，CD →，CE →，EC →；(2)与向量AB →相等的向量是CE →和DC →.【例3】 解：(1)如图所示．(2)由题意，易知AB →与CD →方向相反，故AB →与CD →共线．又|AB →|＝|CD →|，∴在四边形ABCD 中，AB CD .∴四边形ABCD 为平行四边形，∴|AD →|＝|BC →|＝200千米．【例4】 C 正解：(1)假命题．若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的．(2)真命题．(3)假命题．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．(4)假命题．共线向量所在的直线可以重合，也可以平行．(5)假命题．向量是用有向线段来表示的，但并不是有向线段．随堂练习1．A2．A【解析】①错误．只有速度、位移是向量；②错误．零向量有方向，它的方向是任意的；③错误．|0|＝0；④错误．非零向量a 的单位向量有两个：一个与a 同向，一个与a 反向．3．D 【解析】OA 与CO 方向相同且长度相等，则OA ＝CO .4．解：(1)与AE 共线的向量有EA 、BD 和DB .(2)与AE 相等的向量是BD .5．解：(1)如图所示．(2)||AB ＝100 m ，||BC ＝100 m ，∠ABC ＝45°＋15°＝60°，∴△ABC 为正三角形．∴||CA ＝100 m.。
学案3：2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念【课前准备】1．课时目标（1）理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念；（2）掌握向量的几何表示，会用字母表示向量；（3）了解平行向量的概念及表示法；了解共线向量的概念；（4）通过对现实生活情境的探究过程，感知应用数学解决问题的方法，理解数形结合的数学思想和逻辑推理的数学方法．2．基础预探（1）我们把这种既有________，又有________的量叫做向量；把那些只有大小，没有方向的量称为________．（2）带有方向的线段叫做________；以A为起点、B为终点的有向线段记作________，起点写在终点的________．有向线段包含三个要素：________、________、________．（3）向量可以用________表示．向量AB的大小，也就是向量的长度（或称________），记作________．长度为0的向量叫做________，记作________．长度等于1个单位的向量，叫做________．（4）方向相同或相反的非零向量叫做________，也叫做________．向量a、b平行，通常记作________．我们规定：零向量与任一向量________，即对于任意向量a，都有________．（5）长度相等且方向相同的向量叫做________．【知识训练】1．下列命题中不正确的是（）A．零向量只与零向量相等B．零向量没有方向C．零向量的模为0 D．零向量与任何向量共线2．下列命题中正确的是（）A．若|a|=|b|，则a=b B．若|a|=0，则a=0C．若a=b，则a与b平行D．若|a|<|b|，则a<b3．相等向量若其终点不相同，则其起点（）A．必相同B．必不相同C．可以相同D．可以不同4．若向量a与b不相等，则向量a与b一定（）A．不共线B．有不相等的模C．不可能都是单位向量D．不可能都是零向量5．在四边形ABCD中，若有AB=DC，则四边形ABCD的形状一定是__________．6．如图，在ΔABC中，D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，在以A、B、C、D、E、F为端点的有向线段所表示的向量中，哪些向量与向量EF共线？哪些向量与向量DF的模一定相等？哪些向量与向量DE相等？【学习引领】向量与数量的区别：1．向量是既有大小又有方向的量，向量在大小、方向保持不变的前提下，位置是自由的，即其始点可随意放置，因此向量又称自由向量；而数量只有大小，没有方向．2．在数学研究中，往往用有向线段来表示向量；有向线段的长度表示向量的大小（或长度、模），有向线段箭头所指的方向表示向量的方向．向量可用有向线段来表示，但向量和有向线段是两个不同的概念．有向线段具有三个要素：起点、方向和长度，而向量只有两个要素：方向和长度．3．向量不可以比较大小，但向量的模可以比较大小；而数量可以比较大小．4．向量之间只可以说相等（或不相等）、平行（或不平行）、共线（或不共线），不可以说谁大（或谁小）；而数量之间既可以说相等（或不相等），也可以说谁大（或谁小）；两个向量相等表示长度相等且方向相同的两个向量．5．两个向量相等，则它们的长度必然相等；但两个向量的长度相等，这两个向量未必相等．即两个向量的长度相等是这两个向量相等的必要不充分条件．【典例导析】题型一：向量的概念性问题例1．