631-8.3数学归纳法(39)

8.3 数学归纳法
教学目标：
重点：数学归纳法的原理以及数学归纳法的步骤．
难点：利用归纳假设证明1n k =+时结论也成立时的方法． 能力点：提升学生数学的逻辑推理能力．
教育点：培养学生的应用意识和数学的思维方法．
自主探究点：数学归纳法在证明含有数列前n 项和（或前n 项乘积）的不等式（或等式）时的优点． 易错点：①有些题目归纳奠基中n 的初始值并非为1，学生受思维定势的影响，容易忽略此点；②归纳递推时，由归纳假设证明1n k =+结论也成立时，必须用上归纳递推．
学法与教具
1．学法：讲授法，讨论法； 2．教具：多媒体． 一、【知识结构】
二、【知识梳理】
1．数学归纳法是用来证明____________________________命题的一种方法． 2．用数学归纳法证明一个命题时，分两个步骤：
（1）证明当n _______________________时命题成立，此步称为_________________；
（2）假设n =__________（_______且*
k ∈N ）时命题成立，证明当________________时命题也成立，这一步称为______________________．
在第（2）步中，必须用上_________________来推导1n k =+时命题也成立．完成两步，即可说明原命题成立．
答案：1．与正整数有关的 2.（1）取第一个值0n （*
0n ∈N ）；归纳奠基 （2）k ；0k n ≥；1n k =+；归纳奠基；归纳假设． 三、【范例导航】
例1 是否存在常数,a b ，使得()()
2
2
2
1112n n an n b
+++++= 对于任意*
n ∈N 都成立？证明你的
结论．
【分析】若对任意*n ∈N ，原等式成立，必然对某些特定的n 也成立．为了求,a b ，我们只需取两个
n 的值即可．求出,a b 后，可用数学归纳法证明．
【解答】在等式()()
2
2
2
1112n n an n b
+++++=
中，分别令1n =，2n =，得
()()211,62114,
a b
a b +⎧=⎪⎪⎨
+⎪+=⎪⎩
解得2,6.a b =⎧⎨=⎩ 下面用数学归纳法证明等式()()
2
2
2
121126
n n n n +++++=
对任意*
n ∈N 都成立．
（1）当1n =时，()()
2
1112116
⨯+⨯+=
，即原等式成立；
（2）假设当n k =时原等式成立，即()()
2
22
121126
k k k k +++++=
，则
()()()
()2
2
2
2
2
12112116
k k k k k k +++++++=
++ ()()22116k k k k ⎡⎤
+=+++⎢⎥⎣⎦
()()()()()2127612236
6
k k k k k k ++++++==()()()1112116
k k k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=
，
即原等式对于1n k =+时也成立，根据数学归纳法的思想可知，等式
()()
222121126
n n n n +++++=
对任意*
n ∈N 都成立．
【点评】本题采用由特殊的方式去求,a b 的值，然后用数学归纳法进行严谨的数学证明，锻炼学生数学思维方式的灵活多变．
变式训练：设()111
123f n n
=+
+++ （*n ∈N ）
． 求证：()()()()()(
)123112,f f f f n n f n n n *
++++-=-≥∈⎡⎤⎣⎦N ．
证明：（1）当2n =时，左边=()11f =，右边=()122121112f ⎛
⎫
-=+-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭
，所以等式成立． （2）假设当n k =(
)2,k k *
≥∈N
时等式成立，
即()()()()()12311f f f f k k f k ++++-=-⎡⎤⎣⎦ ．
由于()()1
11
f k f k k +=+
+，则()()()()()1231f f f f k f k ++++-+ ()()1k f k f k =-+⎡⎤⎣⎦=()()1k f k k +-=()()()()1111111k f k k k f k k k ⎡
⎤++--=++--⎢⎥+⎣
⎦ =()()111k f k ++-⎡⎤⎣⎦，所以当1n k =+等式成立．
由（1） 和（2），得()()()()()(
)123112,f f f f n n f n n n *
++++-=-≥∈⎡⎤⎣⎦N
成立．
例2 （2011年聊城模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程2
0n n x a x a --=的有一根为1n S -（*
n ∈N ）．
（1）求123,,S S S ．
（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并给出严格的证明．
【分析】将1n S -代入方程，得到n S 与n a 的关系式，分别求出123,,S S S 的值，猜出n S ，然后用数学归纳法证明．
【解答】（1）由题意，得()()2
110n n n n S a S a ----=，即()2
1n n n S a S -=．
