2008-2009《离散数学》期末试题B

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安徽大学-离散数学期末试卷及答案

安徽大学《离散数学》期末考试试卷（B 卷）（时间120分钟）开课院（系、部）姓名学号 .一、选择题（每小题2分，共20分）1．设522:=⨯P ，:Q 雪是黑的，842:=⨯R ，:S 太阳从东方升起，下列命题中真值为T 的是（） A 、R Q P ∧→； B 、S P R ∧→；C 、R Q S ∧→；D 、)()(S Q R P ∧∨∧。

2．下列命题公式中，为重言式的是（）A 、)(R Q P ∨→；B 、)()(Q P R P →∧∨；C 、)()(R Q Q P ∨↔∨；D 、))()(())((R P Q P R Q P →→→→→→。

3．设x x L :)(是演员，x x J :)(是老师，x y x A :),(钦佩y ，命题“所有演员都钦佩某些老师”符号化为（）A 、)),()((y x A x L x →∀；B 、))),()(()((y x A y J y x L x ∧∃→∀；C 、)),()()((y x A y J x L y x ∧∧∃∀；D 、)),()()((y x A y J x L y x →∧∃∀。

4．设}{φ=A ， ))((A B ρρ=，以下各小题中不正确的有（）A 、B ∈}}{{φ； B 、B ∈}}}{{,{φφ ；C 、B ⊆}}}{{,{φφ；D 、B ⊆}}}{,{},{{φφφ。

5．设φ=A ， }}{,{φφ=B ，则A B -是（）。

A 、 }}{{φ； B 、}{φ ； C 、 }}{,{φφ； D 、 φ。

6．设},,{c b a A =，R ,S ,T 是集合)(A ρ上的二元关系。

其中，}|,{y x y x R ⊂><=，}|,{φ=><=y x y x S ，}|,{A y x y x T =><= 。

下列哪些命题为真？（） I.R 是反自反、反对称和传递的 II.S 是反自反和对称的 III.T 是反自反和对称的A 、仅I ；B 、仅II ；C 、I 和II ；D 、全真。

离散数学期末试题及答案完整版

离散数学期末试题及答案HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】326《离散数学》期末考试题(B )一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =?}，则-A ? = ( )，-A {?} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧⌝)(； (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).三．1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f 是单射，证明f 是单射，并举例说明g 不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ?}， {{a , b }, a , b }，16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤，奇数.二、1.22,2,m mn mn ., g , g . ,2,4.，不存在，不存在. 5.连通，3，10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ?, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}. .四、证对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即))(())((y g f x g f =. 由于g f 是单射，因此y x =，于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f = 是单射，而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下：2.(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( ，进而R 是传递的.综上所述，所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤，进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数65432121211219619431x x x x x x ++++++=,因而38!412194=⋅=a .。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题（B卷答案1）一、证明题（10分）1）（⌝P∧（⌝Q∧R）)∨（Q∧R）∨（P∧R）⇔R证明: 左端⇔（⌝P∧⌝Q∧R）∨（（Q∨P）∧R）⇔（(⌝P∧⌝Q)∧R))∨(（Q∨P)∧R）⇔（⌝(P∨Q）∧R)∨((Q∨P）∧R）⇔(⌝（P∨Q)∨（Q∨P)）∧R⇔（⌝（P∨Q）∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换）⇔R2) ∃x (A(x)→B（x)）⇔∀xA（x）→∃xB(x）证明：∃x（A（x）→B（x））⇔∃x（⌝A（x)∨B（x))⇔∃x⌝A（x)∨∃xB(x）⇔⌝∀xA(x）∨∃xB（x）⇔∀xA（x)→∃xB（x)二、求命题公式(P∨（Q∧R））→（P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）.证明：(P∨（Q∧R))→（P∧Q∧R)⇔⌝(P∨（Q∧R））∨（P∧Q∧R))⇔(⌝P∧（⌝Q∨⌝R）)∨(P∧Q∧R）⇔（⌝P∧⌝Q)∨（⌝P∧⌝R）)∨（P∧Q∧R）⇔(⌝P∧⌝Q∧R）∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R））∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R）⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D，（C∨D)→⌝E, ⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B）→（R∨S）⇒R∨S 证明：(1) （C∨D）→⌝E P(2) ⌝E→（A∧⌝B) P（3） (C∨D）→（A∧⌝B） T（1）（2),I(4） (A∧⌝B)→(R∨S) P(5） (C∨D）→（R∨S) T（3）（4)， I(6) C∨D P(7） R∨S T（5),I2) ∀x（P(x)→Q(y)∧R(x)），∃xP(x）⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R（x）)证明（1)∃xP(x) P(2）P（a) T(1)，ES（3)∀x（P(x）→Q(y）∧R(x）) P（4）P(a)→Q(y)∧R（a） T（3)，US(5）Q（y)∧R（a） T(2)(4），I（6)Q（y） T（5)，I（7)R(a） T(5)，I（8)P（a)∧R(a） T(2）（7)，I(9）∃x（P(x)∧R（x)） T(8),EG（10)Q(y）∧∃x(P(x)∧R(x)) T（6）（9)，I四、某班有25名学生,其中14人会打篮球，12人会打排球,6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试试题及答案

离散数学试题(B卷答案1）一、证明题（10分）1)(⌝P∧(⌝Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)⇔R证明: 左端⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔((⌝P∧⌝Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)⇔(⌝(P∨Q)∨(Q∨P))∧R⇔(⌝(P∨Q)∨(P∨Q))∧R⇔T∧R(置换)⇔R2) ∃x (A(x)→B(x))⇔∀xA(x)→∃xB(x)证明：∃x(A(x)→B(x))⇔∃x(⌝A(x)∨B(x))⇔∃x⌝A(x)∨∃xB(x)⇔⌝∀xA(x)∨∃xB(x)⇔∀xA(x)→∃xB(x)二、求命题公式(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）。