给出下列命题：（1）物理中的位移、速度、加速度、力都是向量；（2）温度有零上温度和零下温度，因此温度也是向量；（3）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量；（4）向量就是有向线段．其中正确命题的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个点评：对向量的概念的学习，要抓住大小和方向这两个要素，同时注意与数量中的相关概念的对比与判定．变式练习1：下列各量中是向量的是（）A．质量B．距离C．速度D．电流题型二：相关的概念性问题例2．下列说明是否正确：（1）平行向量的方向一定相同；（2）相等向量一定共线，不相等向量一定不共线；（3）相等的向量，若起点不同，则终点一定不同．点评：于平面向量是一个全新的概念，引入的一些概念和以往的相关概念之间存在着很多的联系与区别，这往往是学生比较容易出错的地方之一．所以充分理解和把握平面向量部分的一些概念是学好这部分知识的关键所在．变式练习2：判断下列命题的正误：（1）单位向量都共线；（2）单位向量都相等；（3）共线的单位向量一定相等；（4）与非零向量a ||a a ．题型三：相等向量问题例3．已知四边形ABCD 是平行四边形，点O 是对角线的交点，设点集M ={A ，B ，C ，D ，O }，向量集合T ={PQ |P 、Q ∈M 且P 、Q 不重合}．求集合T 中元素的个数．点评：掌握相等向量的概念是解决此类问题的关键所在．变式练习3：在正三角形ABC 中，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、CA 的中点，则与向量PQ 相等的向量是（ ）A ．PR ，QRB ．AR ，RC C ．RA ，CRD ．PA ，QR 【随堂练习】1．设四边形ABCD 为平行四边形，则可以用同一条有向线段表示的两个向量是（ ） A ．AB 和BC B ．AB 和CD C ．AD 和BC D ．AD 和CD 2．在ΔABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则（ ） A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与BC 共线 C ．AC AB = D ．BD AD =3．点A 、B 、C 是圆O （O 为圆心）上三个点，则向量BO ，OC ，OA 是（ ） A ．有相同起点的相等向量B ．长度为1的向量C ．模相等的向量D ．相等的向量4．与非零向量a 平行的向量中，不相等的单位向量有__________个．5．把模为2的一切向量平移到同一起点，则这些向量的终点构成的图形是__________． 6．船向南航行50海里和向西航行50海里的位移相等吗？选择适当的比例尺，用有向线段表示这两次航行．【课后作业】1．下列说法正确的是（ ）A ．平行向量就是向量所在直线平行的向量B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．共线向量是指在一条直线上的向量D ．零向量0与任一向量共线2．设a ，b ，c 为非零向量，a 与b 共线，a 与c 不共线，则b 与c （ ） A ．一定共线 B ．一定不共线 C ．不一定共线 D ．可能相等3．P 1、P 2、…、P n 是线段AB 上的n 个等分点，则以这n +2个点为端点，可以得到互不相等的向量的个数为__________个． 4．给出下列六个命题：①当且仅当两个向量的起点、终点都相同，这两个向量相等； ②若||||b a =，则b a =；③平行四边形ABCD 中，一定有DC AB =； ④若b a =，c b =，则c a =； ⑤若b a //，c b //，则c a //；⑥平行向量一定方向相同．其中不正确的命题个数为__________个．5．如图，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，图中所标的向量中，哪些向量与向量EA平行？哪些向量与向量AD相等？50走了6．一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方面向西偏北 200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点．|AD．（1）作出向量AB、BC、CD；（2）求|参考答案【课前准备】2．基础预探（1）大小，方向，数量；（2）有向线段，AB，前面，起点，方向，长度；（3）有向线段，模，|AB|，零向量，0，单位向量；（4）平行向量，共线向量，a//b，平行，0//a；（5）相等向量．【知识训练】1．B【解析】零向量0有方向，它的方向是任意的.2．C【解析】a=b，则a与b长度相等且方向相同，即a与b共线（或平行）.3．B【解析】根据相等向量的概念与性质加以判断.4．