【全国市级联考】广西桂林市、柳州市2016届高三高考压轴考试理数试题(原卷版)
2016全国三卷理科数学高考真题及答案Word
2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=I > ，则ST =(A) [2，3] (B)（-∞ ，2] [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞） （2）若z=1+2i ，则41izz =- (A)1 (B) -1 (C) i (D)-i （3）已知向量12(,)22BA = ,31(,),22BC = 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α=，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）31010 （B ）1010（C ）1010（D ）31010(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+（C ）90 （D ）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC -A 1B 1C 1内有一个体积为V 的球，若AB ⊥BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则V 的最大值是 （A ）4π （B ）92π（C ）6π（D ）323π（11）已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有 （A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个二、填空题：本大题共3小题，每小题5分（13）若x ，y 满足约束条件 则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
(完整word版)2016全国三卷理科数学高考真题及答案.docx
2016 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一.选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .（1）设集合 S= S x P(x2)(x3)0 ,T x x 0，则 S I T=(A) [2 ，3](B) （-， 2]U [3,+）(C) [3,+ ）(D) （0， 2] U[3,+ ）（2）若 z=1+2i ，则4izz1(A)1(B)-1(C) i(D)-iuuv( 1uuuv(3,1),（3）已知向量BA, 2 ) , BC则 ABC=2222(A)30 0(B)450(C) 60 0(D)120 0（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C， B 点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大(C)三月和十一月的平均最高气温基本相同(D)平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若tan3，则 cos22sin 26444816(B)(C) 1(A)25(D)2525 431（6）已知a23， b44， c253，则（A ）b a c（ B）a b c （C） b c a （D） c a b（7）执行下图的程序框图，如果输入的a=4， b=6，那么输出的n=（A ） 3（B ） 4（C） 5（D ） 6（8）在 △ABC 中，B = πBC1cos A =，边上的高等于则43 BC ,（ A ）3 10（ B ）101010（ C ） -10 （ D ） - 3 1010 10 (9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ） 18 36 5（B ） 54 18 5（C ） 90 （D ） 81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若AB BC ， AB=6 ，BC=8， AA 1 =3，则 V 的最大值是（A ） 4π （ B ）9（ C ） 6π（D ）3223x 2 y 2 1(a b 0) 的左焦点， A ， B 分别为 C 的左，右顶点 .P 为（11）已知 O 为坐标原点， F 是椭圆 C ：b 2 a 2C 上一点，且 PF ⊥ x 轴 .过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E.若直线 BM 经过 OE 的中点，则C 的离心率为（A ）1（ B ）1（ C ）2（ D ）33 2 3 4（12）定义 “规范 01 数列 ”{a n } 如下： { a n } 共有 2m 项，其中 m 项为 0，m 项为 1，且对任意 k 2m ， a 1 , a 2, L , a k 中 0 的个数不少于 1 的个数 .若 m=4，则不同的“规范 01 数列”共有 （A ） 18 个（ B ） 16 个（C ） 14 个（D ） 12 个二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ， y 满足约束条件 错误 ! 未找到引用源。
2016年广西高考理科数学试题及答案
实线 画出的是 (9)如 图,网格纸上小正方形的边长为 l,粗 某多面体的三视图,则该多面体的表面积为ˇ
(A)18+36掂 +18谄 (B)狃 (C)90 (D)81
⑴平 'P珲
一 / 的球。 若'B⊥ B C - ' l内有 Bl C ∶ 三棱柱 彳 个体积为 (10) 在 封闭的直
' ' ' ' 町 ∠
别交 C于彳,B 的两条苴线 ∴,1分 行于 y轴 已知抛物线 G'=h的 焦点为 尸,平 点。 两点 ,交C的准线于 P,g两 ,R是Pg的 中点 ,证明'R∥ F在线段 'B上 ∏卜 (I)若 B中点的轨迹方程。 BF的 面积的两倍 ,求彳 (Ⅱ)若△PgF的 面积是 △彳 ) (2D(本 小题满分 12分 -1)(cos 中 α)0,记 r+D,其 最大值为 彳。 +(α ∞s2石 丨 rfr)|的 设函数 /(‘ )=σ (I)求 (∷ ): /′ ': (II)求 2彳 。 I,咩 (Ⅲ)证明 |r【 笔在答题卡 中任选-题作答。作答时用2B铅 (24)题 (23)、 请考生在第 (22)、 按所傲的第-题计分。 上把所选乏 目乏号后的方框涂黑。如果多做 ,则 何证明选讲 )选修 4-l:几 (22)(本 小题满分 10分 B于 别交 彳 o中劢 的中点为 P,弦`C,PD分 如图,⊙ ￡,尸两点。
丬 〓 r
(A)
1
(B)
(C)
, 则 ∠ 侣
i
C =
(D)
J丁
( 3 )矢 已 日 9 向量 砀 = q ; , 笔 ⒊ (A)30°
(B)45°
2016广西高考理科数学真题及答案
绝密★启封并使用完毕前2016广西高考理科数学真题及答案注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S=S={x P(x-2)(x-3)≥0},T={x I x>0}，则S I T=(A)[2，3](B)（-∞，2]U[3,+∞）(C)[3,+∞）(D)（0，2]U[3,+∞）（2）若z=1+2i，则4izz-1=(A)1(B)-1(C)i(D)-i（3）已知向量(A)300(B)450(C)600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A点表示十月的平均最高气温约为150C，B点表示四月的平均最低气温约为50C。
下面叙述不正确的是学.科.网(A)各月的平均最低气温都在00C以上(B)七月的平均温差比一月的平均温差大，BC 边上的高等于 BC ,则 cos A =（B ） （C ） - （D ） -(C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于 200C 的月份有 5 个（5）若 tan α =3，则 cos 2α + 2sin 2α =464 48 16 (A)(B)(C) 1(D)2525254 3 1（6）已知 a = 23 ，b = 44 ，c = 253 ，则（A ） b < a < c （B ） a < b < c （C ） b < c < a （D ） c < a < b（7）执行下图的程序框图，如果输入的 a =4，b =6，那么输出的 n =（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（8）在 △ABC 中， B =π 14 3（A ）3 10 10 10 3 1010 10 10 10(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，学.科.网则该多面体的表面积为2（C ）6π3（B ）12（C ）23（D ） 3m a（A ）18 + 36 5（B ） 54 + 18 5（C ）90（D ）81(10) 在封闭的直三棱柱 ABC -A 1B 1C 1 内有一个体积为 V 的球，若 AB ⊥ BC ，AB =6，BC =8，AA 1=3，则 V 的最大值 是（A ）4π（B ） 9π（D ）32π3（11）已知 O 为坐标原点，F 是椭圆 C ： x 2 y 2 +a 2b 2= 1(a > b > 0) 的左焦点，学科&网 A ，B 分别为 C 的左，右顶点.P 为 C 上一点，且 PF ⊥x 轴.过点 A 的直线 l 与线段 PF 交于点 M ，与 y 轴交于点 E .若直线 BM 经过 OE 的中点，则 C 的离心率为 （A ）14（12）定义“规范 01 数列”{a n }如下：{a n }共有 2m 项，其中 m 项为 0， 项为 1，且对任意 k ≤ 2m ， 1, a 2 ,L , a k中 0 的个数不少于 1 的个数.若 m =4，则不同的“规范 01 数列”共有（A ）18 个 （B ）16 个 （C ）14 个 （D ）12 个第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若 x ，y 满足约束条件 则 z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数位长度得到。
2016届广西自治区桂林 柳州高考压轴数学(文)试题
文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.设平面向量()1,2m =- ，()2,n b = ，若//m n ，则m n -等于（ ）A B CD ．2.若复数z 满足112iz i-=+，则z =（ ）A ．25 B ．35 C ．5D 3.设集合12164x x⎧⎫A =<<⎨⎬⎩⎭，(){}2ln 3x y x x B ==-，从集合A 中任取一个元素，则这个元素也是集合B 中元素的概率是（ ）A ．16B ．13C ．12 D ．234.如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．15i ≥B ．15i ≤C ．14i ≥D ．14i ≤5.几何体的三视图如图2所示，该几何体的体积是（ ）A ．4π B ．163π C ．203π D ．443π+6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 7.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．238. 已知函数()46f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ）A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 9.已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限，(),x y A 是其终边上的一点，向量()3,4m = ，若m ⊥OA ，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．7B ．17-C ．7-D ．1710.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为2-a b 的值为（ ）A．2-B．3- C．2- D．11.已知函数()3,0,0x f x b x ≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当)()3ff b =成立时，则实数a b +=（ ）AB． C3+ D．3 12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为 ． 14.函数()21ln 2f x x x x =-+的单调增区间为 ． 15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．16.已知奇函数()f x 满足对任意R x ∈都有()()()63f x f x f +=+成立，且()11f =，则()()20152016f f += ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12分）如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值； （2）求DF ∆A 的面积．18.（本小题满分12分）某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（CS NEP ）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图4所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．19.（本小题满分12分）如图5，CD AB 是平行四边形，已知2C 4AB =B =，D B =C BE =E ，平面C B E ⊥平面CD AB ．（1）证明：D C B ⊥E ；（2）若C BE =E =D B -A E 的体积D V B-A E ．20.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C 上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过点⎛ ⎝⎭，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程； （2）求证：OA ⊥OB ．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln bf x x ax x=-+，对任意的()0,x ∈+∞，满足()10f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，其中a ，b 为常数．（1）若()f x 的图象在1x =处的切线经过点()0,5-，求a 的值；（2）已知01a <<，求证202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭；（3）当()f x 存在三个不同的零点时，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图6所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C CD ∠BA =∠A ，AP 为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ．（1）求证：2Q D P =P ⋅PB ； （2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆Cy +的取值范围．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围．2016年高考桂柳压轴试卷文科数学参考答案一、选择题1.D （ //m n ，∴1220b -⨯-⨯=，得4b =-，()()()1,22,43,6m n -=---=-，∴m n -==．故应选D ．）()()()43021422-+--⎡⎤⎣⎦=--．故应选C ．）4.B （框图中最后一次执行循环体时i 的值应为15，结合条件满足时执行循环体，当1615i =>时就会终止循环，所以条件应为15i ≤．故应选B ．）5.B （该几何体由一个球和一个圆锥组合而成，球的半径为1，体积为43π，圆锥体积为212343ππ⋅⋅=，组合体体积为163π．故应选B ．） 6.D （两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D ．） 7.A （作出不等式组表示的平面区域，即可行域，如图所示．把2z x y =+变形为2y x z =-+．平移2y x =-由图可以看出，当直线2z x y =+经过可行域上的点B 时，截距z 最小．解方程组1430x x y =⎧⎨-+=⎩，得B 点坐标为()1,1；所以min 2113z =⨯+=．故应选A ．）8.B （函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得()222662g x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，22222k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，得44k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z ，所以,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦符合．故应选B ．）9.D （设m与x 轴正向的夹角为θ，则4t a n 3θ=，因为角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边落在第二象限且m ⊥OA，所以2παθ=+，()()41tan 1313tan tan 44411tan 713θππαθθ-+-⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭+ ．故应选D ．） 