当1n =时，()2
2
111S S -=，
解得112S =；当2n =时，()()2
22121S S S S -=-，解得223S =；当3n =时，()()2
33231S S S S -=-，解得334S =．
（2）由（1）猜想，得1n n S n =+（*
n ∈N ）．下面利用数学归纳法证明：
①当1n =时，111
112
S ==+，显然猜想成立．
②假设当n k =()k *
∈N 时猜想成立，即1
k k S k =+．
由()21111k k k S a S +++-=，得()()21111k k k k S S S S +++-=-，即()2
11111k k k k S S S k +++⎛
⎫
-=-
⎪+⎝⎭
，解得()111
211
k k k S k k +++=
=+++．所以当1n k =+猜想成立． 由①和②，得1
n n S n =
+对任意的*
n ∈N 成立． 【点评】本题是“归纳→猜想→证明”的典型问题，解答步骤是：（1）准确计算前若干项，这是归纳、猜想的基础；（2）通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论；（3）用数学归纳法证明之n ∈N ．
变式训练：已知点()n n n b a P ,满足11n n n a a b ++=⋅，12
1n n n b b a +=-（n ∈N ），且已知点⎪⎭
⎫
⎝⎛32,310P ． （1）求过点10,P P 的直线l 的方程；
（2）判断点()2,n P n n ≥∈N 与直线l 的位置关系，并证明你的结论． 解 （1）由32,3100==
b a ，得()2
101a b b -=，解得431=b ，又101b a a =，所以4
11=a ，由此113,44P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，于是直线l 的方程为01=-+y x ． （2） 由411=
a ，431=
b ，得51,5422==a b ，即214,55P ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以l P ∈2． 猜想：点()2,n P n n ≥∈N 在直线l 上．下面用数学归纳法证明： ①当2=n 时，点l P ∈2已证．
②假设当()2,n k k k =≥∈N 时，点l P k ∈，即1=+k k b a ． 则当1+=k n 时，()()
111112
11111k k
k k k k k k k k k k
b b a b a b b a b a a a ++++++=+=+=+==--， 即111=+++k k b a ，故()11,++k k b a 满足01=-+y x ，所以点l P k ∈+1． 由①和②可知，对任意2,n n ≥∈N 都有点l P n ∈． 例3
利用数学归纳法证明不等式1+< *n ∈N ）
．
【分析】此不等式的左边为数列n a =
前n 项和的形式，而该数列的前n 项和用高中阶段所学的求和方式很难化简，因此简单的采用不等式的性质证明是行不通的．解决含有求和问题的不等式证明，有时可以采用放缩法，而数学归纳法是另外一种很巧妙的方法．
【解答】（1）当1n =
时，1< （2）假设当n k =（*
k ∈N ）时原不等式成立，
即1++< 则当1n k =+时，
11⎛
+=+< ⎝ ． 而当*k ∈N 时，22
0891********k k k k k <+⇒+<++
43k ⇒<+
4
⇒
<
()142411k k k ⇒+⋅<+
+
⇒<
所以1+
++
<1n k =+时原不等式也成立．
由（1）（2）可知，不等式1
+
++< *n ∈N ）成立． 【点评】数学归纳法将一个含有求和问题的不等式的证明转化为不含求和的不等式证明，注意体会在
这种问题中数学归纳法的作用．在第（2）步中，证明
<时，运用的是综合法，也可以运用比较法和分析法进行证明．
变式训练：已知函数()()20x
f x x e x -=>（e 为自然对数的底数）,用数学归纳法证明：对任意正整
数n 都有()2!n
f x n x
-<⋅．
证明：不等式()2!n
f x n x
-<⋅等价于x n n x e n x x n e x ⋅<⇔⋅<--!!22．
所以只要用数学归纳法证明不等式!n
x
x n e <⋅对一切*
n ∈N 都成立即可
（1）当1n =时，设()()0x
g x e x x =->，则()10x
g x e '=->，所以()g x 在()0,+∞上是增函数，
从而()()010g x g >=>，即x
e x >成立，故当1n =时，不等式成立．
（2）假设当n k =（*k ∈N ）不等式!k x
x k e <⋅成立． 设()()()1
1!0x
k h x k e x
x +=+⋅->，则()()()()()1!11!0x k x k h x k e k x k k e x '=+⋅-+=+⋅->，所
以()()1
1!x
k h x k e x
+=+⋅-在()0,+∞上是增函数，从而()()()01!0h x h k >=+>，即()1
1!k x
x k e +<+⋅成立．这说明当1n k =+时不等式成立．
根据（1）和（2）可知不等式对一切*
n ∈N 都成立．
四、【解法小结】
