分布列和数学期望教师版教学文案
高中数学分布列相关教学
高中数学分布列相关教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学任务围绕高中数学的分布列相关内容进行设计。
分布列是概率论中的一个重要概念，它涉及到随机变量的取值及其概率的列出。
在本单元中，教师将引导学生学习如何建立分布列，理解并运用其解决实际问题。
此外，还包括对二项分布、几何分布、超几何分布等常见分布列的性质和应用进行探讨，旨在培养学生逻辑推理能力、数据分析能力以及解决实际问题的能力。
2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生，他们在之前的数学学习过程中已经掌握了基本的概率论知识，如概率的加法规则、乘法规则等。
此外，学生也具备一定的代数运算能力和逻辑思维能力。
然而，对于分布列这一较为抽象的概念，学生可能存在理解上的困难，因此，在教学过程中需要关注学生的个体差异，采取不同的教学策略，使学生在掌握知识的同时，提高解决问题的能力。
二、教学目标1、知识与技能（1）理解分布列的定义，掌握分布列的基本性质；（2）掌握常见分布列（如二项分布、几何分布、超几何分布等）的特点和应用；（3）学会运用分布列解决实际问题，提高数据分析能力；（4）能够运用概率论的基本原理，建立随机变量的分布列；（5）掌握分布列与累积分布函数的关系，理解其应用意义。
2、过程与方法（1）通过实例引入，让学生体会从具体问题中抽象出分布列的过程，培养观察能力和抽象思维能力；（2）采用问题驱动的教学方法，引导学生积极思考、主动探究，培养学生的自主学习能力；（3）通过小组合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力；（4）运用数学软件或工具，辅助学生进行数据分析，培养学生的实际操作能力；（5）通过课后练习和拓展阅读，巩固所学知识，提高学生的知识运用能力。
3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学学科的兴趣，提高学生的数学素养；（2）培养学生严谨、细致的学习态度，使其养成良好的学习习惯；（3）鼓励学生面对问题勇于挑战，培养克服困难的勇气和信心；（4）通过数学知识的学习，使学生认识到数学在现实生活中的重要作用，提高学生的应用意识；（5）培养学生的集体荣誉感，使其在学习过程中关心他人，乐于助人。
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
【2018新课标 高考必考知识点 教学计划 教学安排 教案设计】高三数学：高考：离散型随机变量的分布列及期望
随机变量的分布列、数学期望和方差是高考的热点，主要以考生熟悉的实际问题为背景，综合排列、概率公式、互斥事件及相互独立事件的概率等基础知识，考查随机变量的识别及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用，题型主要是解答题，难度中档。
一、考点梳理1. 离散型随机变量的分布列：设离散型随机变量ξ可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，… ξ为离散型随机变量ξ的概率分布列。
2. 随机变量的期望与方差：n n i i p x p x p x p x EX +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++=2211为随机变量X 的均值或数学期望。
+-=121)(p EX x DX +⋅⋅⋅+-222)(p EX x ⋅⋅⋅+-i i p EX x 2)(+n n p EX x 2)(-为随机变量X 的方差。
二、考查形式1. 概率与统计的综合概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等，在解题过程中首先要处理好数据，如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目的要求进行相关的计算。
2. 随机变量期望与方差的应用在概率分布列、期望和方差的计算中，概率计算是问题的核心，要正确地计算各种情况的概率，就要把问题的实际意义弄清楚，然后利用排列组合、古典型独立事件的概率等计算其概率值，列出分布列，计算期望方差。
例题1 乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分，如图，甲上有两个不相交的区域,A B ，乙被划分为两个不相交的区域,C D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：回球一次，落点在C 上记3分，在D 上记1分，其它情况记0分.对落点在A 上的来球，队员小明回球的落点在C 上的概率为12，在D 上的概率为13；对落点在B 上的来球，小明回球的落点在C 上的概率为15，在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在,A B 上各一次，小明的两次回球互不影响.求：（Ⅰ）小明的两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率； （Ⅱ）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望.解析：（Ⅰ）记i A 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(0,1,3)i = 则31011111(),(),()123236P A P A P A ===--= 记i B 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(0,1,3)i = 则31013131(),(),()155555P B P B P B ===--= 记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”由题意，30100103D A B A B A B A B =+++ 由事件的独立性和互斥性，30100103()()P D P A B A B A B A B =+++ 30100103()()()()P A B P A B P A B P A B =+++30100103()()()()()()()()P A P B P A P B P A P B P A P B =+++ 1111131132535656510=⨯+⨯+⨯+⨯= 所以，小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310（Ⅱ）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6， 由事件的独立性和互斥性，得00111(0)()6530P P A B ξ===⨯=1001100111131(1)()()()35656P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=11131(2)()355P P A B ξ===⨯=3003300311112(3)()()()255615P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=31133113131111(4)()()()253530P P A B A B P A B P A B ξ==+=+=⨯+⨯=33111(6)()2510P P A B ξ===⨯=可得，随机变量ξ的分布列为：。
