函数奇偶性的案例分析
函数单调性与奇偶性典型例题讲解
∴原不等式的解集为{x|－3＜x＜1 }．
变式：定义在 R 上的函数 y＝f(x)，f(0)≠0，当 x>0 时，f(x)>1， 且对任意的 a，b∈R，有 f(a＋b)＝f(a)·f(b)．
(1)证明：f(0)＝1； (2)证明：对任意的 x∈R，恒有 f(x)>0； (3)证明：f(x)是 R 上的增函数； (4)若 f(x)·f(2x－x2)>1，求 x 的取值范围．
设奇函数 f(x)的定义域为[－5,5]．若当 x∈[0，5]时，f(x) 的图象如图 2－2－5 所示，则不等式 f(x)＜0 的解集是 ________．
图 2－2－5
解：注意到奇函数的图象关于原点成中心对称，用对称的思 想方法画全函数 f(x)在[－5，5]上的图象(如图)，数形结 合，得 f(x)＜0 的解集为{x|－2＜x＜0 或 2＜x≤5}．
变式：已知 f(x)是(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当 x ＞0 时，f(x)＝x3＋x＋1，求 f(x)的解析式．
解：①当 x＜0 时，－x＞0，
∴f(－x)＝(－x)3－x＋1＝－x3－x＋1．
又∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)．
∴f(x)＝－x3－x＋1.
∴f(x)＝x－3＋x3x－＋x1＋，1，
已知 f(x)是定义在 R 上的不恒为 0 的函数，且对于任意的 x， y∈R，有 f(x·y)＝xf(y)＋yf(x)． (1)求 f(0)，f(1)的值； (2)判断函数 f(x)的奇偶性，并证明你的结论．
解：(1)在 f(xy)＝xf(y)＋yf(x)中， 令 x＝y＝0，得 f(0)＝0＋0＝0，即 f(0)＝0. 令 x＝y＝1，得 f(1)＝1·f(1)＋1·f(1)， ∴f(1)＝0；
利用函数的奇偶性解不等式和证明不等式
利用函数的奇偶性解不等式和证明不等式函数的奇偶性是函数的重要性质之一。
高中课本在研究函数的奇偶性时，主要研究判断函数奇偶性的方法及奇偶函数的性质，而对函数奇偶性的应用谈得很少。
事实上，研究函数奇偶性的应用，不仅能加深对函数知识的理解，而且更重要的是培养运用数学知识解决问题的能力，培养学生的思维广阔性。
下面我们就以二例来说明如何利用函数的奇偶性来解不等式或证明不等式.1. 利用函数的奇偶性解不等式例1，解不等式05110)1(833>+++++x x x x 。
解：原不等式变形为)5()12(5)12(33x x x x +->+++。
令x x x f 5)(3+=,则)()12(x f x f ->+。
注意到)(x f 是奇函数且单调递增，故 )()()12(x f x f x f -=->+。
所以x x ->+12，解得1->x 。
2.利用函数的奇偶性证明不等式例2，求证221x x x <- )0(≠x . 证明：设221)(x x x f x --= )0(≠x ，易证)(x f 是偶函数。
当0>x 时，021<-x ，从而0)(<x f ；当0<x 时，0>-x ，由于)(x f 是偶函数，则0)()(<-=x f x f ．故当0≠x 时，恒有0)(<x f ，即221x x x <-. 以上分析表明，函数奇偶性的应用是多方面的。
利用函数奇偶性解题，方法灵活新颖、简捷巧妙，可充分拓展学生头脑中的知识，使其所学到的知识和方法得到广泛的应用，从而开阔了思维，提高了解题能力、应用能力。
案例：函数的奇偶性
案例：函数的奇偶性1说明本文可以认为是师范生教育实习的一个成果汇报，也可以认为是信息技术与数学内容整合的一个有益尝试．教案所使用的教材版本见人民教育出版社B版高中数学（必修一）第二章第一节第四小节，教学环境是多媒体教室．整个教学过程分为四个阶段：创设情境，提出课题；任务驱动，操作探究；合作交流，归纳发现；应用巩固，深化提高．（一）创设情境，提出课题教师：同学们，上一节课我们学习了函数的单调性，大家还记得我们是用什么方式来研究的吗？学生（众）：数形结合？教师：对，我们“利用函数的图像来理解函数的性质”，是先从图像看出“随着自变量的增大函数值随之增大或减小”，然后用函数的解析式（从数的角度）表示为“当210x x x∆=->时，有()()210y f x f x∆=->（增函数）或()() 210y f x f x∆=-<（减函数）”．这一节课我们继续学习函数的更多性质，首先，请大家观察一下站在你们面前的老师具有怎样的数学特征？（教师先做出立正姿势，然后两手平伸，微笑状）学生1：男的？教师：不错，是男老师，但性别不属于数学特征，数学是从空间形式和数量关系上来看事物的，请再从数学上看看老师有什么样的特征？学生2：身高1米76．教师：这个说法有“数感”，估算眼力也不错．学生3：是个轴对称图形．教师：说得很好，把老师画下来是个“轴对称图形”．老师的左耳与右耳是1该案例获教育部第一届东芝杯中国师范大学师范专业理科大学生教学技能创新实践大赛第四名（主讲人：陕西师范大学数学与信息科学学院2005级高原同学；指导教师：罗增儒老师）。
对称的，左眼与右眼是对称的，左手与右手也是对称的，这是我们初中学过的图形对称图性知识．那么，大家还记得什么叫做轴对称图形？什么叫做中心对称图形吗？定义：沿着一条直线对折后的两部分能够完全重合的图形叫轴对称图形．绕某一点旋转180︒后的图形能和原图形完全重合的图形叫中心对称图形．教师：大自然的物质结构是用对称语言写成的，生活中的对称图案、对称符号丰富多彩，十分美丽．图1 大自然中的图形教师：这一章我们学习的是函数，函数的图像也是一种图形，当函数的图像也是轴对称或中心对称时，我们如何利用函数的解析式来刻画函数图像的几何特征呢？这就是本节课我们要共同探究的课题——函数的奇偶性．（板书§2．1．4函数的奇偶性）（二）任务驱动，操作探究教师：同学们，大家一定已经发现了，在每个人的桌面上有一个大信封，信封里装的是什么呢？（引发好奇心）让我们打开来看看．（参见本案例后附录1）教师：哦，原来是一张《函数的奇偶性》数学试验单，试验单内有A类、B 类“任务函数”各一组，每类“任务函数”各有三个具体的函数，接下来我们要借助Microsoft Math软件完成三项任务（见试验单）：任务1：在同一坐标系上分别作出两类任务函数的图像,并在实验单对应项下方绘制出函数图像．任务2：利用Create Table（制表）功能，在每类函数中任取一个具体的函数，取定自变量范围为9-到9的10个点，填写对应的数据表．任务3：分析函数的图像和数据表，从对称性的角度找出共同的几何特征，再找出自变量x 和函数值y 之间的本质关系．下面大家就分小组，利用Microsoft Math 软件完成数学试验．（同学们小组合作，用Microsoft Math 软件完成三个实验任务，教师巡视各小组任务进展情况，对存在困难的小组给予适当的帮助，待全班都完成任务后，交流共享各小组的发现成果）（三）合作交流，归纳发现教师：大家都已完成了实验任务，下面我们进行交流，通过具体操作和图像观察，各个小组都有什么发现？哪个小组首先将自己的成果与大家共享交流？小组1：（通过计算机报告A 类函数的图像，屏幕5打出图2）我们小组通过观察发现：●A 类任务函数的定义域关于原点对称，图像关于y 轴对称．小组2：（通过计算机报告B 类函数的图像，屏幕6打出图3）我们小组通过观察发现：●B 类任务函数的定义域是关于原点对称的，图像是关于原点对称的．图2 A 类任务函数图像 图3 B 类任务函数图像教师：非常好！大家通过函数图像的观察发现了：●A 类函数和B 类函数的定义域都是关于原点对称的；●A 类任务函数的图像是关于y 轴对称的，B 类任务函数的图像是关于原点对称的．我们知道，“关于y 轴对称”就是对应点111(,),(,)P x y P x y 的连线（线段）以y轴为垂直平分线，这时， 1,P P 的横坐标之间有什么关系？1,P P 的纵坐标之间有什么关系？小组3：（通过计算机报告A 类函数中()2f x x =-的图像及其数据表，屏幕7打出图4）我们小组通过图像和数据表的观察发现：●对应点1,P P 的横坐标成相反数时纵坐标相等．或者说●A 类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值相等．图4 函数2y x =-的图像及其数据表教师：对，（屏幕7继续打出）●关于y 轴对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标相等；或自变量互为相反数时函数值相等．那么，这个数值特征怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生4：1x x =-时1y y =． ① 教师：对，这是轴对称的一个数值表示． 同样，“关于原点对称”就是对应点111(,),(,)Q x y Q x y 的连线（线段）以原点为中点，这时1,Q Q 的横坐标之间有什么关系？1,Q Q 的纵坐标之间有什么关系？小组4：（通过计算机报告B 类函数中()2f x x =-的图像及其数据表，屏幕8打出图6）我们小组通过图像和数据表的观察发现：●对应点1,Q Q 的横坐标成相反数时纵坐标也成相反数．或者说B 类任务函数的自变量互为相反数时，其函数值也互为相反数．图5 函数2y x =-的图像及其数据表教师：对，（屏幕8继续打出）●关于原点对称的数值特征：横坐标成相反数时纵坐标也成相反数． 或自变量互为相反数时函数值也互为相反数．那么，怎样用纵横坐标的字母表示出来呢？学生5：1x x =-时1y y =-． ② 教师：现在我们已经从函数图像的图形特征得出了函数图像的数值特征，下面，我们分别验证A 类任务函数中的()2f x x =-和B 类任务函数中的()2f x x =-，看看如何用函数的表达式来刻画“自变量互为相反数时，其函数值相等或互为相反数”．学生6：我通过验证A 类任务函数()2f x x =-，有()22()f x x x x f -=--=-=，确实是自变量互为相反数时，函数值相等．（学生叙述，教师板书）教师：就是说A 类任务函数满足()()f x f x -=，这正是用函数解析式表达的本质特征．学生7：我通过验证B 类任务函数()2f x x =-，有()2()2()f x x x f x -=--==-，确实是自变量互为相反数时，函数值也互为相反数．（学生叙述，教师板书），教师：这样一来，就把上面的①式“1x x =-时1y y =”改写为()()f x f x -=， ③把②式“1x x =-时1y y =-”改写为()()f x f x -=-． ④同学们，我们的上述活动实际上已经完成了这样的数形对应（屏幕9打出对照表）：形的特征数的特征 图像横坐标成相反数函数自变量成相反数 图像纵坐标相等（成相反数）函数值相等（成相反数） 横坐标成相反数时纵坐标相等（成相反数）1x x =-时1y y = （1x x =-时1y y =-） 图像性质：关于y 轴对称（关于原点对称） 函数性质： ()()f x f x -=（()()f x f x -=-）教师：同学们，如果称A 类这样的函数为偶函数，称B 类这样的函数为奇函数，你们能给偶函数和奇函数下个定义吗？ （学生通过独立思考和合作交流，得出定义． 屏幕10打出偶函数和奇函数的定义）定义 1 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈且()()f x x f -=，则这个函数叫偶函数．定义 2 设函数()y f x =的定义域为D ，如果对D 内的任意一个x ，都有x D -∈且()()f x x f -=-，则这个函数叫奇函数．教师：对于偶函数的定义需要强调三点（屏幕11打出三点解释）：一是对“任意一个x ”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有x D -∈”，即()f x -是存在的；三是“()()f x x f -=”，这是偶函数的本质属性，是它的标志．同学们，对于奇函数的定义你们认为需要强调什么呢？