10.A （联立2211y x ax by =-+⎧⎨+=⎩，得()2210a b x bx b +-+-=，设()11,x y A ，()22,x y B ，则122b x x a b +=+，1212211a y y x x a b +=-+-+=+，所以AB 中点为,ba ab a b ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，其与原点所在直线的斜率为aa ab b b a b+==+．故应选A ．）11.D （由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()3f f b =有2233a +=，解得a =，故3a b +=．故应选D ．）12.C(由等差数列前n 项和的性质知，212114387191272211n n n n a n n b n n n --A ++====+B +++，故当1n =，2，3，5，11时，n n a b 为整数，故使得n nab 为整数的正整数n 的个数是5．故应选C ．)二、填空题13.4800（由题知乙型号产品所占比例为80503808-=，所以该批次产品总数为3180048008÷=．）14.⎛ ⎝⎭（()2111x x f x x x x -++'=-+=，()0,x ∈+∞，由()0f x '>，得2010x x x >⎧⎨-++>⎩，得01x <<∴增区间为⎛ ⎝⎭．） 15.21n -（因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-．）16.1-（令3x =-，则()()()3633f f f -+=-+，因为()f x 是奇函数，所以()()33f f -=-，所以()30f =，所以()()6f x f x +=，所以()f x 是周期为6的周期函数，()()()2015111f f f =-=-=-，()()201600f f ==，()()201520161f f +=-．） 三、解答题17.（1）由条件可知，2AB =，C 1B =，C 90∠AB =，∴C A =1分E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，∴D 1AE =E =，D A =2分由余弦定理可知222C D CD cos C D2C D A +A -∠A ===A ⋅A ．…………………5分 CD ∆A 是钝角三角形，∴C D ∠A 为锐角，…………………6分∴sin C D ∠A ===．…………………7分 （2） F 是C A 与D E 的交点，由已知可得F 是C A 的中点，∴1F C 22A =A =．…………………8分 ∴DF ∆A 的面积DF 111F D sin C D 224S ∆A =A ⋅A ⋅∠A ==．…………………12分 18.（1）设初赛成绩的中位数为x ，则()()0.0010.0040.009200.02700.5x ++⨯+⨯-=．………3分解得81x =．所以初赛成绩的中位数为81．…………………5分（2）该校学生的初赛分数在[)110,130有4人，分别记为A ，B ，C ，D ，分数在[)130,150有2人，分别记为a ，b ，则在6人中随机选取3人，总的事件有(),,C A B ，(),,D A B ，(),,a A B ，(),,b A B ，(),C,D A ，(),C,a A ，(),C,b A ，(),D,a A ，(),D,b A ，(),,a b A ，(),C,D B ，(),C,a B ，(),C,b B ，(),D,a B ，(),D,b B ，(),,a b B ，()C,D,a ，()C,D,b ，()C,,a b ，()D,,a b 共20个基本事件，取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的基本事件有(),,C A B ，(),,D A B ，(),C,D A ，(),C,D B 共4个．…………………11分故选取的这三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率为41205P ==．…………………12分19.（1） CD AB 是平行四边形，且CD 2C 4=AB =B =，D B =∴222CD D C =B +B ，故D C B ⊥B ．…………………1分取C B 的中点F ，连接F E ，C BE =E ，∴F C E ⊥B ．…………………2分又 平面C B E ⊥平面CD AB ，平面C B E 平面CD C AB =B ，F E ⊂平面C B E ，∴F E ⊥平面CD AB ．…………………3分D B ⊂平面CD AB ，∴F DE ⊥B ．…………………4分F C F E B = ，F E ，C B ⊂平面C B E ，∴D B ⊥平面C B E ．…………………5分C E ⊂平面C B E ，∴D C B ⊥E ．…………………6分（2）由（1）知F E 是三棱锥D E -AB的高，且F 3E ==，…………………8分∴三棱锥D B -A E的体积：D D D 1111V V F D D F 233326S B-A E E-AB ∆AB ==⋅E =⨯A ⋅B ⋅E =⨯⨯=…………………12分20.（1）设椭圆C 的方程为22221x y a b+=，（0a b >>）…………………1分由题意可知()()23a c a c c +--==，3b =，…………………2分 解得2a =．…………………3分所以椭圆C 的方程为22143x y +=．…………………4分 （2）当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率不存在，则:l 1x =±．…………………5分在221443x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设()1,1A ，()1,1B -，则110OA⋅OB =-=．所以OA ⊥OB ．同理，当:l 1x =-时，也有OA ⊥OB ．…………………6分当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．由2234y kx mx y =+⎧⎨+=⎩，得()222316340k x kmx m +++-=．显然0∆>． (8)分设()11,x y A ，()22,x y B ，则122631km x x k +=-+，21223431m x x k -=+． 所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++．…………………9分 所以()()()222221212121222346113131m km x x y y k x x km x x m k km m k k -OA⋅OB =+=++++=+-+++()()()()222222222222213463141444440313131k m k m k m k k m k k k k +--+++----====+++．…………10分所以OA ⊥OB ．…………………11分综上所述，总有OA ⊥OB 成立．…………………12分 21.（1）在()10f x f x ⎛⎫+=⎪⎝⎭中，取1x =，得()10f =， 又()1ln1f a b a b =-+=-+，所以b a =．从而()ln af x x ax x=-+， ()2111f x a x x ⎛⎫'=-+ ⎪⎝⎭，()112f a '=-． 又()()511501f f --'==-，所以125a -=，2a =-．…………………4分（2）223322ln 2ln ln 22222a a a a f a a a ⎛⎫=-+=+-- ⎪⎝⎭．令()322ln ln 22x g x x x =+--，则()()42223412232x x x g x x x x x -+-'=--=， 所以()0,1x ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减， 故()0,1x ∈时，()()1312ln 2ln 022g x g e >=-->->，所以01a <<时，02a f ⎛⎫>⎪⎝⎭．…………………8分 （3）()222111ax x a f x a x x x -+-⎛⎫'=-+= ⎪⎝⎭， ①当0a ≤时，在()0,+∞上，()0f x '>，()f x 递增，所以，()f x 至多只有一个零点，不合题意； ②当12a ≥时，在()0,+∞上，()0f x '≤，()f x 递减，所以，()f x 也至多只有一个零点，不合题意；③当102a <<时，令()0f x '=，得1112x a =<，2112x a=>．此时，()f x 在()10,x 上递减，()12,x x 上递增，()2,x +∞上递减， 所以，()f x 至多有三个零点．…………………10分 因为()f x 在()1,1x 上递增，所以()()110f x f <=．又因为202a f ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以201,2a x x ⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00f x =． 又()0010f f x x ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，()10f =，所以()f x 恰有三个不同的零点：0x ，1，01x ．综上所述，当()f x 存在三个不同的零点时，a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．…………………12分22.四边形CD AB 为等腰梯形． （1） PA 为圆的切线，∴D D ∠PA =∠AB ．又 C C D ∠AB =∠A ，∴D C D C D ∠PA +∠A =∠BA +∠AB ， ∴Q Q ∠PA =∠A P ，∴Q PA =P ．…………………4分PA 为圆的切线，∴2D PA =P ⋅PB ，∴2Q D P =P ⋅PB ．…………………6分（2） D ∆PA ∆PBA ∽，∴D PA PB =A AB ，∴92PB =． 2D PA =P ⋅PB ，∴8D 9P =，∴810Q DQ D 299A ==PA -P =-=．…………………10分23.（1）因为圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，所以214sin 4cos 622πρρθρθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………………3分 所以圆C的直角坐标方程为222x y x +=-．…………………5分 （2）设z y +，圆C 方程化为()(2214x y ++=，…………………6分所以圆C的圆心是(-，半径是2，将112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =-．…………8分又因为直线l过(C -，所以22t -≤≤，所以22t -≤-≤，y +的取值范围是[]2,2-．…………………10分24.（1）当2a =-时，()13,13,1131,1x x f x x x x x -<-⎧⎪=--≤≤⎨⎪->⎩由()f x 的单调性及()4253f f ⎛⎫-== ⎪⎝⎭，得()5f x >的解集为423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或．…………5分（2）由()3f x a x ≤+，得113x a x x +≥-++，由1321x x x -++≥+，得11132x x x +≤-++，得12a ≥．（当且仅当1x ≥或3x ≤-时等号成立） 故a 的取值范围为12a ≥．…………………10分。
广西柳州市2016届高三数学4月模拟试卷理(含解析)
2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}2．已知，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限3．已知向量，且，则=（）A．1 B．3 C．4 D．54．已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）5．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．36．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=﹣f（0），则正确的选项是（）A．φ=，x0=1 B．φ=，x0=C．φ=，x0=1 D．φ=，x0=7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．28．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）A．B．C．D．9．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．10．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．211．函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA=sinB，则△ABC 面积的最大值为（）A．B．C．D．2二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是．14．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为．15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是．16．过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是．（填序号）①；②存在λ∈R，使得成立；③=0；④准线l上任意一点M，都使得＞0．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=+3．（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和为S n．18．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．19．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015（Ⅰ）利用所给数据求年居民生活用水量与年份之间的回归直线方程y=bx+a；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．20．在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．21．已知函数f（x）=﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅲ）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC 于点D．（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．（Ⅱ）若AB=2，BC=，求CE与CD的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．2016年广西柳州市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知集合A={x|x（x﹣2）≤0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B=（）A．{﹣2，﹣1} B．{1，2} C．{﹣1，0，1，2} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中的不等式解得：0≤x≤2，即A=[0，2]，∵B={﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．2．已知，则复数z在复平面上所对应的点位于（）A．实轴上B．虚轴上C．第一象限 D．第二象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z在复平面上所对应的点的坐标得答案．【解答】解：由，得zi=（1+i）（i﹣1）=﹣2，∴，∴复数z在复平面上所对应的点的坐标为（0，2），位于虚轴上，故选：B．3．已知向量，且，则=（）A．1 B．3 C．4 D．5【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知结合向量的坐标加法运算求得，进一步求出的坐标，代入向量模的公式得答案．【解答】解：∵，且，∴，解得，∴，∴，∴=．故选：D．4．已知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∧（￢q）C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】由题意可知p真，q假，由复合命题的真假可得答案．【解答】解：由题意可知命题p：∀x∈（0，+∞），3x＞2x，为真命题；而命题q：∃x∈（﹣∞，0），3x＞2x，为假命题，即￢q为真命题，由复合命题的真假可知p∧（￢q）为真命题，故选B5．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，点F到渐近线的距离为2a，则该双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】设F（c，0），渐近线方程为y=x，运用点到直线的距离公式可得b=2a，由a，b，c的关系和点到直线的距离公式，可得c=a，运用离心率公式计算即可得到所求值．【解答】解：由题意可设F（c，0），渐近线方程为y=x，由题意可得d==b=2a，可得c==a，即有离心率e==．故选：C．6．已知函数f（x）=cos（πx+φ）（0＜φ＜）的部分图象如图所示，f（x0）=﹣f（0），则正确的选项是（）A．φ=，x0=1 B．φ=，x0=C．φ=，x0=1 D．φ=，x0=【考点】余弦函数的图象．【分析】根据f（0）=解出φ，利用f（x0）=﹣f（0）=﹣解出x0．【解答】解：由函数图象可知f（0）=，即cosφ=，∵0＜φ＜，∴φ=．∵f（x0）=﹣f（0）=﹣，∴cos（）=﹣．∴=，解得x0=1．故选：A．7．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，输出的结果为（）A．﹣2 B．C．﹣1 D．2【考点】程序框图．