倍角公式和半角公式-拔高难度-讲义

倍角公式和半角公式

知识讲解

一、倍角公式

sin 22sin cos ααα=；

2222cos 2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-

2

2tan tan 21tan α

αα

=

- 3

sin 33sin 4sin ααα=-；3

cos34cos 3cos ααα=-；32

3tan tan tan 313tan αα

αα

-=- 二、半角公式

1cos sin

2

2α

α-=±

；1cos cos 22αα

+=±； 1cos 1cos sin tan

2

1cos sin 1cos α

ααα

ααα

--=±

==

++ 三、万能公式

2

2tan

2sin 1tan 2

α

αα

=

+；22

1tan 2cos 1tan 2

ααα

-=

+；2

2tan

2tan 1tan 2

α

αα

=-

四、公式的推导

sin 2sin()sin cos cos sin 2sin cos ααααααααα=+=+=

22cos2cos()cos cos sin sin cos sin ααααααααα=+=⋅-⋅=- 再利用22sin cos 1αα+=，可得：

2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- ()2tan tan 2tan tan 2tan 1tan tan 1tan ααα

αααααα

+=+=

=-⋅-

sin 2tan

2

cos

2

αα

α

===sin 2sin

sin

1cos 22

2tan

2

sin cos 2sin cos 2

22

αα

α

α

αα

ααα-=== sin 2cos

sin

sin 22

2tan

2

1cos cos

2cos cos

2

22

αα

α

α

αα

ααα===+ 【说明】这里没有考虑

cos

sin

2

2

α

α

==，实际处理题目的时候需要把等于０的情况分出

来单独讨论一下．

五、综合运用

1.倍角、半角、和差化积、积化和差等公式的运用

1）并项功能： 2221sin 2sin cos 2sin cos (sin cos )ααααααα±=+±=± 2）升次功能 ： 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=- 3）降次功能： 2

21cos 21cos 2cos ,sin 22

αα

αα+-=

= 2.三角变换中常用的数学思想方法技巧有：

1）角的变换：和、差、倍、半、互余、互补的相对性，有效沟通条件与结论中角的差异， 比如：3015453060452︒

︒=︒-︒=︒-︒=

, ()()22

α

ααββαββ=-+=+-=⋅

()()()()ππ

2()()44

ααβαβαββααα=++-=+--=+--

()()222βαβαβαααβα⎛

⎫-=-+=-=-- ⎪⎝

⎭

π

π

π

π

π

π

244362

αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

+-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

π3ππ2ππ5ππ443366αααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-=++-=++-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

2）函数名称的变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数，在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名；有时可以使用万能公式将所有函数名化为正切； 3）常数代换：在三角函数运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数值，

例如：2222

ππππ1sin cos sec tan sin

tan 2sin 2464

αααα=+=-===； 4）幂的变换：降幂是三角变换时常用的方法 常用的降幂公式有：21cos2cos 2αα+=

，21cos2sin 2

α

α-=但降幂并非绝对，有时也需要对某些式子进行升幂处理，比如221cos22cos ,1cos22sin αααα+=-=；

21sin 2(sin cos )ααα±=±；

5）公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公式的顺用，逆用及变形应用， 例如：tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ±=±⋅⋅m ； 6）辅助角公式的运用：在求值问题中，要注意辅助角公式

() sin cos y a b αααϕ=++的应用，其中tan b a

ϕ=，ϕ

所在的象限由,a b 的符号确定．