三角函数的应用和利用三角函数测高导学案
利用三角函数测高(1)教学设计
利用三角函数测高教学目标(一)知识与技能：能够设计方案、步骤，能够说明测量的理由，能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题。
(二)过程与方法：经历活动设计方案，自制仪器过程；通过综合运用直角三角形边角关系的知识，利用数形结合的思想解决实际问题，提高解决问题的能力。
(三)情感态度与价值观：通过积极参与数学活动过程，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神。
教学重点设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程。
教学难点对所得到的数据进行分析，并能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正。
学情分析本节课为活动课，活动一：测量倾斜角；活动二：测量底部可以到达的物体的高度；活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.因此本节课采用活动的形式，先在课堂上讨论、设计方案，然后进行室外的实际测量，活动结束时，要求学生写出活动报告。
综合运用直角三角形的边角关系的知识.解决实际问题，培养学生不怕困难的品质，发展学生的合作意识和科学精神。
教学方法自学辅导法教具测倾器(或经纬仪、测角仪等)、皮尺等测量工具.教学内容及过程教师活动学生活动一、提出问题，引入新课现实生活中测量物体的高度，特别像旗杆、高楼大厦、塔等较高的不可到达的物体的高度，需要我们自己去测量，自己去制作仪器，获得数据，然后利用所学的数学知识解决问题.请同学们思考在物体的高度时，用到哪些仪器? 有何用途? 如何制作一个测角仪？它的工作原理是怎样的？二、小组活动准备活动：设计活动方案，自制仪器首先我们来自制一个测倾器(或测角仪、经纬仪等).一般的测倾器由底盘、铅锤和支杆组成.下面请同学们以组为单位，分组制作如图所示的测倾器.制作测角仪时应注意什么?支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确.度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点.当度盘转动时，铅垂线始终垂直向.小组讨论：测倾器的制作方法及其使用步骤1下.活动一：测量倾斜角（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.（2）转动度盘，使度盘的直经对准较高目标M，记下此时铅垂线指的度数.那么这个度数就是较高目标M的仰角.点拨：测倾器的工作原理如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置.我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数.即∠BCA的度数.根据图形我们不难发现∠BCA+∠ECB＝90°，而∠MCE+∠ECB=90°，即∠BCA、∠MCE都是∠ECB 的余角，根据同角的余角相等，得∠BCA＝∠MCE.因此读出∠BCA的度数，也就读出了仰角∠MCE的度数.和测量仰角的步骤是一样的，测量俯角时，转动度盘，使度盘的直径对准低处的目标，记下此时铅垂线所指的度数，同样根据“同角的余角相等”，铅垂线所指的度数就是低处的俯角.活动二：测量底部可以到达的物体的高度.“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离.要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：(如下图)1.在测点A处安置测倾器(即测角仪)，测得M的仰角∠MCE=α.2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l.3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a(即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离).根据测量数据，就能求出物体MN的高度.活动三：测量底部不可以到达的物体的高度.所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.例如测量一个山峰的高度.可按下面的步骤进行(如图所示)：1.在测点A处安置测角仪，测得此时物体MN的顶端M的仰角∠MCE＝α.2.在测点A与物体之间的B处安置测角仪(A、B与N都在同一条直线上)，此时测得M的仰角∠MDE=β. 思考：问题1、测倾器的工作原理是怎样的？为什么读的∠BCA 的度数，也就是仰角∠MCE的度数？问题2、如何用测角仪测量一个低处物体的俯角呢?根据直角三角形的边角关系.求出活动二、活动三中MN的高度。
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案
北师大版九年级数学下册：1.5《三角函数的应用》教案一. 教材分析北师大版九年级数学下册第1.5节《三角函数的应用》主要介绍了正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
通过本节课的学习，使学生了解三角函数在实际生活中的重要性，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对正弦、余弦函数有一定的了解。
但学生在应用三角函数解决实际问题方面还比较薄弱，需要通过本节课的学习，提高学生运用三角函数解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.使学生掌握正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对三角函数的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.重点：正弦、余弦函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何运用三角函数解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生主动探究三角函数在实际问题中的应用。
2.利用案例分析法，分析实际问题中三角函数的运用。
3.采用小组合作讨论法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题案例。
2.准备三角函数的图像和公式。
3.准备投影仪和教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用投影仪展示一些实际问题，如测量高度、角度等，引导学生思考如何利用三角函数解决这些问题。
2.呈现（10分钟）呈现三角函数的图像和公式，让学生了解三角函数的基本性质。
同时，结合实际问题案例，讲解如何运用三角函数解决实际问题。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实际问题，运用三角函数进行解决。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）选取几组实际问题，让学生独立解决。
教师及时给予反馈，巩固学生对三角函数应用的掌握。
5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将三角函数应用于其他领域，如工程、物理等。
让学生举例说明，培养学生的创新意识。
6.小结（5分钟）总结本节课所学内容，强调三角函数在实际问题中的应用。
《利用三角函数测高》教学设计
《利用三角函数测高》教学设计教学目标：1.了解三角函数的概念和性质；2.学会在实际问题中利用三角函数测量高度；3.培养学生的实际动手操作和数学推理能力。
教学重点：1.三角函数的概念和性质；2.如何利用三角函数测量高度。
教学难点：1.如何在实际问题中应用三角函数进行高度测量。
教学准备：1.幻灯片、小黑板、三角板、直尺等教学工具。
教学步骤：Step 1 引入与导入（10分钟）1.利用幻灯片或小黑板简要介绍三角函数的概念和性质，包括正弦、余弦和正切。
2.引发学生的兴趣，提问：“在测量高度的过程中，是否可以利用三角函数？如果可以，如何进行？”鼓励学生思考并分享自己的观点。
Step 2 实际问题与解决方法（15分钟）1.通过引导学生分析实际问题，如测量建筑物的高度，提醒学生要测量这样一个实际问题，首先需要确定一个已知量和未知量之间的关系。
2.解释三角函数与三角形之间的关系，如正弦函数与三角形内一条边的比例关系，如何将这个比例关系应用到测量高度的过程中。
3.演示利用三角函数测量高度的方法，在室内通过搭建房屋模型进行实际操作，并做出详细的解释。
Step 3 练习与巩固（25分钟）1.将学生分成小组，每组准备一些不同高度的建筑物图片，并使用三角板、直尺等工具进行实际测量，并记录测量结果。
2.引导学生在测量过程中记录相关数据，包括已知量、未知量和等式关系，并在小组内讨论如何利用三角函数计算出高度。
3.学生讨论结束后，进行小组间分享，展示最终的测量结果。
Step 4 拓展与运用（20分钟）1.将学生分成小组，给每组一些实际问题，让他们自行思考并利用三角函数解决问题，例如测量高校校园中一些建筑物的高度、测量一些山峰的高度等。
2.学生每个小组展示其解决问题的方法与结果，并进行讨论和总结。
Step 5 总结与评价（10分钟）1.教师对学生的学习情况进行评价，鼓励学生积极参与并提出自己的观点。
2.提供一个总结的幻灯片或小黑板，总结本课学习的重点内容，强调学会利用三角函数测量高度的方法，并激发学生对数学的兴趣。
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教案一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要让学生了解利用三角函数测量物体高度的方法，理解三角函数在实际生活中的应用。
通过这一节的学习，学生能够掌握用三角板和皮尺测量物体高度的基本方法，培养学生的实际操作能力和解决实际问题的能力。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角函数的基本知识，对三角板和皮尺等测量工具也有一定的了解。
但是，学生可能对如何将理论运用到实际问题中还有一定的困难，因此，在教学过程中，教师需要引导学生将所学的知识与实际问题相结合，提高学生的实践能力。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的基本方法。
2.过程与方法：通过实际操作，培养学生解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作精神。
四. 教学重难点1.重点：让学生掌握利用三角函数测量物体高度的方法。
2.难点：如何将所学的三角函数知识运用到实际问题中。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。
通过实际案例引导学生思考，激发学生的学习兴趣；以小组合作的形式，让学生在实际操作中解决问题，培养学生的实践能力。
六. 教学准备1.准备三角板、皮尺等测量工具。
2.准备相关案例材料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用一个生活中的实例引入课题，如：如何测量旗杆的高度。
让学生思考如何解决这个问题，引发学生对利用三角函数测高的兴趣。
2.呈现（10分钟）呈现旗杆高度测量案例，引导学生分析问题，提出解决方案。
让学生尝试用所学的三角函数知识解决问题，教师给予指导。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，用三角板和皮尺测量旗杆的高度。
教师巡回指导，纠正学生在操作过程中可能出现的问题。
4.巩固（10分钟）让学生总结在测量过程中所用的方法和技巧，教师点评并总结。
让学生复述所学的知识点，加深对利用三角函数测高的理解。
1.3.4三角函数应用(2015年人教A版数学必修四导学案)
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
课题：
1.3.4 三角函数应用
班级：
姓名： 备 注
一：学习目标
1. 会用三角函数解决一些简单的问题， 体会三角函数是描述周期变化现象 的重要函数模型。 2. 观察函数图像，学会用待定系数法求解析式，能够将所发现的规律抽象 为恰当的三角函数模型。
二：课前预习
1．如果某种变化着的现象具有 角函数来描述。 2 ． y A sin(x ) 是 ，初相是 （性质） ，那么它就可以借助三
y A sin x b
1.这一天 6～14 时的最大温差是多少？ 2.函数式中 A、b 的值分别是多少？ 3.写出这段曲线的函数解析式.