D【解析】两个相等向量的大小相等且方向相同，那么两个向量不相等，至少有其中一个不满足即可.5．平行四边形【解析】由于AB=DC，则有AB//DC且|AB|=|DC|，则可得其形状是平行四边形. 6．【解】与向量EF共线的向量有：FE、BD、BC、DC、DB、CB、CD；与向量DF的模一定相等的向量有：FD、CE、EA、EC、AE；与向量DE相等的向量有：BF、FA．【典例导析】例1．A【解析】（1）正确，因为位移、速度、加速度、力都是由大小和方向确定的；（2）不正确，因为温度零上和零下并不代表方向，实质它表示的是大小；（3）不正确，因为x轴、y轴虽有方向，但无长度，即无大小；（4）不正确，有向线段包含三要求是起点、方向、长度，用有向线段表示向量时，它起点是任意的；因此，正确的命题只有（1），故选择答案：A．变式练习1：C【解析】根据向量的概念，只有速度是向量，其他几个都是数量.例2．【解】（1）错．平行向量的概念，就是用向量的方向这一要素来定义的，它有方向相同或相反两种不同的情况．因此，两个向量方向相同或相反均视为平行．方向相同是向量平行的充分不必要条件；（2）错．相等必共线，共线未必相等．不相等的可以是不共线的，也可以是共线的．在判断向量是否相等时，就明确：不共线肯定不相等．就是共线，还要考虑它们的模是否相等，方向是否相同，才能判定是否相等；（3）错．若是零向量，起点和终点重合．这个是最容易判断出错的，原因就是有＂零向量＂这个特例．变式练习2：【解】（1）、（2）、（3）、（4）四个命题都不正确，原因为共线向量是方向相同或相反的非零向量．在命题（4）中与非零向量a 共线的单位向量有两个，即||a a例3．【解】以A ，B ，C ，D ，O 为起点的向量各有4个，因此总共有20个向量， 但由于AO =OC ，OA =CO ，OD =BO ，DO =OB ，AD =BC ，DA =CB ，AB =DC ，BA =CD ，因此集合T 中有12个不相等的向量，即集合T 中有12个元素． 变式练习3：B【解析】直接根据数形加以判断，与向量PQ 相等的向量是AR ，RC . 【随堂练习】 1． C【解析】可以用同一条有向线段表示的两个向量是相等向量，结合图形加以判断. 2． B【解析】由于D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则有DE //BC ，可得DE 与BC 共线. 3． C【解析】由于O 为圆心，点A 、B 、C 是圆O 上三个点，那么有OA =OB =OC ，即三个对应的向量的模相等. 4．2【解析】这两个单位向量的方向相反，一个与非零向量a 方向相同，一个与非零向量a 方向相反；5．以起点为圆心，2为半径的圆 【解析】结合向量的表示加以判断；6．【解】船向南航行50海里和向西航行50海里的位移不相等．如图所示：【课后作业】 1． D【解析】由于共线向量（或平行向量）的方向是相同或相反的，其向量所在的直线是平行或在同一直线上. 2． B【解析】直接根据平行向量的相关概念加以判定. 3．2n +2【解析】直接统计比较困难，可以从长度与方向这两个方面加以考虑，这些向量的长度有n +1种，每种长度的向量的方向都有两个，所以可以得到2n +2个互不相等的向量. 4．4【解析】其中正确的只有③和④.5．【解】图中所标的向量中，与向量EA 平行的向量有：AE 、BE 、DF 、CF ； 与向量AD 相等的向量有：EF 、BC ．6．【解】（1）向量AB 、BC 、CD 的作法如下图：O（2）由题意可知，AB 与CD 方向相反，故AB 与CD 共线，又||||CD AB =， 所以在四边形ABCD 中，有AB=CD 且AB//CD ， 所以四边形ABCD 是平行四边形，即BC AD =， 所以200||||==BC AD （公里）．。
平面向量的实际背景及基本概念教学设计教案
教学准备1. 教学目标1、知识与技能：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量。
2、过程与方法：通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别。
3、情感态度与价值观：通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力。