高中数学离散型随机变量的分布列教案新人教A版选修
一、教案简介本教案为人教A版高中数学选修课程《离散型随机变量的分布列》的教学设计，主要针对高中学生，旨在帮助学生理解离散型随机变量的概念，掌握分布列的性质及其计算方法，培养学生的数学思维能力和实际应用能力。
二、教学目标1. 理解离散型随机变量的定义及其性质。
2. 掌握离散型随机变量的分布列的概念及其计算方法。
3. 能够运用分布列解决实际问题，提高数学建模能力。
三、教学内容1. 离散型随机变量的定义及其性质。
2. 分布列的概念及其计算方法。
3. 常用离散型随机变量的分布列（如伯努利分布、二项分布、几何分布等）。
4. 离散型随机变量分布列的应用。
四、教学过程1. 引入新课：通过实例介绍离散型随机变量的概念，引导学生思考其分布规律。
2. 讲解离散型随机变量的定义及其性质，让学生理解并掌握基本概念。
3. 讲解分布列的概念及其计算方法，让学生能够自行求解离散型随机变量的分布列。
4. 通过例题讲解常用离散型随机变量的分布列及其应用，让学生能够解决实际问题。
5. 课堂练习：让学生运用所学知识解决实际问题，巩固课堂所学。
五、教学评价1. 课堂问答：检查学生对离散型随机变量及其分布列的基本概念的理解。
2. 课堂练习：评估学生运用分布列解决实际问题的能力。
3. 课后作业：巩固学生对离散型随机变量分布列的知识，提高学生的数学应用能力。
六、教学策略1. 实例引入：通过生活中的实际例子，激发学生的学习兴趣，引导学生思考离散型随机变量的分布规律。
2. 互动教学：在讲解过程中，鼓励学生积极参与，提问解答，增强课堂的互动性。
3. 分层教学：针对学生的不同层次，给予适当的引导和辅导，使所有学生都能跟上教学进度。
4. 实践操作：通过大量的例题和练习，让学生在实践中掌握离散型随机变量的分布列的计算方法及其应用。
七、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，直观展示离散型随机变量的分布列的性质和计算方法。
2. 教学案例：收集与离散型随机变量分布列相关的实际案例，用于引导学生思考和巩固所学知识。
离散型随机变量其分布列教案
离散型随机变量其分布列教案一、教学目标1.知识与技能：掌握离散型随机变量的概念；了解离散型随机变量的分布列的概念与相关性质；能够根据问题给出离散型随机变量的分布列。
2.过程与方法：通过讲解、示例分析和实际问题解答等方式培养学生的分析问题和解决问题的能力；通过课堂练习、小组合作等方式培养学生的合作精神和团队意识。
3.情感、态度和价值观：培养学生对离散型随机变量的兴趣；培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；培养学生的合作意识和团队合作能力。
二、教学重点与难点1.教学重点2.教学难点三、教学过程1.导入新知识引入离散型随机变量的概念，与连续型随机变量进行对比，引出离散型随机变量的分布列的概念，并讲解分布列的性质。
2.学习新知识2.1引入概念解释离散型随机变量的概念，并给出几个常见的离散型随机变量的例子，如二项分布、泊松分布等。
2.2分布列的概念详细讲解分布列的概念，即离散型随机变量的取值及其对应的概率，并通过示例进行说明。
2.3分布列的性质讲解分布列的性质，包括非负性、和为1等。
3.巩固与拓展通过例题进行分布列的计算练习，同时讲解分布列的期望值和方差的计算方法。
4.拓展应用结合实际问题，如掷硬币、扔骰子等，引导学生找出问题中的离散型随机变量，并计算其分布列。
四、教学设置1.教具准备黑板、彩笔、教案、习题册等。
2.师生活动教师以讲解为主，学生以听讲、思考、举手发言为主。
3.学生活动主要是听讲、思考、讨论、合作等。
五、教学反思离散型随机变量的分布列是基础内容，是理解和应用概率论中的重要概念。
通过本节课的学习，学生对离散型随机变量的概念和分布列的性质有了初步的了解，并能够通过例题进行分布列的计算。
教学过程中需要注意让学生进行思考和灵活运用，培养学生的分析问题和解决问题的能力，同时注重实际问题的应用，提高学生的理论与实践结合的能力。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
-撰写一份小组报告，阐述研究过程、结果及意义。
4.写一篇学习心得，要求学生反思本节课的学习内容，包括以下要点：
-随机变量和数学期望在实际问题中的应用。
-学习过程中遇到的困难和解决方法。
-对随机变量和数学期望的理解，以及如何将其运用到生活中。
作业要求：
1.学生需按时完成作业，保持作业整洁、字迹清晰。
五、作业布置
为了巩固学生对随机变量和数学期望的理解，以及提升他们解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.请学生完成教材第chapter页的习题，包括以下题目：
-第1题：理解随机变量的概念，并能正确表示给定随机现象的随机变量。
-第2题：根据实际情境，推导并分析随机变量的分布列。
-第3题：计算给定随机变量的数学期望，并解释其物理意义。
高三数学下册《随机变量和数学期望》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解随机变量的概念，掌握离散型随机变量及其分布列的性质，能正确运用随机变量描述实际问题。
2.掌握数学期望的定义，理解数学期望的物理意义，能运用数学期望计算随机变量的平均取值。
3.学会运用方差描述随机变量的取值波动程度，理解方差的性质和意义，能计算简单随机变量的方差。
2.教学过程：
（1）教师引导：通过本节课的学习，我们知道随机变量是用来描述随机现象的数学模型，分布列反映了随机变量取值的概率分布，而数学期望和方差则分别反映了随机变量取值的集中趋势和波动程度。
（2）学生分享：邀请学生分享他们在学习过程中的心得体会，以及如何运用所学知识解决实际问题。
（3）教师总结：强调本节课的重点和难点，鼓励学生在课后继续巩固所学知识，为后续学习打下基础。
第12章12.1离散型随机变量的分布列期望方差精品课件大纲人教版课件.ppt
1
1
A.9
B.6
1
1
C.3
D.4
答案：C
4．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2 个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率 分布为
ξ 012 P
答案：0.1 0.6 0.3
5．若 ξ～B(4，13)，则 P(ξ≥1)＝________. 答案：6851
考点探究·挑战高考
考点突破 分布列的性质
故 X～B(6，13)， 所以 P(X＝k)＝Ck6(13)k·(23)6－k， k＝0,1,2,3,4,5,6.
所以 X 的分布列为：
(2)EX＝np＝6×13＝2， Dξ＝np(1－p)＝6×13×23＝43，
即遇到红灯的次数的期望为 2，方差为43.