y
30 20
10
O
6
10
14
x
例 2. 1、如图，点 O 为做简谐运动的物体的平衡位置，取向右的方向为物 体位移的正方向，若已知振幅为 3cm ，周期为 3s ，且物体向右运动到距平 衡位置最远处时开始计时。 （1）求物体对平衡位置的位移 x(cm) 和时间 t ( s ) 的函数关系； （2）求该物体在 t 5s 时的位置。 O
2、一根长 lcm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，
离 开 平 衡 位 置 的 位 移 s(cm) 和 时 间 t ( s ) 的 函 数 关 系 式 是
g t ),t [0,) 。 l 3 （1）求小球摆动的周期； （2）已知 g 980cm / s 2 ，要使小球摆动的周期是 1s ，线的长度应 当是多少？ （精确到 0.1cm ， 取 3.14 ） s 3 cos(
利用三角函数测高优秀教案
利用三角函数测高优秀教案课题名称：利用三角函数测高教学目标：1.理解正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.掌握使用正弦定理和余弦定理测量不可直接测量的高度；3.能够灵活运用三角函数测高的方法解决实际问题。
教学重点：1.正弦、余弦和正切的概念及其在三角函数测高中的应用；2.正弦定理和余弦定理的应用。
教学难点：教学准备：教具：直尺、测量工具、投影仪；课件：包含三角函数和其应用的相关知识点。
教学过程：一、导入（5分钟）1.引入三角函数的概念，复习正弦、余弦和正切的定义和计算方法。
2.提问学生：在实际生活中，我们如何使用三角函数来测量高度？二、讲解（15分钟）1.三角函数测高的原理：利用正弦、余弦和正切的性质通过测量已知边长和角度的方式求解未知高度。
2.正弦定理的应用：利用三角形中任意两边的长度和它们夹角的正弦比，求解不可直接测量的高度。
3.余弦定理的应用：利用三角形中三边的长度和它们之间的夹角余弦，求解不可直接测量的高度。
三、示范（15分钟）1.示范测量不可直接测量的高度的步骤，例如使用正弦定理：a.给出一个实际问题，如：如何测量一栋建筑物的高度？b.画出相应的示意图，标注已知边长和角度。
c.利用正弦定理的公式，求解未知的高度。
d.明确解题思路和计算步骤，进行计算。
2.呈现示范的解题过程，详细讲解每一步骤的计算方法和答案。
四、练习（20分钟）1.分发练习题，让学生独立完成。
2.讲解练习题答案，帮助学生纠正错误，巩固和理解三角函数测高的方法。
五、应用（15分钟）1.提供一些实际问题，要求学生运用三角函数测高的方法解决。
2.分组讨论并呈现解决方案，交流思路和讨论结果。
六、总结（10分钟）1.对本节课的要点进行总结，强调正弦、余弦和正切的应用。
2.核对课程目标，评估学生的学习情况。
七、作业（5分钟）布置作业：完成课后练习题，巩固三角函数测高的知识。
教学延伸：可以引导学生使用三角函数测高解决其他实际问题，并探究其他测高方法的应用。
1.6 利用三角函数测高 教案
一、情境导入如图所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？实际上，我们利用图①中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系(即勾股定理)，那么它的边与角又有什么关系？这就是本节要探究的内容．二、合作探究探究点：利用三角函数测高【类型一】 测量底部可以到达的物体的高度如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部B 处6米的D 处，仰望旗杆顶端A ，测得仰角为60°，眼睛离地面的距离ED 为1.5米．试帮助小华求出旗杆AB 的高度(结果精确到0.1米，3≈1.732)．解析：由题意可得四边形BCED 是矩形，所以BC ＝DE ，然后在Rt △ACE 中，根据tan ∠AEC ＝ACEC ，即可求出AC 的长．解：∵BD ＝CE ＝6m ，∠AEC ＝60°，∴AC ＝CE ·tan60°＝6×3≈6×1.732≈10.4(米)，∴AB ＝AC ＋DE ＝10.4＋1.5＝11.9(米)．所以，旗杆AB 的高度约为11.9米．方法总结：本题借助仰角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形，解题的关键是从实际问题中整理出直角三角形并选择合适的边角关系解题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 测量底部不可到达的物体的高度如图，放置在水平桌面上的台灯的灯臂AB 长为30cm ，灯罩BC 长为20cm ，底座厚度为2cm ，灯臂与底座构成的∠BAD ＝60°.使用发现，光线最佳时灯罩BC 与水平线所成的角为30°，此时灯罩顶端C 到桌面的高度CE 是多少厘米(结果精确到0.1cm ，参考数据：3≈1.732)?解析：首先过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G ，进而求出FC 的长，再求出BG 的长，即可得出答案．解：过点B 作BF ⊥CD 于点F ，作BG ⊥AD 于点G .∴四边形BFDG 矩形，∴BG ＝FD .在Rt △BCF 中，∠CBF ＝30°，∴CF ＝BC ·sin30°＝20×12＝10(cm)．在Rt △ABG 中，∠BAG ＝60°，∴BG ＝AB ·sin60°＝30×32＝153(cm)．∴CE ＝CF ＋FD ＋DE ＝10＋153＋2＝12＋153≈37.98≈38.0(cm)．所以，此时灯罩顶端C到桌面的高度CE约是38.0cm.方法总结：将实际问题抽象为数学问题，画出平面图形，构造出直角三角形，转化为解直角三角形问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第8题【类型三】利用三角板测量物体的高度如图，在活动课上，小明和小红合作用一副三角板来测量学校旗杆高度．已知小明的眼睛与地面的距离AB是1.7m，他调整自己的位置，设法使得三角板的一条直角边保持水平，且斜边与旗杆顶端M在同一条直线上，测得旗杆顶端M仰角为45°；小红眼睛与地面的距离CD是1.5m，用同样的方法测得旗杆顶端M的仰角为30°.两人相距28米且位于旗杆两侧(点B、N、D在同一条直线上)．求出旗杆MN的高度(参考数据：3≈1.7，结果保留整数)．解析：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，由△AEM是等腰直角三角形得出AE＝ME，设AE＝ME＝x m，根据三角函数列方程求出x的值即可求解．解：过点A作AE⊥MN于点E，过点C作CF⊥MN于点F，则EF＝AB－CD＝1.7－1.5＝0.2(m)，在Rt△AEM中，∵∠AEM＝90°，∠MAE＝45°，∴AE＝ME.设AE＝ME＝x m，则MF＝(x＋0.2)m，FC＝(28－x)m.在Rt△MFC中，∵∠MFC＝90°，∠MCF＝30°，∴MF＝CF·tan∠MCF，∴x＋0.2＝3 3(28－x)，解得x≈10.1，∴MN＝ME＋EN＝10.1＋1.7≈12(米)．所以，旗杆MN的高度约为12米．方法总结：解决问题的关键是作出辅助线构造直角三角形，设出未知数列出方程．三、板书设计利用三角函数测高1．测量底部可以到达的物体的高度2．测量底部不可到达的物体的高度3．利用三角板测量物体的高度1.下表是小明同学填写活动报告的部分内容:AB 太阳 光 线 C D E (1)在你设计的方案中,选用的测量工具是__________. (2)在图(2)中画出你的测量方案示意图;(3)你需要测得示意图中哪些数据,并分别用a,b,c,α,β等表示测得的数据____. (4)写出求树高的算式:AB=___________.6.在1:50000的地图上,查得A 点在300m 的等高线上,B 点在400m 的等高线上, 在地图上量得AB 的长为2.5cm,若要在A 、B 之间建一条索道,那么缆索至少要多长? 它的倾斜角是多少?(说明:地图上量得的AB 的长,就是A,B 两点间的水平距离AB′,由B 向过A 且平行于地面的平面作垂线,垂足为B′,连接AB′,则∠A 即是缆索的倾斜角.)7、为了测量校园内一棵不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：实践一：根据《自然科学》中的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如右示意图的测量方案：把镜子放在离树（AB ）8.7米的点E 处，然后沿着直线BE 后退到点D ，这是恰好在镜子里看到树梢顶点A ，再用皮尺量得DE =2.7米，观察者目高CD =1.6米，请你计算树（AB ）的高度．（精确到0.1米）实践二：提供选用的测量工具有：①皮尺一根；②教学用三角板一副；③长为2.5米的标杆一根；④高度为1.5米的测角仪（能测量仰角、俯角的仪器）一架。
初中数学_2.6 利用三角函数测高教学设计学情分析教材分析课后反思
2.6利用三角函数测高教学内容：教育出版社·五四学制初中数学，九年级上册第51页—53页。
教学目标：1.会利用三角函数的知识测量物体的高度.2.在制作仪器、设计方案、测量计算、撰写报告的过程中，分析问题，解决问题，发展数学思维.3.培养学生认真、细致、严谨的科学态度.教学准备：学生自制测倾器，皮尺等测量工具，测量报告教学过程：一、复习回顾，引入新课我们学习了利用全等三角形测高，利用相似三角形测高，今天我们来学习利用三角函数测高。
1.仰角、俯角；2.直角三角形边角间的关系；3.特殊角的三角函数值。
二、探究活动活动一：展示自制的测倾器支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要重合，否则测出的角度就不准确．度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0刻度线要互相垂直，并且度盘有一个旋转中心是铅垂线与PQ的交点．当度盘转动时，铅垂线始终垂直向下．活动二：测量倾斜角（1）把测角仪的支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置M，记下此时铅垂线指的度数．那么这个度数就是较高目标M的仰角．它的依据是什么？如图，要测点M的仰角，我们将支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．我们转动度盘，使度盘的直径对准目标M，此时铅垂线指向一个度数．即∠CAD的度数．根据图形我们不难发现∠BAD+∠CAD=90°，而∠BAD+∠PAB=90°，即∠CAD、∠PAB都是∠BAD的余角，根据同角的余角相等，得∠CAD =∠PAB．因此读出∠CAD的度数，也就读出了仰角∠PAB的度数．活动三：测量底部可以到达的物体的高度．“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体底部之间的距离．要测旗杆MN的高度，可按下列步骤进行：（如下图）（1）在测点A处安置测倾器（即测角仪），测得M的仰角∠MCE=α．（2）量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN =l ．（3）量出测倾器（即测角仪）的高度AC =a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据，就能求出物体MN 的高度．在Rt△MEC 中，∠MCE =α，AN =EC =l ，所以tan α=ECME ，即ME =tan a·EC =l ·tan α．又因为NE =AC =a ，所以MN =ME +EN =l ·tan α+a ．活动四：测量底部不可以到达的物体的高度．所为“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．