（同样，同学们得出奇函数的定义需要强调的三点认识，屏幕12打出）：一是对“任意一个x ”都成立，是整体性质而非局部性质；二是“都有x D -∈”，即()f x -是存在的；三是“()()f x x f -=-”，这也是奇函数的本质属性，是它的标志.教师：记忆这个定义，可借助函数()n f x x =（n 为正整数），当n 为奇数时，()n f x x =为奇函数；当n 为偶数时，()n f x x =为偶函数．（四）应用巩固，深化提高教师：下面我们利用奇函数和偶函数的定义来做练习．（屏幕13打出题目） 例1 用定义来判断下列函数的奇偶性．（1）2()1f x x =--（见A 类函数）； （2）3()f x x =（见B 类函数）；（3）()21f x x =-+； （4）()f x a =．教师：首先，我们一起来分析第（1）题．（屏幕14打出分析）分析：第1步，先看2()1f x x =--的定义域，易知定义域为R ，是关于原点对称的；第2步，计算()f x -，看()f x -与()f x 之间的关系，通过计算，有22()()11()f x x x f x -=---=--=，第3步，下结论：2()1f x x =--是偶函数．具体的解题过程如下．（屏幕14继续打出）解：函数2()1f x x =--的定义域为R ，当x R ∈时x R -∈，因为22()()11()f x x x f x -=---=--=，所以2()1f x x =--是偶函数．下面请同学们继续做第（2）、（3）、（4）题．学生8：（通过计算机报告第（2）题的解法，由屏幕15打出）教师：很好，判断正确，书写规范.我们再来看看第（3）题．学生9：（通过计算机报告第（3）题的解法，由屏幕16打出）教师：这个解法的两个判断都正确，但是还没有给出结论．到底这是个什么函数呢？像这样的既不满足奇函数定义也不满足偶函数定义的函数，我们就叫它非奇非偶函数吧．下面提个问题，函数()21f x x =-+既不是奇函数也不是偶函数，那么，它的图像是不是“既非轴对称图形又非中心对称图形”？学生10 ：应该是吧．教师：理由呢？学生10：不是偶函数就不会关于y 轴对称，不是奇函数就不会关于原点中心对称，所以是“既非轴对称图形又非中心对称图形”．教师：不以y 轴对称有没有可能以别的直线为轴对称？不以原点对称有没有可能以别的点为中心对称？学生10：（恍然大悟）哦，明白了．函数()21f x x =-+虽然既不是奇函数也不是偶函数，但它的图像是一条直线，既是轴对称图形又是中心对称图形．教师：这是一个有趣的发现．因为直线的任意一条垂线都是它的对称轴，直线的任一点都是它的对称中心，所以“非奇非偶函数”()21f x x =-+的图像，“既是轴对称图形又是中心对称图形”．再看第（4）小题．学生11：（通过计算机报告第（4）题的解法，由屏幕17打出）教师：解法出来了，对任意的实数a ，()f x a =均为偶函数的判断过程有疑问吗？学生（齐）：没有．教师:那么0a =呢？学生12：()0()f x f x -==，满足偶函数的定义．学生13：我觉得当0a =时,()0()f x f x -==-也成立，还满足奇函数的定义．老师，这样的函数叫啥？教师: 当0a =时, ()f x 既满足奇函数的定义又满足偶函数的定义，我们就把这样的函数叫做既奇且偶函数．这道题的完整求解可分0a ≠与0a =两种情况来讨论:当0a ≠时()f x a =为偶函数；当0a =时()0f x =为既奇且偶函数．那么，以函数的奇偶性为标准我们可以对函数作怎样的分类？学生（齐）：分四类．教师:哪四类？学生14：是奇函数而非偶函数；是偶函数而非奇函数；既奇且偶函数；非奇非偶函数．教师：非常好！下面，根据做例1的过程，我们再来总结一下判断函数奇偶性的方法．第一步看什么？学生（齐）：看定义域是否关于原点对称．教师：对，如果定义域关于原点不对称，就不是奇函数也不是偶函数.那怎么确定“定义域关于原点不对称”呢？学生15：只要定义域上有一个取值0x 使0()f x -不存在，则定义域就关于原点不对称.教师：很好，只要定义域上有一个取值0x 使0()f x -不存在，则()f x 就既不是奇函数也不是偶函数．第二步呢？学生（齐）：计算()f x -，看是否满足()()f x x f -=或者()()f x x f -=-． 教师：对，这一步的实质是验证一个恒等式，只要有定义域的一个取值0x 使00()()f x x f -≠（或00()()f x x f -≠-），则()f x 就不是偶（奇）函数．根据恒等式证明的经验，请进一步思考你们能对这一步发表些什么看法呢？学生16：证明()()f x x f -=可以转为证()()0f x x f --=；证明()()f x x f -=-可以转为证()()0f x x f -+=．学生17：当()0f x ≠时，证明()()f x x f -=还可以转为证()1()f x x f -=；而证明()()f x x f -=-又可以转为证()1()f x x f -=-．教师：这又是一些小小的发现，很好.第三步呢？学生（齐）：下结论，判断为上述说的4类函数之一．教师：总结得不错，下面看第2个练习（屏幕18打出题目）例2 选择题（1）给出4个命题：①如果一个图形是轴对称图形，那么这个图形一定是某个偶函数的图像； ②如果一个函数的图像是轴对称图形，那么这个函数一定是偶函数； ③奇、偶函数的定义域必定关于原点对称；④如果奇函数()f x 在原点有定义，那么()00f =；其中为真命题的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4（（2）函数xx x x f +--=24)(2的奇偶性为（ ）． （A ）是奇函数而不是偶函数 （B ）是偶函数而不是奇函数 （C ）既是奇函数又是偶函数 （D ）既不是奇函数也不是偶函数 教师：看第（1）小题，大家先判断四个命题的真假．学生18：命题①是假命题，比如圆是轴对称图形，但不是函数的图像． 教师：因为存在这样的x ，有两个y 与之对应，不满足函数的定义，是吗？ 学生18：是的．教师：很好，谁来判断命题②？学生19：命题②是假命题，比如函数()()21f x x =-的图像是轴对称图形，但这个函数不是偶函数．学生20：，例1中的函数()21f x x =-+也是一个反例．教师：只要把一个偶函数的图像左右平移一下就可以得到反例．继续说命题③．学生21：命题③是真命题，若不然，就存在一个0x D ∈，使0x D -∉，既然0()f x -都不存在，更谈不上00()()f x f x -=或00()()f x f x -=-．教师：对，比如函数3()f x x =在R 上为奇函数，但在[1,1)-上就成了非奇非偶函数了（因为1x =时()f x -没有定义）．“奇、偶函数的定义域必定关于原点对称”可以成为判断函数奇偶性的一个必要条件．继续说命题④.学生22：命题④是真命题，由奇函数的定义，令0x =有(0)(0)f f -=-，移项得(0)0f =．教师：“如果奇函数()f x 在原点有定义，那么()00f =”可以成为奇偶性的一个必要条件．现在四个命题都判断清楚了，下来应该选什么？学生（齐）：选（B ）．教师：回答得很好．再看第（2）小题．学生23：（学生口述，教师板书）因为 ()()2244()22x x f x f x x x x x----=≠=--+-+， ⑤ ()()2244()22x x f x f x x x x x----=≠-=---+-+， ⑥ 所以()f x 既不是奇函数也不是偶函数，选（D ）．教师：你是说对定义域内的每一个x ，不等式⑤、⑥都成立？学生23：不，我的⑤、⑥式是说恒等式()()f x f x -=，()()f x f x -=-都不成立．教师：既然是否定恒等式，那有定义域内的一个值就够了．大家把0x =代入看看．学生23：有(0)1(0),(0)(0)f f f f -==-≠-．可见，()()f x f x -=-肯定不是恒等式，至于⑤式我想取别的值会使左右两边不相等的．教师：好，我们一块来找使③式左右两边不相等的x 值？（学生验证了3(1)(1),(2)0(2)2f f f f -==-==，终于有学生省悟） 学生24：根据例1的总结，判断函数的奇偶性应该先求定义域，并看它是否关于原点对称．教师：继续说，函数的定义域是什么？学生24：由被开方式非负知，函数的定义域为24022x x -≥⇔-≤≤，是关于原点对称的．教师：很好，在这个前提下，函数的表达式能否化简？学生24：可以，在定义域内有20x -≤，函数表达式的分母为()222x x x x -+=-+=，得 2244()22x x f x x x --==-+． 教师：这就思路清晰了，我们请学生23再作一次判断．学生23：函数的定义域为24022x x -≥⇔-≤≤，得20x -≤，则函数表达式可化简为 ()222444()222x x x f x x x x x ---===-+-+． 有 ()2244()()22x x f x f x ----===， 得()f x 是偶函数． 又(0)0f ≠，不满足奇函数的必要条件，所以()f x 是偶函数而不是奇函数．选（B ）．教师：非常完满．最后，让我们来总结一下：今天学习了什么？经历了什么？感悟到了什么？同学们七嘴八舌，谈到：●学习了奇函数和偶函数的概念.●学习了用定义判断函数奇偶性的方法.●知道了奇函数的图像关于原点对称，但不知道图像关于原点对称的函数为什么叫做奇函数.●知道了偶函数的图像关于y 轴对称；但不知道图像关于y 轴对称的函数为什么叫做偶函数.●经历了从初中“图形对称性”到高中“函数奇偶性”的提炼过程.●经历了从几个具体函数提炼函数本质属性的过程.●经历了小组讨论和课堂交流.●感悟到判断函数奇偶性的关键是证明恒等式.●感悟到了数学思想方法，如函数思想、数形结合思想等.●感悟到了数学的对称美．……教师：时间关系先谈到这里．今天的作业有3个，作业1是课本53页练习A 第1题，作业2是课本54页练习B第2题（选做题），作业3是完成实验单上的几个问题（参见附录1：《函数的奇偶性》数学实验单）：●通过本节课，你收获了什么？●通过本节课，你发现了什么？●在本节课的学习中，你还有什么不明白的？●本节课后，你还想继续探究什么？让我们“带着问题走进课堂，带着思考走出课堂”．。
高中数学函数奇偶性知识点归纳考点分析配经典案例分析
函数奇偶性知识点归纳考点分析及经典案例分析函数的奇偶性定义：1．偶函数：一般地，对于函数的定义域内的任意一个，都有，那么就叫做偶函数．2．奇函数：一般地，对于函数的定义域的任意一个，都有，那么就叫做奇函数．二、函数的奇偶性的几个性质1、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；2、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个都必须成立；3、可逆性：是偶函数；奇函数；4、等价性：；；5、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于轴对称；6、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。
7、判断或证明函数是否具有奇偶性的根据是定义。
8、如果一个奇函数f(x)在x=0处有意义，则这个函数在x=0处的函数值一定为0。
并且关于原点对称。
三、关于奇偶函数的图像特征一般地：奇函数的图像关于原点对称，反过来，如果一个函数的图像关于原点对称，那么这个函数是奇函数；即：f(x)为奇函数<=>f(x)的图像关于原点对称 点（x,y ）→（-x,-y ） 偶函数的图像关于轴对称，反过来，如果一个函数的图像关于轴对称，那么这个函数是偶函数。
()f x x ()()f x f x -=()f x ()f x x ()()f x f x -=-()f x x )()(x f x f =-⇔)(x f )()(x f x f -=-⇔)(x f )()(x f x f =-⇔0)()(=--x f x f (||)()f x f x ⇔=)()(x f x f -=-⇔0)()(=+-x f x f y y y即： f(x)为偶函数<=>f(x)的图像关于Y 轴对称 点（x,y ）→（-x,y ） 奇函数对称区间上的单调性相同（例：奇函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上也是单调递增。