2. 教学重点/难点教学重点:理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量的概念,会表示向量.教学难点:平行向量、相等向量和共线向量的区别和联系.3. 教学用具多媒体4. 标签平面向量的实际背景及基本概念教学过程（一）导入新课思路1.(情境导入)如图1,在同一时刻,老鼠由A向西北方向的C处逃窜,猫在B处向正东方向的D处追去,猫能否追到老鼠呢？学生马上得出结论:追不上,猫的速度再快也没用,因为方向错了.教师适时设问:如何从数学的角度来揭示这个问题的本质？由此展开新课.（二）推进新课、新知探究、提出问题①在物理课中,我们学过力的概念.请回顾一下力的三要素是什么？还有哪些量和力具有同样特征呢?这些量的共同特征是什么？怎样利用你所学的数学中的知识抽象这些具有共同特征的量呢？②新的概念是对这些具有共同特征的量的描述,应怎样定义这样的量呢？③数量与向量的区别在哪里？活动:教师指导学生阅读教材,思考讨论并解决上述问题,学生讨论列举与位移一样的一些量.物体受到的重力是竖直向下的,物体的质量越大,它受到的重力越大；物体在液体中受到的浮力是竖直向上的,物体浸在液体中的体积越大它受到的浮力就越大；速度与加速度都是既有大小,又有方向的量；物理中的动量与冲量都有方向,且有大小；物理学中存在着许多既有大小,又有方向的量.教师引导学生观察思考这些量的共同特征,我们能否在数学学科中对这些量加以抽象,形成一种新的量.至此时机成熟,引入向量,并把那些只有大小,没有方向的量,如年龄、身高、长度、面积、体积、质量等称为数量,物理学上称为标量.显然数量和向量的区别就在于方向问题.讨论结果:①略.②我们把既有大小,又有方向的量叫做向量.物理中称为矢量.③略.提出问题①如何表示向量?②有向线段和线段有何区别和联系？分别可以表示向量的什么?③长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量?④满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗?⑤有一组向量,它们的方向相同或相反,这组向量有什么关系？怎样定义平行向量?⑥如果把一组平行向量的起点全部移到一点O,它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系?⑦数量与向量有什么区别?⑧数学中的向量与物理中的力有什么区别?活动:教师指导学生阅读教材,通过阅读教材思考讨论以上问题.特别是有向线段,是学习向量的关键.但不能说“向量就是有向线段,有向线段就是向量”,有向线段只是向量的一种几何表示,二者有本质的区别.向量只由方向和大小决定,而与向量的起点的位置无关,但有向线段不仅与方向、长度有关,也与起点的位置有关.如图2,在线段AB的两个端点中,规定一个顺序,假设A为起点、B为终点,我们就说线段AB具有方向,具有方向的线段叫做有向线段,通常在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B为终点的有向线段记作.起点要写在终点的前面.已知,线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作.有向线段包含三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向和长度,它的终点就唯一确定.用有向线段表示向量的方法是:1°起点是A,终点是B的有向线段,对应的向量记作:.这里要提醒学生注意的方向是由点A指向点B,点A是向量的起点.2°用字母a,b,c,…表示.(一定要学生规范书写:印刷用黑体a,书写用)3°向量(或a)的大小,就是向量(或a)的长度(或称模),记作||(或|a|).教师要注意引导学生将数量与向量的模进行比较,数量有大小而没有方向,其大小有正、负和0之分,可进行运算,并可比较大小;向量的模是正数或0,也可以比较大小.由于方向不能比较大小,像a＞b就没有意义,而|a|>|b|有意义.讨论结果:①向量也可用字母a,b,c,…表示(印刷用粗黑体表示),手写用来表示,或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示,如、.注意:手写体上面的箭头一定不能漏写.②有向线段:具有方向的线段就叫做有向线段,其有三个要素:起点、方向、长度.向量与有向线段的区别:向量只有大小和方向两个要素,与起点无关,只要大小和方向相同,则这两个向量就是相同的向量；有向线段有起点、大小和方向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是不同的有向线段.图3③长度为0的向量叫零向量,长度为1个单位长度的向量,叫单位向量.但要注意,零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.长度为0的向量叫做零向量,记作0,规定零向量的方向是任意的.长度等于1个单位的向量,叫做单位向量.④长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.⑤对平行向量定义的理解:第一,方向相同或相反的非零向量叫平行向量;第二,我们规定0与任一向量平行即0∥a.综合第一、第二才是平行向量的完整定义；向量a,b,c平行,记作a∥b∥c.如图3.图4又如图4,a,b,c是一组平行向量,任作一条与a所在直线0平行的直线l,在l上任取一点O,则可在l上分别作出＝a,=b,=c.