例如测量一个山峰的高度．可按下面的步骤进行（如图所示）：（1）在测点A 处安置测角仪，测得此时物体MN 的顶端M 的仰角∠MCE =α．（2）在测点A 与物体之间的B 处安置测角仪（A 、B 与N 都在同一条直线上），此时测得M 的仰角∠MDE =β．（3）量出测角仪的高度AC =BD =a ，以及测点A ，B 之间的距离AB =b 根据测量的AB 的长度，AC 、BD 的高度以及∠MCE 、∠MDE 的大小，根据直角三角形的边角关系．即可求出MN 的高度.在Rt△MEC 中，∠MCE =α，则tan α=ECME ，EC =a ME tan ；在Rt△MED 中，∠MDE =β则tan β=ED ME ，ED =βtanME ； 根据CD =AB =b ，且CD =EC -ED =b ．所以a ME tan -βtan ME =b ，ME =βαtan 1tan 1-bMN =βαtan 1tan 1-b+a 即为所求物体MN 的高度．二、巩固练习1.以测“围墙内东原阁的高度”为例，若测得∠α和∠β的度数分别人300和600，AB 的长度为14米，求阁楼的高度MN.2.如图，为了测量某建筑物MN 的高度，在平地上A 处测得建筑物顶端M 的仰角为30°，向N 点方向前进16m 到达B 处，在B 处测得建筑物顶端M 的仰角为45°，求建筑物MN 的高度.（保留根号）第2题图第3题图3.变式练习将问题分解为： ①我们在建筑物前方的热气球A 处，利用所学知识说明，需要测出哪几个数据，便可计算出BC高度?②从热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部的仰角为45°，看这栋高楼底部的俯角为60°，A处与高楼的水平距离为60m，这栋高楼有多高？三、课堂小结我们这节课学习了什么？有什么收获? 给同学分享一下。
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计(北师大版)
1.6 利用三角函数测高 -九年级下册数学教案教学设计（北师大版）一、教学目标1.了解三角函数的定义和性质。
2.学会使用正弦、余弦、正切函数测量高度。
3.掌握解决与高度和角度相关的实际问题的方法和步骤。
二、教学内容1.三角函数的定义和性质。
2.正弦、余弦、正切函数的用法。
3.利用三角函数测量高度的实际问题。
三、教学重点1.理解三角函数的定义和性质。
2.掌握正弦、余弦、正切函数的用法。
3.运用三角函数解决实际问题。
四、教学难点1.学习如何应用三角函数测量高度。
2.解决与高度和角度相关的实际问题。
五、教学方法1.讲解与演示相结合的教学方法。
2.视频和实物模型展示三角函数测高的应用。
3.组织学生进行实际操作和练习。
六、教学过程1. 导入新知识通过提问和引导，导入三角函数的概念和性质，引起学生的兴趣，并激发学生对测量高度的需求。
2. 讲解三角函数的定义和性质利用教材和课件，详细讲解正弦、余弦、正切函数的定义和性质，并与实际问题联系起来，解释三角函数与高度的关系。
3. 演示三角函数测高的方法通过播放视频或展示实物模型，演示如何使用三角函数测量高度的方法和步骤，并让学生观察和思考。
4. 实际操作和练习将学生分成小组，配备测量工具，进行实际操作和练习，例如利用三角函数测量树木高度、建筑物高度等。
教师和助教进行指导和解答疑惑。
5. 总结与归纳让学生整理笔记，总结三角函数测高的方法和步骤，并与实际问题进行对比，并解答学生的问题。
七、教学评价1.在实际操作中，观察学生是否能正确使用三角函数测量高度。
2.组织小组讨论，评价学生对三角函数测高方法的理解和应用能力。
3.布置练习题，检查学生对三角函数测高的掌握情况。
八、教学延伸利用三角函数测高的方法，引出其他与高度和角度相关的实际问题，如建筑物的倾斜角度、塔吊的工作范围等。
并鼓励学生进行独立思考和解答。
九、板书设计1.6 利用三角函数测高- 三角函数的定义和性质- 正弦、余弦、正切函数的用法- 测量高度的实际问题十、教学反思本节课将数学知识与实际问题相结合，培养了学生的测量和解决问题的能力。
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计
北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》教学设计一. 教材分析北师大版数学九年级下册《6 利用三角函数测高》这一节主要介绍了利用三角函数测量物体高度的方法。
通过本节课的学习，学生能够理解利用三角函数测高的原理，掌握用三角板和尺子测量物体高度的方法，并能够运用到实际生活中。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了初中阶段的三角函数知识，对三角板和尺子的使用也有一定的了解。
但是，学生可能对实际应用三角函数测量高度的方法还不够熟悉，需要通过实例的讲解和操作来加深理解。
三. 教学目标1.理解利用三角函数测高的原理。
2.学会使用三角板和尺子测量物体高度的方法。
3.能够将三角函数知识应用到实际生活中。
四. 教学重难点1.教学重点：利用三角函数测高的原理和方法。
2.教学难点：如何将三角函数知识应用到实际测量中。
五. 教学方法采用讲授法、演示法、实践法、讨论法等多种教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，提高解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备三角板、尺子等测量工具。
2.准备相关的多媒体教学课件。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的内容：如何测量学校旗杆的高度？让学生思考如何利用三角函数来解决这个问题。
2.呈现（10分钟）讲解利用三角函数测高的原理，并通过多媒体课件展示具体的测量方法和步骤。
同时，引导学生理解三角函数在测量中的作用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实际操作，使用三角板和尺子测量教室内的物体高度。
教师巡回指导，解答学生遇到的问题。
4.巩固（10分钟）学生汇报测量结果，并交流在操作过程中遇到的问题和解决方法。
教师总结测量的高度计算公式，并强调注意事项。
5.拓展（10分钟）引导学生思考：除了测量物体高度，三角函数还可以应用到哪些实际问题中？让学生举例说明，并进行讨论。
6.小结（5分钟）教师总结本节课的主要内容，强调利用三角函数测高的方法和注意事项。
7.家庭作业（5分钟）布置一道实际问题作业：测量家里电视的高度。
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】
三角函数的定义及应用教学教案【优秀4篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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《利用三角函数测高》示范教学方案
第一章直角三角形的边角关系1.6利用三角函数测高一、教学目标1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程．2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果.3．能够综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题.4．培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神.二、教学重点及难点重点：设计活动方案，自制仪器．难点：运用直角三角形的边角关系解决问题．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《复习三角函数》动画，《侧倾器测量倾斜角》动画，，，，，，.五、教学过程【复习引入】回忆以前学过的三角函数公式.【知识点解析】解直角三角形应用举例，本微课资源通过讲解实例，进一步巩固解直角三角形的应用.师生活动：教师出示问题，学生思考、回顾并回答问题．答：在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A=A∠的对边斜边，cos A=A∠的邻边斜边，tan A=AA∠的对边∠的邻边．今天我们主要来研究怎样利用三角函数来测量高度．设计意图：通过复习前面学过的三角函数公式，为本节课的学习作知识准备．【探究新知】做一做制作测倾器.师生活动：教师出示问题，学生讨论、分析，小组合作制作测倾器．答：如图所示，首先使（1）支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线重合，（2）度盘的顶线PQ与支杆的中心线、铅垂线、0°刻度线互相垂直，然后用螺钉、螺母把刻度盘和支杆固定在一起即可制作出一个测倾器．设计意图：学生亲自动手制作测倾器，极大地激发了学生的学习兴趣，培养学生的动手能力与合作精神，体会到生活中处处有数学．活动一：测量倾斜角测量倾斜角可以用测倾器，使用测倾器测量倾斜角的步骤是什么？根据测量数据，你能求出测量目标的仰角或俯角吗？说说你的理由．师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．答：使用测倾器测量倾斜角的步骤如下：1．把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置．2．转动度盘，使度盘的直径对准目标M ，记下此时铅垂线所指的度数．根据测量数据，就能求出目标M 的仰角或俯角．测量仰角利用的是“同角的余角相等”；测量俯角利用的是“对顶角相等”“同角的余角相等”．设计意图：培养学生的动手操作能力，通过动手操作，加深对知识的印象．活动二：测量底部可以到达的物体的高度怎样测量底部可以到达的物体的高度呢？师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．教师解释：所谓“底部可以到达”，就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．答：如图，要测量物体MN 的高度，可以按如下步骤进行：NE N1．在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE =α．2．量出测点A 到物体底部N 的水平距离AN =l ．3．量出测倾器的高度AC =a （即顶线PQ 成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据就可求出物体MN 的高度，即MN =ME +EN =l tan α+a ．设计意图：经历方案设计、实地测量、数据处理的活动流程，培养学生的科研能力与科学精神．活动三：测量底部不可以到达的物体的高度．怎样测量底部不可以到达的物体的高度呢？师生活动：教师出示问题，学生选定一测量目标测量其倾斜角并回答问题．教师解释：所谓“底部不可以到达”，就是在地面上不能直接测得测点与被测物体的底部之间的距离．答：如图，要测量物体MN 的高度，可以按如下步骤进行：1．在测点A 处安置测倾器，测得M 的仰角∠MCE =α．2．在测点A 与物体之间的B 处安置测倾器（A ，B 与N 在一条直线上，且A ，B 之间的距离可以直接测得），测得此时M 的仰角∠MDE =β．3．量出测倾器的高度AC =BD =a ，以及测点A ，B 之间的距离AB =b ．根据测量数据就可求出物体MN 的高度，即tan tan ME ME b αβ-=， 解得11tan tan b ME αβ=-．所以MN =ME +EN =11tan tan b a αβ+-． 设计意图：复习巩固解直角三角形的知识，培养学生分析问题和解决问题的能力．