）偶函数对称区间上的单调性相反（例：偶函数在某一区间上单调递增，则在它的对称区间上单调递减）。
函数的奇偶性的应用题型归纳
函数的奇偶性的应用题型归纳一、 求函数值例1、已知函数5)(24+++=x cx ax x f ，若f （－3）＝－3，求f （3）的值。
分析：若将f （－3）＝－3展开，显然无法求出a ，c 的值，只能将81a ＋9c 视为整体 来求f （3），进一步观察函数结构，可构造函数解题。
解：设5)(24++=cx ax x g ，则g （x ）为偶函数，且g （x ）＝f （x ）－x ，因为)()()(),()(x x f x g x g x g ---=-=-，所以x x f x x f -=---)()()(，所以x x f x f 2)()(=--，所以6)3()3(=--f f ，又因为3)3(-=-f ，所以.3)3(=f二、 求函数解析式 例2、已知f （x ）是R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，求f （x ） 的解析式。
分析：要求f （x ）在R 上的解析式，条件已给出f （x ）在),0(+∞上的解析式，还需求当0≤x 时f （x ）对应的解析式。
解：方)0,(-∞∈x ，),0(+∞∈-x ，所以)1()1()(33x x x x x f --=-+-=-因为f （x ）是R 上的奇函数，所以)1()()(3x x x f x f -=--=，)0,(-∞∈x ，在)()(x f x f -=-中，令x ＝0，得f （0）＝0，所以⎪⎩⎪⎨⎧<-=>+=0),1(0,00),1()(33x x x x x x x x f 即⎪⎩⎪⎨⎧<-≥+=0),1(0),1()(33x x x x x x x f 点评：利用函数的奇偶性求解析式是常见题型，其步骤为：（1）设，即将自变量x 设在未知区间上；（2）化，即将x 转化到已知区间上；（3）求，即根据函数的奇偶性求出解析式。
另外，若奇函数f （x ）在原点处有定义，则f （0）＝0.三、 比较大小例3、已知f （x ）是偶函数，且在区间[0，1]上是单调增函数，比较)0(),1(),5.0(f f f -- 的大小。
函数奇偶性的知识点及例题解析
函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
谈高中函数中的奇偶性和对称性
谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。
下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。
2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。
2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。
综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。
专题17 函数奇偶性的应用(解析版)
专题17 函数奇偶性的应用题组4 函数奇偶性的应用1.已知一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，则a＋b等于（）A.－1B.1C.0D.2【答案】A【解析】因为一个奇函数的定义域为{－1,2，a，b}，根据奇函数的定义域关于原点对称，所以a与b有一个等于1，一个等于－2，所以a＋b＝1＋（－2）＝－1.故选A.2.已知函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），且f（x＋1）为偶函数，则实数a的值可以是（）A.2B.C.4D.6【答案】A【解析】因为函数f（x）的定义域为（3－2a，a＋1），所以在函数f（x＋1）中，3－2a<x＋1<a＋1，则函数f（x＋1）的定义域为（2－2a，a），又因为f（x＋1）为偶函数，所以2－2a＝－a，a＝2，故选A.3.已知函数f（x）＝（m－1）x2＋2mx＋3为偶函数，则f（x）在区间（2,5）上是（）A.增函数B.减函数C.有增有减D.增减性不确定【答案】B【解析】∵f（x）为偶函数，∴m＝0，∴f（x）＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，∴f（x）在（2,5）上是减函数.4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，a＋b的值是（）A.0B.C.1D.－1【答案】B【解析】∵函数f（x）＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，∴a－1＝－2a，b＝0，解得a＝，b＝0，∴a＋b＝，故选B.5.已知f（x）＝ax2＋bx＋1是定义在[3a－2,2a＋]上的偶函数，则5a＋3b等于（）A.B.C.0D.－【答案】A【解析】∵f（x）为偶函数，∴f（－x）＝f（x），即ax2＋bx＋1＝ax2－bx＋1，∴b＝0.又f（x）的定义域为[3a－2,2a＋]，∴3a－2＋2a＋＝0，∴a＝.故5a＋3b＝.6.若函数f（x）＝为奇函数，则a等于（）A.1B.2C.D.－【答案】A【解析】由题意得f（－x）＝－f（x），则＝＝－，则－4x2＋（2－2a）x＋a＝－4x2－（2－2a）x＋a，所以2－2a＝－（2－2a），所以a＝1.7.若函数f（x）＝ax2＋（a－2b）x＋a－1是定义在（－a,0）∪（0,2a－2）上的偶函数，则f等于（）A.1B.3C.D.【答案】B【解析】因为偶函数的定义域关于原点对称，则－a＋2a－2＝0，解得a＝2.又偶函数不含奇次项，所以a －2b＝0，即b＝1，所以f（x）＝2x2＋1.于是f＝f（1）＝3.8.函数f（x）＝x|x＋a|＋b满足f（－x）＝－f（x）的条件是（）A.ab＝0B.a＋b＝0C.a＝bD.a2＋b2＝0【答案】D【解析】由已知，得－x|－x＋a|＋b＝－x|x＋a|－b，∴a＝b＝0，即a2＋b2＝0.9.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）＋g（1）＝2，f（1）＋g（－1）＝4，则g（1）等于（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－1）＝－f（1）.又g（x）是偶函数，∴g（－1）＝g（1）.∵f（－1）＋g（1）＝2，∴g（1）－f（1）＝2.①又f（1）＋g（－1）＝4，∴f（1）＋g（1）＝4.②由①②，得g（1）＝3.10.已知f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f（x）－g（x）＝x3＋x2＋1，则f（1）＋g （1）等于（）A.－3B.－1C.1D.3【答案】C【解析】分别令x＝1和x＝－1可得f（1）－g（1）＝3和f（－1）－g（－1）＝1，因为函数f（x），g（x）分别是定义在R上的偶函数和奇函数，所以f（－1）＝f（1），g（－1）＝－g（1），即f（－1）－g（－1）＝1⇒f（1）＋g（1）＝1，则⇒⇒f（1）＋g（1）＝1，故选C.11.已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x都有xf（x＋1）＝（1＋x）f （x），则f的值是（）A.0B.C.1D.【答案】A【解析】因为xf（x＋1）＝（1＋x）f（x），令x＝，则f（）＝5×，令x＝，则f＝3×f，令x＝－，则f＝－f，又已知函数f（x）是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，所以f－f＝0，所以f＝f＝f＝0，又令x＝－1，f（0）＝0，所以f＝f（0）＝0.12.已知f（x）＝x5－ax3＋bx＋2，且f（5）＝17，则f（－5）的值为（）A.－13B.13C.－19D.19【答案】A【解析】设g（x）＝x5－ax3＋bx，则g（x）为奇函数.f（x）＝g（x）＋2，f（5）＝g（5）＋2＝17.∴g（5）＝15，故g（－5）＝－15.∴f（－5）＝g（－5）＋2＝－15＋2＝－13.13.设f（x）是奇函数，当x∈[0，＋∞）时，f（x）≤m（m<0），则f（x）的值域是（）A.[m，－m]B.（－∞，m]C.[－m，＋∞）D.（－∞，m]∪[－m，＋∞）【答案】D【解析】当x≥0时，f（x）≤m；当x≤0时，－x≥0，所以f（－x）≤m，因为f（x）是奇函数，所以f（－x）＝－f（x）≤m，即f（x）≥－m.14.若偶函数f（x）在区间[3,6]上是增函数且f（6）＝9，则它在区间[－6，－3]上（）A.最小值是9B.最小值是－9C.最大值是－9D.最大值是9【答案】D【解析】因为f（x）是偶函数且在区间[3,6]上是增函数，所以f（x）在区间[－6，－3]上是减函数.因此，f（x）在区间[－6，－3]上最大值为f（－6）＝f（6）＝9.15.若φ（x），g（x）都是奇函数，f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3在（0，＋∞）上有最大值10，则f（x）在（－∞，0）上有（）A.最小值－4B.最大值－4C.最小值－1D.最大值－3【答案】A【解析】由已知对任意x∈（0，＋∞），f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≤10.对任意x∈（－∞，0），则－x∈（0，＋∞）.又∵φ（x），g（x）都是奇函数，∴f（－x）＝aφ（－x）＋bg（－x）＋3≤10，即－aφ（x）－bg（x）＋3≤10，∴aφ（x）＋bg（x）≥－7，∴f（x）＝aφ（x）＋bg（x）＋3≥－7＋3＝－4.16.奇函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），则在（－∞，0）上f（x）的函数解析式是（）A.f（x）＝－x（1－x）B.f（x）＝x（1＋x）C.f（x）＝－x（1＋x）D.f（x）＝x（x－1）【答案】B【解析】设x<0，则－x>0，因为函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式是f（x）＝x（1－x），所以f（－x）＝－x（1＋x），又函数f（x）是奇函数，即f（－x）＝－f（x），则当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝x（1＋x）.故选B.17.若f（x）＝（m－1）x2＋6mx＋2是偶函数，则f（0），f（1），f（－2）从小到大的排列是________.【答案】f（－2）<f（1）<f（0）【解析】∵f（x）是偶函数，∴f（－x）＝f（x）恒成立，即（m－1）x2－6mx＋2＝（m－1）x2＋6mx＋2恒成立，∴m＝0，即f（x）＝－x2＋2.∵f（x）的图象开口向下，对称轴为y轴，在[0，＋∞）上单调递减，∴f（2）<f（1）<f（0），即f（－2）<f（1）<f（0）.18.设函数f（x）＝为奇函数，则实数a＝________.【答案】－1【解析】∵f（x）是奇函数，∴f（－x）＝－f（x），即＝－，∴2a＝－2，解得a＝－1.19.已知y＝f（x）＋x2是奇函数且f（1）＝1，若g（x）＝f（x）＋2，则g（－1）＝________.【答案】－1【解析】∵y＝f（x）＋x2是奇函数，∴f（－x）＋（－x）2＝－[f（x）＋x2]，∴f（x）＋f（－x）＋2x2＝0，∴f（1）＋f（－1）＋2＝0.∵f（1）＝1，∴f（－1）＝－3.∵g（x）＝f（x）＋2，∴g（－1）＝f（－1）＋2＝－3＋2＝－1.20.设f（x）是定义在R上的奇函数，f（1）＝2，且f（x＋1）＝f（x＋6），则f（10）＋f（4）＝________. 【答案】－2【解析】因为f（x＋1）＝f（x＋6），所以f（x）＝f（x＋5）.