2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第1部分专题6 第2讲概率与统计 Word版含解析]

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高考数学二轮专题突破 (预测演练+提能训练)第1部分专

《创新方案》2014届高考数学（理科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题七第2讲不等式选讲（选修4-5）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）1．(2013·陕西高考改编)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，求关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集．解：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2，∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R.2．若x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的取值范围．解：依题意得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y的取值范围是[3＋22，＋∞)． 3．设x ，y ，z 为正数，求证：2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．证明：因为x 2＋y 2≥2xy >0，所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )，又因为xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )，所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．4．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．5．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0.故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．6．(2013·呼和浩特模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，|x |＋2|x －1|≤8，∵f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x≥1，－x ＋2，0<x <1，－3x ＋2，x ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，3x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－3x ＋2≤8，解得1≤x ≤103或0<x <1或－2≤x ≤0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －2≤x ≤103.(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2a ，x ≥a ，－x ＋2a ，0<x <a ，－3x ＋2a ，x ≤0，若f (x )≥6恒成立，由图像可得a ≥6(图像略)，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题1 第2讲数学思想专练2 Word版含解析]

[数学思想专练(二)]一、选择题1．不等式x 2－log a x <0，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，12时恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．0<a <1 B.116≤a ＜1C ．a >1D ．0<a ≤116解析：选B 不等式x 2－log a x <0转化为x 2<log a x ，由图形知0<a <1且⎝⎛⎭⎫122≤log a 12，所以a ≥116，所以116≤a <1.2．(2013·西城模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x 的零点个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B 函数g (x )＝f (x )－e x 的零点即为函数f (x )与y ＝e x 的图像交点的个数，如图所示，作出函数f (x )与y ＝e x 的图像，由图像可知两个函数图像有两个交点，∴函数g (x )＝f (x )－e x 有两个零点．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))＋1的零点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选A 令x ＋1＝0，得x ＝－1，令log 2x ＝0，得x ＝1；令F (x )＝f (f (x ))＋1，则F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤－1，log 2(x ＋1)＋1，－1<x ≤0，log 2x ＋2，0<x ≤1，log 2(log 2x )＋1，x >1.作出函数y ＝F (x )的图像如图所示，有4个零点．4．已知平面向量a 、b ，|a |＝1，|b |＝3，且|2a ＋b |＝7，则向量a 与向量a ＋b 的夹角为( )A.π2B.π3C.π6D ．π解析：选B ∵|2a ＋b |2＝4|a |2＋4a ·b ＋|b |2＝7，|a |＝1，|b |＝3， ∴4＋4a ·b ＋3＝7，即a ·b ＝0，∴a ⊥b . 如图所示，a 与a ＋b 的夹角为∠COA ，∵tan ∠COA ＝|CA ||OA |＝31，∴∠COA ＝π3，即a 与a ＋b 的夹角为π3.5．以椭圆的右焦点F 2为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于M ，N 两点，若直线MF 1(F 1为椭圆的左焦点)是圆F 2的切线，则椭圆的离心率为( )A ．2－ 3 B.3－1 C.22D.32解：选B 如图，易知|MF 2|＝c ，∵|MF 1|＋|MF 2|＝2a ，∴|MF 1|＝2a －c .在△F 1MF 2中，∵MF 1⊥MF 2，又|F 1F 2|＝2c ，∴(2a －c )2＋c 2＝(2c )2，即2a 2－2ac －c 2＝0.方程两边同除以－a 2得e 2＋2e －2＝0，解得e ＝3－1.6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)解析：选C 画出函数f (x )的图像，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10，10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.二、填空题7．如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图像与函数y ＝k (x －2)＋4的图像有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．解析：函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋ (y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图像是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图像如图所示，易得实数k 的范围是⎝⎛⎦⎤512，34.答案：⎝⎛⎦⎤512，348．已知1a ＋2b ＝1(a >0，b >0)，当ab 取最小值时，方程2－2x ＝b －bax |x |的实数解的个数是________．解析：1ab ＝12⎝⎛⎭⎫1a ·2b ≤12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b 22＝18，当1a ＝2b ，即a ＝2，b ＝4时等号成立，则方程1－x ＝2－x |x |，在同一坐标系作出y 1＝－(x －1)和y 2＝2－x |x |的草图，交点个数为1，即方程的解的个数为1.答案：19．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －2，x ≤0，2ax －1，x >0(a 是常数且a >0)．对于下列命题：①函数f (x )的最小值是－1；②函数f (x )在R 上是单调函数；③若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a 的取值范围是a >1；④对任意的x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2. 其中正确命题的序号是________．解析：如图所示，作出函数f (x )的图像，显然f (x )在(－∞，0)上单调递减，而a >0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的最小值为f (0)＝－1，故命题①正确；显然，函数f (x )在R 上不是单调函数，②错误；因为f (x )在(0，＋∞)上单调递增，故函数f (x )在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上的最小值为f ⎝⎛⎭⎫12＝2a ×12－1＝a －1，所以若f (x )>0在⎣⎡⎭⎫12，＋∞上恒成立，则a －1>0，即a >1，故③正确；由图像可知在(－∞，0)上对任意x 1<0，x 2<0且x 1≠x 2，恒有f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22<f (x 1)＋f (x 2)2成立，故④正确．综上，正确的命题有①③④. 答案：①③④ 三、解答题10．已知a >0，函数f (x )＝x |x －a |＋1(x ∈R)． (1)当a ＝1时，求所有使f (x )＝x 成立的x 的值；(2)当a ∈(0,3)时，求函数y ＝f (x )在闭区间[1,2]上的最小值．解：(1)因为x |x －1|＋1＝x ，所以x ＝－1或x ＝1.(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－ax ＋1， x ≥a ，－x 2＋ax ＋1， x <a ，(其示意图如图所示)①当0<a ≤1时，x ≥1≥a ，这时，f (x )＝x 2－ax ＋1，对称轴是x ＝a 2≤12<1，所以函数y ＝f (x )在区间[1,2]上递增， f (x )min ＝f (1)＝2－a;②当1<a ≤2时，当x ＝a 时函数f (x )min ＝f (a )＝1；③当2<a <3时，x ≤2<a ，这时，f (x )＝－x 2＋ax ＋1，对称轴是x ＝a2∈⎝⎛⎭⎫1，32，f (1)＝a ，f (2)＝2a －3.因为(2a －3)－a ＝a －3<0，所以函数f (x )min ＝f (2)＝2a －3.11．设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≤0，g (x )，x >0，其中f (x )＝ax 3－3ax ，g (x )＝12x 2－ln x ，方程F (x )＝a 2有且仅有四个解，求实数a 的取值范围．解：x ∈(0,1)时，g ′(x )＝x －1x <0，x ∈(1，＋∞)时，g ′(x )＝x －1x >0，所以当x ＝1时，g (x )取极小值g (1)＝12.(1)当a ＝0时，方程F (x )＝a 2不可能有4个解； (2)当a <0时，因为f ′(x )＝3a (x 2－1)，若x ∈(－∞，0]时，f ′(x )＝3a (x 2－1)，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )>0，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极小值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(1)所示，从图像可以看出F (x )＝a 2不可能有4个解．图(1) 图(2)(3)当a >0时，当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )>0，当x ∈(－1,0]时，f ′(x )<0，所以当x ＝－1时，f (x )取得极大值f (－1)＝2a ，又f (0)＝0，所以F (x )的图像如图(2)所示，从图像看1 2<a 2<2a，所以实数a的取值范围是⎝⎛⎭⎫22，2.出方程F(x)＝a2若有4个解，则。

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题2 第2讲填空题技法专练含解析

解析:依题意得｜AB＋AC｜2＝｜AC－AB|2，（AB＋AC)2－(AC－AB）2＝4AC·AB＝0,AC⊥AB，｜AC－AB|＝｜BC｜＝错误!＝2.答案：22．已知函数f（x）＝（1＋tan x）cos2x的定义域为错误!，则函数f(x)的值域为________．解析：f(x)＝(1＋tan x)cos2x＝错误!sin错误!＋错误!，因为x∈错误!，所以sin错误!∈错误!，所以f(x）的值域为错误!.答案：错误!3．(2013·济南模拟）复数错误!的虚部为________．解析：∵错误!＝错误!＝1－i，∴复数错误!的虚部为－1。