【典例精析】例 在距山坡脚B 100米的测点A 处测出山顶上高压输电铁塔顶端M 的仰角为34°42′，测出底端N 的仰角为28°36′，求铁塔的高（精确到0.1米，如图所示）．师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同完成解题过程．解：在Rt △ABN 中，有BN =AB ·tan28°36′≈100×0.545 2=54.52，在Rt △ABM 中，有BM =AB ·tan34°42′≈100×0.692 4=69.24，所以，铁塔的高度为MN =BM -BN ≈69.24-54.52=14.72≈14.7（米）．答：铁塔的高约为14.7米．注意：∠MAN 不是视线和水平线的夹角，所以它既不是仰角，也不是俯角．设计意图：让学生应用刚刚学过的知识及前面学过的解直角三角形的知识解决实际问题．【课堂练习】1．如图，小颖利用有一个锐角是30°的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE 为5 m ，AB 为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树的高度是（ ）．A ．32⎫⎪⎪⎝⎭ mB ．32⎛⎫ ⎪⎝⎭ mC mD ．4 m 2．如图，张华同学在学校某建筑物的C 点处测得旗杆顶部A 点的仰角为30°，旗杆底部B 点的俯角为45°．若旗杆底部B 点到建筑物的水平距离BE =9米，旗杆台阶高1米，则旗杆顶点A 离地面的高度为________米(结果保留根号)．3．如图，两建筑物AB和CD的水平距离为30米，从A点测得D点的俯角为30°，测得C点的俯角为60°，则建筑物CD的高为__________米．4．课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度．如图，在A处用测倾器（离地高度1.5米）测得旗杆顶端的仰角为15°，朝旗杆方向前进23米到B处，再次测得旗杆顶端的仰角为30°，求旗杆EG的高度．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．A．2．(10+．3．4．解：由题设可知，∠ECD=∠DEC=15°．∴DE=CD=23(米)．在Rt△EFD中，∠EDF=30°，∴EF=12ED=11.5(米)．∴EG=EF+GF=11.5+1.5=13(米)．答：旗杆EG的高度为13米．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．六、课堂小结1．使用测倾器测量倾斜角的步骤：（1）把支杆竖直插入地面，使支杆的中心线、铅垂线和度盘的0°刻度线重合，这时度盘的顶线PQ在水平位置；（2）转动度盘，使度盘的直径对准目标，记下此时铅垂线所指的度数．根据测量数据，就能求出目标的仰角或俯角．2．测量底部可以到达的物体高度的步骤：如图，要测量物体MN的高度，（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；（2）量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；（3）量出测倾器的高度AC=a（即顶线PQ成水平位置时，它与地面的距离）．根据测量数据就可求出物体MN的高度．3．测量底部不可以到达的物体高度的步骤：如图，要测量物体MN的高度，（1）在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE=α；（2）在测点A与物体之间的B处安置测倾器（A，B与N在一条直线上，且A，B之间的距离可以直接测得），测得此时M的仰角∠MDE=β；（3）量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A，B之间的距离AB=b．根据测量数据就可求出物体MN的高度．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计1.6 利用三角函数测高1．利用三角函数测高。
1.6 利用三角函数测高(第2课时)导学案
第一章直角三角形的边角关系《利用三角函数测高（第2课时）》一、教学任务分析知识与能力目标：能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量结果进行矫正，从而得出符合实际的结果，能综合应用直角三角形的边角关系的知识解决实际问题.二、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备——自制测角仪、原理回顾、展示测量对象及说明、测量活动及数据收集、统计分析及总结、布置作业.第一环节课前准备活动内容：自制测角仪、分组（5——6人）活动目的：培养学生的动手能力.活动的注意事项：学生所做的测角仪测量角时不方便、误差较大.（解决方法：先展示样品）第二环节原理回顾活动内容：简单地回忆利用测角仪测量物体高度的方法：1、测量底部可以到达的物体的高度；2、测量底部不可以到达的物体的高度活动的注意事项：提醒学生注意：1）方法的选择；2）不要忽略了测角仪到地面的高度.第三环节展示测量对象及说明活动内容：，把学生分成5～6人一组.引导学生选定测量对象（即旗杆或其他物体），根据上节课的分析设计出本组测量的方案.同时发放记录表.活动报告年月日课题测量示意图测得数据测量项目第一次第二次平均值计算过程活动感受负责人及参加人员计算者和复核者指导教师审核意见备注活动的注意事项：1.教师要引导学生展示自己设计的方案.并帮助完善. 2.要做好分工.第四环节测量活动及数据收集活动内容：根据自己设计的方案进行测量与填写记录.活动的注意事项：教师提示要注意的实验的细节：(1)注意实验时的安全.(2)在测量的过程中.要产生测量误差，因此，需多测两组数据.并取它们的平均值较妥(3)正确地使用测倾器，特别要注意测量过程中正确、规范地读数.(4)积极参与测量活动.并能对在测量过程中遇到的困难，想方没法，团结协作，共同解决. 第五环节统计分析及总结活动内容：汇报各组实验活动的结果、比较分析结果.反思实验过程，在全班交流各组的实验活动感受.活动的注意事项：通过学生的感受，教师要引导学生总结测量物体高度的方法及恰当的选择方法.第六环节布置作业补充完善活动报告。
5.7三角函数的应用(一)导学案-高一上学期数学人教A版)
5.7 三角函数的应用（一）【学习目标】1.会用三角函数模型解决简单的实际问题；2.体会可以利用三角函数构建刻画周期变化的数学模型.【重、难点】三角函数模型的应用【学习过程】导入：三角函数能够模拟许多周期现象，因此在解决实际问题中有着广泛的应用，你能举几个例子吗？思：阅读课本242243页内容，思考一下问题：(1)问题1中位移y随时间t的变化规律可以用怎样的函数模型进行刻画？(2)由数据表和散点图，你能说出振子振动时位移的最大值A，周期T，初始状态(t＝0)时的位移吗？根据这些值，你能求出函数的解析式吗？(3)简谐运动在物理学中，把物体受到的力(总是指向平衡位置)正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”，可以用函数y=A sin(ωx+φ),x∈[0,+∞)表示,其中A>0,ω>0.简谐运动中涉及到的物理量：①简谐运动的振幅，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离；②简谐运动的周期是，它是做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间；③简谐运动的频率，它是做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数；④相位；初相．（4）问题2中如何确定电流i 随时间t 变化的函数解析式的？典型例题类型（一）三角函数在物理中的应用例1. （1）某简谐运动的图象如图所示，试根据图象回答下列问题：①这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少？②写出这个简谐运动的函数解析式. （2）一台发电机产生的电流是正弦式电流，电压和时间之间的关系如图6所示．由图象说出它的周期、频率和电压的最大值，并求出电压U（单位V）关于时间t（单位s）的函数解析式．类型（二）三角函数在生活中的应用例2.如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y=A sin(ωx+φ)+b．（1）求这一天6～14时的最大温差；（2）写出这段曲线的函数解析式.类型（三）三角函数在几何中的应用例3.如图，已知直线12l l∥，A是1l，2l之间的一定点并且点A到1l，2l的距离分别为1h，2h，其中12h=，26h=，B是直线2l上一动点，作AC AB⊥，且使AC与直线1l交于点C.设π2ABDαα⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭，则ABC面积S关于角α的函数解析式为()Sα=；()Sα的最小值为 .类型（四）数据拟合模型的应用例4 .海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：(1)选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，给出整点时的水深的近似值（精确到0.001 m）．（提示：先画出散点图，再选择模型）(2)一条货船的吃水深度(船底与水面的距离)为4 m，安全条例规定至少要有1.5 m的安全间隙(船底与海底的距离)，该船何时能进入港口？在港口能呆多久？（参照课本247页）(3)若船的吃水深度为4 m，安全间隙为1.5 m，该船在两点开始卸货，吃水深度以0.3 m/h的速度减少，如果这条船停止卸货后需0.4 h 才能驶到深水域，那么该船在什么时间必修停止卸货，将船驶向较深的水域？（参照课本248页）议：思中问题；例1、例2、例3、例4展：例1、例2、例3评：例3、例4检：1.如图，一根绝对刚性且长度不变、质量可忽略不计的线，一端固定，另一端悬挂一个沙漏．让沙漏在偏离平衡位置一定角度（最大偏角）后在重力作用下在铅垂面内做周期摆动．若线长为l cm，沙漏摆动时离开平衡位置的位移s（单位：cm）与时间t（单位：s）的函数关系是π3cos3gs tl⎛⎫=+⎪⎪⎝⎭，[)0,t∈+∞取210m/sg=，如果沙漏从离开平衡位置到下一次回到平衡位置恰用0.5s，则线长约为（）cm．（精确到0.1cm）A．12.7B．25.3C．101.3D．50.72.图为一向右传播的绳波在某一时刻绳子各店的位置图，经过0.5周期后，乙点的位置将移至何处？小结：1.匀速圆周运动、简谐运动和交变电流都是理想化的运动变化现象，可以用三角函数模型准确地描述它们的运动变化规律．2.函数模型的应用：利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．。
三角函数的应用及利用三角函数测高
第03讲 三角函数的应用及利用三角函数测高1.会运用有关解直角三角形的知识解决实际生活中存在的解直角三角形问题．2.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；3.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