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量A的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟执行程序，可得：i=0，A=2执行循环体，i=1，A=，不满足条件i＞2016，执行循环体，i=2，A=﹣1；不满足条件i＞2016，执行循环体，i=3，A=2；不满足条件i＞2016，执行循环体，i=4，A=，…循环下去，而20116=3×672，i=2017时，与i=4输出值相同，即A=．故选：B．8．在长为2的线段AB上任意取一点C，以线段AC为半径的圆面积小于π的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】设AC=x，根据圆的面积小于π，得到0＜x＜1，然后结合几何概型的概率公式进行计算即可．【解答】解：设AC=x，若以线段AC为半径的圆面积小于π，则πx2＜π，则0＜x＜1，则对应的概率P=，故选：B．9．某四面体三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是（）A．2 B．4 C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据三视图还原得到原几何体，分析原几何体可知四个面中直角三角形的个数，求出直角三角形的面积求和即可．【解答】解：由三视图可得原几何体如图，∵PO⊥底面ABC，∴平面PAC⊥底面ABC，而BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AC．该几何体的高PO=2，底面ABC为边长为2的等腰直角三角形，∠AC B为直角．所以该几何体中，直角三角形是底面ABC和侧面PBC．PC=，∴，，∴该四面体的四个面中，直角三角形的面积和．故选：C．10．如图所示，直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1内接于半径为的半球O，四边形ABCD为正方形，则该四棱柱的体积最大时，AB的长是（）A．1 B．C．D．2【考点】球内接多面体．【分析】设AB=a，BB1=h，求出a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，利用导数，得到该正四棱柱体积的最大值，即可得出结论．【解答】解：设AB=a，BB1=h，则OB=a，连接OB1，OB，则OB2+BB12=OB12=3，∴=3，∴a2=6﹣2h2，故正四棱柱的体积是V=a2h=6h﹣2h3，∴V′=6﹣6h2，当0＜h＜1时，V′＞0，1＜h＜时，V′＜0，∴h=1时，该四棱柱的体积最大，此时AB=2．故选：D．11．函数f（x）=为R的单调函数，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．[﹣1，0）C．（﹣2，0）D．（﹣∞，﹣2）【考点】函数单调性的判断与证明．【分析】先求f′（x），讨论a的取值从而判断函数f（x）在每段上的单调性，当在每段上都单调递增时求得a＞0，这时需要求函数ax2+1在x=0时的取值大于等于（a+2）e ax在x=0时的取值，这样又会求得一个a的取值，和a＞0求交集即可；当在每段上都单调递减时，求得﹣2＜a＜0，这时需要求函数ax2+1在x=0处的取值小于等于（a+2）e ax在x=0处的取值，这样又会求得一个a的取值，和﹣2＜a＜0求交集即可；最后对以上两种情况下的a求并集即可．【解答】解：f′（x）=；∴（1）若a＞0，x≥0时，f′（x）≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，且ax2+1≥1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＞0，∵a＞0，∴解得a＞0，并且（a+2）e ax＜a+2，∴a+2≤1，解得a≤﹣1，不符合a＞0，∴这种情况不存在；（2）若a＜0，x≥0时，f′（x）≤0，即函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，且ax2+1≤1；要使f（x）在R上为单调函数，则x＜0时，a（a+2）＜0，解得﹣2＜a＜0，并且（a+2）e ax＞a+2，∴a+2≥1，解得a≥﹣1，∴﹣1≤a＜0；综上得a的取值范围为[﹣1，0）．故选：B．12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知c=2，sinA=sinB，则△ABC 面积的最大值为（）A．B．C．D．2【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理和条件得a=b，由余弦定理得到cosC，由平方关系求出sinC，根据面积公式化简△ABC的面积S的表达式，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值．【解答】解：∵sinA=sinB，∴a=b，由余弦定理及c=2得，cosC===，∴sinC===，∴△ABC的面积S=absinC===当b2=4时，即b=2，△ABC的面积S有最大值是=，故选：B．二、填空题（本答题共4小题，每小题5分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）13．若x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值是．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z．由图可知，当直线y=﹣2x+z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×=．故答案为：．14．（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为 2 ．【考点】二项式系数的性质．【分析】根据（1+x）4的展开式通项公式，分析（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项是如何构成的，从而求出结果．【解答】解：（1﹣）（1+x）4的展开式中，设（1+x）4的通项公式为T r+1=•x r，（r=0，1，2，3，4）．则（1﹣）（1+x）4的展开式中含x2项的系数为﹣=2．故答案为：2．15．已知正实数x，y满足xy=x+y，若xy≥m﹣2恒成立，则实数m的最大值是 6 ．【考点】基本不等式．【分析】求出xy的最大值，问题转化为m﹣2≤4，求出m的最大值即可．【解答】解：由x＞0，y＞0，x y=x+y≥2，得：xy≥4，于是由m﹣2≤xy恒成立，得：m﹣2≤4，解得：m≤6，故答案为：6．16．过抛物线y2=2px（p＞0）焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，作AC，BD垂直抛物线的准线l于C，D，其中O为坐标原点，则下列结论正确的是①②③．（填序号）①；②存在λ∈R，使得成立；③=0；④准线l上任意一点M，都使得＞0．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由向量的三角形法则，可得①正确；运用直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和向量共线的条件，化简整理，即可判断②正确；运用向量的数量积的坐标表示，以及韦达定理，即可判断③正确；运用抛物线的定义以及以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB 的中位线长相等，可得该圆与CD相切，即可判断④不正确．【解答】解：对于①，由+==﹣，可得①正确；对于②，设A（x1，y1），B（x2，y2），可得C（﹣，y1），D（﹣，y2），又k OA==，k AD=，设直线AB方程为x=my+．代入抛物线的方程，可得y2﹣2pmy﹣p2=0，可得y1y2=﹣p2，即有y1（y1﹣y2）=y12﹣y1y2=2px1+p2，则k OA=k AD，即有存在λ∈R，使得成立，则②正确；对于③，•=（﹣p，y1）•（﹣p，y2）=y1y2+p2=0，可得③正确；对于④，由抛物线的定义可得|AB|=|AC|+|BD|，可得以AB为直径的圆的半径与梯形ACDB的中位线长相等，即有该圆与CD相切，设切点为M，即有AM⊥BM，则=0，则④不正确．故答案为：①②③．三、解答题（解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1=+3．（Ⅰ）证明：{a n+1}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n}的前n项和为S n．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）S n+1=S n+4a n+3，可得a n+1=4a n+3，变形为：a n+1+1=4（a n+1），利用等比数列的定义即可证明．（II）由（I）可得：a n+1=×4n﹣1，即a n=﹣1．再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】I）证明：∵S n+1=S n+4a n+3，∴a n+1=4a n+3，变形为：a n+1+1=4（a n+1），∴{a n+1}是等比数列，首项为，公比为4；（II）解：由（I）可得：a n+1=×4n﹣1，∴a n=﹣1．∴数列{a n}的前n项和为S n=﹣n=﹣n．18．如图，正四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD的边长为4，PD=4，E为PA的中点，（Ⅰ）求证：平面EBD⊥平面PAC；（Ⅱ）求直线BE与平面PBD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（I）设AC，BD交点为O，连结PO，则PO⊥平面ABCD，于是PO⊥BD，又BD⊥A C，故而BD⊥平面PAC，于是平面EBD⊥平面PAC；（II）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，则=（1，0，0）为平面PBD的一个法向量，求出cos＜，＞，则|cos＜，＞|即为所求．【解答】证明：（I）设AC，BD交点为O，连结PO．则O为正方形ABCD的中心，∴PO⊥平面ABCD．∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD．∵四边形ABCD是正方形，∴BD⊥AC．又AC⊂平面PAC，PO⊂平面PAC，AC∩PO=O，∴BD⊥平面PAC，又BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面PAC．（II）以O为原点，以OA，OB，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，∵正四棱锥的棱长为4，∴OA=OB=OD=2，OP==2．∴A（2，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），∴E（，0，）．∴=（，﹣2，）．显然x轴⊥平面PBD．∴=（1，0，0）是平面PBD的一个法向量，∴=，||=1，||=2．∴cos＜＞==．∴直线BE与平面PBD所成角的正弦值为．19．某城市城镇化改革过程中最近五年居民生活水平用水量逐年上升，下表是2011至2015；（Ⅱ）根据改革方案，预计在2020年底城镇化改革结束，到时候居民的生活用水量将趋于稳定，预计该城市2023年的居民生活用水量．参考公式：．【考点】线性回归方程．【分析】（I）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程；（II）由于到2020年用水量趋于稳定，故2023年的用水量约等于2020年的用水量，把x=2020代入回归方程求出用水量的估计值．【解答】解：（I）=2013， ==260.2，=（﹣2）×（﹣24.2）+（﹣1）×（﹣14.2）+0+1×15.8+2×25.8=130．=4+1+0+1+4=10．∴b==13，∴回归方程为y﹣260.2=13（x﹣2013），即y=13（x﹣2013）+260.2．（II）当x=2020时，y=13+260.2=351.2（万吨）．答：该城市2023年的居民生活用水量预计为351.2万吨．20．在平面直角坐标系xoy中，动点M到点F（1，0）的距离与它到直线x=2的距离之比为．（Ⅰ）求动点M的轨迹E的方程；（Ⅱ）设直线y=kx+m（m≠0）与曲线E交于A，B两点，与x轴、y轴分别交于C，D两点（且C，D在A，B之间或同时在A，B之外）．问：是否存在定值k，对于满足条件的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）设M（x，y），运用两点的距离公式和点到直线的距离公式，两边平方整理即可得到所求轨迹E的方程；（Ⅱ）联立直线方程和椭圆方程，消去y，可得x的方程，运用判别式大于0，以及韦达定理，求得C，D的坐标，由△OAC的面积与△OBD的面积相等⇔|AC|=|BD|恒成立⇔线段AB的中点和线段CD中点重合．运用中点坐标公式，解方程可得k的值，即可判断存在．【解答】解：（Ⅰ）设M（x，y），由题意可得=，两边平方可得x2+y2﹣2x+1=（x2﹣4x+4），即有+y2=1，可得轨迹E的方程为+y2=1；（Ⅱ）联立，消去y，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣2=0，△=16k2m2﹣4（1+2k2）（2m2﹣2）=8（2k2﹣m2+1），由△＞0，可得m2＜1+2k2（*），设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，由题意可设C（﹣，0），D（0，m），△OAC的面积与△OBD的面积相等⇔|AC|=|BD|恒成立⇔线段AB的中点和线段CD中点重合．即有﹣=﹣，解得k=±，即存在定值k=±，对于满足条件的m≠0，且|m|＜的任意实数m，都有△OAC的面积与△OBD的面积相等．21．已知函数f（x）=﹣mx（m∈R）．（Ⅰ）当m=0时，求函数f（x）的零点个数；（Ⅱ）当m≥0时，求证：函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅲ）当b＞a＞0时，总有＞1成立，求实数m的取值范围．【考点】利用导数研究函数的极值；函数零点的判定定理；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值，从而得到函数的零点个数；（Ⅱ）求出f（x）的导数得到g（x）=1﹣lnx﹣mx2，求出g（x）的导数，根据函数的单调性证明函数的零点个数即可；（Ⅲ）问题转化为函数h（x）=f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，由h（x）=﹣（m+1）x（x＞0），求出h（x）的导数，根据函数的单调性得到m≤﹣1在（0，+∞）恒成立，从而求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）m=0时，f（x）=，（x＞0），f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，∴f（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，∵f（x）max=f（e）=＞0，f（）=﹣e＜0，∴f（x）在（0，e）有且只有一个零点，x＞e时，f（x）＞0恒成立，∴f（x）在（e，+∞）无零点，综上，m=0时，f（x）有且只有一个零点；（Ⅱ）证明：∵f（x）=﹣mx（m≥0），f′（x）=（x＞0），令g（x）=1﹣lnx﹣mx2，g′（x）=﹣﹣2mx＜0，∴g（x）在（0，+∞）递减，∵g（）=1+﹣＞0，（∵e m＞m），g（e）=﹣me2＜0，∴∃x0∈（0，+∞），使得g（x0）=0，∴x∈（0，x0）时，g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）在（0，x0）递增，x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）在（0，x0）递减，∴x=x0是f（x）的极大值点，即m≥0时，函数f（x）有且只有一个极值点；（Ⅲ）∵b＞a＞0时，总有＞1成立，即b＞a＞0时，总有f（b）﹣b＞f（a）﹣a成立，也就是函数h（x）=f（x）﹣x在区间（0，+∞）递增，由h（x）=﹣（m+1）x（x＞0）得：h′（x）=﹣（m+1）≥0在（0，+∞）恒成立，即m≤﹣1在（0，+∞）恒成立，设k（x）=﹣1，则k′（x）=（x＞0），∴令k′（x）＞0，解得：x＞，令k′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴k（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴k（x）min=k（）=﹣﹣1，故所求m的范围是（﹣∞，﹣﹣1）．请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，AB为⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BC，OC交⊙O于点E，AE的延长线交BC 于点D．（Ⅰ）求证：CE2=CD•CB．（Ⅱ）若AB=2，BC=，求CE与CD的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）要证CE2=CD•CB，结合题意，只需证明△CED∽△CBE即可，故连接BE，利用弦切角的知识即可得证；（Ⅱ）在Rt三△OBC中，利用勾股定理即可得出CE的长，由（1）知，CE2=CD•CB，代入CE 即可得出CD的长．【解答】（Ⅰ）如图示：证明：连接BE，∵BC为⊙O的切线∴∠ABC=90°，∵AB为⊙O的直径∴∠AEB=90°，∴∠DBE+∠OBE=90°，∠AEO+∠OEB=90°，∵OB=OE，∴∠OBE=∠OEB∴∠DBE=∠AEO，∵∠AEO=∠CED∴∠CED=∠CBE，∵∠C=∠C∴△CED∽△CBE，∴=，∴CE2=CD•CB；（Ⅱ）∵OB=1，BC=，∴OC=，∴CE=OC﹣OE=，由（Ⅰ）得：CE2=CD•CB，∴=•CD，∴CD=．