答案：－14．已知点P（x，y)在直线x＋2y＝3上移动，当2x＋4y取得最小值时，过点P引圆错误!2＋错误!2＝错误!的切线，则此切线段的长度为________．解析：由基本不等式得2x＋4y≥2错误!＝2错误!＝4错误!,当且仅当x＝2y＝错误!时取得最小值,即P错误!.由于点P与圆心C之间的距离｜PC｜＝错误!，故切线长＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：错误!5．如果一个棱柱的底面是正多边形，并且侧棱与底面垂直，这样的棱柱叫做正棱柱．已知一个正六棱柱的各个顶点都在半径为3的球面上,则该正六棱柱的体积的最大值为________．解析：设棱柱高为2x(0<x<3）,则底面积S＝6×错误!×（错误!)2,则V＝Sh＝6×错误!（错误!)2×2x＝3错误!(9－x2）x＝－3错误!x3＋27错误!x，令V′＝－9错误!x2＋27错误!＝0，解得x＝±错误!，则V max＝V（错误!）＝－3错误!×3错误!＋27错误!×错误!＝54.答案：546．已知双曲线错误!－错误!＝1（a〉0，b>0)的焦点F到一条渐近线的距离为错误!|OF｜，点O为坐标原点,则此双曲线的离心率为________．解析：由题意知一焦点F（c,0）到直线y＝错误!x的距离为错误!c,即错误!＝b＝错误!c，整理得b2＝c2－a2＝错误!2，解得e＝错误!＝2。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题六第一讲算法、复数、推理与证明（选择、填空题型）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析）"一、选择题1．(2013·北京高考)在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A．第一象限 B. 第二象限C．第三象限 D. 第四象限解析：选D (2－i)2＝3－4i，其在复平面内对应的点(3，－4)位于第四象限．2．(2013·浙江高考)已知i是虚数单位，则(－1＋i)(2－i)＝( )A．－3＋i B．－1＋3iC．－3＋3i D．－1＋i解析：选B (－1＋i)(2－i)＝－1＋3i.3.(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A表示复数z，则图中表示z的共轭复数的点是( )A．A B．BC．C D．D解析：选B 设点A(x，y)表示复数z＝x＋y i，则z的共轭复数z＝x－y i对应点为B(x，－y)．4．(2013·天津高考)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )A．7 B．6 C．5 D．4解析：选D 第1次，S＝－1，不满足判断框内的条件；第2次，n＝2，S＝1，不满足判断框内的条件；第3次，n＝3，S＝－2，不满足判断框内的条件；第4次，n＝4，S＝2，满足判断框内的条件，结束循环，所以输出的n ＝4.5．(2013·新课标全国卷Ⅰ)执行右面的程序框图，如果输入的t ∈[－1,3]，则输出的s 属于( )A ．[－3,4]B ．[－5,2]C ．[－4,3]D ．[－2,5]解析：选 A 由程序框图得分段函数s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t ，t ＜1，4t －t 2，t ≥1.所以当－1≤t＜1时，s ＝3t ∈[－3,3)；当1≤t ≤3时，s ＝4t －t 2＝－(t －2)2＋4，所以此时3≤s ≤4.综上函数的值域为[－3,4]，即输出的s ∈[－3,4]．6．(2013·江西高考)阅读如下程序框图，如果输出i ＝4，那么空白的判断框中应填入的条件是( )A ．S ＜8?B ．S ＜9?C ．S ＜10？D ．S ＜11?解析：选B 程序框图的运行过程为：i ＝1，S ＝0→i ＝1＋1＝2→i 不是奇数→S ＝2×2＋1＝5→符合条件→i ＝2＋1＝3→i是奇数→S ＝2×3＋2＝8→符合条件→i ＝3＋1＝4→i 不是奇数→S ＝2×4＋1＝9→不符合条件→输出i ＝4→结束．根据以上步骤，知应填入条件“S ＜9？”．7．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是( )A ．设数列{a n }的前n 项和为S n .由a n ＝2n －1，求出S 1＝12，S 2＝22，S 3＝32，…，推断：S n ＝n 2B ．由f (x )＝x cos x 满足f (－x )＝－f (x )对任意x ∈R 都成立，推断：f (x )＝x cos x 为奇函数C ．由圆x 2＋y 2＝r 2的面积S ＝πr 2，推断：椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的面积S ＝πabD ．由(1＋1)2>21，(2＋1)2>22，(3＋1)2>23，…，推断：对一切n ∈N *，(n ＋1)2>2n解析：选A 注意到，选项A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列{a n }是等差数列，其前n 项和S n ＝n 1＋2n －12＝n 2，选项D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确．8．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼茨调和三角形”，有11＝12＋12，12＝13＋16，13＝14＋112，…，则运用归纳推理得到第11行第2个数(从左往右数)为( )1 12 12 13 16 13 14 112 112 14 15 120 130 120 15…A.190 B.1110 C.1132D.111解析：选B 由“莱布尼茨调和三角形”中数的排列规律，我们可以推断：第10行的第一个数为110，第11行的第一个数为111，则第11行的第二个数为110－111＝1110.9．(2013·西安五校联考)观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，…，则52 013的末四位数字为( ) A ．3 125 B ．5 625 C ．0 625D ．8 125解析：选A ∵55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125，58＝390 625,59＝1 953 125,510＝9 765 625，…，∴5n (n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字呈现周期性变化，且最小正周期为 4.记5n(n ∈N *，且n ≥5)的末四位数字为f (n )，则f (2 013)＝f (502×4＋5)＝f (5)，∴52 013与55的末四位数字相同，均为3 125.10．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成f (n )块区域，有f (1)＝2，f (2)＝4，f (3)＝8，则f (n )＝( )A ．2nB ．n 2－n ＋2C ．2n－(n －1)(n －2)(n －3) D ．n 3－5n 2＋10n －4解析：选B 因为一个圆将平面分为2块区域，即f (1)＝2＝12－1＋2，两个圆相交将平面分为4＝2＋2块区域，即f (2)＝2＋2＝22－2＋2，三个圆相交将平面分为8＝2＋2＋4块区域，即f (3)＝2＋2×3＝32－3＋2，四个圆相交将平面分为14＝2＋2＋4＋6块区域，即f (4)＝2＋3×4＝42－4＋2，…，平面内n 个圆，其中每两个圆都相交于两点，且任意三个圆不相交于同一点，则该n 个圆分平面区域数f (n )＝n 2－n ＋2.二、填空题11．(2013·湖北高考)i 为虚数单位，设复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，若z 1＝2－3i ，则z 2＝________.解析：由复数的几何意义知，z 1，z 2的实部、虚部均互为相反数，故z 2＝－2＋3i. 答案：－2＋3i12．(2013·长春模拟)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，zz ＝－35＋45i ，则a ＝________.解析：由题意可知：1－a i 1＋a i＝1－a i 21＋a i 1－a i ＝1－2a i －a 21＋a 2＝1－a 21＋a 2－2a 1＋a 2i ＝－35＋45i.因此1－a 21＋a 2＝－35，化简得5a 2－5＝3a 2＋3，a 2＝4，则a ＝±2.由－2a 1＋a 2＝45，可知a <0，仅有a ＝－2满足．答案：－213．(2013·武汉武昌区联考)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．解析：S ＝sinπ3＋sin 2π3＋sin 3π3＋sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3＋…＋sin 2 013π3＝⎝⎛ sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＋⎭⎪⎫sin 4π3＋sin 5π3＋sin 6π3×335＋sin π3＋sin 2π3＋sin 3π3＝ 3.答案： 314．(2013·浙江高考)若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值等于________．解析：根据程序框图，可以逐个进行运算，S ＝1，k ＝1；S ＝1＋11×2，k ＝2；S ＝1＋11×2＋12×3，k ＝3；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4，k ＝4；S ＝1＋11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝95，k ＝5，程序结束，此时S ＝95. 答案：9515．二维空间中圆的一维测度(周长)l ＝2πr ，二维测度(面积)S ＝πr 2，观察发现S ′＝l ；三维空间中球的二维测度(表面积)S ＝4πr 2，三维测度(体积)V ＝43πr 3，观察发现V ′＝S .则由四维空间中“超球”的三维测度V ＝8πr 3，猜想其四维测度W ＝________.解析：依题意猜想其四维测度的导数W ′＝V ＝8πr 3，故可得W ＝2πr 4. 答案：2πr 416．(2013·济南模拟)给定正整数n (n ≥2)按如图方式构成倒立三角形数表，第一行依次写上数1,2,3，…，n ，在第一行的每相邻两个数正中间的下方写上这两个数之和，得到第二行的数(比上一行少一个数)，依次类推，最后一行(第n 行)只有一个数．例如n ＝6时数表如图所示，则当n ＝2 013时最后一行的数是________．1 2 3 4 5 6 3 5 7 9 11 8 12 16 20 20 28 36 48 64 112解析：设最后一行(第n 行)的数为a n ，则通过计算，容易得到：a 2＝3＝3×20，a 3＝8＝4×21，a 4＝20＝5×22，a 5＝48＝6×23，a 6＝112＝7×24，…，由此，可猜测a n ＝(n ＋1)×2n－2，所以当n ＝2 013时最后一行的数是2 014×22 011.答案：2 014×22 011。