因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0，则f（10）＝f（5）＝f（0）＝0，f（4）＝f（－1）＝－f（1）＝－2.所以f（10）＋f（4）＝－2.21.已知f（x）在R上是奇函数，且满足f（x＋4）＝f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝2x2，则f（7）＝________. 【答案】－2【解析】f（7）＝f（3＋4）＝f（3）＝f（－1＋4）＝f（－1），∵f（x）为奇函数，∴f（－1）＝－f（1），∵1∈（0,2），∴f（1）＝2×12＝2，∴f（7）＝－f（1）＝－2.22.已知函数f（x）＝ax3＋bx＋4（a，b均不为零），且f（5）＝10，则f（－5）＝________.【答案】－2【解析】令g（x）＝ax3＋bx（a，b均不为零），易知g（x）为奇函数，从而g（5）＝－g（－5）.因为f（x）＝g（x）＋4，所以g（5）＝f（5）－4＝6，所以f（－5）＝g（－5）＋4＝－g（5）＋4＝－2.23.已知函数f（x）＝ax3－bx＋1，a，b∈R，若f（－1）＝－2，则f（1）＝__________.【答案】4【解析】∵f（x）＝ax3－bx＋1，∴f（－x）＝a（－x）3－b（－x）＋1＝－ax3＋bx＋1，得f（x）＋f（－x）＝（ax3－bx＋1）＋（－ax3＋bx＋1）＝2，令x＝1，得f（1）＋f（－1）＝2，∵f（－1）＝－2，∴f（1）＝2－f（－1）＝2＋2＝4.24.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数.当x<0时，f（x）＝x2－4，则x>0时，f（x）的解析式为________，不等式f（x）<0的解集为___________.【答案】f（x）＝－x2＋4（－2,0）∪（2，＋∞）【解析】当x>0时，－x<0，所以f（－x）＝（－x）2－4＝x2－4，因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（－x）＝x2－4＝－f（x），所以f（x）＝－x2＋4，即x>0时，f（x）＝－x2＋4.当x<0时，f（x）<0，即x2－4<0，解得－2<x<2，又因为x<0，所以－2<x<0；当x>0时，f（x）<0，即4－x2<0，解得x<－2或x>2，又因为x>0，所以x>2.综上可得f（x）<x的解集是（－2,0）∪（2，＋∞）.25.定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x，（1）试画出f（x），x∈[－3,5]的图象；（2）求f（37.5）；（3）常数a∈（0,1），y＝a与f（x），x∈[－3,5]的图象相交，求所有交点横坐标之和.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（x＋2）＝f（－x），∴f（x）关于直线x＝1对称.由f（x）在[0,1]上的图象反复关于（0,0），x＝1对称，可得f（x），x∈[－3,5]的图象如图.（2）由图可知f（x＋4）＝f（x），∴f（37.5）＝f（4×9＋1.5）＝f（1.5）＝f（0.5）＝.（3）由图可知，当a∈（0,1）时，y＝a与f（x），x∈[－3,5]有4个交点，设为x1，x2，x3，x4（x1<x2<x3<x4）. 由图可知＝－1，＝3.∴x1＋x2＋x3＋x4＝－2＋6＝4.26.已知函数f（x）＝，g（x）＝f（）.（1）在图中的坐标系中补全函数f（x）在其定义域内的图象，并说明你的作图依据；（2）求证：f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.【答案】（1）∵f（x）＝，∴f（x）的定义域为R.又对任意x∈R，都有f（－x）＝＝＝f（x），∴f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，其图象如图.（2）∵g（x）＝f（）＝＝（x≠0），∴f（x）＋g（x）＝＋＝＝1，即f（x）＋g（x）＝1（x≠0）.27.已知函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，且其定义域为[m－1,2m].（1）求m，n的值；（2）求函数f（x）在其定义域上的最大值.【答案】（1）∵函数f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n是偶函数，∴函数的定义域关于原点对称，又∵函数f（x）的定义域为[m－1,2m].∴m－1＋2m＝0，解得m＝，又由f（－x）＝mx2－nx＋3m＋n＝f（x）＝mx2＋nx＋3m＋n，可得n＝0.（2）由（1）得函数的解析式为f（x）＝x2＋1，定义域为[－，].其图象是开口向上，且以y轴为对称轴的抛物线，当x＝±时，f（x）取最大值.28.已知函数f（x）＝ax＋＋c（a，b，c是常数）是奇函数，且满足f（1）＝，f（2）＝. （1）求a，b，c的值；（2）试判断函数f（x）在区间上的单调性并证明.【答案】（1）∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x），∴－ax－＋c＝－ax－－c，∴c＝0，∴f（x）＝ax＋.又∵f（1）＝，f（2）＝，∴∴a＝2，b＝.综上，a＝2，b＝，c＝0.（2）由（1）可知f（x）＝2x＋.函数f（x）在区间上为减函数.证明如下：任取0<x1<x2<，则f（x1）－f（x2）＝2x1＋－2x2－＝（x1－x2）＝（x1－x2）∵0<x1<x2<，∴x1－x2<0,2x1x2>0,4x1x2－1<0.∴f（x1）－f（x2）>0，f（x1）>f（x2）.∴f（x）在上为减函数.29.已知函数f（x）＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5].（1）当a＝－1时，求函数f（x）的最大值和最小值；（2）求实数a的取值范围，使y＝f（x）在区间[－5,5]上是单调函数.【答案】（1）当a＝－1时，f（x）＝x2－2x＋2＝（x－1）2＋1.∵x∈[－5,5]，故当x＝1时，f（x）的最小值为1，当x＝－5时，f（x）的最大值为37.（2）函数f（x）＝（x＋a）2＋2－a2的图象的对称轴为x＝－a.∵f（x）在[－5,5]上是单调的，∴－a≤－5或－a≥5.即实数a的取值范围是a≤－5或a≥5.30.已知y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f（x）＝2x－x2，求y＝f（x）的解析式. 【答案】设x<0，则－x>0，因为f（x）是奇函数，所以当x<0时，f（x）＝－f（－x）＝－[2（－x）－（－x）2]＝2x＋x2.因为y＝f（x）是R上的奇函数，所以f（0）＝0.所以f（x）＝。
函数奇偶性的典型例题
函数奇偶性的典型例题[例1]设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1-x)，当-1≤x≤0时， f (x)=-21x ，则f (8.6) = _________.[解析]∵f(x)是定义在R 上的偶函数，∴x = 0是y =f(x)对称轴. 又∵f(1+x)=f(1-x)，∴x=1也是y=f(x)对称轴. 故y=f(x)是以2为周期的周期函数， ∴f(8.6)=f(8+0.6)=f(0.6)=f(-0.6)=0.3.[答案]0.3苏州进步网: szjjedu 整理[例2]定义在(-1，1)上的函数f(x)是奇函数，并且在(-1，1)上f(x)是减函数，求满足条件f(1-a)+f(1-a 2)＜0的a 取值范围.[解析]∵f(x)的定义域是(-1，1)，∴-1＜1-a ＜1①，-1＜1-a 2＜1 ②. 又∵f(x)是奇函数，∴-f(1-a 2)=f[-(1-a 2)]=f(a 2-1). 又∵f(1-a)+f(1-a 2)＜0，有f(1-a)＜-f(1-a 2)=f(a 2-1). ∵f(x)在(-1，1)是减函数，∴1-a ＞a 2-1③由①②③组成不等式组：221111110111a a a a a -<-<⎧⎪-<-<<<⎨⎪->-⎩得∴所求a 的范围为：0＜a ＜1. [答案]0＜a ＜1[例3]定义在区间(-∞，+∞)上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在[0，+∞)上的图象与f(x)的图象重合.设a ＞b ＞0，给出下列不等式，其中成立的是( )①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a)A.①④B.②③C.①③D.②④[解析]本题可采用三种解法：解法一：直接根据奇、偶函数的定义：由f(x)是奇函数得：f(-a)=-f(a)，f(-b)=-f(b)，g(a)=f(a)，g(b)=f(b)，g(-a)=g(a)，g(-b)=g(b)∴以上四个不等式分别可简化为①f(b)＞0；②f(b)＜0；③f(a)＞0；④f(a)＜0苏州进步网: szjjedu 整理又∵f(x)既是奇函数又是增函数，且a＞b＞0，故f(a)＞f(b)＞f(0)=0，从而以上不等式中①③成立.故选C.解法二：结合函数图象由如图(下图)，分析得：f(a)=g(a)=g(-a)=-f(-a)，f(b)=g(b)=g(-b)=-f(-b)，从而根据所给结论，得到①与③是正确的.故选C.解法三：利用间接法，即构造满足题意的两个模型函数：f(x)=x，g(x)=x，取特殊值a，b.如：a=2，b=1，可验证正确的是①与③，故选C.[答案]C[点拨](1)本题考查了函数的奇偶性和单调性等性质，还考查了图象的对称性和不等式，体现了高考突出重点知识的考查及在各知识网络交汇点上出题这一观点，函数的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映，也体现了在关于原点对称的定义域的两个区间上函数值及其性质的相互转化，这是对称思想的应用.[例4]设f(x)为定义在R 上的偶函数，当x≤-1时，y=f(x)的图象是经过点(-2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(-1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象.[解析](1)当x≤-1时，设f(x)=x+b ，则∵射线过点(-2，0)， ∴0=-2+b 即b=2.∴f(x)=x+2.(2)当-1<x<1时，设f(x)=ax 2+2. ∵抛物线过点(-1，1)， ∴1=a·(-1)2+2，即a=-1，∴f(x)=-x 2+2. (3)当x≥1时，f(x)=-x+2.综上可知：f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧≥+-<<---≤+1,211,21,12x x x x x x 作图由读者自己完成.[答案]见解析[例5]设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)=-f(x)，当0≤x≤1时， f (x)=x ，则f (7.5) =( ) 苏州进步网: szjjedu 整理A.0.5B.-0.5C.1.5D.-1.5[解析]∵y=f(x)是定义在R 上的奇函数，∴点(0，0)是其对称中心. 又∵f (x+2 )=-f(x)=f (-x)，即f (1+ x) = f (1-x)，∴直线x = 1是y = f (x)的对称轴，故y = f (x)是周期为2的周期函数.∴f (7.5)=f(8-0.5)=f(-0.5)=-f (0.5) =-0.5. [答案]B[例6]已知函数f(x)是定义在区间[-2，2]上的偶函数，当x ∈[0，2]时，f(x)是减函数，如果不等式f(1-m)＜f(m)成立，求实数m 的取值范围.