知识点01锐角三角函数之间的关系如图所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°．(1)互余关系：，；(2)平方关系：；(3)倒数关系：或；(4)商数关系：．要点诠释： 锐角三角函数之间的关系式可由锐角三角函数的意义推导得出，常应用在三角函数的计算中，计算时巧用这些关系式可使运算简便．【知识拓展1】利用同角三角函数关系求值计算：（1）2tan452sin30cos 30-+o o o ； （2）22tan1tan89sin 1sin 89o o o o ×++．【答案】（1）34；（2）2.【分析】(1)根据特殊角的三角函数值计算即可；(2)根据直角三角形中tanA=1tanB，sin 2A+cos 2A=1，.解：()1原式21331211244=-´+=-+=；()2原式()221tan1sin 1cos 1tan1=´++o o o o 11=+2=.故答案为：（1）34；（2）2.【点拨】本题考查了三角函数值的计算.【即学即练1】已知∠A 为锐角且sinA=12，则4sin 2A －4sinAcosA ＋cos 2A的值是多少。
【答案】74【分析】先求出A Ð的度数，再求出cos A 的值，最后代入计算即可.解：A Q Ð为锐角，且1sin 2A =30A \Ð=°cos cos30A \=°2222411744()4224sin A sinAcos A A cos \-+´-´==【点拨】本题考查了锐角三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题关键.【即学即练2】.如图，在ABCD Y 中，E ，F 是对角线BD 上的两点（点E 在点F 左侧），且90AEB CFD Ð=Ð=°．（1）求证：四边形AECF 是平行四边形．（2）当5AB =，3tan 4ABE Ð=，CBE EAF Ð=Ð时，求BD 的长．【答案】（1）见解析；（2）【分析】（1）由平行四边形的性质得到AB =CD ，ABE CDF Ð=Ð，和已知条件一起，用于证明三角形全等，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定定理得出结论；（2）根据平行四边形的性质得到一组对角相等，通过等量代换，得到CBE ECF Ð=Ð，则相等的角正切值也相等，根据比值算出结果．解：（1）证明Q ，∴//AE CF ，在中，//AB CD ，=AB CD ，∴ABE CDF Ð=Ð，∴ABE △≌CDF V ()AAS ，∴AE CF =，∴四边形AECF 是平行四边形．（2）解：∵ABE △≌CDF V ，∴BE =DF ，∵四边形AECF 是平行四边形，∴，在Rt ABE △中5AB =，3tan 4ABE Ð=，∴AE =3，BE =4．∵BE =DF ，AE =CF ，∴BE =DF =4，AE =CF =3，Q，CBE EAF Ð=Ð，∴CBE ECF Ð=Ð，∴tan ∠CBF =34CF BE EF EF=++，tan ∠ECF =3EF EF CF =，∴343EFEF =+，得到EF 2，或EF =2（舍去），∴BD 2=6，即BD =6．【点拨】本题考查了平行四边形的性质与判定以及相等的角的正切值也相等．解决本题的关键在于等量代换出角相等，应用相等的角的正切值也相等来解题．【即学即练3】求值：(1)260453456cos sin tan tan +-×o o o o ； ()2已知2tanA =，求245sinA cosAsinA cosA-+的值．【答案】（1）0；（2）313.【分析】（1）根据特殊角的三角函数值及互余两角三角函数值相互间的关系计算．（2）根据同角三角函数值相互间的关系计算．解：（1）原式12=+2﹣11122=+-1=0；（2）∵tan A =2，∴sin cos A A=2，∴sin A =2cos A ，∴原式=22cos 42cos 5A cosA A cosA ´-´+=3cos 13cos A A =313．【点拨】本题考查了特殊角三角函数值的计算，特殊角三角函数值计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．【知识拓展2】求证同角三角函数关系式已知：1sin15cos15sin302o o o ×=，1sin20cos20sin402×=o o o ，1sin30cos30sin602×=o o o，请你根据上式写出你发现的规律________．【答案】1sin cos sin22a a a×=【分析】从角度的倍数关系方面考虑并总结写出结论．解：根据题意发现：同一个角正弦与余弦的积等于这个角的2倍的正弦的一半，规律为：1sin cos sin22a a a ×=.故答案为1sin cos sin22a a a ×=.【点拨】本题考点：同角三角函数的关系.【即学即练1】已知：实常数a b c d 、、、同时满足下列两个等式：⑴sin cos 0a b c q q +-=；⑵cos sin 0a b d q q -+=（其中q 为任意锐角），则a b c d 、、、之间的关系式是：___________【答案】a 2+b 2=c 2+d 2【分析】把两个式子移项后，两边平方，再相加，利用sin 2θ+cos 2θ=1，即可找到这四个数的关系．解：由①得asinθ+bcosθ=c ，两边平方，a 2sin 2θ+b 2cos 2θ+2absinθcosθ=c 2③，由②得acosθ-bsinθ=-d ，两边平方，a 2cos 2θ+b 2sin 2θ-2absinθcosθ=d 2④，③+④得a 2（sin 2θ+cos 2θ）+b 2（sin 2θ+cos 2θ）=c 2+d 2，∴a 2+b 2=c 2+d 2．【点拨】本题主要考查了同角三角函数基本关系式的应用，sin 2θ+bcos 2θ=1的应用是解题的关键，属于基础题．【即学即练2】.①sin 2A+cos 2A=________，②tanA•cotA=________．【答案】11【解析】如图，设Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a b c 、、，则sinA=a c，cosA=bc ，tanA=a b ，cotA=b a ，222+=a b c ，∴（1）sin 2A+cos 2A=2222222()()1a b a b c c c c c++===；（2）tanA•cotA=1a bb a×=.点睛：解答本题的要点是：画出符合要求的图形，结合锐角三角形函数的定义和勾股定理进行推理计算即可得到答案.【知识拓展3】互余两角的三角函数的关系在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，sin A ＝35，求cos A 、tan A 以及∠B 的三个三角函数值．【分析】根据已知角A 的正弦设BC ＝3k ,得出AB ＝5k ,由勾股定理求出AC ＝4k ,根据锐角三角函数的定义求出即可.解：∵sin A ＝35＝BCAB，∴设BC ＝3k ，AB ＝5k ，由勾股定理得：AC ＝4k ，则cos A ＝4554AC k AB k ==，tan A ＝3344BC k AC k ==，sin B ＝45AC AB =，cos B ＝35BC AB =，tan B ＝43AC BC =.【点拨】本题考查了锐角三角函数的定义的应用,熟练掌握定义是关键.【即学即练1】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝35，求cos A 的值．【答案】cos A ＝35.【分析】先根据三角形内角和定理得出∠A+∠B=90°，再根据互余两角的三角函数的关系求解．解：：在△ABC 中，∵∠C ＝90°，∴∠A ＋∠B ＝90°，∴cos A ＝sin B ＝35.故答案为：35.【点拨】本题考查直角三角形中互为余角的两角的三角函数的关系及三角形内角和定理．解题关键是一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，一个角的余弦值等于它的余角的正弦值；三角形内角和是180°．【即学即练2】在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=34，求cosA ，sinB ，cosB ，tanA ，tanB 的值．；34【分析】已知直角三角形中一个锐角的某个三角函数值，求这个锐角的其他三角函数值和它的余角的各三角函数值，可以先画出直角三角形，结合图形和已知条件，利用设“k”法，将直角三角形的各边长用含“k”的代数式表示出来，其中k ＞0，然后根据锐角三角函数的定义，求得锐角的各三角函数值．解：:如图因为Rt △ABC 中，∠C=90°，3sin 4A =，所以34BC AB =，设BC ＝3k(k ＞0)，则AB ＝4k ．在Rt △ABC 中，由勾股定理得AC ===．所以cos A =，sin AC B AB =33cos 44BCk B AB k ===，tan BC A AC ===tan AC B BC ===【知识拓展4】三角函数综合如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝45，BC ＝8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为点E.(1)求线段CD 的长；(2)求cos ∠ABE 的值．【答案】（1）5；（2）2425.解：试题分析：（1）利用正弦定义很容易求得AB =10，然后由已知D 为斜边AB 上的中点，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解.（2）cos ∠ABE =BEBD，则求余弦值即求BE ，BD 的长，易求得BD =5.再利用等面积法求BE 的长.试题解析：(1)在△ABC 中，∵∠ACB ＝90°，sin A ＝45BC AB =，而BC ＝8，∴AB ＝10.∵D 是AB 的中点，∴CD ＝12AB ＝5.(2)在Rt △ABC 中，∵AB ＝10，BC ＝8，∴AC ＝6.∵D 是AB 中点，∴BD ＝5，S △BDC ＝S △ADC ，∴S △BDC ＝12S △ABC ，即12CD ·BE ＝12·12AC ·BC ，∴BE ＝6824255´=´.在Rt △BDE 中，cos ∠DBE ＝BE BD＝ 2455＝2425，即cos ∠ABE 的值为2425.点睛：在直角三角形中求长度，一般可通过勾股定理或全等三角形来求；若已知角度则可用锐角三角函数来求；若这些方法均不可行，又是求高或已知高的长度则可利用等面积法来求.【即学即练1】如图，海中一渔船在A 处且与小岛C 相距70nmile ，若该渔船由西向东航行30nmile 到达B 处，此时测得小岛C 位于B 的北偏东30°方向上；求该渔船此时与小岛C 之间的距离．【答案】渔船此时与C 岛之间的距离为50海里．【分析】过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x ，解直角三角形即可得到结论．解：过点C 作CD ⊥AB 于点D ，由题意得：∠BCD=30°，设BC=x ，则：在Rt △BCD 中，BD=BC•sin30°=12x ，；∴AD=30+12x ，∵AD 2+CD 2=AC 2，即：（30+12x ）2+）2=702，解得：x=50（负值舍去），【点拨】注意能借助于方向角构造直角三角形，并利用解直角三角形的知识求解是解此题的关键．【即学即练2】.如图，已知四边形ABCD 中，∠ABC=90°，∠ADC=90°，AB=6，CD=4，BC 的延长线与AD 的延长线交于点E ．（1）若∠A=60°，求BC 的长；（2）若sinA=45，求AD 的长．（注意：本题中的计算过程和结果均保留根号）【答案】（1）8；（2）143．【分析】（1）根据锐角三角函数求得BE 和CE 的长，根据BC=BE ﹣CE 即可求得BC 的长；（2）根据题意求得AE 和DE 的长，由AD=AE ﹣DE 即可求得AD 的长．