2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第一讲直线与圆(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．已知点P (3,2)与点Q (1,4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( ) A ．x －y ＋1＝0 B ．x －y ＝0 C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，所以k l ＝－1k PQ ＝－14－21－3＝1. 又因为直线l 经过PQ 的中点(2,3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.2．(2013·长春模拟)已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是( )A.1710 B.175C ．8D ．2 解析：选D ∵直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，∴63＝m 4≠－143，∴m ＝8，即直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，∴两平行直线间的距离为|7＋3|32＋42＝2.3．过点P (0,1)与圆x 2＋y 2－2x －3＝0相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是( )A ．x ＝0B ．y ＝1C ．x ＋y －1＝0D ．x －y ＋1＝0解析：选C 圆x 2＋y 2－2x －3＝0的圆心为(1,0)，被圆截得的弦最长的直线过(1,0)点，又直线过点P (0,1)，所以直线方程为x ＋y －1＝0.4．(2013·广东高考)直线l 垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：选A 因为所求直线l (设斜率为k )垂直于直线y ＝x ＋1，所以k ·1＝－1，所以k ＝－1.设直线l 的方程为y ＝－x ＋b (b ＞0)，即x ＋y －b ＝0，所以圆心到直线的距离为|－b |2＝1，所以b ＝ 2.故l 的方程为x ＋y －2＝0.5．(2013·天津高考)已知过点P (2,2) 的直线与圆(x －1)2＋y 2＝5相切，且与直线ax －y ＋1＝0垂直，则a ＝( )A ．－12B ．1C ．2 D.12解析：选C 由切线与直线ax －y ＋1＝0垂直，得过点P (2，2)与圆心(1,0)的直线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以2－02－1＝a ，解得a ＝2. 6．过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为( ) A ．x ＋y ＝0 B ．x ＋y ＝0或x －y ＝0 C ．x －y ＝0D ．x ＋3y ＝0或x －3y ＝0解析：选B 当直线的斜率k 不存在时，过原点的直线方程为x ＝0，因为圆心(2,0)到此直线的距离2>2(圆的半径)，此时不合题意；当斜率k 存在时，设过原点的直线方程为kx －y ＝0，要使该直线与圆相切，则有|2k |k 2＋1＝2，解得k ＝±1.所以，切线方程为x ＋y＝0或x －y ＝0.7．已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －2)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1 C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1 D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 2的圆心与圆C 1的圆心关于直线x －y －1＝0对称，设圆C 2的圆心为(a ，b )，则b －1a ＋1＝－1⇒a ＋b ＝0，且⎝ ⎛⎭⎪⎫a －12，b ＋12在直线x －y －1＝0上，解得a ＝2，b ＝－2.所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.8．(2013·开封模拟)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则圆C 上的点到直线l 的距离的最小值为( )A. 2 B . 3 C ．1 D ．3解析：选A 由题意知，圆C 上的点到直线l 的距离的最小值等于圆心(1,1)到直线l 的距离减去圆的半径，即|1－1＋4|12＋－12－2＝ 2.9．(2013·湖南高考)在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点，光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 等于( )A ．2B ． 1 C.83 D.43解析：选D 以AB ，AC 所在直线分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，则A (0,0)，B (4,0)，C (0,4)，得△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，设AP ＝x ，从而P (x,0)，x ∈(0,4)，由光的几何性质可知点P 关于直线BC 、AC 的对称点P 1(4，4－x )、P 2(－x,0)与△ABC 的重心D ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43共线，所以4343＋x ＝43－4－x 43－4，求得x ＝43，即AP ＝43.10．两条平行直线和圆的位置关系定义为：若两条平行直线和圆有四个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相交”；若两平行直线和圆没有公共点，则称两条平行线和圆“相离”；若两平行直线和圆有一个、两个或三个不同的公共点，则称两条平行线和圆“相切”．已知直线l 1：2x －y ＋a ＝0，l 2：2x －y ＋a 2＋1＝0和圆x 2＋y 2＋2x －4＝0“相切”，则a 应满足( )A ．a ＞7或a ＜－3B ．a ＞6或a ＜－ 6C ．－3≤a ≤－6或6≤a ≤7D ．a ≥7或a ≤－3解析：选C 依题意知：当两平行线与圆都相交时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2×－1＋a |5＜5，|2×－1＋a 2＋1|5＜5，得－6＜a ＜6；两条直线都和圆相离时，由⎩⎪⎨⎪⎧|2×－1＋a |5＞5，|2×－1＋a 2＋1|5＞5，得a ＜－3或a ＞7，所以两条直线和圆“相切”时a 应满足－3≤a ≤－6或6≤a ≤7. 二、填空题11．(2013·山东高考)过点(3,1)作圆(x －2)2＋(y －2)2＝4的弦，其中最短弦的长为________．解析：最短弦为过点(3,1)，且垂直于点(3,1)与圆心的连线的弦，易知弦心矩d ＝3－22＋1－22＝2，所以最短弦长为2r 2－d 2＝222－22＝2 2.答案：2 212．(2013·湖北高考)已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2.设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则k ＝________.解析：直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2是单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限部分的切线．圆O ：x 2＋y 2＝5的圆心到直线l 的距离为1，故过原点O 与l 平行的直线l 1与圆O 的2个交点到直线l 的距离为1，l 1关于l 对称的直线l 2与圆O 也有2个交点，共4个．答案：413．已知直线l 1：ax －y ＋2a ＋1＝0和l 2：2x －(a －1)y ＋2＝0(a ∈R)，则l 1⊥l 2的充要条件是a ＝________.解析：l 1⊥l 2的充要条件是2a ＋(a －1)＝0，解得a ＝13.答案：1314．当直线l ：y ＝k (x －1)＋2被圆C ：(x －2)2＋(y －1)2＝5截得的弦最短时，k 的值为________．解析：由题易知直线l 过定点P (1,2)，圆心C (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点P 的连线与直线l 垂直时，直线l 被圆C 截得的弦最短，则k ×2－11－2＝－1，得k ＝1.答案：115．已知圆C 1：x 2＋y 2－2mx ＋4y ＋m 2－5＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋2x －2my ＋m 2－3＝0，若圆C 1与圆C 2相外切，则实数m ＝________.解析：对于圆C 1与圆C 2的方程，配方得圆C 1：(x －m )2＋(y ＋2)2＝9，圆C 2：(x ＋1)2＋(y －m )2＝4，则C 1(m ，－2)，r 1＝3，C 2(－1，m )，r 2＝2.如果圆C 1与圆C 2相外切，那么有|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即m ＋12＋m ＋22＝5，则m 2＋3m －10＝0，解得m ＝－5或m ＝2. 所以当m ＝－5或m ＝2时，圆C 1与圆C 2相外切．答案：－5或216．已知圆C 1的方程为(x ＋3)2＋(y －1)2＝4，若直线l 过点A (4,0)，且被圆C 1截得的弦长为23，则直线l 的方程为______________．解析：圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r ＝2.由题知l 的斜率存在，可设直线l 的方程为y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0.C 1(－3,1)到直线l 的距离d ＝|－3k －1－4k |k 2＋1＝|7k ＋1|k 2＋1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|7k ＋1|k 2＋12＝4，解得k ＝0或k ＝－724. ∴直线l 的方程为y ＝0或y ＝－724(x －4)．答案：y ＝0或y ＝－724(x －4)。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题二第二讲三角恒等变换与解三角形(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．(2013·郑州模拟)若α是第四象限角，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－512，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.15 B ．－15C.513D ．－513解析：选D 由于α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π6，2k π＋π3(k ∈Z)，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3<0，故α＋π3是第四象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－513，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋α＝－513.2．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435，－π2<α<0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋2π3等于( ) A ．－45B ．－35C.35D.45解析：选D sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＋sin α＝－435⇒32sin α＋12cos α＝－45⇒cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝－45⇒cos ( α＋⎭⎪⎫2π3＝45. 3．(2013·新课标全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝2，B ＝π6，C ＝π4，则△ABC 的面积为( )A ．23＋2 B.3＋1 C ．23－2D.3－1解析：选B 由正弦定理知bsin B ＝csin C，结合条件得c ＝b sin Csin B＝2 2.又sin A ＝sin(π－B －C )＝sin(B ＋C )＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝6＋24，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝3＋1.4．(2013·安徽高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若b ＋c ＝2a,3sinA ＝5sinB ，则角C ＝( )A.π3 B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 根据正弦定理，可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ，所以a ＝53b ，代入b＋c ＝2a ，可得c ＝73b ，然后结合余弦定理，可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，所以角C ＝2π3.5．(2013·东城模拟)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1; ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1; ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C .其中正确的是( ) A ．①③ B ．②③ C ．①④D ．②④解析：选D 因为在△ABC 中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B 2＝tan π－C 2＝cot C2＝cos C2sin C2，而sin C ＝2sin C 2·cos C 2，由tan A ＋B 2＝sin C ，得cos C2sin C 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C2≠0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，C ＝π2，A ＋B ＝π2，①③错误． 6．(2013·陕西高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定解析：选B 由正弦定理，得sin B cos C ＋cos B sin C ＝sin 2A ，有sin(B ＋C )＝sin 2A ，从而sin(B ＋C )＝sin A ＝sin 2A ，解得sin A ＝1，∴A ＝π2.7．已知sin β＝m sin(2α＋β)，且tan(α＋β)＝3tan α，则实数m 的值为( )A ．2 B.12 C ．3 D.13解析：选B 因为sin β＝m sin (2α＋β)，所以sin[(α＋β)－α]＝m sin[(α＋β)＋α]，即sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝m [sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]，也即(1－m )sin(α＋β)·cos α＝(1＋m )cos(α＋β)sin α，所以tan α＋βtan α＝1＋m 1－m ＝3，所以m ＝12.8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，向量p ＝(1，－3)，q ＝(cos B ，sin B )，p ∥q ，且b cos C ＋c cos B ＝2a sin A ，则C ＝( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：选A ∵p ∥q ，∴－3cos B ＝sin B ，即得tan B ＝－3，∴B ＝120°.∵b cosC ＋c cos B ＝2a si n A ，由正弦定理得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin 2A ，即sin A ＝sin(B＋C )＝2sin 2A ，又由sin A ≠0，得sin A ＝12，∴A ＝30°.C ＝180°－A －B ＝30°.9．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 解析：选A 法一：∵sin α＋cos α＝33， ∴(sin α＋cos α)2＝13，∴2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33>0， ∴2k π＋π2<α<2k π＋3π4(k ∈Z)，∴4k π＋π<2α<4k π＋3π2(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 法二：sin α＋cos α＝33两边平方，得1＋2sin αcos α＝13，∴2sin αcos α＝－23.∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α＝sin α－cos α2＝1－2sin αcos α＝153. 由⎩⎪⎨⎪⎧sin α＋cos α＝33，sin α－cos α＝153，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝3＋156，cos α＝3－156.∴cos 2α＝2cos 2α－1＝－53. 10．设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a 2＋b 2＝mc 2(m 为常数)，若tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，则m 的值为( )A ．2B ．4C ．7D ．8 解析：选A由tan C (tan A ＋tan B )＝2tan A ·tan B ，得sin C cos C ·sin A cos B ＋cos A sin B cos A cos B ＝2sin A sin B cos A cos B ，即sin C cos C ·sin A ＋Bcos A cos B ＝sin C cos C ·sin C cos A cos B ＝2sin A sin Bcos A cos B，所以sin 2C cos C ＝2sin A sin B ，因此cos C ＝sin 2C 2sin A sin B，综合运用正弦、余弦定理，得a 2＋b 2－c 22ab ＝c 22ab，所以a 2＋b 2＝2c 2，故m ＝2. 二、填空题11．(2013·浙江高考)在△ABC 中，∠C ＝90°，M 是BC 的中点，若sin ∠BAM ＝13，则sin ∠BAC ＝________.解析：△ABM 中，由正弦定理BM sin ∠BAM ＝AB sin ∠BMA ＝ABcos ∠MAC ，所以32a ＝c a 2＋4b22b，整理得(3a 2－2c 2)2＝0，a 2c 2＝23，故sin ∠BAC ＝a c ＝63.答案：6312．(2013·新课标全国卷Ⅱ)设θ为第二象限角，若tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，则sin θ＋cos θ＝________.解析：法一：由θ在第二象限，且tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－55，因而sin θ＋cos θ＝ 2 sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－105. 法二：将tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝12利用两角和的正切公式展开，得tan θ＋11－tan θ＝12，求得tan θ＝－13.又因为θ在第二象限，所以sin θ＝110，cos θ＝－310，从而sin θ＋cos θ＝－210＝－105. 答案：－10513．在△ABC 中，角A 满足3sin A ＋cos A ＝1，AB ＝2，AC ＝3，则边BC 的长为________．解析：由题意可得sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又A 为三角形的一个内角，所以A ＝2π3.在△ABC中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝4＋9－2×2×3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝19，所以BC＝19.答案：1914．(2013·太原模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＋b ＋c ＝10，cos C ＝78，则△ABC 的面积的最大值为________．解析：∵在△ABC 中cos C ＝78，∴sin C ＝158，又由c ＝10－a －b ，可得c 2＝(10－a－b )2，则a 2＋b 2－2ab cos C ＝100＋a 2＋b 2－20(a ＋b )＋2ab ，整理可得4(a ＋b )＝20＋34ab ，∴20＋34ab ≥8ab ，整理可得3ab －32ab ＋80≥0，解得ab ≥203或ab ≤4.当ab ≥203时，仅当a ＝b ＝203时取等号，此时a ＋b ＝403>10，与a ＋b ＋c ＝10矛盾；当ab ≤4时，S △ABC ＝12ab sin C ＝1516ab ≤1516×16＝15，当且仅当a ＝b ＝4时取等号．答案：1515．在某海岛上有一座海拔1千米的山，山顶A 上有一个观察站，上午11时，测得一轮船在岛的北偏东30°，俯角30°的B 处，到11时10分又测得该轮船在岛的北偏西60°，俯角60°的C 处，则轮船的航行速度是________千米/小时．解析：如图所示，设海岛的底部为点D .在Rt △ABD 中，BD＝1tan 30°＝3；在Rt △ACD 中，CD ＝1tan 60°＝33.故在Rt △BCD 中，BC ＝3＋13＝303. 所以轮船的速度为30316＝230(千米/小时)．答案：23016．(2013·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则下列命题正确的是________(写出所有正确命题的序号)．①b a cos C <1－c acos B ；②△ABC 的面积为S △ABC ＝12AB u u ur ·AC u u u r ·tan A ；③若a cos A ＝c cos C ，则△ABC 一定为等腰三角形；④若A 是△ABC 中的最大角，则△ABC 为钝角三角形的充要条件是－1<sin A ＋cos A <1； ⑤若A ＝π3，a ＝3，则b 的最大值为2.解析：对于①，注意到当△ABC 是正三角形时，b a cos C ＝12＝1－cacos B ，因此①不正确；对于②，注意到当A ＝π2时，tan A 不存在，此时结论显然不成立，因此②不正确；对于③，注意到当A ＝30°，C ＝60°时，A ＋C ＝B ＝90°，此时有a cos A ＝c cos C 成立，但△ABC 不是等腰三角形，因此③不正确；对于④，由△ABC 是钝角三角形，A 是最大内角得A 是钝角，即90°<A <180°，135°<A ＋45°<225°，sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)∈(－1,1)；反过来，由－1<sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋45°)<1得－22<sin(A ＋45°)<22，135°<A ＋45°<225°，又A 是最大的内角，因此60°≤A <180°，135°<A ＋45°<225°，所以90°<A <180°，由此可知④正确；对于⑤，依题意得asin A＝bsin B，bsin B＝3sinπ3＝2，b ＝2sin B 的最大值是2⎝ ⎛⎭⎪⎫当B ＝π2时取得最大值，因此⑤正确．综上所述，其中正确命题的序号是④⑤.答案：④⑤。

