信号与系统15-16-2复习题
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解：(1)对微分方程两边做单边拉普拉斯变换，得：
整理得
其中零输入响应的s域表达式为
所以系统的零输入响应为
零状态响应的s域表达式为
所以系统的零状态响应为
系统的全响应为
(2)根据系统函数的定义，可得
由于系统的极点为 ，均位于s平面的左半平面，所以系统稳定。
(3) 若 ，则系统函数 和零输入响应 均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为
信号与系统复习题
1． 1/2。（解题思路：冲激函数偶函数和尺度变换的性质及冲激函数的定义）
2．已知信号 ，则 。（解题思路：冲激函数和阶跃函数的特点和性质）
3． 。（解题思路：冲激函数卷积积分的性质）
4．已知 ，则 。（解题思路：傅里叶变换时移的性质）
5．已知信号的频谱函数为 ，则该信号时域表达式为 。（解题思路：矩形脉冲的傅里叶变换）
（3）由系统函数的定义可得
取z反变换得系统单位冲激响应为
（4）由系统函数 可得极点 ，都未在单位圆内，故系统不稳定。
24. 一初始状态为零的离散系统，当输入 时，测得输出 。试求：(1)该系统的系统函数 ；(2)画出其零极点分布图；(3)判断系统的稳定性。
解：(1)对 和 分别进行z变换，得
由系统函数的定义得
23. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如题23图所示，求：
题23图
(1)描述系统的差分方程；
(2)系统函数 ，单位脉冲响应 ；
(3)判断系统是否稳定。
解：（1）由题18图可知，输入端求和器的输出为
(1)
(2)
式（2）代入式（1）得
(3)
输出端求和器的输出为
(4)
即
或
因此系统的差分方程为
）
解： 包含翻转、抽取和位移运算，可按先左移2再抽取，最后翻转的顺序处理，即得 ，如答3-1图所示。
14.试求微分方程 所描述的连续时间LTI系统的冲激响应 。
解：微分方程的特征根为：
由于 ，故设 。
将其带入微分方程 ，
ຫໍສະໝຸດ Baidu可得
故系统的冲激响应为
15.在题15图所示的系统中，已知 ，求该系统的单位脉冲响应 。
(2)系统的零极点分别为 。
其零极点分布图如下所示。
(3)由于极点均在单位圆内，故系统稳定。
25. 试写出方程 描述的LTI系统的状态方程和输出方程的矩阵形式。
解：选 和 作为系统的状态变量，即
由原微分方程和系统状态的定义，可得系统的状态方程为
写出矩阵形式为
系统的输出方程为
写出矩阵形式为
26．已知一个LTI系统的系统函数为请写出系统直接型结构的状态方程和输出方程。
6．无失真传输系统的时域特性的数学表达式为 ，频域特性的数学表达式为 。（解题思路：无失真传输系统的定义）
7．信号 的周期T=2s。（解题思路：P18 1-2 ）
8．信号 的周期N=4。（解题思路： ， ，周期 ）
9.信号 的偶分量 0.5。（解题思路： ）
10．已知某系统的冲激响应如下图所示，则该系统的阶跃响应为 。（解题思路： ）
题15图
解：
16．已知信号 在频域的最高角频率为 ，若对信号 进行时域抽样，试求其频谱不产生混叠的最大抽样间隔 。
解：由于
故信号 的最高角频率为 ，频谱不产生混叠的最小抽样角频率为
即最大抽样间隔
17． 最高角频率为 ，对 取样，求其频谱不混迭的最大间隔。
解：信号 的最高角频率为 ，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号 的最高角频率为 ，信号 的最高角频率为 。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故 的最高角频率为
故得
20. 已知一连续时间系统的单位冲激响应 ，输入信号 时，试求该系统的稳态响应。