解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°•6=6，又∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE==8，∴BC=BE ﹣8；（2））∵∠ABE=90°，AB=6，sinA==，∴设BE=4x ，则AE=5x ，得AB=3x ，∴3x=6，得x=2，∴BE=8，AE=10，∴tanE====，解得，DE=，∴AD=AE ﹣DE=10﹣=，即AD 的长是．考点：解直角三角形．【即学即练3】.如图，在Rt ABC D 中，0090,30,B A AC Ð=Ð==.（1）利用尺规作线段AC 的垂直平分线DE ，垂足为E ，交AB 于点D ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若ADE D 的周长为a ，先化简()()211T a a a =+--，再求T 的值．【答案】（1）作图见解析；（2）10.【解析】（1）尺规作图——作线段的垂直平分线；（2）化简求值，利用三角函数求其余两边的长度.解：（1）如图所示：（2）2(1)(1)31T a a a a =+--=+，∵1122AE AC ==´=∴2cos cos30AE AEAD A ====°,∴1sin sin30=212DE AD A AD ==°´= ，∴123a=++=，3110T a \=+=.知识点02 利用三角函数测高解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键. 解这类问题的一般过程是： (1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型. (2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题. (3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形. (4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解. 拓展： 在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念： (1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示. 坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式. (2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图. (3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°. (4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明： 1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图. 2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解. 3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【知识拓展5】直接求三角形的高数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53，cos28°≈0.88，sin28°≈0.47）【答案】55米【分析】延长BE交CD于点G，交CF于点H，设CH＝xm，利用锐角三角函数的含义分别GH BH，再列方程求解即可．表示,解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，△中，∠EDG＝45°，在Rt DEG∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH ＝xm ，在Rt CGH V 中，CGH Ð=∠EGD ＝45°，∴GH ＝xm在Rt CBH V 中，∠CBH ＝28°，∴tan ∠CBH ＝CH BH ，即：3010x x++＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF ＝55.1≈55（m ）答：灯塔的高为55米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数在解直角三角形中的应用是解题的关键．【即学即练1】.如图，为测量建筑物CD 的高度，在点A 测得建筑物顶部D 点的仰角是22°，再向建筑物CD 前进30米到达B 点，测得建筑物顶部D 点的仰角为58°（A ，B ，C 在同一直线上），求建筑物CD 的高度．（结果保留整数.参考数据：sin 220.37cos 220.93tan 220.40sin 580.85cos580.53tan 58 1.60°°°°°°»»»»»»，，，，，）【答案】CD 的高度是16米．【分析】设建筑物CD 的高度为xm ，在Rt △CBD 中，由于∠CBD=58°，用含x 的代数式表示BC ，在Rt △ACD 中，利用22°的锐角三角函数求出x ，即可得到答案．解：设建筑物CD 的高度为xm ；由tan 58,DC BC °= ,1.60x BC \= 由tan 22,DC AC°= 0.40,DC AC \=0.40(30)1.60x x \=+ 解得：16.x =答：CD 的高度是16米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的含义及应用是解题的关键．【即学即练2】.如图，某数学兴趣小组的同学利用标杆测量旗杆（AB ）的高度：将一根5米高的标杆（CD ）竖在某一位置，有一名同学站在一处与标杆、旗杆成一条直线，此时他看到标杆顶端与旗杆顶端重合，另外一名同学测得站立的同学离标杆3米，离旗杆30米．如果站立的同学的眼睛距地面（EF ）1.6米，求旗杆的高度AB ．【答案】35.6【分析】过点E 作CG ⊥AH 于点H ，交CD 于点G 得出△EGC ∽△EHA ，进而求出AH 的长，进而求出AB 的长．解：过点E 作EH ⊥AB 于点H ，交CD 于点G ．由题意可得 四边形EFDG 、GDHB 都是矩形，AB ∥CD ∥EF ．∴△AECG ∽△EAH ．∴AH EH CG EG．由题意可得EG=FD=3，GH=BD=30，CG=CD-GD=CD-EF=5-1.6=3.4．∴303.43AH ．∴AH=34米．∴AH=AH+HB=34+1.6=35.6米．答：旗杆高ED 为35.6米．【点拨】此题主要考查了相似三角形的应用，根据相似三角形判定得出△ECG ∽△EAH 是解题关键．【即学即练3】. “永定楼”是门头沟区的地标性建筑，某中学九年级数学兴趣小组进行了测量它高度的社会实践活动．如图，他们在A 点测得顶端D 的仰角∠DAC=30°，向前走了46米到达B 点后，在B 点测得顶端D 的仰角∠DBC=45°．求永定楼的高度CD ．（结果保留根号）【答案】23【分析】根据题意得出DC=BC ，进而利用tan30°=DC AC 求出答案．解：试题分析：解：由题意可得：AB=46m ，∠DBC=45°，则DC=BC ，故tan30°=46==+DC DC AC DC解得：DC=23答：永定楼的高度CD 为23+m ．【知识拓展6】由两个直角三角形求高在一次课外综合实践活动中，甲、乙两位同学测量校园内的一棵大树的高度，他们分别在A ，B 两处用高度为1.5m 的测角仪（AE 和BD ）测得大树顶部C 的仰角分别为30°，45°，两人间的水平距离()AB 为20m ，已知点A ，E ，F ，C ，B ，D 在同一竖直平面内，且FC AB ^，求大树的高度CF ．（结果保留根号）【答案】17m 2æöç÷èø【分析】连接ED ，交FC 于点G ，在Rt △CDG 和Rt △CEG 中，求出公共边CG 的长度，然后可求得CF ＝CG +GF ．解：如答图，连接ED ，交FC 于点G ，由题可知四边形AEGF ，四边形BDGF ，四边形ABDG 是矩形，20m ED AB \==， 1.5m GF AE ==．在Rt CDG V 中，45CDG Ð=°Q ，tan 45CG DG CG \==°，在Rt CEG △中，30CEG Ð=°Q ，tan 30CG EG \==°，EG DG ED +=Q ，20CG \=．解，得10CG =．()1710 1.5m 2CF CG GF \=+=+=æöç÷èø．答：大树CF 的高度为17m 2æö-ç÷èø．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【即学即练1】.如图①，在我国古建筑的大门上常常悬挂着巨大的匾额，图②中的线段BC 就是悬挂在墙壁AM 上的某块匾额的截面示意图．已知BC ＝1米，∠MBC ＝37°．从水平地面点D 处看点C 的仰角∠ADC ＝45°，从点E 处看点B 的仰角∠AEB ＝53°，且DE ＝2.4米．（1）求点C 到墙壁AM 的距离；（2）求匾额悬挂的高度AB 的长．（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34）【答案】（1）点C 到墙壁AM 的距离为35米；（2）匾额悬挂的高度是4米．【分析】（1）过C 作CF ⊥AM 于F ， 由1,37,BC MBC =Ð=°结合sin sin 37,CF MBC BCÐ=°= 从而可得答案；（2）过C 作CH ⊥AD 于H ，又,,CF AM MA AD ^^ 则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ． 在Rt △BCF 中，先求解4,5BF = 再在Rt △BAE 中，∠BEA=53°，求解3,4AE AB = 再表示34,55AD AH DH AB =+=++ 或3 2.4,4AD AE DE AB =+=+列方程，解方程可得答案．解：（1）过C 作CF ⊥AM 于F ，在Rt △BCF 中，1,37,BC MBC =Ð=°由sin sin 37,CF MBC BCÐ=°= 31sin 37,5CF \=´°= 所以：点C 到墙壁AM 的距离为35米．（2）过C 作CH ⊥AD 于H ，又,,CF AM MA AD ^^则四边形AHCF 是矩形，所以AF=CH ，CF=AH ．在Rt △BCF 中，1,37,BC MBC =Ð=°由cos cos37,BF MBC BCÐ=°= 441,55BF \=´= 在Rt △BAE 中，∠BEA=53°，905337,ABE \Ð=°-°=° 由3tan tan 37,4AE ABE AB Ð=°== 3,4AE AB \= 在Rt △CDH 中，∠CDH=45°， ∴4,5CH DH FA AB ===+∴347,555AD AH DH AB AB =+=++=+ ∵3 2.4,4AD AE DE AB =+=+ ∴73 2.4,54AB AB +=+ 4.AB \=答：匾额悬挂的高度是4米．【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握作出适当的辅助线构建直角三角形是解题的关键．【即学即练2】.数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点E 处测得旗杆顶部A 的仰角a 为45°，旗杆底部B 的俯角b 为60°．室外测量组测得BF 的长度为5米，求旗杆AB 的高度．【答案】(5+米【分析】此题根据题意作PE AB ^，利用tan AP EP a =´Ð和 tan 60PB EP =´Ð°分别求出PB ，AP 即可求出AB 的长．解：过点E 作PE AB ^于点P ，在Rt APE V 中，90APE Ð=°，tan AP EPa Ð=，45a Ð=°，5PE BF ==，tan 5tan 455AP EP a \=´Ð=´°=在Rt PEB △中，60b Ð=°，tan PB EPb Ð=，tan 605PB EP \=´Ð°==(5AB AP BP \=+=+米．