【创新方案】(浙江专版)2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题一第六讲第

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（某某专版）：第1部分专题一第六讲第一课时利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．设函数f (x )＝13mx 3＋(4＋m )x 2，g (x )＝a ln(x －1)，其中a ≠0. (1)若函数y ＝g (x )的图像恒过定点P ，且点P 关于直线x ＝32的对称点在y ＝f (x )的图像上，求m 的值；(2)当a ＝8时，设F (x )＝f ′(x )＋g (x ＋1)，讨论F (x )的单调性．解：(1)令ln(x －1)＝0，则x ＝2，∴函数y ＝g (x )恒过点(2,0)．又点P (2,0)关于x ＝32的对称点为(1,0)， ∴由题设条件得f (1)＝0，即13m ＋(4＋m )＝0，解得m ＝－3. (2)由题意知，f ′(x )＝mx 2＋2(4＋m )x ，g (x ＋1)＝8ln x ，故F (x )＝mx 2＋2(4＋m )x ＋8ln x ，x ∈(0，＋∞)， F ′(x )＝2mx ＋(8＋2m )＋8x ＝2mx 2＋8＋2m x ＋8x ＝2mx ＋8x ＋1x .∵x >0，x ＋1>0，∴当m ≥0时，2mx ＋8>0，F ′(x )>0，此时F (x )在(0，＋∞)上为增函数；当m <0时，由F ′(x )>0得0<x <－4m ，由F ′(x )<0得x >－4m，此时F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4m 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m ，＋∞上为减函数．综上，当m ≥0时，F (x )在(0，＋∞)上为增函数；当m <0时，F (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－4m 上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－4m ，＋∞上为减函数． 2．已知函数f (x )＝x ln x .(1)求f (x )的最小值．(2)若对所有x ≥1都有f (x )≥ax －1，某某数a 的取值X 围．解：(1)由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1＋ln x .令f ′(x )>0，解得x >1e；令f ′(x )<0，解得0<x <1e . 从而f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞上单调递增．所以，当x ＝1e 时，f (x )取得最小值－1e. (2)法一：令g (x )＝f (x )－(ax －1)，则g ′(x )＝f ′(x )－a ＝1－a ＋ln x . ①若a ≤1，当x >1时，g ′(x )＝1－a ＋ln x >1－a ≥0，故g ′(x )在(1，＋∞)上为增函数，∴x ≥1时，g (x )≥g (1)＝1－a ≥0，即f (x )≥ax －1.②若a >1，方程g ′(x )＝0的根为x 0＝e a －1.若x ∈(1，x 0)，则g ′(x )<0，故g (x )在该区间为减函数．∴x ∈(1，x 0)时，g (x )<g (1)＝1－a <0，即f (x )<ax －1，与题设f (x )≥ax －1相矛盾．综上，满足条件的a 的取值X 围是(－∞，1]．法二：依题意得f (x )≥ax －1在[1，＋∞)上恒成立，即不等式a ≤ln x ＋1x对于x ∈[1，＋∞)恒成立．令g (x )＝ln x ＋1x ，则g ′(x )＝1x －1x 2＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x . 当x >1时，∵g ′(x )＝1x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x >0， ∴g (x )是(1，＋∞)上的增函数，∴g (x )的最小值是g (1)＝1，∴a 的取值X 围是(－∞，1]．3．(2013·某某模拟)已知函数f (x )＝ln x －12ax 2－x (a ∈R)． (1)当a ＝2时，求y ＝f (x )的单调区间和极值；(2)若y ＝f (x )存在单调递减区间，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝2时，f (x )＝ln x －x 2－x ，其定义域为(0，＋∞)，∴f ′(x )＝1x －2x －1＝－2x 2＋x －1x ＝－x ＋12x －1x .∵令f ′(x )>0，则0<x <12；令f ′(x )<0，则x >12， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12是f (x )的单调递增区间，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞是f (x )的单调递减区间，当x ＝12时，y ＝f (x )取极大值－34－ln 2. (2)∵f (x )＝ln x －12ax 2－x ， ∴f ′(x )＝1x －ax －1＝－ax 2＋x －1x(x >0)． ∵y ＝f (x )存在单调递减区间，∴f ′(x )<0在(0，＋∞)上有解，又∵x >0，则ax 2＋x －1>0在(0，＋∞)上有解，①当a ＝0时，x >1在(0，＋∞)上有解；②当a >0时，ax 2＋x －1>0在(0，＋∞)上总有解；③当a <0时，要使ax 2＋x －1>0在(0，＋∞)上有解，只需ax 2＋x －1＝0有两个不相等正实数根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝1＋4a >0，－12a >0，解得－14<a <0. 综上，a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. 4．已知函数f (x )＝a ln x ＋1x(a >0)． (1)求函数f (x )的单调区间和极值；(2)已知对任意的x >0，ax (2－ln x )≤1恒成立，某某数a 的取值X 围；(3)是否存在实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由．解：由题意知x >0，f ′(x )＝a x －1x 2(a >0)． (1)由f ′(x )>0解得x >1a ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞；由f ′(x )<0解得x <1a ，所以函数f (x )的单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a . 所以当x ＝1a 时，函数f (x )有极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a . (2)设g (x )＝ax (2－ln x )＝2ax －ax ln x ，则函数g (x )的定义域为(0，＋∞)． g ′(x )＝2a －⎝ ⎛⎭⎪⎫ax ·1x ＋a ln x ＝a －a ln x . 由g ′(x )＝0，解得x ＝e.由a >0可知，当x ∈(0，e)时，g ′(x )>0，函数g (x )单调递增；当x ∈(e ，＋∞)时，g ′(x )<0，函数g (x )单调递减．所以函数g (x )的最大值为g (x )的极大值g (e)＝a e(2－ln e)＝a e.要使不等式恒成立，只需g (x )的最大值不大于1即可，即g (e)≤1，也就是a e≤1，解得a ≤1e. 又因为a >0，所以0<a ≤1e. 故a 的取值X 围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e . (3)由(1)可知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，函数f (x )单调递减；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，函数f (x )单调递增．①当0<1a<1，即a >1时，函数f (x )在[1，e]上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (1)＝a ln 1＋1＝1，显然1≠0，故不满足条件．②当1≤1a ≤e，即1e ≤a ≤1时，函数f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1，1a 上为减函数，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，e 上为增函数，故函数f (x )的最小值为f (x )的极小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝a ln 1a＋a ＝a －a ln a ＝a (1－ln a )＝0，即ln a ＝1，解得a ＝e ，不满足条件．③当1a >e ，即0<a <1e时，函数f (x )在[1，e]上为减函数，故函数f (x )的最小值为f (e)＝a ln e ＋1e ＝a ＋1e ＝0，即a ＝－1e ，而0<a <1e，故不满足条件．综上所述，不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在[1，e]上的最小值为0.。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第三讲第一课时圆锥曲线中的范围、存在性和证明问题（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．(2013·陕西高考)已知动点M (x ，y )到直线l ：x ＝4的距离是它到点N (1,0)的距离的2倍.(1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)过点P (0,3)的直线m 与轨迹C 交于A ，B 两点，若A 是PB 的中点，求直线m 的斜率．解：(1)如图1，设M 到直线l 的距离为d ，根据题意，d ＝2|MN |.图1由此得|4－x |＝2x －12＋y 2，化简得x 24＋y 23＝1，∴动点M 的轨迹方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2.图2将y ＝kx ＋3代入x 24＋y 23＝1中，有(3＋4k 2)x 2＋24kx ＋24＝0，其中，Δ＝(24k )2－4×24(3＋4k 2)＝96(2k 2－3)＞0，由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝－24k3＋4k2， ① x 1x 2＝243＋4k2.② 又A 是PB 的中点，故x 2＝2x 1，③将③代入①②，得x 1＝－8k 3＋4k 2，x 21＝123＋4k2，可得⎝⎛⎭⎪⎫－8k 3＋4k 22＝123＋4k 2，且k 2＞32，解得k ＝－32或k ＝32，∴直线m 的斜率为－32或32.法二：由题意，设直线m 的方程为y ＝kx ＋3，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如图2. ∵A 是PB 的中点， ∴x 1＝x 22，① y 1＝3＋y 22. ② 又x 214＋y 213＝1， ③ x 224＋y 223＝1，④联立①②③④，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－2，y 2＝0.即点B 的坐标为(2,0)或(－2,0)， ∴直线m 的斜率为－32或32.2.(2013·福建高考)如图，在正方形OABC 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(10,0)，点C 的坐标为(0,10)．分别将线段OA 和AB 十等分，分点分别记为A 1，A 2，…，A 9和B 1，B 2，…，B 9.连接OB i ，过A i 作x 轴的垂线与OB i 交于点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)．(1)求证：点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，并求该抛物线E 的方程；(2)过点C 作直线l 与抛物线E 交于不同的两点M ，N ，若△OCM 与△OCN 的面积比为4∶1，求直线l 的方程．解：(1)法一：证明：依题意，过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .设P i 的坐标为(x ，y )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i10x ，得y ＝110x 2，即x 2＝10y .所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . 法二：过A i (i ∈N *,1≤i ≤9)且与x 轴垂直的直线的方程为x ＝i ，B i 的坐标为(10，i )，所以直线OB i 的方程为y ＝i10x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝i ，y ＝i 10x ，解得P i 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫i ，i 210.因为点P i 的坐标都满足方程x 2＝10y ，所以点P i (i ∈N *,1≤i ≤9)都在同一条抛物线上，且抛物线E 的方程为x 2＝10y . (2)依题意，直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋10.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋10，x 2＝10y ，得x 2－10kx －100＝0，此时Δ＝100k 2＋400>0，直线l 与抛物线E 恒有两个不同的交点M ，N .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝10k ， ①x 1x 2＝－100. ②因为S △OCM ＝4S △OCN ，所以|x 1|＝4|x 2|. 又x 1x 2<0，所以x 1＝－4x 2，③将③分别代入①和②，得⎩⎪⎨⎪⎧－3x 2＝10k ，－4x 22＝－100，解得k ＝±32.所以直线l 的方程为y ＝±32x ＋10，即3x －2y ＋20＝0或3x ＋2y －20＝0.3．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)过点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，且离心率为12. (1)求椭圆方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆交于不同的两点M ，N ，且线段MN 的垂直平分线过定点G ⎝ ⎛⎭⎪⎫18，0，求k 的取值范围．解：(1)由题意，椭圆的离心率e ＝12，即c a ＝12，a ＝2c ，且14c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223c 2＝1，∴c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3，∴椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝kx ＋m ，消去y 并整理，得(3＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. ∵直线y ＝kx ＋m 与椭圆有两个交点， ∴Δ＝(8km )2－4(3＋4k 2)(4m 2－12)＞0，即m 2＜4k 2＋3.①且M ，N 的中点坐标P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2，3m 3＋4k 2.设MN 的垂直平分线l ′的方程为y ＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －18.∵P 在l ′上， ∴3m 3＋4k 2＝－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4km 3＋4k 2－18，即4k 2＋8km ＋3＝0. ∴m ＝－18k (4k 2＋3)．将上式代入①，得4k 2＋3264k2＜4k 2＋3，∴k 2＞120，即k ＞510或k ＜－510.∴k 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－510∪⎝ ⎛⎭⎪⎫510，＋∞. 4．设点P 是曲线C ：x 2＝2py (p >0)上的动点，点P 到点(0,1)的距离和它到焦点F 的距离之和的最小值为54.(1)求曲线C 的方程；(2)若点P 的横坐标为1，过P 作斜率为k (k ≠0)的直线交C 于点Q ，交x 轴于点M ，过点Q 且与PQ 垂直的直线与C 交于另一点N ，问是否存在实数k ，使得直线MN 与曲线C 相切？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)依题意知1＋p 2＝54，解得p ＝12.所以曲线C 的方程为x 2＝y .(2)由题意知直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1，则点M ⎝⎛⎭⎪⎫1－1k，0.联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －1＋1，y ＝x 2，消去y ，得x 2－kx ＋k －1＝0，解得x 1＝1，x 2＝k －1，则Q (k －1，(k －1)2)．所以直线QN 的方程为y －(k －1)2＝－1k(x －k ＋1)，代入曲线y ＝x 2中，得x 2＋1k x －1＋1k －(1－k )2＝0，解得x 3＝k －1，x 4＝1－1k－k ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k ，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2. 所以直线MN 的斜率k MN ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k －k －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1k ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k .又易知过点N 的切线的斜率k ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .由题意有－⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k 2k＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－k －1k .解得k ＝－1±52.故存在实数k ＝－1±52满足题意．。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题四第二讲高考中的立体几何(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．在直角梯形A 1A 2A 3D 中，A 1D ＝10，A 2A 3＝16，A 1A 2＝8，A 1A 2⊥A 1D ，A 1A 2⊥A 2A 3，且B ，C 分别是边A 1A 2，A 2A 3上的一点，沿线段BC ，CD ，DB 分别将△BCA 2，△CDA 3，△DB A 1翻折上去恰好使A 1，A 2，A 3重合于一点A .(1)求证：AB ⊥CD ；(2)求AC 与平面BCD 所成角的正弦值．解：(1)证明：由题意∠BAC ＝∠BAD ＝π2，故BA ⊥平面ACD ，所以AB ⊥CD .(2)由题意得，A 1D ＝A 3D ＝10，A 1B ＝A 2B ＝4，A 2C ＝A 3C ＝8，作点A 在平面BCD 内的射影点O ，由V A BCD ＝V B ACD 得，S △BCD ·AO ＝S △A CD ·AB ，又S △ACD ＝12×8×8＝32， S △BCD ＝12(8＋10)×8－12×4×10－12×8×4＝36，所以AO ＝32×436＝329. 设AC 与平面BCD 所成角为α，则sin α＝AO AC ＝329×8＝49. 2.如图，在四棱锥P ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，AD ∥BC ，AC ⊥BD .(1)证明：BD ⊥PC ；(2)若AD ＝4，BC ＝2，直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求四棱锥P ABCD 的体积．解：(1)证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PA ⊥BD .又AC ⊥BD ，PA ，AC 是平面PAC 内的两条相交直线，所以BD ⊥平面PAC .而PC ⊂平面PAC ，所以BD ⊥PC .(2)设AC 和BD 相交于点O ，连结PO ，由(1)知，BD ⊥平面PAC ，所以∠DPO 是直线PD 和平面PAC 所成的角．从而∠DPO ＝30°.由BD ⊥平面PAC ，PO ⊂平面PAC 知，BD ⊥PO ，在Rt △POD 中，由∠DPO ＝30°，得PD ＝2OD .因为四边形ABCD 为等腰梯形，AC ⊥BD ，所以△AOD ，△BOC均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD 的高为12AD ＋12BC ＝12×(4＋2)＝3，于是梯形ABCD 的面积S ＝12×(4＋2)×3＝9. 在等腰直角三角形AOD 中，OD ＝22AD ＝22，所以PD ＝2OD ＝42， PA ＝PD 2－AD 2＝4.故四棱锥P ABCD 的体积为V ＝13×S ×PA ＝13×9×4＝12.3.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥EF ，AB ⊥AD ，M 为EC 的中点，AF ＝AB ＝BC ＝FE ＝12AD .(1)求异面直线BF 与DE 所成角的大小；(2)证明：平面AMD ⊥平面CDE ；(3)求二面角A CD E 的余弦值．解：(1)由题设知，BF ∥CE ，所以∠CED (或其补角)为异面直线BF与DE 所成的角．设P 为AD 的中点，连接EP ，PC .因为FE 綊AP ，所以FA 綊EP .同理，AB 綊PC .又FA ⊥平面ABCD ，所以EP ⊥平面ABCD .而PC ，AD 都在平面ABCD 内，故EP ⊥PC ，EP ⊥AD .由AB ⊥AD ，可得PC ⊥AD .设FA ＝a ，则EP ＝PC ＝PD ＝a ，CD ＝DE ＝EC ＝2a . 故∠CED ＝60°.所以异面直线BF 与DE 所成角的大小为60°.(2)证明：因为DC ＝DE 且M 为CE 的中点，所以DM ⊥CE .连接MP ，则MP ⊥CE . 又MP ∩DM ＝M ，故CE ⊥平面AMD .而CE ⊂平面CDE ，所以平面AMD ⊥平面CDE .(3)设Q 为CD 的中点，连接PQ ，EQ .因为CE ＝DE ，所以EQ ⊥CD .因为PC ＝PD ，所以PQ ⊥CD ，故∠EQP 为二面角A CD E 的平面角．由(1)可得，EP ⊥PQ ，EQ ＝62a ，PQ ＝22a . 于是在Rt △EPQ 中，cos ∠EQP ＝PQEQ ＝33. 所以二面角A CD E 的余弦值为33. 4.如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ＝DC ＝CB ＝a ，∠ABC ＝60°，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，AE ＝a ，点M 在线段EF 上．(1)求证：BC ⊥平面ACFE ；(2)当EM 为何值时，AM ∥平面BDF ？证明你的结论；(3)求二面角B EF D 的平面角的余弦值．解：(1)证明：在梯形ABCD 中，∵AB∥CD，AD＝DC＝CB＝a，∠ABC＝60°，∴四边形ABCD是等腰梯形，且∠DCA＝∠DAC＝30°，∠DCB＝120°，∴∠ACB＝∠DCB－∠DCA＝90°，∴AC⊥BC，又∵平面ACFE⊥平面ABCD，交线为AC，∴BC⊥平面ACFE.(2)当EM＝33a时，AM∥平面BDF，在梯形ABCD中，设AC∩BD＝N，连接FN，则CN∶NA＝1∶2，∵EM＝33a，而EF＝AC＝3a，∴EM∶MF＝1∶2，∴MF綊AN，∴四边形ANFM是平行四边形，∴AM∥NF，又∵NF⊂平面BDF，AM⊄平面BDF，∴AM∥平面BDF.(3)取EF的中点G，EB的中点H，连接DG，GH，DH.∵DE＝DF，∴DG⊥EF，由(1)知BC⊥平面ACFE，∴BC⊥EF，又∵EF⊥FC，FC∩BC＝C，∴EF⊥平面FCB，∵FB⊂平面FCB，∴EF⊥FB，又∵GH∥FB，∴EF⊥GH，∴∠DGH是二面角BEFD的平面角．在△BDE中，DE＝2a，DB＝3a，BE＝AE2＋AB2＝5a，∴DE2＋DB2＝BE2，∴∠EDB＝90°，∴DH＝52a.又∵DG＝52a，GH＝22a，∴在△DGH中，由余弦定理得cos∠DGH＝10 10，10 10.即二面角BEFD的平面角的余弦值为。