1．用数学归纳法证明一个命题时，归纳奠基部分的n 的初始值不一定为1；
2．归纳递推时，一定要用上归纳假设，这不仅是数学归纳法的要求，而且在很多情况下是题目解决的一个突破口；
3．体会数学归纳法在证明含有数列前n 项和（或前n 项乘积）的不等式（或等式）时的妙处； 4．部分数列求通项的题目，采用“猜测并用数学归纳法严格证明”的思路，有时可以“出奇制胜”．注意提高这种应用意识．
五、【布置作业】 必做题：
1．用数学归纳法证明“2
21n
n >+对于0n n ≥的正整数n 都成立”时，第一步归纳奠基中，初始值
0n =______________．
2．用数学归纳法证明“()12
3
1
1111n n a a a a a a a
++-+++++=≠- ”，在验证1n =时，左端计算所得的项是__________．
3．已知n 为正偶数，用数学归纳法证明111111
1112234114
2n n n n n ⎛⎫-
+-++-=+++ ⎪-++⎝⎭ 时，若假设n k =（2k ≥且k 为偶数）时等式成立，则还需要用归纳假设证明n =__________时等式成立．
4. 1n <+（*n ∈N ）的过程：
（1） 当1n =11<+，不等式成立；
（2） 假设当n k =（*k ∈N ）时，不等式成立，即
1k <+．则当1n k =+时，
=<
()11
k =
=++． 关于此证明过程，下列说法正确的是_______________．
① 归纳奠基不正确，故证明过程不正确； ② 归纳递推不正确，故证明过程不正确；
③ 归纳奠基和归纳递推都正确，故证明过程正确；④归纳奠基和归纳递推存在错误，故结论错误． 必做题答案：1．5 2．2
1a a ++ 3． 2k + 4．②． 选做题：
1．已知*
n ∈N ，证明：111111111234212122n n n n n
-
+-++-=+++-++ ． 2．（2012年九江模拟改编）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且满足2
2n n S a n =+，0n a >（*
n ∈N ）．猜
想{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明．
3．已知函数()()ln 1f x x x =-+，数列{}n a 满足()1101,n n a a f a +<<=（*
n ∈N ）．
求证：101n n a a +<<<． 选做题答案：
1．证明 （1）当1n =时，111
12211
-
==
+，原等式成立； （2）假设当n k =（*
k N ∈）时等式成立，即111111111234212122k k k k k
-+-++-=+++-++ ，
则当1n k =+时，
()()11111111111111234211212342122122
k k k k k k ⎡⎤-+-++-=-+-++-+-⎢⎥+-+-++⎣⎦ 111111222122k k k k k =++++-++++ 1111
222122k k k k =++++
+++ ()()()111
1112
21k k k =
++++++++ ，即当1n k =+时等式也成立．
由（1）（2）可知，原等式成立．
2．解 分别令1,2,3n =，得()()2112
1222
123
3212223a a a a a a a a a ⎧=+⎪+=+⎨⎪++=+⎩，又∵0n a >，可解得123123a a a =⎧⎪=⎨⎪=⎩．
由此可猜想n a n =．下面用数学归纳法证明． （1）当1n =时，11a =，满足猜想；
（2）假设n k =（*
k N ∈）时猜想成立，即k a k =．
由2
2n n S a n =+ ① 可知，2
1121n n S a n ++=++． ② ②-①得2
2
1121n n n a a a ++=-+ ③．
则当1n k =+时，将归纳假设带入③式可得2
2
1121k k a a k ++=-+，即()()2
112110k k a a k k ++-+-+=，
所以11k a k +=+或11k a k +=-（因为0n a >，故舍去）．即1n k =+时猜想也成立．
由（1）（2）可知，数列{}n a 的通项公式为n a n =． 3．解 先用数学归纳法证明： 01n a <<． ①当1n =时，由已知，得结论成立．
②假设当n k =（*
k ∈N ）时结论成立，即01k a <<．
∵当01x <<时，()1'1011
x f x x x =-
=>++，∴()f x 在()0,1上是增函数， ∴()()()01k f f a f <<，即101ln 21k a +<<-<，于是当1n k =+时,结论成立．
由①②,对任意的*
n ∈N ，均有01n a <<．
于是()()1ln 1ln 10n n n n n n a a a a a a +-=-+-=-+<，则有1n n a a +<． 综上，101n n a a +<<<． 六、【教后反思】
1．本教案对数学归纳法的步骤分析准确、详细，选择题目新颖，与数列、解析几何、导数、方程等知识融合交汇，体现证明等式、不等式等高考常考内容，计算量不大，答案详细，分析准确．
2．由于题目新颖，教师一定要留给学生适当的思考时间，引导学生自主探究，借此优化学生的思维品质，提高学生分析问题解决问题的能力．。