[解析]∵f(x)在[0，2]上是减函数，在[-2，0]上是增函数，故分类可得： (1)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤-023102012m m m m 解得m ∈∅，故此情况不存在；(2)当⎩⎨⎧≤≤≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤201120210m m m m 解得0≤m≤1；∵f(x)在[0，2]上为减函数，∴f(1-m)＜f(m)可转化为1-m ＞m.∴m ＜21.∴0≤m ＜21.苏州进步网: szjjedu 整理(3)当⎩⎨⎧≤≤-≤≤-∴⎩⎨⎧≤≤-≤-≤021102210m m m m 解得-1≤m≤0；∵f(1-m)=f(m-1)，∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m). ∵f(x)在[-2，0]上是增函数，∴m-1＜m .∴-1≤m≤0.(4)当⎩⎨⎧≤≤≤≤∴⎩⎨⎧≤≤≤-≤-203120012m m m m 解得1≤m≤2.∴0≤m -1≤1.∴f(1-m)=f(m-1).∴f(1-m)＜f(m)可转化为f(m-1)＜f(m). ∵f(x)在[0，2]上是减函数，∴m-1＞m 无解.综上所述，满足条件的实数m 的取值范围为-1≤m ＜21.[答案]-1≤m ＜21[例7]设函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并在区间(-∞，0)内单调递增，f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1).求a 的取值范围，并在该范围内求函数y=(21)132+-a a 的单调递减区间.[解析]设0<x 1<x 2，则-x 2<-x 1<0，∵f(x)在区间(-∞，0)内单调递增， ∴f(-x 2)<f(-x 1).∵f(x)为偶函数，∴f(-x 2)=f(x 2)，f(-x 1)=f(x 1). ∴f(x 2)<f(x 1). ∴f(x)在(0，+∞)内单调递减..032)31(3123,087)41(2122222>+-=+->++=++a a a a a a 又由f(2a 2+a+1)<f(3a 2-2a+1)得：2a 2+a+1>3a 2-2a+1.解得0<a<3. 又a 2-3a+1=(a-23)2-45.∴函数y=(21)132+-a a 的单调减区间是[23，+∞].结合0<a<3，得函数y=(23)132+-a a 的单调递减区间为[23，3].[答案][23，3] 苏州进步网: szjjedu 整理[例8]已知函数y=f(x)是定义在R 上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在[0，1]上是一次函数，在[1，4]上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为-5.(1)证明：f(1)+f(4)=0；(2)试求y=f(x)，x ∈[1，4]的解析式； (3)试求y=f(x)在[4，9]上的解析式.[解析](1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4-5)=f(-1)，又y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=-f(-1)=-f(4).∴f(1)+f(4)=0.(2)当x ∈[1，4]时，由题意，可设f(x)=a(x-2)2-5(a≠0)，由f(1)+f(4)=0得a(1-2)2-5+a(4-2)2-5=0，解得a=2，∴f(x)=2(x-2)2-5(1≤x≤4).(3)∵y=f(x)(-1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=-f(-0)，∴f(0)=0，又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1)，∵f(1)=2(1-2)2-5=-3，又f(1)=k·1=k ，∴k=-3.∴当0≤x≤1时，f(x)=-3x ，当-1≤x ＜0时，f(x)=-3x ，当4≤x≤6时， -1≤x -5≤1，∴f(x)=f(x-5)=-3(x-5)=-3x+15，当6＜x≤9时，1＜x-5≤4，f(x)= f(x-5)=2[(x-5)-2]2-5=2(x-7)2-5.∴f(x)=⎩⎨⎧≤<--≤≤+-)96( 5)7(2)64(1532x x x x . [答案]见解析苏州进步网: szjjedu 整理[例9])(),(x g x f 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0<x 时，,0)()()()(>'+'x g x f x g x f 且,0)3(=-g 则不等式0)()(<x g x f 的解集是( )A.),3()0,3(+∞⋃-B.)3,0()0,3(⋃-C.),3()3,(+∞⋃--∞D.)3,0()3,(⋃--∞[解析]结合新知识导数的应用与函数的性质在其交汇处知识重构，画出函数草图.f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(x)g(x)是奇函数.由题设可知当x<0时，f(x)g(x)的导数值大于0，故此时函数f(x)g(x)为增函数，结合已知条件及奇函数的图象关于原点对称，可画出函数草图，选出正确答案为D.[答案]D[例10]设奇函数f(x)的定义域为[-5，5].若当x ∈[0，5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为_________.苏州进步网: szjjedu 整理[解析]根椐函数的奇偶性作出图象.由图象易知不等式的解集是(-2，0)∪(2，5][答案](-2，0)∪(2，5][例11]已知函数y= f (x)在(0，2)上是增函数，y= f(x+2)是偶函数，则下列结论正确的是( )A.)27()25()1(f f f <<B.)25()1()27(f f f <<C.)1()25()27(f f f <<D.)27()1()25(f f f <<[解析]y= f(x+2)是偶函数，f(x)关于x=2对称，f(x)在(0，2)上是增函数，如图所示，由图可知距x=2越近，函数值越大，所以答案选B.[答案]B[例12]若奇函数f(x)在区间[3，7]上的最小值是5，那么f(x)在区间[-7，-3]上( ).A.最小值是5B.最小值是-５C.最大值是-５D.最大值是5[解析]用定义去求，可设x 为[-7，-3]上任意一个值，则-x ∈[3，7]，由题意f(-x)≥５，由于f(x)是奇函数，所以有f(-x)=-f(x)，则-f(x)≥５，得f(x)≤-５，故，-５为f(x)在[-7，-3]上的最大值，故选C.[答案]C苏州进步网: szjjedu 整理[例13]解方程：2)1x(222221)1x(1x1x4x2-=++++++[解析]两边取以2为底的对数得x)1xx(log)x(f)1x()1)1x(1x(logx2)1x4x2(log1x2x)1)1x(1x(log)1x4x2(log)1x(1)1x(1x1x4x2log2222222222222222222222+++=++++++=++++-=++++-++-=++++++构造函数即即于是f(2x)=f(x2+1)易证f(x)为奇函数，且是R上的增函数，所以2x=x2+1.解得x=1.[答案]{}1x x=[点拨]本题构造函数，巧妙地运用函数奇偶性和单调性来解决方程问题.苏州进步网: szjjedu 整理[例14]函数y=f (x) (x≠0)是奇函数，且当x∈R+时是增函数，若f (1)=0，求不等式0)]21([<-xxf的解集.[解析]由函数y=f(x)是奇函数且当x∈R+时是增函数，可得y=f(x)的图象形状大致如图所示，f (-1)=f (1)=0.①若0)21(>-xx时，∵)1()]21([fxxf<-，∴0<1)21(<-xx.解得02171<<-x 或217121+<<x . ②若0)21(<-x x 时，)1()]21([-<-f x x f ，1)21(-<-x x ，解得x ∈Φ. 所以，02171<<-x 或217121+<<x . [答案]02171<<-x 或217121+<<x 苏州进步网: szjjedu 整理。
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析
高中数学函数的奇偶性与周期性应用题解析在高中数学中，函数的奇偶性与周期性是重要的概念，对于解题具有很大的指导作用。
本文将通过具体的题目举例，分析奇偶性与周期性的应用，帮助高中学生更好地理解和运用这些概念。
一、奇偶函数的性质与应用奇函数和偶函数是函数的一种特殊性质，它们在数学中有着重要的应用。
首先，我们来看一个例子：例题1：已知函数$f(x)=x^3-2x$，求证$f(x)$是奇函数。
解析：要证明$f(x)$是奇函数，需要证明对于任意的$x$，有$f(-x)=-f(x)$成立。
我们将$f(-x)$代入并化简，得到$f(-x)=(-x)^3-2(-x)=-x^3+2x$。
然后，我们将$-f(x)$化简，得到$-f(x)=-(x^3-2x)=-x^3+2x$。
可以看出，$f(-x)$和$-f(x)$的结果是相等的，因此$f(x)$是奇函数。
这个例题中，我们通过代入$x$和$-x$，并对函数进行化简，证明了函数$f(x)$是奇函数。
奇函数的一个重要性质是，当自变量$x$取正值和负值时，函数值的符号相反。
在解题中，我们可以利用奇函数的性质进行简化计算，例如可以通过奇偶性关系得到一些特殊点的函数值。
二、周期函数的性质与应用周期函数是指函数在一定区间内满足$f(x+T)=f(x)$的函数，其中$T$为函数的周期。
周期函数在数学中有着广泛的应用。
接下来，我们来看一个例子：例题2：已知函数$f(x)=\sin(2x)$，求证$f(x)$是周期函数，并求出它的最小正周期。
解析：要证明$f(x)$是周期函数，需要证明对于任意的$x$，有$f(x+T)=f(x)$成立。
我们将$f(x+T)$代入并化简，得到$f(x+T)=\sin(2(x+T))=\sin(2x+2T)$。
然后，我们将$f(x)$化简，得到$f(x)=\sin(2x)$。
要使得$f(x+T)=f(x)$成立，必须满足$\sin(2x+2T)=\sin(2x)$。
函数的奇偶性例题分析
【例5】设a＞0，f（x）＝ 是R上的偶函数.
（1）求a的值；
（2）证明f（x）在（0，＋∞）上是增函数．
【评述】本题主要考查了函数的奇偶性以及单调性的基础知识．
【例6】设f（x）为定义在R上的偶函数，当x≤－1时，y＝f（x）的图象是经过点（－2，0），斜率为1的射线，又在y＝f（x）的图象中有一部分是顶点在（0，2），且过点（－1，1）的一段抛物线.试写出函数f（x）的表达式，并作出其图象.
【评述】解答本题易出现如下思维障碍：
（1）无从下手，不知如何脱掉“f”.解决办法:利用函数的单调性.
（2）无法得到另一个不等式.解决办法：关于原点对称的两个区间上，奇函数的单调性相同，偶函数的单调性相反.
【例4】（2006年滨州模拟题）已知函数f（x）=x+ +m（p≠0）是奇函数.
（1）求m的值.
10．已知函数y=f（x）的定义域为R，对任意x、x′∈R均有f（x+x′）=f（x）+f（x′），且对任意x＞0，都有f（x）＜0，f（3）=－3.
（1）试证明：函数y=f（x）是R上的单调减函数；
（2）试证明：函数y=f（x）是奇函数；
（3）试求函数y=f（x）在［m，n］（m、n∈Z，且mn＜0）上的值域.
3.奇、偶函数的性质
（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）.
（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称.
（3）若奇函数的定义域包含数0，则f（0）=0.
（4）奇函数的反函数也为奇函数.
（5）定义在（－∞，+∞）上的任意函数f（x）都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和.