【点拨】此题考查解直角三角形应用中利用锐角三角函数求高，利用图示找出相关量根据题意列式求解是关键．【即学即练3】.如图，在坡角为20°的山坡上有一铁塔AB 、其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD＝10米，落在广告牌上的影子CD＝5米，已知AB，CD均与水平面垂直，请根据相关测量信息，求铁塔AB的高．（sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）【答案】铁塔AB的高约为11米．【分析】过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，分别求出DN、BN 的长度，在Rt△ACE中，求出AE、CE的长度，继而可求得AB的长度．解：过点C作CE⊥AB于E，过点B作BN⊥CD于N，在Rt△BND中，∵∠DBN=20°，BD=10，∴DN=BD×sin∠DBN≈10×0.34=3.4，BN=BD×cos∠DBN≈10×0.94=9.4，∵AB∥CD，CE⊥AB，BN⊥CD，∴四边形BNCE为矩形，∴BN=CE=9.4，CN=BE=CD﹣DN=1.6，在Rt△ACE中，∠ACE=45°，∴AE=CE=9.4，∴AB=9.4+1.6=11（米）．答：铁塔AB的高约为11米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据题目所给的坡角构造直角三角形，利用三角函数的知识求解．【知识拓展7】由多个直角三角形求高小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上；如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米，已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米，垂直于地面旋转的标杆在地面上的影长为2米，求树的高度为多少米？【答案】树高为(米【分析】延长AC交BF延长线于D点，则BD即为AB的影长，然后根据物长和影长的比值计算即可．解：延长AC交BF延长线于D点，则∠CFE=30°，作CE⊥BD于E，如下图所示：在Rt△CFE中，∠CFE=30°，CF=4m，o m，∴CE=2m，4cos304EF==´=在Rt△CED中，∵同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，∴CE:ED=1:2，且CE=2m，∴DE=4m，∴8412BD BF EF DF=++=+=+米，再由同一时刻，一根长为1米垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米可知，1(62AB BD ==米，故答案为：树高(米．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用，解决本题的关键是作出辅助线即可得到AB 的影长．【即学即练1】.如图，在一次综合实践活动中，小亮要测量一楼房的高度，先在坡面D 处测得楼房顶部A 的仰角为30°，沿坡面向下走到坡脚C 处，然后在地面上沿CB 向楼房方向继续行走10米到达E 处，测得楼房顶部A 的仰角为60°．已知坡面CD ＝10米，山坡的坡度i ＝1．求楼房AB 高度．（结果保留根式）【答案】（【分析】过点D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，设AB=x ，AG=x-5，则tan 60AB BE ==o ，tan 30AG DG ==o，根据DG ＝FC+CE+BE ，列出方程，即可求解.解：过D 作DF ⊥BC ，垂足为F ，∵i ＝1∴DF ：FC ＝1CD ＝10，∴DF ＝5，CF ＝过点D 作DG ⊥AB ，垂足为G ，设AB ＝x ，则AG ＝x ﹣5，在Rt △ABE 中， tan 60AB BE ==o ，在Rt △ADG 中，tan 30AG DG ==o ，由DG ＝FC+CE+BE 得，x ﹣5）＝，解得，x ＝答：AB 的高度为（【点拨】本题主要考查解直角三角形的实际应用，根据特殊角的三角函数的定义，列出方程是解题的关键．【即学即练2】..如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度，AB=10米，AE=21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）【答案】2【分析】过B作DE的垂线，设垂足为G，BH⊥AE．在△ADE解直角三角形求出DE的长，进而可求出EH即BG的长，在Rt△CBG中，∠CBG=45°，则CG=BG，由此可求出CG的长然后根据CD=CG+GE-DE即可求出宣传牌的高度．解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABH中，i=tan∠BAH∴∠BAH=30°，∴BH=12AB=5米；∴AH∴BG=HE=AH+AE=（）米，Rt△BGC中，∠CBG=45°，∴CG=BG=（）米．Rt△ADE中，∠DAE=53°，AE=21米，∴DE=43AE=28米，∴CD=CG+GE﹣DE28=（2）m.答：宣传牌CD高为（2-）米．【点拨】本题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键．【即学即练3】.如图，某风景区内有一瀑布，AB表示瀑布的垂直高度，在与瀑布底端同一水平位置的点D处测得瀑布顶端A的仰角β为45°，沿坡度i＝1：3的斜坡向上走100米，到达观景台C，在C处测得瀑布顶端A的仰角α为37°，若点B、D、E在同一水平线上．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）（1）观景台的高度CE为 米（结果保留准确值）；（2）求瀑布的落差AB（结果保留整数）．【答案】（1）；（2）瀑布的落差约为411米．【分析】（1）通过解直角△CDE得到：CE＝CD•sin37°．（2）作CF ⊥AB 于F ，构造矩形CEBF ．由矩形的性质和解直角△ADB 得到DE 的长度，最后通过解直角△ACF 求得答案．解：（1）∵tan ∠CDE ＝13CE CD =∴CD ＝3CE ．又CD ＝100米，∴100==∴CE ＝ ．故答案是：．（2）作CF ⊥AB 于F ，则四边形CEBF 是矩形．∴CE ＝BF ＝，CF ＝BE ．在直角△ADB 中，∠DB ＝45°．设AB ＝BD ＝x 米．∵C E C D ＝13，∴DE ＝．在直角△ACF 中，∠ACF ＝37°，tan ∠ACF 0.75AF CF ==»解得x ≈411．答：瀑布的落差约为411米．【点拨】本题考查解直角三角形、仰角、坡度等概念，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形，记住坡度的定义，属于中考常考题型．【知识拓展8】其他运用2017年9月8日—10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐.如图，某选手从离水平地面1000米高的A 点出发（AB=1000米），沿俯角为30°的方向直线飞行1400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.【答案】分析：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，根据题意得到∠ADE=30°，∠CDF=30°，利用含30度的直角三角形三边的关系计算出AE=12AD=700，BE=300，所以DF=300，Rt△CDF中计算出CF，然后计算BF和CF的和即可．解：如图，作DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，∠ADE=30°，∠CDF=30°，在Rt△ADE中，AE=12AD=12×1400=700，∴BE=AB-AE=1000-700=300，∴DF=300，在Rt△CDF中，∴BC为．点睛：本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形．【即学即练1】.如图，从点A看一山坡上的电线杆PQ，观测杆顶端点P的仰角是45°，向前走6 m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°，求该电线杆PQ 的高度(精确到0.1 m)．【答案】电线杆PQ的高约是9.5 m.解：试题分析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE 中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．试题解析：延长PQ交直线AB于点E，设PE=x米．在直角△APE中，∠A=45°，则AE=PE=x米；∵∠PBE=60°∴∠BPE=30°在直角△BPE中，米，∵AB=AE-BE=6米，则，解得：则BE=（）米．在直角△BEQ中，+3）=（∴（（米）．答：电线杆PQ 的高度是考点：解直角三角形的应用—俯角仰角问题.【即学即练2】.图1所示的是某景区的“关帝圣像”，它从2007年1月开始铸造，共用铜500吨，铁2000吨，甚是伟岸壮观．其侧面示意图如图2所示．在B 处测得圣像顶A 的仰角为52.8o ，在点E 处测得圣像顶A 的仰角为63.4°．已知AC BC ^于点,C EG BC ^于点,//,30G EF BC BG =米，19FC =米，求圣像的高度AF ． (结果保留整数．参考数据：52.80.80,52.80.60sin cos »°»o ，52.8 1.32,63.40.89tan sin °»°»，63.40.45,63.4 2.00cos tan »°»o )【答案】圣像的高度AF 约为61米【分析】设圣像的高度AF 约为x 米，根据已知Rt AEF D 中tan AEF Ð的值用x 表示EF 的长，根据EF GC =进而可求出BC 的长，从而利用Rt ACB D 中tan ABC Ð列出关于x 的方程，解得x 的值，即为圣象的高度．解：设AF x =米，∵,,//AC BC EG BC EF BC ^^，∴四边形FCGE 为矩形，∴EF GC =，在Rt AEF D 中，AF tan AEF EF Ð=，∴63.42AF x x EF tan AEF tan ==»Ð°，∴2x GC =，∵30BG =米，∴302(x BC =+米，在Rt ACB D 中，AC tan ABC BCÐ=，1952.8302x tan x +°=+，∴19 1.32302x x +»+，解得61x »，答：圣像的高度AF 约为61米．【点拨】本题主要考查三角函数．解题的关键在于在直角三角形中，根据三角函数的定义，结合已知条件，列出关于x 的方程，求解方程即可得解．【即学即练3】.如图，在河流的右岸边有一高楼AB ，左岸边有一坡度1:2i =的山坡CF ，点C 与点B 在同一水平面上，CF 与AB 在同一平面内．某数学兴趣小组为了测量楼AB 的高度，在坡底C 处测得楼顶A 的仰角为45°，然后沿坡面CF上行了（即CD =到达点D 处，此时在D 处测得楼顶A 的仰角为26.7°．（参考数据：sin 26.70.45°»，cos26.70.89°»，tan 26.70.50°»）（1）求点C 到点D 的水平距离CE 的长；（2）求楼AB 的高度．【答案】（1）40米；（2）楼AB 的高度为80米．【分析】（1）由CF 的坡度1:2i =，,DE CE ^可得1,2DE CE = 设,DE x = 则2,CE x = 由勾股定理可得,CD === 解方程可得答案；（2）如图，过D 作DH AB ^于,H 先证明四边形DEBH 是矩形，可得2040,BH DE DH BE CE BC BC ====+=+， 设,AB m = 证明,BC AB m == 可得20,40,AH m DH m =-=+ 由26.7,ADH Ð=°建立方程，再解方程检验即可得到答案．解：（1）Q CF 的坡度1:2i =，,DE CE ^1,2DE CE \= 设,DE x = 则2,CE x =,CD \===20,x \=240.CE x \== （2）如图，过D 作DH AB ^于,H,,DE BE AB BE ^^Q\ 四边形DEBH 是矩形，2040,BH DE DH BE CE BC BC \====+=+，设,AB m =45,ACB AB BE Ð=°^Q ，45,ACB BAC \Ð=Ð=°,BC AB m \== 20,40,AH m DH m \=-=+由26.7,ADH Ð=°tan 26.7,AH DH \°= 200.5,40m m -\=+ 解得：80.m =经检验：80m =符合题意，所以：建筑物AB 的高为：80米．【点拨】本题考查的是解直角三角形的实际应用，坡度的含义，掌握利用解直角三角形测量建筑物的高是解题的关键1.如图，有一个晾衣架放置在水平地面上，在其示意图中，支架OA 、OB 的长均为108cm ，支架OA 与水平晾衣杆OC 的夹角∠AOC 为59°，求支架两个着地点之间的距离AB ．（结果精确到0.1cm ）(参考数据：sin 59°=0.86，cos 59°=0.52，tan 59°=1.66)．【答案】112.3cm【解析】解：作OD ⊥AB 于点D ，∵OA =OB ，∴AD =BD 。
