631-8.3数学归纳法(39)

8.3 数学归纳法

教学目标：

重点：数学归纳法的原理以及数学归纳法的步骤．

难点：利用归纳假设证明1n k =+时结论也成立时的方法． 能力点：提升学生数学的逻辑推理能力．

教育点：培养学生的应用意识和数学的思维方法．

自主探究点：数学归纳法在证明含有数列前n 项和（或前n 项乘积）的不等式（或等式）时的优点． 易错点：①有些题目归纳奠基中n 的初始值并非为1，学生受思维定势的影响，容易忽略此点；②归纳递推时，由归纳假设证明1n k =+结论也成立时，必须用上归纳递推．

学法与教具

1．学法：讲授法，讨论法； 2．教具：多媒体． 一、【知识结构】

二、【知识梳理】

1．数学归纳法是用来证明____________________________命题的一种方法． 2．用数学归纳法证明一个命题时，分两个步骤：

（1）证明当n _______________________时命题成立，此步称为_________________；

（2）假设n =__________（_______且*

k ∈N ）时命题成立，证明当________________时命题也成立，这一步称为______________________．

在第（2）步中，必须用上_________________来推导1n k =+时命题也成立．完成两步，即可说明原命题成立．

答案：1．与正整数有关的 2.（1）取第一个值0n （*

0n ∈N ）；归纳奠基 （2）k ；0k n ≥；1n k =+；归纳奠基；归纳假设． 三、【范例导航】

例1 是否存在常数,a b ，使得()()

2

2

2

1112n n an n b

+++++= 对于任意*

n ∈N 都成立？证明你的

结论．

【分析】若对任意*n ∈N ，原等式成立，必然对某些特定的n 也成立．为了求,a b ，我们只需取两个

n 的值即可．求出,a b 后，可用数学归纳法证明．

【解答】在等式()()

2

2

2

1112n n an n b

+++++=

中，分别令1n =，2n =，得

()()211,62114,

a b

a b +⎧=⎪⎪⎨

+⎪+=⎪⎩

解得2,6.a b =⎧⎨=⎩ 下面用数学归纳法证明等式()()

2

2

2

121126

n n n n +++++=

对任意*

n ∈N 都成立．

（1）当1n =时，()()

2

1112116

⨯+⨯+=

，即原等式成立；

（2）假设当n k =时原等式成立，即()()

2

22

121126

k k k k +++++=

，则

()()()

()2

2

2

2

2

12112116

k k k k k k +++++++=

++ ()()22116k k k k ⎡⎤

+=+++⎢⎥⎣⎦

()()()()()2127612236

6

k k k k k k ++++++==()()()1112116

k k k +++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=

，

即原等式对于1n k =+时也成立，根据数学归纳法的思想可知，等式

()()

222121126

n n n n +++++=

对任意*

n ∈N 都成立．

【点评】本题采用由特殊的方式去求,a b 的值，然后用数学归纳法进行严谨的数学证明，锻炼学生数学思维方式的灵活多变．

变式训练：设()111

123f n n

=+

+++ （*n ∈N ）

． 求证：()()()()()(

)123112,f f f f n n f n n n *

++++-=-≥∈⎡⎤⎣⎦N ．

证明：（1）当2n =时，左边=()11f =，右边=()122121112f ⎛

⎫

-=+-=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭

，所以等式成立． （2）假设当n k =(

)2,k k *

≥∈N

时等式成立，

即()()()()()12311f f f f k k f k ++++-=-⎡⎤⎣⎦ ．

由于()()1

11

f k f k k +=+

+，则()()()()()1231f f f f k f k ++++-+ ()()1k f k f k =-+⎡⎤⎣⎦=()()1k f k k +-=()()()()1111111k f k k k f k k k ⎡

⎤++--=++--⎢⎥+⎣

⎦ =()()111k f k ++-⎡⎤⎣⎦，所以当1n k =+等式成立．

由（1） 和（2），得()()()()()(

)123112,f f f f n n f n n n *

++++-=-≥∈⎡⎤⎣⎦N

成立．

例2 （2011年聊城模拟）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且方程2

0n n x a x a --=的有一根为1n S -（*

n ∈N ）．

（1）求123,,S S S ．

（2）猜想数列{}n S 的通项公式，并给出严格的证明．

【分析】将1n S -代入方程，得到n S 与n a 的关系式，分别求出123,,S S S 的值，猜出n S ，然后用数学归纳法证明．

【解答】（1）由题意，得()()2

110n n n n S a S a ----=，即()2

1n n n S a S -=．

当1n =时，()2

2

111S S -=，

解得112S =；当2n =时，()()2

22121S S S S -=-，解得223S =；当3n =时，()()2

33231S S S S -=-，解得334S =．

（2）由（1）猜想，得1n n S n =+（*

n ∈N ）．下面利用数学归纳法证明：

①当1n =时，111

112

S ==+，显然猜想成立．

②假设当n k =()k *

∈N 时猜想成立，即1

k k S k =+．

由()21111k k k S a S +++-=，得()()21111k k k k S S S S +++-=-，即()2

11111k k k k S S S k +++⎛

⎫

-=-

⎪+⎝⎭

，解得()111

211

k k k S k k +++=

=+++．所以当1n k =+猜想成立． 由①和②，得1

n n S n =

+对任意的*

n ∈N 成立． 【点评】本题是“归纳→猜想→证明”的典型问题，解答步骤是：（1）准确计算前若干项，这是归纳、猜想的基础；（2）通过观察、分析、比较、联想，猜想出一般结论；（3）用数学归纳法证明之n ∈N ．

变式训练：已知点()n n n b a P ,满足11n n n a a b ++=⋅，12

1n n n b b a +=-（n ∈N ），且已知点⎪⎭

⎫

⎝⎛32,310P ． （1）求过点10,P P 的直线l 的方程；