【思维总结】 对于 ξ～B(n，p)，P(ξ＝k)＝ Cknpk(1－p)n－k 也是分布列的一种形式：通项公 式形式．
例4 (2010 年高考北京卷)某同学参加 3 门课 程的考试．假设该同学第一门课程取得优秀成
绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩 的概率分别为 p 、q(p＞q)，且不同课程是否取 得优秀成绩相互独立．记 ξ 为该生取得优秀成 绩的课程数，其分布列为
(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率; (2)求p，q的值； (3)求数学期望Eξ. 【思路分析】 (1)利用对立事件“ξ＝0”． (2)利用ξ＝0与ξ＝1的概率建立p，q方程组． (3)求出：P(ξ＝1)．
分布列中随机变量取值的概率都在[0,1]，同时 所有概率和一定等于1.
例1 设随机变量 ξ 的分布列 P(ξ＝k5)＝ak(k＝ 1,2,3,4,5)．求：(1)常数 a 的值；
(2)P(ξ≥35)；(3)P(110＜ξ＜170)． 【思路分析】 将分布列简写成一个通项型 表达式，只是为了叙述方便，而表格形式更 能直观反映每种试验可能的分布，两种形式 实质内容是一致的．
11随机变量的分布列、期望和方差
[146,150)
[150,154)
[154,158)
人数
5
8
10
22
33
20
11
6
5
（1）列出样本的频率分布表（含累积频率）；
（2）画出频率分布直方图；
（3）根据累积频率分布，估计小于134的数据约占多少百分比．
解：（1）样本的频率分布表与累积频率表如下：
区间
[122,126)
[126,130)
例10在有奖摸彩中，一期(发行10000张彩票为一期)有200个奖品是5元的，20个奖品是25元的，5个奖品是100元的．在不考虑获利的前提下，一张彩票的合理价格是多少元？
解：设一张彩票中奖额为随机变量ξ，显然ξ所有可能取的值为0，5，25，100。依题
意，可得ξ的分布列为
ξ
0
5
25
100
P
答：一张彩票的合理价格是0．2元．
分层抽样法，系统抽样法 分层抽样法，简单随机抽样法
系求得，则 ．
3．设有 个样本 ，其标准差为 ，另有 个样本 ，且
，其标准差为 ，则下列关系正确的是（B）
4．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示.根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（B）
DξB=(100-125)2×0.1+(110-125)2×0.2+(130-125)2×0.1+(145-125)2×0.2=165.
所以，DξA< DξB.因此，A种钢筋质量较好。
例10学们身边常遇到的现实问题，比如福利彩票、足球彩票、奥运彩票等等．一般来说，出台各种彩票，政府要从中收取一部分资金用于公共福利事业，同时也要考虑工作人员的工资等问题．本题的“不考虑获利”的意思是指：所收资金全部用于奖品方面的费用。
《离散型随机变量的分布列及数学期望》学案
1.高考考情分析《概率统计》分值分布表：在高考中有着重要作用。
本节课之前我们已经复习了排列组合、二项式定理。
本节课我们主要学习离散型随机变量的分布列，重点是符合二项分布，超几何分布。
这不仅是本章《概率》的重点内容，也是高考的重点考查内容，有着非常的重要作用。
2.教学目标，重点和难点根据课程标准的要求，结合本节课的地位与作用我确定如下教学目标与重点和难点（1）知识与技能目标理解离散型随机变量的数学期望的定义，会求离散型随机变量的期望，并体会它的作用。
掌握求离散型随机变量的两种形式：一种是根据定义。
另外一种是可以判断一下随机变量是否服从二点分布，二项分布，超几何分布，会用公式求期望（2）过程与方法目标通过具体实例分析，总结归纳出离散型随机变量的数学期望的概念，进而结合实例与前面所学知识分析讨论数学期望的作用。
进行辩证唯物主义思想教育，加强数学应用知识和数学审美能力的培养，激发学生学习数学的热情（3）情感态度价值观结合教学内容培养学生学习数学的兴趣以及用“数学”的意识，激励学生勇于创新，培养学生的科学探索精神。
强化新旧知识的联系，树立学生求真务实的勇气和信心，进一步阐明唯物辩证法关于世界普遍联系和永恒发展的原理。
（4）依据新课标和学生认知水平确定本节课的教学重点为求离散型随机变量的期望。
（5）教学难点为二项分布的数学期望的推导。
(2008年高考广东卷第17小题) 17．（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件．已知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元．设1件产品的利润（单位：万元）为ξ．（1）求ξ的分布列；（2）求1件产品的平均利润（即ξ的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%．如果此时要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是多少？【解析】ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ=== 20(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-== 故ξ的分布列为：（2）60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=（3）设技术革新后的三等品率为x ，则此时1件产品的平均利润为 ()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤ 所以三等品率最多为3% (2010年高考广东卷第17小题)某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随即抽取该流水线上40件产品作为样本算出他们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490,]495，（495,]500，……（510,]515，由此得到样本的频率分布直方图，如图4所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y 为重量超过505克的产品数量，求Y 的分布列． （3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．(2011年高考广东卷第17小题)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽出取14件和5件，测量产品中的微量元素x,y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1（2）当产品中的微量元素x,y 满足x ≥175，且y ≥75时,该产品为优等品。
高中数学离散型随机变量的分布列教案新人教A版选修
高中数学离散型随机变量的分布列教案新人教A版选修一、教学目标：1. 理解离散型随机变量的概念，掌握其分布列的定义和性质。
2. 学会如何计算离散型随机变量的分布列，并能应用于实际问题。
3. 培养学生的逻辑思维能力和数学解决问题的能力。
二、教学内容：1. 离散型随机变量的定义和性质。
2. 分布列的概念和性质。
3. 离散型随机变量分布列的计算方法。