初中数学导学案(新部编)---解直角三角形应用测高
教师学科教案[ 20 – 20 学年度第__学期]任教学科：_____________任教年级：_____________任教老师：_____________xx市实验学校江西新干四中初中部数学组导学案 编写人：陈小军 复核人：李卫林 总第课题： 解直角三角形的应用——测高问题学习目标 1、 能够用解直角三角形的知识解某些简单的测高问题； 2、 能选择适当的锐角三角函数去解决直角三角形问题； 3、 培养解决实际问题的能力和应用数学的意识。
重难点： 学生遇到现实问题时对解决策略的选择和归结为数学知识的途径学习方式先自学，独立完成学案上的内容（达标测试不做），再小组商讨，解决不会的题目，注意把不是很理解的题目做上标记，课上小组重点讨论。
乙A 30°B 甲D45°CAC 45°E30°D B2、河对岸有高层建筑物AB，为测量其高，在C处，由点D用测角仪测得∠ADE=30︒；向高层建筑物前进50m，到达C'处。
由点D'测得顶端∠AD’E=45︒。
已知测角仪高CD C D m==''.12。
求高层建筑物AB的高。
3、某广场上有一个充满氢气的气球P，被广告条拽着悬挂在空中，身高相差1m、相距5m 的甲、乙两人分别站在E、F处，他们的视线与水平线夹角分别为30°,45°，FD的高度是1.5米，请求气球的高度。
FEC DBAP4、数学课外学习小组某下午实践活动课时，测量朝西教学楼前的旗杆AB的高度．如图所示，当阳光从正西方向照射过来时，•旗杆AB的顶端A的影子落在教学楼前的坪地C处，测得影长CE=2m，DE=4m，BD=20m，DE与地面的夹角为α=30°．在同一时刻，测得一根长为1m的直立竹竿的影长恰为4m．•根据这些数据求旗杆AB的高度．三、小结提升画出图形，将问题中的数量关系用解直角三形实际问题数学问题在图形中反映出来知识求解数学问题答案实际问题答案检验四、达标测试1、如图，身高1.6m 的小丽用一个两锐角分别为30o 和60o的三角尺测量一棵树的高度，已知她与树之间的距离为6m ，那么这棵树高大约为 ．（小丽眼睛距离地面高度近似为身高）2、如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当斜坡正对着太阳时，旗杆AB 的影子恰好落在水平地面BC 和斜坡坡面CD 上，测得旗杆在水平地面上的影长20BC =米，在斜坡坡面上的影长8CD =米，太阳光线AD 与水平地面成30o角，且太阳光线AD 与斜坡坡面CD 互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB 的高度（精确到1米）．（可供选用数据：取2 1.4=，3 1.7=）3、如图，学习小组进行测量小山高度的实践活动．同学们测得的数据如图，还测得AD =180m ，请你帮助他们计算出小山的高度BC ．Ｂ Ｃ Ｄ Ａ ACBHD45o60o30o。
利用三角函数测量楼的高度
研究性学习设计方案模板研究课题名称：利用三角函数测量楼的高度设计者姓名所在学校所教年级研究学科联系电话电子邮件一、课题背景、意义及介绍1、背景说明（怎么会想到本课题的）：三角函数内容具有非常丰富的实际背景，在现实生活中有着广泛的应用，三角函数知识的学习更能使学生体验数学与日常生活的密切联系，初步培养学生的数学意识，感受数学的应用。
学习三角函数有一个很好的办法，就是问题解决，因此，我想到了运用三角函数的知识来测量楼的高度，在实践中学习和运用三角函数，更好地学习和运用。
2、课题的意义（为什么要进行本课题的研究）：利用三角函数测量楼的高度，不仅能培养学生各种能力，更能拓展丰富学生学习数学的有效途径，通过本课题的学习，有如下几点意义：（1）培养学生动手操作、搜集数据、分析数据和综合推断的能力。
（2）培养学生小组合作、交流的精神品质。
（3）增强学生学习数学的兴趣。
（4）体现新课程标准的理念，有利于学生的发展。
3、课题介绍初中阶段简单的三角函数知识是在学生经历了生活的实际情境的基础上进行学习的。
本单元的主要内容有：梯子的倾斜度、正切、正弦、余弦以及三角函数的应用等。
本课题是通过实际的测量，在生活实际中应用三角函数的知识解决生活中的实际问题。
主要流程：收集数据——整理数据——分析数据的过程.二、研究性学习的教学目的和方法（可按新课程标准的三维目标（或布鲁姆目标分类法）进行研究性学习的教学目和方法的阐述）通过本次活动，锻炼学生学数学和用数学的能力，培养与人合作的精神，培养学生提出问题和解决问题的能力。
知识与技能：1、认识三种三角函数的特点。
2、能根据需要选择三角函数进行解决问题的计算。
3、能应用三角函数知识测量楼的高度，能根据测量结果做出简单的判断和预测。
过程与方法：1、学会采用多种方式途径收集资料，并能对各种资源进行筛选、整理、分析。
体会生活中数学知识的存在。
2、经历发现问题、分析问题、解决问题的研究过程，初步学会探究学习的方法。
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三角函数的应用导学案 审核人：九年级数学备课组 2014年______月_____日 学习目标：运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题 学习重点：能够把实际问题转化为数学问题, 能进行有关三角函数的计算 学习难点：能够把实际问题转化为数学问题 一、 知识回顾 1.偏向角：如图，点B 在点A 的 位置，点A 在点B 的 位置。
2.角 从高处观察低处目标时，视线与水平线所成的锐角称为_____角 二、知识探究 ★知识点一：古塔有多高？ 例1、小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶
,测得仰角为300,再往塔的方向前进50m 至B 处,测得仰角为600,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计, 结果精确到1m) ★知识点二：船有触礁的危险吗？ 例2、海中有一个小岛A,该岛四周10海里内暗礁.今有货轮四由西向东航行,开始在A 岛南偏西600的B 处,往东行驶20海里后到达该岛的南偏西300的C 处.之后,货轮继续向东航行.你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗? 三、达标检测 1、如图飞机从一高射炮C 的正上方D 点6000m 经过，沿水平方向飞行，稍后到达B 点，测得此时仰角45°，5分钟后飞机到达A 点，测得此时的仰角为30°，求飞机从B 到A 的速度
0为450,那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计, 结果精确到0.1m)
3、我舰在A 处接到紧急情报，在A 处南偏西60°方向上的B 处有一艘可疑船只，正以24海里/时的速度向正东方向前进，上级命令要对可疑船只进行检查，我舰立刻沿南偏西45°方向迅速前进，经过1h 的航行，正好在C 处截住可疑船只，求我舰航速是多少（ 结果精确到0.1）。
4、海岛A 的四周12海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B 处测得海岛A 位于北偏东60°，
航行12海里到达C 处，又测得海岛A 位于北偏东30°，如果渔船不改变航向继续向东航行，那么它有
没有触角危险？（ ）
5.一艘轮船每小时36海里的速度向正北航行到A 处， 发现它的东北方向有灯塔B ，船继续向北航行40min 到达C 处，发现灯塔B 在它的北偏东75°方向，求此时船与灯塔的距离。
（ 结果精确到0.01）
D _ A
A
C P 732
.13≈732.13≈732.13≈732.13≈414.12≈60° 30° 732.13≈
利用三角函数测高导学案 2014年______月_____日 学习目标：1、在实际应用题中学会构造直角三角形； 2、熟练运用解直角三角形及锐角三角函数的知识解决实际问题； 学习重难点：熟练运用解直角三角形及锐角三角函数的知识解决实际问题；并培养学生数学学习能力。
学习过程： 一．问题情境 问题1 学校操场上的国旗杆要更换，要求新旗杆与旧旗杆一样高，学校决定把测量旧旗杆高的任务交给我们，为了课后顺利完成测量任务，今天请同学们设计出一套切实可行的测量方案。
(1)测量工具：皮尺（长度用a 、 b 、c……表示） 测倾器（角度用
γ ……表示） (2)要求：1、设计测量方案 2、计算 三.自主探究 问题1、若旗杆在在操场上，如何在操场上测得旗杆的高度呢？
问题2
、若旗杆不在操场上，而在教学楼顶，如何在操场上测得旗杆的高度呢？
问题3、若旗杆的底部不能直接到达，假设中间隔一条河，又如何测得旗杆的高度呢？五．课后作业 1、现要利用侧倾器测量可以直接到达的物体AB 底部的高度，现在C 点安置侧倾器，测得
B 的仰角为30°，测得
C 到物体底部A 的水平距离为8m,侧倾器的高度为1m,求物体AB
的高度（结果保留根号）
2.如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼的高度AB ．小刚在D 处用高1.5m 的测角仪CD ，测
得教学楼顶端A 的仰角为30°，然后向教学楼前进40m 到达E ，又测得教学楼顶端A 的仰角为60°．求
这幢教学楼的高度AB （ 结果精确到0.1）。
3、某哨兵在高出海平面100米的山顶A 处，测得正东与正西两艘船的俯角分别为30°和45°，求两艘船之间的距离
间的距离为300米，求山顶A 到海平面的垂直高度
5．小明家所在居民楼的对面有一座大厦AB ，AB ＝80米．为测量这座居民楼与大厦之间的距离，小明从自己家的窗户C 处测得大厦顶部A 的仰角为37°，大厦底部B 的俯角为48°．求小明家所在居民楼与大厦的距离CD 的长度．（结果保留整数） （参考数据：o o o o
33711sin37tan37sin 48tan48541010
≈≈≈≈，，，
6、如图，大楼高30米，远处有一塔BC,某人在楼底A 处测得塔顶的仰角为60°爬到楼顶D 处测得塔顶
的仰角为30°，求塔高BC 和大楼与塔之间的距离AC （ 结果精确到0.1）。
C D E B A 732.13≈732.13≈B C B C。