解：系统的频响特性为
利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即
由系统的频响特性知， ，可以求出信号 ，作用在系统上的稳态响应为
21.已知一连续时间LTI系统的零状态响应为 ，激励信号为 ，试求：(1)该系统的系统函数H(s)，并判断系统是否稳定；(2) 写出描述系统的微分方程；(3) 画出系统的直接型模拟框图。
解：将系统函数改写为s的负幂形式，则其系统直接型结构如下图所示
选三个积分器输出为系统的状态变量q1，q2和q3，有
则其状态方程为：
输出方程为：
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。）
11．已知某系统的阶跃响应如题11图所示，则该系统的冲激响应为 。（解题思路： ）
12. 若 的波形如题12图所示，试画出 的波形。
题12图
解：将 改写为 ，先反转，再展宽，最后左移2，即得 ，如答12题所示。
答12题
13.一个离散时间信号 如下图所示，试画出 的图形。（请记住：对离散信号不能写成如下表达式：
解：零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为
根据系统函数的定义，可得
①
该系统的极点为p1= -1,p1= -2系统的极点位于s左半平面，故该系统稳定。
(2)由①式可得系统微分方程的s域表达式
两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为
(4) )将系统函数表示成s的负幂形式，得
其模拟框图如下所示。
22. 描述某因果连续时间LTI系统的微分方程为 。已知 ， 。由s域求解：(1) 零输入响应 ，零状态响应 和全响应 ；(2) 系统函数 ，并判断系统是否稳定；(3) 若 ，重求 、 、 。
根据时域抽样定理可知，对信号 取样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔 为
18. 已知连续周期信号 的频谱 如题18图所示，试写出信号的时域函数表示式。
题18图
解：由图可知，
19. 已知某连续为时间LTI系统的输入激励为 ，零状态响应为 。求该系统的频率响应 和单位冲激响应 。
解：对 和 分别进行Fourier变换，得
整理得
其中零输入响应的s域表达式为
所以系统的零输入响应为
零状态响应的s域表达式为
所以系统的零状态响应为
系统的全响应为
(2)根据系统函数的定义，可得
由于系统的极点为 ，均位于s平面的左半平面，所以系统稳定。
(3) 若 ，则系统函数 和零输入响应 均不变，根据时不变特性，可得系统零状态响应为
信号与系统复习题
1． 1/2。（解题思路：冲激函数偶函数和尺度变换的性质及冲激函数的定义）
2．已知信号 ，则 。（解题思路：冲激函数和阶跃函数的特点和性质）
3． 。（解题思路：冲激函数卷积积分的性质）
4．已知 ，则 。（解题思路：傅里叶变换时移的性质）
5．已知信号的频谱函数为 ，则该信号时域表达式为 。（解题思路：矩形脉冲的傅里叶变换）
（3）由系统函数的定义可得
取z反变换得系统单位冲激响应为
（4）由系统函数 可得极点 ，都未在单位圆内，故系统不稳定。
24. 一初始状态为零的离散系统，当输入 时，测得输出 。试求：(1)该系统的系统函数 ；(2)画出其零极点分布图；(3)判断系统的稳定性。
解：(1)对 和 分别进行z变换，得
由系统函数的定义得
23. 一线性时不变离散时间因果系统的直接型模拟框图如题23图所示，求：
题23图
(1)描述系统的差分方程；
(2)系统函数 ，单位脉冲响应 ；
(3)判断系统是否稳定。
解：（1）由题18图可知，输入端求和器的输出为
(1)
(2)
式（2）代入式（1）得
(3)
输出端求和器的输出为
(4)
即
或
因此系统的差分方程为
）