证明：(P∨(Q∧R))→(P∧Q∧R)⇔⌝(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))⇔（⌝P∧(⌝Q∨⌝R)）∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q)∨(⌝P∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧⌝R))∨(⌝P∧⌝Q∧⌝R))∨(P∧Q∧R)⇔m0∨m1∨m2∨m7⇔M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分）1）C∨D， (C∨D)→⌝E，⌝E→(A∧⌝B)， (A∧⌝B)→(R∨S)⇒R∨S 证明：(1) (C∨D)→⌝E P(2) ⌝E→(A∧⌝B) P(3) (C∨D)→(A∧⌝B) T(1)(2)，I(4) (A∧⌝B)→(R∨S) P(5) (C∨D)→(R∨S) T(3)(4)， I(6) C∨D P(7) R∨S T(5)，I2) ∀x(P(x)→Q(y)∧R(x))，∃xP(x)⇒Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x))证明(1)∃xP(x) P(2)P(a) T(1)，ES(3)∀x(P(x)→Q(y)∧R(x)) P(4)P(a)→Q(y)∧R(a) T(3)，US(5)Q(y)∧R(a) T(2)(4)，I(6)Q(y) T(5)，I(7)R(a) T(5)，I(8)P(a)∧R(a) T(2)(7)，I(9)∃x(P(x)∧R(x)) T(8)，EG(10)Q(y)∧∃x(P(x)∧R(x)) T(6)(9)，I四、某班有25名学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试试题(配答案)

离散数学期末考试试题(配答案)1. 谓词公式)()(x xQ x xP ∃→∀的前束范式是___________。

2. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则A ∩B =____；=A _____；=B A Y __ _____3. 设{}{}b a B c b a A ,,,,==；则=-)()(B A ρρ__ __________；=-)()(A B ρρ_____ ______。

二．选择题（每小题2分；共10分）1. 与命题公式)(R Q P →→等价的公式是（）（A ）R Q P →∨)( （B ）R Q P →∧)( （C ）)(R Q P ∧→ （D ）)(R Q P ∨→ 2. 设集合{}c b a A ,,=；A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系( )性质（A ） (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性三．计算题（共43分）1. 求命题公式r q p ∨∧的主合取范式与主析取范式。

（6分）2. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1000000011010001R M ；求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵；并画出R ；)(),(),(R t R s R r 的关系图。

（10分）5. 试判断),(≤z 是否为格？说明理由。

（5分）（注：什么是格？Z 是整数；格：任两个元素；有最小上界和最大下界的偏序）四．证明题（共37分）1. 用推理规则证明D D A C C B B A ⌝⇒∧⌝⌝⌝∧∨⌝→)(,)(,。

（10分）2. 设R 是实数集；b a b a f R R R f +=→⨯),(,:；ab b a g R R R g =→⨯),(,:。

求证：g f 和都是满射；但不是单射。

（10分）一；1； _ ∃x ∃y¬P(x)∨Q(y)2； {2} {4；5} {1；3；4；5}3； {{c}；{a ；c}；{b ；c}；{a ；b ；c}} Φ_ 二；B D三；解：主合取方式：p ∧q ∨r ⇔(p ∨q ∨r)∧(p ∨¬q ∨r)∧(¬p ∨q ∨r)= ∏0.2.4主析取范式：p ∧q ∨r ⇔(p ∧q ∧r) ∨(p ∧q ∧¬r) ∨(¬p ∧q ∧r) ∨(¬p ∧¬q ∧r) ∨(p ∧¬q ∧r)= ∑1.3.5.6.7 四；1；证明：编号公式依据（1）（¬B∨C ）∧¬C 前提（2） ¬B∨C ；¬C （1）（3） ¬B （2）（4） A →B （3）（5） ¬A （3）（4）（6） ¬（¬A∧D ）前提（7） A ∨¬D （6）（8）¬D （5）（6）2；证明：要证f 是满射；即∀y ∈R ；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使f （x1；x2）=y ；而f （x1；x2）=x1+x2；可取x1=0；x2=y ；即证得；再证g 是满射；即∀y ∈R ；；都存在（x1；x2）∈R ×R ；使g （x1；x2）=y ；而g （x1；x2）=x1x2；可取x1=1；x2=y ；即证得；最后证f 不是单射；f （x1；x2）=f （x2；x1）取x1≠x2；即证得；同理：g （x1；x2）=g （x2；x1）；取x1≠x2；即证得。

2008级离散数学试题B

天津师范大学考试试卷2009 —2010学年第一学期期末考试试卷（B 卷）科目：离散数学学院：管理学院专业：08信管、物流一、单项选择题:在每小题的备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的代（每小题分，本大题共分）1.谓词公式(∀x)(P(x) ( ∃y)R(y)) → Q(x)中量词(∀x)的辖域是（）。

A. (∀x) (P(x) ( ∃y)R(y))B. P(x)C. P(x) ( ∃y)R(y)D. P(x),Q(x)2. 下列公式中哪些公式不是前束范式（）。

A. x ∀∃y(P(x) q(y))B. ∀x ∀y(P(x) Q(y) ( ∃z)S(z))C.Q(a,b)D. P3. 给定解释N 如下：个体域为自然数D N ；D N 上特定元素a = 0；D N 上特定函数f(x,y) = x+y , g(x,y) = x ∙y ； D N 上特定谓词E(x,y)为x=y ,下列公式为真的是（）。