函数的奇偶性例题解析
函数的奇偶性例题解析［例1］判断下列函数的奇偶性.(1)f (x )=|x |(x 2+1)；(2)f (x )=xx 1+； (3)f (x )=x x -+-22； (4)f (x )=1122-++-x x 。
选题意图：本题主要考查函数的奇偶性的概念，利用定义判断或证明函数的奇偶性的方法.解：(1)此函数的定义域为R.∵f (-x )=|-x |［(-x )2+1］=|x |(x 2+1)=f (x ),∴f (-x )=f (x ),即f (x )是偶函数.(2)此函数的定义域为x ＞0，由于定义域关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数.(3)此函数的定义域为｛2｝，由于定义域关于原点不对称，故f (x )既不是奇函数也不是偶函数.(4)此函数的定义域为｛1，-1｝，且f (x )=0,可知图象既关于原点对称、又关于y 轴对称，故此函数既是奇函数又是偶函数.点评：用定义判断函数的奇偶性的步骤是：定义域(关于原点对称)→验证f (-x )=±f (x )→下结论，还可以利用图象法或定义的等价命题f (-x )±f (x )=0或)()(x f x f -=1±（f (x )≠０）来判断.［例2］设f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈［0，＋∞）时，f (x )=x (1+3x ),那么当x ∈(-∞，0)时，求f (x )解析式.选题意图：本题考查函数的奇偶性，利用奇偶性质求某区间未知解析式的方法. 解：∵f (x )是奇函数，∴当x ＜0时，-x ＞0.由已知f (-x )=-x (1+3x -),-f (x )=-x (1-3x ),∴f (x )=x (1-3x ) (x ＜0)，∴f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧-∞∈-+∞∈+).0,()1(),0[)1(33x x x x x x 点评：解决本题的关键是利用奇函数的关系式f (-x )=-f (x )成立，但要注意求给定哪个区间上的解析式就设这个区间上的变量x ，然后把x 转化为-x 为另一已知区间上的解析式中的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式.［例3］已知函数f (x )为奇函数，且在(-2，2)上单调递增，且有f (2+a )+f (1-2a )＞0，求a 的取值范围.选题意图：本题考查利用函数的奇偶性，单调性求解参数的范围，是函数奇偶性及单调性的逆用，培养学生的逆向思维.解：因为函数f (x )为奇函数，则f (-x )＝-f (x ).由f (2+a )+f (1-2a )＞0得f (2+a )＞-f (1-2a )即f (2+a )＞f (2a -1).又因为f (x )在(-2，2)上单调递增，得：⎪⎩⎪⎨⎧-+--+-1222122222a a a a 解得-21＜a ＜0, 因此，a 的取值范围为a ∈(-21,0). 点评：判断出2+a ,2a -1∈（－２，２），对本题的解决起到很关键的作用，否则只考虑2+a ＞２ａ－１是不够的.一般来f (x )为奇函数，由-f (1-2a )=f (2a -1)，则得到f (2+a )＞f (2a -1)得到更直接关系，应考虑到前提条件-2＜２＋ａ＜２，－２＜２ａ－１＜２，2+a ＞２ａ－１取三个不等式的交集，为所求a 的取值范围.。
函数的奇偶性 - 高中数学讲义与经典例题解析版
函数的奇偶性知识讲解一、函数奇偶性的定义1.奇函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=-，则这个函数叫做奇函数．2.偶函数：设函数()y f x =的定义域为D ，如果对于D 内的任意一个x ，都有x D -∈，且()()f x f x -=，则这个函数叫做偶函数．二、奇偶函数的图象特征1.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；2.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．三、判断函数奇偶性的方法1.定义法：首先判断其定义域是否关于原点中心对称．若不对称，则为非奇非偶函数；若对称，则再判断()()f x f x -=-或()()f x f x -=是否为恒等式．定义的等价形式：()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±-．2.图象法3.性质法：设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域12D D D = 上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯奇=偶，偶⨯偶=偶，奇⨯偶=奇；四、奇偶函数的性质1.函数具有奇偶性⇒其定义域关于原点对称；2.函数()y f x =是偶函数⇔()y f x =的图象关于y 轴对称；3.函数()y f x =是奇函数⇔()y f x =的图象关于原点对称．4.奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反．5.若奇函数()y f x =的定义域包含0，则(0)0f =．五、常见函数的奇偶性1.正比例函数(0)y kx k =≠是奇函数；2.反比例函数(0)k y k x=≠是奇函数；3.函数(00)y kx b k b =+≠≠，是非奇非偶函数；4.函数2(0)y ax c a =+≠是偶函数；5.常函数y c =是偶函数；6.对勾函数(0)k y x k x=+≠是奇函数；经典例题一．填空题（共12小题）1．给定四个函数：①y=x3+3；②y=1（x＞0）；③y=x3+1；④y=2+1．其中是奇函数的有①④（填序号）．【解答】解：：①函数的定义域为R，则f（﹣x）=﹣（x3+3）=﹣f（x），则函数f（x）是奇函数；②函数的定义域关于原点不对称，则函数f（x）为非奇非偶函数；③函数的定义域为R，f（0）=0+1=1≠0，则函数f（x）为非奇非偶函数；④函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）=2+1−=﹣2+1=﹣f （x），则函数f（x）是奇函数，故答案为：①④2．f（x）是定义在R上的奇函数，当x＜0时，f（x）=x2﹣3x，则当x＞0时，f（x）=﹣x2﹣3x．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（﹣x）=﹣f（x），若x＞0，则﹣x＜0，∵x＜0时，f（x）=x2﹣3x，∴当﹣x＜0时，f（﹣x）=x2+3x=﹣f（x），∴f（x）=﹣x2﹣3x，故答案为：x2﹣3x，3．已知f（x）是R上偶函数，且在[0，+∞）上递减，比较o−34)与f（1+a+a2）的大小关系为f（1+a+a2）≤f（﹣34）．【解答】解：根据题意，1+a+a2=（14+a+a2）+34=（a+12）2+34≥34，则又由f （x ）在[0，+∞）上递减，则有f （1+a +a 2）≤f （34），又由f （x ）是R 上偶函数，则有f （1+a +a 2）≤f （﹣34），故答案为：f （1+a +a 2）≤f （﹣34）．4．已知f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数，若f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2），求a 2）．【解答】解：因为f （x ）是定义在（﹣1，1）上的奇函数，且在定义域上为增函数．所以f （a ﹣2）＜f （4﹣a 2）等价于−1＜−2＜1−1＜4−2＜1−2＜4−2，化简可得1＜＜33＜2＜5−3＜＜2解可得3＜a ＜2．故答案为（3，2）．5．设函数f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，且f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则a 的取值范围=（23，+∞）．【解答】解：根据题意，2a 2+a +1=2（a 2+12a +116）+78=2（a +12）2+78≥78，而2a 2﹣2a +3=2（a 2﹣a +14）+52=2（a ﹣12）2+52≥52；由f （x ）在R 上是偶函数，在区间（﹣∞，0）上递增，可知f （x ）在（0，+∞）上递减．若f （2a 2+a +1）＜f （2a 2﹣2a +3），则2a 2+a +1＞2a 2﹣2a +3，即3a ﹣2＞0，解可得a ＞23，则a 的取值范围（23，+∞）；故答案为：23，+∞）．6．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2+2x（x≥0），若f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），则实数a的取值范围是a＜32．【解答】解：∵函数f（x）=x2+2x（x≥0）是增函数，且f（0）=0，f（x）是奇函数∴f（x）是R上的增函数．由f（3﹣a2）＞f（2a﹣a2），于是3﹣a2＞2a﹣a2，因此，解得a＜32．故答案为：a＜32．7．若f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，则a+b= 3．【解答】解：∵f（x）=ax3+bx+1﹣b是定义在区间[﹣4+a，a]的奇函数，∴﹣4+a+a=0，f（0）=0．解得a=2，b=1．∴a+b=3．故答案为：3．8．若f（a+b）=f（a）•f（b）且f（1）=2．则o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=4022．【解答】解：令b=1．∴f（a+1）=f（a）f（1）or1)op=f（1）=2o2)o1)=2.o3)o2)=2． (2012)o2011)=2o2)o1)+o3)o2)+…+o2012)o2011)=2011×2=4022．答案：4022．9．已知函数f（x）满足f（ab）=f（a）+f（b），且f（2）=p，f（3）=q，那么f（72）=3p+2q．【解答】解：由题意可知：f（6）=f（2）+f（3）=p+q∴f（18）=f（6）+f（3）=p+q+q=p+2q∴f（36）=f（18）+f（2）=p+2q+p=2p+2q∴f（72）=f（36）+f（2）=2p+2q+p=3p+2q故答案为：3p+2q．10．已知函数f（x）的定义域D=（0，+∞），且对于任意x1，x2∈D，均有f（x1•x2）=f（x1）+f（x2）﹣1，且当x＞1时，f（x）＞1（1）求f（1）的值；（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）若f（16）=3，解不等式f（3x+1）≤2．【解答】解：（1）令x1=x2=1，∴f（1）=f（1）+f（1）﹣1∴f（1）=1，（2）：设令0＜x1＜x2，21＞1，当x＞1时，f（x）＞1∴f（21）＞1，∴f（21•x1）=f（x2）=f（21）+f（x1）﹣1＞f（x1），∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；（3）令x1=x2=4，∴f（16）=f（4）+f（4）﹣1=3∴f（4）=2，∴f（3x+1）≤2=f（4），∵f（x）在（0，+∞）上是增函数；∴3+1＞03+1≤4，解得−13＜x≤1，故不等式f（3x+1）≤2的解集为（−13，1]．11．已知f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数．且满足f（6）=1．f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0）．则不等式f（x+3）＜f（12的解集是（0，−3+3172）．【解答】解：∵f（x）﹣f（y）=f（）（x＞0，y＞0），令x=36，y=6，得f（36）﹣f（6）=f（6）∴f（36）=2f（6）=2，∵f（x+3）＜f（1）+2，∴f（x+3）﹣f（1）=f（x（x+3））＜2=f（36），∵f（x）是定义域在（0，+∞）上的单调递增函数，+3＞0＞0o+3)＜36∴0＜x−3+3172故不等式f（x+3）＜f（1）+2的解集是（0，−3+3172），故答案为：（0−3+3172），12．已知函数f（x），对任意实数x1，x2都有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且当x＞0时f（x）＞0，f（2）=1．解不等式f（2x2﹣1）＜2的解集为[﹣102，102]．【解答】解：∵f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），设x1=x2=0，可得f（0）=2f（0），解得f（0）=0，令x1+x2=0，可得f（0）=f（x1）+f（x2），即有f（﹣x）=﹣f（x），即f（x）为奇函数；令x1＜x2，即有x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞0，即为f（x2）=f（x1+x2﹣x1）=f（x1）+f（x2﹣x1）＞f（x1），即有f（x）在R上为增函数；令x1=x2=2，可得f（4）=2f（2），解得f（4）=2，∵不等式f（2x2﹣1）＜2=f（4）∴2x2﹣1＜4，102＜x＜102102，102]．