解： 包含翻转、抽取和位移运算，可按先左移2再抽取，最后翻转的顺序处理，即得 ，如答3-1图所示。
14.试求微分方程 所描述的连续时间LTI系统的冲激响应 。
解：微分方程的特征根为：
由于 ，故设 。
将其带入微分方程 ，
ຫໍສະໝຸດ Baidu可得
故系统的冲激响应为
15.在题15图所示的系统中，已知 ，求该系统的单位脉冲响应 。
(2)系统的零极点分别为 。
其零极点分布图如下所示。
(3)由于极点均在单位圆内，故系统稳定。
25. 试写出方程 描述的LTI系统的状态方程和输出方程的矩阵形式。
解：选 和 作为系统的状态变量，即
由原微分方程和系统状态的定义，可得系统的状态方程为
写出矩阵形式为
系统的输出方程为
写出矩阵形式为
26．已知一个LTI系统的系统函数为请写出系统直接型结构的状态方程和输出方程。
6．无失真传输系统的时域特性的数学表达式为 ，频域特性的数学表达式为 。（解题思路：无失真传输系统的定义）
7．信号 的周期T=2s。（解题思路：P18 1-2 ）
8．信号 的周期N=4。（解题思路： ， ，周期 ）
9.信号 的偶分量 0.5。（解题思路： ）
10．已知某系统的冲激响应如下图所示，则该系统的阶跃响应为 。（解题思路： ）
题15图
解：
16．已知信号 在频域的最高角频率为 ，若对信号 进行时域抽样，试求其频谱不产生混叠的最大抽样间隔 。
解：由于
故信号 的最高角频率为 ，频谱不产生混叠的最小抽样角频率为
即最大抽样间隔
17． 最高角频率为 ，对 取样，求其频谱不混迭的最大间隔。
解：信号 的最高角频率为 ，根据傅立叶变换的展缩特性可得信号 的最高角频率为 ，信号 的最高角频率为 。根据傅立叶变换的乘积特性，两信号时域相乘，其频谱为该两信号频谱的卷积，故 的最高角频率为
故得
20. 已知一连续时间系统的单位冲激响应 ，输入信号 时，试求该系统的稳态响应。
解：系统的频响特性为
利用余弦信号作用在系统上，其零状态响应的特点，即
由系统的频响特性知， ，可以求出信号 ，作用在系统上的稳态响应为
21.已知一连续时间LTI系统的零状态响应为 ，激励信号为 ，试求：(1)该系统的系统函数H(s)，并判断系统是否稳定；(2) 写出描述系统的微分方程；(3) 画出系统的直接型模拟框图。
解：将系统函数改写为s的负幂形式，则其系统直接型结构如下图所示
选三个积分器输出为系统的状态变量q1，q2和q3，有
则其状态方程为：
输出方程为：
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。）
11．已知某系统的阶跃响应如题11图所示，则该系统的冲激响应为 。（解题思路： ）
12. 若 的波形如题12图所示，试画出 的波形。
题12图
解：将 改写为 ，先反转，再展宽，最后左移2，即得 ，如答12题所示。
答12题
13.一个离散时间信号 如下图所示，试画出 的图形。（请记住：对离散信号不能写成如下表达式：
解：零状态响应和激励信号的拉氏变换分别为
根据系统函数的定义，可得
①
该系统的极点为p1= -1,p1= -2系统的极点位于s左半平面，故该系统稳定。
(2)由①式可得系统微分方程的s域表达式
两边进行拉氏反变换，可得描述系统的微分方程为
(4) )将系统函数表示成s的负幂形式，得
其模拟框图如下所示。
22. 描述某因果连续时间LTI系统的微分方程为 。已知 ， 。由s域求解：(1) 零输入响应 ，零状态响应 和全响应 ；(2) 系统函数 ，并判断系统是否稳定；(3) 若 ，重求 、 、 。
根据时域抽样定理可知，对信号 取样时，其频谱不混迭的最大抽样间隔 为
18. 已知连续周期信号 的频谱 如题18图所示，试写出信号的时域函数表示式。
题18图
解：由图可知，
19. 已知某连续为时间LTI系统的输入激励为 ，零状态响应为 。求该系统的频率响应 和单位冲激响应 。
解：对 和 分别进行Fourier变换，得