A. ∀xE(g(x,a),x) B. ∀x ∀y ∀zE(f(x,y),z) C. ∀x ∀yE(f(x,y),g(x,y)) D. ∃x ∃yE(f(x,y),g(x,y))4. 设集合X≠∅，则空关系∅不具备的性质是（）。

xA.反自反性B.自反性C.对称性D.传递性5. 下列各式中，哪个不成立（）。

A.(∀x) (P(x) Q(x))⇔(∀x) (P(x) (∀x)Q(x))B.(∃x)(P(x) Q(x))⇔(∃x) (P(x) (∃x)Q(x)C.(∀x) (P(x) Q(x))⇔(∀x) (P(x) (∀x)Q(x)D.(∀x) (P(x) Q)⇔(∀x) (P(x) Q)6. 设个体域A={a,b},则∃x(F(x) G(x))消去量词为（）。

A. F(a) G(a)B. F(b) G(b)C. ( F(a) G(a) (F(b) G(b)))D. F(a) G(b)7. 给定A={1,2,3,4}，A上的关系R={<1,3>,<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,4>}满足的性质是（）。

离散数学期末考试题

是火车，
是汽车，
比
快，则“火车都比汽车快”可符号化为
。
5. A上的等价关系R的定义是。
6. 设A={1，2，3}，R={<1，2>,<1，3>} 是A上的关系，则R满足下列性
质的哪几条：自反的，对称的，传递的，反自反的，反对称的。
。
7. 设Z是整数集，在Z上定义二元运算*为a*b=a+b+a·b，其中+和·是数的
加法和乘法，则代数系统<Z,*>的幺元是，零元是。
8. 若h是A=〈S，〉到A′=〈S′，′〉的同态，则h（ab）=。
9. 〈R，+，〉是环，则〈R，+〉是交换群，〈R，〉是。 10．无向图G有16条边，有3个4度结点，4个3度结点，其余结点的度数
均小于3，则G至少有个结点。
二、选择题（本大题共10小题，每小题1分，共10分）
四、（本大题共10分）
用谓词推理理论来论证下述推证：每个有理数都是实数,有的有理数是整数.因此,有的实数是整数。
五、（本大题共10分）
设 <A,*>为群，任意a,b,cA, 证明 a*b=a*c，则 b=c。
六、（本大题共10分）
设R＝{<1,2>,<3,4>,<2,2>}， S＝{<4,2>,<2,3>,<3,1>}，分别是定义为从A→B和从B→C的关系，其中A＝B＝C＝{1,2,3,4}。
1．下列语句中，不是命题的有（
）。
A. 5能被2整除。 B.太阳系以外的星球上有生物。
C. 现在开会吗？ D.小李在宿舍里。
2．与谓词公式 PQ等价的公式是（

离散数学(B卷)参考答案

2007-2008学年第2学期期末考试试卷（B卷）参考答案及评分标准一、填空题（4小题，每空2分，共20分）1、2n2、T3、225，220，52，55，5！4、ℵ，ℵ0二、判断题（4小题，每小题2分，共8分。

正确的划√，错误的划×。

）1、√2、×3、√4、√三、计算或简答题（5小题，共36分）1、在命题逻辑中把下列命题符号化（3小题，每题3分，共9分）（1）设P：别人有困难，Q：老王帮助别人，R：困难解决了。

符号化为(P∧⌝R)→Q或⌝R→(P→Q)（2）设P：我今天上街，Q：我有时间。

符号化为Q→P（3）设P：n是整数，Q：n是偶数，R：n能被2整除。

符号化为(P∧Q)⇄R2、在谓词逻辑中把下列命题符号化（3小题，每题3分，共9分）（1）设P(x)：x是无理数，Q(x)：x能表示成分数。

符号化为⌝∃x (P(x)∧Q(x)) 或∀x(P(x)→⌝Q(x))（2）设P(x,y)：x=y，Q(x)：x是实数，符号化为∀x(Q(x)∧⌝P(x,0)→∃y(Q(y)∧P(xy,1)))或者∀x∃y (Q(x)∧⌝P(x,0)→(Q(y)∧P(xy,1)))（3）设P(x)：x是人，Q(x)：x努力，R(x)：x成功。

符号化为∀x(P(x)∧R(x)→Q(x))3、用等价演算法求下面公式的主析取范式.主合取范式：P→(Q→R)⇔⌝P∨(⌝Q∨R) ⇔⌝P∨⌝Q∨R...............[斟酌给0～2分]公式的所有极小项有⌝P∧⌝Q∧⌝R，⌝P∧⌝Q∧R，⌝P∧Q∧⌝R，⌝P∧Q∧R，P∧⌝Q∧⌝R，P∧⌝Q∧R，P∧Q∧⌝R，故主析取范式为...........................[斟酌给0～2分] (⌝P∧⌝Q∧⌝R)∨(⌝P∧⌝Q∧R)∨(⌝P∧Q∧⌝R)∨(⌝P∧Q∧R)∨(P∧⌝Q∧⌝R)∨(P∧⌝Q∧R)∨(P∧Q∧⌝R)........................................................[斟酌给0～1分] 4、求下面公式的前束范式（5分）∀x(∃yF(x,y)→⌝∀y(G(x,y)∧∃zH(x,y,z)))⇔∀x(∃yF(x,y)→∃y(⌝G(x,y)∨∀z⌝H(x,y,z)))........................[斟酌给0～1分]⇔∀x(∃uF(x,u)→∃y(⌝G(x,y)∨∀z⌝H(x,y,z))) ........................[斟酌给0～2分]⇔∀x∀u∃y∀z (F(x,u)→(⌝G(x,y)∨⌝H(x,y,z))) .....................[斟酌给0～2分] 5、解：不满足自反性、反自反性、反对称性和传递性。