4. 离散型随机变量分布列的应用。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：离散型随机变量的分布列的定义和性质，计算方法及应用。
2. 教学难点：离散型随机变量分布列的计算方法和应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，系统地讲解离散型随机变量的分布列的概念、性质和计算方法。
2. 利用例题解析，让学生掌握离散型随机变量分布列的计算过程。
3. 开展小组讨论，让学生探讨离散型随机变量分布列在实际问题中的应用。
4. 利用课后习题，巩固所学知识。
五、教学过程：1. 引入新课：通过介绍离散型随机变量的概念，引导学生了解离散型随机变量的分布列。
2. 讲解离散型随机变量的分布列的定义和性质，让学生掌握其基本概念。
3. 讲解离散型随机变量分布列的计算方法，并通过例题解析，让学生熟悉计算过程。
4. 开展小组讨论，让学生探讨离散型随机变量分布列在实际问题中的应用。
6. 布置课后习题，巩固所学知识。
六、教学目标：1. 学会如何求解离散型随机变量的数学期望。
2. 理解离散型随机变量方差的概念，并掌握其计算方法。
3. 通过对离散型随机变量的数学期望和方差的分析，培养学生对随机现象的量化描述能力。
七、教学内容：1. 离散型随机变量的数学期望的定义和计算方法。
2. 离散型随机变量方差的概念和计算方法。
3. 离散型随机变量标准差的计算方法。
4. 离散型随机变量期望和方差在实际问题中的应用。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：离散型随机变量的数学期望和方差的计算方法，以及它们在实际问题中的应用。
2. 教学难点：离散型随机变量方差的计算方法和实际应用。
离散型随机变量及分布列优秀教学设计
课题：离散型随机变量及分布列一、教学内容分析本节课是普通高中新课程标准实验教科书《数学》（选修2-3）中第二章《随机变量及其分布》第一节“离散型随机变量及其分布列”的第二课时．引入随机变量的目的是研究随机现象发生的统计规律，及所有随机事件发生的概率．离散型随机变量的分布列完全描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．对随机变量的概率分布的研究，实现了随机现象数学化的转化．学生在第一课时已经学习了“离散型随机变量”，对离散型随机变量的概念有了一定的认识．了解到建立从随机试验结果到随机变量的映射的目的是将实际问题数量化，便于用数学工具更好地研究问题，进一步体会数学建模的思想. 教师的重要作用就在于培养学生“数学地”观察事物，对现象或问题“数学地”思考，进而合理地量化和转化，把问题“数学化”，用数学的思想方法加以解决．本节课要研究随机变量所表示的随机事件的概率分布情况，即建立“离散型随机变量的分布列”这一数学模型. 离散型随机变量和其对应的概率之间是一种函数关系，因此可以类比函数来研究. 教师引导学生用数学的思维分析问题，用数学的思想方法解决问题. 通过类比函数的表示方法，首先对三个具体实例进行表示，获得对“离散型随机变量的分布列”模型的初步认识，再从这些具体实例中抽象概括出离散型随机变量的分布列的一般定义并进一步探索性质. 在概念得出的过程中，可以培养学生的抽象概括能力. 在此基础上学习两点分布等特殊的分布列，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，能够应用分布列解决实际问题．在实际问题的解决中，可以培养学生的数学建模能力.因此，本节课的教学重点：理解离散型随机变量的分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性，理解两点分布的模型及其应用．二、教学目标设置1．通过具体实例，理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性；类比函数的几种表示法学习离散型随机变量的表示方法；探索离散型随机变量的性质．2．通过学生的自主探究，进一步体会数学抽象、数学建模的思想，培养学生抽象概括能力．3．通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法. 在解决实际问题的过程中，同学们加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系，并学会用数学解决一些实际问题.4．通过创设情境调动学生参与课堂的热情，激发学生学习数学的情感．经历数学建模的过程并从中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立学习数学的自信心．三、学生学情分析（一）学生程度我所授课的对象是天津市实验中学的学生．学生的水平相对较高，基础知识掌握得较好，学生的理解能力比较强．虽然已经经历了概率的学习，但是对随机变量的学习还处于初期阶段，一些数学方法和数学思想的掌握还有待进一步加强．（二）知识层面1．学生已经学习过概率的知识并掌握了计数原理；2．掌握了离散型随机变量的定义．（三）能力层面1．具有一定的数学抽象的能力；2．具有一定的数学建模的基础．根据以上三个方面的分析，在学生已有的认知基础的条件下，学生可以自主利用古典概型计算概率的公式完成求基本事件的概率．在具体操作过程中，需要老师的引导和帮助．教学难点：理解离散型随机变量分布列的概念，理解分布列对于刻画随机现象的重要性．四、教学策略分析1．《高中数学课程标准》倡导自主探索、动手实践、合作交流等学习方式．根据本节课的教学内容和学生自主学习能力相对比较强的特点，以问题串驱动整个课堂的进行，采用启发、引导、探究相结合的教学方法．2．本节教学内容的脉络是：复习旧知，引入新课——研究实例，抽象概括——探索性质，辨析概念——数学建模，两点分布——实际应用，解决问题——课堂小结，反思提升.首先对上节课已经学习的随机变量的概念加以回顾，并进一步提出后续问题，即“我们更关心随机事件发生的可能性有多大，即随机变量取不同值的概率分布情况是怎样的”，以开门见山的方式提出问题，引发学生的思考.然后对于如何解决这个问题，以三道实际问题“掷骰子”、“掷硬币”、“摸次品”为背景，启发学生寻求解决问题的方法．类比函数的表示方法，研究离散型随机变量分布列的表示方法，进而抽象概括随机变量分布列的概念；探索离散型随机变量的性质，并辨析概念；通过举例，掌握两点分布的分布列模型及其应用；在解决实际问题的过程中，使学生加深对有关数学概念本质的理解，认识数学知识与实际的联系.利用离散型随机变量思想描述和分析某些随机现象，通过类比、推广、特殊化等一系列思维活动，体会统计思想，学会用统计思想分析和处理随机现象的基本方法.3．在探索两点分布和解决实际问题的过程中，通过小组合作交流，同桌协作探究的方式，借助图形计算器等信息技术手段，为学生的数学探究与数学思维提供支持完成调动学生学习的积极性和主动性，培养学生的探究精神及协作意识，使学生真正体会数学抽象、数学建模思想，并能体验成功的喜悦.五教学过程分析教学环节创设情境——概念形成——概念深化——知识应用——总结反思—达标检测附：板书设计。
分布列和数学期望教师版
分布列和数学期望教师版
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一般来说，概率分布和数学期望是统计学中重要的概念，二者都有统一的概念，即定义随机变量取起来特定的概率。
概率分布的内容描述的是该概率大小，数学期望则对概率分布做了平均处理，描述的是统计平均值，从而给出随机变量比例和同一事件发生次数的有效参数。