这就是说,任一组平行向量都可以移动到同一直线上,因此,平行向量也叫做共线向量.说明:平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系.⑥是共线向量,也就是平行向量.但要注意,平行向量就是共线向量,这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线段的起点无关).平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线的位置关系；共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上的线段的位置关系.⑦数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小；向量有方向、大小双重性质,不能比较大小.⑧力有大小、方向、作用点三个要素,而数学中的向量是由物理中的力抽象出来的,只有大小与方向两个要素,与起点的位置无关.（三）应用示例例1 如图5,试根据图中的比例尺以及三地的位置,在图中分别用有向线段表示A地至B、C两地的位移.(精确到1 km)分析:本例是一个简单的实际问题,要求画出有向线段表示位移,目的在于巩固向量概念及其几何表示.解:表示A地至B地的位移,且||≈232 km;(AB长度×8 000 000÷100 000)表示A地至C地的位移,且||≈296 km.(AC长度×8 000 000÷100 000)点评:位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置.如图5,由A点确定B点、C点的位置.例2 判断下列命题是否正确,若不正确,请简述理由.(1)ABCD中,与是共线向量;(2)单位向量都相等.活动:教师引导学生画出平行四边形,如图7.因为AB//CD,所以∥.由于上面已经明确,单位向量只限制了大小,方向不确定,所以单位向量不一定相等,即单位向量模均相等且为1,但方向不确定.解:(1)正确;(2)不正确.课堂小结本节课从平面向量的物理背景和几何背景入手,利用类比的方法,介绍了向量的两种表示方法:几何表示和字母表示,几何表示为用向量处理几何问题打下了基础,字母表示则利于向量的运算；然后又介绍了向量的模、平行向量、共线向量、相等向量等重要概念,这些概念是进一步学习后续课程的基础,必须要在理解的基础上把握好.课后习题1.判断:(1)平行向量是否一定方向相同？(不一定)(2)不相等的向量是否一定不平行？(不一定)(3)与零向量相等的向量必定是什么向量？(零向量)(4)与任意向量都平行的向量是什么向量？(零向量)(5)若两个向量在同一直线上,则这两个向量一定是什么向量？(平行向量)(6)两个非零向量相等当且仅当什么？(长度相等且方向相同)(7)共线向量一定在同一直线上吗？(不一定)2.把一切单位平面向量归结到共同的始点,那么这些向量的终点所构成的图形是( )A.一条线段B.一段圆弧 C.两个点 D.一个圆答案:D3.将平行于一直线的所有单位向量的起点平移到同一始点,则这些向量的终点所构成的图形是( )A.一个点B.两个点C.一个圆D.一条线段答案:B板书2.1.1 向量的物理背景与概念2.1.2向量的几何表示2.1.3相等向量与共线向量。
【学案】2.1平面向量的实际背景及基本概念
2.1 向量的物理背景与基本概念教学目标：了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和共线向量.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.通过学生对向量与数量的识别能力的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的能力.知识要点：一、向量的物理背景与概念：1. 向量：既有 ，又有 的量，如 。
2. 数量：只有 ，没有 的量，如 。
3. 向量与数量的区别：数量可以比较 ，向量不可以比较 。
二、向量的几何表示：1. 有向线段： 的线段叫做有向线段。
2. 有向线段的三要素： 、 、 。
3. 向量可以用 表示。
4. 向量的字母表示（1） （2） 。
5. 向量与有向线段的区别：向量是一个量，有向线段是一个几何图形。
（1）向量只有 和 两个要素，与起点无关，只要 和 相同，这两个向量就是相同的向量；（2）有向线段有 、 和 三个要素，起点不同，尽管 和相同，也是不同的有向线段.6. 向量的长度（或模）：向量AB 的 ，叫做向量AB 的长度（或模），记作 。
7. 零向量： 的向量叫做零向量，记作 。
8. 零向量的方向是 的。
9. 单位向量： 的向量叫做单位向量。
10. 把单位向量的起点全部移到一点O ，则终点构成的图形是 。
11. 平行向量：方向 或 的向量叫做平行向量。