离散数学期末考试题-08-09-2-A-信科-答案

解： P((PQ)(QP)) P((PQ) QP)
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北京交通大学 2008-2009 学年第 2 学期离散数学基础（07 级信科专业）期末试题 & 参考答案
P(QP) (P (QQ)) (QP) (P Q) (PQ) (QP) P((PQ)(QP)) P((PQ) QP) P(QP) (PQ) (PP) PQ 3.

A a, b, aaa, bbb
。
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北京交通大学 2008-2009 学年第 2 学期离散数学基础（07 级信科专业）期末试题 & 参考答案
6. 设 A a， b,c ，则 A 的幂集是 P( A)

P( A) , a, b, c , a, b, c
2. （6 分）证明，在有界分配格中，具有补元的那些元素组成一个子格。
k 3. （10）设 G, 是 n 阶循环群，其生成元为 a 。设 b a ，其中 k 为正整数。证明：
n ，这里 d 为 n 与 k 的最大公约数； d （2）元素 b 为 G 的生成元的充要条件为 n 与 k 互质。
4.
x2 , x 3 设 f : R R, f ( x ) ， g : R R, g ( x) x 2 ，则 ( f g )( x): R R 2, x 3
是（ C ）。
( x 2)2 （A） 2
（C）
x 1 x 1
;
( x 2) x 3 （B） ; x3 2
（主析取范式）
（主合取范式）
化简（ABC）（（AB）C）（ABC）（ABC）（ABC）（（AB）C）（ABC）（ABC） =（A~B~C）（A~BC）（AB~C）（ABC） =（（A~B）（~CC））（（AB）（~CC）） =（（A~B）E）（（AB）E） E 为全集 =（A~B）（AB） = A（~BB） = AE = A

离散数学期末考试题b及答案

离散数学期末考试题b及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 在集合论中，以下哪个符号表示"属于"关系？A. ∈B. ∉C. ⊆D. ⊂答案：A2. 命题逻辑中，以下哪个符号表示"非"？A. ∧B. ∨C. ¬D. →答案：C3. 以下哪个选项是图的邻接矩阵的正确定义？A. 矩阵的元素表示顶点之间的路径数量B. 矩阵的元素表示顶点之间的边的权重C. 矩阵的元素表示顶点之间的距离D. 矩阵的元素表示顶点之间的连接关系答案：D4. 在布尔代数中，以下哪个运算是幂等的？A. 与运算B. 或运算C. 非运算D. 异或运算答案：C5. 以下哪个选项是哈希函数的基本特性？A. 快速计算B. 容易逆向C. 容易碰撞D. 难以预测答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 有限自动机的三个组成部分是____、____和____。

答案：状态集、输入字母表、转移函数2. 在图论中，一个图的度是指图中一个顶点的____的个数。

答案：边3. 逻辑等价是指两个逻辑表达式在所有可能的变量赋值下都有____的真值。

答案：相同4. 在关系数据库中，____是用于唯一标识关系表中每行数据的属性或属性组。

答案：主键5. 一个算法的时间复杂度是指算法执行时间随输入规模增长的____。

答案：增长趋势三、简答题（每题5分，共20分）1. 请简述什么是图的连通分量。

答案：图的连通分量是指图中最大的连通子图，即图中任意两个顶点之间都存在路径。

2. 解释一下什么是闭包。

答案：闭包是指在关系数据库中，对于一组属性，如果它们之间存在某种函数依赖关系，则称这组属性的闭包包含了所有依赖于它们的属性。

3. 什么是归纳法证明？答案：归纳法证明是一种数学证明方法，它包括两个步骤：基础步骤（证明当n取第一个值时命题成立）和归纳步骤（假设当n=k时命题成立，然后证明当n=k+1时命题也成立）。

4. 请描述一下什么是欧拉路径和欧拉回路。

《离散数学》期末考试试卷(B)(2007-2008)

武汉大学国际软件学院2007-2008学年第二学期期末考试试卷课程名称：《离散数学》（B 卷）专业：软件工程/空间信息与数字技术层次：本科年级：2007级/2006级姓名：学号：考分：一、填空题（本大题共8小题，每空2分，共20分）1、P 、Q 均为命题，在条件下，P Q P Q ∨=⊕。

2、()P Q Q →∧⌝⇒ 为拒取式推理规则。

3、命题“只有不怕困难，才能战胜困难。

”的符号化形式为。

4、(,)x yF x y ⌝∃∀的前束范式为。

5、设{}1,2,4A =，A 上的关系{},R x y x y =，R = ，关系R 具有性质，它是关系。

6、设A A f →:，如果f 是双射的，则=-1f f 。

7、设{}{}{}{}1,2,1=A ，则A 的幂集P ( A )= 。

8、当n 为时，完全图n K 既是欧拉图，又是哈密图。

二、计算题（本大题共4小题，共39分）1、（本题10分）已知由三个变元P 、Q 、R 组成的合式公式为()()P Q Q R →∧→。

（1）用真值表的方法求主合取范式；（2）用等值演算的方法求主析取范式；（3）说明你所得结果的关系。

2、（本题9分）设{}{}{}1,2,,12,1,3,5,7,9,11,2,3,5,7,11,U A B === {}{}2,3,6,12,2,4,8,C D ==求：（1） ()C A B - ；（2）B D ⊕；（3）C D ⨯。