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，圆C1和C2的参数方程分别是（φ为参数）和（φ为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C1和C2的极坐标方程；（2）射线OM：θ=a与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）首先把两圆的参数方程转化成直角坐标方程，再把直角坐标方程为转化成极坐标方程．（2）根据圆的坐标形式．利用两点间的距离公式，再利用换元法进一步求出最值．【解答】解：（1）圆C1（φ为参数），转化成直角坐标方程为：（x﹣2）2+y2=4即：x2+y2﹣4x=0转化成极坐标方程为：ρ2=4ρcosθ即：ρ=4cosθ圆C2（φ为参数），转化成直角坐标方程为：x2+（y﹣1）2=1即：x2+y2﹣2y=0转化成极坐标方程为：ρ2=2ρsinθ即：ρ=2sinθ（2）射线OM：θ=α与圆C1的交点为O、P，与圆C2的交点为O、Q则：P（2+2cosα，2sinα），Q（cosα，1+sinα）则：|OP|==，|OQ|==21 则：|OP||OQ|==设sin α+cos α=t （） 则：则关系式转化为：4=由于：所以：（|OP||OQ|）max =．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f （x ）=|x ﹣a|+m|x+a|．（Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f （x ）≥x 的解集；（Ⅱ）不等式f （x ）≥2（0＜m ＜1）恒成立时，实数a 的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m 的集合．【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式．【分析】（Ⅰ）将m=a=﹣1代入（x ），通过讨论x 的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a ，得到关于m 的方程，解出即可．【解答】解：（Ⅰ）m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x ﹣1|≥x，x ＜﹣1时，﹣（x+1）+（x ﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x ﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，x≥1时，（x+1）﹣（x ﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；（Ⅱ）f （x ）=|x ﹣a|+m|x+a|=m （|x ﹣a|+|x+a|）+（1﹣m ）|x ﹣a|≥2m|a|+（1﹣m ）|x ﹣a|≥2m|a|≥2，解得：a≤﹣或a≥，∵数a 的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，故=3，解得：m=，∴实数m 的集合是{m|m=}．。
【真卷】2016年广西高考数学试卷(理科)(全国新课标Ⅲ)
2016年广西高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．8110．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．2016年广西高考数学试卷（理科）（全国新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），∵T=（0，+∞），∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），故选：D．2．（5分）若z=1+2i，则=（）A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i【解答】解：z=1+2i，则===i．故选：C．3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120°【解答】解：，；∴；又0°≤∠ABC≤180°；∴∠ABC=30°．故选A．4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（）A．各月的平均最低气温都在0℃以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20℃的月份有5个【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，故选：D5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）A．B．C．1 D．【解答】解：∵tanα=，∴cos2α+2sin2α====．故选：A．6．（5分）已知a=，b=，c=，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵a==，b=，c==，综上可得：b＜a＜c，故选A7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：模拟执行程序，可得a=4，b=6，n=0，s=0执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．故选：B．8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA等于（）A．﹣B．C．﹣ D．【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，∴BD=AD=a，CD=a，在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，∴cosA=cos（+θ）=cos cosθ﹣sin sinθ=×﹣×=﹣．故选：A．9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）A．18+36B．54+18C．90 D．81【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以主视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3×6=18，侧面的面积为：（3×3+3×）×2=18+18，故棱柱的表面积为：18×2+18+18=54+18．故选：B．10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（）A．4πB． C．6πD．【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，∴AC=10．故三角形ABC的内切圆半径r==2，又由AA1=3，故直三棱柱ABC﹣A1B1C1的内切球半径为，此时V的最大值=，故选：B11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，可得P（﹣c，±），设直线AE的方程为y=k（x+a），令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），设OE的中点为H，可得H（0，），由B，H，M三点共线，可得k BH=k BM，即为=，化简可得=，即为a=3c，可得e==．故选：A．12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a 1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）A．18个B．16个C．14个D．12个【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，由得D（1，），所以z=x+y的最大值为1+；故答案为：．14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移个单位长度得到．【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2sin（x+），y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴f（x﹣φ）=2sin（x+﹣φ）（φ＞0），令2sin（x+﹣φ）=2sin（x﹣），则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），即φ=﹣2kπ（k∈Z），当k=0时，正数φmin=，故答案为：．15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f （x）在点（1，﹣3）处的切线方程是2x+y+1=0．【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），即为2x+y+1=0．故答案为：2x+y+1=0．16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，∴=3，∴m=﹣∴直线l的倾斜角为30°，∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，∴|CD|==4．故答案为：4．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）已知数列{a n}的前n项和S n=1+λa n，其中λ≠0．（1）证明{a n}是等比数列，并求其通项公式；（2）若S5=，求λ．【解答】解：（1）∵S n=1+λa n，λ≠0．∴a n≠0．当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=1+λa n﹣1﹣λa n﹣1=λa n﹣λa n﹣1，即（λ﹣1）a n=λa n﹣1，∵λ≠0，a n≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，即=，（n≥2），∴{a n}是等比数列，公比q=，当n=1时，S1=1+λa1=a1，即a1=，∴a n=•（）n﹣1．（2）若S5=，则若S5=1+λ[•（）4]=，即（）5=﹣1=﹣，则=﹣，得λ=﹣1．18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；（Ⅱ）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：y i=9.32，t i y i=40.17，=0.55，≈2.646．参考公式：相关系数r=，回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：∵r==≈≈≈0.993，∵0.993＞0.75，故y与t之间存在较强的正相关关系；（2）==≈≈0.103，=﹣≈1.331﹣0.103×4≈0.92，∴y关于t的回归方程=0.10t+0.92，2016年对应的t值为9，故=0.10×9+0.92=1.82，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.82亿吨．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．（1）证明：MN∥平面PAB；（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，∵N为PC的中点，∴NG∥BC，且NG=，又AM=，BC=4，且AD∥BC，∴AM∥BC，且AM=BC，则NG∥AM，且NG=AM，∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，∴MN∥平面PAB；法二、在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，∵AD∥BC，∴cos，则sin∠EAM=，在△EAM中，∵AM=，AE=，由余弦定理得：EM==，∴cos∠AEM=，而在△ABC中，cos∠BAC=，∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．∵NE∩EM=E，∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM2=AC2+AM2﹣2AC•AM•cos∠MAC=．∴AM2+MC2=AC2，则AM⊥MC，∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，∴sin．∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点．（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=90°，∴∠PFQ=90°，∵R是PQ的中点，∴RF=RP=RQ，∴△PAR≌△FAR，∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，∴∠FQB=∠PAR，∴∠PRA=∠PQF，∴AR∥FQ．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），F（，0），准线为x=﹣，S△PQF=|PQ|=|y1﹣y2|，设直线AB与x轴交点为N，∴S=|FN||y1﹣y2|，△ABF∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，∴2|FN|=1，∴x N=1，即N（1，0）．设AB中点为M（x，y），由得=2（x1﹣x2），又=，∴=，即y2=x﹣1．∴AB中点轨迹方程为y2=x﹣1．21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记|f（x）|的最大值为A．（Ⅰ）求f′（x）；（Ⅱ）求A；（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）|（cosx+1）|≤a|cos2x|+（a﹣1）（|cosx|+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos2x+（a﹣1）cosx﹣1，令g（t）=2at2+（a﹣1）t﹣1，则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，（二次函数在对称轴处取得极值）令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．因此A=3a﹣2①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，∴A=2﹣3a，②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），又|g（）|﹣|g（﹣1）|=＞0，∴A=|g（）|=，综上，A=．（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，当＜a＜1时，A==++≥1，∴|f′（x）|≤1+a≤2A，当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，综上：|f′（x）|≤2A．请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．【解答】（1）解：连接PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，在△EBC中，∠1=∠2+∠3，又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，即有∠2=∠4，则∠D=∠1，则四点E，C，D，F共圆，可得∠EFD+∠PCD=180°，由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，即有3∠PCD=180°，可得∠PCD=60°；（2）证明：由C，D，E，F共圆，由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G可得G为圆心，即有GC=GD，则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，则OG⊥CD．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（2）设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程为（α为参数），移项后两边平方可得+y2=cos2α+sin2α=1，即有椭圆C1：+y2=1；曲线C2的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，即有ρ（sinθ+cosθ）=2，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，可得x+y﹣4=0，即有C2的直角坐标方程为直线x+y﹣4=0；（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方程为x+y+t=0，联立可得4x2+6tx+3t2﹣3=0，由直线与椭圆相切，可得△=36t2﹣16（3t2﹣3）=0，解得t=±2，显然t=﹣2时，|PQ|取得最小值，即有|PQ|==，此时4x2﹣12x+9=0，解得x=，即为P（，）．另解：设P（cosα，sinα），由P到直线的距离为d==，当sin（α+）=1时，|PQ|的最小值为，此时可取α=，即有P（，）．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a=2时，f（x）=|2x﹣2|+2，∵f（x）≤6，∴|2x﹣2|+2≤6，|2x﹣2|≤4，|x﹣1|≤2，∴﹣2≤x﹣1≤2，解得﹣1≤x≤3，∴不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣1≤x≤3}．（2）∵g（x）=|2x﹣1|，∴f（x）+g（x）=|2x﹣1|+|2x﹣a|+a≥3，2|x﹣|+2|x﹣|+a≥3，|x﹣|+|x﹣|≥，当a≥3时，成立，当a＜3时，|x﹣|+|x﹣|≥|a﹣1|≥＞0，∴（a﹣1）2≥（3﹣a）2，解得2≤a＜3，∴a的取值范围是[2，+∞）．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。