首先来了解一下概率分布，概率分布表示的是某一实验事件发生可能性的大小关系，一般来说，它表示一系列不同事件发生的概率。
概率分布有几种常用的分类，可以按照要用到的变量的取值范围分类，例如离散型概率分布和连续型概率分布；根据实验中的事件分类，可以分为事件的实验型概率分布和不发生事件的实验型概率分布；也可以根据实验的类型来分类，例如抛硬币实验的贝叶斯概率分布、回报分布和条件概率分布等。
而当涉及到数学期望时，则是要研究随机变量X的总体期望，也就是把概率分布中X 取值各个概率乘以相应的数值，取平均数得出一个数值，这就是随机变量X的数学期望，也称为期望值或期望。
数学期望是衡量随机变量X发生次数大小和未来与过去的联系的参数，它是反映某一随机变量取某种值的可能性以及它取这种值时的数值的参数。
有了上面的认识，我们可以说，概率分布和数学期望是统计概念中最重要的概念，它们能够帮助我们估算实验事件发生可能性的大小关系，以及随机变量取某种值的可能性以及它取这种值时的数值。
高中数学离散型随机变量的分布列期望及方差复习优秀教案
常见离散型随机变量的分布列一、创境引入活动：“为某物流中心的各家超端阳节促销活动〞设计抽奖游戏道具：一个空盒子和带有1-6标号的材质相同的6个小球方案一：某位同学从箱子中任抽一球，用标号对奖，标号即中奖等级.方案二：某位同学从中箱子任抽一球，抽到1号球为一等奖,抽到2—3号球为二等奖,抽到4—6号球为三等奖.方案三：某位同学从箱子中任抽取一球，其中抽到2号球或6号球即中奖，否则不中奖.方案四：某位同学从箱子中任抽两个球，其中抽到2号球或6号球即中奖.方案五：某位同学从箱子中有放回的抽奖三次，每次任抽一球，抽到6号球即中奖.方案六：某位同学从箱子中有放回的抽奖，每次任抽一球，抽到中奖号6号球为止.二、自主预习1、方案一：某位同学从中任抽一球，用标号对奖，标号即中奖等级，求中奖等级X的分布列及期望方差2、方案二：每位同学从中任抽一球，设抽到1号球为一等奖,抽到2—3号球为二等奖,抽到4—6号球为三等奖.求中奖等级X的分布列及期望方差三、合作探究3、方案三：某位同学从箱子中任抽取一球，其中抽到2号球或6号球即中奖，否则不中奖.设中奖结果为随机变量X，求X的分布列及期望方差4、方案四：某位同学从箱子中任抽两个球，其中抽到2号球或6号球即中奖.求中奖球个数X的分布列及期望方差5、方案五：某位同学从箱子中有放回的抽奖两次，每次任抽一球，抽到6号球即中奖. 求中奖次数X的分布列及期望方差四、课时小结n n p x p x p x X E +++= 2211)(1、求离散型随机变量分布列的步骤是什么？2、常见离散型随机变量的分布〔1〕 均匀 分布；nn p x p x p x X E +++= 2211)(n n p X E x p X E x p X E x X D 2222121))((())(())(()(-++-+-=22))(()(X E X E -=（2） 两点 分布；),1(~p b Xp X E =)(；)1()(p q pq X D -==（3） 二项 分布；),(~p n B Xnp X E =)(；)1()(p q npq X D -==〔4〕 泊松 分布；〔5〕 超几何分布 分布；n Nk n M N k M C C C k X P --==｝｛；),,(N M M m N n <<< n NM X E =)( （6） 几何分布 分布；p q p k g k P k 1),()(-===ξp X E 1)(=；)1()(2p q pq X D -==五、课后作业1、方案六：某位同学从箱子中有放回的抽奖，每次任抽一球，抽到中奖号6号球为止.求所抽到球的个数X的分布列及期望方差.2、自己设计一个方案并求随机变量X的期望与方差3、设在8个不同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽取1个，并且取出不放回，假设以X和Y分别表示取出次品和正品的个数〔1〕求X的分布列和期望及方差〔2〕求Y的分布列和期望及方差。
第7讲 分布列与数学期望(解析版)
第7讲分布列与数学期望(解析版)第7讲分布列与数学期望(解析版)在统计学中，分布列与数学期望是常用的分析工具。
它们能够帮助我们理解随机变量的分布和特征。
本文将对分布列与数学期望进行解析，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、分布列分布列是用来描述离散型随机变量的概率分布的一种方式。
对于一个具体的随机变量X，其可能取到的数值通常是有限个或可数个。
我们可以列出每个数值对应的概率，形成一张分布列。
分布列通常以表格的形式呈现，其中包括随机变量的取值和对应的概率。
举个例子，假设随机变量X表示投掷一个骰子后的点数。
在这种情况下，X可以取到1、2、3、4、5、6这六个数值。
我们可以计算出每个数值对应的概率，得到如下的分布列：| X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 ||-------|-------|-------|-------|-------|-------|-------|| P(X) | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 | 1/6 |通过分布列，我们可以清晰地看到每个点数出现的概率是相等的。
除了离散型随机变量外，连续型随机变量也可以通过分布列进行描述。
连续型随机变量的分布列变成了概率密度函数，其中表示为概率的数值变为密度。
二、数学期望数学期望是随机变量的平均值，在概率论中有着重要的意义。
数学期望反映了随机变量取值的中心位置。
对于离散型随机变量X，其数学期望E(X)定义为：E(X) = ∑(x·P(X=x))其中，x表示随机变量X的取值，P(X=x)表示该取值的概率。
以前述的投骰子问题为例，我们可以计算出随机变量X的数学期望：E(X) = (1/6)·1 + (1/6)·2 + (1/6)·3 + (1/6)·4 + (1/6)·5 + (1/6)·6= 3.5可以看出，投骰子问题中，骰子点数的数学期望是3.5。
高中数学期望教案ppt怎么写
高中数学期望教案ppt怎么写第一部分：引言
1. 介绍本课程的主题和目标
2. 激发学生对数学的兴趣和热情
第二部分：预览
1. 给出本课程的大纲和重点内容
2. 引导学生明确学习目标和方向
第三部分：知识授课
1. 以图表、公式等形式展示重要知识点
2. 结合实际例子讲解相关概念和定理
3. 解释解题技巧和方法步骤
第四部分：案例分析
1. 给出一些典型例题并进行详细解析
2. 引导学生掌握解题步骤和考点
第五部分：练习与讨论
1. 设计一些练习题目供学生参与
2. 引导学生通过讨论、合作解答问题
第六部分：总结与展望
1. 总结本节课的重点内容和学习收获
2. 展望未来学习的方向和目标
第七部分：作业安排
1. 布置合适难度的作业，巩固学习内容
2. 确定作业截止时间和提交方式
第八部分：问题解答
1. 鼓励学生提问并解答疑惑
2. 针对学生提出的问题进行讲解
通过以上内容的设计，一份高中数学期望教案PPT范本就可以被完善地呈现出来，帮助学生更好地理解和掌握数学知识。
方法技巧专题22概率与离散型随机变量的分布列及期望
方法技巧专题22概率与离散型随机变量的分布列及期望概率与离散型随机变量的分布列及期望在概率论中，我们经常研究随机变量的分布及其特性。
离散型随机变量是指取有限个或可列个数值的随机变量，其取值只能是离散的。