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第2部分专题2 第1讲选择题技法专练含解析

［选择题技法专练］1．(2013·成都模拟）对于向量a、b、c和实数λ，下列命题中的真命题是( ）A．若a·b＝0，则a＝0或b＝0B．若λa＝0,则λ＝0或a＝0C．若a2＝b2，则a＝b或a＝－bD．若a·b＝a·c，则b＝c解析：选B 当a·b＝0时,a与b也可能垂直,故选项A是假命题;当a2＝b2时,｜a｜＝|b｜，故选项C是假命题；当a·b＝a·c时，b与c也可能垂直，故选项D是假命题．2．（2013·重庆高考）错误!(－6≤a≤3）的最大值为( ）A．9 B。

错误!C．3 D.错误!解析:选B 法一：因为－6≤a≤3，所以3－a≥0，a＋6≥0，则由基本不等式可知,错误!≤错误!＝错误!，当且仅当a＝－错误!时等号成立．法二：3－a a＋6＝错误!≤错误!，当且仅当a＝－错误!时等号成立．3．设m，n是平面α内的两条不同直线;l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分不必要条件是（）A．m∥β且l1∥αB．m∥l1且n∥l2C．m∥β且n∥βD．m∥β且n∥l2解析:选B 因为m⊂α,l1⊂β，若α∥β，则有m∥β且l1∥α，故α∥β的一个必要条件是m∥β且l1∥α，排除A；因为m，n⊂α，l1，l2⊂β且l1与l2相交,若m∥l1且n∥l2，则m与n也相交，故α∥β；若α∥β，则直线m与直线l1可能为异面直线，故α∥β的一个充分不必要条件是m∥l1且n∥l2.4．已知0〈a〈1,0〈x≤y<1,且log a x·log a y＝1，那么xy的取值范围是（)A．(0，a2] B．（0，a]C。

错误! D.错误!解析：选A ∵0〈a<1，0<x≤y<1，∴xy>0，log a x>0，log a y>0，∴log a xy＝log a x＋log a y≥2错误!＝2，当且仅当错误!即x＝y＝a时取等号,∴0〈xy≤a2。