2016年全国各省市高考数学(理)试题及答案
2016年全国各省市高考数学（理）试题及答案2016年全国各省市高考数学（理）试题及答案试题类型：2016年普通高等学校招生全国统一考试卷3 理科数学注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置.3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（1）设集合S ={}{}(x 2)(x 3)0,T 0S xx x =--≥=I > ，则S T =(A)[2，3](B)（-∞ ，2] [3,+∞）(C) [3,+∞） (D)（0，2] [3,+∞）（2）若z=1+2i ，则41i zz =-(A)1 (B) -1 (C) i (D)-i（3）已知向量12(,)22BA = ,31(,),2BC = 则∠ABC= (A)300(B) 450(C) 600(D)1200（4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C ，B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是(A) 各月的平均最低气温都在00C 以上(B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同(D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5）若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+= (A)6425 (B) 4825(C) 1 (D)1625（6）已知432a =，344b =，1325c =，则（A ）b a c << （B ）a b c <<（C ）b c a <<（D ）c a b << （7）执行下图的程序框图，如果输入的a =4，b =6，那么输出的n =（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6（8）在ABC△中，π4B，BC边上的高等于13BC,则cos A （A）310（B）10（C）10（D）310(9)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A）185+（B）545+（C）90（D）81(10) 在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是π（A）4π （B）92π（C）6π （D）323（11）已知O为坐标原点，F是椭圆C：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点，A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（A ）13（B ）12（C ）23（D ）34（12）定义“规范01数列”{a n }如下：{a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1，且对任意2k m ≤，12,,,ka a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列”共有（A ）18个 （B ）16个 （C ）14个 （D ）12个第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分 （13）若x ，y 满足约束条件 则z=x+y 的最大值为_____________.（14）函数的图像可由函数的图像至少向右平移_____________个单位长度得到。
2016年高考理科数学全国3卷(附答案)
学校：____________________ _______年_______班 姓名：____________________ 学号：________- - - - — - - - 密封线 - — — - — — - — — 密封线 — - - - - - —绝密★启用前2016年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国III 卷（全卷共10页）(适用地区：广西、云南、四川）注意事项：1．本试卷分第I 卷(选择题）和第II 卷(非选择题）两部分。
2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答案卡一并交回。
第I 卷一、 选择题：本题共12小题，每小题5分.在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
（1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0Sx x x =--≥=I > ,则ST = （A ） [2，3] （B ）（-∞,2］ [3，+∞）（C) ［3,+∞) (D)（0,2] [3，+∞）（2）若z=1+2i ，则41izz =- （A)1 (B) -1 (C ） i （D ） -i(3）已知向量13(,)22BA = ,31(,),22BC = 则∠ABC=（A)300 （B) 450 (C) 600 （D ）1200(4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图。
图中A 点表示十月的平均最高气温约为150C,B 点表示四月的平均最低气温约为50C 。
下面叙述不正确的是（A) 各月的平均最低气温都在00C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 （C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 （D) 平均气温高于200C 的月份有5个（5)若3tan 4α= ，则2cos 2sin 2αα+=（A ）6425 （B) 4825 （C) 1 （D)1625（6）已知432a =，254b =,1325c =，则(A ） b a c << (B) a b c << （C ）b c a << （D ）c a b <<（7）执行下图的程序框图，如果输入的46a b ==，，那么输出的n =(A ）3 （B ）4 (C ）5 (D ）6（8)在ABC △中，π4B，BC 边上的高等于13BC ,则cos A（A ）31010 (B ）1010 （C ）1010（D ）31010（9) 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（A ）18365+ （B ）54185+（C ）90 （D ）81(10） 在封闭的直三棱柱111ABC A B C -内有一个体积为V 的球，若AB BC ⊥，6AB =，8BC =，13AA =，则V 的最大值是（A ）4π （B ）92π （C ）6π （D ）323π(11) 已知O 为坐标原点，F 是椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点,A ，B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 （A ）13（B ）12(C ）23（D ）34(12) 定义“规范01数列”{a n }如下:｛a n }共有2m 项，其中m 项为0，m 项为1,且对任意2k m ≤，12,,,k a a a 中0的个数不少于1的个数.若m =4，则不同的“规范01数列"共有 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)～(21)题为必考题，每个试题都必须作答。
广西桂林市、柳州市高三数学压轴考试试题 理(含解析)
广西桂林市、柳州市2016届高三数学压轴考试试题 理（含解析）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.(){},25x y y x A ==+，(){},12x y y x B ==-，则A B =I（ ）A ．()1,3-B ．(){}1,3-C ．{}1,3-D ．∅ 【答案】B考点：1、集合的表示；2、集合的交集. 2.若复数z 满足112iz i-=+，则z =（ ）A ．25 B ．35CD 【答案】C 【解析】试题分析：()()()()1121312125i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算.3.为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）A ．调查的方式是普查B ．本地区约有15%的成年人吸烟C ．样本是15个吸烟的成年人D ．本地区只有85个成年人不吸烟【答案】B 【解析】试题分析：调查方式显然时抽样调查，∴A 错误．样本是这100个成年人．∴C 也错误，因为是样本中只有85个成年人不吸烟，显然D 不正确．故应选B ．. 考点：样本估计总体的应用. 4.如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ）A ．15i ≥B ．15i ≤C ．14i ≥D ．14i ≤【答案】B考点：1、程序框图；2、循环结构.5.一个几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是（ ） A ．232cm B ．222cm C ．2322cm D ．112cm【答案】A 【解析】试题分析：该几何体是棱长为2的正方体1111CD C D AB -A B 截去一个三棱锥1C F -B E 后所得的多面体，如图，其表面积为1C F 11622112122322S S E =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+=．故应选A ．考点：1、几何体的三视图；2、几何体的表面积.6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ） A ．3- B ．1- C ．1 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：因为3221b =T +，4321b =T +两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D.考点：1、等比数列的定义；2、公式()12n n n a S S n -=-≥的应用 .7.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．3B ．132C ．12D ．23 【答案】A考点：1、可行域的画法；2、最优解的求法.【方法点晴】本题主要考查线性规划中可行域的画法及利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 8.已知函数()346f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个单调递增区间为（ ） A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B考点：1、三角函数的平移变换；2、正弦函数的单调性. 9.()72x y +展开式中系数最大的项是（ ）A ．768y B ．34112x y C ．25672x y D ．251344x y 【答案】C 【解析】试题分析：设1r +项系数最大，则有11771177C 2C 2C 2C 2r r r r r r r r --++⎧⋅≥⋅⎪⎨⋅≥⋅⎪⎩，即()()()()()()117!7!22!7!1!71!7!7!22!7!1!71!r r r r r r r r r r r r -+⎧⋅≥⋅⎪---+⎪⎨⎪⋅≥⋅⎪-+--⎩，2181271r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得163133r r ⎧≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩，又Q07r ≤≤，∴5r =．∴系数最大项为52552567C 2672x y x y T =⋅=．故应选C ．考点：二项展开式的通项与系数及组合式的运算.10.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为ab的值为（ ） A．2-B．3- C．2-D ．2327-【答案】A考点：1、直线双曲线的位置关系；2、直线的斜率及韦达定理.11.已知函数()3,02,0x x f x ax b x ≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =．当()()23fa fb =成立时，则实数a b +=（ ）A ．62 B ．62- C ．632+ D ．632-+ 【答案】D 【解析】试题分析：由题设条件对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =，知()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调，得3b =，且0a <．由)()23f a f b =有22393a +=，解得62a =-，故32a b +=-+．故应选D ． 考点：1、分段函数的解析式；2、数形结合思想与转化思想的应用.【方法点睛】本题主要考查分段函数的解析式、数形结合思想与转化思想的应用，属于难题. 数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、转化与划归思想、数形结合思想、建模思想等等，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将已知函数的性质研究透，这样才能快速找准突破点. 本题将“对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得()()12f x f x =”根据图象转化为“()f x 在(),0-∞和()0,+∞上单调”是解题的关键. 12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且7453n n n n A +=B +，则使得n nab 为整数的正整数n 的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】C考点：1、等差数列的性质；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n 项和公式，属于难题.等差数列性质很多，其中性质‘若2m n p q r +=+=，则2m n p q r a a a a a +=+=’应用非常广，它往往结合等差数列前n 项和公式（12nn a a S n +=⨯）综合出题，本题就是利用‘121121212,2n n n n a a a a a S ---++==’推出结论2121n n n n a b --A =B 后，再利用n 是整数这一特性进一步解答的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.二次函数21y x =-+的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ． 【答案】43考点：1、二次函数求定积分；2、定积分的几何意义.14.设四边形CD AB 为平行四边形，6AB =u u u r ，D 4A =u u u r．若点M ，N 满足3C BM =M u u u u r u u u u r ，D 2C N =N u u u r u u u r ，则AM ⋅NM =u u u u r u u u u r．【答案】9 【解析】试题分析：3D 4AM =AB +A u u u u r u u u r u u u r ，11C C D 43NM =M -N =-A +AB u u u u r u u u u r u u u r u u ur u u u r ，所以()()()()22111143D 43D 169D 163691694124848AM ⋅NM =AB +A ⋅AB -A =AB -A =⨯-⨯=u u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，故答案为9.考点：1、向量运算的三角形法则；2、平面向量的数量积公式.15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式n a = ．【答案】21n - 【解析】试题分析：因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意的()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-，故答案为21n -. 考点：1、等差数列的通项公式；2、等差数列的前n 项和公式.【方法点睛】本题主要考查等差数列的通项公式、等差数列的前n 项和公式，属于中档题.等差数列基本量的运算是等差数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a d n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程.16.已知()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+，则满足()()12f f a =的实数a 的个数为 ． 【答案】8考点：1、分段函数的解析式及图象性质；2、方程的根与图象交点之间的关系.【方法点睛】判断方程()0f x = 根的常用方法：①直接法：可利用判别式的正负直接判定一元二次方程根的个数；②转化法：方程()0f x =根的个数就是函数()y f x =零点个数，结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；③数形结合法：一是转化为两个函数()(),y g x y h x ==的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是方程根的个数，二是转化为(),y a y g x ==的交点个数.本题就是先换元后法解出一元二次方程的根，再利用方法③解答的.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分）如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ，F 是C A 与D E 的交点．