102，102]．二．解答题（共6小题）13．设函数y=f（x）（x∈R）对任意实数均满足f（x+y）=f（x）+f（y），求证f（x）是奇函数．【解答】证明：定义域关于原点对称，令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得f（0）=0，令y=﹣x得：f（0）=f（x）+f（﹣x）=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数．14．判断并证明下列函数的奇偶性．（Ⅰ）f（x）=|x|+12；（Ⅱ）f（x）=x2+2x；（Ⅲ）f（x）=x+1．【解答】解：（Ⅰ）可得x≠0f（﹣x）=|﹣x|+1(−p2=f（x），故函数为偶函数；（Ⅱ）函数的定义域为R，且f （x ）=x 2+2x 的图象为抛物线，对称轴为x=﹣1，不关于y 轴对称，也不关于原点对称，故函数非奇非偶；（Ⅲ）可得x ≠0，f （﹣x ）=﹣x ﹣1=﹣f （x ），故函数为奇函数．15．判断下列函数的奇偶性：（1）f （x ）=3，x ∈R ；（2）f （x ）=5x 4﹣4x 2+7，x ∈[﹣3，3]；（3）f （x ）=|2x ﹣1|﹣|2x +1|；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0．【解答】解：（1）由f （﹣x ）=3=f （x ），x ∈R ，可得函数f （x ）为偶函数；（2）f （﹣x ）=5（﹣x ）4﹣4（﹣x ）2+7=5x 4﹣4x 2+7=f （x ），x ∈[﹣3，3]，可得函数f （x ）为偶函数；（3）定义域为R ，f （﹣x ）=|﹣2x ﹣1|﹣|﹣2x +1|=|2x +1|﹣|2x ﹣1|=﹣f （x ），可得f （x ）为奇函数；（4）f （x ）=1−2，＞00，=02−1，＜0，定义域为R ，当x ＞0时，﹣x ＜0，可得f （﹣x ）=（﹣x ）2﹣1=x 2﹣1=﹣f （x ），当x=0可得f （0）=0；当x ＜0时，﹣x ＞0，可得f （﹣x ）=1﹣（﹣x ）2=1﹣x 2=﹣f （x ），即有f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数．16．判断下列函数的奇偶性（1）f（x）=a（a∈R）（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2（3）f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0．【解答】解：（1）由奇偶性定义当a=0时，f（x）=0既是奇函数又是偶函数，当a≠0时，f（x）=f（﹣x）=a，故是偶函数；（2）f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2=x3+3x，由于f（x）+f（﹣x）=x3+3x+（﹣x）3+3（﹣x）=0，故f（x）=（1+x）3﹣3（1+x2）+2是奇函数．（3）当x＜0时，﹣x＞0，f（﹣x）=﹣x（1﹣x）=﹣f（x）；当x＞0时，﹣x＜0，f（﹣x）=﹣x（1+x）=﹣f（x）；由上证知，在定义域上总有f（﹣x）=﹣f（x）；故函数f（x）=o1−p，＜0o1+p，＞0是奇函数．17．已知函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53．（1）求实数a，b的值；（2）判断函数f（x）在（﹣∞，﹣1]上的单调性，并加以证明．【解答】解：（1）函数op=B2+23r是奇函数，且o2)=53，可得f（﹣x）=﹣f（x），B2+2−3r=﹣B2+23r，可得﹣3x+b=﹣3x﹣b，解得b=0；4r26=53，解得a=2；（2）函数f（x）=22+23在（﹣∞，﹣1]上单调递增；理由：设x1＜x2≤﹣1，则f（x1）﹣f（x2）=23（x1+11）﹣23（x2+12）=23（x1﹣x2）（1﹣112），由x1＜x2≤﹣1，可得x1﹣x2＜0，x1x2＞1，即有1﹣112＞0，则f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），则f（x）在（﹣∞，﹣1]上单调递增．18．已知f（x）=1+．（1）求f（x）+f（1）的值；（2）求f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=1+．∴f（x）+f（1）=1++11+1=1++11+=1，（2）由（1）得：f（1）+f（2）+…+f（7）+f（1）+f（12）+…+f（17）=7．。
《函数的奇偶性》教学案例分析-精品文档
《函数的奇偶性》教学案例分析数学教学不仅是知识的教学，还应该体现数学的教育价值，提高学生对数学的认识与数学素养。
而作为青年教师，在平时的教学中更应该努力熟悉教材、把握教材，达到最好的教学效果。
这是我讲过的一节汇报课，对这节课我有些思考与感悟，写出来与各位同仁作一交流。
一、案例：《函数的奇偶性》师：在现实生活中，许多事物都给我们以对称的感觉，例如：人体的轮廓、天安门城楼、射箭用的弓等等，它们都关于某条轴对称，又如太极八卦图，又给我们中心对称的美感。
而这种对称美在我们数学中又有大量的反映，请同学们拿出练习本作出函数①y=x2；②y=x；③y=x；④y=的图象，并观察、分析函数①y=x2；②y=x的图象有怎样的共同特征？生：在教师作图的同时，很快作出这四个函数的图象，能观察出①②两个函数的图象都关于y轴对称。
师：我们把图象关于y轴对称的函数称为偶函数；图象关于原点对称的函数称为奇函数。
师直接给出奇函数、偶函数的定义。
师与学生一起分析判断函数奇偶性的条件：1.偶函数：（1）函数的定义域是否关于原点对称；（2）f（-x）=f（x）.2.奇函数：（1）函数的定义域是否关于原点对称；（2）f（-x）=-f（x）.师：是否存在一些函数既是奇函数又是偶函数呢？例：判断下列函数的奇偶性：（1）f（x）=+；（2）f（（x）=.课堂练习：课本练习2师分析：若函数为奇函数，且定义域中有0元素，则一定有f（0）=0。
课堂小结：教师小结奇偶性的定义和判断函数奇偶性的方法。
二、课后感想本节课想借助实际生活中的对称关系，激发学生的学习兴趣，为使学生更好地理解奇偶性是体现“对称性”的一个重要性质打下基础，同时利用四个特殊函数①y=x2；②y=x；③y=x；④y=的图象，引导学生观察、归纳奇偶函数的图象特征，给出函数奇偶性的定义，重点学会判断函数的奇偶性，达到数形结合的效果。
三、部分?W生的课堂感受课后，我与部分学生交流本节课的感受，学生都表示通过本节课的学习学会了如何判断函数的奇偶性，但是对函数奇偶性的定义还是不太理解，有些基本概念也掌握得不是很好。
根据函数的奇偶性知识点,给出10个例子。
根据函数的奇偶性知识点，给出10个例子。
根据函数的奇偶性知识点，给出10个例子下面是根据函数的奇偶性知识点给出的10个例子：1. 函数 y = x^2 是一个偶函数，因为对于任意 x，有 y = (-x)^2 = x^2，图像关于 y 轴对称。
2. 函数 y = x^3 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = -x^3 = -(x^3)，图像关于原点对称。
3. 函数 y = sin(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = sin(-x) = -sin(x)，图像关于原点对称。
4. 函数 y = cos(x) 是一个偶函数，因为对于任意 x，有 y = cos(-x) = cos(x)，图像关于 y 轴对称。
5. 函数 y = tan(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = tan(-x) = -tan(x)，图像关于原点对称。
6. 函数 y = e^x 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = e^(-x) = 1/e^x，图像关于原点对称。
7. 函数 y = ln(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = ln(-x) = ln(x)，图像关于 y 轴对称。
8. 函数 y = |x| 是一个偶函数，因为对于任意 x，有 y = |-x| = |x|，图像关于 y 轴对称。
9. 函数 y = sqrt(x) 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y =sqrt(-x) = sqrt(x)，图像关于原点对称。
10. 函数 y = 1/x 是一个奇函数，因为对于任意 x，有 y = 1/(-x)= -1/x，图像关于原点对称。
这些函数的奇偶性特点可以通过对其自变量取相反数来验证，如果等式成立，则该函数具有奇函数特点；如果等式成立且符号不变，则该函数具有偶函数特点。
希望以上例子可以帮助您理解函数的奇偶性知识点。
指数型函数的奇偶性及应用举例
ʏ田发胜我们知道,指数函数f (x )=a x(a >0,a ʂ1)本身没有奇偶性,但通过运算后,许多指数型函数就有了奇偶性,此时利用相应的奇偶性处理问题,就可以提高解题效率㊂下面介绍一些具有奇偶性的指数型的函数,并举例说明其应用㊂函数f (x )=a x +a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是偶函数;函数f (x )=a x -a -x(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x-a-xa x +a-x =a x-1a x a x+1ax=a 2x-1a 2x+1(a >0,a ʂ1)在R 上是奇函数;f (x )=a x+a -xa x -a -x =a 2x+1a 2x-1(a >0,a ʂ1)在(-ɕ,0)ɣ(0,+ɕ)上是奇函数㊂这几个函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义给出证明,请同学们自己完成㊂例1 已知函数f (x )=3x-3-x3x +3-x +2,若f (a )+f (a -2)>4,求实数a 的取值范围㊂解:令F (x )=f (x )-2=3x-3-x3x +3-x,易知F (x )是奇函数,且是增函数㊂f (a )+f (a -2)>4,即f (a )-2>-f (a -2)-2 ,也即F (a )>-F (a -2)㊂由F (x )是奇函数,可得F (a )>F (2-a )㊂由F (x )是增函数,可得a >2-a ,所以a >1,即实数a ɪ(1,+ɕ)㊂评注:通过构造函数,适时的转化,利用其奇偶性㊁单调性,使得问题轻松获解㊂例2 已知定义在R 上的奇函数f (x )和偶函数g (x )满足f (x )+g (x )=a x -a -x+2(a >0,a ʂ1),若g (2)=a ,则f (2)=㊂解:由条件得f (2)+g (2)=a 2-a-2+2,所以f (-2)+g (-2)=a -2-a 2+2㊂由奇偶性得-f (2)+g (2)=a -2-a 2+2㊂由此解得g (2)=2,f (2)=a 2-a -2㊂所以a =2,f (2)=22-2-2=154㊂评注:仔细观察题目的结构,利用f (2)=a 2-a -2是解题的关键㊂例3 函数f (x )=e x-e-xx2的图像大致形状为( )㊂解:易知此函数为奇函数,其图像关于坐标原点对称,排除A ㊂当x >0时,f (x )>0,排除D ㊂当x ң+ɕ时,f (x )ң+ɕ,排除C ㊂应选B ㊂评注:在给出函数解析式,选择与之对应的图像时,函数的奇偶性是需要考虑的重要因素㊂例4 已知函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e-x +1)有唯一零点,则a =㊂解:函数f (x )=x 2-2x +a (e x -1+e -x +1)的零点,即方程x 2-2x =-a (e x -1+e-x +1)的根,亦即函数y =x 2-2x 与函数y =-a (e x -1+e -x +1)的交点的横坐标㊂函数y =x 2-2x 的图像关于直线x =1对称,其顶点坐标为(1,-1),而函数y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x+e -x)向右平移1个单位得到的,其图像也关于直线x =1对称,所以它们有唯一的交点时,一定相交于点(1,-1),所以-1=-a (e1-1+e-1+1)=-2a ,即a =12㊂评注:题中方程的根是求不出来的,从而转化为相应两个函数的交点㊂y =-a (ex -1+e-x +1)是由偶函数y =-a (e x +e -x)向右平移1个单位得到的,这是解题的关键㊂作者单位:山东省淄博四中(责任编辑 郭正华)21 知识结构与拓展 高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
