直线与平面所成角方法归纳和典例分析

一、定义法

例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。

（2）SC 与平面ABC 所成的角。

图1

2、在三棱锥ABC P -中，6,30,120==∠===AB ACB PC PB PA ，则PB 与平面ABC

所成角的余弦值。

3、（2016年浙江高考）如图，在三棱台ABC-DEF 中，平面BCFE ⊥平面ABC ，∠ACB =90°，BE=EF=FC =1，BC =2，AC =3.

（I ）求证：BF ⊥平面ACFD ；

（II ）求直线BD 与平面ACFD 所成角的余弦值.

4、（2016年天津高考）如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，EF||AB ，

AB=2，BC=EF=1，

，DE=3，∠BAD=60º，G 为BC 的中点.

(Ⅰ)求证：FG||平面BED ；

(Ⅱ)求证：平面BED ⊥平面AED ；

(Ⅲ)求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值. B

M

H

S

C

A

5、在直三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=900，AC=1，AA 1=√2，求BC 1与平面A 1BC 所成角的正弦值。（定义法、等体积法、向量法）

二、等体积法

1.如图所示的几何体中，四边形ABCD 是等腰梯形，AD//CD ， 60DAB ∠=，FC ⊥平面ABCD ， AE ⊥BD ，CB =CD=-CF ．(Ⅰ)求证：平面ABCD ⊥平面AED ；(Ⅱ)直线AF 与面BDF 所成角的余弦值

2.在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为正方形，ABE ∆为等腰直角三角形，

90BAE ∠=︒，且AD AE ⊥．

（Ⅰ）证明：平面AEC ⊥平面BED ．（Ⅱ）求直线EC 与平面BED 所成角的正弦值．

3.如图，已知PA ⊥平面ABC ，等腰直角三角形ABC 中，AB=BC=2，AB ⊥BC ，AD ⊥PB 于D ，AE ⊥PC 于E ．（Ⅰ）求证：PC ⊥DE ；（Ⅱ）若直线AB 与平面ADE 所成角的正弦值为，求PA 的值．

三、向量法

1、在正方体ABCD-1111D C B A 的棱长为1，求11C B 与平面C AB 1所成角的正弦值。

A B C

D E

2、正三棱柱ABC-111C B A 的底面边长为2，高为22，求1AC 与侧面11A ABB 所成的角。

3、如图，在四棱锥ABCD P -中，AB AB AD ABCD PA ,⊥⊥，底面∥DC,AD=DC=AP=2，AB=1，点E 为棱PC 的中点。

（1）证明DC BE ⊥;

(2)求直线BE 与平面PBD 所成角的正弦值；

（3）若F 为棱PC 上一点，满足AC BF ⊥，求二面角P AB F --的余弦值。

4、如图，在四棱柱ABCD-1111D C B A 中，侧棱,5,2,11====⊥⊥CD AD AA AC AB AC ABCD AA ，底面且点M 和N 分别为C B 1 和D D 1的中点。

（1） 求证：MN ∥平面ABCD;

（2） 求二面角11B AC D --的正弦值；

（3） 设E 为棱11A B 上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为

3

1，求线段E A 1的长。