3、（本题10分）列出集合{}4,3,2=A 上的恒等关系I A ，全域关系E A ，小于或等于关系L A ，整除关系D A 。

4、（本题10分）设{}{}1,2,,,A B a b c ==，求B A 。

三、证明题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）1、证明下列推理。

前提：()())(,)()(,)()(x R x x R x G x x G x F x ∀⌝∨⌝∀∨∀ 结论：)(x F x ∀2、Show that if A and B are sets, then ()()()A B C A B A C = 。

离散数学期末考试试题及答案

冑散数学试题(B卷篆亲U一、证明题(10分)1)(「P/\ J Q/\R) ) V (Q/\R) V (PAR)oRiW：左端n(-P/\-QAR) V((QVP) AR)<^>((_PA-fi)AR))V( (QVP) AR)o(-1(PVQ)AR)V((QVP)AR)o(-WQ)V(QVP))ARoJGVQ)\/(P\/Q))ARoTAR(l^)62)3x (A(X)T B(X))O V X A(X)^3X B(X):3X(A(X)T B(X))U3X(-A(X) VB(x))<^x-A(x) V2xB(x)<^=>-iVxA(x) \/3}£(x)oVxA (x)—>3xB (x)二、求命题公式(PV(QAR))^(PAQAR)的主析取范式和主合取范式(10分)。

证明：(PV(QAR))^(PAQAR)<»-(PV(QAR))V(PAQAR))O (^PA(-nQV^R)) V(PAQAR)o JP/\「Q)v (-PA^R)) V (PAQAR)o(「P/\「QAR)v (-nPA-QA^R) V (-nP AQ A-R)) V (-.PA-nQ A^R)) V (PAQAR)<=>moVmi VmzVmT^M O VM^VM B VM G三、推理证明题(10分)1) CVD, (CVD)T「E, 「E T(A/\「B), (AA-nB)-^(RVS)=>RVS证明：(1) (CVD)T「E P(2)「E T(A/UB) P(3) (CVD)^(AA-nB) T(l)(2), I(4) (AA^B)^(RVS) p(5) (CVD)T(RVS) T⑶⑷，I(6) CVD p(7) RVS T(5), I2) Vx(P(x)TQ(y) AR(x)), 3xP (x) =>Q (y) A 3x (P (x) A R (x))证明(l)3xP(x) P(2)P(a)(3)Vx(P(x)TQ(y)AR(x))(4)P(a)^Q(y) AR(a)(5)Q(y) AR(a)(6)Q(y)(7)R(a)(8)P(a) AR(a)(9)3x(P(x)AR(x))(10)Q(y) A3x(P(x) AR(x)) T ⑴,ESPT(3), UST⑵⑷，IT(5), IT(5), IT(2) (7), IT(8), EGT(6) (9), I四、某班有25需学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5 人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。

离散数学期末考试题及答案

离散数学期末考试题及答案1. 题目描述：以下是离散数学期末考试的题目。

请仔细阅读每个问题，并在题后给出相应的答案。

请注意，答案应尽量详细和准确，以确保得分。

1.1 命题与谓词逻辑（20分）1.1.1 什么是命题逻辑？它可以用于解决哪些问题？1.1.2 简要解释谓词逻辑的概念和其在离散数学中的应用。

1.2 集合和图论（30分）1.2.1 定义两个集合的并、交和差的概念。

1.2.2 解释有向图和无向图的区别，并给出一个实际应用中的例子。

1.3 关系和函数（40分）1.3.1 什么是关系？请给出一个实际应用中关系的例子。

1.3.2 定义函数的概念，并解释函数与关系的区别。

1.4 计数原理（20分）1.4.1 简要阐述乘法原理和加法原理的概念，并给出一个应用实例。

1.4.2 什么是排列和组合？请说明它们的应用场景，并给出一个例子。

2. 答案解析：2.1 命题与谓词逻辑1.1.1 命题逻辑是一种数学分支，用于研究命题之间的关系和推理规则。

其应用范围广泛，包括数学、计算机科学、哲学等领域。

1.1.2 谓词逻辑是一种扩展了命题逻辑的逻辑体系，它考虑了命题中的变量、谓词和量词等元素。

在离散数学中，谓词逻辑常用于描述集合、函数和关系等概念。

2.2 集合和图论1.2.1 集合的并（∪）是指将两个或多个集合中的所有元素取出形成一个新的集合；交（∩）指仅包含两个或多个集合中共有的元素；差（-）是指从一个集合中去除另一个集合中的元素。