离散型随机变量的分布列描述了每个可能取值的概率，并用数学公式表示。
首先，让我们来了解离散型随机变量的分布列。
设X是一个离散型随机变量，其可能的取值为x1，x2，x3，...，xn。
分布列通过P(X=xk)表示随机变量X取值为xk的概率。
其中，k为1到n的整数。
分布列满足以下条件：1. 非负性：P(X=xk) ≥ 0， k=1,2,3,...,n；2. 正则性：∑ P(X=xk) = 1， k=1到n。
以一个骰子的投掷为例，假设X表示投掷一次骰子的结果，其可能的取值为1，2，3，4，5，6、根据一次投掷的结果不同，我们可以得到分布列如下：X，1，2，3，4，5，6---------------------------------P(X=xk) ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6接下来，我们来计算离散型随机变量的期望。
期望是指随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于离散型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = ∑ (xk * P(X=xk))， k=1到n。
以上述骰子的例子为例，我们可以计算其期望。
根据分布列，我们可以得到：E(X)=(1*1/6)+(2*1/6)+(3*1/6)+(4*1/6)+(5*1/6)+(6*1/6)=3.5因此，该骰子的期望为3.5在计算期望时，我们可以利用期望的线性性质。
假设X和Y为两个离散型随机变量，常数a和b为两个实数。
则有以下公式成立：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这个公式表明，计算两个离散型随机变量线性组合的期望时，可以将系数分别乘以各自的期望后相加。
除了期望之外，离散型随机变量还有其他重要的特性指标，例如方差和标准差。
方差衡量了随机变量离其期望值的偏离程度，标准差是方差的平方根。
高中数学2.1.2离散型随机变量的分布列教案（优秀经典公开课教案）
⾼中数学2.1.2离散型随机变量的分布列教案（优秀经典公开课教案）§2．1．2离散型随机变量的分布列教学⽬标：知识与技能：会求出某些简单的离散型随机变量的概率分布。
过程与⽅法：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
情感、态度与价值观：认识概率分布对于刻画随机现象的重要性。
教学重点：离散型随机变量的分布列的概念教学难点：求简单的离散型随机变量的分布列授课类型：新授课课时安排：2课时教学过程：⼀、复习引⼊：1.随机变量：如果随机试验的结果可以⽤⼀个变量来表⽰，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常⽤希腊字母ξ、η等表⽰2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按⼀定次序⼀⼀列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量 3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某⼀区间内的⼀切值，这样的变量就叫做连续型随机变量 4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是⽤变量表⽰随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按⼀定次序⼀⼀列出，⽽连续性随机变若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量并且不改变其属性（离散型、连续型）请同学们阅读课本P 5-6的内容，说明什么是随机变量的分布列？⼆、讲解新课：1. 分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…，ξ取每⼀个值x i （i =1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表2. 分布列的两个性质：任何随机事件发⽣的概率都满⾜:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下⾯两个性质：⑴P i ≥0，i ＝1，2，...；⑵P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某⼀范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ3.两点分布列:例1、在掷⼀枚图钉的随机试验中，令1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X 的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上⾯这样的分布列称为两点分布列．两点分布列的应⽤⾮常⼴泛．如抽取的彩券是否中奖；买回的⼀件产品是否为正品；新⽣婴⼉的性别；投篮是否命中等，都可以⽤两点分布列来研究．如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布 ( two ⼀point distribution)，⽽称p =P (X = 1）为成功概率．两点分布⼜称0⼀1分布．由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利（ Bernoulli ) 试验，所以还称这种分布为伯努利分布．()q P ==0ξ， ()p P ==1ξ，10<4. 超⼏何分布列：例 2．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求：(1)取到的次品数X 的分布列；（2）⾄少取到1件次品的概率．解： (1)由于从 100 件产品中任取3 件的结果数为310C ，从100 件产品中任取3件，其中恰有k 件次品的结果数为3595kkC C -，那么从 100 件产品中任取 3 件，其中恰有 k 件次品的概率为35953100(),0,1,2,3k kC C P X k k C -===。
期望计算的教学设计方案
一、教学目标1. 知识与技能目标：- 学生能够理解期望的定义及其在概率论中的应用。
- 学生能够掌握期望的计算方法，包括离散型随机变量和连续型随机变量的期望计算。
- 学生能够运用期望解决实际问题。
2. 过程与方法目标：- 通过实例分析和讨论，培养学生分析问题和解决问题的能力。
- 通过小组合作，提高学生的合作能力和团队精神。
3. 情感态度与价值观目标：- 培养学生对概率论的兴趣和探索精神。
- 增强学生的数学应用意识，认识到数学在生活中的重要性。
二、教学内容1. 期望的定义2. 离散型随机变量的期望计算3. 连续型随机变量的期望计算4. 期望的性质及应用三、教学过程（一）导入新课1. 展示生活中的概率问题，如彩票中奖概率、股市投资回报率等，引发学生对概率论的兴趣。
2. 引出期望的概念，解释其意义。
（二）新课讲授1. 期望的定义：- 通过实例解释期望的概念，如掷骰子得到某个数的期望值。
- 介绍期望的数学定义。
2. 离散型随机变量的期望计算：- 介绍离散型随机变量的分布列。
- 讲解期望的计算公式，并通过实例进行演示。
3. 连续型随机变量的期望计算：- 介绍连续型随机变量的概率密度函数。