2014届高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题三第二讲高考中的数列(解答题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列． (1)求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.解：(1)设{a n }的公差为d .由题意a 211＝a 1a 13，即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )，于是d (2a 1＋25d )＝0.又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，或d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列．从而S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .2．已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝0，S 5＝－5. (1)求{a n }的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和．解：(1)设{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n n －12d .由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝0，5a 1＋10d ＝－5.解得a 1＝1，d ＝－1.故{a n }的通项公式为a n ＝2－n . (2)由(1)知1a 2n －1a 2n ＋1＝13－2n1－2n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n －1，从而数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a 2n －1a 2n ＋1的前n 项和为 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1－11＋11－13＋…＋12n －3－12n －1＝n 1－2n . 3．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝32(a n －1)，数列{b n }满足b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，且b 1＝3.(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)，其前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)对于数列{a n }有S n ＝32(a n －1)，①S n －1＝32(a n －1－1)(n ≥2)，②由①－②得a n ＝32(a n －a n －1)，即a n ＝3a n －1，n ＝1时，由S 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，则a n ＝a 1·qn －1＝3·3n －1＝3n.对于数列{b n }有b n ＝14b n －1－34(n ≥2)，可得b n ＋1＝14b n －1＋14，即b n ＋1b n －1＋1＝14.b n ＋1＝(b 1＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＝42－n ，即b n ＝42－n－1.(2)由(1)可知c n ＝a n ·log 2(b n ＋1)＝3n ·log 242－n ＝3n ·log 224－2n ＝3n (4－2n )． T n ＝2·31＋0·32＋(－2)·33＋…＋(4－2n )·3n ，③3T n ＝2·32＋0·33＋…＋(6－2n )·3n ＋(4－2n )·3n ＋1，④由③－④得－2T n ＝2·3＋(－2)·32＋(－2)·33＋…＋(－2)·3n －(4－2n )·3n ＋1＝6＋(－2)(32＋33＋…＋3n )－(4－2n )·3n ＋1.则T n ＝－3＋91－3n －11－3＋(2－n )·3n ＋1＝－152＋⎝ ⎛⎭⎪⎫52－n ·3n ＋1.4．(2013·合肥模拟)各项为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }前n 项和．(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)是否存在正整数m ，n ，使得向量a ＝(2a n ＋2，m )与向量b ＝(－a n ＋5,3＋a n )垂直？请说明理由．解：(1)当n ＝1时，a 21＝4S 1－2a 1－1，即(a 1－1)2＝0，解得a 1＝1，当n ＝2时，a 22＝4S 2－2a 2－1＝4a 1＋2a 2－1＝3＋2a 2，解得a 2＝3或a 2＝－1(舍去)． (2)由a 2n ＝4S n －2a n －1， ① 得a 2n ＋1＝4S n ＋1－2a n ＋1－1，②②－①得a 2n ＋1－a 2n ＝4a n ＋1－2a n ＋1＋2a n ＝2(a n ＋1＋a n )，即(a n ＋1－a n )(a n ＋1＋a n )＝2(a n ＋1＋a n )， ∵数列{a n }各项均为正数， ∴a n ＋1＋a n >0，a n ＋1－a n ＝2，∴数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列，所以a n ＝2n －1. (3)∵a n ＝2n －1，∴a ＝(2a n ＋2，m )＝(2(2n ＋3)，m )≠0，b ＝(－a n ＋5,3＋a n )＝(－(2n ＋9)，2(n ＋1))≠0.∴a ·b ＝0⇔m (n ＋1)＝(2n ＋3)(2n ＋9)＝[2(n ＋1)＋1]·[2(n ＋1)＋7]⇔m (n ＋1)＝4(n ＋1)2＋16(n ＋1)＋7⇔m ＝4(n ＋1)＋16＋7n ＋1. ∵m ，n ∈N *，∴n ＋1＝7，m ＝4×7＋16＋1，即n ＝6，m ＝45. 当且仅当n ＝6，m ＝45时，a ⊥b .5．甲、乙两容器中分别盛有浓度为10%、20%的某种溶液500 mL ，同时从甲、乙两个容器中各取出100 mL 溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．经n －1(n ≥2，n ∈N *)次调和后甲、乙两个容器中的溶液浓度分别为a n 、b n .记a 1＝10%，b 1＝20%.(1)试用a n －1，b n －1表示a n ，b n ；(2)求证：数列{a n －b n }是等比数列，数列{a n ＋b n }是常数数列； (3)求数列{a n }，{b n }的通项公式．解：(1)由题意知，a n ＝400a n －1＋100b n －1500＝45a n －1＋15b n －1，b n ＝400b n －1＋100a n －1500＝45b n －1＋15a n －1.(2)证明：由(1)知，a n －b n ＝35(a n －1－b n －1)，又因为a 1－b 1≠0，所以数列{a n －b n }是等比数列；a n ＋b n ＝a n －1＋b n －1＝…＝a 1＋b 1＝30%，所以数列{a n ＋b n }是常数数列．(3)因为a 1－b 1＝－10%，数列{a n －b n }是公比为35的等比数列，所以a n －b n ＝－10%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n－1.又因为a n ＋b n ＝30%，所以a n ＝－5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%，b n ＝5%×⎝ ⎛⎭⎪⎫35n －1＋15%.6．已知函数f (x )＝2x ＋33x .数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝1a n －1a n(n ≥2)，b 1＝3，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，若S n <m －2 0042对一切n ∈N *成立，求最小的正整数m .解：(1)∵a n ＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＝2＋3a n 3＝a n＋23，∴{a n }是以23为公差，首项为a 1＝1的等差数列，∴a n ＝23n ＋13.(2)当n ≥2时，b n ＝1a n －1a n ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －13⎝ ⎛⎭⎪⎫23n ＋13＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，当n ＝1时，上式同样成立．∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1， ∵S n <m －2 0042，即92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<m －2 0042对一切n ∈N *成立，又92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1随n 的增大而增大，且92⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<92， ∴92≤m －2 0042. ∴m ≥2 013，即m min ＝2 013.。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题一第一讲集合、常用逻辑用语（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则集合M的真子集个数为( )A．13 B．14C．15 D．16解析：选C 由集合中元素的互异性，可知集合M＝{5,6,7,8}，所以集合M的真子集个数为24－1＝15.2．(2013·山东高考)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且∁U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩∁U B＝( )A．{3} B．{4}C．{3,4} D．∅解析：选A 由题意知A∪B＝{1,2,3}，又B＝{1,2}，所以A中必有元素3，没有元素4，∁U B＝{3,4}，故A∩∁U B＝{3}．3．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A “x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推得“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y －1＝0上”不能推得“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y －1＝0上”的充分不必要条件．4．已知数列{a n}是等比数列，命题p：“若a1<a2<a3，则数列{a n}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选D 若已知a1<a2<a3，则设数列{a n}的公比为q，有a1<a1q<a1q2.当a1>0时，解得q>1，此时数列{a n}是递增数列；当a1<0时，解得0<q<1，此时数列{a n}也是递增数列．反之，若数列{a n}是递增数列，显然有a1<a2<a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p及其逆命题、否命题和逆否命题都是真命题．5．(2013·武汉模拟)命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是( ) A ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 中至少有一个不为0 B ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 中至少有一个不为0 C ．若x 2＋y 2≠0，则x ，y 都不为0 D ．若x 2＋y 2＝0，则x ，y 都不为0解析：选B 根据否命题与原命题的关系求解．命题“若x 2＋y 2＝0，则x ＝y ＝0”的否命题是“若x 2＋y 2≠0，则x ≠0或y ≠0”．6．下列命题错误的是( )A ．命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0” B ．直线与双曲线只有一个交点是直线与双曲线相切的必要不充分条件 C ．若p ∧q 为假命题，则p ，q 均为假命题 D ．“x >2”是“x 2－3x ＋2>0”的充分不必要条件解析：选C 对于A ，命题“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”的逆否命题为“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”，因此选项A 正确；对于B ，直线与双曲线相切只有一个交点，但只有一个交点并不一定相切，故B 正确；对于C ，由p ∧q 为假命题只能得知p ，q 不能同是真命题，因此选项C 错误；对于D ，注意到由x >2得x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)>0；反过来，由x 2－3x ＋2>0不能得知x >2，如取x ＝0时，x 2－3x ＋2>0，但此时0<2，因此选项D 正确．7．已知命题p ：若(x －1)(x －2)≠0，则x ≠1且x ≠2；命题q ：2＞3.下列选项中为真命题的是( )A ．綈pB ．(綈q )∧pC ．(綈p )∨qD ．q解析：选B 依题意，命题p 是真命题，命题q 是假命题，因此綈p 是假命题，(綈q )∧p 是真命题，(綈p )∨q 是假命题．8．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 列举得集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，共含有10个元素．9．设a ∈R ，则“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的( )A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既非充分也非必要条件解析：选C 因为a 2－a ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋34≥34>0，所以由a －1a 2－a ＋1<0得a <1，不能得知|a |<1；反过来，由|a |<1得－1<a <1，所以a －1a 2－a ＋1<0.因此，“a －1a 2－a ＋1<0”是“|a |<1”成立的必要不充分条件．10．已知命题p ：关于x 的函数y ＝x 2－3ax ＋4在[1，＋∞)上是增函数，命题q ：关于x 的函数y ＝(2a －1)x 在[1，＋∞)上是减函数．若“p 且q ”为真命题，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎥⎤－∞，23 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：选C 由题知命题p 等价于3a 2≤1，即3a ≤2，解得a ≤23.对于命题q ，由函数y＝(2a －1)x在[1，＋∞)上为减函数，得0<2a －1<1，即12<a <1.因为“p 且q ”为真命题，所以p 和q 均为真命题，所以12<a ≤23.二、填空题11．设集合A ＝{5，log 2(a ＋3)}，B ＝{a ，b }，若A ∩B ＝{2}，则A ∪B ＝________. 解析：由题意，log 2(a ＋3)＝2，得a ＝1，所以b ＝2，从而A ∪B ＝{1,2,5}．答案：{1,2,5}12．(2013·沈阳六校联考)已知c >0，且c ≠1，设p ：函数y ＝c x在R 上递减；q ：函数f (x )＝x 2－2cx －1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上为增函数，若“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，则实数c的取值范围为________．解析：若p 为真，则0<c <1；若q 为真，则二次函数的对称轴x ＝c 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞的左侧，即c ≤12.因为“p 且q ”为假，“p 或q ”为真，所以“p 真q 假”或“p 假q 真”．当“p 真q 假”时，c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1；当“p 假q 真”时，c 无解．所以实数c 的取值范围为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c ⎪⎪⎪12<c <1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，113．设S ＝{x |x <－1或x >5}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是________．解析：在数轴上表示两个集合，因为S ∪T ＝R ，如图所示，可得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1，a ＋8>5，解得－3<a <－1.答案：(－3，－1)14．已知函数y ＝lg(4－x )的定义域为A ，集合B ＝{x |x <a }，若P ：“x ∈A ”是Q ：“x ∈B ”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：A ＝{x |x <4}，由图易得a >4.答案：(4，＋∞)15．(2013·海淀模拟)已知下列命题： ①函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；②已知p ，q 为两个命题，若“p ∨q ”为假命题，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题； ③“a >2”是“a >5”的充分不必要条件；④“若xy ＝0，则x ＝0且y ＝0”的逆否命题为真命题．其中所有真命题的序号是________．解析：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π，而不是π2，故①错；“p ∨q ”为假命题说明p 假q 假，则“(綈p )∧(綈q )”为真命题，故②对；a >5⇒a >2，但a >2⇒/ a >5，故“a >2”是“a >5”的必要不充分条件，故③错；因为“若xy ＝0，则x ＝0或y ＝0”，所以原命题为假命题，故其逆否命题也为假命题，故④错．答案：②16．设A 是自然数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k 2∉A ，且k ∉A ，那么k 是A 的一个“酷元”，给定S ＝{x ∈N|y ＝lg(36－x 2)}，设M ⊆S ，且集合M 中的两个元素都是“酷元”，那么这样的集合M 的个数为________．解析：由题意，知S 为函数y ＝lg(36－x 2)的定义域内的自然数集，由36－x 2>0，解得－6<x <6，又因为x ∈N ，所以S ＝{0,1,2,3,4,5}．依题意，可知若k 是集合M 的“酷元”是指k 2与k 都不属于集合M .显然当k ＝0时，k 2＝k ＝0；当k ＝1时，k 2＝k ＝1.所以0,1都不是“酷元”．若k ＝2，则k 2＝4；若k ＝4，则k ＝2.所以2与4不能同时在集合M 中，才能称为“酷元”．显然3与5都是集合S 中的“酷元”．综上，若集合M中所含两个元素都是“酷元”，则这两个元素的选择可分为两类：(1)只选3与5，即M＝{3,5}；(2)从3与5中任选一个，从2与4中任选一个，即M＝{3,2}或{3,4}或{5,2}或{5,4}．所以满足条件的集合M共有5个．答案：5。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题五第三讲第二课时圆锥曲线中的定点、定值和最值问题（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1.(2013·重庆高考)如图，椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，离心率e ＝22，过左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于A ，A ′两点，|AA ′|＝4.(1)求该椭圆的标准方程；(2)取平行于y 轴的直线与椭圆相交于不同的两点P ，P ′，过P ，P ′作圆心为Q 的圆，使椭圆上的其余点均在圆Q 外．求△PP ′Q 的面积S 的最大值，并写出对应的圆Q 的标准方程．解：(1)设该椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知点A (－c,2)在椭圆上，则－c2a 2＋22b 2＝1，从而e 2＋4b 2＝1，又e ＝22，故b 2＝41－e 2＝8，从而a 2＝b 21－e 2＝16. 故该椭圆的标准方程为x 216＋y 28＝1.(2)由椭圆的对称性，可设Q (x 0,0)．又设M (x ，y )是椭圆上任意一点，则|QM |2＝(x －x 0)2＋y 2＝x 2－2x 0x ＋x 20＋8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 216＝12(x －2x 0)2－x 20＋8(x ∈[－4,4])．设P (x 1，y 1)，由题意知，点P 是椭圆上到点Q 的距离最小的点，因此，当x ＝x 1时|QM |2取最小值，又x 1∈(－4，4)，从而x 1＝2x 0，且|QP |2＝8－x 20.由对称性知P ′(x 1，－y 1)，故|PP ′|＝|2y 1|，所以S ＝12|2y 1||x 1－x 0|＝12×28×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 2116|x 0|＝24－x 2x 20＝2－x 20－22＋4.故当x 0＝±2时，△PP ′Q 的面积S 取得最大值2 2.此时对应的圆Q 的圆心坐标为Q (±2，0)，半径|QP |＝8－x 20＝6，因此，这样的圆有两个，其标准方程分别为(x ＋2)2＋y 2＝6，(x －2)2＋y 2＝6.2.如图，椭圆C 0：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0，a ，b 为常数)，动圆C 1：x 2＋y 2＝t 21，b <t 1<a .点A 1，A 2分别为C 0的左，右顶点，C 1与C 0相交于A ，B ，C ，D 四点．(1)求直线AA 1与直线A 2B 交点M 的轨迹方程；(2)设动圆C 2：x 2＋y 2＝t 22与C 0相交于A ′，B ′，C ′，D ′四点，其中b <t 2<a ，t 1≠t 2.若矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，证明：t 21＋t 22为定值．解：(1)设 A (x 1，y 1)，B (x 1，－y 1)，又知A 1(－a,0)，A 2(a,0)，则直线A 1A 的方程为y ＝y 1x 1＋a(x ＋a )， ①直线A 2B 的方程为y ＝－y 1x 1－a(x －a )． ② 由①×②得y 2＝－y 21x 21－a 2(x 2－a 2)．③由点A (x 1，y 1)在椭圆C 0上，得x 21a 2＋y 21b 2＝1.从而y 21＝b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2，代入③得x 2a 2－y 2b 2＝1(x <－a ，y <0)．(2)证明：设A ′(x 2，y 2)，由矩形ABCD 与矩形A ′B ′C ′D ′的面积相等，得4|x 1||y 1|＝4|x 2||y 2|，故x 21y 21＝x 22y 22.因为点A ，A ′均在椭圆上，所以b 2x 21⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 21a 2＝b 2x 22⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 22a 2.由t 1≠t 2，知x 1≠x 2，所以x 21＋x 22＝a 2. 从而y 21＋y 22＝b 2，因此t 21＋t 22＝a 2＋b 2为定值．3．(2013·西城模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF u u u r ＝2FB u u u r，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．解：(1)依题意得F (1,0)，设直线AB 的方程为x ＝my ＋1. 将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x ，得y 2－4my －4＝0(Δ＞0恒成立)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4.①因为AF u u u r ＝2FB u u u r，所以y 1＝－2y 2.②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24，所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB .因为2S △AOB ＝2×12|OF |·|y 1－y 2|＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝41＋m 2，所以当m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.4．(2013·广东高考)已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点F (0，c )(c >0)到直线l ：x －y －2＝0的距离为3 22.设P 为直线l 上的点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点．(1)求抛物线C 的方程；(2)当点P (x 0，y 0)为直线l 上的定点时，求直线AB 的方程； (3)当点P 在直线l 上移动时，求|AF |·|BF |的最小值．解：(1)依题意，设抛物线C 的方程为x 2＝4cy (c >0)，则|0－c －2|2＝3 22，结合c >0，解得c ＝1.所以抛物线C 的方程为x 2＝4y .(2)抛物线C 的方程为x 2＝4y ，即y ＝14x 2，求导得y ′＝12x .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)⎝⎛⎭⎪⎫其中y 1＝x 214，y 2＝x 224，则切线PA ，PB 的斜率分别为12x 1，12x 2. 所以切线PA 的方程为y －y 1＝x 12(x －x 1)，即y ＝x 12x －x 212＋y 1，即x 1x －2y －2y 1＝0. 同理，可得切线PB 的方程为x 2x －2y －2y 2＝0.因为切线PA ，PB 均过点P (x 0，y 0)，所以x 1x 0－2y 0－2y 1＝0，x 2x 0－2y 0－2y 2＝0. 所以(x 1，y 1)，(x 2，y 2)为方程x 0x －2y 0－2y ＝0的两组解．所以直线AB 的方程为x 0x －2y 0－2y ＝0.(3)由抛物线定义可知|AF |＝y 1＋1，|BF |＝y 2＋1，所以|AF |·|BF |＝(y 1＋1)(y 2＋1)＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1. 联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 0x －2y －2y 0＝0，x 2＝4y ，消去x 整理得y 2＋(2y 0－x 20)y ＋y 20＝0，由根与系数的关系可得y 1＋y 2＝x 20－2y 0，y 1y 2＝y 20，所以|AF |·|BF |＝y 1y 2＋(y 1＋y 2)＋1＝y 20＋x 20－2y 0＋1. 又点P (x 0，y 0)在直线l 上，所以x 0＝y 0＋2. 所以y 20＋x 20－2y 0＋1＝2y 20＋2y 0＋5＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋122＋92.所以当y 0＝－12时，|AF |·|BF |取得最小值，且最小值为92.5.如图，经过点P (2,3)，且中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆M 的离心率为12.(1)求椭圆M 的方程；(2)若椭圆M 的弦PA ，PB 所在直线分别交x 轴于点C ，D ，且|PC |＝|PD |，求证：直线AB 的斜率为定值．解：设椭圆M 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，则4a 2＋9b 2＝1，且e 2＝a 2－b 2a 2＝14，解得a 2＝16，b 2＝12. 故椭圆M 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)证明：由题意知，直线PA 的斜率必存在，故设直线PA 的方程为y ＝k (x －2)＋3，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，由|PC |＝|PD |可知，直线PB 的方程为y ＝－k (x －2)＋3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －2＋3，x 216＋y 212＝1，可得(4k 2＋3)x 2－8k (2k －3)x ＋4(2k －3)2－48＝0.①又方程①有一实根为2，故另一实根为42k －32－4824k 2＋3＝22k －32－244k 2＋3＝24k 2－12k －34k 2＋3，故x A ＝24k 2－12k －34k 2＋3. 同理，x B ＝24k 2＋12k －34k 2＋3.所以x A ＋x B ＝44k 2－34k 2＋3，x A ＋x B －4＝－244k 2＋3， x A －x B ＝－48k 4k 2＋3. 所以直线AB 的斜率k AB ＝y A －y B x A －x B ＝k x A ＋x B －4x A －x B ＝12，即直线AB 的斜率为定值． 6．已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的距离的最大值为3，最小值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点D .求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．解：(1)由题意设椭圆的标准方程为：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由已知得a ＋c ＝3，a －c ＝1，所以a ＝2，c ＝1，所以b 2＝a 2－c 2＝3，因此椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 24＋y23＝1，得(3＋4k 2)x 2＋8mkx ＋4(m 2－3)＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝64m 2k 2－163＋4k 2m 2－3>0，即3＋4k 2－m 2>0，x 1＋x 2＝－8mk 3＋4k2，x 1x 2＝4m 2－33＋4k2.又y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋mk (x 1＋x 2)＋m 2＝3m 2－4k 23＋4k2. 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点D (2,0)，所以k AD k BD ＝－1，即y 1x 1－2·y 2x 2－2＝－1. 故y 1y 2＋x 1x 2－2(x 1＋x 2)＋4＝0. 即3m 2－4k 23＋4k 2＋4m 2－33＋4k 2＋16mk3＋4k 2＋4＝0.则7m 2＋16mk ＋4k 2＝0.解得m ＝－2k ，或m ＝－2k 7，且均满足3＋4k 2－m 2>0.当m ＝－2k 时，l 的方程为y ＝k (x －2)，直线过定点(2,0)，与已知矛盾；当m ＝－2k7时，l 的方程为y ＝k ⎝⎛⎭⎪⎫x －27，直线过定点⎝⎛⎭⎪⎫27，0.所以，直线l 过定点，定点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫27，0.。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题二第三讲平面向量(选择、填空题型) （以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "一、选择题1．已知a ，b ，c 是平面向量，下列命题中真命题的个数是( ) ①(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )； ②|a ·b |＝|a ||b |； ③|a ＋b |2＝(a ＋b )2;④a ·b ＝b ·c ⇒a ＝c . A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A 由平面向量的基础知识可知①②④均不正确，只有③正确．2．(2013·潍坊模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠BAD ＝60°，E 为BC 的中点，则AE u u u r ·BD u u u r＝( )A ．－3B ．0C ．－1D ．1解析：选 C AE u u u r ·BD u u u r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB u u u r ＋12 AD u u u r ·(AD u u u r －AB u u u r )＝12|AD u u ur |2－|AB u u u r |2＋12AB u u u r ·AD u u u r ＝2－4＋12×2×2×12＝－1.3．(2013·哈尔滨模拟)已知O ，A ，M ，B 为平面上四点，且OM u u u u r ＝λOB u u u r ＋(1－λ)OA u u u r，实数λ∈(1,2)，则( )A ．点M 在线段AB 上 B ．点B 在线段AM 上C ．点A 在线段BM 上D ．O ，A ，M ，B 一定共线解析：选B 依题意得OM u u u u r －OA u u u r ＝λ(OB u u u r －OA u u u r )，即AM u u u u r ＝λAB u u u r.又λ∈(1,2)，因此点B 在线段AM 上．4．已知向量m ＝(λ＋1,1)，n ＝(λ＋2,2)，若(m ＋n )⊥(m －n )，则λ＝( ) A ．－4 B ．－3 C ．－2D ．－1解析：选B m ＋n ＝(2λ＋3,3)，m －n ＝(－1，－1)，因为(m ＋n )⊥(m －n )，所以(m ＋n )·(m －n )＝0，所以(2λ＋3)×(－1)＋3×(－1)＝0，解得λ＝－3.5．在四边形ABCD 中，AC u u u r ＝(1,2)，BD u u u r＝(－4,2)，则该四边形的面积为( )A. 5 B ．2 5 C ．5D ．10解析：选C 依题意得，AC u u u r ·BD u u u r ＝1×(－4)＋2×2＝0，所以AC u u u r ⊥BD u u u r，所以四边形ABCD 的面积为12|AC u u ur |·|BD u u u r |＝12×5×20＝5.6．(2013·青岛模拟)已知a ，b 是平面向量，若a ⊥(a －2b )，b ⊥(b －2a )，则a 与b 的夹角是( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析：选B 记向量a ，b 的夹角为θ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·a －2b ＝0，b ·b －2a ＝0，即|a |2＝|b |2＝2a ·b ＝2|b |2c os θ，cos θ＝12，θ＝π3，即向量a ，b 的夹角为θ＝π3.7．△ABC 中，AB 边上的高为CD ，若CB u u u r ＝a ，CA u u u r＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD u u u r ＝( )A.13a －13bB.23a －23bC.35a －35b D.45a －45b解析：选D 如图所示，∵a ·b ＝0，∴a ⊥b ，∴∠ACB ＝90°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2＝ 5. 又CD ⊥AB ，∴AC 2＝AD ·AB ，∴AD ＝455.∴AD u u u r ＝45AB u u u r ＝45(a －b )＝45a －45b .8．已知点D 为等腰直角三角形ABC 斜边AB 的中点，则下列等式中不恒成立的是( )A ．CD u u u r ＝CA u u u r |CA u uu r |＋CBu u u r|CB u u u r | B ．AC u u u r 2＝AC u u u r ·AB u u u rC ．BC u u u r 2＝BC u u u r ·BA u u u rD ．(CA u u u r ＋CB u u u r )·(CA u u u r －CB u u u r)＝0 解析：选A 因为点D 是AB 的中点，所以CD u u u r ＝12CA u u u r ＋12CB u u u r，故A 不恒成立；利用向量的数量积的定义，结合直角三角形的性质可知B ，C ，D 都恒成立．9.如图，在边长为1的正三角形ABC 中，E 、F 分别为边AB 、AC 上的动点，且满足AEu u u r＝m AB u u u r ，AF u u u r ＝n AC u u u r ，其中m 、n ∈(0,1)，m ＋n ＝1，M 、N 分别是EF 、BC 的中点，则|MN u u u u r|的最小值为( )A.24 B.33 C.34D.53解析：选C 在△ABC 中，连接AM ，AN ，则有MN u u u u r ＝AN u u u r －AM u u u u r ，AN u u u r ＝12(AB u u u r ＋AC u u ur )，AM u u u u r ＝12(AE u u u r ＋AF u u u r )，则MN u u u u r ＝12(AB u u u r ＋AC u u u r －AE u u u r －AF u u u r )＝1－m 2AB u u ur ＋1－n 2AC u u u r ，∴|MN u u u u r |2＝1－m24＋1－n 24＋1－m1－n4.又m ＋n ＝1，∴|MN u u u u r |2＝m 2－m ＋14＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122＋316，则当m ＝12时，|MN u u u u r |取最小值34. 10.如图所示，等边三角形ABC 的边长为2，D 为AC 的中点，且△ADE 也是等边三角形．在△ADE 以点A 为中心向下转动到稳定位置的过程中，BD u u u r ·CE u u ur 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，12C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，43 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，53 解析：选 A 如图所示，在△ADE 转动的过程中，设∠BAD ＝θ，则∠CAE ＝θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3，所以BD u u u r ·CE u u u r ＝(BA u u u r ＋AD u u u r )·(CA u u u r ＋AE u u u r )＝|BA u u u r |·|CA u u u r |cos 60°＋|AD u u u r |·|AE u u u r |·cos 60°＋BA u u u r ·AE u u u r ＋AD u u u r ·CA u u u r ＝－2cos θ＋52，又cos θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，所以BD u u u r ·CE u u u r 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，32.二、填空题11．(2013·北京高考)向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示．若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R)，则λμ＝________.解析：设i ，j 分别为水平方向和竖直方向上的正向单位向量，则a ＝－i ＋j ，b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j ，所以－i －3j ＝λ(－i ＋j )＋μ(6i ＋2j )，根据平面向量基本定理得λ＝－2，μ＝－12，所以λμ＝4.答案：412．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ，若b·c ＝0，则t ＝________.解析：因为向量a ，b 为单位向量，所以b 2＝1，又向量a ，b 的夹角为60°，所以a·b ＝12.由b·c ＝0得b ·[ta ＋(1－t )b ]＝0，即ta·b ＋(1－t )b 2＝0，所以12t ＋(1－t )＝0，所以t ＝2.答案：213．设e 1，e 2为单位向量，且e 1，e 2的夹角为π3，若a ＝e 1＋3e 2，b ＝2e 1，则向量a 在b 方向上的射影为________．解析：依题意得|e 1|＝|e 2|＝1且e 1·e 2＝12，所以|a |＝1＋6×12＋9＝13，|b |＝2，所以向量a 在b 方向上的射影为|a |cos 〈a ，b 〉＝a ·b|b |＝2＋6×122＝52.答案：5214．(2013·威海模拟)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA u u u r 、OB u u u r 满足|OA u u u r ＋OB u u u r |＝|OA u u u r －OB u u u r|，则实数a 的值是________．解析：由|OA u u u r ＋OB u u u r |＝|OA u u u r －OB u u u r |，得|OA u u u r ＋OB u u u r |2＝|OA u u u r －OB u u u r |2，即|OA u u u r |2＋|OB u u u r |2＋2OA u u u r ·OB u u u r ＝|OA u u u r |2＋|OB u u u r |2－2OA u u u r ·OB u u u r ，所以OA u u u r ·OB u u u r ＝0，因此OA u u u r ⊥OB u u u r .在等腰Rt △OAB 中，圆心O 到直线x ＋y ＝a 的距离为d ＝22|a |＝2，所以|a |＝2，故a ＝±2.答案：±215．(2013·杭州模拟)如图，在扇形OAB 中，∠AOB ＝60°，C 为弧AB 上的一个动点．若OC u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r，则x ＋3y 的取值范围是________．解析：设半径为1，由已知可设OB 为x 轴的正半轴，O 为坐标原点，建立直角坐标系，其中B (1,0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中∠BOC ＝θ⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π3，则有OC u u u r ＝(cosθ，sin θ)＝x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32＋y (1,0)，整理得⎩⎪⎨⎪⎧x2＋y ＝cos θ，sin θ＝32x ，解得x ＝2sin θ3，y ＝cos θ－sin θ3，故x ＋3y ＝2sin θ3＋3cos θ－3sin θ＝3cos θ－33sin θ，其中0≤θ≤π3，易知f (θ)＝3cos θ－33sin θ为减函数，由单调性易得其值域为[1,3]．答案：[1,3]16.如图所示，两个非共线向量OA u u u r 、OB u u u r的夹角为θ，M 、N 分别为OA 、OB 的中点，点C 在直线MN 上，且OC u u u r ＝x OA u u u r ＋y OB u u u r (x ，y ∈R)，则x 2＋y 2的最小值为________．解析：法一：当θ＝90°，|OA u u u r |＝|OB u u u r |＝1时，建立直角坐标系，得x ＋y ＝12，所以x 2＋y 2的最小值为原点到直线x ＋y ＝12的距离的平方，即x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1222＝18.法二：因为点C 、M 、N 共线，所以OC u u u r ＝λOM u u u u r ＋μON u u u r(λ，μ∈R)，有λ＋μ＝1.又M 、N 分别为OA 、OB 的中点，所以OC u u u r ＝λOM u u u u r ＋μON u u u r ON u u u r ＝12λOA u u u r ＋12μOB u u u r＝x OA u u u r ＋y OB u u u r ，则原题可转化为当x ＋y ＝12时，求x 2＋y 2的最小值问题．由x 2＋y 2的几何意义可知x 2＋y 2的最小值即为原点到直线x ＋y ＝12的距离的平方，即x 2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1222＝18.答案：18。