1.2.2 有向图中，边是具有方向性的；而在无向图中，边是没有方向性的。

例如，在社交网络中，有向图可以表示人与人之间的关注关系，而无向图可以表示人与人之间的好友关系。

2.3 关系和函数1.3.1 关系是集合之间的一种特殊的子集，它描述了元素之间的某种联系。

例如，家族中的血亲关系可以看作是一个关系。

关系可以用图、矩阵等方式表示。

1.3.2 函数是一种特殊的关系，它将一个集合中的每个元素映射到另一个集合中的唯一元素。

离散数学题目

2006~2007学年第一学期期末考试《离散数学》试卷（A ）一．单项选择题（2×10=20分）1．设命题公式⌝(P ∧(Q →⌝P ))，记作G ，使G 的真值指派为0的P ，Q 的真值是( ) (A) (0,0) (B) (0,1) (C) (1,0) (D) (1,1) 2．与命题公式P →（Q →R ）等价的公式是( )(A) (P ∨Q )→R (B)(P ∧Q )→R (C) (P →Q )→R (D) P →(Q ∨R ) 3. 命题公式(P ∧Q )→P 是( )(A) 永真式 (B) 永假式 (C) 可满足式 (D) 合取范式4．在谓词演算中，P (a )是)(x xP ∀的有效结论，根据是 ( )(A)US 规则 (B) UG 规则 (C)ES 规则 (D)EG 规则5. 设S 1＝∅，S 2＝{∅}, S 3＝P ({∅}), S 4＝P (∅)，以下命题为假的是( )(A) S 2∈S 4 (B) S 1 ⊆ S 3， (C) S 4 ⊆ S 2 (D) S 4∈ S 36. 设集合A ＝{a ,b ,c },A 上的二元关系R ＝{<a ,a >,<b ,b >}不具备( )性质. (A) 传递性 (B) 反对称性 (C) 对称性 (D) 自反性 7．设A ＝{0,a },B ={1,a ,3},则A ⋃B 的恒等关系是( )(A) {<0,0><1,1>,<3,3>,<a ,a >} (B) {<0,0>,<1,1>,<3,3>}(C) {<1,1>,<a ,a >,<3,3>} (D) {<0,1>,<1,a >,<a ,3>,<3,0>}8. 设集合A ＝{1,2,3,…,10},在集合A 上定义的运算*，不是封闭的为( )(A) ∀a ,b ∈A , a *b =lcm{a ,b }(最小公倍数) (B) ∀a ,b ∈A , a *b =gcd{a ,b }(最大公约数) (C)∀a ,b ∈A , a *b =max{a ,b } (D) ∀a ,b ∈A , a *b =min{a ,b } 9. 在自然数N 上定义的二元运算∙，满足结合律的是( )(A) a ∙b =a －b (B) a ∙b =a +2b (C) a ∙b =max{a ,b } (D) a ∙b =∣a －b ∣ 10．在图G ＝<V ,E >中，结点总度数与边数的关系是( ) (A) deg(v i )=2∣E ∣ (B) deg(v i )= ∣E ∣ （C ）∑∈=Vv E v 2)deg( (D)∑∈=Vv E v )deg(二．填空题（2×12=24分）1．设L (x )：x 是演员，J (x )：x 是老师，A (x ,y )：x 佩服y. 那么命题“所有演员都佩服某些老师”符号化为2．谓词公式)())()((x Q y yR x P x →∃∨∀中量词∀x 的辖域是；3．设R 1，R 2是集合A ＝{1,2,3,4}上的二元关系,其中R 1＝{<1,1>,<1,2>,<2,4>}, R 2={<1,4>,<2,3>,<2,4>,<3,2>}, 则R 1⋅R 2＝；4．设21,},,,,{R R d c b a A =是A 上的二元关系，},,,,,,,,,{},,,,,,,{21><><><><><=><><><><=d d b c c b b b a a R d d c b b b a a R 则R 2是R 1的闭包5．设A 是非空集合，集合代数(P (A )，⋃，⋂)中，P (A )对运算⋃的单位元是， P (A )对运算⋂的单位元是 .；6．在布尔代数中，有b∧(成立. 则该式的对偶式也一定成立；.=∨)baaa∨7．设m=>=<,,G=,为连通平面图且有r个面，则r＝；EnVEV8．设G是n个结点的无向完全图，则图G的边数为 ,其点连通度为；9.有限布尔格中有n个原子，则此布尔格中元素个数为；10．4个元素的集合共有个不同的划分；三．（10分）符号化下列命题，并用推理规则推证其结论（1）如果6是偶数，则7被2除不尽；（2）或5不是素数，或7被2除尽；（3）但5是素数；（4）所以6是奇数；四．