- 讲解期望的计算公式，并通过实例进行演示。
4. 期望的性质及应用：- 讲解期望的性质，如线性性质、期望的线性组合等。
- 通过实例分析，展示期望在生活中的应用。
（三）巩固练习1. 学生独立完成课后习题，巩固所学知识。
2. 教师巡视指导，解答学生疑问。
（四）课堂小结1. 回顾本节课所学内容，强调重点和难点。
2. 鼓励学生提出问题，进行课堂讨论。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生的参与度、合作能力、表达能力等。
2. 作业完成情况：检查学生的课后作业，评估其对知识的掌握程度。
3. 考试评价：通过单元测试或期中考试，全面评估学生对期望计算的理解和应用能力。
五、教学反思1. 教师根据学生的反馈，调整教学方法和进度。
2. 分析教学效果，总结经验教训，不断提高教学质量。
高考数学复习 排列、组合和概率-随机变量的分布列、期望和方差名师精品教案
第90课时：第十章排列、组合和概率——随机变量的分布列、期望和方差课题：随机变量的分布列、期望和方差教学目的：1．通过本课的教学，对本单元知识内容进行梳理，加深有关概念的理解，在综合运用知识能力上提高一步。
2．通过对几道例题的讲解、讨论和进一步的练习，提高学生灵活运用本单元知识解决问题的能力。
教学重点、难点：对于离散型随机变量，我们关心的是它会取哪些值、取这些值的概率、取值的平均值、稳定性等．这部分内容的实用性较强，教学过程中，要重点引导学生分析、解决一些实际问题，提高学生综合运用知识解决实际问题的能力．教学过程：12提出随机变量ξ的分布列的概念，总结任一离散型随机变量的分布列具有的两个简单性质在分析和研究上述例子的基础上，概括出：一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为1, 2, …，i,…,为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的分布列。
离散型随机变量的分布列的两个简单性质：1 P i≥0，I=1，2，…；2 P1 P2 (1)3．讲参考例题例1 一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球的一半，现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得-1分，试写出从该盒中随机取出一球所得分数ξ的分布列。
解：设黄球的个数为n ，依题意知道绿球个数为2n ，红球个数为4n ，盒中球的总数为7n 。
71n 7n )0(P ,72n 7n 2)1(P ,74n 7n 4)1(P ===ξ==-=ξ===ξ∴例 2 一个类似于细胞分裂的物体，一次分裂为二，两次分裂为四，如此继续分裂有限多次，而随机终止。
设分裂n 次终止的概率是）（⋯=,3,2,1n 21n 。
记ξ为原物体在分裂终止后所生成的子块数目。
求P ξ≤10。
所以 P ξ≤10= P ξ=2 P ξ=4 P ξ=8 =248=8例32000年高考题某厂生产电子元件，其产品的次品率为5％。
现从一批产品中任意的连续取出2件，写出其中次品数ξ的概率分布。
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分布列和数学期望教
师版
分布列和数学期望教师版 随机变量的分布列和期望
高考考纲透析：
等可能性的事件的概率,互斥事件有一个发生的概率,相互独立事件同时发生的概率,独立重复试验、离散型随机变量的分布列、期望和方差
高考风向标：
离散型随机变量的分布列、期望和方差
热点题型1 n 次独立重复试验的分布列和期望 [样题1] (2005年高考·全国卷II ·理19)
甲、乙两队进行一场排球比赛.根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6.本场比赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束.设各局比赛互间没有影响.令ξ为本场比赛的局数,求ξ的概率分布和数学期望.（精确到0.0001）
本题考查离散型随机变量分布和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题的能力。
解：单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，乙队胜甲队的概率为1－0.6＝0.4
比赛3局结束有两种情况：甲队胜3局或乙队胜3局，因而P （ξ＝3）＝330.60.40.28+= 比赛4局结束有两种情况：前3局中甲队胜2局，第4局甲队胜；或前3局中乙队胜2局，第4局乙队胜。
因而
P （ξ＝4）＝2230.60.40.6C ⨯⨯⨯＋2230.40.60.40.3744C ⨯⨯⨯=
比赛5局结束有两种情况：前4局中甲队胜2局、乙队胜2局，第5局甲胜或乙胜。
因而
P （ξ＝5）＝2224
0.60.40.6C ⨯⨯⨯＋22240.40.60.40.3456C ⨯⨯⨯= 所以ξ的概率分布为
ξ的期望E ξ＝3×P （ξ＝3）＋4×P （ξ＝4）＋5×P （ξ＝5）＝4.0656
变式新题型1.(2005年高考·浙江卷·理19)袋子A 中装有若干个均匀的红球和白球，从A 中摸出一个红
球的概率是3
1
．
(Ⅰ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，共摸5次，求恰好有3次摸到红球的概率．
(Ⅱ) 从A 中有放回地摸球，每次摸出一个，有3次摸到红球即停止．
(i) 求恰好摸5次停止的概率；
(ii )记5次之内(含5次)摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ．
解：(Ⅰ) 33
35
12140
333243
C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
(Ⅱ)（i ）22
24121833381C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ (ii)随机变量ξ的取值为0，1，2，3，；
由n 次独立重复试验概率公式()()
1n k
k k
n n P k C p p -=-，得
()5
0513*******P C ξ⎛⎫
==⨯-=
⎪⎝⎭； ()4
15
1180
1133243
P C ξ⎛⎫==⨯⨯-=
⎪⎝⎭ ()23
2511802133243P C ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
()3
2
3
5
11173133243
P C ξ⎛⎫⎛⎫
==⨯⨯-=
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（或()328021731243243P ξ+⨯==-=） 随机变量ξ的分布列是
ξ的数学期望是
32808017131012324324324324381
E ξ=
⨯+⨯+⨯+⨯= 热点题型2 随机变量ξ的取值范围及分布列
[样题2]在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖，某顾客从此10张券中任抽2张，求： （Ⅰ）该顾客中奖的概率；
（Ⅱ）该顾客获得的奖品总价值ξ（元）的概率分布列和期望ξE . 解法一：
（Ⅰ）32
45151210
26=-=-=C C I P ，即该顾客中奖的概率为32.