（1）求sin C D ∠A 的值； （2）求DF ∆A 的面积．【答案】（1）1010；（2）14.考点：1、余弦定理及勾股定理；2、三角形面积公式.18.（本小题满分12分）为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交警支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（1）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（2）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．【答案】（1）第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆；（2）1.【解析】试题分析：（1）根据频率和为1可求得b，根据频数和频率的关系可求出a，c；（2）随机变量服从二项分布14,4ξ⎛⎫B ⎪⎝⎭:，可根据公式()4413C 44k kk k ξ-⎛⎫⎛⎫P == ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭求出个随机变量对应概率，列出分布列，进而利用期望公式求解.试题解析：（1）根据频率定义，0.20.250.31b +++=，解得0.25b =．2000.20.25a =，解得250a =，2000.20.3c=，解得300c =． 第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．考点：1、频数与频率的应用；2、二项分布及其期望. 19.（本小题满分12分）如图4，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥底面CD AB ，D A ⊥AB ，//DC AB ，D DC 2A ==AP =，1AB =，点E 为棱C P 的中点．（1）证明：DC BE ⊥；（2）若F 为棱C P 上一点，满足F C B ⊥A ，求二面角F -AB-P 的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）31010. 【解析】试题分析：（1）以点A 为原点建立空间直角坐标系（如图），求得()0,1,1BE =u u u r ，()DC 2,0,0=u u u r，可得DC 0BE⋅=u u u r u u u r，即可证结论；（2）先根据F C B ⊥A 确定F 的位置，在求出平面FAB 的一个法向量，可证平面ABP 一个的法向量为()20,1,0n =u u r，利用空间向量夹角余弦公式即可得结论.设()1,,n x y z =u r 为平面F AB 的法向量，则110F 0n n ⎧⋅AB =⎪⎨⋅B =⎪⎩u r u u u r u r u u u r ，即01130222x x y z =⎧⎪⎨-++=⎪⎩． 不妨令1z =，可得()10,3,1n =-u r为平面F AB 的一个法向量．取平面ABP 的法向量()20,1,0n =u u r，则121212cos ,10n n n n n n ⋅===-⋅u r u u ru r u u r u r u u r ．易知，二面角F -AB-P是锐角，所以其余弦值为10． 考点：1、空间直线垂直的判定；2、空间向量夹角余弦公式. 20.（本小题满分12分）已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过点⎛ ⎝⎭，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆方程； （2）求证：OA ⊥OB ．【答案】（1）221443x y +=；（2）证明见解析.（2）当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率不存在，则:l 1x =±．在221443x y +=中令1x =得1y =±． 不妨设()1,1A ，()1,1B -，则110OA⋅OB =-=u u u r u u u r．所以OA ⊥OB ．同理，当:l 1x =-时，也有OA ⊥OB ．当单位圆:O 221x y +=的切线l 的斜率存在，设:l y kx m =+1=，即221k m +=．考点：1、待定系数法求椭圆方程；2、点到直线的距离公式及平面向量数量积公式. 【方法点晴】本题主要考查待定系数求椭圆方程以及点到直线的距离公式和数量积公式，属于难题.用待定系数法求椭圆方程的一般步骤；①作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x 轴上，还是在y 轴上，还是两个坐标轴都有可能；②设方程：根据上述判断设方程()222210x y a b a b +=>>或22221x y b a+=()0a b >>；③找关系：根据已知条件，建立关于a 、b 、c 的方程组；④得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求.21.（本小题满分12分） 已知函数()2ln af x ax x x=--（R a ∈）．（1）若3a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）设函数()ag x x=-．若至少存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）440x y --=；（2）当0a ≤时，在()0,+∞上单调递减，当01a <<时，递增区间为10,a ⎛ ⎪⎝⎭和1a ⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭．单调递减区间为11a a ⎛+ ⎪⎝⎭，当1a ≥时， ()f x 在()0,+∞上单调递增；（3）0a >.（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．①当0a ≤时，()220h x ax x a =-+<在()0,+∞上恒成立，则()0f x '<在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递减， ②当0a >时，244a ∆=-，若01a <<，由()0f x '>，即()0h x >，得1x a <或1x a+>；由()0f x '<，即()0h x <x <<．所以函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭．单调递减区间为11a a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭． 若1a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()0f x '≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增．（3）因为存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >，则002ln ax x >，等价于2ln x a x >． ………10分 令()2ln F xx x=，等价于“当[]1,x e ∈时，()min F a x >”．对()F x 求导，得()()221ln F x x x-'=．因为当[]1,x e ∈时，()F 0x '≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增． 所以()()min F F 10x ==，因此0a >．考点：1、导数的几何意义；2、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值.【方法点晴】本题主要考查的是导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、求函数的最值，属于难题．利用导数研究函数()f x 的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数()f x 的定义域；②对()f x 求导；③令()0f x '>，解不等式得x 的范围就是递增区间，令()0f x '<，解不等式得x 的范围就是递减区间；④根据单调性求函数()f x 的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图5所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C CD ∠BA =∠A ，AP为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ． （1）求证：2Q D P =P ⋅PB ；（2）若3AB =，2AP =，4D 3A =，求Q A 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）109.考点：1、弦切角定理；2、切割线定理及相识三角形. 23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为112x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；（2）若(),x y P 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤-⎪⎝⎭y +的取值范围． 【答案】（1）222x y x +=-；（2）[]2,2-.【解析】试题分析：（1）先利用两角差的正弦公式展开4sin 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后两边同乘ρ，再利用公式222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可；（2）将1212x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，代入z y =+，得z t =-，首先求出ty +的取值范围.考点：1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、直线参数方程的应用. 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()11f x x a x =+--． （1）当2a =-时，解不等式()5f x >； （2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围． 【答案】（1）423x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）12a ≥. 【解析】试题分析：（1）当2a =-时，分三种情况讨论，分别求解不等式组，然后找交集即可；（2）由()3f x a x ≤+，得113x a x x +≥-++，再根据基本不等式1321x x x -++≥+，进而得a 的取值范围为12a ≥.考点：1、绝对值不等式的解法；2、基本不等式求最值.- 21 -。
广西桂林市、柳州市2016届高三高考压轴考试理数试题解析 含解析
一、选择题（本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1。
(){},25x y y x A ==+，(){},12x y y x B ==-,则A B =（ )A ．()1,3-B ．(){}1,3- C ．{}1,3-D ．∅【答案】B考点：1、集合的表示;2、集合的交集。
2。
若复数z 满足112i z i-=+，则z =（ ） A ．25 B ．35 C 10D 10【答案】C【解析】试题分析：()()()()1121310121255i i i z z i i ----==⇒=+-．故应选C ． 考点：1、复数的概念；2、复数的运算. 3.为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题,下列说法正确的是（ ）A ．调查的方式是普查B ．本地区约有15％的成年人吸烟C ．样本是15个吸烟的成年人D ．本地区只有85个成年人不吸烟【答案】B【解析】试题分析：调查方式显然时抽样调查，∴A 错误．样本是这100个成年人．∴C 也错误,因为是样本中只有85个成年人不吸烟，显然D 不正确．故应选B ．.考点：样本估计总体的应用.4。
如图1，给出的是求111124630+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ） A ．15i ≥ B ．15i ≤ C ．14i ≥ D ．14i ≤【答案】B考点：1、程序框图；2、循环结构。
5.一个几何体的三视图如图2所示（单位：cm ),则该几何体的表面积是（ ）A ．232cmB ．222cmC ．2322cm D ．112cm【答案】A【解析】试题分析：该几何体是棱长为2的正方体1111CD C D AB -A B 截去一个三棱锥1C F -B E 后所得的多面体，如图，其表面积为1C F 11622112122322S S E =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯+=．故应选A ．考点：1、几何体的三视图;2、几何体的表面积.6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ )A ．3-B ．1-C ．1 D ．3 【答案】D 【解析】试题分析：因为3221b =T +，4321b =T +两式相减得3432b b b -=-，从而求得433b b =．故应选D.考点：1、等比数列的定义;2、公式()12n n n a S S n -=-≥的应用 .7。
广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷 理(含解析)
2016年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷（理科）一、选择题1．A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．{（﹣1，3）} C．{﹣1，3} D．∅2．若复数z满足z=，则|z|=（）A．B．C．D．3．为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是15个吸烟的成年人D．本地区只有85个成年人不吸烟4．如图，给出的是求+++…+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A．i≥15 B．i≤15 C．i≥14 D．i≤145．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．23cm2B．22cm2C． cm2D．11cm26．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．17．已知x，y满足不等式组，则函数z=2x+y的最小值是（）A．3 B．C．12 D．238．已知函数f（x）=cos（4x﹣），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[，] D．[，]9．（x+2y）7展开式中系数最大的项是（）A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y510．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+312．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6二、填空题13．二次函数f（x）=﹣x2+1的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为．14．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足： =3， =2，则= ．15．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列，数列{a n}的通项公式a n= ．16．已知y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则满足f（f（a））=的实数a 的个数为．三、解答题17．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC 与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．18．为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：组名尾号频数频率第一组0、1、4 200 0.2第二组3、6 250 0.25第三组2、5、7 a b第四组8、9 e 0.3由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆方程；（2）求证：OA⊥OB．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（1）求证：PQ2=PD•PB；（2）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．2016年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题1．A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，则A∩B=（）A．（﹣1，3）B．{（﹣1，3）} C．{﹣1，3} D．∅【考点】交集及其运算．【分析】通过联立方程组求解即可．【解答】解：A={（x，y）|y=2x+5}，B={（x，y）|y=1﹣2x}，可得，解得：．则A∩B={（﹣1，3）}．故选：B．2．若复数z满足z=，则|z|=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z==，∴．故选：C．3．为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（）A．调查的方式是普查B．本地区约有15%的成年人吸烟C．样本是15个吸烟的成年人D．本地区只有85个成年人不吸烟【考点】收集数据的方法．