（10分）求(P∧Q) ∨(⌝P∧R)的主和取范式和主析取范式；五．（8分）设A，B为任意集合，试证明BA=-⇔-A=BAB六．（10分）设A＝{1,2,3,4,5},R是A上的二元关系R＝{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<3,4>,<4,4>,<5,3>,<5,4>,<5,5>} 证明R是A上的偏序关系，并画出哈斯图,并判断此偏序集是否为格；七．（8分）设群中每个元素的逆元素就是其自身，则G是一个交换群.八．（10分）设G是图，无回路，但若外加任意一条边于G后，就形成一回路. 试证明G必为树.2008~2009学年第一学期期末考试《离散数学B》试卷（A）一．单项选择题（1×12=12分）1．下列选项中（）是命题变元P，Q的极小项(A) P∧⌝P ∧Q (B) ⌝P ∨Q (C) ⌝P∧Q (D) P∨⌝P ∨Q2．以下命题公式为永真式的是( )(A) ⌝P→（P∨ Q∨R) (B)（P→⌝P）→⌝P (C) ⌝ (P→Q) ∧Q (D) P→(Q∨R)3. 设R为实数集，R+={x∣x∈R∧x>0}, *是数的乘法运算，<R+,*>是一个群，则下列集合关于数的乘法运算构成该群的子群的是（）(A) ｛R+中的有理数｝ (B) ｛R+中的无理数｝ (C) ｛R+中的自然数｝ (D) ｛1,2,3｝4．若P：今天下雪了；Q：路滑；则“虽然今天下雪了，但路不滑”，可符号化为( )（A）P ∨Q（B）P∧⌝Q （C）P→⌝Q （4）P ∨⌝Q5. 下列式子正确的是 ( )(A) ∅∈∅ (B) ∅⊆∅， (C) {∅}⊆∅ (D) {∅}∈∅6. 设集合A＝{a,b,c},A上的二元关系R＝{<a,a>,<b,b>，<a,c>},则s(R)=( )(A) R∪IA (B)R (C) R∪{<c,a>} (D) R∩IA7．设A＝{a,b,c,d },A上的等价关系R={<a,b>,<b,a>,<c,d>,<d,c>}∪IA,则对应于A的划分是（）(A) {{a},{b,c},{d}} (B) {{a,b},{c},{d}}(C) {{a},{b},{c},{d}} (D) {{a,b},{c,d}}8. 设集合A＝{1,2,3,…,10},在集合A上定义的运算*，不是封闭的为( )(A) ∀a,b∈A, a*b=lcm{a,b}(最小公倍数) (B) ∀a,b∈A, a*b=gcd{a,b}(最大公约数)(C)∀a,b∈A, a*b=max{a,b} (D) ∀a,b∈A, a*b=min{a,b}9.在自然数N上定义的二元运算∙，不满足结合律的是( )(A) a∙b=min(a,b ) (B) a∙b=a+b (C) a∙b=GCD{a,b}(a,b的最大公约数) (D) a∙b=a(mod)b10．在图G＝<V,E>中，结点总度数与边数的关系是( )(A) deg(v i)=2∣E∣(B) deg(v i)= ∣E∣（C）∑∈=V vEv2)deg((D) ∑∈=VvEv)deg(11．由集合A的一个覆盖确定A的元素间关系为（）（A）全序关系（B）等价关系（C）偏序关系（D）相容关系12．下列论述中，错误的为（）（A）循环群必为阿贝尔群（B）循环群的生成元唯一（C）循环群的子群为循环群（D）阶数为3的群必为阿贝尔群二．填空题（2×18=36分）1．设L(x)：x是人，J(x)：x犯错误，. 那么命题“没有不犯错误的人”符号化为，量词辖域是2．设R1，R2是集合A＝{1,2,3,4，5}上的二元关系,其中R1＝{<2,2>,<1,2>,<3,4>}, R2={<4,2>,<2,5>,<1,3>,<3,1>},则R1⋅R2＝；3．设论域为｛a,b,c｝，则（∀x）S(x)等价于命题公式，（∃x）S(x) 等价于命题公式;4．设A是非空集合，集合代数(P(A)，⋃，⋂)中，P(A)对运算⋃的幺元是，P(A)对运算⋂的幺元是.5．设G为连通简单平面图，且有11个顶点，5个面，则边＝；6．设R是A上的二元关系，则r(R)= ,s（R）= ；7. 设R是A上的二元关系，且具有对称性，反对称性，自反性和传递性，则R是，是；8.设<S,≤>是一个偏序集，若S中任意两个元素都有和则称<S,≤>是一个格；9.设I是整数集，在I上定义二元运算*为a*b=a+b+a.b,其中+和*是数的加法和乘法，则<I,*>的幺元是是；10.在一棵根树中，仅有一个结点的入度为，称为树根，其余结点的入度均为；三．（10分）符号化下列命题，并用推理规则推证其结论如果他是计算机系本科生或者是计算机系研究生，那么他一定学过DELPHI语言而且学过C++语言。