函数奇偶性的应用
函数奇偶性的应用函数的奇偶性是函数的重要性质，在各类考试中是考查的热点，下面对奇偶性的常见应用进行举例说明.一、求函数的解析式例1 已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝x (1＋3x )，求f (x )的解析式.分析 要求f (x )在R 上的解析式，条件已给出f (x )在(0，＋∞)上的解析式，还需求当x ≤0时f (x )对应的解析式.解 因为x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－x (1＋3－x )＝－x (1－3x ). 因为f (x )是R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x (1－3x )，x ∈(－∞，0).在f (－x )＝－f (x )中，令x ＝0，得f (0)＝0. 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x (1＋3x )，x ＞0，0，x ＝0，x (1－3x )，x ＜0.评注 利用函数的奇偶性求函数的解析式是常见题型，其步骤为：(1)设，设出在未知区间上的自变量x；(2)化，即将x转化到已知区间上；(3)求，即根据函数的奇偶性求出解析式.二、求参数的值例2 已知函数f(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x(x＋1)，若给出一个实数a，a＜0，有f(a)＝－2，则实数a＝________.分析根据已知条件当x≥0时，函数f(x)＝x(x＋1)≥0，由于f(a)＝－2，显然需要求得x＜0的解析式.解析令x＜0，则－x＞0.所以f(－x)＝－x(1－x).又f(x)为奇函数，所以当x＜0时，有f(x)＝x(1－x).令f(a)＝a(1－a)＝－2，得a2－a－2＝0.解得a＝－1，或a＝2(舍去).答案－1评注解决本题首先根据定义域对函数的解析式进行判断，确定所求参数应该对应的解析式是求解本题的关键.三、求参数的范围例3 定义在(－2,2)上的偶函数f(x)在区间[0,2)上是减函数，若f(1－m)＜f(m)，求实数m的取值范围.解因为f(x)是偶函数，所以f(1－m)＝f(|1－m|)，f(m)＝f(|m|).又f(1－m)＜f(m)，所以f(|1－m|)＜f(|m|).由f(x)在区间[0,2)上是减函数，得0≤|m|＜|1－m|＜2.解得－1＜m＜12.故实数m的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－1，12. 评注 本题利用了偶函数的性质：若函数f (x )是偶函数，则恒有f (x )＝f (|x |)，从而达到简捷求解的目的.。
函数奇偶性的知识点及例题解析
函数的奇偶性知识点及例题解析一、知识要点：1、函数奇偶性的概念一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-，那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，对于函数)(x f ，如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-,那么函数)(x f 就叫做奇函数。
理解：(1)奇偶性是针对整个定义域而言的，单调性是针对定义域内的某个区间而言的。
这两个概念的区别之一就是，奇偶性是一个“整体”性质，单调性是一个“局部”性质；(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
2、按奇偶性分类，函数可分为四类：奇函数非偶函数、偶函数非奇函数、非奇非偶函数、亦奇亦偶函数.3、奇偶函数的图象：奇函数⇔图象关于原点成中心对称的函数，偶函数⇔图象关于y 轴对称的函数。
4、函数奇偶性的性质：①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称）。
②常用的结论：若f(x)是奇函数，且x 在0处有定义，则f(0)＝0。
③奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同，最值相反。
奇函数f(x)在区间[a,b](0≤a<b)上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上也是单调递增（减）； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反，最值相同。
偶函数f(x)在区间[a,b]（0≤a<b ）上单调递增（减），则f(x)在区间[－b,－a]上单调递减（增） ④任意定义在R 上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。
⑤若函数g(x)，f(x)，f[g(x)]的定义域都是关于原点对称的，则u=g(x)，y=f(u)都是奇函数时，y=f[g(x)]是奇函数；u=g(x)，y=f(u)都是偶函数，或者一奇一偶时，y= f[g(x)]是偶函数。
复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.5、判断函数奇偶性的方法：⑴、定义法：对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f =-〔或()()1=-x f x f 或()()0=--x f x f 〕⇔函数f （x ）是偶函数；对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()x f x f -=-〔或()()1-=-x f x f 或()()0=+-x f x f ⇔函数f （x ）是奇函数；判断函数奇偶性的步骤：①、判断定义域是否关于原点对称；②、比较)(x f -与)(x f 的关系。
三角函数的奇偶性案例分析
三角函数的奇偶性案例分析南京市秦淮中学许明[案例主题]函数的奇偶性是函数的一个重要性质,它有助于培养学生的理解能力，推理论证能力和探索精神，在高中数学中占有重要的位置。
本案例研究的主要问题有：1、奇函数，偶函数，的图像有何特点和重要性质？2、及型函数的对称中心和对称轴.[案例背景]研究函数的奇偶性对了解函数的性质非常重要,如果我们知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把这个函数的定义域分成关于坐标原点对称的两部分,就可得出这个函数在另一部分上的性质和图像.函数的对称中心和对称轴实际上是函数奇偶性的拓展。
（实际上是进一步拓宽学生的数形结合思想）片段一:（奇偶函数的图象特点和性质探究）师：奇函数或偶函数的图象有何特点？我们一起来看一个有趣的图形并观察有何特点？生：图（1）两边成对称图形，在图（2）中关于y轴对称。
师：这就是数学中的对称美，请同学们再作出y=-3x和y=x 2 +2的图象并观察有何特点？生：奇函数y=-3x的图象是一条过原点的直线，并且关于原点成中心对称图形；偶函数y=x 2 +2的图象是一条抛物线，顶点是（0，2）、开口方向向上，且关于y轴对称。
师：回答得太棒了！大家再作出y=4x和y=x 2 的图象，观察是否有类似的规律？生：y=4x的图象也是关于原点成中心对称图形；y=x 2 与y=x 2 +2 的图象一样也关于y轴对称。
师：到此我们猜想，奇函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，反之亦然；偶函数的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形，反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数。
师：请同学们思考自学课本P51倒数第二段。
生：噢，原来如此。
师：根据奇、偶函数图象的特点请同学们思考如何作出函数的图象？生3：该函数的定义域为（0，+∞）∪（-∞，0），又是偶函数，只需作出在（0，+∞）上的图象，但我不知该怎样做？生4：用描点法。
（主动到黑板上做图，并根据对称性做出另一部分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
函数奇偶性的案例分析
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：
函数奇偶性的案例分析-中学数学论文
函数奇偶性的案例分析
江苏省南京市第四中学洪莎莎
函数的奇偶性是函数的重要性质之一，它在代数、三角以及高等数学中都有着广泛的应用，近几年的中学各类考试中，也经常出现关于函数奇偶性的题型，一般出现在填空、选择、判断、证明、求值等题型中。
正因如此，对函数奇偶性的教学必须给予重视。
例如在某次函数奇偶性教学课中，由对称的图形进行内容导入，从而让学生举例关于y轴对称的函数，并让学生尝试语言描述如何判断图象关于y轴对称，教学过程中教师给予一些具体数字的帮助，逐步得出结论：对定义域内任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立。
然后，再由教师给出了函数奇偶性的概念：
一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=f(x)，那么称函数y=f(x)是偶函数；如果对于任意的x∈A，都有f(-x)=-f(x)，那么称函数y=f(x)是奇函数。
偶函数的图象关于y轴对称，奇函数的图象关于原点对称。
概念给出后，教师给出了6个小题，让学生判断其奇偶性，其中前3题可以由其关系式直接得到结论，但是后3题则不然，需要考虑函数的定义域。
经过6个小题的练习后，师生共同总结了函数奇偶性的判断先决条件是函数的定义域是否关于原点对称。
然后又通过一道例题，发现有一类既是奇函数又是偶函数的函数，即f(x)=0，这样的函数有无数个，根据其定义域的不同而不同。
课的最后师生共同将函数根据其奇偶性进行了分类。
这节课上的一气呵成，非常的流畅，有关于函数奇偶性的几个重要知识点都讲解到位，特别是利用了6个小题，让学生边练边总结方法，这样可以加深学生的理
解。
另外就是关于f(x)=0这个既奇又偶的函数到底有多少个的问题，再次强化了定义域对函数的重要性，这里也处理的非常好。
其实，要想把函数的奇偶性这个内容学习好，应该要注意以下几点：
第一，定义域关于原点对称是判断函数奇偶的必要条件。
很多学生在讨论具体问题的时候，往往只重视表达式，而忽略了定义域。
比如，判断y=x2(x0)的奇偶性，很多学生不经思索就说是偶函数，但实际上，仅从定义域就可以判断这是个非奇非偶函数。
还有一类问题，结合函数的单调性，可以得到结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致，偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
例：若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数，且f(2)=0，求使得f(x)0的x的取值范围。
解：∵f(x)是偶函数，f(2)=0
∴f(-2)=f(2)=0
又∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(-∞，0]上是减函数
∴f(x)在[0,+ ∞)上是增函数
∴当-2x2时，f(x)0
第三，既奇又偶的函数是存在的。
如果有一个函数既是奇函数又是偶函数，则其关系式满足：f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)，由此可以得到f(x)=-f(x)，解得f(x)=0(x∈R)。
另外，既奇又偶的函数有无数个，因为定义域有无数种情况。
在这个地方，可以跟学生提及a≠0的常函数f(x)=a(x∈R)，这个函数是偶函数。
第四，复合函数的奇偶性。
如果要开设一节关于函数奇偶性的习题课，那就可以将这个内容放置进去。
刚开始的时候可以出一些简单、具体的题目让学生练习，然后总结：
设y=f是u=Q(x)和y=f(u)复合函数，其定义域是关于坐标原点对称的区间。
则有：（1）若u=Q(x)是偶函数，且y=f(u)是偶函数，则y=f是偶函数。
（2）若u=Q(x)是奇函数，且y=f(u)是奇函数，则y=f是奇函数。
（3）若u=Q(x)是奇函数，且y=f(u)是偶函数，则y=f是偶函数。
利用这个性质，对帮助学生快速解决有关复合函数奇偶性的问题，可以起到事半功倍的效果。
第五，利用函数的奇偶性解决题目的过程中，如果可以巧妙构造一个具有奇偶性的函数，从而利用函数的奇偶性，可以使问题得以快速、准确地解决。
例：若函数f(x)=ax3+bx+3，且f(2)=1，求f(-2)。
解：∵f(2)=1
∴8a+2b+3=1，即8a+2b=-2
∴f(-2)= -8a-2b+3=-(8a+2b)+3=-(-2)+3=5
通过本文对以上各类问题的分析，在课堂教学中全面把握函数奇偶性问题的教学，一定能帮助学生透彻理解和掌握函数的奇偶性。