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：根据题意，随机调查100个成年人，是属于抽样调查，这100个人中85人不吸烟不代表本地区只有85个成年人不吸烟，样本是100个成年人，所以本地区约有15%的成年人吸烟是对的．故选：B．4．如图，给出的是求+++…+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A．i≥15 B．i≤15 C．i≥14 D．i≤14【考点】程序框图．【分析】由已知中程序的功能是计算+++…+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可知程序的功能是计算+++…+的值，即n≤30，i≤15时，进入循环，当i=16时，退出循环，则判断框内填入的条件是i≤15．故选：B．5．一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是（）A．23cm2B．22cm2C． cm2D．11cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥剩下的几何体．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由一个正方体截去一个三棱锥剩下的几何体．∴该几何体的体积V=23﹣=cm3．故选：C．6．在等比数列{a n}中，S n表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3 B．﹣1 C．3 D．1【考点】等比数列的性质．【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{a n}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：C．7．已知x，y满足不等式组，则函数z=2x+y的最小值是（）A．3 B．C．12 D．23【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，1），此时z=2×1+1=3，故选：A．8．已知函数f（x）=cos（4x﹣），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，] B．[﹣，] C．[，] D．[，]【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式为f（x）=cos（2x﹣），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为y=sin2x，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：把函数f（x）=cos（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为f（x）=cos（2x﹣），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为y=cos[2（x﹣）﹣]=sin2x，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故当k=0时，函数y=g（x）的一个单调递增区间为：[﹣，]．故选：B．9．（x+2y）7展开式中系数最大的项是（）A．68y7B．112x3y4C．672x2y5D．1344x2y5【考点】二项式系数的性质．【分析】T r+1==2r x7﹣r y r．由，解出即可得出．【解答】解：T r+1==2r x7﹣r y r．由，可得：≤．解得r=5．∴（x+2y）7展开式中系数最大的项是T6=x2y5=672x2y5．故选：C．10．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1﹣x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为y=±x，把y=1﹣x代入y=±x，可得A（，），B（，），可得AB的中点M为（，）由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，即有k OM===，故选：A．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f （x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C． +3 D．﹣+3【考点】分段函数的应用．【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，故选：D．12．等差数列{a n}、{b n}的前n项和分别为S n、T n，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3 B．4 C．5 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由等差数列{a n}、{b n}，利用等差数列的性质表示出a n和b n，将分子分母同时乘以n，将表示出的a n与b n代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{a n}、{b n}，∴a n=，b n=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．二、填空题13．二次函数f（x）=﹣x2+1的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为．【考点】定积分．【分析】先求曲线与x轴的交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=1﹣x2与x轴围成的封闭图形的面积，即可求得结论．【解答】解：由题意可得f（x）=﹣x2+1的图象与x轴的交点为（﹣1，0）（1，0）S==（x﹣）=故答案为：14．平行四边形ABCD中，||=6，||=4，若点M，N满足： =3， =2，则= 9 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】用，表示出，，在进行计算．【解答】解：∵=3， =2，∴，， ==．∴==， ==﹣．∴=（）•（﹣）=﹣=36﹣=9．故答案为：9．15．已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且S1，S2，S4成等比数列，数列{a n}的通项公式a n= 2n﹣1 ．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设等差数列{a n}的首项为a1，由已知列式求得a1，代入等差数列的通项公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，且公差为2，由S1，S2，S4成等比数列，得，解得：a1=1．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．16．已知y=f（x）为偶函数，当x≥0时，f（x）=﹣x2+2x，则满足f（f（a））=的实数a的个数为8 ．【考点】函数奇偶性的性质．【分析】令f（a）=x，则f[f（a）]=转化为f（x）=．先解f（x）=在x≥0时的解，再利用偶函数的性质，求出f（x）=在x＜0时的解，最后解方程f（a）=x即可．【解答】解：令f（a）=x，则f[f（a）]=变形为f（x）=当x≥0时，f（x）=﹣（x﹣1）2+1=，解得x1=1+，x2=1﹣；∵f（x）为偶函数，∴当x＜0时，f（x）=的解为x3=﹣1﹣，x4=﹣1+；综上所述，f（a）=1+，1﹣，﹣1﹣，﹣1+；当a≥0时，f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1+，方程无解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=1﹣，方程有2解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1﹣，方程有1解；f（a）=﹣（a﹣1）2+1=﹣1+，方程有1解；故当a≥0时，方程f（a）=x有4解，由偶函数的性质，易得当a＜0时，方程f（a）=x也有4解，综上所述，满足f[f（a）]=的实数a的个数为8，故答案为：8．三、解答题17．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC 与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．【分析】（Ⅰ）由题意分别在RT△ABC和RT△ADE由三角函数定义∠DAE和∠CAB的正余弦值，由和差角的三角函数公式可得；（Ⅱ）由中位线可得DF=EF=BC=，代入三角形的面积公式计算可得．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得在四边形BCDE为边长为1的正方形，在RT△ABC中sin∠CAB==，cos∠CAB==，同理RT△ADE中sin∠DAE=cos∠CAB=∴sin∠CAD=sin（∠DAE﹣∠CAB）=×﹣×=；（Ⅱ）由题意可得DF=EF=BC=，∴△ADF的面积S=×DF×AE=××1=18．为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交支队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记录：组名尾号频数频率第一组0、1、4 200 0.2第二组3、6 250 0.25第三组2、5、7 a b第四组8、9 e 0.3由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、二、三、四组中各抽取多少辆？（Ⅱ）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）利用概率和为1，求出b，通过抽样比求解a，c，然后求解从一、二、三、四组中各抽取辆数．（Ⅱ）通过超几何分布，求出概率，得到ξ的分布列和数学期望．【解答】解（Ⅰ）根据频率定义，0.2+0.25+b+0.3=1，解得b=0.25；200：0.2=a：0.25，解得a=250，200：0.2=c：0.3，c=300，…第一、二、三、四组应抽取的汽车分别为4辆、5辆、5辆、6辆．…（Ⅱ）在此路口随机抽取一辆汽车，该辆车的车尾号在第二组的概率为．…由题意知ξ～B（4，），则P（ξ=k）=，k=0，1，2，3，4．ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4P…Eξ=4×=1…19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．（Ⅰ）证明：BE⊥DC；（Ⅱ）求BE的长；（Ⅲ）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（Ⅰ）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，求出=（0，1，1），=（2，0，0），由=0，能证明BE⊥DC．（Ⅱ）由=（0，1，1），能求出BE的长．（Ⅲ）由BF⊥AC，求出，进而求出平面FBA的法向量和平面ABP的法向量，由此利用向量法能求出二面角F﹣AB﹣P的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，∴以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，由题意B（1，0，0），P（0，0，2），C（2，2，0），E（1，1，1），D（0，2，0），=（0，1，1），=（2，0，0），∴=0，∴BE⊥DC．（Ⅱ）解：∵=（0，1，1），∴BE的长为||==．（Ⅲ）解：∵，=（2，2，0），由点F在棱PC上，设==（﹣2λ，﹣2λ，2λ），0≤λ≤1，∴=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ），∵BF⊥AC，∴=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，解得，设平面FBA的法向量为，则，取c=1，得=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），则二面角F﹣AB﹣P的平面角满足：cosα==，∴二面角F﹣AB﹣P的余弦值为．20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆方程；（2）求证：OA⊥OB．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）由题意可得：a+c﹣（a﹣c）=，b=，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（2）单位圆的方程为：x2+y2=1．对切线的斜率分类讨论：设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得=1，即m2=1+k2．与椭圆方程联立，利用根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系即可证明．圆的切线斜率不存在时直接求出验证即可得出．【解答】（1）解：∵中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），∴a+c﹣（a﹣c）=，b=，又a2=b2+c2，联立解得，b=，a2=4．∴椭圆的标准方程为： +=1．（2）证明：单位圆的方程为：x2+y2=1．设圆的切线斜率存在时方程为：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2）．可得=1，即m2=1+k2．联立，化为：（1+3k2）x2+6kmy+3m2﹣4=0，△＞0，∴x1+x2=，x1x2=．∴=x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2=（1+k2）﹣+m2==0．∴，∴OA⊥OB．当圆的切线斜率不存在时方程为：x=±1，代入椭圆方程可得：1+3y2=4，解得y=±1，∴A（1，1），B（1，﹣1）；A（﹣1，1），B（﹣1，﹣1）．满足OA⊥OB．综上可得：OA⊥OB．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（1）求证：PQ2=PD•PB；（2）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）推导出AB=BC=DC，∠BAC=∠CBD，∠AQP=∠BAC+∠ABQ，∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，从而∠PAQ=∠PQA，进而PA=PQ，由此利用切割线能证明PQ2=PA2=PD•PB．（2）由∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，得△ABP∽△APD，从而，求出PD，由此能求出AQ=DQ=PQ﹣PD，从而能求出结果．【解答】证明：（1）四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，∴AB=BC=DC，∴∠BAC=∠CBD，∴∠AQP=∠BAC+∠ABQ，∵AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P，∴∠PAQ=∠ABC=∠ABQ+∠CBD，∴∠PAQ=∠PQA，∴PA=PQ，∴PQ2=PA2=PD•PB．解：（2）∵AB=3，AP=2，AD=，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P，PQ2=PA2=PD•PB∴PQ2=4=PD•PB，∠ABP=∠PAD，∠APB=∠APD，∴△ABP∽△APD，∴，∴PD===，∴AQ=DQ=PQ﹣PD=2﹣=．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆面ρ≤4sin（θ﹣）的公共点，求x+y的取值范围．【考点】直线的参数方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）利用极坐标与直角坐标的方程互化的方法，可得圆C的直角坐标方程；（2）将代入z=x+y得z=﹣t，又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，可得结论．【解答】解：（1）因为圆C的极坐标方程为ρ=4sin（θ﹣），所以ρ2=4ρ（sinθ﹣cosθ），所以圆C的直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣2y=0．…（2）设z=x+y由圆C的方程x2+y2+2x﹣2y=0，可得（x+1）2+（y﹣）2=4所以圆C的圆心是（﹣1，），半径是2将代入z=x+y得z=﹣t …又直线l过C（﹣1，），圆C的半径是2，由题意有：﹣2≤t≤2所以﹣2≤t≤2即x+y的取值范围是[﹣2，2]．…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．【考点】分段函数的应用．【分析】（1）当a=﹣2时，根据否定即可解不等式f（x）＞5，（2）利用参数分离法，转化为求值函数的最值问题．【解答】解：（1）当a=﹣2时，f（x）=|x+1|+2|x﹣1|，则不等式f（x）＞5等价为|x+1|+2|x﹣1|＞5；若x≥1，则不等式等价为x+1+2（x﹣1）＞5，即3x＞6，得x＞2，此时x＞2，若﹣1＜x＜1，则不等式等价为x+1﹣2（x﹣1）＞5，即﹣x＞2，得x＜﹣2，此时﹣1＜x＜1，若x≤﹣1，则不等式等价为﹣（x+1）﹣2（x﹣1）＞5，即﹣3x＞4，得x＜﹣，此时x＜﹣，综上不等式的解为x＞2或﹣1＜x＜1或x＜﹣，即不等式的解集为{x|x＞2或﹣1＜x＜1或x＜﹣}．（2）若f（x）≤a|x+3|，则|x+1|﹣a|x﹣1|≤a|x+3|，即|x+1|≤a（|x﹣1|+|x+3|），即a≥，由|x﹣1|+|x+3|≥2|x+1|∴=，当且仅当x≥1或x≤﹣3时，取等号，即a≥，则a的取值范围a≥．。
广西自治区桂林柳州2016届高三高考压轴理综答题卡
填涂样例
正确填涂 -
# $ ' #############
!