(完整word版)《离散数学》期末试题及答案

326《离散数学》期末考试题(B)一、填空题(每小题3分，共15分)1.设,,},,{{b a b a A =∅}，则-A ∅ = ( )，-A {∅} = ( )，)(A P 中的元素个数=|)(|A P ( ).2.设集合A 中有3个元素，则A 上的二元关系有( )个，其中有( )个是A 到A 的函数.3.谓词公式))()(())()((y P y Q y x Q x P x ⌝∧∃∧→∀中量词x ∀的辖域为( ), 量词y ∃的辖域为( ).4.设}24,12,8,6,4,3,2,1{24=D ，对于其上的整除关系“|”，元素( )不存在补元.5.当n ( )时，n 阶完全无向图n K 是平面图，当当n 为( )时，n K 是欧拉图. 二．1. 若n B m A ==||,||，则=⨯||B A ( )，A 到B 的2元关系共有( )个，A 上的2元关系共有( )个.2. 设A = {1, 2, 3}, f = {(1,1), (2,1), (3, 1)}, g = {(1, 1), (2, 3), (3, 2)}和h = {(1, 3), (2, 1), (3, 1)}，则( )是单射，( )是满射，( )是双射.3. 下列5个命题公式中，是永真式的有( )(选择正确答案的番号). (1)q q p p →→∧)(； (2))(q p p ∨→； (3))(q p p ∧→； (4)q q p p →∨∧⌝)(； (5)q q p →→)(.4. 设D 24是24的所有正因数组成的集合，“|”是其上的整除关系，则3的补元( )，4的补元( )，6的补元( ).5. 设G 是(7, 15)简单平面图，则G 一定是( )图，且其每个面恰由( )条边围成，G 的面数为( ).三．1.设}}{},,{{c b a A =，}}{},,{},{{c c b a B =，则)(=⋃B A ，)(=⋂B A ，)()(=A P .2.集合},,{c b a A =，其上可定义( )个封闭的1元运算，( )个封闭的2元运算，( )个封闭的3元运算.3.命题公式1)(↑∧q p 的对偶式为( ).4.所有6的因数组成的集合为( ).5.不同构的5阶根树有( )棵.四、(10分)设B A f →:且C B g →:，若g f ο是单射，证明f 是单射，并举例说明g不一定是单射.五、(15分)设},,,{d c b a A =,A 上的关系)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(c d b d a d c c b c a c c a b a a a R =,1.画出R 的关系图R G .2.判断R 所具有的性质.3.求出R 的关系矩阵R M .六、(10分)利用真值表求命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式和主合取范式.七、(10分) 边数30<m 的简单平面图G ，必存在节点v 使得4)deg(≤v . 八、(10分) 有六个数字，其中三个1，两个2，一个3，求能组成四位数的个数.《离散数学》期末考试题(B)参考答案一、1. {{a , b }, a , b , ∅}， {{a , b }, a , b }，16.2.92, 27.3.)()(x Q x P →, )()(y P y Q ⌝∧.4. 2, 4, 6, 12.5.4≤，奇数. 二、1.22,2,m mn mn .2.g , g , g .3.1,2,4.4.8，不存在，不存在.5.连通，3，10.三、1. }}{},,{},,{},{{c c b b a a B A =⋃，}}{{c B A =⋂，{)(=A P ∅, {{a , b }}, {{c }}, {{a , b }, {c }}}.2.27933,3,3. 3.0)(↓∨q p .4.{-1，-2，-3，-6，1，2，3，6}.5.9.四、证对于任意A y x ∈,，若)()(y f x f =，则))(())((y f g x f g =，即))(())((y g f x g f οο=. 由于g f ο是单射，因此y x =，于是f 是单射.例如取},,{},3,2,1(},,{γβα===C B b a A ，令)}2,(),1,{(b a f =，)},3(),,2(),,1{(ββα=g ，这时)},(),,{(βαb a g f =ο是单射，而g 不是单射.五、解 1. R 的关系图R G 如下：2.(1)由于R b b ∉),(，所以R 不是自反的. (2)由于R a a ∈),(，所以R 不是反自反的.(3)因为R b d ∈),(，而R d b ∉),(，因此R 不是对称的. (4)因R a c c a ∈),(),,(，于是R 不是反对称的.(5)经计算知R c d a d c c b c a c c a b a a a R R ⊆=)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(ο，进而R 是传递的.综上所述，所给R 是传递的.3.R 的关系矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0111011100000111R M .六、解命题公式))(())((p q r r q p A →→↔→→=的真值表如下:由表可知，))(())((p q r r q p A →→↔→→=的主析取范式为).()()()()()(r q p r q p r q p r q p r q p r q p A ⌝∧⌝∧⌝∨∧⌝∧⌝∨⌝∧∧⌝∨⌝∧⌝∧∨∧⌝∧∨∧∧=A 的主合取范式为)()(r q p r q p A ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨⌝=.七、证不妨设G 的阶数3≥n ，否则结论是显然的. 根据推论1知，63-≤n m . 若G 的任意节点v 的度数均有5)deg(≥v ，由握手定理知n v m v5)deg(2≥=∑.于是m n 52≤，进而652363-⋅≤-≤m n m . 因此30≥m ，与已知矛盾. 所以必存在节点v 使得4)deg(≤v .八、解设满足要求的r 位数的个数有a r 种，r = 0，1，2，…，则排列计数生成函数()x x x x x x x E +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=1!21!3!21)(23265432121211219619431x x x x x x ++++++=, 因而38!412194=⋅=a .。

离散数学期末考试试题(有几套带答案)

离散试卷及答案离散数学试题(A 卷及答案）一、证明题（10分） 1)(P ∧(Q ∧R))∨(Q ∧R)∨(P ∧R)R证明: 左端(P ∧Q ∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∧Q)∧R))∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∧R)∨((Q ∨P)∧R)((P ∨Q)∨(Q ∨P))∧R ((P ∨Q)∨(P ∨Q))∧RT ∧R(置换)R2)x(A(x)B(x))xA(x)xB(x) 证明：x(A(x)B(x))x(A(x)∨B(x))xA(x)∨xB(x)xA(x)∨xB(x)xA(x)xB(x)二、求命题公式(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)的主析取范式和主合取范式（10分）证明：(P ∨(Q ∧R))(P ∧Q ∧R)(P ∨(Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))（P ∧(Q ∨R)）∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q)∨(P ∧R))∨(P ∧Q ∧R) (P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R)∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R))∨(P ∧Q ∧R) m0∨m1∨m2∨m7 M3∨M4∨M5∨M6三、推理证明题（10分） 1）C ∨D, (C ∨D) E, E (A ∧B), (A ∧B)(R ∨S)R ∨S证明：(1) (C ∨D) E(2) E (A ∧B) (3) (C ∨D)(A ∧B)(4) (A ∧B)(R ∨S)(5) (C ∨D)(R ∨S)(6) C ∨D (7) R ∨S 2) x(P(x)Q(y)∧R(x))，xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧R(x)) 证明（1）xP(x)(2)P(a) (3)x(P(x)Q(y)∧R(x)) (4)P(a)Q(y)∧R(a)(5)Q(y)∧R(a) (6)Q(y) (7)R(a) (8)P(a) (9)P(a)∧R(a) (10)x(P(x)∧R(x))(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))四、设m 是一个取定的正整数，证明：在任取m ＋1个整数中，至少有两个整数，它们的差是m 的整数倍证明设1a ，2a ，…，1+m a 为任取的m ＋1个整数，用m 去除它们所得余数只能是0，1，…，m －1，由抽屉原理可知，1a ，2a ，…，1+m a 这m ＋1个整数中至少存在两个数s a 和t a ，它们被m 除所得余数相同，因此s a 和t a 的差是m 的整数倍。