12. 向量a 与b 平行，记作 。
13. 规定：零向量与任意向量 ，即对任意向量a ，都有 。
14. 向量的平行不具有 性。
即由b a //及c b //不一定能得到c a //（为什么？）三、相等向量与共线向量：1. 相等向量： 的向量叫做相等向量。
向量a 与b 相等，记作 。
2. 任意两个相等的非零向量，都可以用 来表示，并且与 无关。
3. 在平面上，两个 的有向线段表示同一个向量。
4. 共线向量： 也叫做共线向量。
平面向量的实际背景及基本概念导学案
平面向量的实际背景及基本概念【学习目标】1、了解向量的实际背景，会用字母表示2、向量的几何表示。
3、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量，相反向量的概念。
【知识梳理】1．向量和数量(1)向量：既有大小，又有方向的量叫做向量． (2)数量：只有大小，没有方向的量称为数量．2．有向线段(1)有向线段是带有方向的线段，如图所示，通常在有向线段 的终点处画上箭头表示它的方向．以A 为起点，B 为终点 的有向线段记作AB .(2)有向线段包含三个要素： 、 、3．向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向． (2)字母表示：通常在印刷时用黑体小写字母a ，b ，c …表示向量，书写时用a →，b →，c →…表示向量；也可以用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示， 例如，AB ，CD .4．向量的模及两个特殊向量(1)向量的长度(模)：向量AB 的大小，也就是向量AB 的长度(或模)，记作|AB |. (2)两个特殊向量：①零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0，零向量的方向是任意的；零向量的起点与终点是同一点，故不能用有向线段表示出来．②单位向量：长度等于1个单位的向量，叫做单位向量．5．相等向量与共线向量(1)相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，向量a 与b 相等，记作a ＝b .任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．因为向量完全是由它的方向和模确定．(2)平行向量：①定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，向量a 与b 平行，通常记作a ∥b . ②规定：零向量与任一向量平行，即对于任意的向量a ，都有0∥a .③共线向量：任意一组平行向量都可以移动到同一直线上，因此平行向量也叫做共线向量．题型一、向量的有关概念【例1】 下列说法正确的是( )A ．向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 必在同一直线上 B ．向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反 C ．向量AB 与向量BA 是两平行向量 D ．单位向量都相等 【变式训练】1.给出命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a ，b 都是单位向量，则a ＝b ； ③向量AB 与向量BA 相等．以上命题中，正确命题的序号是( ) A ．① B ．② C ．①③ D ．②③2.在下列命题中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个向量的两个向量是共线向量．其中不正确的命题是________．题型二、向量的表示【例2】 (1)如图，B ，C 是线段AD 的三等分点，分别以图中各点为起点和终点，可以写出________个向量．(2)在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：①OA ，使|OA |＝42，点A 在点O 北偏东45°； ②AB ，使|AB |＝4，点B 在点A 正东； ③BC ，使|BC |＝6，点C 在点B 北偏东30°.题型三、共线向量或相等向量【例3】 如图所示，四边形ABCD 与ABDE 是平行四边形． (1)找出与向量AB 共线的向量； (2)找出与向量AB 相等的向量．【变式训练】如图，△ABC 和△A ′B ′C ′是在各边的13处相交的两个全等的等边三角形，设△ABC 的边长为a ，图中列出了长度均为a3的若干个向量，则(1)与向量GH 相等的向量有________；(2)与向量GH 共线，且模相等的向量有________； (3)与向量EA 共线，且模相等的向量有________．【练习反馈】1．有下列物理量：①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功． 