（Ⅱ）ξ的所有可能值为：0，10，20，50，60（元）.
.151
)60(,152
)50(,151)20(,52
)10(,31)0(2
10
1
3112
101
611210232
101
61321026===============C C C P C C C P C C P C C C P C C P ξξξξξ且
故ξ有分布列：
从而期望.1615
1
6015250151205210310=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE
解法二：
（Ⅰ）,32
4530)(2
10
2
41614==+=C C C C P （Ⅱ）ξ的分布列求法同解法一
由于10张券总价值为80元，即每张的平均奖品价值为8元，从而抽2张的平均奖品价值ξE =2×8=16（元）.
变式新题型2.假设一种机器在一个工作日内发生故障的概率为0，若一周5个工作日内无故
障，可获利润10万元；仅有一个工作日发生故障可获利润5万元；仅有两个工作日发生故障不获利也不亏损；有三个或三个以上工作日发生故障就要亏损2万元 求：
（Ⅰ）一周5个工作日内恰有两个工作日发生故障的概率（保留两位有效数字）； （Ⅱ）一周5个工作日内利润的期望（保留两位有效数字）
解：以ξ表示一周5个工作日内机器发生故障的天数，则ξ~B （5， 2）
).5,4,3,2,1,0(8.02.0)(55=⨯⨯==-k C k P k k k ξ （Ⅰ）.21.08.02.0)2(3225≈⨯⨯==C P ξ
（Ⅱ）以η表示利润，则η的所有可能取值为10，5，0，－2 .328.08.0)0()10(5≈====ξηP P
.410.08.02.0)1()5(411
5
≈⨯⨯====C P P ξη .205.08.02.0)2()0(3225≈⨯⨯====C P P ξη
)3()2(≥=-=ξηP P η∴的概率分布为
∴利润的期望=10×0 328+5×0×0 205－2×0 057≈5 2（万元）
[样题3] (2005年高考·江西卷·理19)
A 、
B 两位同学各有五张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面朝上时A 赢得B 一张卡片，否则B 赢得A 一张卡片.规定掷硬币的次数达9次时，或在此前某人已赢得所有卡片时游戏终止.设ξ表示游戏终止时掷硬币的次数.
（1）求ξ的取值范围； （2）求ξ的数学期望E ξ.
解：（1）设正面出现的次数为m ，反面出现的次数为n ，则⎪⎩
⎪
⎨⎧≤≤=+=-915
||ξξn m n m ，可得：
.
9,7,5:;9,7,22,7;7,6,11,6;5,5,00,5的所有可能取值为所以时或当时或当时或当ξξξξ===============n m n m n m n m n m n m
（2）;645)21(2)7(;161322)21(2)5(7
155=====⨯==C P P ξξ
.
32275
6455964571615;64
556451611)9(=⨯+⨯+⨯==--
==ξξE P
变式新题型3.某射手进行射击练习，每射击5发子弹算一组，一旦命中就停止射击，并进行下
一组练习，否则一直打完5发子弹后才能进入下一组练习．若该射手在某组练习中射击命中一次，并且他射击一次命中率为0．8，（1）求在这一组练习中耗用子弹ξ的分布列．（2）求在完成连续两组练习后，恰好共耗用了4发子弹的概率。
分析：该组练习耗用的子弹数ξ为随机变量，ξ可取值为1，2，3，4，5ξ＝1，表示第一发击中(练习停止)，故P (ξ＝1)＝0．8
ξ＝2，表示第一发未中，第二发命中，故P(ξ＝2)＝(1－0．8)×0．8＝0．16ξ＝3，表示第一、二发未中，第三发命中，故P(ξ＝3)＝(1－0．8)2×0．8＝0．032以下类推
解：（1）ξ的分布列为
ξ 1 2 3 4 5
P0．8 0．16 0．032 0．006
4
0．001
6
补充备例：有n把看上去样子相同的钥匙，其中只有一把能把大门上的锁打开．用它们去试开门上的锁．设抽取钥匙是相互独立且等可能的．每把钥匙试开后不能放回．求试开次数
的数学期望和方差．
分析：求时，由题知前
次没打开，恰第k次打开．不过，一般我们应从简单的地方入手，如，发现规律后，推广到一般．
解：的可能取值为1，2，3，…，n．
；所以的分布列为：
；
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说明：复杂问题的简化处理，即从个数较小的看起，找出规律所在，进而推广到一般，方差的公式正确使用后，涉及一个数列求和问题，合理拆项，转化成熟悉的公式，是解决的关键．
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