## #
# ! (+ % ' 分$
错误填涂 -
'
(
-
)
# # ! '+ ! $ 分$
# $ % ###### ##### # $ ! ######################## # $ " ############ #####
二 选考题 共# ' 分 请考生从给出的 " 道物理题 + " 道化学题 + ! 道生物题中每科任选一题作 并用 ! 答( , 铅笔在答题卡上 把 所 选 题 目 的 题 号 涂 黑 * 注 意 所 做 题 目 的 题号必须与所 涂 题 目 的 题 号 一 致 * 在 答 题 卡 选 答 区 域 指 定 位 置 答 题 * 如果多做 ( 则每学科按所做的第一题计分 * 物理选做 ' & " "+ #" #+ #" '+
理科综合答题卡
"############$
& $' & %' & ' ! ' & " & ' # & ' ' & &' & ' ( ' & ) & ' * & $' & %' & !' & "' & #' & '' & &' & (' & )' & *'
广西柳州市数学高三理数第一次联考试卷
广西柳州市数学高三理数第一次联考试卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2016 高二下·上海期中) （1）两个共轭复数的差是纯虚数；（2）两个共轭复数的和不一定是实 数；（3）若复数 a+bi（a，b∈R）是某一元二次方程的根，则 a﹣bi 是也一定是这个方程的根；（4）若 z 为虚数， 则 z 的平方根为虚数，其中正确的个数为（ ）A.3B.2C.1D.02. （2 分） (2013·北京理) “φ=π”是“曲线 y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（ ）A . 充分而不必要条件B . 必要而不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件3. （2 分） 已知向量 =（cosθ，sinθ），向量 =（ ,1），且， 则 tanθ 的值是（ ）A. B.C.D.第 1 页 共 12 页4. （2 分） (2016 高二上·宁阳期中) 若变量 x，y 满足 A.4，则 x2+y2 的最大值是（ ）B.9C . 10D . 125. （2 分） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （ ）A. B. C. D. 6. （2 分） (2018·大新模拟) 函数 A.B. C.的大致图像有可能是（ ）第 2 页 共 12 页D. 7. （2 分） (2017 高一上·海淀期中) 下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A . f（x）=ln|x| B . f（x）=2﹣x C . f（x）=x3 D . f（x）=﹣x28. （2 分） (2016 高二下·辽宁期中) 设（ 围成图形的面积为（ ）+x2）3 的展开式中的常数项为 a，则直线 y=ax 与曲线 y=x2A. B.9C.D.9. （2 分） 已知集合数 a,b 使得 是（ ）成立,称点, 为“￡”点，则“￡”点在平面区域。
广西柳州高级中学2016届高三4月高考热身模拟演练数学(理)试题 含答案
理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1。
设i 为虚数单位，则复数32i i+的虚部是( )A ．3iB ．3i -C ．3D ．—32。
记集合{|0}A x x a =->，{|sin ,}B y y x x R ==∈，若0A B ∈，则a 的取值范围是( )A ．(,0)-∞B ．(,0]-∞C ．[0,)+∞D ．(0,)+∞3。
某空间几何体的三视图中，有一个是正方形,则该空间几何体不可能是（ )A ．圆柱B ．圆锥C ．棱锥D ．棱柱 4.二项式5(2)x -展开式中x 的系数为( ）A ．5B ．16C ．80D ．-805.已知函数(),()1xf x eg x x ==+,则关于(),()f x g x 的语句为假命题的是（ ）A ．,()()x R f x g x ∀∈>B ．1212,,()()x xR f x g x ∃∈<C ．000,()()xR f x g x ∃∈> D ．0xR ∃∈，使得00,()()()()x R f x g x f x g x ∀∈-≤-6.考生甲填报某高校专业意向，打算从5个专业中挑选3个，分别作为第一、第二、第三志愿，则不同的填法有（ ） A ．10种 B ．60种 C ．125种 D ．243种7。
某公司近六年投入某种产品的年宣传费x （单位：万元）和年销售量y （单位：万件）之间的样本数据如下表所示:则当年宣传费为15万元时,年销售量的预报值为（ ） A ．45万件 B ．48万件 C ．50万件 D ．55万件参考公式：在回归直线方程^^^y b x a =+中，^1221()ni ii nii x y nx yb xn x ==-=-∑∑，^^^a yb x =-.(611000i ii x y ==∑，621200ii x==∑）8。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
广西桂林市、柳州市2016届高三高考压轴考试
理数试题
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1.(){},25x y y x A ==+，(){},12x y y x B ==-，则A B = （ ）
A ．()1,3-
B ．(){}1,3-
C ．{}1,3-
D ．∅
2.若复数z 满足112i z i
-=+，则z =（ ）
A ．25
B ．35
C D 3.为了了解本地区大约有多少成年人吸烟，随机调查了100个成年人，结果其中有15个成年人吸烟．对于 这个关于数据收集与处理的问题，下列说法正确的是（ ）
A ．调查的方式是普查
B ．本地区约有15%的成年人吸烟
C ．样本是15个吸烟的成年人
D ．本地区只有85个成年人不吸烟
4.如图1，给出的是求111124630
+++⋅⋅⋅+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（ ） A ．15i ≥ B ．15i ≤ C ．14i ≥ D ．14i ≤
5.一个几何体的三视图如图2所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是（ ）
A ．232cm
B ．222cm
C ．232
2cm D ．112cm
6.在等比数列{}n b 中，n T 表示前n 项和，若3221b =T +，4321b =T +，则公比q 等于（ ）
A ．3-
B ．1-
C ．1
D ．3
7.已知x ，y 满足不等式组4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩
，则函数2z x y =+的最小值是（ ）
A ．3
B ．
132 C ．12 D ．23 8. 已知函数(
)46f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵 坐标不变，再将所得函数图象向右平移
6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则函数()y g x =的一个 单调递增区间为（ ）
A ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
B ．,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
C ．2,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
D ．3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
9.()72x y +展开式中系数最大的项是（ ）
A ．768y
B ．34112x y
C ．25672x y
D ．25
1344x y
10.已知直线1y x =-+与双曲线221ax by +=（0a >，0b <）交于A ，B 两点，且过原点和线段AB 中
点的直线的斜率为，则a b
的值为（ ） A
．
．
． D
．11.已知函数(
)3,0,0
x f x b x +≥=+<，满足条件：对于1R x ∀∈，存在唯一的2R x ∈，使得
()()12f x f x =
．当)
()3f f b =成立时，则实数a b +=（ ） A
． C
3+ D
．3 12.已知两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
7453n n n n A +=B +，则使得n n a b 为整数的正 整数n 的个数是（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）
13.二次函数2
1y x =-+的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为 ． 14.设四边形CD AB 为平行四边形，6AB = ，D 4A = ．若点M ，N 满足3C BM =M ，D 2C N =N ，
则AM ⋅NM = ．
15.已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．数列{}n a 的通项公式 n a = ．
16.已知()y f x =为偶函数，当0x ≥时，()22f x x x =-+，则满足()()1
2
f f a =的实数a 的个数 为 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
如图3，CD AB 是直角梯形，//CD AB ，2CD 2AB ==，CD C =B ，E 是AB 的中点，D E ⊥AB ， F 是C A 与D E 的交点．
（1）求sin C D ∠A 的值；
（2）求DF ∆A 的面积．
18.（本小题满分12分）
为减少汽车尾气排放，提高空气质量，各地纷纷推出汽车尾号限行措施，为做好此项工作，某市交警支 队对市区各交通枢纽进行调查统计，表中列出了某交通路口单位时间内通过的1000辆汽车的车牌尾号记 录：
由于某些数据缺失，表中以英文字母作标记，请根据图表提供的信息计算：
（1）若采用分层抽样的方法从这1000辆汽车中抽取20辆，了解驾驶员对尾号限行的建议，应分别从一、
二、三、四组中各抽取多少辆？
（2）以频率代替概率，在此路口随机抽取4辆汽车，奖励汽车用品，用ξ表示车尾号在第二组的汽车数目， 求ξ的分布列和数学期望．
19.（本小题满分12分）
如图4，在四棱锥CD P -AB 中，PA ⊥底面CD AB ，D A ⊥AB ，//DC AB ，D DC 2A ==AP =， 1AB =，点E 为棱C P 的中点．
（1）证明：DC BE ⊥；
（2）若F 为棱C P 上一点，满足F C B ⊥A ，求二面角F -AB -P 的余弦值．
20.（本小题满分12分）
已知中心在原点、焦点在x 轴上的椭圆C ，且椭圆过点
⎛
⎝，单位圆O 的切线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆方程；
（2）求证：OA ⊥OB ．
21.（本小题满分12分）
已知函数()2ln a f x ax x x
=--（R a ∈）． （1）若3a =，求曲线()y f x =在点()()
1,1f 处的切线方程；
（2）求函数()f x 的单调区间；
（3）设函数()a g x x
=-
．若至少存在一个[]01,x e ∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围． 请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图5所示，四边形CD AB 中，D//C A B ，CD AB =，C A ，D B 交于点Q ，C C D ∠BA =∠A ，AP 为四边形CD AB 外接圆的切线，交D B 的延长线于点P ．
（1）求证：2Q D P =P ⋅PB ；
（2）若3AB =，2AP =，4D 3
A =，求Q A 的长．
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为112
x y t ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐
标系，圆C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-
⎪⎝⎭． （1）求圆C 的直角坐标方程；
（2）若(),x y P 是直线l 与圆面4sin 6πρθ⎛⎫≤-
⎪⎝⎭
y +的取值范围．
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数()11f x x a x =+--．
（1）当2a =-时，解不等式()5f x >；
（2）若()3f x a x ≤+，求a 的取值范围．
：。