其中，不是向量的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．42.如图所示，在正三角形ABC 中，P 、Q 、R 分别是AB 、BC 、AC 的中点，则与向量PQ 相等的向量是( )A.PR 与QRB.AR 与RCC.RA 与CRD.PA 与QR3．当向量a 与任一向量都平行时，向量a 一定是________． 4、给出下列各命题：(1)零向量没有方向； (2)若|a|＝|b|，则a ＝b ； (3)单位向量都相等； (4)向量就是有向线段； (5)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(6)若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； (7)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； (8)若四边形ABCD 是平行四边形，则AB →＝CD →，BC →＝DA →. 其中正确命题的序号是________．5．已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，则|BD |＝________.6.如图，O 是正方形ABCD 的中心．(1)写出与向量AB 相等的向量； (2)写出与OA 的模相等的向量．欢迎您的下载，资料仅供参考！致力为企业和个人提供合同协议，策划案计划书，学习资料等等打造全网一站式需求。
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2.1 平面向量的实际背景及基本概念学案
预习案（限时20分钟）
学习目标：
1、通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景
2、理解平面向量的意义和两个向量相等的含义
3、理解平面向量的几何表示和基本要素
学习重点： 平面向量基本概念及其相关概念的含义
学习难点： 平面向量的意义和两个向量相等的含义
❖ 任务一： 平面向量相关概念填空
1、向量：既有大小又有 的量叫做向量，向量的大小叫做向量的 .
2、有向线段：带有 的线段叫做有向线段，包含三个要素： 、 、 .
3、零向量：长度为 的向量叫做零向量，记作： ，其方向是 的.
4、单位向量：长度为 的向量叫做单位向量，其方向是 的.
5、平行向量：方向 或 的 向量叫做平行向量，也叫 向量，
规定：零向量与任一向量平行，记作： .
6、相等向量：长度相等且方向 的向量.
7、相反向量：长度相等且方向 的向量.6
预习检测
判断对错
（1）若b a ，则b a 或b a （ ）
（2）若DC AB ，则四边形ABCD 是平行四边形 （ ） （3）若a 与b 同向，且b a ，则b a （ ）
（4）用有向线段表示两个相等的向量，如果起点相同，则终点一定相同 （ ）
（5）任意两个单位向量都是相等向量 （ ）
（6）物理学中的作用力和反作用力是一对相反向量 （ ）
（7）方向为南偏东 30与北偏西 30是共线向量 （ ）
（8）直角坐标系的x 轴和y 轴都是向量 （ ）
巩固练习（限时30分钟）
1．下列物理量：① 质量；② 速度；③ 力；④ 加速度；⑤ 路程；⑥ 密度；⑦ 功，其中不是向量的有
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4 个 ( )
2．下列说法正确命题的个数有 （ ） ① 方向相同的向量叫做相等向量； ② 零向量的长度为0； ③ 共线向量是在同一条直线上的向量； ④ 零向量是没有方向的向量； ⑤ 共线向量不一定相等； ⑥ 平行向量方向相同
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
3． 下列各命题中，正确的命题个数为 （ ）
① 模为0的向量与任一向量平行； ② 向量就是有向线段； ③若b a ，则b a ；
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
4．给出以下5个条件：① b a ； ② b a ； ③ a 与b 的方向相反； ④ 0 a 或0 b ；
⑤ a 与b 都是单位向量，其中，能使b a //成立的是 （填序号）．
5．设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点， 在以已知各点为起点和终点的向量中，与向量相等的向量是_____ ．
6．如图所示，ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点，
（1）写出与向量共线的向量；
（2）写出与向量EF 的模大小相等的向量；
（3）写出与向量EF 相等的向量．
A B C D E F。