2014高考数学(文)二轮专题突破演练(浙江专版)第1部分专题1 第2讲函数的图像与性质含解析

一、选择题1．（2013·山东高考)函数f（x)＝错误!＋错误!的定义域为（）A．（－3，0］B．(－3，1]C．（－∞，－3)∪（－3，0]D．(－∞,－3)∪(－3,1]解析:选A 由题意得错误!所以－3〈x≤0.2．（2013·北京高考)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( ）A．y＝错误!B．y＝e－xC．y＝－x2＋1 D. y＝lg|x|解析：选C y＝错误!是奇函数，选项A错；y＝e－x是指数函数,非奇非偶，选项B错;y＝lg|x|是偶函数,但在（0，＋∞）上单调递增，选项D错；只有选项C是偶函数且在(0,＋∞）上单调递减．3．(2013·潍坊模拟)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h随时间t变化的图像可能是( ）解析：选B 由三视图可知此几何体为一底朝上的圆锥，向容器中匀速注水,说明单位时间内注入水的体积相等，因圆锥下面窄上面宽，所以下面的高度增加得快,上面的高度增加得慢，即图像应越来越平缓．4．(2013·安徽高考)函数y＝f（x）的图像如图所示，在区间［a，b]上可找到n（n≥2)个不同的数x1，x2，…，x n，使得错误!＝错误!＝…＝错误!，则n的取值范围为( ）A．｛2,3｝B．{2,3，4} C．｛3，4｝D．｛3，4，5}解析：选B 错误!＝错误!＝…＝错误!的几何意义是指曲线上存在n个点与坐标原点连线的斜率相等，即n为过原点的直线与曲线的交点个数,由图可得n的取值为2，3,4.5．若定义在R上的函数f(x）满足：对任意x1，x2∈R有f(x1＋x2)＝f(x1）＋f（x2)＋1，则下列说法一定正确的是（)A．f(x)为奇函数B．f（x)为偶函数C．f（x)＋1为奇函数D．f（x)＋1为偶函数解析：选C 法一：根据题意,令x1＝x2＝0，则f（0)＝f(0)＋f （0)＋1，所以f（0)＝－1.令x1＝x,x2＝－x，则f（0)＝f(x）＋f（－x)＋1，所以f(x)＋1＋f(－x）＋1＝0，即f（x)＋1＝－[f（－x)＋1]．法二：(特殊函数法)由条件f（x1＋x2）＝f(x1)＋f（x2）＋1可取f(x）＝x－1，故f(x）＋1＝x是奇函数．6．函数f（x)＝错误!的图像大致为( ）解析：选A 将解析式变形整理,f(x)＝错误!＝1＋错误!，当x>0时，f(x)＝1＋错误!∈（－∞，0）,当x〈0时,f（x）＝1＋错误!∈(1，＋∞），只有A选项符合题意．7．（2013·天津高考)已知函数f（x)是定义在R上的偶函数, 且在区间[0，＋∞）上单调递增．若实数a满足f（log2a）＋f错误!≤2f(1),则a的取值范围是( ）A．[1,2] B。

高考数学二轮专题突破预测演练提能训练第1部分专题

"《创新方案》2014届高考数学（文科）二轮专题突破预测演练提能训练（浙江专版）：第1部分专题七第二讲不等式选讲（选修4-5）（以2013年真题和模拟题为例，含答案解析） "1．(2013·陕西高考改编)设a ，b ∈R ，|a －b |>2，求关于实数x 的不等式|x －a |＋|x －b |＞2的解集．解：∵|x －a |＋|x －b |≥|a －b |＞2，∴|x －a |＋|x －b |＞2恒成立，则解集为R.2．若x >0，y >0，且x ＋2y ＝1，求1x ＋1y 的取值范围．解：依题意得1x ＋1y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y (x ＋2y )＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y x ＋x y ≥3＋2 2y x ·x y＝3＋22，当且仅当2y x ＝x y ，即x ＝2－1，y ＝2－22时取等号，因此1x ＋1y的取值范围是[3＋22，＋∞)． 3．设x ，y ，z 为正数，求证：2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．证明：因为x 2＋y 2≥2xy >0，所以x 3＋y 3＝(x ＋y )(x 2－xy ＋y 2)≥xy (x ＋y )，同理y 3＋z 3≥yz (y ＋z )，z 3＋x 3≥zx (z ＋x )，三式相加即可得2(x 3＋y 3＋z 3)≥xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )，又因为xy (x ＋y )＋yz (y ＋z )＋zx (z ＋x )＝x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )，所以2(x 3＋y 3＋z 3)≥x 2(y ＋z )＋y 2(x ＋z )＋z 2(x ＋y )．4．(2013·郑州模拟)已知函数f (x )＝|x －a |.(1)若不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f (x )＋f (x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )≤3得|x －a |≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f (x )＝|x －2|，设g (x )＝f (x )＋f (x ＋5)，于是g (x )＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －1，x <－3，5，－3≤x ≤2，2x ＋1，x >2.所以当x <－3时，g (x )>5；当－3≤x ≤2时，g (x )＝5；当x >2时，g (x )>5.综上可得，g (x )的最小值为5.从而若f (x )＋f (x ＋5)≥m ，即g (x )≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]．5．(2012·新课标全国卷)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围．解：(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋5，x ≤2，1，2＜x ＜3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4；所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥4}．(2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |.当x ∈[1,2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a .由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围为[－3,0]．6．(2013·呼和浩特模拟)设f (x )＝|x |＋2|x －a |(a >0)．(1)当a ＝1时，解不等式f (x )≤8；(2)若f (x )≥6恒成立，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，|x |＋2|x －1|≤8，∵f (x )＝|x |＋2|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2，x ≥1，－x ＋2，0<x <1，－3x ＋2，x ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，3x －2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，－x ＋2≤8或⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，－3x ＋2≤8，解得1≤x ≤103或0<x <1或－2≤x ≤0，∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －2≤x ≤103.(2)∵f (x )＝|x |＋2|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －2a ，x ≥a ，－x ＋2a ，0<x <a ，－3x ＋2a ，x ≤0，若f (x )≥6恒成立，由图像可得a ≥6(图像略)，即a 的取值范围为[6，＋∞)．。

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